GRAĐEVINSKI FAKULTET SVEUČILIŠTE U RIJECI Specijalistički diplomski stručni studij građevinarstva NORMALNA RAZDIOBA Seminarski rad KOLEGIJ: Odabrana poglavlja inženjerske matematike AKADEMSKA GODINA: 2016/2017 NOSITELJ KOLEGIJA: Mr.sc. Ines Radošević Student: Nives Jušić Čorba U Rovinju, 14.11.2016.
Sadržaj: 1. Normalna razdioba...3 2. Riješeni zadatci...7 3. Pitanja i odgovori na temu...10 4. Popis literature...11 2
1. NORMALNA RAZDIOBA Najvažnija razdioba u statistici je normalna razdioba. Uvriježeni su koji se koriste kao, Gaussova razdioba ili raspodjela. još i drugi termini Normalna razdioba objašnjava veliki broj statističkih opažanja, primjenjuje se u raznim prirodnim znanostima, kao i u znanostima koje se bave proučavanjem ponašanja. Mnoštvo rezultata psihološkihh testova i fizičkih pojava, slijede normalnu raspodjelu. Primjer korištenja u graditeljstvu ćemo navesti nešto kasnije. Svakome tko se ikad susreo sa statistikom, poznata je čuvena Gaussova krivulja (slika 1.), uobičajen model za prikaz varijacija. (Slika 1. Gaussova krivulja; https://hr.wikipedia.org ) 3
Ona govori o prirodi nasumičnosti. Smisao je u tome da stvari kad se mijenjaju, nastoje ostati u blizini točke prosjeka, pa se raspoređuju oko tog prosjeka po glatkoj, zvonolikoj krivulji. Ona je unimodalna, simetričkog oblika, te nema nultočaka jer nikada ne presijeca os x, nego joj se samo približava. Specifičnost krivulje je ta što se 50 % podataka za koje se krivulja crta nalazi na jednoj strani krivulje, dok je ostalih 50 % podataka na drugoj strani. Kažemo da je slučajna varijabla X normalno distribuirana, ako je ona kontinuirana, Rx = R, i ako je funkcija gustoće vjerojatnosti dana formulom: gdje su µ, σ (σ > 0) proizvoljne konstante o koja dva parametra ovisi. Koristimo oznaku: X N(µ, σ2 ) Može se dokazati da je očekivanje: E[X] = µ Varijanca: V[X] = σ 2 4
Važna svojstva normalne razdiobe su dana u sljedećem prikazu: Gornje pravilo tri sigme se odnosi na najvažnije svojstvo normalne razdiobe u primjenama, jest to da interval unutar kojega se nalazi 100% svih vrijednosti slučajne varijable, ovisi samo o očekivanju i standardnoj devijaciji (to je za po 3 standardne devijacije lijevo i desno od očekivanja). 5
Za slučajnu varijablu X koja ima normalnu razdiobu s parametrima 0 i 1, tj. X~N(0,1), kažemo da ima STANDARDNU NORMALNU RAZDIOBU kojoj je funkcija gustoće: 6
Normalna razdioba 2. RIJEŠENI ZADATCI U narednim prikazima dana su dva primjera riješenih zadataka iz osnovne literature: (zadatak 1.) 7
(zadatak 2.) Te jedan primjer zadatka iz graditeljske struke: Svrha primjene funkcija raspodjele vjerojatnosti u ovom zadatku je da se na osnovu raspoloživih podataka o maksimalnim količinama oborina za promatrano razdoblje odrade vjerojatnosti s kojima bi se ove pojave mogle dogoditi u budućnosti. Na temelju niže prikazanih tablica nacrtati graf Gaussove raspodjele. (Tablica 1. ) 8
(Tablica 2. ) (Tablica 3. ) 9
3. PITANJA I OGOVORI NA TEMU Skiciraj Graf Gaussove, funkcije normalne distribucije i objasni! Iz Gaussove krivulje (vidi gore) se vidi da su podaci distribuirani (raspodijeljeni) tako da se najveći broj vrijednosti gomila oko srednjih razreda, tj. oko aritmetičke sredine sa ± određenim odstupanjem s (s - standardna devijacija). Tako postoje mnoge pojave u prirodi i društvenim odnosima u kojima se većina podataka koncentrira oko njihove odgovarajuće aritmetičke sredine x. Kada su poznate vrijednosti aritmetičke sredine x i standardne devijacije s, tada su poznati parametri normalne distribucije. Navedi i pojasni jedan primjer Gaussove raspodjele u graditeljskoj struci! Primjena kod projektiranja sustava odvodnje. Na osnovu raspoloživih podataka o maksimalnim količinama oborina za promatrano razdoblje izračun vjerojatnosti s kojima bi se ove pojave mogle dogoditi u budućnosti. Te na temelju dobivenih podataka nacrtati graf Gaussove raspodjele. 10
4. Popis literature (1) http://www.ttf.unizg.hr/ (2) Sošić,I. Primjenjena statistika, Školska knjiga, Zagreb, 2004. (3) Franjić, I., Statistika, skripta, PBF, Zagreb 3.4. (4) Čuljak, V., Vjerojatnost i statistika, GF, Zagreb (5) Rubinić, J. Zapisi s predavanja, Građevinski fakultet, Rijeka, 2016. 11