Kontinuirane slučajne varijable.
|
|
- Φιλόθεος Κωνσταντίνου
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Kontinuirane slučajne varijable. Diskretne slučajne varijable povezane su s prebrojavanjem u nekom pokusu. One primaju konačan skup vrijednosti (ili možda beskonačan, ali je tada nužno prebrojiv i diskretan). Kod tih slučajnih varijabla možemo zamišljati da je jedinična masa (ukupna vjrojatnost) raspoređena na brojevnom pravcu u tih konačno točaka (odnosno prebrojivo mnogo točaka). Međutim, u pokusima se prirodno javlja i mjerenje. Skup brojeva kojima se (teoretski) zapisuju rezultati mjerenja nije ni konačan niti diskretan, već neki interval u skupu realnih brojeva. Pojasnimo to malo na primjerima.. Slučajna varijabla koja mjeri temperaturu u nekom pokusu (u stupnjevima) teoretski može primiti rezultat u intervalu [-73?, + infty>. Naravno da svaki mjerni uređaj ima diskretnu mjernu skalu, (pa bi tako mjerenje njime postizavalo samo konačan skup vrijednosti) međutim, iz teoretskih razloga mi ne možemo isključiti ni jednu međuvrijednost (koje nema na tom, ali možda ima ili će biti na nekom drugom mjernom uređaju). Pitanje mjerne skale za temperaturu nije uopće jednostavno pitanje (neke teorije prihvaćaju diskretan, a neke kontinuiran karakter temperature; u što tu ne možemo ulaziti; napominjemo samo da se mi, iz teoretskih razloga, držimo da je temperatura kontinuirana).. Slučajna varijabla koja mjeri postotak neke tvari u nekoj smjesi teoretski može primiti svaku vrijednost intervalu [,] (tu vrijedi slična napomena kao i prije, što, u sličnim prigodama nećemo više spominjati). 3. Slučajna varijabla koja mjeri relativni udio neke tvari u nekoj smjesi teoretski može primiti svaku vrijednost u intervalu [,]. 4. Grješka pri mjerenju teoretski može biti svaki realni broj itd. Primjer. Zamislimo da rezultati mjerenja mogu ravnopravno biti brojevi u intervalu [,] i da slučajna varijabla X registrira taj rezultat. Tada je vjerojatnost (jedinična masa) jednoliko raspoređena na intervalu [,]. Naime možemo zamisliti da smo jediničnu masu razmazali jednoliko po tom intervalu. Mora biti p(x=a) =, za svaki a iz intervala [,] (jer kad bi za jedan a ta vrijednost bila pozitivna, ona bi morala biti pozitivna za sve brojeve iz intervala, jer su oni ravnopravni zbog jednolike raspoređenosti vjerojatnosti; međutim tada bi ukupna vjerojatnost bila beskonačna, a mora biti ). Tako imamo naizgled paradoksalnu situaciju: vjerojatnost u svakoj točki je, a ukupna je vjerojatnost. S druge strane, p(a<x<b) = (b-a)/, za svaka dva broja a,b iz intervala za koja je a<b. To je zato što je ukupni interval duljine, a interval [a,b] je duljine b-a, a pripada mu vjerojatnost proporcionalno duljini (intervalu duljine pripada vjerojatnost /). Matematički model za ovakvu razdiobu vjerojatnosti jest konstantna funkcija: f():=/, za u intervalu [,].
2 Ta je funkcija pozitivna na tom intervalu i površina ispod njena grafa je. Da se odredi vjerojatnost da slučajna varijabla X poprimi rezultat između brojeva a i b, treba duljinu intervala od a do b, tj. broj (b-a) pomnožiti s /, tj. s vrijednošću funkcije, a to je isto što i izračunati površinu ispod grafa funkcije f od =a, do =b. Kažemo da je slučajna varijabla X neprekinuta (kontinuirana) ako prima svaku vrijednost na nekom intervalu (i svaku s vjerojatnošću ). Ta definicija nije matematički potpuno zadovoljavajuća, ali će za nas biti dovoljna. Primjer. Opišimo kontinuiranu slučajnu varijablu X koja prima vrijednosti u intervalu [,] i kojoj je vjerojatnost raspoređena proporcionalno udaljenosti od ishodišta (a ne jednoliko kao u prethodnom primjeru). Izračunajte vjerojatnost da X poprimi vrijednost između.3 i.7. U ovom slučaju možemo zamisliti da smo jediničnu masu razmazali od = do =, tako da se gustoća namaza povećava proporcionalno s udaljenošću od ishodišta (koja je, za svaki, upravo jednaka ). Pripadna funkcija f koja to opisuje nije konstanta kao prije, već je f()=c, za od do, gdje je c neka konstanta, koju ćemo odrediti ovako. Uočimo mali interval [,+ ] i zanima nas vjerojatnost da slučajna varijabla X poprimi rezultat na tom intervalu. Na tom intervalu funkcija f je približno konstantna i jednaka f() (na malom intervalu vrijednosti su se malo promijenile u odnosu na početnu) pa je, u skladu s prethodnim primjerom, p(<x<+ ) f ( ) = c Razmotrimo sad broj p ( X ). To je, s jedne strane, jednako (ukupna vjerojatnost). S druge strane ta se vjerojatnost dobije kad bismo zbrojili sve doprinose na malim intervalima, a oni se dobiju, kako znamo, integriranjem izraza cd od = do = (tu prelazi u d). Dakle, cd = (opet je površina ispod grafa od f jednaka ) odakle dobijemo c=, tj. f()=, za od do. Vjerojatnost da X poprimi rezultat između a i b dobije se slično, zbrajanjem malih doprinosa od =a do =b, tj. integriranjem od a do b, dakle:
3 b p( a < X < b) = f ( ) d = d = a b a b = b. a Posebno: p(.3<x<.7) = površina ispod grafa funkcije f od =.3 do =.7.7. = 7 d = = a U ovim se primjerima javljala funkcija f koja prima vrijednosti veće ili jednake, koja opisuje razdiobu vjerojatnosti na intervalu. Vidimo da je razumno definirati općenito: ako kontinuirana slučajna varijabla prima rezultate na intervalu [u,v], onda je razdioba vjerojatnosti zadana nekom funkcijom f definiranom na intervalu [u,v] za koju vrijedi: f ( ) ; u, v. [ ] v u. f ( ) d = Pri tom je vjerojatnost da ta slučajna varijabla poprimi vrijednost u intervalu [a,b] : p ( a < X < b) = f ( ) d. b a
4 Nekoliko komentara.. U našim je primjerima vjerojatnost bila raspoređena prema nekom pravilu na intervalu [u,v]. To su mogli biti i otvoreni intervali i poluintervali i beskonačni intervali i, konačno, najveći interval: cijeli skup realnih brojeva. Od sada ćemo smatrati da je uvijek tako, tj. da je vjerojatnost na cijelom skupu realnih brojeva (tj. da je funkcija f zadana na čitavom skupu realnih brojeva; to napravimo tako da na onom dijelu gdje nema vjerojatnosti stavimo da je vrijednost funkcije f jednaka ). Zato će od sada biti: (i) f ( ), za sve realne brojeve. (ii) f ( ) d =. Funkciju f s ovim dvama svojstvima zovemo funkcijom gustoće vjerojatnosti. Dakle, svaka ovakva funkcija definira neku razdiobu vjerojatnosti kontinuirane slučajne varijable. 3. Vjerojatnost da slučajna varijabla X, koja ima funkciju gustoće f, poprimi vrijednost na intervalu [a,b], jednaka je površini ispod grafa funkcije f od =a do =b (integral). 4. Iako ima puno takvih funkcija f, nas će u praksi zanimati samo nekoliko takvih funkcija (odnosno nekoliko tipova ili klasa takvih funkcija, što ćemo vidjeti poslije). 5. Možemo li opravdati to da funkciju f možemo integrirati na svim podintervalima? Rekli smo da f opisuje kako je jedinična masa razmazana po -osi (na početku je to bilo samo po intervalu). Razumno je pretpostaviti da dok kist vučemo neprekinuto, onda će i pripadna funkcija koja opisuje gustoću namaza biti neprekinuta. Također, razumno je pretpostaviti da ćemo, možda nekoliko puta zastati, pa potom nastaviti. Na tim mjestima funkcija f će možda biti prekinuta jer ćemo nastaviti razmazivanje po drugom pravilu. Tako će funkcija f biti po dijelovima neprekinuta, a kako je ukupna masa koju razmazujemo konačna, ona će imati integral na svakom podintervalu. 6. Formule. i. koje definiraju funkciju gustoće treba gledati u analogiji s diskretnom slučajnom varijablom. Tako je formula. kontinuirani analogon uvjeta:. p i >, za sve i (vjerojatnosti su pozitivne; eventualno se može dopustiti da budu ), a formulu. kao analogon formule p i = (ukupna vjerojatnost je ).
5 Jasno je da se formula za vjerojatnost da slučajna varijabla X poprimi vrijednost na nekom intervalu može smatrati analogijom one za diskretnu varijablu (integral od donje do gornje granice zamjenjuje prijašnje zbrajanje vjerojatnosti). Poslije ćemo vidjeti da se ta analogija provlači i dalje: na očekivanje, varijancu i sl. Dakle, jednolika funkcija gustoće u prvom primjeru mogla bi se zapisati kao: f()=/, za od do =, inače, dok bi se linearna funkcija gustoće iz primjera. mogla zapisati kao: f()=, za od do, =, inače. Jasno je da se sve važno kod prve od ovih dviju funkcija događa na intervalu [,], a kod druge na intervalu [,]. Evo jednog primjera funkcije gustoće f koja nije jednaka niti za jedan. Primjer 3. Pokažimo da je varijable X. f ) = π ( + ) funkcija gustoće vjerojatnosti neke slučajne ( Ta je funkcija očito definirana za svaki realni broj i također je očito da je ona strogo pozitivna (time je potvrđen prvi uvjet koji mora zadovoljavati funkcija gustoće). Da bismo potvrdili drugi uvjet moramo izračunati površinu ispod grafa funkcije f. π π d = arctg = ( ( )) = ( + ) π π π Time je pokazano da je f funkcija gustoće vjerojatnosti. Pogledajmo kako možemo računati vjerojatnosti na intervalima. b p(a<x<b)= = ( arctgb arctga) a π ( + ) π To smo mogli ovako jer je pripadna funkcija gustoće f imala primitivnu funkciju ( tj. funkciju kojoj je derivacija jednaka f ) pa se računanje integrala svodi na oduzimanje dviju vrijednosti primitivne funkcije. Zaključujemo da bi nam bilo dobro uvijek znati primitivnu funkciju funkcije f. Tako za računanje vjerojatnosti ne bismo trebali integrirati, već samo oduzimati. Kako znamo, primitivna je funkcija određena do na konstantu, što znači da kada znamo jednu, sve se ostale dobiju dodavanjem konstante. Od svih tih, izabrat ćemo jednu i dati joj posebno ime. Definicija. Funkcija distribucije vjerojatnosti slučajne varijable X jest, prema definiciji, funkcija F: R R, zadana uvjetom: F():=p(X<) (vrijednost te funkcije u realnom broju jest vjerojatnost da ta slučajna varijabla poprimi rezultat manji od tog ). Pokazat ćemo da je upravo ta funkcija jedna od primitivnih funkcija funkcije f. Prije toga navedimo nekoliko njenih svojstava koje proizlaze iz njene definicije.
6 . očito je F rastuća (jer se povećanjem broja ne može ukupna vjerojatnost do tog mjesta smanjiti),. očito je da F prima vrijednosti između i (jer su njene vrijednosti neke vjerojatnosti) 3. razumno je pretpostaviti da joj je limes kad ide u beskonačnost upravo (jer je ukupna vjerojatnost ), a da joj je limes kad ide u beskonačnost jednaka. 4. razumno je pretpostaviti i da je ta funkcija neprekinuta (jer malim promjenama vrijednosti, malo se mijenja i vjerojatnost). Sva ta svojstva izravno se dokazuju iz sljedeće veze: F ( ) = p( X < ) = p( < X < ) = f ( t) dt. Tu smo ispod integrala stavili varijablu t, jer je gornja granica integrala (pa da ne dođe do zabune). Tako smo funkciju F opisali pomoću funkcije f. Obratno, iz definicije primitivne funkcije, sada slijedi da je: F ()=f() za sve osim onih u kojima funkcija f ima prekid (a takvih je mjesta konačno mnogo; dopušta se i općenitija situacija, ali mi se ograničavamo na ovu). Dakle F je primitivna funkcija funkcije f (odnosno to je barem po dijelovima). Sada je. p ( a < X < b) = f ( ) d. b a =F(b)-F(a).
7 Primjer 4. Pokažimo da je funkcija f zadana s f()=, za <- =+, za - =/, za < =, za > funkcija gustoće neke kontinuirane slučajne varijable X. Odredimo funkciju distribucije od X i nacrtajmo slike. Prije rješavanja komentirajmo kako možemo zamišljati ovu funkciju. Netko je jediničnu masu razmazao po intervalu [-,] tako da je prvim potezom kista razmazao polovicu mase
8 po intervalu [-,] jednoliko pojačavajući gustoću namaza, potom je zastao i ostatak jednoliko razmazao po ostalom dijelu, tj. po intervalu <,]. Da bismo riješili problem, prvo treba pokazati da je f ( ) za sve, za što jedino treba provjeriti da izraz + nije negativan niti za jedan u intervalu [-,]. Kako je f(-)=, f()= i kako f raste na tom intervalu (tu je f linearna funkcija), f ne može biti negativna na tom intervalu. Drugi je uvjet f ( ) d =, što u ovom slučaju postaje ( + ) d + d =, što se lako pokaže, pa je f funkcija gustoće. Napomenimo da se ovaj uvjet nije morao raditi pomoću integrala, već se mogla elementarno izračunati površina ispod grafa funkcije f: to je zbroj površina (pravokutnog) trokuta što ga s koordinatnim osima čini pravac s jednadžbom y=+ (a to je jednako /) i pravokutnika što ga pravac s jednadžbom y=/ čini s -osi od = do = (i to je /, ukupno ). Funkciju distribucije određujemo pomoću formule f ( ) = f ( t) dt, a kako je f zadana po dijelovima, različitim načinima treba i integrirati po dijelovima (u ovom zadatku se čak ne treba ni integrirati već površine računati elementarno). Dakle: F() =, za <- (jer je tu i f nula pa nema površine) = ( t + ) dt, za - =površina do + dt, za < =, za >, (jer je do = ukupna površina već ) Nakon računanja dobijemo: F() =, za <- = /++/ za - = /+(/) za < = za >.
9 Napomene:. Na grafu funkcije F uočite da je neprekinuta, rastuća (ali ne strogo) i da su joj vrijednosti između i.. F je derivabilna funkcija osim za konačno vrijednosti. To treba provjeriti samo za =-, =, = tako da se gledaju derivacije s lijeva i s desna (koje uvijek postoje) i provjerava jesu li jednake. U = -, obje su derivacije pa je F derivabilna i u. U =, derivacija s lijeva je, a s desna / pa F nije derivabilna u. U =, derivacija s lijeva je /, a s desna pa F nije derivabilna ni u. Dakle za sve osim za = i =, F je derivabilna i vrijedi F ()=f(). 3. Pokušajte sami obrazložiti zašto je kao u., pa poslije pogledajte objašnjenje. Vrijednost funkcije F za neki, dobije se tako da se izračuna površina ispod grafa funkcije f do toga. Dokle je f neprekinuta, površina ispod nje se takeđer neprekinuto mijenja, štoviše mijenja se glatko (tj. F ima prvu derivaciju, tj. brzinu promjene, ali ne nužno svuda i drugu derivaciju), međutim tamo gdje f ima prekid (skok), površina će se neprekinuto nastaviti povećavati (sa slike je jasno da površina nema skok), ali neće biti derivabilna u toj točki. Očekivanje i varijanca kontinuirane slučajne varijable. Ove dvije važne karakteristike definiramo prema uzoru na diskretan slučaj. Tamo je razdioba vjerojatnosti bila u analogiji sa sustavom čestica na pravcu, očekivanje je odgovaralu težištu sustava čestica, a varijanca momentu inercije oko težišta. Sad umjesto sustava čestica imamo jediničnu masu raspoređenu po pravcu (skupu realnih brojeva), a način kako je ona raspoređena zadan je funkcijom gustoće f ( koja se inače, obično u mehanici, označava slovom ρ ). Dakle:
10 E ( X ) = f ( ) d (u usporedbi s diskretnim slučajem, suma se zamjenjuje integralom, i s, a p i s f()d). V ( X ) = ( E( X )) f ( ) d U ovim formulama, a i inače kad je riječ o slučajnim varijablama, treba lučiti oznaku X (za slučajnu varijablu) od oznake (za realnu varijablu tj. bilo koji realni broj). Napomene:. Kao i prije, očekivanje ima značenje točke u kojoj je ravnoteža. Taj broj može biti i pozitivan i negativan.. Varijanca, kao i prije, mjeri stupanj rasipanja oko očekivanja. Iz formule se vidi da je uvijek pozitivna (jer integriramo funkciju koja je umnožak jedne funkcije koja je kvadrat i druge koja je pozitivna, prema definiciji, tj. računamo površinu ispod grafa funkcije koji je iznad osi ). Zato, kao i prije, možemo definirati standardnu devijaciju slučajne varijable X: s(x) = V (X ). 3. Za računanje u konkretnim slučajevima pogodnija je druga formula za varijancu (a dobije se lako iz ove, kao i prije): V ( X ) = f ( ) d E ( X ). Tu, kao i obično, E (X) znači (E(X)). Primjer 5. Izračunajmo očekivanja i varijance slučajnih varijabla iz prethodnih primjera.. f() := /, za iz [,] :=, inače. Na osnovi slike (jednolika razdioba), odmah nam mora biti jasno da je očekivanje. Ipak izračunajmo. E ( X ) = f ( ) d
11 = = = d 4 4 V ( X ) = f ( ) d E ( X ) = = = d f() :=, za iz [,] :=, inače. E ( X ) = d =. 3 Iz slike je jasno zašto je očekivanje bliže nego. 4 V ( X ) = d = 9 8 Pokušajte dati fizikalne razloge zbog kojih je u ovome slučaju varijanca bitno manja nego u prethodnom. 3. f() := +, za između i := /, za između i :=, inače.
12 Prije računanja pokušajte odoka ocijeniti hoće li očekivanje biti pozitivno ili negativno. E ( X ) = ( + ) d + d = ( + / 3 / ) + / 4 =. 3 V ( X ) = ( + ) d + d 44 = ( / 4 + / 3) + / 6 /44 = Eksponencijalna razdioba. Vrijeme izmedju dvaju kvarova na nekom uređaju ili stroju, nije egzaktno određeno (odnosno mi, sa sadašnjim znanjem, nismo sposobni to odrediti), već je slučajno. Slično je s vremenom izmedju dvaju posjeta neke adrese, poziva na nekom telefonu, izmedju dvaju radioaktivnih raspada, vremenom rada do kvara neke žarulje i sl. Zato ima smisla govoriti o slučajnoj varijabli koja registrira vrijeme izmedju dvaju kvarova, trajanja neke žarulje i sl.. Kad se kaže neke, onda to treba pojasniti. Vrijeme trajanja ovisi o mnogim faktorima. Da bismo imali određeniju situaciju pretpostavimo da razmatramo žarulje istog proizvođača, koje su proizvedene istom tehnologijom od istog proizvođača. Ipak neke od njih imaju kraće, a neke duže vrijeme trajanja koje ne možemo lako dokučiti. ato je vrijeme trajanja slučajno izabrane takve žarulje slučajna varijabla. Da bismo sebi malo situaciju pojasnili možemo testirati mnogo takvih žarulja i tako doći do predodžbe o prosječnom vijeku trajanja takvih žarulja, a i o distribuciji vremena trajanja (time se bavi statistika i o tome ćemo više govoriti poslije). Neka je X slučajna varijabla koja registrira vrijeme trajanja žarulje. Intuitivno je jasno da će se vjerojatnost da žarulja traje smanjivati tijekom vremena, pa je razumno pretpostaviti da je funkcija gustoće vjerojatnosti f slučajne varijable X padajuća (za pozitivne, a za negativne, prirodno, jednaka je ). Dakle: f() je padajuća za > = za <. Znademo još da će površina ispod grafa te funkcije biti. Ima jako puno funkcija koje to zadovoljavaju, međutim, iz konkretnih ispitivanja (o kojima ćemo više govoriti u statistici), ali i iz razumnih fizikalnih pretpostavaka (o kojima nećemo govoriti), može se prihvatiti ne samo to da funkcija f pada već i da eksponencijalno pada (za pozitivne ). To znači da je:
13 f() = ae - λ, za > gdje je e baza prirodnog logaritma, a λ i a pozitivni realni brojevi ( drugi zato da f bude pozitivna, a prvi zato da f bude padajuća). Vezu između tih brojeva dobit ćemo ako uzmemo u obzir da je pripadna površina jednaka. Jednadžba: λ e a d =, postaje a =, tj. a= λ. λ To nas upućuje na sljedeću definiciju. Definicija. Kažemo da slučajna varijabla X ima eksponencijalnu razdiobu s parametrom λ >, ako joj je funkcija gustoće vjerojatnosti f ( ) = λe λ, za > =, inače. Ako je tako, pišemo X ~E( λ ). Dakle, ima beskonačno mnogo eksponencijalnih razdioba (čak neprebrojivo mnogo), ali sve su slične i parametrizirane su pozitivnim parametrom λ. Nabrojili smo više različitih (ali sličnih) pojava koje se približno ponašaju prema eksponencijalnom zakonu. Parametar λ Razlikuje medjusobno te pojave (žarulje različitih kvaliteta, stranice različitih posjećenosti, rzličite radioaktivne materije i sl.). Primjer 6. Nacrtajmo u istom koordinatnom sustavu i uočimo međusobni odnos funkcija gustoće eksponencijalnih razdioba za λ =, λ =/, λ =.
14 Uočavamo da je krivulja to strmija što je parametar λ veći, tj. brže se približava -osi. Ako to primijenimo na činjenicu da X registrira vrijeme trajanja, zaključujemo da bi vrijeme (dakle i prosječno vrijeme) trajanja moglo biti obrnuto proporcionalno s λ. To ćemo sada i dokazati tako što ćemo pokazati da je, ako je X~E( λ ), onda je E(X) = / λ. Naime: λ λ λ e E ( X ) = λe d = ( e ) = ( / λ) =. λ λ (pažljivo provjerite preskočene korake u gornjem računu; uputa: riječ je o parcijalnoj integraciji i L Hospitalovu pravilu; gdje se u računu primjenjuje da je λ >?). Slično, ali tehnički nešto teže dobije se: V ( X ) =. λ Prije računanja vjerojatnosti odredimo funkciju distribucije F eksponencijalne razdiobe. F() =, za nepozitivne = λe λt = e dt λ Dakle, za pozitivne je F() = e λ. Nacrtajmo sliku. Vidimo da graf funkcije na početku naglo raste, a poslije se smiruje. To znači da se vjerojatnost dosta rano potroši (objasnite što to praktički znači). Primjer 7. Prosječno vrijeme rada žarulje je 8 sati. Odredimo vjerojatnost: a) da žarulja radi bar 8 sati b) da žarulja radi manje od 6 sati.
15 c) da žarulja radi između 5 i sati. Prije rješavanja pokušajte na ova pitanja odgovoriti odoka. Da bismo riješili ovaj problem prihvatit ćemo pretpostavku da je vrijeme trajanja žarulje eksponencijalno distribuirano. Dakle, ako slučajna varijabla X registrira vrijeme trajanja žarulje, onda je: X~E(/8). Tu smo izabrali λ =/8 jer prosječno vrijeme trajanja 8 (sati), a taj broj odgovara očekivanju slučajne varijable X, a ono je / λ. Sad se problemi mogu shvatiti ovako: a) p(x 8) = p(8<x< ) =-F(8) = -(-e -8/8 )=.3679 (na 4 decimalna mjesta) b) p(x<6) = p(- <X<6) = F(6)- = -e -6/8 =.576 c) p(5<x< ) = F( )-F(5) = (-e -/8 )-(-e -5/8 ) =.488. Normalna (Gaussova) razdioba. To je najvažnija razdioba u teoriji, ali i u primjeni vjerojatnosti. Tu razdiobu (približno) imaju mnoge slučajne varijable koje nastaju u praksi, primjerice slučajna varijabla koja a) registrira grješku pri mjerenju b) registrira rezultat mjerenja (na pr. mase, visine, postotka, inteligencije, ) c) registrira rezultate pri dobro odmjerenom pismenom ispitu itd. S druge strane, do ove razdiobe može se doći statistički (o čemu će više biti riječ poslije). Naime kad se izvodi veći broj nezavisnih mjerenja neke veličine, pa se gleda prosječan rezultat, dolazi se do normalne razdiobe (približno, a u limesu točno; to se može točno matematički opisati). Razmotrimo nekoliko heurističkih razloga koji nam daju naslutiti da će se grješke pri mjerenju ponašati prema normalnom zakonu (poslije ćemo točno reći o kakvoj je razdiobi riječ). Neka slučajna varijabla X registrira grješku pri mjerenju (koju ne možemo egzaktno opisati jer nastaje slučajno, čak i kod najpreciznijih instrumenata) i neka je f funkcija gustoće od X. Tada je prirodno, uz činjenicu da je površina ispod grafa od f jednaka, predpostaviti sljedeće:. grješke teoretski mogu biti po volji velike, pa je f definirana i pozitivna za sve realne brojeve.. grješke su simetrično raspoređene oko, pa je f parna funkcija. 3. najvjerojatnije su grješke oko nule, a kako idemo dalje vjerojatnost da greška bude u nekom malom intervalu stalne duljine, smanjuje se. Zato je f padajuća funkcija za >.
16 4. Trebala bi postojati familija takvih f, ovisnih o nekom parametru, koje bi opisivale grješke (jer jedna je funkcija za instrument koji radi male, a druga za neki koji radi velike grješke; ipak te funkcije trebaju biti slične). Ako bismo tome dodali neke druge razumne uvjete ili da smo (zbog zdravog razuma, ali i statističkih razloga) pretpostavili da f za > eksponencijalno opada, ostale bi nam, kao najjednostavnije, mogućnosti tipa: b f ( ) = ae, gdje su a,b neki pozitivni realni brojevi ( smo stavili radi parnosti, a predznak minus da bi funkcija bila padajuća). Koristeći poznatu činjenicu da je: e d = (*) π lako bismo došli do veze između parametara a i b, i do toga da se f može zapisati kao: = e, σ > (**) σ f ( ) σ π Graf te funkcije zove se gaussova krivulja; ona je. zvonolika oblika s tjemenom u =.. simetrična s obzirom na y-os, 3. ima točke infleksije u = ± σ. 4. Odoka vidimo da je površina između tih dviju vrijednosti veća od /, poslije ćemo to izračunati preciznije. To ćemo približiti na primjeru. Pretpostavimo da je grješka pri očitavanju rezultata na nekom mjernom istrumentu normalno distribuirana uz σ =.. Tu činjenicu možemo tumačiti kao: vjerojatnost da grješka bude između. i. je veća od / (poslije ćemo vidjeti da je ona oko /3). To znači da je vjerojatnost da grješka bude veća od. ili manja od., manja od / (poslije ćemo vidjeti da je ona oko /3). 5. Što je σ veći, krivulja je spljoštenija (površina je rasturenija); to govori o tome da su grješke raspršenije, dakle veće. Obratno, što je σ manje, krivulja je uža i viša; znači grješke su manje, koncentrirane su oko.
17 6. Za slučajnu varijablu X koja ima ovakvu funkciju gustoće kažemo da je normalna i pišemo: X~N(, σ ). Specijalno, ako je σ =, kažemo da je razdioba jedinična normalna (ili standardna) i tada pišemo: X~N(, ). Često jediničnu razdiobu označavamo s T, a njenu funkciju gustoće s ϕ. Dakle: ϕ ( ) = e π Da je sa (**) zadana funkcija gustoće (tj. da je površina ispod krivulje ) proizlazi iz (*), samo se kod integriranja primjeni očita zamjena varijable. Također je očito da sve ove razdiobe imaju očekivanje (zbog simetričnosti); tko hoće to može i dokazati (izravno ili korištenjem svojstva neparnosti). Lako se može dokazati (parcijalna integracija, zamjena varijable i formula (*)) da je varijanca ove razdiobe σ. Dakle: Ako je X~N(, σ ), onda je E(X) =, i V(X) = σ. Napomena.. Ako graf funkcije f pomaknemo za µ onda se tjeme pomakne za taj isti µ (pomak će biti udesno ako je µ >, u suprotnom bit će ulijevo). Pomicanjem za µ funkcija postaje: µ ) ( σ ( ) f = e, σ π. Ovako pomaknuta funkcija također je funkcija gustoće (pomakom se površina ne mijenja). Slučajnu varijablu X koja ima takvu funkciju gustoće pišemo kao: X~N( µ,σ ). Pritom se očekivanje također pomakne za µ pa je. E(X) = µ. Varijanca se ne mijenja (krivulja po izgledu ostaje potpuno ista) pa je: V(X) = σ.
18 Sve se to može potvrditi i računom. 3. Pomaknuta krivulja ima slična svojstva kao i ona početna, samo što je os simetrije pravac s jednadžbom = µ (a ne više -os). Sada imamo konačnu definiciju. Definicija 3. Kažemo da kontinuirana slučajna varijabla X ima normalnu razdiobu s parametrima µ i σ, ako joj je funkcija gustoće: µ ) ( σ ( ) f = e. σ π Pri tom je parametar µ očekivanje, a parametar σ varijanca te slučajne varijable. Računanje vjerojatnosti kod normalne razdiobe. Već smo vidjeli da se vjerojatnost kod kontinuirane razdiobe najlakše računa ako nam je poznata funkcija distribucije (tada se vjerojatnost da slučajna varijabla poprimi rezultat na nekom intervalu svodi na oduzimanje vrijednosti te funkcije u rubovima tog intervala). U slučaju normalne razdiobe ne može se funkcija distribucije zapisati pomoću poznatih elementarnih funkcija (već samo pomoću beskonačnih redova potencija ili nekih drugih funkcija čije se vrijednosti ne mogu lako računati, na primjer, nisu dostupne na svakom kalkulatoru; jasno je da se, koristeći na primjer Simphsonovu metodu, može napraviti program koji će po volji precizno računati vrijednosti te funkcije). Zato su obično vrijednosti funkcije distribucije normalne razdiobe tabelirane. Tu je dobra vijest da ne treba tabelirati te vrijednosti za sve normalne razdiobe (kojih ima neprebrojivo mnogo i ovisni su o dvama spomenutim parametrima), već je dovoljno tablicu načiniti za jediničnu normalnu razdiobu. Kako je jedinična normalna razdioba simetrična s obzirom na y-os, dovoljno će biti tabelirati vrijednosti za pozitivne. Sad ćemo pobliže to objasniti. Kako je poznato, funkciju distribucije F, neke slučajne varijable X, definirana je kao: F() = p(x<) i ona je primitivna funkcija funkcije gustoće f i može se zapisati i kao:
19 F() = f ( t) dt (što je površina ispod grafa od f do ). U slučaju jedinične normalne razdiobe, površina do je / pa možemo pisati: F() = / + ϕ ( t) dt, gdje smo uvažili činjenicu da funkciju gustoće jedinične normalne razdiobe pišemo oznakom ϕ (gornja je jednakost geometrijski jasna za >, međutim ona vrijedi i za <; onda je vrijednost integrala negativna). Označimo; Φ () := ϕ ( t) dt (površina ispod grafa funkcije ϕ od do ). Dakle: F() = / + Φ (), odnosno Φ ()=F()-/ (to vrijedi za sve ). Kako je F primitivna funkcija od ϕ, a Φ se od nje razlikuje samo za konstantu ( za /), onda je i Φ primitivna funkcija od ϕ, pa se i pomoću nje mogu računati vjerojatnosti kod jedinične normalne razdiobe. Dakle, neka je T jedinična normalna razdioba i a,b bilo koja dva realna broja takva da je a<b. Tada je. b p(a<t<b) = ϕ ()d (prema definiciji vjerojatnosti kod kontinuirane razdiobe) a = F(b)-F(a) (gdje je F pripadna funkcija distribucije) = (/ + Φ (b)) (/ + Φ (a)) = Φ (b) - Φ (a). Funkcija Φ zove se Laplaceova funkcija.
20 Zašto nam je Φ zgodnija od F za računanje vjerojatnosti? Zato što je ona neparna funkcija: Φ (-) = Φ (), za sve (to proizlazi iz njene definicije, ali i iz geometrijske interpretacije), pa, kad tabeliramo njene vrijednosti za pozitivne, pripadajuće vrijednosti za negativne odmah dobivamo. To bismo mogli i za F, ali bi tada formula bila drukčija: F(-) = -F(), što je, svakako, teže uvijek računati nego samo staviti negativni predznak. Treba ipak napomenuti da je u mnogim tablicama tabelirana F, a ne Φ. Osnovna geometrijska razlika između tih dviju funkcija jest da je graf od F između i, a graf od Φ između / i /. Jednakostima: F( )=, F(- )=, F()=/ Odgovaraja redom Φ ( )=/, Φ (- )=-/, Φ ()= Jasno je da ne možemo tabelirati svaku vrijednost za pozitivne, već samo neke (dovoljno gusto), pa ostaje problem dokle ćemo daleko raditi. Tu imamo sreću što funkcija ϕ eksponencijalno opada pa će vrlo brzo ispod nje ostati beznačajno malo površine. Tako se obično tabelira do =4 (a može i do =3). Sad je jasno da će se rezultati za iste vjerojatnosti razlikovati ovisno o tome kako su precizno tablice izrađene (danas uglavnom svi bolji kalkulatori mogu računati vrijednost funkcije F, a katkad i Laplaceove funkcije). Pokažimo na nekoliko primjera kako se koristi Laplaceova funkcija za računanje vjerojatnosti. Primjer 8. Neka je X slučajna varijabla s jediničnom normalnom razdiobom. Odredimo: (i) p(<x<.4) (v) p(-.79<x<-.54) (i) p(-5<x<.4). (ii) p(-.73<x<) (vi) p(x>.3) (iii) p(-.37<x<.) (vii) p( X <.5) (iv) p(.65<x<.6) (viii) p(x<.4) (i) p(<x<.4) = Φ (.4) - Φ () = Φ (.4) =.4 (ii) p(-.73<x<) = Φ () - Φ (-.73) = -(-( Φ (.73)) = Φ (.73) =.673 (iii) p(-.37<x<.) = Φ (.)- Φ (-.37) = Φ (.)+ Φ (.37)=.895 (iv) p(.65<x<.6) = Φ (.6)- Φ (.65) = =.54
21 (v) p(-.79<x<-.54) = Φ (-.54)- Φ (-.79) = Φ (.79)- Φ (.54) =.579 (vi) p(x>.3) = Φ (.3<X< ) =.5 - Φ (.3) =.9 (vii) p( X <.5) = p(-.5<x<.5) = Φ (.5) - Φ (-.5)= Φ (.5)=.383 (viii) p(x<.4) = p(- <X<.4) = Φ (.4)-(-.5) = Φ (.4)+.5 =.9 (vidi a)) (i) Tu je rezultat kao i u prethodnom primjeru (približno) jer je Φ (-5) praktično jednako.5. Slično, ako je a>4, onda je Φ (a) =.5 (uz veliku točnost). Napomena.. Svi bi rezultati bili ostali isti da smo umjesto znakova <, > stavili na nekim (ili svim) mjestima znakove,. To je zato što je riječ o kontinuiranoj razdiobi.. Svaki od ovih rezultata i pojedini brojevi koji u njima sudjeluju imaju geometrijske interpretacije koje bi trebalo razumjeti. Pokazali smo kako se računa vjerojatnost standardne normalne razdiobe. Sad ćemo vidjeti kako se računa vjerojatnost bilo koje normalne razdiobe. Neka je X~N( µ,σ ), i neka su a, b realni brojevi takvi da je a<b. Tada je: b ( µ ) σ e d µ p(a<x<b) = σ π (nakon zamjene varijable = t ) σ a b µ σ t e a µ π σ = dt (ispod integrala je funkcija ϕ ) b µ a µ = Φ( ) Φ( ). σ σ Dakle, računanje vjerojatnosti po volji odabrane normalne razdiobe, svodi se na računanje vjerojatnosti jedinične normalne razdiobe tj. do oduzimanja vrijednosti funkcije Φ. Ovaj smo rezultat izveli pomoću zamjene varijable u određenom integralu, međutim on ima i druga objašnjenja, na primjer geometrijska (lako se vidi da bilo koja normalna razdioba pomakom suprotno od očekivanja, potom dijeljenjem sa standardnom devijacijom postaje jedinična normalna razdioba; to grafovi funkcija gustoće lijepo prate). Pokažimo to na primjeru. Primjer 9. Težina neke populacije normalno je distribuirana s prosječnom težinom 66 kg i standardnom devijacijom 5kg. Odredimo vjerojatnost da slučajno odabrani predstavnik te populacije ima: a) težinu između 65 i 7 kilograma. b) težinu veću od 7 kg.
22 Neka slučajna varijabla X registrira težinu slučajno odabranog predstavnika te populacije. Iako je ovo situacija iz života na nju ćemo primjeniti normalnu razdiobu (koja odgovara idealnim uvjetima). Zato je X~N(65,5 ), jer očekivanje treba biti prosječna vrijednost, a standardna je devijacija propisana u zadatku (poslije ćemo, u statistici, vidjeti kako se u takvim praktičnim slučajevima određuje standardna devijacija). Zadatke možemo shvatiti ovako: a) p(65<x<7) = Φ ( ) Φ( ) 5 5 = Φ (.8)- Φ (-.) = b) p(x>7) =.5 - Φ ( ) =.5 - Φ (.) =.5. 5 Tu smo.5 uzeli jer je tu gornja granica beskonačna, a ispravno shvaća pomoću limesa). 66 = 5 (ta se jednakost Pravilo tri sigme. Najvažnije svojstvo normalne razdiobe u primjenama, jest to da interval unutar kojega se nalazi gotovo % svih vrijednosti slučajne varijable, ovisi samo o očekivanju i standardnoj devijaciji (to je za po 3 standardne devijacije lijevo i desno od očekivanja). Preciznije, neka je X~N( µ,σ ). Tada je p ( µ 3σ < X < µ + 3σ ) =.9973 Također je. p ( µ σ < X < µ + σ ) =.9544 p ( µ σ < X < µ + σ ) =.686 Znači s 95% sigurnošću možemo tvrditi da se neka veličina normalno distribuirana nalazi za najviše standardne devijacije lijevo ili desno od očekivanja (to znači da je u tom intervalu više od 95% površine ispod pripadne krivulje. Slično, vidimo da za standardnu devijaciju lijevo i desno od oćekivanja ima oko /3 površine ispod te krivulje (to je ono što smo ranije odoka procjenjivali da je više od jedne polovine). Primjer. Odredimo interval unutar kojeg se nalazi težina slučajno odabrane osobe iz Primjera 9: (i) s vjerojatnošću oko.68 (ii) s vjerojatnošću oko.95 (iii) gotovo % U Primjeru 9 je riječ o normalnoj razdiobi s µ =66 i σ =5, pa je, prema pravilima jedan sigma, dva sigma i tri sigma :
23 (i) [66-5,66+5]=[6,7], tj. p(težina slučajno izabrane osobe je između 6 i 7).68 (ii) [ 66 5, ]=[56, 76], tj. p(težina slučajno izabrane osobe je između 56 i 76).95 (ii) [ , ]=[5, 8], tj. gotovo sve osobe imaju težinu izmedju 5 i 8.
5. lekcija. Kontinuirane slučajne varijable.
5. lekcija. Kontinuirane slučajne varijable. Diskretne slučajne varijable povezane su s prebrojavanjem u nekom pokusu. One primaju konačan skup vrijednosti (ili možda beskonačan, ali je tada nužno prebrojiv
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραFunkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραU teoriji vjerojatnosti razmatraju se događaji koji se mogu, ali ne moraju dogoditi. Takvi se događaji zovu slučajnim događajima.
Sažetak vjerojatnost Skup ishoda U teoriji vjerojatnosti razmatraju se događaji koji se mogu, ali ne moraju dogoditi. Takvi se događaji zovu slučajnim događajima. Jednostavne događaje u nekom pokusu zvat
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραSlučajne varijable. Diskretna slučajna varijabla X je promjenjiva veličina koja poprima vrijednosti iz skupa
Slučajne varijable Statistički podaci su distribuirani po odredenoj zakonitosti. Za matematičko (apstraktno) opisivanje te zakonitosti potrebno je definirati slučajnu varijablu kojoj pripada odredena razdioba
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότερα3 Populacija i uzorak
3 Populacija i uzorak 1 3.1 Slučajni uzorak X varijabla/stat. obilježje koje izučavamo Cilj statističke analize na osnovi uzorka izvesti odredene zaključke o (populacijskoj) razdiobi od X 2 Primjer 3.1.
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραSlučajne varijable Materijali za nastavu iz Statistike
Slučajne varijable Materijali za nastavu iz Statistike Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 1 Slučajna varijabla Slučajna varijabla je funkcija X koja elementarnim dogadajima pridružuje
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραVJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.
Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,
Διαβάστε περισσότερα2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραKONTINUIRANE SLUČAJNE VARIJABLE
KONTINUIRANE SLUČAJNE VARIJABLE Kontinuirana slučajna varijabla može poprimiti neprebrojivo (beskonačno mnogo vrijednosti. KONTINUIRANE SLUČAJNE VARIJABLE UVOD Razlike diskretnih i kontinuiranih slučajnih
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότερα4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA
. Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili
Διαβάστε περισσότεραPISMENI ISPIT IZ STATISTIKE
1. a) Trgovina odjeće prodaje odjeću u tri različite veličine: 32% veličine S, 44% veličine M i ostatak veličine L. Pokazalo se da je postotak odjeće s greškom redom 1%, 5% i 2%. Ako je trgovina ustanovila
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότερα2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Διαβάστε περισσότερα9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότεραDeterminante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραPošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραSadrˇzaj. Sadrˇzaj 1 9 DVODIMENZIONALNI SLUČAJNI VEKTOR DISKRETNI DVODIMENZIONALNI
Sadrˇzaj Sadrˇzaj DVODIMENZIONALNI. DISKRETNI DVODIMENZIONALNI............................ KONTINUIRANI -dim tko želi znati više.............................. 5. KOVARIJANCA, KORELACIJA, PRAVCI REGRESIJE........
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραJednodimenzionalne slučajne promenljive
Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότερα16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum
16 Lokalni ekstremi Važna primjena Taylorovog teorema odnosi se na analizu lokalnih ekstrema (minimuma odnosno maksimuma) relanih funkcija (više varijabli). Za n = 1 i f : a,b R ako funkcija ima lokalni
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραGRAĐEVINSKI FAKULTET SVEUČILIŠTE U RIJECI. Specijalistički diplomski stručni studij građevinarstva NORMALNA RAZDIOBA.
GRAĐEVINSKI FAKULTET SVEUČILIŠTE U RIJECI Specijalistički diplomski stručni studij građevinarstva NORMALNA RAZDIOBA Seminarski rad KOLEGIJ: Odabrana poglavlja inženjerske matematike AKADEMSKA GODINA: 2016/2017
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:
ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg
Διαβάστε περισσότεραViše dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu
Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότερα10. domaća zadaća. 3. Neka je X neprekidna slučajna varijabla takva da je X N(0, 1). S točnošću od odredite:
Napomena: U svim zadacima treba koristiti tablicu standardne normalne razdiobe. 1. Neka je X neprekidna slučajna varijabla takva da je X N(0, 1). S točnošću od 10 5 odredite: a) P(X 1.16), b) P(X 0.59);
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) dy df dg. =, ( x) e = e, ( ) ' x. Zadatak 001 (Marinela, gimnazija) Nađite derivaciju funkcije f(x) = a + b x. ( ) ( )
Zadatak (Mariela, gimazija) Nađite derivaciju fukcije f() a + b c + d Rješeje Neka su f(), g(), h() fukcije ezavise varijable, a f (), g (), h () derivacije tih fukcija po Osova pravila deriviraja Derivacija
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραVJEROJATNOST popravni kolokvij veljače 2017.
Zadatak 1. (20 bodova) (a) (4 boda) Precizno definirajte pojam σ-algebre događaja na nepraznom skupu Ω. (b) (6 bodova) Neka je (Ω, F, P) vjerojatnosni prostor i A, B F događaji. Pomoću aksioma vjerojatnosti
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότερα2.7 Primjene odredenih integrala
. INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu
Διαβάστε περισσότερα4.1 Elementarne funkcije
. Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom
Διαβάστε περισσότερα2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1
2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.
Διαβάστε περισσότεραIZRAČUNAVANJE KONAČNIH SUMA METODIMA DIFERENTNOG RAČUNA
IZRAČUNAVANJE KONAČNIH SUMA METODIMA DIFERENTNOG RAČUNA Izlaganje - Seminar za matematičare, Fojnica 2017.g. Prof. dr. MEHMED NURKANOVIĆ Prirodno-matematički fakultet Univerziteta u Tuzli 13.01.2015. godine
Διαβάστε περισσότεραMatematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO
Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se
Διαβάστε περισσότεραSignali i sustavi - Zadaci za vježbu II. tjedan
Signali i sustavi - Zadaci za vježbu II tjedan Periodičnost signala Koji su od sljedećih kontinuiranih signala periodički? Za one koji jesu, izračunajte temeljni period a cos ( t ), b cos( π μ(, c j t
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραVJEROJATNOST I STATISTIKA 2. kolokvij lipnja 2016.
Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 0 min Ukupan broj bodova: 50 Zadatak.. kolokvij - 0. lipnja 0. (a Ako su X i Y diskretne slučajne varijable, dokažite da vrijedi formula E [X + Y ] = E [X] + E [Y ].
Διαβάστε περισσότεραPOTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE
**** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA
Διαβάστε περισσότερα( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραMate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
16. UVOD U STATISTIKU Statistika je nauka o sakupljanju i analizi sakupljenih podatka u cilju donosenja zakljucaka o mogucem toku ili obliku neizvjesnosti koja se obradjuje. Frekventna distribucija - je
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Διαβάστε περισσότερα