pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale
Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu egal depărtate de un punct fix C. Punctul C se numeşte centru, iar distanţa se notează cu R si se numeşte rază. În reperul R(O, i, j, k ) alegem coordonatele centrului C(a, b, c) şi avem (x a) 2 + (y b) 2 + (z c) 2 = R 2 (1)
Ecuaţia generală Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Ecuaţia generală a sferei este: x 2 + y 2 + z 2 + Ax + By + Cz + D = 0. (2) Deducem: - centrul de coordonate C( A 2, B 2, C 2 ) A - raza R = 2 + B 2 + C 2 D. 4
pe ecuaţii generale Reprezentare parametrică Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera are următoarea reprezentare parametrică x = a + R sin θ cos ϕ y = b + R sin θ sin ϕ z = c + R cos θ unde ϕ [0, 2π), θ (0, π). (3)
pe ecuaţii generale Dreapta tangentă la sferă Ecuaţia generală Probleme de tangenţă O dreaptă este tangentă la sferă dacă intersectează sfera în două puncte confundate. Punem condiţia ca sistemul { (x a) 2 + (y b) 2 + (z c) 2 = R 2 x x 0 l = y y 0 m = z z 0 n să aibă soluţie unică. Dacă M(x 0, y 0, z 0 ) este punctul de tangenţă, atunci condiţia de tangenţă revine la l(a x 0 ) + m(b y 0 ) + n(c z 0 ) = 0.
pe ecuaţii generale Planul tangent la sferă Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Locul geometric al dreptelor tangente la sferă se numeşte plan tangent la sferă în M 0 (x 0, y 0, z 0 ). Din condiţia de tangenţă avem v CM 0 = 0 unde v este vectorul director al dreptei. Ecuaţia planului tangent la sferă în M(x 0, y 0, z 0 ) este (x a)(x 0 a) + (y b)(y 0 b) + (z c)(z 0 c) = R 2.
pe ecuaţii generale Intersecţia unei sfere cu un plan Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Fie sfera (x a) 2 + (y b) 2 + (z c) 2 = R 2 şi planul (P) Ax + By + Cz + D = 0. Aa + Bb + Cc + D 1. Dacă d = d(c, (P)) = < R atunci sfera A 2 + B 2 + C 2 este intersectată de dreaptă după un cerc, care are raza r = R 2 d 2 şi centrul C = Pr (P) C. 2. Dacă d > R sfera şi planul nu au puncte comune. 3. Dacă d = R, planul este tangent la sferă.
pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Fie M i (x i, y i, z i ) i=1,4, 4 puncte necoplanare, adică satisfac x 1 y 1 z 1 1 x 2 y 2 z 2 1 x 3 y 3 z 3 1 0. x 4 y 4 z 4 1 Sfera determinată de cele 4 puncte are ecuaţia x 2 + y 2 + z 2 x y z 1 x1 2 + y 1 2 + z2 1 x 1 y 1 z 1 1 x2 2 + y 2 2 + z2 2 x 2 y 2 z 2 1 x3 2 + y 3 2 + z2 3 x 3 y 3 z 3 1 x4 2 + y 4 2 + z2 4 x 4 y 4 z 4 1 = 0.
Sfera pe ecuaţii generale are ecuaţia x 2 a 2 + y 2 b 2 + z2 c 2 1 = 0, unde a > 0, b > 0, c > 0. Proprietăţi: 1. O este centru de simetrie 2. Axele Ox, Oy, Oz sunt axe de simetrie 3. Planele xoy, yoz, xoz sunt plane de simetrie.
pe ecuaţii generale Reprezentare parametrică are reprezentarea parametrică x = a sin θ cos ϕ y = b sin θ sin ϕ z = c cos θ unde ϕ [0, 2π), θ (0, π).
pe ecuaţii generale Hiperboloidul cu o pânză Hiperboloidul cu o pânză are ecuaţia x 2 a 2 + y 2 b 2 z2 c 2 1 = 0, unde a > 0, b > 0, c > 0. Proprietăţi: 1. O este centru de simetrie 2. Axele Ox, Oy, Oz sunt axe de simetrie 3. Planele xoy, yoz, xoz sunt plane de simetrie.
pe ecuaţii generale Reprezentare parametrică Hiperboloidul cu o panză are reprezentarea parametrică x = a ch θ cos ϕ y = b ch θ sin ϕ z = c sh θ unde ϕ [0, 2π), θ R.
pe ecuaţii generale Hiperboloidul cu două pânze Hiperboloidul cu două pânze are ecuaţia x 2 a 2 + y 2 b 2 z2 c 2 + 1 = 0, unde a > 0, b > 0, c > 0. Hiperboloidul cu două pânze are reprezentarea parametrică unde ϕ [0, 2π), θ R. x = a sh θ cos ϕ y = b sh θ sin ϕ z = c ch θ
Paraboloidul eliptic Sfera pe ecuaţii generale Paraboloidul eliptic are ecuaţia unde a > 0, b > 0. x 2 a 2 + y 2 b 2 = 2pz,
pe ecuaţii generale Paraboloidul hiperbolic Paraboloidul hiperbolic are ecuaţia unde a > 0, b > 0. x 2 a 2 y 2 b 2 = 2pz,
Sfera pe ecuaţii generale este o cuadrică degenerată. Ecuaţia suprafeţei conice circulare cu vârful în origine are x 2 + y 2 = a 2 z 2.
Sfera pe ecuaţii generale este o cuadrică degenerată. Ecuaţia suprafeţei cilindrice circulare cu generatoarele paralele cu aza Oz este x 2 + y 2 = a 2.