ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΜΙΧΑΛΗΣ ΜΑΓΚΟΣ
. ΔΙΑΒΑΖΩ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ Σελ.303: Ορισμός (Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα) Σελ.304: Απόδειξη του Θεωρήματος Σελ.39-330: Η έννοια του ορισμένου ολοκληρώματος Σελ.330: τα μπλε πλαίσια Σελ.33: όλη Σελ.334: όλη Σελ.334-5: Απόδειξη του Θεωρήματος Σελ.336: το μπλε πλαίσιο Σελ.337: το μπλε πλαίσιο Σελ.34-345: ανάγνωση Σελ.346: το Σχόλιο Σελ.348: Η εφαρμογή είναι εκτός ύλης Σελ.354-9: τις ερωτήσεις κατανόησης. ΞΑΝΑΒΛΕΠΩ ΑΠΟ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: Σελ.308, 309: Α, Α3, Α4, Β, Β4 Σελ.338, 339, 340: Α5, Α6, Β, Β, Β3, Β4, Β5, Β6, Β7, Β8, Β9, Β0, Β, Β Σελ.349, 350, 35: Α, Α3, Α5, Β, Β, Β3, Β4, Β5, Β8, Β9, Β0, Β, Β Σελ.35, 353: Γ, Γ, Γ4, Γ5, Γ6, Γ7, Γ8, Γ9, Γ0 - -
ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΑΡΑΓΟΥΣΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ 0 c + c 3 4, ln + c c 5 συν ημ + c 6 ημ -συν + c 7 =+εφ εφ + c 8 =+σφ c 9 e e + c 0 α c ln ln c d, c c c c 4 5 6 7 c 8 e 9 ln e c c - 3 -
Πρόσεξε επίσης τα εξής: ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f ( ) f( ) f ( ) f ( ) ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ln f() + c f( ) c 3 f ()συν(f()) ημ(f()) 4 -f ()ημ(f()) συν(f()) f ( ) f( ) 5 ( ) f f( ) 6 εφ(f()) σφ(f()) 7 f ()e f ( ) e f ( ) + c Μην ξεχνάς ότι στα Μαθηματικά χρειάζεται καλή παρατήρηση και καθαρό μυαλό Παράδειγμα πρέπει να παρατηρήσεις ότι μια παράγουσα της: f ( ) είναι η: f( ) e - 4 -
ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ f ( ) d f ( ) d f ( ) d 0 Αν f συνεχής στο [α, β] και f() 0, τότε : f ( ) d 0 Θεώρημα ο Αν f, g συνεχείς συναρτήσεις στο [α, β] και λ, μ τότε: f ( ) d f ( ) d [ f ( ) g( )] d f ( ) d g( ) d [ f ( ) g( )] d f ( ) d g( ) d Θεώρημα ο Αν η f είναι συνεχής σε διάστημα Δ και α, β, γδ, τότε ισχύει: f ( ) d f ( ) d f ( ) d. Θεώρημα 3 ο Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα [α, β]. Αν f() 0 για κάθε [α, β] τότε και f ( ) d 0. Ειδικά αν η συνάρτηση f δεν είναι παντού μηδέν στο διάστημα αυτό, τότε : f ( ) d 0. Το παραπάνω χρησιμοποιείται για την απόδειξη ανισοτικών σχέσεων στα ολοκληρώματα. Παράδειγμα δες άσκηση Γ0 σελ.353 σχολικού. - 5 -
Η συνάρτηση: F()= f () t dt Αν f είναι μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα Δ και α είναι ένα σημείο του Δ, τότε η συνάρτηση : F() = f () t dt, Δ είναι μια παράγουσα της f στο Δ. Άρα: f ( t ) dt f ( ), για κάθε Δ. Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σ ένα διάστημα [α, β]. Αν G είναι μια παράγουσα της f στο [α, β], τότε: f ( t ) dt G ( ) G ( ) G ( ) Παρατηρήσεις f ( t) dt f g( ) g( ) g( ) ) ) f ( t) dt f ( t) dt f ( ) 3) Έστω h( ) F ( ) f ( t ) dt, όπου f συνεχής στο Δ και g(), h() Δ g( ) και g(), h() παραγωγίσιμες στο Δ. Για να υπολογίσουμε την F () παρεμβάλλουμε σημείο αδ. Δηλαδή: g ( ) h( ) F( ) f ( t) dt f ( t) dt g ( ) h( ) f ( t) dt f ( t) dt Άρα : F( ) f g( ) g( ) f h( ) h( ) - 6 -
g( ) 4) Αν F( ) h( ) f ( t) dt επειδή στο ολοκλήρωμα μεταβλητή ολοκλήρωσης είναι το t, η h() θεωρείται σταθερά για το ολοκλήρωμα. Άρα: g( ) F( ) h( ) f ( t) dt και g( ) F( ) h( ) f ( t) dt g( ) g ( ) g ( ) h( ) f ( t) dt h( ) f ( t) dt h( ) f ( t) dt h( ) f g( ) g( ) 5) f ( ) d f ( ) f ( ) f ( ) Πεδίο ορισμού της συνάρτησης F()= f () t dt. Αν F()= f () t dt με f συνεχής στο D f. α. Αν D f = Δ,τότε θα πρέπει τα α και να ανήκουν στο Δ. β. Αν D f = Δ Δ, τότε θα πρέπει τα α και να ανήκουν στο ίδιο διάστημα. Άρα αν αδ θα πρέπει α και να ανήκουν στο Δ. g. Αν F()= ( ) f () t dt με f συνεχής στο D f. α και g() να ανήκουν στο Δ και α. Αν D f = Δ, τότε θα πρέπει: Dg β. Αν D f = Δ Δ, τότε θα πρέπει α και g() να ανήκουν στο ίδιο διάστημα. Άρα αν αδ θα πρέπει: α και g() να ανήκουν στο Δ Dg και - 7 -
g 3. Αν F()= ( ) f () t dt με f συνεχής στο D f. h( ) h() και g() να ανήκουν στο Δ α. Αν D f = Δ, τότε θα πρέπει: Dh Dg και β. Αν D f = Δ Δ, τότε θα πρέπει: h() και g() να ανήκουν στο Δ Dh Dg ή h() και g() να ανήκουν στο Δ Dh Dg και και Παράδειγμα Γ6 σελ.35 σχολικού - 8 -
ΠΡΟΣΟΧΗ Σε ασκήσεις που μας ζητούν να δείξουμε ότι μια εξίσωση έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο Δ και χρειάζεται να εφαρμόσουμε Θ.Rolle στην παράγουσα μιας συνάρτησης, να θυμόμαστε ότι και η συνάρτηση : f () t dt, Δ είναι μια παράγουσα της f στο Δ. Παράδειγμα Αν f συνεχής στο [,] και f ()d 0 να αποδείξετε 3 ότι υπάρχει o (,) τέτοιο ώστε f ( o ) + o = o. Λύση - 9 -
Μέθοδοι Ολοκλήρωσης Α) Ολοκλήρωση κατά παράγοντες f ( ) g ( ) d f ( ) g ( ) f ( ) g ( ) d, όπου f, g είναι συνεχείς συναρτήσεις στο [α, β]. Μορφή: ( ) P e d P( ) e d, Ρ(): πολυώνυμο Μορφή: P( ) d P( ) d P( ) d P( ) d, Ρ(): πολυώνυμο Μορφή3: ( ) ln ( ) ( )ln ( ) f g d F g d, όπου F μια παράγουσα της f. Μορφή4: e ( ) d ή e ( ) d Β) Ολοκλήρωση με αντικατάσταση f g g d f u du, ( ) ( ) ( ) u u όπου f, g είναι συνεχείς συναρτήσεις, u = g(), du = g ()d και u = g(α) και u = g(β). Συνήθως γράφουμε σε μορφή παραγώγου την εκθετική. Η εφαρμογή του τύπου της ολοκλήρωσης κατά παράγοντες γίνεται δύο φορές και δημιουργείται μια εξίσωση με άγνωστο το αρχικό ολοκλήρωμα) - 0 -
Ολοκλήρωση Ρητών συναρτήσεων α) Θα παρατηρούμε μήπως το ολοκλήρωμα γράφεται στη f( ) μορφή d, το οποίο είναι ίσο με: ln f( ) f( ). β) Αν ο αριθμητής έχει μικρότερο βαθμό από τον παρονομαστή τότε θα αναλύουμε το κλάσμα σε άθροισμα απλών κλασμάτων. γ) Αν ο αριθμητής έχει ίσο ή μεγαλύτερο βαθμό από τον παρονομαστή τότε θα εκτελούμε τη διαίρεση των πολυωνύμων και θα καταλήγουμε σε υπολογισμό ολοκληρωμάτων της μορφής β). Ολοκλήρωση τριγωνομετρικών συναρτήσεων Άρτιες δυνάμεις του ημιτόνου και του συνημιτόνου. Χρησιμοποιούμε τους τύπους: ( ) ( ) Περιττές δυνάμεις του ημιτόνου και του συνημιτόνου. Απ τις περιττές δυνάμεις αποσπάμε έναν παράγοντα και συνεχίζουμε με αντικατάσταση. Π.χ = d d ( ) d ( ) d Θέτουμε: u=συν άρα du=-ημd - -
ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ η Κατηγορία Ζητάμε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f, τον άξονα και τις ευθείες : = α και = β. Τρόπος εργασίας α) Εξετάζουμε τη συνέχεια της f στο [α, β]. β) Βρίσκουμε τις ρίζες της f() = 0 στο [α, β]. γ) Βρίσκουμε το πρόσημο της f στο [α, β]. δ) Αν f() 0 για κάθε [α, β] τότε: Ε = f ( ) d. Αν f() 0 για κάθε [α, β] τότε: Ε = - f ( ) d. Αν η f δεν έχει σταθερό πρόσημο στο [α, β] και π.χ γ, δ είναι ρίζες της f() = 0 με γ < δ και το πρόσημο της f δίνεται από τον παρακάτω πίνακα: α γ δ β f() + - + Τότε: Ε = ( ) ( ) ( ) ( ) f d f d f d f d Προσοχή Αν δε δίνεται το διάστημα ολοκλήρωσης δηλαδή μας ζητάνε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C f και τον άξονα, τότε το διάστημα ολοκλήρωσης [α, β] θα έχει άκρα α και β τις ακραίες ρίζες της f() = 0. η Κατηγορία Ζητάμε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και g και τις ευθείες : = α και = β. Τρόπος εργασίας α) Εξετάζουμε τη συνέχεια της h() = f() g() στο [α, β]. β) Βρίσκουμε τις ρίζες της h() = 0 στο [α, β]. γ) Βρίσκουμε το πρόσημο της h στο [α, β]. δ) Αν h() 0 για κάθε [α, β] τότε: Ε = h( ) d f ( ) g( ) d. - -
Αν h() 0 για κάθε [α, β] τότε: Ε = - h( ) d f ( ) g( ) d g( ) f ( ) d. Αν η h δεν έχει σταθερό πρόσημο στο [α, β] και π.χ γ, δ είναι ρίζες της h() = 0 με γ < δ και το πρόσημο της h δίνεται από τον παρακάτω πίνακα: α γ δ β h() - + - ό : E h( ) d h( ) d h( ) d h( ) d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f g d f g d f g d Προσοχή Αν δε δίνεται το διάστημα ολοκλήρωσης δηλαδή μας ζητάνε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις C f και C g, τότε το διάστημα ολοκλήρωσης [α, β] θα έχει άκρα α και β τις ακραίες ρίζες της h() = 0 δηλαδή της f() g() = 0. 3 η Κατηγορία Στις υπόλοιπες περιπτώσεις όπως: το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις C f, C g, τον και τις ευθείες = α και = β ή το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις C f, C g, τον και την ευθεία = α ή το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις C f, C g και τον ή το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις C f, C g, C h κ.λ.π Τρόπος εργασίας Είναι απαραίτητη η γραφική παράσταση των συναρτήσεων: Βρίσκω τα κοινά σημεία των γραμμών που ορίζουν το χωρίο, λύνοντας τα συστήματα των εξισώσεών τους. Αφού βρω στο διάγραμμα το ζητούμενο εμβαδόν, το χωρίζω σε τμήματα με κατακόρυφες ευθείες. Σε αυτά τα τμήματα εντοπίζω ποιες συναρτήσεις βρίσκονται «πάνω» και ποιες «κάτω». - 3 -
Π.χ C h C g C f α β γ τότε: ( ) ( ) ( ) ( ) g h d g f d - 4 -
ΜΗΝ ΞΕΧΝΑΣ: Το ολοκλήρωμα f ( ) d είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των χωρίων που βρίσκονται πάνω από τον άξονα μείον το άθροισμα των εμβαδών των χωρίων που βρίσκονται κάτω από τον άξονα. Να δεις και την Γ4 σελ.35 του σχολικού (αναδρομικός τύπος) καθώς και τη Γ σελ.35 (το d ) Θα ήταν δύσκολο να υπολογίσουμε το εμβαδό που περικλείεται από Cf και τον, όταν ο τύπος έχει λογάριθμο που δεν ορίζεται το «ln0». Τότε θα πάμε με όριο όταν τείνει στην απαγορευμένη τιμή που δίνει την απροσδιοριστία ln0 Παράδειγμα Δίνεται η συνάρτηση: ln, 0 f() 0, 0 i) Να δειχθεί f συνεχής στο [0, + ) ii) Να υπολογιστεί το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από Cf,τον και την ευθεία =. Λύση - 5 -
Προσοχή στον υπολογισμό ορίου συνάρτησης σε ολοκλήρωμα όταν τείνει στο ± με το κριτήριο παρεμβολής. Παράδειγμα α) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση: f(t) = t. β) Να υπολογίσετε το όριο: lim dt. t Λύση - 6 -
Για την ισότητα συναρτήσεων θυμάμαι: Όταν οι συναρτήσεις έχουν ίσες παράγωγους, διαφέρουν κατά c και αν c = 0, τότε αυτές είναι ίσες. (δες άσκηση Γ5 σελ.35) f (t)dt d Για το ολοκλήρωμα:. Το υπολογίζουμε εφαρμόζοντας τη μέθοδο κατά παράγοντες: f (t)dt d... f (t)dt d Παράδειγμα Να υπολογίσετε το: 0 dt d t Λύση. - 7 -
Παράδειγμα Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις f, g : RR, οι οποίες για κάθε R ικανοποιούν τις σχέσεις: i) f() > 0 και g() > 0 t f ( ) t e g( ) e ii) dt e iii) dt 0 g( t) e 0 f ( t) Δ. Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιμες στο R και ότι f() = g() για κάθε R. Δ. Να αποδείξετε ότι: f() = e, R. ln f( ) Δ3. Να υπολογίσετε το όριο: lim. 0 f Δ4. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης F() την ευθεία με εξίσωση =. Θέμα 4 ο 0 Λύση f t dt τους άξονες και y y και - 8 -
Πρόσεξε την εύρεση τύπου συνάρτησης f() από σχέση της που εκτός ίσως της f () να υπάρχει και ορισμένο ολοκλήρωμά της. (χρειάζεται να θέσεις το f ( ) d = κ) Παράδειγμα Αν f() = - f ( ) d για κάθε R να βρείτε τον τύπο 0 της f) Λύση - 9 -
Παράδειγμα Έστω f μια συνάρτηση συνεχής στο για την οποία 3 ( ) (0 3 ) ( ) 45 0 ισχύει: f f t dt. α. Να αποδείξετε ότι f()=0 3 +6 45. β. Δίνεται επίσης μια συνάρτηση g δύο φορές παραγωγίσιμη στο IR. Να αποδείξετε ότι g( ) g( h) g ( ) lim. h 0 h γ. Αν για τη συνάρτηση f του ερωτήματος (α) και τη συνάρτηση g του ερωτήματος (β) ισχύει ότι g( h) g( ) g( h) lim f( ) 45 και h0 h g(0)=g (0)=, τότε i. να αποδείξετε ότι g()= 5 + 3 ++ ii. να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g είναι Θέμα 4 ο 008 Λύση - 0 -
Την αντίστροφη συνάρτηση f -, όχι μόνο μπορώ να τη βρω, αλλά και χωρίς τον υπολογισμό του τύπου της μπορώ να λύσω εξισώσεις (περνώντας f), να βρω εξισώσεις εφαπτομένων ευθειών στο γράφημά της και τις συμπεριφορές του γραφήματός της με αυτό της f, να βρω παράγωγό της σε σημείο, να υπολογίσω ορισμένο ολοκλήρωμα. Παράδειγμα Δίνεται η συνάρτηση f() = 3 + +. α. Να δείξετε ότι ορίζεται η f -. f 3. β. Να βρείτε την γ. Να υπολογίσετε το Λύση 3 f d. - -
Αν προηγείται η έκφραση κοίλη κυρτή το Θ. Μ. Τ. λύνει πιο όμορφα τις ανισοτικές σχέσεις. Αν μου ζητούν να βρω και εφαπτομένη τότε μέσω της κυρτότητας αποδεικνύω ανισώσεις και βρίσκω εμβαδόν μεταξύ της C f και της εφαπτομένης. Παράδειγμα Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f() = e λ, λ > 0. α. Δείξτε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. β. Δείξτε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f, η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων, είναι η y = λe. Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου επαφής Μ. γ. Δείξτε ότι το εμβαδόν Ε(λ) του χωρίου, το οποίο περικλείεται μεταξύ της γραφικής παράστασης της f, της εφαπτομένης της στο σημείο Μ και του άξονα y y, είναι Ε(λ) = e. λ δ. λ Ε(λ) Υπολογίστε το lim λ ημλ. Θέμα 3 ο 005 Λύση - -
Παράδειγμα Δίνεται η συνάρτηση F() dt. e lnt α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το πρόσημο της F. β) Να αποδείξετε ότι η F είναι κοίλη και να βρείτε την εφαπτομένη της C F στο σημείο της με 0 = e. γ) Αν E είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C F τον άξονα και την ευθεία = 3, να αποδείξετε ότι E3 e. Λύση - 3 -