ΑΛΓΕΒΡΑ KAI ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (011-01) ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ
ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΕΠΑΝΕΚ ΟΣΗΣ Η επνέκδοση του πρόντος βιβλίου πργμτοποιήθηκε πό το Ινστιτούτο Τεχνολογίς Υπολογιστών & Εκδόσεων «Διόφντος» μέσω ψηφικής μκέτς, η οποί δημιουργήθηκε με χρημτοδότηση πό το ΕΣΠΑ / ΕΠ «Εκπίδευση & Διά Βίου Μάθηση» / Πράξη «ΣΤΗΡΙΖΩ». Οι λλγές που ενσωμτώθηκν στην προύσ επνέκδοση έγινν με βάση τις διορθώσεις του Πιδγωγικού Ινστιτούτου.
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (011-01) ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Η συγγρφή κι η επιμέλει του βιβλίου πργμτοποιήθηκε υπό την ιγίδ του Πιδγωγικού Ινστιτούτου ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΚΔΟΣΕΩΝ «ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ»
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1.1. Δειγμτικός χώρος Ενδεχόμεν Α ΟΜΑΔΑΣ 1. Έστω, μ, κ τ ποτελέσμτ η μπάλ ν είνι άσπρη, μύρη κι κόκκινη ντιστοίχως. Έχουμε: i) 1η εξγωγή η εξγωγή Αποτέλεσμ (, ) μ (, μ) κ (, κ) (μ, ) μ μ (μ, μ) κ (μ, κ) (κ, ) κ μ (κ, μ) κ (κ, κ) Ω = {(, ), (, μ), (, κ), (μ, ), (μ, μ), (μ, κ), (κ, ), (κ, μ), (κ, κ)} ii) {(κ, ), (κ, μ), (κ, κ)} iii) {(, ), (μ, μ), (κ, κ)}.. i) 1η εξγωγή η εξγωγή Αποτέλεσμ κ (, μ) μ (, κ) (μ, ) μ κ (μ, κ) (κ, ) κ μ (κ, μ) Ω = {(, μ), (, κ), (μ, ), (μ, κ), (κ, ), (κ, μ)} ii) {(κ, ), (κ, μ)} iii) Ø.
6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: πιθνοτητεσ 3. i) Ω = {(Κύπρος, εροπλάνο), (Μκεδονί, υτοκίνητο), (Μκεδονί, τρένο), (Μκεδονί, εροπλάνο)}. ii) Α = {(Κύπρος, εροπλάνο), (Μκεδονί, εροπλάνο)}. 4. i) Αν συμβολίσουμε κθεμί πό τις επιλογές με το ρχικό της γράμμ, έχουμε το πρκάτω δεντροδιάγρμμ: Κύριο πιάτο Συνοδευτικό Γλυκό Αποτέλεσμ π (κ, μ, π) μ τ (κ, μ, τ) ζ (κ, μ, ζ) π (κ, ρ, π) κ ρ τ (κ, ρ, τ) ζ (κ, ρ, ζ) π (κ, χ, π) χ τ (κ, χ, τ) ζ (κ, χ, ζ) π (φ, μ, π) μ τ (φ, μ, τ) ζ (φ, μ, ζ) π (φ, ρ, π) φ ρ τ (φ, ρ, τ) ζ (φ, ρ, ζ) π (φ, χ, π) χ τ (φ, χ, τ) ζ (φ, χ, ζ) Το σύνολο που έχει ως στοιχεί τις 18 τριάδες της στήλης "ποτέλεσμ" ποτελεί το δειγμτικό χώρο του πειράμτος: ii) Α = {(κ, μ, π), (κ, ρ, π), (κ, χ, π), (φ, μ, π), (φ, ρ, π), (φ, χ, π)} iii) Β = {(κ, μ, π), (κ, μ, τ), (κ, μ, ζ), (κ, ρ, π), (κ, ρ, π), (κ, ρ, ζ), (κ, χ, π), (κ, χ, τ), (κ, χ, ζ)} iv) A Β = {(κ, μ, π), (κ, ρ, π), (κ, χ, π)} v) Γ = {(κ, ρ, π), (κ, ρ, τ), (κ, ρ, ζ), (φ, ρ, π), (φ, ρ, τ), (φ, ρ, ζ)} ( A Β) Γ = {(κ, ρ, π)}. 5. i) Ω = {(0, ), (0, β), (0, γ), (0, δ), (1, ), (1, β), (1, γ), (1, δ)} ii) Α = {(0, γ), (0, δ)} iii) Β = {(0, ), (0, β), (1, ), (1, β)} iv) Γ = {(1, ), (1, β), (1, γ), (1, δ)}. 6. i) Α = {3}, Β = {, 4, 6}, A Β = Ø, άρ τ Α κι Β είνι συμβίβστ. ii) Επειδή υπάρχουν κι Έλληνες κθολικοί, υτό σημίνει ότι A Β Ø, δηλδή τ Α κι Β δεν είνι συμβίβστ.
1.1. Δειγμτικός χώρος - Ενδεχόμεν 7 iii) Επειδή υπάρχουν γυνίκες άνω των 30, που ν είνι 30 χρόνι πντρεμένες, υτό σημίνει ότι A Β Ø. iv) A Β = Ø, άρ τ Α κι Β είνι συμβίβστ. 7. 1 ο πιδί ο πιδί 3 ο πιδί Αποτέλεσμ κ κ κ κ κ κκ κ κ κκ κ κκ κ κ κκκ Ω = {, κ, κ, κκ, κ, κκ, κκ, κκκ}. Β ΟΜΑΔΑΣ 1. 1ο πιχνίδι ο πιχνίδι 3ο πιχνίδι Αποτέλεσμ β β β β ββ β ββ β β ββ Ω = {, β, ββ, β, ββ, ββ}.. Τ ποτελέσμτ της ρίψης δύο ζριών φίνοντι στον πρκάτω πίνκ διπλής εισόδου. η ρίψη 1η ρίψη 1 3 4 5 6 1 (1, 1) (1, ) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6) (, 1) (, ) (, 3) (, 4) (, 5) (, 6) 3 (3, 1) (3, ) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6) 4 (4, 1) (4, ) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6) 5 (5, 1) (5, ) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6) 6 (6, 1) (6, ) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)
8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: πιθνοτητεσ Άρ Α = {(, 1), (3, 1), (3, ), (4, 1), (4, ), (4, 3), (5, 1), (5, ), (5, 3), (5, 4), (6, 1), (6, ), (6, 3), (6, 4), (6, 5)}. Β = {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (, ), (, 4), (, 6), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (4, ), (4, 4), (4, 6), (5, 1), (5, 3), (5, 5), (6, ), (6, 4), (6, 6)}. Γ = {(1, 1), (1, ), (1, 3), (1, 4), (, 1), (, ), (3, 1), (4, 1)}. A Β = {(3, 1), (4, ), (5, 1), (5, 3), (6, ), (6, 4)}. A Γ = {(, 1), (3, 1), (4, 1)}. ( A Β) Γ = {(3, 1)}. 1.. Έννοι της πιθνότητς Α ΟΜΑΔΑΣ 4 1. i) Η τράπουλ έχει 4 πεντάρι κι επομένως η ζητούμενη πιθνότητ είνι ίση με 5 = 1 13. ii) Το ενδεχόμενο είνι το ντίθετο του ενδεχομένου του προηγούμενου ερωτήμτος. Άρ η 4 48 ζητούμενη πιθνότητ είνι ίση με 1 = = 1 5 5 13.. Αν Γ το ποτέλεσμ «γράμμτ» κι Κ το ποτέλεσμ «κεφλή», ο δειγμτικός χώρος του πειράμτος είνι Ω = {ΚΓ, ΓΚ, ΚΚ, ΓΓ} κι υπάρχει μι ευνοϊκή περίπτωση, η ΓΓ. Άρ η ζητούμενη πιθνότητ είνι 1 4. 3. Το κουτί έχει συνολικά 10 + 15 + 5 + 10 = 40 μπάλες. i) Οι μύρες μπάλες είνι 15. Άρ η πιθνότητ ν είνι η μπάλ μύρη 15 40. ii) Υπάρχουν 10 άσπρες κι 15 μύρες μπάλες. Άρ η ζητούμενη πιθνότητ είνι ίση με 10 + 15 40 = 5 40. iii) Το ν μην είνι η μπάλ ούτε κόκκινη ούτε πράσινη, σημίνει ότι μπορεί ν είνι άσπρη 10 + 15 ή μύρη. Άρ η ζητούμενη πιθνότητ είνι ίση με = 5 40 40. 4. Η τάξη έχει συνολικά 4 + 11 + 9 + 3 + + 1 = 30 μθητές. Γι ν έχει η οικογένει ενός μθητή 3 πιδιά, πρέπει ο μθητής υτός ν έχει δηλώσει ότι έχει δέλφι. Επειδή 9 μθητές
1.. Έννοι της πιθνότητς 9 δήλωσν ότι έχουν δέλφι, η ζητούμενη πιθνότητ είνι 9 30. 5. Έχουμε Ω = {10, 11, 1, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 0}, Α = {1, 15, 18} κι Β = {1, 16, 0}. Επομένως i) ( )= 3 3 3 8 P Α. ii) Έχουμε P( Β ) =, άρ P( Β ) = 1 =. 11 11 11 11 6. Αν Λ, Π κι Ν είνι τ ενδεχόμεν ν κερδίσουν ο Λευτέρης, ο Πύλος κι ο Νίκος 30 0 40 ντιστοίχως, τότε P( Λ ) =, P( Π ) = κι P( Ν ) =. Επειδή τ ενδεχόμεν είνι συμβίβστ έχουμε: 30 0 50 i) P( Λ Π ) = P( Λ) + P( Π ) = + =, δηλδή 50%. 30 40 30 ii) P( Λ Ν ) = 1 P( Λ Ν ) = 1 P( Λ) P( Ν ) = 1 =, δηλδή 30%. 7. Έχουμε διδοχικά P( Α) + P( Β) P( Α Β) = P( Α Β) 17 7 + P( Α Β) = 30 15 3 17 7 17 14 0 P( Α Β ) = + = + = 11. 30 15 3 30 30 30 30 8. Έχουμε διδοχικά P( Α) + P( Β) P( Α Β) = P( Α Β) 1 1 5 + P( Β ) = 3 6 P 5 1 1 5 3 4 ( Β ) = + = + = = 6 3 6 6 6 6 3. 9. Έχουμε διδοχικά P( Α) + P( Β) P( Α Β) = P( Α Β) P( Α) 0, = 0,6 P( Α) = 0,8 P( Α ) = 0,4.
10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: πιθνοτητεσ 10. Έχουμε διδοχικά P( Α Β) = P( Α) + P( Β) P( Α Β) 11. Έχουμε 1 1 = + 1 3 1 1 1 1 = + 3 1 6 4 1 9 = + = = 3 1 1 1 1 4. P( Α Β) P( Α) + P( Β) P( Α) + P( Β) P( Α Β) P( Α) + P( Β) 0 P( Α Β ) που ισχύει. 1. Έστω Α το ενδεχόμενο ν έχει κάρτ D κι Β το ενδεχόμενο ν έχει κάρτ V. 5 55 15 Έχουμε P( Α ) =, P( Β ) =, P( Α Β ) =. Επομένως P( Α Β) = P( Α) + P( Β) P( Α Β) 13. Έστω Α το ενδεχόμενο ν έχει υπέρτση κι Β το ενδεχόμενο ν έχει στεφνιί νόσο. Έχουμε 10 6 P( Α ) =, P( Β ) = κι P( Α Β ) =. ) Έχουμε P( Α Β) = P( Α) + P( Β) P( Α Β) 10 6 14 = + =, δηλδή 14%. 5 55 15 65 = + =, δηλδή 65%. β) Το ενδεχόμενο ν έχει το άτομο μόνο μι σθένει είνι το ( Α Β) ( Β Α ). Τ ενδεχόμεν ( Α Β ) κι ( Β Α ) είνι συμβίβστ. Επομένως ( Α Β Β Α ) P( ) ( ) = PA ( B) + PB ( A) = P( Α) P( Α Β) + P( Β) P( Α Β) = P( Α) + P( Β) + P( Α Β) 10 6 4 1 = + =, δηλδή 1%.
1.. Έννοι της πιθνότητς 11 14. Έστω Α το ενδεχόμενο ν μθίνει γγλικά κι Β το ενδεχόμενο ν μθίνει γλλικά. Έχουμε 80 P( Α ) =, 30 P( Β ) = κι 0 P( Α Β ) =. Άρ P( ) ( Α Β) = 1 P( Α Β) = 1 P( Α) P( Β) + P( Α Β) 80 30 0 10 = 1 + =, δηλδή 10%. β ΟΜΑΔΑΣ 1. i) P( Α Β) = P( Α) + P( Β) P( Α Β) =κ + λ μ ii) P( ( Α Β) )= 1 P( Α Β) = 1 κ λ + μ iii) ( ) P ( Α Β) ( Β Α) = P( Α Β) + P( Β Α) = P( Α) P( Α Β) + P( Β) P( Α Β) = P( Α) + P( Β) P( Α Β) = κ + λ μ.. Αν Α κι Β τ ενδεχόμεν ν μην έχει έν νοικοκυριό τηλεόρση κι Βίντεο ντιστοίχως, θ 15 40 10 είνι P( Α ) = κι P( Β ) = κι P( Α Β ) =. Επομένως η ζητούμενη πιθνότητ θ είνι: ( ) P ( Α Β) = 1 P( Α Β) = 1 [ P( Α) + P( Β) P( Α Β)] 15 40 10 45 55 = 1 + = 1 =, δηλδή 55%. 3. Έχουμε διδοχικά P( Α) 3 = P( Α ) 4 P( Α) 3 = 1 P( Α) 4 4 P( Α) = 3 3 PA ( ) 7 P( Α ) = 3, P( Α )= 3, P( Α ) = 1 P( Α ) = 4. 7 7
1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: πιθνοτητεσ 4. Αν P( Α )= x, τότε P( Α ) = 1 x, όπου 0< x < 1. Έχουμε 1 1 1 1 + 4 + 4 P( Α) P( Α ) x 1 x 1 x+ x 4 x(1 x) 1 x+ x 4x 4x + 4x 4x 1 0 5. Έχουμε Α Β Α (x 1) 0 που ισχύει. P( Α Β) P( Α) Έχουμε P( Α Β) 1 ( Α Β ) 0,6 (1) P( Α) + P( Β) P( Α Β) 1 06, + 07, PA ( B) 1 πό τις (1) κι () προκύπτει ότι: 0,6 + 0,7 1 P( Α Β) 0,3 P( Α Β ) () 0,3 P( Α Β ) 0,6. 6. P( Β) P( Α ) P( Α Β) P( Β) 1 + P( Α) P( Α Β) P( Β) + P( Α) P( Α Β) 1 P( Α Β ) 1 που ισχύει.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ.1. Οι πράξεις κι οι ιδιότητές τους Α ΟΜΑΔΑΣ 1. Έχουμε i) ii) Γι x = 010 κι Α = 1 9 = 1. 1 y = έχουμε x y = 1 οπότε 010 x 1 x 3 7 5 5 10 : x y x y (xy) 3 7. Έχουμε ( ) Α= = = = y xy y Γι x = 0,4 κι y =,5 είνι xy = 1 οπότε Α = ( 1) 10 = 1. 3. i) ii) 1 999 = (1 999)(1+ 999) = 000 = 4.000. 99 101 = ( 1)( + 1) = 1 = 00 1 = 9.999. iii) (7, 3) (4, 3) (7, 3 + 4, 3)(7, 3 4, 3) 11, 46 3 = = = 3 11,46 11,46 11,46 4. i) Έχουμε ( +β) ( β ) = + β+β ( β+β ) ii) Σύμφων με το ερώτημ (i): = + β + β + β β = 4β 999 0 999 0 999 0 + = 4 = 4 0 999 0 999 0 999
14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 5. i) Έχουμε ( 1)( + 1) = ( 1) = + 1 = 1 ii) Αν εφρμόσουμε το ερώτημ (i) γι = 1,365 η τιμή που προκύπτει γι την πράστση είνι 1. 6. Έστω v κι v + 1 δύο διδοχικοί φυσικοί ριθμοί: Τότε έχουμε ( ν+ 1) ν = ( ν+ 1 ν)( ν+ 1 +ν ) = ( ν+ 1) +ν 7. Ισχύει ν ν+ 1 ν+ ν ν + + = (1 + + ) = 7 β ΟΜΑΔΑΣ 1. Αν πργοντοποιήσουμε ριθμητή κι προνομστή Έχουμε 3 + ( + 1) ( 1) i) = = = 1 ( 1) 1 ii) + + + + = = = + + + ( 1) ( 1) ( 1)( ) 1 ( 1)( 1) ( 1)( 1) 1. Έχουμε 3 1 + 1 ( + 1) i) = 3 3 ( + 1) ( + 1) ( 1) ( + 1) = = ( 1) ( + 1) ii) 1 1 1 ( 1)( 1) = = 1 + + ++ ++ ++ + 3 1 1 1 ( 1)( 1) 3. Έχουμε 1 1 y + x xy i) (x + y) + = (x + y) = (x + y) = (xy) = x y x y xy x + y
.1. Οι πράξεις κι οι ιδιότητές τους 15 ii) 1 1 1 1 + + + x y x y x y x y 1 1 x y x y x y x y x y = = x y x y x y 1 1 x y 1 1 1 1 + x + y 1 x + y xy xy = = = x y y x x y x+ y x y xy x + y x (x + y)(x xy + y ) x xy + y 4. Έχουμε : y : = x y x y (x y)(x+ y) x y 3 3 x xy + y x y = = 1 x y x xy + y 5. i) τρόπος: Με γενίκευση της ιδιότητς 1iv) των νλογιών (βλ. εφρμογή 1, σελ. 6) έχουμε β γ +β+γ = = = = 1, β γ β+γ+ οπότε = β = γ. β τρόπος: Θέτουμε β γ = = = β γ k, οπότε έχουμε = kβ, β= kγ κι γ= k (1) Αν, τώρ, προσθέσουμε κτά μέλη τις ισότητες (1), βρίσκουμε +β+γ= k( +β+γ ) οπότε έχουμε k = 1 (φού + β + γ 0, διότι τ, β, γ είνι μήκη πλευρών τριγώνου). Έτσι, πό τις ισότητες (1) προκύπτει ότι = β = γ κι άρ το τρίγωνο είνι ισόπλευρο. γ τρόπος: Η συγκεκριμένη άσκηση μπορεί ν ποδειχθεί, μετά τη διδσκλί της 1.3, ως εξής: Πολλπλσιάζουμε κτά μέλη τις ισότητες (1), οπότε έχουμε βγ = k 3 (βγ) κι, επειδή βγ 0, θ είνι k 3 = 1 κι άρ k = 1. Έτσι, πό τις ισότητες (1) προκύπτει ότι = β = γ. Σχόλιο: Ο συγκεκριμένος τρόπος μπορεί ν εφρμοσθεί κι ότν τ, β, γ είνι οποιοιδήποτε πργμτικοί ριθμοί, διφορετικοί του μηδενός, ενώ γι τους δύο πρώτους τρόπους πιτείτι στην περίπτωση υτή ν ποδειχτεί ότι + β + γ 0.