Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08

Αριθμητική Παραγώγιση

Εισαγωγή Ορισμός 7. Αν y f x είναι μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα ab,, τότε σε κάθε εσωτερικό σημείο μπορούμε να δώσουμε στο μια θετική ή αρνητική αύξηση x και, κατά συνέπεια, η αντίστοιχη αύξηση του θα είναι y f x f x Όταν το x y είναι σταθερό, το πηλίκο των διαφορών: x. x y x, f x f x είναι μια συνάρτηση του.

Εισαγωγή Ορισμός 7. (συνέχεια) Αν ο παραπάνω λόγος πλησιάζει στο ίδιο όριο καθώς το τείνει στο μηδέν με οποιοδήποτε τρόπο αποφεύγοντας την τιμή 0, τότε το όριο αυτό ονομάζεται παράγωγος της συνάρτησης f x και συμβολίζεται ως εξής: dx dx 0 df x d f x f x f x y f x lim.

Εισαγωγή Ορισμός 7. (συνέχεια) Αν η συνάρτηση y f x έχει μια παράγωγο f x σε κάποια περιοχή του σημείου και αν η συνάρτηση της παραγώγου έχει μια παράγωγο στο x, τότε συμβολίζουμε αυτή τη δεύτερη παράγωγο με f x. x, Έτσι με διαδοχικές παραγωγίσεις μπορούμε να πάρουμε f x, f x, f x όπου η τάξης παράγωγος συμβολίζεται ως εξής:, d f x d f x y f x. dx dx Ο υπολογισμός μιας παραγώγου ονομάζεται παραγώγιση.

Εισαγωγή Ορισμός 7. Η διαδικασία για την εύρεση της παραγώγου με τις μεθόδους της αριθμητικής ανάλυσης ονομάζεται αριθμητική παραγώγιση και συνίσταται στον προσεγγιστικό υπολογισμό των διαφόρων τάξεων παραγώγων. Παρατήρηση Συνήθως η συνάρτηση f x αντικαθιστάται με ένα πολυώνυμο παρεμβολής P x έτσι ώστε για κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της συνάρτησης f x να χρησιμοποιείται ως παράγωγος της f x η Px. Παρατήρηση Ενώ αν και το πολυώνυμο παρεμβολής P x μπορεί να προσεγγίζει καλά τη συνάρτηση f x στο πεδίο ορισμού της f x, αυτό δεν σημαίνει ότι θα ισχύει πάντοτε το ίδιο και για την παράγωγο P x σε σχέση με την παράγωγο fx. x

Σφάλμα αριθμητικής παραγώγισης Σφάλμα για μη ισαπέχοντα σημεία παρεμβολής Έστω ότι η f x είναι μια συνάρτηση που είναι ορισμένη στο κλειστό διάστημα a, b και έστω ότι τα ξένα μεταξύ τους σημεία παρεμβολής xi, i 0 βρίσκονται στο κλειστό διάστημα a, b με αντίστοιχες συναρτησιακές τιμές f f x. Έστω ότι συνάρτηση έχει παραγώγους μέχρι τάξης και ότι αυτές είναι συνεχείς συναρτήσεις στο κλειστό διάστημα, όπου το διάστημα αυτό είναι το μικρότερο διάστημα που περιέχει τα σημεία παρεμβολής xi, i 0 και ένα τυχαίο σημείο x, δηλαδη: i f x x x x x x x mi, 0,,,max, 0,,. i

Σφάλμα αριθμητικής παραγώγισης Σφάλμα για μη ισαπέχοντα σημεία παρεμβολής Τότε για κάθε τέτοιο τυχαίο σημείο υπάρχει ένα σημείο στο διάστημα ώστε για τη διόρθωση του πολυωνύμου παρεμβολής P x που ορίζεται από τα σημεία παρεμβολής xi, i 0 και τις συναρτησιακές τιμές f f x, i 0 να ισχύει ότι: όπου: i i f x f x P x L x Ο συμβολισμός x σημαίνει ότι το είναι συνάρτηση του x, αφού το εξαρτάται από το x. x!, L x x x x x x x 0. x

Σφάλμα αριθμητικής παραγώγισης Σφάλμα για μη ισαπέχοντα σημεία παρεμβολής Ο παραπάνω τύπος δίνει τη διόρθωση και, κατά συνέπεια, το σφάλμα που γίνεται αν αντικαταστήσουμε τη συνάρτηση f x το πολυώνυμο παρεμβολής P x. με Για να βρούμε τη διόρθωση που γίνεται αν αντικαταστήσουμε την παράγωγο f x με την παράγωγο του πολυωνύμου παρεμβολής P x πρέπει να παραγωγίσουμε και τα δύο μέλη της Σχέσης ()., d Έτσι αν υποθέσουμε ότι η παράγωγος f υπάρχει, τότε x προκύπτει: dx x f L x d f x P x Lx f!! dx. x

Σφάλμα αριθμητικής παραγώγισης Σφάλμα για μη ισαπέχοντα σημεία παρεμβολής Ο τύπος () δεν έχει πρακτικό ενδιαφέρον, γιατί ο όρος είναι άγνωστος. d f dx Όμως ο τύπος αυτός μπορεί να απλοποιηθεί αν η ζητούμενη αριθμητική τιμή της παραγώγου υπολογίζεται σε ένα σημείο παρεμβολής. x i Αυτό συμβαίνει διότι για x x i η συνάρτηση L x μηδενίζεται και, επομένως, από την Σχέση () προκύπτει: f x P x L x i i i i!, 3 όπου i συμβολίζει την τιμή της συνάρτησης x για x x i. f x

Σφάλμα αριθμητικής παραγώγισης Σφάλμα για μη ισαπέχοντα σημεία παρεμβολής, Στη συνέχεια, παραγωγίζοντας τη συνάρτηση L x τότε προκύπτει: L x L x x x j0 x x j k0 j0 jk j Αν στην παραπάνω σχέση θέσουμε x x i προκύπτει: i i 0 i i i i i i i j. 4 L x x x x x x x x x x x x x. j0 ji

Σφάλμα αριθμητικής παραγώγισης Σφάλμα για μη ισαπέχοντα σημεία παρεμβολής Αντικαθιστώντας την παραπάνω σχέση στη Σχέση (3) τελικά προκύπτει: f i f xi P xi xi x j, για όλα τα i 0. 5! j0 ji όπου τα xi, i 0 είναι τα σημεία παρεμβολής που ορίζουν το πολυώνυμο παρεμβολής P x.

Σφάλμα αριθμητικής παραγώγισης Σφάλμα για ισαπέχοντα σημεία παρεμβολής Υποθέτουμε ότι τα σημεία παρεμβολής είναι ισαπέχοντα, δηλαδή υπάρχει ένα κατάλληλο βήμα τέτοιο ώστε να ικανοποιεί τις παρακάτω σχέσεις: Με τη βοήθεια των Σχέσεων (7..6), η Σχέση (7..4) μπορεί να γραφεί διαδοχικά ως εξής: xi x0 i, για όλα τα i 0. 6 xi x j xi x0 xi x xi xi xi xi xi xi xi x j0 ji i i i i i i i i i

Σφάλμα αριθμητικής παραγώγισης Σφάλμα για ισαπέχοντα σημεία παρεμβολής i i i i i i i i i Από την οποία τελικά προκύπτει: i ' i i i i i i i. i xi x j i! i!. 7 j0 ji

Σφάλμα αριθμητικής παραγώγισης Σφάλμα για ισαπέχοντα σημεία παρεμβολής Με τη βοήθεια της παραπάνω σχέσης, η Σχέση (5) τελικά γράφεται ως εξής: i i! i! f xi P xi f i i 0 8! για όλα τα. όπου τα xi x0 i, i 0 είναι τα ισαπέχοντα σημεία παρεμβολής που ορίζουν το πολυώνυμο παρεμβολής P x.

Σφάλμα αριθμητικής παραγώγισης Σφάλμα για ισαπέχοντα σημεία παρεμβολής Παρατήρηση Ο τύπος (8) για το πρώτο σημείο παρεμβολής απλουστεύεται στον ακόλουθο: 0 0 0. 9 f x P x f x 0 Παρατήρηση Όπως φαίνεται στον τύπο (8), κατά την αριθμητική παραγώγιση το σφάλμα που δημιουργείται αν αντικαταστήσουμε την παράγωγο f x με την παράγωγο του πολυωνύμου παρεμβολής P x είναι ανάλογο του βήματος.

Τύποι για μη ισαπέχοντα σημεία παρεμβολής Υποθέτουμε ότι δίνονται οι συναρτησιακές τιμές fi, i 0της συνάρτησης y f x στα σημεία παρεμβολής xi, i 0 τα οποία δεν είναι αναγκαστικά ισαπέχοντα σημεία. Ζητάμε να υπολογίσουμε την τιμή της τάξης παραγώγου της συνάρτησης f x στο σημείο Αν επιλέξουμε το πολυώνυμο παρεμβολής P x του Lagrage,τότε για τις ζητούμενες τιμές των παραγώγων ισχύει ότι: x. k k k i i i0 k f x P x L x f, k 0,,, f k x

Τύποι για μη ισαπέχοντα σημεία παρεμβολής, Τα πολυώνυμα Li x δηλαδή οι συντελεστές παρεμβολής του Lagrage είναι της μορφής: x x0 x xi x xi x x x x x x x x x x Li x, i 0. i 0 i i i i i x x Παραγωγίζοντας ως προς x τους παραπάνω συντελεστές φορές μπορούμε με τη βοήθεια του τύπου () να υπολογίσουμε την τιμή της k παραγώγου στο τυχαίο σημείο x. j0 ji j0 ji x x i j j k

Τύποι για μη ισαπέχοντα σημεία παρεμβολής Παρατήρηση Στην περίπτωση όπου το σημείο στο οποίο θέλουμε να υπολογίσουμε τις παραγώγους είναι ένα από τα σημεία παρεμβολής xi, i 0, τότε ο τύπος () μπορεί να πάρει πιο απλουστευμένες εκφράσεις. x

Τύποι για μη ισαπέχοντα σημεία παρεμβολής Παράδειγμα Ο τύπος () για και για x το σημείο παρεμβολής x m 0 παίρνει τη μορφή: m, k,. f ' x P ' x L ' x f m 0 3 m m i m i i0 όπου οι συντελεστές παρεμβολής του Lagrage είναι της παρακάτω μορφής: m j i m j0 jm, i i m j0 xm xj jm xi xj j0 ji L x, αν i m, 4 και L ' x, αν i m. 5 x x

Τύποι για μη ισαπέχοντα σημεία παρεμβολής Η έκφραση (3), γενικά, γράφεται στην παρακάτω μορφή: a i όπου τα ο τελεστής, 6 T P a f x i i i0 είναι συναρτήσεις μόνο των σημείων παρεμβολής και αναφέρεται στον τελεστή της παραγώγισης. T Ορισμός 7.3 Η έκφραση (6) καλείται κανόνας υπολογισμού και οι παράμετροι ai, i 0 ονομάζονται βάρη ή συντελεστές του κανόνα υπολογισμού.

Θα δώσουμε τύπους αριθμητικής παραγώγισης για την περίπτωση όπου τα σημεία παρεμβολής xi, i 0, με τα οποία ορίζεται το πολυώνυμο παρεμβολής P x είναι ισαπέχοντα έτσι ώστε να ισχύει ότι x x i με βήμα 0 για όλα τα i 0. i 0

Τύποι παραγώγισης με χρήση του πολυωνύμου παρεμβολής του Lagrage x x Χρησιμοποιώντας την κανονικοποιημένη μεταβλητή s 0 έχουμε διαδοχικά τα εξής: x x j x x0 x x x xi x xi x xi x x j0 ji i. s s s i s i s i s ' s s s i s i s i s s s s i s i s i s

Τύποι παραγώγισης με χρήση του πολυωνύμου παρεμβολής του Lagrage Από την οποία τελικά προκύπτει: j0 ji m0 x x j Συνδυάζοντας τις Σχέσεις () και (7) το ζητούμενο πολυώνυμο παρεμβολής του Lagrage είναι το εξής: s m s i. 7 i sm m0 i i0 i! i! s i P x p s f. 8

Τύποι παραγώγισης με χρήση του πολυωνύμου παρεμβολής του Lagrage Υποθέτουμε ότι προσεγγίζουμε τη συνάρτηση f x με το παραπάνω πολυώνυμο παρεμβολής, δηλαδή:. f x p s Στη συνέχεια προσεγγίζουμε την παράγωγο f x με την παράγωγο του πολυωνύμου παρεμβολής, δηλαδή: f x dp dx s.

Τύποι παραγώγισης με χρήση του πολυωνύμου παρεμβολής του Lagrage Όμως επειδή έχουμε ότι s x x ισχύει: Με τη βοήθεια των παραπάνω σχέσεων ο τύπος (8) μας δίνει: Με βάση τον τύπο (0) για συγκεκριμένες τιμές του και x προκύπτουν αντίστοιχοι τύποι αριθμητικής παραγώγισης. 0 / ds dp s dp s dp s dx ds dx ds i. 9 fi d f x s m i0 i! i! ds s i m0. 0

Τύποι παραγώγισης με χρήση του πολυωνύμου παρεμβολής του Lagrage Για από τον τύπο (0) μπορούμε να πάρουμε διαδοχικά τα εξής: i fi d f x s s i0 i! i! ds s i 0 f0 d s s f d s s 0! 0! ds s 0!! ds s f d s f ds ds ds f f. 0 0

Τύποι παραγώγισης με χρήση του πολυωνύμου παρεμβολής του Lagrage Το σφάλμα του προσεγγιστικού τύπου (0) στα σημεία παρεμβολής x, i 0 είναι: i xi r xi f ' xi P ' xi i i! i! f i,! για όλα τα i 0, όπου i είναι κάποια τιμή μεταξύ των σημείων x και. 0 x

Τύποι παραγώγισης με χρήση του πολυωνύμου παρεμβολής του Lagrage Ορισμός 7.4 Έστω ότι T είναι ένας προσεγγιστικός τύπος για τον αριθμητικό υπολογισμό της ποσότητας T 0 τέτοιος ώστε να ισχύει ότι: 0 T0 lim T. Τότε, το σφάλμα αποκοπής του τύπου αυτού λέγεται ότι είναι τάξης και συμβολίζεται ως O, αν υπάρχει μια σταθερά η οποία δεν εξαρτάται από το για την οποία να ισχύει το εξής: T T0 c. c

Τύποι παραγώγισης με εφαρμογή του θεωρήματος του Taylor Θεώρημα 7. [Θεώρημα του Taylor]. Αν η συνάρτηση f x έχει παραγώγους μέχρι τάξης και αυτές να είναι συνεχείς συναρτήσεις στο πεδίο ορισμού της xa, xb, υποθέτουμε ότι η παράγωγος f υπάρχει στο xa, xb και ότι είναι ένα σημείο του διαστήματος xa, xb, τότε για κάθε σημείο υπάρχει ένα σημείο μεταξύ των σημείων x και x έτσι ώστε να ισχύει: a b a x 3 3 x a x a f x f a x a f a f a f a! 3! x a x a f a f!!. 3

Τύποι παραγώγισης με εφαρμογή του θεωρήματος του Taylor Ο ακόλουθος όρος: x a R f, 4! καλείται υπόλοιπο κατά Lagrage. Αν στον τύπο (3) το επιτρέπεται να αυξάνει απεριόριστα, τότε η αντίστοιχη έκφραση ονομάζεται σειρά του Taylor. Αν το a 0, τότε η αντίστοιχη σειρά του Taylor ονομάζεται σειρά του Maclauri.

Τύποι παραγώγισης με εφαρμογή του θεωρήματος του Taylor Υποθέτουμε ότι γνωρίζουμε την τιμή της συνάρτησης f x στα σημεία x και x. Ζητάμε έναν προσεγγιστικό τύπο για τον υπολογισμό της παραγώγου στο σημείο x καθώς και την αντίστοιχη έκφραση του σφάλματος. Τότε από τον τύπο (3) για a x, x x και, επομένως, για x a x x έχουμε τα εξής: f x f x f x f,! όπου το σημείο είναι μεταξύ των σημείων x και x.

Τύποι παραγώγισης με εφαρμογή του θεωρήματος του Taylor Λύνοντας την παραπάνω σχέση ως προς τη ζητούμενη παράγωγο f x προκύπτει ο προσεγγιστικός τύπος παραγώγισης: f x f x f x f f x f x. Το σφάλμα x εκφράζεται ως εξής: 5 x f, το οποίο είναι τάξης ένα, δηλαδή είναι O.

Τύποι παραγώγισης με εφαρμογή του θεωρήματος του Taylor Αν έχουμε στη διάθεση μας τις τιμές της συνάρτησης f x στα σημεία x και x, τότε μπορούμε να κατασκευάσουμε έναν περισσότερο ακριβή προσεγγιστικό τύπο. Από τον τύπο (3) για a x, x x και, επομένως, για x a x x έχουμε τα εξής: 3 f x f x f x f x f, 6! 3! όπου το σημείο είναι μεταξύ των σημείων x και x.

Τύποι παραγώγισης με εφαρμογή του θεωρήματος του Taylor Επίσης από τον τύπο (3) για a x, x x και, επομένως, για x a x x έχουμε τα εξής: 3 f x f x f x f x f 7! 3!, όπου το σημείο x και x. είναι μεταξύ των σημείων

Τύποι παραγώγισης με εφαρμογή του θεωρήματος του Taylor Αν τις δύο Σχέσεις (6) και (7) τις αφαιρέσουμε κατά μέλη έχουμε τα ακόλουθα: 3 f x f x f x f f. 3! Λύνοντας την παραπάνω σχέση ως προς τη ζητούμενη παράγωγο f x προκύπτει ο ακόλουθος προσεγγιστικός τύπος: f x f x f x f f f x f x. 8

Τύποι παραγώγισης με εφαρμογή του θεωρήματος του Taylor Το σφάλμα x εκφράζεται ως εξής: x f f, το οποίο είναι τάξης δύο, δηλαδή είναι. Αν υποθέσουμε ότι:, M3 max f 9 x x τότε το σφάλμα φράσσεται από τα πάνω ως ακολούθως: 6 x M. 3 0

Τύποι παραγώγισης με εφαρμογή του θεωρήματος του Taylor Με την ίδια διαδικασία μπορούμε να κατασκευάσουμε αντίστοιχους τύπους για τον υπολογισμό παραγώγων υψηλότερης τάξης. Προσθέτοντας κατά μέλη τις Σχέσεις (6) και (7) έχουμε: f x f x f x f x και 4 4 x f f, 4 με αντίστοιχο άνω φράγμα: x M3, 3 όπου το M 3 δίνεται από τη Σχέση (9).

Διαδικασία του Ricardso Τροποποίηση των τύπων της αριθμητικής παραγώγισης με τέτοιο τρόπο ώστε να έχουν καλύτερη τάξη σφάλματος αποκοπής. Θα περιγράψουμε τη διαδικασία του Ricardso χρησιμοποιώντας ως βάση τον τύπο () που παρέχει ένα σφάλμα της τάξης O. Θα εξετάσουμε πώς ο νέος τροποποιημένος τύπος έχει σφάλμα 4 αποκοπής με τάξη ακρίβειας O.

Διαδικασία του Ricardso Υποθέτουμε ότι έχουμε τις τιμές της συνάρτησης f x στα σημεία x, x και x. xa Από τον τύπο (3) για a x, x x και, επομένως, για x x έχουμε: 3 f x f x f x f x f x! 3! 4 5 6 4 5 6 f x f x f 4! 5! 6! όπου το σημείο είναι μεταξύ τω σημείων x και x.,

Διαδικασία του Ricardso Επίσης, από τον τύπο (3) για a x, x x και, επομένως,για x a x x έχουμε: 3 f x f x f x f x f x! 3! 4 5 6 4 5 6 f x f x f 4! 5! 6! όπου το σημείο είναι μεταξύ των σημείων x και x.,

Διαδικασία του Ricardso Προσθέτοντας κατά μέλη τις δύο παραπάνω σχέσεις προκύπτει: f x f x f x f x! 4 6 4 6 6 f x f f. 4! 6! Η παραπάνω σχέση μπορεί να γραφεί και ως ακολούθως: f x f x f x f x f x f f 70 4 4 6 6. 4

Διαδικασία του Ricardso Υποθέτουμε ότι το βήμα της σχέσης (4) αντικαθίσταται από το.. q όπου το q έχει μια τιμή διαφορετική από το Υποθέτουμε ότι έχουμε στη διάθεση μας τις τιμές της συνάρτησης στα σημεία x q και x q. Έτσι, αν στη Σχέση (4) αντικαταστήσουμε το με q θα έχουμε ότι: q f x q f x f x q q q f x f x f f 70. 4 4 4 6 6 ˆ ˆ, f x όπου τα σημεία ˆ και ˆ είναι μεταξύ των σημείων x q και x q.

Διαδικασία του Ricardso Αν πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέλη της Σχέσης (4) με και από τη νέα σχέση αφαιρέσουμε τη Σχέση (5), τότε: q q q f x f x f x f x q f x f x q q q 4 q f x f f q f ˆ q 70 6 6 6.

Διαδικασία του Ricardso Από την παραπάνω σχέση προκύπτει ο παρακάτω τύπος 4 αριθμητικής παραγώγισης που έχει τάξη σφάλματος 4 f x q q f x f x 4 4 q q q f x q f x f x q : 4

Διαδικασία του Ricardso Γενικά, ας υποθέσουμε ότι έχουμε στη διάθεσή μας ισαπέχοντα σημεία τα οποία δίνονται ως εξής: x i x 0 i, για i 0,,, 7 Αν fi f xi είναι οι τιμές της συνάρτησης στα σημεία τότε σύμφωνα με το θεώρημα του Taylor γύρω από το σημείο έχουμε: 3 i i 3 fi f x0 i f0 if 0 f 0 f0! 3! i i f 0 f, για i 0,,, 8!! όπου το είναι ένα σημείο μεταξύ των σημείων mi x0, x0 i και. max x, x i. 0 0 x 0 x i

Τύποι παραγώγισης με χρήση των τύπων παρεμβολής των Gregory- Newto Υποθέτουμε ότι έχουμε στη διάθεσή μας ισαπέχοντα σημεία τα οποία δίνονται ως εξής: xi x0 i, με 0, και για όλα τα i 0, καθώς και τις αντίστοιχες τιμές της συνάρτησης fi, i 0 σημεία αυτά. Υποθέτουμε ότι μας ενδιαφέρει να κατασκευάσουμε τύπους αριθμητικής παραγώγισης για τον υπολογισμό της τιμής της παραγώγου κοντά στο σημείο x ή ειδικότερα στο σημείο x. 0 0 στα

Τύποι παραγώγισης με χρήση των τύπων παρεμβολής των Gregory- Newto Χρησιμοποιώντας τη μεταβλητή: x x0 s, 0 s, 9 θεωρούμε το πολυώνυμο παρεμβολής p s των προς τα εμπρός διαφορών του Newto που ορίζεται από τα σημεία παρεμβολής x για i 0. i Αν υποθέσουμε ότι το πολυώνυμο p s προσεγγίζει τη συνάρτηση f x τότε έχουμε ότι:, s s s s f x p s f f f f f 3 3. 0 0 0 0 0 30

Τύποι παραγώγισης με χρήση των τύπων παρεμβολής των Gregory- Newto Για να κατασκευάσουμε τύπους αριθμητικής παραγώγισης για τον υπολογισμό της τιμής της παραγώγου κοντά στο σημείο x, χρησιμοποιούμε το δεύτερο τύπο παρεμβολής των Gregory- Newto. Θεωρούμε το πολυώνυμο παρεμβολής p s των προς τα πίσω διαφορών του Newto που ορίζεται από τα σημεία παρεμβολής x, i 0 και προσεγγίζουμε τη συνάρτηση f x ως εξής: i. 3 s s s f x p s f f f f

Τύποι παραγώγισης με χρήση των τύπων παρεμβολής των Gregory-Newto Στη συνέχεια προσεγγίζοντας την παράγωγο f x με την αντίστοιχη παράγωγο του πολυωνύμου p s και παραγωγίζοντας ως προς προκύπτει: f x dp s dp s ds dx ds dx d s s s 3 s f f f f f ds 3 Από την παραπάνω σχέση έχουμε ότι: 0 0 0 0 0 d d s d s d s 3 d s f x f f f f f ds ds ds ds 3 ds 0 0 0 0 0. x.

Τύποι παραγώγισης με χρήση των τύπων παρεμβολής των Gregory- Newto Οι αντίστοιχες παραγωγίσεις ως προς μπορούν να γίνουν εύκολα, όπως ενδεικτικά δίνουμε παρακάτω για ορισμένες από αυτές: d d s d f0 0, f0 sf0 f0, ds ds ds d s d s s ds ds f0 f0 s f0 d s d s 3s s 3 6 ds 3 ds 6 6 3 3 3 3 f0 f0 s s f0 s,.

Τύποι παραγώγισης με χρήση των τύπων παρεμβολής των Gregory- Newto Με τη βοήθεια των παραπάνω σχέσεων μπορούμε τελικά να πάρουμε τον ακόλουθο τύπο αριθμητικής παραγώγισης: d s f x f s f s s f f 6 ds 3 3 6. 3 0 0 0 0

Τύποι παραγώγισης με χρήση των τύπων παρεμβολής των Gregory- Newto Αν χρησιμοποιήσουμε το πολυώνυμο παρεμβολής (3) των προς τα πίσω διαφορών του Newto, επειδή το πολυώνυμο αυτό κατασκευάστηκε για x x s, τότε έχουμε ότι: ds. dx Έτσι, προκύπτει ο ακόλουθος τύπος αριθμητικής παραγώγισης: 3 3 6 f s f s s f 6 f x. 33 d s f ds

Τύποι παραγώγισης με χρήση των τύπων παρεμβολής των Gregory- Newto Με βάση τους τύπους (3) και (33) και για συγκεκριμένες τιμές του., x και s μπορούμε να πάρουμε αντίστοιχους τύπους αριθμητικής παραγώγισης. Για παράδειγμα, για x x 0 και θέτοντας s 0 στη Σχέση (9), από τον τύπο (3) έχουμε: f x f f f f 3 3. 34 0 0 0 0 0 Από την παραπάνω σχέση για διάφορες τιμές του μπορούμε να πάρουμε τους αντίστοιχους τύπους.

Τύποι παραγώγισης με χρήση των τύπων παρεμβολής των Gregory- Newto Το σφάλμα αποκοπής των σχηματιζόμενων τύπων με τη βοήθεια της Σχέσης () για δίνεται ως εξής: i 0 35 x0 f 0, όπου είναι κάποια τιμή μεταξύ των σημείων x και. 0 x 0

Τύποι παραγώγισης με χρήση των τύπων παρεμβολής των Gregory- Newto Παραγωγίζοντας τη Σχέση (3) διαδοχικά ως προς μπορούμε να παράγουμε τύπους που δίνουν παραγώγους δεύτερης και ανώτερης τάξης. Οι αντίστοιχοι προσεγγιστικοί τύποι αριθμητικής παραγώγισης για k τον υπολογισμό της k τάξης παραγώγου f x για k σε κάποιο σημείο x, εκφράζονται ως ακολούθως: όπου a, i i 0 f x p s a f k k k είναι σταθερές. i i i 0, x

Τύποι παραγώγισης με χρήση των τύπων παρεμβολής των Gregory- Newto Το αντίστοιχο σφάλμα αποκοπής εκφράζεται ως εξής: k p k k m x p s f x f, για m, και για p k, a όπου a είναι σταθερά. Γενικά, το σφάλμα των προσεγγιστικών τύπων αριθμητικής p παραγώγισης είναι ανάλογο του βήματος και η τάξη, O του σφάλματος καθορίζεται από τη δύναμη στην οποία είναι υψωμένο το βήμα. p p,

Τύποι παραγώγισης με χρήση των τύπων παρεμβολής των Gregory- Newto Έτσι, για παράδειγμα, για τη δεύτερη παράγωγο μπορούμε να πάρουμε: 3 f0 s f0 3s 6s f0 d 6 f x dx 3 4 d s 4 8 6 s s s f0 f0 4 ds 3 f0 s f0 3s 6s f0 d 6. ds 3 4 d s 4 8 6 s s s f0 f0 4 ds

Τύποι παραγώγισης με χρήση των τύπων παρεμβολής των Gregory- Newto Από την παραπάνω σχέση έχουμε ότι: f x d d d 3 f0 s f0 3s 6s f0 ds ds 6 ds d d s 4 8 6 4 ds ds 3 4 s s s f0 f 0.

Τύποι παραγώγισης με χρήση των τύπων παρεμβολής των Gregory- Newto Οι αντίστοιχες παραγωγίσεις ως προς γίνονται εύκολα, όπως ενδεικτικά δίνουμε παρακάτω για ορισμένες από αυτές: d f0 0, ds d s f0 f0, ds d 3 3 3s 6s f0 6s 6 f0, ds d 3 4 4 4s 8s s 6 f0 s 36s f0. ds s

Τύποι παραγώγισης με χρήση των τύπων παρεμβολής των Gregory- Newto Με τη βοήθεια των παραπάνω σχέσεων μπορούμε τελικά να πάρουμε τον ακόλουθο τύπο αριθμητικής παραγώγισης: f x f s f 6s 8s f d s f 0 ds 3 4 0 0 0. 36

Τύποι παραγώγισης με χρήση των τύπων παρεμβολής των Gregory- Newto Αν χρησιμοποιήσαμε το πολυώνυμο παρεμβολής (3) των προς τα πίσω διαφορών του Newto, επειδή το πολυώνυμο αυτό κατασκευάστηκε για x x s, τότε έχουμε ότι: ds. dx Έτσι προκύπτει ο ακόλουθος τύπος αριθμητικής παραγώγισης: f x f s f 6s 8s f d s f ds 3 4. 37

Τύποι παραγώγισης με χρήση των τύπων παρεμβολής των Gregory- Newto Στη συνέχεια κατασκευάζουμε διάφορους τύπους αριθμητικής παραγώγισης. Από τη Σχέση (36) και για x x0 και έχουμε τον παρακάτω τύπο αριθμητικής παραγώγισης για τη δεύτερη παράγωγο: f '' x f0, ή μετά την αντικατάσταση της f 0 με την έκφραση προκύπτει ο παρακάτω ισοδύναμος τύπος: f f f f x f f f0, όπου x0 O. 0

Τύποι παραγώγισης με χρήση των τύπων παρεμβολής των Gregory- Newto Με την ίδια διαδικασία για 3 μπορούμε να πάρουμε τον παρακάτω τύπο αριθμητικής παραγώγισης: f x0 f3 4 f 5 f f0, όπου x0 O. Επίσης, με την ίδια διαδικασία μπορούμε να δημιουργήσουμε τύπους για τον υπολογισμό παραγώγων ανώτερης τάξης. Στη συνέχεια ενδεικτικά δίνουμε τους παρακάτω τύπους.

Τύποι παραγώγισης με χρήση των τύπων παρεμβολής των Gregory- Newto Για την παράγωγο τάξης τρία και για τέσσερα σημεία παρεμβολής δηλαδή, για 3 έχουμε: 3 f x0 f3 3f 3 f 3 f0, όπου 3 x0 O, ενώ για πέντε σημεία παρεμβολής, δηλαδή για 4 έχουμε: 3 f x0 3 f4 4 f 3 3 4 f 8 f 5 f0, όπου 3 x0 O.

Τύποι παραγώγισης με χρήση των τύπων παρεμβολής των Gregory- Newto Ακολούθως, για την παράγωγο τάξης τέσσερα και για πέντε σημεία παρεμβολής, δηλαδή για 4 έχουμε: 4 f x0 f4 4 f3 6 f 4 4 f f0, όπου 4 x0 O. Τέλος για έξι σημεία παρεμβολής, δηλαδή για 5 έχουμε 4 f x0 f5 f4 4 f 4 3 6 f 4 f 3 f0, όπου 4 x0 O.

Τύποι παραγώγισης με χρήση του τύπου παρεμβολής του Stirlig Υποθέτουμε ότι έχουμε στην διάθεση μας ισαπέχοντα σημεία τα οποία δίνονται ως εξής: x i x 0 i, με 0, και για όλα τα i 0 m, καθώς και τις αντίστοιχες τιμές τις συνάρτησης fi, i 0 m σημεία αυτά. Έστω ότι μας ενδιαφέρει να κατασκευάσουμε τύπους αριθμητικής παραγώγισης για τον υπολογισμό της τιμής της παραγώγου κοντά στο σημείο x ή ειδικότερα στο σημείο x. 0 0 Χρησιμοποιώντας τη μεταβλητή s x x θεωρούμε 0, 0 s, (38) το πολυώνυμο παρεμβολής pm s των κεντρικών διαφορών του Stirlig που ορίζεται από τα σημεία παρεμβολής x, i 0m. i στα

Τύποι παραγώγισης με χρήση του τύπου παρεμβολής του Stirlig Αν υποθέσουμε ότι το πολυώνυμο pm s προσεγγίζει τη συνάρτηση f x, τότε έχουμε ότι: s s f x pm s f0 f0! s s s 3 4 f0 f0 3 4! όπου είναι ο τελεστής της μέσης τιμής. s s s s m m m f0 f0 sm m m!, 39

Τύποι παραγώγισης με χρήση του τύπου παρεμβολής του Stirlig k Μπορούμε να προσεγγίσουμε την -τάξης παράγωγο f x με την αντίστοιχη παράγωγο του πολυωνύμου pm s του τύπου (39) και παραγωγίζοντας ως προς μπορούμε να πάρουμε διαδοχικά τις αντίστοιχες εκφράσεις των παραγώγων. Για παράδειγμα, για m και κατά συνέπεια για 4, έχουμε: x k f x f s f 3s f s f s 6 s f f x 3 4 f 0 s f0 6 s f0, 3 3 4 4 4 f x f 3 0 s f0, f x f 3 0. 3 3 4 0 0 0 0 0,

Τύποι παραγώγισης με χρήση του τύπου παρεμβολής του Stirlig Αν χρησιμοποιήσουμε τον τελεστή μ της μέσης τιμής και εφαρμόσουμε την παρακάτω γνωστή επαγωγή των κεντρικών διαφορών: k k k f x f x f x, μπορούμε να κατασκευάσουμε τύπους αριθμητικής παραγώγισης χρησιμοποιώντας τις συναρτησιακές τιμές fi, i 0 m για οποιαδήποτε τιμή του m. Στη συνέχεια, δίνουμε ενδεικτικά μερικούς τύπους για τον υπολογισμό των παραγώγων της f x μέχρι και τέταρτης τάξης στο σημείο x x 0 και συνεπώς για s 0.

Τύποι παραγώγισης με χρήση του τύπου παρεμβολής του Stirlig Έτσι, για την παράγωγο τάξης ένα και για m, δηλαδή για έχουμε: f ' x0 f0 s f0. Λαμβάνοντας υπόψη ότι το είναι μηδέν, τότε: s f x0 f0 f f f f0 f0 f, από την οποία τελικά προκύπτει ο παρακάτω τύπος για τον υπολογισμό της παραγώγου τάξης ένα: f x0 f f. 40

Τύποι παραγώγισης με χρήση του τύπου παρεμβολής του Stirlig Ο τύπος (40) μπορεί να θεωρηθεί ότι προέρχεται από ένα πολυώνυμο παρεμβολής P x δεύτερου βαθμού, οπότε το σφάλμα αποκοπής είναι: 3 s 3 x P x f x f, 3 όπου είναι ένα σημείο μεταξύ των σημείων x και x. Παραγωγίζοντας έχουμε ότι: 3 3s 3 x P x f x f, 6 Έτσι, για x x 0 και κατά συνέπεια για s 0 από την παραπάνω σχέση έχουμε ότι: 3 x0 f. 6

Τύποι παραγώγισης με χρήση του τύπου παρεμβολής του Stirlig Με την παραπάνω διαδικασία για m, δηλαδή για 4 μπορούμε να πάρουμε τον παρακάτω τύπο αριθμητικής παραγώγισης: με την παρακάτω έκφραση του σφάλματος αποκοπής: όπου 4 f x0 f 8f 8f f, όπου x0 O. 4 3 x0 f, 30 είναι ένα σημείο μεταξύ των σημείων και x. x

Τύποι παραγώγισης με χρήση του τύπου παρεμβολής του Stirlig Ενώ, για m 3, δηλαδή για 6 μπορούμε να πάρουμε τον παρακάτω τύπο αριθμητικής παραγώγισης: 6 f x0 f3 9f 45f 45f 9f f 3, όπου x0 O, 60 με την παρακάτω έκφραση του σφάλματος αποκοπής: όπου x 0 6 f 40 7 είναι ένα σημείο μεταξύ των σημείων x 3 και x3.,

Τύποι παραγώγισης με χρήση του τύπου παρεμβολής του Stirlig Με την ίδια διαδικασία μπορούμε να δημιουργήσουμε τύπους αριθμητικής παραγώγισης για τον υπολογισμό παραγώγων ανώτερης τάξης. Έτσι για τάξη δύο έχουμε τον παρακάτω γενικό τύπο αριθμητικής παραγώγισης: i m i! i f x 0 f0, i i! καθώς και την παρακάτω έκφραση του σφάλματος αποκοπής του τύπου αυτού: m m! m m x0 f 0. m!

Τύποι παραγώγισης με χρήση του τύπου παρεμβολής του Stirlig Για τάξη δύο και για m, δηλαδή για έχουμε: f x f f f f f0 f0 f. 0 0 Από την οποία τελικά έχουμε τον παρακάτω τύπο για τον υπολογισμό της παραγώγου τάξης ένα: f x0 f f0 f.

Τύποι παραγώγισης με χρήση του τύπου παρεμβολής του Stirlig Η έκφραση του σφάλματος αποκοπής του τύπου αυτού είναι η ακόλουθη: 4 x0 f 0, όπου είναι ένα σημείο μεταξύ των σημείων x και x. 0, Για m, δηλαδή για 4 μπορούμε να πάρουμε: f x f f f f f 6 30 6 0 0.

Τύποι παραγώγισης με χρήση του τύπου παρεμβολής του Stirlig Επίσης για την παράγωγο τάξης τρία και για m, δηλαδή για 4 έχουμε: f x f f f f 3 0 3 Ενώ, για m 3, δηλαδή για 6 μπορούμε να πάρουμε: f x f f f f f f 8 3 8 3 3 8 0 3 3 3..

Τύποι παραγώγισης με χρήση του τύπου παρεμβολής του Stirlig Ακολούθως, για την παράγωγο τάξης τέσσερα και για m, δηλαδή για 4 έχουμε: 4 f x0 f 4 f 6 f0 4 f 4 8 f. Τέλος, για m 3, δηλαδή για 6 μπορούμε να πάρουμε: f x f f f f f f f 6 4 39 56 39 0 4 3 0 3.

Μέθοδος προσδιοριστέων συντελεστών Θα δώσουμε μια μέθοδο κατασκευής τύπων αριθμητικής παραγώγισης της οποίας το κύριο χαρακτηριστικό είναι ότι, η έκφραση του τύπου που θέλουμε να κατασκευάσουμε μπορεί να προκαθοριστεί με έναν επιθυμητό γραμμικό συνδυασμό των τιμών της συνάρτησης ή και των παραγώγων της. Το ζητούμενο σε αυτή τη μέθοδο είναι ο προσδιορισμός των συντελεστών του προκαθορισμένου γραμμικού συνδυασμού έτσι ώστε ο τύπος να είναι ακριβής για πολυώνυμα όσον το δυνατόν μεγαλύτερου βαθμού.

Μέθοδος προσδιοριστέων συντελεστών Αν υποθέσουμε ότι έχουμε συντελεστές που πρέπει να προσδιοριστούν, τότε πρέπει ο ζητούμενος τύπος να είναι ακριβής για όλα τα παρακάτω στοιχειώδη πολυώνυμα: i, για όλα τα 0. f x x i Αν ισχύουν τα παραπάνω, τότε λόγω της γραμμικότητας του τελεστή της παραγώγου ο ζητούμενος τύπος θα είναι ακριβής όταν εφαρμοστεί σε οποιοδήποτε πολυώνυμο βαθμού μικρότερου ή ίσου με.

Μέθοδος προσδιοριστέων συντελεστών Με τη βοήθεια των στοιχειωδών πολυωνύμων της Σχέσης () μπορούμε να σχηματίσουμε ένα σύστημα εξισώσεων με άγνωστους, η λύση του οποίου μας παρέχει τους ζητούμενους συντελεστές του γραμμικού συνδυασμού. Αν το σχηματιζόμενο σύστημα δεν έχει μια ή πεπερασμένου πλήθους λύσεις και έχει άπειρες, τότε επεκτείνουμε το σύστημα κατάλληλα απαιτώντας ο ζητούμενος τύπος να είναι ακριβής και για τα επόμενα στοιχειώδη πολυώνυμα κ.ο.κ.

Ανάλυση σφάλματος Στην περίπτωση των ισαπέχοντων σημείων παρεμβολής xi x i i 0 οι προσεγγιστικοί τύποι αριθμητικής παραγώγισης για k τον υπολογισμό της τάξης παραγώγου f x για k σε κάποιο σημείο εκφράζονται από την παρακάτω γενική μορφή: όπου a, i i x 0 k k k f x P x a f k k i i είναι σταθερές., 0,

Ανάλυση σφάλματος Το αντίστοιχο σφάλμα αποκοπής μπορεί να εκφραστεί από την παρακάτω γενική μορφή: p k k m k x P x f x f, για m, a και για p k, όπου a είναι σταθερά. Γενικά, το σφάλμα των προσεγγιστικών τύπων αριθμητικής p παραγώγισης είναι ανάλογο του βήματος και η τάξη p, O, του σφάλματος καθορίζεται από τη δύναμη p στην οποία είναι υψωμένο το βήμα.

Ανάλυση σφάλματος Παράδειγμα - Καταστροφική ακύρωση σημαντικών ψηφίων Έστω ο ακόλουθος τύπος για τον υπολογισμό της πρώτης παραγώγου: f f0 f x0. Αν συμβολίσουμε ως f 0, f και τις προσεγγιστικές τιμές των f0, f και και τα αντίστοιχα σφάλματα στρογγυλοποίησης τα συμβολίσουμε ως 0, και, τότε για την εύρεση της τιμής της παραγώγου θα έχουμε: f * * ' 0 x0 * f f f f 0 0 f 0 f 0 0.

Ανάλυση σφάλματος Στη συνέχεια υποθέτουμε ότι τα σφάλματα στρογγυλοποίησης 0, και είναι διάφορα του μηδενός και ότι είναι σχεδόν σταθερά και ανεξάρτητα των τιμών f, f και. 0 Όταν το βήμα τείνει στο μηδέν και επομένως η θα τείνει στη τότε θα έχουμε ότι η τιμή της παραγώγου τείνει προς την τιμή: 0, f 0, η οποία είναι τελείως διαφορετική από την τιμή της παραγώγου και η οποία εξαρτάται από τα σφάλματα στρογγυλοποίησης 0, και. Επομένως, όταν το βήμα είναι αρκετά μικρό, τότε ένα μικρό σφάλμα στρογγυλοποίησης προκαλεί σημαντικό σφάλμα στα αποτελέσματα. f

Ανάλυση σφάλματος Ολικό σφάλμα και βέλτιστο βήμα Θεωρούμε ότι το ολικό σφάλμα είναι το άθροισμα των παρακάτω σφαλμάτων: όπου το σφάλμα αποκοπής δημιουργείται από τη διαφορά: ενώ το σφάλμα διάδοσης δίνεται από τη διαφορά: 0, 0 3 k P x f x k. 4 k * k. 5 P x P x

Ανάλυση σφάλματος Ολικό σφάλμα και βέλτιστο βήμα Τέλος, το εκφράζει το παραχθέν σφάλμα, έτσι ώστε η τελική τιμή να είναι μια προσέγγιση P x της πραγματικής τιμής k P x, δηλαδή: k. 6 P x P x Στην περίπτωση μας είναι προφανές ότι το παραπάνω παραχθέν σφάλμα είναι σχεδόν αμελητέο συγκριτικά με τα σφάλματα αποκοπής και διάδοσης και, επομένως, για λόγους απλότητας θα το αγνοήσουμε.

Ανάλυση σφάλματος Ολικό σφάλμα και βέλτιστο βήμα Παίρνοντας απόλυτες τιμές με τη βοήθεια της Σχέσης (3) έχουμε: Αν συμβολίσουμε ως fi, i 0 τις προσεγγιστικές τιμές των συναρτησιακών τιμών fi, i 0 και τα αντίστοιχα σφάλματα τα συμβολίσουμε ως f, i 0, τότε θα έχουμε: i * f i i Στη συνέχεια υποθέτουμε ότι το φράσσει από τα πάνω τις απόλυτες τιμές των παραπάνω σφαλμάτων και έτσι έχουμε ότι: 0 7. f f για όλα τα i 0. i f για όλα τα i 0. i

Ανάλυση σφάλματος Ολικό σφάλμα και βέλτιστο βήμα Ένα άνω φράγμα της απόλυτης τιμής του σφάλματος διάδοσης είναι: k k P x P x a k i fi a k i fi k k ai fi fi kai fi i0 i0 a i fi k i0 i0 i0 i0 Χρησιμοποιώντας μια θετική σταθερά έχουμε: c. 8 k a. c

Ανάλυση σφάλματος Ολικό σφάλμα και βέλτιστο βήμα Ένα άνω φράγμα της απόλυτης τιμής του σφάλματος αποκοπής είναι: m f k k p j P x f x. a Αν υποθέσουμε ότι το φράσσει από τα πάνω την ποσότητα: τότε από την παραπάνω σχέση έχουμε: c f m j a c c, p. 9

Ανάλυση σφάλματος Ολικό σφάλμα και βέλτιστο βήμα Συνδυάζοντας τις Σχέσεις (8), (9) και (7) καταλήγουμε ότι η απόλυτη τιμή του ολικού σφάλματος φράσσεται από τα πάνω ως εξής: c p 0 c. 0 k Για να καθορίσουμε το βέλτιστο βήμα θεωρούμε τη συνάρτηση: c p g c, k και θα βρούμε εκείνη την τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής για την οποία ισχύει: mi g.

Ανάλυση σφάλματος Ολικό σφάλμα και βέλτιστο βήμα Παραγωγίζοντας τη συνάρτηση g ως προς έχουμε: Λύνοντας την εξίσωση: βρίσκουμε τη μοναδική λύση της: d kc p kc c p g c p d kc c p pk. k k pk pk 0 kc cp 0. k pk pk kc kc ή. cp cp 3

Ανάλυση σφάλματος Ολικό σφάλμα και βέλτιστο βήμα Η δεύτερη παράγωγος ως προς της συνάρτησης g είναι: d g p k c p p d η οποία είναι παντού μεγαλύτερη του μηδενός αφού όλες οι σταθερές είναι θετικές και το βήμα δεν είναι μηδέν. k k c 0, Επομένως, το ελαχιστοποιεί τη συνάρτηση g και είναι το βέλτιστο γιατί ελαχιστοποιεί το ολικό σφάλμα που εκφράζεται από τη συνάρτηση g.