CAPITOLUL 1. ELEMENTE DE TEORIA PROCESELOR STOCHASTICE 43 1.7 Mişcarea Browniană Mişcarea Browniană a fost pentru prima dată observată de către botanistul scoţian Robert Brown în 1828, când a observat mişcarea neregulată a unor granule mici de polen aflate pe suprafaţa unui lichid (această mişcare neregulată este rezultatul coliziunilor aleatoare dintre granulele de polen şi moleculele lichidului). Ca obiect matematic, mişcarea Browniană a fost studiată pentru prima dată de către Louis de Bachelier (1900) în legătură cu teoria bursei de valori, şi de către Albert Einstein (1905), care a folosit-o pentru a verifica teoria moleculară a căldurii. Ei au conjecturat multe din proprietăţile mişcării Browniene, dar a durat mult timp până când s-a putut demonstra existenţa procesului cu proprietăţile specificate (a se vedea Definiţia 1.7.1 de mai jos). În 1923, Norbert Wiener a demonstrat consistenţa definiţiei cu proprităţile specificate (din acest motiv mişcarea Browniană este numită uneori şi proces Wiener), şi mai târziu, în 1951, Monroe David Donsker a dat o demonstraţie completă a convergenţei drumurilor aleatoare către mişcarea Browniană. Mişcarea Browniană poate fi construită ca limita unui drum aleator, după cum urmează: pe un spaţiu de probabilitate (Ω, F, P ) fixat, considerăm variabilele aleatoare (Y n ) n N independente şi identic distribuite, cu şi definim drumul aleator (S n ) n N prin P (Y n 1) P (Y n 1) 1 2, n N, { n S n Y i, n N 0, n 0, n N. Figura 1.2: Câteva traiectorii ale drumului aleator (S n ) n {0,1,...,100} începând la S 0 0. Unind punctele consecutive (n, S n ), n 0, 1, 2,... prin segmente de dreaptă, obţinem un grafic asemănător traiectoriei neregulate descrise de granulele de polen observate de Brown (a se vedea Figura 1.7).
CAPITOLUL 1. ELEMENTE DE TEORIA PROCESELOR STOCHASTICE 44 B t 0 1 Figura 1.3: O traiectorie a unei mişcări Browniene 1-dimensionale B t începută la B 0 0. Cum EY i 0 şi Var (Y i ) E (Y i EY i ) 2 1 oricare ar fi i N, obţinem şi din teorema limită centrală rezultă că ES n 0 şi Var (S n ) n, S n n B 1, n în distribuţie, unde B 1 este o variabilă aleatoare normală N (0, 1). Putem extinde construcţia anterioară pentru a obţine un proces B t definit pentru toţi timpii t 0, considerând S [nt] B t lim, t 0, n n unde am notat prin [x] partea întreagă a numărului real x (cel mai mare întreg mai mic sau egal cu x). Se poate arăta că procesul B t astfel construit este o mişcare Browniană în sensul Definiţiei 1.7.1 (pentru demonstraţie, a se vedea spre exemplu [?]). Considerăm un spaţiu de probabilitate (Ω, F, P ) fixat. Numim proces stochastic pe (Ω, F, P ) o familie (X t ) t 0 de variabile aleatoare indexate după parametrul t 0 astfel încât X(t, ω) X t (ω) : [0, ) Ω R este o funcţie măsurabilă în raport cu σ-algebra produs B F. Definition 1.7.1 O mişcare Browniană 1-dimensională începută la 0 R este un proces stochastic B t pe (Ω, F, P ) cu următoarele proprietăţi: i) P (B 0 0) 1; ii) Pentru orice 0 s < t, B t B s este o variabilă aleatoare normală N (0, t s) cu medie 0 şi dispersie t s, independentă de σ-algebra σ (B r : r s) generată de B r, pentru r s;
CAPITOLUL 1. ELEMENTE DE TEORIA PROCESELOR STOCHASTICE 45 iii) Pentru aproape orice ω Ω, funcţia t [0, ) B t (ω) este continuă. Aşa cum am indicat anterior, faptul că un proces cu aceste proprietăţi există, nu este imediat (a se vedea spre exemplu [?] pentru o demonstraţie a acestui fapt). Două extensii imediate ale definiţiei mai sus sunt următoarele: - mişcarea Browniană 1-dimensională începută la x R, definită ca x + B t, unde B t este o mişcare Browniană 1-dimensională începută la 0 R; - mişcarea Browniană n-dimensională începută la x ( x 1,..., x n) R n, definită ca B t ( Bt 1,..., Bt n ), unde B 1 t,..., Bt n sunt mişcări Browniene 1-dimensionale independente începute la x 1,..., x n R. Pentru a indica faptul că mişcarea Browniană B t porneşte din punctul x, se obişnuieşte să se noteze prin P x şi E x măsura de probabilitate corespunzătoare, respectiv media în raport cu măsura de probabilitate P x. Câteva din proprietăţile mişcării Browniene sunt conţinute în următoarea: Proposition 1.7.2 (Proprietăţi ale mişcării browniene) Fie B t o mişcare Browniană n-dimensională pe (Ω, F, P x ) începută la x R n. a) Distribuţiile finit-dimensionale ale B t sunt date de P x (B t1 F 1,..., B tk F k ) F 1 F k p(t 1, x, x 1 )p(t 2 t 1, x 1, x 2 )... p(t k t k 1, x k 1, x k )dx 1 dx 2... dx k, oricare ar fi k N, 0 t 1 <... < t k şi mulţimile Boreliene F 1,..., F k R n, unde p(t, x, y) 1 x y 2 e 2t n/2 2 (2πt) este densitatea distribuţiei normale N (x, t 2 ) cu medie x şi dispersie t 2 în R n. b) Pentru n 1, media şi covarianţa sunt date de { E x B t x cov(b s, B t ) s t pentru oricare s, t 0; c) Pentru apoape toţi ω Ω, traiectoriile t [0, ) B t (ω) ale mişcării Browniene nu sunt diferenţiabile în nici un punct t [0, ); d) Variaţia totală pe orice interval finit [0, T ] este infinită, adică sup Bti B ti 1 unde supremumul este considerat pentru toate partiţiile : 0 t 0 < t 1 <... < t n ale intervalului [0, T ]; a.s.,
CAPITOLUL 1. ELEMENTE DE TEORIA PROCESELOR STOCHASTICE 46 e) Variaţia pătratică corespunzătoare unei partiţii n : 0 t 0 < t 1 <... < t n a intervalului [0, T ] converge în L 2 (P ) către T, adică V 2 T ( n ) : Bti B ti 1 2 T, în L 2 (P ) când n : max 1 i n t i t i 1 0. Dacă în plus n 1 n <, convergenţa precedentă este şi aproape sigură. Proof. a) Pentru k 1 afirmaţia rezultă din Definiţia 1.7.1 ii). Pentru k 2, condiţionând de B t1, şi folosind proprietatea Markov şi independenţa incremenţilor mişcării Browniene, obţinem: P x (B t1 F 1, B t2 F 2 ) P x (B t1 dx 1, B t2 F 2 ) F 1 P x (B t2 F 2 B t1 x 1 )P x (B t1 dx 1 ) F 1 P x 1 (B t2 t 1 F 2 )P x (B t1 dx 1 ) F 1 P x 1 (B t2 dx 2 )P x (B t1 dx 1 ) F 1 F 2 p(t 2 t 1, x 1, x 2 )p(t 1, x, x 1 )dx 2 dx 1 F 1 F 2 p(t 1, x, x 1 )p(t 2 t 1, x 1, x 2 )dx 1 dx 2. F 1 F k Cazul general rezultă acum prin inducţie după k. b) Avem E x B t x + E x (B t B 0 ) x + 0 x, deoarece B t B 0 este o variabilă aleatoare normală N (0, t). Pentru 0 s < t arbitrar fixaţi, avem: cov(b s, B t ) E x [(B t E x B t ) (B s E x B s )] E x [(B t B s + B s x) (B s x)] E x (B t B s ) E x (B s x) + E x [ (B s x) 2] 0 0 + s s, deoarece B t B s şi B s x sunt variabile aleatoare independente, şi B s x B s B 0 este o variabilă normală N (0, s). În mod similar, pentru s > t 0 arbitrar fixaţi, avem cov(b s, B t ) t, şi combinând cu cazul anterior obţinem: cov(b s, B t ) s t.
CAPITOLUL 1. ELEMENTE DE TEORIA PROCESELOR STOCHASTICE 47 c) Pentru o demonstraţie a se vedea spre exemplu [?], pag.110. d) Conform punctului e) rezultă că variaţia pătratică pe orice interval este finită, şi deci variaţia de ordinul întâi pe orice interval este infinită. e) Considerăm o partiţie n : 0 t 0 < t 1 <... < t n T fixată, şi notăm t k t k t k 1 şi B k B tk B tk 1, k 1,..., n. Folosind independenţa incremenţilor şi Exerciţiul 1.7.3, obţinem ( ) 2 ( ) 2 E ( B k ) 2 T E ( B k ) 2 t k k1 E k1 k1 ) ) (( B i ) 2 t i (( B j ) 2 t j i,j1 ) 2 E (( B i ) 2 t i E (( B i ) 4 2 t i ( B i ) 2 + ( t i ) 2) 4! 2 2 2! ( t i) 2 2 t i t i + ( t i ) 2 2 ( t i ) 2 2 n t i 2T n 0 pentru n 0, şi deci n k1 ( B k) 2 T în L 2 (P ), încheiând prima parte a demonstraţiei. Cea de a doua afirmaţie rezultă din demonstraţia anterioară folosind lema Borel- Cantelli. Câteva din proprietăţi de invarianţă ale mişcării Browniene la transformări geometrice sunt conţinute în următoarea: Proposition 1.7.3 Fie B t o mişcare Browniană n-dimensională începută la x R n. a) (Invarianţa la translaţie) Pentru orice y R n, B t (y x) + B t este o mişcare Browniană n-dimensională începută la y R n. b) (Invarianţa la scalare) Pentru orice constantă c > 0, B t 1 c B c 2 t este o mişcare Browniană n-dimensională începută la 1 c x Rn ; c) (Invarianţa la rotaţie) Pentru orice matrice ortogonală U M n n (R) (adică UU T I n ), B t UB t este o mişcare Browniană n-dimensională începută la Ux R n.
CAPITOLUL 1. ELEMENTE DE TEORIA PROCESELOR STOCHASTICE 48 Proof. a) Conform definiţiei, dacă B t este o mişcare Browniană n-dimensională începută la x R n, atunci B t x + W t, pentru o mişcare Browniană n-dimensională W t începută în origine. Rezultă că B t (y x) + B t (y x) + x + W t y + W t, unde W t este o mişcare Browniană n-dimensională începută în origine, şi deci conform definiţiei B t este o mişcare Browniană n-dimensională începută la y R d. b) Deoarece B t este un vector n-dimensional format din n mişcări Browniene 1- dimensionale independente, este suficient să considerăm cazul n 1. Dacă B t este o mişcare Browniană 1-dimensională începută la x R şi c > 0, rezultă că P ( B 0 0) P ( 1 c B 0 0) P (B 0 0) 1 şi deoarece B c 2 t B c 2 s este o variabilă aleatoare normală N (0, c 2 t c 2 s), obţinem că B t B s 1 c (B c 2 t B c 2 s) are este o variabilă aleatoare normală N(0, t s), pentru orice 0 s < t. De asemenea, funcţia t [0, ) B t (ω) 1 c B c 2 t(ω) este continuă în t a.s. pe Ω, încheiând astfel demonstraţia. c) Similar demonstraţiei anterioare, cu probabilitate 1 procesul Bt UB t începe în punctul B 0 Ux şi are traiectorii continue. Deoarece componentele procesului B t B s sunt variabile aleatoare normale N (0, t s) independente şi U este o matrice ortogonală, putem calcula funcţia caracteristică a unei componente B t k B s k (1 k n) a procesului B t B s după cum urmează: Ee iv( B t k B s k) Ee iv n l1 u kl(bt l Bl s) n E e ivu kl(bt l Bl s) n l1 n l1 l1 Ee ivu kl(b l t Bl s) e v2u 2 kl (t s) 2 e v2 (t s) n l1 u2 kl e v2 (t s), oricare ar fi v R, ceea ce arată că B k t B k s este o variabilă aleatoare normală N (0, t s). Deoarece componentele procesului B t B s sunt variabile aleatoare normale, pentru a demonstra independenţa acestora este suficient să arătăm că sunt necorelate.
CAPITOLUL 1. ELEMENTE DE TEORIA PROCESELOR STOCHASTICE 49 Avem ( cov Bk t B s k, B t l B ) ( s l E Bk t B ) ( s k Bl t B ) s l E u ki (Bt i Bs) i u lj (B j t Bj s) j1 j1 j1 (t s) j1 u ki u lj E(Bt i Bs)(B i j t Bj s) u ki u lj cov(bt i Bs, i B j t Bj s) u ki u lj δ ij (t s) u ki u lj δ kl (t s) 0, oricare ar fi k, l {1,..., n} cu k l, încheiând astfel demonstraţia. Exerciţii Exercise 1.7.1 Dacă B t este o mişcare Browniană 2-dimensională începută la B 0 0, să se calculeze P (B t B(0, r)). Exercise 1.7.2 Să se calculeze funcţia caracteristică Ee iubt 1-dimensionale B t începută la B 0 0. a unei mişcări Browniene Exercise 1.7.3 Folosind dezvoltarea în serie funcţiei exponenţiale şi exerciţiul anterior, să se arate că pentru o mişcare Browniană 1-dimensională începută la B 0 0 avem EBt 4 3t 2. Mai general, să se arate că EB 2n t (2n)! 2 n n! tk, n N.