,millest avaldub 21) 23)

Σχετικά έγγραφα
MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS VII OSA

sin 2 α + cos 2 sin cos cos 2α = cos² - sin² tan 2α =

DEF. Kolmnurgaks nim hulknurka, millel on 3 tippu. / Kolmnurgaks nim tasandi osa, mida piiravad kolme erinevat punkti ühendavad lõigud.

; y ) vektori lõpppunkt, siis

KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS VII teema Vektor. Joone võrrandid.

Ülesannete numbrid on võetud ülesannete kogust L.Lepmann jt. Ülesandeid gümnaasiumi matemaatika lõpueksamiks valmistumisel Tln Ül.

KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS V teema Vektor. Joone võrrandid.

Kompleksarvu algebraline kuju

Vektorid II. Analüütiline geomeetria 3D Modelleerimise ja visualiseerimise erialale

MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED LEA PALLAS XII OSA

Ruumilise jõusüsteemi taandamine lihtsaimale kujule

Planeedi Maa kaardistamine G O R. Planeedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kera. Joon 1

Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded

Lokaalsed ekstreemumid

PLASTSED DEFORMATSIOONID

Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded

Trigonomeetria gümnaasiumis

Analüütilise geomeetria praktikum II. L. Tuulmets

2.2.1 Geomeetriline interpretatsioon

Funktsiooni diferentsiaal

HAPE-ALUS TASAKAAL. Teema nr 2

20. SIRGE VÕRRANDID. Joonis 20.1

Geomeetria põhivara. Jan Willemson. 19. mai 2000.a.

Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120

Ehitusmehaanika harjutus

Koduseid ülesandeid IMO 2017 Eesti võistkonna kandidaatidele vol 4 lahendused

4.1 Funktsiooni lähendamine. Taylori polünoom.

Eesti koolinoorte XLIX täppisteaduste olümpiaad

Kitsas matemaatika-3 tundi nädalas

Vektor. Joone võrrand. Analüütiline geomeetria.

HULGATEOORIA ELEMENTE

Ainevaldkond Matemaatika

Eesti LIV matemaatikaolümpiaad

Geomeetrilised vektorid

Graafiteooria üldmõisteid. Graaf G ( X, A ) Tippude hulk: X={ x 1, x 2,.., x n } Servade (kaarte) hulk: A={ a 1, a 2,.., a m } Orienteeritud graafid

Eesti koolinoorte XLVIII täppisteaduste olümpiaadi

1 Funktsioon, piirväärtus, pidevus

Kontekstivabad keeled

ITI 0041 Loogika arvutiteaduses Sügis 2005 / Tarmo Uustalu Loeng 4 PREDIKAATLOOGIKA

(Raud)betoonkonstruktsioonide üldkursus 33

Mitmest lülist koosneva mehhanismi punktide kiiruste ja kiirenduste leidmine

Funktsioonide õpetamisest põhikooli matemaatikakursuses

Tallinna Tehnikaülikool Mehaanikainstituut Deformeeruva keha mehaanika õppetool. Andrus Salupere STAATIKA ÜLESANDED

2017/2018. õa keemiaolümpiaadi piirkonnavooru lahendused klass

6 Mitme muutuja funktsioonid

9. AM ja FM detektorid

28. Sirgvoolu, solenoidi ja toroidi magnetinduktsiooni arvutamine koguvooluseaduse abil.

Eesti koolinoorte XLI täppisteaduste olümpiaad

Ainevaldkond Matemaatika gümnaasiumi ainekava

8. KEEVISLIITED. Sele 8.1. Kattekeevisliide. Arvutada kahepoolne otsõmblus terasplaatide (S235J2G3) ühendamiseks. F = 40 kn; δ = 5 mm.

T~oestatavalt korrektne transleerimine

Teaduskool. Alalisvooluringid. Koostanud Kaljo Schults

IKT vahendite kasutamisest gümnaasiumi matemaatikakursuste õpetamisel

1 Kompleksarvud Imaginaararvud Praktiline väärtus Kõige ilusam valem? Kompleksarvu erinevad kujud...

4.2.5 Täiustatud meetod tuletõkestusvõime määramiseks

KOMBINATSIOONID, PERMUTATSIOOND JA BINOOMKORDAJAD

Andmeanalüüs molekulaarbioloogias

1.1. NATURAAL-, TÄIS- JA RATSIONAALARVUD

Tuletis ja diferentsiaal

Sissejuhatus. Kinemaatika

AINE ÕPPE- JA KASVATUSEESMÄRGID ÜLDPÄDEVUSED

TARTU ÜLIKOOL Teaduskool. STAATIKA TASAKAALUSTAMISTINGIMUSED Koostanud J. Lellep, L. Roots

Eesti koolinoorte 43. keemiaolümpiaad

Vektoralgebra seisukohalt võib ka selle võrduse kirja panna skalaarkorrutise

REAALAINETE KESKUS JAAK SÄRAK

Eesti koolinoorte 26. füüsika lahtine võistlus

Eesti koolinoorte 51. täppisteaduste olümpiaad

Kirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika

Prisma. Lõik, mis ühendab kahte mitte kuuluvat tippu on prisma diagonaal d. Tasand, mis. prisma diagonaal d ja diagonaaltasand (roheline).

KEEMIAÜLESANNETE LAHENDAMISE LAHTINE VÕISTLUS

Smith i diagramm. Peegeldustegur

Matemaatilised ja trigonomeetrilised funktsioonid

MATEMAATIKA KITSA JA LAIA KURSUSE RIIGIEKSAM

Kehade soojendamisel või jahutamisel võib keha minna ühest agregaatolekust teise. Selliseid üleminekuid nimetatakse faasisiireteks.

Veaarvutus ja määramatus

Vektori u skalaarkorrutist iseendaga nimetatakse selle vektori skalaarruuduks ja tähistatakse (u ) 2 või u 2 u. u v cos α = u 2 + v 2 PQ 2

MATEMAATILINE ANAL U US II Juhend TT U kaug oppe- uli opilastele

Jätkusuutlikud isolatsioonilahendused. U-arvude koondtabel. VÄLISSEIN - COLUMBIA TÄISVALATUD ÕÕNESPLOKK 190 mm + SOOJUSTUS + KROHV

Arvuteooria. Diskreetse matemaatika elemendid. Sügis 2008

Joonis 1. Teist järku aperioodilise lüli ülekandefunktsiooni saab teisendada võnkelüli ülekandefunktsiooni kujul, kui

1.2. Ainevaldkonna õppeainete kohustuslikud kursused ja valikkursused

Matemaatika VI kursus Tõenäosus, statistika KLASS 11 TUNDIDE ARV 35

ALGEBRA I. Kevad Lektor: Valdis Laan

7.7 Hii-ruut test 7.7. HII-RUUT TEST 85

Mathematica kasutamine

KATEGOORIATEOORIA. Kevad 2010

NÄIDE KODUTÖÖ TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL. Elektriajamite ja jõuelektroonika instituut. AAR0030 Sissejuhatus robotitehnikasse

6.6 Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad

MATEMAATILISEST LOOGIKAST (Lausearvutus)

MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE

Ehitusmehaanika. EST meetod

Eesti koolinoorte 50. täppisteaduste olümpiaad Füüsika lõppvoor. 30. märts a. Keskkooli ülesannete lahendused

Skalaar, vektor, tensor

3. LOENDAMISE JA KOMBINATOORIKA ELEMENTE

O15. Prisma aine dispersiooni määramine goniomeetri abil.

Keemia lahtise võistluse ülesannete lahendused Noorem rühm (9. ja 10. klass) 16. november a.

Avaliku võtmega krüptograafia

2. HULGATEOORIA ELEMENTE

LOOGIKA ELEMENTE MATEMAATIKAS. GEOMEETRIA AKSIOMAATILISEST ÜLESEHITUSEST. Koostanud Hilja Afanasjeva

Excel Statistilised funktsioonid

Transcript:

II kursus TRIGONOMEETRIA * laia matemaatika teemad TRIGONOMEETRILISTE FUNKTSIOONIDE PÕHISEOSED: sin α s α sin α + s α,millest avaldu s α sin α sα tan α, * t α,millest järeldu * tα s α tα tan α + s α Ülesanne. Lihtsustage avaldis. ) sin 5x+ s 5x ) s ( x + ) + sin ( x+ ) ) s x tan x ) s 4x tan 4x sin 6x sin(x+ 50 ) ) ) s6x s(x+ 50 ) 4) + tan x 4) s α 5) sin α 5) s α : 6) s α (+ tan α) 6) : : sα 7) sin α (+ tan α) 7) sα tan α 8) 8) + s α sin α + tan α s α 9) 9) + sin α sin α + tan α 0) sα 0) tan α s α + s α ) sin β tanβ + sβ ) ( sin α ) tan α ( sin β ) tan β ) + tan β ) s β sin β ) (+ tan β )s β + s 60 ) + sβ tanβ 4) 4) sα sin γ tan γ 5) + tan α s γ sin γ 5) sin α tan α 4 6) sin γ + sin γ s γ + s γ 6) sin α tan α + sin α + tan α s α 7) + tan α 7) sα

α s 8) tan α sin α tan α + sin α + s α 8) 9) ( sin α)( + tan α) sin α 9) tan α sin α tan α sin α 0) s α+ 40) sin α sin β + sin α s β Vastused: ) ) sin x ) tan 6x 4) 5) s x 6) 7) tan α 8) sin α 9) 0) 0 ) s x ) 0 ) 4) 5) 6) 7) s α 8) 9) α sβ s 0) s α ) ) sin 4x ) tan(x+ 50 ) 4) sin α 5 ) tan α 6) tan α 7) + s α 8) s α 9) 0) sin α ) s α ) ) sβ 4) sin α 5) 6) 7) tan α s α s α 8) 9) 0 40) s α s α Avaldiste lihtsustamiseks kasutatakse lisaks sestele erinevate trignmeetriliste funktsinide vahel ka algeraliste avaldiste lihtsustamise võtteid. Tuletame meelde krrutamise aivalemid: a+ a a Ruutude vahe ( )( ) Summa (vahe) ruut ( ) Ülesanne. Lihtsustage avaldis. a ± a ± a+ ( ) + ( + ) ) s α sin α s α ) sα s α ) 4) (+ ) + ( sα) sα ( + sβ )( sβ ) 5) tan β s α 6) ( + sα) 7) (+ ) tan β ( ) 8) ( + sβ ) sβ 9) ( + sα) ( ) + (sα ) sα 0) s α + sin α sin α + Vastused: ) ) sin α + sα ) + 4) 4 sα 5) s β 6) tanβ 7) sin α sin β 8) 9) 0)

TRIGONOMEETRILISED *TAANDAMISVALEMID Jnisel n ühikringjn (keskpunkt n nullpunktis ja raadius n ). Nurga siinuseks ühikringis n nurga lõpphaara ja ühikringi lõikepunkti rdinaat (y-krdinaat). Nurga ksinuseks ühikringis n nurga lõpphaara ja ühikringi lõikepunkti astsiss (x-krdinaat). Jnisel n nurkade siinuslõigud märgitud katkendliku jnega. Näeme, et I ja II veerandi nurkade siinuslõigud AA ja BB asuvad ülalpl x-telge ja seega n nende nurkade siinused psitiivsed. III ja IV veerandi nurkade siinuslõigud CC ja DD n allpl x-telge ja nende nurkade siinused n negatiivsed. Jnisel n nurkade ksinuslõigud punktiirjnega. Näeme, et I ja IV veerandi nurkade ksinuslõigud OA ja OD asuvad x-telje psitiivsel plteljel ja seega n neis veerandites ksinus psitiivne. II ja III veerandi nurkade ksinuslõigud OC ja OB n x-telje negatiivsel plteljel ja nende nurkade ksinused n negatiivsed. Kuna tangens n siinuse ja ksinuse jagatis ja ktangens ksinuse ja siinuse jagatis, siis nende funktsinide märgid tulenevad siinuse ja ksinuse märkidest. Neis veerandites, kus siinus ja ksinus n samamärgilised (I ja III), n tangens ja ktangens psitiivsed. Neis veerandites, kus siinus ja ksinus n erimärgilised (II ja IV), n tangensi ja ktangensi väärtused negatiivsed. Kkkuvõtvalt: I VEERANDI nurkade trignmeetrilised trignmeetrilised funktsinid n kõik psitiivsed. TÄIENDUSNURKADE (summa n täisnurk) funktsinid: sin(90 - ) s nurga siinus võrdu täiendusnurga ksinusega ja vastupidi s(90 - ) sin nurga tangens võrdu täiendusnurga ktangensiga ja vastupidi tan(90 - ) t, tan( 90 α) Ülesanne. Lihtsustage avaldis. tan α s (90 α) ) [ ] ) + s α sin α sin(90 α) ) + sin(90 α) 4) + sin (90 α) + s (90 α) sin(90 α) tan(90 α)

sin α 5) + sin(90 α) tan(90 α) sin(90 α) sin( 90 α) tan(90 α) + s(90 α) sin 6) [ ] α sin α 7) s(90 α) + sin (90 α) 8) ( + tan α) tan (90 α) 9) + sin( x 90 ) s x tan x tan(90 x) Vastused: ) s α ) s α ) 4) s α α + s Ülesanne 4. Lihtsustage avaldis. ) ) ) 5) 6) 7) tan α 8) sin α 9) sin α sin + sin 78 9) sin 0 + s 70 sin 7 tan9 0) tan6 tan 74 sin 4 s 48 ) tan 66 + tan 4 + sin7 ( ) sin50 4) tan 40 sin0 s80 ) tan 0 : tan80 + sin 40 s 4 sin5 5) sin 4 ) + tan80 tan0 sin 66 s75 tan8 6) + sin 5 + sin 8 4) (s ) : s tan 78 tan8 sin5 s55 7) sin 5 tan 65 s5 + sin 5 s5 sin 55 tan5 tan55 5) 8) sin 46 + sin 44 + tan 46 6) tan 40 (tan 50 + ) Vastused: ) ) ) s 66 4) s 0 5) sin 4 6) 7) tan 5 8) s 8 s 46 9) 0) ) 0 ) ) 4) - 5) 6) s 40 s 0 *II VEERANDI taandamisvalemid: sin(80 - ) + sin s(80 - ) - s tan(80 - ) - tan *III VEERANDI taandamisvalemid: sin(80 + ) - sin s(80 + ) - s tan(80 + ) + tan *IV VEERANDI taandamisvalemid: sin(60 - ) - sin s(60 - ) + s tan(60 - ) - tan sin(90 + ) + s s(90 + ) - sin tan(90 + ) - t sin(70 - ) - s s(70 - ) - sin tan(70 - ) + t sin(70 + ) - s s(70 + ) + sin tan(70 + ) - t

*Pane tähele: taandades80 või 60 juures, jää funktsin samaks, 90 ja 70 juures taandades muutu siinus ksinuseks, tangens ktangensiks ja vastupidi. Knkreetse suurusega nurkade taandamisel I veerandi nurkadeks tule kõigepealt määrata veerand siis märk ning seejärel tsustada, kas tule muuta nimetust või ei. NEGATIIVSE NURGA funksinide märgid sõltuvad samuti sellest, millisesse veerandisse satu nurga lõpphaar, mis pöörle sedapuhku päripäeva (vt. jnist): sin(-) - sin s(-) s tan(-) - tan Trignmeetria ülesannete lahendamisel n tstarekas teada mõningate nurkade 0 trignmeetriliste funktsinide täpseid väärtusi: Pea meeles, et rad 80 rad/ deg/ 0 0º 0 s α tan α 0 6 0º 4 45º 60º *Näide. Arvuta. ) s40 s(80 +60 ) - s60 - Sama vastuse leks saanud, kui taandaksime 70 kaudu: 80 90º 70 0-0 0-0 - 0-0 60 s40 s(70-0 ) - sin0 - ) sin 50 sin(80-0 ) sin0 ) tan5 tan(60-45 ) - tan45 - Võrrelge vastuseid taskuarvuti ail leitutega! *Näide. Lihtsusta avaldis tan(80 + ) tan(90 + ) - sin(80 - ) sin(60 - ) Kasutame taandamisvalemeid: tan(80 + ) tan tan(90 + ) - t sin(80 - ) sin sin(60 - ) - sin (III veerand, märk +, nimetus sama) (II veerand, märk -, nimetus muutu) (II veerand, märk +, nimetus sama) (IV veerand, märk -, nimetus sama) Asendame tulemused algavaldisse:

tan(80 + ) tan(90 + ) - sin(80 - ) sin(60 - ) tan (-t ) - sin (-sin ) - + sin - ( sin ) - s LIITMISVALEMID: sin( α ± β ) sβ ± sα s ( α ± β) sα sβ m ± tanβ tan( α ± β ) m tanβ *SUMMA TEISENDAMINE KORRUTISEKS: α + β α β + sin s α+ β α β s sin *KAHEKORDSE NURGA TRIGONOMEETRILISED FUNKTSIOONID: sin α sα sα s α sin α tan α tan α α + β α β sα+ sβ s s α+ β α β sα sβ sin sin Näide. Arvuta avaldise täpne väärtus. ) s s - sin sin s( + ) s45 ) (s5 ) - (s75 ) (s5 ) [s(90-5 )] (s5 ) (sin5 ) s*5 s0 ) sin5 sin75 sin5 s5 ½* sin5 s5 sin*5 sin0 4) 0 45 Võrrelge vastuseid taskuarvuti ail leitutega! Ülesanne 5. Lihtsustage avaldis. ) sin5 s45 tan0 s50 0) sin 90 s0 tan 45 sin 45 s45 ) sin 60 tan60 + s80 sin50 sin0 s 0 ) sin50 sin 0 s80 tan 0 + sin 45 s45 tan0 + 5tan 60 4) ) sin 45 + s45 5 : tan0 + : tan 60 tan 60 sin 60 sin 60 5) + s 0 tan 60 ) tan 60 6) sin( ) tan s( ) + tan 60 s0 + sin 45 6 4 ) 7) sin 60 s60 tan 45 4) sin 90 s90 + tan 60 sin 0 s0 8) sin 0 sin 60 tan0 + s0 s60 tan 60 5) + + s60 s60 tan 45 sin0 s0 9) + s 60 s60 tan 45

Vastused: ) - ) -,5 ),75 4) 5) 0,75 6) 0 7) 0,5 8) 4+ ),5 ) 4) 5) + 9 9) 0) ) Näide 4. Leidke ) sα, kui 0,8 ja α n II veerandi nurk, st. α Kasutame sest sin α + s α, millest sα ± sin α. Märgi valime ksinusele II veerandi järgi. Seega sα sin α 0,8 0,6 0, 6 ), kui sα ja α. 5 Esmalt leiame sarnaselt eelmise ülesandega, arvestades, et 0, 6 ja et IV veerandis n 5 siinus negatiivne: s α 0,6 0,64 0, 8 Kasutame sest tan α. s α 0,8 8 4 sα 0,6 6 II võimalus leidmiseks n kasutada sest α + tan, millest s α 00 00 6 64 tan α s α 0,6 0,6 6 6 6 Arvestades, et IV veerandis n tangens negatiivne saame *) sα, kui 0,8 ja α n II veerandi nurk, st. α. Kasutame ära esimeses ülesandes leitud sα - 0,6 ja kahekrdse nurga valemit sα s α sin α : sα s α sin α (-0,6) - 0,8 0,6 0,6 4-0,8 *4), kui 0,8 ja α n II veerandi nurk, st. α. Kasutame ära esimeses ülesandes leitud sα - 0,6 ja kahekrdse nurga valemit sin α sα : sin α sα *0,8*(-0,6) - 0,96 *Ülesanne 6. Lihtsustage avaldis. ) s( 80 α) tan(80 α) ) sin (80 α) + s (80 α) + tan α ) : tan(80 α) + tan(80 α) tan(90 α) 4) : s(80 α) : tan(90 α) + sin(90 α) 5) sin( x+ )sin( x) s( x+ 8 )s( x) 6) sin xsin(90 x) tan(70 x) 64 6 8 6

Vastused: ) 0 ) ) 0 4) (sα ) 5) - 6) sin x s α II kursus NÄIDISTÖÖ nr. Trignmeetria. Arvutada avaldise täpne väärtus. ) sin(-90 ) sin50 + s570 s80 + tan600 tan0 ; ) sin7 s7 - s7 sin7 ; ) s 75 sin05 ; tan 75 4), tan 75. Arvutada sα,,* s α, kui ning α 5. Lihtsustada. + sα + sin α sα) ) ( ) ( *) sin (60 α) + s *4. Tõestada samasus sin α s α sα 5. RE ülesanne (80 + α) + tan (80 α) Ül.86-9 Ül. 94-0 Ül. 7-9 Vastused:. ) 0,75 ) -0,5 ) 0,5 4). 0,8; -0,75; 0,8. ) ) RINGJOONE PIKKUS: Cr SEKTORI KAARE PIKKUS: SEKTORI PINDALA JA KAARE PIKKUS RINGI PINDALA: Sr SEKTORI PINDALA: r r - raadius r x l l kaare pikkus x s l rx x nurk radiaanides r x rl s 60 0 r 60 0 r α l s sektri pindala α s rα r α l α nurk kraadides s 80 60 s α Näide 5. Arvuta sektri kaare pikkus ja sektri pindala, kui ) r 6m, α 0 60 0 r 60 0 r 0 l 0 s 0 6 0 6 l ( m),4 ( m ) s ( m ) 9,4( m 60 60 ) r m, x rad ) t α )

r r l s.... l ( m),4( (m) s ( m ) 4,7( m ) Näide 6. Arvuta sektri nurk radiaanides, kui r dm ja sektri kaare pikkus n dm. r x * x 0, 5rad * TÄISNURKSE KOLMNURGA LAHENDAMINEE Täisnurkse klmnurga elementideks nimetatakse tema kaateteid a ja, hüptenuusi ja teravnurki α, β ning täisnurka γ 90. Klmnurga lahendamiseks nimetatakse klmnurga puuduvate elementide leidmist antud kahe, millest vähemalt üks n külg, elemendi kaudu. TÄISNURKSE KOLMNURGA teravnurga vastaskaatet siinus hüptenuus lähiskaatet ksinus hüptenuus vastaskaatet tan gens lähiskaatet sα a a a sβ tanβ a α +β 90 Pythagrase tereem: a + Pindala Näide 7. Lahendame täisnurkse klmnurga, kui teravnurk α 6 5`6,55 ja kaatet 5,4 m. ) teravnurk β 90-6 5` 90-6 5` 8,75 8 45` a a ) kaatet a valemist tan α. tan 6,5 a 5,4 * tan 6, 5 9,84( m) 5,4 5,4 5,4 ) hüptenuus valemist s α. s6,5,( ) s 6.5 m Hüptenuusi leks saanud leida ka Phythagrase tereemi ail, kuid siis ei leks saanud kasutada üksnes lähteandmeid. Kntrlliks võiksimegi kasutada nimetatud tereemi: 9,84 + 5,4, nagu pidigi lema. Vastus: a 9,84 m,, m ja β 8 45`. a S

KOLMNURGA PINDALA Klmnurga pindala võrdu aluse ja sellele jnestatud kõrguse ple krrutisega. Tuletame veel ühe valemi klmnurga pindala arvutamiseks kahe külje ja nendevahelise nurga kaudu. Olgu antud klnurk ABC (vt. Jnist). Jnestame küljele kõrguse h. h Täisnurksest klmnurgast ADC h. Klmnurga pindala S h. Saa näidata,et samasugune ses kehti ka nürinurkse klmnurga puhul. S Klmnurga pindala võrdu kahe külje ja nendevahelise nurga ple krrutisega. Sellest valemist n kerge tuletada rööpküliku pindala valem rööpküliku lähisküljed ja α n lähiskülgedevaheline nurk. S a, kus a ja n KOLMNURGA LAHENDAMINE Siinustereem: klmnurga küljed n võrdelised vastasnurkade siinustega. Ksinustereem: klmnurga ühe külje ruut n võrdne ülejäänud külgede ruutude summaga, millest n lahutatud samade külgede ja nendevahelise nurga ksinuse kahekrdne krrutis. SIINUSTEOREEM: a sinγ KOLMNURGA PINDALA: ah S S pr Hern KOOSINUSTEOREEM: * sα a *sβ a * sγ p ( a+ + ) / S p( p a)( p )( p ) a a a + + + α + β + γ 80 S a *sinγ S * S a * Näide 8. Lahendame klmnurga ja arvutame selle pindala, kui a 5 m, 0 m ja β 80. ) leiame siinustereemi ail nurga α. a 5 0 5*sin80 0,807 α 55,5 55 09` sin80 0 ) γ 80 ` ( α + β ) γ 80 (55,5 + 80 ) 44,85 44 5 ) leiame siinustereemi ail külje. 0 0 *sin 44,85,5( m ) sinγ sin80 sin 44,85 sin80

4) leiame klmnurga pindala S. S asinγ * 5*0 *sin 44,85 64( m ) Vastus:,5 m, α 55 09`, γ 44 5` ja S 64 m. Märkus: Kui n antud klmnurga kaks külge ja neist väiksema külje vastasnurk, või leiduda kaks klmnurka, mils rahuldavad antud tingimusi. Näide 9. Lahendame klmnurga ja arvutame selle pindala, kui 0 m, 8 m ja α 7. ) leiame ksinustereemi ail külje a. a + sα 0 + 8 * 0 *8* s7 74 a 7,( m) ) leiame siinustereemi ail väiksema nurga β, kuna see vasta lühemale küljele. a 7, 0 0*sin 7 0,57 β 0,84 0 50` sin 7 7, ) γ 80 ( α + β ) γ 80 (7 + 0,84 ) 77,6 4) S * 0*8*sin 7 6( m ) Vastus: a 7, m, β 0 50`, γ 77 0` ja S 6 m. 77 0 ` Märkus: Kui klmnurga lahendamisel n tarvis leida kaks nurka, tuleks esmalt arvutada väiksem nurk (asetse lühema külje vastas) ning seejärel 80 -st lahutamise teel suurem nurk, sest viimane või lla nürinurk ja selle leidmine n kõige lihtsam just nii. Näide 0. Lahendame klmnurga, kui a 4 m, 5 m ja 8 m. ) leiame ksinustereemi ail esmalt väikseima nurga α. + a a + sα * sα + a sα 5 + 8 4 ` sα 0,95 α 4,5 4 09 *5*8 ) leiame siinustereemi ail teise väiksema nurga β. a 4 5 5*sin 4,5 0,54 β 0,76 sin 4,5 4 0 45` ) γ 80 ( α + β ) γ 80 (4,5 + 0,76 Vastus: α 4 09`, β 0 45` ja γ 5 06`. ) 5,09 5 06 ` Näide. Arvutame rööpküliku pikema diagnaali ja pindala, kui rööpküliku küljed n 6 m ja 0 m ning üks nurk n 6 6`. Kuna rööpküliku lähisnurkade summa n 80 ja kui üks nurkadest α 6 6`6,4, siis nürinurk β 80 6,4 6,57. Rööpküliku pikem diagnaal d ngi nürinurga β vastaskülg klmnurgas ABC. Ksinustereemi järgi d 0 + 6 *0*6*s6,57 89,67 d,8( m) Rööpküliku pindala S a 0*6*sin 6,4 5,7( m ) Sama hästi leksime võinud pindala valemis kasutada ka nurka β 6,57, kuna sin 6,57 sin 6,4 vastavalt II veerandi taandamisvalemile. Vastus: d,8 m ja S 5,7 m.

II kursus NÄIDISTÖÖ nr.: Klmnurga lahendamine. Sektr. Ülesannete numrid n võetud ülesannete kgust L.Lepmann jt. Ülesandeid gümnaasiumi matemaatika lõpueksamiks valmistumisel. Arvuta sektri kaare pikkus ja sektri pindala, kui raadius n 9 m ning nurk ) 0 ) radiaani. Lahenda täisnurkne klmnurk ja leia klmnurga pindala. Ül.49-64. Lahenda klmnurk ( siinustereemi ail) ja leia klmnurga pindala. Ül.66-69 4. Lahenda klmnurk (siinus- ja ksinustereemi ail) ja leia klmnurga pindala. Ül.70-80 5. RE ülesanne