Α ΟΜΑΔΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Να εξετάσετε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις, όταν: () με R και (). Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Το πεδίο ορισμού της είναι A R. Επομένως A A R Α Θα εξετάσουμε αν για κάθε R ισχύει. Επομένως. Ο Μ Α Δ Α Δίνονται οι συναρτήσεις ln ln και ln. Να εξετάσετε αν. Στην περίπτωση που είναι, να προσδιορίσετε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ισχύει. Η συνάρτηση ορίζεται μόνο αν 0 και 0. 7
0 0 0, 0. Επομένως A R / 0,. Η συνάρτηση ορίζεται αν και μόνο αν 0. 0 0 0 ή. Επομένως A, 0,. Άρα έχουμε A A, οπότε. Για κάθε A είναι: ln ln ln ln ln Άρα για κάθε, 0,. Έτσι το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ισχύει είναι το σύνολο, 0,. Επομένως οι συναρτήσεις και είναι ίσες στο, 0,.. 3 Έστω οι συναρτήσεις e και Να βρείτε τις συναρτήσεις και Πρώτα βρίσκουμε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων. Για την θα έχουμε: πεδίο ορισμού το A 0, 0 e 0 e e e 0, οπότε η έχει. 8
Για την θα έχουμε: 0, οπότε η έχει πεδίο ορισμού το A R Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το A A 0,, και τύπο e Για το πεδίο ορισμού της πρέπει επιπλέον να είναι 0 0 0 άρα 0,,, Ο τύπος της συνάρτησης είναι: e e 4 Δίνονται οι συναρτήσεις και με ln και Να βρείτε τις συναρτήσεις:, και. Η συνάρτηση ορίζεται αν και μόνο αν 0 0 0,, ln 0. 9
Επομένως A 0,,. Η ορίζεται αν και μόνο αν 0. Επομένως. A, Είναι: A A 0,. Επομένως ορίζονται οι συναρτήσεις,,. ln. ln ln Επειδή: A 0 A 0 0 0 0 ορίζεται το πηλίκο και έχουμε: ln, 0. ln 0
5 Για τις συναρτήσεις, : R R ισχύει: () () ( ) (() ()) για κάθε R. Να βρείτε τους τύπους των και. 4 0 0 0 0 άρα και 0 άρα. 6 Για τις συναρτήσεις, : R R ισχύει: για κάθε R. Να δειχθεί ότι το σημείο Μ ( (), ()) ανήκει στον κύκλο C: y. 0 0 0 και 0 0
Επομένως οι συντεταγμένες του σημείου M, επαληθεύουν την εξίσωση y αφού. Άρα C. 7 Δίνεται η συνάρτηση : R α) Η συνάρτηση β) Η συνάρτηση h R. Να δείξετε ότι: είναι άρτια. είναι περιττή. γ) Κάθε συνάρτηση ορισμένη στο R γράφεται σαν άθροισμα μιας άρτιας και μιας περιττής συνάρτησης. α) Είναι A R και επιπλέον έχουμε: για κάθε R. Επομένως η είναι άρτια. β) Είναι Ah R και επιπλέον έχουμε: h για κάθε R. Επομένως η h είναι περιττή.
γ) Έστω R, τότε έχουμε: h. Άρα h για κάθε R. Επομένως κάθε συνάρτηση ορισμένη στο R μπορεί να γραφεί σαν άθροισμα μιας άρτιας και μιας περιττής συνάρτησης. 8 Έστω οι συναρτήσεις () ln( ) και (). Να οριστεί η σύνθεση της με την. Πρώτα βρίσκουμε τα πεδία ορισμού των,. Για την πρέπει 0 Για την πρέπει 0 0, επομένως A,, άρα A,0 Επομένως το πεδίο ορισμού της σύνθεσης θα είναι: A { A / () A } ln( ) 0 ln( ) ln (, ] Ο τύπος της συνάρτησης είναι o ln ln 3
9 Δίνονται οι συναρτήσεις και με τύπους 4 και. Να βρείτε τις συναρτήσεις και. Η ορίζεται στο A, Για να ορίζεται η A A / A. Έχουμε: και η ορίζεται στο A πρέπει και αρκεί R. A R 3. A, Επομένως A 3, οπότε ορίζεται η. Ο τύπος της είναι: 4 3 για κάθε 3. Για να ορίζεται η πρέπει και αρκεί το σύνολο A A / A. Έχουμε: A A 4 R,,. Επομένως A, Ο τύπος της είναι: οπότε ορίζεται η. 4 4 για κάθε. 4
0 Να βρείτε τον τύπο της έτσι ώστε. e και Έχουμε e e () Θέτουμε t t και αντικαθιστώντας στην () προκύπτει: t t t e t t ή t e t e Δίνονται οι συναρτήσεις και ώστε, 0. ln, 0 και α) Να βρεθεί η συνάρτηση h ώστε h. β) Να βρεθεί η συνάρτηση φ ώστε. α) Αφού h για κάθε 0. τότε A A 0, και h h Είναι h h hln. Θέτουμε ln e. Οπότε έχουμε: h h e, R h e, R. e Άρα η ζητούμενη συνάρτηση h είναι: h e, R. β) Αφού τότε A 0, και 5
για κάθε 0. Είναι ln e. Άρα η ζητούμενη συνάρτηση φ είναι: e, 0. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού και ο τύπος της συνάρτησης h με h ln. Το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο A, Θέτουμε t ln.. Το πεδίο ορισμού της t είναι το σύνολο A 0 / ln A t. 0 0 0 0 0 ln A ln 0 ln e e 0 e e Θέτουμε.. Άρα At, e. Το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο A R : A R R 3 A Είναι A A, 3 h.. Άρα A, 3.. Το σύνολο αυτό είναι το πεδίο ορισμού της h. 6
Έτσι A, 3 h. Ο τύπος της h είναι: h ln ln ln ln 4 3. 3 Δίνονται οι συναρτήσεις, : R R Aν ορίζονται οι συνθέσεις και στο R, να αποδείξετε ότι: α) Αν η είναι γνησίως αύξουσα και η είναι γνησίως φθίνουσα τότε η και η είναι γνησίως φθίνουσες. β) Αν η και η είναι γνησίως φθίνουσες τότε η και η είναι γνησίως αύξουσες. α) γνησίως αύξουσα στο R για κάθε, γνησίως φθίνουσα στο R για κάθε, Έστω τώρα, A R με R με με. Άρα η είναι γνησίως φθίνουσα. Ομοίως για τη συνάρτηση. β) γνησίως φθίνουσα στο R για κάθε, Επομένως: R με 7
Έστω, A με. Άρα η είναι γνησίως αύξουσα. Ομοίως για τη συνάρτηση 4 Να βρείτε τον τύπο της έτσι ώστε ln και Από τον τύπο της θα έχουμε Οπότε: ln ln ln ln ln ln () Αν ln 0 ln ln ln ln e τότε η () γίνεται e 0 ln 0 lne 0 0 4, αδύνατη. e Αν ln 0 e τότε η () γίνεται ln ln 8
5 Έστω η γνησίως μονότονη συνάρτηση : R R της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από τα σημεία Α(, 5) και B(, 7). α) Να βρείτε το είδος της μονοτονίας της. β) Να λυθεί η ανίσωση: ( 4) 6 5 0. α) Αφού η γραφική παράσταση της διέρχεται από τα σημεία, 5 και, 7 θα έχουμε 5 και 7. Επίσης η είναι γνησίως μονότονη και επειδή θα είναι τελικά γνησίως φθίνουσα. β) 4 6 5 0 4 6 5 4 6 4 6 4 7 4 4 6 Έστω οι συναρτήσεις, : R R με () 0 και () 0 για κάθε R. Η είναι γνησίως αύξουσα και η είναι γνησίως φθίνουσα. α) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση. β) Να λυθεί η ανίσωση: (3) (3) 0. α) γνησίως αύξουσα στο R για κάθε, R με 9
. γνησίως φθίνουσα στο R για κάθε,. Οπότε:. R με Συνεπώς θα έχουμε: αφού 0 και 0. Άρα. Επομένως η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο R. β) 3 3 0 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 0 0 3. 30
7 Να δείξετε ότι η συνάρτηση lne e αντιστρέφεται και να βρεθεί η. Κατ αρχάς πρέπει e 0 e και e e 0 e e e, άρα το πεδίο ορισμού της είναι το A e, e. Αν ln e e ln e e e e e e e e e e, άρα η είναι, άρα αντιστρέφεται. Θα έχουμε: y y y ln e e e e e e e e y y e e 0 e e y y y y e e e, e e e e e e Στην όπου βάζουμε y και όπου y βάζουμε και έτσι έχουμε την αντίστροφη y e e e Για να βρούμε το πεδίο ορισμού της της. Επειδή A e, e θα είναι e e Επομένως από τη σχέση () έχουμε:, βρίσκουμε το σύνολο τιμών 3
y y e e e e e 0 e e e y y y e e e e e e e e e y y y y e e e e e e 0 0 e e e e y lne y ln lne y ln () Επίσης έχουμε y (3). Συναληθεύοντας τις () και (3) προκύπτει y. Επομένως το σύνολο τιμών της είναι (A),, άρα το πεδίο ορισμού της είναι A, με e e e ΣΧΟΛΙΟ: Το σύνολο τιμών της θα το βρίσκουμε στο επόμενο κεφάλαιο με τη βοήθεια των παραγώγων. 8 Έστω η συνάρτηση : R R με 9 () 4 4. α) Δείξτε ότι η αντιστρέφεται. β) Να υπολογιστεί η τιμή (9). γ) Να λυθεί η εξίσωση α) Έστω, Επίσης 3 R με 9 9 4 4 4 4 4 4 Προσθέτοντας τις σχέσεις και κατά μέλη θα έχουμε: 9 9 4 4 4 4. 3
Άρα η είναι γνησίως αύξουσα και επομένως - άρα η αντιστρέφεται. β) 9 9. Παρατηρούμε ότι για θα είναι 9 και επειδή η είναι - θα είναι η μοναδική τιμή για την οποία ισχύει αυτό. Άρα: και επομένως 9. γ) 3 3 3 9 3 0 ή 9 Δίνεται η συνάρτηση (), 0. Να βρεθούν τα α, β R έτσι ώστε να ισχύει, για κάθε R. () () 3 y y y ή y Από υπόθεση θα έχουμε: 3 άρα 3 3. 3 0. Το πολυώνυμο αυτό είναι μηδέν για κάθε R άρα είναι το μηδενικό πολυώνυμο και επομένως θα πρέπει 0 ή. 33
Για : 3 3 0. Για : 3 0 3 0 αδύνατο. 3 Άρα,,. 0 Έστω η συνάρτηση () ln. α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της. β) Να δειχθεί ότι η είναι. γ) Να βρεθεί ο τύπος της. α) Πρέπει 0, και 0. Άρα: 0 0 0. Επομένως A 0,. β) Έστω, A με ln ln. Επομένως η είναι -. 34
y γ) Έστω y y ln e y y y y e e e e e y e y y e y e ή e y e. Άρα e e. Έστω : R R μια γνησίως φθίνουσα συνάρτηση. α) Δείξτε ότι η συνάρτηση : R R με () () είναι γνησίως φθίνουσα. β) Δείξτε ότι η συνάρτηση h() με 0 είναι. γ) Να βρεθούν οι τιμές του R για τις οποίες ισχύει η ισότητα: 6 530 60. α) Η είναι γνησίως φθίνουσα στο R και επομένως για κάθε, Όμως R με είναι. Προσθέτοντας κατά μέλη τις σχέσεις και θα έχουμε:. Άρα η είναι γνησίως φθίνουσα στο R. β) Η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα αφού 0 35
και επομένως από το (α) ερώτημα η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο R άρα και. h γ) 6 530 60 6 5 30 6 5 30 h h 6 h 5 30 6 5 30. 30 0 5 ή 6 Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Β Β ΟΜΑΔΑ Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις συναρτήσεις: α) β) ln e α) Η ορίζεται στο R : 0 δηλαδή στο R : δηλαδή στο, Για κάθε, με είναι:. Ο Μ Α Δ Α. 36 και:
Με πολλαπλασιασμό κατά μέλη των και έχουμε: αύξουσα στο Δ., οπότε η είναι γνησίως β) Η ορίζεται στο R : 0 δηλαδή στο R : δηλαδή στο, Για κάθε, με είναι: ln. ln ln 3 και e e e e e 4. Με πρόσθεση των 3 και 4 έχουμε είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. οπότε η G 3 α) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση στο 0,. β) Να αποδείξετε ότι e. e e α) Για κάθε, 0, με είναι: 37
0, Αν, 0, με θα είναι: 0, 0, 0, 0, άρα η και με πολλαπλασιασμό δίνουν είναι γνησίως φθίνουσα στο 0,. Αν,, με θα είναι: και με πολλαπλασιασμό δίνουν οπότε οι 0, 0, 0, 0, άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο,. οπότε οι β) Η είναι γνησίως αύξουσα στο, και e. Επομένως: e e e e ee e ee e ee e ee e (αφού e 0). e e 38
4 Έστω η γνησίως φθίνουσα συνάρτηση : R R. α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση () () είναι γνησίως φθίνουσα στο R. β) Να λυθεί η εξίσωση (3 6) 5 6. α) γνησίως φθίνουσα στο R για κάθε, Επίσης R με Προσθέτοντας κατά μέλη τις δύο παραπάνω ανισότητες θα έχουμε: Άρα η είναι γνησίως φθίνουσα στο R.. β) 3 6 5 6 3 6 5 6 3 6 3 6 3 6 3 6 5 6 0 ή 3. 39
5 Έστω η γνησίως αύξουσα συνάρτηση :R R α) Δείξτε ότι η είναι γνησίως αύξουσα. β) Να λύσετε την εξίσωση α) Έστω, 4 5 R με. Τότε θα έχουμε: άρα η είναι γνησίως αύξουσα. β) Έχουμε: 4 5 4 4 5 5 4 4 5 5 4 5 4 5 0 3 ή 4. 40
6 Δίνεται η συνάρτηση :A για κάθε A και ln, R για την οποία ισχύουν 0 α) Να δείξετε ότι η δεν είναι γνησίως φθίνουσα β) Να δείξετε ότι η είναι -. α) Έστω ότι η είναι γνησίως φθίνουσα, τότε για κάθε, Οπότε: ln ln ln ln Όμως ln ln A με που είναι άτοπο. β). Ισχύει ln ln Έστω, επομένως A με ln ln ln ln άρα η είναι -. 4
7 α) Αν η είναι γνησίως αύξουσα στο 0, και 0 για κάθε 0,, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση 0,. είναι γνησίως φθίνουσα στο β) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση h e ln. e α) Για κάθε, 0, με είναι: 0 Με πρόσθεση των και είναι γνησίως φθίνουσα στο 0,.. άρα η είναι β) Η συνάρτηση επομένως και στο έχουμε: e είναι γνησίως αύξουσα και θετική στο R, 0,. Άρα για κάθε, 0, Με εφαρμογή του (α) ερωτήματος για e, με e e 3. e e 4
Επίσης ln ln ln ln 4. Με πρόσθεση κατά μέλη των 3 και 4 προκύπτει ότι h, οπότε η h είναι γνησίως φθίνουσα στο h 0,. 8 α) Αν η είναι γνησίως αύξουσα στο R να αποδείξετε ότι η 3 3 συνάρτηση 3 είναι επίσης γνησίως αύξουσα στο R. β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση γνησίως αύξουσα στο R. α) Για κάθε, R με είναι: 3 h e 3e είναι 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3. Με πρόσθεση των και έχουμε: 3 3 3 3 3 3. Επομένως η είναι γνησίως αύξουσα στο R. 3 β) Εφαρμογή του (α) ερωτήματος για αύξουσα και επιπλέον είναι 3 3 e αφού είναι γνησίως 3 3 3 3 e 3e e 3e h. Επομένως η h είναι γνησίως αύξουσα. 3 43
9 Έστω η συνάρτηση () ln( 3), > 3. α) Δείξτε ότι η αντιστρέφεται. β) Να λυθεί η εξίσωση:. () () α) Αν αποδείξουμε ότι η είναι γνησίως μονότονη τότε θα είναι και -. Έστω, A με 3 3. ln 3 ln 3. Επίσης Προσθέτοντας κατά μέλη τις δύο παραπάνω ανισώσεις θα έχουμε: ln 3 ln 3 3. Άρα η είναι γνησίως αύξουσα και επομένως -. β) Η εξίσωση βρίσκει τα κοινά σημεία της και. Επειδή η είναι γνησίως αύξουσα, τα κοινά σημεία της και (αν υπάρχουν) θα βρίσκονται πάνω στην ευθεία y και ο άξονας συμμετρίας της και λύσουμε την εξίσωση. και είναι. Επομένως αρκεί να Άρα ln 3 ln 3 3 e e 3. Άρα η λύση της εξίσωσης είναι e 3. 44