ISPIT MODELI DOŽIVLJENJA

Σχετικά έγγραφα
3 Populacija i uzorak

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

1.4 Tangenta i normala

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

TABLICE AKTUARSKE MATEMATIKE

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

7 Algebarske jednadžbe

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

PISMENI ISPIT IZ STATISTIKE

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

FINANCIJSKA MATEMATIKA Zadaci za vježbu. Napomena: Zadaci u ovoj prvoj skupini se mogu smatrati početnima i služe za uvježbavanje pojedinih pojmova.

18. listopada listopada / 13

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

IZVODI ZADACI (I deo)

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

5. PARCIJALNE DERIVACIJE

Kaskadna kompenzacija SAU

(Hi-kvadrat test) r (f i f ti ) 2 H = f ti. i=1

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

( , 2. kolokvij)

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

VJEROJATNOST popravni kolokvij veljače 2017.

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Poslijediplomski specijalistički studij aktuarske matematike ISPIT

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

Ispit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1

ISPIT AKTUARSKA MATEMATIKA II

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

STATISTIKA S M E I M N I AR R 7 : METODE UZORKA

1 Promjena baze vektora

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

DUALNOST. Primjer. 4x 1 + x 2 + 3x 3. max x 1 + 4x 2 1 3x 1 x 2 + x 3 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0 (P ) 1/9. Back FullScr

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

numeričkih deskriptivnih mera.

Doc. dr. sc. Markus Schatten. Zbirka rješenih zadataka iz baza podataka

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

VJEROJATNOST I STATISTIKA 2. kolokvij lipnja 2016.

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

GRAĐEVINSKI FAKULTET SVEUČILIŠTE U RIJECI. Specijalistički diplomski stručni studij građevinarstva NORMALNA RAZDIOBA.

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

Slučajni procesi Prvi kolokvij travnja 2015.

Uvod u diferencijalni račun

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)

Zadaci iz Osnova matematike

, Zagreb. Prvi kolokvij iz Analognih sklopova i Elektroničkih sklopova

Slučajne varijable Materijali za nastavu iz Statistike

10. domaća zadaća. 3. Neka je X neprekidna slučajna varijabla takva da je X N(0, 1). S točnošću od odredite:

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom

Iterativne metode - vježbe

Elementi spektralne teorije matrica

2.7 Primjene odredenih integrala

Teorijske osnove informatike 1

Uvod u teoriju brojeva

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

radni nerecenzirani materijal za predavanja

Sadrˇzaj. Sadrˇzaj 1 9 DVODIMENZIONALNI SLUČAJNI VEKTOR DISKRETNI DVODIMENZIONALNI

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos

Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić

6 Primjena trigonometrije u planimetriji

Program za tablično računanje Microsoft Excel

Transcript:

Sveučilište u Zagrebu PMF-Matematički odjel Poslijediplomski stručni studij aktuarske matematike ISPIT MODELI DOŽIVLJENJA 12. 5. 23. Vrijeme trajanja ispita: 12 minuta Ukupan broj bodova: 1 Broj zadataka: 6 Naznačeno je koliko bodova donosi svaki točan odgovor. Odgovore i rješenja zadataka pišite na dobivenim papirima. Na svakom korištenom papiru naznačite na koji se zadatak odnosi i čitko se potpišite. Dozvoljeno je korištenje džepnog kalkulatora, statističkih tablica ili vlastitih formula, i Formulae and Tables for Actuarial Examinations (Institute of Actuaries).

1. Stopa smrtnosti osobe iz odredene populacije u dobi 75 je q 75 =.6229. (a) Izračunajte.25 p 75 i.25 p 75.75 uz pretpostavku uniformne razdiobe smrti izmedu cjelobrojnih dobi. (8 bodova) (b) Izračunajte iste vjerojatnosti kao u (a), ali uz pretpostavku konstantnosti intenziteta smrtnosti izmedu cjelobrojnih dobi. (7 bodova) (ukupno 15 bodova) 2. Navedeni Coxov model proporcionalnog hazarda prilagoden je podacima dobivenim opažanjem odredene skupine osiguranika životnih osiguranja: gdje su: λ i (t) = λ (t) exp{.1(x i 3) +.2y i.5z i }, λ i (t) hazard za i-tu osobu u trenutku t λ (t) osnovni hazard u trenutku t x i pristupna dob osobe i y i je 1 ako je osoba i pušač, inače je z i je 1 ako je osoba i žena, a ako je muškarac. (a) Opišite klasu osiguranika na koje se osnovni hazard odnosi. (3 boda) (b) Što možete (na osnovi pretpostavljenog modela) zaključiti o odnosu funkcija doživljenja pušača (muškarca) pristupne dobi 3 i pušačice pristupne dobi 4? (9 bodova) (c) Što možete (na osnovi pretpostavljenog modela) zaključiti o odnosu funkcija doživljenja pušačice pristupne dobi 3 i nepušača (muškarca) pristupne dobi 4? (8 bodova) (ukupno 2 bodova) 2

3. Za vrednovanje svojih polica zdravstvenog osiguranja osiguravajuće društvo koristi Markovljev model s tri stanja (1 = zdrav, 2 = bolestan, 3 = mrtav ) kao na slici. Pretpostavlja se da su intenziteti prijelaza σ, ρ, µ, ν konstantni. σ 1 ρ 2 µ ν 3 Promatranje grupe osiguranika tijekom jednogodišnjeg razdoblja dalo je sljedeće rezultate. Opaženo je: 1 prijelaza iz stanja 1 u stanje 2 7 prijelaza iz stanja 2 u stanje 1 2 umrla iz stanja 1 3 umrla iz stanja 2. Ukupno vrijeme provedeno u stanju 1 je 512 godina, a u stanju 2, 2 godina. (a) Napišite funkciju vjerodostojnosti za opažene podatke. (3 boda) (b) Izračunajte procjenu ˆσ od σ metodom maksimalne vjerodostojnosti. (3 boda) (c) Procijenite standardnu pogrešku procjenitelja maksimalne vjerodostojnosti σ od σ. (5 bodova) (d) Postavite diferencijalne jednadžbe i pripadajuće početne uvjete za vjerojatnosti t p 22 x i t p 22 x. (4 boda) (ukupno 15 bodova) 3

4. U nekom odredenom istraživanju smrtnosti opaža se broj umrlih d x u dobi x koja je definirana na sljedeći način: x = [ dob na zadnji rodendan na dan 6. travnja koji je neposredno prije datuma izdavanja police ] + [ broj 5. travnja koji su prošli nakon datuma izdavanja police ]. (a) Odredite interval stope na koji se odnosi statistika d x. (3 boda) (b) Izrecite princip korespondencije (suglasnosti). Pomoću tog principa opišite centralnu izloženost riziku Ex c koja odgovara statistici d x. (3 boda) (c) Procjena intenziteta smrtnosti ˆµ = d x E c x procjenjuje parametar µ x+f. Koliki je f? Navedite sve pretpostavke koje ste koristili. (4 boda) (ukupno 1 bodova) 4

5. Osiguravajuće društvo istražuje nedavno iskustvo o smrtnosti svojih muških osiguranika rentnog osiguranja. Izvod iz prikupljenih podataka se nalazi u tablici: početna opaženi dob izloženost riziku broj umrlih (x) (E x ) (d x ) 7 6 23 71 75 31 72 725 33 73 65 29 74 7 35 75 675 39 (a) Pomoću χ 2 -testa usporedite da li opaženo iskustvo odgovara iskustvu smrtnosti iz tablice a(55) Ultimate Mortality Table for Male Annuitants. Na bazi te tablice su odredene premije za rente navedenog osiguravajućeg društva (OD). Navedite nulhipotezu koja se testira, sprovedite test i komentirajte. (14 bodova) (b) Komentirajte kakve će financijske posljedice biti po OD ako nastavi prodavati rente koje su vrednovane na bazi tablica a(55). (2 boda) (c) Navedite koje su razlike u primjeni testa iz (a) ako opažene stope smrtnosti usporedujemo sa izgladenim stopama q x = a + bqx, s pri čemu parametre a, b treba procijeniti iz podataka, a qx s su standardne stope iz tablice a(55). (4 boda) (ukupno 2 bodova) 5

6. K 7 je cjelobrojno buduće tajanje života osobe dobi 7. Neka je Z slučajna varijabla koja predstavlja sadašnju vrijednost osiguranja za slučaj smrti s trajanjem od 2 godina, a koja je izdana muškarcu sadašnje dobi 7. Osigurana svota koja se isplaćuje na kraju godine u kojoj se dogodila smrt (i ako nije isteklo razdoblje trajanja osiguranja) je 1 kn. Osnova za izračun: Smrtnost: English Life Table No. 12 Males Kamatna stopa: 5% godišnje. (a) Odredite funkciju vjerojatnosti (gustoću) od Z i skicirajte njezin graf naznačujući bitne karakteristike razdiobe. (1 bodova) (b) Izračunajte P(Z > 5). (4 boda) (c) Dokažite formulu za varijancu od Z: Var[Z] = 1 2 ( 2 A 1 7:2 (A1 7:2 )2 ) i definirajte sve oznake koje se koriste u toj formuli. Uz koju kamatnu stopu se računa 2 A 1 7:2? (6 bodova) (ukupno 2 bodova) 6

Sveučilište u Zagrebu PMF-Matematički odjel Poslijediplomski stručni studij aktuarske matematike ISPIT MODELI DOŽIVLJENJA 12. 5. 23. RJEŠENJA ZADATAKA

1. (a) Uz pretpostavku uniformne razdiobe smrti izmedu cjelobrojnih dobi: tq 75 = 75+t 75 c ds = ct, < t 1 c = q 75 (za t = 1).25 p 75 = 1.25 q 75 = 1.25 q 75 = = 1.25.6229 =.98443, p 75 =.75 p 75.25 p 75.75.25 p 75.75 = 1 q 75 1.75 q = 75 =.93771.95328 =.98366. (b) Uz pretpostavku konstantnosti intenziteta smrtnosti izmedu cjelobrojnih dobi: p 75 = exp{ 1 µ 75+t dt} = e µ = 1 q 75 =.93771 µ = ln.93771 =.643145..25p 75 = exp{.25 µ dt} = e.25µ =.9845,.25p 75.75 = exp{.25 µ dt} = e.25µ =.9845. (15) 8

2. (a) Muškarci nepušači pristupne dobi 3. (3) Napomena. Osnovni hazard se odnosi na više klasa osiguranika ovisno o izboru mogućih vrijednosti (x i, y i, z i ) nezavisne varijable tako da bude.1 (x i 3) +.2 y i.5 z i =. Na primjer, gornja klasa je opisana vrijednostima (3,, ). Druga mogućnost je: (35,, 1) što odgovara klasi žena nepušačica pristupne dobi 35. Bilo koji od navedenih mogućih odgovora donosi 3 boda. (b) Označimo sa λ i (t) hazard osobe i (i = 1 ili 2) koja pripada klasi opisanoj sa varijablom (x i, y i, z i ), a sa S i (t) njenu funkciju doživljenja, t S i (t) = exp{ λ i (s) ds}. Osoba 1 (pušač pristupne dobi 3) je opisana vrijednostima (3, 1, ) nezavisne varijable, a osoba 2 (pušačica pristupne dobi 4) je opisana sa (4, 1, 1). Slijedi: λ 1 (t) = λ (t)e.2 λ 2 (t) = λ (t)e.1+.2.5 = λ (t)e.25 λ 1 (t)/λ 2 (t) = e.5 =.9512 S 1 (t) = exp{ t λ 1 (s) ds} = exp{.9512 t λ 2 (s) ds} = S 2 (t).9512 S 1 (t) > S 2 (t) za sve t. (c) Uz oznake kao u (b), ovdje je osoba 1 (pušačica pristupne dobi 3) opisana vrijednostima (3, 1, 1) nezavisne varijable, a osoba 2 (nepušač pristupne dobi 4) opisan je sa (4,, ). Slijedi: λ 1 (t) = λ (t)e.15 λ 2 (t) = λ (t)e.1 λ 1 (t)/λ 2 (t) = e.5 = 1.513 S 1 (t) = exp{ 1.513 t λ 2 (s) ds} = S 2 (t) 1.513 S 1 (t) < S 2 (t) za sve t. (2) 9

3. (a) L(σ, ρ, µ, ν) = e 512(σ+µ) e 2(ρ+ν) σ 1 ρ 7 µ 2 ν 3 (3) (b) MLE je rješenje stacionarne jednadžbe (za l = ln L): l σ = 512 + 1 σ = ˆσ = 1 512 =.195. (3) (c) Asimptotska razdioba od MLE: σ σ : N(, ( 2 l σ 2 ) 1 ) = N(, σ2 1 ) ili σ σ : N(, σ ). E[V ] Budući da je standardna pogreška od σ jednaka njenoj standardnoj devijaciji, asimptotski je: s.e.( σ) = s.e.( σ) ˆ = σ 1 ili s.e.( σ) = σ E[V ] ˆσ 1 (ili = ˆσ ) =.618. 512 (d) Diferencijalne jednadžbe za t p 22 x i tp 22 x s pripadnim početnim uvjetima: t t p 22 x = σ tp 21 x (ρ + ν) t p 22 x, p 22 x = 1 t t p 22 x = (ρ + ν) t p 22 x, p 22 x = 1. (15) 1

4. (a) x = dob na zadnji rodendan na dan 6. travnja (neposredno prije smrti). Interval stope je kalendarska godina koja počinje 6. travnja i završava sa 5. travnjem. (3) (b) Princip suglasnosti: Osoba živa u trenutku t će biti pod rizikom u dobi x (tj. bit će uključena u Ex) c ako i samo ako bi se njena smrt u trenutku t uračunala u d x. U skladu s time, Ex c = ukupan broj godina u kojima su opažane osobe izložena riziku smrti u dobi x na zadnji rodendan 6. travnja (koji neposredno prethodi eventualnoj smrti). Ili: Ex c = T P x (t) dt, gdje je P x (t) jednak broju opažanih osoba dobi x na zadnji rodendan na dan 6. travnja koji je neposredno prije trenutka t, t (, T ), a (, T ) je razdoblje opažanja. (c) Na početku intervala stope, tj. 6. travnja kalendarske godine, opažana osoba dobi x u skladu s definicijom iz zadatka točne je dobi od x do x + 1. Uz pretpostavku uniformne distribuiranosti rodendana duž kalendarske godine, srednja dob na 6. travnja je x + 1 2, a budući da ˆµ procjenjuje intenzitet smrtnosti na sredini dobnog intervala, dakle µ x+1, imamo da je f = 1. 11

5. (a) Nulhipoteza (H ) je: q x = qx s za sve x = 7,..., 75. Uz H, broj umrlih D x : N(E x qx, s E x qx(1 s qx)), s pa se standardizirane devijacije z x računaju po formuli: z x = d x E x q s x E x q s x(1 q s x). Testna statistika: H = 75 x=7 zx 2 : χ 2 (6). Račun: (1+1+1) x E x d x qx s z x zx 2 7 6 23.3776.73676.543 71 75 31.417 -.5232.252 72 725 33.462 -.6468.417 73 65 29.575 -.712583.5778 74 7 35.5595 -.684965.46918 75 675 39.6164 -.417228.1748 1.16316 Opažena vrijednost h = 1.16316 je manja od χ 2.5(6) = 12.59 pa ne odbacujemo H. (3) S druge strane, sve devijacije su negativne osim prve što upućuje da je opažena smrtnost manja od smrtnosti pretpostavljene tablicom a(55). To χ 2 -test nije indicirao. (b) Ako je prava smrtnost manja od smrtnosti opisane tablicom a(55), OD će trpiti veće štete po policama rentnog osiguranja od očekivanih. (c) Nulhipoteza se od H u (a) razlikuje po tome što umjesto qx s svugdje treba s desne strane jednakosti biti q x, a z x se, isto tako, računa po istoj formuli kao u (a), samo što se svugdje qx s zamijeni sa q x. Testna statistika H je ista (formulom), ali njena asimptotska χ 2 -razdioba ima barem dva stupnja slobode manje od testne statistike u (a). To je zato jer treba procijeniti dva nepoznata parametra a i b iz podataka. (4) (2) 12

6. (a) Z = S v K 7+1 1 {K7 19}, v = 1/1.5 =.952, S = 1. ImZ = {, Sv, Sv 2,..., Sv 2 }. Funkcija vjerojatnosti (gustoća) od Z: P(Z = ) = P(K 7 2) = 2 p 7 = l 9 l 7 =.56 P(Z = Sv k+1 ) = k p 7 q 7+k = d 7+k l 7, k =, 1,..., 19. Račun za skicu grafa gustoće od Z: k 2 5 1 15 19 z 952 746 55 458 377 p Z (z).56.56.6.53.35.18 Skica grafa:.6.5.4.3.2.1 377458 585 746 952 (b) Račun: P(Z > 5) = P(v K 7 >.5) = = P(K 7 ln 2 1) = P(K ln 1.5 7 13) = = 1 l 84 l 7 = 1 1236 =.775. 5486 (c) A 1 7:2 := E[vK 7+1 1 {K7 19}], 2 A 1 7:2 := E[v2(K 7+1) 1 {K7 19}], (1+1) pri čemu je 2 A 1 očekivana sadašnja vrijednost osiguranja za slučaj 7:2 smrti s trajanjem od 2 godina i jediničnom osiguranom svotom, koja se računa uz kamatnu stopu (1 + i) 2 1 = 1.5 2 1 = 1.25%. Var[Z] = E[Z 2 ] (E[Z]) 2 = S 2 ( 2 A 1 7:2 (A1 7:2 )2 ). (2) 13