ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ. ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ. Ορισµοί Όπως έχουµε ήη µάθει το σύνολο των φυσικών ριθµών είνι το εξής: ΙΝ {...} Ακόµη ξέρουµε ότι πολλές φορές το πηλίκο ύο φυσικών ριθµών εν είνι πάντ φυσικός. Πράειµ: Το πηλίκο της ιίρεσης εν είνι ένς φυσικός ριθµός. Έχουµε 0 ΙΝ. Έτσι ι ν ιευκολυνθούµε στις πράξεις µς εισάουµε τους κλσµτικούς ριθµούς. Ονοµάζουµε κλάσµ κάθε ριθµό της µορφής ν µ ότν µ ν είνι φυσικοί ριθµοί κι ν 0 ηλή πρέπει το ν ν είνι ιάφορο του µηενός). Το µ ονοµάζετι ριθµητής ενώ το ν προνοµστής. ΑΡΙΘΜΗΤΗΣ µ ν ΠΑΡΟΝΟΜΑΣΤΗΣ Πρτηρήσεις Έν κλάσµ είνι ίσο µε το µηέν ν ο ριθµητής του είνι µηέν. Έν κλάσµ είνι ίσο µε τη µονά ν ο ριθµητής κι ο προνοµστής είνι ίσοι... Ασκήσεις Ι. Ν ρφούν οι πρκάτω φυσικοί ριθµοί σε κλσµτική µορφή..... 0 ε. στ. ζ. η. θ. 00 ι. ΙΙ. Ν µεττρέψετε τους πρκάτω εκικούς ριθµούς σε κλάσµτ........ 0 ε. 0 στ. 0 ζ. 00 η. 00 θ. ι. 0 ΙΙΙ. Ν λύσετε τις πρκάτω εξισώσεις: x y x. 0... ε. ω x x+ στ. x ζ. 0 η. x θ. x+ x ι. 0
ΑΝΝΑ ΖΟΥΡΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Ανάω Κλάσµτ Απλοποίηση Κλσµάτων Ισούνµ Κλάσµτ Ανάωο λέετι το κλάσµ που οι όροι του είνι ριθµοί πρώτοι µετξύ τους. ηλή ν ο Μέιστος Κοινός ιιρέτης ριθµητή κι προνοµστή είνι ίσος µε τη µονά τότε το κλάσµ υτό λέετι νάωο. Πρείµτ: ΠΡΟΣΟΧΗ!!!. Το κλάσµ εν είνι νάωο ιτί ΜΚ ). Το κλάσµ είνι νάωο ιτί ΜΚ ) ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗΝ ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΥ Μ.Κ.. Η ιικσί ι την πλοποίηση κλσµάτων κι την µεττροπή τους σε νάω στηρίζετι στην εξής σική ιιότητ των ρητών ριθµών: Μπορούµε ν πολλπλσιάσουµε ή ν ιιρέσουµε τον ριθµητή κι τον προνοµστή ενός κλάσµτος µε τον ίιο ριθµό κι το κλάσµ ν µην λλάξει. Πρείµτ: ) Έστω ότι έχουµε το. Αν πολλπλσιάσω κι τον ριθµητή κι τον προνοµστή µε το τότε σύµφων µε τον πρπάνω κνόν το κλάσµ ε πρόκειτι ν λλάξει. ηλή: ) Αντίστοιχ στο κλάσµ ν ιιρέσω κι τον ριθµητή κι τον προνοµστή µε τον ίιο ριθµό µε το τότε το κλάσµ εν πρόκειτι ν λλάξει. ηλή:. Τ κλάσµτ που προέκυψν ηλή τ στο πράειµ κι το στο πράειµ είνι ισούνµ των ρχικών κι ντίστοιχ.
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ Κλάση Ισουνµίς ονοµάζετι έν σύνολο ισούνµων κλσµάτων. Πράειµ: Το σύνολο 0... είνι η κλάση ισουνµίς του ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΠΛΟΠΟΙΗΣΗΣ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Γι ν πλοποιήσουµε κλάσµτ κολουθούµε την εξής µεθοολοί: Υπολοίζουµε τον Μέιστο Κοινό ιιρέτη ριθµητή κι προνοµστή. ιιρούµε κι τον ριθµητή κι τον προνοµστή µε τον ριθµό που ρήκµε. Το κλάσµ που προέκυψε είνι ισούνµο του ρχικού κι είνι νάωο. Πρείµτ:. Γι ν πλοποιήσουµε το κλάσµ υπολοίζουµε τον ΜΚ ) κι µε το ιιρούµε ριθµητή κι προνοµστή ηλή: Το είνι νάωο ιτί ΜΚ ). Το κλάσµ είνι νάωο κι εν πλοποιείτι ιτί ο ΜΚ )... Ασκήσεις Ι. Ν πλοποιήσετε όσ πό τ πρκάτω κλάσµτ εν είνι νάω... 0.. ε. στ. 0 0 ζ. 0 η. 0 θ. ι. 0 ι. ι. 0 ι. ι. ιε. ιστ. ιζ. 0 ιη. ιθ. 0 κ. κ. κ. κ. 0 κ. κε. κστ. κζ. κη. κθ. λ. λ. 0 λ. 0 λ. λ. λε. 0 λστ. 0 λζ. 0 λη. 0 λθ. 0 µ. µ. 0 µ.
ΑΝΝΑ ΖΟΥΡΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ µ. 0 µ. 0 µε. 0 µστ. 0 µζ. 00 0 µη. 0 µθ. ΙΙ. Ν µεττρέψετε τ πρκάτω κλάσµτ σε κλάσµτ ισούνµ µε τ ρχικά κι µε προνοµστή το 00. Χρήσιµη άσκηση ι τ ποσοστά).. 0.. 0 ε. 0 στ. ζ.. Οµώνυµ κι Ετερώνυµ κλάσµτ ύο ή κι περισσότερ κλάσµτ µε ίσους προνοµστές ονοµάζοντι οµώνυµ. ύο κλάσµτ µε ιφορετικούς προνοµστές ονοµάζοντι ετερώνυµ. ύο ή κι περισσότερ ετερώνυµ κλάσµτ τρέποντι σε οµώνυµ σύµφων µε τη πρκάτω µεθοολοί: Γι την πλούστευση των πράξεων πρώτ τρέπουµε όλ τ κλάσµτ σε νάω. Βρίσκουµε το Ελάχιστο Κοινό Πολλπλάσιο των προνοµστών Βάζουµε «κπελάκι» πάνω πό όλ τ κλάσµτ τ οποί έχουµε κι σ υτά ράφουµε τον ριθµό ο οποίος µς είχνει πόσες φορές ο προνοµστής «χωράει» στο ελάχιστο κοινό πολλπλάσιο των προνοµστών Πολλπλσιάζουµε κι τον ριθµητή κι τον προνοµστή του κάθε κλάσµτος µε τον ριθµό που ρίσκετι στο ντίστοιχο «κπελάκι» Όλ τ κλάσµτ έχουν προνοµστή ίσο µε το ΕΚΠ των προνοµστών. Πράειµ: Έχουµε τ κλάσµτ: κι. Πρτηρούµε ότι τ κλάσµτ είνι νάω. Το ΕΚΠ ) Πίρνουµε κάθε κλάσµ χωριστά κι έχουµε: 0 ΠΡΟΣΟΧΗ!!! ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗΝ ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΥ Ε.Κ.Π.
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ.. Άσκηση Ν κάνετε οµώνυµ τ πρκάτω κλάσµτ:. 0 0. 0 0... Σύκριση Κλσµάτων ε ξεχνάµε ποτέ ότι όλοι οι κέριοι ράφοντι ως κλάσµτ µε προνοµστή τη µονά. Έν κλάσµ είνι µελύτερο πό τη µονά ν κι µόνο ν ο ριθµητής του κλάσµτος είνι µελύτερος πό τον προνοµστή του. Πράειµ: Το κλάσµ είνι µελύτερο πό τη µονά είνι όπως λέετι κτχρηστικό κλάσµ) ιτί ο ριθµητής είνι µελύτερος πό τον προνοµστή το. Έν κλάσµ είνι µικρότερο πό τη µονά ν κι µόνο ν ο ριθµητής του κλάσµτος είνι µικρότερος πό τον προνοµστή του. Πράειµ: Το κλάσµ είνι µικρότερο πό τη µονά είνι όπως λέετι νήσιο κλάσµ) Πράειµ: ιτί ο ριθµητής το είνι µικρότερος πό τον προνοµστή το. Αν ύο κλάσµτ έχουν ίιο προνοµστή ηλή ν είνι οµώνυµ) τότε µελύτερο είνι Το κλάσµ είνι µελύτερο πό το κλάσµ ιτί είνι οµώνυµ κι ο ριθµητής του πρώτου κλάσµτος το είνι µελύτερος πό τον ριθµητή του ευτέρου κλάσµτος το. υτό που έχει κι τον µελύτερο ριθµητή. Αν ύο κλάσµτ έχουν ίιο ριθµητή τότε µελύτερο είνι υτό που έχει κι τον µικρότερο προνοµστή.
ΑΝΝΑ ΖΟΥΡΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πράειµ: Το κλάσµ είνι µικρότερο πό το κλάσµ ιτί ενώ έχουν τον ίιο ριθµητή ο προνοµστής του ευτέρου κλάσµτος το είνι µικρότερος πό τον προνοµστή του πρώτου κλάσµτος το. Γι ν συκρίνουµε ύο κλάσµτ που εν είνι ούτε οµώνυµ ούτε έχουν τον ίιο ριθµητή:. Ελέχουµε µήπως κάποιο πό τ κλάσµτ είνι µελύτερο της µονάς ενώ το άλλο είνι µικρότερο. Τότε µελύτερο θ είνι κι το κλάσµ που θ ξεπερνάει κι το.. Αλλιώς φού τ πλοποιήσουµε τ τρέπουµε σε οµώνυµ µε τη οήθει του Ε.Κ.Π. των προνοµστών κι συκρίνουµε τους ριθµητές τους. Πρείµτ: Το κλάσµ είνι µικρότερο πό το κλάσµ ιτί το εύτερο κλάσµ είνι 0 µελύτερο πό το >0) ενώ το πρώτο είνι µικρότερο πό το <). < < 0 < 0 Γι ν συκρίνουµε τ κλάσµτ κι είµστε νκσµένοι ν τ τρέψουµε σε 0 οµώνυµ κι µετά ν συκρίνουµε τ ισούνµ κλάσµτ που θ προκύψουν. Το Ε.Κ.Π. 0) 0 κι έχουµε ι κάθε έν πό τ κλάσµτ: 0 0 0 0.. Ασκήσεις Ι. Ν συκρίνετε τ πρκάτω κλάσµτ µε τη µονά..... ε. στ. x+ x ΙΙ. Ν ιτάξετε τ πρκάτω κλάσµτ κτά φθίνουσ σειρά πό το µελύτερο προς το µικρότερο). 0 0
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ. ΙIΙ. Ν ιτάξετε τ πρκάτω κλάσµτ κτά ύξουσ σειρά πό το µικρότερο προς το µελύτερο).. ΙV. Ν συκρίνετε τ πρκάτω κλάσµτ:... 0. ε. 0. Πρόσθεση κι Αφίρεση Κλσµάτων Γι ν προσθέσουµε κι ι ν φιρέσουµε κλάσµτ κολουθούµε την εξής µεθοολοί: Απλοποιούµε όσ κλάσµτ εν είνι νάω πρτηρούµε ν τ κλάσµτ είνι οµώνυµ ν εν είνι οµώνυµ τ µεττρέπουµε σε οµώνυµ κολουθώντς την ιικσί στη σελί. ράφουµε µί µεάλη ρµµή κλάσµτος κι σν προνοµστή άζουµε τον κοινό τους προνοµστή κι σν ριθµητή ράφουµε τους ριθµητές µε πρόσηµ τ πρόσηµ που έχουν µπροστά τ κλάσµτ κάνουµε τις πράξεις στον ριθµητή όπως κριώς κάνουµε τις πράξεις στις ριθµητικές πρστάσεις κτλήουµε σε ένν ρητό ριθµό ελέχουµε ν το κλάσµ που προέκυψε είνι νάωο κι ν πλοποιείτι το πλοποιούµε µε τον Μ.Κ.. του ριθµητή κι του προνοµστή. Πράειµ: Σύµφων µε την πρπάνω µεθοολοί θ κάνουµε τις πράξεις στην πρκάτω ριθµητική πράστση: το Ε.Κ.Π.) ) + + + +
+ + ΑΝΝΑ ΖΟΥΡΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ + 0 + Αυτά τ ύο ήµτ θ τ πρλείπουµε πό εώ κι πέρ + 0 + 0 - + - + - Το κλάσµ εν πλοποιείτι ιτί ο ΜΚ ) ηλή είνι νάωο κι στµτάµε εώ... Άσκηση Ν κάνετε τις πράξεις στις πρκάτω ριθµητικές πρστάσεις:. +. +. + + ε. + + 0 0 ζ. + η. + +. + + στ. + θ. + +. Πολλπλσισµός Κλσµάτων Γι ν πολλπλσιάσουµε ρητούς που είνι ρµµένοι ως κλάσµτ πολλπλσιάζουµε Πράειµ: τους ριθµητές µετξύ τους κι τους προνοµστές µετξύ τους. Το κλάσµ εν είνι νάωο ιότι ΜΚ 0). Άρ ι ν το κάνουµε νάωο θ πρέπει ν ιιρέσουµε κι τον ριθµητή κι τον προνοµστή µε το. Προσοχή! 0 0 Είνι πρίτητο στην Α Γυµνσίου ν µάθουµε ν πλοποιούµε τ κλάσµτ πριν εκτελέσουµε τους πολλπλσισµούς. ηλή η πρπάνω πράστση πρέπει ν πλοποιηθεί ως εξής: 0 / / / / Αν εξοικειωθείτε πολύ µε τις πλοποιήσεις τότε οι πολλπλσισµοί θ ίνοντι πιο εύκολ κι 0 0 στο τέλος τ κλάσµτ που θ προκύπτουν θ είνι νάω.
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ Πολλπλσισµός κλάσµτος µε φυσικό Το ινόµενο ενός κλάσµτος µε ένν φυσικό είνι έν κλάσµ ο οποίος έχει ως προνοµστή τον ίιο κι ως ριθµητή το ινόµενο του ριθµητή µε το φυσικό. Πρείµτ: Αυτό ίνετι ιτί το ράφετι κι ως πιο νλυτικά λοιπόν:. / Όπου είνι υντή η πλοποίηση ν ίνετι. /.. Ασκήσεις Ι. Ν πλοποιήσετε τις πρκάτω πρστάσεις:... 0. x y ε. στ. y x ΙΙ. Ν πλοποιήσετε τις πρκάτω πρστάσεις: 0. 0. 0 0 ε. 0 0 0 0 ζ. 0 θ. 0 0 ι. ι. ιε. 0. 0 0. 0 0 0 στ. 0 η. 0 0 ι. 0 ι. 0 0 0 ι. 0 ιζ. 0
. υνάµεις Κλσµάτων ΑΝΝΑ ΖΟΥΡΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Γι ν υψώσουµε έν κλάσµ σε µί ύνµη υψώνουµε κι τον ριθµητή κι τον προνοµστή του κλάσµτος στη ύνµη υτή. Πρείµτ: ) x x x x ν ν ν 0. ιίρεση Κλσµάτων Γι ν ιιρέσουµε κλάσµτ πολλπλσιάζουµε τον ιιρετέο µε τον ντίστροφο του ιιρέτη. Ή λλιώς ντιστρέφουµε τους όρους του ευτέρου κλάσµτος κι κάνουµε πολλπλσισµό. Πράειµ: Το κλάσµ εν είνι νάωο ιότι Μ.Κ..0). Άρ ι ν το κάνω νάωο θ πρέπει ν ιιρέσω κι τον ριθµητή κι τον προνοµστή µε το. 0 0 Όπως κι στην προηούµενη ενότητ θ έπρεπε πριν εκτελέσουµε τους πολλπλσισµούς ν πλοποιήσουµε την πράστση: ΠΡΟΣΟΧΗ! / / Πρέπει ν πλοποιήσουµε φού έχουµε ντιστρέψει το εύτερο όρο ι ν µην κάνουµε λάθος πλοποίηση. 0
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ιίρεση κλάσµτος µε φυσικό Το πηλίκο ενός κλάσµτος µ έν φυσικό ριθµό είνι έν κλάσµ που έχει ως προνοµστή τον ίιο κι ως ριθµητή το πηλίκο του ριθµητή κι του κερίου. Πρείµτ: ή λλιώς / / 0 0 / Σύνθετ κλάσµτ Τ σύνθετ κλάσµτ είνι πηλίκ κλσµάτων. Σύνθετ είνι τ πρκάτω κλάσµτ: όπου κι είνι κέριοι ριθµοί. Γι ν πλοποιήσουµε τ σύνθετ κλάσµτ κολουθούµε τους πρκάτω κνόνες: Με τον πρπάνω τρόπο τ σύνθετ κλάσµτ ίνοντι πλά. Στις σκήσεις χρησιµοποιούµε τον πρκάτω πιο ρήορο τρόπο: Συµπληρώνουµε ν χρειάζετι µε µονάες:
ΑΝΝΑ ΖΟΥΡΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ.. Άσκηση Ν ίνουν πλά τ πρκάτω σύνθετ κλάσµτ:.... ε. στ.. Επνάληψη Β Κεφλίου.. Ερωτήσεις Θεωρίς. Πως ονοµάζοντι οι όροι ενός κλάσµτος;. Πότε το κλάσµ ν µ είνι ένς κέριος ριθµός; µ. Ποιος είνι ο ντίστροφος του ; ν. Ποιο κλάσµ ονοµάζετι νάωο;. Πότε έν κλάσµ είνι ίσο µε τη µονά;. Πότε έν κλάσµ είνι µικρότερο πό τη µονά;. Πότε έν κλάσµ είνι µικρότερο πό τη µονά;. Πότε ύο κλάσµτ ονοµάζοντι ισούνµ;. Πως προσθέτω κλάσµτ; 0. Πως πολλπλσιάζω κλάσµτ;;. Πως πολλπλσιάζω έν φυσικό ριθµό µε έν κλάσµ;. Πως ιιρώ κλάσµτ;;. Πως ιιρώ ένν κέριο ριθµό µε έν κλάσµ;. Τι είνι τ σύνθετ κλάσµτ; πως τ κάνουµε πλά;.. Επνληπτικές Ασκήσεις Ι. Ν ίνουν οι πρκάτω πράξεις:. + + +. + +. + + + +. +
ε. ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ στ. ζ. ΙΙ. Ν πλοποιηθούν τ πρκάτω κλάσµτ:. 0. 0.. 0 ε. 0 στ. 0 ζ. η. θ. ι. ι. ι. ι. ι. ιε. ιστ. ιζ. 0 ιη. 0 ιθ. κ. κ. 0 κ. 0 κ. 0 κ. κε. 0 κστ. 0 0 κζ. κη. κθ. 0 λ. 0 λ. λ. λ. λ. 0 λε. λστ. λζ. λη. 0 λθ. µ. 0 µ. 0 µ. 0 µ. µ. 0 µε. 0 µστ. 0 µζ. µη. ΙΙΙ. Ν ίνουν πλά τ πρκάτω σύνθετ κλάσµτ:.... ε. στ. ζ. 0 η. θ. ι. ι. ι. ΙV. Ν ρείτε τους ντίστροφους των πρκάτω ριθµών ν υπάρχουν):.... ε. στ. η. 0