METODA OPERATIONALA LAPLACE

5 METODA OPERATIONAA APACE Ace capiol ee axa î pricipal pe aaliza de ip irare-ieşire I-E a iemelor liiare coiue eede cu ajuorul formalimului operaţioal aplace I plu u abordae şi aalizae uele caraceriici rucurale ale iemelor di perpeciva eoriei modere care are la bază formalimul de ip irare-are-ieşire I-S-E Caraceriica pricipală a meodei operaţioale aplace ee forma implă de decriere maemaică a corelaţiei diamice îre irarea şi ieşirea uui iem liiar Aicipâd modelul operaţioal diamic al iemului va avea o formă imilară celei a modelului aţioar la care ieşirea y e obţie pri muliplicarea irării u cu u facor coa de proporţioaliae K : y Ku O aemeea formă implă a modelului operaţioal diamic are coeciţe poziive î aaliza şi ieza iemelor compue de ip erie paralel cu reacţie mixe Simplificarea formalimului maemaic e realizează îă cu preţul creşerii gradului de abracizare Aceaa preupue î primul râd recerea de la udiul iemelor î domeiul impului la udiul î domeiul complex şi î paricular î domeiul frecveţei Meoda operaţioală aplace are ca puc de plecare forma relaiv implă a relaţiei modelului de covoluţie care exprimă răpuul uui iem liiar coiuu la o irare daă u de ip origial ulă peru < auci câd e cuoaşe fucţia podere a iemului răpuul la impul Dirac g : y τ g τ u τ d g * u

SISTEME DE REARE AUTOMATA TEORIE SI APICATII Rezulaul y al operaţiei de covoluţie g * u depide de îreaga evoluţie a emalului de irare u şi a răpuului podere g pe iervalul [ ] I ace mod valoarea cureă a ieşirii y cumulează oae efecele produe de emalul de irare u la momeele de imp di iervalul [ ] Relaţia de covoluţie evideţiază fapul că fucţia podere g coţie oae caraceriicile diamice ale iemului di perpeciva corelaţiei irare-ieşire I cadrul meodei operaţioale aplace relaţia de covoluţie y g * u va căpăa forma algebrică Y U ude ee variabila complexă aplace iar Y şi U u raformaele aplace ale fucţiilor y g şi u Modelul operaţioal ee deci u model abrac î domeiul complex dar care exprimă îr-o formă algebrică implă fapul că ieşirea complexă Y ee produul dire fucţia complexă aociaă caraceriicilor diamice ale iemului şi irarea complexă U 5 TRANSFORMAREA APACE Variabilele de irare de are şi de ieşire ale iemelor liiare coiue aflae î regim aţioar peru < u fucţii de imp de ip origial care admi raformae aplace O fucţie origial f ee ulă peru < ee coiuă şi derivabilă pe porţiui şi are raa de creşere cel mul expoeţială adică exiă A > şi B > afel îcâ B f Ae Peru a fi aifăcuă prima proprieae coiderăm că variabilele iemului fizic repreziă variaţiile mărimilor fizice repecive faţă de valorile lor iiţiale la momeul au chiar la oae momeele di iervalul - dacă iemul ee î regim aţioar peru < I cazul iemelor fizice liiare răpuul are X şi răpuul ieşire Y la orice fucţie origial de irare u răpuuri forţae de ip origial Traformaa aplace au imagiea aplace a fucţiei origial f ee daă de relaţia Δ [ f ] f e C F d 56

METODA OPERATIONAA APACE Peru ca iegrala ă fie covergeă parea reală α Re a variabilei complexe α jω ee coideraă ca fiid uficie de mare I mod aural -a ale limia iferioară a iegralei ca fiid peru a iclude î rezulaul raformării şi efecul fucţiilor origial geeralizae de ip diribuţii aşa cum ee fucţia impul Dirac δ I coiuare prezeăm câeva proprieăţi uzuale ale raformării aplace: proprieaea de liiariae k f k f ] k [ f ] k [ f ] [ valabilă oricare ar fi fucţiile origial f f şi coaele reale k k ; proprieaea de derivare iegrare î domeiul real [ k k f ] F k Z ; proprieaea de derivare î domeiul complex [ f ] F ; 3 proprieaea de ralaţie î complex [ e a f ] F a a C; 4 proprieaea de ralaţie î real τ [ f τ ] e F ; 5 proprieaea de calare î real [ f a] F a > ; 6 a a proprieaea valorii fiale lim f limf 7 valabilă umai î codiţiile î care oţi polii fucţiei F au parea reală egaivă deci u iuaţi î âga axei imagiare; proprieaea valorii iiţiale f k I relaţia derivaa ee coideraă fucţie ip diribuţie fiid defiiă icluiv î pucele de dicoiuiae ale fuciei f Afel prima derivaă a fucţiei f e a ee a diribuţia f δ ae ude δ ee fucţia impul uiar Dirac 57

SISTEME DE REARE AUTOMATA TEORIE SI APICATII lim f lim F 8 valabilă auci câd limia di dreapa exiă şi ee fiiă; proprieaea produului de covoluţie [ g τ u τ dτ ] U 9 Traformarea aplace iveră ee operaţia de obţiere a fucţiei origial f di imagiea aplace F Traformaa aplace iveră a imagiii F ee daă de relaţia σ j f F e d πj σ j î care iegrala e calculează de-a lugul drepei cu abcia coaă σ uficie de mică peru a aigura covergeţa iegralei I majoriaea aplicaţiilor peru deermiarea raformaei aplace ivere e uilizează meoda decompuerii imagiii F î fracţii imple peru care e cuoc raformaele aplace ivere fucţiile origial Dire raformaele aplace mai frecve uilizae meţioăm urmăoarele: [ δ ] k k! [ ] [ ] [ ] k a a [e ] [ e ] a a a [e cob ] a a [e ib ] b a b a b b [cob ] [ib ] b 5 FUNCTIA DE TRANSFER b Pri defiiţie fucţia de rafer a uui iem liiar coiuu şi moovariabil ee raformaa aplace a fucţiei podere g a iemului Di relaţia de covoluţie y g τ u τ dτ 58

METODA OPERATIONAA APACE care exprimă răpuul forţa y al iemului la o irare arbirară de ip origial u ţiâd eama de proprieaea produului de covoluţie 9 e obţie relaţia operaţioală irare-ieşire Y U ude U ee raformaa aplace a fucţiei de irare u iar Y ee raformaa aplace a fucţiei de ieşire y Teorema fucţiei de rafer Fucţia de rafer a uui iem liiar coiuu ee egală cu raporul dire raformaa aplace a răpuului iemului la o fucţie de irare de ip origial daă şi raformaa aplace a fucţiei de irare adică Y U Relaţia repreziă modelul operaţioal diamic al iemului Ace model are forma imilară modelului aţioar y Ku ude K repreziă facorul aic de proporţioaliae al iemului facorul aic de amplificare Modelul operaţioal diamic are o formă implă dar abracă deoarece u operează direc cu mărimile fizice ale iemului ci cu raformaele aplace ale aceora care u fucţii de ip complex Să coiderăm acum forma primară a modelului de ip I-E al uui iem liiar coiuu moovariabil: a r r a y a y b u b u b u b u a y a y r r Aplicâd raformarea aplace ambilor membri ai ecuaţiei difereţiale a iemului şi ţiâd eama de proprieaea de liiariae şi de proprieaea derivării î domeiul real obţiem forma primară a fucţiei de rafer br b b b a a r r r a a care are la umior chiar poliomul caraceriic al iemului a iemele proprii fizic realizabile poliomul de la umărăorul fucţiei de rafer are gradul mai mic au cel mul egal cu gradul poliomului de la umiorul fucţiei de rafer r 59

SISTEME DE REARE AUTOMATA TEORIE SI APICATII I ecuaţia difereţială de ip I-E a iemului dacă a şi b u coeficieţi adimeioali auci oţi coeficieţii a şi b u di puc de vedere dimeioal i i coae de imp la puerea i Pri urmare puem coidera că variabila di expreia fucţiei de rafer are formal dimeiuea iverului impului Pri defiiţie ordiul fucţiei de rafer ee egal cu gradul umiorului fucţiei de rafer implificae adue la forma ireducibilă adică ee egal cu umărul oal de poli au cu gradul poliomului polilor fucţiei de rafer I coeciţă dacă polioamele de la umărăor şi umior u coprime u au rădăcii comue auci are ordiul Difereţa r dire gradul polioamelor de la umiorul şi umărăorul fucţiei de rafer repreziă ordiul relaiv al fucţiei de rafer au exceul poli-zerouri U iem e umeşe de fază miimă auci cîd fucţia de rafer ee proprie r şi u are zerouri rădăcii ale umărăorului fucţiei de rafer implificae cu parea reală poziivă adică iuae î emiplaul di dreapa axei imagiare a iemele de ip proporţioal caracerizae pri a şi b avem b K a Pri urmare ee facorul aic de proporţioaliae al iemului a iemele de ip iegral caracerizae pri a şi b fucţia de rafer are pe facor comu la umior deci are cel puţi u pol î origie a iemele de ip derivaiv caracerizae pri a şi b fucţia de rafer are pe facor comu la umărăor deci are cel puţi u zerou î origie Regulaoarele coiue de ip PID cu ecuaţia idealizaă c dε ε K d T c R T ε d d i au fucţia de rafer K T 3 R R T d i Aceaă fucţie de rafer ee improprie are gradul umărăorului mai mare decâ cel al umiorului daoriă compoeei derivaive I realiae fucţia de rafer a regulaorului are forma emiproprie 6

METODA OPERATIONAA APACE R K R T d 4 T τ ude τ ee coaa de imp de îârziere a compoeei derivaive de regulă cu d valoarea mul mai mică decâ cea a coaei de imp derivaive T d Fucţia de rafer a uui iem poae fi criă şi ub forma b K q p q Z 5 ude K ee facorul de proporţioaliae al iemului q repreziă ordiul iegral iar b şi p u polioame cu ermeul liber uiar deci cu proprieaea b p După cum q q > au q < iemul ee repeciv de ip proporţioal de ip iegral au de ip derivaiv Obervaţii Relaţia Y U permie cofirmarea imediaă a eoremei de echivaleţă irare-ieşire: Două ieme liiare coiue u echivalee I-E au acelaşi răpu la orice irare de ip origial comuă dacă şi umai dacă fucţiile de rafer ale iemelor u egale u reducibile la aceeaşi formă deci au aceleaşi valori peru orice C di domeiul comu de defiiţie Di relaţia operaţioală irare-ieşire Y U rezulă că raformaa aplace H a răpuului idicial h al iemului la irare reapă uiară are expreia H Di H regăim relaţia de legăură îre fucţia idicială h şi fucţia dh podere g aume g d h h δ Di proprieaea valorii iiţiale rezulă i d b h lim H lim 6 a iar dacă b iemul ee ric propriu auci h lim H lim a b 7 Pri urmare u iem emipropriu b are răpuul idicial h dicoiuu î origie u iem ric propriu cu exceul poli-zerouri egal cu uu b şi 6

SISTEME DE REARE AUTOMATA TEORIE SI APICATII b are răpuul idicial h coiuu şi ederivabil î origie iar u iem ric propriu cu exceul poli-zerouri egal cu doi b şi b are răpuul idicial h coiuu şi derivabil î origie age la axa impului I cazul uui iem emipropriu avem b a b h a a Aceaă relaţie poae fi deduă di proprieaea valorii iiţiale pe baza obervaţiei că b iemul ric propriu cu fucţia de rafer are fucţia idicială a b h h a cu proprieaea h h Pri urmare h h lim H lim a a 3 Dacă răpuul idicial h al uui iem ide la o valoare fiiă aceaa ee egală cu facorul aic de proporţioaliae al iemului coform relaţiei b lim h K 8 a Relaţia 8 rezulă imedia di proprieaea valorii fiale afel: limh limh lim Mai puem obţie relaţia 8 pe baza obervaţiei că la u iem caraceriza priru răpu idicial h care ide pre o valoare fiiă deoebim două regimuri aţioare: uul rivial pe iervalul şi uul fial la îcheierea regimului razioriu eoreic peru I cazul celui de-al doilea regim aţioar di ecuaţia modelului aţioar y Ku rezulă y Ku K Pri urmare la iemele de ip proporţioal cu facorul aic de proporţioaliae fii şi eul răpuul idicial h ide la o valoare fiiă şi eulă î imp ce la iemele de ip derivaiv cu facorul aic de proporţioaliae egal cu zero răpuul idicial h ide la valoarea zero b a b 6

METODA OPERATIONAA APACE 4 a iemele caracerizae prir-u răpu idicial h care ide la o valoare fiiă defiim facorul raporul de magiudie f m ca fiid raporul dire valoarea iiţială şi valoarea fială a răpuului idicial adică Di 6 şi 8 rezulă f m h f m h ab 9 b a Regulaorul pur proporţioal cu fucţia de rafer K are facorul de magiudie egal cu iar regulaorul de ip proporţioal-derivaiv cu fucţia de rafer R K R T d τ Td are facorul de magiudie f I geeral u facor de magiudie mai m τ d mic care uzual u rebuie ă depăşeacă valoarea aigură u emal de comadă mai eed mai puţi agreiv o amplificare mai mică a zgomoului o uzură mai reduă a ialaţiei comadae u coum mai mic de eergie şi combuibil I cazul regulaorului cu compoeă derivaivă improprie cu τ facorul de magiudie are valoarea 53 MATRICEA DE TRANSFER I coformiae cu pricipiul uperpoziţiei peru u iem liiar mulivariabil cu m irări şi p ieşiri depedeţa ieşirii Y i î rapor cu irările U U U m ee daă de relaţia Y i i i im m U U U ude ij ee fucţia de rafer a caalului cu irarea U şi ieşirea j Y Relaţiile i po fi crie peru oae ieşirile ub forma mariceală d R R d 63

SISTEME DE REARE AUTOMATA TEORIE SI APICATII 64 m pm p p m m p U U U Y Y Y M M O M M M echivaleă cu U Y ude pm p p m m M O M M repreziă maricea de rafer a iemului de ipul m p Relaţia U Y exprimă fapul că î complex vecorul Y al mărimilor de ieşire ee egal cu produul dire maricea de rafer a iemului şi vecorul U al mărimilor de irare Ire irarea U j şi ieşirea Y i exiă relaţia operaţioală U Y j ij i I cazul iemelor proprii maricea de rafer poae fi reprezeaă şi ub forma a a a a K K K K ude i K i u marice coae de ipul m p iar poliomul de la umiorul maricei de rafer ee cel mai mic muliplu comu al polioamelor de la umiorul uuror fucţiilor de rafer ij Dacă oae fucţiilor de rafer ij u ireducibile miimale auci poliomul de la umior ee chiar poliomul polilor maricei de rafer radul poliomului polilor ee egal cu umărul oal al polilor maricei de rafer şi repreziă ordiul maricei de rafer

METODA OPERATIONAA APACE Fie Σ A B C D u iem liiar coiuu şi cu parameri coaţi moovariabil au mulivariabil Aplicâd raformarea aplace ecuaţiilor de are şi de ieşire obţiem X & AX BU Y CX DU X I A BU Y CX DU Mai depare îlocuid vecorul de are X di ecuaţia ării î ecuaţia ieşirii rezulă maricea de rafer a iemului de ipul p m ub forma C I A B D Fucţia mariceală Φ I A de ipul repreziă raformaa aplace a maricei fudameale de raziţie a ării Φ e A Ir-adevăr aplicâd raformarea aplace relaţiei ude Φ I obţiem Φ ' AΦ Φ δ Φ AΦ I I A Φ I Φ I A Aşadar î afara meodelor î domeiul impului meoda diagoalizării şi meoda A Sylveer expoeţiala mariceală e poae fi calculaă şi cu relaţia A e [ I A ] 3 Maricea fudameală Φ ee o fucţie mariceală păraă raţioală ric proprie Ea poae fi criă ub forma Φ P E 4 ude P de I A ee poliomul caraceriic iar E - maricea de iverare aociaă maricei I A Elemeele E ij ale maricei părae E u polioame cu gradul mai mic au egal cu Maricea fudameală Φ poae fi aduă la forma ireducibilã 65

SISTEME DE REARE AUTOMATA TEORIE SI APICATII F Φ 5 μ ude μ repreziă poliomul polilor maricei fudameale cu gradul mai mic au egal cu Dacă oae cele polioame E ij şi poliomul caraceriic au cel puţi o rădăciă comuă auci gradul poliomului polilor maricei fudameale μ ee mai mic decâ gradul al poliomului caraceriic Di forma primară a maricei de rafer a iemului CE B C I A B D D P rezulă că aceaa ee o fucţie mariceală raţioală proprie ric proprie î cazul D Maricea de rafer poae fi aduă la forma ireducibilă K 6 P ude K ee o fucţie poliomială mariceală de ipul p m iar P ee poliomul polilor maricei de rafer cu gradul mai mic au egal cu radul poliomului polilor P repreziă ordiul maricei de rafer Dacă oae cele m p polioame ale maricei C E B şi poliomul caraceriic P au cel puţi o rădăciă comuă auci gradul poliomului polilor maricei de rafer P ee mai mic decâ gradul al poliomului caraceriic P I cazul corar poliomul polilor coicide cu poliomul caraceriic deci polii iemului u chiar valorile proprii ale maricei A Obervaţii radele poliomului caraceriic poliomului polilor maricei fudameale μ şi poliomului polilor maricei de rafer P u ordoae afel: gr P gr μ gr P 7 Aşadar ordiul maricei de rafer a iemului Σ A B C D ee mai mic au egal cu dimeiuea a iemului Di relaţia Y U rezulă că două ieme cu fucţiile au maricele de rafer egale au acelaşi răpu forţa la orice irare comuă de ip origial deci u echivalee irare-ieşire Ace rezula coiuie o exidere a eoremei de echivaleţă irare-ieşire la iemele mulivariabile: P P 66

METODA OPERATIONAA APACE Două ieme liiare coiue u echivalee irare-ieşire dacă şi umai dacă au maricele de rafer egale Deoarece iemele echivalee I-S-E u şi echivalee I-E rezulă că două ieme echivalee I-S-E au aceeaşi marice de rafer Ace rezula poae fi obţiu şi direc pe baza eoremei de echivaleţă I-S-E Afel dacă iemele Σ A B C D şi Σ A B C D u echivalee I-S-E auci: C I A B D CS I S AS S B D [ C S I S AS S ] B D C I A B D Două ieme cu aceeaşi marice fucţie de rafer u u îă î mod ecear echivalee I-S-E de exemplu î cazul iemelor de ordi diferi I MATAB iemul cu fucţia de rafer e coruieşe cu fucţia f care are ca argumee de irare vecorii liie um [ b b b ] şi de a a a ] b [ a formaţi cu coeficieţii de la umărăorul şi repeciv umiorul fucţiei de rafer : f f umde I cazul r < vecorul um poae fi cri şi ub forma um b b b ] [ r r b Al mod de a iroduce o fucţie de rafer ee acela de a defii variabila aplace afel f ; şi de a crie apoi fucţia de rafer ca o expreie raţioală de variabila De exemplu iemul f cu fucţia de rafer 3 e coruieşe afel: 5 4 f ; f3*/5*^4*; I cazul iemelor mulivariabile corucţia e face pri cocaearea ubiemelor moovariabile De exemplu iemul f cu maricea de rafer e coruieşe afel: 3 5 f[ ] [ ]; f[ ] [ 3 ]; f[5 ] [ ]; 67

SISTEME DE REARE AUTOMATA TEORIE SI APICATII au f [ ]; f[ ; ]; f' '; /^; /^3*; 5/; /^; f[ ; ]; De aemeea iemul mulivariabil poae fi corui pri crearea a două mulţimi de vecori liie aociaţi umărăorilor şi umiorilor fucţiilor de rafer di compoeţa maricei de rafer: Num{[ ] [ ];[5 ] }; De{[ ] [ 3 ];[ ] [ }; ffnumde; Siemul de ordiul zero f cu maricea de rafer poae fi corui afel: 3 4 ff[ ;3 4]; Cu comada fij; di iemul mulivariabil f e exrage ubiemul cu fucţia de rafer ij Siemul cu reacţie egaivă r avâd pe calea direcă ubiemul f şi pe calea de reacţie ubiemul f e coruieşe afel: rfeedbackff; Siemul f de ip I-E poae fi raforma î iemul i de ip I-S-E afel: if; Iver iemul i de ip I-S-E poae fi raforma î iemul f de ip I-E afel: ffi; 54 FUNCTIA DE TRANSFER A SISTEMEOR COMPUSE Cele mai îâlie ieme compue elemeare u coexiuile erie paralel şi cu reacţie I cazul coexiuii erie di figura 4 oăm cu şi repeciv fucţiile de rafer ale ubiemelor Σ Σ şi iemului compu Σ Di 68

METODA OPERATIONAA APACE şi Y V V U rezulă Y U deci Fig 4 Coexiue erie I geeral fucţia de rafer a uei coexiui erie de ubieme ee egală cu produul fucţiilor de rafer ale ubiemelor compoee adică: 57 Toţi polii coexiuii erie u poli ai ubiemelor compoee I plu dacă oae fucţiile de rafer şi produul aceora i u fucţii raţioale ireducibile auci ordiul fucţiei de rafer a coexiuii erie ee egal cu uma ordielor fucţiilor de rafer ale ubiemelor compoee De aemeea a coecarea î erie a iemelor mulivariabile rebuie îdepliiă codiţia ca umărul de ieşiri ale uui ubiem ă fie egal cu umărul de irări ale ubiemului urmăor Maricea de rafer a coexiuii ee egală cu produul maricelor de rafer ale ubiemelor compoee î ordiea iveră adică 58 I cazul coexiuii paralel di figura 4 avem Y V V U U U deci I geeral fucţia de rafer a uei coexiui paralel de ubieme ee egală cu uma algebrică a fucţiilor de rafer ale ubiemelor compoee adică 59 69

SISTEME DE REARE AUTOMATA TEORIE SI APICATII Fig 4 Coexiue paralel Ca şi î cazul coexiuii erie oţi polii coexiuii erie u poli ai ubiemelor compoee I plu dacă fucţiile de rafer -au iciu pol comu auci ordiul fucţiei de rafer a coexiuii ee egal cu uma ordielor fucţiilor de rafer ale ubiemelor compoee Siemele mulivariabile po fi coecae î paralel umai dacă au acelaşi umăr de irări m şi acelaşi umăr de ieşiri p Maricea de rafer a coexiuii ee egală cu uma algebrică a maricelor de rafer ale elemeelor compoee relaţia 59 I cazul coexiuii cu reacţie egaivă di figura 43 oâd cu şi fucţiile de rafer ale ubiemelor Σ şi Σ avem Y E U V U Y deci Y U / Pri urmare fucţia de rafer a iemului cu irarea U şi ieşirea Y ee 6 Fig 43 Coexiue cu reacţie Dacă produul ee o fucţie raţioală ireducibilă auci oţi polii coexiuii îchie cu reacţie u diferiţi de polii ubiemelor compoee iar ordiul fucţiei de rafer a coexiuii ee egal cu uma ordielor fucţiilor de rafer ale ubiemelor compoee 7

METODA OPERATIONAA APACE Să coiderăm acum iemul de reglare auomaă după eroare abaere di figura 44 avâd ca mărimi de irare referiţa R şi perurbaţia V adiivă la ieşirea proceului Fig 44 Siem de reglare auomaă Di relaţiile rezulă ude cu Y U V U C P C E [ R M ] M Y R R Y R V E R V 6 YR YV R E P YR d ER d d R E E ER YV d T EV 6 T 63 EV d 64 P T Formula fucţiei de rafer a uui caal irare-ieşire al iemului de reglare poae fi abiliă după urmăoarea regulă: - umărăorul ee produul fucţiilor de rafer ale elemeelor caalelor de pe raeul direc irare-ieşire; - umiorul ee uma d ude d repreziă fucţia de rafer a iemului dechi a coexiuii erie cu irarea R şi ieşirea M obţiuă pri îreruperea buclei îchie după raducor Siemul de reglare are ecuaţia polilor 65 R E P T 7

SISTEME DE REARE AUTOMATA TEORIE SI APICATII Obervaţii o Perurbaţia V şi referiţa R u mărimi de irare adiive la mărimea de irare a raducorului repeciv la mărimea de irare a regulaorului Similar puem coidera câe u emal adiiv la irarea fiecăruia di cele paru elemee ale iemului de reglare I coeciţă puem aocia iemului de reglare u umăr de 6 fucţii de rafer care po fi calculae pe baza regulei abilie aerior Siemul de reglare poae fi auci coidera u iem mulivariabil cu 4 irări reprezeae de emalele adiive aplicae la irările celor paru ubieme şi 4 ieşiri reprezeae de ieşirile îumae ale celor paru ubieme Acee coideraţii u uile î aaliza abiliăţii ării iemului de reglare o a iemele de reglare auomaă mulivariabile vecorul referiţă R vecorul ieşire Y vecorul perurbaţie V vecorul măură M şi vecorul eroare E au de regulă aceeaşi dimeiue Siemul de reglare are maricele de rafer: I YR P E R T I 66 P E R YV P E R T I R ER T P E I EV T P E R T 67 I MATAB peru realizarea coexiuilor erie paralel şi cu reacţie e uilizează fucţiile: erieii ; p parallelii ; f feedbackiiig; au operaorii * şi / : i*i*i3; piii3; fi/i*i; 55 CACUU RASPUNSUUI SISTEMEOR COMPUSE Meoda operaţioală aplace permie deermiarea pe cale algebrică a răpuului forţa al uui iem liiar coiuu implu au compu la fucţii de irare aaliice de ip origial auci câd e cuoc ecuaţiile fiecărui ubiem Calculul aaliic al răpuului uui iem compu la o fucţie de irare daă ip impul reapă rampă iuoidal ec e face după urmăoarea meodologie: e deermiă raformaa aplace U a fucţiei de irare u ; e deermiă fucţiile de rafer ale ubiemelor compoee; 7

METODA OPERATIONAA APACE e calculează fucţia de rafer a iemului compu corepuză-oare irării U şi ieşirii Y ; e calculează raformaa aplace Y a răpuului iemului cu relaţia Y U ; e calculează răpuul iemului y [ Y ] pri meoda dezvolării fucţiei Y î fracţii imple Calculul fucţiei podere g al fucţiei idiciale h şi al răpuului h la irare rampă uiară e face cu relaţiile h [ ] g [ ] h [ ] 68 Valoarea iiţială a răpuului idicial ee daă de realaţia h Dacă are oţi polii iuaţi î âga axei imagiare auci răpuul idicial are valoarea fială h Pe baza aceor relaţii puem corui caliaiv graficul răpuului idicial al iemelor de ordiul uu direc di fucţia de rafer fără a mai efecua calcului aaliic al aceuia I geeral răpuul idicial h aiface u umăr de codiţii iiţiale ule egal cu exceul poli-zerouri al fucţiei de rafer Prima codiţie iiţială eulă a răpuului idicial ee egală cu raporul dire coeficieţii ermeilor de grad maxim de la umărăorul şi umiorul fucţiei de rafer Afel dacă ee ric proprie b auci h h b şi a h a iemelor mulivariabile peru aflarea răpuului y i la irarea u j daă e calculează fucţia de rafer ij e deermiă Y i cu relaţia Y U iar î fial e efecuează raformarea iveră aplace i ij j y [ Y ] i i 56 CACUU RASPUNSUUI SISTEMEOR EEMENTARE 73

SISTEME DE REARE AUTOMATA TEORIE SI APICATII I cele ce urmează vor fi calculae ierpreae şi aalizae răpuurile iemelor elemeare de ip pur iegral de îârziere de ordiul uu de avaîârzere de ordiul uu derivaiv de ordiul uu de îârziere de ordiul doi derivaiv de ordiul doi şi de ava-îârziere de ordiul doi 56 Răpuul î imp al iemului pur iegral Siemul pur iegral iegraor de ordiul uu cu facorul de amplificare K şi coaa de imp iegrală T are modelul I-E de forma i şi fucţia de rafer Siemul are fucţia podere fucţia idicială d y T i Ku d 69 K 7 T g [ K ] K T i i T i K K h [ ] T T i i şi răpuul la irare rampă uiară u K K [ ] T T i3 i h Se obervă că iemul pur iegral de ordiul uu are fucţia podere ub formă de reapă fucţia idicială ub formă de rampă şi răpuul la irare rampă uiară ub formă parabolică fig 45 74

METODA OPERATIONAA APACE Fig 45 Răpuul iemului pur iegral de ordiul uu Siemul pur iegral de ordiul q q cu facorul de amplificare K şi coaa de imp iegrală T are modelul I-E de forma i şi fucţia de rafer q q T y Ku i K T q i 56 Răpuul î imp al iemului de îârziere de ordiul uu Siemele liiare de îârziere de ordiul uu au ecuaţia d y T y Ku d T > 7 şi fucţia de rafer K T 7 ude K ee facorul aic de proporţioaliae iar T - coaa de imp Fucţia idicială h are urm[oarele proprieăţi: h h lim K şi h K fig 46 Fucţia podere fucţia T idicială şi răpuul la irare rampă uiară e calculează afel: / [ K ] K T g e T T [ K ] [ T / T h K ] K e T T 75

SISTEME DE REARE AUTOMATA TEORIE SI APICATII [ K ] [ T T / ] [ T h K KT e ] T T T Fig 46 Răpuul iemului de îârziere de ordiul uu Fucţia idicială h ide implu expoeţial şi cocav pre valoarea fială K aigâd valorile 95K şi 98K repeciv la momeele de imp T r 3T şi 95 T r 4T 98 Mărimile T şi T caracerizează duraa regimului razioriu r95 r98 impul de răpu şi permi o ierpreare geomerică implă a coaei de imp T Ală ierpreare geomerică a coaei de imp T ee iluraă î figura 47 î care egmeul AC ee age la expoeţiala h î pucul A iua arbirar pe expoeţială I cazul T < răpuul iemului la orice ip de irare eulă ee emărgii iemul ee iabil Peru irarea iuoidală de ip origial u iω rezulă ω K ωt ω ωt Y K ω T ω T T ω deci K / T y ωt e iω ωt co ω ω T au ude / T y M ω[e iα i ω α] 76

METODA OPERATIONAA APACE M ω K gα ωt α π ω T Fig 47 Ierpreări geomerice ale coaei de imp T I regim iuoidal permae după elimiarea compoeei raziorii de ip expoeţial răpuul iemului are expreia Siemul are modelul aţioar y p M ωi ω α y Ku 563 Răpuul î imp al iemului derivaiv de ordiul uu Siemul derivaiv de ordiul uu are ecuaţia T y& y K u& T 73 τ şi fucţia de rafer Kτ 74 T ude K ee facorul de proporţioaliae τ coaa de imp derivaivă şi T coaa de imp de îârziere τ Fucţia idicială h are urmăoarele proprieăţi: h K şi T h fig 48 Siemul are fucţia podere Kτ Kτ [ ] [ Kτ ] [ / T g δ e ] T T T T T > 77

SISTEME DE REARE AUTOMATA TEORIE SI APICATII şi fucţia idicială h Kτ Kτ / T [ ] e T T Fig 48 Răpuul idicial al iemului derivaiv de ordiul uu Siemul derivaiv de ordiul uu ee frecve uiliza î geerarea emalelor de comadă cu caracer aicipaiv deoarece răpuul idicial ee de ip impul cu valoarea iiţială K τ şi valoarea fială zero Timpul de răpu î care h T / T realizează o variaţie de 95 % di valoarea iiţială expoeţiala e valoarea iiţială la valoarea e 3 5 ee T r 3T 95 Scriid fucţia de rafer ub forma Kτ T T cade de la rezulă că iemul derivaiv de ordiul uu poae fi obţiu pri coecarea paralelopuă a uui iem de ip aic şi a uui iem de îârziere de ordiul uu ambele avâd acelaşi facor aic de proporţioaliae 564 Răpuul î imp al iemului de ava-îârziere de ordiul uu Siemul de ava-îârziere de ordiul uu are ecuaţia şi fucţia de rafer T y& y K τ u& T 75 u > 78

METODA OPERATIONAA APACE K τ 76 T ude K ee facorul aic de proporţioaliae T - coaa de imp de îârziere iar τ - coaa de imp de ava Efecul de îârziere ee domia î cazul T > >τ iar efecul de ava ee domia î cazul T < τ Fucţia idicială h are urmăoarele proprieăţi fig 49: şi τ h K T h K Fucţia podere fucţia idicială şi răpuul la irare rampă uiară e calculează afel: K τ [ ] K T τ / [ ] K τ [ T g τ Tδ e ] T T T T T K τ [ ] [ T τ τ / T h K ] K[ e ] T T T K τ h [ ] K [ T T τ T T τ T ] [ τ / T KT e ] T T Siemul de ava de ordiul uu cu τ > T ee frecve uiliza î geerarea emalelor de comadă cu caracer aicipaiv deoarece răpuul idicial are o valoare iiţială de τ ori mai mare decâ valoarea fială Raporul m τ dire T T valoarea iiţială maximă şi cea fială a răpuului idicial e umeşe facor de / T magiudie Timpul de răpu î care expoeţiala e cade de la valoarea iiţială la valoarea e 3 5 ee T r 3T 95 I cazul τ < cu zerou poziiv iemul u ee de fază miimă Di h Kτ / T şi h K rezulă că răpuul idicial are la îcepu o variaţie < brucă de e opu faţă de valoarea fială 79

SISTEME DE REARE AUTOMATA TEORIE SI APICATII Fig 49 Răpuul idicial al iemului de ava-îârziere de ordiul uu Scriid fucţia de rafer ub forma τ T K[ ] T rezulă că iemul de ava-îârziere de ordiul uu cu τ > T poae fi obţiu pri coecarea paralel-opuă a două ieme uul de ip aic şi celălal de ip derivaiv de ordiul uu Scriid fucţia de rafer ub forma τ τ / T K T T rezulă că iemul de ava-îârziere de ordiul uu poae fi obţiu pri coecarea paralel-opuă a uui iem de ip aic şi a uui iem de îârziere de ordiul uu 565 Răpuul î imp al iemului de îârziere de ordiul doi Siemul de îârziere de ordiul doi are ecuaţia difereţială şi fucţia de rafer T & y T y& ξ y Ku T 77 T K ξ T > 78 ude ξ repreziă facorul de amorizare Coiderâd facorul aic de proporţioaliae K şi îlocuid coaa de imp T cu /ω ude ω > ee pulaţia aurală ecuaţia difereţială şi fucţia de rafer devi afel: 8

METODA OPERATIONAA APACE repeciv & y ξ ω y& ω y u T 79 > ω ξω ω 8 Deoarece exceul poli-zerouri ee egal cu doi fucţia idicială h ee coiuă î origie şi ageă la axa impului adică h h I plu dacă ξ > auci h Ecuaţia difereţială a iemului poae fi criă şi ub forma ude T şi T u coae de imp T && y T y& y Ku T T > Cazul < ξ < regim ocila amoriza Peru irare reapă uiară raformaa aplace a răpuului iemului ee Y ω ξω ω ξω ξω ω Cu oaţiile ω ω ξ ξ coα α π răpuul idicial are expreia ξω ξω ξω ω ξ ξω ξω ξ e co i e y ω ω i ω α 8 ξ ξ fiid de ip ocila amoriza fig 4 cu pulaţia ω < ω Pri aularea derivaei răpuului idicial ω ξω y& e iω ω e obţi momeele de exrem şi valorile de exrem y k k π k N k ω k ξω k k k π cgα e e 8

SISTEME DE REARE AUTOMATA TEORIE SI APICATII di care reiee că pucele de exrem u iuae pe expoeţialele ξω e f Fig 4 Răpuul idicial al iemului de îârziere de ordiul doi peru <ξ< Valoarea σ k a pulului k ee Pulul maxim k k k k y πcgα k σ k e σ πcgα e e πξ ξ σ 8 e umeşe uprareglaj au upradepăşire iar σ δ 3 σ σ repreziă gradul de amorizare a ocilaţiilor fig 4 Fig 4 Depedeţa de ξ a uprareglajului σ şi a gradului de amorizare δ 8

METODA OPERATIONAA APACE Cazul ξ regim ocila îreţiu Siemul are răpuul idicial y ω [ ] [ ] coω ω ω Răpuul idicial ee iuoidal cu ampliudiea coaă egală cu şi cu pulaţia egală cu pulaţia aurală ω fig 4 Fig 4 Răpuul idicial al iemului de îârziere de ordiul doi peru ξ şi ξ Aplicâd la irare emalul armoic răpuul y ω [ ] ω iω ω u coω cu pulaţia ω e obţie caraceriza pri ocilaţii iuoidale cu ampliudie liiar crecăoare î imp Cazul ξ regim criic Siemul are răpuul idicial ω ω ω y [ ] [ ] e ω ω ω ω Răpuul idicial ee ric crecăor peru fig 4 Cazul ξ > regim upraamoriza Fucţia de rafer a iemului poae fi criă ub forma 83

SISTEME DE REARE AUTOMATA TEORIE SI APICATII T >T > 83 T T care evideţiază fapul că iemul de ordiul doi upraamoriza poae fi decompu î două ubieme de îârziere de ordiul uu coecae î erie Ire paramerii formelor de reprezeare a fucţiei de rafer 8 şi 83 exiă urmăoarele relaţii: T ξ ± ξ T ξ ξ ω T ω TT T T ξ TT Siemul are răpuul idicial / < / T / e x T y e 84 x x ude x T T Ca şi î cazul ξ răpuul idicial ee ric crecăor peru - fig 43 Fig 43 Răpuul idicial al iemului de îârziere de ordiul doi peru ξ > Cazul < ξ < regim ocila iabil Răpuul idicial al iemului ee da de relaţiile 8 î care α π / π Răpuul idicial e caracerizează pri ocilaţii expoeţial crecăoare fig 46 Cazul ξ < ub forma regim upraamoriza iabil Fucţia de rafer poae fi criă T <T < T T Răpuul idicial ee da de relaţia 84 ee ric crecăor şi emărgii fig 44 84

METODA OPERATIONAA APACE Fig 44 Răpuul idicial al iemului de îârziere de ordiul doi peru ξ < 57 APICATII Aplicaţia 5 Fie iemul moovariabil Σ A B C D cu A B 3 C [ ] D Să e afle: a raformaa aplace a maricei fudameale şi fucţia de rafer; b fucţia podere şi fucţia idicială Soluţie a Avem de I A 5 4 3 Φ I A 5 4 CΦ B D 9 5 4 Se obervă că poliomul caraceriic al iemului poliomul polilor maricei fudameale şi poliomul polilor fucţiei de rafer coicid b Pri decompuerea î fracţii imple a fucţiei de rafer 3 3 4 obţiem fucţia podere 4 [ ] 3e e g şi fucţia idicială 3 4 h g τ dτ 3 4e e 4 Fucţia idicială poae fi calculaă direc afel: 85

SISTEME DE REARE AUTOMATA TEORIE SI APICATII 86 4 4 3 4 3 ] 4 5 9 ] [ U h e 4e 3 4 3 4 Aplicaţia 5 Fie iemul 3 A B [ ] C D Să e afle: a fucţia de rafer ; b răpuul iemului la irarea u ; c răpuul iemului la irarea 3 i u ; d maricea fudameală Φ ; e răpuul liber di area iiţială 5 X ; f răpuul la irarea u di area iiţială 5 X Soluţie a Avem A 3 3 I Φ şi 3 3 D B C Φ Poliomul caraceriic coicide cu poliomul polilor maricei fudameale adică 3 μ P î imp ce poliomul polilor fucţiei de rafer ee P Fucţia de rafer ee de ordiul b Tiâd eama că U obţiem e 6 4 6 4 3 ] [ U y c Deoarece 9 3 U rezulă 9 5 3 9 3 ] [ U y 5i3 co3 e 3

METODA OPERATIONAA APACE 87 I regim iuoidal permae răpuul iemului ee 5i3 co3 3 y p d Avem 3 3 Φ deci e e e e e e e e Φ e Sarea evoluează liber afel: l X X 4e e 7e e 5 e e e e e e e e Φ Răpuul liber ee l l l x x y e 7 f Avem y y y f l ude l e y 7 - pucul e iar 6 4 f e y - pucul b Rezulă 9 6 4 e y Aplicaţia 53 Să e afle fucţia de rafer a iemului A B [ ] C D Soluţie Avem I de A I A Φ D B C Φ Siemul are poliomul caraceriic P poliomul polilor maricei fudameale μ şi poliomul polilor fucţiei de rafer P

SISTEME DE REARE AUTOMATA TEORIE SI APICATII Aplicaţia 54 Să e afle maricea de rafer a iemului mulivariabil Σ A B C D cu A B 3 C D Soluţie Avem 3 Φ I A 4 CΦ B D 4 5 3 Maricea de rafer ee de ordiul doi Ea poae fi criă şi ub forma: 5 3 4 Aplicaţia 55 Fie coexiuea erie de mai jo formaă di ubiemele: Σ v& v u & u Σ 4 y v y& Să e afle răpuul iemului peru: a u δ ; b u ; c u ; d u i Soluţie Avem 4 4 a b c 3 / 4 Y 5e / 75 4 4 e y ; / / 4 Y y e 3e ; 4 4 Y 4 48 4 4 y / e / 4 e ; d Y 4 48 6 4 5 74 85 88

METODA OPERATIONAA APACE y 5 7 6 co 85 i 85 / 4 e / e Aplicaţia 56 Coiderăm că elemeele iemului de reglare auomaă de mai jo au urmăoarele fucţii de rafer: 5 R k ; E ; P ; 5 T Peru k ă e afle răpuul y peru: a r δ b r c r şi răpuul e peru: d v δ e v f v Soluţie I coformiae cu 6 şi 63 obţiem: a Avem b Avem k 5 YR 5 6 k YV 5 6 k 5 5 ER 5 6 k EV 5 6 k 6 Y YR 5 6 5[ 6 ] 6 y e co i Y YR 5 4 5 6 5 6 5 5 6 5 6 6 y 5 5e co i c Avem 5 6 7 5 6 Y YR 89

SISTEME DE REARE AUTOMATA TEORIE SI APICATII 5 6 5 6 6 y 5 e co 5i d Avem 5 6 E EV 5 6 6 6 e e co i e Avem 5 5 4 5 6 5 6 E EV 6 7 [ ] 6 6 e 5 5e co 7i f Avem 5 7 5 6 5 6 E EV 5 6 55 6 6 e 5 e co 55i Remarcă Tiâd eama de proprieaea valorii fiale eroarea aţioară fială peru v şi k > ee Δ pvf e lim lim lim lim e E EV V EV k De aemeea peru r avem e lim e lim I ambele cazuri k ER eroarea aţioară ee eulă dar cu aâ mai mică cu câ facorul de proporţioaliae al regulaorului ee mai mare 9