AUTOMATICĂ ŞI INFORMATICĂ APLICATĂ

Transcript

1

2

3 Prefaţă Cartea e adreează î primul râd tudeţilor pecializării AUOMAICĂ ŞI INFORMAICĂ APLICAĂ îvăţămât la zi şi cu frecveţă reduă care au î plaul de îvăţămât diciplia cu acelaşi ume eoria itemelor automate dar poate fi utilizată petru completarea şi aprofudarea cuoştiţelor şi de tudeţii de la pecializările ELECRONICĂ APLICAA CALCULAOARE ELECROME- CANICĂ INFORMAICA PROCESELOR CHIMICE şi INGINERIE ECONOMICĂ ÎN DOMENIUL MECANIC I primul capitol ut reamitite pricipalele proprietăţi şi caracteritici ale itemelor automate câteva apecte eeţiale privid locul rolul şi claificarea itemelor automate ut prezetate defiiţia şi rolul dicipliei eoria itemelor automate î pregătirea profeioală a tudeţilor automatişti de la ciclul liceţă I al doilea capitol ete prezetată metoda operaţioală Laplace petru tudiul itemelor liiare cotiue Caracteritica pricipală a acetei metode umită şi metoda fucţiei de trafer ete forma implă de decriere matematică a corelaţiei diamice itrare-ieşire cu coeciţe remarcabile î implificarea formalimului matematic implicat î aaliza şi iteza itemelor compue tip erie paralel cu reacţie mixte chiar dacă aceată metodă implică mărirea gradului de abtractizare O parte importată a capitolului ete detiată calculului aalitic al răpuului itemelor elemetare (de ordiul uu şi doi) şi compue (de ordi uperior) I îcheierea capitolului ete expu şi aalizat îtr-o maieră origială cadrul geeral al problematicii itemelor mootoice I capitolul trei ete tratată problema tabilităţii itemelor î ambele variate: tabilitatea iteră (a tării) şi tabilitatea exteră (a ieşirii) Sut prezetate şi demotrate pricipalele teoreme şi criterii de tabilitate iteră şi exteră ale itemelor liiare cotiue şi dicrete Capitolul patru ete detiat aalizei itemelor î domeiul frecveţei Ete prezetată şi demotrată teorema de iterpretare fizică a fucţiei de frecveţă umită şi teorema filtrării ut defiite şi aalizate caracteriticile de frecveţă ale itemelor liiare cu şi fără timp mort apoi ut prezetate criteriile frecveţiale de tabilitate de tip Nyquit I capitolul cici ete tratată problema calităţii reglării î regim taţioar şi diamic Ete demotrată teorema erorii taţioare şi ut prezetaţi pricipalii idicatori de performaţă ai reglării automate î regim diamic Cele două teoreme de alocare a polilor uui item cotiuu de reglare automată pe baza factorului de magitudie al comezii regulatorului ut cotribuţii origialei ale autorului Ultimul capitol abordează teoria tructurală a itemelor Sut prezetate pricipalele proprietăţi tructurale ale itemelor coceptul de reglare pri reacţie după tare aaliza şi proiectarea etimatoarele de tare de ordiul uu oate capitolele coţi u umăr emificativ de aplicaţii rezolvate au propue pre rezolvare Rezultatele problemelor de autotetare ut date la fârşitul cărţii Vaile Cîrtoaje

4

5 CUPRINS INRODUCERE 7 MEODA OPERAŢIONALĂ LAPLACE raformarea Laplace Fucţia de trafer 5 Matricea de trafer 4 Fucţia de trafer a itemelor compue 7 5 Calculul răpuului itemelor compue 6 Răpuul itemelor elemetare 7 Siteme mootoice 49 8 Aplicaţii 5 SABILIAEA SISEMELOR LINIARE 7 Stabilitatea iteră 7 Stabilitatea exteră 75 Criteriul de tabilitate Hurwitz 8 4 Aplicaţii 8 4 FUNCŢIA DE FRECVENŢĂ 95 4 Defiiţie şi proprietăţi 95 4 Iterpretare fizică 96 4 Caracteritici de frecveţă Siteme cu timp mort 7 45 Criteriile de tabilitate Nyquit 5 47 Aplicaţii 7 5 CALIAEA REGLĂRII 5 Calitatea reglării î regim taţioar 5 Calitatea reglării î regim diamic 5 Aplicaţii 47 6 PROPRIEĂŢI SRUCURALE ALE SISEMELOR 6 6 Cotrolabilitatea şi tabilizabilitatea 6 6 Obervabilitatea şi detectabilitatea 7 6 Reglarea cu reacţie după tare şi etimator de tare Aplicaţii 86 7 REZULAE ALE APLICAŢIILOR DE AUOCONROL 99 BIBLIOGRAFIE

6

7 INRODUCERE Sitemul ete u aamblu de elemete care fucţioează şi iteracţioează ître ele şi cu exteriorul după aumite reguli şi legi î vederea realizării uui e au cop U item ete o coexiue de elemete fiecare elemet cotituid la râdul ău u item (ubitem) Iteracţiuea ditre elemetele itemului poate coferi acetuia proprietăţi caracteritici şi moduri de maifetare pe care fiecare elemet î parte u le poedă I cazul itemelor fizice (reale) iteracţiuea e realizează pri itermediul fluxurilor de maă şi eergie purtătoare de iformaţie eoria itemelor reprezită u aamblu de cocepte cuoştiţe pricipii şi metode idepedete de aplicaţii eceare şi utile î tudiul tructurii proprietăţilor şi caracteriticilor itemelor î geeral al itemelor automate î mod pecial eoria itemelor itroduce şi dezvoltă u mod de gâdire logic aşa zi itemic bazat pe repectării pricipiului cauzalităţii care permite abordarea iterdicipliară a realităţii îcojurătoare Coform pricipiului cauzalităţii orice efect ete rezultatul uei cauze efectul ete îtârziat faţă de cauză şi î plu două cauze idetice geerează î aceleaşi codiţii efecte idetice Sitemele au următoarele trăături fudametale: caracterul tructural-uitar care reflectă proprietatea uui item de a fi reprezetat ca o coexiue de ubiteme a căror acţiue ete orietată pre u aumit cop (e fial; caracterul cauzal-diamic care reflectă proprietatea uui item de a evolua î timp ub acţiuea factorilor iteri şi exteri cu repectarea pricipiului cauzalităţii; caracterul iformaţioal care reflectă proprietatea uui item de a primi prelucra memora şi tramite iformaţie

8 8 EORIA SISEMELOR AUOMAE I eul teoriei itemelor pri iformaţie e îţelege orice factor care erveşte la decrierea calitativ-catitativă a comportametului itemului La itemele tehice mărimile fizice cotituite ca uport petru iformaţie e umec emale eoria itemelor operează cu coceptul de item abtract care ete î fapt u model matematic petru decrierea caracteriticilor şi comportametului diamic al uei clae de iteme fizice (reale) Mărimile fizice variabile aociate uui item ut de trei feluri: mărimi de itrare mărimi de tare şi mărimi de ieşire Mărimile de itrare ut idepedete de item (deci ut de tip cauză) şi iflueţează di exterior comportametul itemului Mărimile de tare ut depedete de mărimile de itrare (deci ut de tip efect) ut îtârziate faţă de acetea şi au rolul de a caracteriza tarea iteră curetă a itemului Mărimile de ieşire ut depedete de mărimile de tare ueori şi direct şi itataeu de mărimile de itrare (deci ut de tip efect) şi au rolul de-a tramite î exterior (itemelor îveciate) iformaţie depre tarea curetă a itemului Mărimile de ieşire ale uui item ut deci mărimi de itrare petru itemele îveciate Uele mărimi de ieşire pot fi mărimi de tare Dacă mărimile de ieşire e idetifică cu mărimile de tare atuci îtreaga iformaţie depre tarea curetă a itemului ete tramiă î exterior U item iteracţioează cu itemele îveciate umai pri itermediul mărimilor de itrare şi de ieşire Mărimile de ieşire ale itemelor tehice ut măurabile î timp ce mărimile de tare u ut îtotdeaua acceibile măurării I afara mărimilor de itrare de tare şi de ieşire î decrierea comportametului uui item itervi şi uele mărimi cotate au let variabile umite parametri La itemele fizice parametrii ut de regulă mărimi ce caracterizează proprietăţile fizico-chimice ale itemului: deitate vicozitate lugime volum coductivitate termică au electrică etc eoria itemelor operează cu două cocepte de item: item de tip I-S-E (itrare-tare-ieşire) şi item de tip I-E (itrare-ieşire) Sitemele de tip I-S-E au mărimi de itrare mărimi de tare şi mărimi de ieşire iar traferul itrare-ieşire e realizează î mod idirect pri itermediul tării La itemele de tip I-E umai

9 INRODUCERE 9 mărimile de itrare şi mărimile de ieşire itervi î mod explicit iar traferul itrare-ieşire e realizează direct cu îtârziere au itataeu (î cazul itemelor triviale de tip tatic) Uui item fizic i e poate aocia u item abtract (model matematic) de tip I-E au de tip I-S-E Sitemele automate ut iteme tehice cu ajutorul cărora e realizează upravegherea comada şi coducerea proceelor şi italaţiilor tehologice fără iterveţia directă a omului eoria itemelor automate ete u domeiu particular de tudiu care vizează î pecial decrierea îţelegerea aprofudarea şi rezolvarea problemelor pecifice domeiului reglării automate a italaţiilor şi proceelor tehice U item automat SA ete format di două mari ubiteme: proceul (italaţia) de automatizat P şi dipozitivul de automatizare DA (fig ) Sitemele automate cu tructurile (a) şi (b) ut iteme dechie (î buclă dechiă) cu flux de iformaţie uidirecţioal) iar cele cu tructura (c) ut iteme îchie (cu buclă îchiă) î care ieşirea uui ubitem iflueţează itrarea şi tarea acetuia pri itermediul altor ubiteme Sitemul cu tructura (c) ete u item de reglare automată după eroare (abatere) î buclă îchiă Fig Structuri poibile ale uui item automat La itemele de reglare automată cu tructură îchiă dipozitivul de automatizare DA primeşte iformaţie depre tarea curetă a proceului reglat P şi pe baza acetei iformaţii geerează comezi coveabile aupra acetuia î vederea aducerii şi meţierii mărimii lui de ieşire î jurul uei valori de referiţă î codiţiile acţiuii perturbaţiilor (extere) aupra proceului acţiuii uor perturbaţii itere şi/au modificării mărimii de referiţă

10 EORIA SISEMELOR AUOMAE I raport cu fucţia îdepliită itemele automate e claifică î [9]: - iteme automate de upraveghere (de măurare şi/au emalizare); - iteme automate de protecţie; - iteme automate de comadă î buclă dechiă (după u program pretabilit au î raport cu o mărime de itrare); - iteme automate de comadă î buclă îchiă (de reglare); - iteme automate de coducere (de upraveghere protecţie comadă reglare) Sitemele automate pot fi cotiue au dicrete Sitemele cotiue ut acele iteme la care mărimile de itrare de tare şi de ieşire iau valori la toate mometele de timp di mulţimea umerelor reale şi î plu mărimile de tare şi de ieşire variază cotiuu la orice variaţie cotiuă a mărimii de itrare Sitemele dicrete ut acele iteme la care mărimile de itrare de tare şi de ieşire iau valori umai la mometele de timp echiditate t k k ude k aparţie mulţimii umerelor îtregi iar ete perioada (tactul paul) de dicretizare a timpului Sitemele care coţi atât elemete cotiue cât şi elemete dicrete e umec iteme cu eşatioare au iteme eşatioate Sitemele pot fi liiare au eliiare Sitemele liiare ut acelea care î orice codiţii verifică pricipiul uperpoziţiei (uprapuerii efectelor): uma efectelor cauzelor ete egală cu efectul umei cauzelor Sitemele eliiare ut acelea care u atifac pricipiul uperpoziţiei adică acele iteme care u ut liiare Modul ecotructiv de defiire a itemelor eliiare (pri egarea uei proprietăţi) şi multitudiea modurilor de maifetare a eliiarităţilor coduc la ideea impoibilităţii cotruirii uei teorii uitare a itemelor eliiare Sitemele pot fi moovariabile au multivariabile Sitemele moovariabile au o igură itrare şi o igură ieşire Sitemele multivariabile au cel puţi două itrări şi două ieşiri; î plu cel puţi o ieşire ete iflueţată de miimum două itrări Sitemele diamice pre deoebire de itemele tatice (fără memorie) e evideţiază pri prezeţa regimurilor trazitorii ca o coeciţă a faptului că iclud î compoeţa lor elemete capabile ă acumuleze şi ă trafere cu viteză fiită catităţi emificative de maă şi eergie

11 MEODA OPERAŢIONALĂ LAPLACE Acet capitol ete axat pe aaliza de tip itrare-ieşire (I-E) a itemelor liiare cotiue (etede) cu ajutorul formalimului operaţioal Laplace Caracteritica pricipală a metodei operaţioale Laplace ete forma implă de decriere matematică a corelaţiei diamice ître itrarea şi ieşirea uui item liiar Aticipâd modelul operaţioal diamic al itemului va avea o formă imilară celei a modelului taţioar la care ieşirea y e obţie pri multiplicarea itrării u cu u factor cotat de proporţioalitate K : y K u Forma implă a modelului operaţioal diamic are coeciţe pozitive î pecial î aaliza şi iteza itemelor compue cu ua au mai multe legături de reacţie Simplificarea formalimului matematic e realizează îă cu preţul creşterii gradului de abtractizare Aceata preupue î primul râd trecerea de la tudiul itemelor î domeiul timpului la tudiul î domeiul complex şi î particular î domeiul frecveţei Reamitim că modelul primar de tip I-E al uui item liiar cotiuu moovariabil de ordiul are forma: a y ( ) ( ) ( r) ( r) a y a y a y b u b u b u b u r r Pri elimiarea derivatelor mărimilor de itrare şi de ieşire e obţie modelul taţioar y K u K b /a I codiţiile aplicării la itrarea itemului a uui emal de tip treaptă modelul taţioar ete utilizabil petru t < (câd mărimile de itrare şi ieşire ut ule) şi petru t uficiet de mare câd itemul îşi tabileşte u ou regim taţioar

12 EORIA SISEMELOR AUOMAE (teoretic petru t ) Modelul primar î domeiul timpului are două eajuuri forma relativ complicată (mai ale la itemele de ordi uperior) şi prezeţa derivatelor mărimii de itrare care fac modelul eoperabil î cazul mărimilor de itrare dicotiue şi/au ederivabile (cazul itrării de tip treaptă) Modelul ecudar de tip I-E cu forma ( aw y b w ) ( ) aw r ( r) a w a b w b w w u îlătură al doilea eaju dar îl accetuează pe primul pri itroducerea mărimii w care mediază traferul itrare-ieşire [8] Ambele eajuuri ut elimiate î cazul modelului de covoluţie t y( t) g( t τ) u( τ) dτ g( t)* u( t) care exprimă răpuul y (t) la o itrare u (t) dată de tip origial (ulă petru t < ) atuci câd e cuoaşte fucţia podere g (t) a itemului (defiită ca fiid răpuul itemului la itrarea impul Dirac u δ ( t ) ) Răpuul y (t ) ete rezultatul produului de covoluţie g* u care depide de îtreaga evoluţie î timp a emalului de itrare u şi a răpuului podere g pe itervalul [ t ] I acet mod valoarea curetă (la mometul t ) a ieşirii y cumulează toate efectele produe de emalul de itrare u la mometele de timp di itervalul [ t ] Forma modelului de covoluţie evideţiază faptul că fucţia podere g coţie toate caracteriticile diamice ale itemului ub apectul corelaţiei itrare-ieşire Acet model deşi are o formă relativ implă ete foarte rar utilizat î aplicaţii deoarece determiarea fucţiei podere g e poate face umai aalitic pri derivarea fucţiei idiciale h după obţierea aceteia cu ajutorul modelului ecudar Modelul de covoluţie are îă o mare importaţă teoretică deoarece forma a implă ugerează poibilitatea găirii uui model diamic cu forma şi mai implă pri îlocuirea produului de covoluţie cu uul algebric Acet lucru ete realizabil cu ajutorul traformării Laplace I cadrul metodei operaţioale Laplace modelul de covoluţie y g * u va căpăta forma operaţioală de tip algebric Y( G( U(

13 MEODA OPERAŢIONALĂ LAPLACE ude ete variabila complexă Laplace iar Y ( G ( şi U ( ut traformatele Laplace ale fucţiilor de timp y (t) g (t) şi u (t) Modelul operaţioal ete deci u model abtract (î domeiul complex) dar care exprimă îtr-o formă algebrică implă faptul că ieşirea complexă Y ( ete produul ditre fucţia complexă G ( aociată caracteriticilor diamice ale itemului şi itrarea complexă U ( Aşa cum vom vedea î cotiuare determiarea modelului operaţioal al uui item liiar compu di modelele operaţioale ale ubitemelor compoete ete o operaţie mult mai implă decât aceea de obţiere î domeiul timpului a ecuaţiei difereţiale a itemului di ecuaţiile difereţiale ale ubitemelor Modelul operaţioal poate fi dedu pe cale algebrică pritr-o metodologie imilară celei utilizate la tudiul itemului î regim taţioar au la tudiul uui item format umai di ubiteme tatice (de ordiul zero) I plu metodologia aalitică de calculul al răpuului uui item pe baza fucţiei de trafer ete mai implă decât cea di domeiul timpului pri rezolvarea ecuaţiei difereţiale a itemului RANSFORMAREA LAPLACE Variabilele de itrare de tare şi de ieşire ale itemelor liiare cotiue aflate î regim taţioar petru t < ut fucţii de timp de tip origial care admit traformate Laplace O fucţie origial f (t) ete ulă petru t < ete cotiuă şi derivabilă pe porţiui şi are o rată de creştere cel mult expoeţială adică exită A > şi B > atfel îcât Bt f ( t) Ae Petru a fi atifăcută prima proprietate vom coidera (aşa cum am procedat şi î aaliza î domeiul timpului) că variabilele uui item reprezită variaţiile mărimilor fizice repective faţă de valorile lor iiţiale (la mometele de timp egativ câd itemul e află î regim taţioar) I cazul itemelor liiare răpuul tare X (t) şi răpuul ieşire Y (t) la orice emal de itrare de tip origial ut răpuuri forţate de tip origial raformata Laplace au imagiea Laplace a fucţiei origial f ete dată de relaţia Δ t L [ f ( t)] f ( t)e C F( dt

14 4 EORIA SISEMELOR AUOMAE I mod atural limita iferioară a itegralei -a ale petru a iclude î rezultatul traformării şi efectul fucţiilor origial geeralizate (tip ditribuţie) aşa cum ete fucţia impul Dirac δ ( ) t I plu aceată alegere implifică formula traformatei Laplace a derivatei (k) f a fucţiei origial f deoarece derivatele iiţiale f ( ) f ( ) f ( k) ( ) ut ule şi u mai itervi î expreia traformatei Laplace (vezi proprietatea derivării de mai jo I cotiuare prezetăm câteva proprietăţi uzuale ale traformării Laplace: proprietatea de liiaritate L k f ( t) k f ( t)] k L[ f ( t)] k L[ f ( )] () [ t valabilă oricare ar fi fucţiile origial f f şi cotatele reale k k ; proprietatea de derivare (itegrare) î domeiul real ( k) k L [ f ( t)] F( k Z; () proprietatea de derivare î domeiul complex L [ tf ( t)] F ( ; () proprietatea de tralaţie î complex L [ e at f ( t)] F( a) a C; (4) proprietatea de tralaţie î real τ L [ f ( t τ )] e F( ; (5) proprietatea valorii fiale lim f ( t) limf( (6) t valabilă î codiţiile î care toţi polii fucţiei F ( au partea reală egativă deci ut ituaţi î tâga axei imagiare; proprietatea valorii iiţiale lim t f ( t) lim F( (7) ( ) f k I relaţia () derivata ( t) poate fi şi fucţie de tip ditribuţie defiită icluiv î puctele de dicotiuitate ale fuctiei f(t) Atfel prima derivată a fucţiei dicotiue f ( t) e ( t) ete at ditribuţia f ( t) δ ( t) ae ( t) ude δ ( ) ete fucţia impul Dirac t at

15 MEODA OPERAŢIONALĂ LAPLACE 5 valabilă atuci câd limita di dreapta exită şi ete fiită; proprietatea produului de covoluţie t L [ g( tτ ) u( τ ) dτ ] G( U ( (8) raformarea Laplace iveră ete operaţia de obţiere a fucţiei origial f (t) di imagiea Laplace F ( raformata Laplace iveră a imagiii F ( ete dată de relaţia σ j f ( t) F( et d (9) πj σ j î care itegrala e calculează de-a lugul dreptei cu abcia cotată σ uficiet de mică petru a aigura covergeţa itegralei I majoritatea aplicaţiilor petru determiarea traformatei Laplace ivere e utilizează metoda decompuerii imagiii F ( î fracţii imple petru care e cuoc traformatele Laplace ivere (fucţiile origial) Ditre traformatele Laplace mai frecvet utilizate meţioăm următoarele: L [ δ ( t)] L [ ( t)] L [ t ( t)] k k! L [ t ( t)] k at t at L [e ( )] L [ te ( t)] a ( a) at a at b L [e cobt ( t)] L [e ibt ( t)] ( a) b ( a) b L [cobt ( t)] b FUNCIA DE RANSFER b L [ibt ( t)] b Pri defiiţie fucţia de trafer a uui item liiar cotiuu şi moovariabil ete traformata Laplace G ( a fucţiei podere g (t) a itemului Aplicâd traformarea Laplace modelului de covoluţie t y( t) g( tτ ) u( τ ) dτ () şi ţiâd eama de proprietatea produului de covoluţie (8) e obţie modelul operaţioal diamic itrare-ieşire Y ( G( U( ()

16 6 EORIA SISEMELOR AUOMAE ude U( ete traformata Laplace a fucţiei de itrare u (t) iar Y ( ete traformata Laplace a fucţiei de ieşire y (t) Scriid modelul () ub forma rezultă Y( G ( U ( eorema fucţiei de trafer Fucţia de trafer a uui item liiar cotiuu moovariabil ete egală cu raportul ditre traformata Laplace a răpuului itemului la o fucţie de itrare de tip origial dată şi traformata Laplace a fucţiei de itrare Modelul operaţioal () ete modelul diamic cu cea mai implă formă poibilă imilară celei a modelului taţioar y K u ude K reprezită factorul tatic de proporţioalitate al itemului Modelul operaţioal ete îă u model abtract deoarece u realizează o corelare directă a mărimile fizice reale ale itemului ci o corelare a traformatelor Laplace ale acetor mărimi care ut fucţii de variabilă complexă Să coiderăm acum forma primară a modelului de tip I-E al uui item liiar cotiuu moovariabil: a ( r) ( r) a y a y b u b u b u b u a ( ) ( ) y a y r r Aplicâd traformarea Laplace ambilor membri ai ecuaţiei difereţiale a itemului şi ţiâd eama de proprietatea de liiaritate şi de proprietatea derivării î domeiul real obţiem forma primară a fucţiei de trafer br b b b G( () a a r r r a a care are la umitor chiar poliomul caracteritic al itemului La itemele proprii (fizic realizabile) poliomul de la umărătorul fucţiei de trafer are gradul mai mic au cel mult egal cu gradul poliomului de la umitorul fucţiei de trafer ( r ) I ecuaţia difereţială de tip I-E a itemului dacă a şi b ut coeficieţi adimeioali atuci toţi coeficieţii a şi b ut di puct de vedere dimeioal i i cotate de timp la puterea i Pri urmare putem coidera că variabila di expreia fucţiei de trafer G ( are formal dimeiuea iverului timpului

17 MEODA OPERAŢIONALĂ LAPLACE 7 Pri defiiţie ordiul fucţiei de trafer ete egal cu gradul umitorului fucţiei de trafer implificate (adue la forma ireductibilă) adică ete egal cu umărul total de poli au cu gradul poliomului polilor fucţiei de trafer I coeciţă dacă polioamele de la umărător şi umitor ut coprime (u au rădăcii comue) atuci G ( are ordiul Difereţa r ditre gradul polioamelor de la umitorul şi umărătorul fucţiei de trafer reprezită ordiul relativ al fucţiei de trafer au exceul poli-zerouri Ierţia uui item (caracterizată pri umărul codiţiilor iiţiale ule ale răpuului la aplicarea uui emal treaptă la itrare) ete cu atât mai mare cu cât ordiul relativ al acetuia ete mai mare Mai exact coform teoremei codiţiilor iiţiale ule umărul codiţiilor iiţiale ule ale răpuului idicial h (t) al itemului ete egal cu ordiul relativ r al fucţiei de trafer adică ( ) ( r ) h h ( ) h ( ) Atfel aplicâd proprietatea derivării şi proprietatea valorii iiţiale petru i r avem lim h( i) ( t) lim L [ h( i) ( t)] lim i H ( lim ig( t U item e umeşte de fază miimă atuci câd fucţia de trafer ete proprie ( r ) şi u are zerouri (rădăcii ale umărătorului fucţiei de trafer implificate) cu partea reală pozitivă adică ituate î emiplaul di dreapta axei imagiare I geeral fucţia de trafer G ( ete u factor de proporţioalitate complex ce caracterizează corelaţia ître traformatele Laplace (complexe) ale mărimilor de itrare şi de ieşire I cazul particular fucţia de trafer coicide cu factorul tatic de proporţioalitate al itemului: b G ( ) K () a La itemele de tip proporţioal caracterizate pri a şi b fucţia de trafer G ( u are pe factor comu la umărător au umitor deci u are zerou au pol î origie La itemele de tip itegral caracterizate pri a şi b fucţia de trafer G ( are variabila factor comu la umitor iar la itemele de tip derivativ caracterizate pri a şi b fucţia de trafer G ( ) are pe factor comu la umărător

18 8 EORIA SISEMELOR AUOMAE Obervaţii Di relaţia operaţioală itrare-ieşire Y ( G( U( rezultă că traformata Laplace H ( a răpuului idicial h (t) al itemului are expreia G( H ( Di G ( H ( regăim relaţia ditre fucţia idicială h (t) şi fucţia podere g (t) aume dh( t) g( t) ( ) ( ) ( ) dt h t h δ t Di proprietatea valorii iiţiale rezultă b h( ) lim H( lim G( G( ) (4) a Dacă h ( ) ( b ) atuci b h () lim L [ h ( t)] lim H ( lim G( (5) a Pri urmare u item emipropriu ( b ) are răpuul idicial h (t) dicotiuu î origie u item trict propriu cu ordiul relativ uu ( b şi b ) are răpuul idicial h (t) cotiuu şi ederivabil î origie (taget la o dreaptă oblică) iar u item trict propriu cu ordiul relativ doi au mai mare ( b şi b ) are răpuul idicial h (t) cotiuu şi derivabil î origie (taget la axa timpului) I geeral petru orice item propriu avem h b a b () a a Aceată relaţie poate fi deduă cu ajutorul proprietăţii valorii iiţiale ţiâd eama b că itemul cu fucţia de trafer G ( G( ete trict propriu şi are fucţia a b idicială h ( t) h( t) ( t) a ; deci b a b h () h (6) a () lim H( lim G ( Di proprietatea valorii fiale rezultă că dacă răpuul idicial h (t) al uui item tide la o valoare fiită petru t atuci aceată valoare ete egală cu factorul tatic de proporţioalitate al itemului: a

19 MEODA OPERAŢIONALĂ LAPLACE 9 h( ) lim H ( lim G( G() b / a K (7) Acet rezultat era cuocut de la aaliza î domeiul timpului di faptul că petru orice răpu idicial h (t) care e tabilizează la o valoare fiită deoebim două regimuri taţioare uul trivial petru t ( ) şi uul fial la îcheierea regimului trazitoriu (teoretic petru t ) iar î codiţiile celui de-al doilea regim taţioar di ecuaţia modelului taţioar ( y Ku ) rezultă y ( ) Ku( ) K Pri urmare la itemele de tip proporţioal (cu factorul tatic de proporţioalitate K fiit şi eul) răpuul idicial h (t) tide la o valoare fiită şi eulă î timp ce la itemele de tip derivativ (cu factorul tatic de proporţioalitate egal cu zero) răpuul idicial h (t) tide la valoarea zero (fiid deci ub formă de impul ) La itemele de îtârziere de ordiul uu cu fucţia de trafer K G ( > răpuul idicial h (t) poate fi reprezetat grafic pe baza relaţiilor h ( ) G( ) h ( ) G() K tr ( 4) (8) ude tr ete durata regimului trazitoriu Regulatoarele cotiue de tip PID cu ecuaţia improprie c dε ε t K ( dt ) c R ε d dt i au fucţia de trafer G ( K ( (9) R R d i Aceată fucţie de trafer ete improprie (cu gradul umărătorului mai mare decât cel al umitorului) datorită compoetei derivative Caracterul impropriu al acetei compoete reiee şi di faptul că la itrare treaptă compoeta derivativă ete de tip impul Dirac I realitate fucţia de trafer a regulatorului PID are forma emiproprie d GR ( K R ( ) () i

20 EORIA SISEMELOR AUOMAE ude ete cotata de timp de îtârziere a compoetei derivative (cu valoarea de regulă mult mai mică decât cea a cotatei de timp derivative d ) Ţiâd eama de (8) răpuul la itrare treaptă uitară a compoetei derivative emiproprii cu fucţia de trafer d creşte itataeu la valoarea maximă d / apoi coboară pre zero durata regimului trazitoriu fiid tr ( 4) t / (egală cu timpul î care expoeţiala e cade de la valoarea iiţială la valoarea e 5 au e 4 ) Pri utilizarea formei improprii a compoetei derivative î calculul răpuului uui item de reglare u apar erori emificative deoarece caracterul impropriu al regulatorului ete compeat de caracterul trict propriu al părţii fixate (reprezetate de itemul format di elemetul de execuţie proce şi traductor) I plu cotata de timp de îtârziere domiată a părţii fixate ete de zeci au ute de ori mai mare decât cotata de timp de îtârziere d a compoetei derivative emiproprii Aşa e explică faptul că de cele mai multe ori fucţia de trafer a regulatorului PID apare î literatura de pecialitate î forma improprie (9) Sub aceată formă proprietăţile şi rolul compoetei derivative ut relativ uşor de îţele şi de iterpretat icluiv de către peroalul di domeiu fără tudii uperioare 4 La itemele emiproprii de tip proporţioal (caracterizate pritr-u răpu idicial care tide la o valoare fiită şi eulă) cu fucţia de trafer G ( defiim factorul (raportul) de magitudie f m ca fiid raportul ditre valoarea iiţială şi valoarea fială a răpuului idicial h (t) adică Di (4) (7) şi () rezultă h( ) f m () h( ) f m G( ) () G() Regulatorul pur proporţioal cu fucţia de trafer G R ( K R are factorul de magitudie egal cu iar regulatorul de tip proporţioal-derivativ cu fucţia de trafer d GR ( K R ( ) are factorul de magitudie fm d / Factorul de magitudie al regulatorului PD ete uprauitar fără a depăşi îă valoarea deoarece o valoare mai mică a

21 MEODA OPERAŢIONALĂ LAPLACE acetuia aigură u emal de comadă mai eted (mai puţi agreiv) o amplificare mai mică a zgomotului o uzură mai reduă a italaţiei comadate u coum mai mic de eergie şi combutibil I cazul regulatorului cu compoetă derivativă improprie (cu ) factorul de magitudie are valoarea 5 Modelul operaţioal Y ( G( U ( permite cofirmarea imediată a veridicităţii teoremei de echivaleţă itrare-ieşire coform căreia două iteme liiare cotiue ut echivalete I-E (au acelaşi răpu la orice itrare de tip origial comuă) dacă şi umai dacă fucţiile de trafer ale itemelor ut egale (ut reductibile la aceeaşi expreie deci au aceleaşi valori petru orice C di domeiul comu de defiiţie) 6 U item cu ecuaţia difereţială de ordiul deci avâd poliomul caracteritic de gradul e umeşte miimal dacă u exită u alt item echivalet itrare-ieşire care ă aibă ordiul mai mic decât eorema de miimalitate a itemelor moovariabile U item liiar moovariabil ete miimal dacă şi umai dacă poliomul caracteritic şi poliomul polilor au acelaşi grad Di teorema de miimalitate rezultă că u item moovariabil de tip I-E ete miimal atuci câd forma primară () a fucţiei de trafer ete ireductibilă (umărătorul şi umitorul u au rădăcii comue) Aducerea uui item emiimal la forma miimală cotă î aducerea fucţiei de trafer la forma ireductibilă MARICEA DE RANSFER I coformitate cu pricipiul uperpoziţiei petru u item cotiuu liiar multivariabil cu m itrări şi p ieşiri depedeţa ieşirii Y i ( î raport cu itrările U ( ) U ( ) ( ete dată de relaţia Y U m G ( U ( G ( U ( G ( U ( ) i ( i i im m ude G ij ( ete fucţia de trafer a caalului cu itrarea U şi ieşirea Y Relaţiile j i pot fi crie petru toate ieşirile ub forma vectorial-matriceală echivaletă cu Y ( G( U( ()

22 EORIA SISEMELOR AUOMAE Y Y Y p G G G p G G G p G G G m m pm U U U m Fucţia matriceală de tipul p m G G G m G G Gm G (4) G p G p G pm reprezită matricea de trafer a itemului Relaţia Y( G( U( exprimă faptul că î complex vectorul Y al mărimilor de ieşire ete egal cu produul ditre matricea de trafer G a itemului şi vectorul U al mărimilor de itrare Itre itrarea U j ( şi ieşirea Y i ( exită relaţia operaţioală Yi ( Gij ( U j ( (5) I cazul itemelor proprii matricea de trafer G ( poate fi reprezetată şi ub forma K K K K G( ) (6) a a a a ude K i i ut matrice cotate de tipul p m iar poliomul de la umitorul matricei de trafer ete cel mai mic multiplu comu al polioamelor de la umitorul tuturor fucţiilor de trafer ( Dacă toate fucţiilor de trafer G ij ( ut ireductibile (miimale) atuci poliomul de la umitor ete chiar poliomul polilor matricei de trafer Gradul poliomului polilor ete egal cu umărul total al polilor matricei de trafer şi reprezită ordiul matricei de trafer Fie Σ ( A B C D) u item liiar cotiuu de ordiul moovariabil au multivariabil Aplicâd traformarea Laplace ecuaţiilor de tare şi de ieşire G ij

23 MEODA OPERAŢIONALĂ LAPLACE obţiem X ( t) AX ( t) BU( t) Y( t) CX ( t) DU( t) X ( ( I A) BU ( Y( CX ( DU( Mai departe îlocuid vectorul de tare X ( di ecuaţia tării î ecuaţia ieşirii rezultă matricea de trafer a itemului (de tipul p m ) ub forma Fucţia matriceală G ( ) C( I A) B D (7) Φ ( ( I A) (8) de tipul reprezită traformata Laplace a matricei fudametale (de traziţie a tării) Φ ( t) e At ( t) Itr-adevăr aplicâd traformarea Laplace relaţiei ude Φ ( ) I obţiem Φ '( t) AΦ ( t) Φ ( ) δ ( ) Φ ( AΦ ( I ( I A) Φ ( I Φ ( ( I A) Aşadar î afara metodelor î domeiul timpului (metoda diagoalizării şi metoda At Sylveter) expoeţiala matriceală e poate fi calculată şi cu relaţia t At L [( I A) ] (9) e Matricea fudametală Φ ( ete o fucţie matriceală pătrată raţioală trict proprie Ea poate fi criă ub forma ude P ( Φ ( P E () ( ( det( I A) ete poliomul caracteritic iar E( - matricea de iverare aociată matricei I A Elemetele E ij ( ale matricei pătrate E ( ut polioame cu gradul mai mic au egal cu Ţiâd eama de () matricea de trafer G ( a itemului poate fi criă atfel CE( B G ( ) C( I A) B D D P (

24 4 EORIA SISEMELOR AUOMAE de ude rezultă că G ( ete o fucţie matriceală raţioală proprie (trict proprie î cazul D ) Obervaţii Di relaţia Y ( G( U ( rezultă că două iteme cu fucţiile au matricele de trafer egale au acelaşi răpu forţat la orice itrare comuă de tip origial deci ut echivalete itrare-ieşire Acet rezultat cotituie o extidere a teoremei de echivaleţă itrare-ieşire la itemele multivariabile: Două iteme liiare cotiue ut echivalete itrare-ieşire dacă şi umai dacă au matricele de trafer egale Deoarece două iteme echivalete I-S-E ut de aemeea echivalete I-E rezultă că două iteme echivalete I-S-E au aceeaşi matrice de trafer Acet rezultat poate fi obţiut şi pe baza relaţiilor date de teorema de echivaleţă I-S-E Atfel dacă itemele Σ ( A B C D) şi Σ ( A B C D) ut echivalete I-S-E iar S ete matricea de traformare a tării ( X SX ) atuci: G( C ( I A) B D CS( I S AS) S B D [ C S( I S AS) S ] B D C( I A) B D G( ) Două iteme cu aceeaşi matrice (fucţie) de trafer u ut îă î mod ecear echivalete I-S-E (de exemplu î cazul itemelor de ordi diferit) Di teorema de miimalitate a itemelor moovariabile rezultă că u item moovariabil de tip I-S-E de ordiul (cu dimeiuea vectorului de tare X egală cu ) ete miimal atuci câd fucţia de trafer G ( C( I A) B D are ordiul adică are poli I toolbox-ul CONROL di MALAB itemul cu fucţia de trafer () e cotruieşte cu fucţia tf care are ca argumete de itrare vectorii liie um [ b b b ] şi de a a a ] b [ a formaţi cu coeficieţii de la umărătorul şi repectiv umitorul fucţiei de trafer: tf tf (umde) ; I cazul r < vectorul um poate fi cri şi ub forma um [ b b b ] r r b Alt mod de a cotrui u item î MALAB cotă î defiirea prealabilă a variabilei Laplace urmată de crierea expreiei fucţiei de trafer cu ajutorul operatorilor uzuali De exemplu itemul tf cu fucţia de trafer G ( poate fi cotruit atfel: 5 4

25 MEODA OPERAŢIONALĂ LAPLACE 5 tf( ) tf(*)/(5*^4*); I cazul itemelor multivariabile cotrucţia e face pri cocatearea ubitemelor moovariabile De exemplu itemul tf cu matricea de trafer e cotruieşte atfel: au G ( 5 tf([ ] [ ]); tf([ ] [ ]); tf([5 ] [ ]); tf( [ ]); tf[ ; ]; tf(' '); ()/(^); ()/(^*; (5)/(); /(^); tf[ ; ]; De aemeea itemul multivariabil poate fi cotruit pri crearea a două mulţimi de vectori liie aociaţi umărătorilor şi umitorilor fucţiilor de trafer di compoeţa matricei de trafer: Num{[ ] [ ];[5 ] }; De{[ ] [ ];[ ] [ }; tftf(numde); Sitemul de ordiul zero tf cu matricea de trafer G ( poate fi cotruit atfel: 4 tftf([ ; 4]); Cu comada tf(ij); di itemul multivariabil tf e extrage ubitemul cu fucţia de trafer G ij ( Sitemul tf de tip I-E poate fi traformat î itemul i de tip I-S-E atfel: i(tf); Iver itemul i de tip I-S-E poate fi traformat î itemul tf de tip I-E atfel: tftf(i;

26 6 EORIA SISEMELOR AUOMAE 4 FUNCIA DE RANSFER A SISEMELOR COMPUSE La itemelor compue alcătuite di ubiteme liiare cotiue obţierea modelului matematic pe baza ecuaţiilor difereţiale ale ubitemelor compoete ete o operaţie complicată care preupue elimiarea tuturor variabilelor itermediare şi a derivatelor acetora I cazul metodei operaţioale determiarea modelului uui item liiar compu ete echivaletă cu determiarea fucţiilor de trafer ale acetuia operaţie care e realizează pe cale algebrică ca î cazul tudiului uui item î regim taţioar au al uui item format umai di ubiteme tatice (de ordiul zero) I cazul coexiuii erie di figura formată di ubitemul Σ cu fucţia de trafer G şi ubitemul Σ cu fucţia de trafer G di modelele operaţioale şi Y ( G ( V ( V ( G ( U( rezultă Y G ( G ( U( ) Pri urmare itemul compu are fucţia de trafer ( ( G ( G ( G I geeral fucţia de trafer a uei coexiui erie de ubiteme moovariabile ete egală cu produul fucţiilor de trafer ale ubitemelor compoete adică: G G G () G Fig Coexiue erie oţi polii coexiuii erie ut poli ai ubitemelor compoete I coeciţă comportametul diamic al uei coexiui erie u diferă radical de cel al ubitemelor compoete Reamitim î acet e că î cazul uui item cu fucţia de trafer ireductibilă polii acetuia coicid cu rădăciile ecuaţiei caracteritice a itemului iar acetea determiă ub apect calitativ comportametul diamic al itemului adică forma răpuului idicial

27 MEODA OPERAŢIONALĂ LAPLACE 7 Dacă toate fucţiile de trafer G şi produul acetora G G G i ut fucţii raţioale ireductibile atuci ordiul fucţiei de trafer a coexiuii erie ete egal cu uma ordielor fucţiilor de trafer ale ubitemelor compoete La coectarea î erie a itemelor multivariabile trebuie îdepliită codiţia ca umărul de ieşiri ale uui ubitem ă fie egal cu umărul de itrări ale ubitemului următor Matricea de trafer a coexiuii ete egală cu produul matricelor de trafer ale ubitemelor compoete î ordie iveră adică G () G G G I cazul coexiuii paralel di figura avem Y V ( V ( GU( G U( ( G G ) U( ) ( deci G G G I geeral fucţia de trafer a uei coexiui paralel de ubiteme moovariabile ete egală cu uma algebrică a fucţiilor de trafer ale ubitemelor compoete adică G G G G () Ca şi î cazul coexiuii erie toţi polii coexiuii erie ut poli ai ubitemelor compoete I plu dacă fucţiile de trafer ale ubitemelor -au iciu pol comu atuci ordiul fucţiei de trafer a coexiuii ete egal cu uma ordielor fucţiilor de trafer ale ubitemelor compoete Fig Coexiue paralel Sitemele multivariabile pot fi coectate î paralel umai dacă au acelaşi umăr de itrări m şi acelaşi umăr de ieşiri p Matricea de trafer a coexiuii ete egală cu uma algebrică a matricelor de trafer ale elemetelor compoete relaţia () I cazul coexiuii cu reacţie egativă di figura otâd cu G şi G fucţiile de trafer ale ubitemelor Σ şi Σ avem Y G E G U V) G ( U G ) ( Y

28 8 EORIA SISEMELOR AUOMAE deci Y GU /( G G ) Pri urmare fucţia de trafer a itemului cu itrarea U şi ieşirea Y ete G G (4) GG Dacă produul G ( G ( ete o fucţie raţioală ireductibilă atuci toţi polii coexiuii îchie (cu reacţie) ut diferiţi de polii ubitemelor compoete I coeciţă itemele îchie pre deoebire de itemele dechie pot avea u comportamet diamic radical diferit de cel al ubitemelor compoete Ordiul fucţiei de trafer a coexiuii ete egal cu uma ordielor fucţiilor de trafer ale ubitemelor compoete Fig Coexiue cu reacţie Să coiderăm acum itemul de reglare automată după eroare (abatere) di figura 4 avâd ca mărimi de itrare referiţa R şi perturbaţia V (aditivă la ieşirea proceului) Fig 4 Sitem de reglare automată oate celelalte mărimi ale itemului (Y E C U şi M ) pot fi coiderate mărimi de ieşire Formula fucţiei de trafer a uuia di cele zece caale itrare-ieşire ale itemului de reglare poate fi obţiută după următoarea regulă: - umărătorul ete produul fucţiilor de trafer ale elemetelor (caalelor) de pe traeul direct itrare-ieşire; - umitorul ete acelaşi egal cu uma ( ude d R E P G d G G G G G (5)

29 MEODA OPERAŢIONALĂ LAPLACE 9 reprezită fucţia de trafer a itemului dechi (a coexiuii erie cu itrarea R şi ieşirea M obţiută pri îtreruperea buclei îchie după traductor) Aplicâd aceată regulă avem G G G G R E P YR Gd G ER G G CR d d GR G G G EV CV GYV Gd (6) GV G ( ) Gd (7) GV G GR ( ) G (8) Formulele (6) ale fucţiilor de trafer G YR şi G YV pot fi dedue procedâd atfel: e criu ucceiv relaţiile de depedeţă cauzală ale mărimii Y ( pâă e ajuge la mărimile de itrare V ( şi R ( şi di ou la mărimea Y ( adică Y( G U ( G V ( G G C( G V ( G G G E( G V ( P V P E V P E R GP GEGR[ R( M ( ] GV V ( GPGEGR[ R( GY ( ] GV V ( d V Rezultă ( G G G G ) Y( G G G R( G V ( P E R P E R V adică Y( G R( G V ( ude G YR şi G YV au expreiile (6) YR YV Deoarece toate fucţiile de trafer ale itemului au acelaşi umitor itemul de reglare are ecuaţia polilor echivaletă cu ude R E P G G G G (9) G (4) R G F G G F E G P G ete fucţia de trafer a părţii fixate La itemele de reglare automată multivariabile vectorul referiţă R vectorul ieşire Y vectorul perturbaţie V vectorul măură M şi vectorul eroare E au de regulă aceeaşi dimeiue Sitemul de reglare are matricele de trafer: G ( I G G G G ) YR P E R G G G G ( I G G G G ) (4) P E R YV P E R G (I G G G G R ) ER P E G (I G G G G ) G EV P E R (4)

30 EORIA SISEMELOR AUOMAE I MALAB petru cotruirea coexiuilor erie paralel şi cu reacţie e utilizează fucţiile: erie(ii ; p parallel(ii ; f feedback(iiig); au operatorii * şi / : i*i*i; piii; fi/(i*i; 5 CALCULUL RASPUNSULUI SISEMELOR COMPUSE Metoda operaţioală Laplace permite determiarea pe cale algebrică a răpuului forţat al uui item liiar cotiuu compu la fucţii de itrare aalitice de tip origial atuci câd e cuoc ecuaţiile difereţiale ale fiecărui ubitem Calculul aalitic al răpuului y i (t) al itemului compu la o fucţie de itrare u j (t) dată (tip impul Dirac treaptă rampă iuoidal etc) e face după următoarea metodologie: e determiă traformata Laplace U j ( a fucţiei de itrare u j (t) ; e determiă fucţiile de trafer ale ubitemelor compoete; e calculează fucţia de trafer G ij ( a itemului compu corepuzătoare itrării U j ( şi ieşirii ( î raport cu fucţiile de trafer ale ubitemelor; Y i e calculează traformata Laplace Y i ( a răpuului itemului cu relaţia Yi ( Gij ( U j ( ; e calculează răpuul itemului yi ( t) L [ Yi ( ] pri metoda dezvoltării fucţiei Y i ( î fracţii imple Calculul fucţiei podere g ij (t) şi al fucţiei idiciale h ij (t) e face cu relaţiile g ( t) ij L [ Gij ( ] h ( ) ij t L [ Gij ( ] Dacă G ij ( are toţi polii ituaţi î tâga axei imagiare atuci răpuul idicial are valorile iiţială şi fială h ( ) ( ) h ) G () ij G ij ij ( ij

31 MEODA OPERAŢIONALĂ LAPLACE I geeral răpuul idicial h ij (t) atiface u umăr de codiţii iiţiale ule egal cu ordiul relativ al fucţiei de trafer G ij ( Prima codiţie iiţială eulă a răpuului idicial ete egală cu raportul coeficieţilor termeilor de grad maxim de la umărătorul şi umitorul fucţiei de trafer G ij ( Atfel dacă G ij ( ete trict proprie ( b ) atuci h ( ) ij h b ij () h ij ( ) Gij () a (4) Dacă G ij ( ete de ordiul uu cu cotata de timp de îtârziere (de la umitor) > şi cotata de timp de ava (de la umărător) τ τ < adică τ G ij ( K atuci durata regimului trazitoriu al răpuului idicial ete aproximativ tr 4)( τ ) (44) ( Pe baza acetor relaţii putem cotrui calitativ graficul răpuului idicial al itemelor de ordiul uu direct di fucţia de trafer fără a mai efectua calculul aalitic al acetuia Itr-u e mai geeral dacă G ij ( are umărătorul de gradul zero şi umitorul de gradul de forma )( ) ( ) ( > atuci durata regimului trazitoriu al răpuului idicial are valoarea aproximativă 4)( ) tr ( O jutificare a acetei relaţii ete dată de aproximaţia )( ) ( ) ) ( ( pri care u item de ordiul poate fi redu (cu aproximaţie deigur) la u item de ordiul uu Si mai geeral dacă umărătorul are forma )( τ ) ( τ ) ( τ cu τ < petru i atuci i i tr ( 4)( τ τ τ )

32 EORIA SISEMELOR AUOMAE I MALAB petru calculul şi reprezetarea grafică a răpuului idicial a răpuului podere şi a răpuului la o itrare arbitrară de tip origial U î formă de cară e utilizează fucţiile: [Yt] tep (it) ; [Yt] impule (it) ; [Yt] lim (iut) ; Argumetul de itrare t reprezetâd vectorul timp poate fi itrodu pritr-o comadă de forma tt::t ude t ete valoarea iiţială (de regulă egală cu ) ete paul de calcul iar t - valoarea fială Argumetul de itrare t poate fi omi la fucţiile tep şi impule caz î care aceta ete geerat automat de fucţia repectivă Argumetele de itrare U şi t ale fucţiei lim ut vectori cu aceeaşi dimeiue Compoetele vectorilor U şi Y reprezită repectiv valorile mărimilor de itrare şi de ieşire la mometele de timp pecificate de vectorul t Dacă fucţiile ut apelate fără pecificarea vreuui argumet de ieşire atuci e efectuează umai reprezetarea grafică a răpuului I cazul cotrar e efectuează evaluarea acetor argumete fără reprezetarea grafică a răpuului 6 RASPUNSUL SISEMELOR ELEMENARE I cele ce urmează vor fi calculate iterpretate şi aalizate răpuurile itemelor liiare elemetare de tip pur itegral de îtârziere de ordiul uu derivativ de ordiul uu de ava-îtârziere de ordiul uu de îtârziere de ordiul doi derivativ de ordiul doi şi de ava-îtârziere de ordiul doi 6 Răpuul itemului pur itegral Sitemul pur itegral (itegrator) de ordiul uu cu factorul de amplificare K şi cotata de timp itegrală are modelul I-E de forma i şi fucţia de trafer Sitemul are fucţia podere d y i Ku dt (45) G( K (46) i

33 MEODA OPERAŢIONALĂ LAPLACE fucţia idicială g t ( ) L [ K ] K i i K K t h L t ( ) [ ] i i şi răpuul la itrare rampă uitară u t ( t) K K t ( t) [ ] i i h L Se obervă că itemul pur itegral de ordiul uu are fucţia podere ub formă de treaptă fucţia idicială ub formă de rampă şi răpuul la itrare rampă uitară ub formă parabolică (fig 5) Fig 5 Răpuul itemului pur itegral de ordiul uu Sitemul pur itegral de ordiul q ( q ) cu factorul de amplificare K şi cotata de timp itegrală are modelul I-E de forma i şi fucţia de trafer q ( q ) y Ku i G( K ( q i ) 6 Răpuul itemului de îtârziere de ordiul uu Sitemul de îtârziere de ordiul uu ete cel mai implu item diamic liiar de tip proporţioal Aceta are modelul diamic d y y Ku dt > (47)

34 4 EORIA SISEMELOR AUOMAE modelul taţioar fucţia de trafer y Ku G ( K (48) ude K ete factorul tatic de proporţioalitate iar - cotata de timp Fucţia idicială h (t) are următoarele proprietăţi (fig 6): h ( ) G( ) h ( h ( ) G() K tr ( 4) K ) lim G( Fig 6 Răpuul itemului de îtârziere de ordiul uu Fucţia podere fucţia idicială şi răpuul la itrare rampă uitară e calculează atfel: / ( ) [ K ] K t g t L e ( ) [ K ] [ t / h t L KL ] K( e ) (49) ( ) ( ) [ K ] [ / ] [ t t h t L KL K ( e )] ( ) Fucţia idicială h (t) tide implu expoeţial şi cocav pre valoarea fială K atigâd valorile 95K şi 98K repectiv la mometele de timp tr şi 95 tr 4 98 Mărimile şi caracterizează durata regimului trazitoriu tr tr

35 MEODA OPERAŢIONALĂ LAPLACE 5 (timpul de răpu şi permit o iterpretare geometrică implă a cotatei de timp Altă iterpretare geometrică a cotatei de timp ete ilutrată î figura 7 î care egmetul AC ete taget la expoeţiala h (t) î puctul A ituat arbitrar pe expoeţială I cazul < răpuul itemului la orice tip de itrare eulă ete emărgiit (itemul ete itabil) ude Fig 7 Iterpretări geometrice ale cotatei de timp Petru itrarea iuoidală de tip origial u iωt rezultă ω K ω ω ω Y ( K ( ) ( )( ) ω ω ω ( ) K t / y t ( ω e iωt ω co ) ωt ω t / y( t) M ( ω)[e iα i( ωt α)] M ( ω) K tgα ω α ( π ) ω I regim iuoidal permaet (după elimiarea compoetei trazitorii ce tide expoeţial la zero) răpuul itemului are expreia y p ( t) M ( ω)i( ωt α) 6 Răpuul itemului derivativ de ordiul uu Sitemul derivativ de ordiul uu are modelul diamic

36 6 EORIA SISEMELOR AUOMAE y y Kd u > (5) modelul taţioar y fucţia de trafer d G( K (5) ude K ete factorul de proporţioalitate d cotata de timp derivativă şi cotata de timp de îtârziere Fucţia idicială h (t) are următoarele proprietăţi (fig 8): d h( ) G( ) K h ( ) G() tr ( 4) Sitemul are fucţia podere d d d t / g( t) L [ K ] K L [ ] K [ δ ( ) e t ] şi fucţia idicială h L (5) d d t / ( t) [ K ] K e Sitemul derivativ de ordiul uu ete frecvet utilizat î geerarea emalelor de comadă cu caracter aticipativ deoarece răpuul idicial ete de tip impul cu valoarea iiţială K d şi valoarea fială zero impul de răpu î care h (t) are t / o variaţie de 95 % di valoarea iiţială (expoeţiala e iiţială la valoarea e 5 ) ete tr 95 cade de la valoarea Fig 8 Răpuul idicial al itemului derivativ de ordiul uu

37 MEODA OPERAŢIONALĂ LAPLACE 7 Scriid fucţia de trafer ub forma G( K d ( ) rezultă că itemul derivativ de ordiul uu poate fi obţiut pri coectarea paralelopuă a uui item de tip tatic şi a uui item de îtârziere de ordiul uu ambele avâd acelaşi factor tatic de proporţioalitate 64 Răpuul itemului de ava-îtârziere de ordiul uu Sitemul de ava-îtârziere de ordiul uu are modelul diamic modelul taţioar fucţia de trafer y y K τ u ) (5) ( u y K u > K( τ ) G( (54) ude K ete factorul tatic de proporţioalitate - cotata de timp de îtârziere iar τ - cotata de timp de ava Efectul de ava ete domiat î cazul τ > iar efectul de îtârziere ete domiat î cazul <τ < Fucţia idicială h (t) are următoarele proprietăţi (fig 9): τ h( ) G( ) K h ( ) G() K ( 4) tr Petru <τ < durata regimului trazitoriu a răpuului idicial poate fi exprimată pri relaţia mai preciă tr ( 4) τ Fucţia podere şi fucţia idicială e calculează atfel: K( τ ) ) [ ] K τ / [ ] K τ t g t L L τ [ δ ( t) ( )e ] ( K( τ ) ( ) [ ] [ τ τ / ] [ ( t h t L KL K )e ] (55) ( ) I cazul τ (cu zerou pozitiv) itemul u ete de fază miimă Di < ( ) K / < h τ şi h ( ) K rezultă că răpuul idicial are la îceput o variaţie brucă de e opu faţă de valoarea fială

38 8 EORIA SISEMELOR AUOMAE Sitemul de ava de ordiul uu (cu τ > ) ete frecvet utilizat î geerarea emalelor de comadă cu caracter aticipativ deoarece răpuul idicial are o valoare iiţială de τ / ori mai mare decât valoarea fială Raportul τ / ditre valoarea iiţială (maximă) şi cea fială a răpuului idicial reprezită factorul de magitudie Scriid fucţia de trafer ub forma ( τ ) G( K[ ] (56) am obţiut fucţia de trafer a uui regulator de tip PD cu cotata de timp derivativă τ d Fig 9 Răpuul idicial al itemului de ava-îtârziere de ordiul uu Scriid fucţia de trafer ub forma τ τ / G( K( ) rezultă că itemul de ava-îtârziere de ordiul uu poate fi obţiut pri coectarea paralel-opuă a uui item de tip tatic şi a uui item de îtârziere de ordiul uu 65 Răpuul itemului de îtârziere de ordiul doi Sitemul de îtârziere de ordiul doi are ecuaţia difereţială y ξ ω y ω y Kω u ω > (57) modelul taţioar y K u şi fucţia de trafer

39 MEODA OPERAŢIONALĂ LAPLACE 9 K G( ω ξω ω (58) ude K ete factorul tatic de proporţioalitate ξ factorul de amortizare iar ω pulaţia aturală Deoarece exceul poli-zerouri ete egal cu doi fucţia idicială h (t) ete cotiuă î origie şi tagetă la axa timpului adică h ( ) h () I plu petru ξ > avem h ( ) G() Fucţia de trafer a itemului poate fi criă şi ub forma K G ( ude şi ut cotate de timp pozitive I cotiuare vom coidera K Cazul < ξ < (regim ocilat amortizat) La itrare treaptă uitară traformata Laplace a răpuului itemului are forma Y ( ( ω ξω ω ) ξω ξω ω ( ξω ) ξω ( ξω ) ( ω ξ ) Cu otaţiile ω ξ ω ξ coα α ( π ) răpuul idicial are expreia ξω ξ e ξω y( t) e t (coωt iωt) ξ ξ i( ωt α) (59) fiid de tip ocilat amortizat (fig ) cu pulaţia ω < ω Pri aularea derivatei răpuului idicial ω y ( t) e ξω t iωt ω e obţi mometele de extrem k π t k ω k N şi valorile de extrem y( t k k ξω tk k k π ctgα ) ( ) e ( ) e

40 4 EORIA SISEMELOR AUOMAE di care reiee că puctele de extrem ut ituate pe expoeţialele ξω t t) e ( f Fig Răpuul idicial al itemului de îtârziere de ordiul doi petru <ξ< Valoarea σ k a pulului k ete Pulul maxim k k πctgα k k σ y( t k k ) ( ) e ( ) σ πctgα e e πξ ξ σ (6) e umeşte uprareglaj au upradepăşire iar σ δ σ σ reprezită gradul de amortizare a ocilaţiilor (fig ) Fig Depedeţa de ξ a uprareglajului σ şi a gradului de amortizare δ

41 MEODA OPERAŢIONALĂ LAPLACE 4 Cazul ξ (regim ocilat îtreţiut) Sitemul are răpuul idicial ( y t) ω L [ ] L [ ] coω t (6) ( ω ) ω Răpuul idicial ete iuoidal cu amplitudiea cotată (egală cu ) şi cu pulaţia egală cu pulaţia aturală ω (fig ) Fig Răpuul idicial al itemului de îtârziere de ordiul doi petru ξ şi ξ Aplicâd la itrare emalul armoic răpuul ( y t) ω L [ ] ω tiω t ( ω ) u coω t cu pulaţia ω e obţie caracterizat pri ocilaţii iuoidale cu amplitudiea liiar crecătoare î timp Cazul ξ (regim critic) Sitemul are răpuul idicial ( ω ω ω t y t) L [ ] L [ ] e ( ) ( ) ( ) ω t ω ω ω Răpuul idicial ete trict crecător petru t (fig ) Cazul ξ > (regim upraamortizat) Fucţia de trafer a itemului poate fi criă ub forma

42 4 EORIA SISEMELOR AUOMAE G ( > (6) ( )( ) Forma covex-cocavă crecătoare şi cu puct de iflexiue a răpuului idicial (fig ) rezultă ituitiv di obervaţia că itemul poate fi decompu î două ubiteme de îtârziere de ordiul uu coectate î erie cu fucţiile de trafer G ( G ( Pri elimiarea termeului de gradul doi de la umitorul fucţiei de trafer obţiem fucţia de trafer a uui item de îtârziere de ordiul uu cu cotata de timp I coeciţă durata regimului trazitoriu ete tr ( 4)( ) Itre parametrii formelor echivalete (58) şi (6) de reprezetare a fucţiei de trafer exită următoarele relaţii: ξ ± ξ ξ ξ ω ω ξ Sitemul are răpuul idicial t / k t / y( t) e e (6) k k ude k / < Fig Răpuul idicial al itemului de îtârziere de ordiul doi petru ξ > Parametrii aociaţi puctului de iflexiue I depid de cotatele de timp şi după relaţiile [9]:

43 MEODA OPERAŢIONALĂ LAPLACE 4 t l z k t k l z y ( k) z (64) z z ude k z k k ( ) e Itre cotatele de timp şi ale itemului şi timpii t t şi ai răpuului idicial exită următoarea relaţie de ordoare: t t t < t < (65) Parametrii y t t şi pot fi determiaţi experimetal di forma răpuului idicial Dacă e cuoc oricare doi ditre aceşti parametri atuci e pot calcula cotatele de timp şi De exemplu dacă e cuoc şi atuci e poate afla k di relaţia (fig 4) iar apoi di relaţiile e determiă şi k k ( k) k k Fig 4 Caracteritica f ( / ) /

44 44 EORIA SISEMELOR AUOMAE Dacă e cuoc t şi atuci di relaţiile z ( k l z) t / şi z k k e obţie k apoi cu relaţia z e obţie iar di relaţia k e obţie Mai implu cotatele de timp şi pot fi determiate di caracteriticile grafice f ( t / ) şi g( t / ) figura 5 / / k Fig 5 Caracteriticile f ( t / ) şi g( t / ) / / Cazul < ξ < (regim ocilat itabil) Răpuul idicial al itemului ete dat de relaţiile (8) î care α ( π / π ) Răpuul idicial e caracterizează pri ocilaţii expoeţial crecătoare (fig 6) Cazul ξ < ub forma (regim upraamortizat itabil) Fucţia de trafer poate fi criă G ( < < ( )( ) Răpuul idicial dat de relaţia (6) ete crecător şi emărgiit (fig 6) Fig 6 Răpuul idicial al itemului de îtârziere de ordiul doi petru ξ <

45 MEODA OPERAŢIONALĂ LAPLACE Răpuul itemului derivativ de ordiul doi Sitemul derivativ de ordiul doi are ecuaţia y ) y y K u ( d < (66) şi fucţia de trafer Kd G( ( )( ) (67) ude d ete cotata de timp derivativă iar şi ut cotatele de timp de îtârziere De remarcat faptul că petru itemul devie derivativ de ordiul uu Ca şi aceta itemul derivativ de ordiul doi ete utilizat î geerarea emalelor de comadă cu caracter aticipativ răpuul idicial fiid de tip impul (creşte î primele momete la o valoare maximă după care tide pre zero creşterea fiid îă mai letă decât la itemul derivativ de ordiul uu ude creşterea ete brucă) Acet comportamet mai puţi agreiv rezultă şi di faptul că itemul derivativ de ordiul doi poate fi obţiut pri coectarea î erie a itemului derivativ de ordiul uu cu fucţia de trafer Kd G ( cu itemul de îtârziere de ordiul uu cu fucţia de trafer G ( ) Fucţia idicială h (t) are următoarele proprietăţi: h ( ) G( ) h ( h ( ) G() K d ) lim G( I cazul şi K răpuul idicial ete dat de relaţia: d d ( ) [ ] (e h t L e ) ( )( ) (68) Petru răpuul idicial are expreia (fig 7) t d d t [ ] e ( ) h( t) L (69) t t

46 46 EORIA SISEMELOR AUOMAE Valoarea maximă atiă la mometul t ete dată de formula h max d (7) e Fig 7 Răpuul idicial al itemului derivativ de ordiul doi cu petru diferite valori ale cotatei de timp derivative d 67 Răpuul î timp al itemului de ava-îtârziere de ordiul doi Sitemul de ava-îtârziere de ordiul doi are ecuaţia y ( ) y y K( τ u u) < (7) şi fucţia de trafer K( τ ) G( (7) ( )( ) ude τ ete cotata de timp de ava iar şi ut cotatele de timp de îtârziere De remarcat faptul că petru τ şi τ itemul devie de îtârziere de ordiul uu cu fucţia de trafer repectiv Sitemul de ava-îtârziere de ordiul doi poate fi obţiut pri coectarea î erie a uui item de ava-îtârziere de ordiul uu cu fucţia de trafer K( τ ) G (

47 MEODA OPERAŢIONALĂ LAPLACE 47 cu u item de îtârziere de ordiul uu cu fucţia de trafer G ( ) Di aceată reprezetare rezultă că răpuul la o itrare dată a itemului de avaîtârziere de ordiul doi ete mai let decât răpuul itemului de ava-îtârziere de ordiul uu cu fucţia de trafer G ( ) Petru itemul devie de avaîtârziere de ordiul uu Fucţia idicială h (t) are următoarele proprietăţi: h ( ) G( ) Kτ h () lim G( h ( ) G() K I cazul K şi > răpuul idicial ete dat de relaţia (fig 8): > t t [ ] e τ τ τ e ( )( ) h( t) L (7) Fig 8 Răpuul idicial al itemului de ava-îtârziere de ordiul doi petru diferite valori ale cotatei de timp de ava τ Răpuul idicial ete crecător petru τ max{ } Petru τ > max{ } răpuul idicial ete emootoic avâd uprareglajul (depăşirea valorii fiale)

48 48 EORIA SISEMELOR AUOMAE / / ( τ / ) ( / ) σ τ (74) Formula uprareglajului e obţie ţiâd eama că ecuaţia h ( t) are oluţia t dată de relaţia τ / t l τ / Sitemul de ava de ordiul doi cu τ > max{ } ete utilizat î geerarea emalelor de comadă cu caracter aticipativ deoarece răpuul idicial creşte î primele momete la o valoare mai mare decât valoarea a fială Creşterea ete îă mult mai liă decât la itemele de ava de ordiul uu (ude creşterea ete brucă) I cazul răpuul idicial are expreia t t τ τ τ [ ] [( ) ]e ( ) ( ) h( t) L Dacă τ > atuci di ecuaţia h ( t) rezultă oluţia x t x şi uprareglajul x σ ( x ) e x (9) ude x τ > (fig 9) Petru x > 4 avem σ 8 x 4 8 Fig 9 Depedeţa uprareglajului σ î fucţie de raportul x τ / petru

49 MEODA OPERAŢIONALĂ LAPLACE 49 7 SISEME MONOONICE Reamitim că pri defiiţie u item ete crecător mootoic (C-mootoic) atuci câd răpuul ău la orice itrare de tip origial crecătoare ete crecător De aemeea u item ete decrecător mootoic (D-mootoic) atuci câd răpuul ău la orice itrare de tip origial crecătoare ete decrecător U item care u ete C-mootoic au D-mootoic ete emootoic Coform teoremei fudametale a itemelor mootoice u item liiar ivariat şi moovariabil ete C-mootoic dacă şi umai dacă are fucţia podere g (t) eegativă (cu valori pozitive au ule la toate mometele de timp t R ) au echivalet dacă şi umai dacă are fucţia idicială h (t) crecătoare O coexiue erie de ubiteme mootoice ete u item mootoic deoarece aplicâd la itrarea coexiuii u emal treaptă uitară răpuul primului ubitem ete mootoic răpuul următorului ubitem ete mootoic şamd I cotiuare e vom referi umai la itemele cotiue şi liiare I mod evidet dacă u item cu fucţia de trafer G ( ete C-mootoic atuci itemul cu fucţia de trafer G( ete D-mootoic Prima teoremă de coervare a mootoicităţii [] U item liiar mootoic îşi coervă proprietatea de mootoicitate pri: a) elimiarea au micşorarea uei cotate de timp de ava pozitive; b) itroducerea au mărirea uei cotate de timp de îtârziere pozitive Petru demotrarea teoremei coiderăm u item Σ de tip C-mootoic cu fucţia de trafer G ( Preupuem că G ( are cotata de timp de ava τ ( τ > ) Pri îlocuirea cotatei de timp τ cu ( < τ ) obţiem itemul Σ cu fucţia de trafer G ( G( < τ (9) τ Micşorarea uei cotate de timp de ava cotă î îlocuirea factorului de la umărătorul fucţiei de trafer cu ude < Mărirea uei cotate de timp de îtârziere cotă î îlocuirea factorului de la umitorul fucţiei de trafer cu ude >

50 5 EORIA SISEMELOR AUOMAE De aemeea preupuâd că G ( are cotata de timp de îtârziere ( ) pri îlocuirea ei cu τ ( τ > ) obţiem itemul Σ cu fucţia de trafer G ( dată de (9) Demotrarea teoremei de coervare a mootoicităţii e reduce la a arăta că itemul Σ cu fucţia de trafer G ( ete mootoic Acet lucru ete adevărat deoarece itemul Σ ete o coexiue erie de două ubiteme C- mootoice: ubitemul de ava-îtârziere de ordiul uu cu fucţia de trafer ( ) G τ şi ubitemul Σ cu fucţia de trafer G ( Sitemul cu fucţia de trafer ( τ )( τ ) ( τ r ) G( (94) ( )( ) ( ) ude r şi i τ i > petru i r ete C-mootoic deoarece poate fi reprezetat ca o coexiue erie de ubiteme mootoice aume ubitemele de ava-îtârziere de ordiul uu cu fucţiile de trafer τ i Gi ( i r i şi ubitemele de îtârziere de ordiul uu cu fucţiile de trafer Gi ( i r r i Sitemul cu fucţia de trafer (94) î care toate cotatele de timp ut pozitive iar cea mai mare cotată de timp ete ua de ava ete u item emootoic Petru a demotra acet lucru î cazul particular î care toate cotatele de timp de îtârziere ut diticte ă coiderăm de exemplu că τ > > > > şi ă preupuem pri reducere la aburd că itemul ete mootoic Di valoarea fială a răpuului idicial h ( ) G() rezultă că itemul ete C-mootoic I coformitate cu teorema de coervare a mootoicităţii itemul cu fucţia de trafer τ G( ( )( ) ( ) ete de aemeea C-mootoic Acet item are fucţia podere de forma

51 MEODA OPERAŢIONALĂ LAPLACE 5 t / t / t / g t C C C ( ) e e e care atiface proprietatea τ ( ) t / lim e g( t) C < t ( ) ( ) Pri urmare fucţia podere u atiface codiţia g ( t) petru orice t deci itemul cu fucţia de trafer G ( ) u ete C-mootoic ceea ce ete fal O coeciţă a rezultatului obţiut ete aceea că itemul cu fucţia de trafer G ( avâd toate cotatele de timp pozitive ete C-mootoic dacă şi umai dacă τ max{ } (95) A doua teoremă de coervare a mootoicităţii [] U item liiar mootoic îşi coervă proprietatea de mootoicitate pri: a) cotractarea iveră 4 a două cotate de timp de ava pozitive ; b) diperarea iveră 5 a două cotate de timp de îtârziere pozitive Petru demotrarea teoremei coiderăm u item Σ de tip C-mootoic cu fucţia de trafer G ( Preupuem că G ( are cotatele de timp de ava τ şi τ ( τ >τ ) Pri cotractarea iveră a celor două cotate de timp de ava > τ şi τ obţiem itemul Σ cu fucţia de trafer ( )( ) G ( G( (96) ( τ )( τ ) ude τ > > τ şi τ τ De aemeea preupuâd că > G ( are cotatele de timp de îtârziere şi ( > ) pri diperarea iveră a acetora obţiem itemul Σ cu fucţia de trafer G ( dată de (95) Demotrarea teoremei de coervare a mootoicităţii e reduce la a arăta că itemul Σ cu fucţia de trafer G ( ete mootoic Acet lucru ete adevărat 4 Pri cotractarea iveră a două umere pozitive a şi b ( a > b ) e îţelege îlocuirea acetora cu umerele pozitive c şi d atfel îcât a > c d > b şi a b c d 5 Pri diperarea iveră a două umere pozitive c şi d ( c d ) e îţelege îlocuirea acetora cu umerele pozitive a şi b atfel îcât a > c d > b şi a b c d

52 EORIA SISEMELOR AUOMAE 5 deoarece itemul Σ ete o coexiue erie de două ubiteme C-mootoice: ubitemul de ava-îtârziere de ordiul doi cu fucţia de trafer ) )( ( ) )( ( ) ( G τ τ (97) şi ubitemul Σ cu fucţia de trafer ) ( G Primul ubitem ete C-mootoic deoarece ) )( ( ) ( G τ τ τ τ τ τ ) )( ( ) ( > τ τ τ τ τ τ Utilizâd metoda iducţiei putem demotra Propoziţia Dacă > r τ τ τ > şi τ τ τ r r τ τ τ atuci itemul cu fucţia de trafer ) ( ) )( ( ) ( ) )( ( ) ( G r τ τ τ r (98) ete C-mootoic Propoziţia poate fi reformulată după cum urmează Propoziţia Dacă a a a şi r b b b ( r ) ut umere reale atfel îcât r b b b r a a a şi k i i k i b i a petru r k atuci itemul cu fucţia de trafer ) ( ) )( ( ) ( ) )( ( ) ( r a a a b b b G (99) ete C-mootoic

53 MEODA OPERAŢIONALĂ LAPLACE 5 8 APLICAŢII 8 Aplicaţii rezolvate Aplicaţia Să e calculeze fucţia de trafer răpuul idicial şi răpuul podere ale itemului cu modelul 8 y 6y y 8u u Soluţie Sitemul are fucţia de trafer (4 ) (4 ) G ( 8 6 ( )(4 ) traformata Laplace a fucţiei idiciale H ( G( ( ) ( ) ( ) / fucţia idicială h( t) ( et / ) t şi fucţia podere g( t) L [ G( ] et / t Aplicaţia Să e calculeze fucţia de trafer răpuul idicial şi răpuul podere ale itemului cu modelul 8 y 6y y u u Soluţie Sitemul are fucţia de trafer G ( 8 6 ( )(4 ) traformata Laplace a fucţiei idiciale ( ) 6 H ( G( ( ) ( )(4 ) 4 fucţia idicială traformata Laplace a fucţiei podere h ( t) et / e t / 4 t fucţia podere G ( ( ) 4 4( /) 8( /4) g t 4 8 ( t) e t / et / 4

54 54 EORIA SISEMELOR AUOMAE Aplicaţia Să e calculeze fucţia de trafer răpuul idicial şi răpuul podere ale itemului cu modelul 5 y 4y y u u Soluţie Sitemul are fucţia de trafer G ( 5 4 traformata Laplace a fucţiei idiciale fucţia idicială H ( G( (5 traformata Laplace a fucţiei podere 5 /5 4 ) 5 4 ( /5) (/5 ) ( /5) /5 ( /5) (/5 ) ( / 5 t h t) e t (co t /5 i /5) t fucţia podere G ( 5 4/5 /5 5 ( /5) (/5 ) ( /5) ( /5) ( /5) (/5) 5 ( /5) (/5) 5 ( /5) (/5 ) g( t) e t / 5(cot /5 i t /5) t 5 Aplicaţia 4 Să e arate că itemul moovariabil cu ecuaţia difereţială y y y y u 4u 4u u u ete miimal Să e afle apoi răpuul idicial Soluţie Sitemul are fucţia de trafer Deoarece rezultă 4 4 G ( ( )( ) 4 4 ( )( ) G (

55 MEODA OPERAŢIONALĂ LAPLACE 55 Sitemul u ete miimal deoarece exită u item echivalet itrare-ieşire avâd ordiul mai mic decât trei aume itemul de ordiul uu cu ecuaţia y y u u De aemeea coform teoremei de miimalitate itemul u ete miimal deoarece poliomul caracteritic are gradul trei iar poliomul polilor are gradul uu Mai implu itemul u ete miimal deoarece forma primară a fucţiei de trafer ete reductibilă Aplicaţia 5 Fie itemul moovariabil Σ ( A B C D) cu A B C [ ] D Să e afle: a) traformata Laplace a matricei fudametale şi fucţia de trafer; b) fucţia podere şi fucţia idicială Soluţie a) Avem det( I A) 5 4 Φ ( ( I A) 5 4 G( CΦ ( B D Se obervă că poliomul caracteritic şi poliomul polilor fucţiei de trafer coicid b) Pri decompuerea î fracţii imple a fucţiei de trafer G ( 4 obţiem fucţia podere L t 4t [ G( ] (e e g( t) ) şi fucţia idicială t t 4t h( t) g( τ ) dτ ( 4e e ) 4 Fucţia idicială poate fi calculată direct atfel: 9 4 ( ) t 4 h t L ( ) L ( ) ( 4e e t ) Aplicaţia 6 Fie itemul A B C [ ] D

56 EORIA SISEMELOR AUOMAE 56 Să e afle: a) fucţia de trafer ) ( G ; b) răpuul itemului la itrarea ) ( t t u ; c) răpuul itemului la itrarea ) ( i t t u ; d) matricea fudametală ) (t Φ ; e) răpuul liber di tarea iiţială 5 X ; f) răpuul la itrarea t u di tarea iiţială 5 X Soluţie a) Avem 4 5 ) I det( A A ) I ( ) ( Φ ) ( ) ( D B C G Φ Poliomul caracteritic u coicide cu poliomul polilor fucţiei de trafer primul fiid de gradul doi iar al doilea de gradul uu b) Ţiâd eama că ) ( U obţiem ) e (6 4 ) 6 ( 4 ) ( )] ( ) ( [ ) ( t t U G t y L L L c) Deoarece 9 ) ( U rezultă ) 9 5 ( ) 9 ( )] ( ) ( [ ) ( U G t y L L L ) 5i co (e t t t I regim iuoidal permaet răpuul itemului ete ) 5i co ( ) ( t t t y p d) Avem ) ( Φ t t t t t t t t t e e e e e e e e ) ( Φ e) Starea evoluează liber atfel:

57 MEODA OPERAŢIONALĂ LAPLACE 57 t t t t t t t t t t t t l X t t X 4e e 7e e 5 e e e e e e e e ) ( ) ( Φ Răpuul liber ete t l l l t x t x t y e 7 ) ( ) ( ) ( f) Avem ) ( ) ( ) ( t y t y t y f l ude t l e t y 7 ) ( - puctul e) iar ) (6 4 ) ( t f e t t y - puctul b) Rezultă ) 9 (6 4 ) ( t e t t y Aplicaţia 7 Să e afle matricea de trafer a itemului multivariabil ) ( D A B C Σ cu A B C D Soluţie Avem 4 ) I ( ) ( A Φ 5 4 ) ( ) ( D B C G Φ Matricea de trafer ) ( G ete de ordiul doi Ea poate fi criă şi ub forma: 4 5 ) ( G Aplicaţia 8 Să e tudieze miimalitatea itemelor a) A B [ ] C D ; b) A B [ ] C D ; c) A B C D Soluţie a) Sitemul ete miimal deoarece fucţia de trafer

58 58 EORIA SISEMELOR AUOMAE G ( C( I A) B D are ordiul egal cu cel al itemului de tip ISE b) Sitemul u ete miimal deoarece fucţia de trafer G ( C( I A) B D are ordiul iar itemul ISE ete de ordiul c) Sitemul ete miimal deoarece matricea de trafer G ( C( I A) B D are ordiul egal cu ordiul itemului ISE 4 5 Aplicaţia 9 Fie coexiuea erie de mai jo formată di ubitemele: (Σ ) v v u u (Σ ) 4 y v y Să e afle răpuul itemului petru: a) u δ ( t ) ; b) u ( t) ; c) u t ( t) ; d) u it ( t) Soluţie Avem G ( G ( 4 ( ) G ( G ( G( ( )(4 ) a) b) c) d) ( ) ( ) t / 4 Y ( ) 5e ( )(4 ) 4 / 75 e t y t ; ( ) t / 4 Y ( ( ) e / ( )(4 ) 4 e t y t ; ( ) 4 48 Y ( ( )(4 ) 4 y t / e t / 4 ( t) t e ; ( ) Y ( ( )(4 )( ) 5( ) 7(4 ) 85( ) y t) cot 85 i t 85 ( e t / et / 4 Aplicaţia Elemetele itemului de reglare automată de mai jo au următoarele fucţii de trafer:

59 MEODA OPERAŢIONALĂ LAPLACE 59 G R k ; G ; E 5 G P ; 5 G Petru k ă e afle răpuul y(t) petru: a) r δ ( t ) b) r ( t) c) r t ( t) şi răpuul e (t) petru: d) v δ ( t ) e) v ( t) f) v t ( t) Soluţie Deoarece perturbaţia V ete aditivă la ieşirea proceului fucţia de trafer a caalului perturbator al proceului ete ( I coformitate cu (6) şi (7) obţiem: a) Avem G V k( ) G YR 5 6 k ( )(5 ) G ER 5 6 k ( )(5 ) G YV 5 6 k (5 ) G EV 5 6 k ( 6) Y ( GYR ( 5 6 5[( 6) ] y( t) e 6t (co t i t) b) Avem ( G Y YR 5 4 ( (5 6 ) (5 6 ) 5 5( 6) 5 ( 6) ( 6 t y t) 5 5e t (co t i ) c) Avem 7 ( G ( (5 6 ) (5 6 ) Y YR 5 ( 6) 5 ( 6) ( 6 t y t) 5t e t (co t 5i ) d) Avem

60 6 EORIA SISEMELOR AUOMAE (5 ) ( 6) E( GEV ( 5 6 ( 6) 6 ( t t e t) e (co t i ) e) Avem ( G E EV (5 ) 5 4 ( ( ) (5 6 ) 5 6 ( 6) 7 [ ] ( 6) ( 6 t e t) 5 5e t (co t 7i ) f) Avem ( G (5 ) 7 ( ) (5 6 ) 5 6 E ( ) EV 5 ( 6) 55 ( 6) ( 6 t e t) 5t e t (co t 55i ) Remarcă Ţiâd eama de proprietatea valorii fiale eroarea taţioară (fială) petru v ( t) şi k > ete Δ pvf et lim e( t) lim E( lim GEV ( V ( lim GEV ( t k De aemeea petru r ( t) avem e lim ( ) lim ( ) t e t GER k t I ambele cazuri eroarea taţioară ete eulă dar cu atât mai mică cu cât factorul de proporţioalitate al regulatorului ete mai mare Aplicaţia Să e arate că petru orice k pozitiv răpuul idicial h (t) al itemului cu fucţia de trafer k G ( ( ) > are u puct fix Soluţie Răpuul idicial h (t) e determiă atfel: ) ) ( k G ( (

61 MEODA OPERAŢIONALĂ LAPLACE 6 ( k ) H ( G( ( k )[ ] ( ) ( ) t t h( t) ( k )( )e Deoarece h ( ) toate răpuurile idiciale ale itemului trec pri puctul fix de coordoate ( ) - figura Fig Răpuuri idiciale petru 5 şi diferite valori ale lui k : k ; k 5 ; k 5 ; k 5 ; k Aplicaţia Să e arate că u item liiar emootoic Σ îşi coervă proprietatea de emootoicitate pri: a) mărirea uei cotate de timp de ava pozitive; b) micşorarea uei cotate de timp de îtârziere pozitive Soluţie Vom utiliza metoda reducerii la aburd (a) Preupuem că itemul rezultat Σ ete mootoic Pri readucerea (micşorarea) cotatei timp de ava mărite la valoarea iiţială reobţiem itemul Σ Aceta coform teoremei de coervare a mootoicităţii puctul (a) ete mootoic (ca şi Σ ) ceea ce ete fal (b) Preupuem că itemul rezultat Σ ete mootoic Pri readucerea (creşterea) cotatei timp de îtârziere micşorate la valoarea iiţială reobţiem itemul Σ Aceta coform teoremei de coervare a mootoicităţii puctul (b) ete mootoic (ca şi Σ ) ceea ce ete fal Aplicaţia Fie Σ u item C-mootoic cu fucţia de trafer G ( ) avâd cotata de timp de îtârziere > iar Σ itemul cu fucţia de trafer G ( )

62 6 EORIA SISEMELOR AUOMAE obţiută di G ( ) pri îlocuirea cotatei de timp cu > Să e arate că ître fucţiile idiciale ale celor două iteme exită iegalitatea h t) h ( ) t ( t Soluţie Itre fucţiile de trafer G ( ) şi G ( ale itemelor Σ şi Σ exită corelaţia Rezultă H G G ( ) ( H ( [ G( G( ] ( ) G ( ) ( raformatei Laplace îi corepude fucţia origial e t / I coeciţă di proprietatea produului de covoluţie rezultă t h t h t t ( ) ( ) ( ) e ( τ )/ g ( τ ) dτ Deoarece g ( τ ) petru τ [ t] (di teorema fudametală a itemelor mootoice) rezultă h t) h ( t) petru t ( Aplicaţia 4 Să e arate că itemul Σ cu fucţia de trafer G( ( )[( ) f ] f > > ete C-mootoic dacă şi umai dacă Soluţie Fie Σ itemul cu fucţia de trafer G ( ( )[( ) f ] Suficieţa rebuie ă arătăm că itemul Σ ete C-mootoic petru Ţiâd eama de puctul b) al teoremei de coervare a mootoicităţii ete uficiet ă arătăm că itemul Σ ete C-mootoic petru Ţiâd eama de teorema fudametală a itemelor mootoice trebuie ă demotrăm că implică g ( t) petru orice t Itr-adevăr avem f G ( ( ) f deci ( ) / t f g t e t ( co f )

63 MEODA OPERAŢIONALĂ LAPLACE 6 Neceitatea rebuie arătat că dacă g ( t) petru orice t atuci Preupuem pri aburd că < Avem G ( G ( G ( G ( ( ) deci g( t) g ( t) ( ) g ( t) ude τ / ( ) t g t g ( t τ )e dτ Deoarece aşa cum am arătat mai îaite g ( t τ ) petru orice τ [ t] rezultă π g ( t) > petru orice t > Ţiâd eama că g ( ) şi f π π g( ) ( ) g ( ) < ceea ce cotrazice ipoteza g ( t) f f < obţiem Fig Răpuul idicial şi răpuul podere petru itemul cu fucţia de trafer 65 G ( ( )[( ) 64] Aplicaţia 5 Fie Să e arate că itemul cu fucţia de trafer G ( ete C-mootoic petru Soluţie Cu otaţia a trafer î fracţii imple ( ) k G ( ( ) > k k codiţia devie k a Decompuem fucţia de k

64 64 EORIA SISEMELOR AUOMAE ude A B C G ( ( ) ( ) ( A a) k B a( a) C a > Sitemul are fucţia podere t At Bt g( t) ( C)e I cazul < a itemul ete C-mootoic deoarece B şi deci g ( t) > petru orice t I cazul a > care implică A > şi B < criem fucţia podere ub forma At ( ) [( ) Ag t B AC B ]e Avem g ( t) petru orice t deci itemul ete C-mootoic dacă şi umai dacă AC B Itr-adevăr t AC B a ( k a)( k a) Caz particular Sitemul cu fucţia de trafer (4 ) G ( ( ) ete C-mootoic petru şi ete emootoic petru < < Răpuurile di figura au fot obţiute cu următorul program MALAB: t[75 ]; t::5; tf(''); hold o; for i: i((4*)^)/(t(i)*)^; tep(it); impule(it); ed; grid o

65 MEODA OPERAŢIONALĂ LAPLACE 65 Fig Răpuurile idiciale şi podere petru 75; ; ale itemului cu (4 ) G ( ( ) Aplicaţia 6 Fie itemul cu fucţia de trafer K( τ )( τ ) ( τ ) G( ( )( ) ( ) ude K > şi > τ > > τ > > > τ Să e arate că itemul îchi cu fucţia de trafer G( G ( G( ete C-mootoic Soluţie Cu otaţiile şi P ( )( ) ( ( ( ) Z ( τ )( τ ) ( τ ) criem fucţia de trafer G ( ) ub forma Z( G ( Q( ude Q( Z( K P( Fie z i i rădăciile poliomului Z ( iar τ p i rădăciile poliomului P ( i Rezultă p > z > p > z > > p > z Petru orice i { } avem Q ( p ) Z( p ) şi i i i Q( z ) K P( ) deci Q( p ) Q( z ) K Z( p ) P( z ) Deoarece ( ) Z ( p ) > şi i z i i i i i i

66 66 EORIA SISEMELOR AUOMAE i ( ) P ( z ) > rezultă Z ( p ) P( z ) < i i i deci Q ( p ) Q( z ) < i i petru orice i { } Pri urmare toate rădăciile ~ pi ale poliomului Q ( adică toţi polii fucţiei de trafer G ( ) ut umere reale ituate ître zerourile şi polii fucţiei de trafer G ( adică z i < ~ pi < pi petru i { } Aşadar putem recrie fucţia de trafer G ( ) ub forma ude cotatele de timp de îtârziere ( τ )( τ ) ( τ ) G( ~ ~ ~ ( K )( )( ) ( ) i { } Comparâd fucţia de trafer ) (94) rezultă că itemul îchi cu fucţia de trafer ) Aplicaţia 7 Sitemul cu fucţia de trafer ( τ ) G( ( )( ) ( ~ i ut pozitive atfel îcât i i < i G ( şi fucţia de trafer ( ) G ( ete C-mootoic cu τ > şi > petru i ete C-mootoic dacă şi umai dacă i τ ) τ < ~ G cu forma Soluţie Neceitatea rezultă di codiţia ca răpuul idicial ă fie crecător la mometul t adică h '() I coformitate cu (6) avem h b ab τ ( ) ( τ ) a a iar di h '() obţiem τ Petru a demotra uficieţa î coformitate cu teorema de coervare a mootoicităţii ete uficiet ă luăm î coideraţie cazul τ I cotiuare vom coidera acet caz şi vom utiliza metoda iducţiei Petru avem G ( deci itemul ete C-mootoic De aemeea petru avem ( τ ) G( ( )( ) iar itemul ete C-mootoic deoarece τ ( ) ( ) τ G τ τ ( )( ) ( ) ( )( )

67 MEODA OPERAŢIONALĂ LAPLACE 67 I cotiuare vom preupue proprietatea adevărată petru şi şi vom arăta că aceata rămâe adevărată şi petru Preupuem fără a pierde di geeralitate că şi k < τ < k Fie G ( ) fucţia de trafer obţiută di G ( ) pri cotracţia iveră a cotatelor de timp de îtârziere k şi k Ata preupue îlocuirea produului ( )( ) k k de la umitorul fucţiei G ( cu produul ~ ~ ( k )( k ) ude cotatele de timp ~ ~ k şi k atifac codiţiile ~ ~ k > k k > k ~ ~ k k k k ~ ~ I plu di mulţimea ifiită de perechi ( k k ) care atifac acete codiţii alegem perechea î care cel puţi ua ditre cotatele de timp ~ ~ k şi k ete egală cu τ I coformitate cu teorema de coervare a mootoicităţii ete uficiet ă demotrăm mootoicitatea itemului cu fucţia de trafer G ( ) de ordiul au Acet item ete îă C-mootoic coform ipotezei de iducţie Caz particular Sitemul cu fucţia de trafer ( τ ) G( (6 )( )( ) ete C-mootoic petru τ şi ete emootoic petru τ > (fig ) Fig Răpuurile idiciale şi podere petru τ ; ; 5; ale itemului cu ( τ ) G( (6 )( )( )

68 68 EORIA SISEMELOR AUOMAE 8 Aplicaţii de autocotrol C Să e calculeze fucţia de trafer şi răpuul itemului 7 y y u u la următoarele itrări: a) u ( t) ; b) u δ ( t ) ; c) u t ( t) ; d) u i t ( t ) C Să e calculeze răpuul idicial şi răpuul podere ale itemului 6 y 5y y 6u u Să e crie apoi ecuaţia itemului echivalet miimal C Să e calculeze răpuul idicial al itemului cotiuu y 4y y u u C4 Fie h (t) răpuul idicial al itemului cotiuu 4 y 4 y 5y y 4u u u Să e afle: a) h ( ) ; b) h ( ) ; c) h ( ) C5 Fie coexiuea erie formată di ubitemele: Σ : 4v v u u Σ : 5 y y v a) Să e calculeze fucţia de trafer G ( a itemului; b) Petru u ( t) ă e afle v (t) ; c) Petru u ( t) ă e afle y (t) ; C6 Fie coexiuea cu reacţie formată di ubitemele: Σ : 4 y y e Σ : v v y a) Să e afle fucţia de trafer G ( şi ecuaţia itemului; b) Petru u ( t) ă e calculeze Y ( apoi y (t)

69 MEODA OPERAŢIONALĂ LAPLACE 69 C7 Fie itemul Σ ( A B C D) cu A B C [ p] D ude p R (a) Să e afle fucţia de trafer G ( şi fucţia idicială h (t) ; (b) Să e arate că itemul u ete miimal C8 Fie itemul Σ ( A B C D) cu 4 A B C D (a) Să e afle matricea de trafer G ( ; (b) Să e afle răpuul y ( ) la itrarea u ( t ) ( ) t t C9 Fie itemul Σ ( A B C D) cu p A B C [ ] D ude p R Petru ce valori ale parametrului p itemul ete miimal? C Se dă itemul cu fucţia de trafer Dacă τ şi > iflexiue la t > τ G( ( )( ) > atuci răpuul idicial al itemului are u puct de τ C Să e afle răpuul y (t) al itemului cu la itrarea de tip origial G ( t u ( t) t C Să e afle valoarea iiţială h ( ) şi valoarea fială h ( ) ale răpuul itemului cu fucţia de trafer

70 7 EORIA SISEMELOR AUOMAE la itrarea de tip origial G ( > ( )( ) t t 5 u ( t) 8 5< t 9 t > 9 C Să e arate că itemul cu fucţia de trafer ete C-mootoic petru ( τ ) k G( ( )[( ) k k τ τ k ( ) τ k k > ] C4 Să e arate că itemul cu fucţia de trafer ( 4)( 6)( 7) G ( ( )( 5)( 9) ete C-mootoic

71 SABILIAEA SISEMELOR LINIARE Coceptul de tabilitate ete aociat itemelor liiare petru a ilutra caracterul mărgiit au emărgiit al mărimilor de tare şi de ieşire î codiţiile î care mărimile de itrare ut mărgiite I domeiul tabilităţii itemelor e utilizează două cocepte: coceptul de tabilitate iteră (referitoare la tarea itemului) şi coceptul de tabilitate exteră (referitoare la ieşirea itemului) Deoarece tarea curetă a uui item determiă ieşirea acetuia dacă tarea ete mărgiită (itemul ete iter tabil) atuci şi ieşirea ete mărgiită (itemul ete exter tabil) Reciproca acetei afirmaţii u ete adevărată deoarece u item cu ieşirea mărgiită u are obligatoriu şi tarea mărgiită U exemplu î acet e ete itemul moovariabil de ordiul doi cu variabila de tare x mărgiită şi variabila de tare x emărgiită avâd mărimea de ieşire idetică cu tarea x Sitemele fizice ut liiare cel mult îtr-u domeiu de variaţie mărgiit al mărimilor de tare şi de ieşire I coeciţă la itemele fizice itabile variabilele de tare şi de ieşire evoluează î afara domeiului de liiaritate Deoarece orice item fizic prezită î exteriorul domeiului de liiaritate caracteritici eliiare de tip aturaţie au blocare mărimile de tare şi de ieşire ale uui item fizic itabil rămâ fiite I cele ce urmează vom coidera cazul teoretic al itemelor cu domeiu de liiaritate emărgiit SABILIAEA INERNA Pri defiiţie u item ete iter trict tabil dacă oricare ar fi tarea iiţială tarea itemului evoluează î regim liber pre origie adică X t l lim ( t) X ()

72 7 EORIA SISEMELOR AUOMAE U item ete iter tabil dacă î regim liber tarea itemului rămâe fiită (evoluează îtr-u domeiu mărgiit al paţiului tărilor) oricare ar fi tarea iiţială U item tabil poate fi deci trict tabil au emitabil (tabil la limită) iar u item care u ete tabil e umeşte itabil I regim liber traiectoriile de tare pot fi covergete pre origie - la itemele liiare trict tabile covergete pre o curbă îchiă - la itemele emitabile au divergete - la itemele itabile iâd eama că X l ( t) Φ ( t) X () ude Φ (t) ete matricea fudametală au de traziţie a tării egală cu e At ( t R ) t la itemele liiare cotiue şi cu A ( t N ) la itemele liiare dicrete Di () şi () obţiem Lema tabilităţii itere a) U item liiar ete iter trict tabil dacă şi umai dacă matricea de traziţie a tării tide pre zero adică lim Φ ( t) ; () t b) U item liiar ete iter tabil dacă şi umai dacă matricea de traziţie a tării ete fiită adică exită M > atfel îcât Φ ( t) M t (4) Di lema tabilităţii itere reiee că tabilitatea iteră a uui item liiar (cotiuu au dicret) ete o proprietate aociată excluiv matricei A deci o proprietate iteră a itemului Dacă matricea A a uui item liiar cotiuu are valorile proprii diticte atuci matricea de traziţie a itemului poate fi criă ub forma At ( t) V e V Φ ude V ete matricea pătrată şi eigulară a vectorilor proprii iar e A t t t t Deoarece matricea V ete eigulară avem diag (e e e ) lim Φ ( t) lim e t t At t lim e i i Re i < i t

73 SABILIAEA SISEMELOR LINIARE 7 Similar î cazul uui item liiar dicret cu valorile proprii avem Φ ( t) VA V t cu diticte pri urmare avem A t t t t diag ( ); Φ lim A lim i < i lim ( t) t t t i t t Acete rezultate ut valabile şi la itemele (cotiue şi dicrete) cu valori proprii multiple iâd eama de acet lucru şi de faptul că valorile proprii ale matricei A ut rădăciile poliomului caracteritic P ( det( I A) putem formula codiţiile eceare şi uficiete de tabilitate trictă ub forma următoarei teoreme eorema tabilităţii itere tricte a) U item cotiuu ete iter trict tabil dacă şi umai dacă toate rădăciile poliomului caracteritic au partea reală egativă (ut ituate î emiplaul complex tâg); b) U item dicret ete iter trict tabil dacă şi umai dacă toate rădăciile poliomului caracteritic au modulul ubuitar (ut ituate î iteriorul dicului uitar cu cetrul î origiea plaului complex) I cazul uui item cotiuu cu valori proprii diticte matricea Φ (t) ete mărgiită dacă şi umai dacă matricea diagoală e At ete mărgiită Codiţia ete atifăcută atuci câd toate fucţiile i t e ut mărgiite adică atuci câd Re i petru i { } Dacă matricea A (edegeerată) are o valoare proprie i cu ordiul de multiplicitate atuci matricea bloc diagoală e At coţie blocul diagoal Se obervă că î cazul Re matricea i t t A t i i i e te e (5) t e i i A i t e u ete mărgiită Acet rezultat poate fi exti ub forma următoarei codiţii uficiete de tabilitate implă: U item cotiuu ete iter tabil dacă toate rădăciile poliomului caracteritic au partea reală egativă au ulă cele cu partea reală ulă fiid rădăcii imple I mod imilar u item dicret ete iter tabil dacă toate rădăciile poliomului caracteritic au modulul ubuitar au uitar cele cu modulul uitar fiid rădăcii imple

74 74 EORIA SISEMELOR AUOMAE Codiţiile eceare şi uficiete de tabilitate implă a uui item cotiuu liiar pot fi obţiute ţiâd eama de expreia traformatei Laplace a fucţiei de traziţie a tării Φ ( ( I A) (6) U item cotiuu ete iter tabil dacă şi umai dacă toţi polii traformatei Laplace a matricei de traziţie a tării adică Φ ( ( I A) au partea reală egativă au ulă cei cu partea reală ulă fiid poli impli Obervaţii U item cotiuu cu matricea A degeerată poate fi emitabil chiar şi atuci câd poliomul caracteritic are rădăcii multiple cu partea reală ulă Atfel itemul cu parametrii matriceali A B C [ ] D deşi are poliomul caracteritic P ( ) det( I A) cu rădăcia dublă ete totuşi iter emitabil deoarece traformata Laplace a matricei de traziţie a tării Φ ( ( I A) are polul implu Deoarece poliomul caracteritic al uei coexiui erie au paralel ete egal cu produul polioamelor caracteritice ale itemelor compoete adică P ( P( P( rezultă că pectrul itemului rezultat (mulţimea rădăciilor poliomului caracteritic) ete reuiuea dijuctă a pectrelor celor două iteme compoete adică σ σ ~ σ I coeciţă itemul rezultat (erie au paralel) ete iter trict tabil dacă şi umai dacă itemele compoete ut iter trict tabile Di dezvoltarea det( I A) ( a a a ) reiee că uma rădăciilor poliomului caracteritic ete egală cu uma elemetelor diagoale ale matricei A adică

75 SABILIAEA SISEMELOR LINIARE 75 Deoarece a a a (7) Re Re Re rezultă că dacă petru u item cotiuu avem atuci itemul ete iter itabil Similar deoarece a a a (8) > a a a u item dicret ete iter itabil dacă a a a > (9) 4 Coceptul de tabilitate iteră ete pecific itemelor de tip I-S-E dar poate fi exti şi la itemele de tip I-E pe baza coceptului de poliom caracteritic comu ambelor tipuri de iteme Di acet motiv î teorema tabilităţii itere am utilizat expreia rădăciile poliomului caracteritic î locul expreiei valorile proprii ale matricei A La itemele multivariabile cu m itrări şi p ieşiri poliomul caracteritic al itemului ete cmmmc al polioamelor caracteritice aociate celor m p caale itrare-ieşire SABILIAEA EXERNA Pri defiiţie u item liiar ete exter trict tabil dacă la orice itrare de tip origial mărgiită petru t > ieşirea itemului ete de aemeea mărgiită Matematic u item ete exter trict tabil dacă oricare ar fi itrarea de tip origial cu proprietatea U ( t) t > exită M > atfel îcât Y ( t) M t La itemele moovariabile cotiue cu fucţia podere g (t) di relaţia de covoluţie t y( t) g( t -τ ) u( τ )dτ ()

76 76 EORIA SISEMELOR AUOMAE rezultă Prima lemă a tabilităţii itere tricte (a) U item moovariabil cotiuu ete exter trict tabil dacă şi umai dacă itegrala I g( t) dt () ete fiită (b) U item liiar moovariabil dicret ete exter trict tabil dacă şi umai dacă uma ete fiită S g( k) () k La itemele cotiue petru a demotra eceitatea vom arăta că itegrala I ete fiită petru u item exter trict tabil Avem I g t)dt lim g( t)dt lim g( ( τ )dτ lim g( τ ) g(g( τ ))dτ lim y( ) t ude y ( ) ete valoarea ieşirii la mometul petru itrarea mărgiită u ( τ ) g( g( τ )) Deoarece itemul ete exter trict tabil ieşirea y ete mărgiită deci itegrala I ete fiită Petru a demotra uficieţa vom coidera itegrala I fiită şi vom arăta că petru orice itrare u (t) cu u (t) ieşirea y(t) ete mărgiită Itr-adevăr avem t t y( t) g( tτ ) u( τ ) dτ g( tτ ) u( τ ) dτ g( tτ ) dτ t g( x) d x g( x) d x I La itemele dicrete demotraţia ete imilară pe baza relaţiei de covoluţie t k y( t) g( tk) u( k) O codiţie eceară ca itegrala I şi uma S ă fie fiite ete ca fucţia podere g ă tidă la petru t La itemele liiare de ordi fiit aceată codiţie ete şi uficietă ca urmare a caracterului expoeţial al fucţiei podere Rezultă atfel t

77 SABILIAEA SISEMELOR LINIARE 77 A doua lemă a tabilităţii itere tricte U item liiar moovariabil (cotiuu au dicret) ete exter trict tabil dacă şi umai dacă lim g( t) () t Deoarece fucţia podere a uui item I-S-E trict propriu ete depedetă de matricele A B şi C rezultă că tabilitatea exteră cotituie o proprietate aociată tuturor acetor matrice pre deoebire de tabilitatea iteră care ete aociată umai matricei A Pri relaxarea codiţiei de tabilitatea trictă () e coideră că u item liiar moovariabil ete exter tabil dacă fucţia podere g ete mărgiită petru t > adică exită M > atfel îcât g( t) M t > (4) Fucţia de trafer a uui item liiar cotiuu cu polii impli poate fi criă ub forma G( C C d p p ude d ete o cotată reală Di expreia fucţiei podere reiee că lim g( t) t g ( t) d ( t) C e pt C e pt C k k p p pk Ck (5) p pkt δ e (6) dacă şi umai dacă Re < petru orice i { k} Acet rezultat ete valabil şi la itemele cu poli multipli eorema tabilităţii extere tricte a itemelor cotiue U item liiar moovariabil cotiuu ete exter trict tabil dacă şi umai dacă toţi polii fucţiei de trafer a itemului au partea reală egativă Di expreia (6) a fucţiei podere g reiee că aceata ete mărgiită petru t > dacă şi umai dacă Re p petru i { k} I cazul p p p câd g G( i C C p i k d p ) pk ( p ( t) d ( t) C e pt C te pt C k C pkt δ e fucţia podere g ete mărgiită petru t > dacă şi umai dacă Re p < şi Re petru i { 4 k} Geeralizâd acet rezultat u item cotiuu p i

78 78 EORIA SISEMELOR AUOMAE ete exter tabil dacă şi umai dacă polii fucţiei de trafer a itemului au partea reală egativă au ulă polii cu partea reală ulă fiid poli impli Oricărui item liiar dicret Σ i e poate aocia u item miimal Σ cu fucţia de trafer ireductibilă de forma r z r z b b z b G ( z) z C a z a Ambele iteme au aceeaşi ecuaţie a polilor aume z a z a z a care coicide cu ecuaţia caracteritică a itemului miimal De aemeea au aceeaşi fucţie podere (deoarece ut echivalete itrare-ieşire) Pri urmare tudiul tabilităţii extere a itemului Σ e poate face pe baza fucţiei podere a itemului Σ adică a răpuului la itrare impul uitar a itemului cu ecuaţia y t) a y( t ) a y( t ) b u( t) b u( t ) b u( t ) ( r r Dacă rădăciile z z z ale ecuaţiei caracteritice (idetice cu polii fucţiei de trafer) au valori diticte atuci fucţia podere are următoarea formă petru t uficiet de mare: t t t z g ( t) C z C z C (7) Dacă rădăciile z şi z ut reale şi egale atuci uma z C z C trebuie îlocuită t cu ( C t C z ) I ambele cazuri fucţia podere g (t ) tide la petru t dacă şi umai dacă toţi polii au modulul ubuitar Am obţiut atfel eorema tabilităţii extere tricte a itemelor dicrete U item liiar moovariabil dicret ete exter trict tabil dacă şi umai dacă toţi polii fucţiei de trafer a itemului au modulul ubuitar I ceea ce priveşte tabilitatea implă e poate arăta că fucţia podere g (t) ete mărgiită dacă şi umai dacă toţii polii au modulul uitar au ubuitar polii cu modulul uitar fiid poli impli Pri urmare u item liiar moovariabil dicret ete exter tabil dacă şi umai dacă toţi polii fucţiei de trafer a itemului au modulul ubuitar au uitar polii cu modulul uitar fiid poli impli U item multivariabil ete exter tabil dacă şi umai dacă toate caalele itrare-ieşire ale itemului ut exter tabile t t

79 SABILIAEA SISEMELOR LINIARE 79 Obervaţii Problema tabilităţii uui item liiar e reduce la problema poziţioării î plaul complex a rădăciilor poliomului caracteritic - î cazul tabilităţii itere repectiv a rădăciilor poliomului polilor - î cazul tabilităţii extere I cazul uui item moovariabil miimal poliomul caracteritic coicide cu poliomul polilor şi î coeciţă itemul ete iter tabil dacă şi umai dacă ete exter tabil I geeral u item iter tabil ete şi exter tabil dar implicaţia iveră u ete îtotdeaua valabilă I cazul coexiuilor erie i paralel dacă itemele compoete ut exter trict tabile atuci itemul rezultat ete exter trict tabil eoretic itemul rezultat poate fi exter trict tabil şi î codiţiile î care itemele compoete u ut toate exter trict tabile De exemplu coexiuea erie cu G şi G au coexiuea paralel cu G şi G ut exter trict tabile dar iter itabile I majoritatea aplicaţiilor practice itereează tabilitatea exteră a itemului otuşi î cazul geeral al uui item compu vom coidera practic iacceptabilă oluţia tabilizării extere a itemului pri implificarea au reducerea părţilor itabile I cazul itemului de reglare automată di figura 4 dacă elemetele compoete ut de tip miimal (cu forma primară a fucţiilor de trafer ireductibilă) şi î plu produul G G G G R E P ete ireductibil atuci poliomul caracteritic şi poliomul polilor coicid fiid egale cu umărătorul raţioalei G G G G (8) R I acet caz itemul ete iter tabil dacă şi umai dacă ete exter tabil Aceată proprietate e pătrează şi î cazul mai geeral î care elemetele compoete ut de tip miimal şi produul raţioal G G G G e implifică pritr-u poliom R hurwitzia (care are toate rădăciile cu partea reală egativă) precum şi atuci câd toate elemetele compoete ut tabile I proiectarea regulatorului uui item de reglare a uui proce itabil trebuie evitată oluţia implificării polului itabil al proceului pritr-u zerou egal al regulatorului (î cadrul produului G ) E E P P R G P deoarece o implificare perfectă u ete poibilă decât di puct de vedere teoretic

80 8 EORIA SISEMELOR AUOMAE CRIERIUL DE SABILIAE HURWIZ Criteriul lui Hurwitz permite rezolvarea efectivă a problemei tabilităţii pe baza codiţiilor formulate î cadrul teoremelor de tabilitate iteră şi exteră Criteriul are la bază ideea coform căreia rezolvarea problemei locaţiei rădăciilor uui poliom î raport cu axa imagiară au cu cercul uitar cu cetrul î origie u eceită calculul rădăciilor poliomului Criteriul lui Hurwitz Poliomul p ( a a > a a a ete hurwitzia adică are toate rădăciile cu partea reală egativă dacă şi umai dacă toţi coeficieţii poliomului şi miorii pricipali a a Δ a Δ aa aa Δ a Δ a a ai matricei Hurwitz ut pozitivi H a a * a a * * iâd eama de expreiile miorilor Δ şi a a a (9) Δ codiţia de pozitivitate a acetor miori ete evidet uperflue Cotrucţia matricei Hurwitz e face atfel: e completează mai îtâi diagoala pricipală şi apoi coloaele ţiâd eama de faptul că idicii coeficieţilor crec la deplaarea de u î jo pe fiecare coloaă Petru di criteriul lui Hurwitz rezultă că ambele rădăcii ale poliomului p a ( a a a au partea reală egativă dacă şi umai dacă toţi coeficieţii ut trict pozitivi Petru matricea Hurwitz are forma a a H a a a a >

81 SABILIAEA SISEMELOR LINIARE 8 Poliomul p ( a a a a (cu a > ) are rădăciile cu partea reală egativă dacă şi umai dacă toţi coeficieţii ut trict pozitivi şi î plu Δ a a a a () > Petru 4 matricea Hurwitz are forma Rădăciile poliomului 4 a a a a a 4 H 4 a a a a a p ( a a a a a a au partea reală egativă dacă şi umai dacă toţi coeficieţii ut trict pozitivi şi î plu Δ a Δ a a > ude Δ a a a a 4 I mod evidet codiţia Δ > rezultă implicit di codiţia Δ > Obervaţii Poliomul p ( are rădăciile cu partea reală mai mică decât α R adică ituate î tâga dreptei α dacă şi umai dacă poliomul p ( ete hurwitzia ude p( p ( α) () Aceată remarcă poate fi utilizată la poziţioarea rădăciilor poliomului caracteritic au poliomului polilor î tâga dreptei α α < î vederea obţierii uor performaţe diamice coveabile I aaliza tabilităţii itemelor dicrete e ţie eama de faptul că traformarea omografică z () echivaletă cu z aplică biuivoc iteriorul cercului uitar cu cetrul î z origie di plaul variabilei z î emiplaul Re < di plaul variabilei I coeciţă poliomul z) az az az 4 > P ( a a > are toate rădăciile cu modulul ubuitar dacă şi umai dacă ecuaţia P ( ) ()

82 8 EORIA SISEMELOR AUOMAE are toate rădăciile cu partea reală egativă ceea ce poate fi aalizat cu criteriul Hurwitz 4 APLICAŢII 4 Aplicaţii rezolvate Aplicaţia Să e tudieze tabilitatea itemului cu ecuaţia y y y u u Soluţie Sitemul are poliomul caracteritic şi fucţia de trafer P ( ( )( ) G ( Deoarece poliomul caracteritic are rădăcia trict pozitivă itemul ete iter itabil Deoarece poliomul polilor P ( are o igură rădăciă şi aceata ete egativă (egală cu / ) itemul ete exter trict tabil Aplicaţia Să e tudieze tabilitatea itemului cu ecuaţia y 8y (6 k ) y u u k Soluţie Formăm poliomul caracteritic P ( 8 6 k ( 4 k)( 4 k ) şi fucţia de trafer ( ) ( ) G 8 6 k ( 4 k)( 4 k ) Poliomul caracteritic are rădăcia 4 k egativă şi rădăcia 4 k egativă petru k < 4 ulă petru k 4 şi pozitivă petru k > 4 I coeciţă itemul ete iter trict tabil petru k < 4 iter emitabil petru k 4 şi iter itabil petru k > 4 Sitemul are doi poli petru k 5 şi u igur pol petru k 5 aume 9 Rezultă că itemul ete exter trict tabil petru k < 4 şi k 5 exter emitabil petru k 4 şi exter itabil petru k > 4 k 5

83 SABILIAEA SISEMELOR LINIARE 8 Aplicaţia Să e tudieze tabilitatea itemului cotiuu Σ ( A B C D) cu A B Soluţie Poliomul caracteritic al itemului C [ ] D P ( det( I A) 4 6 ( )( )( ) are o rădăciă pozitivă ( ) şi pri urmare itemul ete iter itabil Fucţia de trafer a itemului G ( C( I A) B D 4 6 ( )( ) are polii şi ambii egativi; î coeciţă itemul ete exter trict tabil Aplicaţia 4 Elemetele compoete ale itemului de reglare automată de mai jo au următoarele modele diamice: R: c kε ε r m ; E: u u c ; P: 5y y u 5v ; : m m y a) Să e tudieze tabilitatea itemului b) Să e determie parametrul real k atfel îcât polii itemului de reglare ă fie ituaţi î tâga dreptei Soluţie Elemetele itemului de reglare au următoarele fucţii de trafer G R k G E 5 G P G 5 V G 5 a) Deoarece fucţiile de trafer ale elemetelor compoete şi fucţia de trafer a itemului dechi G G G G d R E P G k ( )(5 )( )

84 84 EORIA SISEMELOR AUOMAE ut ireductibile tudiul itemului di puctul de vedere al tabilităţii itere şi extere coduce la acelaşi rezultat Poliomul caracteritic şi poliomul polilor itemului coicid cu umărătorul raţioalei ( adică G d ( P ( )(5 )( ) k 7 8 k Coeficieţii lui P ( ut pozitivi petru k > iar miorul Hurwitz Δ a a a a 8 7 ( k) (6 ) k ete pozitiv petru k < 6 Pri urmare itemul de reglare ete trict tabil dacă şi umai dacă factorul de proporţioalitate al regulatorului aparţie itervalului ( ) 6 I figura ete prezetat răpuul y (t) al itemului de reglare la referiţă treaptă uitară petru diferite valori ale factorului de proporţioalitate k al regulatorului Răpuul a fot obţiut î MALAB cu următorul program: k[- 5 6]; t::; tf(''); i_e/(*); i_p/(5*); i_/(); hold o; for i:4 ik(i)*i_e*i_p; ii/(i*i_); tep(it); ed; grid o Fig Răpuul y (t) la referiţă treaptă uitară

85 SABILIAEA SISEMELOR LINIARE 85 b) Impuem codiţia ca poliomul P( ) ( ) 7( ) 8( ) k 8 5 k 4 ă fie hurwitzia Di codiţia de pozitivitate a coeficieţilor rezultă k > 7 iar di codiţia Δ ude > Δ a a a a 5 8 (k 4) 54 k rezultă k < 7 I cocluzie itemul de reglare are toţi polii cu partea reală mai mică decât petru 7< k < 7 Aplicaţia 5 Să e tudieze tabilitatea itemului de reglare cu fucţiile de trafer G R k( ) G 4 E G P G 5 Soluţie Avem k(4 ) G d ( )(5 )( ) Deoarece fucţiile de trafer ale elemetelor compoete şi ale itemului dechi ut ireductibile poliomul polilor şi poliomul caracteritic coicid: Avem 4 ( P 4 6 (k ) k Δ a a a a 8(6 ) 4 k 4 Δ a Δ a a ( 8k 75k 5) Coeficieţii poliomului P ( şi Δ ut pozitivi petru < k < k ude k 78 Coform criteriului Hurwitz itemul de reglare ete trict tabil (iter şi exter) dacă şi umai dacă < k < k I figura ete prezetat răpuul y (t) al itemului de reglare la referiţă treaptă uitară petru diferite valori ale factorului de proporţioalitate k al regulatorului Răpuul a fot obţiut î MALAB cu următorul program: k[ 4 7]; t::4; tf(''); i_e/(*); i_p/(5*); i_/(); hold o; for i:4 ik(i)*(/4/*i_e*i_p; ii/(i*i_); tep(it); ed; grid o

86 86 EORIA SISEMELOR AUOMAE Fig Răpuul y (t) la referiţă treaptă uitară Aplicaţia 6 Să e tudieze tabilitatea itemului de reglare cu fucţiile de trafer Soluţie Avem G R i G G E G P 6 / i ( )(6 )( ) d G Petru { 6} poliomul polilor coicide cu poliomul caracteritic: Avem şi i P ( i Δ a a a4a 4 Δ a Δ a a 9(5 8 ) Coeficieţii poliomului P ( şi Δ ut pozitivi petru > 8 i Coform criteriului 5 Hurwitz itemul de reglare ete trict tabil (iter şi exter) dacă şi umai dacă > 8 i 55 5 Acet rezultat ete valabil şi î cazul i { 6 } câd poliomul caracteritic diferă de poliomul polilor deoarece fucţia G d ( e implifică pritr-u poliom hurwitzia I figura ete prezetat răpuul y (t) al itemului de reglare la referiţă treaptă uitară petru diferite valori ale cotatei de timp itegrale a regulatorului i

87 SABILIAEA SISEMELOR LINIARE 87 Fig Răpuul y (t) la referiţă treaptă uitară Aplicaţia 7 Fie itemul de reglare automată ale cărui elemete au fucţiile de trafer GR k( ) k > G E i G P G (4 ) Să e tudieze tabilitatea itemului petru: (a) ; (b) i i Soluţie (a) Avem k( ) G d ( (4 ) iar poliomul polilor şi cel caracteritic coicid: ( P 4 ( k ) k k Deoarece coeficieţii lui P ( ut pozitivi itemul ete tabil umai atuci câd Δ a a a a k( k ) > adică petru k > I marea majoritate a aplicaţiilor practice itemele de reglare ut tabile petru valori mici ale factorului de proporţioalitate al regulatorului câd comada geerată de regulator ete relativ labă Sitemul de reglare tudiat ete îă uul de excepţie î care itemul dechi ete dublu itegral iar compoeta itegrală a regulatorului ete foarte puterică I figura 4 ete prezetat răpuul y (t) al itemului de reglare la referiţă treaptă uitară petru diferite valori ale factorului de proporţioalitate k regulatorului

88 88 EORIA SISEMELOR AUOMAE Fig 4 Răpuul la referiţă treaptă uitară petru G ( R k ) (b) I cazul regulatorului G R k( ) cu compoeta itegrală mai labă avem k( )( ) G d ( (4 ) iar poliomul polilor are expreia ( P ( k ) 4k k Deoarece coeficieţii lui P ( ut pozitivi şi Δ a aaa k > itemul ete tabil petru orice k > (fig 5) Fig 5 Răpuul la referiţă treaptă uitară petru G R k( )

89 SABILIAEA SISEMELOR LINIARE 89 Aplicaţia 8 Fie itemul de reglare automată ale cărui elemete au fucţiile de trafer G ( R k ) G E G P ( ) G i Să e arate că itemul ete trict tabil petru i > > oricare ar fi k > Soluţie Avem şi poliomul polilor k( ) G ( i d i ( ) i i i P( k k Petru k > itemul ete trict tabil deoarece coeficieţii poliomului caracteritic ut pozitivi şi Δ aa aa ki ( i ) > Aplicaţia 9 Să e tudieze tabilitatea itemului dicret cu ecuaţia y( t) ky( t ) y( t ) u( t ) u( t) k R Soluţie Sitemul are poliomul caracteritic P ( z) z kz Rădăciile poliomului caracteritic au modulul ubuitar atuci câd ecuaţia echivaletă cu P ( ) ( k 5) 5 k are rădăciile cu partea reală egativă adică atuci câd are toţi coeficieţii pozitivi Pri urmare itemul ete iter trict tabil petru k (5 5) iter emitabil petru k {5 5} şi iter itabil petru k ( 5) (5 ) Petru k 5 avem P ( z) ( z )(z ) iar petru k 5 avem P ( z) ( z )(z ) I ambele cazuri itemul ete emitabil deoarece ecuaţia caracteritică are o rădăciă cu modulul ubuitar şi o rădăciă cu modulul uitar Petru tudiul tabilităţii extere formăm fucţia de trafer G ( z) z z z kz z z kz

90 9 EORIA SISEMELOR AUOMAE Petru k 7 fucţia de trafer ete ireductibilă iar poliomul polilor coicide cu poliomul caracteritic Petru k 7 rezultă G ( z) z iar itemul ete exter trict tabil deoarece polul z are modulul ubuitar I cocluzie itemul ete exter trict tabil petru k ( 55) { 7} exter emitabil petru k {5 5} şi exter itabil petru k ( 7) ( 7 5) (5 ) Petru k 7 itemul ete iter itabil dar exter trict tabil I figurile 6 şi 7 ut reprezetate grafic răpuurile idiciale ale itemului petru cazurile de emitabilitate k 5 şi k 5 repectiv petru cazurile de tabilitate exteră k 7 şi k Fig 6 Răpuul idicial al itemului emitabil Fig 7 Răpuul idicial al itemului tabil

91 SABILIAEA SISEMELOR LINIARE 9 Aplicaţia Să e tudieze tabilitatea itemului dicret Σ ( A B C D) cu α A 5 B α C [ ] D ude α ete u parametru real Soluţie Sitemul are poliomul caracteritic P ( z) det( zi A) z (4α ) z α (z )( z α ) Ţiâd eama că z şi z α rezultă că itemul ete iter trict tabil petru α ( ) iter emitabil petru α { } şi iter itabil petru α ( ) ( ) Petru tudiul tabilităţii extere formăm modelul echivalet itrare-ieşire Di ecuaţiile itemului rezultă x( t ) x( t) αx( t) u( t) ( ) ( ) x ( t ) x ( t) (α 5) x ( t) u( t) y t x t y( t) x( t) y( t ) x( t) α x( t) u( t) y( t ) ( α ) x ( t) α(α 5) x ( t) ( α ) u( t) u( t ) de ude pri elimiarea variabilelor de tare x ( ) şi x ( ) obţiem ecuaţia echivaletă cu t t d y ( t ) (α 5) y( t ) ( α 5) y( t) u( t ) (α 5) u( t) y( t) (α 5) y( t ) ( α 5) y( t ) u( t ) (α 5) u( t ) Rezultă fucţia de trafer z (α 5) z G ( z) z 6α (α 5) z ( α 5) z (z )( z α ) Petru α şi α fucţia de trafer ete ireductibilă iar poliomul polilor coicide cu poliomul caracteritic Petru α avem G ( z) iar itemul ete exter emitabil z deoarece polul z are modulul egal cu Petru α 5 avem G ( z) z

92 9 EORIA SISEMELOR AUOMAE iar itemul ete exter trict tabil deoarece polul z are modulul ubuitar I cocluzie itemul ete exter trict tabil petru α ( ) { } exter emitabil petru α { } şi exter itabil petru α ( ) ( ) ( ) Petru α itemul ete iter itabil dar exter trict tabil Aplicaţia Să e tudieze tabilitatea itemului dicret avâd α A α R 8 7 Soluţie Poliomul caracteritic al matricei A ete P ( z) det( zi A) z 7 z 8z α Mai departe formăm ecuaţia P ( ) care are forma ( 5 α) (9 α ) (5 α ) α Coeficieţii ecuaţiei ut pozitivi petru 5 < α < Impuâd şi codiţia Δ ( > 5 α )(9 α ) (5 α)( α) 8α 6α 6 di criteriul Hurwitz rezultă că itemul dicret ete iter trict tabil atuci câd α < α < ude α 47 4 Aplicaţii de autocotrol C Să e tudieze tabilitatea iteră şi exteră a itemului cu ecuaţia y y y ky u u u ude k ete u parametru real C Să e tudieze tabilitatea iteră şi exteră a itemului cu ecuaţia k y ( k ) y (k ) y y u u ude k ete u parametru real

93 SABILIAEA SISEMELOR LINIARE 9 C Să e tudieze tabilitatea iteră şi exteră a itemului cotiuu ) ( D A B C Σ cu [ ] D k C B A ude k ete u parametru real C4 Să e tudieze tabilitatea iteră a itemului x x x x u x x x u kx x x x x y u x y ude k ete u parametru real C5 Să e tudieze tabilitatea iteră şi exteră a itemului u x x x x u kx x x x x 5 x x x y ude k ete u parametru real C6 Să e tudieze tabilitatea iteră şi exteră a itemului u x x kx x u x x x x x y ude k ete u parametru real C7 Să e tudieze tabilitatea itemului de reglare cu k G R G E 8 5 G P G ude k ete u parametru real

94 94 EORIA SISEMELOR AUOMAE C8 Să e tudieze tabilitatea itemului de reglare cu petru k > G R k( ) G 4 E G G P 4 C9 Să e tudieze tabilitatea itemului de reglare cu petru > i G R G E G i G P ( )(8 ) C Fie itemul de reglare automată caracterizat pri G R K K > G E G P 4( ) G 4 Să e determie K atfel îcât polii itemului ă fie ituaţi î tâga dreptei C Petru ce valori ale parametrului real k itemul dicret cu ecuaţia y ( t) 7 y( t ) 8y( t ) ky( t ) u( t ) u( t ) ete trict iter tabil? C Petru ce valori ale parametrului real k itemul dicret cu ecuaţia x x ( t ) x ( t ) x ( t) kx ( t) x ( t) ( t) u( t) y t) x ( t) x ( ) ( t ete trict iter tabil?

95 4 FUNCIA DE FRECVENŢĂ 4 DEFINIŢIE SI PROPRIEĂŢI Coiderăm u item liiar eted cu fucţia de trafer G ( Pri defiiţie fucţia de frecveţă (au de pulaţie) a itemului ete fucţia complexă G ( jω) ude ω R au mai retrictiv ω R Fucţia de frecveţă poate fi criă ub forma jφ( ω) G ( jω) M ( ω)e () ude M (ω) reprezită modulul fucţiei de frecveţă iar Φ (ω) faza au argumetul fucţiei de frecveţă De aemeea fucţia de frecveţă poate fi criă ub forma G ( jω) U( ω) jv ( ω) () ude U (ω) ete partea reală a fucţiei de frecveţă iar V (ω) partea imagiară a fucţiei de frecveţă Deoarece fucţia de trafer ete o fucţie raţioală ea atiface următoarea proprietate: G ( G ( oricare ar fi variabila complexă Pri urmare G ( jω) G ( jω) iar di G ( jω) U( ω) jv ( ω) şi G ( jω) U( ω) jv ( ω) rezultă U ( ω) U( ω) V ( ω) V ( ω) () adică U (ω) ete fucţie pară iar V (ω) fucţie impară Di relaţiile M ( ω ) U ( ω) V ( ω ) (4)

96 96 EORIA SISEMELOR AUOMAE şi tg Φ( ω) V ( ω)/ U( ω) (5) rezultă că M (ω) ete pară şi Φ (ω) impară Dacă fucţiile impare V (ω) şi Φ (ω) ut cotiue î puctul ω atuci V ( ) şi Φ ( ) 4 INERPREARE FIZICA Iterpretarea fizică a fucţiei de frecveţă a uui item liiar cotiuu rezultă imediat di teorema filtrării euţată şi demotrată î cele ce urmează eorema filtrării Petru u item liiar cotiuu propriu exter trict tabil aflat î regim iuoidal permaet cu pulaţia ω modulul şi argumetul fucţiei de frecveţă G ( jω) reprezită factorul de amplificare şi repectiv defazajul ieşirii î raport cu itrarea Demotraţie Coiderăm că la itrarea itemului cu fucţia de trafer G ( e aplică emalul iuoidal u( t) iωt raformata Laplace a răpuului itemului ete Y ( ω G( AB Y ( tr ω ω ude Y tr ( ete o raţioală trict proprie avâd aceiaşi poli ca G ( deci cu partea reală egativă I relaţia de idetificare ω G( A B ( ω ) G ( tr îlocuim pe cu j ω petru a elimia termeul cu ( Rezultă G tr deci ω G ( jω) Ajω B ( ω) ω jφ M ( ω)e Ajω B A M ( ω)iφ( ω) B ωm ( ω)coφ( ω) Pri urmare răpuul y (t) al itemului are compoeta armoică permaetă L [ AB ] Acoωt B iω y p (t) t ω ω M ( ω)[iφ( ω)coωt coφ( ω)iωt] M ( ω)i[ ωt Φ( ω)] şi compoeta trazitorie L [ Y ( )] y ( t) tr tr

97 FUNCŢIA DE FRECVENŢA 97 care e aulează î timp adică lim ( t) y t tr deoarece toţi polii fucţiei Y tr ( au partea reală egativă Petru itrarea iuoidală u( t) iωt răpuul permaet al itemului y p ( t) M ( ω)i[ ωt Φ( ω)] (6) evideţiază faptul că fucţia de frecveţă G ( jω) M ( ω)e jφ( ω) ete factorul complex de amplificare î regim armoic permaet 4 CARACERISICI DE FRECVENA Caracteriticile de frecveţă cele mai utilizate ut caracteritica amplificarepulaţie M (ω) şi caracteritica fază-pulaţie Φ (ω) Caracteritica amplificarepulaţie ete frecvet cuocută î literatura de pecialitate şi ub deumirea oarecum improprie de caracteritică amplitudie-pulaţie I reprezetarea grafică a celor două caracteritici pulaţia ω ete exprimată de obicei î cară logaritmică amplificarea M î decibeli ( M ] lgm ude lg [ db ete logaritmul zecimal) iar faza Φ î radiai Sub aceată formă caracteriticile de frecveţă ut cuocute şi ub deumirea de caracteritici Bode I cazul itemelor trict proprii (cu exce pozitiv poli-zerouri) di relaţia evidetă lim G( rezultă codiţia lim M ( ω) ω care exprimă faptul că factorul de amplificare î regim iuoidal permaet al itemelor trict proprii tide la zero atuci câd frecveţa de ocilaţie tide la ifiit Deoarece aceată proprietate caracterizează practic toate itemele reale (fizice) rezultă că itemele reale ut trict proprii cel puţi î domeiul frecveţelor foarte îalte La itemele emiproprii (cu acelaşi umăr de poli şi zerouri) relaţia b lim G( implică a b lim M ( ω) a ω

98 98 EORIA SISEMELOR AUOMAE Valoarea eulă a factorului de amplificare la frecveţe (pulaţii) ω e datorează faptului că itemele emiproprii atifac la limită pricipiul cauzalităţii mărimea de ieşire avâd o compoetă care urmăreşte itataeu variaţiile mărimii de itrare I cazul itemelor fizic realizabile caracteritica amplificare-pulaţie M (ω) trebuie ă atifacă codiţia Paley-Wieer lm ( ω) d < ω ω (7) Codiţia u ete atifăcută atuci câd M (ω) are valoarea ulă pe u iterval de variaţie a pulaţiei ω I particular u filtru ideal de tip trece-jo trece-badă au trece-u (caracterizat pritr-o amplificare ulă î afara bezii de trecere) u ete fizic realizabil Se pot obţie îă caracteritici amplificare-pulaţie oricât de apropiate de cele ale uui filtru ideal O metodă de obţiere a acetor caracteritici ete aproximaţia tip aylor de u aumit ordi care î cazul filtrului trece-jo cu pulaţia de badă (de tăiere) ω (fig 4) preupue atifacerea următoarelor codiţii: M ( ) b ( i M ( ω ) M ) () i (8) b Bada de trecere au lărgimea de badă a uui filtru trece-jo reprezită itervalul ω ) î care factorul de amplificare î regim iuoidal permaet ( b M (ω) u cade mai mult de ori (cu mai mult de db) faţă de valoarea a maximă Fig 4 Caracteritica amplificare-pulaţie a uui filtru trece- jo Aproximaţia tip aylor de ordiul are forma

99 FUNCŢIA DE FRECVENŢA 99 ude G ( (9) ( p )( p) ( p ) ω b ωb ωb (i )π (i ) π p i i jco i () Cu otaţia / ωb petru şi avem repectiv b G() ω ω () () b ω b ωb G b ω () () b ( ω )( b ωb ωb G ω () ) ( )( ) Fig 4 Caracteriticile amplificare-pulaţie ale filtrelor de ordiul şi Graficul fucţiei de frecveţă cotruit petru ω e umeşte locul de trafer iar graficul fucţiei de frecveţă cotruit petru ω R e umeşte locul lui Nyquit Locul de trafer mai poate fi defiit ca fiid graficul fucţiei de trafer G ( atuci câd variabila complexă parcurge emiaxa imagiară pozitivă Dacă G ( are u pol î origie atuci locul de trafer ete cotruit petru jω ω > iar dacă G ( are poli complex-cojugaţi pe axa imagiară atuci variabila ocoleşte pri partea dreaptă polul de pe axa imagiară pozitivă pe u emicerc de rază r (parcur î e pozitiv trigoometric) Uui aemeea pol îi

100 EORIA SISEMELOR AUOMAE corepude î plaul fucţiei de trafer u emicerc de rază R parcur î e egativ orar De regulă traarea aalitică a locului de trafer e face pe baza tabelelor de variaţie ale fucţiilor U (ω) şi V (ω) Locul lui Nyquit mai poate fi defiit ca fiid graficul fucţiei de trafer G ( atuci câd variabila complexă parcurge îtreaga axă imagiară oţi polii complex-cojugaţi de pe axa imagiară ai fucţiei de trafer ut ocoliţi de variabila pri emicercuri de rază r parcure pri dreapta î e pozitiv Di relaţiile U ( ω) U( ω) şi V ( ω) V ( ω) rezultă că locul lui Nyquit ete imetric faţă de axa reală şi poate fi obţiut di locul de trafer pri adăugarea imetricului locului de trafer faţă de axa reală Deoarece axa imagiară ete u cotur dechi locul lui Nyquit va fi o curbă dechiă Sitemul implu itegral cu fucţia de trafer G ( K K > are fucţia de frecveţă G ( jω) K / jω deci U ( ω) M ( ω) K ω V (ω) K ω Φ ( ω) π I regim iuoidal permaet faza itemului Φ (ω) ete egativă şi cotată î raport cu pulaţia ω iar factorul de amplificare M (ω) tide la petru ω şi ete trict decrecător î raport cu ω Prima proprietate a factorului de amplificare ete irelevată ub apect practic deoarece pulaţia ω tide la zero atuci câd perioada de ocilaţie tide la ifiit Locul de trafer coicide cu emiaxa imagiară egativă parcură de jo î u (fig 4) Fig 4 Locul lui Nyquit al itemelor implu itegral şi dublu itegral

101 FUNCŢIA DE FRECVENŢA K Sitemul dublu itegral cu fucţia de trafer G ( K > are fucţia de frecveţă G( jω) K / ω deci K U ( ω ) V ( ω) ω K M ( ω ) Φ ( ω) π ω Locul de trafer coicide cu emiaxa reală egativă parcură de la tâga pre dreapta (fig 4) Sitemul de îtârziere de ordiul uu cu fucţia de trafer G ( K K > are fucţia de frecveţă G ( jω) K jω deci ( ω) K Kω U V ( ω) (4) ω ω M ( ω) K Φ( ω) arctgω (5) ω Amplificarea M ete trict decrecătoare cu ω (de la valoarea K la zero) Di caracteritica amplificare-pulaţie M (ω) reprezetată î figura 44 rezultă că itemul ete u filtru trece-jo cu pulaţia de badă ω b / Fig 44 Caracteritica amplificare-pulaţie a itemului de îtârziere de ordiul uu

102 EORIA SISEMELOR AUOMAE Faza Φ ete egativă şi trict decrecătoare î raport cu pulaţia ω (de la π valoarea la valoarea ) avâd valoarea petru pulaţia de badă ω b 4π Pri elimiarea produului ω ître U (ω) şi V (ω) obţiem următoarea ecuaţie a locului de trafer şi locului lui Nyquit: ( U K /) V ( K /) (6) Locul de trafer al itemului ete emicercul iferior (di cadraul IV) cu cetrul î puctul ( K / ) şi care trece pri origie reprezetat cu liie cotiuă (fig 45) Locul lui Nyquit cupride şi emicercul uperior (di cadraul I) dar ete o curbă dechiă care u coţie origiea Fig 45 Locul lui Nyquit al itemului de îtârziere de ordiul uu Sitemul de ava-îtârziere de ordiul uu cu fucţia de trafer are fucţia de frecveţă deci τ ( ) G K K τ > K( τ jω ) G ( jω) jω Κ(τ Τ ω ) τ U( ω) K ( τ ) Τ ω Τ ω K( τ ) ω V ( ω) (7) ω τ ω M ( ω) K Φ( ω) arctgτ ω arctgω (8) ω Faza Φ ete egativă atuci câd efectul de îtârziere ete domiat ( τ < ) şi pozitivă - câd efectul de ava ete domiat ( τ > )

103 FUNCŢIA DE FRECVENŢA Di caracteritica amplificare-pulaţie M (ω) rezultă că: (a) petru τ < itemul ete u filtru trece-jo cu pulaţia uperioară de badă ω ; b τ (b) petru τ itemul ete u filtru trece-tot; (c) petru τ > itemul ete u filtru trece-u cu pulaţia iferioară de τ badă ω (fig 46) b τ Fig 46 Caracteritica amplitudie-pulaţie a itemului de ava-îtârziere de ordiul uu cu τ > Pri elimiarea variabilei ω ître U (ω) şi V (ω) rezultă următoarea ecuaţie a locului de trafer şi locului lui Nyquit: τ τ U K( ) U V K (9) Petru τ > locul de trafer al itemului ete emicercul uperior (di cadraul τ I) care atige axa reală î puctele (K ) şi ( K ) - figura 47 Locul lui Nyquit cupride şi emicercul iferior (di cadraul IV) dar u coţie puctul τ ( K )

104 4 EORIA SISEMELOR AUOMAE Fig 47 Locul lui Nyquit al itemului de ava-îtârziere de ordiul uu cu τ > Sitemul derivativ de ordiul uu cu fucţia de trafer τ ( ) G τ > are fucţia de frecveţă τ jω G ( jω) jω deci τ Τ ω τ ω U ( ω) Τ ω V ( ω) () ω τ ω M ( ω) Φ( ω) π arctgω () ω Faza Φ ete pozitivă şi trict decrecătoare î raport cu pulaţia ω (de la π/ la zero) iar amplificarea M ete trict crecătoare cu ω (de la valoarea zero la τ / ) Sitemul ete u filtru trece-u cu pulaţia iferioară de badă ω b / (fig 48) Fig 48 Caracteritica amplitudie-pulaţie a itemului derivativ de ordiul uu

105 FUNCŢIA DE FRECVENŢA 5 Pri elimiarea variabilei ω ître U (ω) şi V (ω) rezultă următoarea ecuaţie a locului de trafer şi locului lui Nyquit: τ ( U τ ) V ( ) () Locul de trafer al itemului ete emicercul uperior (di cadraul I) cu cetrul î ( τ ) şi care trece pri origie (fig 49) Locul lui Nyquit cupride şi Fig 49 Locul lui Nyquit al itemului derivativ de ordiul uu Sitemul de îtârziere de ordiul doi de tip ocilat cu fucţia de trafer are fucţia de frecveţă deci ude U( x) G( ω ξω ω <ξ < ω > G ω jω) ω ω ξω ( jω) ( x V ( x) ( x ) 4ξ x ξ x () ( x ) 4ξ x ξx M ( ω) tgφ( ω ) ( x ) 4ξ x x (4) x ω / ω ete pulaţia relativă I cazul ξ amplificarea M ete decrecătoare cu x deci cu pulaţia ω I cazul <ξ < amplificarea M atige valoarea maximă petru ξ ξ x ξ adică petru ω ω ξ I cazul ξ amplificarea M tide la atuci câd pulaţia ω tide pre valoarea ω (feome de rezoaţă)

106 6 EORIA SISEMELOR AUOMAE Faza Φ ete egativă şi trict decrecătoare î raport cu pulaţia ω (de la zero la π ) egală cu π/ petru ω ω I figurile 4 şi 4 ut reprezetate caracteriticile amplificare-pulaţie şi locul de trafer petru ξ 4; 6; 8; Fig 4 Caracteritica amplitudie-pulaţie a itemului ocilat de ordiul doi Fig 4 Locul de trafer al itemului de îtârziere de ordiul doi I MALAB petru reprezetarea locului lui Nyguit al uui item i e utilizează fucţia yquit ub ua di formele fuctio [] yquit(i ; fuctio [] yquit(iw) Dacă fucţia yquit ete apelată cu argumetele de ieşire [ReImw] î locul reprezetării grafice a locului de trafer ut returate valorile părţii reale Re ale părţii imagiare Im şi ale vectorului de frecveţă (pulaţie) w