Y U = M( = ( ; ( = arg (j (.384 Deci oduu raspusuui a frecveta este ega cu raportu ditre apitudiea osciatiei de a iesire si apitudiea osciatiei de a itrare, iar arguetu sau este ega cu faza osciatiei de a iesire. Pe baza raspusuui a frecveta s-a dezvotat etoda de aaiza si siteza a sisteeor diaice, deuita etoda frecvetiaa..4... Reprezetari grafice ae raspusuui a frecveta ae sisteeor oovariabie etede Raspusu a frecveta (jω este o fuctie copexa de variabia reaa ω. Se utiizeaza reprezetarie grafice: a Î pau copex R (ω, j I (ω se traseaza hodografu fazoruui (jω, petru ω R care se deueste oc de trasfer a raspusuui a frecveta. Locu de trasfer este o curba î pau (jω gradata î vaori ae pusatiei ω, fig..55. Fig..55 b Se reprezita grafic separat fuctiie M(ω si φ(ω petru ω [, sau fuctiie R (ω si I (ω petru ω [,. M(ω si φ(ω se deuesc caracteristica odu-frecveta, respectiv caracteristica faza-frecveta.
R (ω si I (ω se deuesc caracteristica reaa de frecveta, respectiv, caracteristica iagiara de frecveta. c Se reprezita grafic caracteristica odu-faza, uâd î abscisa faza φ(ω iar î ordoata oduu M(ω si se gradeaza curba i vaori ae ui ω. O aseeea caracteristica se ueste ocu ui Bac. d Se traseaza grafic M(ω si φ(ω î coordoate ogaritice. Aceste caracteristici costituie diagraa Bode..4... Locu de trasfer a raspusuui a frecveta Raspusu a frecveta (jω fiid trasforata Fourier a uei fuctii reae (raspusu a ipus satisface reatiie (-j = (j R (- = R ( ; I (- = - I ( M(- = M( ; (- = -(. (.395 Deci partea reaa R (ω este o fuctie para, iar partea iagiara I (ω este o fuctie ipara. M(ω este o fuctie para, iar φ(ω este o fuctie ipara. Rezuta ca ocu de trasfer este sietric fata de axa reaa. Locu petru pusatii pozitive ω [, uit si oc de trasfer pozitiv. Locu de trasfer egativ, corespuzator pusatiior egative ω (-, va fi sietricu fata de axa reaa a ocuui de trasfer pozitiv. Itersectiie ocuui de trasfer cu cee doua axe se obti rezovad ecuatiie: R (.396 ( = ; I ( =. Locu de trasfer î doeiu frecveteor foarte ari Fora ocuui de trasfer î doeiu frecveteor foarte ari va depide de difereta -.
Petru ω tizâd a ifiit se obtie i (j = i = i b b(j +b-(j...+b j +b - (j + a (j +...+ a j + a (j - - = b e - j(- i -. = (.397 Petru -, /(jω/ = petru ω, ocu de trasfer tide a ifiit taget a seiaxa de ughi φ = ( - π/ daca sg b = + sau φ = +( - π/ + π daca sg b = -. Petru - =, i (j = b= costat deci puctu corespuzator apartie axei reae, pe seiaxa pozitiva daca sg(b = sau pe seiaxa egativa daca sg(b = -. Petru - -, ocu de trasfer ajuge î origie fiid taget a seiaxa de arguet = - ( - / daca sg(b = + = - ( - / + daca sg(b = - Atât petru - cât si pe tru - - se pue î evideta o periodicitate de 4. Petru sg(b > si -4-4, î fig..56 se prezita fora ocuui de trasfer a frecvete foarte ari, î toate situatiie posibie. Fig..56 3
Locu de trasfer î doeiu frecveteor foarte ici Se cosidera ca ocu de trasfer (jω are î origie u po de utipicitate α, cofor reatiei - b(j +b-(j (j = +...+b = - (j (j (j = b a (j - b a + a (j +...+b (j + a (j +...+ a (j + - +...+ a ; + =. (.398 Fora ocuui de trasfer î doeiu frecveteor ici va depide de α. Astfe petru ω, di (.398 se obtie b - - j - i (j = i (j = e i + + a (.399 Petru α =, ( + = costat, apartie axei reae. Petru α -, (jω ω=+ =, ocu de trasfer petru ω ajuge î origiea axeor, fiid taget (î origie a seiaxa de arguet = -/ = -/ + daca sg = + daca sg = - (.4 Petru α, (jω ω=+ =, ocu de trasfer tide a ifiit, taget a seiaxa de arguet = -( / daca sg = + = - ( / + daca sg = - (.4 Î cazu câd α = + se poate arata ca R ( + este fiit, iar I ( + =, deci ocu de trasfer va avea ca asiptota dreapta de abscisa R ( +. Petru aceasta se scrie (jω sub fora uratoare 4
(j = = j i= d (j +. (j + c i (.4 Î reatia (.4 se apifica cu cojugata uitoruui î ebru drept si se separa partea reaa si partea iagiara. (j = j R ( + I = i ( + = + j[ d c ] ( j i i ci i Re (j = i +... = d I (j = e - c i= j [...]. i = K. i + (.4 (.4 (.43 Petru α - si petru α se pue î evideta o periodicitate de 4. Î fig..57 se prezita fora ocuui de trasfer petru ω +, petru toate situatiie - 4 α 4, si sg = +. Fig. 57 Exepu.. Sa se traseze ocu de trasfer petru sisteu iiar costat oovariabi descris de fuctia de trasfer 5
Raspusu a frecveta a sisteuui este (j 9 (j + =. j (j +(j +3 (.46 Deoarece - =, petru ω, (jω tide catre origiea sisteuui de axe taget a seiaxa reaa egativa. Deoarece α = + petru ω, (jω tide a, taget a dreapta paraea cu axa iagiara de abscisa K = - 5. Se separa partea reaa R (ωsi partea iagiara I (ω di (jω si vor rezuta reatiie de ai jos I R - 9 (5+ ( = 6 +(3 - - 9 ( +6 ( = [6 +(3 - ] Tabeu de vaori este prezetat ai jos ω + 3 R (ω -5 -.7 -.5 I (ω - - - 3.6 -.3 Locu de trasfer este reprezetat î fig..58. Fig..58 6
Caracteristicie de frecveta se reprezita de obicei î coordoate rectaguare sipe. Caracteristicie M(ω si φ(ω se pot reprezeta si î coordoate ogaritice. Se itroduce o asura a apificarii sisteuui (a oduuui M(ω defiita pri (.47 A db ( g M ( (.47 A db (ω se ueste ateuare si se asoara cu o uitate de asura a apificarii, itrodusa î od artificia, uita decibe si otata db. Astfe, de exepu, petru o apificare de corespude o ateuare de 6 db. Caracteristica A db (ω se ueste caracteristica ateuare-frecveta si se reprezita uâd î ordoata o scara iiara petru ateuarea î decibei. Petru caracteristica faza-frecveta î ordoata se iau vaorie fazei φ expriate î grade sau î radiai. Perechea de caracteristici: A db (ω - ateuare-frecveta si φ(ω-faza-frecveta reprezita diagraa Bode sau caracteristicie ogaritice de frecveta. Avataje:. Î cazu sisteeor forate di eeete coectate î serie, operatiior de utipicare e corespud î diagraa Bode operatii de suare agebrica. Astfe petru eeete îseriate raspusu a frecveta se poate expria î fora ( j ( j M ( e ( j ( j j ( j( M ( e ( j e j ( (.48 7
M ( M ( ; ( ( (.49 Logaritâd expresia oduuui si îutid-o cu se obtie A db ( A db ( (.4 Petru eeetee coectate î serie ateuarea rezutata este sua ateuarior eeeteor copoete, iar faza rezutata φ(ω este egaa cu sua fazeor respectiveor eeete.. Pe diagraa Bode apare posibiitatea trasarii ut ai usoare a caracteristicii A db (ω a fiecarui eeet cu ajutoru ceor doua asiptote deteriate petru frecvetee foarte ici si petru frecvetee foarte ari. 3. Utiizarea caracteristicior ogaritice de frecveta perite cupriderea uor doeii ai îtise de vaori petru pusatia ω. Î cazu eeeteor cu fuctii de trasfer ratioae care adit zerourie z, z,..., z si respectiv poii p, p,..., p presupuse reae si disticte, se poate scrie ( s s bs b s b b ( s z ( s z (.4 a s a s a ( s p ( s p ( s p Se defiesc costatee de tip ' Ti, T, i,,..., ;,,..., (.4 p z i Fuctia de trasfer (.4 devie 8
' ' b ( z ( T s ( T s ( s ( pi ( Ti s ( Ti s i b ( z ( pi i (.43 Raspusu a frecveta a sisteuui rezuta di (.43 petru s = jω ' ( T j ( j (.45 ( Ti j Moduu raspusuui a frecveta va fi M ( ' ( T j ( j ( Ti j i ' T (.46 iar ateuarea se poate scrie Ti ' AdB( g g T g Ti i (.47 Petru trasarea rapida a caracteristici ateuare-frecveta petru fiecare tere eeetar de fora A db ( g T (.48 se deteria asiptotee petru ω si ω. Aceste asiptote sut AdB (, de pata T (.49 ua si 9
A db ( g T, T de pata db/decada. (.4 Di (.47 rezuta ca se poate obtie caracteristica ateuare rezutata pri îsuarea agebrica a caracteristicior tereior eeetari. AdB( ' g gt gti i ' T, T ' i T/ Ti (.4 r ude î (. sut cuprisi uai tereii di sua (.47 i petru care, a acea vaoare a ui ω, T ω >>. Deci daca ω variaza de a a, a fiecare vaoare a pusatiei ω = /T î suee di ebru drept apare u tere si deci se odifica pata caracteristicii asiptotice de frecveta. Puctee de abscisa ω = /T ' si ω i = /T i se uesc pucte de frâgere ae caracteristicii. Deoarece di îsuarea a doua fuctii iiare cotiue de pate si se obtie o fuctie iiara cotiua de pata +, rezuta di (.47 ca se poate reprezeta caracteristica ateuare-frecveta asiptotica pritr-o iie frâta. Modificarie de pata sut de + db/dec î puctee de frâgere corespuzatoare tereior pozitivi (respectiv zerourior ω = /T ' = - z si de - db/dec î puctee de frâgere corespuzatoare tereior egativi (respectiv poior fuctiei de trasfer ω i = /T i = - p i. Petru frecvetee foarte joase i{, ;, ; i, } caracteristica ateuare-frecveta are asiptota A db ( g (.4 i
Cu aceste date se poate trasa caracteristica ateuare-frecveta dupa uratoru agorit: a Se trec pe axa absciseor puctee de frâgere. b Se traseaza asiptota de joasa frecveta (.4. c La fiecare puct de frâgere pata caracteristicii creste cu db/dec fata de vaoarea precedeta, daca puctu de frâgere corespude uui zerou, respectiv scade cu db/de daca puctu de frâgere corespude uui po a fuctiei de trasfer. Exepu.3. Se cosidera o fuctie de trasfer de fora (s (,5s ( s (s (s (,s (.43 a Puctee de frâgere au uratoaree abscise: ω = / =, [rad/sec]; ω = / =, [rad/sec]; ω 3 = / =,5 [rad/sec]; ω 4 = /,5 = [rad/sec]; ω 5 = /, = [rad/sec]; ω 3, ω 4 corespud zerourior, iar ω, ω, ω 5 corespud poior fucttei de trasfer. b Asiptota de joasa frecveta (.4 se traseaza petru ω < ω =, [rad/sec]. c Patee caracteristicii asiptotice au vaorie: = petru ω [, ω ; = - db/dec = - db/dec petru ω (ω, ω ; = - db/dec = - 4 db/dec petru ω (ω, ω 3 ; 3 = + db/dec = - db/dec petru ω (ω 3, ω 4 ; 4 = 3 + db/dec = db/dec petru ω (ω 4, ω 5 ; 5 = 4 - db/dec = - db/dec petru ω (ω 5,. Caracteristica asiptotica ateuare-frecveta corespuzatoare sisteuui (.43 este reprezetata î fig..59.
Fig..59 Tiâd seaa de (.45 caracteristica faza frecveta se deteria cu reatia ( arg ( j arg( T j arg( T j arctg( T arctg( T ' ' i i i i (.44 Petru a obtie caracteristica faza-frecveta rezutata se îsueaza agebric sau grafic caracteristicie faza-frecveta ae tereior eeetari. Cad î fuctia de trasfer (.4, apare u zerou sau u po de ordiu de utipicitate μ, î raspusu a frecveta apare u factor de de fora ( jt respectiv ( jt (.46 Acestor terei e corespud asiptote de îata pusatie ω > /T de fora A db ( g T g T (.47 A db ( g T - g T (.48 Daca î fuctia de trasfer (.4 apare u po î origie de utipicitate α, aceste fuctii se pot expria pri ( s (.49 s ( s
iar raspusu a frecveta este ( j ( j (.43 ( j Î acest caz asiptota î doeiu frecveteor ici (ω se va cacua cu reatia A db ( g g (.43 Pata acestei asiptote este AdB( - AdB( db / dec. (.43 Aceasta asiptota trece pri puctu de coordoate g ω =, A db ( = g si trasarea ei se face usor (fig..6. Caracteristica faza-frecveta petru (.43 este ( arg ( j (.433 Rezuta ca pou î origie itroduce u defazaj ega cu - απ/ petru tot doeiu de pusatii. Idici de perforata ai sisteeor diaice Se cosidera o fora tipica a raspusuui idicia y(t = w(t prezetata î fig..67. Vaoarea statioara a ariii de iesire este otata y s = w s = R (. Fig..67 3