ECUAŢII DIFERENŢIALE ŞI ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE CU APLICAŢII

Transcript

1 GAVRIIL PĂLTINEANU PAVEL MATEI ECUAŢII DIFERENŢIALE ŞI ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE CU APLICAŢII Bucureşti 7

2 Referet ştiiţific: prof uiv dr ILEANA TOMA Uiversitatea Tehică de Costrucţii Bucureşti

3 PREFAŢĂ Teoria ecuaţiior difereţiae şi a ecuaţiior cu derivate parţiae reprezită u domeiu fudameta a matematicii cu umeroase apicaţii î diferite domeii ae ştiiţei şi tehicii, precum: mecaică, astroomie, termodiamică, optică, easticitate, chimie, bioogie etc Necesitatea creării acestei teorii a îceput odată cu apariţia cacuuui difereţia şi itegra şi provie di faptu că umeroase feomee şi procese di atură se modeează matematic pri ecuaţii difereţiae sau pri ecuaţii cu derivate parţiae Iată câteva ditre aceste procese: mişcarea uui puct materia îtr-u câmp coservativ, vibraţiie uui sistem osciat, căderea iberă a corpurior, depasarea uei membrae eastice sub acţiuea uei îcărcări cotiue, propagarea cădurii îtr-o bară, dezitegrarea radioactivă, creşterea popuaţiei, diverse reacţii chimice etc Primee cotribuţii otabie î teoria ecuaţiior difereţiae aparţi creatorior aaizei matematice Isaac Newto (64-77) şi G M Leibiz (646-76) Porid de a studiu probemeor de diamică a puctuui materia, Newto a dv descoperit egea a doua a mecaicii: F = m a= m, reaţie care reprezită o ecuaţie dt difereţiaă Combiâd această ege cu egea gravitaţiei, e a cacuat orbitee paeteor şi a uor comete Leibiz a fost codus a studiu ecuaţiior difereţiae de o probemă de geometrie, aşa umita probemă iversă a tageteor, care costă î determiarea uei curbe pecâd de a uee proprietăţi ae tagetei a curbă Leibiz este ce care a itrodus termeu de ecuaţie difereţiaă Lista matematicieior care şi-au adus cotribuţia a dezvotarea teoriei ecuaţiior difereţiae cotiuă cu fraţii Joha şi Daie Beroui, Euer, Lapace, Lagrage, Cauch, Fourier, Poicaré, Picard, Liapuov, Votera etc

4 6 ECUAŢII DIFERENŢIALE ŞI ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE CU APLICAŢII L Euer a dat o primă defiiţie cară a ecuaţiei difereţiae, epicâd şi î ce costă rezovarea uei astfe de ecuaţii După L Euer, o ecuaţie difereţiaă este o reaţie ître, d şi p = şi rezovarea ei costă î găsirea uei reaţii ître şi care u- mai coţie pe p d Ditre umeroasee rezutate obţiute de Euer î domeiu ecuaţiior difereţiae, amitim metoda de rezovare a ecuaţiior difereţiae de ordiu cu coeficieţi costaţi, cu umeroase apicaţii î mecaică şi fizică Probema eisteţei şi uicităţii souţiei uei ecuaţii difereţiae a fost formuată şi rezovată petru prima oară de Cauch şi uterior simpificată de Lipschitz Metoda aproimaţiior succesive aparţie ui Picard,iar forma sa abstractă ui Stefa Baach Lucrarea de faţă coţie u miimum de cuoştiţe de bază di domeiu ecuaţiior difereţiae şi a ecuaţiior cu derivate parţiae, care u pot să ipsească di cutura matematică a uui igier costructor Sut prezetate următoaree capitoe: Ecuaţii difereţiae, Sisteme de ecuaţii difereţiae, Ecuaţii cu derivate parţiae de ordiu îtâi, Serii Fourier, Ecuaţii cu derivate parţiae de ordiu a doiea, Eemete de cacu variaţioa Am îcercat să iiţiem pe cititori î procesu de modeare a proceseor de evouţie pri ecuaţii difereţiae sau ecuaţii cu derivate parţiae, î studiu eisteţei şi uicităţii souţiei uei asemeea ecuaţii, î îsuşirea agoritmior de cacu a souţiei precum şi î iterpretarea rezutateor Î cadru fiecărui capito sut prezetate eempe rezovate itegra, care cotribuie a o buă îţeegere a teoriei Am fost preocupaţi tot timpu petru a păstra u echiibru ître rigoare şi accesibiitate Cartea se adresează î specia studeţior Uiversităţii Tehice de Costrucţii Bucureşti, dar î egaă măsură şi ator categorii de studeţi di uiversităţi tehice, precum şi uor speciaişti di cercetare şi proiectare Muţumim referetuui ştiiţific, doama prof uiv dr Ieaa Toma, petru observaţiie şi aprecierie făcute î urma citirii mauscrisuui Autorii

5 CAPITOLUL ECUAŢII DIFERENŢIALE Noţiui geerae Eempe Teorema de eisteţă şi uicitate Pri ecuaţie difereţiaă ordiară de ordiu se îţeege orice reaţie de forma: ( ) F (,, ', '',, ) =, () () ude este variabia idepedetă, = () este fucţia ecuoscută, ', ' ',, sut + derivatee fucţiei şi F este o fucţie reaă cotiuă defiită pe u domeiu Ω Dacă F F () () C ( Ω) şi derivata parţiaă ( ) impicite rezută că, oca, ecuaţia () se poate pue sub forma ϕ : I respectiv pe Ω, atuci di teorema fucţiior ( ) ( ) = f(,, ',, ) () Ecuaţia difereţiaă () se umeşte forma ormaă a ecuaţiei () Pri souţie a ecuaţiei () [respectiv ()] pe itervau I, se îţeege orice fucţie (, de casă C ) ( I) (), care verifică ecuaţia ( ) F(, ϕ( ), ϕ'( ),, ϕ ( )) =, I ( ) ( ) ϕ ( ) = f(, ϕ'( ),, ϕ ( )), I ( ) Evidet, se presupue că petru orice I, puctu (, ϕ( ), ϕ'( ),, ϕ ( )) Ω Graficu uei souţii a ecuaţiei difereţiae () se mai umeşte şi curbă itegraă a acestei ecuaţii difereţiae Cea mai simpă ecuaţie difereţiaă se îtâeşte a cacuu itegra şi costă î afarea () () () F este de casă C pe Ω, dacă F şi derivatee sae parţiae de ordiu îtâi sut cotiue pe Ω ( ) ( ) ϕ este de casă C pe I, dacă ϕ şi derivatee sae ϕ ', ϕ '',, ϕ sut cotiue pe I

6 8 ECUAŢII DIFERENŢIALE ŞI ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE CU APLICAŢII primitivei uei fucţii Îtr-adevăr, fiid dată fucţia cotiuă f : I, dacă otăm cu primitiva sa, atuci obţiem ecuaţia difereţiaă: ' = f( ), I (3) Souţia ecuaţiei difereţiae (3) este ( ) = F ( ) + C, (4) ude F este o primitivă a ui f pe I Costatăm că souţia căutată u este uică, ci eistă o ifiitate de souţii ae ecuaţiei (3) Souţia (4) a ecuaţiei (3), care depide de o costată arbitrară C, se umeşte souţia geeraă Fiecare souţie particuară se obţie di souţia geeraă dacă dăm costatei C o vaoare umerică cocretă difereţiae Numeroase probeme di ştiiţă şi tehică se modeează matematic pri ecuaţii Eempu Să studiem căderea iberă a uui puct materia, sub acţiuea forţei gravitaţioae Aegem ca aă O dreapta verticaă pe care se mişcă (cade) puctu; origiea este a suprafaţa pămâtuui, iar sesu pozitiv î aegem î sus Notăm cu (t) coordoata puctuui M a mometu t Aşadar, variabia idepedetă este timpu t, iar fucţia ecuoscută este = () t De a mecaică ştim că acceeraţia este ''( t) ; pe de ată parte, se ştie că acceeraţia gravitaţioaă este costată, se otează cu g şi este aproimativ egaă cu 9,8 Cum acceeraţia gravitaţioaă este orietată î jos, î sistemu de coordoate aes, va avea semu Egaâd cee două acceeraţii ae puctuui, obţiem ecuaţia difereţiaă: m/ s ''( t) = g (5) După prima itegrare, obţiem: '( t) iar după a doua itegrare: = gt+c, (6) () t g C t C t = + + (7) Epresia (7) reprezită souţia geeraă a ecuaţiei (5) şi coţie două costate arbitrare şi C C Di (6), petru t =, deducem:

7 Ecuaţii difereţiae 9 C = '() = v - viteza iiţiaă a puctuui Procedâd asemăător î (7), obţiem: C = () = - poziţia iiţiaă a puctuui Cu aceste otaţii, obţiem souţia particuară t () t = g + vt+ (8) Aşadar, dacă cuoaştem poziţia iiţiaă a puctuui şi viteza sa iiţiaă v, di (8) putem cacua poziţia puctuui materia î cădere iberă a fiecare momet t Eempu Se ştie că viteza de descompuere a radiuui este direct proporţioaă cu catitatea de radiu eistetă Să presupuem că î mometu t =, avem R grame de radiu Să otăm cu R() t catitatea (î grame) de radiu eistetă (rămasă) a mometu şi cu c ( c > ) coeficietu de proporţioaitate Sutem coduşi a ecuaţia difereţiaă t > R '( t) = cr( t) (9) Se verifică, pri derivare, că souţia acestei ecuaţii difereţiae este R() t = R e ct () Eempu 3 Să studiem osciaţiie mici ae uui pedu (fig ) Notăm cu (t) ughiu format de pedu cu aa verticaă a mometu t, cu ugimea peduuui şi cu g M Fig O F P F F acceeraţia gravitaţioaă Asupra puctuui materia P de masă m acţioează forţa gravitaţioaă F, de mărime F = mg, care se descompue î compoetee F şi F, de mărimi F = mgcosϕ şi F = mgsiϕ Presupuâd firu ietesibi, acţiuea forţei F se reduce a compoeta F Observăm că F este orietată spre origie şi este tagetă a arcu de cerc OP Lugimea arcuui OP este egaă cu (t), de ude deducem că acceeraţia ughiuară va fi egea a doua a ui Newto, rezută că: ''( t) Di

8 ECUAŢII DIFERENŢIALE ŞI ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE CU APLICAŢII m ''( t) = F = mg si ( t) Deoarece petru osciaţii mici (adică vaori mici ae ui ), putem aproima si, mai departe obţiem ecuaţia g ''() t + () t = () Se poate arăta că, souţia geeraă a acestei ecuaţii difereţiae este g t () = Acos( t+ ϕ), () ude A şi ϕ sut işte costate arbitrare Eempu 4 Să aaizăm mişcarea uui puct materia de masă m care se depasează pe aa O sub acţiuea uei forţe eastice F orietată spre origie Dacă otăm cu (t) distaţa de a puctu materia a origie, a mometu Newto, rezută că: m () t = F t >, atuci, di egea a doua a ui Pe de ată parte, F fiid o forţă eastică, este de forma F = ω () t Obţiem astfe ecuaţia difereţiaă a osciatoruui armoic: m () t +ω () t = (3) Souţia geeraă este de forma t () = Acos( ω t+ ϕ), A, ude A şi ϕ sut işte costate arbitrare forma Î ipoteza supimetară a eisteţei uei forţe de frecare proporţioaă cu viteza, de k () t şi a uei forţe eterioare f(t) apicată puctuui materia, se obţie o ecuaţie difereţiaă mai compicată şi aume: () + () + ω () = () (4) mt kt t f t Eempu 5 Să studiem geometria uei ogizi care are proprietatea că refectă razee umioase proveite de a o sursă puctuaă O, sub forma uui fascico parae cu o direcţie dată

9 Ecuaţii difereţiae Aegem puctu O ca origie a aeor de coordoate, aa O dreapta paraeă cu fascicou şi dreapta O perpedicuară pe O (fig ) Fie = ( ), curba de itersecţie ditre corpu ogizii şi pau O Fie P(,) u puct de pe curbă, fie T puctu de itersecţie ditre tageta î P a curbă şi aa O şi fie PR perpedicuara pe tagetă î puctu P Cum PQ este paraeă cu O rezută că QPT ' = OTP = α Ţiâd seama că ughiu de icideţă ω este ega cu ughiu de refeie ω, deducem că i θ = OPT = 9 ω = 9 ω = α, deci OP = α Aşadar, pata dreptei OP este i r tgα tgα = Pe de ată parte, pata dreptei PT, este tgα = '( ) Cum tgα =, rezută tg α ecuaţia difereţiaă T α P(,) θ α T ω i ω r O Fig =() M[,(ω)] α R Q ' ' =, care se mai scrie sub forma: = ( ') ' r Derivâd această ecuaţie î raport cu şi ţiâd seama că obţiem: d d = ', d ' d ' = ' + ( ) ' ' ' d d şi mai departe sau d ' + ' = (+ ) ' d ' + ' d' ' + = ' d ' Simpificâd cu ' şi cu + ', rezută: deci d ' =, ' d

10 ECUAŢII DIFERENŢIALE ŞI ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE CU APLICAŢII d ' d = (5) ' După o primă itegrare, obţiem ' = + C, C >, sau ' = C respectiv ' = C După îcă o itegrare, rezută C C = C + C, deci = + (6) Aşadar, am obţiut o famiie de paraboe Fie M puctu de itersecţie a curbei cu aa O Deoarece triughiu OMT este dreptughic isosce, rezută că α = 45, deci '() = Dacă î (6) facem =, obţiem = ( ) () C = (7) Pe de ată parte, derivâd (6), rezută ' = C Cum '( ) =, rezută () = C şi mai departe geeraă a ecuaţiei (5) este C C C C = Pri urmare, souţia = +, (8) care reprezită di puct de vedere geometric o famiie de paraboe simetrice faţă de aa O C Focaru acestor paraboe coicide cu origiea O a aeor de coordoate Dacă fiăm şi rotim paraboa î juru aei O, obţiem parabooidu de rotaţie C + z = C ( + ) Aşadar, ogida are forma uui parabooid de rotaţie Aşa cum am văzut şi î eempee prezetate, o ecuaţie difereţiaă poate avea o ifiitate de souţii Fie ecuaţia difereţiaă de ordiu îtâi sub formă ormaă: ' = f (, ) (9) ude f este o fucţie cotiuă defiită pe muţimea deschisă D

11 Ecuaţii difereţiae 3 Petru a izoa o aumită souţie a ecuaţiei (9), se impue o codiţie iiţiaă şi aume: petru =, souţia să ia vaoarea Di puct de vedere geometric, aceasta revie a găsirea curbei itegrae care trece pri puctu M (, ) D Defiiţia Se umeşte probema Cauch petru ecuaţia difereţiaă (9) şi M D, probema care costă î determiarea uei souţii = ϕ( ), I, a puctu (, ) ecuaţiei difereţiae (9), care verifică codiţia iiţiaă: ( ) ϕ = () Lema Rezovarea probemei Cauch (9) - () este echivaetă cu rezovarea ecuaţiei itegrae: = + [ ], I () f tt, ()dt () Demostraţie Îtr-adevăr, dacă = ϕ(), I, este souţie petru probema Cauch (9) - (), atuci [ ϕ ] ϕ () t = f t, () t, t I şi Itegrâd prima idetitate, obţiem: ( ) ϕ = ( ) [ ], I ϕ( ) ϕ = ϕ ()d t t = f t, ϕ()d t t Cum ϕ ( ) =, rezută că ϕ ( ) = + f [ t, ( t) ] dt ϕ, I, deci = ϕ( ), I, este souţie petru ecuaţia itegraă () Reciproc, dacă = ϕ( ), I, este souţie petru ecuaţia itegraă (), atuci Evidet ( ) ϕ ( ) = + f [ t, ( t) ] dt ϕ, I ϕ = Pe de ată parte, pri derivare obţiem: [ ϕ ] ϕ ( ) = f, ( ), I, deci = ϕ( ), I, este souţie petru probema Cauch (9) - ()

12 4 ECUAŢII DIFERENŢIALE ŞI ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE CU APLICAŢII Defiiţia O fucţie f : D se umeşte ipschitziaă î raport cu, î domeiu D, dacă eistă o costată L astfe îcât f (, ) f (, ) L, oricare ar fi puctee (, ) şi (, ) di D Observaţia Dacă muţimea D este deschisă şi coveă, f C () ( D) şi f este mărgiită pe D, atuci f este ipschitziaă î raport cu pe D Îtr-adevăr, fie M > astfe îcât f (, ) < M, (, ) D ude (, ) ( Di teorema ui Lagrage, rezută: f f (, ) f(, ) = (, ξ )( ) ξ este u puct iterior pe segmetu de dreaptă icus î D, de capete (, ), ) Aşadar, avem: deci f este ipschitziaă pe D (, ) (, ), (, ) şi (, ) f f M, di D, şi Teorema (Teorema de eisteţă şi uicitate) Fie f o fucţie reaă cotiuă, defiită pe dreptughiu D [ a, a] [ b, b] = + +, a >, b > Dacă f este ipschitziaă î raport cu, pe = ϕ( ), I ( a, + a), petru probema Cauch = f (, ), (, ) ( ) = D, D, atuci eistă o souţie uică Demostraţie Petru îceput, vom arăta că eistă o souţie a probemei Cauch Coform Lemei, aceasta revie a a arăta că eistă o souţie a ecuaţiei itegrae () Demostraţia se bazează pe metoda aproimaţiior succesive a ui Picard, care u umai că stabieşte eisteţa souţiei, dar e dă şi u procedeu de costrucţie (aproimativ) a acestei souţii Cum f este cotiuă pe muţimea compactă D, rezută că f este mărgiită pe D Fie

13 Ecuaţii difereţiae 5 M > astfe îcât f (, ) < M, (, ) D Dacă otăm cu L costata ui Lipschitz pe D, atuci, petru orice două pucte (, ) şi (, ) ( ) ( ),, di D, avem: f f M () ( ) Fiăm u umăr α,, otăm cu b α h= mi a,, M L şi cu I itervau [ h, h] + Fig 3 Evidet, I ( a, + a) astfe: Defiim prima aproimaţie = ( ), I, ( ) f( t, ) dt cotiuă pe I Pe de ată parte, petru orice I, avem () f t, ) dt M dt = = +, I Deoarece f este cotiuă, rezută că este ( ) Aşadar, : I [ b, + b], deci (, t ()) t D, t I Costruim aproimaţia a doua = ( ) astfe: b M Mh M = b M ( ) f( t, ( t)) dt = +, I Di cotiuitatea fucţiior f şi, rezută cotiuitatea ui Observăm că () f t, ()) t dt M Mh b ( ), deci ( ) [ b, + b], I sau (, t ()) t D, I Î geera, defiim aproimaţia de ordiu, astfe: ( ) f( t, ( t)) dt = +, I (3)

14 6 ECUAŢII DIFERENŢIALE ŞI ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE CU APLICAŢII şi costatăm că este o fucţie cotiuă pe I cu vaori î itervau [ b, + b], deci (, t ()) t D, I Procedeu cotiuă edefiit * Şiru de fucţii : I [ b, + b],, defiit pri formua (3), poartă umee de şiru aproimaţiior succesive Cosiderăm următoarea serie de fucţii pe I: + ( ) + + ( ) + (4) şi observăm că şiru sumeor sae parţiae ( s ) este chiar ( ), s ( ) = ( ), I Dacă vom arăta că seria (4) este uiform covergetă pe I, va rezuta că şiru ( ) este uiform coverget pe I Foosid ipoteza că fucţia f este ipschitziaă pe D î raport cu, avem: deci: Aşadar, avem: () () = f t, () t f t, () t dt L () t dt ( ) ( ) LM! LM t dt = LM h LM ( ) ( ), I (5)! Foosid di ou faptu că f este ipschitziaă şi ţiâd seama de (5), rezută: Î geera, avem: ( ) ( ) ( ) ( ) = f t, () t f t, () t dt L () t () t dt 3 LM 3 t dt! 3! LM =, LM 3 3( ) ( ), I (6) 3! L M L M ( ) ( ) h, I (7)!!

15 Ecuaţii difereţiae 7 Observăm că seria umerică criteriu raportuui: M L h este covergetă, aşa cum rezută di =! u M L! Lh + + = < + + im = im h = im u ( )! M L h Coform (7), seria de fucţii (4) este majorată pe itervau I de o serie umerică covergetă, deci seria (4) este uiform covergetă pe I, coform criteriuui ui Weierstrass Aşadar, am demostrat că şiru aproimaţiior succesive (3) este uiform coverget pe itervau I Notăm cu ϕ imita acestui şir Cum I, rezută că ϕ este, de asemeea, cotiuă pe I Pe de ată parte, avem: ude am otat cu f ( t, () t) f( t, ϕ() t) dt L () t ϕ() t dt ϕ şi sut fucţii cotiue pe u I L ϕ Lh ϕ, (8) ϕ = sup{ ( ) ϕ( ); I } Faptu că ϕ revie a a spue că u I im = ϕ Di această observaţie şi di (8) deducem că im f ( t, ( t)) dt = f( t, ϕ( t)) dt, I Î sfârşit, trecâd a imită î (3), obţiem: ϕ ( ) = + f( t, ϕ( t)) dt, I, deci ϕ este souţie petru ecuaţia itegraă () şi cu aceasta am dovedit eisteţa souţiei probemei Cauch Petru a demostra uicitatea acestei souţii, să presupuem ar mai eista o souţie ψ astfe icât

16 8 ECUAŢII DIFERENŢIALE ŞI ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE CU APLICAŢII ψ( ) f( t, ψ( t)) dt = +, I Î cotiuare, petru orice I, avem: ( ) ( ) ϕ() ψ() f t, ϕ() t f t, ψ() t dt L ϕ() t ψ() t dt L ϕ ψ h Ţiâd seama de defiiţia ui h, deducem α ϕ ψ = sup{ ϕ( ) ψ( ) ; I} L ϕ ψ α ϕ ψ L = Cum α (,), această iegaitate u este posibiă decât dacă ϕ =, deci dacă ϕ ψ şi cu aceasta uicitatea este dovedită ψ Eempu 6 Să se rezove probema Cauch =, ( 3, ) D =,,, () = Avem f (, ) =, (, ) D, =, =, a = b=, 3 M = şi L = Dacă aegem α =, atuci h = mi,, = 3, deci 3 Şiru aproimaţiior succesive arată astfe: I =, 33 () = + dt = +, () = + ( + t) dt = + +, t 3 3() = + + t+ dt = + + +,! 3! () = , I,!!

17 Ecuaţii difereţiae 9 Cum e =,, covergeţa seriei este uiformă şi ( ) este şiru sumeor =! parţiae ae seriei, rezută că u I ϕ, ude ϕ ( ) = e, Observaţia Î eempu precedet am putut afa imita şiruui aproimaţiior succesive De reguă, acest ucru u este posibi şi de aceea se aproimează imita acestui şir cu aproimaţia de ordiu, adică cu fucţia defiită î (3) I = Eempu 7 Să se rezove probema Cauch ( ) = +,, D= (,) (,), () = Avem a = b=, = =, M = Dacă aegem, Şiru aproimaţiior succesive arată astfe: 3, () = t dt = t 7 () = t + dt = +, α =, atuci 3() = + t + + dt = t t, I Putem aproima souţia probemei Cauch cu 3, deci h = mi,, =, deci, ϕ() + + +, , Î cotiuare, vom evaua eroarea care se face î metoda aproimaţiior succesive Teorema Î codiţiie şi cu otaţiie Teoremei, avem: + M L h ϕ( ) ( ) e ( + )! Lh, I, ude ϕ este souţia eactă a probemei Cauch, iar este aproimata de ordiu

18 ECUAŢII DIFERENŢIALE ŞI ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE CU APLICAŢII Demostraţie Di (7) deducem: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = p p p ML h ML h ML h ( + )! ( + )! ( + p)! p + p = Aşadar, avem: + p ML h Lh ( Lh) ( Lh) = < ( + )! + ( + )( + 3) ( + )( + p) ML h Lh ( Lh) ( Lh) ( Lh) = ( + )!!! ( p )! p! + p p ML h Lh ( Lh) ( Lh) ( Lh) + p( ) ( ) < ( + )!!! ( p )! p! Trecâd a imită după p ( + M L h ϕ( ) ( ) e ( + )! + p p p ) î utima iegaitate, obţiem: Lh, I, I Defiiţia 3 Fie ecuaţia difereţiaă ' = f (, ), ( Ω, ) (9) Presupuem, î pus, că î domeiu Ω sut îdepiite codiţiie teoremei de eisteţă şi uicitate Pri souţie geeraă a ecuaţiei difereţiae (9) î domeiu Ω, se îţeege o famiie de souţii = ϕ(, C), I, ude C este o costată arbitrară, cu proprietăţie: a) (, ϕ(, C)) Ω, I, C ; ϕ b) = f [, ϕ(, C)], I, C ; c) Petru orice puct (, ) Ω, eistă o costată C uică astfe îcât ϕ (, C ) = Eempu 8 Souţia geeraă a ecuaţiei difereţiae ' =, (, ), este = + C,, ude C este o costată reaă oarecare Îtr-adevăr, î acest caz, f(, ) =, (, ) şi este evidet că sut îdepiite codiţiie de eisteţă şi uicitate

19 Ecuaţii difereţiae di Teorema Pe de ată parte, avem ( + C)' = şi (, ) eistă o costată uică C = astfe îcât = + C Defiiţia 4 Pri souţie particuară a ecuaţiei difereţiae (9) se îţeege o souţie a sa obţiută di souţia geeraă a ecuaţiei (9), pri particuarizarea costatei C Î eempu 8, petru C =, C =, C 3 = etc, obţiem souţiie particuare =, = +, 3 = etc Observaţia 3 Teorema are u caracter oca, î sesu că, dacă îtr-o veciătate a puctuui M (, ), fucţia f este cotiuă şi ipschitziaă î raport cu (î particuar, are derivata parţiaă î raport cu mărgiită), atuci probema Cauch admite o sigură souţie a cărei curbă itegraă trece pri puctu M Observaţia 4 De reguă, souţia geeraă u se obţie sub formă epicită di Defiiţia 3, ci trebuie gâdită ca souţia impicită = ϕ(, C), defiită de ecuaţia Φ ( C,, ) = obţiută pri itegrarea ecuaţiei difereţiae (9) Ecuaţia Φ ( C,, ) = se mai umeşte şi itegraa geeraă (sau competă) a ecuaţiei difereţiae (9) Ecuaţia Φ( C,, ) =, obţiută pri particuarizarea costatei C, se mai umeşte şi itegraă particuară Defiiţia 5 Se umeşte souţie siguară a uei ecuaţii difereţiae, o souţie a acestei ecuaţii care are proprietatea că, î orice puct a curbei sae itegrae, u sut satisfăcute codiţiie de uicitate Aceasta revie a a spue că petru orice puct (, ) a curbei itegrae a acestei souţii, eistă o ată souţie a ecuaţiei difereţiae, a cărei curbă itegraă trece pri acest puct şi este diferită de aceasta Di Defiiţia 5 deducem că souţiie siguare se caută î puctee ude u sut satisfăcute codiţiie Teoremei Dacă f este cotiuă, atuci

20 ECUAŢII DIFERENŢIALE ŞI ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE CU APLICAŢII souţiie siguare trebuie căutate î puctee ude f u este ipschitziaă, de eempu, î f puctee ude u este mărgiită Eempu 9 Fie ecuaţia difereţiaă 3 = 3, (, ) (3) Avem 3 f (, ) = 3, (, ) Evidet, f este cotiuă pe Cum f = 3, rezută că f u este mărgiit pe aa O ( = ) Pe de ată parte, este evidet că = este o souţie a ecuaţiei (3) Aşadar, = este o souţie siguară a ecuaţiei (3) Fie \{(,); } 3 Ω= Souţia geeraă a ecuaţiei (3) î Ω este = ( + C), cum se verifică imediat Fie ( a,) u puct oarecare de pe aa O O Fig 4 Pri acest puct trece souţia siguară = şi souţia particuară a 3 = ( ), Di puct de vedere geometric, curba itegraă a souţiei siguare este îfăşurătoarea famiiei de curbe itegrae ae souţiei geerae Ecuaţii difereţiae de ordiu îtâi de forme particuare

21 Ecuaţii difereţiae 3 Ecuaţii difereţiae cu variabie separabie O ecuaţie difereţiaă cu variabie separabie este o ecuaţie de forma: f ( ) g ( ) + f ( ) g ( ) =, ()

22 Ecuaţii difereţiae 3 ude f, f: I sut fucţii cotiue, f pe I, iar g, g: J sut fucţii cotiue, ecuaţia devie: g pe J, I şi J fiid itervae Împărţid cu f () g (), se separă variabiee şi g( ) f( ) d = d () g ( ) f ( ) Itegrâd î ambii membri, obţiem: g ( ) f ( ) d = d C g( ) +, C f( ) Se obţie astfe souţia geeraă sub formă impicită a ecuaţiei difereţiae Epicitâd î raport cu (dacă este posibi), se obţie o epresie de forma = h(, C), C, care este souţia geeraă sub formă epicită a ecuaţiei difereţiae () Eempu Să se găsească souţia ecuaţiei difereţiae ( ) ( ) =, care îdepieşte codiţia iiţiaă () = Ecuaţia se pue sub forma echivaetă d = d Itegrâd, obţiem: d = d, deci sau ( ) ( ) + = + + C, C >, C + =, C > + Di codiţia iiţiaă () =, obţiem C = şi mai departe =± 9 + Evidet, souţia căutată este = 9 +, ( 3,3)

23 4 ECUAŢII DIFERENŢIALE ŞI ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE CU APLICAŢII > Eempu Să se găsească souţia geeraă a ecuaţiei difereţiae ' =, >, Se observă că ecuaţia difereţiaă dată se poate scrie sub forma echivaetă: d d = Itegrâd î ambii membri, se obţie: * sau = C, = + C C +, * C + Observăm că, deşi cacuee sut făcute î domeiu D = (, ) (, ), fucţia = C, C, verifică ecuaţia difereţiaă pe Aşadar, souţia geeraă a ecuaţiei difereţiae date, este = C, C Ecuaţii difereţiae omogee Sut ecuaţii difereţiae de forma = f, (3) ude f este o fucţie cotiuă pe u iterva I, I Dacă otăm cu u = şi cosiderăm u = u() oua fucţie ecuoscută, rezută ( ) = u ( ) şi = u+ u Î urma acestei schimbări de fucţie ecuoscută, ecuaţia (3) devie o ecuaţie cu variabie separabie, aume: Cazu f () u u+ u = f( u) = u se reduce a o ecuaţie cu variabie separabie şi se rezovă ca mai sus Putem deci presupue că f () u şi mai departe du d = f () u u du C f() u u = + *, C u Separâd variabiee obţiem:

24 Ecuaţii difereţiae 5 Eempu 3 Să se găsească souţia ecuaţiei difereţiae = +,, care îdepieşte codiţia iiţiaă () = Notâd cu Ecuaţia difereţiaă şi mai departe u =, obţiem u+ u = u+ u sau u' * = + C, C u u' = u se scrie sub forma = u Presupuem, î cotiuare, du d = Itegrâd, rezută u = C, Di această reaţie se obţi souţiie corespuzătoare diferiteor codiţii iiţiae Impuâd codiţia () =, se obţie C = e, care coduce a = +, Deoarece e iteresează cazu (, ), rezută că souţia care îdepieşte codiţia iiţiaă () = este =, + (,e ) 3 Ecuaţii difereţiae iiare de ordiu îtâi Ecuaţiie difereţiae iiare eomogee, de ordiu îtâi, sut ecuaţii de forma: + P( ) = Q( ), (4) ude P şi Q sut fucţii cotiue pe u iterva I Ecuaţia iiară omogeă asociată este + P( ) = (5) Observăm că ecuaţia omogeă (5) este o ecuaţie cu variabie separabie Separâd variabiee şi itegrâd, obţiem: şi mai departe d Pd ( ) =,, = P( ) d+ C *, C

25 6 ECUAŢII DIFERENŢIALE ŞI ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE CU APLICAŢII P( d ) = C e *, C, care este echivaetă cu Pd ( ) = Ce *, C Deşi această souţie s-a obţiut î ipoteza, care presupue C, observăm că ecuaţia (5) admite şi souţia = care s-a pierdut a împărţirea cu Aşadar Pd ( ) = Ce, C, (6) reprezită souţia geeraă a ecuaţiei omogee (5) Petru a obţie souţia geeraă a ecuaţiei eomogee (4) foosim metoda variaţiei costatei a ui Lagrage şi aume: căutăm souţia ecuaţiei eomogee (4) de forma P( d ) = ϕ( ) e, (7) () ude ϕ este o fucţie de casă C pe itervau I Petru determiarea fucţiei ϕ puem codiţia ca (7) să fie souţie petru ecuaţia (4) şi obţiem: Pd ( ) Pd ( ) Pd ( ) ϕ ( ) e ϕ( ) P( ) e + P( ) ϕ( ) e = Q( ) Efectuâd cacuee, rezută şi mai departe ϕ ( ) = Q( ) e P( d ) Pd ( ) ϕ ( ) = Qe ( ) d+ C Îocuid î (7) obţiem souţia geeraă a ecuaţiei eomogee (4) şi aume: = e C+ Q( ) e d (8) Pd ( ) Pd ( ) Eempu 4 Să se găsească souţia geeraă a ecuaţiei difereţiae + si = si cos Foosim formua (8) cu P ( ) = sişi Q ( ) = sicos Îocuid î (8), obţiem: cos deci = Ce cos cos ( si cos cos cos cos cos e C e d) e ( C e cos = = e ),

26 Ecuaţii difereţiae 7 4 Ecuaţii difereţiae de tip Beroui Sut ecuaţii difereţiae de forma: + =, \{,} P( ) Q( ) α α (9) Presupuem că P şi Q sut fucţii cotiue pe u iterva I Împărţid cu α, petru, obţiem: α α + () = () P Q Dacă facem schimbarea de fucţie α = z, ude z= z ( ) este oua fucţie ecuoscută, rezută ( ) α α = z şi mai departe z + Pz ( ) = Q ( ) () α Ecuaţia difereţiaă () este o ecuaţie difereţiaă iiară de ordiu îtâi şi se rezovă ca î secţiuea 3 Eempu 5 Să se găsească souţia geeraă a ecuaţiei difereţiae =, (,) Împărţid cu 4, petru, rezută 4 3 = Dacă otăm cu z= 3, 3 3 atuci z = 3 4 şi ecuaţia devie: z + z = Aceasta este o ecuaţie difereţiaă iiară de ordiu îtâi, cu Foosid formua (8) obţiem: şi mai departe ( ) ( ) z = e C e d = C d P ( ) C 3 C z = + Aşadar avem: 4 = + 4, >, Diferite souţii particuare se obţi precizâd codiţiie iiţiae = şi Q ( ) =

27 8 ECUAŢII DIFERENŢIALE ŞI ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE CU APLICAŢII 5 Ecuaţii difereţiae de tip Riccati Sut ecuaţii difereţiae de forma = P( ) + Q( ) + R( ) () ude P, Q şi R sut fucţii cotiue pe u iterva I Î geera, o ecuaţie de acest tip u se poate itegra pri cuadraturi Astfe, îcă di 84, J Liouvie a demostrat că eistă ecuaţii difereţiae de tip Riccati care u sut itegrabie pri cuadraturi, adică souţiie or u pot fi eprimate ca primitive ae uor fucţii cotiue De eempu, ecuaţia Riccati foarte simpă: ' = +, u este itegrabiă pri cuadraturi Ce mai simpu şi mai cuoscut caz de itegrabiitate a ecuaţiei Riccati este acea câd se cuoaşte o souţie particuară a acestei ecuaţii Dacă se cuoaşte o souţie particuară a ecuaţiei difereţiae (), aume p : J I, atuci efectuâd schimbarea de fucţie = p +, ecuaţia difereţiaă se reduce a o ecuaţie difereţiaă iiară de ordiu îtâi z rezută Îtr-adevăr, derivâd şi îocuid î ecuaţia () obţiem: Ţiâd seama că z p p = P( ) ( ) ( ) p+ + Q p R z z z z p verifică ecuaţia (), deci că p p p = P() + Q() + R(), z + pp ( ) + Q ( ) z= P ( ) () Se observă că ecuaţia difereţiaă () este o ecuaţie difereţiaă iiară de ordiu îtâi Observaţia Se poate arăta că, orice ecuaţie difereţiaă de tip Riccati de forma ' = + B C +, A ude ABC,, satisfac codiţia ( B+ ) 4AC, admite o souţie particuară de forma ( ) c p =, c

28 Ecuaţii difereţiae 9 Eempu 6 Să se itegreze următoarea ecuaţie difereţiaă de tip Riccati: =, (,) 3 3 Ţiâd seama de observaţia, se costată că = este o reaţie particuară a ecuaţiei date Facem schimbarea de fucţie = + z şi obţiem: z = z z z 3 Rezută următoarea ecuaţie difereţiaă iiară de ordiu îtâi: z z =, 3 3 a cărei souţie geeraă este 3 z= C + Souţia geeraă a ecuaţiei Riccati este: = + 3 C +, (,) 6 Ecuaţii difereţiae de tip Cairaut Sut ecuaţii difereţiae de forma: = + ϕ( ), (3) () ude ϕ este o fucţie de casă C pe u iterva J Notâd = p ecuaţia devie = p+ ϕ( p) Derivâd î raport cu obţiem: dp dp p= p+ + ϕ ( p), deci d d dp + ( p) = d [ ϕ ] dp Dacă d =, rezută p = C şi mai departe ( ) = C+ ϕ C (4) Famiia de souţii (4) reprezită souţia geeraă a ecuaţiei (3) Di puct de vedere geometric, curbee itegrae corespuzătoare acestei souţii sut drepte Pe de ată parte, di + ϕ ( p) =, obţiem souţia siguară (sub formă parametrică):

29 3 ECUAŢII DIFERENŢIALE ŞI ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE CU APLICAŢII = ϕ ( p) (5) = pϕ ( p) + ϕ( p) Curba itegraă corespuzătoare souţiei siguare (5) este îfăşurătoarea famiiei de drepte (4) Eempu 7 Să se itegreze ecuaţia difereţiaă de tip Cairaut = Souţia geeraă este C = C, C R Souţia siguară sub formă parametrică este: = p p = Eimiâd pe p ître cee două ecuaţii parametrice, obţiem =, adică o paraboă, C care este îfăşurătoarea famiiei de drepte = C, C R (fig ) C = C = = C = Fig 7 Ecuaţii cu difereţiae eacte Factor itegrat Sut ecuaţii difereţiae de forma: (, ) (, ) P + Q =, (6)

30 Ecuaţii difereţiae 3 ude P şi Q sut fucţii de casă () C pe dreptughiu D ( ab, ) ( cd, ) =, Q pe D şi P Q = pe D Fie (, ) D u puct oarecare fiat şi fie F : D R, defiită astfe: F (, ) = Pt (, ) d t+ Q( t, ) dt (, ), D (7) Propoziţia 7 Î codiţiie de mai sus, orice fucţie impicită = ϕ( ), defiită de ecuaţia F (, ) = C, C R, este souţie petru ecuaţia difereţiaă (6) şi orice souţie a ecuaţiei (6) este de această formă Demostraţie Petru îceput vom arăta că F = P şi F = Q Îtr-adevăr, ţiâd seama de formua de derivare a itegraei cu parametru şi de ipoteza F Q P = P + t t = P + t t t (, ) (, ) d (, ) (, ) d = = P (, ) + P (, ) P (, ) = P (, ) P = Q, rezută F De asemeea, avem = Q (, ) Aşadar, fucţia F defiită î (7) are proprietatea că F = P şi F ( ) ( ) = Q Cu ate cuvite, forma difereţiaă ω = P, d+ Q, deste eactă Fie ecuaţia Deoarece F (, ) = C, (, ) D (8) F = Q pe D, rezută că î veciătatea oricărui puct di D ecuaţia (8) defieşte o fucţie impicită ϕ( ) F F, ϕ( ) +, ϕ( ) ϕ ( ) =, I, ϕ ( ) =, I, derivâd obţiem [ ] [ ] F Ţiâd seama că = P şi [ ] [ ] =, I Deoarece F[ ] F = Q, deducem că P, ϕ( ) + Q, ϕ( ) ϕ ( ) =, I,

31 3 ECUAŢII DIFERENŢIALE ŞI ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE CU APLICAŢII deci = ϕ( ), I este souţie petru ecuaţia (6) Reciproc, fie = ϕ( ), I, o souţie a ecuaţiei (6) Atuci, I, avem (, ϕ( ) ) D şi [ ] [ ] P, ϕ( ) + Q, ϕ( ) ϕ ( ) = Deoarece F = P şi F = Q, rezută F F, ϕ( ) +, ϕ( ) ϕ ( ) =, I, [ ] [ ] ceea ce este echivaet cu d ( F (, ϕ ( ))) =, I d Di utima reaţie deducem că [, ( )] impicită defiită de ecuaţia (8) F ϕ = C, I, deci = ϕ( ), I, este o fucţie Eempu 8 Să se afe souţiie ecuaţiei difereţiae ( 3 ) + ( 3 ) =, (, ) \{( 3 a, a) ; a } Q P Avem P(, ) = 3, Q(, ) = 3, = = (, ) = ( 3 ) d + ( 3 ) d = + + F t t t t Aşadar, orice souţie a ecuaţiei date este de forma = ϕ( ), I, ude ϕ este o fucţie impicită defiită de ecuaţia = K Observaţia 3 Dacă P Q, atuci se caută u factor itegrat Pri factor itegrat se îţeege o fucţie μ μ(, ) =, μ C () ( D), μ pe D, cu proprietatea μ(, Q ) (, ) = μ( P, ) (, ), (, ) D (9) Aşadar, să cosiderăm ecuaţia difereţiaă ( ) ( ) P, + Q, =, Q pe D şi Q P ()

32 Ecuaţii difereţiae 33 Dacă reuşim să găsim u factor μ μ(, ) itegrat, obţiem ecuaţia echivaetă = şi îmuţim ecuaţia () cu acest factor ( ) ( ) ( ) ( ) μ P,, + μ Q,, =, care este de tipu (6) şi a cărei souţie se afă î coformitate cu Propoziţia 7 Determiarea factoruui itegrat se face pri îcercări Să căutăm petru îceput u factor itegrat de forma μ = μ( ) (care depide umai de ) Di (9) rezută ( ) (, ) ( ) Q P μ Q + μ = μ( ) şi mai departe P Q μ ( ) = () μ( ) Q Petru ca egaitatea () să fie posibiă trebuie ca epresia P Q Q să depidă umai de Aşadar, ecuaţia () admite factor itegrat μ = μ( ), dacă Să otăm cu P Q ϕ( ) = Q P Q Q depide umai de Atuci μ ( ) = ϕ( ) şi itegrâd obţiem μ( ) = ϕ( d ) + C μ( ) Putem aege factoru itegrat ( ) d e ϕ μ ( ) = Eempu 9 Determiâd u factor itegrat, să se găsească souţia ecuaţiei difereţiae ( ) ( ) + =,, = ( ) Avem P, Q=, Q P = 3 =, P Q = Rezută că Q d μ( ) = e = Ampificâd ecuaţia dată cu acest factor itegrat, obţiem

33 34 ECUAŢII DIFERENŢIALE ŞI ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE CU APLICAŢII + ( ) = Fie P = şi Q = Observăm că P Q = = Atuci F t t t K t (, ) = d + ( ) d = + Souţia ecuaţiei va fi orice fucţie impicită = ϕ( ), I, defiită de ecuaţia = C Î mod aaog, se arată că ecuaţia () cu P, admite u factor itegrat depizâd umai de ( μ = μ( ) ), dacă epresia Q P P depide umai de Eempu Determiâd u factor itegrat, să se găsească souţia ecuaţiei difereţiae ( ) ( ) =,, 3, 7 3 Avem succesiv ( ) P = 3, Q= 7 3, P = 4 9, Q = 3 ; Q P μ ( ) = = ; μ ( ) = μ( ) P Îmuţid ecuaţia dată cu, obţiem ecuaţia echivaetă = Fie P(, ) = 3 7, Q (, ) = 3 Evidet Q P = = 3 Atuci F t t 7 t 7 C t (, ) = ( 3 ) d + 3 d = 3 + Orice fucţie impicită = ϕ( ), I, defiită de ecuaţia 7 3 = K este souţie petru ecuaţia dată

34 Ecuaţii difereţiae 35 Dacă ecuaţia u admite factori itegraţi de forma μ = μ( ) sau μ = μ( ) se caută factori itegraţi de forme mai compicate μ = μ( ), μ = μ( a + b), μ = μ etc 3 Ecuaţii difereţiae iiare de ordiu O ecuaţie difereţiaă iiară eomogeă de ordiu este o ecuaţie de forma: ude ( ) ( ) a() a() a () ' a() f(), I =, () a, a,, a, f sut fucţii cotiue pe itervau I R şi a (), I Ecuaţia difereţiaă omogeă asociată ecuaţiei () este: ( ) ( ) a() a() a(), I =, () Defiiţia 3 Spuem că o fucţie ϕ : I R este de casă ( p) C pe itervau I, dacă ϕ admite derivate pâă a ordiu p icusiv şi acestea sut cotiue pe I Vom foosi otaţia ( p) () I ϕ C De eempu, ϕ C () () I, dacă ϕ este cotiuă pe I, ϕ C () () I dacă eistă ϕ ' şi este cotiuă pe I etc ( p) () Este evidet că C I este u subspaţiu vectoria a spaţiuui vectoria a fucţiior reae defiite pe I, pe care î vom ota F( I, ) Defiiţia 3 Se umeşte souţie a ecuaţiei difereţiae () orice fucţie ( ) () I ϕ C care verifică ecuaţia, adică: ( ) ( ) a() ϕ + a() ϕ + + a () ϕ ' + a() ϕ = f(), I Dacă otăm cu D operatoru de derivare derivare de ordiu p, p d D = D D D=, d p pori p d D p * = d, cu D, p N operatoru de

35 36 ECUAŢII DIFERENŢIALE ŞI ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE CU APLICAŢII ( ) cu D operatoru idetitate ( D ( ), ( I) ) ϕ =ϕ ϕ C şi cu k L( D) = ak() D = a() D + a() D + + a () D+ a() D, k = I, atuci ecuaţiie () şi () se scriu pe scurt astfe: L( D)( ) = f( ), I, ( ) respectiv L( D)( ) =, I ( ) Propoziţia 3 Muţimea S a souţiior ecuaţiei omogee () este u subspaţiu vectoria a spaţiuui de fucţii F (, I R) Demostraţie Vom arăta că z, Sşi λ, μ R, rezută că λ +μz S Petru îceput reamitim că operatoru de derivare D este iiar, adică are proprietatea: Îtr-adevăr, ( ) D( λ +μ z) =λ D() +μd(), z, z C (), I λ, μ R d D( λ +μ z) = ( λ +μ z) = ( λ +μ z)' =λ ' +μ z' = d =λ d dz D( ) D( z) d +μ d =λ +μ Observăm că operatoru de derivare de ordiu p este, de asemeea, iiar Îtr-adevăr, de eempu: D ( λ +μ ) = ( D D)( λ +μ ) = D D( λ +μ ) = D λ D( ) +μ D( ) = [ ] [ ] [ ] ( ] =λ D D( ) +μ D D( ) =λ D ( ) +μ D ( ) etc Î sfârşit, observăm că operatoru L( D ) este iiar, k k k LD ( )( λ + μ z) = ak() D ( λ +μ z) = ak() ( λ D () +μ D () z) = k= k= k k =λ ak() D () +μ ak() D () z =λ L( D)() +μl( D)() z k= k= Dacă z, S, atuci LD ( )( ) = şi LD ( )( z ) = Î cotiuare, avem: LD ( )( λ +μ z) =λ LD ( )( ) +μ LD ( )( z) =, λ, μ R,

36 Ecuaţii difereţiae 37 deci λ +μz S Î spaţii de fucţii eistă u aparat specific petru studiu iiar depedeţei (idepedeţei) Acest aparat se bazează pe oţiuea de wroskia Defiiţia 33 Fie f, f,, f : I R, fucţii de casă C pe itervau I Se umeşte wroskia a acestor fucţii, următoarea fucţie: f () f() f ' ' [ ] ( ) f ( ) ( ),, ( ) W= W f f = f ( ) f ( ) ( ) ( ) ( ) Propoziţia 3 Fie W f,, f ( ) =, I I, atuci [ ] ( ) fi C (), I i =, Dacă f,, f sut iiar depedete pe Demostraţie Pri ipoteză eistă umere λ, λ,, λ, u toate ue, astfe îcât λ ( f ) + +λ f( ) =, I (3) Derivâd succesiv reaţia (3) de ( ) ori obţiem: λ f () + + λ f() = λ ' ' f () + + λ f() = λ f () + + λ f () =, I ( ) ( ) Am obţiut astfe sistemu (4), care este u sistem (agebric) iiar şi omoge î ecuoscutee λ,, λ coeficieţior este Aşadar avem: Deoarece sistemu admite souţie ebaaă, rezută că determiatu f () f() f ' ' ( ) f ( ) () W= =, I ( ) ( ) f ( ) f ( ) (4) Propoziţia 33 Fie W f,, f ( ), I ; (i) [ ] ( ) g, f,, f C ( I) Dacă

37 38 ECUAŢII DIFERENŢIALE ŞI ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE CU APLICAŢII (ii) [ ] W g, f,, f ( ) =, I, atuci g este o combiaţie iiară de f,, f, deci eistă C,, C R, astfe îcât g () = Cf() + + C f(), I Demostraţie Prezetăm demostraţia î cazu particuar ' ' '' '' = Pri ipoteză, avem: g () f() f() g'( ) f ( ) f ( ) =, I (5) g''( ) f ( ) f ( ) Cum cooaee şi 3 ae acestui determiat sut iiar idepedete (deoarece, pri W f, f ( ), I ), rezută că prima cooaă este o combiaţie iiară de ipoteză, [ ] acestea Aşadar, I, eistă λ (), λ () R, astfe îcât g () =λ f() +λ f() g'( ) =λ ( ) f ( ) +λ ( ) f ( ) (6) g''( ) =λ ( ) f ( ) +λ ( ) f ( ) ' ' '' '' Ţiâd seama că () f, f, g ( I) C şi că [, ] W f f pe I, di (6) deducem că λ şi λ sut fucţii derivabie pe I Derivâd prima reaţie di (6) obţiem: ' ' ' ' g'( ) =λ ( ) f ( ) +λ ( ) f ( ) +λ ( ) f ( ) +λ ( ) f ( ) Pe de ată parte, ţiâd seama de a doua reaţie di (6), deducem: ' ' λ () f () +λ f () = (7) Î mod aaog, derivâd a doua reaţie di (6) şi ţiâd seama de a treia reaţie, deducem: ' ' ' ' λ () f () +λ f () = (8) Am obţiut u sistem iiar şi omoge de două ecuaţii (ecuaţiie (7) şi (8)) î ecuoscutee ' λ ( ) şi ' λ () Cum, pri ipoteză, determiatu coeficieţior f() f() ' ' W[ f, f] ( f() f() = )

38 Ecuaţii difereţiae 39 este eu, rezută că sistemu admite umai souţia baaă Aşadar, ' λ ( ) =, ' λ () =, I, de ude rezută că λ () = C, λ () = C, I Coform primei reaţii di (6) avem: g () = Cf() + C f(), I Teorema 3 (Liouvie) Fie,,, S souţii particuare ae ecuaţiei omogee (), fie I fiat şi fie W [ ] = W [,, ]( ) Atuci W () = W ( ) e a () t dt a () t Demostraţie Prezetăm demostraţia î cazu particuar = Fie, două souţii particuare ae ecuaţiei omogee () () a () '' + a () ' + a () = Atuci avem: '' a ' a i =,,, () i () i i= I (9) a a Pe de ată parte, derivâd wroskiau W() = ' ', obţiem: sau ' ' ' ' dw = + = d '' '' '' '' Ţiâd seama de (9) şi de proprietăţie determiaţior, rezută: dw = a a a a = d a a a a a a() ' ' ' ' () dw a() = W () () d a() Se verifică imediat, pri derivare, că ecuaţia difereţiaă () admite souţia a() t dt a () t W() = Ce, ude C este o costată oarecare Î particuar, petru =, rezută că C = W( ), deci

39 4 ECUAŢII DIFERENŢIALE ŞI ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE CU APLICAŢII W () = W ( ) e a() t dt a () t Defiiţia 34 Se umeşte sistem fudameta de souţii petru ecuaţia omogeă (), orice set de souţii particuare,, S, cu proprietatea că eistă W [,, ]( ) I, astfe îcât Coroaru 3 Dacă,, sut iiar idepedete pe I Demostraţie Fie W(), I,, S este u sistem fudameta de souţii, atuci I, astfe îcât W ( ) Di Teorema Liouvie rezută că, iar di Propoziţia 3, rezută că,, sut iiar idepedete pe I vectoria S Teorema 3 Orice sistem fudameta de souţii di S este o bază î spaţiu Demostraţie Fie,, S u sistem fudameta de souţii Coform Coroaruui 3, sut iiar idepedete Rămâe să arătăm că,, este u sistem de geeratori petru S Deoarece,, sut souţii petru (), rezută: Fie ( ) ( ) ' a() + a() + + a () + a() = ( ) ( ) ' a() + a() + + a () + a() = S oarecare Atuci verifică ecuaţia (), deci () ( ) ( ) a() + a() + + a () ' + a() = () Am obţiut u sistem iiar şi omoge de ( + ) ecuaţii (ecuaţiie () şi ()), î ecuoscutee a( ),, a() Cum sistemu admite souţie ebaaă ( a( ), I), rezută că determiatu coeficieţior este Aşadar, avem:

40 Ecuaţii difereţiae 4 ( ) ( ) ' ( ) ( ) ' ( ) ( ) ' =, I (3) Egaitatea (3) este echivaetă cu W [,,, ]( ) =, I Pe de ată parte, di Propoziţia 3, rezută că W [,, ]( ), I Costatăm că sut îdepiite codiţiie Propoziţiei 33, deci eistă mut, rezută dimr S = C,, C R, astfe îcât = C + + C Mai Observaţia 3 Di Teorema 3, rezută că dacă,, este u sistem fudameta de souţii petru ecuaţia omogeă (), atuci orice ată souţie a ecuaţiei () este de forma = C + C + + C, (4) ude C, i=, sut costate arbitrare i Formua (4) reprezită souţia geeraă a ecuaţiei () Aşadar, petru a găsi souţia geeraă a ecuaţiei omogee () este suficiet să găsim u sistem fudameta de souţii particuare ae acesteia Î geera, determiarea uui sistem fudameta de souţii petru ecuaţia omogeă este dificiă petru ecuaţii cu coeficieţi variabii Acest ucru este posibi îsă î cazu ecuaţiior cu coeficieţi costaţi, de care e vom ocupa î cotiuare Fie ecuaţia ( ) ( ) a a a ' a =, (5) ude a, i=, sut costate reae, a i Căutăm souţii ae ecuaţiei (5) de forma r = e, (6) ude r este o costată reaă ce urmează să fie determiată Puâd codiţia ca fucţia dată de (6) să verifice ecuaţia (5), rezută: ( ) r e a r + ar + + a r+ a = Se obţie astfe ecuaţia agebrică (7), care se umeşte ecuaţia caracteristică ataşată ecuaţiei difereţiae (),

41 4 ECUAŢII DIFERENŢIALE ŞI ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE CU APLICAŢII ar + ar + + a r+ a = (7) Aşadar, am redus probema rezovării ecuaţiei difereţiae (5) a probema rezovării ecuaţiei agebrice (7) Distigem următoaree cazuri: Cazu Ecuaţia caracteristică (7) are rădăcii reae şi disticte Fie r, r,, r R, r rădăciie ecuaţiei (7), ri rj, dacă i j Atuci r r = e, = e,, = e vor fi souţii particuare ae ecuaţiei omogee (5) Cacuâd wroskiau or, obţiem: r r e e r r ( ) () re r e r + r + + r r r W= = e = r r r e r r r e ( r + r ) = e ( ri rj) j< i Rezută că aceste souţii formează u sistem fudameta de souţii, deci souţia geeraă a ecuaţiei difereţiae () este r r r = Ce + C e + + C e Eempu 3 Să se afe souţia geeraă a ecuaţiei difereţiae ''' '' 5 ' + 6 = Ecuaţia caracteristică este r 3 r 5r+ 6= şi are rădăciie r =, r =, r 3 = 3 Souţia geeraă a ecuaţiei difereţiae este 3 = Ce + Ce + C3e eempu Cazu Ecuaţia caracteristică admite o rădăciă mutipă de ordi m Fie, de r această rădăciă Vom arăta că î acest caz ecuaţia difereţiaă (5) va admite următoaree souţii particuare: r r m r = e, = e,, m = e Petru îceput, demostrăm următoarea emă:

42 Ecuaţii difereţiae 43 ( ) ( ) ( k) Lema 3 Petru orice () k r r ( k) g C I avem D rd e g() = e g (), ude d D = este operatoru de derivare şi D este operatoru idetitate d Demostraţie Demostraţia se face pri iducţie matematică Petru k = avem: ( )( ) r r r r r D rd e g() = re g() + e g'() re g() = e g'() Presupuem afirmaţia adevărată petru orice p< k şi o demostrăm petru p + ( p+ r ) ( ) ( ) ( p = ) ( r D rd e g() D rd D rd e g() )= ( )( ) r ( p) r ( p) r ( p+ ) r ( p) = D rd e g () = re g () + e g () re g () = r ( p+ ) () = e g Cu aceasta ema este demostrată Fie acum r o rădăciă mutipă de ordiu m petru ecuaţia caracteristică (7) şi fie Fr ( ) = ar + + a r+ a Fr () = F()( r r r) m, membru stâg a ecuaţiei (7) Atuci, ude F este o fucţie poiomiaă de gradu m Acestei descompueri a poiomuui caracteristic Fr () îi corespude următoarea descompuere a operatoruui difereţia ( ) LD ( ) = L( D) D rd Di Lema 3, petru m k < m avem: k m k ( ) ( ) ( ) r r r ( LD ( ) e L( D) D rd e L( D) k m ) = = e ( ) = k r Rezută că = e este souţie petru ecuaţia difereţiaă (5), k < m L( D ): Observaţia 3 Orice set de fucţii de forma r r p r e, e,, e este iiar idepedet pe R Îtr-adevăr, orice combiaţie iiară uă a acestor fucţii u este posibiă decât dacă toţi coeficieţii combiaţiei sut ui Eempu 3 Să se afe souţia geeraă a ecuaţiei difereţiae '' + 4 ' + 4 =

43 44 ECUAŢII DIFERENŢIALE ŞI ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE CU APLICAŢII Ecuaţia caracteristică este r + 4r+ 4= şi are rădăcia dubă r= r = Ecuaţia admite souţiie particuare: e = e, care sut iiar idepedete, deci formează o bază Souţia geeraă este: = şi = Ce + C e Cazu 3 Ecuaţia caracteristică admite rădăcia compeă r =α+ iβ, β Î acest caz, vom arăta că ecuaţia difereţiaă admite souţiie particuare α = e cosβ şi = e α siβ Verificăm afirmaţia î cazu particuar = Presupuem că ecuaţia ar + ar+ a = admite rădăcia r =α+ iββ, Atuci avem a( α+ i ) a( i ) a β + α+ β + =, de ude deducem că: ( ) a α β + aα+ a = (8) aαβ + aβ = Fie = e α cosβ Atuci ' α = e ( αcosβ βsi β ) şi Î cotiuare, avem: '' α = e ( α cosβ αβsiβ β cos β ) ( ) '' ' α a + a + a = e a α cosβ αβsi β β cosβ + α î virtutea reaţiior (8) + a ( αcosβ βsi β ) + a cos β ] = ( ( ) ) ( ) = e [ a α β + aα+ a cosβ a αβ + aβ si β ] =, Aşadar, dacă α+ iβ este rădăciă petru ecuaţia caracteristică, atuci = e cosβ α este souţie petru ecuaţia difereţiaă (5) Aaog se arată că = e α siβ este souţie petru ecuaţia difereţiaă (5) Pe de ată parte, este evidet că aceste souţii = e cosβ, α = e α siβ sut iiar idepedete Aşadar, î cazu particuar =, souţia geeraă este: α cos α = Ce β + C e si β

44 Ecuaţii difereţiae 45 Î cazu câd α+ iβ este rădăciă dubă petru ecuaţia caracteristică, ecuaţia difereţiaă admite souţiie particuare e α cosβ, e α cosβ, e α siβ, e α siβ etc Eempu 33 Să se afe souţia geeraă a ecuaţiei difereţiae '' + ' + 5 = Ecuaţia caracteristică este r + r+ 5= şi are rădăciie r, = ± i Avem α=, β= Ecuaţia difereţiaă admite souţiie particuare = e cos şi = e si Souţia geeraă este: = Ce cos + C e si Se poate îtâmpa ca a o ecuaţie să îtâim toate cee trei cazuri studiate aterior Eempu 34 Să se afe souţia geeraă a ecuaţiei difereţiae v v v = Ecuaţia caracteristică este: r r r 5r 4r 3r = şi are rădăciie r= r = ; r 3 = ; r4 = r5 = i; r6 = r7 = i Ecuaţia difereţiaă admite următoaree souţii particuare: = e ; = e ; 3 e = ; 4 = cos ; 5 = cos ; 6 = si ; 7 = si Aceste souţii sut iiar idepedete şi souţia geeraă este: = Ce + Ce + C3e + C4cos + C5cos + C6si + C7si Î cotiuare e ocupăm de ecuaţia eomogeă () Propoziţia 34 Fie p o souţie particuară a ecuaţiei eomogee () Atuci, orice souţie a ecuaţiei eomogee () este de forma = + p, ude este o souţie a ecuaţiei omogee () Demostraţie Fie S spaţiu vectoria a souţiior ecuaţiei omogee () şi fie S muţimea souţiior ecuaţiei eomogee () Atragem ateţia că S u este u spaţiu

45 46 ECUAŢII DIFERENŢIALE ŞI ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE CU APLICAŢII vectoria, petru că u este îchis a sumă (, S + S ) Dacă p S şi S, atuci LD ( )( + ) = LD ( )( ) + LD ( )( ) = + f( ) = f( ), p p deci = + p S Pe de ată parte, fie S şi z = p Atuci LD ( )( z) = LD ( )( ) LD ( )( ) = f( ) f( ) =, deci z S Pri urmare = z+ p, ude z S p Coroaru 3 Souţia geeraă a ecuaţiei eomogee () este de forma = + p, ude este souţia geeraă a ecuaţiei difereţiae omogee () şi particuară a ecuaţiei difereţiae eomogee () p este o souţie Afirmaţia rezută di Propoziţia 34 şi di observaţia că, dacă este souţia geeraă a ecuaţiei (), atuci depide de costate arbitrare, deci şi va avea această proprietate Di Coroaru 3, rezută că este suficiet să cuoaştem o souţie particuară a ecuaţiei eomogee petru a afa souţia geeraă a sa Î cee ce urmează, vom arăta că, dacă se cuoaşte souţia geeraă a ecuaţiei omogee (), atuci, foosid metoda variaţiei costateor a ui Lagrage, se poate afa souţia geeraă a ecuaţiei eomogee () Petru simpificarea scrierii, să presupuem că = Fie, geeraă a ecuaţiei omogee este u sistem fudameta de souţii ae ecuaţiei omogee () Atuci, souţia = C+ C (9) Căutăm souţia geeraă a ecuaţiei eomogee () de forma = ϕ ( ) + ϕ ( ) () Derivâd, obţiem = ϕ( ) ϕ( ) ϕ( ) ϕ( )

46 Ecuaţii difereţiae 47 Impuem codiţia ϕ ( ) + ϕ ( ) = () Ţiâd seama de (), rezută că şi mai departe că = ϕ ( ) + ϕ ( ) () = ϕ ( ) + ϕ ( ) + ϕ ( ) + ϕ ( ) (3) Î sfârşit, puâd codiţia ca fucţia defiită î () să verifice ecuaţia a ( ) + a ( ) + a ( ) = f( ) şi ţiâd seama de () şi (3), rezută: [ ϕ ϕ ϕ ϕ ] [ ϕ ϕ ] a() () + () + () + () + a() () + () + Î cotiuare, avem: [ ϕ ϕ ] + a() () + () = f() [ ] ϕ [ ] ϕ () a () + a () + a () + () a () + a () + a () + [ ϕ ϕ ] + a() () + () = f() Ţiâd seama că şi sut souţii petru ecuaţia omogeă, rezută că [ ϕ ϕ ] a( ) ( ) + ( ) = f( ), deci că f ( ) ϕ ( ) + ϕ ( ) = (4) a( ) Pri urmare, căutâd souţia geeraă a ecuaţiei eomogee () de forma (), rezută că fucţiie ϕ şi ϕ satisfac codiţiie () şi (4), aume: ϕ ( ) + ϕ ( ) = f ( ) (5) ϕ ( ) + ϕ ( ) = a( ) Cum determiatu coeficieţior sistemuui iiar (5) este chiar wroskiau fucţiior, şi este diferit de zero pri ipoteză, rezută că sistemu (5) are souţie uică Fie ϕ ( ) = g( ) şi ϕ ( ) = g ( ) souţia uică a sistemuui (5) Mai departe avem: ( ) g( )d C şi ϕ ( ) = g( )d+ C ϕ = + (6) Îocuid (6) î (), obţiem souţia geeraă a ecuaţiei eomogee:, (7) = C+ C+ g( ) d+ g( ) d= + p

47 48 ECUAŢII DIFERENŢIALE ŞI ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE CU APLICAŢII ude = C+ C este souţia geeraă a ecuaţiei omogee, iar = g ( ) d+ g ( ) d p este o souţie particuară a ecuaţiei eomogee Observaţia 33 Î cazu geera, metoda variaţiei costateor costă î următoaree: fie,,, u sistem fudameta de souţii ae ecuaţiei omogee () Atuci, souţia geeraă a ecuaţiei () este = C + + C Căutăm souţia geeraă a ecuaţiei eomogee () de forma = ϕ ( ) + + ϕ ( ), (8) ude ϕ, ϕ,, ϕ verifică sistemu ϕ ( ) + + ϕ ( ) = ϕ ( ) + + ϕ ( ) = (9) ( ) ( ) f ( ) ϕ ( ) + + ϕ ( ) = a( ) Rezovâd sistemu (9) (care are souţie uică) şi itegrâd, obţiem fucţiie ϕ, ϕ şi deci souţia geeraă a ecuaţiei eomogee () Î cocuzie, dacă cuoaştem u sistem fudameta de souţii petru ecuaţia omogeă, atuci foosid metoda variaţiei costateor a ui Lagrage putem să afăm souţia geeraă a ecuaţiei eomogee Î cee ce urmează, vom arăta cum se poate afa o astfe de souţie particuară î cazu câd membru drept este de forma λ f () = e ( P()cos μ + P ()si μ ), ude P şi P sut fucţii poiomiae Se distig două cazuri:, Cazu (fără rezoaţă) Dacă λ+ iμ (7), se caută o souţie particuară a ecuaţiei eomogee de forma λ p ( ()cos ()si ) u este rădăciă petru ecuaţia caracteristică = e Q μ + Q μ, (3) ude Q şi Q sut fucţii poiomiae de aceaşi grad, grad Q = grad Q = ma( grad P, grad P )

48 Ecuaţii difereţiae 49 Determiarea poioameor Q şi Q se face puâd codiţia ca fucţia p, dată de (3), să verifice ecuaţia eomogeă Cazu (cu rezoaţă) Dacă λ+ iμ este souţie petru ecuaţia caracteristică (7) şi are ordiu de mutipicitate m, atuci se caută p m λ [ ()cos ()si ] = e Q μ + Q μ şi se procedează î cotiuare ca î cazu p de forma Eempu 35 Să se afe souţia geeraă a ecuaţiei difereţiae '' 5 ' + 6 = e Ecuaţia difereţiaă omogeă asociată ecuaţiei date este '' 5 ' + 6 = şi are ecuaţia caracteristică r 5r+ 6= Rădăciie ecuaţiei caracteristice sut r=, r = 3, deci souţia geeraă a ecuaţiei omogee este 3 = Ce + Ce Membru drept este de forma (9), cu λ=, μ =, P( ) =, P( ) = Observăm că λ+ iμ= u este rădăciă a ecuaţiei caracteristice, deci sutem î cazu (fără rezoaţă) Aegem p = ae şi puem codiţia să verifice ecuaţia eomogeă dată Avem ' p = ae, '' p = ae şi mai departe '' ' p p p = + = + + = e 5 6 e ( a 5a 6 a) ae date este Rezută a =, deci 6 p 3 = Ce + Ce e 6 = e Souţia geeraă a ecuaţiei difereţiae eomogee 6 Eempu 36 Să se afe souţia geeraă a ecuaţiei difereţiae 3 '' 5 ' = e Î acest caz, λ = 3, μ =, P =, P = Cum λ+ iμ = 3 este souţie a ecuaţiei 5 caracteristice, sutem î cazu, cu rezoaţă Căutăm p de forma p 3 = ae Mai departe, avem: