6. Circuit liiar î rgim riodic siusoidal 6. troducr. aliza armoica a smallor Pâa î rzt am studiat comortara circuitlor liiar daca xcitatia st siusoidala. Î ralitat tsiuil si curtii ritr-o rta lctrica sut difriti d forma siusoidala. batra acstora d la forma siusoidala s umst distorsiu sau dformar. astfl d xmlu îl costitui bobia liiara (cu miz d fir caria daca i s alica o tsiu siusoidala (xcitati rasusul acstia (curtul st siusoidal. Fig. 6. Prsuuâd o bobia cu miz d fir (fig.6. alimtata d la o sursa d tsiu siusoidala u si ωt rzulta cuatia î tsiu a bobii cu miz d fir ri alicara tormi a doua a lui Kirchhoff: dφ R bi u t d di dφ u σ u Lσ, ( Φ Φ di ud: L σ st fluxul d disrsi cu o ddta liiara fata d curtul di circuit (L σ ~µ. Ddta flux-curt Φ u (i st liiara datorata rzti circuitului fromagtic al bobii iar cuatii î tsiu a bobii cu miz d fir îi corsud urmatoara schma chivalta: u Fig. 6. di dϕu u R bi L σ N dϕ u (t N u
Caitolul 6 9 Cosidrâd ca bobia ar R b si L σ glijabil (fat aroiat d ralitat atuci tsiua d alimtar dϕu u u (t N. ϕ u Di rlatia d mai sus s oat dtrmia forma d variati a fluxului magtic π π u(t si ωt si ωt Φ max si ωt. N N ωn Fluxul magtic util (î mizul fromagtic st siusoidal si s afla î urma tsiuii cu π. Forma d variati a curtului c arcurg bobia st fucti d ddta Φ u f(i a matrialului fromagtic car la alta scara, (vzi lgil câmului lctromagtic, rrzita ddta Bf(H Φ S B d, H di Ni. Γ SΓ Γ Ptru matriall fromagtic moi cu ddta flux curt (fig.6. atât tim cât s lucraza cu tsiui mici fluxul magtic ar uctul maxim d fuctioar umai î zoa liiara (OM iar curtul st siusoidal. Fig. 6.. Daca uctul d fuctioar ajug î zoa d saturati fluxul magtic ramâ siusoidal, iar curtul ar forma siusoidala rztata î fig.6.4 Fig. 6.4. Costructia grafica a formi d variati a curtului. La u momt t dat (fig.6.4.b bobii îi corsud u flux ϕ caruia î caractristica ϕϕ(i îi corsud curtul i. Valoara acstui curt s rabat vrticala, iar î ddta acstuia fucti d tim, corsud valorii curtului la momtul d tim t dat. Ptru matriall fromagtic c rzita ciclu d histrzis (dur curtul st dformat si u mai st î faza cu fluxul (fig.6.5.
Caitolul 6 9 Fig. 6.5. La ϕ u curtul st imus d H c iar tru aulara fluxului rmat Φ rm curtul ar o valoar difrita d zro. Costructia grafica a formi d variati a curtului - la momt t oarcar curba d crstr a fluxului îi corsud u curt - la momtul t la aclasi flux magtic curba dscdta a caractristicii flux curt curtul st ul iar fluxul ozitiv gal cu valoara rmata Ptru acst ultim caz cuatia î tsiu a bobii cu miz d fir st di dφ u u R bi L σ u cu u (t N - t..m. d autoiducti. Rrztâd cuatia d mai sus î comlx simlificat, ri algra fluxului magtic î axa rala, rzulta diagrama d fazori (fig.6.6 si schma chivalta (fig.6.7: b σ R jx Φ m ud jω Bilatul d utri al bobii s obti ri amlificara cuatii d mai sus cu valoara comlx cojugata a curtului rzultâd: * * R b jx σ iar ri sarara artii ral si imagiar PcosϕR b R{ *}P J P H QsiϕQ σ Q H Fig. 6.6 Fig. 6.7
Caitolul 6 9 Excitâd o bobia cu miz d fir d la o sursa d curt siusoidala, tsiua la borl bobii st siusoidala. 6.. aliza armoica a fuctiilor riodic Oric fucti riodica y(ty(t c îdlist coditiil Dirichlt (margiita, tda ortiui, umar fiit d discotiuitati y < oat fi rrztata (admit o dzvoltar ritr-o sri trigoomtrica dumita sri Fourir d forma: ud y (t si(ωt comota cotiua a fuctii valoara fctiva a armoicii d ordiul γ faza iitiala a armoicii d ordi. ltfl sus oric fucti riodica siusoidala st o suma d fuctii siusoidal d ulsatii difrit (. aum lt form al srii Fourir s obti di dzvoltara fuctii si(ωtγ si y (t t ( si ωt cos γ si γ cosω Notâd B cosγ, iar C siγ, rzulta C tg γ γ B C arctg B, rsctiv B C sau ϕ B arctg C cotiua: rzultâd Dtrmiara coficitilor srii Fourir s fac di dzvoltara y (t B siωt C cos ωt tgrâd sria Fourir durata ui rioad y(t s dtrmia comota y(t y(t B 44 siωt C cos t 4 ω 4 4 Valoril fctiv al fudamtali si armoicilor srii Fourir s ot dtrmia ri îmultira cu siωτ sau cosωτ a fuctii siusoidal si itgrara durata ui rioad
Caitolul 6 94 y ( τsiωτ siωt B si 44 ωt C si 4 4ω t cos 4 4 ω t cosωt si ωt B y(tsi ωt rsctiv C y(tcos ωt Forma comlxa a srii trigoomtric s obti di forma comlxa a j t j t fuctiilor trigoomtric si t ( ω ω j t jωt ω rsctiv cos ω t ( ω y (t j B j jωt jωt jωt jωt ( C ( C C jωt jωt j j B C jb jωt jωt B C jb Daca îsumara s fac dua î ultimul trm al xrsii d mai sus atuci: y (t C jb j ωt jωt C jb y (t Φ jωt jarctg C jb jϕ ud: Φ ; Φ. B C casi forma comlxa a srii Fourir rzulta si di îlocuira coficitilor: y(t B C Î xrsia fuctii f(t: y (t y (t y(tsi ωt y(tcos ωt y( τ y( τsi ωτsi ωt y( τ ( si ωτsi ωt cosωτ cosωt y (t [ 4 4 4 ] jω(t τ j[ω(t τ] y( τ cosω(t τ y( τcosωτ cosωt
Caitolul 6 95 y (t y(t y( τ y( τ j ω( t τ jω(t τ jω( t τ jjωτ y( τ 4 44 4 44 Φ ( jω jωt jωt y (t Φ, ud Φ Φ ω jϕ jωτ ( j y( τ Fuctia Φ st o fucti d variabila comlxa cu modulul ddt d frcvta dumit amlitudi sctrala dar fuctia Φ ar si argumtul ddt d frcvta. Rrztara fucti d frcvta Φ Φ (ω a modulului coduc la dfiira sctrului d frcvta al amlitudiilor (sctrul discrt iar rrztara argumtului ϕ ϕ (ω coduc la sctrul d frcvta al fazlor iitial Fig. 6.8 Cocluzi: Oric smal riodic st o suma d smal comlx (combiati liiara. * stfl fuctia x(tx m cosωt rovi di x (t ( x x jωt x x m * x x jωt m x (cosωt jsi ωt m x m (cosωt jsi ωt cu: 6.. Exml d smal riodic articular a Smal ar satisfac cuatia y(ty(-ty(-t Sria Fourir dvi: Fig. 6.9
Caitolul 6 96 y (t fucti ara: B siωt C cos ωt B si ω( t C cosω( t y ( t iar ri imura coditii d rzulta: B B siωt C cos ωt B si ωt C cosωt Dzvoltara î sri a fuctii ar st: y (t C cosωt, ud: y( τ ; C y( τ cosωτ, sau: jωt y (t Φ cu: Φ y( τ jωτ y( τ(cos ωτ j si ωτ avâd umai art rala (vzi rrztara comlxa a marimilor siusoidal trcut di cosius. y(t si( ωt fiid ara. y (t si(ωt b Small imar satisfac rlatia y(t -y(-t -y(-t Fig. 6. muâd coditia d smal imar y(t -y(-t rzulta: ω ω ω B si t C cos t B si ( t cosω( t C y (t B cosωt cu: B y( τsi ωτ sau sria comlxa: y (t Φ jωt
Caitolul 6 97 ud: Φ y( τ j ωτ y( τ(cosωτ jsi ωτ, dar: si(ωt y (t, y (t si(( ωt 6.4. Valori caractristic al smallor riodic siusoidal a Valoara fctiva. Fi y (t si(ωt. Coform dfiitii valoara fctiva Y a uui smal y(t st: Y y (t y si(ωt si(ωt si(ωt y si (ωt γ si(ωt si(ωt si(ωt γ y rzulta: si (ωt 4 44 si(ωt 44 4 4, troducâd simbolul δ si doarc:, si( ωt si(ωt si( ωt si(ωt 4 44 4 4 4 444 δ cos( γ γ Y y Y... d
Caitolul 6 98 ud: Y... s umst rziduul dformat. - d Dfiim î rgim siusoidal si siusoidal urmatorii factori: Rgim siusoidal Rgim siusoidal Ymax max - d amlitudi (vârf K v Y fctiva K v Y max Y Y - d forma K f Y Y md π K f Y y(t Y Yd Ptru rgimul siusoidal s dfist Kd (, Y Y Y si s umst factor d distorsiu. 6.5. Putri al circuitlor liiar î rgim rmat siusoidal Daca uui diol i s alica o tsiu siusoidala si u curt siusoidal rzulta ca absoarb o utr istata gala cu rodusul u i. Daca u (t si(ωt u iar i (t si(ωt i xrsia utrii istata va fi: u i si(ωt u i i si(ωt si(ωt si(ωt u a Putra activa rrzita valoara mdi a utrii coform rlatii
Caitolul 6 99 P (t si( ωt si( ωt u i 4 4444 4 4444 δ cos( γ xista itgrala u i i si(ωt γ Rzulta astfl : P cosϕ sau P si(ωt cosϕ cosϕ... cosϕ... cos u ϕ î car ϕ st dfazajul ditr armoicil d tsiu si curt. b Putra ractiva (ri simtri Q st gala cu suma utrilor ractiv al armoicilor. Q si ϕ - suma utrilor ractiv corsuzatoar tuturor armoicilor c Putra aarta S s dfist ri rodusul valorilor fctiv al tsiuii si curtului S - rodus valori fctiv cu, d d S rgim siusoidal atratul utrii aart u st gal cu suma atratlor utrilor activa si ractiva ci S... d S P Q D ud d D ( cos( ϕ ϕ cu: ϕ γ γ, ϕ γ u γ i. u i ξ (S si S; ϕ (S si P P S cos ϕ, cos ξ S S Fig. 6.
Caitolul 6 Factorul d utr î rgim siusoidal s dfist la fl ca î rgim siusoidal P P P S P S K cosϕcosξ S P Q D S S S S ; Kcosϕcosξ < cosϕ K. Doarc D ( cos( ϕ ϕ si î cazul rzoati toat armoicil D ( u s aulaza utra dformata. Ptru ca utra dformata D sa fi ula, trbui ca ct.. Dci si ϕ ϕ, coditi c imlica rzoata toat armoicil cu amlitudii roortioal. 6.6.Elmt liiar d circuit î rgim siusoidal. Rzistorul. S cosidra u rzistor R la borl caruia s alica tsiua si(ωt u u (t avâd comota cotiua ula si coficitul d distorsiu u acstuia i : Fig. 6. licâd rlatia Ohm s dtrmia curtul si coficitul d distorsiu al i u R R, R si(ωt u si(ωt i R, R ϕ γ u γi Cocluzi: Rzistorul u modifica forma curtului fata d a tsiuii.
Caitolul 6 Fig. 6. - K di K du - utra absorbita cosϕ R R P. u scurtcircuit Bobia idala (fata d comota cotiua bobia idala s comorta ca Fig. 6.4 Di cuatia di u L L, dci i u L s dduc itsitata curtului L i L si(ωt u si(ωt u π ωl i si(ωt i, ϕ γ u γ i π, lim (rduc gradul d dformar ωl - coficitul d distorsiu al tsiuii K du iar al curtului L K ω id < ωl K du Bobia idala rduc gradul d dformar al curtului fata d cl al tsiuii.
Caitolul 6 - utri al bobii idal P S Q D Fig. 6.5 Q si ϕ (ωl >. Codsatorul idal Fig. 6.6 Di cuatia du i C ωc si(ωt u π si(ωt i rzulta:, ωc, ϕ γ γ. u i π (ωc ( K di > (ωc ( lim rmoicil d curt cotribui la modificara routata a formi curtului fata d a tsiuii. K du S Q D Fig. 6.7 6.7. aliza circuitlor î rgim siusoidal
Caitolul 6 Î rgim siusoidal curtii (t si tsiuil u (t fiid fuctii riodic d tim, admit dzvoltari î sri Fourir si otâd rsctiv u armoicil d ordiul cuatiil Kirchhoff s scriu astfl utilizâd torma surozitii. K i K j j ( m i ( s ( s j (m ( j i (t ( s ( s j j j j K tru valori cotiui i i ( s j ( m j ( m j ( m trufudamtala tru armoica d ordi suma tsiuilor labortru j (m tru fudamtala tru armoica d ordi S cosidra, sr xmlificar, urmatorul circuit alimtat cu u8siωt6siωt, f5hz. Daca rω, 5 L mh, C mf sa s dtrmi valoril π π istata al curtilor, P, S, Q, si D. Rzolvar: Fig. 6.8 licam torma surozitii si cl doua torm Kirchhoff tru rzolvar. Fig. 6.9 uu u 8siωt6siωt a Ptru fudamtala u 8siωt, L r jωl j π 5 π j,8 jπ 4
Caitolul 6 4 C r j j ωc 5 π 5 π Curti ri bobia si codsator sut: j,8 jπ 4 L L 8,8 jπ 4 8,8 jπ 4 C C 8,8 jπ 4 8,8 jπ 4 Curtul total st dat d xrsia: jπ 4 jπ 4 L C,8,8,8 cu j j 4 L C 8 j 4 j rzultâd i L 8,si( ωt π 4 i C 8,si( ωt π 4 i 4siωt b Ptru armoica a tria: L r j ω L 6j C r j ωc L L C C j L C L C 6 9,5 ( 6j j 7 o 6 8,4 j j 8 o i i L C m m i m 6 j jωt { L } jωt { C } jωt { } Putril sut xrimat ri rlatiil:
Caitolul 6 5 S 8 6 4 5V P cos ϕ cos ϕ Q; D 84 cos 6 cos 5W 6.8. Circuit liiar trifazat sub tsiui simtric siusoidal sistm d tri marimi riodic y,y,y alcatuisc u sistm trifazat simtric d succsiu dircta, daca marima y rzulta di marima y cu o îtârzir d o trim d rioada si marima y rzulta di marima y cu o îtârzir d doua trimi d rioada. Fig. 6. Prsuuâd sistmul trifazat simtric d tsiui siusoidal: y (t y(t y (t y t π y (t y t y t Dzvoltaril î sri Fourir al marimilor y, y si y sut: y (t Y si(ωt y (t y (t Y ω si t Y ω si t Y si ωt Y si ωt π 4π si u î vidta roritatil:. tru armoicil d ordi
Caitolul 6 6 y ( ω, Y si t π y, Y si ωt Y si(ωt 4π y, Y si ωt Y si(ωt marimil sut î faza si alcatuisc sistm omoolar. armoicil d ordi ( (( ω y, Y si t γ si ( ωt y, Y si ( ωt y, Y alcatuisc sistm d succsiu dircta. ( ( π 4π Fig. 6.. armoicil d ordi ritr-u calcul similar alcatuisc u sistm d succsiu ivrsa. a Coxiua sta fara ul Di rlatia i i i, î car: Fig. 6. i ( i i ; ( i i,, i,,, i,,, i, i ; i ( i i rzulta: (i, i, i, 4 4 4 4 (i, i, i, 444 4 44 sistm simtricdirct sistmsimtric ivrs (i, i, i, 4 44 4 44
Caitolul 6 7 Pri urmar, curtii d lii u coti armoicil multilu d. Î rtll d frcvta idustriala curtii si tsiuil coti umai armoicil imar, valoara fctiva a curtului d lii ar xrsia iar tsiua d lii: l 5 7 f, f, f, f, f, f, (f, f, ( f, f, (f, f, 4 4 44 4 4 44 4 (,, siuil d lii u coti armoici multilu d. Valoril fctiv al tsiuilor d faza rsctiv d lii sut:... ;... f 5 b Coxiua sta cu ul Di rlatia i i i i N, rzulta curtul ri coductorul d ul: ( i, i, i, i l l l5 Pri urmar, coductorul d ul st arcurs d u curt car coti umai armoici multilu d. c Coxiua triughi siua î lugul laturilor triughiului st gala cu suma tsiuilor la borl laturilor triughiului rzultâd - tsiua itriorul triughiului coti umai armoici d ordi. casta tsiu stabilst u curt d circulati car va coti umai armoici multilu d. Cadril d tsiu î ficar di laturil triughiului fiid gal cu suma armoicilor multilu d, tsiuil la borl laturilor u vor coti armoicil multilu d. Îfasuraril altratoarlor trifazat s coctaza î sta, vitâdu-s coxiua triughi di cauza curtului d circulati c oat îcalzi îfasuraril chiar la o fuctioar î gol a altratorului. Curtul d lii gal cu difrta a doi curti di laturil triughiului u coti armoici multilu d.