HULGATEOORIA ELEMENTE

HULGATEOORIA ELEMENTE Teema 2.2. Hulga elementide loendamine Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 1 / 31

Loengu kava 2 Hulga elementide loendamine Hulga võimsus Loenduvad ja kontiinuumi võimsusega hulgad Astmehulga võimsus Kontiinuumihüpotees Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 2 / 31

Järgmine punkt 2 Hulga elementide loendamine Hulga võimsus Loenduvad ja kontiinuumi võimsusega hulgad Astmehulga võimsus Kontiinuumihüpotees Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 3 / 31

Hulga võimsus Hulga elemente ja nende erinevaid kombinatsioone on tarvis osata kokku lugeda, selleks et... osata ennustada teatud sündmuse esinemise tõenäosust;... hinnata ülesande lahendite ja lahendusteede arvu;... hinnata algoritmi või programmi keerukust (ressursivajadust);... otsustada teatud algoritmide (nt krüptograafiliste, kodeerimis- jne algoritmide) korrektsuse üle;... Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 5 / 31

Hulga võimsus Definitsioon Hulki A ja B nimetatakse võrdvõimsateks (tähistus A = B või A B), kui nende elementide vahel saab korraldada üksühese vastavuse. Definitsioon Hulga võimsus on võrdvõimsate hulkade ekvivalentsiklass, kuhu kuulub vaadeldav hulk. Definitsioon Hulga võimsust tähistavat sümbolit nimetatakse kardinaalarvuks. Lõpliku hulga kardinaalarvuks on selle hulga elementide arv: {a 1,...,a n } = n; lõpmatute hulkade kardinaalarvude korral kasutatatakse eritähiseid, nt ℵ 0 tähistab loenduvat võimsust ja ℵ 1 kontiinuumi võimsust. Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 6 / 31

Lõpliku hulga võimsus B 15 A = B = 5 A 3 77 12 5 2 14 0 6 50 Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 7 / 31

Lõpliku hulga võimsus B 15 A 3 77 12 A = B = 5 f : A B b = f (a) = 3(a 2) 5 2 14 0 6 50 Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 8 / 31

Lõpliku hulga võimsus B 15 A 3 77 12 A = B = 5 f : A B b = f (a) = 3(a 2) 5 14 2 50 0 6 2 C 0 A = B > C = 3 g : B C c = g(b) = b MOD 4 3 Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 9 / 31

Lõpliku hulga võimsus B A = B = 5 A 77 15 3 12 f : A B b = f (a) = 3(a 2) 5 14 2 50 D 0 6 2 C 0 A = B > C = 3 g : B C c = g(b) = b MOD 4 varblane vares kurg jaanalind 3 Hulgal D olgu defineeritud järjestus: varblane < vares < kurg < jaanalind D = { d 1 < d 2 < d 3 < d 4 } h : D C c = h(d) = i 1, kui d = d i ja i 2 A = B > D = 4 > C Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 10 / 31

Lõpliku hulga võimsus B A = B = 5 A 77 15 3 12 f : A B b = f (a) = 3(a 2) 5 14 2 50 D 0 6 2 C 0 A = B > C = 3 g : B C c = g(b) = b MOD 4 varblane vares kurg jaanalind 3 1 C 1 Hulgal D olgu defineeritud järjestus: varblane < vares < kurg < jaanalind D = { d 1 < d 2 < d 3 < d 4 } h : D C C c = h(d) = i 1, kui d = d i A = B > D = C Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 11 / 31

Lõpliku hulga võimsus Omadus Kui A on lõpliku hulga B pärisalamhulk (A B), siis A < B NB! See omadus ei kehti lõpmatute hulkade korral! Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 12 / 31

Lõpmatu hulga võimsus Definitsioon Hulka, mis on sama võimsusega nagu naturaalarvude hulk, nimetatakse loenduvaks hulgaks. Loenduvad on parajasti need hulgad, mis on esitatavad lõpmatu jadana A = {a 0,a 1,a 2,...}. Iga lõpmatu hulk sisaldab loenduvat alamhulka. Loenduva hulga iga lõpmatu alamhulk on samuti loenduv. NB! Hulka, mis on kas loenduv või lõplik, nimetatakse ülimalt loenduvaks hulgaks. Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 13 / 31

Lõpmatu hulga võimsus Loenduvate hulkade omadusi: 1 Loenduva hulga ja lõpliku hulga ühend on loenduv. 2 Kahe loenduva hulga ühend on loenduv. 3 Lõpliku hulga loenduvate hulkade ühend on loenduv. 4 Loenduva hulga paarikaupa erinevate lõplike hulkade ühend on loenduv. 5 Loenduva hulga loenduvate hulkade ühend on loenduv. 6 Ratsionaalarvude hulk on loenduv. 7 Kahe-, kolme jne mõõtmelise ruumi ratsionaalarvuliste koordinaatidega punktide hulk on loenduv Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 15 / 31

Lõpmatu hulga võimsus Teoreem Hulgad N ja (0,1) ei ole sama võimsusega. Tõestuse idee (Cantori diagonaliseerimise meetod 1891). Valime hulga (0, 1) elementidest lõpmatu jada r 0,r 1,..., millest igaühte saab esitada kümnendsüsteemis lõpmatu numbrite jadana: r 0 = 0,α 00 α 01...α 0j... r 1 = 0,α 10 α 11...α 1j................ r i = 0,α i0 α i1...α ij................ Moodustame arvu r = 0,β 0 β 1..., valides kümnendkohad selliselt, et β 0 α 00,β 1 α 11,...,β j α jj... See arv kuulub vahemikku (0,1), kuid on erinev jada r 0,r 1,... igast elemendist. m.o.t.t. Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 16 / 31

Lõpmatu hulga võimsus Järeldus 1 Reaalarvude vahemikud (0,1) ja (a,b) on sama võimsusega iga a < b korral. Vahemike elementide x (0,1) ja y (a,b) vahelise üksühese vastavuse saab korraldada näiteks lineaarteisendusega y = a + (b a)x Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 17 / 31

Lõpmatu hulga võimsus Järeldus 2 Reaalarvude hulk R ja vahemik (0, 1) on sama võimsusega. Järelduse 1 põhjal on vahemikud (0, 1) ja ( 1, 1) sama võimsusega. üksühene vastavus x ( 1,1) ja r R tuleneb seosest { x/(1 x), kui x [0,1); r = x/(1 + x), kui x ( 1,0). Geomeetriline interpretatsioon: x ( 1, 1) (1,1) x r r Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 18 / 31

Lõpmatu hulga võimsus Järeldus 2 Reaalarvude hulk R ja vahemik (0, 1) on sama võimsusega. Järelduse 1 põhjal on vahemikud (0, 1) ja ( 1, 1) sama võimsusega. üksühene vastavus x ( 1,1) ja r R tuleneb seosest { x/(1 x), kui x [0,1); r = x/(1 + x), kui x ( 1,0). Geomeetriline interpretatsioon: x r Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 18 / 31

Lõpmatu hulga võimsus Järeldus 2 Reaalarvude hulk R ja vahemik (0, 1) on sama võimsusega. Alternatiivne vastavus: r r = tan π 2 x x Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 19 / 31

Lõpmatu hulga võimsus Definitsioon Hulka, mis on sama võimsusega nagu reaalarvude hulk, nimetatakse kontiinuumi võimsusega hulgaks. kontiinuumi võimsuse tähiseks on ℵ 1. kontiinuumi võimsusega hulkade näited: Vahemik (a,b) ja lõik [a,b]; Samuti poollõigud (a,b] ja [a,b); Hulgad R n, kus n = 1,2,3,...; Kompleksarvude hulk C. Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 20 / 31

Omadus Kui A on (lõpmatu) hulga B pärisalamhulk (A B), siis A B Omadus ℵ 0 < ℵ 1 ehk N < R Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 21 / 31

Definitsioon Hulga A astmehulgaks nimetatakse tema kõigi alamhulkade hulka P(A) Teoreem Lõpliku n-elemendilise hulga astmehulga võimsus on 2 n Tõestuse idee 1: astmehulga moodustamiseks elementide valimise täielik otsustuspuu on n tasemega kahendpuu. Igal tasemel tehtavad otsustused on sõltumatud. Vt otsustuspuu näidet järgmisel slaidil. Tõestuse idee 2: alamhulkade sobiv loendamine (kodeerimine, indekseerimine, järjestamine) näitab, et alamhulkade arv on võrdne n-kohaliste kahendarvude hulga võimsusega. Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 23 / 31

Otsustuspuu hulga A = {a,b,c} astmehulga moodustamiseks + a S b S b S + + c S c S c S c S + {a,b,c} {a,b} + {a,c} {a} + {b,c} {b} + {c} Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 24 / 31

Alamhulkade järjestamise viise 1 Võimsuse järgi osaline järjstamine:,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c} 2 Leksikograafiline järjestamine: ε,a,ab,abc,ac,b,bc,c 3 Kodeerimine kahendarvudega / karakteristliku funktsioniga: Alamhulk Kahendkood Kümnendkood / indeks ε 000 0 c 001 1 b 010 2 bc 011 3 a 100 4 ac 101 5 ab 110 6 abc 111 7 Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 25 / 31

Hulga ja astmehulga võimsused Teoreem Hulga P(A) võimsus on suurem kui hulga A võimsus. Tõestus. Kui leiduks üksühene vastavus f : A P(A), siis defineeriksme hulga B = {x x / f (x)} Olgu b A selline element, et f (b) = B. Kui eeldada, et b B, siis b / f (b) ehk b / B. Kui eeldada, et b / B, siis b f (b) ehk b B. Mõlemal juhul vastuolu. m.o.t.t. Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 26 / 31

Naturaalarvude astmehulga võimsus Teoreem Naturaalarvude hulga alamhulkade hulk on sama võimsusega nagu reaalarvude hulk, st P(N) R. Tõestus. Piisab tõestada, et P(N) [0, 1). Naturaalarvude hulga igale alamhulgale A seame vastavusse reaalarvu 0, i 0 i 1 i 2..., kus i k = 1 või i k = 0 vastavalt sellele, kas k A või k / A. Reaalarvule x [0, 1) seame vastavusse alamhulga, mis sisaldab või ei sisalda elementi k vastavalt sellele, kas lõigu [0, 1) k-ndal pooleksjagamisel jääb arv x esimesse või teise poolde. Teoreemi väide järeldub Schröder Bernsteini teoreemist m.o.t.t. Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 27 / 31

Võimsuste hierarhia Vastavalt Cantori teoreemile on hulgad N, P(N), P(P(N)),... järjest suurenevate võimsustega hulgad. Nende hulkade ühend on veelgi suurema võimsusega. M = N P(N) P(P(N))... Hulgad M, P(M), P(P(M)),... on jällegi järjest suurenevate võimsustega hulgad jne. Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 28 / 31

Kontiinuumihüpotees (G. Cantor, 1877) Ei leidu hulka, mis oleks võimsam kui N, kuid vähem võimas kui R. 1939. a tõestas Austria matemaatik Kurt Gödel, et kontiinuumihüpoteesi eitus (vahepealsete võimsuste olemasolu) ei järeldu hulgateooria aksioomidest (Zermelo-Fraenkeli aksioomid + valikuaksioom). Kurt Gödel Paul Cohen (1906 1978) (1934 2007) 1963. a tõestas Ameerika matemaatik Paul Cohen, et kontiinuumihüpotees (vahepealsete võimsuste puudumine) ei järeldu hulgateooria aksioomidest. Seega kontiinuumihüpotees on hulgateooria muudest aksioomidest sõltumatu. Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 30 / 31

Üldistatud kontiinuumihüpotees Ühegi hulgast S võimsama hulga võimsus ei ole väiksem kui P(S). Järeldus Kui kontiinuumihüpotees kehtib, siis ℵ 1 = 2 ℵ 0. Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 31 / 31