Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval compact);. funcţia :[ ] este mărginită pe[ ]. Vom renunţa pe rând la cele două condiţii şi vom defini integralele iemann în sens generalizat sau integrale improprii. Se impun astfel două generalizări: prima când funcţia este definită pe interval nemărginit şi, cea de-a doua, când funcţia este nemărginităpe[ ]. Sensul geometric al noului concept de integrală este determinat de calculul ariilor unor mulţimi din plan mărginite de graficul unei funcţii, asimptote orizontale, asimptote verticale, drepte paralele cu şi axa. Acest nou concept de integrală sevanumiintegrală improprie sau integrală generalizată. 4.. Integrale cu ite de integrare infinite Fie :[ ) ofuncţie dată, integrabilă iemann pe orice interval compact [ ] cu. Definiţia 4. Numim integrala improprie de la la din funcţia ita () dacă această ită există. În cazul existenţei itei notăm (finită saunu). Z () = () (4.) Definiţia 4. Integrala improprie () se numeşte integrală improprie convergentă dacă ita (4.) există şi este finită. În acest caz notăm () () 47
48 CAPITOLUL 4. INTEGALE IMPOPII Definiţia 4.3 Integrala improprie () se numeşte integrală improprie divergentă dacă ita (4.) nu există sauesteinfinită. În acest caz notăm () () Analog se defineşte: Definiţia 4.4 Fie :( ] o funcţie dată, integrabilă iemann pe orice interval compact [ ] cu.numimintegrala improprie de la la din funcţia ita () dacă această ită există. În cazul existenţei itei notăm Z () = Z () () se numeşte integrală improprieconver- (finită sau nu). Definiţia 4.5 Integrala improprie gentă dacă ita Z () = Z () (4.) există şi este finită. În acest caz notăm () () Definiţia 4.6 Integrala improprie () se numeşte integrală improprie divergentă dacă ita(4.)nuexistă sau este infinită. În acest caz notăm () () Definiţia 4.7 Fie : ofuncţie dată, integrabilă iemann pe orice interval compact [ ] cu.numimintegrala improprie de la la din funcţia ita (finită sau nu). () dacă această ită există. () = În cazul existenţei itei notăm Z ()
Definiţia 4.8 Integrala improprie () se numeşte integrală improprieconvergentă dacă ita () = există şi este finită. În acest caz notăm 49 Z () (4.3) () () Definiţia 4.9 Integrala improprie () se numeşte integrală impropriedivergentă dacă ita (4.3) nu există sau este infinită. În acest caz notăm () () Vom considera cazul integralelor improprii de la la () celelalte tipuri analizânduse similar. Aceste integrale se numesc integrale improprii de speţa întâi. Modul de calcul: dacă putem determina o primitivă afuncţiei fie o primitivă a lui pe intervalul [ + ) Scriem Z () = () () ezultă că integrala este convergentă dacă şi numai dacă există şi este finită () Valoare integralei va fi () = () () Exerciţiul 4. Integrala este convergentă. ezolvare. Fie () = Oprimitivăaacesteiaeste () = Atunci ()+() () = = deci Graficul funcţiei () = este Z Z = + = =
5 CAPITOLUL 4. INTEGALE IMPOPII y.5..5..5-3 4 5 x Pe orice interval [] funcţia este integrabilă, dar când aria cuprinsă între graficul funcţiei, axa, =şi este mărginită. Exerciţiul 4. Integrala este divergentă. ezolvare. Fie () =. O primitivă a acesteia este () = Atunci () () () = = deci Graficul funcţiei () = este Z = = Z = y 5 5-3 4 5 x Pe orice interval [] funcţia este integrabilă, dar când aria cuprinsă între graficul funcţiei, axa, =şi devine nemărginită. Exerciţiul 4.3 Integrala este convergentă. + ezolvare. Graficul funcţiei () = + este
5 y..8.6.4. Deci 3 4 5 6 x Z Pe orice interval []funcţia este integrabilă, iar = + (arctg ) = 4 + = 4 Exerciţiul 4.4 Integrala Z + sin este divergentă, deoarece Z sin = cos şi nu există cos. + Exerciţiul 4.5 Fie ( ) şi Atunci integrala şi numai dacă este convergentă dacă ezolvare. Fie 6= Atunci Z = = µ = finit Dacă = atunci Z = (ln ln ) = Dacă atunci Z µ = =.
5 CAPITOLUL 4. INTEGALE IMPOPII Criterii de convergenţă pentru integrale improprii de speţa întâi din funcţii cu semn constant Presupunem căfuncţia păstrează semn constant pe [ ) Presupunem că () [ ) Observaţia 4. Dacă () [ ) atunci funcţia () = crescătoare [ ) Într-adevăr, dacă atunci () = () () + () = () () este monoton Deci pentru integrale improprii din funcţii pozitive convergenţa este echivalentăcumărginirea lor. Teorema 4. Criteriul de comparaţie. Fie () () [ ) a) Dacă () () atunci integrala () () b) Dacă () () atunci integrala () () Demonstraţie. a) Folsind inegalitatea () () [ ) şi faptul din că () () împreună cuobservaţia 4. rezultă că pentru orice avem () () b) Din inegalitatea () () şi folosind faptul că () () () este nemărginită în raportcu rezută că () este nemărginităîn raport cu deci () () Exerciţiul 4.6 Să sestudiezenaturaintegralei ezolvare. Observăm că [ ) Dar este convergentă (exerciţiul 4.), rezultă, conform criteriului comparaţiei că () Exerciţiul 4.7 Să se studieze convergenţa integralei + 4
ezolvare. Fie () = ezultă că + pentru orice [ ) 4 4 Z Dar = 4 3 3 = 3 + 3 ezultă căintegrala + 4 Observăm că 4 + 4 pentru orice [ ) µ 3 + 3 = 3 Z este convergentă şi în plus +4 4 = 3 + 4 3 53 Exerciţiul 4.8 Să se studieze convergenţa integralei ezolvare. Deoarece Dar Z = = ³ = deci integrala este diver- gentă. La fel este şi [ ) Teorema 4. Criteriul în Fie funcţia :[ ) şi () oricare ar fi [ ) Fie () = cu (4.4) Dacă pentru valoarea lui este atunci () este convergentă. Dacă valoarea lui este 6= integrala () este divergentă. Demonstraţie. Dacă condiţia (4.4) este îndeplinită rezultăcă pentru : () ceea ce implică () + ezultă că pentru [ ) avem () + şi pentru rezultă că
54 CAPITOLUL 4. INTEGALE IMPOPII () ( + ) () este convergentă. Dacă şi 6= rezultă că () deci () ( ) () este divergentă. Nedeterminări:. şi =. şi = Exerciţiul 4.9 Să sestudiezenaturaintegralei este convergentă şi conform criteiului comparaţiei este divergentă şi conform criteiului comparaţiei 5 + ezolvare. Se poate aplica criteriul în () = 5 + = pentru = 5 deci integrala este convergentă. Exerciţiul 4. Să sestudiezenaturaintegralei ( +) ezolvare. Observăm că () =( +) [ ) Se poate aplica criteriul în () = ( +) = (+) = Deoarece ita este zero, observăm că, pentru (conform criteriului în punctul a)), integrala este convergentă. Nu poate fi luat deoarece ita este zero. arctg Exerciţiul 4. Să sestudiezenaturaintegralei ezolvare. Observăm că () = arctg arctg [ ) = (funcţia nu este nemărginităîn = ). Se poate aplica criteriul în () = arctg = arctg = pentru = deci integrala este divergentă. Definiţia 4. Integrala improprie () se numeşte absolut convergentă dacă () este convergentă. În acest caz notăm () ()
Teorema 4.3 Dacă () este absolut convergentă, atunci ea este convergentă. ( ) Afirmaţia rezultă din observaţia că () () trecând la ităşi folosind criteriul de comparaţie. Exerciţiul 4. Să sestudiezenaturaintegralei cos ezolvare. Funcţia () = cos are semn variabil pe [ ) Vom demonstra că integrala este absolut convergentă, deci convergentă. Pentru aceasta observăm că areloc majorarea () cos = cos [ ) Dar () conform criteriului comparaţiei pentru funcţii pozitive, rezultă că cos este convergentă, deci cos () Studiem convergenţa integralei improprii a produsului a două funcţii, 55 ()() în anumite condiţii particulare pentru şi ezultatele cele mai seminificative sunt date de criteriile lui Dirichlet şi Abel. Teorema 4.4 Criteriul lui Dirichlet. Dacă a) () este mărginităîn raport cu [ ) b) () =şi este monotonă pe[ ) atunci ()() este convergentă. Exerciţiul 4.3 Să se studieze convergenţa integralei integrala lui Dirichlet). sin ( sin se numeşte sin ezolvare. Integrala nu este improprie în deoarece Aplicăm criteriul lui Dirichlet. Fie () =sin () = Z () = Z sin = cos deci mărginită pentru orice = Este improprie în () = =() = este monoton descrescătoare pe ( ) Condiţiile criteriului lui Dirichlet sunt satisfăcute, deci integrala este convergentă.
56 CAPITOLUL 4. INTEGALE IMPOPII Teorema 4.5 Criteriul lui Abel. Dacă a) () este convergentă b) este monotonă şi mărginită pe[ ) atunci ()() este convergentă. Exerciţiul 4.4 Să se studieze convergenţa integralei ezolvare. = deci este convergentă. () = este monoton descrescătoare şi mărginită, [ ) Putem aplica criteriul lui Abel şi integrala este convergentă. 4.. Integrale improprii definite de funcţii nemărginite pe intervalul de integrare Putem da sens noţiunii de integralădefinităchiardacăfuncţia are ite infinite în puncte din intervalul [ ] Studiem cazul Deoarece putem scrie Z () = Z () Z Z () () cu () = putem considera că are ităinfinităînpunctul = adicădreapta = este asimptotă verticală lagraficul funcţiei Definiţia 4. Fie :[ ) ofuncţie cu () =± integrabilă pe[ ] pentru orice Numim integrală improprie de la la valoarea % ită există. În caz de existenţă se notează Z () = % Z () (finită saunu). Z () dacă această Definiţia 4. Fie :[ ) ofuncţie cu () =± integrabilă pe[ ] pentru orice Dacă % Z () există şi este finită, vom spune că integralaimproprie
57 Z () este convergentă şi vom nota Z () (C) Definiţia 4.3 Fie :[ ) ofuncţie cu () =± integrabilă pe[ ] pentru % orice Dacă % Z Z () este divergentă şi vom nota () este infinită sau nu există, vom spune că integrala improprie Z () (D) Analog dacă () = atunci vom nota % Z Z () = () % Aceste integrale se numesc integrale improprii de speţa a doua. Modul de calcul: dacăputemdeterminaoprimitivăafuncţiei atunci fie o primitivă alui pe intervalul [ ) Scriem convergentă dacă şi numai dacă există şi este finită Z () = % () () Z () = () () ezultă că integrala este () Valoare integralei va fi Exerciţiul 4.5 Să se studieze convergenţa integralei ezolvare. Graficul funcţiei () = y 6 4 ( ) Z ( ) - 3 x Funcţia () = este nemărginităîn = ( ) O primitivă a acesteia este () = Studiem convergenţa integralei.
58 CAPITOLUL 4. INTEGALE IMPOPII Calculăm µ Z ( ) = = + = deci integrala este divergentă. Exerciţiul 4.6 Să se studieze convergenţa integralei Z y.8.6.4...8..5..5. ezolvare. Funcţia de sub integrală, () = x este nemărginită în = Studiem convergenţa integralei. O primitivă aacesteiaeste () =. Calculăm Z = = + = deci integrala este convergentă. Exerciţiul 4.7 Integrala Z ( ) este convergentă pentru şi divergentă pentru ezolvare. Fie () = ( ) Dacă funcţia este nemărginităîn punctul = Studiem convergenţa integralei. O primitivăaacesteiaeste () = ( ) + ( ) + Dar ( ) + = = ( ) + + ( ) + dacă 6= ½ pentru pentru Z ( ) =
Z Deci ( ) este convergentă pentru şi divergentă pentruîn acest ultim caz punctul se numeşte punct singular. Pentru = Z =ln( ) =ln( ) ln( ) şi ln( ) = deci integrala este divergentă. 59 Exerciţiul 4.8 Să se studieze convergenţa integralei 3 y ezolvare. Considerăm funcţia () = definită pe( ) 3 Graficul funcţiei este 5 5..5..5. x Observăm că intervalul de integrare este nemărginit iar funcţia este nemărginită în = Scriem integrala sub forma: Z 3 = Z 3 + 3 este o integralăimpropriedespeţa a doua, iar 3 = + µ + + = Această integralăestediver- de speţa întâi. Z = 3 gentă. Z = 3 este o integralăimproprie 3 = + Z µ = 3 + = Această integrală
6 CAPITOLUL 4. INTEGALE IMPOPII este convergentă. Integrala este divergentă. 3 Exerciţiul 4.9 Să se studieze convergenţa integralei Z p Z & ezolvare. Z p = Z p + Z p = Z + = % + & = ³ + Z == % Z + Integrala este convergentă. Adesea este important de ştiut dacă o integrală improprie este convergentă, chiar dacă nu putem calcula valoarea sa exactă. De exemplu, înainte de a aproxima numeric o astfel de integrală trebuie stabilit dacă ea este sau nu convergentă. Criterii de convergenţă pentru integrale improprii de speţa a doua din funcţii cu semn constant pe intervalul considerat Teorema 4.6 Criteriul de comparaţie. Fie funcţiile :[ ) integrabile pe [ ] pentru orice şi () () oricare ar fi [ ) a) Dacă Z () () atunci integrala Z () () b) Dacă Z Z () () atunci integrala () () Teorema 4.7 Criteriul în pentru integrala improprie în Fie funcţia :[ ) şi () oricare ar fi [ ) cu % () = Dacă % ( ) () = (4.5) atunci a) Dacă atunci b) Dacă şi 6= integrala Z Z () este convergentă. () este divergentă.
Demonstraţie. a) Dacă condiţia (4.5) este îndeplinită existăunumăr astfelîncât pentru orice [ ) săavem ( ) () + ( ) Dacă avem Z () Z + ( ) = + ( ) Z () () b) Dacă şi 6= atunci avem () ( ) deci Z Z () ( ) = Z ( ) = ()() Teorema 4.8 Criteriul în pentru integrala improprie în Fie funcţia :( ] şi () oricare ar fi ( ] cu () = Dacă atunci a) Dacă atunci + + ( ) () = (4.6) Z () este convergentă. 6 b) Dacă şi 6= integrala Z () este divergentă. Exerciţiul 4. Să se studieze convergenţa integralei 4 ezolvare. Funcţia () = este nemărginităînvecinătatea lui =Observăm 4 că () [ ) Aplicăm criteriul în ( ) = 4 = deci integrala este convergentă. ( ) ( ) Exerciţiul 4. Să se studieze convergenţa integralei ( + ) + = pentru ctg ezolvare. Funcţia () =ctg este nemărginită în vecinătatea lui = Observăm că () Aplicăm criteriul în cos + sin = pentru = rezultă că integrala este divergentă.
6 CAPITOLUL 4. INTEGALE IMPOPII Exerciţiul 4. Să se arate că funcţia Γ Γ() = este convergentă pentru şi divergentă pentru ezolvare. Putem scrie Γ() = Z + Considerăm integrala Z Pentru integrala care este o integralăimpropriedespeţaadouapentru Z este o integrală definită. În cazul aplicăm criteriul 4.7 şi obţinem este finită dacă + Pentru convergenţă trebuie ca Integrala integrală improprie de speţa întâi. Obdervăm că () = [ ) () = = Proprietăţi ale funcţiei Γ. Γ () =. Γ ( +)=Γ () 3. Γ ( +)=! N = pentru orice Exerciţiul 4.3 Să searatecăfuncţia ( ) = Z ( ) este convergentă pentru şi divergentă pentru ezolvare. Pentru > > funcţia de sub integrală :[] () = ( ) este mărginită şi continuă pe[], deci ( ) este o integrală iemann. Pentru şi > funcţia ( ) :(] () = este nemărginităîn = deoarece () = ( ) =+ Deci ( ) este,în acest caz, o integrală impropriedespeţa a doua. Aplicăm criteriul în
63 ( ( ) ) pentru = = integrala ( ) esteconvergentă. Pentru > şi funcţia de sub integrală :[) () = este nemărginităîn = deoarece ( ) () = =+ ( ) Deci ( ) este,în acest caz, o integrală improprie de speţa a doua. Aplicăm criteriul în ( ) pentru = ( ) = integrala ( ) esteconvergentă. Pentru şi funcţia de sub integrală :() () =,estenemărginită şi în =şi în = ( ) Definiţia 4.4 Integrala improprie () se numeşte absolut convergentă dacă este convergentă. Teorema 4.9 Dacă () este absolut convergentă, atunci ea este convergentă. Teorema 4. Criteriul lui Dirichlet. Dacă () este mărginităîn raport cu [ ) a) b) () =şi este monotonă pe[ ) % atunci ()() este convergentă. Teorema 4. Criteriul lui Abel. Dacă a) () este convergentă atunci b) este monotonă şi mărginită pe[ ) ()() este convergentă. Exerciţiul 4.4 Să se studieze convergenţa integralei Z ln + ezolvare. Aplicăm criteriul lui Abel. Considerăm () =ln Z ln = Z () () ln = Z ln ln = deoarece ln = =
64 CAPITOLUL 4. INTEGALE IMPOPII () = + monoton descrescătoare, rezultă că integrala improprie este convergentă.