± ª,»±+ª± ª + ² ª± ³ ª ³

± ª,»±+ª± ª + ² ª± ³ ª ³,üù ù!."0.û0 "0Œ!. *.!./.Œ!"0.û.*.0*! "#Œ.Œ) ù! #0f i Y L, i,,... k Y ò$ #0f +f +... +f k Y Y Y N + + + Y + Y + + Y N Y Y Y Y Y Y B ù û ú ú. " " ",üù. ü.fï[ x + 6x í 9 Œ!) "fï[.0. Œ.. í + X fï + 0 0 + +I$0 Œ)! í. Œ)0$!.!Œ0 f(í) f(). í. í. í.. í.í. í.í.. í

!#)"0. ""f 0.fï[ [ + 6x í,üù R"!)Œ "!+# x + 6x í 9 0.!$00$. [ [. "!)Œ ",.! *0.fï[$00$ ü.fï[ï Iïï[ [ Œ!) "fï[ï0. X í í + (fï[ï 0 + +.x!#)"0. ""f 0.0$ ". ü. ù ú ù ù ú ù ù úù ú $ + ü. úï ù úï úï ù úï ù ú ù ú % % ý *0Œ.).>ù ú ú ù@ ù *.0/0$)0.ù úú ù0..#...œ).œ) Œ! 0)) $ #0 >ù ú ú ù@ ù úú ù + % % $ +

,üù. ü. [ L + + + + [ 6, Y. \ L + + + + \ 7,6 Y 00.* #.! *&.!&.0. /.$/0".!)"&.!&0#0..Ö 0. /0" ñ!.ö, 0. /0" ù). 0 [ \) 0Œ.0*0 \Ö.Ö + Ö [ ïù!. 7,6.Ö +,.Ö 0,68 Œ)0 \Ö 0,68 +,x ü. 0% 8,0 þx 8,0.0 /.+>@" Œ)0Œ!)0% 0.0 \Ö 0,68 +, 8,0 9,7 ñ!..!)"&0.+00!0+ 0.0 0. /0" / þ0.#/00./#.).0.0 \Ö.Ö + Ö [ 0. 0) """Y.Œ)"

ù,þù ÿ ù+ üÿ+üÿ þùÿûüÿù,üù 0&!.,üù ü.(x) f(g(x)), g(x) lnx + x ï(x) f '(g(x)) g'(x), g'(x) [ +.+.[ Œ! *Œ #J J ) g'(x) [! û. J[/0 $0.-!).. OQK + + K + J OLP K K JK + J OLP K K g'() /0 \ [y x+.0œ0/0œ.0*0..œ)" #0.0" #ù0.!.0 :y x -. õ.0 \ [0&.&,üù.ü. f(. ). f( αi ) + + +... + ) ( ) i

ù I. ú I. )+f(. )/ + I. 6 60 6 f( α ) 0 / 6/ f i 8/ /. / /..... x i. Œ,üù ü.&)).0./ &&0.. 0 "#$)0"&.- $&0& 0./) # $&! # Œ # $.0 Œ *& #- $ & 0!). /0 0 " # /0. ".

. üœ0/ 0.! " " > $ #0 +0, 0 i 0 0 O 0 0 60 80 00 0 0 60 x i / 0 0 0 0 0 90+ 0, ü Œ!. *. + + + + + [

/ /. > Œ0!.0 # /0. " Œ0! $ Œ0!.0. %,% 0. *0 Œ ) 0. 0Œ *& $0+.! +#$ & 0þ.. Œ.! #0.!0!.#0!.

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. 00 ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΖΗΤΗΜΑ Ο Α. Σχολικό βιβλίο, σελίδα Β. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 8 ni 00 Γ.. n i fi % n i 00 n 00 n n s. Ξέρουµε (σχολικό βιβλίο, σελίδα 96) ότι CV. Όµως x ( ) + ( ) + ( ) + 0 + + + 0 x 0. 7 7 Εποµένως ο συντελεστής µεταβλητότητας δεν ορίζεται.. Από την εφαρµογή του σχολικού βιβλίου, σελίδα 99, προκύπτει: x' a x + b, s' a s.. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 70: 0 60 ai ni 60 fi n. Η ζητούµενη µέση επίδοση είναι ο ακόλουθος σταθµικός µέσος: 6 8 +, + 7 0,7 8 + 9, +,9 9,,9 8 +, + 0,7 0 0 Ε. Ξέρουµε (σχολικό βιβλίο, σελίδες 7, 8) ότι, αν u η ταχύτητα και α η επιτάχυνση του κινητού, τότε u( t) x '( t) και a( t) u '( t) x ''( t). Άρα, στη συγκεκριµένη περίπτωση, θα είναι: u( t) x'( t) t t και a( t) x ''( t) u '( t) t και επειδή t 0, θα είναι a( t ) < 0. Εποµένως, η ταχύτητα του φορτηγού µειώνεται. ΖΗΤΗΜΑ ο. Έστω x, y οι δύο ζητούµενες (εκατοστιαίες) σχετικές συχνότητες των κλάσεων [,6) και [6,8) αντίστοιχα. Ξέρουµε ότι f i % 00 και παρατηρούµε ότι το άθροισµα των δοσµένων σχετικών συχνοτήτων είναι 8. Άρα θα ισχύει x + y 00 8. Εξάλλου, από υπόθεση, έχουµε ότι y x. Λύνοντας το σύστηµα βρίσκουµε x, y. Άρα οι ζητούµενες σχετικές συχνότητες είναι % και % αντίστοιχα.. Αθροίζοντας τις δοσµένες σχετικές συχνότητες του πίνακα, βλέπουµε ότι βαθµό µεγαλύτερο ή ίσο του 0 έχει πάρει το (6++++)%60% των υποψηφίων. Από υπόθεση, αυτό το ποσοστό αντιστοιχεί σε πλήθος 87 ατόµων. Άρα, το ζητούµενο 00 συνολικό πλήθος των υποψηφίων θα είναι: 87 90 60 υποψήφιοι.

. Από τον πίνακα βλέπουµε ότι, βαθµό µεγαλύτερο ή ίσο του και µικρότερο του, 6 έχει πάρει το ( + )% % των υποψηφίων. Άρα, το ζητούµενο πλήθος είναι το % του συνόλου, δηλαδή 90 968 υποψήφιοι. 00. Θεωρούµε τα ενδεχόµενα Α: «ο υποψήφιος είναι της θεωρητικής κατεύθυνσης», Β: «ο υποψήφιος είναι της θετικής κατεύθυνσης» και «Τ: «ο υποψήφιος είναι της τεχνολογικής κατεύθυνσης». Αναζητούµε την πιθανότητα του ενδεχοµένου «ο µαθητής προέρχεται, είτε από τη θεωρητική, είτε από την τεχνολογική κατεύθυνση», δηλαδή την P(Α Τ). Από υπόθεση είναι P(A)0, και P(T)P(B). Εξάλλου, γνωρίζουµε ότι P(A)+P(B)+P(T). Άρα έχουµε: 0,66 0, + P( B) + P( B) P( B) 0,66 P( B) P( B) 0, Εποµένως είναι P( T) P( B) 0,. Τα ενδεχόµενα Α και Τ είναι ασυµβίβαστα, αφού κάθε µαθητής µπορεί να έχει επιλέξει µόνο µία κατεύθυνση σπουδών. Με εφαρµογή του απλού προσθετικού νόµου, έχουµε: P( A T) P( A) + P( T ) 0, + 0, 0,78. Το πλήθος των υποψηφίων της θετικής κατεύθυνσης είναι 0, 90 086, 086 υποψήφιοι. ΖΗΤΗΜΑ ο. Θεωρούµε τα ενδεχόµενα Κ: «το νόµισµα έφερε κεφάλι» και Γ: «το νόµισµα έφερε γράµµατα». Με δεντροδιάγραµµα, βρίσκουµε το δειγµατικό χώρο Ω του πειράµατος τύχης: Ω{ΚΚ, ΚΓ, ΓΚ, ΓΓ}. Το ενδεχόµενο Α: «να φέρουµε τουλάχιστον µία φορά κεφάλι» είναι το Α{ΚΚ, ΚΓ, ΓΚ}. Άρα, για την πιθανότητα να συµβεί το Α, N( A) έχουµε:. N( Ω). Κατ` αρχάς, αντικαθιστούµε στον πίνακα (στις τιµές της µεταβλητής y i ) τις τιµές των P(A)/, P(A')-// και P(Ω) οπότε ο πίνακας συχνοτήτων γίνεται: Τιµές µεταβλητής y i Απόλυτες συχνότητες n i x x x α. Από τον ορισµό της µέσης τιµής έχουµε: x + x + x x + x 6x + x y 8 8 8 β. Θεωρούµε τη συνάρτηση 8 f ( x), x R 0, y 6x + x 6x + x 8

Η f είναι παραγωγίσιµη στο πεδίο ορισµού της (ως ρητή συνάρτηση) και η παράγωγός της δίνεται από τον τύπο: x + f '( x) 8 (6 ) x + x Τώρα έχουµε: f '( x) 0 x + 0 x x και f '( x) 0 8 (x + ) 0 x + 0 x. Άρα έχουµε τον ακόλουθο πίνακα: x -/ -/ 0 f '( x ) + + 0 - - f ( x) Τ.Μ Εποµένως, η f παρουσιάζει τοπικό µέγιστο, για x, το 8 8 8 8 6 f ( ) 6 6 ( ) + ( ) 6 8 8 ΖΗΤΗΜΑ ο f '( x) [( P( A)) x (7 P( A) ) x x ln x + P( B)]'. [ P( A)] x 7 P( A) + ln x. Από υπόθεση έχουµε f '() 0, οπότε προκύπτει η δευτεροβάθµια εξίσωση: [ ( )] 7 ( ) 0 P A P A +. Έχουµε και, τελικά, 7 +, απορ. αφου 0 P( A) 6 6 P( A). Άρα, τελικά, P( A ). 7, δεκτη τιµη 6 6. Για P( A ), ο τύπος της συνάρτησης γίνεται 7 f ( x) x ( ) x xln x + P( B) x + x x ln x + P( B), οπότε 9 9 f () + + P( B) (αφού ln0). Όµως, από υπόθεση, f (), άρα έχουµε: 9 6 7 + + P( B) + + P( B) P( B). Έστω ότι τα Α, Β 9 6 6 6 6 6 είναι ασυµβίβαστα. Τότε θα ισχύει P( A B) P( A) + P( B) + >, άτοπο, αφού 0 P( A B). Άρα τα Α, Β δεν είναι ασυµβίβαστα.

. P( A B) P( A B) P( A), ισχυει αφου A B A P( A B) ΚΑΙ P( A B) P( A) + P( B) P( A B) P( A B) P( A B), που ισχυει

ΘΕΜΑ ο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. 00 ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ α. Σχολικό βιβλίο σελίδα. Η παράγωγος αθροίσµατος. β. Λ Σ Λ Λ γ. x ' - x -8 R' max' min' min+max(max min)r0 s' c s s δ. Σχολικό βιβλίο σελίδα. (ο σχετικός πίνακας). ΘΕΜΑ ο α. Με το πίνακα διπλής εισόδου ή το δεντροδιάγραµµα του πειράµατος βρίσκουµε Ω{ΚΜ, ΚΜ, ΚΜ, Μ Κ, Μ Μ, Μ Μ, Μ Κ, Μ Μ, Μ Μ, Μ Κ, Μ Μ, Μ Μ } β. Α {Μ Μ, ΜΜ, Μ Μ, Μ Μ, Μ Μ, Μ Μ } Β { ΚΜ, ΚΜ, ΚΜ, ΜΚ, Μ Κ, Μ Κ} Γ { } γ. Επειδή η αφαίρεση των σφαιρών γίνεται τυχαία ( δες σελίδα 0 Σχόλιο), τα απλά ενδεχόµενα του Ω είναι ισοπίθανα, οπότε από τον κλασικό ορισµό των πιθανοτήτων έχουµε: Ν(Α) 6 Ρ(Α) 0, Ν(Ω) Ν(Β) 6 Ρ(Β) 0, Ν(Ω) και Ρ(Γ)Ρ( )0 δ. ΜΑΥΡΕΣ ΣΦΑΙΡΕΣ ΜΑΥΡΗ ΣΦΑΙΡΑ ΘΕΜΑ ο Α. Έχουµε: f '(x) (x x+)' x και f '(x)0 x 0 x/ f '(x)>0 x >0 x>/ f '(x)<0 x <0 x</ Eποµένως, (κριτήριο ης παραγώγου) η f παρουσιάζει ελάχιστο στο IR για x o / το f +

ti ( ) ( ) ( ( ) 0 Β. α) Έχουµε x i Ρ Α + Ρ Α + Ρ + Ρ Ω + + Ø). ιατάσσουµε τις παρατηρήσεις σε αύξουσα σειρά Είναι Ρ( ) 0, Ρ(Α), Ρ(Α' ), Ρ(Ω) ή Ρ( )0, Ρ(Α'), Ρ(Α), Ρ(Ω) Σε κάθε περίπτωση η διάµεσος, ως το ηµιάθροισµα των δύο µεσαίων παρατηρήσεων, ισούται µε Ρ( Α) + Ρ( Α ) δ β) Είναι s ( t i x) i ( Ρ( Α) - ) + ( Ρ( Α') - ) + (- ) ( Ρ( Α) - ) + (- Ρ( Α') - )... [ Ρ ( Α) - Ρ( Α) + ] γ. Είναι s f (P(A) ) Από το α ερώτηµα έχουµε: s s s 8 CV x 8 + ( Ρ(0) - ) + (- ) + ( Ρ( Ω) - ) s 8 και η ισότητα ισχύει όταν Ρ(Α)/. Έτσι, Ώστε, είναι CV και η ισότητα ισχύει, όταν Ρ(Α)/, που δίνει Ρ(Α') Ρ(Α) ½, δηλαδή, ισοδύναµα, όταν Ρ(Α)Ρ(Α') ΘΕΜΑ ο Α. Έστω, x η συχνότητα της πρώτης κλάσης και y της τρίτης κλάσης. Για τα κέντρα και τις συχνότητες των κλάσεων έχουµε: x i ν i x x y x ΣΥΝΟΛΟ 9x+y Σxi νi -x -x+ y+ x 9x+ y Είναι: x ν 9x+ y 9x+ y

B. α) Με y x, από τον τύπο f i % i 00% βρίσκουµε x f % 0x 00%0% x f % 0x 00%0% x f % 0x 00%0% x f % 0x 00%0% Έτσι, συµπληρώνουµε την τέταρτη στήλη του δοσµένου πίνακα. Το ιστόγραµµα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων και το ζητούµενο πολύγωνο φαίνονται στο επόµενο σχήµα. Fi% 00 0, 0 0 - - 0 0, x i β) Η διάµεσος αντιστοιχεί στην παρατήρηση, που έχει αθροιστική συχνότητα 0%. Έτσι, είναι η τετµηµένη του σηµείου του πολυγώνου των αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων, που έχει τεταγµένη 0. Bρίσκουµε δ 0 C. γ) Το ποσοστό των ψυγείων µε θερµοκρασία µικρότερη ή ίση της τιµής 0, 0 C είναι η αθροιστική συχνότητα της τιµής 0, 0 C. Από το σχήµα του Βα ερωτήµατος το εκτιµάµε σε,%. Εποµένως το ( 00, )% 7,% των ψυγείων έχει θερµοκρασία µεγαλύτερη από 0, 0 C.

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 00 ε π α ν α λ η π τ ι κ ά θ έ µ α τ α 0 0 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ο Θέµα Α. i) Σχολ. βιβλίο σελ. 6 ii) Σχολ. βιβλίο σελ. Β. Σχολικό βιβλίο σελ. 6 Γ. (Λ), (Σ), αφού για i, είναι (Λ), (Σ), (Λ) N + 0 ο Θέµα α) Για x είναι: οπότε x ( ) F x ( t s)( x ) ( ) ( ) lim F x F x ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) κ υποθ. x ( )( )( ) ( ) t s x x + t s x x + x x + x α. ερωτ. lim t s x + s ( t s)( + ) s t s 6 s β) Η F είναι συνεχής, t s ( είναι s > 0, άρα t< 0 ) s t s t CV 0, %. Εποµένως, το δείγµα των τιµών t, t,..., t 00 της µεταβλητής T δεν είναι οµοιογενές. ( t s)( x )( x + ) ( t s)( x ) + x

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 00 β.ερωτ. γ) H g ορίζεται στο [0,+ ) αφού t s s s 6 s 0 (από υπόθεση) Για χ είναι και οπότε έχουµε ( ) α.ερωτ. ( t s)( x + ) F x g( x) x + t s t s g + + g ( x), x και Η εφαπτοµένη (ε): y λx+ β στο Α έχει λ ( ) y g x + β y x + β. g (). g, έτσι γίνεται: 9 Επειδή το A,g ανήκει στην (ε): yx+β, είναι + β β, εποµένως (ε): 9 y x+ ο Θέµα α) Το ποσοστό των αυτοκινήτων µε κυβισµό µικρότερο από.00κ.εκ. είναι Όµως 00.000 00%,%. 00% 9%,% είναι το ποσοστό των αυτοκινήτων µε κυβισµό µικρότερο από x Άρα s. x s.00 () Το ποσοστό των αυτοκινήτων µε κυβισµό µικρότερο από.000κ.εκ. είναι.60 00% 8%..000 s x s x s x s x x + s x + s x + s 68% 9% 99,7% s

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 00 Όµως 00% 68% 8% 00% είναι το ποσοστό των αυτοκινήτων µε κυβισµό µικρότερο από x Άρα + s. x+ s 000 () Οι σχέσεις (), () δίνουν το σύστηµα x s 00 s 00. x + s 000 x 800 Ώστε: x.800κ.εκ., s 00κ.εκ. και, τέλος, R 6 s.00κ.εκ.. β) Έστω τα ενδεχόµενα: Α: το αυτοκίνητο έχει κινητήρα µε κυβισµό µικρότερο από.00κ.εκ. Β: το αυτοκίνητο έχει κινητήρα µε κυβισµό µεγαλύτερο από.000κ.εκ. Ζητάµε την πιθανότητα Ρ(Α Β) Το ποσοστό των αυτοκινήτων µε κυβισµό µικρότερο από 00κ.εκ. x s είναι 00% 99,7% 0,% ενώ αυτό των αυτοκινήτων µε κυβισµό µεγαλύτερο από 000κ.εκ. x+ s είναι 00% 68% 6%. Εποµένως Ρ(Α)0,% και Ρ(Β)6% Επειδή, προφανώς, τα ενδεχόµενα Α, Β είναι ασυµβίβαστα, η ζητούµενη πιθανότητα είναι Ρ(Α Β) Ρ(Α) + Ρ(Β) 0,% + 6%6,% γ) Έστω y i, i,,,,000, ο κυβισµός των κινητήρων µετά την επισκευή. Είναι y i x i + 0,06x i,06 x i, i,,,,000, οπότε ( βλέπε εφαρµογή σελίδα 99 σχολικού βιβλίου) και άρα y,06 x,06 800 908κ.εκ s y,06s,06 00 κ.εκ. x s y 9 (κ.εκ). Το εύρος των νέων τιµών βρίσκεται ως εξής: Αν µ x, Μ x είναι η µικρότερη και η µεγαλύτερη αντίστοιχα από τις τιµές x i, i,,,,000, τότε έχουµε διαδοχικά: µ x x i Μ x,06 µ x,06x i,06μ x,06 µ x y i,06μ x για κάθε i,,,,000

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 00 Έτσι, η µικρότερη µ y και η µεγαλύτερη Μ y από τις τιµές y i, i,,,,000, είναι µ y,06 µ x Μ y,06μ x και το εύρος R y είναι: R y Μ y µ y,06μ x,06µ x,06(μ x µ x ),06R,06 00 7 κ.εκ. ο Θέµα α) i) Η f είναι παραγωγίσιµη στο ΙR (ως πολυωνυµική) µε Είναι Ακόµα: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x x P Λ + P K P Λ + Ρ Κ x. f ( x) 0 P( Λ) + Ρ( Κ) x 0 x P( Λ) + P( K). f ( x) > 0 P( Λ) + P( K) x > 0 x < P( Λ) + P( Κ) και f ( x) < 0 P( Λ) + P( K) x < 0 x > P( Λ) + P( K) Άρα, η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα (, Ρ(Λ)+Ρ(Κ)] και γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα [Ρ(Λ)+Ρ(Κ), + ), και παρουσιάζει µέγιστο στο xx o µε x ο P(Λ)+Ρ(Κ). i) Για την µέγιστη τιµή έχουµε: f ( P( K) P( Λ) ) Ρ( Κ) + ( ) Ρ( Κ) f x β) i) Ισχύουν: 0 P( K) P( Λ) P( Λ) Ρ( Κ) Ρ( Λ) Ρ( Κ) Ρ( Κ) + + + P( K) P( K) P( K) P( Λ) Ρ( Κ) + + P( K) 0 P( K) P( Λ) P( K) P Λ P K εποµένως Ακόµα ( ) ( ) Κ Λ Κ και Λ Κ Λ Ω Ρ( ) Ρ(Κ Λ) Ρ(Κ) και Ρ(Λ) Ρ(Κ Λ) Ρ(Ω). Ρ(Κ) < Ρ(Λ) (από ερώτηµα (α) (ii)) Εποµένως, αν διατάξουµε σε αύξουσα σειρά τις παρατηρήσεις, έχουµε: Ρ( ), Ρ( ), Ρ(Κ Λ), Ρ(Κ), Ρ(Κ), Ρ(Κ), Ρ(Λ), Ρ(Κ Λ), Ρ(Κ Λ), Ρ(Ω).

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 00 Η διάµεσος αυτών των 0 παρατηρήσεων είναι το ηµιάθροισµα της ης και ( ) ( ) 6 ης P K + P K παρατήρησης: δ P K Έτσι Ακόµα ( ) P K δ ( ) P( Λ) P ( K) ii) Επειδή τα ενδεχόµενα Κ Λ και Λ Κ είναι ασυµβίβαστα, από τον απλό προσθετικό νόµο των πιθανοτήτων, έχουµε: ( ) ( ) P( K Λ) P( Λ Κ) P K Λ Λ Κ + P( K) P( K Λ) + P( Λ) P( Λ Κ) P( K) + P( Λ) P ( K Λ) + Ρ ( Κ Λ) P( K Λ) Τέλος: 7 P( K Λ) Ρ( Κ) + Ρ( Λ) P( K Λ) +. Με τη βοήθεια του παρακάτω πίνακα συχνοτήτων: x i P( ) P(Κ Λ) Ρ(Κ) Ρ(Λ) Ρ(Κ Λ) Ρ(Ω) i κατασκευάζουµε το διάγραµµα και το πολύγωνο συχνοτήτων των παρατηρήσεων (διακριτή µεταβλητή). ν i ιάγραµµα συχνοτήτων Ρ( ) Ρ(Κ Λ) Ρ(Κ) Ρ(Λ) Ρ(Κ Λ) Ρ(Ω) x i

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 00 6 ν i Πολύγωνο συχνοτήτων Ρ( ) Ρ(Κ Λ) Ρ(Κ) Ρ(Λ) Ρ(Κ Λ) Ρ(Ω) x i

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 00 7 Σηµείωση για τη βαθµολογία του ου Θέµατος: Β. Μονάδες 0. Επιµέρους µονάδες για την η ιδιότητα και 6 µονάδες για την η ιδιότητα.

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 006 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 8 Β. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 0 Γ..Γ.Α.Α,Γ.Α,, ΘΕΜΑ ο x + x ( x + x )( x + + x + ) i) lim lim x x x ( x )( x + + x + ) ( x + ) ( x + ) x + x x ( x ) lim lim lim x x x ( x )( x + + x + ) ( x + )( x + + x + ) ( x )( x + )( x + + x + ) lim x ( x + )( x + + x + x) ( + ) 8 άρα λ λ λ ii) f ( x) λ x 6x + µ. A f R. Για λ: f ( x) x 6x + µ Η f παραγωγίσιµη στο R ως πολυωνυµική µε : f ( x) 6x 6. f ( x) 0 6x 6 0 6 x x + 0 x ή x Και : f ( x) > 0 6( x )( x + ) > 0 - + - + οπότε x < - ή x > Ο πίνακας µεταβολών της f είναι: x - + Είναι: ( )( ) f + - + f H f παρουσιάζει µέγιστο για x -, το f ( ) + 6 + µ µ + Οπότε : µ + 9 µ iii) Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης της C f στο A( x0, f ( x0 )) είναι f ( x 0 ). Οπότε, τα ζητούµενα σηµεία έχουν τετµηµένες τις λύσεις της εξίσωσης f ( x 0 ) 0 x ή x

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 006 Είναι : f ( ) 9 και f () Άρα τα ζητούµενα σηµεία είναι : Β(-,9) και Γ(,). i) Ο ρυθµός µεταβολής της f συναρτήσει του x είναι: f ( x) 6x 6 Είναι: f ( x) 0 x 0 x 0 και f ( x) > 0 x > 0 x > 0 Ο πίνακας µεταβολών της f είναι: x 0 + ΘΕΜΑ ο Α. i) Αριθµός επιβατών x i f - + Η f παρουσιάζει ελάχιστο για x 0 f οπότε ο ρυθµός µεταβολής της f γίνεται ελάχιστος για x 0 Αριθµός αυτοκινήτων f i f i % N i F i F i % ν i x i i ( xi x) i 0 0,, 0 0,, 0 00 0 0,7 7, 60 0, 0 0 0 0 0, 0 80 0,7 70 60 0 0 0.07 7, 0 0,77 77, 0 0 90 0,, 00 00 0 60 ΣΥΝΟΛΑ 00 00 00 700 x i i i 00 ii) Η µέση τιµή είναι : x 00 00 Αφού ν 00 (άρτιος), η διάµεσος θα είναι το ηµιάθροισµα των δύο µεσαίων παρατηρήσεων, αν αυτές έχουν διαταχθεί κατ αύξουσα σειρά. t00+ t0 + ηλαδή: δ iii) Η διακύµανση είναι : Οπότε η τυπική απόκλιση είναι: s i s Τέλος ο συντελεστής µεταβολής είναι: ( x x) i i 00 7 CV 7 x s 700 00 7 7 7 6 > 0,6 6 αφού 7> 0, 6. Οπότε CV > δηλ. CV>0%, άρα το δείγµα δεν είναι οµοιογενές. 0 Β. Το πολύ δύο επιβάτες έχουν: + 0+060 αυτοκίνητα Οπότε Ν(Α) 60, άρα η ζητούµενη πιθανότητα θα είναι: N ( ) ( A) 60 P A. N Ω 00 ( ) 0 Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 006 Τουλάχιστον τέσσερις επιβάτες έχουν : + 0+900 αυτοκίνητα. Οπότε Ν(Β)0, άρα η ζητούµενη πιθανότητα θα είναι : N ( ) ( B) 0 P B N ( Ω) 00 0 Γ. Στην περίπτωση αυτή ο δειγµατικός χώρος αποτελείται από το σύνολο των επιβαινόντων, δηλ. N ( Ω) i x i i 00 Τρεις συνεπιβάτες έχει όποιος επιβαίνει σε αυτοκίνητο µε επιβαίνοντες, δηλ. x 0 άτοµα. Οπότε Ν(Γ)0, άρα η ζητούµενη πιθανότητα είναι : N ( ) ( Γ) 0 P Γ N( Ω) 00 0 Κανέναν συνεπιβάτη δεν έχει όποιος επιβαίνει σε αυτοκίνητο µόνος του, δηλ. x 0 άτοµα. Οπότε Ν( )0, άρα η ζητούµενη πιθανότητα είναι: N ( ) ( ) 0 P N Ω 00 ( ) ΘΕΜΑ ο Α. i) Έστωx η µέση ηλικία των κατοίκων και s η τυπική απόκλιση. Τότε, µετά από χρόνια, σύµφωνα µε γνωστή εφαρµογή, η µέση τιµή θα ναι x + ενώ η τυπική απόκλιση δεν θα µεταβληθεί. Αφού το δείγµα γίνεται για πρώτη φορά οµοιογενές µετά από χρόνια, τότε ο συντελεστής µεταβλητότητας θα είναι 0%. s Οπότε : x+ () 0 ii) Επίσης, αφού CV είναι τώρα 0%, είναι: s x 0 00 Λύνουµε το σύστηµα: s x+ 0 0 0 s x+ s s+ s s s x s x s x s x x x+ x+... + x Η µέση τιµή των x, x,..., x είναι: x Είναι : s i i xi i x () i i

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 006 i i i x x x i i i x i 6 x i xi i 60 iii) Στην κανονική κατανοµή για το εύρος του δείγµατος ισχύει R 6s. Αφού λοιπόν η µικρότερη τιµή x min είναι 0, για τη µεγαλύτερη τιµή x max θα ισχύει η προσέγγιση : xmax 0+ 6s δηλ. x max 0 Β. Επιλέγουµε τυχαία έναν από τους ανθρώπους που υπάρχουν στο χωριό. Έστω τα ενδεχόµενα: Α: ο άνθρωπος πηγαίνει στο καφενείο Α B: ο άνθρωπος πηγαίνει στο καφενείο Β Αφού το 0% των κατοίκων πηγαίνουν στο Α, είναι :Ρ(Α)0, Αφού το 60% των κατοίκων δεν πηγαίνουν στο Β, είναι P ( B ) 0,6 P( B) 0,6 P( B) 0, Αφού το 0% των κατοίκων πηγαίνει σ ένα τουλάχιστον απ τα δύο καφενεία, είναι P ( A B) 0, i) A B είναι το ενδεχόµενο ένας κάτοικος να πηγαίνει και στα δύο καφενεία. Έχουµε: P ( A B) P( A) + P( B) P( A B) 0, 0, + 0, P ( A B) P ( A B) 0,7 0, 0, οπότε και στα δύο καφενεία πηγαίνει το 0% των κατοίκων. ii) A B είναι το ενδεχόµενο ένας κάτοικος να πηγαίνει µόνο στο καφενείο Α και Β Α είναι το ενδεχόµενο ένας κάτοικος να πηγαίνει µόνο στο καφενείο Β. Έχουµε: P ( A B) P( A) P( A B) 0, 0, 0, δηλαδή µόνο στο Α πηγαίνει το 0% των κατοίκων Οµοίως: P ( B A) P( B) P( A B) 0, 0, 0, δηλαδή µόνο στο Β πηγαίνει το 0% των κατοίκων. Οπότε περισσότεροι είναι οι κάτοικοι που πηγαίνουν µόνο στο Β από εκείνους που πηγαίνουν µόνο στο Α. Γ. Αφού η πιθανότητα να κληρωθεί περιττός αριθµός είναι µεγαλύτερη από την πιθανότητα να κληρωθεί άρτιος, οι περιττοί αριθµοί είναι περισσότεροι από τους άρτιους στο δείγµα,,ν άρα ν περιττός. ηλαδή υπάρχει ένας

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 006 περιττός περισσότερο. Έτσι, το πλήθος των περιττών είναι + ενώ των άρτιων. Έστω τα ενδεχόµενα: Π: ο αριθµός που κληρώνεται είναι περιττός A: ο αριθµός που κληρώνεται είναι άρτιος Τότε: P ) ( ) ( ) ( + + Ω Ν Π Ν Π Και : A A P ) ( ) ( ) ( Ω Ν Ν Αφού η Ρ(Π) είναι κατά 0,8% µεγαλύτερη από την Ρ(Α), έχουµε: 6 000 0,06 0,06 0,06 0,008 00 0,8 ) ( ) ( + + + + + Π A P P άρα στο χωριό υπάρχουν άτοµα

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 007 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α.. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 9.. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 87. Β. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 0. Γ. Σ, Σ, Σ, Σ, Λ ΘΕΜΑ ο α. Πρέπει x > 0, οπότε το πεδίο ορισµού είναι το διάστηµα Α ( 0, + ) β. Είναι f (x) (x + lnx) (x ) + (lnx) x + x µε x > 0 γ. Η f είναι παραγωγίσιµη στο διάστηµα Α (0, + ) µε f (x) x + x > 0. Εποµένως η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα και άρα δεν έχει ακρότατα. δ. Με x είναι x x + xf (x) x x (x ) (x )(x + ) (x + ) x x x x x οπότε xf (x) lim lim (x + ) x x x

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 007 ΘΕΜΑ ο Το εύρος του δείγµατος είναι R 0 και το πλάτος των κλάσεων είναι R c. κ Έτσι οι κλάσεις είναι: µε κεντρικές τιµές αντίστοιχα: [, 0), [0, ), [, 0), [0, ), [, 0) 7,,,, 7,,,, 7, Από τα υπόλοιπα δεδοµένα προκύπτουν κατά σειρά οι σχέσεις: Ακόµα: ν 0 (), ν ν (), f % 0 () και ν + ν + ν 0 () ν + ν + ν + ν + ν ν ν + ν + ν + ν + ν 80 () ν + ν 0 () Είναι ν ν f % 00 0 00 8 ν 80 ν, και η () δίνει ν. Από την () βρίσκουµε ν 8 και από την () ν, έτσι συµπληρώνουµε τη στήλη των ν i : 8,, 8, 0, µε σύνολο 80. Οι σχετικές συχνότητες f i % προσδιορίζονται από τον τύπο f i % ν ν i 00, i,,,, και είναι κατά σειρά: 0, 0, 0, 7,,, µε σύνολο 00. Οι αθροιστικές συχνότητες Ν i προσδιορίζονται από τις σχέσεις: Ν ν, Ν i Ν i + ν i, i,,, και είναι κατά σειρά: 8, 0, 8, 78, 80. Πάλι, οι αθροιστικές σχετικές συχνότητες είναι: F % f %, F i % F i % + f i %, i,,, και βρίσκουµε κατά σειρά: 0, 0, 60, 97,, 00. Στη συνέχεια συµπληρώνουµε τον πίνακα συχνοτήτων: Κλάσεις [ -, - ) Κεντρικές Τιµές x i Συχνότητες ν i Πίνακας συχνοτήτων Σχετικές συχνότητες f i % Αθροιστικές συχνότητες N i Αθροιστικές σχετικές συχνότητες F i % [, 0 ) 7, 8 0 8 0 [0, ), 0 0 0 [, 0) 7, 8 0 8 60 [0, ), 0 7, 78 97, [, 0) 7,, 80 00 ΣΥΝΟΛΟ 80 00

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 007 β. Το ιστόγραµµα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων µε το αντίστοιχο πολύγωνο φαίνονται στο σχήµα: F i % 00 97, Ποσοστό (Fi%) υπαλλήλων 8, Γ 7 60 0 0 O Β Α 0 0 0 x i Χρόνος εργασίας γ. ος τρόπος. Το ζητούµενο ποσοστό βρίσκεται από το πολύγωνο συχνοτήτων από τη διαδροµή ΑΒΓ. Ξεκινώντας από το σηµείο Α(, 0) πηγαίνουµε κάθετα στον άξονα Ox µέχρι το αθροιστικό διάγραµµα και µετά παράλληλα στον άξονα Ox µέχρι το σηµείο Γ(0, 8,). H τεταγµένη 8, του Γ είναι το ζητούµενο ποσοστό. ος τρόπος. Το πλάτος του διαστήµατος [0, ) είναι τα του πλάτους της κλάσης [0, ), εποµένως το ποσοστό των υπαλλήλων που αντιστοιχεί στο διάστηµα [0, ) είναι τα του f %, δηλαδή, 7,, Έτσι το ζητούµενο ποσοστό είναι f % + f % + f % +,% 8,% δ. ος τρόπος. Επειδή 60 ν + ν + ν +, οι 60 υπάλληλοι µε τα λιγότερα χρόνια εργασίας είναι αυτοί που ανήκουν στις τρεις πρώτες κλάσεις και οι πρώτοι της τέταρτης κλάσης οι οποίοι καλύπτουν διάστηµα πλάτους. Εποµένως τα 0 ζητούµενα χρόνια είναι 0+. ος τρόπος. Στο ίδιο συµπέρασµα καταλήγουµε µε την παρατήρηση ότι οι 60 υπάλληλοι είναι το 7% του συνόλου, και εργαστούµε µε το αθροιστικό διάγραµµα (µπλε διαδροµή στο σχήµα), όπως υποδεικνύει το σχολικό βιβλίο στην εφαρµογή της σελίδας 77

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 007 ΘΕΜΑ ο Ν( Α) Ν( Β) Η ισότητα Ν(Α) Ν(Β) Ν(Ω) δίνει Ν( Ω) Ν( Ω) Ρ(Α) Ρ(Β) + ή Ρ(Α) Ρ(Β) () ή Έτσι, Ρ(Β) < Ρ(Α). Επειδή Α Β Β και Α Α Β έχουµε Ρ(Α Β) Ρ(Β) και Ρ(Α) Ρ(Α Β) Εποµένως Ρ(Α Β) Ρ(Β) < Ρ(Α) Ρ(Α Β) () οπότε R Ρ(Α Β) Ρ(Α Β) () α. Από την () είναι: Ρ(Α Β) < Ρ(Α Β) 0 < Ρ(Α Β) Ρ(Α Β) 0 < R Ακόµα Ρ(Α Β) και Ρ(Α Β) 0, οπότε Ρ(Α Β) Ρ(Α Β) R Άρα 0 < R β. Έχουµε κατά σειρά: R Ρ(Α Β) Ρ(Α Β) [ Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ(Α Β) ] Ρ(Α Β) [ Ρ(Α) Ρ(Α Β) ] + [ Ρ(Β) Ρ(Α Β ] Ρ(Α Β) + Ρ(Β Α) Ρ(Α Β) + Ρ(Β Α ) [ τύπος: Β Α Β Α ] Ρ(Α Β) + Ρ(Α Β) Ρ(Α Β) + Ρ(Α (Β ) ) Ρ(Α Β) + Ρ(Α Β ) ος τρόπος. Από διάγραµµα Venn παρατηρούµε ότι Α Β ( Α Β) Α Β Ω Α Β ( Α Β) Είναι: Ρ(Α Β) + Ρ(Α Β ) Ρ(Α Β) + Ρ(Α ) Ρ(Α Β ) [Ρ(Α) Ρ(Α Β)] + [ Ρ(Α)] [ Ρ(Α Β)] Ρ(Α) Ρ(Α Β) + Ρ(Α) + Ρ(Α Β)] Ρ(Α Β) Ρ(Α Β) R

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 007 Β α. Η f (x) είναι συνεχής στο IR, οπότε lim f (x) f () ή x lim f (x) P(A B) + x Με x έχουµε: () P(B) + x P(B) x x () P(A)x P(B) P(B)x + x P(B) x P(B)(x ) + x (x )[P(B) + ] x x P(B) + Άρα, P(A)x P(B) lim f (x) lim lim[p(b) + ] P(B) + x x x x και η () δίνει, τελικά, το ζητούµενο: Ρ(Β) + Ρ(Α Β) + ή Ρ(Β) Ρ(Α Β) + () β. Η () λόγω της () δίνει: Ρ(Α) Ρ(Α Β) + Από την () προκύπτει: R Ρ(Α Β) Ρ(Α Β) [ Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ(Α Β)] Ρ(Α Β) Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ(Α Β) Ρ(Α Β) + + Ρ(Α Β) + Ρ(Α Β) γ. Αν υποθέσουµε ότι Ρ(Α Β) <, τότε θα είναι R Ρ(Α Β) Ρ(Α Β) <, άτοπο, από το Ββ, και επειδή Ρ(Α Β) αποµένει: Ρ(Α Β). Τέλος R Ρ(Α Β) Ρ(Α Β) Ρ(Α Β) 0.

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 008 Θέµα ο Α.. Θεωρία από Σχ. Βιβλίο σελ. 9 Α.. Θεωρία από Σχ. Βιβλίο σελ. 9 Α.. Απόδειξη από Σχ. Βιβλίο σελ. 8-9 Β. α Λάθος β Σωστό γ Σωστό δ Λάθος ε Λάθος Θέµα ο α) Πρέπει x + 0 και x + 0 x και έστω x + 0 τότε x+ x+ x Άρα x + 0 όταν x. Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ [ ) Οπότε το πεδίο ορισµού της f είναι το,) (,+. β) Τα ζητούµενα σηµεία είναι αυτά για τα οποία ισχύει f(x)0. Άρα: x 0 και x [,) (,+ ) x και x [,) (,+ ) x ± και x [,) (,+ ) Άρα x. γ) Οπότε το σηµείο τοµής της γραφικής παράστασης µε τον x x είναι το Μ(-,0). x ( x )( x + )( x + + ) ( x )( x + )( x + + ) f ( x) x + ( x + )( x + + ) ( x + ( x )( x + )( x + + ) ( x )( x + )( x + + ) ( x + )( x + + ) x + x

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 008 Άρα lim ( ) lim( )( ) ( )( ) 6 x f x x δ) Ο πίνακας γίνεται: x + x + + + + f 0 N F f 0, x i i f i N i F i 0, 0, 6 0, 0 0, 0, 0,8 8 0, 0 Σύνολο 0 - - 0, 6 f 0,, N + + 6 0 0 F f+ f 0,+ 0, 0, f f 0, 0 8 N 0 και F + + + 0 + 6 + + 8 0 0 8 f 0,, N N + 0+ 0 F F+ f 0,+ 0, 0,8

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 008 Θέµα ο α) Στον παρακάτω πίνακα «διπλής εισόδου» καταγράφουµε τα δεδοµένα µας. Φύλλο Τµήµα ιοικητικό τµήµα Τεχνικό τµήµα Σύνολο Άνδρες 0 0 60 Γυναίκες 0 0 0 Σύνολο 0 60 00 N(A) 0 P(A) 0, N(Ω) 00 Β : «είναι το ενδεχόµενο το άτοµο να είναι άνδρας» Β : «είναι το ενδεχόµενο το άτοµο να εργάζεται στο διοικητικό τµήµα». ( ) B (B B ) P(B) P(B B ) P(B ) + P B P(B B ) 60 0 0 90 + 0,9 00 00 00 00 β) Το άθροισµα των ηλικιών όλων των υπαλλήλων θα είναι: 00 i t 60 0 + 0 0 00 + 600 000 i Μετά την πρόσληψη των νεότερων υπαλλήλων το άθροισµα των ηλικιών των υπαλλήλων θα είναι: ν ν 00 y t άρα t ν y δηλαδή t 00 9,6 960 i i i ν i i i Έστω c το πλήθος των ατόµων που αποχώρησαν. Επειδή θα προσληφθούν c άτοµα αλλά κατά χρόνια νεότερα, θα ισχύει ότι: 000 960 c δηλαδή c 0 άρα c 0 γ) Η καµπύλη συχνοτήτων στην κανονική κατανοµή είναι:,%,% 0,%,% % %,% 0,% x s x s x s x x + s x + s x + s

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 008 Επειδή το,% (δηλαδή,% + 0,%,%) των υπαλλήλων έχει ηλικία το πολύ 6 χρόνια, x s 6 () 60 0 + 0 0 Η µέση ηλικία όλων των υπαλλήλων είναι: x 0 00 Από τη σχέση () έχουµε: s s 7. Εποµένως η καµπύλη συχνοτήτων θα είναι:,%,% 0,%,% % %,% 0,% 9 6 0 7 6 Κάτω από χρόνια θα είναι το,% +,% + 0,% 6% των υπαλλήλων της εταιρίας δηλ. 6 00 6 υπάλληλοι. 00 δ) Είναι: s κ κ κ κ ixi ix i ixi i i i ixi S 00 i 00 00 00 κ κ ixi ix i κ κ i i i i i i 00 00 i i 00 s 00 00 00 s 00 x x 0000 s 0000 S S Στην κανονική κατανοµή το εύρος R 6s, εποµένως R 0.

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 008 Θέµα ο x x x + e + x + 7x + e x + x Α. Είναι: x e x + Έστω f(x) e x -x+, x R. H f είναι παραγωγίσιµη στο R µε f (x) e x -. 0 Έχουµε f ( x) 0 e x 0 e x e x e x 0 x - 0 + f (x) - 0 + f (x) min Για x0 η f παρουσιάζει ελάχιστο το m f (0) B. Για m είναι: g(x)x -κ x+. Η g είναι παραγωγίσιµη στο R µε g (x)x-κ. Η εφαπτοµένη της C g στο Α(, g()) είναι παράλληλη στον x x όταν g ()0 -κ 0 κ κ ή κ- (απορρίπτεται αφού κ Ω ) Άρα κ. Ε{,,,,6,7} N( Ε) 6 Οπότε P( Ε ) N( Ω) 7 Γ. Αφού A B τότε Β Α Ρ Α Β Ρ Α οπότε Ρ ( ) ( A) Ρ( A) h x x + x + x + 008, x R. P( A) Η h είναι παραγωγίσιµη στο R µε h ( x) x + P( A) x +, x R και P( A) P ( A) P ( A) + P( A) P ( A) + P( A) + ( P ( A) + ) < 0 γιατί: Α και ( ) ( ) Το ενδεχόµενο Α αποκλείεται να είναι ο δειγµατικός χώρος Ω (διότι αν ήταν, 0 Ρ Α θα έπρεπε και ΒΩ, άτοπο αφού Α Β) άρα Ρ(Α) και επειδή ( ) έπεται ότι 0 Ρ( Α) < άρα P(A)+< οπότε ( ( A) + ) < P. ( εναλλακτικά: το τριώνυµο P ( A) + P( A) έχει 6 και ρίζες τις - και οπότε για P(A) [ 0,) είναι P ( A) + P( A) < 0 ).

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 008 6 Αφού <0 η h ( x) παίρνει τιµές οµόσηµες του P( A) και αφού συνάρτηση h είναι γνήσια αύξουσα στο R. P( A) για κάθε x R φανερά θετικό, έχω h ( x) >0 για κάθε x R, άρα η 6

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 009 Γ' ΤΑΞΗ ΓΕΝ.ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α. Θεωρία βιβλ. ΟΕ Β σελ. Β. α) Θεωρία βιβλ. ΟΕ Β σελ β) Θεωρία βιβλ. ΟΕ Β σελ 9 Γ. α) ΣΩΣΤΟ β) ΛΑΘΟΣ γ) ΛΑΘΟΣ δ) ΣΩΣΤΟ ε) ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑ ο Α) [ - ) x i ν i f i % F i % x i ν i x ν [0 - ) 0 0 [ - ) 0 0 6 [ - 6) 6 0 60 0 0 [6-8) 7 8 0 00 6 9 Σύνολο ν0 00 00 80 i i x x ν i i i 00 ν 0 o C

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 009 β) η διάµεσος είναι περίπου xiνi i γ) s x ( ) i ν i s xi νi x ν i ν ν i 80 o s 9 s C 0 s C 0, ή 0% > 0% το δείγµα είναι ανοµοιογενές. x δ) Το πλήθος των πόλεων µε θερµοκρασίες από ο C έως και 7 ο C είναι οι µισές πόλεις της δεύτερης κλάσης, όλες της τρίτης και οι µισές της ης διότι το είναι το κέντρο της ης και το 7 το κέντρο της ης και οι παρατηρήσεις (πόλεις) θεωρούνται οµοιόµορφα κατανεµηµένες µέσα στις κλάσεις. Άρα το ποσοστό είναι: 0% + 0% + 0% 60% των πόλεων. ΘΕΜΑ ο α) Ω{,,,...,}, ισοπίθανα, Ν(Ω) A { κ Ω / κ πολ / σιο του } {,6,9,,,8,,} Ν(Α)8 Β { κ Ω / η f δεν έχει πραγµατικές ρίζες} Αφού ( ) f x x κx + 9 θα πρέπει < 0 κ 6 < 0 ( κ 6)( κ + 6) < 0 Άρα 6 < κ < 6. Επειδή όµως κ Ω θα πρέπει Β{,,,,} έτσι Ν(Β) x κx Γ κ Ω / το lim 6 κ x κ x κ

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 009 έχουµε lim x κ x κ ( )( ) ( ) ( ) x κx x κx x + κ lim x κ x κ ( )( ) x x κ x + κ lim lim x ( x + κ ) κ κ x κ x κ x κ Άρα έχουµε κ κ 6 κ κ 8. Επειδή κ Ω έχουµε Γ{,,,,,6,7,8}. Άρα Ν(Γ)8. ( ) β) ( ) Ν Α 8 Ρ Α % Ν( Ω) ( ) ( ) Ν Γ 8 Ρ Γ % Ν( Ω) ( ) γ) ( ) Ν Β Ρ Β 0% Ν( Ω) ( ) {} ( ) Ν Α Β Α Β άρα Ρ Α Β % Ν( Ω) δ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 Ρ Α Β Ρ Β + Ρ Α Ρ Α Β + 8% Ρ( Α Β ) Ρ( Α) + Ρ( Β ) Ρ( Α Β ) Ρ( Α) + Ρ( Β) Ρ( Α Β) Ρ( Α) + Ρ( Β) [ Ρ( Α) Ρ( Α Β) ] Ρ( Α) + Ρ( Β) Ρ( Α) + Ρ( Α Β) Ρ( Β) + Ρ( Α Β) + 8% Ρ( Β Α ) Ρ( Β) Ρ( Β Α ) Ρ( Β) Ρ( Β Α) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ρ Β Ρ Β Α Ρ Β Ρ Β + Ρ Α Β % ΣΧΟΛΙΟ: εκτές είναι και οι λύσεις µε την χρήση των διαγραµµάτων Venn ΘΕΜΑ ο α) Αφού η εφαπτοµένη στο K(,f()) είναι παράλληλη στην (δ): yx+ πρέπει λ λ f ( ) ε K δ ( ) Έχουµε ( ) P A B P( B A) f x x + [ Ρ( Α) + Ρ( Β) ] Ρ( Α) + Ρ( Β) ( ) Άρα ( ) P A B f x x οπότε Ρ( Α) + Ρ( Β)

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 009 ( ) ( ) P A B f P( A B) Ρ( Α) + Ρ( Β) Ρ( Α) + Ρ( Β) Άρα Ρ( Α Β) 0 και επειδή ο δ.χ. Ω αποτελείται από ισοπίθανα απλά ενδεχόµενα θα είναι και Α Β δηλαδή τα Α και Β είναι ασυµβίβαστα. β) Αφού ( ) Λ 0, C f f 0 όµως ( ) P( B A) f 0 Ρ( Α) + Ρ( Β) P( B A) P( B A) Ρ( Α) + Ρ( Β) Ρ( Α) + Ρ( Β) [ P( B) P( A B) ] Ρ( Α) + Ρ( Β) Ρ( Α) Ρ( Β) όµως ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ρ Α Β Ρ Β + Ρ Α Ρ Β Ρ Β Άρα ( ) Ρ A. οπότε γ) Έχουµε g( x) 6f ( x) x + 09, x R και g ( x) 6f ( x) έτσι ( ) ( ) ( ) P A B g x 0 f x x x Ρ( Α) + Ρ( Β) (αφού P( A B) Ρ( Α) + Ρ( Β) ) g ( x) > 0 f ( x) > x > η g παρουσιάζει ελάχιστη τιµή για x την g()6f()-+09 όµως ( ) ( ) P A B P( B A) 7 f + + άρα g()009. [ Ρ( Α) + Ρ( Β) ] Ρ( Α) + Ρ( Β) δ) Έχουµε ( ) f x x + και f ( x) x Έστω yαx+β η εφαπτόµενη (ε Κ ) της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f Πρέπει α f ( ) άρα (ε Κ ): yx+β Αφού ( ( )) ( ) f +. Εποµένως K K,f C f β β 6 ε : y x 6 Είναι Mi ( εk ) yi x i, i,,...0 6 9 sy Άρα y x 0 και sy sx οπότε CVy 0% 6 6 6 y 0

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 00 Γ' ΤΑΞΗ ΓΕΝ.ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο Α. Απόδειξη (βλ. σχολικό σελ.) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Β. α. ορισµός (βλ. σχολικό σελ.9) β. ορισµός (βλ. σχολικό σελ.66) Γ. α. Λάθος β. Λάθος γ. Σωστό δ. Λάθος ε. Σωστό ΘΕΜΑ Α. Πρέπει x + 0, το οποίο ισχύει για κάθε x R έτσι A R Β. α. f ( x) ln( x + ) ( + x + α + ) x + lim x x x β. f ( x) ( x + ) lim ( ) ( + ) x x x Γ. Έστω ( x,f ( )) x x + + x + x+ x + lim x + x + x + x x + x x x + + lim x x 0 0. x + x+ x + M 0 x 0 το σηµείο επαφής της ζητούµενης εφαπτοµένης µε την f Αφού ( ε )//( η) πρέπει: ( x ) x0 0 x0 0. x0 + x0 + f 0 x x + Αφού f ( 0) ln+ α+ + Έτσι ( ε ): y f ( 0) x + β δηλαδή ( ε ): y x+ β Όµως Μ ( ε) + 0 + β β α +. για x 0 έχω y α + για x έχω y + α + για x 9 έχω y 9+ α + για x 0 έχω y 0+ α + 0 0 + x + x + α, το σηµείο επαφής είναι Μ ( 0, α+ ) α έτσι ( ): y x+ α+ 0 ε. 0 C.

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 00 Οι τιµές αυτές σε αύξουσα σειρά είναι: α +, α + +, α + + 9, α + + 0 α+ + + α+ + 9 α+ + 0 δ α + + Αφού δ 0 α+ + 0 α + α + 0 α 00 ΘΕΜΑ Α. Το εµβαδό του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωνο συχνοτήτων και τον οριζόντιο άξονα είναι ίσο µε το µέγεθος του δείγµατος ν, έτσι ν 0. Β. Τα εµβαδά των ορθογωνίων είναι ίσα µε τις αντίστοιχες συχνότητες. Αφού Κλάσεις x i ν i f i f % [ - ) i N i F i F i % 0-0,08 8 0,08 8 8 6 7 0, 0, 8 0 8 0,6 6 9 0,8 8 6 0,6 6 0,8 8 6-0 8 8 0,6 6 0 00 Σύνολο ν 0 00 ν 0 Ν + ν 0 7 + 8 + Ν + 6ν + 8 0 ν ν 6 ν ν 7 Γ. α. Α: «ο µαθητής έχει βαθµό από 0 έως 7» τότε N( A) ν + ν + ν 9 + + οπότε N( A) P (A) 0,8 ή 8% N( Ω) 0 β. Β: «ο µαθητής έχει βαθµό κάτω από 0 ή τουλάχιστον 6» N ( B) + + + + 7+ 9+ 8 8. Έτσι N( B) 8 P ( Β ) 0,6 ή 6% N Ω 0 ( ) ΘΕΜΑ Α. Έχουµε : ( ) ( ) P P P ( 6) P ( k ) P A P κ P λ P µ P ( µ ) θ () ( λ) P θ R θ + θ + P µ Αφού ( ) ( ) + ( ) + ( ) ( )

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 00 Όµως P ( Ω ) P ( ) + P( ) + P ( 6) P ( κ ) P ( λ ) P ( µ ) θ + θ + θ + θ + θ + θ θ θ + 9 θ θ 9 Έτσι : P ( ), ( ) 6 8 Β. f ( x) λ x x + 0 Αφού η (ε) // (η) f ( ) 8 Έτσι f ( x) x x + 0 f ( x) 0 x x + 0 0 9 ( ) + + + P, P ( ), Pκ ( ), P ( λ ), ( ) x, x 9 λ + 8 λ x + f x + - + ( ) f ( x) 9 P µ 6 Άρα κ και µ Ω,,,,,6 Έτσι { } x 0 x / x / x / Γ. πρέπει x 0 x x x και αφού x Ω άρα: x ή x ή x ή x 6 B,,,6 έτσι { }. Οι παρατηρήσεις είναι τα,% του συνόλου των παρατηρήσεων. 60 0 Έτσι αφού έχω κανονική κατανοµή πρέπει: x + s 0 () Όµως R x 6s x s x () () ( ) s ( 0 s) s 60 6s 0s 60 s Έτσι από () x + 0 x 6 s Παρατηρούµε ότι: CV >, έτσι το δείγµα δεν είναι οµοιογενές. x 6 8 0 Προσθέτοντας τον ίδιο θετικό σταθερό αριθµό c σε όλες τις τιµές της µεταβλητής έχω: s s και x x + c 6 + c. Για να είναι οµοιογενές το νέο δείγµα τιµών πρέπει: s CV 0 x 0 6 + c 0 0 6 + c c και αφού c Ω έχω: c ή c ή c 6 Γ,,6 Έτσι { }

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 00 Ε. Έχουµε: Α Γ {,} Β Γ {,} Α Γ {,,,6} Β Α {,,,6}, αφού Α {,,6} Έτσι P( A Γ) P( ) + P( ) P P P ( B Γ) P( ) + P( ) 8 + 9 6 7 + 8 ( A Γ) P( ) + P( ) + P( ) + P( 6) ( B A ) P( ) + P( ) + P( ) + P( 6) 9 7 8 + 9 + 8 + 6 + + 6 9 + 9 8 8

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 0 Γ' ΤΑΞΗ ΓΕΝ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ A ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία βιβλίο Ο.Ε..Β. σελίδα 0- Α. Θεωρία βιβλίο Ο.Ε..Β. σελίδα 70 Α. Θεωρία βιβλίο Ο.Ε..Β. σελίδα Α. α. ΣΩΣΤΟ β. ΣΩΣΤΟ γ. ΛΑΘΟΣ δ. ΣΩΣΤΟ ε. ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑ Β Β. Η παράγωγος συνάρτηση της f είναι f x x κx, x R ( ) ( ) οπότε ( ) ( ) ( ) ( ) f + κ f κ f f + κ κ + κ 9 + 6κ κ κ Β. Για κ έχουµε ( ) ( ) f ( x) 0 x( x ) 0 x 0 ή x f ( x) > 0 x( x ) > 0 x < 0 ή x > f x x x + και f x x 6x, x R

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 0 Μονοτονία x,0 η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα. Αν ( ] Αν x [ 0,] η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα. Αν x [, ) + η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα. Ακρότατα Στο x 0 0 έχουµε τοπικό µέγιστο το f(0) και στο x 0 έχουµε τοπικό ελάχιστο το f()0. Β. Έχουµε: Α ΤΡΟΠΟΣ ( + ) ( + ) ( + ) + οπότε f( + h) ( + h) ( + h) f h h h lim h lim h h 0 h 0 ( + ) ( + ) ( + ) h h h h lim lim lim( + h) 9 h 0 h h 0 h h 0 Β ΤΡΟΠΟΣ ( ) + και ( ) f( + h) f ( + h) f ( ) f f 6 9. ( ) L lim lim f 9 h 0 h h 0 h Το σηµείο επαφής είναι Μ(,). Η εφαπτοµένη στο Μ(,) έχει συντελεστή διεύθυνσης ίσο µε f ( ) 9 και η εξίσωσή της είναι y9x+β. Επειδή όµως το σηµείο Μ ανήκει στην ευθεία έχουµε 9 + β β Aρα η εξίσωση της εφαπτόµενης είναι y9x. Β. Έχουµε f ( x) 6x 6 f ( x) 0 6x 6 0 x f ( x) > 0 6x 6 > 0 x > Άρα το σηµείο στην τετµηµένη του οποίου ο ρυθµός µεταβολής της yf(x) ως προς,. ( ) x έχει την ελάχιστη τιµή είναι το,f ( ) δηλαδή ( )

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 0 ΘΕΜΑ Γ Γ. Το µέσον της δεύτερης κλάσης είναι και της τέταρτης. Άρα c c + + c + c c 0. Εποµένως οι κλάσεις είναι [0,0), [0,0), [0,0) και [0,60). Γ. Από το ιστόγραµµα συχνοτήτων έχουµε ν και ν ν + ν + ν + ν 0 ν + ν () + ν + ν + x 0 00 + ν + ν + 0 0 ν + ν 90 () Λύνουµε το σύστηµα των εξισώσεων () και () ν + ν ν ν 080 ( + ) ν + ν 90 ν + ν 90 0ν 60 ν 6 οπότε ν 8. Γ. [ ) x i ν i f i F i F i % [0,0) 0, 0, 0 [0,0) 6 0, 0,7 70 [0,0) 8 0, 0,9 90 [0,60) 0, 00 Σύνολο 0 ÏÅÖÅ Έχουµε Γ(0,0), (δ,0), Ε(0,70) και 0 0 0 λ Γ δ 0 δ 0

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 0 70 0 0 λ ΓΕ οπότε 0 0 0 0 λ Γ λγε δ 0 δ. δ 0 Γ. P( A B) + P( B A) P( A B) P( A B) P( A) + P( B) P( A B) () ( ) ( ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P( A) + P( B) P( A B), P( A B) ( ) + ( ) ( ) 0, P( A B) () ( ) + ( ) 0, P( A B) P A 0, P A 0, P A 0,7 P A + P B, P B 0,6 P B 0,6 P B 0, P A P B P A B P A B P B A ΘΕΜΑ Έχουµε s s CV 0, x x. ( ) ( + ) f x x x s x Επειδή η εφαπτόµενη της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο της µε τετµηµένη x 0 είναι παράλληλη στον x x έχει συντελεστή διεύθυνσης 0. Οπότε έχουµε f 0 x + s 0 x + s 6 x 6 s ( ) ( ) s s 0, 0, s 0, 6 s x 6 s s 0, ( 6 s) s, 0,s s Για s έχουµε x 6 x.τότε ο τύπος της f γίνεται: 0 f( x) x ( x+ s) x + + s x 6x + 0. 0, Έχουµε: f ( x) x x x( x )

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 0 Η f έχει τοπικό µέγιστο το f(0) 0 και τοπικό ελάχιστο το f() 0. s 0, ( 6 s) s, + 0,s s απορρίπτεται.. Έχουµε y x+ c. Τότε y x+ c + c και sy s s y CV 0, 0, 0, + c 0 y + c + c 0 c απορρίπτεται γιατί c>0. + c 0 c 6 Άρα ο µικρότερος θετικός c είναι ο 6.. Έχουµε P( A) και P( B) δ Επειδή η κατανοµή είναι κανονική τότε x δ οπότε P( B) i. Έστω α Ρ( Α Β) και β Ρ( Α Β ) µε α, β [ 0,] τότε Ρ( Α Β) Ρ( Α Β ) α β () 9 9 Ρ Α Β Ρ Α + Ρ Β Ρ Α Β ( ) ( ) ( ) ( ) β + α α + β () 6 ( ) () α α α α 8α α + 0 6 9 6 9 που έχει ρίζες α και α 6 Επειδή όµως Α Β Β Ρ( Α Β) Ρ( Β) α οπότε δηλαδή Ρ( Α Β ) 6 () 6 6 β β δηλαδή ( ) Ρ Α Β Έχουµε Ρ Α Β Ρ Α + Ρ Β Ρ Α Β ( ) ( ) ( ) ( ). α 6

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 0 6 Ρ( Α ) + Ρ( Β) Ρ( Α ) + Ρ( Α Β ) + δηλαδή 6 6 ( ) Ρ Α Β 6 iii. Επειδή η κατανοµή είναι κανονική ή περίπου κανονική µε x, s και x s έχουµε: x s x s x s x x+ s x+ s x+ s 6 7 68% 9% 99,7% Το ποσοστό των παρατηρήσεων x i, µε x i είναι 00 9,%. Τότε 00 το µέγεθος του δείγµατος είναι ν 00., 6

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΓ(α) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου 0 ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο σελ.. Α. Σχολικό βιβλίο σελ.. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 8 (Tα µέτρα θέσης µας δίνουν τη θέση του «κέντρου» των παρατηρήσεων στον οριζόντιο άξονα και τα µέτρα διασποράς την διασπορά των παρατηρήσεων, δηλαδή πόσο αυτές εκτείνονται γύρω από το «κέντρο» τους. Α. α Λ, β Σ, γ Σ, δ Λ, ε Λ. ΘΕΜΑ Β B. Αφού το εµβαδόν του πολυγώνου συχνοτήτων είναι 0 θα είναι ν0 όπου ν το πλήθος των συνταξιούχων του δείγµατος. Το πλάτος c κάθε µιας από τις κλάσεις θα είναι R 0. Αφού το µέσο της δεύτερης κλάσης έχει τετµηµένη 0 θα είναι x 0 και αν η πρώτη κλάση είναι [κ,κ+c) η δεύτερη θα είναι [κ+c, κ+c) και θα είναι: x Αφού f% κ + c + κ + c κ + + κ + 8 0 κ + 0 κ. a θα είναι σύµφωνα µε τα δεδοµένα a a a f% a, f%, f %, f%. 0 a a a f % + f % + f % + f % + f % 00 a + a + + + 00 a 0. 0 Όµως Άρα ο πίνακας συχνοτήτων γράφεται:

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΓ(α) Κλάσεις x i f i % f i ν i N i F i % F i x i ν i [-8) 6 60 0,60 0 0 60 0,60 900 [8-) 0 0 0,0 0 00 80 0,80 00 [-6) 0 0,0 90 0,90 0 [6-0) 8 6 0,06 0 96 0,96 70 [0-) 0,0 0 0 00 0 ΣΥΝΟΛΑ 00 0 0 Για τις συχνότητες ν i χρησιµοποιήσαµε τον τύπο νi fi ν. xi νi i 0 Β. Για τη µέση τιµή των συντάξεων έχουµε x 8,96 ν 0 εκατοντάδες ευρώ, δηλαδή 896 ευρώ. Για την εύρεση της διαµέσου των συντάξεων σχηµατίζουµε το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων F i %. Fi% 00-96 - 90-80 - 70-60 - 0-0 - 0-0 - 0 - δ 8 6 0 x σε εκατ. ευρώ i δ 0 0 Από αυτό έχουµε δ δ +, 7,. 8 60 0 6 Αφού x> δ η κατανοµή παρουσιάζει θετική ασυµµετρία.

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΓ(α) 6 Β. Πάνω από 00 ευρώ δηλαδή από εκατοντάδες είναι τα 6 κλάσης και όλοι που είναι στην η και στην η κλάση, δηλαδή ποσοστό 0 + 6 + % 7,% δηλαδή 7, 80000 9870 00 συνταξιούχοι. της ης Β. Μέγιστο ετήσιο εισόδηµα 860 ευρώ σηµαίνει ότι το µέγιστο µηνιαίο εισόδηµα είναι 860 70 ευρώ, δηλαδή 7, εκατοντάδες ευρώ. i. Από -7, εκατοντάδες ευρώ ανήκουν 7,, 0,8080% των 8 συνταξιούχων της πρώτης κλάσης, δηλαδή ποσοστό 0,80 60 8% του συνόλου των συνταξιούχων. Άρα η ζητούµενη πιθανότητα είναι 8%. ii. Το ποσό που θα αφαιρεθεί από τις ανώτερες κλάσεις του δείγµατος ανά µήνα είναι 00 + 00 + 00 0 00 + 000 + 000 900 ευρώ και θα διανεµηθεί σε 80 0 0 00 της ης κλάσης. Άρα καθένας από τους δικαιούχους θα πάρει 900 79,6 ευρώ ανά µήνα. 0 ΘΕΜΑ Γ Γ. Για την f(x) πρέπει να ισχύουν: ( x 0 και x - 0). Άρα Α f [0,) (,+ ). Για την g(x) πρέπει να ισχύουν: ( x > 0 και x 0) δηλαδή x>0. Άρα Α g (0, + ). Γ. ( x ) ( x )( x+ ) x 6 lim f ( x) lim lim lim P(A). x x x x x x+ P(B) P(B) x Είναι: g ( x) + + x + + x x 6 x x 8 P(B) οπότε g () + +. 8 π Αν ω τότε π P( B) P( B) εφωεφ g () + + P( B).

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΓ(α) Γ. α Αν P( A B) > P( B) άτοπο γιατί (Α Β) Β. Αν P( A B) τότε P( A B) Ρ( Α ) + Ρ( Β) Ρ( Α Β ) 6 9 6 + + > άτοπο. 6 Άρα P( A B). β P( A B ) P( Α ) + P( B ) P( A B ) P( A) + P( B) P( A B) 9 P( Α ) + P( B) P( A) + P( A B) + +. 0 γ. P[ ( A B) ( B A )] P( Α B) + P( B A) P( A) P( A B) + P( B) P( A B ) 0 6 9 + + +. 0 0 0 0 ΘΕΜΑ. f x x + x x x ( ) ( ) x - 0 + -x + + x - + + f (x) + + f(x) ր ց ր ց Άρα η f (, ], f [,0], f [0,], f [, + ). Έχει τοπικό µέγιστο για x - το f ( ) και για x το f () και τοπικό ελάχιστο για x 0 το f(0).

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΓ(α). i) Είναι: 0 Ρ( Β) και f στο [0,].. ii. α) Συνεπώς: f f( ) f( ) (0) Ρ( Β) Ρ(A) και 0 Ρ(A) και αφού ο δειγµατικός χώρος αποτελείται από ισοπίθανα απλά ενδεχόµενα Ρ(Α) και ΑΩ. Ακόµα: f P(B) P(A) P (B) + P (B) + P ( B) P ( B) 0 ( ) ( ) P( B ) 0 ή P(B) ± απορ. αφού 0 P( B) Άρα Ρ(Β)0 και B. Γ Α Ω και Γ Β Άρα: 0 < Ρ( Γ ) < 0 < Ρ( Γ ) < 0 < ν < και ν N ν, οπότε Ρ(Γ) Ω, και Γ, Γ Άρα: Ρ( Γ ) < Ρ( ) < Ρ( Γ ) < Ρ( ) < < ν < και ν N ν, οπότε Ρ( ). Συνεπώς: x i ν i ν0 β) t+ t6 + δ.

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΓ(α) γ) Είναι Γ Γ οπότε Ρ( Γ ) Ρ( Γ ) Γ οπότε Ρ Γ Ρ( ) και ( )

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΓ(α) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 7 Απριλίου 0 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑ Α Α.. Σχολικό βιβλίο Σελίδες 8-9. Α.. Σχολικό βιβλίο Σελίδες 86-87. Α.. Σχολικό βιβλίο Σελίδα 6. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α.. α Σ, β Λ, γ Λ, δ Σ, ε Σ. ΘΕΜΑ Β Β.. Αφού το εύρος R 0 min και το πλήθος των κλάσεων είναι κ, τότε R 0 c κ. Αν οι κλάσεις είναι [ a, a+ ),[ a+, a+ 8),[ a+ 8, a+ ), από την κεντρική τιµή της ης κλάσης ( a + 8) + ( a + ) a + 0 x 0 0 a + 0 a 0, άρα οι κλάσεις είναι [ 0, ),{, 8),{8,),[, 6),[6, 0). Έχουµε επίσης ότι N 0, αφού N ν, άρα ν 0. Επίσης, δίνεται ότι µαθητές περιµένουν λιγότερο από min άρα ν, έτσι: ν 6 f 0,06 και ν 0 00 F 0,, άρα f + f 0, f 0, 0,06 f () 0, ν 0, 0, ν 7. ν 0 ίνεται επίσης ότι 0 µαθητές περιµένουν λιγότερο από mm, άρα N 0 ν + ν + ν 0 0 + ν 0 ν 0, άρα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΓ(α) ν 0 f 0, και F f+ f + f 0,, δίνεται επίσης ότι το 8% των ν 0 µαθητών περιµένουν χρόνο λιγότερο από 6min, άρα F 8 F 0,8 f + f + f + f 0,8, οπότε % ν ν f 0,8 0, 0, και 0, 0, ν ν 0 Οπότε N ν + ν + ν + ν + 7+ 0+, άρα ν 0 8 έτσι ο πίνακας γίνεται : Κλάσεις: χρόνος σε min Κέντρο κλάσης x i Συχνότητα ν i N i fi F i F i % [0,) 0,06 0,06 6 [,8) 6 7 0 0, 0, 0 [8,) 0 0 0 0, 0, 0 [,6) 0, 0,8 8 [6,0) 8 8 0 0,6 00 Σύνολο 0 Β.. Για το µέσο χρόνο αναµονής και τη διασπορά: Κλάσεις: χρόνος σε min xi νi x ν i i x i x ( x) x i ( xi x) νi [0,) 6-0 00 00 [,8) 6 7-6 6 [8,) 0 0 00-0 [,6) 08 88 [6,0) 8 8 6 6 88 Σύνολο 0 600 968

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΓ(α) Άρα s κ x x i νi 600 min και η διασπορά ή διακύµανση ν 0 κ ν i i ( x i x) νi, δηλαδή s 968 0 96 00 9,6 min, οπότε s s 9,6, min. Η διάµεσος δ σε οµαδοποιηµένη κατανοµή αντιστοιχεί στην τιµή x δ της µεταβλητής x (στον οριζόντιο άξονα) έτσι ώστε το 0% των παρατηρήσεων να είναι µικρότερες ή ίσες του δ. ηλαδή η διάµεσος έχει αθροιστική σχετική συχνότητα F 0 % έτσι στο σχήµα από το ιστόγραµµα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων επί τοις εκατό τα σηµεία Α, Μ, Β είναι συνευθειακά έτσι: y y y B A M A λ ΑΒ λ ΑΜ ή xb x A xm x A y 8 0 0 0 0 ( δ ) 0 ή 6 δ δ δ 0 δ δ,9 min περίπου F i % 00 8 Β(6,8) 0% 0 0 Α(,0) Μ(δ,0) 0 8 δ 6 0 χρονος σε min Β τρόπος Από τα όµοια τρίγωνα ΑΗΜ ΑΚΒ ή λόγω θεωρήµατος Θαλή έχουµε ΑΗ ΗΜ x 0 0, δηλαδή x x 0, 9 περίπου ΑΚ ΚΒ Άρα η διάµεσος δ + x + 0,9, 9 περίπου

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΓ(α) F i % 00 8 Β(6,8) 0% Α(,0) 0 0 x H Μ(δ,0) K 0 0 8 δ 6 0 χρονος σε min Β.. α) Από το σχήµα έχουµε Γ ( 8,0), P(0, y), A(,0) y A yγ yp yγ 0 0 y 0 λ ΓΑ λγρ, άρα xa xγ xp xγ 8 0 8 0 y 0 y 0 y 0 0 y 0 άρα το 0% των µαθητών έχει χρόνο αναµονής κάτω από 0 min (οπότε το 70% κάνει χρόνο από 0 min και πάνω) άρα για το ενδεχόµενο Α{ο χρόνος αναµονής του µαθητή είναι µικρότερος από 0 min }, έχουµε 0 P ( A) P( t< 0 min) 0, 00 F i % 00 y 88 8 (0,00) Ε(7, y ) Β(6,8) 0% Μ(δ,0) 0 Α(,0) y 0 Ρ(0, y ) 0 Γ(8,0) 0 8 0δ 67 0 χρονος σε min y yβ yε yβ 00 8 y 8 λ Β λβε, άρα x xβ xε xβ 0 6 7 6 6 y 8 y 8 y 88

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΓ(α) Άρα το 88% των µαθητών έχει χρόνο αναµονής κάτω από 7 min, από αυτούς το 0% έχει χρόνο αναµονής κάτω από 8 min, άρα χρόνο αναµονής τουλάχιστον 8 min και λιγότερο από 7 min έχει το 88 0 68% του συνόλου των µαθητών. Έτσι για την πιθανότητα του ενδεχοµένου Β{ο χρόνος αναµονής του µαθητή είναι τουλάχιστον 8 min και λιγότερος από 7 min },έχουµε 68 P ( B) P(8 t< 7 min) 0,68 00 β) Θεωρούµε το ενδεχόµενο A B {ο χρόνος αναµονής του µαθητή 8 min t 0 min }, τότε το 0% των µαθητών έχει χρόνο αναµονής κάτω από 0 min, από αυτούς το 0% έχει χρόνο αναµονής κάτω από 8 min, οπότε το 0 0 0% έχει χρόνο αναµονής 8 min t 0 min, 0 άρα P ( A B 0,, οπότε 00 P ( A B) P( A) + P( B) P( A B) 0, + 0,68 0, 0,88,ενώ P ( A B) P( A) P( A B) 0, 0, 0,, έτσι ( ) P ( A B) A P( B A) P( B) P( A B) 0,68 0, 0,8 ΘΕΜΑ Γ x Γ.. Αρχικά για το όριο: δ lim x x + Πρέπει x + 0 και x + 0 όποτε x και x +, άρα x και x +, έτσι έχουµε x και x, άρα η συνάρτηση ορίζεται στο σύνολο A [,) (, + ) άρα για τη συνάρτηση έχουµε: ( x ) ( x ) ( x+ + ) ( x+ ) ( x+ )( x+ + ) x ) ( x + + ) ( x ) ( x + + ) ( x + + ) ( x + ) ( x + ) x ( x + + ) lim lim 0 f ( x) ή ( f ( x) άρα lim f ( x) x x x + x x Έτσι δ lim 0 0 mm Hg x x + Όπως γνωρίζουµε στην κανονική κατανοµή, η µέση τιµή χωρίζει το σύνολο των παρατηρήσεων µε τέτοιο τρόπο έτσι ώστε το 0% των παρατηρήσεων να είναι µικρότερες ή ίσες της x και το 0% των παρατηρήσεων να είναι

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΓ(α) µεγαλύτερες ή ίσες της x. ηλαδή στην κανονική κατανοµή ισχύει ότι η διάµεσος και η µέση τιµή ταυτίζονται έτσι δ x 0 mm Hg. Αποδεικνύεται ότι στην κανονική κατανοµή: το 8% έχει συστολική πίεση x> x A s A από το πρόβληµα δίνεται ότι: το 8% έχει συστολική πίεση µεγαλύτερη από mm Hg, άρα πρέπει, x A s A mm Hg, όµως x 0 mm Hg, άρα 0 s A s A mm Hg Έτσι για την κατανοµή Α έχουµε: % 0% 8% 0 0 0 0 x A- sa x A - s A x A - s A x A x A+ sa x A + s A x A + s σε mm Hg A Για τον συντελεστή µεταβολής CV A s x A A 0 6 < 0, άρα το δείγµα Α είναι οµοιογενές. Γ.. α) Για το δείγµα Β ξέρουµε ότι κάθε άτοµο του δείγµατος αυτού παρουσιάζει συστολική πίεση y i x i + 0 σε mm Hg, για κάθε i,,..., ν, σε σχέση µε τη συστολική πίεση x i των ατόµων του δείγµατος Α. Άρα, από γνωστή εφαρµογή του σχολικού βιβλίου, θα ισχύει ότι y B x A+ 0 0+ 0 0 mm Hg Ενώ s s mm Hg. B A

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΓ(α) Οπότε s B CV B < y B 0 0 CV οµοιογένεια σε σχέση µε το δείγµα Α. A, έτσι το δείγµα Β παρουσιάζει µεγαλύτερη κατανοµή Α κατανοµή Β 0 0 0 0 σε mm Hg x A- sa x A- sa x A- sa x A x A+ sa x A+ sa x A+ sa yb- sb y B- sb y B- sb y B y B+ sb y B+ sb y B+ sb Γ.. β), 0 0 0 0 σε mm Hg x A x A+ sa x A+ sa i. Από την υπόθεση έχουµε ότι το πλήθος των ατόµων του δείγµατος Α, στο x A+ s, x A+ s, είναι ίσο µε 0, όµως το παραπάνω διάστηµα [ ] A A

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΓ(α) διάστηµα περιέχει το,% του πλήθους ν A των ατόµων της κατανοµής, Α, άρα,% ν A 0 ν A 0,ν A. 000. 00 000 ηλαδή ν A 000, έτσι ν A ν B. 000 άτοµα., ii. Οπότε συνολικά και από τα δύο δείγµατα έχουν συστολική πίεση κάτω από mm Hg Το 8 % των ατόµων της κατανοµής Α Το 6 % των ατόµων της κατανοµής Β 8 6 Άρα συνολικά.000+.000. 000 άτοµα 00 00 κατανοµή Α κατανοµή Β 8% 6% 0 0 0 0 σε mm Hg x A x A+ sa y - s B B y B ΘΕΜΑ.. α. ax f '( x) ( ax + ) Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης ( ε ) : y x+ β είναι λ και ισούται µε την παράγωγο της f στο x 0, εποµένως είναι:

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΓ(α) a f '() ( a + ) a... a, οπότε η ( a + ) συνάρτηση f γίνεται f ( x) και είναι f ( ). x + Για x και y στην (ε) βρίσκουµε: + β β. x β. f '( x) 0 x 0 ( x + ) x 0 + f '( x) + 0 f (x) ր τ.µ. ց Στο διάστηµα (,0] η f είναι γνησίως αύξουσα και στο διάστηµα [ 0, + ) είναι γνησίως φθίνουσα. Στο x 0 η f παρουσιάζει τοπικό µέγιστο το f ( 0), το οποίο είναι και ολικό µέγιστο, αφού για x 0 είναι f ( x) f (0) και για x 0 είναι f ( x) f (0), δηλαδή για κάθε x R είναι f ( x) f (0)... α. Αν Α ένα ενδεχόµενο ενός δειγµατικού χώρου Ω, τότε ισχύει 0 P ( A), οπότε πρέπει 0 y, 0 x + 0 x + x 0 0 x.. β) Είναι y + y + 7 y + 0 Οπότε { y, y, y},, 0 i. Οι πιθανότητες των ενδεχοµένων ( A B)', A B, και Α είναι οι αριθµοί,,, όχι απαραίτητα µε την ίδια σειρά. 0 Η αύξουσα σειρά αυτών των αριθµών είναι,,. 0

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΓ(α) Είναι A A B, οπότε P( A) P( A B). Αν P ( A) και P ( A B), τότε υποχρεωτικά πρέπει να είναι 7 P (( A B) '), αλλά τότε P ( A B) P( A B) > P( A) που 0 0 0 είναι άτοπο γιατί ισχύει P( A B) P( A), αφού A B A. Αν P ( A) και P ( A B), τότε υποχρεωτικά πρέπει να είναι 0 P (( A B )'), αλλά τότε P ( A B) P( A B) > P( A) που είναι άτοπο γιατί ισχύει P( A B) P( A), αφού A B A. Εποµένως είναι: P ( A), P( A B) και P (( A B )'). 0 Επειδή είναι P( ( A B) ') P( A B), τότε P ( A B) P( ( A B) '). ii. Είναι P ( A B' ) P( A B) P( A) P( A B) () 0 0 Επίσης είναι A B' A ( B' )' A B, οπότε P ( A B' ) P( A B) (). Από τις και προκύπτει ότι P( A B' ) < P( A B' ) και αφού η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα [ 0, + ), τότε f P A B' > f P( A B'). ( ( )) ( ) iii. Είναι P ( A B) P( A) + P( B) P( A B) P( B) P( A B) + P( A B) P( A) P( B) + 0 Είναι Β Γ Β, άρα P ( Β Γ) P( Β) P( Β Γ) () Επίσης, Β Γ Γ, άρα P ( Β Γ) P( Γ) P( Β Γ) 0 P( B Γ) P( B) P( Β Γ) P( B) 0 0 P( Β Γ) P( Β Γ) P( Β Γ) 0 0 Από τις () και () προκύπτει ότι: P ( Β Γ). 0 0 ()

Γενικό Λύκειο Νεστορίου Σχολικό έτος 0-0 Βοηθητικό Υλικό της Γ Λυκείου