Torma Ridurilor şi Bucuria Intgrallor Ral Prntar d Alandru Ngrscu Intgral cu funcţii raţional c dpind d sin t şi cos t u notaţia it, avm: cos t ( + sin t ( i dt d i, iar intgrara s va fac d-a lungul crcului unitat. Problmă rolvată. Arătaţi că dt cos t. Soluţi. u schimbăril d mai sus, intgrala dvin: d d I ( i + i ( + d i ( ( +, und :. Obsrvăm că prsia d intgrat admit doi poli simpli: + şi. Însă, în intriorul curbi s află doar polul. Astfl, Torma Ridurilor n dă I ( i i R ( ( +, ( [ ( ] i lim i ( ( + i lim i ( i i. (
Problm propus. Evaluaţi următoarl intgral ral, utiliând mtoda prntată mai sus: 3 4 π dt, a > ; a + cos t cos 3t 5 4 cos t dt; 3 + 5 sin t dt; ( + cos t dt; 5 6 7 8 dt, < a < ; + a sin t dt, < a < ; + a cos t cos t 3 cos t dt; (cos 3 t + sin tdt. Intgral improprii Problmă rolvată. Evaluaţi intgrala + d. Soluţi. onsidrăm curba, runiuna sgmntului [; R] cu smicrcul R d raă R suficint d mar încât să conţină toţi polii prsii d sub intgrală din smiplanul suprior. Intgrali ral din nunţ îi ataşăm intgrala complă J + d. Vom valua acastă intgrală cu Torma Ridurilor. Singularităţil (polii funcţii d sub intgrală sunt soluţiil cuaţii cos π + i sin π, adică: k cos π + kπ + i sin π + kπ, k,.
Dintr acsta, doar polul d ordinul întâi cos π + i sin π i st situat în smiplanul suprior. Aşadar, ( ( J i R +, i R +, i ( ( i lim ( i i lim ( i i + i ( i( + i i lim i + i π. P d altă part, intgrala J st gală cu suma: [;R] + d + R R + d + d }{{} J + R + d } {{ } J Folosind Ingalitata ML vom arăta că lim J. P R, avm că R, dci + + R, şi atunci R + d M L R πr πr R. πr ând R, cantitata, şi atunci lim R J. Trcând la limită (pntru R în rlaţia J J + J, concluionăm că R π lim + d + d. Problm propus. Evaluaţi următoarl intgral ral, utiliând mtoda prntată mai sus:. 4 + d; 3 ( + d; 6 + d; 4 ( + 3 d; 3
5 ( + ( + 4 d; 6 7 ( + ( + 9 d; + ( + ( + 4 d; 8 9 4 + d; 4 + 5 + 4 d; (4 + d. 3 Problmă rolvată. Evaluaţi intgrala cos + d. Soluţi. La fl ca mai dvrm, considrăm curba, runiuna sgmntului [; R] cu smicrcul R d raă R suficint d mar încât să conţină toţi polii prsii d sub intgrală din smiplanul suprior. Intgrali ral din nunţ îi ataşăm intgrala complă I + d. Vom valua acastă intgrală cu Torma Ridurilor. a în rciţiul prcdnt, obsrvăm că doar polul d ordinul întâi cos π + i sin π i st situat în smiplanul suprior. Aşadar, ( ( i i I i R +, i R +, i ( ( ( i ( i i lim i i lim i + i π. + i lim i ( i( + i P d altă part, intgrala I st gală cu suma: [;R] + R d + R + d i + d + R i }{{} + d. }{{} I I Următorul rultat: Lma lui Jordan. Fi f o funcţi analitică, und > c > Im >. Dacă lim f(, Atunci, pntru oric m >, lim im f(d. R 4
n asigură că lim I. Trcând la limită (pntru R în rlaţia I I + I, obţinm că: π lim R i + d cos + i d + cos + d + i + d, d und concluionăm că cos + d π şi d. + Problm propus. Evaluaţi următoarl intgral ral, utiliând mtoda prntată mai sus: + 9 d; + + d; 3 4 cos d, a > ; + a cos m d, m >. a + Problmă rolvată. Evaluaţi intgrala d. Soluţi. Intgrali ral din nunţ îi ataşăm intgrala complă I d. Pntru că polul prsii d sub intgrală ( st situat p aa rală, considrăm curba, runiuna sgmntlor [; r] şi [r; R] cu smicrcuril R d raă R suficint d mar încât să conţină toţi polii prsii d sub intgrală din smiplanul suprior şi r d raă r suficint d mică, dar să conţină polii d p aa rală ai prsii d sub intgrală. 5
Doarc în intriorul curbi noastr, intgrala nu ar niciun pol (i.. funcţia st analitică, conform Tormi lui auchy, [; r] r d. P d altă part, intgrala I st gală cu suma: I r d + d + i d + r d + R r [r;r] i d + În continuar, avm nvoi d următorul rultat: R d + d R d. Tormă (comportamntul pntru r. Dacă f îl ar drpt pol simplu p c, d p aa rală, atunci, lim f(d πi R (f(, c, r r und r st crcul c it, t [; π]. Aşadar, lim r r ( i d πi R, πi lim (( i πi lim πi. onform Lmi lui Jordan, lim R i d, şi trcând la limită 6
(pntru R şi r în scrira lui I ca sumă, d mai sus, găsim că ( r πi lim r i R d + i r d cos + i d i cos d + i d und, prin idntificara părţii imaginar, găsim că d π. d d Problm propus. Evaluaţi următoarl intgral ral, utiliând mtoda prntată mai sus: ( + d; ( + d; 3 4 cos d; cos 3 + d. 7