9. TESTIRANJE HIPOTEZA O PARAMETRU Josipa Perkov, prof., pred. 1
na prethodnom predavanju upoznali smo se s metodom i postupcima koji omogućavaju da se iz dijela populacije, koji je slučajno izabran, procijeni određena karakteristika (procjenitelj) populacije s mogućno nošću u da se kontrolira vjerojatnost greške u procjeni drugi pristup (obratno): može e se pretpostaviti da neka karakteristika populacije, koja nam nije poznata, ima a određenu numeričku vrijednost na osnovi teorije ili iskustva ili nekog drugog saznanja postavljaju se pretpostavke (hipoteze) Josipa Perkov, prof., pred. 2
provjera istinitosti hipoteze: izabere se uzorak iz populacije i izračuna karakteristika uzorka izračunata karakteristika usporedi se s pretpostavljenom karakteristikom populacije ako razlika nije velika može e se smatrati slučajnom, a hipoteza mogućom om ako je razlika prevelika, te se ne bi mogla smatrati slučajnom, hipoteza se odbacuje kao neprihvatljiva da bi se istinitost, tj.. prihvatljivost hipoteze mogla ispitati pomoću u metode uzoraka, treba pronaći i odgovarajuću formulaciju hipoteze koja je prikladna za metodu Josipa Perkov, prof., pred. 3
svaki postupak testiranja polazi od nulte hipoteze H i alternativne hipoteze H 1 uvijek su proturječne cilj testiranja je da se odbaci što više e lažnih i što manje istinitih hipoteza MOGUĆNOSTI ODLUKA I GREŠAKA nulta hipoteza je prihvaćena nulta hipoteza je odbačena nulta hipoteza je istinita nulta hipoteza je lažna ispravna odluka GREŠKA TIPA II GREŠKA TIPA I ispravna odluka Josipa Perkov, prof., pred. 4
kako je svaka sampling-distribucija distribucija vjerojatnosti, pogreška tipa I prikazuje se vjerojatnošću u odbacivanja istinite nulte hipoteze α - naziva se i razinom značajnosti ajnosti (razinom signifikantnosti) β je vjerojatnost da se prihvati lažna nulta hipoteza, odnosno da se napravi pogreška tipa II vjerojatnost odbacivanja lažne nulte hipoteze naziva se snagom statističkog testa ta je vjerojatnost jednaka (1-β) Josipa Perkov, prof., pred. 5
8.1. TESTIRANJE HIPOTEZE O ARITMETIČKOJ SREDINI POPULACIJE testiranje se provodi pomoću u slučajnog uzorka veličine ine n: n > 3: veliki uzorak (z-test) n < 3: mali uzorak (t-test) test) koraci testiranja: (1) određivanje sadržaja aja nulte i alternativne hipoteze, (2) određivanje izraza za testnu veličinu inu i izračunavanje njezine vrijednosti, (3) odabir razine značajnosti ajnosti i određivanje kritičnih granica koje dijele područje prihvaćanja anja nulte hipoteze od područja njezina odbacivanja, (4) donošenje zaključka ka o ishodu testa Josipa Perkov, prof., pred. 6
VELIKI UZORAK: ako je nulta hipoteza istinita sampling-distribucija sredina uzoraka oblika je normalne distribucije ili približno tog 2 oblika: Nµ, ( ) σ x oznake: µ nepoznata aritmetička sredina populacije, µ pretpostavljena aritmetička sredina populacije VRSTA TESTA nulta hipoteza dvosmjeran jednosmjeran, na gornju granicu jednosmjeran, na donju granicu alternativna hipoteza H Kµ µ H 1 Kµ µ H Kµ µ Kµ > µ područje prihvaćanja nulte hipoteze z < z α 2 H zα područje odbacivanja nulte hipoteze z > z α 2 z < z > zα H Kµ µ H Kµ < µ z > zα z < zα Josipa Perkov, prof., pred. 7
test veličina: ina: z x µ σ x x aritmetička sredina uzorka, µ pretpostavljena veličina ina aritmetičke sredine populacije σ x standardna pogreška (računa se kao i standardna pogreška procjene aritmetičke sredine) odluka se donosi alternativno pomoću u kritičnih granica za dvosmjeran test kritične granice prihvaćanja nulte hipoteze jesu: c 1 µ zα σ, c µ z x 2 + α 2 2 ako je AS uzorka između navedenih granica, prihvaća se nulta hipoteza za jednosmjeran test na gornju granicu, kritična je granica c 2, σ x za jednosmjeran test na donju granicu, kritična je granica c 1 Josipa Perkov, prof., pred. 8
testiranje hipoteze o pretpostavljenoj AS populacije koja je normalno raspoređena s nepoznatom standardnom devijacijom temelji se na Studentovoj distribuciji kao sampling-distribuciji sredina polazi se od nulte hipoteze kao istinite i koristi se t-testt test t x µ σ x VRSTA TESTA nulta hipoteza dvosmjeran jednosmjeran, na gornju granicu jednosmjeran, na donju granicu alternativna hipoteza H Kµ µ H 1 Kµ µ H Kµ µ Kµ > µ područje prihvaćanja nulte hipoteze područje odbacivanja nulte hipoteze H Kµ µ H Kµ < µ t > t t < t α α Josipa Perkov, prof., pred. 9 t < t α 2 H t α t > t α 2 t < t > t α
PRIMJER 1. Odredimo koeficijent značajnosti ajnosti za test o pretpostavljenoj vrijednosti AS populacije pomoću u slučajnog uzorka ako su zadani sljedeći i uvjeti: (a) test je dvosmjeran, n1, α: : 5% (b) test je jednosmjeran, n22, α: : 5% (c) test je dvosmjeran, n2, uzorak izabran iz normalne distribucije N(µ,64), razina značajnosti ajnosti 1% (d) test je dvosmjeran, n15, uzorak izabran iz normalne distribucije s nepoznatom standardnom devijacijom, razina značajnosti ajnosti 5% (a) uzorak je velik, test je dvosmjeran pa se razina značajnosti ajnosti α dijeli na 2 jednaka dijela: razina signifikantnosti od 5% jednaka je pouzdanosti od 95% (α.5 α/2.25 (.5 -.25).475 z α/2 1.96 (određivanje kao i kod procjene parametara) Josipa Perkov, prof., pred. 1
(b) veliki uzorak, test je jednosmjeran pa se razina značajnosti ajnosti nalazi na desnom ili lijevom kraku normalne krivulje, α: : 5% (.5.5).45 z α z.5 1.65, a zbog simetričnosti vrijedi: -z.5-1.65 (c) mali uzorak, test dvosmjeran, normalna distribucija s poznatom standardnom devijacijom, α: : 1% z α/2 z.5 2.58 (d) mali uzorak, test dvosmjeran, normalna distribucija s nepoznatom standardnom devijacijom, α: : 5% t-test, test, n15 ss 14 t.25 2.145 Ako je test jednosmjeran t.5 1.761, -t.5-1.761 Josipa Perkov, prof., pred. 11
PRIMJER 2. Prema standardu, prosječna trajnost električnih žarulja od 75W iznosi 2 sati s prosječnim odstupanjem 25 sati. Uz frakciju izbora manju od 5% izabran je slučajni uzorak od 64 žarulje. Ispitivanjem je ustanovljeno da je prosječna trajnost žarulja u uzorku 1935 sati. Može li se prihvatiti pretpostavka da je uzorak izabran iz osnovnog skupa kojemu je aritmetička sredina prema standardu? Testirati treba na razini signifikantnosti 5%. veliki uzorak, test nije ograničen dvosmjeran test Hipoteze: H µ 2 H 1 µ 2 Izračunavanje testnih veličina: µ 2, σ 25, f <.5, x 1935, α.5 α/2.25 (.5-.25).475 z.25 1.96 kritične vrijednosti za prihvaćanje nulte hipoteze: z <1.96, tj. -1.96<z<1.96 Josipa Perkov, prof., pred. 12
test-veli veličina: ina: z x µ σ x x µ σ 1935 2 25 n 64 65 31.25 2.8 Odluka: : budući i je z <z α/2, tj.. empirijski z-omjer manji je od teorijske (kritične) vrijednosti: -2.8< 2.8<-1.96, pa se na danoj razini značajnosti ajnosti odbacuje H ne prihvaća a se pretpostavka da je uzorak izabran iz skupa žarulja s prosječnom trajnošću 2 sati Alternativna odluka pomoću u kritičnih granica: c c 1 2 µ z µ + z α 2 α 2 σ x σ x 2 1.96 31.25 1938.75 2 + 1.96 31.25 261.25 Aritmetička sredina uzorka (1935) manja je od donje kritične granice pa se ne prihvaća a H Josipa Perkov, prof., pred. 13
c 1 c 2 Josipa Perkov, prof., pred. 14
PRIMJER 3. Odjel za istraživanje ivanje tržišta ta prati veličinu inu prosječne mjesečne prodaje čokolade tipa X u lancu 2976 trgovina na malo. Trgovine su približno jednakih veličina ina i strukture prodaje. Prema prosudbi prodajnog odjela, prodaja čokolade u trgovinama na malo približno je normalnog oblika, sa sredinom 3kg i s nepoznatom standardnom devijacijom. Radi provjere pretpostavke, izabran je slučajni uzorak 26 trgovina t u kojima je utvrđena prosječna mjesečna prodaja od 32.385kg i standardna devijacija od 7.767. Do kojeg se zaključka ka dolazi na temelju podataka iz uzorka ako je razina signifikantnosti 5%? n 26 mali uzorak, test nije ograničen dvosmjeran test Hipoteze: H µ 3, H 1 µ 3 testne veličine: µ 3, x 32.385, s 7.767, α.5 α/2.25, ss 25 t.25 2.6 kritične vrijednosti za prihvaćanje H : t <2.6 Josipa Perkov, prof., pred. 15
test veličina: ina: t x µ σ x x µ s n 1 N n N 1 1.54 budući i je empirijski t-omjer t manji od teorijske vrijednosti, prihvaća a se H, tj.. na razini signifikantnosti od 5% prihvaća se pretpostavka da prosječna mjesečna prodaja čokolade tipa X po prodavaonici iznosi 3kg. provjerite zaključak pomoću u kritičnih granica Josipa Perkov, prof., pred. 16
PRIMJER 4. Banka želi smanjiti prosječni utrošak vremena obrade naloga stranaka promjenom programske potpore. Analizom je utvrđeno da se promjena potpore isplati ako prosječno vrijeme obrade iznosi najviše 3 sekundi po nalogu. Na temelju podataka o trajanju obrade pomoću nove programske potpore za 453 slučajno odabrana naloga izračunano je prosječno utrošeno vrijeme po nalogu od 28 sekundi s prosječnim odstupanjem 4 sekunde. Do kojeg se zaključka dolazi na temelju provjere rada s novim programom uz 2% razinu signifikantnosti? želi se smanjiti vrijeme obrade jednosmjerni test na donju granicu veliki uzorak hipoteze: H µ 3 H 1 µ<3 Josipa Perkov, prof., pred. 17
testne veličine: n453, µ 3, x28, s4, α2% -z.2-2.5 test-veličina (teorijski z-omjer): z x µ σ x x µ s n 1 1.63 budući je test jednosmjeran na donju granicu, za prihvaćanje nulte hipoteze mora vrijediti da je z>-z α u našem primjeru je empirijski z-omjer manji od teorijske vrijednosti, tj. -1.63<-2.5 pa se odbacuje H Josipa Perkov, prof., pred. 18
8.2. EMPIRIJSKA RAZINA SIGNIFIKANTNOSTI (p-vrijednost) sastavni dio plana testa predstavlja vjerojatnost odbacivanja istinite nulte hipoteze izračunane pomoću u podataka iz uzorka, odnosno test- veličine ine što je manja p-vrijednost p manja je i empirijski utvrđena vjerojatnost odbacivanja istinite nulte hipoteze i obrnuto p-vrijednost > α prihvaća a se H p-vrijednost < α prihvaća a se H 1 Josipa Perkov, prof., pred. 19
POSTUPAK RAČUNANJA EMPIRIJSKE RAZINE SIGNIFIKANTNOSTI VRSTA TESTA nulta hipoteza dvosmjeran jednosmjeran, na gornju granicu jednosmjeran, na donju granicu H Kµ µ 1 µ H Kµ µ Kµ > µ H Kµ µ Kµ < µ alternativna hipoteza p- vrijednost H Kµ p2p(z> z ) H pp(z>z) H pp(z> z ) kada se provodi test o pretpostavljenoj sredini populacije na temelju malog uzorka, p-vrijednost izračunava se na isti način, s tom razlikom što se umjesto z-omjera z koristi t-omjer, t a umjesto normalne t-t distribucija Josipa Perkov, prof., pred. 2
PRIMJER 5. Pretpostavlja se da je na autocesti između 2 grada prosječna brzina automobila 1km/h, s prosječnim odstupanjem 15km. Testiranje pretpostavke temelji se na uzorku brzina 64 automobila i razini signifikantnosti 5%. Hipoteza o pretpostavljenoj prosječnoj brzini prihvaća a se ako se prosječna brzina automobila u uzorku nađe između 96.325 i 13.675 km/h. Prosječna brzina automobila u uzorku iznosila je 12 km/h. Izračunajte p-vrijednost p i pomoću u te vrijednosti donesite zaključak. ak. veliki uzorak, test dvosmjeran hipoteze: H µ 1 H 1 µ 1 x µ x µ empirijski z-omjer: z z 1. 6 σ s x n 1 Josipa Perkov, prof., pred. 21
p-vrijednost: ( Z > z ) 2P( > 1.6) 2(.5.3554). 2892 p 2 P Z razina signifikantnosti je α.5, a p.2892, tj. α<p, pa se prihvaća a nulta hipoteza može e se prihvatiti hipoteza da je prosječna brzina automobila na cesti između 2 grada 1km/h Josipa Perkov, prof., pred. 22
PITANJA ZA USMENI DIO ISPITA: 1. Testiranje hipoteza o parametru. Greška tipa I, greška tipa II 2. Objasnite pojmove: nulta i alternativna hipoteza, razina značajnosti, ajnosti, test veličina ina z i t, kritične granice, p-p vrijednost 3. Opišite ite postupke testiranja i načine donošenja odluka Josipa Perkov, prof., pred. 23