Elemente de teoria probabilităţilor

Part I Elemente de teoria probabilităţilor 1 Spaţiu de probabilitate 1.1 Spaţiu de evenimente Scopul Teoriei probabilităţilor este de a construi modele matematice în situaţii guvernate de factori aleatori, spre exemplu în prognoza stării vremii, în asigurări de viaţă, în controlul tehnic al calităţii produselor, în probleme de trafic, sau în diverse jocuri de noroc (cărţi, zaruri, pronosport, etc). Acurateţea acestor modele poate fi testată prin diverse observaţii sau experimente, acesta fiind scopul Statisticii matematice. Punctul de plecare în construcţia modelului matematic al spaţiului de probabilitate este experimentul. Un experiment este rezultatul unei măsurători sau observaţii, al cărui rezultat nu poate fi prevăzut cu exactitate înaintea efectuării lui, dar pentru care mulţimea tuturor rezultatelor posibile este cunoscută. O încercare este o singură efectuare a experimentului, iar rezultatul ei se numeşte eveniment elementar. Definim spaţiul de evenimente Ω ca fiind mulţimea tuturor evenimentelor elementare (mulţimea tuturor rezultatelor posibile ale experimentului). Exemplul 1.1 Câteva exemple de spaţii de evenimente: 1. La verificarea unui bec putem considera Ω = { } 2. La aruncarea unui zar, Ω = {1 2 3 4 5 6} 3. La numărarea accidentelor de trafic într-o anumită zi, putem considera Ω ca fiind mulţimea numerelor naturale N = {0 1 2 }. 4. La măsurarea rezistenţei la rupere a unui fir, putem considera Ω ca fiind un anumit interval de numere reale. Definim un eveniment ca fiind o submulţime a mulţimii Ω de evenimente elementare. Vom nota prin P (Ω) mulţimea tuturor evenimentelor (P (Ω) este mulţimea tuturor submulţimilor lui Ω, adică mulţimea formată din toate submulţimile mulţimii Ω). În general vom nota evenimentele cu litere mari, spre exemplu,iar evenimentele elementare cu litere mici, spre exemplu Dacă într-oîncercareaapărut evenimentul elementar, atunci dacă spunem că evenimentul aavutloc / aapărut, iardacă spunem că evenimentul nu a avut loc / nu a apărut. Observăm că evenimentul Ω apare la fiecare încercare, iar evenimentul nu apare la nici o încercare. Din acest motiv Ω se mai numeşte evenimentul sigur, iar se mai numeşte evenimentul imposibil. Exemplul 1.2 În cazul spaţiului de probabilitate Ω = {1 2 3 4 5 6} din exemplul 2 de mai sus, putem considera spre exemplu evenimentele: = {1 3 5} ( număr par ), = {2 4 6} ( număr impar ), = {4 5 6} ( cel puţin 4 ), etc. Dacă într-oîncercarerezultatularuncării zarului este 3, atunci evenimentul a avut loc, dar evenimentele şi nu au avut loc. Definim în continuare următoarele operaţii cu evenimente (terminologia este aceeaşi cu cea din teoria mulţimilor): reuniunea evenimentelor şi, notată, este evenimentul constând în realizarea lui sau a lui intersecţia evenimentelor şi, notată, este evenimentul constând în realizarea simultană alui şi alui complementara evenimentului, notată, este evenimentul ce constă în nerealizarea lui Dacă evenimentele şi nu pot avea loc simultan, spunem că şi sunt evenimente incompatibile (sau disjuncte), şi deci în acest caz = este evenimentul imposibil (mulţimea vidă). Observăm că şi sunt evenimente incompatibile (deoarece conform definiţiei = ) şi că = Ω. Exemplul 1.3 În cazul evenimentelor definite în exemplul anterior (aruncarea unui zar), observăm că =, şi deci şi sunt evenimente disjuncte, dar şi nu sunt evenimente disjuncte, deoarece = {5} 6=. Deasemenea, = {1 2 3 4 5 6} = Ω este evenimentul sigur, = {1 3 4 5 6}, = {4 6}, etc. 2

S P 3 4 7 2 5 6 1 B Figure 1: în mod analog definiţiei anterioare pentru un număr oarecare de evenimente definim reuniunea evenimentelor 1 2, notată =1 = 1 2,cafiind evenimentul ce constă în realizarea cel puţin a unuia din evenimentele 1 2.Înmodsimilardefinim reuniunea unui număr infinit de evenimente 1 2, notată =1 = 1 2 intersecţia evenimentelor 1 2, notată =1 = 1 2,cafiind evenimentul ce constă în realizarea simultană a evenimentelor 1 2. În mod similar definim intersecţia unui număr infinit de evenimente 1 2, notată =1 = 1 2 Pentru a calcula diverse reuniuni, intersecţii şi/sau complementare de evenimente, este uneori utilă folosirea diagramelor Venn, la fel ca în cazul teoriei mulţimilor. Exerciţii Să se reprezinte grafic spaţiul de evenimente în următoarele cazuri. Exerciţiul 1.1 Alegerea a trei şuruburi dintr-un lot conţinând şuruburi scurte şi lungi. Exerciţiul 1.2 Aruncarea a două zaruri. Exerciţiul 1.3 Aruncarea a două monede Exerciţiul 1.4 Aruncarea unui zar până la apariţia feţei 6. Exerciţiul 1.5 Extragerea dintr-un lot de 10 şuruburi conţinând un şurub defect, până la extragerea acestuia, presupunând că extragerile se fac fără înlocuire (adică şuruburile extrase nu sunt puse înapoi în lot). Exerciţiul 1.6 În Exerciţiul 1, fie evenimentele: 1 şurub lung, 1 şurub scurt, 2 şuruburi lungi, respectiv 2 şuruburi scurte, între cele 3 şuruburi extrase. Sunt şi disjuncte? Dar şi? Dar şi? Exerciţiul 1.7 La aruncarea a două zaruri, se consideră evenimentele: - suma este divizibilă cu3, -suma este divizibilă cu 5. Sunt aceste evenimente disjuncte? Aceeaşi întrebare în cazul aruncării a trei zaruri. Exerciţiul 1.8 În Exerciţiul 2, reprezentaţi evenimentele -feţele sunt egale, -sumafeţelor este mai mică decât 5,,,,. Exerciţiul 1.9 Care sunt cele opt submulţimi ale mulţimii Ω = { }? Exerciţiul 1.10 În Exerciţiul 4, scrieţi toate evenimentele elementare ce compun evenimentul -primul şase apare în una din primele 5 aruncări. Să se descrie evenimentul. Exerciţiul 1.11 În legătură cuexcursiaa7 studenţi în Europa (notaţi 1 7 în figura de mai jos), considerăm evenimentele - au vizitat Parisul, -s-ausimţit bine, şi -aurămas fără bani. Descrieţi în cuvinte fiecare din evenimentele elementare 1 7. 3

Exerciţiul 1.12 Dintr-un lot de 20 de garnituri, 7 nu au nici un defect, 3 au un -defect (prea subţiri), 6 au un -defect (prea groase), iar 4 au ambele defecte. Să se reprezinte acest spaţiu de probabilitate folosind o diagramă Venn, indicând şi numărul de elemente din fiecare mulţime. Exerciţiul 1.13 (Legile lui De Morgan) Folosind diagramele Venn, să se reprezinte următoarele mulţimi şi să se verifice legile lui De Morgan: ( ) = ( ) = Exerciţiul 1.14 Folosind diagramele Venn, să se reprezinte următoarele mulţimi şi să se verifice următoarele egalităţi ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) Exerciţiul 1.15 Folosind diagramele Venn, să se reprezinte următoarele mulţimi şi să se verifice următoarele egalităţi ( ) =, Ω = = Ω = Ω = 1.2 Probabilitatea Probabilitatea unui eveniment ce poate apare în urma unui experiment are are rolul de a arăta cât de frecvent apare evenimentul dacă am repeta experimentul de un număr mare de ori. Spre exemplu, dacă aruncăm o monedă deunnumăr mare de ori, observăm că stema şi banul apar aproximativ cu aceeaşi frecvenţă, şi deci probabilitate de apariţie este de 50%, sau 50 100 = 1 2. Similar, la aruncarea unui zar, feţele 1 6 apar aproximativ cu aceeaşi frecvenţă, şi deci probabilitatea de apariţie a fiecărei feţe a zarului este 1 6. Să notăm cu ( ) frecvenţa absolută de apariţie a unui eveniment în repetări ale experimentului, şi cu ( ) frecvenţa relativă de apariţie a evenimentului, adică Observăm următoarele. ( ) = ( ) = numărul de apariţii a lui numărul de încercări (1) 1. Dacă evenimentul nu a apărut în cele încercări, atunci ( ) =0,iardacăevenimentul aapărut la fiecare încercare, atunci ( ) =. În general avem 0 ( ), şi împărţind prin obţinem 2. Dacă înparticular = Ω, atunci (Ω) =, şi deci 0 ( ) 1. (2) (Ω) =1 (3) 3. Dacă evenimentele şi sunt disjuncte, atunci frecvenţa absolută deapariţie a evenimentului este egală cu suma frecvenţelor absolute de apariţie a lui şi a lui, adică ( ) = ( )+ ( ). Împărţind prin obţinem aceeaşi relaţie şi pentru frecvenţele relative, adică ( ) = ( )+ ( ) (4) Având în vedere interpretarea probabilităţii ca limită a frecvenţei relative de apariţie a evenimentului într-un şir de încercări cu, alegem proprietăţile (2), (3) şi (4) de mai sus ca axiome în definiţia probabilităţii. Obţinem astfel următoarea definiţie. Definiţia 1.4 Numim probabilitate pe spaţiul de evenimente Ω, ofuncţie : P (Ω) R ce asociază fiecărui eveniment P (Ω) un număr real ( ), cuurmătoarele proprietăţi 1. 0 ( ) 1 pentru orice eveniment 4

2. (Ω) =1 3. Oricare ar fi evenimentele disjuncte şi are loc ( ) = ( )+ ( ) (5) 3*. În cazul în care spaţiul Ω de evenimente este infinit, condiţia (5) de mai sus se înlocuieşte prin oricare ar fi evenimentele disjuncte 1 2 Câteva din proprietăţile probabilităţii sunt conţinute în următoarea: ( 1 2 )= ( 1 )+ ( 2 )+ (6) Teorema 1.5 Dacă este o probabilitate pe spaţiul de evenimente Ω, atunciauloc: 1. ( )=1 ( ), pentru orice eveniment. (Regula de complementare) 2. ( ) =0. 3. ( 1 2 )= ( 1 )+ ( 2 )+ + ( ),oricarearfi evenimentele disjuncte 1 2. (Regula de adunare pentru evenimente disjuncte) 4. ( ) = ( )+ ( ) ( ), oricarearfi evenimentele şi. (Regula de adunare pentru evenimente oarecare) 5. ( ) ( ), oricarearfi evenimentele şi cu. (Regula de monotonie) Demonstraţie. Exerciţiu. 1.3 Probabilitatea în cazul spaţiului cu un număr finit de evenimente elementare egal probabile În multe din cazurile ce apar în practică, spaţiul Ω al evenimentelor constă într-unnumăr finit de evenimente elementare, Ω = { 1 },şi din anumite considerente de simetrie putem presupune că toate acestea sunt egal probabile, adică ({ 1 })= ({ 2 })= = ({ }) Notând cu valoarea necunoscută a probabilităţii evenimentelor elementare, şi folosind regula de adunare a evenimentelor disjuncte şi axioma 2 a probabilităţii, obţinem: 1= (Ω) = ({ 1 })= ({ 1 })+ ({ 2 })+ + ({ })= + + = şi deci = 1. Am obţinut deci câ în cazul unui spaţiu de probabilitate Ω = { 1 } cu evenimente elementare egal probabile, probabilitatea fiecăruia dintre aceste este ({ 1 })= ({ 2 })= = ({ })= 1 (7) Pentru un eveniment = { 1 } Ω, folosind din nou regula de adunare pentru evenimente disjuncte, obţinem: ( ) = ({ 1 })= ({ 1 })+ + ({ })= + + = = 1 = Observăm că înaceastăformulă = reprezintă numărul de cazuri favorabile apariţiei evenimentului (apariţia lui 1,alui 2,..., sau apariţia lui ), iar = Ω reprezintă numărul total de cazuri posibile (numărul totaldeevenimenteelementare 1 din Ω). Relaţia anterioară se mai poate scrie deci sub forma: ( ) = Ω nr. cazuri favorabile lui = (8) nr. cazuri posibile relaţiecepoatefi folosită pentru calculul probabilităţiiunuieveniment în cazul spaţiului de probabilitate cu un număr finit de evenimente egal probabile. 5

Observaţia 1.6 Se poate uşor verifica că probabilitatea astfel definită verifică axiomeleprobabilităţii din Definiţia 1.4 (adică este într-adevăr o probabilitate). Exemplul 1.7 La aruncarea unui zar, care este probabilitatea obţinerii unui număr impar? Dar a unui număr mai mare sau egal cu 5? Soluţia 1.8 La aruncarea unui zar spaţiul de evenimente Ω = {1 2 3 4 5 6} este un spaţiucuunnumăr finit de evenimente egal probabile, şi deci pentru calculul probabilităţilor cerute putem folosi formula (8). Notând cu evenimentul reprezentând obţinerea unui număr impar şi cu evenimentul reprezentând obţinerea cel puţin a unui 5, avem = {1 3 5} şi = {5 6}, şi folosind formula (8) obţinem: ( ) = Ω = 3 6 = 1 2 şi Exerciţii ( ) = Ω = 2 6 = 1 3. Exerciţiul 1.16 Se aruncă simultancincimonede.să se determine probabilitatea evenimentului - stema apare pe cel puţin o monedă. Exerciţiul 1.17 Probabilitatea ca într-un service să sosească 10 20 21 30 31 40 peste 40 de maşini, este 0 20 0 35 0 25 respectiv 0 12. Careesteprobabilitateacaînservicesăsoseascăcelpuţin 21 de maşini? Exerciţiul 1.18 La aruncarea unui zar, care este probabilitatea obţinerii unui număr impar sau a unui număr mai mic decât 4? 1.4 Tehnici de numărare: permutări, combinări, aranjamente În cazul spaţiului cu un număr finit de evenimente, am văzut că probabilitatea unui eveniment este dată de formula ( ) = nr. cazuri favorabile lui = Ω nr. total de cazuri Cu alte cuvinte, problema calculului probabilităţii se reduce la a număra evenimentele elementare pentru care are loc evenimentul. În practică, aceasta poate fi însă oproblemă, deoarece dacă numărul total de evenimente elementare este foarte mare, atunci este practic imposibilă numărarea efectivă a tuturor cazurilor posibile. Din acest motiv, este utilă cunoaşterea unor principii de bază înnumărare. Un prim principiu este următorul: 1. Principiul de bază înnumărare: dacăunexperimentare 1 rezultate posibile, iar un al doilea experiment are 2 rezultate posibile, atunci la efectuarea celor două experimente pot apare 1 2 rezultate posibile. Exemplul 1.9 Experimentul aruncării unui zar are 6 rezultate posibile (feţele 1 2 6), iar experimentul aruncării unui ban are 2 rezultate posibile (stema sau banul ). La experimentul aruncării unui zar şi a unei monede pot apare 6 2=12rezultate posibile ((1 ) (6 ) (1 ) (6 )). Principiul de bază în numărare se poate extinde inductiv la un număr oarecare de experimente: daca primul experiment are 1 cazuri posibile, cel de-al doilea 2 cazuri posibile,..., cel de-al -lea experiment poate avea cazuri posibile, atunci la efectuarea celor experimente numărul de cazuri posibile este 1 2. Exemplul 1.10 Dacă o persoană îşi poate alege o cămaşă în 3 moduri distincte, o pereche de pantaloni în 5 moduri distincte şi o pereche de pantofi în 2 moduri distincte, atunci numărul de alegeri distincte a unei ţinute vestimentare este 3 5 2=30moduri distincte. 2. Permutări: o permutare a unor obiecte reprezintăoanumită aranjare a acestor obiecte într-o anumităordine. Spre exemplu, există 3! = 1 2 3=6permutări a trei litere :. Are loc umătoarea: 6

Propoziţia 1.11 (Permutări) a) Numărul total de alegeri ordonate a obiecte diferite este =! =1 2 (9) b) Dacă cele obiecte nu sunt diferite, şi pot fi împărţite în clase de obiecte identice, obiectele din clase diferite fiind diferite între ele, atunci numărul de ordonări distincte acelor obiecte este! 1 2 = 1! 2!! (10) unde este numărul de obiecte identice din clasa. Demonstraţie. a) Primul obiect (cel de pe prima poziţie) poate fi ales în moduri. Cel de-al doilea obiecte poate fi ales în 1 moduri din cele 1 obiecte rămase. Cel de+al treilea obiect poate fi ales în 2 moduri din cele 2 obiecte rămase, şamd. Conform principiului de bază rezultăcănumărul total de alegeri este egal cu produsul ( 1) ( 2) 1 =!. b) Vom face demonstraţia în cazul =2 Primele 1 obiecte pot fi aşezate pe oricare din cele 1 + 2 poziţii, în 1 1 + 2 moduri, iar cele 2 obiecte rămase pot fi aşezate pe oricare din cele 1 + 2 1 = 2 poziţii rămase, în 2 2 moduri. Conform principiului de bază înnumărare, numărul total de ordonări este dat de 1 1+ 2 2 2 = ( 1 + 2 )! 1! 2! 2! 2! 0! = ( 1 + 2 )! 1! 2! Exemplul 1.12 Ocutieconţine 10 bile, din care 6 bile sunt roşii iar 4 sunt albastre. Să considerăm evenimentul constând în extragerea bile roşii şi apoi a bilelor albastre. Pentru a determina numărul de evenimente elementare putem folosi formula din partea b) a propoziţiei anterioare: cele 10 bile pot fi împărţite în =2clase, din care prima cu 1 =6bile roşii identice, şi a doua cu 2 =4bile albastre identice. Spaţiul de probabilitate (numărul de extrageri distincte a celor 10 bile, adică numărul de alegeri ordonate a 10 obiecte din care 1 =6sunt identice şi 2 =4sunt de asemenea identice) are Ω = 10! 6!4! = 210 evenimente elementare. Cum numărul de cazuri favorabile producerii evenimentului este 1 (singura posibilitate este, unde reprezintă obilăroşie iar obilăalbastră), şi deoarece toate evenimentele sunt egal probabile, obţinem: ( ) = 1 10! 6!4! = 1 210 0 005 Exemplul 1.13 Numărul de aranjări distincte a 2 bile albe, 3 bile negre şi 4 bile roşii este (2+3+4)! 1260. 2! 3! 4! = 9! 2! 3! 4! = Formula anterioară se extinde inductiv la ordonarea a 1 + 2 + + obiecte, unde 1 2 reprezintă numărul de obiecte identice din fiecare categorie, numărul total de ordonări fiind dat de 3. Aranjamente: unaranjamentde obiecte distincte luate câte reprezintă oanumităaranjarea obiecte din cele într-o anumită ordine. Spre exemplu, există 6 aranjamente a trei litere luate câte două: Propoziţia 1.14 Numărul total de alegeri ordonate a obiecte din obiecte diferite este =! = ( 1) ( +1) (11)! 7

Demonstraţie. Primul element se poate alege din cele elemente în moduri distincte; cel de al doilea element se poate alege din cele 1 elemente rămase în 1 moduri distincte; cel de al treilea element se poate alege din cele 1 1= 2 elemente rămase în 2 moduri, şamd. Conform principiului de bază, numărul total de posibilităţi este dat de produsul numărului de posibilităţi pentru fiecare alegere, adică ( 1) ( +1) (ultimul factor este +1deoarece la alegerea celui de al -lea element, au fost deja alese primele 1 elemente, şi deci au rămas ( 1) = +1 elemente din care urmează săsealeagă cel de-al -lea element) Exemplul 1.15 Dacă dintr-o cutie cu 10 bile numerotate de la 1 la 10 se extrag în ordine 3 bile, atunci numărul total de extrageri distincte este egal cu 3 10 =10 9 8 = 720 moduri. Exemplul 1.16 Numărul de cuvinte diferite ce se pot forma cu literele alfabetului este 31 5 =28 629 151 (pe fiecare din cele 5 poziţii poate apare oricare din cele 31 de litere ale alfabetului, deci 31 31 31 31 31 = 31 5 posibilităţi). Numărul de cuvinte diferite ce se pot forma cu literele alfabetului fără a permite repetiţia unei litere este aranjamente de 31 (numărul de litere din alfabet) luate câte 5, adică 5 31 = 31! 5! =31 30 29 28 27 = 20 389 320 4. Combinări: ocombinarea obiecte luate câte reprezintă oanumităalegerea obiecte din cele (fără a lua însă în cosniderare ordinea alegerii obiectelor). Spre exemplu, există 3 combinări a trei litere luate câte două: { } { } { } (de observat că alegerile { } şi { } sunt identice, ordinea alegerii nefiind importantă). Propoziţia 1.17 a) Numărul total de alegeri neordonate (fără a considera ordinea) a obiecte din obiecte diferite, fără a permite repetiţiile, este =! =!!( )! ( 1) ( +1) = (12) 1 2 b) Numărul total de alegeri neordonate (fără a considera ordinea) a obiecte din obiecte diferite, permiţând repetiţiile, este = + 1 ( + 1)! = (13)! ( 1)! Demonstraţie. a) Pentru o submulţime cu elemente din cele elemente fixată, putem forma! mulţimi ordonate distincte având aceste elemente. Procedând astfel, unei alegeri neordonate de obiecte din obiecte îi corespund exact =! alegeri ordonate de obiecte din obiecte. Cum numărul de alegeri neordonate este,iarnumărul de alegeri ordonate este, conform principiului de bază rezultăcăavem ecuaţia = de unde rezultă formula anterioară. b) Considerăm pentru simplitate cazul alegerii neordonate a =6obiecte din =5obiecte diferite, notate, permiţând repetiţiile. Deoarece ordinea alegerii literelor nu contează, putem considera că a fost mai întâi aleasă litera de un număr de ori, apoi litera de un număr de ori, şamd. Reprezentăm o astfel de alegere formal prin simbolurile _ şi, folosind simbolul _ pentru litere şi simbolul pentru a separa grupuri de litere identice; spre exemplu, alegerea ( ) corespunde secvenţei _ (de 3 ori litera, de2 ori litera, o dată litera şi de 0 ori litera ). Secvenţa astfel construită are lungimea 6 + 5 1 = 10(de 6 ori simbolul _ şi de 6 1 = 5ori simbolul separator ), numărultotaldeastfeldesecvenţe fiind egal cu numărul de posibilităţi de aranjare a celor 5 simboluri în cele 6+5 1 poziţii, fiind egal cu 6+5 1. 5 Se obţine astfel formula 5 6 = 5+6 1, 6 sauîn cazul general (observând că în cazul studiat avem =5şi =6)obţinem formula = + 1. 8

Exemplul 1.18 Dacă dintr-ocutiecu10 bile numerotate de la 1 la 10 se extrag 3 bile (fără aconsidera ordinea extragerii bilelor, doar rezultatul extragerii, adică extragerile123, 132, 213, 231, 312 şi 321 sunt considerate identice), atunci numărul total de extrageri distincte este egal cu 10 3 = 3 10 3 = 720 6 = 120 moduri. Exemplul 1.19 Numărul de moduri în care un lot de 5 becuri poate fi ales dintr-un lot de 500 de becuri este egal cu numărul de combinări de 500 obiecte luate câte 5 (ordinea alegerii celor 5 becuri nu contează), şi deci este 500 5 = 500! 500 499 498 497 496 = = 255 244 687 600 5!495! 1 2 3 4 5 Exemplul 1.20 Numărul de alegeri a 6 litere din mulţimea { }, permiţând repetiţiile, este 6 5 = 5 5+6 1 = 5 10 = 252. Exemple de alegeri sunt ( ), ( ), etc. Deoservatcă deoarece ordinea alegerii nu contează, alegerile ( ) şi ( ) sunt identice (există 6 =6!alegeri identice având în componenţă literele, obţinute prin permutarea ordinii literelor alese). Exerciţii Exerciţiul 1.19 Să sescrietoatepermutările cifrelor 1 2 3 4. Exerciţiul 1.20 Să sescrie: a) Toate aranjamentele literelor luate câte două; b) Toate combinările literelor luate câte două (fără repetiţii ale literelor); c) Toate combinările literelor luate câte două, permiţând repetiţia literelor. Exerciţiul 1.21 Câte loturi diferite de 4 obiectesepotalegedintr-unlotde50 de piese? Exerciţiul 1.22 În câte moduri diferite putem planifica 7 muncitori pentru a efectua 7 sarcini (câte un muncitor pentru fiecare sarcină)? Exerciţiul 1.23 În câte moduri putem alege un comitet de 3 persoane dintr-un grup de 8 persoane? Exerciţiul 1.24 În câte moduri putem alege un comitet format din 3 ingineri, 2 chimişti şi 2 matematicieni din 8 ingineri, 6 chimişti şi 5 matematicieni? (ghiciţi, apoi calculaţi) Exerciţiul 1.25 O urnă conţine 2 bile verzi, 3 bile galbene şi 5 bile roşii. Care este probabilitatea de a extrage (fără înlocuire) întâi toate bilele veryi, apoi toate bilele galbene, şi apoi toate bilele roşii? Exerciţiul 1.26 O cuşcă conţine 100 de şoareci, din care 3 sunt masculi. Care este probabilitatea de a fi ales cei 3 soareci masculi într-un lot de 10 şoareci aleşi la întâmplare? Exerciţiul 1.27 Câte numere de înmatriculare distincte cu 6 simboluri, formate de 3 litere urmate de 3 cifre, se pot forma? Dar dacă literele/cifrele nu se pot repeta? Dar dacă ordinea literele/cifrele pot apare în orice ordine? Exerciţiul 1.28 În câte moduri diferite se pot aşeza 6 oameni la o masă rotundă? Exerciţiul 1.29 O persoană a fost martoră la un accident,şi a reţinut că maşina care a produs accidentul avea numărul de înmatriculare 00, dar nu mai ştie care sunt ultimele 3 litere. Îşi mai aminteşte însă căcele trei litere ale numărului maşinii erau diferite. Câte maşini (numere de înregistrare) trebuie să verifice poliţia pentru a depista maşina care a produs accidentul? Dar dacă persona nu şi+ar fi amintit că literele erau distincte? Exerciţiul 1.30 Cei 3 suspecţi care au comis o infracţiune şi 6 persoane nevinovate sunt aliniate pentru ca martorul să identifice făptaşii. Care este probabilitatea ca martorul să aleagă la întâmplare cei trei suspecţi? Care este probabilitatea ca martorul să aleagă trei persoane nevinovate la întâmplare? (ghiciţi, apoi calculaţi) Exerciţiul 1.31 Care este probabilitatea ca într-un grup de 20 de persoane cel puţin două să aibă aceeaşi zi de naştere, dacă presupunemcă probabilitatea de a avea ziua de naştere este 1 365 pentru fiecare zi a anului? (ghiciţi, apoi calculaţi) 9

1.5 Laborator 1 Să se calculeze aproximativ aria unui triunghi [0 1] [0 1] folosind faptul ca pentru un punct ( ) ales la intamplare (uniform) in patratul unitate are loc ( int ( )) = ( ). Folosind programul Excel (sau softul favorit de facut calcule matematice si desenat), se vor parcurgeurmătoarele etape: 1. Consideram că triunghiul are varfurile ( 1 2 ) ( 1 2 ) ( 1 2 ) (putem considera spre exemplu (0 1 0 1), (0 8 0 5) şi (0 3 0 8)). Reprezentăm grafic triunghiul şi pătratul corespunzător [0 1] [0 1]. 2. Generăm = 100 (sau 1000, etc) numere aleatoare uniform distribuite 1 ( 1 1 ) ( ) în pătratul [0 1] [0 1] (coordonatele respective se generează folosind spre exemplu funcţia RAND() din Excel, care generează numere aleatoare uniforme în intervalul [0 1]). 3. Determinăm câte din aceste puncte se află în interiorul triunghiului Notă: puţină geometrie poate fi de folos aici. Ne amintim că odreaptă ( ) : + + =0separă planulîn trei regiuni, şi anume: puncte ( ) pentru care + + =0(punctele de pe dreaptă), puncte pentru care + + 0 (punctele de o parte a dreptei), respectiv puncte pentru care + + 0 (punctele de cealaltă parte a dreptei). Punctul ( ) aparţine interiorului triunghiului dacă şi numai dacă şi sunt de aceeaşi parte a dreptei, şi sunt de aceeaşi parte a dreptei, şi şi sunt de aceeaşi parte a dreptei. Ne mai amintim că ecuaţia dreptei determinate de două puncte distincte ( 1 1 ) şi ( 2 2 ) este 1 2 1 = 1 2 1 sau echivalent ( 2 1 ) ( 2 1 ) + 1 2 1 2 =0. 4. Folosim aproximarea ( )= ( int ( )) # { {1 } : int ( )} pentru a determina aproximativ aria triunghiului dat. 5. Pentru comparaţie, se va calcula valoarea exactă a ariei triunghiului (puţină geometrie...). 10