MATEMATIKA IV -- vpršj z usti izpit 14.6.5 1. Reši PDE. Lstosti Besseovih fukcij 3. Lstosti Lpc 4. Kovoucij 5. Biomsk sučj spremejivk 6. Lstosti zvezih spremeejivk 7. Kj je ekstrem fukcio 8. Mweove ečbe 9. Fourier-Sius izpejv 1. Robi pogoji 11. Mtemtičo upje Biomske porzdeitve 1. Vov ečb 13. Nihje okroge membre 14. Cetri mometi 15. Rčuje z dogodki 16. Difuzijsk ečb 17. Euerjev DE 18. Possioov porzdeitev 19. Osovi vriciski izrek. Prevjje topote v tki pici 1. Nehomogee PDE postopek reševj. Kompeks iverz pceov trsofrmcij 3. Ekomer zvez porzdeitev 4. Izopirmetriči probemi 5. Vov ečb v dveh dimezijh 6. Besseove DE 7. Verjetost hipoteze 8. Kdj st dv dogodk ezdružjiv 9. Nihje strue 3. Teegrfsk ečb pogoji izpejv 31. Kj je eemetre dogodek 3. Iverz Lpceov trsformcij z prciimi uomki ( ) ( ) 1 s + 1 s 33. Gsussov porzdeitev rčuje itegr 34. Lpcov ečb v prostoru 35. Direkte metode 36. Lpceov trsformcij z residumi 37. Ortogoost Besse i Legedrovi poiomi 38. Kombicije 39. Po verjetost formu 4. Euer DE z f(, y') i f(,y,y') 41. Vsot dveh sučjih spremejivk 4. Hermitovi poiomi ečb, utež fukcij, iterv i izrčuj H1 43. Lpc eotie stopice, de istu itičo i z pcom
44. Kj je PDE 45. Sistem popoih eemetrih dogodkov 46. Fourier trsform odvod 47. Kdj je porzdeitev simetrič 48. Reši DE z pcom, mš de istku & + y& + y r( t) 49. Iztčuj e d 5. Defiicij Fourierove trsformcije kdj obstj 51. Kdj st dogodk eodvis 5. Bet fukcij 53. Ortogoost t 54. L e f ( t) 55. Permutcije 56. Iverzi fourier 57. Mtemtičo upje diskrete i zveze 58. Pojem fukcio 59. Spoš PDE drugeg red 6. Osovi zko kombitorike 61. Legedrov DE kje je orotogo 6. Izrčuj disperzijo ekomere zveze spremejivke 63. Fourier Cosius trsformcij stosti 64. Disperzij z Possioovo porzdeitev 65. Mtemtičo upje z ormo porzdeitev 66. Fukcio z fukcije kkše 67. Kdj je rešitev eoičo dooče vricijskeg rču 68. Itegrcij Euerjeve ečbe 69. Kko rešimo DE z vrstmi 7. Sučje spremejivke i porzdeitve fukcij 71. Potrebi pogoj z Lpceovo trsformcijo -- z besedo 7. Lpc PDE, ktere i pri kkših pogojih g hko rešimo ---- Reševje Lpc v prvokotem koorditem sistemu 73. Beruijev biomsk sučj spremejivk 74. Lpc z zksitvijo eotie stopice 75. Prsevov ečb 76. Stdrd devicij 77. Stru, ste vredosti, vov doži Γ + 1 Γ 78. Izpeji ( ) ( ) 79. Poiomi Čebišev 8. Izrčuj simetrijo fukcije e 81. Imš do fukcijo istku, i hko uporbiš fourierov odvod 8. Asimetrij sučje spremejivke 83. Euerjev DE f(y, y') 84. Lstosti Fourierjeve trsformcije sm pišeš 85. Kj je sučj spremejivk osov defiicij
t 86. Izrčut Fourire-Cosiuse z fukcijo e 87. Mtemtičo upje z Possioovo porzdeitev t & t + t t 88. Reši ( ) ( ) 89. Prevjje topote spoš ečb i opis 9. Prevjje topote v dogi tki pci rešit ogo 91. Povezv med cetrimi i zčetimi mometi 9. Lpcov periodiče fukcije formu 93. PDE ehomgei robi pogoji postopek reševj 94. Kdj st fukciji koreiri 95. Gm fukcij, stosti, defiicij 96. Verjetost fukcij diskrete spremejivke 97. Osov o Brhistrohoi 98. ce kijg,...
1. Reši PDE Immo podo PDE i pogoje, d dobimo eoičo rešitev. Reševje potek v treh korkih. 1 kork: z metodo sepercije spremejivk dobimo dve vdi DE. kork: Izberemo tiste rešitve DE, ki ustrezjo robim pogojem. 3 kork:dobeje rešitve sestvimo tko, d je rezutt rešitev isk PDE i d ustrez zčetim pogojem.. Lstosti Besseovih fukcij Pozmo dve vrste Besseovih fukcij. Besseov fukcij prve vrste im Besseovo DE obike y '' + y ' + ( ν ) y. Prmeter ν je eegtivo ceo števio. Rešitev + m r iščemo v obiki poteče vrste y( ) c m m ekspoet r je pojube i izbr tko, d je c. Po ceotem postopku rčuj dobimo ve spošo rešitev Besseove DE J ( ) ν ν ( 1) m m ν m! Γ ( m + ν + 1) m m t rešitev je z kot Besseov fukcij prve vrste red ν. Če miν i ceo števio st fukciji Jν ( ) i J ν ( ) iero eodvisi. Spoš rešitev Besseove ečbe z vsk se gsi y( ) 1Jν ( ) + J ν ( ). Če je ν rvo števio dobimo Besseovo fukcijo prve vrste red i dobimo fukcijo m m ( 1) J ( ) m m+. Sedj st Besseovi fukciji iero odvisi i vej m!( + m)! zvez J ( ) ( 1) J ( ) 1,,.... D dobimo spošo rešitev Besseove fukcije potrebujemo še Besseovo fukcijo druge vrste. Besseov DE y '' + y ' + y je z drugo vrsto. Drugo prtikuro rešitev iščemo v obiki y ( m ) J ( ) + m 1 m. Spoš rešitev Besseove ečbe z vse vredosti ν je y( ) c1jν ( ) + cyν ( ) 3. Lstosti Lpcove trsformcije Fukcijo F(s) imeujemo Lpcove trsformirk fukcije f(t). st. Iverz Lpcov trsformirk f ( t) L 1 [ F( s) ] F( s) e f ( t) dt t Trsformcij je ier. L [ f ( t) bg( t) ] L [ f ( t) ] bl [ g( t) ]. + +. Zdoste pogoj z eksisteco trsformirke je d je fukcij odeskom zvez i d e ršč hitreje od eke ekspoete fukcije. f ( t) Me αt. (črk L je veik pis)
4. Kovoucij Fukcij h(t) defiir z itegrom h( t) f ( t u) g( u) du imeujemo kovoucij fukcije f(t) i g(t). h( t) f ( t)* g( t). Fukcije f(t) i g(t) (, ) vsj e j bo omeje f ( t) M potem fukcij h(t) obstj. Če fukciij f(t) i g(t) zmejmo se zk * zmej z produktom. Lstosti: f ( t) * g( t) f ( t)* g( t) [ ] [ ] [ ] f ( t)* g( t) + h( t) f ( t)* g( t) + f ( t)* h( t) f ( t)* g( t) g( t)* f ( t) [ f ( t)* g( t) ] * h( t) f ( t)* [ g( t)* h( t) ] 5. Bimsk sučj spremejivk Zpordeje Beruijevih poskusov priredimo sučjo spremejivko X, ki zvzme vredosti k tkih, ko je v zporedju poskusov k ugodih i -k e ugodih. Verjetost fukcij P(,p,k) z sučjo spremejivko jo imeujemo Biomsk sučj spremejivk i ustrez porzdeitvi je Biomsk porzdeitev. Spremejivke hko zvzmejo vredosti k,1,... Verjeost shem Biomske porzdeitve: 1 X :,,,... 1 q pq p q p 1 (Izrz je brez uomkovih črt) 6. Lstosti zveze porzdeitve (sučje spremejivke) Sučj spremejivk X je zvezo porzdeje, če se je porzdeitv fukcij izrže z F( ) p( t) dt. p() gostot verjetosti, F() porzdeitve fukcij. Vej itegr p( ) d 1. Porzdeitve fukcij je mootoo rščjoč p( ). Tm kje je p() zvez vej p( ) F '( ). Če je p() zvez itervu [, b] potem vej izrek o sredji vredosti b P( X b) P( X b) p( ) d p( )( b ) p( ) b p( ) - povpreč verjetost dem itervu.
7. Kj je ekstrem fukcio Ekstrem fukcio je jmjš i jvečj vredost, ki jo itegr doseže. Fukcij je defiir itervu i je dovoj gdk i v robih zvezem prepise vredosti. [ ( ) I y ] f (, y, y ') dt 8. Mweove ečb 1 Spremijje eektromgeteg poj opisujejo Mweove ečbe. r r r r Eektromgeto poje je doočeo s prom vektroskih fukcij E( t, ), H ( t, ) to st eektrič i mget pojsk jkost. Omejei smo de prostor kjer poji, po kterih se širi vovje imt izvorov i sov j im kostto permibiosti i dieektričosti. r r r r r r Ečbe se gsijo: dive, divh rote µµ Ht, roth εε Et 9. Fourier-Sius trsoformcij izpejv Nj bo fukcij f(t) ih, f(-t)-f(t). Zpišemo defiicijo Fourierjeve trsformcije dveh itegrih iwt iwt. V drugem itegru zmejmo F( w) e f ( t) dt + e f ( t) dt predzk pred t-ji i obremo meje tko, d itegr skupj pšet i izpostvimo iwt iwt iwt iwt e e itegr. f ( t) e e dt. Preko zveze Si( wt) dobimo ve sius. i i F( w) i f ( t)si( wt) dt i iverz je f ( t) F( w)si( wt) dw π. To pripeje do Fourierove siuse trsformcije s [ ] s f ( t) F Fs ( w) F ( )si( ) s w wt dw π. 1 trsformcije [ ] F f ( t) F ( w) f ( t)si( wt) dt i iverze 1. Robi pogoji Če im PDE rešitev, jih im več. Eoičo rešitev PDE, ki ustrez demu fizikemu probemu, dobimo z dodtimi iformcijmi, ki izhjjo iz kokrete fizike situcije. V ekterih primerih so meji območj prepise vredosti iske fukcije i (i) jei odovdi. Tke pogoje imeujemo robi pogoji. Odvisi so od fizike situcije, primer, kje i kko je pritrjeo ihjjoče teo.
11. Mtemtičo upje Biomske porzdeitve (disperzij, devicij) k k k k! E( X ) k p q p q k k 1 k ( k 1)!( k)! k 1 ( 1) ( k 1) ( 1)! 1 ( 1) 1 p p q p p q k 1 ( k 1)!( k)! p p + q p k 1 ( ) 1 i i 1 i i D( X ) ( p) p (1 p) p + ( p) q q p + p q pq E( X ) E( X ) p, D( X ) D( X ) pq σ ( X ) pq i i 1. Vov ečb Ečb vovj se gsi: u u u u ( + + ) + f (, y, z, t). t y z Isk fukcij u opisuje odmik mse točke iz mirove ege, f je zuj si i je kostt, ki je odvis od teg s kkšim fizikim probemom se ukvrjmo (op, stru,..). Zčet pogoj: u(,) f1(, y, z) je zčeti odmik i ut (,) f(, y, z) je zčet hitrost. Robi pogoji so odvisi od fizike situcije, primer, kje i kko je pritrjeo ihjjoče teo. 13. Nihje okroge membre Okrog membr s poemrom R. Uoprbimo pore koordite i zpišemo Lpceov opertor z porimi koorditmi: u u 1 u 1 u c ( + + ). Iščemo e tiste rešitve t r r r r ϕ u(,t) ečbe, ki so rdio simetriče i iso odvise od kot fi. I dobimo ečbo: u u 1 u c ( + ). Z dje reševje s sepercijo spremejvik vstvimo ot t r r r ovo eodovio spremejivko i prevedmo Besseovo DE. I ve izrčumo Besseovo spošo rešitev, ktro omejomo z robimo pogoji. 14. Cetri momet Posebo vogo imoj mometi gede povprečo vrredost, ki jih imeujemo cetri mometi i jih zzmijemo z m : [ ] m ( ) ( ( )) k k mk E X E E X k
15. Rčuje z dogodki Nd dogodki se oprvjo iste oprecije kot d možicmi. A + B A B A B A B A + B B + A AB BA ( A + B) + C A + ( B + C) A( BC) ( AB) C ( A + B) C ( AC) + ( BC) A + A A A A A [ ] 16. Difuzijsk ečb u u, RC t u(, t) E( t), im u(, t) < u(,) L [ u(, t) ] sl [ u(, t) ] u(,) L u(, t) U (, s) U s (, ) su (, s) U (, s) A( s) e + B( s) e [ ] [ ] [ (, )] [ ( )] L u(, t) L E( t) A( s) be L π t b / 4t 3/ L u t L E t e e s s b s s (, ) 1 t z u t e dz (1 erf ( )) π t 17. Euerjev DE Euerjev DE pripd vriciskemu probemu. Med tistimi rešitvmi Euerjeve ečbe, ki ustrezjo pogojem y( 1 ) b1 i y( ) b. Dobimo ekstremo vriciskeg rču. f f ( ) y y '
18. Possioov porzdeitev Sučj spremejivk, ki je porzdeje po poissoovem zkoi, hko zvzme vsko eegtivo ceoštevisko vredost k i to z verjetostjo: k e pk. k! Porzdeitve fukcij possioove porzdeitve: k e k! m m 1 F( ) k < + ; ; m,1,... 19. Osovi vrijciski izrek Nj bost P() i Q() zvezi fukciji itervu [,b], z vsko zvezo odvejivo fukcijo η ( ), ki ustrez pogoju η( ) η( b) j bo izpoje pogoj: b [ η η ] P( ) ( ) + Q( ) '( ) d. Potem je Q() todvedjiv fukcij i je P()Q'(). Prevjje topote v tki pici Omjei smo os, i ei stri je prvi odvod po čsu, drugi p kvkdrt kostte i drugi odvod po -u. Postopek: u u c u(, t) u(, t) u(,) f ( ) t u(, t) F( ) G( t) F F( ) G G( t) v tej obiki iščemo rešitev i poeostviteh, d je mj zpist. FG ' c F '' G / : c FG G ' F '' k Gc F F k F G c k G '' + ' + F( ) Acos k + Bsi k F() A 1+ B A ; B B 1 π F( ) Bsi k k π k π F ( ) si 1,,.. c π t c k t cλ λ G( t) Ce Ce λ G ( t) Ce t
λ t π u(, t) Ce si 1,,... π u(,) f ( ) C si 1 π C f ( )si d λ t π u(, t) u (, ) si 1 t C 1 e 1. Nehomoge PDE z homogeimi robimi pogoji postopek reševj u u Nehomoge PDE: c + f (, t) t Homogei robi pogoji: u(, t) u(, t) i zčeti pogoji: u(,) g( ), u (,) h( ) t * * u u * π c u (, ) ( ) ( ) ( ) si t X T t X t π u(, t) T ( ) ( ) ( )si 1 t X T 1 t π π f (, t) F ( )si ( ) (, )si 1 t F t f t d π π g( ) u(,) T ()si () ( )si 1 T g d ' π ' π h( ) ut (,) T 1 ()si T () h( )si d '' π T ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 t X c T 1 t X F 1 t X + ' π π ' π π π X ( ) cos, X ( ) si X ( ) '' cπ + T ( t) T ( t) F ( t)
. Kompeks iverz Lpov trsformcij Če je F( s) L [ f ( t) ], potem je orgi fukcij f ( t) L 1 [ F( s) ]. 1 γ + i st f ( t) F( s) e ds t π i > γ i. To je kompeks iverz i Bromwhichev f ( t) t < itegrsk formu. Itegr potek vzdož premice s γ + iy v kompeksi rivi. Reo števio gm je tko izbro d premic s γ eži deso od vseh sigurosti. To so jvečkrt poi. Sicer p je gm pojube. Itegr rčumo kot krivuji itegr 1 st e F( s) ds π i Ñ Tko fukcijo f(t) izrzimo kot f ( t) res e st F ( s) pri poih fukcije C F(s). Formu z rčuje residiumov: 1 1 st resi im e F( s)( s s 1 1) s s 1 s ( 1)! 3. Ekomer zvez porzdeitev Ekomero zvezo porzdeitev defiir z gostoto verjetosti. 1, b ; < b p( ) b. Tko gostot verjetosti je eegtiv i ustrez, izve b 1 itegru: p( t) dt dt 1. Verjetsot je odvis e od dožie iterv, ič p b od ege. 4. Izopirmetriči probemi Med vsemi fukcijmo y(), ki so defiirem itervu [, ] 1, zvezo odvedjive i ustrezjo pogoju y( 1 ) b1 y( ) b je treb poiskt tisto, pri kteri im fukcio I [ y ] ( ) (,, ') 1 f y y d ekstrem, hkrti p im fukcio [ ( ) ] g (, y, y ') d predpiso vredost K [ y( ) ] K y 1.
5. Vov ečb v dveh dimezijh Primer vove ečbe v dveh dimezijh je vovje membre. Ečb se gsi u u u c ( + ). t y Robi pogoji, zčeti pogoji so u(, y,) f (, y), ut (, y,) g(, y) Rešitev iščemo v ogiki u(, y, t) F(, y) G( t). Pridemo do Hemhotzove PDE. Z reševje uporbjmo sepercijo spremejivk. F(, y) H ( ) Q( t) Rešimo ečbo i vstvimo robe pogoje. Rešimo ečbo G(t) i združimo skupj rešitve i uporbimo zčete pogoje. V rešitiv stopjo dvoje vsote i pri koeficetih dvoji itegri. 6. Besseove DE Pozmo dve vrste. Prv vrst Besseove fukcije im DE obiko + y '' + y ' + ( + ν ) y. Rešujemo jih v obiki poteče vrste m r y( ) c m m. Spoš rešitev prve vrste y( ) 1Jν ( ) + J ν ( ) Drug vrste Besseove fukcije im DE obiko y '' + y ' + y. Spoš rešitev Besseove DE je obike y( ) c1jν ( ) + cyν ( ). 7. Verjetost hipoteze Byesov formu: P( Hi) P( A/ Hi) P( Hi) P( A/ Hi) P( Hi / A) P( A) P( H ) ( / ) i 1 i P A Hi 8. Kdj st dv dogodk ezdružjiv Nj bost A i B tk dogodk, d se emoret zgodit hkrti. Tk dv dogodk imeujemo ezdružjiv. Produkt ezdružjivih dogodkov je emogoč dogodek ABN.
9. Nihje strue Postopek reševj: u u c u(, t) u(, t) u(,) f 1( ) ut (,) f( ) t u(, t) F( ) G( t) F F( ) G G( t) v tej obiki iščemo rešitev i poeostviteh, d je mj zpist. FG '' F '' G / : FG G '' F '' k G F F k F G k G '' + '' + F( ) Acos k + Bsi k F() A 1+ B A ; B B 1 π F( ) Bsi k k π k π F ( ) si 1,,.. G ( t) C cos kt + D si kt π π π u(, t) F ( ) ( ) si cos 1 G t C 1 t D si t + π u(,) f1( ) C si 1 π π ut (,) f( ) D si 1 π C f 1( )si d π D f ( )si d π
3. Teegrfsk ečb izpejv pogoji Immo homogeo iijo dožie osi. R uporost, L iduktivost, C kpcitivost, G izgube. u(,t) petost i i(,t) tok. Teegrfk ečb je hiperboič PDE. Ečb im ehomogee robe pogoje. Pri u(,t)e je kostt petost, pri u(,t) je krtek stik. Izpejv: u i i u + L + Ri + C + Gu t t Levo ečbo odvjmo še ekrt po, deso p po t. u i i i u u + L + R + C + G t t t t i u u Deso ečbo pomočimo z L i dobimo L LC LG i odštejemo t t t od eve. I dobimo u i u u + R LC LG sedj p prvoto deso ečbo t t i u pomožimo z R i dobimo R RC RGu i jo vstvimo v ečbo. t u u u u RC RGu LC LG ečbo še mo poepšmo i dobimo: t t t u u u LC ( RC + LG) RGu z tok je vse isto i dobimo ve t t i i i LC ( RC + LG) RGi. t t
Postopek reševj: u u u LC ( RC + LG) RGu u E, u, u t, ut t t t F( ) u(, t) t kost. F( ) F() E, F( ) F RGF RG b F b F ''( ) ( ) ''( ) ( ) F( ) Asihb + B coshb C sih b( d ) F() E C sih bd, F( ) C sih b( d ) d E C sih b sih b( ) F( ) E sih b w(, t) u(, t) F( ) w, w, w F( ), w t t t t w w w + F ''( ) LC ( LG + RC) RGw(, t) RGF( ) F ''( ) RGF( ) LC, b RG, h LG + RC w w w h b w w(, t) P( ) G( t) t t P ''( ) G ''( t) G '( t) + h + b k P( ) G( t) G( t) P k P G hg b k G '' + '' + ' + ( + ) P() P( ) π αt βt P ( ) si, G ( t) Ae + Be, 1,,... π α, β r + hr + ( b + ) αt βt π w(, t) ( Ae + Be ) si 1 π π w t F( ) ( A )si ( )si 1 + B A + B F π wt t ( A )si 1 α + Bβ Aα + Bβ sih b( ) αt βt π u(, t) E + ( A )si 1 e + Be sih b
31. Kj je eemetre dogodek kj je sestvje dogodek Dogodku, ki i sestvje, rečemo eemetre dogodek. Sestvje dogodek, če hko dogodek A izrzimo, kot vsot vsj dveh e odvisih dogodkov. 3. Iverz Lpceov trsformcij z prciimi uomki 1 A B C L s s + + s s s ( + 1)( ) + 1 ( ) 33. Gsussov porzdeitev rčuje itegr 1 σ 1 Porzdeitev je defiir z gostoto verjetosti p( ) e. Gostot σ π verjetosti je odvis od dveh prmetrov i sigm. je pojubo sigm p pozitivo števio. Porzdeitev zzmujemo z N(, σ ). Fukcij p(t) je povsod pozitiv, v točki 1 im mksimum σ π i v točkh σ, + σ obrčj. Fumkcij je tudi simetrič gede vredost. Od prmetr je odvis eg krivje, od sigme p obik krivuje. Čim mjši je sgim, boj izrziro je teme i je krivuj obj stisje okorg teme. Če je sučj spremejivk X porzdeje po ormem zkou N(, σ ), hko izrčumo verjetost dogodkov povezih s spremejivko X s pomočjo tbeire fukcije Φ ( ). Obik fukije Φ ( ) je: tudi, d je t fukcij ih. 1 1 t Φ ( ) e dt π. Zčio je 34. Lpcov ečb v prostoru Imo sfero s pomerom R. N robu sfere j bo d eektriči poteci. u( R, ϑ, ϕ) f ( ϕ). Kjer so r, ϑ, ϕ sferiče koordite i f ( ϕ ) d fukcij. Sttiči poteci robu sfere j e bo odvise od kot ϑ, potem je tudi u otrjost sfere. Lpcov opertor se v sferičih koordith gsi: ϑ u u 1 u cotϕ u 1 u u + + + + tko se ečb zmjš zrdi kot r r r r ϕ r ϕ r si ϕ ϑ u 1 u ( r ) + (si ϕ ) Ečbo rešujemo pri dih pogoji i z sepercijo r r siϕ ϕ ϕ spremejivk. Z kostto si izberemo k.