Adrian Zanoschi Gabriel Popa Ioan Şerdean Gheorghe Iurea Petru Răducanu Bacalaureat 017 Matematică M_mate-info Teme recapitulative 60 de teste, după modelul M.E.N.C.S. Breviar teoretic
1.1. Mulţimi şi elemente de logică matematică Cuvânt-înainte Examenul de bacalaureat reprezintă pentru fiecare tânăr o placă turnantă în devenirea lui intelectuală şi personală, având menirea de a certifica pregătirea ştiinţifică şi competenţele dobândite în liceu, dar şi de a deschide un orizont profesional sau academic adecvat fiecăruia. În consecinţă, performanţa la acest examen, şi îndeosebi la disciplina matematică, presupune un efort de pregătire constant, atât pentru parcurgerea conţinuturilor, cât şi pentru fixare, sistematizare, recapitulare. Lucrarea de faţă îşi propune să fie un ghid eficient, cu o strategie completă, care să răspundă tuturor exigenţelor disciplinei şi probelor de examen. Considerăm că cea mai bună metodă de a avea o idee clară despre cerinţele unui examen este urmărirea modului în care s-a formulat problematica acelui examen de-a lungul timpului. Din acest motiv, cele mai multe dintre problemele prezente în această carte au fost selectate dintre subiectele şi variantele de bacalaureat ale ultimilor optsprezece ani (1998 016). Prima parte a lucrării conţine probleme grupate pe teme, urmărind acoperirea completă a programei. Acolo unde o anumită temă nu era destul de bine reprezentată în variantele examenelor din anii precedenţi, au fost adăugate probleme clasice, pentru o mai bună aprofundare a subiectului. Astfel, un elev îşi poate alege singur un capitol pe care vrea să îl repete şi găseşte în carte un număr suficient de exerciţii cu ajutorul cărora să-şi atingă scopul. Problemele sunt însoţite de soluţii detaliate şi de comentarii metodice, unele dintre ele având chiar mai multe rezolvări. Partea a doua cuprinde 60 de teste, incluzând subiecte date în anii 01, 013, 014, 015 şi 016 la cele trei sesiuni ale bacalaureatului (sesiunea specială pentru olimpici şi cele din iunie şi august). Testele sunt însoţite de răspunsuri şi de rezolvări, iar la sfârşit există un breviar teoretic, care conţine principalele noţiuni prevăzute în programă. Cartea se adresează celor care se pregătesc pentru bacalaureatul la matematică, indiferent de profilul liceului pe care îl urmează. Din acest motiv, problemele sunt structurate pe două niveluri, cele mai dificile fiind evidenţiate printr-o steluţă. Elevii care nu urmează profilul matematică-informatică pot parcurge doar problemele fără steluţă. Lucrarea poate fi folosită şi pentru învăţarea curentă, deoarece permite elevilor să se antreneze în condiţii reale, de bacalaureat. Ea se poate dovedi un instrument util profesorilor şi elevilor în vederea recapitulării materiei la finalul unui capitol sau la sfârşitul anului şcolar. Autorii 5
1.1. Mulţimi şi elemente de logică matematică Teme recapitulative Clasa a IX-a 1.1. Mulţimi şi elemente de logică matematică 1. Calculaţi: a) ( 3) ( 4) : + ( 5) : ( 5); b) 0 : 18 3 0 : 3 19 + 5 0 ; 1 1 c) 30 0,3 ; 3 15 d) 8 [0,(3) + 0,1(6)].. Fie 0,a 1 a a 3 a n scrierea zecimală a numărului 1 7. Calculaţi: a 018 + a 019 + a 00. 3. Se consideră intervalele A ( 4, 4] şi B (, 7). Determinaţi mulţimea: (A B). 5 4. Ordonaţi crescător numerele a,5(1), b, c,(51), d,51. 5. Calculaţi: ; b) 3 3 a) 45 80 15 c) 1 1 ; d) ; 3 7 7 3. 1 14 6. Arătaţi că numărul a 168 4 6 4 este natural. 3 3 1 1 1 7. Arătaţi că numărul b... este natural. 1 3 8 9 8. Se consideră numerele a 98 3 8 şi b 16 18 7. Calculaţi media aritmetică şi media geometrică a numerelor a şi b. 9. Determinaţi numerele raţionale a şi b, ştiind că 1 6 a b 3. 7
.1. Radicali şi logaritmi Clasa a X-a.1. Radicali şi logaritmi 1. b) Observăm că 11 6 3 şi 5 6 3 ; c) Se ridică la pătrat în b ambii membri.. 1 a. 3. a. 4. a 1, b. 5. a) x [0, 1] \ 1 ; c). 6. Deoarece 1,7 < 3 < 1,8, rezultă că 1,7 < 3 < 1,8, deci 3 1,7. Cum 1, 3 < < 1,3 3, rezultă 1, < < 3 < 1,3, deci 3 1,. 7. Deoarece 14 < 00 < 15 şi 5 < 3 00 < 6, rezultă a 14 5 9. 8. a) 0; b) 6; c) 1. 9. a) E 5; b) a 11 3 3. 10. Cum E(x) 6 x şi a 11, rezultă E(a). 11. a) 3 3 comun: 16 8 4 16 15 a 1 4 1 16. a) Cum a 4 + 3 3 ( 1) ( 1) 1 6 1 64; 5 15 şi b 6 (1 ) 3 4 4 56; 3 1 4 1, deci a b ; b) a. 1. k. 13. 1 1. 14. c) a. 15. Aducem radicalii la ordin 5 5 15, deci 4 1 3 1 4 3 5 4. 6 7 5 şi b 6 7 4 3, rezultă a > b; b) Avem a 3. Cum 3 5 6 şi 4 6 1, rezultă că a > b. 4 4 15 1 17. a) 3; b) ; c) 1 ; d) 3. 18. Cum a 3, b 4, c, rezultă că b < a < c. 19. a) a 7; b) a 5 1. 0. a) 1; b) Avem că 10 3 10 lg + lg +... + lg lg... lg10 1 ; c) 1. 1 9 1 9 1. a) 3; b).. a) ; b) 0; c) 0. 3. a) a 1 ; b) Fie log 3 x; atunci E (3 + x)(5 + x) 1 (6 + x)( + x) 3 ; c) a ; d) a 1. 4. a 3. 5. log 30 + 1 log3 30 + 1 log5 30 log 30 + log 30 3 + log 30 5 log 30 30 1. 6. a) a ; b) a 4. 7. a) log 3 5; b) ; c) log 0,3 ; d) 1; e) log 3 5. 8. a) log 3 4 > 1 > log 4 3; b) Inegalitatea din stânga este echivalentă cu 9 < 5 4, iar cea din dreapta cu 5 < 5 ; c) Inegalitatea este echivalentă cu lg 4 > lg 3 lg 5. Avem: lg 3 lg 5 < lg 3 lg 5 lg15 lg16 lg 4. Altfel: se arată că log 3 4 > 5 4 >log 45. 3 9. a) log 3 4 < log 3 9 4 5, deci (log3 4, 5) ; b) Avem că 3 (deoarece 6 3 6 3 3 ( ) ( 3) 8 < 9) şi 3 3 < < log 5; c) Avem că, iar log 3. 30. Deoarece 8 < 500 < 9, rezultă că 8 < log 500 < 9, deci [log 500] 8. 31. a) Inegalitatea este echivalentă 57
Clasa a XI-a 3.1. Permutări 3.1. Permutări 1. 1 3, 1 3 3 1 1 3, 1 3 3 1, 1 3 1 3.. 1 3 4 5 στ 1 4 5 1 3, 1 3 4 5 1 σ 3 1 5 4, 1 1 3 4 5 τ 5 4 3 1. 3. Cum 4 e, rezultă că 009. 4. x 1 1 1 3 1 3 4. 5; b). 6. a) 3 e; b) Deoarece 009 007 3 1 3 1 4 1 3 1 3 1 3, rezultă că x. 7. a) Avem şi ; 3 1 3 1 3 1 b) Ecuaţia este echivalentă cu x 1 1 3. 8. Deoarece m( 1 ) 3, m( ) 4, m( 3 ) 3 1 5, rezultă că ( 1 ) 1, ( ) 1 şi ( 3 ) 1. 9. a) 1 1 3 4 5 6 ; b) m() 6 1 4 3 5 m( 1 ) 7. 10. i 8, j 3. 11. a) Deoarece A e,,, 3, 4, rezultă că ea are cinci elemente; b) Având în vedere că m() 4, deci () 1, obţinem ( ) () () 1 şi ( 3 ) ( 4 ) (e) 1. 1. a) m() 9; b) Dacă ecuaţia ar avea o soluţie x S 6, atunci, cum (x 4 ) 1 şi () 1, ar rezulta că 1 1, ceea ce este fals. Deci ecuaţia considerată nu are nicio soluţie în S 6. 3.. Matrice 3 3 1 4 1. 65.. A + B, A 3B, A + A t 4 0 1 1. 3. A B, 1 11 18 0 6 3 5 1 1 8 4 B A 4. 4. X, a + b + c + d 6. 5. x, y 0, z 3. 6. B 1 1 3 1 n n 1 n n. 7. a) 3; b) x. 8. c) (x, y) (0, 4), (1, 1), (4, 0). 9. b) Să presupunem 0 că există două matrice X, Y M () astfel încât I XY YX. Deoarece tr(xy YX) tr(xy) a1 b1 a b tr(yx) 0, rezultă că tr(i ) 0, ceea ce este fals. 10. a) Fie A, B 0 1 0 1 aa 1 ab 1 b1 două matrice din G(a 1 > 0, a > 0). Deoarece AB şi a 1 a > 0, rezultă că 0 1 73
Cuprins Cuvânt-înainte... 5 TEME RECAPITULATIVE Enunţuri Soluţii Clasa a IX-a 1.1. Mulţimi şi elemente de logică matematică... 7... 41 1.. Şiruri. Progresii... 10... 4 1.3. Funcţii. Funcţia liniară... 13... 44 1.4. Ecuaţia de gradul al II-lea. Funcţia de gradul al II-lea... 17... 47 1.5. Vectori...... 50 1.6. Trigonometrie... 5... 5 1.7. Aplicaţii ale trigonometriei în geometrie... 8... 55 Clasa a X-a.1. Radicali şi logaritmi... 31... 57.. Numere complexe... 33... 58.3. Funcţii... 37... 59.4. Ecuaţii şi inecuaţii... 41... 6.5. Combinatorică... 45... 67.6. Matematici aplicate. Probabilităţi... 50... 69.7. Geometrie analitică... 5... 70.8. Probleme recapitulative din materia claselor a IX-a a X-a... 55... 71 Clasa a XI-a 3.1. Permutări... 6... 73 3.. Matrice... 63... 73 3.3. Determinanţi... 66... 75 3.4. Inversa unei matrice. Ecuaţii matriceale... 70... 76 3.5. Sisteme de ecuaţii liniare... 7... 78 3.6. Probleme de sinteză algebră... 76... 80 3.7. Şiruri... 81... 8 3.8. Şiruri date prin formule de recurenţă... 85... 86 3.9. Limite de funcţii... 88... 88 3.10. Asimptote... 91... 90 3.11. Funcţii continue... 93... 91 3.1. Derivata unei funcţii... 96... 93 3.13. Teorema lui Fermat. Teorema lui Rolle. Teorema lui Lagrange... 99... 95 3.14. Regulile lui l Hospital... 10... 98 3.15. Rolul derivatelor de ordinul I şi de ordinul al II-lea în studiul funcţiilor... 104... 99 3.16. Reprezentarea grafică a funcţiilor... 110... 306 3.17. Probleme de sinteză analiză matematică... 11... 31
Clasa a XII-a 4.1. Legi de compoziţie... 118... 316 4.. Grupuri... 11... 318 4.3. Inele şi corpuri... 17... 34 4.4. Polinoame... 130... 37 4.5. Probleme de sinteză algebră... 136... 33 4.6. Primitive... 140... 334 4.7. Formula Leibniz Newton... 145... 337 4.8. Metode de integrare... 150... 341 4.9. Proprietăţi ale integralei Riemann... 154... 345 4.10. Aplicaţii ale integralei definite... 158... 350 4.11. Probleme de sinteză analiză matematică... 161... 35 TESTE PENTRU BACALAUREAT 017, DUPĂ MODELUL M.E.N.C.S.... 166... 355 BREVIAR TEORETIC... 377 Bibliografie... 405