6.1.2 Togostna matrika linijskega elementa z ravno osjo po teoriji II. reda

596 6 Geometrijska nelinearnost nosilcev varnost V E pa z enačbo V E = F E F dej 6.92) Z A x je označena ploščina prečnega prereza nosilca, količina i min je najmanjši vztrajnostni polmer, F dej pa je velikost tlačne sile, ki na steber deluje. SLIKA 6.20: Uklonske dolžine Eulerjevih uklonskih primerov 6.1.2 Togostna matrika linijskega elementa z ravno osjo po teoriji II. reda Določimo togostno matriko [ k ] linijskega elementa s konstantnim prečnim prerezom in z ravno osjo za primer ravninske konstrukcije v ravnini x, y. Togostna matrika [k] linijskega elementa je definirana z enačbo [ ] [ ] [ni ] [ui ] = [k] oziroma [n] = [k] [u]. 6.93) [n j ] [u j ] Z [n i ] in [n j ] označimo vozliščne sile n ix n jx [n i ] = n iy, [n j ] = n jy, 6.94) m iz m jz

6.1 Geometrijska nelinearnost ravnega nosilca v ravnini 597 z [u i ] in [u j ] pa vozliščne pomike linijskega elementa slika 6.21) u ix u i u jx [u i ] = u iy = v i, [u j ] = u jy = ϕ iz ϕ iz ϕ jz u j v j ϕ jz. 6.95) SLIKA 6.21: Vozlišče sile in vozliščni pomiki linijskega elementa v ravnini Koeficiente togostne matrike [ k ] določimo z integracijo ravnotežnih enačb 1.85) du dx = N d 4 v, E A x dx 4 + k2 d2 v dx 2 = 1 P Y dm ) z, 6.96) E I z dx pri čemer upoštevamo ustrezne robne pogoje. S k 2 je označen izraz k 2 = F E I z. Povedati, da zanemariš ε xx na pomik v in zasuk ϕ z! Drugače pa ne! Določiti želimo zvezo med silama n ix in n jx ter pomikoma u i in u j na sliki 6.22. SLIKA 6.22: Element obtežimo z vozliščnima silama n ix in n iy, vozlišči i in j pa premaknemo za u i in u j Iskano zvezo dobimo, če rešimo prvo izmed diferencialno enačbo 6.96) ob upoštevanju robnih pogojev d 2 u dx 2 = 0 6.97) x = 0 : u0) = u i, x = L : ul) = u j. 6.98)

598 6 Geometrijska nelinearnost nosilcev Enačbo 6.97) dvakrat integriramo du dx = A 1, u = A 1 x + A 2 6.99) in upoštevamo robna pogoja 6.98). Tako dobimo izraza za integracijski konstanti A 1 in A 2 ter izraz za pomik u Upoštevamo enačbo glej 1.81)) A 1 = u j u i L, A 2 = u i 6.100) u = u j u i L ter prvi izmed enačb 6.99) in 6.100) in dobimo du dx = u j u i L du dx = x + u i. 6.101) N x E A x 6.102) = N x E A x N x = E A x L u j u i ). 6.103) Ker je osna sila N x = n ix = n iy slika 6.22), zapišemo iskani zvezi takole: Mogoče takole:??? du dx = n ix = E A x L u i u j ), n jx = E A x L u i u j ). 6.104) N du = N dx E A x E A x u j u i = L 0 N E A x dx = L 0 H + V ϕ z E A x dx Pri x = 0 je H enak n ix, pri x = L pa je H enak n jx. Sledi 6.104). L 0 H dx = H L. E A x E A x Določiti moramo še zvezo med silama n iy, n jy in momentoma m iz, m jz ter pomikoma v i, v j in zasukoma ϕ iz, ϕ jz za linijski element na sliki 6.23.

6.1 Geometrijska nelinearnost ravnega nosilca v ravnini 599 SLIKA 6.23: Element obtežimo z vozliščnima silama n iy in n jy ter vozliščnima momentoma m iz in m jz, vozlišči i in j pa premaknemo za v i, v j, ϕ iz in ϕ jz Iskano zvezo dobimo, če integriramo drugo izmed enačbo 6.96) d 4 v dx 4 + k2 d2 v dx 2 = 0, k2 = F. 6.105) E I z ob upoštevanju robnih pogojev dv x = 0 : v0) = v i, dx = ϕ iz, x = L : vl) = v j, x=0 dv dx = ϕ jz. 6.106) x=l Partikularni del rešitve v p = 0, zato je v = C 1 sin kx + C 2 cos kx + C 3 x + C 4. 6.107) Integracijske konstante C 1, C 2, C 3 in C 4 določimo iz robnih pogojev tako, da izraz 6.107) vstavimo v 6.106) in iz štirih enačb izrazimo štiri konstante: 1 C 1 = k 2 k cos kl L coskl/2) 2 k sinkl/2) 2 v i k cos kl 2 v j+ + kl cos kl 2 sin kl ) ϕ iz + sin kl ) 2 2 ϕ jz, C 2 = 1 2 k 2 L sinkl/2) coskl/2) 4 k sin 2 kl/2) k cos kl 1) v i + k 1 cos kl) v j + + kl cos kl sin kl)ϕ iz + sin kl kl) ϕ jz ), 1 C 3 = k cos kl kl coskl/2) 2 sinkl/2) 2 v i + k cos kl 2 v j sin kl 2 ϕ iz sin kl 2 ϕ jz C 4 = 1 2 k 2 L sinkl/2) coskl/2) 4 k sin 2 kl/2) k cos kl + kl sin kl 1) v i + + k cos kl 1) v j + sin kl kl cos kl)ϕ iz + kl sin kl) ϕ jz ). ), 6.108)

600 6 Geometrijska nelinearnost nosilcev Izraze 6.108) smo določili s programom Mathematica z naslednjimi ukazi: v[x_] = C1 Sin[k x] + C2 Cos[k x] + C3 x + C4 ; res = Solve[{v[0]==vA, v'[0] == fia, v[l] == vb, v'[l] == fib},{c1,c2,c3,c4}]; Print[" C1 = ", Simplify[Expand[C1 /. res[[1]] ]]]; Print[" C2 = ", Simplify[Expand[C2 /. res[[1]] ]]]; Print[" C3 = ", Simplify[Expand[C3 /. res[[1]] ]]]; Print[" C4 = ", Simplify[Expand[C4 /. res[[1]] ]]]; Izraza za C 1 in C 3 v 6.108) množimo in delimo z sinkl/2), upoštevamo zvezi ter vpeljemo oznako za izraz 2 sin α cos α = sin 2 α, sin 2 α 2 = 1 1 cos α) 6.109) 2 = 2 2 cos kl kl sin kl. 6.110) Nato izraze za konstente C 1 do C 4 uredimo ter zapišemo v naslednji obliki: C 1 = 1 k [ k sin kl v i + k sin kl v j kl sin kl + cos kl 1)ϕ iz + cos kl 1) ϕ jz ], C 2 = 1 k [k 1 cos kl) v i k 1 cos kl) v j + sin kl kl cos kl) ϕ iz + + kl sin kl) ϕ jz ], C 3 = 1 [k sin kl v i k sin kl v j + 1 cos kl) ϕ iz + 1 cos kl) ϕ jz ], C 4 = 1 k [k 1 cos kl kl sin kl) v i + k 1 cos kl) v j sin kl kl cos kl) ϕ iz kl sin kl) ϕ jz ). Upogibni moment M z ter silo V v smeri globalne? osi Y izrazimo z enačbama 6.111) M z = E I z d 2 v dx 2, V = E I z d 3 v dx 3 F dv dx. 6.112) Upoštevamo, da za element na sliki 6.23 velja, da je M z 0) = m iz, M z L) = m jz, V 0) = n iy in V L) = n jy in dobimo d 2 v m iz = E I z dx 2, x=0 d 2 v m jz = E I z dx 2 6.113) x=l

6.1 Geometrijska nelinearnost ravnega nosilca v ravnini 601 oziroma Izračunamo odvode d 3 v n iy = V 0) = E I z dx 3 + E I z k 2 dv x=0 dx, x=0 d 3 v n jy = V L) = E I z dx 3 E I z k 2 dv x=l dx. x=l dv dx = C 1 k cos k x C 2 k sin k x + C 2, d 2 v dx 2 = C 1 k 2 sin k x C 2 k 2 cos k x, d 3 v dx 3 = C 1 k 3 cos k x + C 2 k 3 sin k x 6.114) in enačbi 6.113) in 6.114) izrazimo s konstantami C 1 do C 4 : m iz = E I z k 2 C 2, m jz = E I z C 1 k 2 sin kl + C 2 k 2 cos kl). 6.115) oziroma n iy = E I z k 2 C 3, n jy = E I z k 2 C 3. 6.116) Konstante C 1, C 2 in C 3 iz 6.111) vstavimo v 6.115) in 6.116), vpeljemo oznako ω = kl 6.117) ter po ureditvi zapišemo zvezo med vozliščnimi silami in momenti ter vozliščnimi pomiki in zasuki: m iz = E I z L m jz = E I z L n iy = E I z L n jy = E I z L ω ω L 1 cos ω) v i ω ) L 1 cos ω) v j + sin ω ω cos ω) ϕ iz + ω sin ω) ϕ jz, ω ω L 1 cos ω) v i ω ) L 1 cos ω) v j + ω sin ω) ϕ iz + sin ω ω cos ω) ϕ jz, ω ω 2 L 2 sin ω v i ω2 L 2 sin ω v j + ω L 1 cos ω) ϕ iz + ω ) L 1 cos ω) ϕ jz, ω ω2 L 2 sin ω v i + ω2 L 2 sin ω v j ω L 1 cos ω) ϕ iz ω ) L 1 cos ω) ϕ jz. 6.118) Tudi izrazimo z ω po enačbi = 2 2 cos ω ω sin ω.

602 6 Geometrijska nelinearnost nosilcev Izraz za togostno matriko [ k ] elementa na sliki 6.21 dobimo, če enačbe 6.104) in 6.118) zapišemo v matrični obliki: A x 0 0 A x 0 0 I z ω I z ω n ix ω 2 n iy L m iz n jx = E I z ω 2 sin ω ω ω2 1 cos ω) 0 L L 2 sin ω ω u 1 cos ω) i L sin ω ω cos ω 0 ω v i 1 cos ω) ω sin ω L ϕ iz L A n jy x 0 0 u j I z ω v j m jz ω 2 simetrija L 2 sin ω ω ϕ jz 1 cos ω) L sin ω ω cos ω 6.119) Če je osna sila N x natezna in ne tlačna, moramo v togostni matriki 6.119) funkciji sin in cos zamenjati s hiperboličnima funkcijama sh in ch. Togostno matriko elementa, ki ima v vozlišču A ali B členek izpeljemo na enak način kot za obojestransko vpeti element.

6.1 Geometrijska nelinearnost ravnega nosilca v ravnini 603 Pri metodi pomikov moramo za obtežbo po elementu nadomestiti z ustreznimi silami v vozliščih. V nadaljevanju je prikazan račun vpliva prečne obtežbe konstantne linijske obtežbe) q na vpetostna momenta M A in M B za obojestransko vpet nosilec slika 6.24), ki je osno obtežen s tlačno silo F. bi moralo biti narejeno v primeru 6.1????). Narediti še za poševno točkovno silo?!??? SLIKA 6.24: Nosilec je obtežen s konstantno linijsko obtežbo q Ravnotežna enačba je: Partikularni del rešitve v p = P y x 2 /2 F ), zato je d 4 v dx 4 + k2 d2 v dx 2 = P y E I z, k 2 = F E I z. 6.120) v = C 1 sin kx + C 2 cos kx + C 3 x + C 4 + P Y x 2 2 F. 6.121) C 1, C 2, C 3 in C 4 so integracijske konstante, ki jih določimo iz robnih pogojev: dv v0) = 0, dv dx = 0, vl) = 0, 0 dx = 0. 6.122) L Izraz 6.121) vstavimo v 6.122) in izračunamo konstante C 1, C 2, C 3 in C 4 : C 1 = P y L 2 k F, C 2 = P y L ctgkl/2), C 3 = P y L 2 k F 2 k F, C 4 = P y L ctgkl/2). 6.123) 2 k F Konstante 6.123) vstavimo v izraz 6.121) ter izračunamo vozliščna momenta m iz in m jz : Tako dobimo: d 2 v m iz = E I z dx 2, 0 d 2 v m jz = E I z dx 2. 6.124) L m iz = E I z P y F ali tudi takole: + E I z kl P y ctgkl/2), m jz = E I z P y E I z kl P y ctgkl/2) 2 F F 2 F m iz = 12 k 2 L 2 1 kl 2 ctgkl 2 ) Py L 2 12, m jz = m iz. 6.125)

7 Ravnotežje konzervativnega sistema V tem poglavju izpeljemo pogoj za mirovanje konservativnega sistema telesa in obtežbe). Pogoj izpeljemo iz prvega zakona termodinamike. Pri izpeljavi definiramo potencialno energijo sistema. S pomočjo potencialne energije lahko ugotovimo vrsto ravnotežnega stanja, kar obravnavamo v poglavju 8. Stabilnost konservativnih sistemov. 7.1 Prvi zakon termodinamike Obravnavajmo elastično deformabilno telo, ki ga obtežujemo s površinsko p S in prostorninsko obtežbo v. Za telo in obtežbo zapišimo prvi zakon termodinamike W k + W n = A + Q, 7.1) ki pravi, da je sprememba kinetične energije W k in sprememba notranje energije W n enaka dovedenemu delu A ter dovedeni toploti Q. Če se omejimo na primere, ko je deformiranje adiabatno, lahko telo sprejema ali oddaja le delo, ne pa tudi toplote. V tem primeru zapišemo enačbo 7.1) takole W k + W n = A. 7.2) V primeru, da obtežbi p S in v nanašamo na telo zelo počasi in so med deformiranjem telesa ves čas izpolnjeni ravnotežni pogoji, lahko kinetično energijo W k zanemarimo V tem primeru dobimo iz 7.2) pogoj za mirovanje sistema W n = A. 7.3) Enačbo 7.3) zapišemo tudi takole W n = W n2 W n1 = A 12, 7.4) kjer je z W n1 označena notranja energija telesa v času t 1 stanje 1), z W n2 pa notranja energija telesa v času t 2 stanje 2), z A 12 pa delo, ki ga telo prejme pri prehodu iz stanja 1 v stanje 2. Pomike telesa v stanju 1 označimo z u 1, v stanju 2 pa z u 2. Delo A 12 v tem primeru izračunamo z enačbo u2 ) u2 ) A 12 = p S d ū ds + v δ ū dv 7.5) S p u 1 J. Strnad, Fizika, 1. del, Mehanika, toplota, Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije, Ljubljana, 1995. V u 1

7.1 Prvi zakon termodinamike 605 Če sta obtežbi p S in v konservativni, lahko prirastek dela površinske obtežbe p S d u ter prirastek dela prostorninske obtežbe v d u zapišemo kot popolna diferenciala nekih funkcij argumenta u, ki ju označimo z G u) in g u) p S d u = dg u), v d u = dg u). 7.6) Iz enačb 7.6) sledi zveza med funkcijo G in obtežbo p S, ter funkcijo g in obtežbo v Izraza 7.6) vstavimo v 7.5) in dobimo A 12 = S p u2 u 1 ) dg ds V u2 u 1 p S = G u, ) dg dv = S p g v = u. 7.7) G u2 ) G u 1 ) ) ds V g u2 ) g u 1 ) ) dv. 7.8) Vidimo, da je delo A 12 odvisno le od stanj 1 in 2. Če desno stran enačbe 7.8) označimo z Π z, je oziroma Π z = S p A 12 = Π z 7.9) G u2 ) G u 1 ) ) ds + V g u2 ) g u 1 ) ) dv. 7.10) Z Π z označimo spremembo potencialne energije Π z zunanje obtežbe. Če sta obtežbi p S in v neodvisni od pomika u, iz 7.6) sledi p S u 2 u 1 ) = G u 2 ) G u 1 ) ), v u 2 u 1 ) = g u 2 ) g u 1 ) ). 7.11) V tem primeru zapišemo Π z takole 7.11) vstavimo v 7.10)) Π z = p S u 2 u 1 ) ds v u 2 u 1 ) dv. 7.12) Če 7.9) vstavimo v 7.4), zapišemo pogoj za mirovanje takole S p V W n + Π z = 0. 7.13) Pri deformiranju elastičnega telesa nastanejo v telesu napetosti oziroma notranje sile. Če velikost obtežbe, ki na deformirano telo deluje, počasi manjšamo, elastično telo vrne delo, ki ga je opravila zunanja Sistem je konservativen, če je delo pri deformiranju sistema vzdolž sklenjene poti enako nič. To pomeni, da je delo sil notranjih in zunanjih) pri prehodu sistema iz stanja 1 v stanje 2 neodvisno od poti, po kateri sistem preide iz stanja 1 v stanje 2.

606 7 Ravnotežje konzervativnega sistema obtežba. Rečemo tudi, da je delo spravljeno v deformiranem telesu v obliki notranje energije. Sposobnost notranjih sil, da opravijo delo zaradi deformiranega stanja telesa, imenujemo deformacijska energija, ki jo označimo z U. Notranja energija W n elastičnega telesa je deformacijska energija telesa Pogoj 7.13) za mirovanje telesa zapišemo tudi takole: W n = U. 7.14) U + Π z = U + Π z ) = Π = Π 2 Π 1 = 0. 7.15) Količina Π = U + Π z 7.16) je potencialna energija sistema. Pri deformiranju telesa iz stanja 1 v stanje 2 napetosti in deformacije naraščajo. Izraz U za spremembo deformacijske energije dobimo, če izračunamo delo A n notranjih sil na deformacijah, ki nastanejo pri prehodu telesa iz stanja 1 v stanje 2 U = A n du = da n. 7.17) Izračunajmo prirastek da n dela notranjih sil na diferencialnih pomikih, ki nastanejo pri deformiranja telesa. Zamislimo si, da iz obteženega telesa v okolici točke T x, y, z) izrežemo prizmo z robovi dx, dy in dz. Na stranske ploskve prizme delujejo notranje sile. Napetosti σ ij v točki T x, y, z) razvijemo v Taylorjevo vrsto okoli točke T in upoštevamo le linearne člene. Zaradi preglednosti so na sliki 7.1 narisane le notranje sile v smeri osi x. SLIKA 7.1: Sile v smeri osi x, ki delujejo na prizmo dimenzij dx, dy, dz

7.1 Prvi zakon termodinamike 607 Pomik v smeri x označimo z u x = u x x, y, z). Prirastek dela sil, ki delujejo v smeri osi x, je da x n = σ xx + σ ) xx dx dy dz d u x + u ) x dx σ xx σ ) xx dx dy dz d u x u ) x dx + x 2 x 2 x 2 x 2 + σ yx + σ ) yx dy dx dz d u x + u ) x dy σ yx σ ) yx dy dx dz d u x u ) x dy + y 2 y 2 y 2 y 2 + σ zx + σ ) zx dz dy dx d u x + u ) x dz σ zx σ ) zx dz dy dx d u x u ) x dz + z 2 z 2 z 2 z 2 + v x dx dy dz du. Ko upoštevamo, da je d u x + u ) ) x dx ux dx = du x + d x 2 x 2, d u x u ) ) x dx ux dx = du x d x 2 x 2, d u x + u ) ) x dy ux dy = du x + d y 2 y 2, d u x u ) ) x dy ux dy = du x d y 2 y 2, d u x + u ) ) x dz ux dz = du x + d z 2 z 2, d u x u ) ) x dz ux dz = du x d z 2 z 2, dobimo da xn = σxx x + σ yx y + σ zx z Za smeri y in z dobimo podobna izraza da yn = σxy x + σ yy y + σ zy z ) + v ux x du x + σ xx d x + v y ) du y + σ xy d uy x ) + σ yx d ) + σ yy d ux y uy y ) + σ zx d ) + σ zy d ux z uy z 7.18) )) dv. 7.19) )) dv 7.20) in σxz da zn = x + σ yz y + σ ) ) ) )) zz z + v uz uz uz z du z + σ xz d + σ yz d + σ zz d dv. x y z 7.21) Z u y in u z sta označena pomika v smeri osi y in z. Enačbe 7.19) 7.21) seštejemo. Če upoštevamo ravnotežne pogoje za delec znotraj telesa, dobimo ) ) ) ux uy uz da n = da xn + da yn + da zn = σ xx d + σ yy d + σ zz d + ) v + σ xy d + d x u y )) + σ yz d x w y ) + d y v z )) + σ zx d z u z ) + d = σ xx dε xx + σ yy dε yy + σ zz dε zz + σ xy 2 dε xy + σ yz 2 dε yz + σ zx 2 dε zx ) dv. w x ))) dv = 7.22)

608 7 Ravnotežje konzervativnega sistema Delo da n zapišimo še z vektorji napetosti in prirastki vektorjev deformacij da n = σ x d ε x + σ y d ε y + σ z d ε z ) dv. 7.23) Iz 7.22) lahko izrazimo delo da n, ki predstavlja prirastek dela da n na enoto prostornine. Če upoštevamo, da sta tenzorja napetosti in deformacij simetrična, dobimo da n = da n dv = σ xx dε xx + σ yy dε yy + σ zz dε zz + σ xy dε xy + σ yx dε yx + σ yz dε yz + + σ zy dε zy + σ zx dε zx + σ xz dε xz = 7.24) σ ij dε ij, i, j = x, y, z). i j Če so notranje sile konservativne, je izraz i j σ ij dε ij, i, j = x, y, z) popolni diferencial specifične deformacijske energije Uε ij ) z argumenti deformacij ε ij da n = duε ij ). 7.25) Enačbo 7.25) integriramo od deformacij ε ij,1 stanja 1 do deformacij ε ij,2 stanja 2 ε ij,2 ε ij,1 da n = ε ij,2 ε ij,1 duε ij ) A n = Uε ij,2 ) Uε ij,1 ). 7.26) Če 7.26) integriramo po celem telesu, dobimo izraz U za spremembo deformascijske energije telesa pri prehodu iz stanja 1 v stanje 2 U = Uεij,2 ) Uε ij,1 ) ) dv. 7.27) V Če v 7.25) upoštevamo 7.24) ter pravilo za pisanje popolnega diferenciala funkcije Uε ij ), dobimo zvezo med napetostmi σ ij in specifično deformacijsko energijo U σ ij dε ij = i j i Če 7.27) in 7.10) vstavimo v 7.15) Π = U + Π z = = Uεij,2 ) Uε ij,1 ) ) dv + V j U dε ij σ ij = U, i, j = x, y, z). 7.28) ε ij ε ij S p G u2 ) G u 1 ) ) ds + V g u2 ) g u 1 ) ) dv = 0, 7.29) G u) ds + zapišemo potencialno energijo Π sistema takole Π = Uε ij ) dv + g u) dv. 7.30) V S p V

7.1 Prvi zakon termodinamike 609 Pogoj za mirovanje Π sistema za primer, da sta obtežbi p S in v neodvisni od pomikov, zapišemo z enačbo glej 7.12) in 7.13)) Π = Uεij,2 ) Uε ij,1 ) ) dv p S u ds v u dv = 0. 7.31) V S p V V tem primeru zapišemo potencialno energijo Π sistema takole: Π = Uε ij ) dv p S u ds V S p V v u dv. 7.32) Če upoštevamo zvezo med napetostmi in deformacijami za linearno elastični material σ i = 2 µ ε i + λ I 1ε e i, i = x, y, z), zapišemo prirastek specifičnega deformacijskega dela takole i e i d ε i = di 1ε, i = x, y, z)): duε ij ) = 2 µ i ε i d ε i + λ I 1ε di 1ε, i = x, y, z). 7.33) Z di 1ε je označena sprememba prve invariante tenzorja deformacij di 1ε = dε xx + dε yy + dε zz. Enačbo 7.33) integriramo in dobimo celotno specifično deformacijsko energijo delca Uε ij ) = µ i ε i ε i + λ 2 I2 1ε = µ i Enačbo 7.34) lahko zapišemo tudi takole U = i ε i 2 2 µ ε i + λ I 1ε e i ) = 1 2 ε ij ε ij + λ 2 I2 1ε, i, j = x, y, z). 7.34) j σ i ε i, i, j = x, y, z). 7.35) i

8 Stabilnost konzervativnih sistemov 8.1 Stabilno in nestabilno ravnotežno stanje Ločimo stabilno in nestabilno ravnotežno lego sistema oziroma konstrukcije. V primeru konservativnega sistema lahko ugotovimo vrsto ravnotežnega stanja z Lagrange-Dirichletovim izrekom: Ravnotežno stanje konservativnega sistema je stabilno, če ima potencialna energija v tej legi lokalni minimum. Potencialna energija Π konservativnega sistema je za primer, ko sta obtežbi p S in v neodvisni od pomikov, določena z enačbo 7.32) Π = U + Π z = U u) dv p S u ds v u dv = Π u). 8.1) V S p Potencialna energija je odvisna od pomikov u. Če v 8.1) vstavljamo razne funkcije za u, dobimo za Π različne skalarne vrednosti. Π je torej funkcija funkcij ali funkcional. Določanje ekstremnih vrednosti funkcionalov obravnava variacijski račun. Potencialna energija zapisana z enačbo 8.1) ustreza računskemu modelu telesa z zvezno razporejeno snovjo kontinuumu). Značilnost kontinuuma je, da ima neskončno število prostostnih stopenj. Pri numeričnem reševanju nalog običajno uporabimo aproksimativne metode, s katerimi računski model telesa z neskončnim številom prostostnih stopenj prevedemo na model s končnim številom prostostnih stopenj. Takemu računskemu modelu rečemo diskretni model. Potencialno energijo Π diskretnega sistema z n prostostnimi stopnjami lahko izrazimo s posplošenimi koordinatami q i i = 1,..., n) Π = Πq 1,..., q n ). 8.2) Vzemimo, da telo poljubno premaknemo iz ravnotežne lege, ki je določena s koordinatami q i tako, da se koordinate q i spremenijo za δq i. Telo premaknemo skladno s podporami tako, da so spremembe C.L. Dym, Stability theory and its applications to structural mechanics, Noordhoff International Publishing, Leyden, 1974. F. Križanič, Navadne diferencialne enačbe in variacijski račun, Državna založba Slovenije, Ljubljana, 1974. V

8.1 Stabilno in nestabilno ravnotežno stanje 611 δq i koordinat q i majhne. Spremembe δq i imenujemo tudi variacije koordinat q i. Na mestu S u, kjer so pomiki predpisani, telesa ne moremo poljubno premakniti. Zato so variacije δq i koordinat q i na tem mestu enake nič. Premaknjeno lego v okolici ravnotežne lege opišemo tako, da potencialno energijo Π razvijemo v Taylorjevo vrsto okrog ravnotežne lege določene s koordinatami q i, i = 1,..., n) Πq 1 + δq 1,..., q n + δq n ) = Πq 1,..., q n ) + + 1 3! p=1 r=1 s=1 p=1 Π q p δq p + 1 2! p=1 r=1 3 Π q p q r q s δq p δq r δq s +.... 2 Π q p q r δq p δq r + 8.3) Spremembo potencialne energije pri premaknitvi telesa iz ravnotežne lege označimo z Π Π = Πq 1 + δq 1,..., q n + δq n ) Πq 1,..., q n ). 8.4) Če uporabimo oznake za prvo δπ, drugo δ 2 Π, tretjo δ 3 Π in k-to δ k Π variacijo potencialne energije δπ = δ 2 Π = δ 3 Π = p=1 Π q p δq p, p=1 r=1 p=1 r=1 s=1 2 Π q p q r δq p δq r, 3 Π q p q r q s δq p δq r δq s, 8.5). δ k Π = zapišemo enačbo 8.3) v obliki p=1 r=1 t=1 k Π q p q r... q t δq p δq r δq t, Π = δπ + 1 2! δ2 Π + 1 3! δ3 Π +.... 8.6) V primeru mirovanja oziroma ravnotežja je sprememba potencialne energije Π enaka nič enačba 7.13)) Π = δπ + 1 2! δ2 Π + 1 3! δ3 Π +... = 0. 8.7) Ker so variacije δq i majhne, so produkti δq i variacij koordinat q i v primerjavi z linearnimi členi δq i zanemarljivi. Zato lahko drugo in višje variacije potencialne energije v enačbi 8.7) zanemarimo in

612 8 Stabilnost konzervativnih sistemov zapišemo pogoj za ravnotežje takole δπ = i=1 Π q i δq i = 0. 8.8) Enačba 8.8) določa izrek o stacionarni vrednosti potencialne energije. Po Lagrange-Dirichletovem izreku izrek velja za kontinuum in za diskretni model) je ravnotežno stanje konservativnega sistema stabilno, če ima potencialna energija v ravnotežni legi lokalni minimum. To pomeni, da lahko ugotovimo vrsto ravnotežja, če telo premaknemo iz ravnotežne lege in izračunamo, kako se je pri takem premiku spremenila potencialna energija Π. Če se je potencialna energija povečala, je ravnotežna lega stabilna Π = 1 2! δ2 Π + 1 3! δ3 Π +... > 0. 8.9) Upoštevali smo, da je v ravnotežni legi δπ = 0. O vrsti ravnotežja stabilno ali nestabilno) odloča prva od nič različna variacija potencialne energije. Če je prva od nič različna variacija pozitivna, je Π pozitiven in je ravnotežna lega določena s koordinatami q i stabilna. V primeru linearno elastičnega materiala, majhnih deformacij in uporabe ravnotežnih pogojev na nedeformirani legi se izkaže, da je δ 2 Π > 0. Zato je v tem primeru ravnotežna lega, določena s pogojem δπ = 0, stabilna. Pri ugotavljanju vrste ravnotežja moramo upoštevati enačbe geometrijske nelinearnosti glej poglavje 6). 8.2 Nekateri pojmi analize stabilnosti konstrukcij Oglejmo si naslednje pojme povezane s stabilnostjo konstrukcij: 1. kritično ravnotežno stanje, 2. parameter obtežbe, 3. ravnotežna pot, 4. kritične točke, 5. preskok konstrukcije, 6. uklon konstrukcije in uklonske oblike. Diskretni konservativni sistem je v ravnotežju, če je prva variacija potencialne energije enaka nič enačba 8.8)). Lagrange-Dirichletov izrek pravi, da je ravnotežno stanje konservativnega sistema stabilno, če ima potencialna energija v ravnotežni legi glede na sosednje lege minimalno vrednost. Pogoja za stabilno oziroma nestabilno ravnotežje zapišemo takole { 2 Π > 0, stabilno ravnotežno stanje, δπ = 0 in 2 8.10) Π < 0, nestabilno ravnotežno stanje.

8.2 Nekateri pojmi analize stabilnosti konstrukcij 613 1. Kritično ravnotežno stanje Konservativni sistem ima kritično ravnotežno stanje, če sta prva in druga variacija potencialne energije enaka nič δπ = 0 in δ 2 Π = 0. 8.11) Če ima potencialna energija v okolici ravotežne lege prvo in drugo variacijo enako nič, potem o stabilnosti oziroma nestabilnosti določajo višje variacije δπ = 0, δ 2 Π = 0 Π = 1 3! δ3 Π + 1 4! δ4 Π +.... 8.12) 2. Parameter obtežbe Pri analizi stabilnosti običajno vektor obtežbe {F } izrazimo s parametrom obtežbe λ in referenčno obtežbo {F } ref z enačbo {F } = λ {F } ref. 8.13) Potencialno energijo Π konservativnega sistema zato zapišemo takole Π = Uq 1,..., q n ) + Π z q 1,..., q n, λ) = Πq 1,..., q n, λ). 8.14) Zadnjo enačbo lahko zapišemo še z referenčnim delom A ref Π = Uq 1,..., q n ) λ A ref q 1,..., q n ). 8.15) 3. Ravnotežna pot Ker so posplošene koordinate po definiciji linearno neodvisne, so neodvisne tudi variacije q i, zato zapišemo enačbo 8.8) takole Πq 1,..., q n, λ) q i = 0, i = 1,..., n). 8.16) Rešitev sistema enačb 8.16) je določena s funkcijami q i λ), ki določajo ravnotežno pot krivulja v n-dimenzionalnem prostoru). Ker s posplošenimi koordinatami q i opišemo pomike, predstavljajo funkcije q i λ) pomike v odvisnosti od obtežbe. Če poteka ravnotežna pot skozi točko q i = 0 točka v n-dimenzionalnem prostoru), je taka pot osnovna ravnotežna pot. V nasprotnem primeru je pot sekundarna ravnotežna pot. Na sliki 8.1 sta prikazani osnovna in sekundarna ravnotežna pot za sistem z eno prostostno stopnjo. M. Stanek, G. Turk, Statika II, FGG, Ljubljana, 1996.

614 8 Stabilnost konzervativnih sistemov SLIKA 8.1: Osnovna in sekundarna ravnotežna pot 4. Kritične točke Kritične točke delimo na limitne in bifurkacijske. Limitna točka je točka, v kateri doseže parameter obtežbe λ ekstremno vrednost. Bifurkacijska točka je točka, v kateri se sekata osnovna in sekundarna obtežna pot. Bifurkacija pomeni razvejišče. Na sliki 8.2a je prikazana limitna točka, na sliki 8.2b pa bifurkacijska točka za sistem z eno prostostno stopnjo. SLIKA 8.2: a) Limitna točka b) Bifurkacijska točka 5. Uklon konstrukcije in uklonske oblike Analiziranje stabilnosti z lineariziranimi ravnotežnimi enačbami obravnava linearna analiza stabilnosti. Pri taki analizi upoštevamo, da so pomiki majhni in zato izrazimo potencialno energijo sistema tako, da upoštevamo le linearne in kvadratne člene, v katerih nastopajo posplošene koordinate pomiki). V tem primeru so ravnotežne enačbe Π/ q i linearne. V primeru sem lineariziral ravnotežne enačbe!?) Taki analizi rečemo tudi uklon konstrukcije. Z linearno analizo lahko izračunamo bifurkacijske obtežbe ter pripadajoče uklonske oblike. Primer 8.1 Določimo kritični sili in pripadajoči uklonski obliki za prikazano konstrukcijo, ki je sestavljena iz dveh togih palic AB in BC, ter dveh polžastih vzmeti s togostjo k slika 8.3). Težo palic zanemari. Pri računu predpostavi, da sta zasuka ϕ 1 in ϕ 2 majhna. Uklonski obliki sistema z dvema prostostnima stopnjama izrazi z zasukoma ϕ 1 in ϕ 2.

8.2 Nekateri pojmi analize stabilnosti konstrukcij 615 SLIKA 8.3: Geometrija in obtežba sistema Deformacijska energija U konstrukcije je U = 1 2 k ϕ 1 ϕ 2 ) 2 + 1 2 k ϕ2 2. Potencialna energija zunanje sile F je Π z = F [L 1 cos ϕ 1 ) + L 1 cos ϕ 2 )]. Potencialna energija sistema je Π = 1 2 k ϕ2 1 2 ϕ 1 ϕ 2 + 2 ϕ 2 2) F L 2 cos ϕ 1 cos ϕ 2 ). Pogoj za ravnotežje zapišemo takole δπ = Π ϕ 1 δϕ 1 + Π ϕ 2 δϕ 2 = 0 δπ = [k ϕ 1 ϕ 2 ) F L sin ϕ 1 ] δϕ 1 + [ k ϕ 1 2 ϕ 2 ) F L sin ϕ 2 ] δϕ 2 = 0. 8.17) Ker sta variaciji δϕ 1 in δϕ 2 poljubni, dobimo naslednji ravnotežni enačbi homogen sistem enačb) k ϕ 1 ϕ 2 ) F L sin ϕ 1 = 0, k ϕ 1 2 ϕ 2 ) F L sin ϕ 2 = 0. Ob predpostavki, da sta zasuka ϕ 1 in ϕ 2 majhna, upoštevamo, da je sin ϕ 1 ϕ 1 in dobimo sistem homogenih enačb k F L) ϕ 1 k ϕ 2 = 0, k ϕ 1 + 2 k F L) ϕ 2 = 0, 8.18) ki predstavlja problem lastnih vrednosti. Za netrivialno rešitev homogenega sistema mora biti determinanta sistema enaka nič k F L k k 2 k F L = F 2 3 k k 2 L L) F + = 0.

616 8 Stabilnost konzervativnih sistemov Korena te enačbe sta lastni vrednosti problema F 1 = 0.382 k L, F 2 = 2.62 k L. Lastni vrednosti F 1 in F 2 sta kritični oziroma uklonski sili. Če lastni vrednosti F 1 in F 2 vstavimo v enačbi 8.18), dobimo lastna vektorja, ki predstavljata uklonski obliki, to je obe možni ravnotežni obliki konstrukcije Ustrezni uklonski obliki sta prikazani na sliki 8.4. ϕ 2 = 0.618 ϕ 1 ustreza sili F 1, ϕ 2 = 1.62 ϕ 1 ustreza sili F 2. SLIKA 8.4: Uklonski obliki Velikosti zasuka ϕ 1 ne poznamo. Iz primera sledi, da pri analiziranju uklona konstrukcije lahko izračunamo le velikosti kritičnih sil ter pripadajoče uklonske oblike. Določiti še vrsto ravnotežja! 6. Preskok konstrukcije Obravnavajmo dve členkasto podprti in členkasto povezani palici dolžine L v ravnini x, z. Palici sta obteženi s silo F, katere velikost se spreminja slika 8.5). SLIKA 8.5: Začetna lega palic je določena s kotom α, trenutna lega pa s kotom θ Zaradi delovanja sile F nastane v palicah tlačna osna sila, zaradi katere se dolžini palic zmanjšata. Če je kot α dovolj majhen, lahko nastopi primer, da se dolžini palic tako zmanjšata, da postane kot θ enak nič, še preden nastopi v palici Eulerjeva uklonska sila. V tem primeru pride do nestabilnosti zaradi preskoka

8.2 Nekateri pojmi analize stabilnosti konstrukcij 617 konstrukcije. Potencialno energijo sistema zapišemo v odvisnosti od kota θ takole Π = 2 1 2 V p 2 E εxx dv F w = E ) L 2 A L F w = E A L L L)2 F w = k L) 2 F w. S k je označena togost palice k = E A/L, E je modul elastičnosti materiala, A pa ploščina prečnega prereza palice, V p pa območje? ene palice. Sprememba dolžine L palice in pomik w prijemališča sile F izrazimo s kotom θ cos α ) L = l L = L cos θ 1, w = L sin α cos α tgθ) in dobimo Pogoj za ravnotežje je Π = k L 2 cos α cos θ 1 ) 2 F L sin α cos α tgθ). 8.19) Π θ = 0 2 k L2 cos α tgθ cos α ) cos θ cos θ 1 + F L cos α cos 2 θ Iz 8.20) izrazimo silo F v odvisnosti od θ po enačbi = 0. 8.20) F = 2 k L tgθ cos θ cos α). 8.21) Graf F θ) po enačbi 8.21) prikazujemo na sliki 8.6 pri risanju slike upoštevamo dva primera: α = π/2 in α = 0.02). SLIKA 8.6: Graf F θ) Iz enačbe 8.21) izračunamo, da je F enaka nič za θ = 0, θ = α in θ = α. Vrednosti kotov θ, pri kateri ima funkcija F θ) ekstremne vrednosti dobimo iz pogoja F/ θ = 0: F θ = 2 k L 1 cos 2 θ cos θ cos α) 2 k L tgθ sin θ = 0. 8.22)

618 8 Stabilnost konzervativnih sistemov Iz enačbe F/ θ = 0 sledi Realni rešitvi enačbe 8.23) sta: cos α cos 3 θ = 0. 8.23) θ 1 = Arccos 3 cos α ), θ 2 = Arccos 3 cos α ). Če kot θ izrazimo s kotom ϕ po enačbi θ = α ϕ, narišemo graf F ϕ) kot prikazujemo na sliki 8.7. SLIKA 8.7: Graf F ϕ) za α = 0.02 Vrednosti kotov ϕ, pri katerih ima F ϕ) ekstremne vrednosti označimo s ϕ 1 in ϕ 2 ϕ 1 = α θ 1, ϕ 2 = α θ 2. Vidimo, da obstajajo tri ravnotežne lege za F = 0: θ = 0, θ = α, θ = α) oziroma ϕ = 0, ϕ = α, ϕ = 2 α). Vrsto ravnotežja ugotovimo, če izračunamo drugi odvod potencialne energije. Enačbo 8.20) odvajamo po θ 2 Π θ 2 in za F vstavimo 8.21) = 4 k L2 cos 2 α tg2 θ cos α ) cos 2 θ + 2 k L2 cos α cos θ 1 1 cos 3 θ 2 k L 2 cos α tg2 θ cos θ + 2 F L cos α 2 Π θ 2 tgθ cos 2 θ 8.24) = 2 kl2 cos α cos 4 cos α cos 3 theta) 8.25) θ Če v 8.25) postavimo, da je 2 Π/ θ 2 = 0, dobimo enačbo 8.23). Zato ima funkcija 2 Π/ θ 2 enake ničle, kot funkcija F/ θ. Graf 2 Π/ θ 2 v odvisnosti od ϕ prikazujemo na sliki 8.8.

8.2 Nekateri pojmi analize stabilnosti konstrukcij 619 SLIKA 8.8: Graf 2 Π/ θ 2 v odvisnosti od ϕ Če je 2 Π/ θ 2 pozitiven, ima Π minimalno vrednost, je ravnotežno stanje stabilno. Če pa je 2 Π/ θ 2 negativen, ima Π maksimalno vrednost, je ravnotežno stanje nestabilno. Na sliki 8.7 je stabilno ravnotežno stanje označeno z neprekinjeno, nestabilno ravnotežno stanje pa s prekinjeno črto. Vidimo, da je ravnotežno stanje F = 0, θ = 0 oziroma F = 0, ϕ = α) nestabilno. V točkah C in E je 2 Π/ θ 2 enak nič. Če izračunamo tretji odvod potencialne energije po θ 3 Π/ θ 3 ), lahko narišemo graf 3 Π/ θ 3 v odvisnosti od ϕ slika 8.9). V ta namen 8.24) odvajamo po θ 3 Π θ 3 in za F vstavimo 8.21) = 6 k L2 cos2 α tgθ cos 4 θ 2 cos α tgθ 10 k L cos 3 θ + 16 k L 2 cos2 α tgθ cos 4 + θ + 2 k L 2 4 cos α ) cos α tg 3 cos θ 1 θ + 2 F L cos α cos θ cos 4 θ + 4 F L cos α tg2 θ cos 2 θ 8.26) 3 Π θ 3 = 12 k L2 cos 2 α tgθ cos 4 θ cos α tgθ 6 k L2. 8.27) cos θ SLIKA 8.9: Graf 3 Π/ θ 3 v odvisnosti od ϕ

620 8 Stabilnost konzervativnih sistemov V točkah C in E, to je pri ϕ = ϕ 1 in ϕ = ϕ 2, je tretji odvod potencialne energije različen od nič. Ker je to prvi odvod, pri katerem je potencialna energija različna od nič in ker je ta odvod neparen, sta točki C in E točki na sedlu. To pomeni, da Π nima minimalne vrednosti in sta ti točki nestabilni. Pri delovanju sile na konstrukcijo, katere velikost narašča od vrednosti nič, nastopi lahko tudi primer, da konstrukcija pri mejni velikosti sile preskoči v novo ravnotežno lego. Silo, ki povzroči preskok konstrukcije, imenujemo mejna sila. limitna?) V nadaljevanju je prikazan primer, pri katerem konstrukcija pri mejni sili preskoči v novo lego. Opisana so tudi ravnotežna stanja, v katerih se konstrukcija pri dveh različnih vrstah obremenjevanja nahaja. Konstrukcija je sestavljena iz dveh členkasto podprtih in členkasto povezanih elastičnih palic, ki sta pred začetkom delovanja sile F nagnjeni za kot α slika 8.10). SLIKA 8.10: Začetna lega palic je določena s kotom α Konstrukcijo obtežimo na dva načina. Pri prvem enakomerno večamo pomike in merimo pripadajočo silo. Pri drugem pa večamo silo in opazujemo pomike. Če palici obtežujemo s silo F v smeri navzdol, se naklon palic manjša slika 8.11). SLIKA 8.11: Lego palic pri delovanju sile F določa kot ϕ Na sliki 8.12 je prikazana zveza med silo F in zasukom ϕ, če zasuk večamo in določamo pripadajočo velikost sile F, pri kateri se konstrukcija nahaja v ravnotežju. J.M.T. Thompson, G.W. Hunt, A General Theory of Elastic Stability, John Wiley & Sons, 1973.

8.2 Nekateri pojmi analize stabilnosti konstrukcij 621 SLIKA 8.12: Obtežna pot za primer, če zasuk večamo in določamo pripadajočo ravnotežno silo Del krivulje AB na sliki 8.12, ko se velikost sile povečuje od nič do mejne vrednosti F k, predstavlja stabilna ravnotežna stanja. Ko kot ϕ preseže mejno vrednost ϕ B, bo konstrukcija v ravnotežnem stanju, če se velikost sile manjša. Pri velikosti zasuka ϕ = α točka C) je velikost sile F enaka nič. Pri nadaljnjem večanju kota ϕ bo konstrukcija v ravnotežju, če sila F deluje navzgor slika 8.13). SLIKA 8.13: Ko je α < ϕ < 2α, sila F zagotavlja ravnotežje, če deluje navzgor Pri vrednosti ϕ = ϕ D, se absolutna vrednost sile F začne manjšati. Ko je kot ϕ enak 2α, je konstrukcija v ravnotežnem stanju, če je velikost sile F enaka nič slika 8.14). SLIKA 8.14: Ko je ϕ = 2α, je velikost sile F enaka nič Pri nadaljnjem večanju kota ϕ bo ravnotežje izpolnjeno, če sila F deluje navzdol slika 8.15).

622 8 Stabilnost konzervativnih sistemov SLIKA 8.15: Ko je ϕ > 2α, je konstrukcija v ravnotežnem stanju, če sila F deluje navzdol Ta del ravnotežne poti je na sliki 8.11 označen s točkami E, F in G. V diagramu F ϕ predstavlja del krivulje BCD nestabilna ravnotežna stanja, preostali del odseka AB in DG) pa stabilna ravnotežna stanja. Če prikazani primer dveh med seboj členkasto povezanih palic obtežujemo tako, da sila F ves čas deluje navzdol in pri tem njena velikost narašča, se pojavi preskok konstrukcije slika 8.16). SLIKA 8.16: Pri naraščanju velikosti sile F pride do dinamičnega preskoka konstrukcije v novo lego Ko doseže sila F mejno vrednost F k ϕ = ϕ B ), konstrukcija v trenutku preskoči v novo lego ϕ = ϕ F ) slika 8.17).

8.2 Nekateri pojmi analize stabilnosti konstrukcij 623 SLIKA 8.17: Ko ϕ doseže vrednost ϕ B, konstrukcija preskoči v novo lego ϕ = ϕ F Z večanjem velikosti sile F je obtežna pot določena z delom krivulje F G slika 8.16). Odseka AB in F G na sliki 8.16 določata stabilni ravnotežni poti.

Stvarno kazalo Betti-Rayleighjev izrek, 361 enakomerna torzija, 194 eliptični prerez, 213 metoda napetosti, 205 metoda pomikov, 201 pravokotni prerez, 220 geometrijske karakteristike prečnega prereza, 22 deviacijski vztrajnostni moment, 22 preglednica za nekatere enostavne like, 26 statični moment, 22 težiščni vztrajnostni momenti, 26 vzporedna premaknitev koordinatnega sistema, 23 vztrajnostni moment, 22 zasuk koordinatnega sistema, 25 Greenov izrek, 37 izbočitvena funkcija, 202, 226 izrek o virtualnih pomikih, 354 izrek o virtualnih silah, 377 jedro prečnega prereza, 104 linijska momentna obtežba, 6 linijska obtežba, 5 linijski nosilec z ravno osjo, 1 Maxwellov izrek, 361 membranska analogija, 224 metoda napetosti, 205 metoda pomikov, 201, 276, 313

Stvarno kazalo 625 napetostna funkcija, 207, 226 Navierova hipoteza, 13 osna sila, 3 podajnostna matrika, 363 prečna sila, 3 ravninski okvir metoda pomikov, 313 ravnotežni pogoji, 328 sestavljanje togostne matrike, 334 togostna matrika, 315 ravninsko paličje kinematična enačba, 276 metoda pomikov, 276 ravnoteži pogoji, 280 robni pogoji, 283 sestavljanje togostne matrike, 282 ravnotežne enačbe za nosilec, 4 Saint-Venantov princip, 22 togostna matrika, 363 torzijski moment, 3 upogib z osno silo, 1 enačba za račun pomikov, 15 enačbe gibanja, 188 glavne normalne napetosti, 142 kinematične enačbe, 11 nosilec z ukrivljeno osjo, 174 pomiki in vzdolžna normalna napetost, 2 pomiki z upoštevanjem strižnih deformacij, 161 prečna normalna napetost, 118 prečna normalna napetost spremenljiv prečni prerez), 149 ravnotežne enačbe, 4 ravnotežne enačbe spremenljiv prečni prerez), 151 robni pogoji pri računanju pomikov, 20 strižna napetost, 118 strižna napetost spremenljiv prečni prerez), 149 vzdolžna normalna napetost, 15 upogibni moment, 3