1.4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ

1 1. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Θεώρηµα γνησίως αύξουσας Αν µία συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα και για κάθε εσωτερικό σηµείο του ισχύει f () > 0 τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο. Για συντοµία : f () > 0 f γν. αύξουσα. Θεώρηµα γνησίως φθίνουσας Αν µία συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα και για κάθε εσωτερικό σηµείο του ισχύει f () < 0 τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο. Για συντοµία : f () < 0 f γν. φθίνουσα 3. Ορισµός µέγιστου Αν για µια συνάρτηση f ισχύουν f ( o ) 0 για κάποιο o (α, β), f () > 0 στο (α, o ) και f () < 0 στο ( ο, β), τότε η f παρουσιάζει στο διάστηµα (α, β) για o µέγιστο. Για συντοµία : από αύξουσα σε φθίνουσα µέγιστο. Ορισµός ελάχιστου Αν για µια συνάρτηση f ισχύουν f ( o ) 0 για κάποιο o (α, β), f () < 0 στο (α, o ) και f () > 0 στο ( ο, β), τότε η f παρουσιάζει στο διάστηµα (α, β) για o ελάχιστο. Για συντοµία : από φθίνουσα σε αύξουσα ελάχιστο

ΣΧΟΛΙΑ - ΜΕΘΟ ΟΙ 1. Για συντοµία Η εναλλαγή της µονοτονίας εκατέρωθεν κάποιου 0 ακρότατο. Εύρεση µονοτονίας Για να βρω τη µονοτονία συνάρτησης f, βρίσκω την παράγωγο και το πρόσηµο της παραγώγου. 3. Εύρεση ακροτάτων Για να βρω τα ακρότατα συνάρτησης f, βρίσκω την παράγωγο, τις ρίζες της παραγώγου και το πρόσηµο της.. Τοπικό και ολικό ακρότατο Ένα ακρότατο σε ένα διάστηµα δεν είναι υποχρεωτικά ακρότατο (ολικό) της συνάρτησης. 5. Απόδειξη ανίσωσης Μεταφέρω όλους τους όρους στο πρώτο µέλος, θεωρώ συνάρτηση και µελετάω τη µονοτονία της. 6. Το Το και το ο ο f ( ) στα ακρότατα ο εκφράζει τη θέση (ως προς το δεξιά αριστερά) στην οποία συµβαίνει το ακρότατο και το f ( ο ) εκφράζει το πόσο πάνω ή κάτω είναι το ακρότατο. 7. Στη φαντασία µας Όλα τα παραπάνω τα φανταζόµαστε σε σύστηµα αξόνων.

3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να εξετάσετε ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα τη συνάρτηση f() 3 3 + 3 + 1 Πεδίο ορισµού το R, αφού η συνάρτηση είναι πολυωνυµική f () ( 3 3 + 3 + 1) 3 6 + 3 για κάθε R. f () 0 3 6 + 3 0 + 1 0 1 (διπλή ρίζα) Το πρόσηµο της f και η µονοτονία της f φαίνεται στον παρακάτω πίνακα 1 + f + 0 + f Σχόλια, 3 Η f είναι γνησίως αύξουσα σε κάθε ένα από τα διαστήµατα (, 1], και δεν έχει ακρότατα. [1, + ). Να εξετάσετε ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα τη συνάρτηση f() 3 3 Πεδίο ορισµού το R, αφού η συνάρτηση είναι πολυωνυµική f () ( 3 3) 3 3 για κάθε R. f () 0 3 3 0 ±1. Το πρόσηµο της f και η µονοτονία της f φαίνονται στον πίνακα 1 1 + f + 0 0 + f τ.µ τ.ε Από τον πίνακα φαίνεται ότι η f παρουσιάζει τοπικό µέγιστο στο 1, το f( 1) ( 1) 3 3 ( 1) 1 + 3 και τοπικό ελάχιστο στο 1, το f(1) 1 3 3 1 1 3 Σχόλια, 3

3. Να εξετάσετε ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα τη συνάρτηση f() e Πεδίο ορισµού το R f () ( e ) e 1 για κάθε R. f () 0 e 1 0 e 1 e e 0 0 Το πρόσηµο της f και η µονοτονία της f φαίνεται στον παρακάτω πίνακα 0 + f 0 + f Σχόλια, 3 Παρουσιάζει ελάχιστο στο 0, το f(0) 0 e 0 1. Να εξετάσετε ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα τη συνάρτηση f() ln Πεδίο ορισµού το (0, + ) f () (ln ) f () 0 1 1 1 για κάθε (0, + ). 1 0 1 0 1 Το πρόσηµο της f και η µονοτονία της f φαίνεται στον παρακάτω πίνακα 0 1 + f + 0 f Σχόλια, Παρουσιάζει µέγιστο στο 1, το f(1) ln1 1 1

5 5. Να εξετάσετε ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα τη συνάρτηση Πεδίο ορισµού το R f() e ' f () e 1 για κάθε R. e Σχόλια 1, 1 f () 0 0 1 0 1 e Το πρόσηµο της f και η µονοτονία της f φαίνεται στον παρακάτω πίνακα 0 1 + f + 0 f Από τον πίνακα βλέπουµε ότι η f έχει µέγιστο για 1, το f(1) 1 e 6. Να εξετάσετε ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα τη συνάρτηση Πεδίο ορισµού το (0, + ) f() ln ' ln f () 1 ln για κάθε (0, + ). f () 0 1 ln 0 1 ln 0 Σχόλια, 3 ln 1 ln lne e Το πρόσηµο της f και η µονοτονία της f φαίνεται στον παρακάτω πίνακα 0 e + f + 0 f Από τον πίνακα βλέπουµε ότι η f έχει µέγιστο για e, το f(e) 1 e

6 7. Να εξετάσετε ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα τη συνάρτηση Πεδίο ορισµού το (0, + ) f () ( ln) ln + 1 για κάθε (0, + ) f () 0 ln + 1 0 ln 1 e 1 Το πρόσηµο της f και η µονοτονία της f φαίνεται στον παρακάτω πίνακα 0 1 e + f 0 + f Σχόλια, 3 f() ln Από τον πίνακα βλέπουµε ότι η f έχει ελάχιστο για e 1, το 1 1 1 f (e ) e ln e 1 e ( 1) e 1. 8. H παράγωγος µιας συνάρτησης f είναι f () 3( 1) 3 ( ) ( 3), R Να βρείτε για ποιες τιµές του η f παρουσιάζει τοπικό µέγιστο και για ποιες τοπικό ελάχιστο. f () 0 1 0 ή 0 ή 3 0 1 ή ή 3 Το πρόσηµο της f και η µονοτονία της f φαίνονται στον πίνακα - 1 3 + f + 0 0 0 + f Από τον πίνακα φαίνεται ότι η f παρουσιάζει τοπικό µέγιστο στο 1 και τοπικό ελάχιστο στο 3.

7 9. Να µελετηθεί ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα η συνάρτηση + f() 1 Πεδίο ορισµού το + f () 1 f () 0 ' Α R {1} (, 1) (1, + ) ( 1)( 1) ( + ) ( 1) + 1 + 3 ( 1) 3 ( 1) ( 1) 0 για κάθε Α 3 0 1 ή 3 f () > 0 3 ( 1) > 0 3 > 0 < 1 ή > 3 Το πρόσηµο της f και η µονοτονία της f φαίνονται στον πίνακα 1 1 3 + f + 0 0 + f Άρα η f παρουσιάζει τ.µέγιστο για 1, το f( 1) 3 και τ.ελάχιστο για 3, το f(3) 5

8 10. ίνεται η συνάρτηση f() e + 3 i) είξτε ότι f () f() + e 3 ii) Ν βρείτε την µονοτονία και τα ακρότατα της f f () e iii) Να βρείτε το lim 0 Πεδίο ορισµού το R i) f () ( e + 3) e + e. Oπότε f() + e 3 e + 3 + e 3 ii) f () 0 e + e 0 e + e f () e (1 + ) 0 1 + 0 1 f () > 0 e + e > 0 e (1 + ) > 0 1 + > 0 > 1 Tο πρόσηµο της f και η µονοτονία της f φαίνονται στον πίνακα 1 + f 0 + f Θυµήσου τoυς κανόνες παραγώγισης Από τον πίνακα βλέπουµε ότι η f έχει ελάχιστο για 1, iii) f () e lim 0 e + e e lim 0 lim e 0 ( 1) e 1 lim 1 0 1 1 το f( 1) e 1 + 3 3 Θυµήσου τις ιδιότητες των ορίων 1 e

9 11. Έστω η συνάρτηση f() α + β 3. Να βρείτε τις τιµές των α και β ώστε η να έχει στο 1 ακρότατο ίσο µε. Να καθορίσετε το είδος του ακρότατου. Πεδίο ορισµού το R Θα πρέπει να είναι f(1), f (1) 0 και να αλλάζει η µονοτονία εκατέρωθεν του 1, δηλαδή η f να αλλάζει πρόσηµο εκατέρωθεν του Είναι f(1) α + β 3 f () α + β, o o 1 άρα f (1) α + β, οπότε πρέπει f(1) α + β 3 α + β 5 (1) f (1) 0 α + β 0 () Λύνοντας το σύστηµα των (1), () βρίσκουµε α 5 και β 10 Για τις τιµές αυτές έχουµε f () 10 +10 10(1 ) f () 0 1 0 1 Το πρόσηµο της f και η µονοτονία της f φαίνονται στον πίνακα 1 + f + 0 f Σχόλιο 1 Από τον πίνακα προκύπτει ότι η f παρουσιάζει µέγιστο για 1 το f(1)

10 1. Έστω η συνάρτηση f () α 3 + β 3 +1. i) Να βρείτε τις τιµές των α και β ώστε η f να παρουσιάζει ακρότατα στα σηµεία 1 1 και 1 ii) Να βρείτε το είδος των ακρότατων Πεδίο ορισµού το R i) Για να παρουσιάζει η f ακρότατα στα σηµεία 1 1 και 1 θα πρέπει αφ ενός να ισχύει f ( 1) 0 και f (1) 0 και αφ ετέρου η f να αλλάζει πρόσηµο εκατέρωθεν των σηµείων 1 και 1 Είναι f () 3α + β 3 Άρα f ( 1) 3α ( 1) + β( 1) 3 3α β 3 και f (1) 3α 1 + β 1 3 3α + β 3 Οπότε θα πρέπει 3α β 3 0 (1) και 3α + β 3 0 () Λύνοντας το σύστηµα των (1), () βρίσκουµε α 1 και β 0 Για τις τιµές αυτές η f γίνεται f () 3 3 f () 0 3 3 0 1 0 1 ή 1 Το πρόσηµο της f και η µονοτονία της f φαίνονται στον πίνακα Από τον παραπάνω πίνακα προκύπτει ότι η f έχει ακρότατα στα σηµεία 1 1 και 1 1 1 + f + 0 0 + f ii) Προφανώς έχουµε στο 1 1 τοπικό µέγιστο και στο 1 τοπικό ελάχιστο Σχόλιο 1

11 13. ίνεται η συνάρτηση f() e (α + β + 9) µε α, β R. Αν η εφαπτοµένη της C f στο σηµείο Α(, e ) είναι η y e + 3e i) Να δείξετε ότι α 1 και β 6 ii) Να βρείτε τα ακρότατα της f για τις παραπάνω τιµές των α, β. Πεδίο ορισµού το R i) Πρέπει να ισχύουν f() e και f () e (1) τότε Σχόλιo 7 1 f() e (α + β + 9) e (α + β + 9) f () [e (α + β + 9)] e (α + β + 9) + e (α + β) e (α + β + 9 + α + β) f () e (α + β + 9 + α + β) Οι e (α + β + 9 + α + β) e (8α + 3β + 9) (1) e (α + β + 9) e και e (8α + 3β + 9) e α + β + 9 1 και 8α + 3β + 9 1 α + β 8 και 8α + 3β 10 () Λύνοντας το σύστηµα των () βρίσκουµε α 1 και β 6 ii) Για α 1 και β 6 είναι f() e ( + 9) και f () e ( + 3) f () 0 e ( + 3) 0 + 3 0 1 ή 3 Το πρόσηµο της f και η µονοτονία της f φαίνονται στον πίνακα 1 3 + f + 0 0 + f Από τον πίνακα βλέπουµε ότι η f έχει τοπικό ελάχιστο στο 3, το f(3) 15e 3 και τοπικό µέγιστο στο 1, το f(1) 9e

1 1. Έστω η συνάρτηση f() e κ + λ µε κ, λ R i) Να βρείτε τις f και f. ii) Να βρείτε το κ ώστε να ισχύει f () + f () + e κ λ 0 iii) Για την τιµή του κ που βρήκατε να βρείτε το λ ώστε η εφαπτοµένη στο Μ(0, f(0)) να είναι παράλληλη στον άξονα. iv) Για τις τιµές των κ και λ που βρήκατε να µελετήσετε την f ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα. Πεδίο ορισµού το R i) f () ( e κ + λ) κe κ + λ, R f () (κe κ + λ) κ e κ, R ii) f () + f () + e κ λ 0 κ e κ + κe κ + λ + e κ λ 0 e κ (κ + κ + 1) 0 Θυµήσου τύπους και κανόνες παραγώγισης κ + κ + 1 0 κ 1 ( αφού e κ 0) iii) Για κ 1 είναι f() e + λ και f () Πρέπει f (0 ) 0 1+ λ 0 λ 1 iv) Για κ 1 και λ 1 είναι f() f () 0 e + 1 0 1 + 1 0 e 1+ e e 0 e 1 e e 0 0 e + λ e + και f () Το πρόσηµο της f και η µονοτονία της f φαίνονται στον πίνακα 0 + f 0 + f Σχόλιο 5, 1.3 e + 1 Σχόλια 1, Από τον πίνακα βλέπουµε ότι η συνάρτηση έχει ελάχιστο για 0, το f(0) 1

13 15. Έστω η συνάρτηση h() ln(+1) + + 1, 0 3 i) Να δείξτε ότι η h είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα [0, + ) 1 ii) είξτε ότι ln( + 1) + + > 3 iii) Να βρείτε τον ρυθµό µεταβολής της h, όταν iv) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης η οποία είναι παράλληλη στον άξονα των. i) 1 h () [ln( + 1) + + ] 3 1 1 + 1 + + 1+ 1 > 0 για κάθε > 0 + 1 + 1 άρα η h είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα [0, + ) ii) 1 Αρκεί να αποδείξουµε ότι ln( + 1) + + > 3 1 ln( + 1) + + > 0 3 h() > 0 h γνησίως αύξουσα για κάθε > 0 είναι h() > h(0) (1) αλλά h(0) ln(0 + 1) 0 + 0 + 1 3 1 3 > 0, Θυµήσου τύπους και κανόνες παραγώγισης Σχόλιο 5 άρα για κάθε 0 είναι h() 1 3 > 0 iii) h () + 1 16 5 iv) Αν ( o, h( o )) είναι το σηµείο επαφής τότε πρέπει o h ( o ) 0 + 1 0 o 0 o H ζητούµενη εφαπτοµένη έχει εξίσωση Σχόλιο 5, 1.3 Σχόλιο 6, 1.3 y h(0) h (0)( 0) y 1 3 0 y 1 3

1 16. i) Να εξετάσετε την συνάρτηση f() e 1 ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα ii) Να δείξετε ότι e + 1 Πεδίο ορισµού το R i) f () (e 1) e 1 f () 0 e 1 0 e 1 f () > 0 e 1 > 0 e e 0 0 e > 1 e > e 0 > 0 Tο πρόσηµο της f και η µονοτονία της f φαίνονται στον πίνακα 0 + f 0 + f Σχόλια 1- Από τον πίνακα βλέπουµε ότι η f έχει ελάχιστο για 0, το f(0) e 0 0 1 0 ii) Σχόλιo 6 Από τον πίνακα βλέπουµε ότι, f() f(0) 0 e 1 0 e + 1 17. είξτε ότι ln 1 για κάθε > 0 Αρκεί να αποδείξουµε ότι ln 1 ln +1 0 Έστω η συνάρτηση f() ln + 1 µε ( 0, + ) f () 1 1 1. Σχόλιo 6

15 f () 0 1 0 1 f () > 0 1 > 0 1 > 0 < 1 Tο πρόσηµο της f και η µονοτονία της f φαίνονται στον πίνακα 0 1 + f + 0 Σχόλια 1, f Από τον πίνακα φαίνεται ότι f () f (1) 0 ln +1 0 ln 1 18. i) είξτε ότι, για κάθε R ισχύει ( 1) e + 1 0 ii) Να εξετάστε την συνάρτηση f() ( ) e + 6 +, R ως προς τη µονοτονία. iii) Να δείξετε ότι η f δεν έχει ακρότατα iv) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της C f στο σηµείο Μ( 0, f(0)) i) Έστω η συνάρτηση g() ( 1) e + 1, R g () [( 1)e +1] e + ( 1) e e g () 0 e 0 0 Το πρόσηµο της g και η µονοτονία της g φαίνονται στον πίνακα 0 + g 0 + g Από τον πίνακα βλέπουµε ότι ii) g() g(0) (0 1) e 0 + 1 0, R g () 0 ( 1) e + 1 0 f () [( )e + 6 + ] [( )e ] + [ 6 + ] [ e + ( )e ] + 6 e + ( )e + 6 Σχόλια 1, Σχόλιο 6 ες κανόνες Παραγώγισης

16 e + e e + 6 e e + 6 [ e [ ( 1) e + 3] e + 1 + ] [g() + ] > 0 αφού g () 0 Έτσι αποδείχθηκε ότι f () > 0, άρα η f είναι γν. αύξουσα. iii) Αφού η f είναι γνησίως αύξουσα, δεν έχει ακρότατα. iv) Η ζητούµενη εξίσωση είναι η y f(0) f (0)( 0) (1) Αλλά f(0) (0 ) e 0 + 6 0 + + και f (0) [g(0) + ] [0 + ] Η (1) γίνεται y + y Σχόλιο 5 Σχόλιο 6 1.3 19. Έστω η συνάρτηση f() 3 + 3 1. Να βρείτε το σηµείο της C, στο οποίο η εφαπτοµένη έχει τον ελάχιστο συντελεστή διεύθυνσης. Πεδίο ορισµού το R Ο συντελεστής διεύθυνσης λ της εφαπτοµένης της f C f στο σηµείο Μ(, f()) είναι λ() f () ( 3 + 3 1) 3 + 6 Οπότε βρίσκουµε πότε η συνάρτηση λ() παρουσιάζει ελάχιστο. λ () (3 + 6 ) 6 + 6 f () 0 6 + 6 0 1 το πρόσηµο της λ και η µονοτονία της λ φαίνονται στον πίνακα 1 + λ 0 + λ Από τον πίνακα διαπιστώνουµε ότι η λ παρουσιάζει ελάχιστο για 1 οπότε το ζητούµενο σηµείο είναι το Μ( 1, f( 1)) ( 1, 3)

17 0. Μία ώρα µετά την λήψη mgr ενός αντιπυρετικού, η µείωση της θερµοκρασίας ενός ασθενούς δίνεται από τον τύπο Τ() 3, 0 < < 3. Να βρείτε ποια πρέπει να είναι η δόση του αντιπυρετικού ώστε ο ρυθµός µεταβολής της µείωσης της θερµοκρασίας να είναι µέγιστος. Ο ρυθµός µεταβολής της µείωσης της θερµοκρασίας είναι 3 Τ (), 0 < < 3 Οπότε, αναζητάµε το µέγιστο της συνάρτησης Τ () Τ () 3 Τ () 0 3 0 3 Το πρόσηµο της Τ και η µονοτονία της Τ φαίνονται στο πίνακα 0 /3 3 Τ + 0 Τ Από τον πίνακα βλέπουµε ότι η Τ παρουσιάζει µέγιστο για 3 mgr

18 1. ύο θετικοί αριθµοί έχουν άθροισµα 100. Να βρεθεί η ποιο µεγάλη τιµή που µπορεί να πάρει το γινόµενο τους. Ποιοι είναι τότε οι αριθµοί ; Έστω και y οι ζητούµενοι αριθµοί, τέτοιοι ώστε + y 100 y 100 Το γινόµενό τους είναι Γ() y (100 ) 100, 0 < < 100 Γ () 100 Γ () 0 100 0 50 Το πρόσηµο της Γ και η µονοτονία της Γ φαίνονται στον πίνακα 0 50 100 Γ + 0 Γ Σχόλιο 3 Από τον πίνακα βλέπουµε ότι η συνάρτηση Γ παρουσιάζει µέγιστο για 50 Η µέγιστη τιµή του γινόµενου είναι Γ(50) 100 50 50 5000 500 500 Αφού + y 100 και 50, θα είναι και y 50

19. Θεωρούµε όλα τα οικόπεδα µε σχήµα ορθογωνίου και εµβαδού Ε 00 m. Να δείξετε ότι το τετράγωνο έχει την ποιο µικρή περίµετρο. Έστω και y οι διαστάσεις ενός οικοπέδου. Τότε y 00 y 00 Η περίµετρός του είναι Π () + y + 800 800 Αναζητάµε το ελάχιστο της Π(). Π () 800 + ( + 800) 1 800 800 Π () 0 800 0 00 0 Σχόλιο + µε > 0 Π () > 0 800 > 0 > 00 > 0 Το πρόσηµο της Π και η µονοτονία της Π φαίνεται στον πίνακα 0 0 + Π 0 + Π Από τον πίνακα αυτό βλέπουµε ότι η περίµετρος παρουσιάζει ελάχιστο για 0 Αφού y 00, θα είναι και y 0 Εποµένως οι διαστάσεις του ορθογωνίου είναι ίσες, άρα είναι τετράγωνο. Η ελάχιστη τιµή της περιµέτρου είναι Π 0 80 m.

0 3. ίνεται η συνάρτηση f() και το σηµείο 9 Α(, 0 ) Να βρείτε σηµείο Μ της Πεδίο ορισµού το [0, + ] Έστω Μ(, f()) Μ(, H απόσταση του Μ από το Α( ) α() 9 + ( 0) 81 9+ + C που να απέχει από το Α την µικρότερη απόσταση. f ) το ζητούµενο σηµείο. 9, 0 είναι 81 8+, 0 8 α (). 81 8+ 8 α () 0 0 8 0 81 8+ To πρόσηµο της α και η µονοτονία της α φαίνονται στον πίνακα 0 + α 0 + α Θυµήσου τον τύπο της απόστασης δύο σηµείων Από τον πίνακα βλέπουµε ότι η απόσταση α() γίνεται ελάχιστη για Τότε f() Oπότε το ζητούµενο σηµείο είναι το Μ(, )

1. Στο σχήµα, τα ΑΒΓ και ΚΛΡΜ είναι τετράγωνα Αν ΑΒ m και ΡΓ i) να εκφράσετε τη ΡΛ σα συνάρτηση του ii) Να βρείτε το, έτσι ώστε το εµβαδό του ΚΛΡΜ να είναι ελάχιστο Μ Α K 1 Β Λ i) Ρ 1 Γ Είναι τρίγωνο ΓΡΛ τρίγωνο ΒΛΚ, διότι είναι ορθογώνια, έχουν υποτείνουσες ίσες και ˆΡ 1 ˆΛ 1 (οξείες µε πλευρές κάθετες) Άρα ΡΓ ΒΛ και οµοίως ΑΚ Μ Εποµένως ΛΓ Πυθαγόρειο στο τρ. ΓΡΛ : ΛΡ ΛΓ + ΡΓ ΛΡ ( ) + ΛΡ + ( ) + ii) Το εµβαδό του ΚΛΡΜ είναι Ε() ΛΡ + µε 0 < <. Ε () ( + ) Σχόλιο 3 Ε () 0 0 1 To πρόσηµο της E και η µονοτονία της E φαίνονται στον πίνακα 0 1 E 0 + E Από τον πίνακα βλέπουµε ότι η συνάρτηση Ε παρουσιάζει ελάχιστο για 1 Τότε οι κορυφές του ΚΛΡΜ είναι µέσα των πλευρών του ΑΒΓ και το ελάχιστο εµβαδό είναι Ε 1 m

5. Μια βιοµηχανία καθορίζει την τιµή πώλησης Π() κάθε µονάδας ενός προϊόντος, συναρτήσει του πλήθους των µονάδων προϊόντος που παράγει, σύµφωνα µε τον τύπο Π() 0000 6. Το κόστος παραγωγής της κάθε µονάδας προϊόντος είναι 000. Αν η βιοµηχανία πληρώνει φόρο 100 για κάθε µονάδα προϊόντος, να βρεθεί πόσες µονάδες προϊόντος πρέπει να παράγει, ώστε να έχει το µέγιστο δυνατό κέρδος Πόσο είναι το µέγιστο κέρδος σ αυτή την περίπτωση ; Γνωρίζουµε ότι Κέρδος Έσοδα Έξοδα Aν η βιοµηχανία παράξει µονάδες προϊόντος, τα έσοδά της από την πώλησή τους θα είναι (0000 6) 6 + 0000 και τα δε έξοδά της θα είναι (000 + 100) 500, οπότε το κέρδος της θα είναι Κ () ( 6 + 3800) 1 + 3800 Κ() 6 + 0000 500 6 + 3800, > 0 Κ () 0 1 + 3800 0 900 To πρόσηµο της K και η µονοτονία της K φαίνονται στον πίνακα 0 900 + K + 0 K Από τον πίνακα βλέπουµε ότι η συνάρτηση παρουσιάζει µέγιστο για 900. Το µέγιστο κέρδος θα είναι Κ(900) 6 900 + 3800 900 5080.

3 6. Μία βιοµηχανία παράγει ποσότητα από ένα προϊόν µε κόστος που δίνεται από την α 3 συνάρτηση Κ() όπου (0, + ) και α, 9 9. Τα έσοδα από την πώληση ποσότητας δίνονται από την συνάρτηση Ε() και το κέρδος από την συνάρτηση f() Ε() Κ() i) Να βρείτε την ποσότητα ο για την οποία έχουµε µέγιστο κέρδος το οποίο συµβολίζουµε Μ(α) ii) Να βρείτε την τιµή του α, 9 9, για την οποία το Μ(α) γίνεται µέγιστο καθώς και το µέγιστο αυτό κέρδος. i) f() E() K() α 3 f () ( 3 3α f () 0 3α 0 ( 3 α ) 0 3 α 0 8 3α 0 8 3α To πρόσηµο της f και η µονοτονία της f φαίνονται στον πίνακα 0 8/3α + f + 0 f Από τον πίνακα φαίνεται ότι η συνάρτηση f παρουσιάζει µέγιστο για 0 8 3α 8 Tο µέγιστο κέρδος είναι Μ(α) f 8 3α 3α α 8 ( )3 3α ( ) 6 9α α 6 6 9α 9α ( 1 8α 1 α) 9α ( 1 3 ) 6 8 3α 6 9α 1 3 6 7α

ii) 6 Μ (α) 7α 6 1 7 α 6 0 α 7 α 18 1 9 < 0 για κάθε α, 3 7 α 9 Εποµένως η συνάρτηση Μ(α) είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα 9, 9 άρα θα έχει µέγιστο για α 9 Το µέγιστο της συνάρτησης είναι Μ( 9) 6 ( ) 7 9 6 7 81 6 81 16 3 8 7

5 7. Το κόστος παραγωγής µίας µονάδας ενός προϊόντος δίνεται από τον τύπο Κ() 100 5 + 0, όπου οι µονάδες παραγωγής. Η τιµή πώλησης πρέπει να είναι 0% µεγαλύτερη από την τιµή κόστους. i) Να βρείτε την συνάρτηση εσόδων από την πώληση µονάδων προϊόντος. ii ) Να βρείτε την συνάρτηση του κέρδους από την πώληση των µονάδων. iii) Να βρείτε την ποσότητα παραγωγής ώστε να έχουµε µέγιστο κέρδος. i) Αν Π() είναι η τιµή πώλησης της µίας µονάδας τότε Π() K() + 0 K() 100 Άρα Π() 7 100 ( 5 0 ) K() + K() 5 7 K() 5 5 + 10 7 56 + Η συνάρτηση εσόδων Ε() από την πώληση µονάδων θα είναι Ε() Π() 10 ( 7 56 ) + 10 7 + 56 ii) Η συνάρτηση κέρδους Ρ() είναι Ρ() E() K() 10 7 + 56 100 ( 5 0 ) + iii) Ρ () + 16 10 7 + 56 100 + 5 0 + 16 + 0 Ρ () 0 + 16 0 Το πρόσηµο της Ρ και η µονοτονία της Ρ φαίνονται στον πίνακα 0 + Ρ + 0 Ρ Από τον πίνακα φαίνεται ότι η συνάρτηση Ρ έχει µέγιστο για Εποµένως το µέγιστο κέρδος πραγµατοποιείται όταν παράγονται µονάδες

6 8. Το πλήθος σε δεκάδες χιλιάδες κοµµάτια των πωλήσεων µίας εταιρίας ηλεκτρονικών 00t υπολογιστών δίνετε από την συνάρτηση P(t) t, όπου ο χρόνος t εκφράζει + 5 σε µήνες τον χρόνο κυκλοφορίας ενός νέου µοντέλου. i) Να βρείτε το ρυθµό µεταβολής των πωλήσεων ένα µήνα µετά την κυκλοφορία ενός νέου µοντέλου. ii) Να βρείτε την χρονική στιγµή κατά την οποία οι πωλήσεις της εταιρίας παίρνουν τη µέγιστη τιµή τους. iii) Να βρεθεί ο µέγιστος αριθµός των πωλήσεων της επιχείρησης. i) Ρ (t) 00t t + 5 00(t + 5) t 00t (t + 5) 00t + 10000 (t + 5) 00+ 10000 9600 Ρ (1) 1,δεκάδες χιλιάδες υπολογιστές /µήνα (1+ 5) 676 ii) Θυµήσου τον ορισµό του Ρυθµού µεταβολής Ρ (t) 0 + (t + 5) 00t 10000 0 00t + 10000 0 t 5 t 5 αφού t > 0 Το πρόσηµο της Ρ και η µονοτονία της Ρ φαίνονται στον πίνακα t 0 5 + Ρ + 0 Ρ Από τον πίνακα φαίνεται ότι η συνάρτηση Ρ έχει µέγιστο για t 5 Εποµένως οι πωλήσεις γίνονται µέγιστες 5 µήνες µετά την εισαγωγή ενός νέου µοντέλου στην αγορά iii) Ο µέγιστος αριθµός των πωλήσεων είναι Ρ(5) 00 5 000 0 δεκάδες χιλιάδες υπολογιστές 5+ 5 50

7 9. ύο κινητά Α και Β κινούνται στους άξονες και y y αντίστοιχα. Η θέση τους κάθε φορά δίνεται από τις συναρτήσεις (t) t 9 και y(t) 3t + 7, t 0. i) Να βρείτε την απόσταση ΑΒ την χρονική στιγµή t. ii) Να βρείτε την θέση των κινητών την χρονική στιγµή κατά την οποία η απόστασή τους είναι ελάχιστη. i) Πυθαγόρειο στο τρίγωνο ΑΟΒ : AB OA + OB (t 9) + ( 3t + 7) t 36t + 81 + 9t t + 9 13t 78t + 130 AB ii) 13t 78t+ 130 Η απόσταση ΑΒ εκφράζεται από τη συνάρτηση f(t) της οποίας αναζητάµε ελάχιστο. 13t 78t+ 130 µε t 0 f (t) ( f (t) 0 13t 78t+ 130 ) 1 13t 78t+ 130 6t 78 13t 78t+ 130 6t 78 (13t 78t+ 130) 13t 78t+ 130 0 6t 78 0 t 3 To πρόσηµο της f και η µονοτονία της f φαίνονται στον πίνακα t 0 3 + f 0 + f Από τον πίνακα φαίνεται ότι η f έχει ελάχιστο για t 3. Τότε το κινητό Α βρίσκεται στη θέση A 3 ( 3 9, 0) A 3 ( 3, 0) και το Β βρίσκεται στη θέση B 3 ( 0, 3 3 + 7) B 3 ( 0, )

8 30. 1 ίνεται η συνάρτηση f () όπου πραγµατικός αριθµός e i) Να υπολογίσετε το e f () lim 1 1 ii) Να αποδείξετε ότι e f () iii) Να βρείτε τα ακρότατα της f () i) e f () lim 1 1 ii) e 1 e lim 1 1 1 lim 1 1 1 lim 1 ( 1)( + 1) ' 1 1 lim 1 + 1 1 f () e e e ( 1) e (1 + 1) (e ) (e ) e Οπότε e f () e e iii) f () 0 0 e 0 To πρόσηµο της f και η µονοτονία της f φαίνονται στον άξονα 0 + f + 0 f Θυµήσου Ιδιότητες ορίων 1 Από τον πίνακα βλέπουµε ότι η f έχει µέγιστο για, το f() e