Mulţumiri Mulţumesc domnului Conf Dr asile Dorobanţu pentru atenta citire şi corectare a scăpărilor ce au apărut la redactare Mulţumesc domnului Conf Dr Duşan Popo pentru sugestiile priitoare la eidenţierea unor epresii semnificatie şi modalitatea de editare
Prefaţă Prezenta carte poate fi considerată ca un curs scurt de Fizică, curs care propune o abordare, de altfel, obişnuită a domeniului de înţelegere a elementelor fundamentale ale unei părţi a Fizicii Astfel, se prezintă elementele esenţiale de Mecanică Clasică, Oscilaţii, Unde elastice, Teoria Relatiităţii şi Termodinamică, noţiuni care sunt apoi folosite în rezolarea problemelor În ceea ce prieşte problemele, adică acea metodă constatatiă de înţelegere a fenomenelor fizice, unele, fiind considerate ca probleme tip, sunt rezolate, iar altele propuse spre rezolare Sper ca demersul meu să constituie un factor educati important în ceea ce prieşte Fizica Autorul 4
CUPRINS OPERAŢII CU ECTORI 6 MECANICĂ CLASICĂ 8 ELEMENTE DE DINAMICĂ 8 OSCILAŢII MECANICE 7 UNDE ELASTICE 6 TEORIA RELATIITĂŢII (RELATIITATE RESTRÂNSĂ) 4 4 TERMODINAMICĂ 46 4 PRINCIPIUL I AL TERMODINAMICII 47 4 PRINCIPIUL II AL TERMODINAMICII 5 BIBLIOGRAFIE 6 5
Operaţii cu ectori Într-un sistem cartezian de coordonate în care ersorii i, j, k definesc sistemul ortogonal drept, un ector a se scrie a a i a j a k, unde a, a, a sunt componentele ectorului a pe aele de coordonate Modulul y z ectorului: a a Eemplu: a y a z r i y j z k ; r r y z Produsul scalar a doi ectori: a b a b cosa, b componentele ectorilor pe aele de coordonate: a b a b a b a b y y z z y z, sau folosind Obseraţie: Dacă doi ectori sunt perpendiculari a b ; (eemplu i j, i k, j k ); Dacă doi ectori sunt paraleli a b a b ; (eemplu i i, j j, k k ) Eemplu: đ L F dr - lucrul mecanic elementar Produsul ectorial a doi ectori c a b este ectorul normal la planul determinat de a şi b, al cărui sens se determină cu regula burghiului drept a b a b sin a, b Folosind componentele ectorilor Modulul său este: produsul ectorial este: 6
i j k a b a a a b b y y b z z Obseraţie: Dacă doi ectori sunt paraleli a b ; (eemplu i i, j j, k k ); Dacă doi ectori sunt perpendiculari a b a b ; (eemplu i j şi i j k ) Eemplu: J r p - momentul cinetic Fie a i j k Să se determine: a) modulul ectorului a ; b) modulul proiecţiei ectorului a pe planul XOY; c) produsul scalar al ectorului a cu ectorul b k ; d) produsul ectorial al ectorului a cu ectorul b k R: a) 4 ; b) ; c) ; d) 6i 4 j Fiind daţi ectorii a i j 4k şi b i j 5k să se calculeze: a) modulul fiecărui ector; b) produsul scalar a b ; c) suma şi diferenţa ectorială; d) produsul ectorial a b R: a) 9, 5 ; b) -; c) 5 i j k, i 4 j 9k ; d) ( i j k) 7
Mecanică clasică Elemente de dinamică Poziţia unei particule la orice moment de timp t este specificată de ectorul de poziţie r (t) a cărui epresie reprezintă legea de mişcare: r ( t) ( t) i y( t) j z( t) k Prin eliminarea timpului din ecuaţiile parametrice ale traiectoriei =(t), y=y(t), z=z(t) se obţin ecuaţiile traiectoriei ectorul iteză momentană este deriata ectorului de poziţie în raport cu timpul, iar prin deriarea legii de mişcare se obţine legea itezei: dr d( t) dy( t) dz( t), t i j k i y j zk dt dt dt dt ectorul acceleraţie momentană este deriata întâi a ectorului iteză în raport cu timpul, sau deriata a doua a ectorului de poziţie în raport cu timpul: d d r a dt dt d dt d d dt z, at i j k a i a j a k Impulsul este: p m dt Principiul fundamental al mecanicii: y dp F ; dt Pentru masă constantă, principiul fundamental al mecanicii se scrie: y z F m a Legea de mişcare, legea itezei, acceleraţia ca funcţii de timp, ecuaţiile traiectoriei descriu, ceea ce se numeşte, mişcarea unui mobil Aceste relaţii nu sunt independente Cunoscându-se condiţiile iniţiale (poziţia şi iteza la momentul iniţial), prin calcule matematice se obţine una din aceste legi din alta, 8
adică se cunoaşte mişcarea mobilului Operaţiile matematice ce se impun în fiecare caz în parte pot fi sintetizate printr-o diagramă: deriare deriare r (t) - legea de mişcare ( t) - legea itezei a (t) - acceleraţie (t)eliminarea timpului integrare ( ) r integrare a ( ) integrare f(,y,z) = - ec traiectoriei a (r ) deriare Problemele care urmează urmăresc să eemplifice modalitatea de obţinere a relaţiei conenabile pentru descrierea mişcării unui mobil Cunoscând legea de mişcare a unui corp r (t), prin operaţia de deriare se află legea itezei ( t), iar apoi deriând legea itezei se află acceleraţia ca funcţie de timp a (t), respecti forţa ce acţionează asupra corpului dacă acesta are masă constantă integrare integrare r -legea de mişcare deriare ( t) -legea itezei deriare a (t) -acceleraţie 9
Aflaţi iteza şi acceleraţia punctelor materiale descrise de următorii ectori de poziţie: a) r 7t i 5t j k (m); 4t b) r 5sint i t j e k (m); (m); 5 (m) c) r t sin6t i t tan5t j ln t k t d) r cost i t j 7e k Ecuaţiile mişcării unui mobil sunt următoarele: = r cos ωt (m), y = r sin ωt (m), z = α t (m), unde r, ω, α sunt constante pozitie Să se afle: R: a) a) ectorul iteză, modulul itezei; b) ectorul acceleraţie, modulul acceleraţiei r m/s; b) a r m/s O particulă de masă m se mişcă după legea: = α cos ωt (m), y = β sin ωt (m), unde α, β, ω sunt constante pozitie a) Precizaţi unităţile de măsură ale constantelor α, β şi ω; b) Determinaţi forţa care acţionează asupra particulei în funcţie de poziţia particulei R: F m r 4 Mişcarea unui punct material în planul Oy este descrisă de legea: = α sin ωt (m), y = α ( - cos ωt) (m), unde α şi ω sunt constante pozitie Determinaţi unghiul dintre ectorul iteză şi ectorul acceleraţie al punctului material R: π/
Din legea de mişcare r (t) eliminând timpul se pot scrie ecuaţiile eplicite ale traiectoriei r (t) - legea de mişcare elimin timpul ec traiectoriei 5 ectorul de poziţie al unui punct material A ariază după legea: r t i t j (m), unde α, β sunt constante pozitie Determinaţi: a) ecuaţia traiectoriei punctului; reprezentaţi grafic; b) ectorii iteză şi acceleraţie şi modulele acestora; c) unghiul θ între ectorii acceleraţie şi iteză în funcţie de timp Rezolare: a) y - ecuaţia traiectoriei; Traiectoria este o parabolă cu ârful (,), iar punctul A se mişcă pe jumătate din această parabolă ( ) b) i t j, ectorul iteză este tangent la traiectorie în fiecare punct al acesteia; a j, în acest caz ectorul acceleraţie este paralel cu direcţia aei Oy şi în sens opus acesteia în fiecare punct al traiectoriei; c) Unghiul pe care ectorul iteză îl face cu aa Oy este (π θ), tg t y tg t sau dacă se calculează cu ajutorul produsului scalar dintre ectorii a şi : t cos t 4
6 Mişcarea unei particule în plan este descrisă de legea: = β t (m), y = α t (- β t) (m), unde α, β sunt constante pozitie Determinaţi: a) ecuaţia traiectoriei particulei; reprezentaţi grafic; b) ectorii iteză şi acceleraţie şi modulele acestora; c) momentul t la care ectorul iteză face un unghi de π/4 cu ectorul acceleraţie R: a) y ; c) t 7 Să se scrie ecuaţia traiectoriei, precizând forma acesteia pentru particula care se mişcă după legea: a) problemei 5; b) problemei 6 8 Două particule se deplasează cu itezele i j m/s, respecti i j m/s La momentul t = particulele se găsesc în poziţiile r i j m, respecti r j m Să se determine momentul la care distanţa dintre particule este minimă R: t =,6 s 9 Două particule se deplasează cu itezele t i j m/s, respecti i t j m/s La momentul t = particulele se găsesc în poziţiile r i m, respecti r j m Să se determine momentul la care distanţa dintre particule este minimă Rezolare:
dr t r( t) r dt ( t) dt, t t t r ( t) i t j, r ( t) t i j t t r t i t j,, r t t t t ; r min d r d r şi dt dt ; t= s Operaţia inersă deriării fiind integrarea, din legea itezei ( t) se obţine prin integrare legea de mişcare r (t) Cunoscându-se acceleraţia (sau forţa) ca funcţie de iteză a ( ) (de obicei forţele rezistente depind de iteză), prin integrare se poate afla legea itezei ( t) şi, mai departe, printr-o nouă integrare, se poate descrie mişcarea prin legea de mişcare r (t) r (t) -legea de mişcare integrare ( t) -legea itezei integrare a ( ) -acceleraţie Un corp de masă m porneşte la momentul t = de la = cu iteza într-un mediu îscos de-a lungul aei O Corpul întâmpină din partea mediului o forţă de rezistenţă proporţională cu iteza (F = - α ) Să se determine: a) legea itezei;
b) legea de mişcare; c) după cât timp iteza iniţială a corpului,, se micşorează de n ori Rezolare: d a) F ma m d m dt dt m d t dt mln t t m ( t) e ; m b) d e dt t t c) Se înlocuieşte cu n ( t) m e t m ; în legea itezei şi se obţine: m t ln n Un corp de masă m întâmpină, din partea mediului în care se mişcă de-a lungul aei O, o forţă de rezistenţă proporţională cu pătratul itezei; constanta de proporţionalitate este α (F = - α ) Presupunând că la momentul t = corpul se găseşte la = şi are iteza să se determine: a) legea itezei; b) legea de mişcare; c) după cât timp iteza iniţială a corpului,, se micşorează de n ori R: a) t m m t m ; b) t ln t ; c) t n m m Un corp de masă m, care se mişcă în lungul aei O, întâmpină din partea mediului în care se mişcă o forţă de rezistenţă proporţională cu cubul 4
itezei (F = - α ) Presupunând că la momentul t = corpul pleacă de la = şi are iteza şi neglijând restul interacţiunilor, să se determine: a) legea itezei; b) legea de mişcare; c) după cât timp iteza iniţială a corpului,, se micşorează de n ori R: a) ( t) t m ; b) t m m m t ; c) t n m O particulă se mişcă încetinit în sensul poziti al aei O cu acceleraţia a, unde α constantă pozitiă Ştiind că la momentul t =, =, iar iteza este, determinaţi: R: a) a) legea itezei; b) legea de mişcare; c) drumul parcurs până la oprire şi interalul de timp corespunzător ( t) t t ; b) ( t) ; c) t, Cunoscându-se iteza ca funcţie de poziţie ( r ), prin integrare se poate afla legea de mişcare r (t) şi, mai departe, se poate descrie mişcarea prin legea dorită, folosind operaţiile matematice amintite mai sus integrare r rt 5
4 O particulă se deplasează în planul Oy cu iteza i j, unde α, β sunt constante La momentul iniţial t = particula se găseşte în punctul = y = Determinaţi: a) legea de mişcare; b) legea itezei; c) ecuaţia traiectoriei; d) acceleraţia R: a) r( t) t i t j 5 O particulă de masă m se deplasează în sensul poziti al aei O cu o iteză, unde α constantă pozitiă Ştiind că la momentul t = particula se găseşte în punctul = determinaţi: a) legea de mişcare; b) legea itezei; c) acceleraţia; d) lucrul mecanic al tuturor forţelor ce acţionează asupra particulei în primele t secunde ale mişcării R: a) ( t) t 4 ; d) L( t) t 8 4 m 6 Aceeaşi problemă pentru R: a) m ( t) t ; d) L( t) t 6
Atunci când se cunosc ecuaţiile traiectoriei, prin deriări succesie ale acestora, şi folosind condiţiile iniţiale se poate deduce acceleraţia ca funcţie de poziţie a r deriare ec traiectoriei ar y 7 O particulă de masă m se mişcă pe traiectoria cu o acceleraţie paralelă cu aa Oy La t = particula se găseşte în punctul de coordonate =, y = şi are iteza Determinaţi forţa care acţionează asupra particulei în fiecare punct al traiectoriei Rezolare: ( t) y ( t) - ecuaţia traiectoriei; Deriând ecuaţia traiectoriei în raport cu timpul se obţine: d y dy dt dt Condiţiile iniţiale: t =, =, y =,, a y, a = = const ( t) ( ) y( t) ( t) t y sau () y se înlocuiesc în () şi y = şi deci = = const = Deriând () încă o dată în raport cu timpul şi utilizând, din nou, condiţiile iniţiale, se obţine: y y a y 7
Înlocuind y din () şi folosind ecuaţia traiectoriei se obţine: a y = 4 y y y a y = y m 4 m 4 Astfel F y =, iar F F( y) j y y 4 8 O particulă se deplasează pe o traiectorie plană cu iteza constantă în modul () Determinaţi acceleraţia particulei în punctul = pentru o traiectorie descrisă de ecuaţia: a) y ; b) y Rezolare: a) y deri y = α () Dar + y = = const ( +4 α ) = () ( ) deri a 4 4 a 4 ; 4 ( ) deri a y = α + α a Pentru = y = a b) R: a y y a y ; 4 a ; a y r (t) -legea de mişcare integrare ( t) -legea itezei integrare a (t) -acceleraţie F (t) -forţă 8
9 Un corp de masă m se află în repaus pe un plan orizontal La momentul t = asupra lui începe să acţioneze o forţă dată de legea F = α t, unde α este o constantă Forţa face un unghi θ cu orizontala Neglijînd frecarea să se determine: a) legea itezei, până la părăsirea planului orizontal; b) iteza a corpului în momentul în care acesta părăseşte planul; c) legea de mişcare, până la părăsirea planului; d) drumul parcurs de corp din momentul iniţial până la părăsirea planului Rezolare: a) Până la părăsirea planului orizontal acceleraţia corpului este: t cos F cos θ = m a a, m d t cos egrare dt m cos t ; m int b) În momentul desprinderii componenta erticală a forţei este egală cu greutatea, astfel încât: mg F sin θ =G α t sin θ = mg t, sin mg cos ; sin c) R: cos ( t) t 6m ; d) R: m g cos 6 sin Un corp de masă m se află în repaus pe un plan orizontal La momentul t = asupra lui începe să acţioneze o forţă dată de legea F = α t, unde α este o constantă Forţa face un unghi θ cu orizontala Neglijînd frecarea, să se determine: 9
a) iteza a corpului în momentul în care acesta părăseşte planul; b) drumul parcurs de corp din momentul iniţial până la părăsirea planului R: a) m g cos ; b) sin 4 5 4m g cos 4 5 5 sin Energia Lucrul mecanic elementar, respecti lucrul mecanic total la trecerea din starea în starea sunt: đ L F dr, L F dr Obseraţie: đl reprezintă lucrul mecanic elementar şi nu diferenţiala lucrului mecanic Dacă forţa este constantă pe tot parcursul deplasării: L F r dl P - puterea mecanică; P F dt đl = de c - teorema ariaţiei energiei cinetice; Lucrul mecanic al forţelor care deriă din potenţial este: đl= - du, iar forţele câmpului potenţial se eprimă: F U = - grad U, unde U = U(, y, z ) potenţialul sau energia potenţială este funcţie de poziţie; i j k - operatorul nabla y z E = E c + U energia totală
Forţele constante F i j k (N) şi F i j 5k (N) acţionează simultan asupra unei particule în timpul deplasării acesteia din punctul A(4, 7, 5) (m) în punctul B(9,, 8) (m) Care este lucrul mecanic efectuat asupra particulei? R: J O particulă se deplasează pe o traiectorie în planul Oy din punctul de ector de poziţie r i 5 j m, în punctul de ector de poziţie r 4i j m Ea se deplasează sub acţiunea unei forţe F i 7 j N Calculaţi lucrul mecanic efectuat de forţa F R: - 4 J m Să Un corp de masă m = 4 kg se mişcă după legea r( t) t t j se calculeze lucrul mecanic efectuat asupra corpului în interalul de timp t =, t = s Rezolare: r( t) t t j (t) 9t j, a(t) 8t j, F(t) 7t j ; F P 7t 9t ; P L 7t 9t dt L 76 J
4 Un corp de masă m = kg se mişcă după legea r( t) t i t j m Să se calculeze lucrul mecanic efectuat asupra corpului în interalul de timp t =, t = s R: L = J 5 Asupra unui corp de masă m aflat pe un plan orizontal acţionează o forţă constantă în modul F = mg/ Pe parcursul deplasării forţa face cu orizontala un unghi care ariază după legea θ = α, unde α este o constantă, iar este drumul parcurs ( = ) Să se calculeze iteza a corpului în momentul în care unghiul θ = π/ Rezolare: F sin θ < G, pentru orice pe tot parcursul deplasării corpul rămâne pe planul orizontal; Lucrul mecanic, al forţelor care acţionează asupra corpului, se reduce la lucrul mecanic al componentei forţei F de-a lungul planului orizontal : F L F cos d sin ; Folosind teorema ariaţiei energiei cinetice: g L = E c ( ) sin ( ) g Dacă se cunoaşte forţa, sau acceleraţia, ca funcţii de poziţie, legea itezei se poate obţine folosind teorema ariaţiei energiei cinetice şi definiţia lucrului mecanic, iar legea de mişcare rezultă prin integrarea legii itezei O altă
modalitate de a obţine legea de mişcare este rezolarea ecuaţiei diferenţiale la care conduce principiul fundamental al mecanicii r (t) -legea de mişcare integrare ( t) -legea itezei integrare a (r ) -acceleraţie F(r) -forţă 6 Un corp de masă m se mişcă în lungul aei O sub acţiunea unei forţe care ariază după legea F = α, unde α este o constantă pozitiă Ştiind că, la momentul t =, corpul se găseşte în şi are iteza =, să se determine: a) legea de mişcare; b) legea itezei R: a) t m ( t) e ; b) m t ( t) e m 7 Un corp de masă m se mişcă în lungul aei O sub acţiunea unei forţe care ariază după legea F = α, unde α este o constantă pozitiă Ştiind că, la momentul t =, corpul se găseşte în = şi are iteza, să se determine: a) legea de mişcare; b) legea itezei Rezolare: a) Folosind teorema ariaţiei energiei cinetice: L = E c şi definiţia lucrului mecanic: L F d, se obţine lucrul mecanic L şi deci ( ) Prin integrare se obţine legea de mişcare implicită: m ;
m ln t, m m care, prin câtea artificii matematice duce la legea de mişcare eplicită Dacă se abordează problema rezolând ecuaţia diferenţială ce rezultă în urma aplicării principiului fundamental al mecanicii: d, dt m atunci legea de mişcare rezultă în mod eplicit şi este: m ( t ) t sinh ; m b) R: ( t) cosh t m 8 Un corp de masă m este ridicat de la suprafaţa Pământului cu ajutorul unei forţe care depinde de altitudinea y după legea F mg y j, unde α este o constantă pozitiă Calculaţi lucrul mecanic al acestei forţe şi ariaţia energiei potenţiale a corpului pe porţiunea y =, y = /α R: mg L ; 4 mg U 9 Un resort special are legea forţei F = - α Care este energia potenţială în punctul, presupunând E p = la = R: E p = α 4 / 4 Ştiind că potenţialul forţei este dat de epresia U, unde α este o r constantă pozitiă, să se determine epresia forţei ce deriă din acesta 4
Rezolare: F U U U U F i j k ; y z Pentru a lucra în coordonate carteziene se foloseşte epresia potenţialului scrisă cu aceste coordonate: U(, y, z) F F y F z U U y U z y z y z y y z z y z i y j z k F y z,,, F r r Potenţialul unui câmp are epresia U r, unde α şi β sunt r constante pozitie, iar r este distanţa faţă de centrul câmpului Să se determine: a) epresia forţei ce deriă din acest potenţial; b) aloarea maimă a forţei de atracţie pe care acest câmp o eercită asupra unei particule R: a) F r ; b) F 4 ma r r 7 5
Momentul forţei şi momentul cinetic M r F - momentul forţei; J r p - momentul cinetic; dj M - teorema mometului cinetic; dt Pentru forţe centrale momentul forţei este nul în raport cu centrul câmpului şi momentul cinetic se conseră O planetă de masă m eoluează în jurul Soarelui, de masă M, pe o elipsă Distanţa minimă (periheliu) şi maimă (afeliu) faţă de Soare este r, respecti r Calculaţi momentul cinetic al acestei planete în raport cu centrul Soarelui Rezolare: Forţa de interacţiune graitaţională între planetă şi Soare este: mm F K r, r iar energia potenţială a planetei în câmpul graitaţional al Soarelui este: mm E p K ; r Mişcarea planetei fiind în câmp central, energia totală şi momentul cinetic se conseră În punctele în care distanţa planetei faţă de Soare este minimă, respecti maimă, aceste legi de conserare se scriu: mm m mm m K K, r r J r m r m Rezolând sistemul format din aceste două ecuaţii care au necunoscutele şi se obţine: 6
J KM r r r r m Să se eprime, în funcţie de momentul cinetic J, energia cinetică, energia potenţială şi energia totală a unui satelit de masă m pe o orbită circulară J J J R: E c ; E p ; E mr mr mr Oscilaţii mecanice Oscilaţii armonice: Un corp efectuează oscilaţii armonice atunci când asupra lui acţionează o forţă de tip elastic: F = - k, k constanta elastică; elongaţie; m masa; k m, ω pulsaţie proprie; (t) = A sin (ω t + φ);, T perioadă proprie; T Oscilaţii amortizate: Oscilaţiile unui corp sunt amortizate atunci cănd asupra lui acţionează, pe lângă forţa de tip elastic (- k ) şi o forţă rezistentă proporţională cu iteza ( α ): F = - k α, α coeficient de rezistenţă;, m, ω pulsaţia oscilaţiei amortizate; β factor de amortizare; 7
Obseraţie: Aem de-a face cu mişcare de oscilaţie numai dacă (t) = A e - β t sin (ω t + φ); T - decrement logaritmic; T perioada mişcării oscilatorii amortizate Oscilaţii forţate: Forţa care întreţine oscilaţia este sinusoidală de amplitudine F şi pulsaţie ω : F = - k α + F sin (ω t); (t) = A sin (ω t - φ ), F m tg ; A, A (ω ) = maimă ω = ω rez = 4 O particulă efectuează oscilaţii sinusoidale de-a lungul aei O în jurul poziţiei de echilibru Pulsaţia oscilaţiilor este ω = 5 rad/s La momentul t = particula se găseşte în poziţia = cm şi are iteza =,6 m/s Determinaţi legea de mişcare şi legea itezei π R: ( t) sin5t cm; (t), 6 cos5t m/s 4 4 5 Determinaţi pulsaţia şi amplitudinea oscilaţiilor sinusoidale efectuate de o particulă dacă la distanţele şi de la poziţia de echilibru iteza particulei are alorile şi R:, A 8
6 Un corp de masă m =,5 kg fiat de capătul unui resort de constantă elastică k = N/m eecută o mişcare oscilatorie armonică de-a lungul aei O Ştiind că la momentul t = corpul are doar energie cinetică, iar energia cinetică maimă a corpului este de 9 - J, să se determine: a) legea de mişcare; b) energia totală a corpului R: a) (t) =, sin( t) m; b) E t = 9 - J 7 Un corp de masă m =,5 kg fiat de capătul unui resort eecută o mişcare oscilatorie armonică de-a lungul aei O după legea: (t), 5 sin ( t) m Să se determine: a) constanta elastică a resortului şi perioada oscilaţiilor; b) energia totală a corpului; c) momentele de timp la care energia cinetică este egală cu energia potenţială R: a) k = 5 N/m, n=număr natural 5 t n s, unde T s; b) E t = 65 - J; c) n 4 8 Un punct material efectuează o mişcare oscilatorie amortizată de-a lungul aei O Perioada mişcării este T= s, iar decrementul logaritmic δ=,6 Să se scrie legea de mişcare, ştiind că la momentul iniţial t =, =, =,5 m/s 5 R: ( t) e sin t 4 t 9 Să se scrie epresia itezei oscilaţiilor amortizate Rezolare: 9
(t) = A e - β t sin (ω t + φ), t t t A e sin t e cos t, t A e cos t sin t ; t t t A e cos t tg arctg sin t, t A e arctg cos arctg t cos t 4 Un punct material eecută oscilaţii amortizate cu pulsaţia ω Să se determine coeficientul de amortizare β dacă la momentul t = iteza punctului material este nulă, iar elongaţia este de n ori mai mică decât amplitudinea R: n 4 Un corp oscilează într-un mediu cu decrementul logaritmic δ Care este decrementul logaritmic δ dacă coeficientul de rezistenţă al mediului creşte de n ori? Rezolare: n n ; T,, ; 4 n 4 4,
4 n n 4 Un corp oscilează într-un mediu cu decrementul logaritmic δ De câte ori trebuie să crească rezistenţa mediului pentru ca oscilaţia amortizată să deină mişcare amortizată aperiodică (β = ω ) R: n 4 Un corp de masă m=5 g eecută o mişcare de oscilaţie amortizată cu factorul de amortizare β = π/4 s, perioada oscilaţiilor proprii fiind T s Oscilaţiile corpului dein forţate în urma acţiunii unei forţe eterioare periodice F,sin ( t) N Să se scrie elongaţia oscilaţiilor forţate, m 4 R: t sin t 44 Amplitudinea oscilaţiilor forţate este aceeaşi pentru două frecenţe ν şi ν Să se afle frecenţa de rezonanţă a oscilaţiilor R: rez 45 Asupra unui corp, care efectuează o mişcare oscilatorie amortizată cu perioada oscilaţiilor proprii T, acţionează o forţă eterioară sinusoidală de amplitudine F La rezonanţa itezelor, amplitudinea oscilaţiilor este A Să se afle coeficientul de rezistenţă Rezolare:
(t)=a sin (ω t - φ ) - legea de oscilaţie în cazul oscilaţiilor forţate; A, F m (t)=a ω cos (ω t - φ ) Rezonanţa itezelor se realizează atunci când : ω A = maimă d d F m ω = ω F A ; m Dar, iar T m F T A 46 Un corp care efectuează o mişcare oscilatorie forţată are amplitudinea itezei egală cu / din amplitudinea itezei la rezonanţa itezelor, pentru două pulsaţii ω şi ω Să se afle: a) pulsaţia proprie a oscilatorului ω ; b) factorul de amortizare β R: a) ; b) 4 Compunerea oscilaţiilor armonice paralele a) Oscilaţii cu aceeaşi pulsaţie (t) = A sin (ω t + φ ), (t) = A sin (ω t + φ ); Rezultatul compunerii a două oscilaţii armonice paralele de aceeaşi pulsaţie este tot o oscilaţie armonică de aceeaşi pulsaţie pe aceeaşi direcţie
(t) = (t) + (t) (t) = A sin (ω t + φ) A A, A A A cos tg A sin A A cos A sin cos b) Oscilaţii cu pulsaţii puţin diferite Rezultatul compunerii a două oscilaţii armonice paralele de pulsaţii diferite nu mai este o oscilaţie armonică (t) = A sin (ω t + φ ), (t) = A sin (ω t + φ ), (t) = (t) + (t) ; Dacă pulsaţiile sunt foarte apropiate între ele, iar amplitudinile oscilaţiilor care se compun sunt egale, oscilaţia sinusoidală: t Acos t sin t În cazul frecenţelor acustice sunetul de pulsaţie rezultantă este aproape se aude succesi, întărindu-se şi slăbindu-se cu pulsaţia şi perioada bătăilor: T b Compunerea oscilaţiilor armonice perpendiculare a) Oscilaţii cu aceeaşi pulsaţie (t) = A sin (ω t + φ ), y (t) = A sin (ω t + φ );
Traiectoria unui punct material supus simultan la două oscilaţii armonice perpendiculare de aceeaşi pulsaţie este o elipsă a cărei formă depinde de : A y A y A A cos sin b) Oscilaţii cu pulsaţii diferite Un punct material supus simultan la două oscilaţii armonice perpendiculare de pulsaţii diferite are o traiectorie complicată Dacă raportul pulsaţiilor este un număr raţional traiectoria este una din figurile Lissajous, forma traiectoriei depinzând şi de diferenţa de fază 47 Un punct material este supus simultan la două mişcări oscilatorii armonice descrise de legile: (t) =, sin t 7 Să se scrie legea de mişcare rezultantă R: (t) = sin ( t +,7 π) m 7 m, respecti (t) =,6 sin t 7 6 m 48 Un punct material este supus simultan la două mişcări oscilatorii armonice descrise de legile: t 5 y t m; 5 a) t 5sin m, t 4sin 4
b) t sin t m, t 5sin t t 9 4 6 y m; 7 y t sin t m c) t sin m, Să se determine ecuaţia traiectoriei punctului material, precizându-se forma acesteia 4 R: a) y, traiectoria este o dreaptă; b) y, traiectoria este o 5 4 5 elipsă aând drept ae chiar aele de coordonate; c) y 9, traiectoria este un cerc 49 Să se determine ecuaţia traiectoriei unui punct material supus simultan la două mişcări oscilatorii: a) (t) = A sin (ω t), y (t) = A sin (ω t); b) (t) = A sin (ω t), y (t) = A cos (ω t) Rezolare: sin t ; A a) = A sin (ω t) y = Asin(ωt) y = A sin (ω t) cos (ω t), y 4A sin t sin t y 4 - traiectoria este una din figurile A Lissajous: 5
b) Cele două oscilaţii care se compun au acelaşi raport al pulsaţiilor ca şi la punctul a), dar defazajul este altul şi deci forma traiectoriei este alta y A A Unde elastice Mediile continue (gazele, lichidele, solidele) sunt medii de particule care interacţionează între ele şi care, dacă una din particule oscilează, or propaga oscilaţia de la particulă la particulă sub formă de unde, numite unde elastice Mediile de acest fel se numesc medii elastice Atunci când oscilaţiile în fiecare punct sunt armonice de o anumită frecenţă, ( -pulsaţia), unda este o undă monocromatică ce se propagă fără atenuare (, t) A sin t k - elongaţia în cazul undei plane monocromatice care se propagă (fără atenuare) pe direcţia aei O; A amplitudinea, care este constantă pentru unda plană; distanţa faţă de sursă; k număr de undă, adică numărul de unde, de lungime de undă λ, care se cuprind în π unităţi de lungime Elongaţia ψ este periodică în timp, cu perioada T, şi periodică în spaţiu (în raport cu coordonata ), cu perioada λ: 6
k,, ut, T u iteza de propagare a undei sau iteza de fază; t k - faza undei care se propagă pe direcţia aei O; Suprafeţele de undă sunt suprafeţe de fază constantă iteza de deplasare a fazei se numeşte iteză de fază u t direcţia aei O; - ecuaţia diferenţială a undelor care se propagă pe ( r, t) A sin t k r - elongaţia în cazul undei plane monocromatice care se propagă în spaţiu (fără atenuare) în direcţia şi sensul lui k ; k -ector de undă care are modulul de propagare a undei ( r, t) A r sin t k r k şi este orientat în direcţia şi sensul - elongaţia în cazul undei sferice monocromatice; Obseraţie: În cazul undei sferice amplitudinea de oscilaţie a punctelor mediului depinde de distanţa faţă de sursă : A r A r, unde A este constantă - ecuaţia diferenţială a undelor care se propagă în spaţiu, u t - operatorul lui Laplace (laplacean) y z 7
5 Într-un mediu elastic se propagă, de-a lungul aei O, undele longitudinale descrise de legea: (, t) sin t, m Să se determine: a) frecenţa oscilaţiilor punctelor mediului elastic; b) iteza maimă de oscilaţie a punctelor mediului elastic; c) iteza de propagare a undei R: a) ν = 5 Hz, b) oscil (, t), ma =,π m/s, c) u = 5π m/s t 5 O undă plană sonoră se propagă de-a lungul aei O după legea: 5, t 8 sin6t 4 m Să se determine: R: a) a) raportul dintre amplitudinea de ibraţie a particulelor mediului şi lungimea de undă; b) raportul dintre amplitudinea itezei de ibraţie a particulelor mediului A şi iteza de propagare a undei 5,9 5 ; b) u ma, 4 y 5 O sursă de oscilaţii armonice oscilează după legea: t,sin75 t m Pentru unda plană care se propagă în lungul aei O, să se determine deplasarea faţă de poziţia de echilibru a unui punct aflat la distanţa de = 5 cm faţă de sursa de oscilaţii la t =,4 s după începerea oscilaţiei iteza cu care se propagă oscilaţiile este de 5 m/s R: t,5 cm, 5 Să se determine raportul amplitudinilor şi defazajul dintre oscilaţiile a două puncte aflate la m, respecti 6 m faţă de o sursă punctiformă de 8
oscilaţii, ştiind că perioada oscilaţiilor este de,8 s, iar iteza de propagare a undei sferice este de m/s A r R:, 6 A r ut ; r r 54 Să se determine, în cazul undei plane, elongaţia unui punct aflat la distanţa de λ/4 faţă de sursa de oscilaţii pentru momentul T/ Amplitudinea oscilaţiilor este de 7 cm R:,5 cm 55 Pentru o undă plană, la momentul T/, distanţa faţă de poziţia de echilibru a unui punct aflat la 5 cm faţă de sursa de oscilaţii este de din amplitudine Să se determine lungimea de undă R: cm 56 O undă plană descrisă de legea t Ae sin t k,, unde A, γ, ω şi k sunt constante, se propagă într-un mediu omogen Să se calculeze defazajul dintre punctele în care amplitudinile diferă de n=,5 ori, ştiind γ =,458 m şi λ = 5 cm R: ln n 8 57 O sursă punctiformă produce oscilaţii sonore de frecenţă ν=,4 khz Unda sferică propagându-se cu atenuare, la distanţa r = m de la sursă amplitudinea de oscilaţie a particulelor mediului este A = μm, iar la distanţa r = 8 m amplitudinea este de n = 4 ori mai mică Să se determine: a) coeficientul γ de amortizare al undei; 9
Rezolare: b) iteza maimă de oscilaţie a particulelor mediului la distanţa r Ae r r a) r, t sin t k r Ar A n A b) osc ( r, t) t e r r r Ae ; r r e n ln, 8 r nr r r r m ; r Ae ma ; r La distanţa r de sursa de oscilaţii A A n A, 66 ma m/s n Teoria Relatiităţii (Relatiitate restrânsă) Sistemul de referinţă S se mişcă cu iteza u (comparabilă cu iteza luminii c) relati la sistemul de referinţă S în direcţia aei comune O Obseraţie: Sistemul de referinţă S este de obicei sistemul propriu al particulei care se mişcă cu iteză comparabilă cu iteza luminii, iar S este sistemul de referinţă al laboratorului Transformările Lorentz Transformările lui Galilei Newton, alabile în Mecanica Clasică, sunt înlocuite în Teoria Relatiităţii Restrânse de transformările Lorentz: 4
u t ', y' y, z' z, u c Obseraţie: Se foloseşte adesea notaţia sistemul natural de unităţi, în care c = u t t' c u c u, adică β este iteza măsurată în c Dilatarea timpului Măsurând interalul de timp cât durează un proces fizic în sistemul de referinţă al laboratorului, cu un ceas aflat în repaus faţă de laborator, se obţine o aloare mai mare decât atunci când măsurarea are loc în sistemul de referinţă propriu, aflat în mişcare cu iteza u faţă de sistemul de referinţă al laboratorului t t' u c Contracţia lungimii Măsurând lungimea, de-a lungul direcţiei de mişcare, a unui obiect în sistemul de referinţă al laboratorului, se obţine o aloare mai mică decât atunci când măsurarea lungimii, tot de-a lungul direcţiei de mişcare, se face în sistemul de referinţă propriu aflat în mişcare cu iteza u, şi faţă de care obiectul este în repaus u l l c Compunerea itezelor Pentru o particulă care se mişcă în sistemul de referinţă S cu iteza de componente,,, iteza în sistemul de referinţă S are componentele: y z 4
' u u c y, ' y u z u, ' z, u c u c c c componente ce rezultă din transformările Lorentz Obseraţie: În cazul în care itezelor se reduc la formulele clasice (newtoniene) u c formulele relatiiste de compunere a Masa de mişcare (relatiistă): m m, u c m - masa de repaus; Obseraţie: Semnificaţie fizică are m masa de repaus Energia totală: E mc ; Energia de repaus: E ; m c Energia cinetică: E c mc mc Cu ce iteză se mişcă o riglă, poziţionată paralel cu direcţia de mişcare, a cărei lungime este de m în sistemul de referinţă propriu, dacă lungimea obserată din sistemul laboratorului este de m l 8 R: u c,6 m/s l 4
Fie un cerc, de rază b, în mişcare cu iteza u relatiistă Să se calculeze u β ( ), atunci când cercul este ăzut din sistemul laboratorului ca o elipsă c cu aa mică a, iar cea mare b (a < b) Rezolare: Pe direcţia mişcării diametrul propriu b deine, în sistemul de referinţă al laboratorului, a (a < b) în conformitate cu: a u c a b b u a c b u, c Timpul de iaţă propriu al unei particule instabile este ns Să se calculeze distanţa parcursă de particulă înainte de dezintegrare în sistemul de referinţă al laboratorului în care durata sa de iaţă este 8 ns R: s c 4 m 4 Un sistem de referinţă S se mişcă cu iteza u =,8 c în raport cu un sistem de referinţă S în direcţia În sistemul S al laboratorului o particulă se mişcă cu iteza c i c j Să se eprime iteza particulei în sistemul de referinţă S R: ' c, ' y c = =c, dar şi ' au direcţii diferite 4
5 Fie două sisteme de referinţă S şi S, unde S se mişcă cu iteza u = c ( δ) relati la S în direcţia Să se afle iteza unei particule în sistemul S al laboratorului, ştiind că particula se mişcă cu iteza = c ( δ) în sistemul S (δ<<) Rezolare: ' u u c ' u u ' c, c c 6 Un sistem de referinţă S se mişcă cu iteza u =c/ relati la sistemul de referinţă S în direcţia Să se afle iteza unei particule în sistemul S al laboratorului, ştiind că particula se mişcă cu iteza = c/ în S, pe aceeaşi direcţie şi în acelaşi sens cu u Care ar fi aloarea itezei particulei în sistemul laboratorului dacă itezele s-ar compune clasic şi ce contradicţie ar rezulta? 4 R: c ; Clasic: c c, iteza ar fi mai mare decât iteza luminii, în contradicţie cu eperienţa 7 Asupra unei particule cu masa de repaus m acţionează o forţă constantă F Considerând că particula porneşte la t = din repaus din =, să se eprime, relatiist, iteza şi coordonata în funcţie de timp Rezolare: dp F dt dp p t Fdt p F t ; 44
Dar p = m, iar m m t c F ct ; F t m c d dt dp Fdt, p c ( t) F t m c mc t F 8 Să se eprime impulsul relatiist în funcţie de energia totală a unei particule 4 R: p E m c c 9 Să se eprime impulsul relatiist în funcţie de energia cinetică a unei particule R: p Ec Ecmc c Care este corecţia de ordinul întâi pentru energia cinetică clasică atunci când efectele relatiiste dein importante? Dar corecţia de ordinul doi? Rezolare: E c mc mc Dezoltând în serie Taylor: E c mc, unde 4 5 6 8 6, u ; c se obţine 45
mu 5 4 E c mu mu ; 8 6 Corecţia de ordinul întâi pentru energia cinetică este: Corecţia de ordinul doi pentru energia cinetică este: m u ; 8 5 4 m u 6 4 Termodinamică Parametrii de stare sunt presiunea (p), olumul () şi temperatura (T), dintre care doar doi sunt independenţi datorită ecuaţiei de stare f (p,,t) = ecuaţie de stare; Pentru gazul ideal ecuaţia de stare este: p = νrt, unde ν este numărul de moli de gaz ideal, iar R = 8,4 J / molk, constanta uniersală a gazelor đl = p d - lucrul mecanic într-o transformare termodinamică infinitezimală; Obseraţie: đl reprezintă lucrul mecanic corespunzător transformării infinitezimale şi nu diferenţiala lucrului mecanic, pentru că lucrul mecanic nu este funcţie de stare B L pd - lucrul mecanic într-o transformare termodinamică între stările A A şi B Obseraţie: Într-o transformare izocoră L= Energia internă pentru un gaz ideal este funcţie de temperatură: U = ν C T ; Obseraţie: Într-o transformare izotermă U= 46
4 Principiul I al termodinamicii ariaţia energiei interne a unui sistem termodinamic este egală cu energia pe care sistemul o schimbă cu mediul înconjurător du = đq đl - pentru o transformare termodinamică infinitezimală; Obseraţie: Căldura şi lucrul mecanic sunt mărimi de proces şi nu admit diferenţiale totale eacte din acest moti se foloseşte đq şi đl U = Q L pentru o transformare termodinamică finită; dq C - căldura molară, dt C p = C + R relaţia Robert Mayer C p - indice adiabatic, C Să se calculeze raportul dintre lucrul mecanic efectuat de gaz într-o transformare izotermă şi una izobară la dilatarea unui gaz din starea p, până la un olum de n =,5 ori mai mare LT ln n R:, 6 L n p De câte ori creşte energia internă a unui gaz ideal cu indicele adiabatic, într-o transformare adiabatică în care olumul scade de n= ori? Pentru 5 7 gazul ideal monoatomic, iar pentru gazul ideal biatomic 5 R: U U U U ; 4 64, 5 U U mono bi 47
Să se calculeze ariaţia energiei interne pentru moli de gaz ideal cu indicele adiabatic γ =,4 aflat la temperatura de C atunci când presiunea creşte de β= ori într-o transformare: a) izocoră; b) izotermă; c) adiabatică; d) în care T RT U kj; b) U ; R: a) 8, 4 RT c) RT U 4, kj; d) U, 8 kj 4 Doi kmoli de gaz încălziţi cu 4 ºC, la presiune constantă, absorb,4 MJ de căldură Dacă R = 8,4 J / molk, să se determine: a) lucrul mecanic al gazului; b) ariaţia energiei interne; c) aloarea coeficientului adiabatic R: a) L =,99 MJ ; b) U =, MJ ; c) γ =,4 5 Un gaz ideal aflat la presiunea 5,5 kpa ocupă un olum de 4, m În cursul unei transformări izocore, în care presiunea creşte de α= ori, gazul ideal primeşte o cantitate de căldură de,5 MJ Să se determine coeficientul adiabatic al acestui gaz ideal p Q R:, 4 48
6 Un gaz ideal cu indicele adiabatic γ suferă o transformare descrisă de legea p, unde este o constantă pozitiă Ştiind că gazul se dilată de la olumul la un olum de ori mai mare, să se determine: a) ariaţia energiei interne a gazului; b) lucrul mecanic efectuat; c) căldura schimbată; d) căldura molară a gazului în această transformare R: a) U ; b) L ; c) d) C R Q ; Pentru o transformare termodinamică a cărei lege se cunoaşte se deduce căldura molară prin integrare folosind primul principiu al termodinamicii legea transformării căldura molară 7 Să se calculeze căldura molară a unui gaz ideal într-un proces în care: a) T, unde α este constantă; b) Rezolare: T, unde α este constantă a) Înlocuind în principiul I al termodinamicii: du = đq đl, epresiile lui du, đl şi đq: du = νc dt, đl = p d, dq C đq = νcdt, dt se obţine: νcdt = νc dt + pd; 49
Din legea transformării termodinamice: T, şi ecuaţia de stare pentru gazul ideal: p = νrt, R ; p d C dt C dt R În continuare, fie se integrează această epresie: şi se obţine: T T T C dt C dt R T d C R, T T C T T dar din legea transformării termodinamice: T T T ; R C C ; fie se diferenţiază legea transformării termodinamice: dt d, R C C R b) R: C C R C C ; Pentru o transformare termodinamică a cărei căldură molară se cunoaşte se deduce legea transformării termodinamice prin integrare, folosind primul principiu al termodinamicii căldura molară legea transformării 5
legea 8 Căldura molară a unui gaz ideal ariază, într-o transformare dată, după C T, unde α este constantă Să se determine legea transformării termodinamice corespunzătoare T R C C R: T e const 9 Să se determine legea transformării termodinamice în care căldura molară a sistemului rămâne constantă (transformare politropă) Rezolare: đq = ν C dt du = ν C dt đl = p d Conform principiului I al termodinamicii: du = đq - đl dt d C C R, T Dar din ecuaţia de stare a gazului ideal: p = νrt d dp dt, p T şi folosind relaţia Robert Mayer: C p = C + R se obţine: C C C C p d dp p Prin integare nln ln p const, C C p n - indice politropic, C C p n =const legea transformării politrope Care este indicele politropic într-o transformare în care: a) p ; b) T ; c) T ; d) p ; T 5
unde α este o constantă pozitiă R: a) n ; b) n ; c) n ; d) n Într-o transformare politropă olumul unui gaz ideal biatomic (, 4 ) scade de 9 ori, iar presiunea creşte de 7 ori Să se determine: Rezolare: a) indicele politropic n; b) căldura molară a gazului a) Legea transformării politrope: n n p p n p p n, adică ; ln Prin logaritmare se obţine n ; ln C C p b) n - indice politropic C C C nc C n p C p - indice adiabatic, C p = C + R relaţia Robert Mayer C R C, C Rn n R C p ; R C Să se determine căldura molară pentru un gaz monoatomic (γ = 5/) într-o transformare politropă cu indicele politropic n, 5 5
R: R C 4 Principiul II al termodinamicii Ciclul Carnot este o transformare ciclică reersibilă formată din două adiabate şi două izoterme la temperaturile T şi T (T > T ) L - randamentul unui ciclu, Q prim L lucrul mecanic efectuat în cursul ciclului, Q prim căldura absorbită pe parcursul transformării ciclice; Qced ; Q prim Q ced căldura cedată pe parcursul transformării ciclice; T - randamentul ciclului Carnot care funcţionează între temperaturile T C T şi T (T > T ) Orice motor termic care funcţionează între temperaturile T şi T are un randament mai mic decât randamentul ciclului Carnot care funcţionează între aceleaşi temperaturi Să se calculeze randamentul unui ciclu format dintr-o izotermă ( ), o izobară ( ) şi o adiabată ( ) dacă agentul termic este un gaz ideal cu coeficientul adiabatic γ Se cunoaşte raportul β dintre presiunea maimă şi p minimă a ciclului ( p ma min ) Care este randamentul unui ciclu Carnot care ar funcţiona între temperatura minimă şi maimă ale ciclului de mai sus Rezolare: 5
Q L p d, pentru că este transformare izotermă, Q ln RT ; C T T Q p, pentru că este transformare izobară,, T T Q C pt ; a) Când izoterma este la temperatura b) Când izoterma este la temperatura minimă a ciclului: maimă a ciclului: p p ma p p ma izoterma izoterma p min p min pmin pma p p,, ma min p p ma min, p p min ma,,, 54
Q ced Q RT ln, Q prim Q RT ln, Q prim Q R T, Q ced Q R T, ln ; ; ln Randamentul ciclului Carnot care funcţionează între temperatura minimă şi maimă ale ciclului de mai sus este: C 4 Să se calculeze randamentul unui ciclu format dintr-o izotermă ( ), o izocoră ( ) şi o adiabată ( ) dacă agentul termic este un gaz ideal cu coeficientul adiabatic γ Se cunoaşte raportul α dintre olumul maim şi minim a ciclului ( ma min ) Care este randamentul unui ciclu Carnot care ar funcţiona între temperatura minimă şi maimă ale ciclului de mai sus R: a) Când izoterma este la temperatura minimă a ciclului: p ln ; izoterma min ma b) Când izoterma este la temperatura maimă a ciclului: 55
p izoterma ln ; min ma Randamentul ciclului Carnot care funcţionează între temperaturile minimă şi maimă ale ciclului de mai sus: C Principiul II al termodinamicii reflectă o tendinţă: energia curge dinspre locurile unde este concentrată, spre locurile unde este dispersată cât mai mult dq Inegalitatea lui Clausius:, unde semnul egal are sens pentru T transformări reersibile, iar < pentru transformări ireersibile dq ds, S entropia T Entropia este măsura energiei dispersate ca funcţie de temperatură Obseraţie: Presiunea, olumul, temperatura sunt parametri de stare, iar energia internă şi entropia sunt funcţii de stare, pe când căldura şi lucrul mecanic sunt mărimi fizice care au sens numai în transformări termodinamice Pentru transformările reersibile: dq S ( B) S( A) T ; B A 56
Pentru transformările ireersibile: dq S ( B) S( A) T B A Obseraţie: Într-o transformare adiabatică S = 5 Calculaţi creşterea entropiei pentru 5 moli de gaz ideal cu indicele adiabatic, 4 într-o transformare în care olumul scade de ori, iar presiunea creşte de 5ori Rezolare: olumul scade de α ori, Presiunea creşte de β ori đq = T ds, du = ν C dt, đl = p d, p p ; Conform principiului I al termodinamicii: du = đq - đl T ds = ν C dt + p d Prin integrare se obţine: Dar p T p T T T T T S C ln Rln, p p R S ln Rln, R S ln ln = 7,4 J/K, 57
6 Calculaţi ariaţia entropiei pentru moli de gaz ideal cu indicele adiabatic, 4 atunci când olumul creşte de 4 a) izobară; b) izotermă; c) adiabatică ori într-o transformare: R: a) S = ν C p ln α = J/K; b) S = ν R ln α = 4,5 J/K; c) S =, 7 Calculaţi ariaţia entropiei pentru kmoli de gaz ideal monoatomic ( 5 ) atunci când temperatura sa creşte de α= ori într-o transformare: a) izocoră; b) izobară R: a) S ln =86,4 kj/k; b) S ln =4,57 kj/k C C p 8 Un gaz ideal cu indicele adiabatic γ suferă o transformare de forma a) T T ; b) T T ; c) p p ; unde T, p şi sunt constante pozitie Să se determine pentru ce aloare a olumului entropia este maimă Rezolare: a) T ds = ν C dt + p d R dt d ds R T 58
Prin integrare şi înlocuirea legii de transformare se obţine entropia S ca funcţie de olum: S, unde c este o constantă de integrare; R lnt ln c ds d S S=ma şi, d d T ; p b) R: ; c) R: T 59
Bibliografie [] Ch Kittel, WD Knight, MA Ruderman, Cursul de fizică Berkeley, olumul I, Mecanică, Ed Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 98; [] I Irodo, I Saélie, O Zamcha, Recueil de problèmes de physique générale, Ed Mir, Moscou, 976; [] I Irodo, Problèmes de physique générale, Ed Mir, Moscou, 98; [4] Dorobanţu, Fizica între teamă şi respect, olumul I, Mecanică clasică, Ed Politehnica, Timişoara, ; [5] Dorobanţu, Fizica între teamă şi respect, olumul II, Teoria Relatiităţii, Ed Politehnica, Timişoara, 4; [6] JJ Molitoris, The Best Test Preparation for the Graduate Record Eamination (GRE) in Physics, Research & Education Association, 99; [7] A Hriste, Mecanică şi acustică, Ed Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 984; [8] E Fermi, Termodinamica, Ed Ştiinţifică, 969; [9] LG Grechko, I Sugako, OS Tomas Eich, AM Fedorchenko, Problems in Theoretical Physics, Mir Publishers, Moscow, 977 6