I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A P r e d v j z p e t u s e d m c u s t v e (u demsoj 009/00 god) 7 Redov s prozvoljm človm (Redov s človm prozvoljog z) Hurt qum crbro, qu dscěre vult selbro [Crpe vodu stom to žel učt bez jge] (LATINSKA IZREKA) Ne je dt rel red (7) Ao ovj red m smo očo mogo egtvh člov, od tv red zovemo poztv red, jer odbcvjem th egtvh člov, što o što zmo e utče overgecju red, dobjemo poztv red u užem smslu (tj red čj su sv člov eegtv) Dle, u ovom slučju red (7) možemo prmjet e od rterj z overgecju poztvh redov Slčo, o red (7) m smo očo mogo poztvh člov, od odbcvjem th poztvh člov možejem s ( ), što tođe e utče overgecju red, dobjemo poztv red (u užem smslu), p poovo možemo orstt rterje z overgecju poztvh redov Ao, p, red (7) m besočo mogo poztvh besočo mogo egtvh člov, od e možemo (br eposredo) prmjet rterje z overgecju poztvh redov, te m trebju ov rterj z sptvje overgecje tvh redov Nvest ćemo ee od jh, l prvo ćemo vest jedu orsu formulu To je tzv Abelov sumco formul (prvlo) oj je pogod z zvođeje doz rterj z redove s opštm člom obl b, pozt je pod zvom prvlo prcjlog sumrj, gls: Z sv N z sve prozvolje zove ( ), (b ) u R vrjed: b B + ( ) B, (7) + gdje je B b + b + + b, (,,, ) Ovj rezultt je log formul (prvlu) prcjle tegrcje Abelov dco formul (7) zvod se sljedeć č: Ne su, b (,,, ) e brojev Stvmo: B 0 0, B b, B b + b,, B b + b + + b,, B b + b + + b Td je, z,,,, B ( b + + b - + b ) ( b + + b - ) B B (7) Posmtrjmo sd sumu N osovu (7) vrjed b b ( B B ) Ao u posljedoj sum pšemo umjesto ( dle + umjesto ), dobjemo No, o je B 0 0, mmo b B B B + B 76
77 b B B B + B B B + ( ) B, + + + tj dobl smo formulu (7) 7 Osov rterjum overgecje redov s človm prozvoljog z Prmjeom Abelove sumcoe formule dozuje se sljedeć Dededov ) teorem, oj se (o rede teoreme) odos redove (u R) s človm prozvoljog z, čj se opšt čl može predstvt u oblu b ) Teorem 7 Ne je zd red b (74) e su zdovolje sljedeć uslov : ) 0 ( ); ) red + je overget; ) z (B ) prcjlh sum red b je ogrče Td je red (74) overget Prmjeom Abelove sumcoe formule l Dededove teoreme 7 dozuje se d vrjed sljedeć rterj: Teorem 7 (Drchletov rterj) ) Ne je zd red b (u R) e su zdovolje sljedeć uslov: () z ( ) mootoo tež ul; () z (S ) prcjlh sum red b je ogrče Td je red b overget (u R) Prmjeom Drchletovog rterj l Abelove sumcoe formule (7) dobje se Abelov rterj z overgecju redov u R (redov s človm prozvoljog z, u ojh je opšt čl obl b ): Teorem 7 Ne je zd red b e su zdovolje sljedeć uslov: () z ( ) je mooto ogrče ; (b) red b je overget Td je red b overget Prmjer 7 Ko je z sv N, e t ( cos t) s t s t (s t t t t e ( e ) e t, ( mgr jedc), e cos t ), to se lo dože d je ( ) ( ) cos t s t cos + t cosec t, s t s t s + t cosec t, p je ) (Julus Wlhelm) Rchrd Deded (8 96) jemč mtemtčr ) To je eo posebo ogrčeje, jer se sv z (x ) u R može pst u oblu x ) Peter Gustv Lejeue Drchlet (805 859) jemč mtemtčr, ( 0 z N)
78 t t cos t cos ec, s t cos ec t s cost rterju d redov (s človm promjeljvog z), sv t R, t π ( Z) Sd sljed po Drchletovom 7 Apsolut overgecj redov s t overgrju (u R) z Bez tešoć se dozuje sljedeć stv: Stv 7 Ao red (75) overgr, od overgr red (7), tj red (u R) Doz: Doz sljed z teoreme 7 ejedost + + + + + +p + + + + + +p Ao red (75) overgr, od se že d red (7) psoluto overgr Z red (7) že se d uslovo overgr l d je semoverget o overgr, l pr tom e overgr psoluto (sje ćemo dt prmjer tvog red) Sd se stv 7 može formulst ovo: Stv 7 Ao je red psoluto overget, od je o overget Posmtrjmo sd jedu posebu vrstu redov s osttm človm promjeljvog z Red ( ) + c ( c c + c c 4 + + ( ) + c + ), gdje su rel brojev c, N, sv stog z (odoso, red s osobom d z sv N vrjed 0, 0), zv se ltertvm redom Stv 7 (Lebzov rterjum) / Altertg seres test /, (705) Ao je c + c, ( N), lm c 0, od ltertv red overgr 4) Osm tog, stv l se m + + m S (-) c, S ( ) c, + (-) c od je S S S l-, (, l N) (Vrjedost sume S ltertvog red lz se u tervlu zmeđu vrjedost dvje susjede prcjle sume, tj S m < S < S m+ l S m+ < S < S m ) Ostt ovog red m sumu r p po psolutoj vrjedost mju od prvog zostvljeog čl, tj + < p p p+ p+ p r ( ) c c, te sg r (-) Doz: Prcjle sume S dtog red pšmo u oblu S (c c ) + (c c 4 ) + + (c c ), odle se vd d je z (S ) N, eopdjuć Iz jedost S c (c c ) (c c ) c sljed d je, z sve N, S < c, tj d je z (S ) N ogrče Prem tome, postoj lm S S 4) Z ltertv red ( ) + c žemo d je red Lebzovog tp o je z (c ) mootoo opdjuć ul z Altertv red može overgrt o je Lebzovog tp
79 Iz jedost S + S + c + sljed d je lm S + S Zto je lm S S Ostl zljučc stv 7 sljede z čjece d je ostt overgetog red tođe overget m svojstvo socjtvost, p je r p (c p+ c p+ ) + (c p+ c p+4 ) + c p+ (c p+ c p+ ), odle (z prve jedost) sljed r p > 0 (z druge jedost) r p < c p+ N st č z r p+ ( c p+ + c p+ ) + ( c p+4 + c p+5 ) + c p+ + (c p+ c p+4 ) + + sljed r p+ < 0 r p+ > c p+, tj c p+ < c p+ Osm tog, z r p S S p sljed d je sg r p (-) p QED Prmjer 7 ( ) + Red očto overgr prem Lebzovom rterju, p o red dvergr, to dt red overgr uslovo ( ) Ko red, + α (α > 0), overgr, to red overgr + α l l psoluto Zdt 7 Nđte sumu red ( ) I l II l III l IV l Zdt 7 * Nđte sumu red + + L 4 I l II l III IV l l Zdt 7 * ) Kolo člov red treb sbrt d b se jegov sum zrčul s tčošću + ( ) do 0 6, pr čemu je +, ( " e N )? + b) Požte d red b, gdje je b + (z z ) ), overgr 4 7 Svojstv relh redov (Asocjcj omutcj) Posmtrjmo prozvolje rele redove Korso je zt d l se e svojstv očh sum preose tve redove U tom smslu dozuje se d vrjede sljedeć stvov: Stv 74 Koverget red m svojstvo socjtvost
80 Prmjetmo d se grupsjem člov eog dvergetog red može dobt overget red N prmjer, red ( ) je dverget, do red ( ) + ( ) + + ( ) +, dobje od dtog red grupsjem člov, m zbr jed ul Z red s poztvm človm, međutm, to ešto je moguće To je posljedc čjece d je od tvog red z prcjlh sum mooto Stv 75 (Drchletov teorem o omuttvost psoluto overgeth redov) Apsoluto overget red m svojstvo omuttvost, tj o je red psoluto overget, o je s : N N prozvolj bjecj, od je Stv 76 (Rem 5) Djev 6) stv) (866/7 ; 868/9) Ao red uslovo overgr, od se z sv dt A R može premještjem člov dtog red dobt red čj zbr 7) zos A, tj postoj jed bjecj s : N N tv d je ( ) A s( ) s 74 Možeje redov Posmtrjmo rele redove (7) b b + b + + b + (76) Formrjmo besočodmezolu mtrcu (77) b b b M b M j M M b b b b j b b b M b M j L L L L b M M b b b j L L L L M čj su elemet prozvod člov redov (7) (76) Od elemet ove mtrce mogu se formrt rz redov D l ovo formr redov mju jede l rzlčte zbrove (o h uopšte mju)? U tom smslu vodmo odgovore dte sljedećm stvovm: Stv 77 (Cuchy) Ao redov (7) (76) psoluto overgrju, od red formr od elemet mtrce (77), uzeth u prozvoljom poretu, tođe psoluto overgr Pr tom je sum dobjeog red jed prozvodu sum redov (7) (76) 5) Berhrd Rem (86 866) jemč mtemtčr 6) Ulsse D (845 98) tljs mtemtčr 7) Ovj stv pozuje d od uslovo overgeth redov pored m zčju ulogu d se ov redov e mogu shvtt smo o obč zbr svojh člov Koverget redov te vrste se mogu pretvort zgodm poretom člov u dvergete redove (U D, 868/9)
8 U opštem slučju može se dogodt d z prozvod uslovo overgeth redov (7) (76) e vž zljuč stv 77, tj može se dogodt d red b p p j e overgr l d p jegov sum zvs od poret člov (pr, vdrt u Cuchyjevom smslu uslovo ( ) overgetog red je dverget red) Njčešće se pod prozvodom redov 0 b podrzumjev red 0 0 b 0 + ( b 0 + 0 b ) + + ( b 0 + b + + 0 b ) + (78) s opštm člom c b 0 Dle, b c, c b 0 0 0 0 Z ovvo možeje redov dozuje se d vrjed teorem Abel: " Ne su b dv overget red u R s summ A, odoso B e je c, (c b + ) jhov prozvod Ao red c overgr m sumu C, od je C A B " Ovvo možeje redov občo se zv Košjevm možejem, rzlog što je oo jčešće u upotreb je u vez s jegovom prmjeom stepee redove (tj redove obl ( 0 0 ), x x ( R; 0,,, ), čj je opšt čl fucj obl x (x x 0 ) ; x 0 cost R, x R vrjbl) Stv 78 8) Ao su redov b overget o je br jed od jh psoluto overget, od vž jedost b ( b ) jedost je overget 0 0 0 0 ( 0 0, 0,, 0 p) red desoj str ove Prmjer 7 Ne je ( ) rel mooto z lm 0 Požmo d red s x overgr z sv x mπ, m Z (z x mπ o očgledo overgr) Zst, z sv N ( z sv x R, x mπ, m Z ), vž x cos cos( + ) x s x, x x x s s s p je z (B ) prcjlh sum red b, gdje je b s x, ogrče, p dt red b overgr prem Drchletovom rterju Red π cos + l 8) Ovj stv o Cuchyjevom prozvodu redov pozt je pod zvom Mertesov teorem: Frz Krl Joseph Mertes (840 97) ustrjs mtemtčr (v, pr, [S Mrdešć, Mtemtč lz, I, str 7], Šols jg, Zgreb, 979)
8 π overgr prem Abelovom rterjumu Nme, pšmo cos u oblu + π π + π cos ( ) cos π ( ) cos + + + Td dt red dobj obl + ( ) π cos l + π Nz cos + rterjumu je ogrče mooto, red ( ) + overgr prem Lebzovom l 8 Besoč prozvod Ne je ( p ) z relh brojev Forml zrz p p p (8) zove se besoč prozvod s opštm člom p Prozvod P p p p prvh člov tog prozvod je -t prcjl zvod Preczje (logo, o od pojm red), uređe pr ((p ), (P )) oj se sstoj od z (p ) relh brojev z (P ) prozvod P : p zvmo besoč prozvod s ftorm p prcjlm prozvodm P ozčvmo s p Ao postoj oč rzlčt od ule, lmes P : lm P, že se d besoč prozvod (8) overgr ; broj P je vrjedost tog prozvod; pr tom se pše P p Ao postoj m N tv d je p m 0, od se tođe že d prozvod p overgr to prem P p p p m p m Ao lm P e postoj l je jed 0 l, žemo d prozvod (8) dvergr Prmjer 8 Besoč prozvod + P +, lm P Z besoč prozvod dvergr
8 Proozvod pšmo u oblu, + odle se dobj P + lm P Dle, ovj prozvod overgr m vrjedost Svojstv besočog prozvod Posmtrjmo prozvode čj su člov rzlčt od ule Ao je p dt m fs prrod broj, od prcjle prozvode besočog prozvod p m+ ozčmo s P' p m+ p m+ p m+ Očto je P m+ P m P', gdje su P prcjl prozvod besočog prozvod p Zto je Dle, vž lm P m+ P lm P' Stv 8 Izostvljje očo mogo člov besočog prozvod e utče jegovu overgecju Stv 8 Potreb uslov d prozvod (8) overgr je d jegov opšt čl p tež jedc d (Zto se ftor besočog prozvod (8) jčešće pšu u oblu + p ) m Doz: Ne je lm P : P Td je lm p P lm P lm P lm P P P Nvedmo bez doz još Cuchyjev rterjum z besoč prozvod Teorem 8 Prozvod (8) overgr o smo o z sv ε > 0 postoj 0 N tv d vž > 0, N p + p + p + < ε Besoč prozvod redov Kovergecj besočh prozvod može se dovest u vezu s overgecjom redov Imjuć u vdu stvove 8 8, ubuduće ćemo posmtrt prozvode čj su člov poztv Teorem 8 Besoč prozvod (8) s poztvm človm overgr o smo o overgr red l p Ao tj red m zbr s, od prozvod (8) m vrjedost e s Doz: Prcjle sume dtog red mju obl s l p, prcjl prozvod obl P p Očto je l P s, odle sljed tvrđeje teoreme (podsjećmo d se besoč prozvod e smtr overgetm o je lm P 0 ) ) QED ) Vrjed p 0 o smo o je br jed od ftor p jed broju 0
Često se člov prozvod p pšu u oblu p +, >, sm prozvod o p ( + ) (8) Stv 8 Ne su rel brojev, počev od eog, sv stog z (tj 0 N : ( ( 0 ) 0) ( ( 0 ) 0) ) ) Td prozvod (8) overgr o smo o red overgr Doz: Bez ogrčej opštost može se pretpostvt d je > 0, N Prem teorem 8, prozvod ( + ) overgr o smo o overgr red l( + ) Iz teoreme 6 sljed d red l( + ) overgr o smo o red overgr, jer je l( + ) lm QED Prmjer 8 Prozvod + α, α > 0, overgr z α > dvergr z α Nme, dt prozvod overgr o smo o overgr red, odle osovu prmjer 8 sljed zljuč α U opštem slučju (d su brojev promjeljvog z), tvrđeje stv 8 e vž ) Međutm, o zjedo s redom overgr red, od se lo vd d overgr prozvod (8) Z prozvod (8) že se d psoluto overgr o overgr prozvod ( + ) Stv 84 Ao prozvod (8) psoluto overgr, od o overgr Doz: Sljed z Cuchyjevog rterjum z besoče prozvode ejedost ( + + ) ( + + ) ( + + ) ( + + ) ( + + ) ( + + ) QED 84 9 Rješe zdc o zovm besočm redovm + Zdt 9 Isptjte overgecju z ( ) zdog opštm člom + Rješeje: Što je već to su broj zv rzlom sve već, p se tu jvlj tzv eodređe obl Djeljejem broj zv s jvećm stepeom od, tj s, dobjemo +, ) Npr besoč prozvod ( ) + x psoluto overgr z sv x >, uslovo overgr z ( ) < x, dvergr z 0 < x (md u tom slučju overgr red ) x
85 odle se vd d je broj + sve blž, zv broju, o rste + Nslućujemo d je lm Dožmo tu pretpostvu U tom smslu, e je ε > 0 prozvolj rel broj Odredmo prrod broj 0 tv d je < ε z sv > 0 Ko je + 4 4 4 < ε < ε < ε > > + ( ) ε ε Z trže broj 0 ( 0 (ε)) možemo uzet blo oj prrod broj već od 4 + Njmj ε 4 tv broj je uprvo + +, gdje x ozčv jveć cjel broj oj je već od x ε Npr z ε 0, 0 (0,) zv te ε - oole broj lze se smo prv dv čl dtog z, do su sv ostl uutr te ε - oole (v tbelr prz dtog z u Tblc 9 jegov grf slc 9) + / 0, 6 5/ 0, 45 4/ 0, 5/ 0, 8 /9 0,05 4 7/47 0,6 4/4 0,08 5 /7 0,5 / 0,08 6 7/07 0,46 4/ 0,05 Tblc 9 Sl 9 Zdt 9 Isptjte overgecju red l (s ) Rješeje: Ko je s >, ( N), to vrjed l (s ) < l π ( ) Otud je π > > O *, ( ) π π l (s ) l ( ) πl l 44 β ( ) 44 π π l α( ) ( jer je lm lm R \ {} 0 β ( ) π l α ( ) ), p dt red dvergr (buduć d red l dvergr)
86 l Zdt 9 + cos Isptjte overgecju red : ) ; b) (0 + ( ) ) 4+ cos ; c) + + + + + Rješeje: ) Ko je lm <, red, ( 9 (0 + ( ) ) ), je overget (prem Cuchyjevom rterjumu) l l + cos 4 b) Ko je lm lm <, to, prem (poopšteom / u jjčoj form) 4 + cos 5 5 Cuchyjevom orjeom rterjumu, dt red overgr + c) Prmjetmo d je lm ' lm + z dt red, do red +, očto, overgr (o zbr dv overget geometrjs red) Npome: Ovj prmjer red pozuje d o red overgr, e sljed, općeto, d je + lm q < Zdt 94 Dožte eposredo overgecju sljedećeg red ć mu sumu: π cos ) + + ; b) + ; 4 c) x y ( ) Rješeje: ) Ko opšt čl red m obl :, ( N), z mootoo tež ul, to prem Lebzovom rterju dt red overgr Nđmo S Immo S + + + + + + + + + C + l + ε ( c + l + ε ) l + ε ε, gdje je ε ( γ ) Eulerov ostt, ε 0 z Buduć d je (zbog ustovljee overgecje dtog red) lm S lm S, gdje je (S ) z prcjlh sum dtog red, očo dobjemo + + l 4 b) Ko je π π,, N, cos s,, redov, overgrju, to osovu svojstv opercj s overgetm redovm (tj, o redov b overgrju u eom vetorsom prostoru V, od vrjed ( λ + μb ) λ + μb, gdje su λ, μ prozvolj rel brojev), mmo 0 (, b V ),
87 π cos + c) N osovu ctrog prvl u b), mmo + + + + + 4 5 6 7 8 9 7 + + y x y + y+ xy+ xy + x y + x y + ( xy) + y ( xy) ( + y) ( xy), 0 0 0 0 xy jer geometrjs red q, z q xy <, overgr 0 q Zdt 95 Odredte ( )!! 0 Rješeje: Ao jed od redov b overgr, drug overgr psoluto, od vrjed c b, ( c b + b + + b) Ov formul vrjed u slučju d sv tr red, b, c overgrju Ko red overgr, to prem vedeom Cuchyjevom prvlu (možej redov)! mmo: ( ) c + c, ( )! ( )! ( ) ( ) gdje je c b + ( ),, b ( )!( )! ( )! ( )! Ko je p je 0 ( ) ( ) 0, ( ), ( ) N to je c+ ( ) 0, ( N ),!( )!!!( )! ( )!! Zdt 96 Ne je 0 ( N) Td su redov evoverget (Cuchyjev odezco rterjum) Dozt! Doz: Ko je 0 + + + 4 + + + + + 4 4 + +, to zbog mootoost z (S ), S, prem teorem o mootom ogrčem zovm, z overgecje red sljed overgecj red Osm tog, z ejedost + (4 + 44 + + + ) + + + + +, zljučujemo d overgecj red povlč overgecju red Tme je doz ovog ( orsog / vrlo prtčog) svojstv zvrše Zdt 97 Zmjeom z (x ) odgovrjućm redom, sptt overgecju z (x ) dtog formulom x : + + + 0
Rješeje: Ko je ( ), + + to x x x x 88 to mmo No, dobje red overgr jer je red (hperhrmojs) + + +, + + + ( ) ( ) lm x + + + + ( + + ), ( ), overgr, p overgr zd z (x ) 0 Redov omplesh brojev Z sv omples broj z C, z x + y (x, y R) vrjed z x + y Otud eposredo sljed d je s z z 0 r (0) dt jedč ružce S (z 0, r) rdjus r (>0) s cetrom u tč z 0 : x 0 + y 0 (x 0, y 0 R ) Nme, o je z x + y, z 0 x 0 + y 0, od je z z 0 (x x 0 ) + (y y 0 ), p je (0) evvleto s (x x 0 ) + (y y 0 ) r, što je jedč ružce S (z 0, r) Prem tome, sup S (z 0, r) je zd formulom S (z 0, r) : { z C : z z 0 r } Alogo je s K (z 0, r) : { z C : z z 0 < r } (0) defr otvore rug rdjus r s sredštem u tč z 0, do je s K (z 0, r) : { z C : z z 0 r } (0) defr ztvore rug rdjus r s sredštem u tč z 0 Dle, K (z 0, r) K (z 0, r) S (z 0, r) Defcj 0 Z sup A C žemo d je ogrče (omeđe) o je o sdrž u eom rugu u C, tj o postoje z 0 C r R + tv d je A K (z 0, r) Defcj 0 Z sup Ω C žemo d je otvore, o oo sve tče z Ω može d se opše otvore rug oj je sdrž u Ω, do z sup F C žemo d je ztvore, o je jegov omplemet F c : C \ F otvore sup Lo se vd d fmlj U svh otvoreh podsupov od C m ov svojstv: (T ) Ø, C U (T ) Uj od blo olo člov z U je čl z U (T ) Presje očo člov z U je čl z U
89 Npomemo d se uređe pr (X, U ) prozvoljog sup X fmlje U podsupov od X z oje vrjed (T ), (T ) (T ) (d umjesto sup C mmo prozvolj sup X ) zove topološ prostor Pr tome se fmlj U zove topološ strutur l topologj prostor (X, U ), je člov otvore supov topološog prostor (X, U ) Ao je z test jso o ojoj se topologj U rd, od se često umjesto o topološom prostoru (X, U ) rće govor o prostoru X Otud sljed d je C topološ prostor, tj C je prostor omplesh brojev Npomemo d d žemo d je C prostor od smtrmo d je u C uvede pojm otvoreog sup prem defcj 0 Alogo vž z prostor R relh brojev (s tm što, umjesto otvoreog rug u C, mmo otvore tervl u R) Defcj 0 Ool tče z 0 C u prostoru C je sv sup U C s svojstvom d postoj r R + tv d je K (z 0, r) U (v sl 0) Prmjetmo d je U otvore sup o je U ool sve svoje tče Z z omplesh brojev overgecj lmes se defrju logo o z z relh brojev Defcj 04 Z sv z (z ) omplesh brojev žemo d je overget u C o postoj omples broj z 0 ( C) tv d z sv rel broj ε > 0 postoj prrod broj 0 tv d ( N) > 0 z z 0 < ε (04) Td broj z 0 zvmo grč vrjedost l lmes (l grc) z (z ) pšemo lm (z ) z 0 (l lm z z 0 l, rće, lm z z 0 ) Tođe td još žemo d z (z ) overgr z 0 l d tež z 0 d pšemo z z 0 ( ) Z z u C oj je overget u C žemo d je dverget l d dvergr Sl 0 Sl 0 Iz (04) vdmo d su sv člov z (z ), osm možd e od prvh 0 člov, sdrž u rugu K(z 0, ε) (v sl 0) Kovergecj u prostoru C može se svest overgecju u prostoru R, tj overgecju zov relh brojev Nme, e je z x + y, z 0 x 0 + y 0, (x, y, x 0, y 0 R) Td vrjed teorem:
90 Teorem 0 Nz (z ) omplesh brojev overgr omplesom broju z 0 o z (x ), (x Re z ), overgr x 0 ( Re z 0 ) z (y ), (y Im z ), overgr y 0 ( Im z 0 ) Doz: Ko je x x 0 Re z Re z 0 Re (z z 0 ) z z 0, y y 0 Im z Im z 0 Im (z z 0 ) z z 0, to lm z z 0 povlč lm x x 0 lm y y 0 S druge stre, o je lm x x 0 lm y y 0, od z sv ε > 0 postoj 0 N tv d vž ( N) > 0 ε ε x x0 < y y0 < Odvde sljed d z sv > 0 vrjed ε ε z z 0 (x x 0 ) + (y y 0 ) x x 0 + y y 0 < + ε, to zč d je lm z z 0 QED Prmjetmo d se pojmov overgetog z u C jegovog lmes, uvede defcjom 04, mogu evvleto uvest pomoću ool tč u C (logo o z zove u R) Broj red z : ( + b ) (05) čj su člov z : + b (, b R, ( N)) omples brojev zvmo broj red s omplesm človm (l omples broj red l red omplesh brojev) Prcjl sum S des ( -t prcjl sum) ovog red dt je s S : z + b, ( N) (06) Pojmov grče vrjedost overgecje red omplesh brojev dt su rje vedem defcjm th pojmov u opštm ormrm prostorm (jer se C može shvtt o ormr prostor u odosu ormu dtu s z z (Re z) + (Im z) Otud vdmo d vrjed: Grč vrjedost lm S : S postoj o postoj lm : lm A : A postoj lm b : lm B : B U tom slučju je S A + B, tj red (05) overgr m sumu S : A + B o overgrju redov, b redom A, B U tom slučju se pše ( + b ) + b (08) pr tome red zovemo rel do red (05), red b zovemo mgr do red (05) Dle, pr sptvju overgecje redov omplesh brojev mogu se prmjet rterj z overgecju redov relh brojev (preczje, rele mgre djelove redov
omplesh brojev) No, z redove omplesh brojev vže logo Cuchyjevog rterj overgecje z red relh brojev, Bolzo Weerstrssove teoreme z zove supove, dr (pr, vž d sv ogrče z (z ) omplesh brojev m overget podz; d sv Cuchyjev z (z ) u C je overget (u C)) Često je od teres posmtrt redove omplesh brojev obl, ( α + β ; α, β R) (09) Z red (09) žemo d overgr o overgr sv od redov, (00) 0 U tom slučju je sum S red (09) dt s S A + B, gdje je A sum prvog, B sum drugog red u (00) Lo se vd d red (09) overgr m sumu S o z sv ε > 0 postoj prrod broj 0 tv d z sve, m N vrjed: m 0 m 0 S ε Ne je sd z 0 C e su c, ( N) omples brojev Z z C rzmotrmo red c( z z0) (0) Red obl (0) zove se Luretov ) (Lorov) red Područje overgecje tvog red proučvmo u ovru poglvlj Stepe redov Iče se Luretov redov detljo proučvju u ovru oblst Komples lz Dozuje se d sv Luretov red obl (0) defr tzv ltču fucju otvoreom ružom prsteu K (z 0 ; R, R ) : {z C : R < z z 0 < R } Z red z u C žemo d psoluto overgr (u C) o red z overgr (u R) Z tve redove vrjed sljedeć teorem (o dovoljom uslovu z overgecju red (05)): Teorem 0 Ao overgr red z, od overgr red (05) Doz: Iz z + b sljed z ( + b ) b z z sv N Otud, prem poredbeom rterju poztvh redov relh brojev, zljučujemo d z overgecje red z sljed overgecj svog od redov, b, tj sv od redov, b, je psoluto overget, p, dle, overget Zto overgr red ( + b ) : z Q E D Prmjer 0 Isptjmo overgecju red + 4 / + Rješeje: Rzmotrmo red Ko je lm red + 4 + / overgr, to zljučujemo d red overgr (u R) Zto, prem teorem 0, 4 + overgr polz red omplesh brojev (u C) ) Perre Alphose Luret (8 854) frcus mtemtčr 9
9 Zdt 0 Ao je lm z, dožte d je lm z Prmjerom požte d obruto je tčo Uput: Ao je z : e, od je lm z lm +, lm z e + postoj (jer lm e e postoj) Zdt 0 Nđte sljedeću grču vrjedost (z omplesh brojev): lm + + Rezultt Zdt 0 Isptjte overgecju red + Uput: Ko je z, + + + ( N), o red + red (omplesh brojev) dvergr ( ) Zdt 04 Isptjte overgecju red, ( α > 0) ( + ) α θ dvergr, to zd e Zdt 05 Dožte d red e overgr psoluto o overgr občo z l sv θ R( θ π, Z ), gdje je mgr jedc Uput: Prmjett d je e θ z sv prrod broj ( ), tj d je z θ s prcjlh sum red e θ ogrče, te d z l mootoo tež ul Alogo o u supu R uvode se pojm prozvod redov omplesh brojev, te pojmov besočog prozvod omplesh brojev jegove overgecje (u supu C) ( ) Zdt 05* )Isptjte z sv t R (obču) overgecju redov, t s t b)isptjte z sv t R uslovu psolutu overgecju besočog prozvod ( ) + t cos t + s t, gdje je mgr jedc red ( ) * ) Zdt zdv z domću zdću (DZ) (prcjl /l tegrl) psme spt z Ižejerse mtemte (IM) Eletrotehčom fultetu Uverztet u Srjevu