Sebaran Peluang Gabungan Peubah acak dan sebaran peluangnya terbatas pada ruang sampel berdimensi satu. Dengan kata lain, hasil percobaan berasal dari peubah acak yan tunggal. Tetapi, pada banyak keadaan, diperlukan pencatatan hasil beberapa peubah acak secara serentak: Definisi (Peubah Acak Farik) Jika X dan Y dua peubah acak farik, fungsi yang diberikan oleh p(x,y)= P (X=x, Y=y) untuk setiap pasangan nilai (x,y) dalam rentang nilai peubah acak X dan Y dinamakan fungsi peluang gabungan atau sebaran peluang gabungan dari X dan Y jika memenuhi syarat: p(x,y) > 0 untuk setiap (x,y) σ x σ y p x, y = 1
Contoh 1 Carilah nilai k sehingga fungsi yang diberikan oleh p(x,y) = kxy untuk x = 1, 2, 3; y = 1, 2, 3 merupakan sebaran peluang gabungan dari X dan Y. Penyelesaian Syarat pertama harus dipenuhi k > 0, supaya p(x,y)=kxy > 0 Subtitusi nilai x dan y ke p(x,y) =kxy p(1,1)=k, p(1,2)=2k, p(1,3)=3k, p(2,1)=2k, p(2,2)=4k, p(2,3)=6k, p(3,1)=3k, p(3,2) = 6k, p(3,3)= k, maka sesuai syarat kedua σ x σ y p x, y = 1. Jadi, k + 2k + 3k + 2k + 4k + 6k + 3k + 6k + k = 1 36k = 1 k = 1. Maka, p(x,y) = 1 xy untuk x = 1, 2, 3; y = 1, 2, 3 36 36
Tugas 1 Jika sebaran peluang gabungan X, Y, dan Z diberikan oleh : p(x, y, z) = kxyz ; x = 1,2 ; y=1, 2, 3; z = 1, 2. Tentukan nilai k
Contoh 2 Misalkan p(x,y) didefenisikan oleh : p x, y = ; x = 1,2,3, dan y = 1,2,3, 4x+y Buktikan bahwa p (x,y) merupakan fungsi massa peluang gabungan dari X dan Y! Penyelesaian Syarat pertama jelas 4 x+y 0 untuk setiap (x,y) Selanjutnya dibuktikan untuk sayarat kedua
Lanjutan Tabel Nilai peluang sebaran gabungan dari X dan Y......... y x 1 2 3 4... 1 4 2 4 3 4 4 4 5 2 4 3 4 4 4 5 4 6 3 4 4 4 5 4 6 4 7..................
Lanjutan Jumlah baris pertama adalah: s 1 = + + + s 4 2 4 3 4 4 2 = s 1 = 1 4 s 1 = 1 4 s 1 = + + 4 4 2 4 3 + s 2 = 1 4 4 + s 1 s 2 = 1 4 + s 1 4 2 4 Jumlah baris kedua adalah + + 4 3 4 4 4 5 + + + 4 2 4 3 4 2 + s 2 s 2 = + s 2 4 3 4 3s 1 4 = 4 2 3s 1 4 = 4 3 4 4 + s 1 = 3 4 s 2 = 3 4 2
Lanjutan Jumlah baris ketiga adalah: Maka s k = 3 4 k s 3 = + + + Jadi σ 4 4 4 5 4 6 x σ y p x, y = 3 + 3 + 3 + 4 4 2 4 3 s 3 = 1 4 + + 4 3 4 4 + = 3 1 + 1 + 1 + 4 5 4 4 4 2 4 3 + s 3 dengan menggunakan deret geometri s 3 = 1 4 s 3 = + s 1 4 4 4 3s 3 4 = 4 4 = 3 4 s 3 = 3 4 3 a = 1 dan r = 1 maka: 4 a 1 r = 3 4 1 1 1 4 = 3 4 4 3 = 1
Peubah Acak Malar Jika X dan Y peubah acak malar, fungsi kepadatan peluang gabungan f(x,y) adalah suatu permukaan yang terletak diatas bidang xy, dan P[(X,Y) A] dengan A adalah setiap daerah di bidang xy yang sama dengan isi selinder kanan yang dibatasi oleh dasar A dan permukaan f(x,y) Defenisi (Peubah Acak Malar) Fungsi f(x,y) dinamakan fungsi kepadatan peluang gabungan peubah acak malar X dan Y jika P[(X,Y) A] = A f x, y dx dy Untuk setiap daerah A di bidang xy
Lanjutan Suatu fungsi dapat dikatakan sebagai fungsi kepadatan peluang gabungan dari pasangan peubah acak X dan Y jika nilai f(x,y), memenuhi syarat: f x, y 0 f(x, y) dx dy = 1 < x <, < y <
Contoh 3 Jika fungsi kepadatan peluang gabungan dari X dan Y diberikan oleh : 3 x y + x ; untuk 0 < x < 1, 0 < y < 2 f x, y = ቐ 5 0 ; untuk x dan y yang lain Hitunglah P[(X,Y) A] dimana A adalah daerah (x, y) 0 < x < 1 2, 1 < y < 2! Penyelesaian P[(X,Y) A] = P(0 < x < 1, 1 < y < 2) 2
Lanjutan Penyelesaian 1 2 0 1 = 2 3 x(y + x) dx dy 5 1/2 2 3x 2 y = + 1 1 10 5 x3 ] dy x = 0 2 3y ] 1 1 + = dy 40 40 3y 2 = 80 + y 2 = 12 40 80 + 2 40 3 80 + 1 40 = 16 5 80 1 = 11 80
Tugas 2 Suatu restoran cepat saji menyediakan fasilitas pemesanan untuk dibawah pulang melalui drive in dan walk in. Pada suatu hari yang dipilih secara acak, diperhatikan waktu yang dibutuhkan untuk menyiapkan pemesanan (dalam satuan waktu pelayanan) masingmasing untuk drive in dan walk in, yg berturut-turut dinotasikan sebagai peuba acak X dan Y. Misalkan fungsi kepadatan peluang gabungan kedua peubah acak tersebut adalah: 2 x + 2y ; 0 x 1, 0 y 1 f x, y = ቐ3 0 ; x, y yang lain oselidiki apakah f(x, y) adalah fungsi peluang ohitung peluang bahwa pada suatu hari ditemukan waktu pelayanan pada fasilitas drive in dan walk in masing-masing kurang dari setengah
Fungsi Sebaran Komulatif Apabila kita mempunyai sebaran peluang dari suatu peubah acak farik, kita bisa menghitung peluang dari peubah acak tersebut yang nilainya kurang dari nilai tertentu. Hal ini dijelaskan dalam definisi berikut Definisi (Sebaran Komulatif Farik) Jika X Peubah acak farik, fungsi yang diberikan oleh P(x)=P(X<x)=σ t x p(t) untuk < x < dimana p(t) adalah nilai fungsi sebaran peluang dari X di t, dinamakan fungsi sebaran atau fungsi sebaran komulatif dari X. Nilai P(x) dari fungsi sebaran komulatif peubah acak farik memenuhi syarat: P = 0 dan P = 1 Jika a < b, maka P(a) < P(b) untuk setiap bilangan riil a dan b
Lanjutan Jika peubah acak X mempunyai nilai-nilai yang banyaknya terhingga yaitu x1, x2, x3,... xn dan masing-masing mempunyai peluang p(x1), p(x2), p(x3),..., p(xn), fungsi sebaran komulatifnya ditentukan oleh : P x = 0 ; x < x 1 p x 1 ; x 1 x x 2 p x 1 + p x 2 ; x 2 x x 3 p x 1 + p x 2 + p x 3.. ; x 3 x x 4 p x 1 + p x 2 + p x 3 + + p x n = 1 ; x n x
Contoh 4 Tiga mata uang logam yang seimbang dilemparkan sekaligus. Jika X menyatakan banyaknya sisi muka yang muncul dalam pelemparan mata uang itu, maka sebaran peluangnya adalah: Tentukan fungsi sebaran dari X! Penyelesaian Untuk x < 0, P(x) = 0 Untuk 0 < x < 1, P(0)=σ t 0 p t = p 0 = 1 8 X 0 1 2 3 P(x) 1 8 Untuk 1 < x < 2, P(1)=σ t 1 p t = p 0 + p(1) = 1 8 + 3 8 = 4 8 Untuk 2 < x < 3, P(2)=σ t 2 p t = p 0 + p 1 + p(2) = 1 8 + 3 8 + 3 8 = 7 8 Untuk 3 < x, P(3)=σ t 3 p t = p 0 + p 1 + p 2 + p(3) = 1 8 + 3 8 + 3 8 + 1 8 = 1 3 8 3 8 1 8
Lanjutan Penyelesaian Contoh 4 Jadi fungsi peluang sebaran komulatif dari X adalah : P x = 0 ; x < 0 1 8 ; 0 x < 1 4 8 ; 1 x < 2 7 8 ; 2 x < 3 1 ; 3 x
Fungsi Sebaran Komulatif Definisi (Sebaran Komulatif Malar) Jika X peubah acak malar, fungsi yang diberikan oleh x F(x)= P(X<x) = f t dt untuk < x <, Dimana f(t) adalah nilai dari fungsi kepadatan peluang dari X di t, dinamakan fungsi sebaran atau fungsi sebaran komulatif dari X Jika f(x) dan F(x) adalah masing-masing nilai dari peluang sebaran dan fungsi sebaran dari X di x, maka: P(a<x<b)=F(b) F(a) Untuk setiap konstanta riil a dan b dengan a<b, dan f x = df(x) apabila dx turunan ini ada
Contoh 5 Peubah acak malar X memiliki fungsi sebaran komulatif sebagai berikut: 0 ; x 0 F x = ቐx ; 0 < x < 1 1 ; x 1 Carilah fungsi kepadatan peluangnya! Penyelesaian Penurunan dari fungsi sebaran, diperoleh: 0 ; x < 0 F (x) = f(x) = ቐ1 ; 0 < x < 1 0 ; x > 1 Jadi kita dapat menulis fungsi kepadatan peluangnya dengan: f x = ቊ 1 ; 0 < x < 1 0 ; untuk x yang lain
Hubungan Fungsi Sebaran F(x) dan fungsi kepadatan peluang f(x) peubah acak malar Jika X peubah acak malar dengan fungsi sebaran F(x), maka fungsi kepadatan peluang f(x) adalah f x = d dx F(x) Asalkan turunan pertama dari F(x) terdefenisi. Dengan demikian : Sifat dari f(x): f(x) > 0 ; x R f x dx = 1 F x = න f t dt
Contoh 6 Jika diketahui X memiliki fungsi kepadatan peluang sebagai berikut: 1 f x = ቐ2 ; 0 < x < 2 0 ; x lainnya Tentukan Fungsi Sebaran Komulatif F(x)! Penyelesaian Untuk menentukan F(x) kita perlu menghitung P(X<x) untuk semua kemngkinan nilai x Untuk x < 0, kita peroleh Untuk 0 < x < 2, kita peroleh x x x F x = f t dt = 0dt = 0 F x = f t dt 0 y 1 0 dt 2 + 0dt = x = 0 + t ቚ = x/2 2 0 Untuk x > 2, kita peroleh: x 0 2 y 1 F x = න f t dt = න 0dt + න 2 dt + න 0dt = 0 + t 2 ฬ + 0 = 1 2 0 2 0 Jadi Fungsi Sebaran Komulatif: 0 ; x < 0 F x = ቐx/2 ; 0 x < 2 1 ; x 2
Tugas 3 Jika fungsi sebaran komulatif dari peubah acak X diberikan 0 ; x < 1 x + 1 F x = ; 1 x < 1 2 1 ;x 1 Tentukan fungsi kepadatan peluangnya!