4. Ειδικές Διακριτές, Συνεχείς Κατανομές

4. Ειδικές Διακριτές, Συνεχείς Κατανομές 4.. Η ομοιόμορφη διακριτή κατανομή. Εμφανίζεται τις περιπτώεις όπου η υπό εξέταη τ.μ. Χ παίρνει πεπεραμένο πήθος τιμών π.χ. Χ {,,...,} και όες οι πιθανότητες P είναι ιοπίθανες. Η κατανομή με.π. f,,,..., καείται διακριτή ομοιόμορφη κατανομή το ύνοο {α,α,...,α }. Π.χ. Αν Χ εκφράζει το αποτέεμα της ρίψης ενός ζαριού, τότε προφανώς P,,,...,6 6 και η Χ ακοουθεί την ομοιόμορφη το {,,...,6} κατανομή.

Η υνάρτηη κατανομής της διακριτής ομοιόμορφης θα είναι k k f F k k k,...,,,. 3 - F f 3 -

3 Αν η τ.μ. Χ ακοουθεί τη διακριτή ομοιόμορφη το {,,...,}, η υνάρτηη κατανομής της θα είναι k k f k F k k,,...,,. ενώ για τη μέη τιμή και τη διαπορά τώρα θα ιχύει P, και 6 6 P από όπου προκύπτει 3 4 6 V

4.. Η Διωνυμική κατανομή. Έτω ότι εκτεούμε όμοια και ανεξάρτητα μεταξύ τους πειράματα π.χ. ρίψεις ενός νομίματος. Το αποτέεμα κάθε ενός από αυτά τα πειράματα μπορεί να είναι είτε : επιτυχία είτε 0: αποτυχία με πιθανότητες p και q p αντίτοιχα. Μία πραγματοποίηη αυτού του πειράματος μπορεί να είναι η ακόουθη: 0000000 0 Αν Χ η τ.μ. που εκφράζει το πήθος των επιτυχιών ε αυτά τα πειράματα, τότε αυτή θα ακοουθεί την Διωνυμική κατανομή με παραμέτρους, p. Οριμός. Η κατανομή με.π. f p p, 0,,..., καείται διωνυμική κατανομή με παραμέτρους > 0, p 0, υμβ. και με B,p. 4

Η διωνυμική κατανομή είναι πράγματι κατανομή f 0, Σf διότι τύπος διωνύμου του Νεύτωνα b b, α, b R 0 Η.κ. της διωνυμικής κατανομής θα είναι F P f p 0 0 p, 0,,...,. 0.5 f F 0. 0, p0. 0.8 0, p0. 0.5 0.6 0. 0.4 0.05 0. 5 0 5 0 5 0 5 0 5

Έτω τώρα μία τ.μ. Χ ~ B,p. Η μέη τιμή της θα είναι και f p p... p. 0 p V p. Για η κατανομή B,p είναι γνωτή και ως κατανομή Broull. Αν Χ ~ Β,p τότε Χ {0,} και 0 P 0 p p p και P p p 0 ενώ p p, V p p p p. p 6

Άκηη Ένας αφαιτής αφαίζει 0 άτομα με την ίδια ηικία και κατάταη υγείας. Αν κάθε άτομο αυτής της κατηγορίας έχει πιθανότητα 60% να ζει μετά από 30 χρόνια τότε να υποογιτεί η πιθανότητα να ζουν μετά από 30 χρόνια α κανένας, β το πού 3 άτομα. Ποίος είναι ο μέος αριθμός ατόμων που θα ζουν μετά από 30 χρόνια; Λύη. Έτω Χ ο αριθμός των ατόμων από τα 0 που ζουν μετά από 30 χρόνια. Θα ι- χύει ότι ~ B0, 0.6 και επομένως 0 0 0 0 P 0 p p p 0.4 0.00004 0 3 3 P 3 P p p 0.0546. 0 0 p 0 0.6 6 7

8 Η γεωμετρική κατανομή Αν Χ η τ.μ. που εκφράζει το πήθος των δοκιμών μέχρι και την εμφάνιη της πρώτης επιτυχίας, τότε η Χ ακοουθεί την γεωμετρική κατανομή με παράμετρο p. Οριμός Η κατανομή με.π.,,..., p p f καείται γεωμετρική κατανομή με παράμετρο p υμβοίζεται και με Gp. Η.κ. της γεωμετρικής κατανομής θα είναι,...,, p f P F Επίης αν Χ ~ Gp θα είναι p f, p p V

Η.π. και η.κ. της γεωμετρικής κατανομής δίνεται τα επόμενα χήματα για 0.4 f F 0.3 p 0. 0.8 0. 0.6 p 0. 0.4 0. 0. 0 0 30 40 0 0 30 40 0.4 F f 0.3 0. p 0.4 0.8 0.6 0.4 p 0.4 0. 0. 4 6 8 0 4 5 0 5 9

Η κατανομή Posso. Συμβοίζουμε με Χ την τ.μ. που εκφράζει το πήθος των επιτυχιών ε αν.ιον. πειράματα. Σύμφωνα με τα παραπάνω, η τ.μ. Χ ~ Β,p. Αν θεωρήουμε όμως ότι, p 0, ώτε p τότε η τ.μ. Χ εκφράζει το πήθος των πραγματοποιήεων από ένα μεγάο αριθμό «πάνιων» ενδεχομένων. Αποδ. ότι, ε αυτή την περίπτωη, η Χ θα ακοουθεί την κατανομή Posso με παράμετρο. Οριμός Η κατανομή με.π. f, 0,,,...! καείται κατανομή Posso με παράμετρο υμβοίζεται και με Po. Η υνάρτηη κατανομής της κατανομής Posso θα είναι F P f,! 0 0 0,,,... 0

f F 0.5 0.8 0. 3 0.6 3 0.5 0.4 0. 0.05 0. 4 6 8 0 4 6 8 0 0. f 5 0.8 F 0. 0.08 0.6 5 0.06 0.4 0.04 0. 0.0 5 0 5 0 5 30 5 0 5 0 5 30

Έτω τώρα μία τ.μ. Χ ~ Pop. Η μέη τιμή της θα είναι Επίης f. 0!! V. Άκηη 4.6. Ο αριθμός των τυπογραφικών αθών ε μια είδα ενός βιβίου ακοουθεί την κατανομή Posso με παράμετρο 5. Να υποογιτεί η πιθανότητα μια είδα να περιέχει ακριβώς άθη Λύη. Αν το πήθος των τυπογραφικών αθών ε μια είδα ενός βιβίου, τότε ~ Pο. Θα ιχύει ότι P 5 5! 0.084

Η Υπεργεωμετρική κατανομή. Έτω μία κάπη η οποία περιέχει Λ ευκές και ΝΛ μαύρες φαίρες. Αν επιέξουμε την τύχη φαίρες χωρίς επανάθεη από την κάπη αυτή και υμβοίουμε με Χ των αριθμό των ευκών φαιρών το δείγμα των φαιρών, τότε η τ.μ. Χ θα ακοουθεί την Υπεργεωμετρική κατανομή με παραμέτρους Λ, Ν,. Οριμός Η κατανομή με.π. Λ N Λ f, m{0, Λ N},...,m{ Λ, } N καείται υπεργεωμετρική κατανομή με παραμ. Λ, Ν, Λ, < N υμβ. HGΛ,Ν,. Αν μία τ.μ. ακοουθεί την υπεργεωμετρική κατανομή με παραμέτρους Λ, Ν, τότε αποδεικνύεται ότι Λ Λ Λ N και V. Ν Ν Ν N 3

4 Άκηη Σε μία κήρωη Lotto τοποθετούνται την κηρωτίδα 49 φαίρες αριθμημένες από το έως το 49 και εκέγονται την τύχη 6 αριθμοί που κερδίζουν. Ποια είναι η πιθανότητα να περιέχονται 4 αριθμοί που κερδίζουν ανάμεα ε 0 αριθμούς που έ- χουμε προημειώει; Λύη. Η κηρωτίδα περιέχει 49 φαίρες από τις οποίες έχουμε προημειώει τις 0. Ας θεωρήουμε αυτές τις 0 φαίρες ως ευκές. Δηαδή Λ 0 και Ν 49. Από την κάπη τυχαία επιέγουμε 6 φαίρες. Αν Χ είναι το πήθος των προημειωμένων «ευκών» φαιρών το δείγμα μεγέθους 6 τότε ζητείται η πιθανότητα 6 49 9 4 0 6 49 4 6 0 49 4 0 4 N Λ N Λ P.

Η ομοιόμορφη υνεχής κατανομή. Οριμός 4.6. Η υνεχής κατανομή με.π.π. f, [, b] b f 0, [, b] καείται υνεχής ομοιόμορφη κατανομή το διάτημα [,b]. Η.κ. της υνεχούς ομοιόμορφης κατανομής θα είναι F f t dt dt, [, b] b b ενώ F 0 αν <, F αν > b. 5

6 f b /b F b Η μέη τιμή και διαπορά της υνεχούς ομοιόμορφης κατανομής θα είναι b b b b d b d f b b και 4 3 b b b b V.

Η εκθετική κατανομή. Η εκθετική κατανομή εμφανίζεται υνήθως ε περιπτώεις όπου μεετάμε το χρόνο αναμονής μέχρι την πραγματοποίηη ενός γεγονότος. Οριμός Η υνεχής κατανομή με.π.π. f, 0 > 0 f 0, < 0 καείται εκθετική κατανομή με παράμετρο. Η υνάρτηη κατανομής της εκθετικής κατανομής θα είναι F f t dt 0 t dt, 0 ενώ F 0 αν < 0. 7

Η μέη τιμή και διαπορά της εκθετικής κατανομής θα είναι και V. f F 8

Άκηη. Η διάρκεια ε επτά των υπερατικών τηεφωνικών υνδιαέξεων ακοουθεί την εκθετική κατανομή με μέη τιμή επτά. Να βρεθούν οι πιθανότητες η διάρκεια μιας υπερατικής υνδιάεξης α να είναι μεταξύ 4 και 6 επτών β να είναι μικρότερη από 6 επτά δεδομένου ότι ήταν μεγαύτερη από 4 επτά. Λύη. Αν Χ είναι η διάρκεια ε επτά των υπερατικών τηεφωνικών υνδιαέξεων / τότε / και άρα, F P, 0. α 4 6 6 4 6 / 4 / 4 / P < < F F 6 / 0. 0855, 4 / 6 / P4 < < 6 F 6 F 4 β P < 6 > 4 0. 63 4 / P > 4 F 4. 9

Η κανονική κατανομή Η κανονική κατανομή είναι η ημαντικότερη κατανομή με τις περιότερες εφαρμογές. Σύμφωνα με το κεντρικό οριακό θεώρημα θα διατυπωθεί ε επόμενη διάεξη κάθε φυική ποότητα της οποίας η τιμή μπορεί να θεωρηθεί ότι διαμορφώνεται από ένα μεγάο αριθμό ανεξάρτητων παραγόντων ακοουθεί προεγγιτικά κανονική κατανομή. Οριμός Η υνεχής κατανομή με.π.π. μ f, Rμ R, > π καείται κανονική κατανομή με παραμέτρους μ,. υμβ. με Νμ,. Αποδεικνύεται ότι 0 f d π μ d μ και V. 0

Το γράφημα της υνάρτηης πυκνότητας πιθανότητας της Nμ, δίνεται το επόμενο χήμα για α μ 8,, β μ 5,, γ μ 5, 4. 0.5 0.4 μ8, 0.3 0. μ5, μ5, 4 0. -5 0 5 8 0 5

Πρόταη Αν η τ.μ. Χ ~ Νμ, τότε και η τ.μ α, b R, α 0 Υ Χ b ~ Νμb,. Η κανονική κατανομή Ν0, δη. μ0, θα καείται τυπική κανονική κατανομή με υνάρτηη πυκνότητας πιθανότητας f N,, 0 R. π Η.π. και η.κ. της Ν0, υμβοίζονται υνήθως με φ και Φ αντίτοιχα.

Η υνάρτηη κατανομής Φ της τυπικής κανονικής 0.9986 0.977 0.843 0.8 Φ 0.6 0.5 0.4 0. 0.587 0.08-4 - 0.004 4 Ενδεικτικά, Φ-3 0.004, Φ- 0.08, Φ- 0.587, Φ00.5, Φ 0.843, Φ 0.977, Φ3 0.9986. 3

Η υνάρτηη πυκνότητας πιθανότητας της τυπικής κανονικής θα έχει τη μορφή: Συνάρτηη πυκνότητας πιθανότητας της Ν0, 0.5 0.4 0.3 φ 0. 0. -4-3 - - 0 3 4 68.8% 95.44% 99.7% 4

Επίης, όγω της υμμετρίας της φ θα είναι 0.4 Φ Φ, R. 0.3 0. φ Φ 0. Φ -3 0 3 Αν η τ.μ. ~ Nμ, τότε θα ιχύει ότι η τ.μ. και υνεπώς, μ μ μ Z ~ N μ, N0, P μ μ P P Z μ μ Φ 5

Αν μία τ.μ. Χ ακοουθεί Νμ, τότε παίρνει τιμές μεταξύ του μ3 και του μ3 με πιθανότητα χεδόν, τιμές μεταξύ του μ και του μ με πιθανότητα περίπου 95% και τιμές μεταξύ του μ και του μ με πιθανότητα περίπου 68%. μ3 μ μ μ μ μ3 μ 68.8% 95.44% 99.7% 6

Άκηη. Αν η τ.μ. Χ ~ Ν6,4 να υποογιτούν οι πιθανότητες α P < 6, β P 3, γ P < < 8 Λύη. Η τ.μ. Z 6 ~ N 0,. Άρα, α P P 6 6 6 < 6 < PZ < 0 Φ 0 05. 6 3 6 β P 3 P > P Z.5 Φ.5 Φ.5 0. 933 6 6 8 6 γ P < < 8 P < < P < Z < Φ Φ Φ Φ 0.843 0.977 0.885 7

Η κατανομή Γάμμα / rlg. Μία άη ημαντική κατανομή είναι η κατανομή Γάμμα η οποία μπορεί να θεωρηθεί ως γενίκευη της εκθετικής κατανομής. Οριμός Η κατανομή με.π.π. f t t t, t 0 Γ όπου > 0, και 0 καείται κατανομή Γάμμα με παραμέτρους,. Υπενθυμίζεται ότι η υνάρτηη γάμμα είναι η Γ d. Γ Γ, Γ!, N, Γ/ π. 0 8

ft 0.5 0.8 0.6 0.4.5 0. Aν ~ Γάμμα, τότε r r και για r, προκύπτει ότι 3 4 r r t,, V. 9

30 Η κατανομή Wbull Η κατ. Wbull μπορεί και αυτή να θεωρηθεί ως γενίκευη της εκθετικής κατανομής Οριμός Η κατανομή με.π.π. 0 t t t f t, όπου > 0, και 0 καείται κατανομή Wbull με παραμέτρους,. Η.κ. της θα είναι 0 0,, > > t F t, t > 0. Ιχύει ότι 0 0 / d d T Γ, Συνεπώς, Γ T και Γ T, Γ Γ T T T V.

f t 0.8 0.6 0.4 0. 3/ / 3 t 4 Η παράμετρος καείται παράμετρος «μορφής» shp prmtr. Όταν το αυξάνεται, η καμπύη της.π.π. f γίνεται «τενότερη». Η παράμετρος καείται παράμετρος κίμακας scl prmtr διότι η κατανομή της Wbull εξαρτάται από τo και το t μόνο μέα από το t. 3

Η Λογαριθμοκανονική Κατανομή. Η κατανομή αυτή εμφανίζεται πού υχνά την τοχατική χρηματοοικονομική ανάυη. Οριμός Έτω Χ ~ Νμ,. Η κατανομή της τ.μ. Υ καείται ογαριθμοκανονική logorml κατανομή με παραμέτρους μ, LNμ,. Επομένως, αν Υ ~ LNμ, τότε η τ.μ. ly ~ Nμ,. Η τ.μ. Υ θα έχει.κ. F LN t P Y t P t P lt μ P lt μ lt μ Φ, t 0 και.π.π. f l t μ d lt μ lt μ d lt μ LN t Φ Φ dt dt t π, t 0 3

33 t 0.5.5 f t 4 6 8 0.05 0. 0.5 0. 0.5 0.3 LNμ, Αν Υ ~ LNμ, τότε μ μ μ μ μ r r r r rζ r r r r r Y /, r,, από όπου άμεα προκύπτει ότι μ T,, μ μ μ μ T T T V T.