Μελέτες στη ϑεωρία χορδών και εφαρµογές της µη-αβελιανής Τ-δυϊκότητας σε υπερβαρύτητα και στην αντιστοιχία AdS/CFT

Transcript

1 ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Μελέτες στη ϑεωρία χορδών και εφαρµογές της µη-αβελιανής Τ-δυϊκότητας σε υπερβαρύτητα και στην αντιστοιχία AdS/CFT ιδακτορική ιατριβή Γεώργιος Κ. Ιτσιος Ιούλιος 014

2 i

3 ii ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Μελέτες στη ϑεωρία χορδών και εφαρµογές της µη-αβελιανής Τ-δυϊκότητας σε υπερβαρύτητα και στην αντιστοιχία AdS/CFT ιδακτορική ιατριβή Γεώργιος Κ. Ιτσιος Η παρούσα έρευνα έχει συγχρηµατοδοτηθεί από την Ευρωπαϊκή Ενωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταµείο) και από εθνικούς πόρους µέσω του Επιχειρησιακού Προγράµµατος Εκπαίδευση και ια Βίου Μάθηση του Εθνικού Στρατηγικού Πλαισίου ΑναφοράςΕρευνητικό Χρηµατοδοτούµενο Εργο : Ηράκλειτος ΙΙ. Επένδυση στην κοινωνία της γνώσης µέσω του Ευρωπαϊκού Κοινωνικού Ταµείου.

4 iii

5 iv Στην οικογένειά µου για τη στήριξη και την υποµονή τους.

6 Ευχαριστίες Αρχικά ϑα ήθελα να ευχαριστήσω τον Καθηγητή Κωνσταντίνο Σφέτσο για την καθοδήγηση και υποστήριξη του σε όλη τη διάρκεια εκπόνησης της παρούσας διδακτορικής διατριβής. Η υποστήριξή του, τόσο σε επιστηµονικό επίπεδο όσο και σε προσωπικό, υ- πήρξε καθοριστική στο να ϕέρω εις πέρας την προσπάθεια αυτή. Επίσης, ϑα ήθελα να ευχαριστήσω τους Καθηγητές Βασίλειο Παπαγεωργίου και ηµήτριο Τσουµπελή για την πολύτιµη ϐοήθεια που µου παρείχαν στην ολοκλήρωση της διατριβής. Επιπλέον, ευχαριστώ τους µεταδιδακτορικούς ερευνητές ηµήτριο Ζωάκο, Κωνσταντίνο Σιάµπο και Νίκο Καραΐσκο για τη συνεργασία και την άµεση ανταπόκριση τους σε ϑέµατα ϕυσικής, καθώς επίσης και την Αναπληρώτρια Καθηγήτρια της Πολυτεχνικής Σχολής του Α.Π.Θ. Θεοδώρα Ιωαννίδου για την παρότρυνσή της. Είµαι ευγνώµων στην Επιτροπή Ερευνών του Πανεπιστηµίου Πατρών για την οικονο- µική ενίσχυση που µου παρείχε µέσω του προγράµµατος Ηράκλειτος ΙΙ. Οφείλω επίσης να ευχαριστήσω το Κέντρο Φυσικής του πανεπιστηµίου του Πόρτο για τη ϕιλοξενία που µου προσέφερε το πρώτο τρίµηνο του έτους 01. Τέλος, ϑα ήθελα να ευχαριστήσω ϑερµά τους γονείς µου και τον αδερφό µου για τη συνεχή στήριξη που µου παρείχαν όλα αυτά τα χρόνια, καθώς και τον ξάδερφό µου Γιώργο που ήταν δίπλα µου σε κάθε στιγµή. Πάτρα, Ιούλιος 014

7 Περιεχόµενα I Εισαγωγικές έννοιες 1 1 Βασικές έννοιες διαφορικής γεωµετρίας 1.1 Πολυδιάστατοι χώροι και µετρική ιαφορικές µορφές Συναλλοίωτη παράγωγος Καµπυλότητα Παράγωγος Lie και ισοµετρία Πολυδιάστατες σφαίρες II Μη-Αβελιανή Τ-δυϊκότητα και εφαρµογές 14 Εισαγωγή στην µη-αβελιανή Τ-δυϊκότητα 15.1 Κανόνες Buscher Μετασχηµατισµοί των πεδίων στην µη-αβελιανή Τ-δυϊκότητα Μετασχηµατισµός των πεδίων Neveu-Schwarz Μετασχηµατισµός των πεδίων Ramond-Ramond Θεωρίες µε ισοµετρία SU() Επιλογές ϐαθµίδας Μη-Αβελιανή Τ-δυϊκότητα και συµβατές διαστατικές ελαττώσεις στην υπερ- ϐαρύτητα τύπου II Συµβατή διαστατική ελάττωση Kaluza-Klein ιαστατική ελάττωση Kaluza-Klein κατά µήκος της σφαίρας S Μη-Αβελιανή Τ-δυϊκότητα και διαστατική ελάττωση Kaluza-Klein ιαστατική ελάττωση της δράσης Υπερσυµµετρία Μη-Αβελιανή Τ-δυϊκότητα σε υπόβαθρα τύπου massive IIA Παραδείγµατα Το επίπεδο κύµα Υπόβαθρα τύπου IIB µε ισοµετρία SO(4) SO(4) R Λύσεις µε συµµετρία Lifshitz N = 1 υπερσυµµετρικά υπόβαθρα από µη-αβελιανή Τ-δυϊκότητα και η αντιστοιχία AdS/CFT Μη-Αβελιανή Τ-δυϊκότητα στο υπόβαθρο Klebanov-Witten Σύντοµη ανασκόπηση του υποβάθρου Klebanov-Witten Ο µετασχηµατισµός των σπινόρων Killing Ο τοµέας NS του δυϊκού υποβάθρου και ο µετασχηµατισµός Lorentz Τα δυϊκά πεδία του τοµέα RR

8 4.1.5 Ανύψωση της δυϊκής ϑεωρίας στις έντεκα διαστάσεις Σχόλια πάνω στην ϑεωρία πεδίου Μη-Αβελιανή Τ-δυϊκότητα στο υπόβαθρο Klebanov-Tseytlin Το Τ-δυϊκό υπόβαθρο Επιπλέον υπολογισµοί στην δυϊκή γεωµετρία Φορτία Maxwell και Page υϊκότητα Seiberg Μη-Αβελιανή Τ-δυϊκότητα σε υπόβαθρα µε οµαλές γεωµετρίες Μη-Αβελιανή Τ-δυϊκότητα σε λύσεις που προέρχονται από περιτυλιγ- µένες D5-ϐράνες Μη-Αβελιανή Τ-δυϊκότητα στο υπόβαθρο Klebanov-Strassler Μη-Αβελιανή Τ-δυϊκότητα στον ϐαρυονικό κλάδο της λύσης KS Ανάλυση των δυϊκών ϑεωριών πεδίου Γεωµετρικοί κύκλοι Domain walls Ο ϐρόχος t Hooft και η σταθερά σύζευξης Το κεντρικό ϕορτίο και η εντροπία διεµπλοκής Βρόγχοι Wilson vii III Αλλες εφαρµογές της ϑεωρίας χορδών 87 5 Φερµιονικές προσµείξεις στην ϑεωρία ABJM µε µεγάλο αριθµό γεύσεων Σύντοµη περιγραφή της ϑεωρίας ABJM µε µεγάλο αριθµό γεύσεων Η Χαµιλτονιανή πυκνότητα των D6-ϐρανών Σήραγγες ϱοής ιακυµάνσεις των προσµείξεων ιακύµανση της Καρτεσιανής συντεταγµένης Συζευγµένες διακυµάνσεις IV Παραρτήµατα 101 A Καθορισµός των ϐαθµών ελευθερίας 10 B Συµβάσεις σχετικά µε την οµάδα SU() 104 C Ο µετασχηµατισµός των πεδίων RR στην περίπτωση της Τ-δυϊκότητας SU()108 D Επισκόπηση των ϑεωριών υπερβαρύτητας τύπου II 111 D.1 Υπερβαρύτητα τύπου massive IIA D. Υπερβαρύτητα τύπου IIB D.3 Υπερσυµµετρία E ιαστατικές ελαττώσεις Kaluza-Klein 115 E.1 ιαστατική ελάττωση της ϑεωρίας τύπου IIB κατά µήκος της σφαίρας S E. ιαστατική ελάττωση των δυϊκών λύσεων τύπου massive IIA E.3 ιαστατική ελάττωση της ϑεωρίας τύπου massive IIA κατά µήκος της σφαίρας S

9 F Υπερσυµµετρία του δυϊκού υποβάθρου της λύσης Klebanov-Witten 10 G ιαταρακτική ανάλυση 1 H Λύση της διαφορικής εξίσωσης της ακτινικής συνάρτησης R(r) 17 I Η Λαπλασιανή του χώρου M 5 18 I.1 Λύσεις της µορφής f = Ω(θ, φ, ψ) I. Λύσεις της µορφής f = Ω(θ 1, φ 1 ) Βιβλιογραφία 131 viii

10 Πρόλογος Μια από τις µεγαλύτερες προκλήσεις της Θεωρητικής Φυσικής είναι η εύρεση µιας ενοποιηµένης ϑεωρίας που ϑα περιγράφει τις τέσσερις ϑεµελιώδεις αλληλεπιδράσεις της ϕύσης. Οι τρεις µη-ϐαρυτικές αλληλεπιδράσεις (ηλεκτροµαγνητική, ασθενής και ισχυρή πυρηνική) περιγράφονται επιτυχώς στα πλαίσια του Καθιερωµένου Προτύπου (Standard Model). Η ϐαρυτική αλληλεπίδραση δεν περιλαµβάνεται στην περιγραφή αυτή καθώς δεν είναι επανακανονικοποιήσιµη. Ωστόσο, το πρόβληµα αυτό ϐρίσκει λύση στη ϑεωρία χορδών σύµφωνα µε την οποία τα ϑεµελιώδη συστατικά της ϕύσης δεν έχουν σωµατιδιακό χαρακτήρα αλλά είναι εκτεταµένα αντικείµενα τα οποία αποκαλούνται χορδές. Πιο συγκεκριµένα, η ϑεωρία χορδών εφοδιασµένη µε την έννοια της υπερσυµµετρίας, η οποία είναι µια συµµετρία µεταξύ ϕερµιονίων και µποζονίων, έχει προταθεί ως µια ενοποιηµένη ϑεωρία όλων των ϑεµελιωδών αλληλεπιδράσεων συµπεριλαµβανοµένης και της ϐαρυτικής. Μια έννοια µε ιδιαίτερα σηµαντικό ϱόλο στη ϑεωρία χορδών είναι αυτή της δυϊκότητας. Με τον όρο δυϊκότητα εννοούµε την ύπαρξη δυο διαφορετικών ϑεωρητικών πλαισίων που περιγράφουν την ίδια ϕυσική. Επίσης είναι γνωστό ότι υπάρχουν πέντε κατηγορίες ϑεω- ϱιών υπερχορδών, συγκεκριµένα οι : τύπου I, τύπου IIA, τύπου IIB, η ετεροτική SO(3) και η ετεροτική E 8. Οι κατηγορίες αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε µετασχηµατισµούς S-δυϊκότητας και T-δυϊκότητας. Η S-δυϊκότητα συνδέει µια ισχυρώς συζευγµένη ϑεωρία µε µια ασθενώς συζευγµένη ϑεωρία. υο γνωστές περιπτώσεις ϑεωριών που σχετίζονται µέσω της S-δυϊκότητας είναι η αντιστοιχία µεταξύ ϑεωριών υπερχορδών τύπου I και ετε- ϱοτικών ϑεωριών SO(3) καθώς και η αντιστοιχία ϑεωριών τύπου IIB µε τον εαυτό τους. Από την άλλη η T-δυϊκότητα συνδέει τις ϑεωρίες τύπου IIA µε τις ϑεωρίες τύπου IIB. Στην πραγµατικότητα η T-δυϊκότητα συσχετίζει δυο ϑεωρίες χορδών µε διαφορετικούς χωρόχρονους οι οποίοι περιέχουν Αβελιανές ισοµετρίες. Η απεικόνιση µεταξύ αυτών των δυο ϑεωριών δίνεται από τους κανόνες του Buscher [1]. Οι κανόνες αυτοί µπορούν να γενικευθούν συµπεριλαµβάνοντας την περίπτωση όπου ο µετασχηµατισµός της T-δυϊκότητας πραγµατοποιείται ως προς µια µη-αβελιανή οµάδα ισοµετρίας του χωρόχρονου [ 6]. Η περίπτωση αυτή αναφέρεται συχνά στη ϐιβλιογραφία ως µη-αβελιανή Τ-δυϊκότητα. Πρόσφατα η χρήση της µη-αβελιανής Τ-δυϊκότητας επεκτάθηκε σε υπόβαθρα υπερβαρύτητας τα οποία περιέχουν πεδία Ramond-Ramond [7]. Αυτό µας επιτρέπει να δούµε τη µη- Αβελιανή Τ-δυϊκότητα σαν µια τεχνική κατασκευής υποβάθρων υπερβαρύτητας. Ενα άλλο σηµαντικό παράδειγµα δυϊκότητας είναι η αντιστοιχία AdS/CFT [8], η οποία συχνά αναφέρεται ως αντιστοιχία ϐαθµίδας/βαρύτητας ή αλλιώς ολογραφική δυϊκότητα. Η αντιστοιχία αυτή συσχετίζει ϑεωρίες υπερβαρύτητας, οι οποίες είναι το όριο χαµηλών ε- νεργειών της ϑεωρίας χορδών, µε ισχυρώς συζευγµένα συστήµατα τα οποία περιγράφονται από κάποια ϑεωρία ϐαθµίδας. Η ισχύς της αντιστοιχίας AdS/CFT έγκειται στο γεγονός ότι µας παρέχει ένα εργαλείο µε το οποίο µπορούµε να εξάγουµε χρήσιµες πληροφορίες για µια ισχυρώς συζευγµένη ϑεωρία ϐαθµίδας κάνοντας υπολογισµούς στην δυϊκή ϑεωρία υπερβαρύτητας. Στην αρχική της διατύπωση η αντιστοιχία AdS/CFT συσχέτιζε µια ϑεω- ϱία υπερβαρύτητας τύπου IIB, ορισµένη στον χώρο AdS 5 S 5, µε µια υπερσυµµετρική

11 Yang-Mills ϑεωρία στις τέσσερις διαστάσεις, ορισµένη στο σύνορο του χώρου AdS 5. Η αντιστοιχία αυτή έχει µελετηθεί εκτενώς από τη στιγµή της διατύπωσής της ως σήµερα και έχουν ϐρεθεί διάφορες επεκτάσεις και εφαρµογές σε διάφορα ϕυσικά συστήµατα, όπως σε συστήµατα συµπυκνωµένης ύλης [9], στο πλάσµα κουάρκ-γλουονίων [10] καθώς και σε συστήµατα ϱευστοδυναµικής [11]. Το αντικείµενο της παρούσας διδακτορικής διατριβής είναι η µελέτη εφαρµογών που σχετίζονται µε τη µη-αβελιανή Τ-δυϊκότητα και τη δυϊκότητα ϐαθµίδας/βαρύτητας. Προϊόν της µελέτης αυτής είναι οι δηµοσιεύσεις 1 [1 15]. Το παρόν κείµενο οργανώνεται µε τον εξής τρόπο : Στο πρώτο µέρος, το οποίο αντιστοιχεί στο πρώτο κεφάλαιο της διατριβής, ϑα παρουσιάσουµε µε σύντοµο τρόπο ϐασικές έννοιες της διαφορικής γεωµετρίας οι οποίες είναι απαραίτητες για την κατανόηση των κεφαλαίων που ακολουθούν. Στο δεύτερο µέρος ϑα ασχοληθούµε περισσότερο µε την τεχνική της µη-αβελιανής Τ-δυϊκότητας. Συγκεκριµένα στο δεύτερο κεφάλαιο, αρχικά ϑα παρουσιάσουµε τους κανόνες Buscher για την περίπτωση της Αβελιανής Τ-δυϊκότητας και στη συνέχεια ϑα γενικεύσουµε τους κανόνες αυτούς συµπεριλαµβάνοντας την περίπτωση που η δράση του µετασχηµατισµού της Τ-δυϊκότητας γίνεται ως προς µια µη-αβελιανή οµάδα ισοµετρίας. Επίσης, ϑα δούµε πως µετασχηµατίζονται τα πεδία Ramond-Ramond κάτω από τη δράση της µη-αβελιανής Τ-δυϊκότητας, ενώ στο τέλος του κεφαλαίου ϑα επικεντρωθούµε στην ειδική περίπτωση όπου ο µετασχηµατισµός γίνεται ως προς την οµάδα ισοµετρίας SU(). Στο τρίτο κεφάλαιο, το οποίο ϐασίζεται στην εργασία [1], ϑα εξετάσουµε τη δράση της µη-αβελιανής Τ-δυϊκότητας σε µια γενική κατηγορία υποβάθρων της υπερβαρύτητας τύπου II µε συµµετρία SO(4). Εκεί ϑα δούµε ότι η µη-αβελιανή Τ-δυϊκότητα ως προς την οµάδα ισοµετρίας SU() µπορεί να περιγραφεί µέσω µιας συµβατής διαστατικής ελάττωσης σε µια επταδιάστατη ϑεωρία. Αυτό σηµαίνει ότι οι λύσεις αυτής της επταδιάστατης ϑεωρίας µπορούν να ανυψωθούν σε λύσεις της υπερβαρύτητας massive IIA αλλά και σε λύσεις της υπερβαρύτητας IIB. Επίσης, στην περίπτωση υπερσυµµετρικών υποβάθρων ϑα δούµε ότι η δράση της µη Αβελιανής Τ-δυϊκότητας έχει ως αποτέλεσµα το δυϊκό υπόβαθρο να διατηρεί τη µισή υπερσυµµετρία σε σχέση µε το αρχικό. Στο τέλος του κεφαλαίου αυτού ϑα παρουσιάσουµε τη δράση του µετασχηµατισµού σε µια σειρά από γνωστά υπερσυµµετρικά υπόβαθρα υπερβαρύτητας. Το τέταρτο κεφάλαιο, το οποίο είναι το τελευταίο κεφάλαιο του πρώτου µέρους, ϐασίζεται στις εργασίες [13, 14]. Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ϑεωρήσουµε τη δράση της µη-αβελιανής Τ-δυϊκότητας σε µια σειρά από υπόβαθρα υπερβαρύτητας µε υπερσυµµετρία N = 1. Οι δυϊκές ϑεωρίες πεδίου που αντιστοιχούν στα υπόβαθρα αυτά έχουν µελετηθεί εκτενώς στα πλαίσια της αντιστοιχίας AdS/CFT. Σκοπός του κεφαλαίου αυτού είναι να µελετήσουµε διάφορες ποσότητες των δυϊκών ϑεωριών πεδίου που αντιστοιχούν στα νέα υπόβαθρα που προκύπτουν από τη δράση της µη-αβελιανής Τ-δυϊκότητας. Η διαδικασία αυτή µας επιτρέπει να µελετήσουµε τον µετασχηµατισµό της µη-αβελιανής Τ-δυϊκότητας στα πλαίσια της αντιστοιχίας AdS/CFT. Στο δεύτερο µέρος της διατριβής, που αντιστοιχεί στο πέµπτο κεφάλαιο, συνοψίζονται τα αποτελέσµατα της εργασίας [14]. Το κεφάλαιο αυτό δεν αναφέρεται καθόλου στην έννοια της µη-αβελιανής δυϊκότητας ενώ σχετίζεται περισσότερο µε την έννοια της ολογρα- ϕικής δυϊκότητας. Συγκεκριµένα, το αντικείµενο του κεφαλαίου αυτού είναι η µελέτη της εισαγωγής εντοπισµένων ϕερµιονικών προσµίξεων σε τριδιάστατες ϑεωρίες Chern-Simons µε µεγάλο αριθµό γεύσεων. Για τον σκοπό αυτό ϑα χρησιµοποιήσουµε µεθόδους που εν- 1 Κατά τη διάρκεια εκπόνησης της διατριβής δηµοσιεύθηκαν δυο επιπλέον εργασίες [16, 17]. x

12 τάσσονται στα πλαίσια της ολογραφικής δυϊκότητας. Τέλος, για περισσότερη διευκόλυνση κατά την ανάγνωση της διατριβής, παρουσιάζουµε µια σειρά από παραρτήµατα. xi

13 Μέρος I Εισαγωγικές έννοιες

14 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1 Βασικές έννοιες διαφορικής γεωµετρίας Το εισαγωγικό αυτό κεφάλαιο έχει ως σκοπό να διευκολύνει την ανάγνωση της πα- ϱούσας διατριβής περιγράφοντας µε σύντοµο τρόπο ϐασικές µαθηµατικές έννοιες που συναντώνται στα επόµενα κεφάλαια. Το αντικείµενο του κεφαλαίου αυτού είναι η γεωµετρία πολυδιάστατων χώρων. Συγκεκριµένα ϑα περιγράψουµε ϐασικές γεωµετρικές έννοιες που αφορούν χωρόχρονους D διαστάσεων όπως η µετρική, οι διαφορικές µορφές, η συναλλοίωτη παράγωγος, η καµπυλότητα, η παράγωγος Lie και η ισοµετρία. Στο τέλος του κεφαλαίου ϑα παρουσιάσουµε κάποια χαρακτηριστικά από τις γεωµετρίες πολυδιάστατων σφαιρών. 1.1 Πολυδιάστατοι χώροι και µετρική Ενας χωρόχρονος, M, διάστασης D είναι µια πολλαπλότητα 1 η οποία περιγράφεται από ένα σύνολο D συντεταγµένων x µ, όπου ο δείκτης µ παίρνει τις τιµές µ = 0,..., D 1 και η συντεταγµένη x 0 t εκφράζει τον χρόνο. Ο χωρόχρονος είναι εφοδιασµένος µε την έννοια της µετρικής g µν (x), της οποίας τα στοιχεία εξαρτώνται εν γένει από τις συντεταγµένες x µ. Η µετρική µας επιτρέπει να ορίσουµε την απόσταση µεταξύ δυο γειτονικών σηµείων του χωρόχρονου, των οποίων οι συντεταγµένες διαφέρουν κατά dx µ : ds = g µν (x)dx µ dx ν. (1.1) Η ποσότητα αυτή ονοµάζεται γραµµικό στοιχείο και είναι ανεξάρτητη από το σύστηµα συντεταγµένων. Αυτό σηµαίνει ότι η µετρική g µν (x) µετασχηµατίζεται σαν ένας συναλλοίωτος τανυστής δεύτερης τάξης 3 κάτω από µια αλλαγή του συστήµατος συντεταγµένων 1 ηλαδή ένας τοπολογικός χώρος, ο οποίος στην περιοχή ενός σηµείου µοιάζει µε τον χώρο Minkowski R 1,D 1. Από εδώ και στο εξής ϑα χρησιµοποιούµε την σύµβαση άθροισης Einstein. Ετσι η εµφάνιση δυο ίδιων δεικτών σε έναν όρο ϑα σηµαίνει άθροιση των δεικτών αυτών ως προς όλες τις τιµές τους. Επίσης όπου κρίνεται απαραίτητο ϑα χρησιµοποιούµε το σύµβολο άθροισης. 3 Ενας τανυστής µε p άνω δείκτες ονοµάζεται ανταλλοίωτος τανυστής p-τάξης ή τανυστής τύπου (p, 0). Οµοίως, ένας τανυστής µε p κάτω δείκτες ονοµάζεται συναλλοίωτος τανυστής p-τάξης ή τανυστής τύπου (0, p). Τανυστές µε p άνω δείκτες και q κάτω δείκτες ονοµάζονται µεικτοί τανυστές ή τανυστές τύπου (p, q). Κάτω από µια αλλαγή του συστήµατος συντεταγµένων x µ x µ (x), ένας τανυστής τύπου (p, q) µετασχηµατίζεται µε τον εξής τρόπο : ( x µ 1 A µ1...µp ν 1...ν q A µ1...µp ν 1...ν q = x ρ1 )(... x µp x σ1 ) x ρp x... xσq A ρ1...ρp ν1 x νq σ 1...σ q.

15 1.1 Πολυδιάστατοι χώροι και µετρική 3 x µ x µ (x). Πιο συγκεκριµένα : g µν g µν = xρ x µ x σ x ν g ρσ. (1.) Επίσης το γραµµικό στοιχείο (1.1) παραµένει αναλλοίωτο κάτω από την εναλλαγή των δεικτών µ ν και εποµένως η µετρική είναι ένας συµµετρικός τανυστής. Ενας άλλος τρόπος να εκφράσουµε το γραµµικό στοιχείο είναι να επιλέξουµε µια κατάλληλη ορθογώνια ϐάση e a, όπου a = 0,..., D 1. Η ϐάση αυτή σχετίζεται µε τη ϕυσική ϐάση dx µ µέσω της σχέσης : e a = e a µdx µ. (1.3) Οι ποσότητες e a µ ορίζουν τον πίνακα που συνδέει τα στοιχεία dxµ µε τα στοιχεία της ορθογώνιας ϐάσης e a. Το γραµµικό στοιχείο µπορεί να γραφεί ως προς την ορθογώνια ϐάση µε τον παρακάτω τρόπο : ds = η ab e a e b = η ab e a µe b ν dx µ dx ν, (1.4) όπου µε η ab συµβολίζουµε τη µετρική που αντιστοιχεί στην ϐάση αυτή. Τα µη-µηδενικά στοιχεία της µετρικής αυτής παίρνουν τις τιµές ±1 και ανήκουν στη διαγώνιό της. Επίσης ϑα συµβολίζουµε µε η ab τα στοιχεία της αντίστροφης µετρικής. Στα παραδείγµατα µε τα οποία ϑα ασχοληθούµε, τα στοιχεία της µετρικής η ab παίρνουν την τιµή +1 εκτός από το στοιχείο η 00 το οποίο παίρνει την τιµή 1. ηλαδή : η ab = η ab =..... (1.5) Συγκρίνοντας τις σχέσεις (1.1) και (1.4) εύκολα ϐλέπουµε ότι µπορούµε να εκφράσουµε την µετρική g µν ως προς τα στοιχεία του πίνακα e a µ : g µν = η ab e a µ e b ν. (1.6) Τα στοιχεία της αντίστροφης µετρικής ϑα τα συµβολίζουµε µε άνω δείκτες, δηλαδή µε g µν. Ακόµη, από την σχέση (1.4) ϐλέπουµε ότι ο πίνακας e a µ µετασχηµατίζεται όπως ένα διάνυσµα κάτω από έναν µετασχηµατισµό συντεταγµένων x µ x µ (x). ηλαδή : e a µ e a µ = xν x µ ea ν. (1.7) Μπορούµε επίσης πολύ εύκολα να δούµε πως µετασχηµατίζονται τα στοιχεία του πίνακα e a µ κάτω από ορθογώνιους µετασχηµατισµούς SO(1, D 1). Για να το δούµε αυτό ϑα ϑεωρήσουµε έναν πίνακα Λ(x) ο οποίος εν γένει εξαρτάται από τις συντεταγµένες του χωρόχρονου και ανήκει στην οµάδα SO(1, D 1). Ο πίνακας αυτός ορίζει έναν µετασχη- µατισµό Lorentz και ικανοποιεί την σχέση : Λ c a(x) Λ d b(x) η cd = η ab. (1.8)

16 1. ιαφορικές µορφές 4 Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1.4) και (1.8) παρατηρούµε ότι τα στοιχεία του πίνακα e a µ µετασχηµατίζονται σύµφωνα µε την σχέση : e a µ e a µ = Λ a b e b µ. (1.9) Βλέπουµε λοιπόν ότι υπάρχει ελευθερία στην επιλογή της ϐάσης e a, αφού δυο ϐάσεις οι οποίες συνδέονται µεταξύ τους µε έναν µετασχηµατισµό Lorentz αντιστοιχούν στο ίδιο γραµµικό στοιχείο. Τέλος, σε κάποιες περιπτώσεις ο χωρόχρονος M µπορεί να αποτελείται από έναν αριθ- µό υποπολλαπλοτήτων M i οι συντεταγµένες των οποίων δεν αναµειγνύονται µεταξύ τους. ηλαδή η µετρική µιας υποπολλαπλότητας M i δεν εξαρτάται από τις συντεταγµένες µιας άλλης υποπολλαπλότητας. Ετσι αν ο χωρόχρονος αποτελείται από n υποπολλαπλότητες τότε γράφουµε : M = M 1... M n. (1.10) Επίσης η διάσταση του χωρόχρονου M ισούται µε το άθροισµα των διαστάσεων των υποπολλαπλοτήτων M i, δηλαδή : dim(m) = dim(m 1 ) dim(m n ). (1.11) Στην περίπτωση αυτή το γραµµικό στοιχείο του χωρόχρονου M δίνεται από το άθροισµα των γραµµικών στοιχείων των υποπολλαπλοτήτων. Συγκεκριµένα : ds (M) = ds (M 1 ) ds (M n ) (1.1) Παράδειγµα Ως παράδειγµα αναφέρουµε την δεκαδιάστατη γεωµετρία της λύσης υπερβαρύτητας AdS 5 S 5, ο χωρόχρονος της οποίας περιλαµβάνει την γεωµετρία του πενταδιάστατου χώρου Anti-de Sitter (AdS 5 ) καθώς και την γεωµετρία µιας πενταδιάστατης σφαίρας (S 5 ). Το γραµµικό στοιχείο του δεκαδιάστατου χώρου δίνεται από το άθροισµα των γραµµικών στοιχείων των δυο υποχώρων που τον αποτελούν. Συγκεκριµένα : ds = r L ( dt + dx 1 + dx + dx 3) + L dr r + L dω 5, (1.13) όπου µε dω 5 συµβολίζουµε το γραµµικό στοιχείο της πενταδιάστατης σφαίρας ενώ το υπόλοιπο αντιστοιχεί στον χώρο AdS ιαφορικές µορφές Μια p-µορφή ή διαφορική µορφή τάξης p σε έναν χώρο διάστασης D, είναι ένας συναλλοίωτος τανυστής τάξης p οι συνιστώσες του οποίου είναι αντισυµµετρικές ως προς την εναλλαγή δυο οποιωνδήποτε δεικτών. Το σύνολο των p-µορφών σε µια πολλαπλότητα M αποτελεί έναν διανυσµατικό χώρο τον οποίο συµβολίζουµε µε Λ p (M) και του οποίου η ϐάση κατασκευάζεται από το αντισυµµετρικό τανυστικό γινόµενο :

17 1. ιαφορικές µορφές 5 dx µ 1... dx µp = P S p sgn(p ) dx µ P (1) dx µ P ()... dx µ P (p). (1.14) Η σχέση αυτή ορίζει το γινόµενο wedge ( ) της ϐάσης των 1-µορφών dx µ i, i = 1,..., p. Στην έκφραση αυτή συµβολίζουµε µε P µια µετάθεση των µ 1,..., µ p ενώ sgn(p ) = +1 για άρτιες µεταθέσεις και sgn(p ) = 1 για περιττές µεταθέσεις. Ετσι µια p-µορφή A p µπορεί να γραφεί ως : A p = 1 p! A µ 1...µ p dx µ 1... dx µp, (1.15) όπου A µ1...µ p είναι οι συνιστώσες της p-µορφής A p. Επίσης παρατηρούµε ότι, λόγω της αντισυµµετρικότητας της ϐάσης (1.14), δεν µπο- ϱούν να υπάρξουν διαφορικές µορφές των οποίων η τάξη είναι µεγαλύτερη της διάστασης της πολλαπλότητας. Το γινόµενο wedge ή εξωτερικό γινόµενο µεταξύ µιας p-µορφής A p και µιας q-µορφής B q δίνει ως αποτέλεσµα µια (p + q)-µορφή µε συνιστώσες : ( Ap B q )µ 1...µ p+q = 1 p!q! A [µ 1...µ p B µp+1...µ p+q ], (1.16) όπου οι αγκύλες παριστάνουν την ολική αντισυµµετροποίηση των δεικτών µ 1,..., µ p+q. Αξίζει να σηµειώσουµε ότι το γινόµενο wedge ικανοποιεί την παρακάτω σχέση µετάθεσης : A p B q = ( 1) pq B q A p. (1.17) Ιδιαίτερα σηµαντική είναι η έννοια της εξωτερικής παραγώγου µιας διαφορικής µορ- ϕής. Η εξωτερική παράγωγος d απεικονίζει µια p-µορφή σε µια (p + 1)-µορφή και ορίζεται από τη σχέση : da p = 1 ( ) p! x A ν µ 1...µ p dx ν dx µ 1... dx µp. (1.18) Από την τελευταία σχέση εύκολα µπορούµε να διαπιστώσουµε ότι d(da p ) = d A p = 0. Μια άλλη χρήσιµη ιδιότητα της εξωτερικής παραγώγου είναι η εξής : d(a p B q ) = da p B q + ( 1) p A p db q. (1.19) Οπως αναφέραµε προηγουµένως, το γινόµενο wedge της σχέσης (1.14) αποτελεί την ϐάση του διανυσµατικού χώρου Λ p (M). Εάν η διάσταση της πολλαπλότητας M είναι D τότε η διάσταση του διανυσµατικού χώρου των p-µορφών είναι ίση µε : ) ) ( D p = ( D D p = D! p!(d p)!. (1.0) Βλέπουµε λοιπόν οι διανυσµατικοί χώροι Λ p (M) και Λ D p (M) έχουν την ίδια διάσταση. Στην πραγµατικότητα ένα στοιχείο του χώρου Λ p (M) µπορεί να απεικονισθεί σε ένα στοιχείο του χώρου Λ D p (M) µέσω της δυϊκότητας Hodge. Ετσι αν A p είναι µια p-µορφή τότε η δυϊκή (D p)-µορφή ορίζεται από την σχέση : ( A) µp+1...µ D = 1 p! g ɛµ1...µ D A µ 1...µ p. (1.1)

18 1.3 Συναλλοίωτη παράγωγος 6 Στην τελευταία έκφραση µε g συµβολίζουµε την ορίζουσα του µετρικού τανυστή g µν της πολλαπλότητας M και µε ɛ µ1...µ D το σύµβολο Levi-Civita σε D διαστάσεις. Θα κλείσουµε την παράγραφο αυτή ορίζοντας το στοιχείο όγκου µιας D-διάστατης πολλαπλότητας M. Συγκεκριµένα σε µια πολλαπλότητα D-διαστάσεων εφοδιασµένη µε µια µετρική g το στοιχείο όγκου είναι µια D-µορφή η οποία παραµένει αναλλοίωτη κάτω από µετασχηµατισµούς συντεταγµένων και η οποία ορίζεται από την σχέση : ω M = g dx 1... dx D g d D x. (1.) Η έκφραση αυτή αναφέρεται στο σύστηµα συντεταγµένων x µ, µ = 1,..., D. Επίσης µπορούµε πολύ εύκολα να εκφράσουµε το στοιχείο όγκου ως προς την ορθογώνια ϐάση : ω M = e 1... e D. (1.3) 1.3 Συναλλοίωτη παράγωγος Στο σηµείο αυτό ϑα ορίσουµε έναν κανόνα διαφόρισης για τανυστές τύπου (p, q). Ο κανόνας αυτός ονοµάζεται συναλλοίωτη παραγώγιση. Η δράση της συναλλοίωτης παραγώγου σε έναν τανυστή τύπου (p, q) δίνει ως αποτέλεσµα έναν νέο τανυστή τύπου (p, q +1). Συγκεκριµένα, αν ϑεωρήσουµε έναν τανυστή A µε συνιστώσες A µ 1...µ p ν1...ν q, τότε η δράση της συναλλοίωτης παραγώγου στον τανυστή αυτόν ορίζεται µε τον ακόλουθο τρόπο : ρ A µ 1...µ p ν1...ν q = ρ A µ 1...µ p ν1...ν q + p i=1 q i=1 Γ µ i ρσ A µ 1...σ...µ p ν 1...ν q. Γ σ ρν i A µ 1...µ p ν1...σ...ν q (1.4) Οι δυο όροι που περιέχουν τους συντελεστές Γ συµπληρώνουν τον όρο της µερικής παραγώγου κατά τέτοιον τρόπο ώστε η ποσότητα ρ A µ 1...µ p ν1...ν q να είναι ένας τανυστής τύπου (p, q + 1). Σε µια πολλαπλότητα διάστασης D υπάρχουν D 3 συναρτήσεις Γ ρ µν. Οι συναρτήσεις αυτές ονοµάζονται συντελεστές σύνδεσης και κάτω από µια αλλαγή του συστήµατος συντεταγµένων x µ x µ (x) µετασχηµατίζονται σύµφωνα µε την ακόλουθη σχέση : Γ ρ µν Γ ρ µν = xκ x λ x ρ x µ x ν x σ Γσ κλ + x σ x ρ. x µ x ν (1.5) x σ Από την τελευταία σχέση ϐλέπουµε ότι τα Γ ρ µν δεν µετασχηµατίζονται σαν τανυστές. Αυτό οφείλεται στην εµφάνιση του τελευταίου όρου στην σχέση (1.5). Στην πραγµατικότητα ο όρος αυτός είναι απαραίτητος προκειµένου η συναλλοίωτη παράγωγος ρ A µ 1...µ p ν1...ν q να µετασχηµατίζεται σαν τανυστής τύπου (p, q + 1). Η µορφή των Γ ρ µν προκύπτει από την απαίτηση : ρ g µν = ρ g µν Γ σ ρµ g σν Γ σ ρν g µσ = 0. (1.6) Η απαίτηση αυτή µας οδηγεί στην παρακάτω έκφραση για τους συντελεστές σύνδεσης : { } ρ Γ ρ µν = + 1 ( ) Tµ ρ ν + Tν ρ µ + T ρ µν, (1.7) µν

19 1.3 Συναλλοίωτη παράγωγος 7 { } ρ όπου µε συµβολίζουµε τα σύµβολα Christoffel τα οποία ορίζονται παρακάτω : µν { } ρ = 1 µν gρσ( ) µ g νσ + ν g µσ σ g µν. (1.8) Επιπλέον µε T ρ µν συµβολίζουµε τον τανυστή στρέψης ο οποίος δίνεται από την σχέση : T ρ µν = Γ ρ µν Γ ρ νµ. (1.9) Σε όλα τα παραδείγµατα που ϑα µελετήσουµε στην παρούσα διδακτορική διατριβή ϑα ϑεωρούµε ότι ο τανυστής στρέψης είναι µηδέν. Εποµένως οι συντελεστές σύνδεσης ϑα ταυτίζονται µε τα σύµβολα Christoffel. Προηγουµένως είδαµε µε ποιον τρόπο µπορούµε να εκφράσουµε το γραµµικό στοιχείο ως προς µια ορθογώνια ϐάση. Για τον λόγο αυτόν χρησιµοποιήσαµε τον πίνακα e a µ. Επιπλέον µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τον πίνακα αυτόν για να εκφράσουµε τις συνιστώσες οποιουδήποτε τανυστή ως προς τη ϐάση e a. Ετσι αν µας δοθεί ένας τανυστής τύπου (p, q) µε συνιστώσες A µ 1...µ p ν1...ν q, οι οποίες δίνονται ως προς την ϕυσική ϐάση που αντιστοιχεί στο σύστηµα συντεταγµένων {x µ }, τότε µπορούµε να ϐρούµε τις συνιστώσες του τανυστή αυτού ως προς τη ϐάση e a : A a 1...a p b 1...b q = ( e a 1 µ 1... e ap µ p )( e ν 1 b 1... e νq b q ) A µ 1...µ p ν1...ν q. (1.30) Στην τελευταία σχέση τα στοιχεία e ν b αντιστοιχούν στα στοιχεία του αντίστροφου πίνακα στροφής 4. Τον συµβολισµό αυτόν ϑα τον χρησιµοποιήσουµε και παρακάτω. Επίσης, από εδώ και στο εξής, στις συνιστώσες τανυστών που αναφέρονται στη ϐάση e a ϑα χρησιµοποιούµε δείκτες µε χαρακτήρες από το Λατινικό αλφάβητο. Ακόµη µπορούµε να ανεβοκατεβάζουµε τους Λατινικούς δείκτες χρησιµοποιώντας κατάλληλα την µετρική η ab. Επιπλέον µπορούµε να ορίσουµε την συναλλοίωτη παράγωγο για τανυστές που αντιστοιχούν στη ϐάση e a. Συγκεκριµένα η συναλλοίωτη παράγωγος για έναν τανυστή τύπου (p, q) µε συνιστώσες A a 1...a p b 1...b q γράφεται : µ A a 1...a p b 1...b q = µ A a 1...a p b 1...b q + q i=1 p i=1 ω c µ b i A a 1...a p b 1...c...b q. ω a i µ c A a 1...c...a p b 1...b q (1.31) Βλέπουµε λοιπόν ότι η έκφραση (1.31) έχει την ίδια δοµή µε την (1.4) µόνο που τώρα τα σύµβολα Christoffel έχουν αντικατασταθεί από την σύνδεση σπιν ωµ a b. Η σύνδεση σπιν είναι µια 1-µορφή (ω a b = ω µ a b dxµ = ωc a b ec ) και ορίζεται από την πρώτη εξίσωση δοµής του Cartan 5 : de a + ω a b e b = 0. (1.3) Οπως έχουµε αναφέρει και προηγουµένως, δυο ορθογώνιες ϐάσεις που συνδέονται µε µετασχηµατισµούς SO(1, D 1) είναι ισοδύναµες. Ετσι αν Λ είναι ένα στοιχείο της 4 Συγκεκριµένα ισχύει ότι : e µ ae a ν = δ µ ν και ea µe µ b = δa b. 5 Θεωρούµε ότι ο τανυστής στρέψης είναι µηδέν.

20 1.3 Συναλλοίωτη παράγωγος 8 οµάδας SO(1, D 1) και e a = Λ a b eb τότε από την σχέση (1.3) ϐλέπουµε ότι η σύνδεση σπιν µετασχηµατίζεται σύµφωνα µε τον κανόνα : ω ω = ΛωΛ T dλλ T. (1.33) Η συναλλοίωτη παράγωγος ενός αντικειµένου που ϕέρει και τους δυο τύπους δεικτών µπορεί να προκύψει από συνδυασµό των σχέσεων (1.4) και (1.31). Για παράδειγµα η συναλλοίωτη παράγωγος του e a ν είναι : µ e a ν = µ e a ν Γ ρ µνe a ρ + ω a µ be b ν. (1.34) Απαιτώντας µ e a ν = 0 µπορούµε να ϐρούµε τη σχέση που συνδέει την σύνδεση σπιν µε τα σύµβολα Christoffel: Γ ρ µν = e ρ a ω a µ b e b ν + e ρ b µe b ν. (1.35) Επειδή η µετρική η ab παραµένει αναλλοίωτη κάτω από µετασχηµατισµούς της οµάδας SO(1, D 1) ϑα ισχύει ότι µ η ab = 0. Από το γεγονός αυτό εύκολα συµπεραίνουµε ότι : ω µab = ω µba, (1.36) όπου ω µab = η ac ωµ c b. Τέλος, στις ϑεωρίες ϐαθµίδας, οι οποίες είναι ϑεωρίες πεδίου αναλλοίωτες κάτω από µετασχηµατισµούς ϐαθµίδας, συχνά συναντάµε την έννοια της συναλλοίωτης παραγώγου κάποιου πεδίου της ϑεωρίας. Στην περίπτωση αυτή, η συναλλοίωτη παράγωγος ενός πεδίου, είναι ένα είδος διαφόρισης το οποίο δρα στο συγκεκριµένο πεδίο µε τέτοιον τρόπο ώστε το αποτέλεσµα της δράσης να µετασχηµατίζεται κάτω από τους µετασχηµατισµούς ϐαθµίδας όπως ακριβώς µετασχηµατίζεται και το πεδίο αυτό. Ας δούµε τώρα στην πράξη πως ορίζεται η συναλλοίωτη παράγωγος ενός πεδίου φ µε κανόνα µετασχηµατισµού : δφ = ɛ i t i φ. (1.37) Εδώ το πεδίο φ εξαρτάται από τις συντεταγµένες του χώρου στον οποίο ορίζεται η συγκεκριµένη ϑεωρία ϐαθµίδας. Ακόµη, µε ɛ i συµβολίζουµε τις απειροστές παραµέτρους του µετασχηµατισµού και µε t i τους αντίστοιχους γεννήτορες. Αρχικά παρατηρούµε ότι η συνήθης µερική παράγωγος µ φ δεν µετασχηµατίζεται µε συναλλοίωτο τρόπο αφού : δ µ φ = ɛ i t i ( µ φ ) + ( µ ɛ i) t i φ. (1.38) Κάτι τέτοιο ϑα ήταν δυνατό εάν δεν υπήρχε ο τελευταίος όρος στην παραπάνω σχέση. Μπορούµε να αποφύγουµε το εµπόδιο αυτό προσθέτοντας έναν επιπλέον όρο στην µερική παράγωγο όπως ϕαίνεται παρακάτω : D µ φ = ( µ + A µ )φ όπου A µ = A i µt i. (1.39) Η σχέση αυτή ορίζει την συναλλοίωτη παράγωγο του πεδίου φ µε την προϋπόθεση ότι ο νέος όρος µετασχηµατίζεται µε τον εξής τρόπο : δa i µ = µ ɛ i + ɛ j A k µ f i jk, (1.40)

21 1.4 Καµπυλότητα 9 όπου f i jk είναι οι σταθερές δοµής της Άλγεβρας Lie της οµάδας ϐαθµίδας. Ο όρος αυτός ονοµάζεται πεδίο ϐαθµίδας και παίζει τον ίδιο ϱόλο µε τους συντελεστές σύνδεσης Γ ρ µν. Κλείνοντας την παράγραφό αυτή ϑα ϑεωρήσουµε τον µεταθέτη δυο συναλλοίωτων πα- ϱαγώγων ο οποίος δρα στο πεδίο φ. Το αποτέλεσµα που προκύπτει είναι το εξής : [D µ, D ν ]φ = ( µ A ν ν A µ + [A µ, A ν ] ) φ F µν φ. (1.41) Οπως ϑα δούµε αµέσως παρακάτω η ποσότητα F µν έχει την ίδια δοµή µε την καµπυλότητα Riemann και κάτω από απειροστούς µετασχηµατισµούς ϐαθµίδας µετασχηµατίζεται σύµφωνα µε τον εξής κανόνα : δf i µν = ɛ j F k µνf i jk, όπου F µν = F i µνt i. (1.4) 1.4 Καµπυλότητα Η καµπυλότητα του χωρόχρονου εκφράζεται µέσω ενός τανυστή τύπου (1, 3) ο οποίος ονοµάζεται τανυστής καµπυλότητας Riemann ή απλώς τανυστής Riemann. Ο τανυστής καµπυλότητας Riemann ορίζεται συναρτήσει των συµβόλων Christoffel και των παραγώγων τους όπως ϕαίνεται παρακάτω : σ Rµνρ = R σ ρνµ = [ν Γ σ µ]ρ + Γ σ λ[νγ λ µ]ρ. (1.43) Από την έκφραση αυτή παρατηρούµε ότι ο τανυστής καµπυλότητας εξαρτάται από την µετρική καθώς και από τις παραγώγους πρώτης και δεύτερης τάξης της µετρικής. Η µετρική και η παράγωγοί της εισέρχονται στην παραπάνω σχέση µέσω των συµβόλων Christoffel. Ο µηδενισµός του τανυστή καµπυλότητας σε έναν χωρόχρονο σηµαίνει ότι ο χωρόχρονος αυτός είναι επίπεδος. Ο τανυστής καµπυλότητας Riemann ικανοποιεί τις παρακάτω συµµετρίες ως προς την εναλλαγή δεικτών : R µνρσ = R ρσµν = R νµρσ = R µνσρ και R µ[νρσ] = 0, (1.44) όπου R µνρσ = g σλ Rµνρ λ. Ενας άλλος τρόπος να ορίσουµε τον τανυστή καµπυλότητας Riemann είναι µέσω των ταυτοτήτων Ricci. Σύµφωνα µε τις ταυτότητες αυτές ο τανυστής καµπυλότητας προκύπτει από την δράση του µεταθέτη της συναλλοίωτης παραγώγου σε έναν τανυστή. Συγκεκριµένα για τανυστές τύπου (1, 0) και (0, 1) οι ταυτότητες Ricci παίρνουν την µορφή : [ µ, ν ]A ρ = R ρ µνσ A σ, [ µ, ν ]A ρ = R σ µνρ A σ. (1.45) Οι παραπάνω εκφράσεις µπορούν να γενικευθούν για τανυστές µεικτού τύπου. Ετσι, για έναν τανυστή τύπου (p, q) ϐρίσκουµε : [ µ, ν ]A µ 1...µ p ν1...ν q = q R i=1 µνν ρ i A µ 1...µ p ν1...ρ...ν q p R µ i µνρ A µ 1...ρ...µ pν1...ν q. (1.46) i=1

22 1.5 Παράγωγος Lie και ισοµετρία 10 Από τον τανυστή Riemann µπορούµε να κατασκευάσουµε έναν συµµετρικό τανυστή δεύτερης τάξης. Ο τανυστής αυτός ονοµάζεται τανυστής Ricci και προκύπτει από τον τανυστή Riemann µε συστολή δεικτών R µν = Rµρν ρ. Η συστολή του τανυστή Ricci οδηγεί σε µια άλλη ποσότητα η οποία ονοµάζεται ϐαθµωτή καµπυλότητα Ricci και δίνεται από την σχέση R = R µ µ = g µν R µν. Τέλος, ο τανυστής καµπυλότητας Riemann συνδέεται µε την -µορφή καµπυλότητας µέσω της δεύτερης εξίσωσης δοµής του Cartan: R a b = dω a b + ω a c ω c b = 1 R a µν b dx µ dx ν. (1.47) Από την έκφραση αυτή µπορούµε να ϐρούµε τις συνιστώσες του τανυστή καµπυλότητας Riemann συναρτήσει της σύνδεσης σπιν : R a µν b = [µ ω a ν] b + ω a [µ cω c ν] b. (1.48) Κάτω από µετασχηµατισµούς της οµάδας SO(1, D 1) η -µορφή καµπυλότητας µετασχηµατίζεται µε τον παρακάτω τρόπο : R R = Λ R Λ T όπου Λ SO(1, D 1). (1.49) Αυτό µπορούµε να το διαπιστώσουµε εύκολα αν συνδυάσουµε τις σχέσεις (1.33) και (1.48). 1.5 Παράγωγος Lie και ισοµετρία Στην παράγραφο αυτή ϑα ορίσουµε ακόµη ένα είδος διαφόρισης το οποίο εκφράζει την µεταβολή ενός τανυστή κάτω από έναν απειροστό µετασχηµατισµό συντεταγµένων. Αυτό το είδος διαφόρισης ονοµάζεται παράγωγος Lie. Ετσι αν ϑεωρήσουµε τον παρακάτω απειροστό µετασχηµατισµό συντεταγµένων : x µ x µ = x µ + ξ µ (x), (1.50) τότε η παράγωγος Lie ενός τανυστή τύπου (p, q) ορίζεται από την σχέση : δ ξ A µ 1...µ p ν1...ν q = A µ 1...µ p ν1...ν q (x) A µ 1...µ p ν1...ν q (x) = L ξ A µ 1...µ p ν1...ν q. (1.51) Από τον παραπάνω ορισµό ϐρίσκουµε ότι η παράγωγος Lie του τανυστή A µ 1...µ p ν1...ν q είναι ένας τανυστής τύπου (p, q) µε συνιστώσες : L ξ A µ 1...µ p ν1...ν q = ξ µ µ A µ 1...µ p ν1...ν q + p i=1 q i=1 A µ 1...ρ...µ pν1...ν q ρ ξ µ i. A µ 1...µ p ν1...ρ...ν q νi ξ ρ (1.5) Μπορούµε να εφαρµόσουµε την τελευταία σχέση προκειµένου να υπολογίσουµε την παράγωγο Lie του µετρικού τανυστή κάτω από έναν απειροστό µετασχηµατισµό συντεταγ- µένων της µορφής (1.50) όπου ϐρίσκουµε το εξής αποτέλεσµα :

23 1.6 Πολυδιάστατες σφαίρες 11 L ξ g µν = ξ ρ ρ g µν + g ρν µ ξ ρ + g µρ ν ξ ρ. (1.53) Στο σηµείο αυτό ϑα περιγράψουµε την έννοια της ισοµετρίας και ϑα την συνδέσου- µε µε την ύπαρξη διανυσµάτων Killing, δηλαδή διανυσµάτων κατά µήκος των οποίων η παράγωγος Lie είναι µηδέν. Με τον όρο ισοµετρία εννοούµε µια αντιστρεπτή απεικόνιση x µ x µ (x) για την οποία ισχύει : x ρ x µ x σ x ν g ρσ(x ) = g µν (x). (1.54) Εάν ένας απειροστός µετασχηµατισµός της µορφής (1.50) αποτελεί ισοµετρία τότε από την τελευταία σχέση προκύπτει η ακόλουθη συνθήκη : L ξ g µν = µ ξ ν + ν ξ µ = 0. (1.55) Η συνθήκη αυτή ονοµάζεται εξίσωση Killing και τα διανύσµατα που την ικανοποιούν ονο- µάζονται διανύσµατα Killing. Βλέπουµε λοιπόν ότι τα διανύσµατα Killing είναι γεννήτορες ισοµετριών. Σε πολλές περιπτώσεις η γεωµετρία µπορεί να περιλαµβάνει περισσότερα α- πό ένα διανύσµατα Killing τα οποία υπακούν στις σχέσεις µετάθεσης µιας Άλγεβρας Lie κάποιας οµάδας G. Στην περίπτωση αυτή λέµε ότι ο χώρος έχει την ισοµετρία της οµάδας G. Παράδειγµα Ενα από τα πιο γνωστά παραδείγµατα χώρων µε ισοµετρία είναι η περίπτωση που ο µετρικός τανυστής δεν εξαρτάται από κάποια συντεταγµένη. Ας ϑεωρήσουµε για παράδειγµα έναν D-διάστατο χώρο M και ένα σύστηµα συντεταγµένων {x µ } µε µ = 1,..., D. Ας υποθέσουµε ότι η µετρική g µν του χώρου είναι ανεξάρτητη της συντεταγµένης x D. Αυτό σηµαίνει ότι D g µν = 0 για όλες τις συνιστώσες του µετρικού τανυστή. Στην περίπτωση αυτή το διάνυσµα ξ µ µε συνιστώσες : ξ D = 1, & ξ i = 0, i = 1,..., D 1, (1.56) ικανοποιεί την συνθήκη (1.55) και εποµένως είναι ένα διάνυσµα Killing. Το διάνυσµα αυτό αντιστοιχεί σε σταθερές µετατοπίσεις κατά µήκος της συντεταγµένης x D. 1.6 Πολυδιάστατες σφαίρες Μια µοναδιαία n-σφαίρα, S n, είναι µια υπερεπιφάνεια διάστασης n εµβαπτισµένη στον Ευκλείδειο χώρο R n+1 η οποία ορίζεται από την σχέση : (x 1 ) (x n+1 ) = 1. (1.57) Οι γεωµετρίες πολυδιάστατων σφαιρών εµφανίζονται πολύ συχνά στις λύσεις υπερβαρύτητας. Χαρακτηριστικό παράδειγµα είναι η λύση AdS 5 S 5 την γεωµετρία της οποίας περιγράψαµε σε προηγούµενη παράγραφο. Ενας τρόπος να παραµετροποιήσουµε µια n-σφαίρα είναι µέσω των γενικευµένων σφαιρικών συντεταγµένων, δηλαδή :

24 1.6 Πολυδιάστατες σφαίρες 1 x 1 = cos θ 1, x = cos θ sin θ 1, x 3 = cos θ 3 sin θ sin θ 1,. x n = cos θ n sin θ n 1... sin θ 1, (1.58) x n+1 = sin θ n sin θ n 1... sin θ 1, όπου οι γωνίες θ 1,..., θ n 1 παίρνουν τιµές στο διάστηµα [0, π] ενώ η γωνία θ n στο διάστηµα [0, π]. Το γραµµικό στοιχείο της σφαίρας S n προκύπτει µε αντικατάσταση των παραπάνω σχέσεων στο γραµµικό στοιχείο του χώρου R n+1 : ds R n+1 = (dx1 ) (dx n+1 ). (1.59) Ετσι το γραµµικό στοιχείο της σφαίρας S n στην συγκεκριµένη παραµετροποίηση δίνεται από την σχέση : dω n = dθ 1 + sin θ 1 dθ + sin θ 1 sin θ dθ ( sin θ 1 sin θ... sin θ n 1 ) dθ n = n i=1 P i dθ i, (1.60) όπου ορίσαµε την ποσότητα P i = i 1 k=1 sin θ k. Το στοιχείο επιφάνειας µιας σφαίρας S n στο παραπάνω σύστηµα συντεταγµένων δίνεται από την σχέση : n 1 dσ n = dθ n sin n i θ i dθ i. (1.61) i=1 Η επιφάνεια της σφαίρας προκύπτει µε ολοκλήρωση της τελευταίας σχέσης και δίνεται από την παρακάτω έκφραση : Σ n = dσ n = π S n n+1 Γ( n+1 ). (1.6) Από την σχέση (1.60), η οποία µας δίνει το γραµµικό στοιχείο της σφαίρας S n, παρατηρούµε ότι η µετρική είναι διαγώνια. Εποµένως µπορούµε πολύ εύκολα να ϐρούµε µια ορθογώνια ϐάση. Στην συγκεκριµένη παραµετροποίηση ϐρίσκουµε : e i = ( i 1 ) sin θ k dθi. (1.63) k=1 Επίσης µπορούµε να υπολογίσουµε τις συνιστώσες της σύνδεσης σπιν στην παραπάνω ορθογώνια ϐάση :

25 1.6 Πολυδιάστατες σφαίρες 13 ω ik = cot θ k P k e i, όπου k < i. (1.64) Για τις συνιστώσες µε i < k ισχύει ότι ω ik = ω ki ενώ για i = k είναι ω ii = 0 λόγω της αντισυµµετρικότητας της σύνδεσης σπιν ως προς την εναλλαγή των δεικτών. Τέλος, οι σφαίρες S n είναι χώροι Einstein, δηλαδή ο τανυστής Ricci που αντιστοιχεί σε µια σφαίρα S n είναι ανάλογος της µετρικής της σφαίρας. Συγκεκριµένα για µια σφαίρα S n ισχύει ότι : R µν = (n 1)g µν. (1.65) Πολλαπλασιάζοντας την σχέση αυτή µε την αντίστροφη µετρική g µν ϐρίσκουµε ότι η ϐαθ- µωτή καµπυλότητα της σφαίρας S n είναι : R = n(n 1). (1.66)

26 Μέρος II Μη-Αβελιανή Τ-δυϊκότητα και εφαρµογές

27 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο Εισαγωγή στην µη-αβελιανή Τ-δυϊκότητα Σε αυτό το κεφάλαιο ϑα περιγράψουµε την τεχνική της µη-αβελιανής Τ-δυϊκότητας. Πιο συγκεκριµένα ϑα δείξουµε πως µπορούµε να εφαρµόσουµε την τεχνική αυτή προκειµένου να παράγουµε καινούριες λύσεις υπερβαρύτητας ξεκινώντας από κάποιο γνωστό υπόβαθρο που λύνει τις εξισώσεις υπερβαρύτητας είτε του τύπου IIA είτε του τύπου IIB. Πριν ξεκινήσουµε ας δούµε πρώτα τι είναι η Τ-δυϊκότητα. Με τον όρο Τ-δυϊκότητα εννοούµε την ισοδυναµία δυο ϑεωριών χορδών οι οποίες ορίζονται σε διαφορετικούς χωρόχρονους η γεωµετρία των οποίων περιλαµβάνει τουλάχιστον µια Αβελιανή ισοµετρία. Η πιο απλή και πιο γνωστή περίπτωση είναι η ισοδυναµία ανάµεσα σε χορδές που διαδίδονται σε κύκλο ακτίνας R και σε κύκλο ακτίνας 1/R αντίστοιχα. Στην πραγµατικότητα µπορούµε να δούµε την Τ-δυϊκότητα και σαν µια απεικόνιση ανάµεσα σε δυο λύσεις υπερβαρύτητας. Η απεικόνιση αυτή εκφράζεται µέσα από τους κανόνες του Buscher. Οι κανόνες αυτοί µπορούν να ϐρεθούν µε τη µέθοδο του ολοκληρώµατος δρόµου η οποία προτάθηκε από τον Buscher [1]. Η µέθοδος αυτή συνοψίζεται στα παρακάτω τρία ϐήµατα : 1. Αρχικά ϑεωρούµε ένα σ-µοντέλο που περιγράφει την κίνηση µποζονικής χορδής 1 σε έναν χωρόχρονο M. Στην δράση του σ-µοντέλου αντικαθιστούµε τις συνήθεις παραγώγους µε συναλλοίωτες παραγώγους εισάγοντας στην ϑεωρία ένα πεδίο ϐαθµίδας U(1), το A µ. Η αντικατάσταση αυτή γίνεται µόνο στις παραγώγους της συντεταγµένης που σχετίζεται µε την ισοµετρία U(1) του χώρου.. Στη συνέχεια εισάγουµε την συνθήκη επιπεδότητας για την σύνδεση του πεδίου ϐαθµίδας. Αυτό το επιτυγχάνουµε προσθέτοντας στην δράση έναν νέο όρο υπό την µορφή πολλαπλασιαστή Lagrange. 3. Τέλος, ϑεωρούµε σταθερή την συντεταγµένη του χωρόχρονου που αντιστοιχεί στην ισοµετρία U(1) και ολοκληρώνουµε κατά παράγοντες τους όρους εκείνους που πε- ϱιέχουν παραγώγους του πεδίου ϐαθµίδας. Το Τ-δυϊκό σ-µοντέλο προκύπτει αντικαθιστώντας τις εξισώσεις κίνησης του πεδίου ϐαθµίδας στην δράση. Τα παραπάνω ϐήµατα περιγράφουν την εύρεση του Τ-δυϊκού σ-µοντέλου στην περίπτωση που ο χωρόχρονος έχει ισοµετρία U(1). Στην γενικότερη περίπτωση όπου η ισοµετρία του χώρου είναι µη-αβελιανή τα παραπάνω ϐήµατα ισχύουν ως έχουν µε µια µόνο διαφο- ϱά. Η διαφορά είναι ότι τώρα το πεδίο ϐαθµίδας ανήκει στον χώρο της Άλγεβρας Lie της µη-αβελιανής οµάδας ισοµετρίας. 1 Στο εξής ϑα αναφερόµαστε µόνο σε µποζονικές χορδές.

28 .1 Κανόνες Buscher 16.1 Κανόνες Buscher Η παράγραφος αυτή αποτελεί µια συνοπτική περιγραφή των κανόνων Buscher στην απλή περίπτωση όπου ο χώρος διάδοσης των χορδών έχει µια Αβελιανή ισοµετρία, συγκεκριµένα U(1). Θα ξεκινήσουµε την περιγραφή µας ϑεωρώντας ένα µη-γραµµικό σ-µοντέλο που περιγράφει την κίνηση χορδής σε µια πολλαπλότητα M διάστασης d. Η δράση του µοντέλου αυτού δίνεται από : S = 1 4πα γ d σ( γ µν G IJ µ x I ν x J + ɛ µν B IJ µ x I ν x J + α ) γ R () Φ(x). (.1) Στην παραπάνω δράση η σταθερά α είναι ανάλογη της αντίστροφης τάσης της χορδής. Επιπλέον, µε G IJ συµβολίζουµε την µετρική του χωρόχρονου και µε B IJ το δυναµικό Kalb-Ramond. Η συνάρτηση Φ(x) αναφέρεται στο διαστελόνιο, ενώ µε R () συµβολίζουµε την ϐαθµωτή καµπυλότητα που αντιστοιχεί στην µετρική γ µν του κοσµικού ϕύλλου. Επίσης οι δείκτες που συµβολίζονται µε Λατινικούς χαρακτήρες αντιστοιχούν στις d συντεταγ- µένες x I του χωρόχρονου ενώ οι δείκτες που συµβολίζονται µε χαρακτήρες του Ελληνικού αλφαβήτου αντιστοιχούν στις συντεταγµένες σ 1, σ στις οποίες εκτείνεται η χορδή. Ας υποθέσουµε ότι το παραπάνω σ-µοντέλο έχει µια Αβελιανή ισοµετρία η οποία αντιστοιχεί σε µετατοπίσεις κατά την διεύθυνση x d. Σύµφωνα µε την διαδικασία που περιγράψαµε στην αρχή του κεφαλαίου, για να προσδιορίσουµε το δυϊκό σ-µοντέλο αρχικά αντικαθιστούµε τις µερικές παραγώγους της συντεταγµένης x d µε τις παρακάτω συναλλοίωτες παραγώγους : µ x d D µ x d = µ x d + A µ. (.) Στην συνέχεια προσθέτουµε στην δράση τον πολλαπλασιαστή Lagrange ˆx d ɛ µν F µν, όπου F µν = µ A ν ν A µ και ϑέτουµε x d = σταθ. Κάτω από αυτές τις µετατροπές η δράση µετασχηµατίζεται στην : S S g = 1 4πα γ d σ( γ µν G ij µ x i ν x j + γ γ µν G id µ x i A ν + γ γ µν G dd A µ A ν + ɛ µν (B ij µ x i ν x j + B id µ x i A ν ) + α ) γ R () Φ(x) + ɛ µν ˆx d F µν, (.3) Στο τελευταίο ϐήµα χωρίσαµε τους Λατινικούς δείκτες µε τον εξής τρόπο : I = (i, d), όπου i = 1,..., d 1. Στο σηµείο αυτό αξίζει να παρατηρήσουµε ότι η εξίσωση κίνησης για τον πολλαπλασιαστή Lagrange ˆx d συνεπάγεται ότι ɛ µν µ A ν = 0. Εύκολα ϐλέπουµε ότι η εξίσωση αυτή επιλύεται για A µ = µ x d. Αν αντικαταστήσουµε την λύση αυτή στην εξίσωση (.3) τότε καταλήγουµε ξανά στην αρχική δράση (.1). Επίσης από την εξίσωση κίνησης του πεδίου ϐαθµίδας παίρνουµε : A µ = 1 ( G di µ x i ɛρν γ ) νµ (B di ρ x i + ρˆx d ) G dd γ (.4) Η δράση για το δυϊκό µοντέλο προκύπτει αντικαθιστώντας την τελευταία σχέση στην (.3) και ολοκληρώνοντας κατά παράγοντες τους όρους που περιέχουν παραγώγους του πεδίου Χάριν συντοµίας συµβολίζουµε την ορίζουσα του πίνακα γ µν µε γ και τον αντίστροφό του µε γ µν.

29 . Μετασχηµατισµοί των πεδίων στην µη-αβελιανή Τ-δυϊκότητα 17 ϐαθµίδας. Ετσι, η δράση του δυϊκού σ-µοντέλου είναι η : Ŝ = 1 ( γ d σ γ µν Ĝ 4πα IJ µ x I ν x J + ɛ µν BIJ µ x I ν x J + α γ R () Φ(x) ), (.5) όπου τα πεδία του µοντέλου αυτού συνδέονται µε τα πεδία του αρχικού σ-µοντέλου µέσω των παρακάτω σχέσεων : Ĝ ij = G ij G di G dj B di B dj G dd, Ĝ dd = 1 G dd, B ij = B ij G di B dj G dj B di G dd, Bdi = B id = G di G dd, Φ(x) = Φ(x) 1 ln G dd. Ĝ id = Ĝdi = B di G dd, (.6) Οι σχέσεις (.6) ονοµάζονται κανόνες Buscher. Ο µετασχηµατισµός του διαστελόνιου προκύπτει από την ολοκλήρωση του πεδίου ϐαθµίδας στο ολοκλήρωµα δρόµου της δράσης (.3).. Μετασχηµατισµοί των πεδίων στην µη-αβελιανή Τ- δυϊκότητα..1 Μετασχηµατισµός των πεδίων Neveu-Schwarz Στην παράγραφο αυτή ϑα δούµε πως µπορούµε να γενικεύσουµε τους κανόνες του Buscher στην περίπτωση που το υπόβαθρο έχει την ισοµετρία µιας οµάδας G. Θεωρούµε για αρχή ένα γενικό υπόβαθρο σε D διαστάσεις, το οποίο αποτελείται από τα εξής πεδία Neveu-Schwarz (NS): Μετρική : ds = G µν (x)dx µ dx ν + G µi (x)dx µ L i + g ij (x)l i L j. (.7) Πεδίο Kalb-Ramond: B = 1 B µν(x)dx µ dx ν + B µi (x)dx µ L i + 1 b ij(x)l i L j. (.8) ιαστελόνιο : Φ = Φ(x). (.9) Στις παραπάνω εκφράσεις διαχωρίσαµε τους δείκτες σε Ελληνικούς και Λατινικούς, οι ο- ποίοι παίρνουν τις τιµές µ, ν = 0,..., D dim(g) 1 και i, j =, D dim(g),..., D 1. Από εδώ και στο εξής οι Λατινικοί δείκτες ϑα αντιστοιχούν στις dim(g) συντεταγµένες ισοµετρίας ενώ οι δείκτες του Ελληνικού αλφαβήτου ϑα αντιστοιχούν στις υπόλοιπες D dim(g) συντεταγµένες. Επίσης, συµβολίζουµε µε L i τις µορφές Maurer-Cartan οι οποίες δίνονται

30 . Μετασχηµατισµοί των πεδίων στην µη-αβελιανή Τ-δυϊκότητα 18 από την σχέση L i = itr(t i g 1 dg), όπου g G και t i 3 είναι οι γεννήτορες της οµάδας G. Οι συνιστώσες της µετρικής, του δυναµικού Kalb-Ramond καθώς και το διαστελόνιο δεν εξαρτώνται από τις συντεταγµένες ισοµετρίας, ενώ οι µόνες ποσότητες που εξαρτώνται από τις συντεταγµένες αυτές είναι οι µορφές Maurer-Cartan. Εχοντας τις εκφράσεις των παραπάνω πεδίων µπορούµε να κατασκευάσουµε το σ- µοντέλο που αντιστοιχεί σε αυτά. Το συγκεκριµένο σ-µοντέλο περιγράφεται από την δράση : ( ) S = d σ L = d σ Q µν + x µ x ν + Q µi + x µ L i + Q iµ L i + x µ + E ij L i +L j, (.10) όπου ορίσαµε τις ποσότητες : Q µν = G µν +B µν, Q µi = G µi +B µi, Q iµ = G iµ +B iµ, E ij = g ij +b ij. (.11) Για την εύρεση του δυϊκού µοντέλου ακολουθούµε τα ϐήµατα που περιγράψαµε στην αρχή του κεφαλαίου αυτού. Αυτό που πρέπει να κάνουµε αρχικά είναι να προσθέσουµε ένα πεδίο ϐαθµίδας στην δράση του µοντέλου. Στην περίπτωση της µη-αβελιανής Τ- δυϊκότητας το πεδίο ϐαθµίδας ανήκει στην Άλγεβρα Lie της οµάδας G (Lie(G)). Αυτό το επιτυγχάνουµε µε την αντικατάσταση των µερικών παραγώγων του στοιχείου g της οµάδας από συναλλοίωτες παραγώγους, δηλαδή : ± g D ± g = ± g A ± g, A ± = A i ±t i. (.1) Με τον τρόπο αυτό εισάγουµε dim(g) ϐαθµούς ελευθερίας στο σύστηµα µας. Παρατηρού- µε ότι οι µερικές παράγωγοι του στοιχείου g της οµάδας εµφανίζονται µόνο στις εκφράσεις των µορφών Maurer-Cartan. Ετσι, η παραπάνω αντικατάσταση έχει ως αποτέλεσµα τον µετασχηµατισµό των µορφών Maurer-Cartan µε τον εξής τρόπο : L i ± L i ± = L i ± + ia k ±D ki, (.13) όπου D ij είναι τα στοιχεία ενός ορθογώνιου πίνακα D τα οποία υπολογίζονται από την σχέση D ij = Tr(t i g t j g 1 ). Στο επόµενο ϐήµα προσθέτουµε dim(g) πολλαπλασιαστές Lagrange στη δράση του µοντέλου αυξάνοντας τους ϐαθµούς ελευθερίας του συστήµατος κατά τον ίδιο αριθµό. Ετσι προσθέτουµε στην δράση τον επιπλέον όρο : itr(vf ± ), v = v i t i Lie(G) & F ± = + A A + [A +, A ]. (.14) Ακολουθώντας τα παραπάνω ϐήµατα καταλήγουµε στην εξής Λαγκρανζιανή : L L g = L + Q µi + x µ (ia k D ki ) + Q iµ (ia k +D ki ) x µ E ij (A k +D ki )(A l D lj ) + E ij (ia k +D ki )L j + E ij L i +(ia k D kj ) itr(vf ± ) (.15) Στο σηµείο αυτό παρατηρούµε ότι η Λαγκρανζιανή (.15) έχει dim(g) περισσότερους ϐαθµούς ελευθερίας από την (.10). Προκειµένου να καταλήξουµε στον αρχικό αριθµό ϐαθµών ελευθερίας καθορίζουµε τις τιµές dim(g) παραµέτρων ϑέτοντας το στοιχείο της 3 Χρησιµοποιούµε την εξής κανονικοποίηση για τους γεννήτορες : Tr(t i t j ) = δ ij

31 . Μετασχηµατισµοί των πεδίων στην µη-αβελιανή Τ-δυϊκότητα 19 οµάδας g στο µοναδιαίο στοιχείο, δηλαδή ϑέτουµε g = 1. Από την αντικατάσταση αυτή παίρνουµε ότι D ij = δ ij και L i ± = 0. Εποµένως, µετά την αντικατάσταση g = 1, ϐλέπουµε ότι έχουµε dim(g) παραπάνω ϐαθµούς ελευθερίας από τους επιθυµητούς. Μένει λοιπόν να απαλείψουµε αυτούς τους επιπλέον ϐαθµούς ελευθερίας. Αυτό µπορούµε να το πετύχουµε µε δύο τρόπους : 1ος τρόπος : Υπολογίζουµε τις εξισώσεις κίνησης για τους πολλαπλασιαστές Lagrange v i : + A i A i + ifkl i A k +A l = 0, i [D dim(g), D 1] da A A = 0. (.16) Η λύση της εξίσωσης αυτής είναι η A = h 1 dh, όπου h G ή αλλιώς A i ± = il i ±(h). Ετσι, εάν αντικαταστήσουµε την λύση αυτή στην (.15) και ϑέσουµε g = 1, ϑα καταλήξουµε στην αρχική Λαγκρανζιανή (.10). Εποµένως στην περίπτωση αυτή δεν κερδίζουµε κάποια επιπλέον πληροφορία καθώς καταλήγουµε στην αρχική µας ϑεωρία. ος τρόπος : Στην περίπτωση αυτή ακολουθούµε την ίδια διαδικασία µε πριν, µόνο που αυτή την ϕορά αντί να κάνουµε χρήση των εξισώσεων κίνησης των πολλαπλασιαστών Lagrange χρησιµοποιούµε τις εξισώσεις κίνησης του πεδίου ϐαθµίδας οι οποίες ϐρίσκουµε ότι είναι οι : A i = im 1 ij ( v j Q jµ x µ ), A i + = im 1 ji ( + v j + Q µj + x µ (.17) ), όπου τα στοιχεία του πίνακα M είναι τα M ij = E ij + f ij = g ij + b ij + f ij µε f ij = f ijk v k. Αν ϑέσουµε g = 1 στην (.15) και αντικαταστήσουµε τις (.17) τότε καταλήγουµε στην Λαγκρανζιανή του δυϊκού µοντέλου η οποία ϐρίσκουµε ότι είναι : ) ) ( + v i + Q µi + x ( µ v j Q jµ x µ L = Q µν + x µ x ν + M 1 ij. (.18) Για να καταλήξουµε στην έκφραση αυτή πρώτα ολοκληρώσαµε κατά παράγοντες τους όρους της Λαγκρανζιανής (.15) που περιέχουν παραγώγους του πεδίου ϐαθµίδας. Από την τελευταία σχέση εύκολα µπορούµε να διαβάσουµε τα αντίστοιχα Q για το δυϊκό µοντέλο τα οποία ϑα συµβολίζουµε µε Q. Συγκεκριµένα ϐρίσκουµε : Q µν = Q µν Q µi M 1 ij Q jν, Ê ij = M 1 ij, Q µi = Q µj M 1 ji, Qiµ = M 1 ij Q jµ. (.19) Τα Q περιέχουν όλη την πληροφορία για την µετρική Ĝ και το δυναµικό Kalb-Ramond B της δυϊκής ϑεωρίας. Πιο συγκεκριµένα η µετρική αντιστοιχεί στο συµµετρικό µέρος των Q ενώ το δυναµικό Kalb-Ramond στο αντισυµµετρικό τους µέρος. Οι παραπάνω µετασχηµατισµοί συνοδεύονται και από έναν ακόµη µετασχηµατισµό, αυτόν του διαστελόνιου. Ο µετασχηµατισµός αυτός υπολογίζεται από την ολοκλήρωση του πεδίου ϐαθµίδας στο ολοκλήρωµα δρόµου της δράσης (.15), όπως και στην περίπτωση της Αβελιανής Τ-δυϊκότητας. Ετσι στην παρούσα περίπτωση ϐρίσκουµε ότι :

32 . Μετασχηµατισµοί των πεδίων στην µη-αβελιανή Τ-δυϊκότητα 0 Φ(x, v) = Φ(x) 1 ln(det M). (.0) Οι σχέσεις (.19) και (.0) αποτελούν τις σχέσεις Buscher της µη-αβελιανής Τ-δυϊκότητας. Αξίζει να σηµειώσουµε ότι για να καταλήξουµε στις σχέσεις (.19) και (.0) καθορίσαµε τις dim(g) συντεταγµένες που υπεισέρχονται στο στοιχείο g της οµάδας ισοµετρίας ϑέτοντας g = 1. Εναλλακτικά, αντί να καθορίσουµε όλες τις συντεταγµένες του στοιχείου g µπορούµε να καθορίσουµε ένα µέρος από αυτές και παράλληλα ένα µέρος των πολλαπλασιαστών Lagrange, έτσι ώστε ο συνολικός αριθµός των ϐαθµών ελευθερίας που καθορίζουµε να είναι dim(g). Στην περίπτωση αυτή ισχύουν πάλι οι σχέσεις (.18), (.19) και (.0) µε την διαφορά ότι τώρα αντικαθιστούµε τους πολλαπλασιαστές Lagrange v µε τους : ˆv i = D ji v j, (.1) Παραθέτουµε την απόδειξη της παραπάνω πρότασης στο παράρτηµα A... Μετασχηµατισµός των πεδίων Ramond-Ramond Στην παράγραφο αυτή ϑα δούµε πως µετασχηµατίζονται τα πεδία Ramond-Ramond (RR) κάτω από την µη-αβελιανή Τ-δυϊκότητα. Αρχικά ϑα δούµε τους µετασχηµατισµούς των µορφών RR για λύσεις υπερβαρύτητας σε δέκα διαστάσεις µε οµάδα ισοµετρίας G. Στο τέλος της παραγράφου ϑα επικεντρωθούµε στην ειδική περίπτωση όπου ο µετασχηµατισµός της µη-αβελιανής Τ-δυϊκότητας εφαρµόζεται ως προς την οµάδα ισοµετρίας SU(). Στην παρακάτω ανάλυση ϑα χρησιµοποιήσουµε την ακόλουθη επιλογή για την δεκαδιάστατη ϐάση : e A = e A µ dx µ, A = 0,..., 9 dim(g), e a = k a j L j + λ a µ dx µ (.), a = 10 dim(g),..., 9. Σε αυτή την ϐάση η µετρική παίρνει την µορφή : ds = η AB e A e B + e a e a = (η AB e A µe B ν + λ a µλ a ν) dx µ dx ν + λ a µk a i dx µ L i + k a ik a j L i L j. (.3) Από την τελευταία µπορούµε να γράψουµε τις ποσότητες G µν, G µi και g ij συναρτήσει των πινάκων e A µ, λ a µ και ka i. Ετσι έχουµε : G µν = η AB e A µe B ν + λ a µλ a ν, G µi = λ a µk a i, g ij = k a ik a j. (.4) Επίσης, χρησιµοποιώντας τον µετασχηµατισµό των µορφών Maurer-Cartan (A.1) µπορούµε να δούµε πως µετασχηµατίζεται η ϐάση (.). Στην πραγµατικότητα η (A.1) µας λέει ότι στην δυϊκή ϑεωρία µπορούµε να ορίσουµε δυο διαφορετικές ϐάσεις, τις : ê + = kl + λdx = km T (Q + + dˆv) + λdx, ê = kl + λdx = km 1 (Q dˆv) + λdx. (.5) Οι σχέσεις (.5) µας δείχνουν τον τρόπο µε τον οποίο µετασχηµατίζονται οι διευθύνσεις e a της ϐάσης του αρχικού µοντέλου. Οι υπόλοιπες διευθύνσεις e A δεν επηρεάζονται από την διαδικασία της µη-αβελιανής Τ-δυϊκότητας καθώς δεν εξαρτώνται από τις µορφές Maurer- Cartan. Επιπλέον εύκολα µπορούµε να δούµε ότι οι δυο ϐάσεις (.5) αντιστοιχούν στην