ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ"

Transcript

1 - ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

2 Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί (Εαναλητικά) Ε ί εδη γωνία είναι η κλίση µεταξύ δυο ευθειών του ε ι έδου ου τέµνονται και δεν κείνται ε ευθείας..τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας Αν ω είναι μια οξεία γωνία ορθογωνίου τρίγωνου, τότε ορίζουμε: ΕΥΚΛΕΙ ΗΣ Στοιχεια, Ορισµός 8 α έ ναντι κ ά θετη λε ύ ρα ηµω = υοτε ί νουσα α έ ναντι κ ά θετη λε ύ ρα εφω = ροσκε ί µενη κ ά θετη λε ύ ρα ροσκε ί µενη κ ά θετη λε ύ ρα συνω = υοτε ί νουσα ροσκε ί µενη κ ά θετη λε ύ ρα σφω = α έ ναντι κ ά θετη λε ύ ρα (σφω= συνεφατομένη της γωνίας ω) Π.χ,στο διλανό ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε γ α γ α ηµ Γ =, συν Γ =, εφγ =, σφγ = β β α γ )Τριγωνομετρικοί αριθμοί οοιασδήοτε γωνίας Έστω ω η γωνία (0 ω 60 o ) ου αράγεται αό τον ημιάξονα Οχ όταν αυτός εριστρέφεται κατά την θετική φορά (δηλ αντίθετα με την κίνηση των δεικτών του ρολογιού). Ο θετικός ημιαξονας Οχ λέγεται αρχική λευρά της γωνίας ω, ενώ η τελική του θέση λέγεται τελική λευρά της γωνίας ω. Θεωρούμε τυχαίο σημείο Μ(χ,y) της τελικής λευράς διαφορετικό αό το 0. Αν ρ είναι η αόσταση του Ο αό το Μ, δηλαδή ρ = + > 0, τότε ορίζουμε: χ y y ηµω = ρ χ συνω = ρ y χ εφω = σφω= (ψ 0) (ΙΙ) χ y Αν ο θετικός ημιάξονας Οχ, κινούμενος κατά την θετική φορά, διαγράψει ν λήρεις στροφές ( μια λήρης στροφή είναι 60 ο ) και μετά γωνία θ ο,τότε λέμε ότι έχει διαγράψει γωνία 0 0 ω= ν 60 + θ

3 Π.χ αν ο Οχ διαγράψει λήρεις στροφές και στη συνεχεία γωνία 40 ο, τότε έχει διαγράψει γωνία ω= = 760. Αν ο θετικός ημιάξονας Οχ κινούμενος κατά την αρνητική φορά( με τη φορά της κίνησης των δεικτών του ρολογιού) διαγράψει ν λήρεις στροφές και μετά γωνία θ o, τότε λέμε ότι έχει διαγράψει αρνητική γωνία ν 60 + θ η γωνία ν 60 θ. Π.χ αν ο Οχ, κινούμενος με την αρνητική φορά, διαγράψει μια λήρη στροφή και μετά γωνία 50 ο, τότε έχει διαγράψει γωνία (60 ο +50 ο ) = 40 ο. Για γωνίες μεγαλύτερες των 60 ο ή αρνητικές γωνίες ορίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς άλι με τους τύους (ΙΙ). Σύμφωνα με τα αραάνω, όλες οι γωνίες της μορφής κ.60 ο +ω (κ Ζ και 60 ο < ω < 60 ο ) έχουν την ίδια τελική λευρά και για αυτό έχουν τους ίδιους τριγωνομετρικούς αριθμούς με την γωνία ω. Δηλαδή έχουμε : ημ(κ.60 ο +ω)=ημω εφ(κ ω)=εφω συν(κ.60 ο +ω)=συνω σφ(κ ω)=σφω Π.χ ημ740 ο =ημ(.60 ο +0 ο )=ημ0 ο, εφ99 ο =εφ(5. 60 ο +9 0 ) =εφ9 ο συν(-500 ο )=συν(-. 60 ο +0 ο ) ή συν(-60 ο 40 ο )=συν(-40 ο ). Ο τριγωνομετρικός κύκλος Ο κύκλος με κέντρο την αρχή Ο των αξόνων και ακτίνα ρ=, λέγεται τριγωνομετρικός κύκλος. Έστω μια γωνία ω της οοίας η τελική λευρά τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο στο σημείο Μ(χ,ψ). Αφού ρ=(ομ)=, έχουμε: συνω=χ= τετμημένη του Μ ημω=y= τεταγμένη του Μ Έστω ε η εφατόμενη του τριγωνομετρικού κύκλου στο Α, ου τέμνει την τελική λευρά ΟΜ της γωνίας ω στο Γ.Αό την ομοιότητα των ορθογωνίων τρίγωνων ΟΕΜ και ΟΑΓ έχουμε:

4 ( ΜΕ ) ( ΟΕ ) ( ΑΓ ) = = ( ΑΓ ) ( ΟΑ ) [αφού (ΟΑ)=] Αν.χ η ω είναι οξεία γωνία, τότε (ΜΕ)=y=ημω, (ΟΕ)=χ=συνω και (ΑΓ)=yΓ(τεταγμένη του Γ) και εομένως εφω= y = yγ. χ Η ιδιότητα αυτή γενικεύεται για οοιαδήοτε γωνία ω και γι αυτό η ε λέγεται ευθεία των εφατόμενων. Αν φέρουµε την εφατόµενη του τριγωνοµετρικού κύκλου στο Β και τέµνει την ΟΜ στο,τότε οµοίως βρίσκουµε χ σφω = = χ, (τετµηµένη του ) y Για το λόγο αυτό η εφατόμενη σ λέγεται ευθεία των συνεφατομένων. Σχόλιο: Αό τα αραάνω συμεραίνουμε τα εξής: -Οι αριθμοί ημω και συνω αίρνουν τιμές στο διάστημα [-,], δηλαδή: - ημω και συνω -Οι αριθμοί εφω και σφω αίρνουν τιμές σε όλο το R. 4)Πρόσημο τριγωνομετρικών αριθμών Αν.χ η τελική λευρά μιας γωνίας ω βρίσκεται στο ο τεταρτημόριο, τότε οι συντεταγμένες (χ,ψ) οοιουδήοτε σημείου αυτής είναι θετικές και εομένως ημω>0,συνω>0,εφω>0 και σφω>0. Στο ο τεταρτημόριο έχουμε χ<0, ψ>0 όοτε ημω>0,συνω<0, εφω<0, σφω<0.ομοίως βρίσκουμε για το ο και το 4 ο τεταρτημόριο. Συνοψίζουμε στον αρακάτω ίνακα:

5 Τεταρτηµόρια ο ο ο 4ο ηµω συνω εφω σφω Παρατηρούμε ότι οι αριθμοί εφω και σφω είναι ομόσημοι. Πιο αλά το ρόσημο των τριγωνομετρικών αριθμών, φαίνεται στα αρακάτω σχήματα. 5.Ακτίνιο Λέμε ότι το τόξο κύκλου (Ο, ρ) είναι τόξο ενός ακτινίου (rad), όταν έχει μήκος ίσο με την ακτίνα ενός κύκλου. Λέμε ότι μια γωνία ω είναι γωνία ενός ακτινίου, όταν γίνει είκεντρη γωνία κύκλου (ο,ρ) και βαίνει σε τόξο ενός ακτινίου. Ένας κύκλος ακτίνας ρ έχει μήκος ρ και εομένως η γωνία 60 0 έχει rad, ενώ η γωνία 80 ο είναι rad.η γωνία rad είναι 80 μοίρες και γενικά η γωνία α rad είναι α 80 μοίρες.. Συμεραίνουμε λοιόν ότι: Αν μια γωνία είναι μ ο και α rad, τότε α = µ 80 Π.χ μια γωνία 0 ο 0 είναια = 0 = rad,ενώ μια γωνία rad είναι =. 08 Σημείωση: Στο εξής, όταν γράφουμε ημχ, συνχ κ.λ. θα εννοούμε ημ(χrad), συν(χrad) κ.λ.. 6) Τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών 0 ο,0 ο,45 ο,60 ο,90 ο

6 Γωνία ω 0 ο ή 0 rad 0 ο ή 6 rad 45 ο ή 4 rad 60 ο ή rad 90 ο ή rad ημω 0 συνω εφω 0 σφω δεν ορίζεται 0 δεν ορίζεται 0 Τριγωνομετρικές ταυτότητες Έστω μια γωνία ω της οοίας η τελική λευρά τεμνει τον τριγωνομετρικο κύκλο (0,) στο σημείο Μ(χ,ψ) όοτε έχουμε : ημω= y ρ = y,συνω= χ =χ (αφου ρ=) ρ i) Εειδή x + y = ρ =, έχουμε: ημ ω+συν ω= ii)αφού εφω= y χ και σφω= x y, έχουμε: ηµω εφω= συνω συνω, σφω= ηµω ιιι)παρατηρουμε ότι οι αριθμοι εφω και σφω είναι αντιστροφοι, δηλαδή εφω σφω = ιv)αό την ταυτότητα ημ ω+συν ω= :.αν συνω 0, έχουμε : + = ή ηµ ω συν ω συν ω συν ω συν ω εφ ω + = ή συν ω = συν ω + εφ ω

7 .αν ημω 0, έχουμε: ηµ ω συν ω + = ή σφ ω + = ή ηµ ω = ηµ ω ηµ ω ηµ ω ηµ ω + σφ ω Είσης είναι ηµ + εφ ω ω = συν ω = =, δηλαδή + εφ ω + εφ ω εφ ω ηµ ω = + εφ ω Αναγωγή στο ρώτο τεταρτηµόριο Ο υολογισμός των τριγωνομετρικών αριθμών μιας οοιασδήοτε γωνίας, ανάγεται στον υολογισμό των τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας του ου τεταρτημορίου..αντίθετες γωνίες Θεωρούμε δυο αντίθετες γωνίες ω και ω (ω = -ω)ου οι τελικές τους λευρές τέμνουν τον τριγωνομετρικό κύκλο στα σημεία Μ και Μ αντίστοιχα..τα σημεία Μ καιμ είναι συμμετρικά ως ρος άξονα x x και εομένως έχουν την ίδια τετμημένη και αντίθετες τεταγμένες. Είναι: ηµω = y= ηµω συν ω = χ = συνω y εφω = = εφω χ χ σφω = = σφω y Συμεραίνουμε λοιόν ότι: «Οι αντίθετες γωνίες έχουν το ίδιο συνημίτονο και αντίθετους τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς.» Δηλαδή είναι: συν ( ω) = συνω, ηµ ( ω ) = ηµω, εφ( ω ) = εφω, σφ ( ω ) = σφω

8 0 0 Π.χ είναι : ηµ ( 0 ) = ηµ 0 =-, συν ( ) = συν ( ) = 4 4.Παραληρωματικές γωνίες Θεωρούμε δυο αραληρωματικές γωνίες ω και ω (ω =80 ο +ω)ου οι τελικές τους λευρές τέμνουν τον τριγωνομετρικό κύκλο στα σημεία Μ και Μ αντίστοιχα. Τα σημεία αυτά είναι συμμετρικά ως ρος τον άξονα ψ ψ και εομένως έχουν αντίθετες τετμημενες και την ίδια τεταγμένη. Είναι: ηµω = y= ηµω συνω = χ = συνω y εφω = = εφω χ χ σφω = = σφω y Έτσι συμεραίνουμε ότι: «Οι αραληρωματικές γωνίες έχουν το ίδιο ημίτονο και αντίθετους τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς.» Δηλαδή είναι: 0 0 (80 ), (80 ) ηµ ω = ηµω συν ω = συνω 0 0 (80 ), (80 ) εφ ω = εφω σφ ω = σφω.χ ημ50 ο =ημ(80 ο 0 ο )=ημ0 ο =, εφ =εφ( - )=-εφ = Γωνιες ου διαφέρουν κατά 80 ο Αν είναι ω -ω=80 ο, τότε έχουμε ω =80 ο +ω=80 ο (-ω), δηλαδή οι γωνιες ω καιω είναι αραληρωματικές. Είναι: ηµ ω = ηµ ( ω ) = ηµω, συνω = συν ( ω ) = συνω εφ ω = εφ ( ω ) = εφω, σφω = σφ ( ω ) = σφω

9 «οι γωνίες ου διαφέρουν κατά 80 ο (ή rad ) έχουν την ίδια εφατομένη και συνεφατομένη, ενώ έχουν αντίθετο ημίτονο και συνημίτονο.» Δηλαδή είναι: 0 0 ηµ (80 + ω ) = ηµω, συν (80 + ω ) = συνω 0 0 εφ (80 + ω ) = εφω, σφ (80 + ω ) = σφω Π.χ ημ40 ο =ημ(80 ο +60 ο )= - ημ60 ο =- 4.Συμληρωματικές γωνίες Θεωρούμε δυο συμληρωματικές γωνίες ω και ω(ω =90 ο -ω) ου οι τελικές τους λευρές τέμνουν τον τριγωνομετρικό κύκλο στα σημεία Μ και Μ αντίστοιχα. Οι γωνίες AO M και BOM είναι ίσες και εομένως τα σημεία Μ και Μ είναι συμμετρικά ως ρος τη διχοτόμο της γωνίας xo ψ. Είναι: ηµω = χ = συνω, συνω = y = ηµω χ y εφω = = σφω, σφω = = εφω y χ Έτσι συμεραίνουμε ότι: «Στις συμληρωματικές γωνίες το ημίτονο καθεμίας ισούται με το συνημίτονο της άλλης και η εφατόμενη καθεμίας ισούται με τη συνεφατομένη της άλλης..» Δηλαδή είναι : ηµ (90 ω) = συνω, συν (90 ω) = ηµω, εφ(90 ω) = σφω, σφ(90 ω) = εφω Π.χ ημ60 ο =συν0 ο =, εφ67 ο =σφ 0,σφ =εφ 6 = Συνοτικά τα αραάνω αοτελέσματα μορούμε να τα αρουσιάσουμε στον αρακάτω ίνακα.

10 Πίνακας αναγωγής στο ρώτο τεταρτημόριο χ -α -α +α α +α α +α ημχ -ημα ημα -ημα συνα συνα -συνα -συνα συνχ συνα -συνα -συνα ημα -ημα -ημα ημα εφχ -εφα -εφα εφα σφα -σφα σφα -σφα σφχ -σφα -σφα σφα εφα -εφα εφα -εφα Για να θυμόμαστε εύκολα τον αραάνω ίνακα, αρκεί να γνωρίζουμε ότι:. Ο τριγωνομετρικός αριθμός αραμένει ο ίδιος αν η γωνία χ είναι της μορφής ± α και αλλάζει αό ημ σε συν,αό εφ σε σφ και αντίστροφα όταν η γωνία χ είναι της μορφής ± α ή ±α.. Το ρόσημο εξαρτάται αό το τεταρτημόριο στο οοίο βρίσκεται η τελική λευρά της γωνίας χ (θεωρούμε ότι 0<α< ).Είναι «+» αν ο τριγωνομετρικός αριθμός του χ είναι θετικός και «-» αν είναι αρνητικός στο τεταρτημόριο αυτό. Λυμένες Ασκήσεις )Να βρείτε τους αριθμούς i) ημ5 ο ii)συν(-660 ο ) iii)εφ470 ο i) Διαιρώντας το 5 με το 60 βρίσκουμε 5 ο =.60 ο +45 ο και εομένως ημ5 ο = ημ(.60 ο +45 ο ) = ημ45 ο = ii) συν(-660 ο )=συν(-70 ο +60 ο )=συν(-.60 ο +60 ο )=συν60 ο =συν60 ο = iii)εφ470 ο =εφ(4.60 ο +0 ο )=εφ0 ο =. Παρατήρηση: Για να υολογίσουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς μιας γωνίας μ ο >60 ο, εργαζόμαστε ως εξής: Διαιρούμε το μ με το 60.Αν κ είναι το ηλίκο και ω το υόλοιο της διαίρεσης (0 ο ω 60 ο ), τότε έχουμε μ ο =κ.60 ο +ω ο και οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας μ ο ταυτίζονται με τους αντιστοίχους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω. )Να βρείτε τους αριθμούς : 5 6 i) ημ ii) συν iii)εφ iv)σφ 6

11 5 5 5 i)είναι =.Αν διαιρέσουμε το 5 με το, βρίσκουμε 5=.+, δηλαδή = +. 6 Εομένως 5 ( ) 5 = + = + και ηµ = ηµ ( + ) = ηµ = ii) Είναι (4 ) 4 = = + = + και συν = συν (4 + ) = συν = iii)είναι 6 6 (0 ) 0 6 = = + = + καιεφ = εφ(0 + ) = εφ =. 6 8 iv) 4 4 = = (0+ ) = 0 + και 4 σφ = σφ(0 + ) = σφ = )Αν ηµω = και 90 ο ω 80 ο, να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της 5 γωνίας ω. 9 6 Είναι συν ω = ηµ ω = ( ) = = Αφού 90 ο ω 80 ο,είναι συνω <0 και εομένως συνω = =. 5 5 ηµω Ακόμη έχουμε 5 συνω 4 εφω = = = και εφω = =. συνω 4 4 ηµω 5 4)Να αοδείξετε ότι : εφ χ = ηµ χ = συν χ + εφ χ ηµ χ συν χ ηµ χ εφ χ συν χ συν χ συν χ ηµ χ συν χ ηµ χ = = = = = + εφ χ ηµ χ συν χ+ ηµ χ συν χ+ ηµ χ + συν χ συν χ συν χ ηµ χ = ηµ χ ηµ χ = ηµ χ και ακόμη συν χ ηµ χ = συν χ ( συν χ) = συν χ. 5)Να αοδείξετε τις ταυτότητες i) συν εφ ω ω = ii) ηµ ω = + εφ ω + εφ ω

12 i)κάνοντας ράξεις στο δεύτερο μέλος της αοδεικτέας βρίσκουμε: συν ω = = = = συν ω. ς + εφ ω ηµ ω συν ω+ ηµ ω συν ω+ ηµ ω + συν ω συν ω ii)είναι: ηµ ω+ συν ω = ηµ ω = συν ω. Όμως ξέρουμε ότι : συν ω = και εομένως έχουμε: + εφ ω ηµ + εφ ω εφ ω ω = = =. + εφ ω + εφ ω + εφ ω 6)Αν το ημίτονο και το συνημίτονο της γωνίας ω είναι ίσοι αριθμοί τότε να βρείτε οιες μορεί να είναι οι τιμές τους. Είναι ηµ ω = συν ω και εομένως η ταυτότητα ηµ ω+ συν ω = δίνει: ηµ ω+ συν ω = ηµ ω = ηµω =± Άρα ηµω =συνω = ή 7)Έστω θ γωνία τέτοια ώστε ηµω =συνω =. ηµθ +συνθ = i) Να υολογίσετε τον αριθμό ηµθ συνθ. + ii) Να βρείτε τις ιθανές τιμές των αριθμών ημθ και συνθ. + i) Είναι ηµθ +συνθ = και εομένως έχουμε: ( Υψώνουμε στο τετράγωνο) + + = + + = + + = + ( ηµθ συνθ ) ( ) ηµ θ συν θ ηµθσυνθ ηµθσυνθ ηµθσυνθ = 4 ii) Παρατηρούμε ότι οι αριθμοί ημθ και συνθ έχουν άθροισμα ίσο με + και γινόμενο ίσο με Άρα είναι: ημθ = και συνθ = ή συνθ = και ημθ =

13 8)Αν ηµχ + συνχ = λ, να υολογίσετε (ως συναρτηση του λ) τις αρακάτω αραστάσεις : i)ηµχσυνχ ii) ηµ χ+ συν χ iii) ηµ χ + συν χ iv) ηµ χ + συν χ i) Αφού ηµχ + συνχ = λ, έχουμε: ( ηµχ + συνχ) = λ ηµ χ+ συν χ + ηµχσυνχ = λ + ηµχσυνχ ηµχσυνχ = λ. ii) λ λ ηµ χ+ συν χ = ( ηµχ + συνχ)( ηµ χ ηµχσυνχ + συν χ) = λ ( ) = λ = = λ( λ ). 4 4 iii) ηµ χ + συν χ = ( ηµ χ) + ( συν χ) = ( ηµ χ+ συν χ) ηµ χσυν χ = 4 λ ( λ ) λ + λ 4 = ( ) = = = ( λ + λ ). iv) ηµ χ+ συν χ = ( ηµ χ) + ( συν χ) = ( ηµ χ + συν χ)( ηµ χ ηµ χσυν χ + συν χ) = λ + λ ( λ ) 4 ηµ χ + συν χ ( ηµχσυνχ ) = = (6λ λ + ) )Να εξετασετε αν υαρχουν τιμές του χ για τις οοίες ισχύει: i) ηµχ = και συνχ = ii) ηµχ = α και συνχ = α+ οου α R Αν υάρχει τέτοιο χ, θα ισχύει ηµ χ+ συν χ =. i) Στην ερίτωση αυτή έχουμε: ηµ χ + συν χ = ( ) + ( ) = + = Άρα δεν υάρχει χ ώστε: ηµχ = και συνχ =. ii) Αντίστοιχα έχουμε: ηµ χ + συν χ = ( α ) + ( α ) = α + 4α + 4+ α 4α + 4= α Διότι αν ήταν α + 8= α = 7 α = ου δε ισχύει γιατί για κάθε α R ισχύει α 0. Συνεώς δεν υάρχει χ ώστε συνχ =α+ και ηµχ =α όου( α R). 0)Να υολογιστούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών:

14 i) ii)5 o iii) 7 6 i )Είναι: ηµ ( ) = ηµ =, ( συν ) = συν = εφ ( ) = εφ = καισφ ( ) = σφ =. ii)εειδή 80 ο 5 ο =45 ο, είναι: ηµ 5 ο =ηµ 45 0 =, συν5 ο = συν 45 0 = ο 0 ο 0 εφ5 = εφ45 =, σφ5 = σφ 45 =. 7 7 iii) Εειδή =, θα είναι : = + όοτε ηµ = ηµ ( + ) = ηµ = συν = συν ( + ) = συν = εφ = εφ = σφ = σφ =. 6 6 )Να αοδειχθει ότι : ηµ ( θ ) συν (5 + θ ) εφ(7 + θ ) σφ(9 θ ) = ηµ ( θ ) συν (4 θ ) εφ(6 θ ) σφ(8 + θ ) Θα κάνουμε χρήση των τύων αναγωγής. Είναι : ηµ ( θ ) = ηµ ( + θ ) = ηµ ( θ ) = ηµθ συν (5 + θ ) = συν (4 + + θ ) = συν ( + θ ) = συνθ εφ(7 + θ ) = εφ(6 + + θ ) = εφ( + θ ) = εφθ σφ(9 θ ) = σφ(8 + θ ) = σφ( θ ) = σφθ Όμοια για τον αρανομαστή ηµ ( θ ) = ηµ ( θ ) = ηµθ συν (4 θ ) = συν ( θ ) = συνθ εφ(6 θ ) = εφ( θ ) = εφθ

15 σφ(8 + θ ) = σφθ Έτσι: ηµ ( θ ) συν (5 + θ ) εφ(7 + θ ) σφ(9 θ ) = ηµ ( θ ) συν (4 θ ) εφ(6 θ ) σφ(8 + θ ) ηµθ ( συνθ ) εφθ ( σφθ ) = ηµθ συνθ ( εφθ ) σφθ Ασκήσεις ρος λύση. Αοδείξτε ότι: (ημx + συνx) = + ημx.συνx.. Αλοοιήστε τις αραστάσεις: α) εφx.συνx β) ημx.συν x + ημ x γ) ηµ x + ηµ x. Αλοοιήστε τις κλασματικές αραστάσεις: α) β) 4 συν x - συν x 4 ηµ x - ηµ x ηµ x -ηµ y συν x -συν y 4. Αν ημ5 = α) το συν5 β) την εφ5 ( - ) και ημ75 = ( + ) να βρείτε: 4 4 µ α 5. Χρησιμοοιώντας τον τύο =, να συμληρώσετε τον ίνακα: 80 Μέτρο γωνίας σε μοίρες Μέτρο γωνίας σε ακτίνια / / / 4

16 6. Με βάση τα στοιχεία ου σημειώνονται στο διλανό τριγωνομετρικό κύκλο και τις ααραίτητες ευθείες ου ρέει να χαράξετε, να βρείτε: α) συν0 β) συν0 συν90 συν0 συν80 συν40 συν70 συν0 Δικαιολογήστε την αάντησή σας στο (β) ερώτημα. 7. Στο διλανό τριγωνομετρικό κύκλο: Να σχεδιάσετε τις γωνίες ου σημειώνονται στους ίνακες Α, Β, Γ και στη συνέχεια να συμλη-ρώσετε τους ίνακες αυτούς.. 8.Συμληρώστε στον αρακάτω ίνακα το τεταρτημόριο στο οοίο βρίσκεται η τελική λευρά της γωνίας θ. ημθ > 0 και συνθ < 0 εφθ < 0 και συνθ < 0 σφθ > 0 και συνθ > 0 εφθ < 0 και συνθ > 0 ημθ < 0 και εφθ < 0 σφθ < 0 και ημθ > 0 ημθ > 0 και εφθ > 0 ημθ > 0 και συνθ < 0 τεταρτημό ριο τελικής λευράς 9. Πόσο είναι σε ακτίνια οι γωνίες: α) ενός ισόλευρου τριγώνου; β) ενός ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου

17 0. Να συμληρώσετε τον αρακάτω ίνακα. γωνία θ ρόσημο ημθ ρόσημο συνθ ρόσημο εφθ ρόσημο σφθ. Αν ημθ < 0 και εφθ > 0, τότε η τελική λευρά της γωνίας θ βρίσκεται: Α. στο ο τεταρτημόριο Β. στο ο τεταρτημόριο Γ. στο ο τεταρτημόριο Δ. στον ημιάξονα Οx Ε. στο 4 ο ή ο τεταρτημόριο. Εάν ημθ = 0,4 και 0 < θ < 90, υολογίστε το συνθ και την εφθ.. Εάν ημy = και 90 < y < 80, υολογίστε το συνy και την εφy. 4. Εάν εφθ = 5 8 και 80 < θ < 70, υολογίστε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας θ. 5. Εάν εφθ = - 4 και 70 < θ < 60, να υολογίσετε τους άλλους τριγωνο- μετρικούς αριθμούς της γωνίας αυτής. 6. Αν εφθ - = 0 και ημθ < 0, να βρεθεί το συνθ. 7.Αν 6ημ x + ημx - = 0 και < x <, να βρεθεί το συνx. 8. Αοδείξτε ότι για οοιεσδήοτε γωνίες x, α, β ισχύουν: α) (ημx - συνx) = - ημx. συνx β) ημ 4 x - συν 4 x = ημ x - συν x = - συν x = ημ x - γ) ( + ημx + συνx) = ( + συνx) ( + ημx) δ) -εφ +εφ x x = - ημ x ε) - συν x +ηηµ = ημx

18 στ) ημ α ( + σφ α) + συν α ( + εφ α) = ζ) εφα +σφβ σφα +εφβ εφα = εφβ 9. Αν ηµx + συνx =, τότε η γωνία x αίρνει: Α. καμία τιμή B. μια τιμή Γ. τρεις τιμές Δ. άειρες τιμές Ε. τέσσερις τιμές 0. Αν ηµx + συνx = 0, τότε η τελική λευρά της γωνίας x βρίσκεται: Α. στο ο τεταρτημόριο B. στο ο τεταρτημόριο Γ. στο ο τεταρτημόριο Δ. στο 4 ο τεταρτημόριο Ε. δεν υάρχει γωνία x ου να ικανοοιεί αυτή τη σχέση. Βρείτε τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη τιμή των αραστάσεων: γ) y = α) y = + συνx β) y = 5 + ημ x -ηµ x. Αν x, x είναι ρίζες της εξίσωσης ( + ημφ) x - ( + ημ φ) x + ( - ημφ) ημφ = 0, ημφ - τότε να δείξετε ότι: x + x + x x=. Αν συνx - ημx = ημx, τότε και συνx + ημx = συνx. 4. Αν ημθ + 5συνθ = 5, τότε να δείξετε ότι: (συνθ - 5ημθ) = Αν το ημx = 5, 90 < x < 80, τότε το συνx ισούται με: Α. - Β. Γ. 8 Δ. - 8 Ε Για οοιαδήοτε γωνία x, με x κ και κ Ζ, η έκφραση (ημx) ισούται με: Α. 4ημx B. ημ x Γ. ημ4x Δ. ημ4x Ε. 4ημx

19 7. Να χαρακτηρίσετε με σωστό ή λάθος τις ισότητες: Σωστό Λάθος α) ημ500 = ημ40 β) συν750 = συν0 γ) εφ (-00 ) = εφ (-0 ) 8. Να βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών: 780, 0, 7 9. Να δείξετε ότι: εφ (740 + x - y) - εφ (0 + x - y) = Να αλοοιηθεί το κλάσμα:. Υολογίστε: α) ημ (- 6 ) β) εφ (-45 ) ηµ (+α) σϕ (7+α) συνα συν (+α) σϕ (4 + α) ηµα γ) συν (- ) δ) σφ (- 60 ). Εάν x και y είναι δύο οοιεσδήοτε γωνίες, να δείξετε ότι: α) συν (x- y) = συν (y- x) β) ημ (x- y) = - ημ (y- x). Εαληθεύστε τις ισότητες: α) συν (x - ) = συν (x + ) β) ημ (x - ) = ημ ( + x) 4. Να εκφράσετε συναρτήσει του συνx και του ημx την αράσταση: Α = συν (- x) + ημ (- x) + ημ ( + x) + συν ( - x) 5. Δίνεται: συν 8 = +. Υολογίστε: α) ημ γ) ημ και συν β) ημ και συν 8 8 δ) ημ (- 8 ) και συν (- 8 ) ε) ημ 5 5 και συν Υολογίστε το ημίτονο και το συνημίτονο των αρακάτω γωνιών: α) ,, -,,

20 β) -,,,, γ), -,,, δ) -,, 6 4 Χρησιμοοιήστε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών τύους ου συνδέουν τις γωνίες 7. Το ημ (- ω) ισούται με: Α. συνω Β. - ημω Γ. ημω Δ. - συνω Ε. κανένα αό τα ροηγούμενα, και καθώς και τους Το συν ( + ω) ισούται με: Α. ημ (-ω) Β. συνω Γ. ημω Δ. - συνω Ε. κανένα αό τα ροηγούμενα 9. Η εφ ( + ω) ισούται με: Α. σφω Β. εφω Γ. - εφω Δ. σφ (-ω) Ε. κανένα αό τα ροηγούμενα8. Να δειχθεί ότι ημ (κ60 + x) + συν (κ60 - x) =. 40. Αν ημx = 5, 90 < x < 80, τότε εφx ισούται με: Α. 4 Β. 4 Γ. - 4 Δ. 6 9 Ε Το άθροισμα ημ (-ω) + συν (-ω) + ημ (80 - ω) + συν (80 - ω) ισούται με: Α. Β. - Γ. 0 Δ. Ε. ημω 4. Να δειχθεί ότι οι διαγώνιοι ενός τετραλεύρου ΑΒΓΔ τέμνονται κάθετα αν το άθροισμα των ημιτόνων των τεσσάρων γωνιών ου έχουν κορυφή το σημείο τομής των διαγωνίων είναι Να δειχθεί ότι η εφατομένη κάθε εξωτερικής γωνίας οξυγώνιου τριγώνου είναι αρνητικός αριθμός. 44. Αν x γωνία τριγώνου, να δειχθεί ότι ημ x - 60 = - ημx.

21 45. Να γράψετε συναρτήσει των τριγωνομετρικών αριθμών γωνίας θετικής και μικρότερης αό 45 τις εκφράσεις: α) εφ85, β) ημ65, γ) συν5 46. Η αράσταση ημ x + ημ ( - x) ισούται με: Α. Β. 0 Γ. ημ x Δ. Ε. - ημ x 47. α) Να αοδείξετε ότι: συν (x + 45 ) = ημ (45 - x) β) Να βρεθεί η αριθμητική τιμή του αθροίσματος: συν (x + 45 ) + συν (x - 45 ) + ημ (45 - y) + ημ (y + 45 ). 48. Να αοδείξετε ότι: - ηµ (70 +θ) ηµ (80 +θ) - =. +συν (90 +θ) συν (80 -θ) 49. Να αλοοιηθεί η κλασματική αράσταση: ηµ ( + x) ηµ ( - x) συν ( x) συν ( + x). 50. Να δείξετε ότι για κάθε κ Ζ είναι: ημx = (-) κ συν [(κ + ) - x]

22 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός :Μια συνάρτηση F ορισμένη σε ένα σύνολο Α λέγεται εριοδική όταν υάρχει Τ R (Τ>0, Τ ανεξάρτητο του χ) τέτοιο ώστε για κάθε χ Α. Να ισχύει: χ+τ Α, χ-τ Α και F(χ-Τ)= F(χ+Τ) Ο αριθμός Τ λέγεται ερίοδος της συνάρτησης.. Αν υάρχουν ολλοί τέτοιοι αριθμοί, τότε ερίοδο ονομάζουμε το μικρότερο αό αυτούς... Οι συναρτήσεις ημχ και συνχ έχουν εδίο ορισμού όλο το R και είναι εριοδικές με ερίοδο, ενώ οι συναρτήσεις εφχ και σφχ έχουν ερίοδο το.. Η εφχ έχει εδίο ορισμού το R- κ +, όου κ ακεραιος, ενώ η σφχ το κ οου κ ακεραιος }. R-{, Ορισμός:Μια συνάρτηση με εδίο ορισμού το Α θα είναι άρτια αν: i) Α συμμετρικό ως ρος το 0 και ii)για κάθε χ Α ισχύει f(x)=f(-x) ενώ θα είναι εριττή αν: i) Α συμμετρικό ως ρος το 0 και ii) για κάθε χ Α ισχύει f(x)=f(-x). Το γεγονός ότι μια συνάρτηση είναι εριοδική είναι ολύ σημαντικό γιατί μας ειτρέει να μελετήσουμε την συνάρτηση και να κάνουμε την γραφική αράσταση μόνο σε διάστημα λάτους Τ (γιατί σε κάθε διάστημα λάτους ( η γραφική αράσταση της συνάρτησης θα εαναλαμβάνεται η ίδια ).Δηλαδή, την ημχ και την συνχ μορούμε να την μελετήσουμε λήρως σε ένα διάστημα λάτους, ενώ την εφχ και την σφχ σε διάστημα λάτους. Εκτός του ότι οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι εριοδικές, αν αρατηρήσουμε ροσεκτικά τον ίνακα ανάγωγης στο ο τεταρτημόριο, θα δούμε ότι τελικά οι ημχ, εφχ και σφχ είναι εριττές, ενώ η συνχ είναι άρτια. Αυτό σημαίνει ότι η μελέτη αυτών των συναρτήσεων μορεί να γίνει σε μικρότερο διάστημα αό αυτό ου είαμε ροηγουμένως. Π.χ Έστω η συνάρτηση f(χ)=συνχ.αντί να την μελετήσουμε στο[0,],ειλέγουμε στο διάστημα [-,] ου έχει το ίδιο λάτος εειδή είναι συμμετρικό ως ρος το Ο. Εειδή είναι άρτια η συνάρτηση, θα την μελετήσουμε και θα κάνουμε την γραφική αράσταση της στο [0,].Η γραφική αράσταση στο [-,0] θα είναι συμμετρική της ρώτης ως ρος τον ψ ψ άξονα.. Πίνακας αναγωγής στο ρώτο τεταρτημόριο χ -α -α +α α +α α +α ημχ -ημα ημα -ημα συνα συνα -συνα -συνα συνχ συνα -συνα -συνα ημα -ημα -ημα ημα εφχ -εφα -εφα εφα σφα -σφα σφα -σφα

23 σφχ -σφα -σφα σφα εφα -εφα εφα -εφα ΜΕΛΕΤΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ f(x)=ημχ Πεδίο ορισμού: R Σύνολο τιμων:[-,] Περιοδικη:με εριοδο[0,] Η μελετη της θα γίνει στο διάστημα [0,] Πίνακας τιμών χ 0 Μονοτονια χ 0 ημχ ηµχ Γραφικη αράσταση στο [0,] Μεγιστη τιμή: Για χ=, το ημ = Ελαχιστη τιμή :Για χ=,το ημ =- Περιττη: Ισχύει F(-χ) =ημ(-χ)=-ημχ=-f(x) Κεντρο συμμετριας : Η αρχή των αξονων Ο(0,0). Γραφικη αράσταση στο R

24 - 4 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ f(x)=συνχ Πεδίο ορισμού: R Σύνολο τιμών: :[-,] Περιοδικη:με εριοδοτ= Η μελετη της θα γίνει στο διάστημα [0,] Πίνακας τιμών χ 0 ημχ 0-0 Μονοτονια χ 0 συνχ Γραφική αράσταση στο [0, ] Μέγιστη τιμή: Για χ=0, το συν0= Ελάχιστη τιμή :Για χ=, το συν= - Άρτια: Ισχύει f (-χ) = συν(-χ) =συνχ = f(x) Κέντρο συμμετρίας : Ο αξονας ψ ψ Γραφική αράσταση στο R ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

25 f(x)=εφχ Πεδίο ορισμού: R-{χ=κ+ κ Ζ} Σύνολο τιμων:r Περιοδικη: με εριοδο Τ= Η μελέτη της θα γίνει στο διάστημα [, ] χ εφχ Μονοτονια - 0 Περιττη: Ισχύει f(-χ) = εφ(-χ) =-εφχ = f(x) Κεντρο συμμετριας : Η αρχή των αξονων Ο (0,0) Ασυμτωτες: Οι ευθειες x = και x = Γραφικη αράσταση στο [, ]

26 Γραφικη αράσταση στο R -{χ=κ + κ Ζ } f(x)=σφχ Πεδίο ορισμού: R-{χ=κ κ Ζ } Σύνολο τιμων: R Περιοδικη: με εριοδο Τ= Η μελετη της θα γίνει στο διάστημα [ 0, ] σφχ χ 0 Μονοτονια Περιττη: Ισχύει f(-χ) = εφ(-χ) =-εφχ = f(x) Κεντρο συμμετριας : Η αρχή των αξονων Ο (0,0) Ασυμτωτες: Οι ευθειες x = 0 και x = Γραφικη αράσταση στο [ 0, ]

27 Γραφικη αράσταση στο R -{χ=κ κ Ζ } ΠΡΟΣΟΧΗ!!!! Οι συναρτήσεις της μορφής :f(x)=ρημωχ και f(x) =ρσυνωχ οού ρ,ω R : i) έχουν μέγιστη τιμή ίση με ρ και ελάχιστη τιμή ίση με - ρ. ii) Είναι εριοδικές με ερίοδο ίση με Τ= ω Οι συναρτήσεις της μορφής :f(x)=ρεφωχ και f(x) =ρσφωχ οού ρ,ω R : i) δεν έχουν ακροτατα (μέγιστο ή ελάχιστο). ii)είναι εριοδικές με ερίοδο ίση με Τ= ω

28 Λυμένες ασκήσεις (Τριγωνομετρικές συναρτήσεις ) )Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων f(x) =4ημχ και g(x)=ημ χ Η καμύλη ψ=4ημχ έχει ερίοδο, μέγιστη τιμή ίση με 4 και ελάχιστη τιμή ίση με 4. χ Η καμύλη ψ=ημ έχει ερίοδο = 4, μέγιστη τιμή ίση με και ελάχιστη τιμή ίση με. Λαμβάνοντας υοψιν την γενική μορφή της καμύλης ψ=ρημωχ )Να σχεδιάσετε την γραφική αράσταση της συνάρτησης f(x)=ηµχ- Η καμύλη ψ = ημχ- ροκύτει αό την μετατόιση της ψ=ημχ ρος τα κάτω.

29 Παρατήρηση Αν γνωρίζουμε την καμύλη με εξίσωση ψ = f ( x) τότε μορούμε άμεσα να σχεδιάσουμε τις καμύλες με εξισώσεις ψ = f ( x) + a και ψ = f ( x+ a). Η καμύλη με εξίσωση ψ = f ( x) + a ροκύτει αό την καμύλη με εξίσωση ψ = f ( x) με μετατόιση κατά α ρος τα κάτω αν α<0 ή κατά α ρος τα άνω αν α>0. Η καμύλη με εξίσωση ψ = f ( x+ a) ροκύτει αό την καμύλη με εξίσωση ψ = f ( x) με μετατόιση κατά α ρος τα δεξιά αν α<0 ή κατά α ρος τα αριστερά αν α >0. )Στο σχήμα αριστάνεται μια εριοδική συνάρτηση της f. Να βρείτε ένα ιθανό τύο της f. Αό την γενική μορφή της καμύλης συμεραίνουμε ότι ένας ιθανός τύος της συνάρτησης f είναι ο f(x)=ρημωχ. Η μέγιστη τιμή της f είναι ίση με 9, άρα ρ=9 Η ερίοδος της f είναι ίση με 4, άρα = 4 ω = ω Εομένως ένας ιθανός τύος για την f είναι ο χ f(x)= 9ηµ 4)Σε μια εριοχή στο Παλλιριστάν το βάθος της θάλασσας μεταβάλλεται εριοδικά λόγω της αλίρροιας. Σε ένα συγκεκριμένο σημείο το βάθος της θάλασσας (σε μ) δίνεται για μια ημέρα αό την συνάρτηση: t f ( t ) = 5+ 4,5συν ( ) 6 t 0,4 είναι ο χρόνος (σε ώρες) ου έρασε αό τα μεσάνυχτα. όου [ ] i)να σχεδιάσετε την γραφική αράσταση της συνάρτησης f. ii) Με βάση το σχήμα να βρείτε σε οια χρονικά διαστήματα είχαμε λημμυρίδα και σε οια είχαμε άμωτη.

30 t Η καμύλη ψ = 4, 5 συν ( ) έχει μέγιστη τιμή 4,5 ελάχιστη τιμή 4,5 και ερίοδο 6 =.Για να σχεδιάσουμε την συνάρτηση f αρκεί να μετατοίσουμε την καμύλη 6 t ψ = 4, 5 συν ( ) κατά 5 μονάδες ρος τα άνω. 6 ii)στα διαστήματα τα οοία η f είναι γνησίως αύξουσα( δηλαδή στα [6,],[8,4])έχουμε λημμυρίδα ενώ στα διαστήματα στα οοία η f είναι γνησίως φθίνουσα ( δηλαδή στα [0,6],[,8] έχουμε άμωτη. 5)Να γίνουν οι γραφικές αραστάσεις i) f(x)= ηµ ( χ ) ii) f(x)= εφ ( χ+ ) i)όταν f(x)=g(x-κ), τότε η γραφικη αράσταση της f(x) είναι η αραλληλη μετατοιση της γραφικηςαραστασης της g(x) κατά κ μονάδες [δεξιά αν κ>0 ή αριστερα αν χ<0].άρα η γραφικη αράσταση της f(x) θα είναι η αραλληλη μετατοιση της ημχ ρος τα δεξιά κατά μονάδες. Είσης η f(x) θα έχει εδίο ορισμού ολο το R και εριοδο.

31 ii) f(x)= εφ ( χ+ ). Η γραφικη αράσταση της f(x) είναι η αραλληλη μετατοιση της g(x)=εφχ κατά ρος τα αριστερα.η f(x) έχει εριοδο όως και η g(x)=εφχ. Εειδη η g(x) έχει εδίο ορισμού R κ +, κ Ζ,η f(x) θα έχει R κ, κ Ζ εδίο ορισμού { } Προσοχή!! ηµχ Εειδη η εφχ =,για να οριζεται ρέει συνχ 0, άρα χ κ +.Εδώ κ + συνχ με κ Z είναι τα σημεια τομης της γραφικης αράστασης της f(x)= εφ ( χ+ ) με τον χ χ. χ 6)Να γίνει η γραφική αράσταση τηs f(x)= ηµ χ Εειδή η g(x) = ηµχ έχει εδίο ορισμού όλο το R και η h(x)= ηµ θα έχει εδίο ορισμού το R [ το ημίτονο ορίζεται για κάθε τόξο].όως είαμε στην θεωρία, η συνάρτηση ημ(ωχ) έχει ερίοδο Τ=.Άρα η ερίοδος της h(x): =4. ω χ χ Εειδή όμως f(-x)= = ηµ ( ) = ηµ = f (x),η f είναι εριττή. Άρα αρκεί να μελετηθεί σε διάστημα λάτους, χ στο[0,].

32 χ χ 0 ηµ F(x) 0 0 Με την βοήθεια αυτού του ίνακα, φτιάχνουμε την γραφική αράσταση της f(x) αό το 0 έως το. Η αντίστοιχη γραφική αράσταση στο [-,0] φτιάχνεται συμμετρικά ως ρος το Ο(0,0). Η υόλοιη γραφική αράσταση είναι εανάληψη της καμύλης ου ροέκυψε [λάτους [-,]]. Παρατήρηση Γενικά για να βρούμε τη ερίοδο μιας συνάρτησης λύνουμε την εξίσωση f(x+t)=f(x) και υολογίζουμε το Τ, το οοίο ρέει να είναι ανεξάρτητο του χ. Αν υάρχουν ολλά τέτοια ειλέγουμε το μικρότερο θετικό. 7)Να βρεθούν τα σύνολα τιμών των αρακάτω συναρτήσεων: i) f (x) = 4+ 6ηµχ ii) f (x) = 9 ηµχ i) Ξέρουμε ότι: ηµχ 6 6ηµχ ηµχ ηµχ 0 f ( x) 0 Άρα f(a)=[-,0].

33 ii) συνχ ηµχ 9+ 9 συνχ συνχ 7 f ( x) 7 Άρα f(a)=[7,]. 8)Να εξετασετε αν οι συναρτήσεις : 7 ηµ χ+εφ χ i) f (x) = ii) f (x) = συν χ+συνχ+ ηµ χ+ 5 είναι άρτιες ή εριττές. i) Το εδίο ορισμού της f είναι το R. Ξέρουμε ότι, για κάθε, x R, x R(συμμετρικό εδίο ορισμού). 7 7 ηµ ( χ) +εφ ( χ) ηµ χ εφ χ ( x) = = = ηµ ( χ) + 5 ( ηµ x) + 5 f 7 ( ηµ χ+εφ χ) = ( ηµ x) ηµ χ+εφ χ = f (x). ηµ x + 5 Άρα η συνάρτηση είναι εριττή. ii)το εδίο ορισμού της g είναι το R. Ξέρουμε ότι, για κάθε, x R, x R g(-x)= συν ( χ) +συν( χ) + = συν χ+συνχ+ = g(x). 7 ( ηµ χ+εφ χ) ηµ x + 5 = 9)Να βρεθούν η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή και η ερίοδος των ιο κάτω συναρτήσεων: χ i) f(x)=- ηµ ii)g(x)=-συν(- χ) iii) h(x)=εφ(-χ) i) Η f έχει μέγιστο το =,και ελάχιστο το και ερίοδο T= = 4. ii) Η g έχει μέγιστο το =,και ελάχιστο το και ερίοδο 4 4 T= = = = =. iii) Η h δεν έχει μέγιστο, ούτε ελάχιστο. Έχει ερίοδο Τ= =.

34 0)Αν είναι α<β, να συγκριθούν οι αριθμοί 4 α β i) ημα και ημβ ii)ημα και ημβ iii)ημ και ημ i)εειδή η συνάρτηση ημχ είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [, ] και είναι α<β 4 4 θα είναι ημα <ημβ. ii)έχουμε α<β.άρα είναι α< β και εειδή η συνάρτηση ημχ είναι γνησίως 4 φθίνουσα, θα είναι ημα>ημβ. α β α β iii)έχουμε α<β. Άρα είναι < όοτε: ημ < ημ Ασκήσεις ρος λύση. )Να σχεδιάσετε τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων: χ i) f(x)= ηµχ ii) f(x)= ηµ iii) f(x)=ηµ χ iv) f(x)=-ηµ χ. ) Να σχεδιάσετε τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων: χ i) f(x)= συνχ ii) f(x)= συνχ iii ) f(x)= + συν ) Να σχεδιάσετε τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων: i) f(x)= εφ χ χ ii) f(x)= εφ iii ) f(x)= εφ ( χ ) 4 4)Να βρείτε τις εριόδους των συναρτήσεων: χ i) f(x)= ηµχ ii) f(x)= ηµ iii) f(x)=ηµ χ iv) f(x)= συνχ v) f(x)= συν χ 5)Βρείτε την ερίοδο, την μέγιστη, και την ελάχιστη τιμή των συναρτήσεων. 5 x i) f(x)= 7ηµ ( χ) ii) f(x)= 0ηµ ( ) f(x)= ηµ ( χ) 8

35 6)Να αοδείξετε ότι οι αρακάτω συναρτήσεις είναι σταθερές. 4 4 i)f(χ)= ηµ χ+συν χ+ ηµ χ συν χ ii) f(x)= εφ χ + ( συν χ+ ) +εφ χ 7) Να ροσδιορίσετε την τριγωνομετρική συνάρτηση με ερίοδο 0 η οοία να είναι εριττή και να έχει μέγιστη τιμή το 6. 8)Να ροσδιορίσετε τριγωνομετρική συνάρτηση με ερίοδο 8 η οοία να είναι άρτια και να έχει ελάχιστη τιμή το. 9)Να βρείτε το σύνολο τιμών των αρακάτω συναρτήσεων: x i) f(x)= συν500 χ+ 4 ii) f(x)= 0 ηµ ( ) + 6 0)Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων: i) f(x)= συν χ και f(x)= συν χ + ii) f(x)= ηµ (χ) και f(x)= ηµ ( χ) iii) f(x)= ηµ ( χ) και f(x)= ηµ(χ) )Δίνεται η συνάρτηση f(x)= 8 συν( αχ) α.να ροσδιορίσετε τον θετικό αριθμό α σε καθεμία αό τις εριτώσεις: i)η f έχει ερίοδο ίση με 0.Ποια είναι τότε η μέγιστη τιμή της f ; ii)h f έχει ελάχιστη τιμή ίση με -6.Ποια είναι η ερίοδος της ; )Να ροσδιορίσετε τους ραγματικούς αριθμούς α, β για τους οοίους η συνάρτηση f(x)=α+βημ8χ έχει ελάχιστη τιμή το 5 και η γραφική της αράσταση διέρχεται αό το σημείο (, ). ) Δίνεται η συνάρτηση f ( x) = ηµ x συν( + x). α) Να βρεθεί το εδίο ορισμού της f (x) και να αλοοιηθεί ο τύος της. β) Να βρεθούν η ερίοδος και τα ακρότατα της f (x). γ) Να γίνει η γραφική αράσταση της f (x). )Μερικές τιμές της εριοδικής συνάρτησης f εριλαμβάνονται στον αρακάτω ίνακα. Αν είναι γνωστό ότι η μέγιστη τιμή της f είναι το 0 τότε: χ f(x) i)ποια μορεί να είναι η ερίοδος της f ; ii) Να βρείτε ένα ιθανό τύο για την f. iii)με βάση τον τύο ου ροσδιορίσατε να βρείτε τις τιμές : και f( 000 ). f( )

Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας. Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οποιασδήποτε γωνίας. . Τότε ορίζουμε: ί ά ά.

Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας. Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οποιασδήποτε γωνίας. . Τότε ορίζουμε: ί ά ά. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας Αό το Γυμνάσιο ξέρουμε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: ημβ = = έάά ί Γ συνβ = = ίάά ί β α εφβ = = έάά ίάά Τριγωνομετρικοί

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΕΥΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΕΥΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΕΥΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Πρόσημο τριγωνομετρικών αριθμών Το ρόσημο των τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας (ή τόξου) καθ αό το τεταρτημόριο στο οοίο βρίσκεται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ 1. Τι ονομάζουμε εριοδική συνάρτηση Μια συνάρτηση ƒ με εδίο ορισμού το Α λέγεται εριοδική όταν υάρχει ραγματικός αριθμός Τ, Τ > 0 τέτοιος ώστε για κάθε χ Α να ισχύει α) χ+τ Α, χ -

Διαβάστε περισσότερα

1. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας

1. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας v.5 «Αυτό το ρόβλημα, τούτ η μεγάλη συμφορά για να λυθεί χρειάζεται, δίχως αμφιβολία, όως κοιτάζω α τη δική σου την λευρά, να δεις κι εσύ α τη δική μου τη γωνία».. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μαθητής ου έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα ρέει: Να γνωρίζει την έννοια της εριοδικής συνάρτησης,και να μορεί να σχεδιάζει τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων y= αημ(ωx), y=ασυν(ωx). Να μορεί

Διαβάστε περισσότερα

(Μονάδες 15) (Μονάδες 12)

(Μονάδες 15) (Μονάδες 12) ΑΛΓΕΒΡΑ Β Λυκε ί ου τ ράε ζ αθε μάτ ων( 1ηέ κδοση) θέ μαδε ύτ ε ροκαιτ έ τ αρτ ο Κόμβ οςατ σι οούλου01415 δης Ει μέ λε ι α:εμμανουήλκ.σκαλί Αντ ώνηςκ.αοστ όλου Άσκηση 1 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου ογελ ΣΥΚΕΩΝ ο ΓΕΛ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 3-4 ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ Ειμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου Ελευθέριος Πρωτοαάς Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου Δεκέμβριος 04 Περιεχόµενα o Θέμα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα 6950 8 6954 9

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρία ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΡΙΠΙΔΗΣ 2 ΑΝΘΟΥΛΑ ΣΟΦΙΑΝΟΠΟΥΛΟΥ

Τριγωνομετρία ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΡΙΠΙΔΗΣ 2 ΑΝΘΟΥΛΑ ΣΟΦΙΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΤΟ ΒΑΣΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ: ημ χ+συν χ= ημ χ=-συν χ συν χ=- ημ χ εφχ + σφ χ = εφχ ημχ συνχ = σφχ = ημ χ εφχσφχ σφχ = = συνχ ημχ + εφ χ = συν χ Γωνία χ Τριγωνομετρικοί Αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μαθητής ου έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα ρέει: Να γνωρίζει την έννοια της εριοδικής συνάρτησης,και να μορεί να σχεδιάζει τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων y= αημ(ωx), y=ασυν(ωx). Να μορεί

Διαβάστε περισσότερα

Physics by Chris Simopoulos

Physics by Chris Simopoulos ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ Χαρακτηριστικά μεγέθη της αλής αρμονικής ταλάντωσης είναι: Α) Αομάκρυνση (x ή y): ονομάζεται η αόσταση του σώματος κάθε χρονική στιγμή αό την θέση ισορροίας (x= ή y=) Β) Το λάτος της

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ 16968, 1765, 17656, 17663, 17664, 17681, 1769, 17699, 17704, 1775, 17736, 17739, 17741 ΘΕΜΑΤΑ 4 17837, 17838,

Διαβάστε περισσότερα

1. Ένα σώµα ταλαντώνεται κατακόρυφα στο άκρο ενός ελατηρίου. Η απόσταση του σώµατος

1. Ένα σώµα ταλαντώνεται κατακόρυφα στο άκρο ενός ελατηρίου. Η απόσταση του σώµατος 1. Ένα σώµα ταλαντώνεται κατακόρυφα στο άκρο ενός ελατηρίου. Η αόσταση του σώµατος αό το έδαφος (σε cm), δίνεται αό την συνάρτηση f(t)=1ηµ t +13, όου t ο χρόνος σε ώρες. α) Να βρείτε την ερίοδο της ταλάντωσης.

Διαβάστε περισσότερα

Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία. Μάκος Σπύρος. Πανούσης Γιώργος. Παπαθανάση Κέλλυ. Ραμαντάνης Βαγγέλης.

Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία. Μάκος Σπύρος. Πανούσης Γιώργος. Παπαθανάση Κέλλυ. Ραμαντάνης Βαγγέλης. Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία Μάκος Σύρος Πανούσης Γιώργος Πααθανάση Κέλλυ Ραμαντάνης Βαγγέλης Σαμάνης Νίκος Τόλης Ευάγγελος -1-01 18808Δίνεται η εξίσωση x y 7 Γραμμικά

Διαβάστε περισσότερα

Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις

Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις. Ονομασίες Ορισμοί Ο τριγωνομετρικός κύκλος έχει ακτίνα R. Αρχή μέτρησης των τόξων (γωνιών) είναι το Α, είτε κατά τη θετική φορά (αριστερόστροφα)

Διαβάστε περισσότερα

3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός Έστω µία συνάρτηση f µε εδίο ορισµού Α και A Θα λέµε ότι η f είναι εριοδική όταν υάρχει ραγµατικός αριθµός Τ > 0 έτσι ώστε για κάθε Α να ισχύει : i)

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύου «Σωστό - Λάθος». * Αν = α + βi, α, β R και = 0, τότε α = 0 και β = 0. Σ Λ. * Αν = α + βi και αβ 0, τότε = α β i. Σ Λ. * Αν = κ + λi κ, λ R, τότε Re () =

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Το ακτίνιο ως μονάδα μέτρησης γωνιών: Το ακτίνιο (ή rad) είναι η γωνία που, όταν γίνει επίκεντρη κύκλου (Ο, ρ), βαίνει σε τόξο που έχει μήκος ίσο με την ακτίνα

Διαβάστε περισσότερα

Tριγωνομετρικές εξισώσεις

Tριγωνομετρικές εξισώσεις Tριγωνομετρικές εξισώσεις Εχουμε μάθει να λύνουμε εξισώσεις ρώτου βαθμού και δευτέρου βαθμού ου είναι ισότητες ου εριέχουν έναν άγνωστο και ροσαθούμε να βρούμε για οιά (ή οιές) τιμές αυτού του αγνώστου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ...7 ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ... 9 Θεωρία... 9 Ερωτήσεις... 9 Μεθοδολογία Παραδείγματα Ασκήσεις...

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ...7 ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ... 9 Θεωρία... 9 Ερωτήσεις... 9 Μεθοδολογία Παραδείγματα Ασκήσεις... ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ...7 ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ... 9 Θεωρία... 9 Ερωτήσεις... 9 Μεθοδολογία... 16 Παραδείγματα... 6 Ασκήσεις... 33 ΕΝΟΤΗΤΑ : ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ... 39 Θεωρία... 39 Ερωτήσεις...

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 3ος

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 3ος Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Τόμος 3ος Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Καθηγητής Πανειστημίου Αθηνών Κατσαργύρης Βασίλειος Καθηγητής μαθηματικών Βαρβακείου Πειραμ. Λυκείου Παασταυρίδης Στάυρος Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Β Γενική Τριγωνομετρία

Β Γενική Τριγωνομετρία Β Γενική Τριγωνομετρία 40 Γενικευμένη γωνία - Γενικευμένα τόξα - Το ακτίνιο Τριγωνομετρικός κύκλος - Τριγωνομετρικοί αριθμοί γενικευμένης γωνίας 1. Η γωνία ω του παρακάτω σχήματος είναι θετική. α) Συνδέστε

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ

Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Β ημφ, εφφ σφφ Μ Δ συνφ Α www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 1 N Β, 90 ο Α, ο H O 1ο 3ο E Σ Δ, 180 ο 360 ο Ν, 70 ο 4ο 1 ο Τεταρτημόριο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ 1 Να υολογίσετε τα όρια: 9 i) ii) ( ) 9 iii) 1 1 1 iv) 7 10 5 15 t t t 1 v) vi) t (t )(t ) 1 1 9 i) (ημ συν) ) 1 7 συν vii) 1 ημ viii) 1 5 i) ii) ημ 6 1 009, άν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 3ο Κεφάλαιο - Τριγωνομετρία - Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες. , να βρεθούν

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 3ο Κεφάλαιο - Τριγωνομετρία - Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες. , να βρεθούν ΠΑΝΤΕΛΗΣ ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ B Λυκείου Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3ο - Φ Υ Λ Λ Ο Νο ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Αν 3 και < x < 3, να βρεθούν οι ΠΡΟΣΟΧΗ : Βασικές Τριγωνομετρικές Ταυτότητες

Διαβάστε περισσότερα

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ελευθέριος Πρωτοαάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΗ ίνεται η συνάρτηση f µε f() = 5 4 +α, όου α R και το είναι ρίζα της εξίσωσης f() =. α) Να βρείτε το α R. β) Να λύσετε

Διαβάστε περισσότερα

α) Αν ονομάσουμε x το πλάτος του Νείλου στην συγκεκριμένη θέση ΑΒ έχουμε: Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ εφ45 o = 1 = ΒΓ = x

α) Αν ονομάσουμε x το πλάτος του Νείλου στην συγκεκριμένη θέση ΑΒ έχουμε: Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ εφ45 o = 1 = ΒΓ = x ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΗ η Αιγύτιοι μηχανικοί, για να ροσδιορίσουν το λάτος του οταμού Νείλου μεταξύ δύο σημείων A και B, ροσδιόρισαν με το θεοδόλιχο μια διεύθυνση κάθετη ρος την

Διαβάστε περισσότερα

3.5 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

3.5 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1.5 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ Λύσεις των βασικών τριγωνοµετρικών εξισώσεων ηµx = ηµθ x = κ + θ x = κ + ( θ), κ Z συνx = συνθ x = κ + θ x = κ θ, κ Z εφx = εφθ x = κ + θ, κ Z σφx = σφθ x =

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Βασικές Τριγωνομετρικές Εξισώσεις

1.2 Βασικές Τριγωνομετρικές Εξισώσεις 1. Βασικές Τριγωνομετρικές Εξισώσεις 1 η Μορφ Ασκσεων: Μας ζητούν να λύσουμε μια εξίσωση της μορφς: = α, α 0 = α, α 0 εφx = α, α 0 σφx = α, α 0 1. Να λυθούν οι εξ ισώσεις: i. ημ x =, ii. ημ x= 0, iii.

Διαβάστε περισσότερα

1.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία

1.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία .0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία Εύρεση τριγωνομετρικών αριθμών οξείας γωνίας σε ορθογώνιο τρίγωνο. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α= 90 0 ). Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί μιας οξείας γωνίας ορίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνοµετρικές εξισώσεις - Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων

Τριγωνοµετρικές εξισώσεις - Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων 1 Τριγωνοµετρικές εξισώσεις - Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόουλος ρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr ΠΡΟΛΟΓΟΣ Στην εργασία αυτή εισηµαίνονται και αναλύονται

Διαβάστε περισσότερα

( ) Λ αφού αν διαιρέσουμε με το 2 τους όρους του 2 ης εξίσωσης το σύστημα γίνεται Ρ =

( ) Λ αφού αν διαιρέσουμε με το 2 τους όρους του 2 ης εξίσωσης το σύστημα γίνεται Ρ = 17 ο Γενικό Λύκειο Αθηνών Σχολικό έτος 01-015 ΤΑΞΗ:B' Λυκείου ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΙΟΥΝΙΟΥ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ :Αθήνα 8-6-015 ΘΕΜΑ 1ο Α. Nα αοδείξετε ότι αν ένα ολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΛΙΓΟ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (ΘΕΜΑΤΑ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ)

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΛΙΓΟ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (ΘΕΜΑΤΑ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ) Ελευθέρις Πρωταάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΛΙΓΟ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (ΘΕΜΑΤΑ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ) Να βρείτε την τιµή των αραστάσεων: o o συν 90 + ηµ 0 -σφ75 α) A =, ηµ o o 0 + συν 80

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ο ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

Κεφάλαιο 2 ο ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Κεφάλαιο ο ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Σε προηγούμενες τάξεις γνωρίσαμε την έννοια της συνάρτησης και μελετήσαμε ορισμένες βασικές συναρτήσεις. Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετήσουμε στη γενική τους μορφή ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΕΡΟΣ A ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφ. 1, Στρόβολος 3, Λευκωσία Τηλ. 357-37811 Φαξ: 357-3791 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 13 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ημερομηνία: Πέμτη, 3/5/13

Διαβάστε περισσότερα

3.9 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x) = αηµx + βσυνx

3.9 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x) = αηµx + βσυνx 1.9 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x) = αηµx + βσυνx Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 11 11 A Oµάδας 1.i) Να βρείτε την ερίοδο, τη µέγιστη τιµή και την ελάχιστη τιµή της αρακάτω συνάρτησης και στη συνέχεια να την αραστήσετε

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν.Κατ/νσης Γ Λυκείου 2000

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν.Κατ/νσης Γ Λυκείου 2000 Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν.Κατ/νσης Γ Λυκείου Ζήτηµα ο Α. Αν η συνάρτηση f είναι αραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x του εδίου ορισµού της να γραφεί η εξίσωση της εφατοµένης της γραφικής αράστασης της f

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι. Να αντιστοιχίσετε καθένα από τα συστήματα: (Σ 1 ): { (Σ 2 ): { (Σ 3 ): { (Σ 4 ): { με εκείνη από τις απαντήσεις Α, Β, Γ που νομίζετε ότι είναι η σωστή.

Διαβάστε περισσότερα

Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 4

Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 4 Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μθηµτικός ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Μορφές: Α. ηµ x, συνx, εφx, σφx. Β. ηµ x συνx, εφx σφx. Ν λυθούν οι εξισώσεις: ηµ x ( συνx + ) (συν x 3)εφx ηµ 3 x ηµ x συν x 3 3 3 x σφ x εφx óõí çì x 3 3 3εφ x

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο.

ΘΕΜΑ 2 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. (Μονάδες 10) β) Να παραστήσετε γραφικά στο επίπεδο τις δυο εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ

Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης o ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ Ααντήσεις ΘΕΜΑ ο Α. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 6. B. Σχολικό βιβλίο, σελίδες 97 και

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ FOURIER. ο µετασχηµατισµός αυτός δίνεται από την σχέση x = ). Έτσι, χωρίς βλάβη της γενικότητας,

ΣΕΙΡΕΣ FOURIER. ο µετασχηµατισµός αυτός δίνεται από την σχέση x = ). Έτσι, χωρίς βλάβη της γενικότητας, ΣΕΙΡΕΣ FOURIER. Η ροσέγγιση συναρτήσεων µέσω ολυωνύµων, την οοία µελετήσαµε στην ροηγούµενη Ενότητα, αρά την αοτελεσµατικότητα και την, σχετική, αλότητά της, αοδεικνύεται ανεαρκής για την εριγραφή/ροσέγγιση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου.

Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου. Άλγεβρα Β Λυκείου Στέλιος Μιχαήλογλου wwwaskisopolisgr Το φυλλάδιο αυτό δημιουργήθηκε για να χρησιμοποιηθεί ως επέκταση του σχολικού βιβλίου και όχι αυτόνομα δ έκδοση 0--06 Συστήματα Γραμμικές Εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ α ) η μ + συν = γ ) εφ + =, ¹ κπ+ sun hm β ) εφ =, ¹ κπ+ sun sun δ ) σφ =, ¹

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΤΕΡΑ, 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ

ΕΥΤΕΡΑ, 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙ ΕΙΑ ΕΥΤΕΡΑ, ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ ΠΡΩΤΟ Α. Αν η συνάρτηση f είναι αραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x του εδίου ορισµού της να γραφεί η εξίσωση της

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1. θ (0, ). 4 α) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι μη πραγματικοί αριθμοί. β) Έστω z,z. Δ = 4εφ θ 4= 4(εφ θ 1) < 0 γιατί π

ΘΕΜΑ 1. θ (0, ). 4 α) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι μη πραγματικοί αριθμοί. β) Έστω z,z. Δ = 4εφ θ 4= 4(εφ θ 1) < 0 γιατί π ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ Δίνεται η εξίσωση: z (εφθ)z + =, θ (, ). 4 α) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι μη ραγματικοί αριθμοί. β) Έστω z,z οι ρίζες της αραάνω εξίσωσης. Αν ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

f(x)=f(x+λ), Τότε η συνάρτηση καλείται περιοδική, ο δε ελάχιστος αριθμός λ για τον οποίο ισχύει η παραπάνω σχέση καλείται αρχική περίοδος της f.

f(x)=f(x+λ), Τότε η συνάρτηση καλείται περιοδική, ο δε ελάχιστος αριθμός λ για τον οποίο ισχύει η παραπάνω σχέση καλείται αρχική περίοδος της f. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER Θεωρία (σειρές Fourier) Εάν μιά συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το και υάρχει αριθμός λ> τέτοιος ώστε να ισχύει: f(x)f(x+λ), x Τότε η συνάρτηση καλείται εριοδική, ο δε ελάχιστος αριθμός λ για

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ. ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ. ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ου ΒΑΘΜΟΥ α + β + γ 0, α 0 β 4 αγ Αν >0, τότε η εξίσωση έχει δύο πραγµατικές ρίζες: 1, β ± α Αν 0, τότε η εξίσωση έχει µια ρίζα διπλή: β

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΥΡΕΣΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΥΡΕΣΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόουλου ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΥΡΕΣΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Α. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ολοκληρώνοντας το 1 ο κεφάλαιο στα Μαθηματικά της Γενικής Παιδείας

Διαβάστε περισσότερα

3.5 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

3.5 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Ασκσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 88-89 A Oµάδας 1.i) Να λύσετε την εξίσωση ηµx = 0 ηµx = 0 ηµx = ηµ0 x = k + 0 x = k + 0, k Z Σηµείωση: Οι λύσεις αυτές διαφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση του όγκου και του εμβαδού ορθών πρισμάτων Κανονική Πυραμίδα 1 Βάσης) (Απόστημα) 2 1 ό Βάσης) (Ύψος) 3

Μέτρηση του όγκου και του εμβαδού ορθών πρισμάτων Κανονική Πυραμίδα 1 Βάσης) (Απόστημα) 2 1 ό Βάσης) (Ύψος) 3 Βασικά σύνολα αριθμών -Σύνολο φυσικών: Ν = {0,., } ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ -Σύνολο ακεραίων: Ζ= { -.-.0.,, } Συμβολίζουμε με ν=κ και τους άρτιους και τους περιττούς αντίστοιχα. * -Σύνολο ρητών: Q =, Z &

Διαβάστε περισσότερα

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Τριγωνομετρικοι αριθμοι οξειων γωνιων

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Τριγωνομετρικοι αριθμοι οξειων γωνιων Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Τριγωνομετρικοι αριθμοι οξειων γωνιων 22 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 Κλίση ευθείας Όλοι έχουμε στο δρόμο τα παρακάτω σήματα, που από την εμπειρία μας καταλαβαίνουμε ότι πλησιάζουμε σε

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 2ος

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 2ος Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Τόμος ος Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Κατσαργύρης Βασίλειος Καθηγητής μαθηματικών Βαρβακείου Πειραμ. Λυκείου Παπασταυρίδης Στάυρος Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Πώς ; ΣΤ)""Τριγωνομετρία. Ι. Πίνακας βασικών τριγωνοµετρικών γωνιών. π 4 rad 60 ο ή. π 6 rad 45 ο ή εν ορ-ζεται. ΙΙ. Τύποι της Τριγωνοµετρίας.

Πώς ; ΣΤ)Τριγωνομετρία. Ι. Πίνακας βασικών τριγωνοµετρικών γωνιών. π 4 rad 60 ο ή. π 6 rad 45 ο ή εν ορ-ζεται. ΙΙ. Τύποι της Τριγωνοµετρίας. ΣΤ)""Τριγωνομετρία. Ι. Πίνακας βασικών τριγωνοµετρικών γωνιών. Γωνία Τριγωνοµετρικός αριθµός o ή rad o ή 6 rad 45 ο ή 4 rad 6 ο ή rad 9 ο ή rad ημ (ημίτονο) συν (συνημίτονο) εφ (εφατομένη) +εν ορ-ζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΑΣ ΦΥΛΑΞΕΩΣ ΣΧΟΛ. ΧΡΟΝΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΑΣ ΦΥΛΑΞΕΩΣ ΣΧΟΛ. ΧΡΟΝΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟ ΑΙΑΣ ΦΥΛΑΞΕΩΣ ΣΧΟΛ. ΧΡΟΝΙΑ - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΕΡΑ. Να λύσετε τα πιο κάτω συστήματα: α) χ+ψ=7 β)3κ+λ=4 γ) +y= δ)χ+ψ= χ-ψ=- 5κ=+3λ -y-y =7 4χψ=3.Να γίνουν οι πράξεις: α)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2016 ΘΕΜΑ Β. Β1.. Η f παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της R (διότι. x άρα. x 1 0 για κάθε x R)

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2016 ΘΕΜΑ Β. Β1.. Η f παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της R (διότι. x άρα. x 1 0 για κάθε x R) ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Θεώρημα σελ. σχολ. βιβλ. 6 Α. Θεωρία σελ. σχολ. βιβλ. 4 Α. Θεωρία σελ. σχολ. βιβλ. 46-47 Α4. Λ, Σ, Λ, Σ, Σ ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Έργο του καλλιτέχνη Άγγελου Γεωργίου

Έργο του καλλιτέχνη Άγγελου Γεωργίου ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Έργο του καλλιτένη Άγγελου Γεωργίου ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Π Ρ Ο Λ Ο Γ Ο Σ Η ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ γράφτηκε σαν ένα ξεωριστό εγειρίδιο γιατί αφ ενός η τριγωνοµετρία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΤΡΕΧΟΝΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΤΡΕΧΟΝΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ: ΚΥΜΑΤΑ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΤΡΕΧΟΝΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ. Αν γνωρίζουμε την εξίσωση της αομάκρυνσης ενός αρμονικού κύματος μορούμε να βρούμε την εξίσωσης της ταχύτητας

Διαβάστε περισσότερα

Ταυτότητες. α 2 β 2 = (α β)(α + β) "διαφορά τετραγώνων" α 3 β 3 = (α β)(α 2 + αβ + β 2 ) "διαφορά κύβων"

Ταυτότητες. α 2 β 2 = (α β)(α + β) διαφορά τετραγώνων α 3 β 3 = (α β)(α 2 + αβ + β 2 ) διαφορά κύβων Ταυτότητες (α β) α αβ β " αναπτύγματα τετραγώνων " (α β) αβ β (α β) α α β αβ β " αναπτύγματα κύβων " (α β) α α β αβ β " παραγοντοποίηση τριωνύμου " (α β) αβ ( α)( β) (α β) αβ ( α)( β) α β = (α β)(α + β)

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικά Συστήματα. δεν είναι λύση του συστήματος. β) Ποιο από τα παραπάνω ζεύγη είναι λύση του συστήματος

Γραμμικά Συστήματα. δεν είναι λύση του συστήματος. β) Ποιο από τα παραπάνω ζεύγη είναι λύση του συστήματος 8808Δίνεται η εξίσωση x y 7 Γραμμικά Συστήματα α) Να επαληθεύσετε ότι το ζεύγος αριθμών x, y 4, είναι μια λύση της εξίσωσης β) Να αποδείξετε ότι το 4, 88Δίνεται η εξίσωση x y 8 δεν είναι λύση του συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Δίνονται οι συναρτήσεις: f ( x)

Δίνονται οι συναρτήσεις: f ( x) http://eler.mths.gr/, mths@mths.gr, Τηλ: 697905 Ενδεικτικές ααντήσεις 6 ης Γρατής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: Άσκηση (5 μον.) (Για το ερώτημα (α) συμβουλευθείτε τα εδάφια. και. και για το (β) το εδάφιο. του συγγράμματος

Διαβάστε περισσότερα

4.3 ΟΓΚΟΣ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ

4.3 ΟΓΚΟΣ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ ΜΡΟΣ Β 4. ΟΓΚΟΣ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ 81 4. ΟΓΚΟΣ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ Μονάδες μέτρησης όγκου Ως µονάδα µέτρησης όγκου θεωρούµε έναν κύο µε ακµή µήκους 1 µέτρο(m). Ο όγκος του ισούται µε 1 κυικό µέτρο

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (42)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (42) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (4) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Β Λυκείου - Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Β Λυκείου - Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Παρουσίαση ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Παρουσίαση δ Θεωρητικά θέµατα Ας δούµε την είλυση ενός αραµετρικού γραµµικού συστήµατος. Θέµα Θα λύσουµε το σύστηµα D = D D y λ λ λ = λ = λ λ = λ + λ (Σ) : λ y = λ λ y = λ = λ(λ )

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικά Συστήματα Δίνεται η εξίσωση 4x y 11(1). α) Ποια από τα ζεύγη (2, 3),(0, 11), (1, 8) κα (7, 0) είναι λύση της εξίσωσης (1);

Γραμμικά Συστήματα Δίνεται η εξίσωση 4x y 11(1). α) Ποια από τα ζεύγη (2, 3),(0, 11), (1, 8) κα (7, 0) είναι λύση της εξίσωσης (1); 8808Δίνεται η εξίσωση x y 7 Γραμμικά Συστήματα α) Να επαληθεύσετε ότι το ζεύγος αριθμών x, y, είναι μια λύση της εξίσωσης β) Να αποδείξετε ότι το, 88Δίνεται η εξίσωση x y 8 δεν είναι λύση του συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Νίκος Ζανταρίδης. Χρήσιμες γνώσεις Τριγωνομετρίας. Λυμένες Ασκήσεις. Προτεινόμενες Ασκήσεις

Νίκος Ζανταρίδης. Χρήσιμες γνώσεις Τριγωνομετρίας. Λυμένες Ασκήσεις. Προτεινόμενες Ασκήσεις Νίκος Ζανταρίδης ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΜΕ ΤΗΝ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΗΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Χρήσιμες γνώσεις Τριγωνομετρίας Λυμένες Ασκήσεις Προτεινόμενες Ασκήσεις Αύγουστος 04 Πρόλογος Στο μικρό αρόν όνημα καταβλήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

(Μονάδες 8) β) Αν τα διανύσµατα 2α+β. (Μονάδες 7) ΛΥΣΗ α β = α β συν α ɵ, β, 3 2 2α+β κα+β 2α+β κα+β = 0 2κα + 2α β+ κα β+β = 0

(Μονάδες 8) β) Αν τα διανύσµατα 2α+β. (Μονάδες 7) ΛΥΣΗ α β = α β συν α ɵ, β, 3 2 2α+β κα+β 2α+β κα+β = 0 2κα + 2α β+ κα β+β = 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ: ο - ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ:.5 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 04 05 Γιάννης Ζαµέλης Μαθηµατικός 855 B (Αναρτήθηκε 08 4 ) ίνονται τα διανύσµατα ακαι µε ( α, ) = και α =, = α) Να ρείτε το εσωτερικό γινόµενο α (Μονάδες 8)

Διαβάστε περισσότερα

σώμα από τη θέση ισορροπίας του με οριζόντια ταχύτητα μέτρου 4 m/s και με φορά προς τα δεξιά.

σώμα από τη θέση ισορροπίας του με οριζόντια ταχύτητα μέτρου 4 m/s και με φορά προς τα δεξιά. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕ ΕΛΑΤΗΡΙΑ. Ένα σώμα μάζας m = kg βρίσκεται άνω σε λείο δάεδο και είναι δεμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k = N/m, το άλλο άκρο του οοίου είναι στερεωμένο σε κατακόρυφο

Διαβάστε περισσότερα

qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj

qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ klzxcvλοπbnαmqwertyuiopasdfghjklz ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ xcvbnmσγqwφertyuioσδφpγρaηsόρ

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Ορισμός: Έστω Α, Β R. Πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής από το σύνολο Α στο σύνολο Β ονομάζουμε την διαδικασία κατά την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ . Ι ΤΡΙΓΩΝΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 8 8 A Oµάδας.i) Να σχεδιάσετε τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων, στο ίδιο σύστηµα αξόνων: f() = ηµ, g() = 0,5.ηµ, h() = ηµ, 0 0 ηµ

Διαβάστε περισσότερα

(Ενδεικτικές Απαντήσεις) ΘΕΜΑ Α. Α1. Βλέπε απόδειξη Σελ. 262, σχολικού βιβλίου. Α2. Βλέπε ορισμό Σελ. 141, σχολικού βιβλίου

(Ενδεικτικές Απαντήσεις) ΘΕΜΑ Α. Α1. Βλέπε απόδειξη Σελ. 262, σχολικού βιβλίου. Α2. Βλέπε ορισμό Σελ. 141, σχολικού βιβλίου ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 18 ΜΑΪΟΥ 16 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) (Ενδεικτικές Ααντήσεις)

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρία. Αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο

Τριγωνομετρία. Αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο Τριγωνομετρία Αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο Να προσέχεις: ημ(-x)= - ημx εφ(-x)= - εφx σφ(-x)= - σφx συν(-x)= συνx να θυμάμαι όταν έχω - συνx γράφω συν(π-x) δηλαδή συν(π-x)= - συν x ημ(π-x)=ημx δηλαδή ημ10=ημ60

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενες λύσεις. , β) και η f είναι συνεχής στο x. , η f είναι γνησίως αύξουσα στο (α,x. 0]. Έτσι έχουμε: f(x) f(x

Προτεινόμενες λύσεις. , β) και η f είναι συνεχής στο x. , η f είναι γνησίως αύξουσα στο (α,x. 0]. Έτσι έχουμε: f(x) f(x Προτεινόμενες λύσεις Πανελλήνιες 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 8/5/6 Θέμα A A. Εειδή f () > για κάθε Î (α, ) και η f είναι συνεχής στο, η f είναι γνησίως αύξουσα στο (α, ]. Έτσι έχουμε: f() f( ), για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Ορθοκανονικό σύστημα αξόνων ονομάζεται ένα σύστημα από δύο κάθετους άξονες με κοινή αρχή στους οποίους οι μονάδες έχουν το ίδιο μήκος. Υπάρχουν περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Προτεινόμενες Λύσεις

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Προτεινόμενες Λύσεις ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 13 Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (κωδικός μαθήματος: 37) Ημερομηνία και ώρα εξέτασης: Πέμτη, 3

Διαβάστε περισσότερα

ανάλυση, σχόλια και προεκτάσεις με αφορμή απαντήσεις μαθητών σε ερωτήματα μαθηματικών που διατυπώθηκαν για εργασία στη σχολική τάξη

ανάλυση, σχόλια και προεκτάσεις με αφορμή απαντήσεις μαθητών σε ερωτήματα μαθηματικών που διατυπώθηκαν για εργασία στη σχολική τάξη ανάλυση, σχόλια και ροεκτάσεις με αφορμή ααντήσεις μαθητών σε ερωτήματα μαθηματικών ου διατυώθηκαν για εργασία στη σχολική τάξη (αραδείγματα αό τα μαθηματικά του λυκείου) του Δημητρίου Ντρίζου σχολικού

Διαβάστε περισσότερα

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = α + β, Β = α β + αβ

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = α + β, Β = α β + αβ TΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι Ο ρ ι σ μ ο ι. Να δειχτει οτι α + α. Ποτε ισχυει το ισον; Ονομαζουμε ημx την τεταγμενη π/ του Μ (εντονο. Aν μπλε) α, β θετικοι, να συγκρινεται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 4 ο (2) -2- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Β Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Β Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα στα Μαθηματικά Προσανατολισμών Γ

Επαναληπτικό Διαγώνισμα στα Μαθηματικά Προσανατολισμών Γ ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Ποια συνάρτηση ονομάζεται αρχική ή αράγουσα της f στο ; Μονάδες 4 Α. Να διατυώσετε το θεώρημα Rolle. Μονάδες (1+1+1+1)4 Α3. Να διατυώσετε και να

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΚΥΜΑΤΑ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΚΥΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΚΥΜΑΤΑ 010-11 ΘΕΜΑ 1 ο : 1) Κατά τη διάδοση ενός κύματος σ ένα ελαστικό μέσον i) μεταφέρεται ύλη. ii) μεταφέρεται ενέργεια και ύλη. iii) όλα τα σημεία του ελαστικού μέσου έχουν την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α. Να συμπληρωθούν οι ισότητες: (α + β) =.., (α β) 3 = και (α + β)(α β) =.. Β. Να αποδείξετε τη δεύτερη. Θέμα ο Να γράψετε τα τρία (3) κριτήρια ισότητας τριγώνων. Να λυθεί η εξίσωση: 3 + 4 = 7 + 1 Άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Σχολικό έτος: 014-015 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων από το Ι.Ε.Π. Γ ε ν ι κ ή Ε π ι μ έ λ ε ι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επαναληπτικές SOS-ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επαναληπτικές SOS-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επαναληπτικές SOS-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Νδο ηµ α Α) = εφα +συνα Β) π συνα εφ α = +ηµ α Γ) ηµ α= ηµ α συνα+ συν α ηµα ) συν α+ηµ α εφα= + εφα εφα Ε) ( + συνα) εφα=ηµ α Ζ) =εφα εφα+σφα. Νδο

Διαβάστε περισσότερα

κινητού και να βρούµε ποιο από τα δυο προηγείται, πρέπει να ακολουθήσουµε τα εξής βήµατα:

κινητού και να βρούµε ποιο από τα δυο προηγείται, πρέπει να ακολουθήσουµε τα εξής βήµατα: Ποιο µέγεθος ροηγείται ανάµεσα σε δυο µεγέθη ου αρουσιάζουν διαφορά φάσης µεταξύ τους Προκειµένου να καθορίσουµε τη διαφορά φάσης ανάµεσα σε δύο φυσικά µεγέθη ενός κινητού και να βρούµε οιο αό τα δυο ροηγείται,

Διαβάστε περισσότερα

γραφική παράσταση της συνάρτησης f, τον άξονα x x και τις ευθείες x = 1 και x = 2. lim lim (x 3) ) = 9α οπότε: (1 e ) (x 3) (1 e )(x 3) (x 3)

γραφική παράσταση της συνάρτησης f, τον άξονα x x και τις ευθείες x = 1 και x = 2. lim lim (x 3) ) = 9α οπότε: (1 e ) (x 3) (1 e )(x 3) (x 3) ΘΕΜΑΤΑ Έστω f µια ραγµατική συνάρτηση µε τύο f() α) Αν η f είναι συνεχής, να αοδείξετε ότι α - 9 α,, > β) Να βρείτε την εξίσωση της εφατοµένης της γραφικής αράστασης C f της συνάρτησης f στο σηµείο Α(4,

Διαβάστε περισσότερα

xsin ydxdy (α) Εάν το χωρίο R είναι φραγμένο αριστερά και δεξιά από τις ευθείες x=α και x=β και από πάνω και κάτω από τις καμπύλες dr = dxdy

xsin ydxdy (α) Εάν το χωρίο R είναι φραγμένο αριστερά και δεξιά από τις ευθείες x=α και x=β και από πάνω και κάτω από τις καμπύλες dr = dxdy ΔΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Εφαρμογή Να υολογιστεί το ολοκλήρωμα : cos sin dd Ολοκληρώνουμε ρώτα ως ρος θεωρώντας το σαν σταθερά (αρατηρούμε ότι το «εσωτερικό» ολοκλήρωμα είναι ως ρος, δηλαδή ρώτα εμφανίζεται το

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ i) Να αποδείξετε την ταυτότητα α β γ αββγγα α β βγ γα ii) Να αποδείξετε ότι για όλους τους αβγ,, ισχύει Πότε ισχύει ισότητα; α β γ αβ βγ γα Λέμε ότι μια τριάδα θετικών ακεραίων β,

Διαβάστε περισσότερα

Α=5 m ω=314 rad/sec=100π rad/sec

Α=5 m ω=314 rad/sec=100π rad/sec ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 1. Ασκήσεις με τα χαρακτηριστικά της κίνησης. Μικρές ασκήσεις ου αναφέρονται στους ορισμούς της εριόδου, της συχνότητας, του λάτους και της ενέργειας της ταλάντωσης.

Διαβάστε περισσότερα