ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ"

Transcript

1 - ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

2 Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί (Εαναλητικά) Ε ί εδη γωνία είναι η κλίση µεταξύ δυο ευθειών του ε ι έδου ου τέµνονται και δεν κείνται ε ευθείας..τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας Αν ω είναι μια οξεία γωνία ορθογωνίου τρίγωνου, τότε ορίζουμε: ΕΥΚΛΕΙ ΗΣ Στοιχεια, Ορισµός 8 α έ ναντι κ ά θετη λε ύ ρα ηµω = υοτε ί νουσα α έ ναντι κ ά θετη λε ύ ρα εφω = ροσκε ί µενη κ ά θετη λε ύ ρα ροσκε ί µενη κ ά θετη λε ύ ρα συνω = υοτε ί νουσα ροσκε ί µενη κ ά θετη λε ύ ρα σφω = α έ ναντι κ ά θετη λε ύ ρα (σφω= συνεφατομένη της γωνίας ω) Π.χ,στο διλανό ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε γ α γ α ηµ Γ =, συν Γ =, εφγ =, σφγ = β β α γ )Τριγωνομετρικοί αριθμοί οοιασδήοτε γωνίας Έστω ω η γωνία (0 ω 60 o ) ου αράγεται αό τον ημιάξονα Οχ όταν αυτός εριστρέφεται κατά την θετική φορά (δηλ αντίθετα με την κίνηση των δεικτών του ρολογιού). Ο θετικός ημιαξονας Οχ λέγεται αρχική λευρά της γωνίας ω, ενώ η τελική του θέση λέγεται τελική λευρά της γωνίας ω. Θεωρούμε τυχαίο σημείο Μ(χ,y) της τελικής λευράς διαφορετικό αό το 0. Αν ρ είναι η αόσταση του Ο αό το Μ, δηλαδή ρ = + > 0, τότε ορίζουμε: χ y y ηµω = ρ χ συνω = ρ y χ εφω = σφω= (ψ 0) (ΙΙ) χ y Αν ο θετικός ημιάξονας Οχ, κινούμενος κατά την θετική φορά, διαγράψει ν λήρεις στροφές ( μια λήρης στροφή είναι 60 ο ) και μετά γωνία θ ο,τότε λέμε ότι έχει διαγράψει γωνία 0 0 ω= ν 60 + θ

3 Π.χ αν ο Οχ διαγράψει λήρεις στροφές και στη συνεχεία γωνία 40 ο, τότε έχει διαγράψει γωνία ω= = 760. Αν ο θετικός ημιάξονας Οχ κινούμενος κατά την αρνητική φορά( με τη φορά της κίνησης των δεικτών του ρολογιού) διαγράψει ν λήρεις στροφές και μετά γωνία θ o, τότε λέμε ότι έχει διαγράψει αρνητική γωνία ν 60 + θ η γωνία ν 60 θ. Π.χ αν ο Οχ, κινούμενος με την αρνητική φορά, διαγράψει μια λήρη στροφή και μετά γωνία 50 ο, τότε έχει διαγράψει γωνία (60 ο +50 ο ) = 40 ο. Για γωνίες μεγαλύτερες των 60 ο ή αρνητικές γωνίες ορίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς άλι με τους τύους (ΙΙ). Σύμφωνα με τα αραάνω, όλες οι γωνίες της μορφής κ.60 ο +ω (κ Ζ και 60 ο < ω < 60 ο ) έχουν την ίδια τελική λευρά και για αυτό έχουν τους ίδιους τριγωνομετρικούς αριθμούς με την γωνία ω. Δηλαδή έχουμε : ημ(κ.60 ο +ω)=ημω εφ(κ ω)=εφω συν(κ.60 ο +ω)=συνω σφ(κ ω)=σφω Π.χ ημ740 ο =ημ(.60 ο +0 ο )=ημ0 ο, εφ99 ο =εφ(5. 60 ο +9 0 ) =εφ9 ο συν(-500 ο )=συν(-. 60 ο +0 ο ) ή συν(-60 ο 40 ο )=συν(-40 ο ). Ο τριγωνομετρικός κύκλος Ο κύκλος με κέντρο την αρχή Ο των αξόνων και ακτίνα ρ=, λέγεται τριγωνομετρικός κύκλος. Έστω μια γωνία ω της οοίας η τελική λευρά τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο στο σημείο Μ(χ,ψ). Αφού ρ=(ομ)=, έχουμε: συνω=χ= τετμημένη του Μ ημω=y= τεταγμένη του Μ Έστω ε η εφατόμενη του τριγωνομετρικού κύκλου στο Α, ου τέμνει την τελική λευρά ΟΜ της γωνίας ω στο Γ.Αό την ομοιότητα των ορθογωνίων τρίγωνων ΟΕΜ και ΟΑΓ έχουμε:

4 ( ΜΕ ) ( ΟΕ ) ( ΑΓ ) = = ( ΑΓ ) ( ΟΑ ) [αφού (ΟΑ)=] Αν.χ η ω είναι οξεία γωνία, τότε (ΜΕ)=y=ημω, (ΟΕ)=χ=συνω και (ΑΓ)=yΓ(τεταγμένη του Γ) και εομένως εφω= y = yγ. χ Η ιδιότητα αυτή γενικεύεται για οοιαδήοτε γωνία ω και γι αυτό η ε λέγεται ευθεία των εφατόμενων. Αν φέρουµε την εφατόµενη του τριγωνοµετρικού κύκλου στο Β και τέµνει την ΟΜ στο,τότε οµοίως βρίσκουµε χ σφω = = χ, (τετµηµένη του ) y Για το λόγο αυτό η εφατόμενη σ λέγεται ευθεία των συνεφατομένων. Σχόλιο: Αό τα αραάνω συμεραίνουμε τα εξής: -Οι αριθμοί ημω και συνω αίρνουν τιμές στο διάστημα [-,], δηλαδή: - ημω και συνω -Οι αριθμοί εφω και σφω αίρνουν τιμές σε όλο το R. 4)Πρόσημο τριγωνομετρικών αριθμών Αν.χ η τελική λευρά μιας γωνίας ω βρίσκεται στο ο τεταρτημόριο, τότε οι συντεταγμένες (χ,ψ) οοιουδήοτε σημείου αυτής είναι θετικές και εομένως ημω>0,συνω>0,εφω>0 και σφω>0. Στο ο τεταρτημόριο έχουμε χ<0, ψ>0 όοτε ημω>0,συνω<0, εφω<0, σφω<0.ομοίως βρίσκουμε για το ο και το 4 ο τεταρτημόριο. Συνοψίζουμε στον αρακάτω ίνακα:

5 Τεταρτηµόρια ο ο ο 4ο ηµω συνω εφω σφω Παρατηρούμε ότι οι αριθμοί εφω και σφω είναι ομόσημοι. Πιο αλά το ρόσημο των τριγωνομετρικών αριθμών, φαίνεται στα αρακάτω σχήματα. 5.Ακτίνιο Λέμε ότι το τόξο κύκλου (Ο, ρ) είναι τόξο ενός ακτινίου (rad), όταν έχει μήκος ίσο με την ακτίνα ενός κύκλου. Λέμε ότι μια γωνία ω είναι γωνία ενός ακτινίου, όταν γίνει είκεντρη γωνία κύκλου (ο,ρ) και βαίνει σε τόξο ενός ακτινίου. Ένας κύκλος ακτίνας ρ έχει μήκος ρ και εομένως η γωνία 60 0 έχει rad, ενώ η γωνία 80 ο είναι rad.η γωνία rad είναι 80 μοίρες και γενικά η γωνία α rad είναι α 80 μοίρες.. Συμεραίνουμε λοιόν ότι: Αν μια γωνία είναι μ ο και α rad, τότε α = µ 80 Π.χ μια γωνία 0 ο 0 είναια = 0 = rad,ενώ μια γωνία rad είναι =. 08 Σημείωση: Στο εξής, όταν γράφουμε ημχ, συνχ κ.λ. θα εννοούμε ημ(χrad), συν(χrad) κ.λ.. 6) Τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών 0 ο,0 ο,45 ο,60 ο,90 ο

6 Γωνία ω 0 ο ή 0 rad 0 ο ή 6 rad 45 ο ή 4 rad 60 ο ή rad 90 ο ή rad ημω 0 συνω εφω 0 σφω δεν ορίζεται 0 δεν ορίζεται 0 Τριγωνομετρικές ταυτότητες Έστω μια γωνία ω της οοίας η τελική λευρά τεμνει τον τριγωνομετρικο κύκλο (0,) στο σημείο Μ(χ,ψ) όοτε έχουμε : ημω= y ρ = y,συνω= χ =χ (αφου ρ=) ρ i) Εειδή x + y = ρ =, έχουμε: ημ ω+συν ω= ii)αφού εφω= y χ και σφω= x y, έχουμε: ηµω εφω= συνω συνω, σφω= ηµω ιιι)παρατηρουμε ότι οι αριθμοι εφω και σφω είναι αντιστροφοι, δηλαδή εφω σφω = ιv)αό την ταυτότητα ημ ω+συν ω= :.αν συνω 0, έχουμε : + = ή ηµ ω συν ω συν ω συν ω συν ω εφ ω + = ή συν ω = συν ω + εφ ω

7 .αν ημω 0, έχουμε: ηµ ω συν ω + = ή σφ ω + = ή ηµ ω = ηµ ω ηµ ω ηµ ω ηµ ω + σφ ω Είσης είναι ηµ + εφ ω ω = συν ω = =, δηλαδή + εφ ω + εφ ω εφ ω ηµ ω = + εφ ω Αναγωγή στο ρώτο τεταρτηµόριο Ο υολογισμός των τριγωνομετρικών αριθμών μιας οοιασδήοτε γωνίας, ανάγεται στον υολογισμό των τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας του ου τεταρτημορίου..αντίθετες γωνίες Θεωρούμε δυο αντίθετες γωνίες ω και ω (ω = -ω)ου οι τελικές τους λευρές τέμνουν τον τριγωνομετρικό κύκλο στα σημεία Μ και Μ αντίστοιχα..τα σημεία Μ καιμ είναι συμμετρικά ως ρος άξονα x x και εομένως έχουν την ίδια τετμημένη και αντίθετες τεταγμένες. Είναι: ηµω = y= ηµω συν ω = χ = συνω y εφω = = εφω χ χ σφω = = σφω y Συμεραίνουμε λοιόν ότι: «Οι αντίθετες γωνίες έχουν το ίδιο συνημίτονο και αντίθετους τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς.» Δηλαδή είναι: συν ( ω) = συνω, ηµ ( ω ) = ηµω, εφ( ω ) = εφω, σφ ( ω ) = σφω

8 0 0 Π.χ είναι : ηµ ( 0 ) = ηµ 0 =-, συν ( ) = συν ( ) = 4 4.Παραληρωματικές γωνίες Θεωρούμε δυο αραληρωματικές γωνίες ω και ω (ω =80 ο +ω)ου οι τελικές τους λευρές τέμνουν τον τριγωνομετρικό κύκλο στα σημεία Μ και Μ αντίστοιχα. Τα σημεία αυτά είναι συμμετρικά ως ρος τον άξονα ψ ψ και εομένως έχουν αντίθετες τετμημενες και την ίδια τεταγμένη. Είναι: ηµω = y= ηµω συνω = χ = συνω y εφω = = εφω χ χ σφω = = σφω y Έτσι συμεραίνουμε ότι: «Οι αραληρωματικές γωνίες έχουν το ίδιο ημίτονο και αντίθετους τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς.» Δηλαδή είναι: 0 0 (80 ), (80 ) ηµ ω = ηµω συν ω = συνω 0 0 (80 ), (80 ) εφ ω = εφω σφ ω = σφω.χ ημ50 ο =ημ(80 ο 0 ο )=ημ0 ο =, εφ =εφ( - )=-εφ = Γωνιες ου διαφέρουν κατά 80 ο Αν είναι ω -ω=80 ο, τότε έχουμε ω =80 ο +ω=80 ο (-ω), δηλαδή οι γωνιες ω καιω είναι αραληρωματικές. Είναι: ηµ ω = ηµ ( ω ) = ηµω, συνω = συν ( ω ) = συνω εφ ω = εφ ( ω ) = εφω, σφω = σφ ( ω ) = σφω

9 «οι γωνίες ου διαφέρουν κατά 80 ο (ή rad ) έχουν την ίδια εφατομένη και συνεφατομένη, ενώ έχουν αντίθετο ημίτονο και συνημίτονο.» Δηλαδή είναι: 0 0 ηµ (80 + ω ) = ηµω, συν (80 + ω ) = συνω 0 0 εφ (80 + ω ) = εφω, σφ (80 + ω ) = σφω Π.χ ημ40 ο =ημ(80 ο +60 ο )= - ημ60 ο =- 4.Συμληρωματικές γωνίες Θεωρούμε δυο συμληρωματικές γωνίες ω και ω(ω =90 ο -ω) ου οι τελικές τους λευρές τέμνουν τον τριγωνομετρικό κύκλο στα σημεία Μ και Μ αντίστοιχα. Οι γωνίες AO M και BOM είναι ίσες και εομένως τα σημεία Μ και Μ είναι συμμετρικά ως ρος τη διχοτόμο της γωνίας xo ψ. Είναι: ηµω = χ = συνω, συνω = y = ηµω χ y εφω = = σφω, σφω = = εφω y χ Έτσι συμεραίνουμε ότι: «Στις συμληρωματικές γωνίες το ημίτονο καθεμίας ισούται με το συνημίτονο της άλλης και η εφατόμενη καθεμίας ισούται με τη συνεφατομένη της άλλης..» Δηλαδή είναι : ηµ (90 ω) = συνω, συν (90 ω) = ηµω, εφ(90 ω) = σφω, σφ(90 ω) = εφω Π.χ ημ60 ο =συν0 ο =, εφ67 ο =σφ 0,σφ =εφ 6 = Συνοτικά τα αραάνω αοτελέσματα μορούμε να τα αρουσιάσουμε στον αρακάτω ίνακα.

10 Πίνακας αναγωγής στο ρώτο τεταρτημόριο χ -α -α +α α +α α +α ημχ -ημα ημα -ημα συνα συνα -συνα -συνα συνχ συνα -συνα -συνα ημα -ημα -ημα ημα εφχ -εφα -εφα εφα σφα -σφα σφα -σφα σφχ -σφα -σφα σφα εφα -εφα εφα -εφα Για να θυμόμαστε εύκολα τον αραάνω ίνακα, αρκεί να γνωρίζουμε ότι:. Ο τριγωνομετρικός αριθμός αραμένει ο ίδιος αν η γωνία χ είναι της μορφής ± α και αλλάζει αό ημ σε συν,αό εφ σε σφ και αντίστροφα όταν η γωνία χ είναι της μορφής ± α ή ±α.. Το ρόσημο εξαρτάται αό το τεταρτημόριο στο οοίο βρίσκεται η τελική λευρά της γωνίας χ (θεωρούμε ότι 0<α< ).Είναι «+» αν ο τριγωνομετρικός αριθμός του χ είναι θετικός και «-» αν είναι αρνητικός στο τεταρτημόριο αυτό. Λυμένες Ασκήσεις )Να βρείτε τους αριθμούς i) ημ5 ο ii)συν(-660 ο ) iii)εφ470 ο i) Διαιρώντας το 5 με το 60 βρίσκουμε 5 ο =.60 ο +45 ο και εομένως ημ5 ο = ημ(.60 ο +45 ο ) = ημ45 ο = ii) συν(-660 ο )=συν(-70 ο +60 ο )=συν(-.60 ο +60 ο )=συν60 ο =συν60 ο = iii)εφ470 ο =εφ(4.60 ο +0 ο )=εφ0 ο =. Παρατήρηση: Για να υολογίσουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς μιας γωνίας μ ο >60 ο, εργαζόμαστε ως εξής: Διαιρούμε το μ με το 60.Αν κ είναι το ηλίκο και ω το υόλοιο της διαίρεσης (0 ο ω 60 ο ), τότε έχουμε μ ο =κ.60 ο +ω ο και οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας μ ο ταυτίζονται με τους αντιστοίχους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω. )Να βρείτε τους αριθμούς : 5 6 i) ημ ii) συν iii)εφ iv)σφ 6

11 5 5 5 i)είναι =.Αν διαιρέσουμε το 5 με το, βρίσκουμε 5=.+, δηλαδή = +. 6 Εομένως 5 ( ) 5 = + = + και ηµ = ηµ ( + ) = ηµ = ii) Είναι (4 ) 4 = = + = + και συν = συν (4 + ) = συν = iii)είναι 6 6 (0 ) 0 6 = = + = + καιεφ = εφ(0 + ) = εφ =. 6 8 iv) 4 4 = = (0+ ) = 0 + και 4 σφ = σφ(0 + ) = σφ = )Αν ηµω = και 90 ο ω 80 ο, να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της 5 γωνίας ω. 9 6 Είναι συν ω = ηµ ω = ( ) = = Αφού 90 ο ω 80 ο,είναι συνω <0 και εομένως συνω = =. 5 5 ηµω Ακόμη έχουμε 5 συνω 4 εφω = = = και εφω = =. συνω 4 4 ηµω 5 4)Να αοδείξετε ότι : εφ χ = ηµ χ = συν χ + εφ χ ηµ χ συν χ ηµ χ εφ χ συν χ συν χ συν χ ηµ χ συν χ ηµ χ = = = = = + εφ χ ηµ χ συν χ+ ηµ χ συν χ+ ηµ χ + συν χ συν χ συν χ ηµ χ = ηµ χ ηµ χ = ηµ χ και ακόμη συν χ ηµ χ = συν χ ( συν χ) = συν χ. 5)Να αοδείξετε τις ταυτότητες i) συν εφ ω ω = ii) ηµ ω = + εφ ω + εφ ω

12 i)κάνοντας ράξεις στο δεύτερο μέλος της αοδεικτέας βρίσκουμε: συν ω = = = = συν ω. ς + εφ ω ηµ ω συν ω+ ηµ ω συν ω+ ηµ ω + συν ω συν ω ii)είναι: ηµ ω+ συν ω = ηµ ω = συν ω. Όμως ξέρουμε ότι : συν ω = και εομένως έχουμε: + εφ ω ηµ + εφ ω εφ ω ω = = =. + εφ ω + εφ ω + εφ ω 6)Αν το ημίτονο και το συνημίτονο της γωνίας ω είναι ίσοι αριθμοί τότε να βρείτε οιες μορεί να είναι οι τιμές τους. Είναι ηµ ω = συν ω και εομένως η ταυτότητα ηµ ω+ συν ω = δίνει: ηµ ω+ συν ω = ηµ ω = ηµω =± Άρα ηµω =συνω = ή 7)Έστω θ γωνία τέτοια ώστε ηµω =συνω =. ηµθ +συνθ = i) Να υολογίσετε τον αριθμό ηµθ συνθ. + ii) Να βρείτε τις ιθανές τιμές των αριθμών ημθ και συνθ. + i) Είναι ηµθ +συνθ = και εομένως έχουμε: ( Υψώνουμε στο τετράγωνο) + + = + + = + + = + ( ηµθ συνθ ) ( ) ηµ θ συν θ ηµθσυνθ ηµθσυνθ ηµθσυνθ = 4 ii) Παρατηρούμε ότι οι αριθμοί ημθ και συνθ έχουν άθροισμα ίσο με + και γινόμενο ίσο με Άρα είναι: ημθ = και συνθ = ή συνθ = και ημθ =

13 8)Αν ηµχ + συνχ = λ, να υολογίσετε (ως συναρτηση του λ) τις αρακάτω αραστάσεις : i)ηµχσυνχ ii) ηµ χ+ συν χ iii) ηµ χ + συν χ iv) ηµ χ + συν χ i) Αφού ηµχ + συνχ = λ, έχουμε: ( ηµχ + συνχ) = λ ηµ χ+ συν χ + ηµχσυνχ = λ + ηµχσυνχ ηµχσυνχ = λ. ii) λ λ ηµ χ+ συν χ = ( ηµχ + συνχ)( ηµ χ ηµχσυνχ + συν χ) = λ ( ) = λ = = λ( λ ). 4 4 iii) ηµ χ + συν χ = ( ηµ χ) + ( συν χ) = ( ηµ χ+ συν χ) ηµ χσυν χ = 4 λ ( λ ) λ + λ 4 = ( ) = = = ( λ + λ ). iv) ηµ χ+ συν χ = ( ηµ χ) + ( συν χ) = ( ηµ χ + συν χ)( ηµ χ ηµ χσυν χ + συν χ) = λ + λ ( λ ) 4 ηµ χ + συν χ ( ηµχσυνχ ) = = (6λ λ + ) )Να εξετασετε αν υαρχουν τιμές του χ για τις οοίες ισχύει: i) ηµχ = και συνχ = ii) ηµχ = α και συνχ = α+ οου α R Αν υάρχει τέτοιο χ, θα ισχύει ηµ χ+ συν χ =. i) Στην ερίτωση αυτή έχουμε: ηµ χ + συν χ = ( ) + ( ) = + = Άρα δεν υάρχει χ ώστε: ηµχ = και συνχ =. ii) Αντίστοιχα έχουμε: ηµ χ + συν χ = ( α ) + ( α ) = α + 4α + 4+ α 4α + 4= α Διότι αν ήταν α + 8= α = 7 α = ου δε ισχύει γιατί για κάθε α R ισχύει α 0. Συνεώς δεν υάρχει χ ώστε συνχ =α+ και ηµχ =α όου( α R). 0)Να υολογιστούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών:

14 i) ii)5 o iii) 7 6 i )Είναι: ηµ ( ) = ηµ =, ( συν ) = συν = εφ ( ) = εφ = καισφ ( ) = σφ =. ii)εειδή 80 ο 5 ο =45 ο, είναι: ηµ 5 ο =ηµ 45 0 =, συν5 ο = συν 45 0 = ο 0 ο 0 εφ5 = εφ45 =, σφ5 = σφ 45 =. 7 7 iii) Εειδή =, θα είναι : = + όοτε ηµ = ηµ ( + ) = ηµ = συν = συν ( + ) = συν = εφ = εφ = σφ = σφ =. 6 6 )Να αοδειχθει ότι : ηµ ( θ ) συν (5 + θ ) εφ(7 + θ ) σφ(9 θ ) = ηµ ( θ ) συν (4 θ ) εφ(6 θ ) σφ(8 + θ ) Θα κάνουμε χρήση των τύων αναγωγής. Είναι : ηµ ( θ ) = ηµ ( + θ ) = ηµ ( θ ) = ηµθ συν (5 + θ ) = συν (4 + + θ ) = συν ( + θ ) = συνθ εφ(7 + θ ) = εφ(6 + + θ ) = εφ( + θ ) = εφθ σφ(9 θ ) = σφ(8 + θ ) = σφ( θ ) = σφθ Όμοια για τον αρανομαστή ηµ ( θ ) = ηµ ( θ ) = ηµθ συν (4 θ ) = συν ( θ ) = συνθ εφ(6 θ ) = εφ( θ ) = εφθ

15 σφ(8 + θ ) = σφθ Έτσι: ηµ ( θ ) συν (5 + θ ) εφ(7 + θ ) σφ(9 θ ) = ηµ ( θ ) συν (4 θ ) εφ(6 θ ) σφ(8 + θ ) ηµθ ( συνθ ) εφθ ( σφθ ) = ηµθ συνθ ( εφθ ) σφθ Ασκήσεις ρος λύση. Αοδείξτε ότι: (ημx + συνx) = + ημx.συνx.. Αλοοιήστε τις αραστάσεις: α) εφx.συνx β) ημx.συν x + ημ x γ) ηµ x + ηµ x. Αλοοιήστε τις κλασματικές αραστάσεις: α) β) 4 συν x - συν x 4 ηµ x - ηµ x ηµ x -ηµ y συν x -συν y 4. Αν ημ5 = α) το συν5 β) την εφ5 ( - ) και ημ75 = ( + ) να βρείτε: 4 4 µ α 5. Χρησιμοοιώντας τον τύο =, να συμληρώσετε τον ίνακα: 80 Μέτρο γωνίας σε μοίρες Μέτρο γωνίας σε ακτίνια / / / 4

16 6. Με βάση τα στοιχεία ου σημειώνονται στο διλανό τριγωνομετρικό κύκλο και τις ααραίτητες ευθείες ου ρέει να χαράξετε, να βρείτε: α) συν0 β) συν0 συν90 συν0 συν80 συν40 συν70 συν0 Δικαιολογήστε την αάντησή σας στο (β) ερώτημα. 7. Στο διλανό τριγωνομετρικό κύκλο: Να σχεδιάσετε τις γωνίες ου σημειώνονται στους ίνακες Α, Β, Γ και στη συνέχεια να συμλη-ρώσετε τους ίνακες αυτούς.. 8.Συμληρώστε στον αρακάτω ίνακα το τεταρτημόριο στο οοίο βρίσκεται η τελική λευρά της γωνίας θ. ημθ > 0 και συνθ < 0 εφθ < 0 και συνθ < 0 σφθ > 0 και συνθ > 0 εφθ < 0 και συνθ > 0 ημθ < 0 και εφθ < 0 σφθ < 0 και ημθ > 0 ημθ > 0 και εφθ > 0 ημθ > 0 και συνθ < 0 τεταρτημό ριο τελικής λευράς 9. Πόσο είναι σε ακτίνια οι γωνίες: α) ενός ισόλευρου τριγώνου; β) ενός ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου

17 0. Να συμληρώσετε τον αρακάτω ίνακα. γωνία θ ρόσημο ημθ ρόσημο συνθ ρόσημο εφθ ρόσημο σφθ. Αν ημθ < 0 και εφθ > 0, τότε η τελική λευρά της γωνίας θ βρίσκεται: Α. στο ο τεταρτημόριο Β. στο ο τεταρτημόριο Γ. στο ο τεταρτημόριο Δ. στον ημιάξονα Οx Ε. στο 4 ο ή ο τεταρτημόριο. Εάν ημθ = 0,4 και 0 < θ < 90, υολογίστε το συνθ και την εφθ.. Εάν ημy = και 90 < y < 80, υολογίστε το συνy και την εφy. 4. Εάν εφθ = 5 8 και 80 < θ < 70, υολογίστε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας θ. 5. Εάν εφθ = - 4 και 70 < θ < 60, να υολογίσετε τους άλλους τριγωνο- μετρικούς αριθμούς της γωνίας αυτής. 6. Αν εφθ - = 0 και ημθ < 0, να βρεθεί το συνθ. 7.Αν 6ημ x + ημx - = 0 και < x <, να βρεθεί το συνx. 8. Αοδείξτε ότι για οοιεσδήοτε γωνίες x, α, β ισχύουν: α) (ημx - συνx) = - ημx. συνx β) ημ 4 x - συν 4 x = ημ x - συν x = - συν x = ημ x - γ) ( + ημx + συνx) = ( + συνx) ( + ημx) δ) -εφ +εφ x x = - ημ x ε) - συν x +ηηµ = ημx

18 στ) ημ α ( + σφ α) + συν α ( + εφ α) = ζ) εφα +σφβ σφα +εφβ εφα = εφβ 9. Αν ηµx + συνx =, τότε η γωνία x αίρνει: Α. καμία τιμή B. μια τιμή Γ. τρεις τιμές Δ. άειρες τιμές Ε. τέσσερις τιμές 0. Αν ηµx + συνx = 0, τότε η τελική λευρά της γωνίας x βρίσκεται: Α. στο ο τεταρτημόριο B. στο ο τεταρτημόριο Γ. στο ο τεταρτημόριο Δ. στο 4 ο τεταρτημόριο Ε. δεν υάρχει γωνία x ου να ικανοοιεί αυτή τη σχέση. Βρείτε τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη τιμή των αραστάσεων: γ) y = α) y = + συνx β) y = 5 + ημ x -ηµ x. Αν x, x είναι ρίζες της εξίσωσης ( + ημφ) x - ( + ημ φ) x + ( - ημφ) ημφ = 0, ημφ - τότε να δείξετε ότι: x + x + x x=. Αν συνx - ημx = ημx, τότε και συνx + ημx = συνx. 4. Αν ημθ + 5συνθ = 5, τότε να δείξετε ότι: (συνθ - 5ημθ) = Αν το ημx = 5, 90 < x < 80, τότε το συνx ισούται με: Α. - Β. Γ. 8 Δ. - 8 Ε Για οοιαδήοτε γωνία x, με x κ και κ Ζ, η έκφραση (ημx) ισούται με: Α. 4ημx B. ημ x Γ. ημ4x Δ. ημ4x Ε. 4ημx

19 7. Να χαρακτηρίσετε με σωστό ή λάθος τις ισότητες: Σωστό Λάθος α) ημ500 = ημ40 β) συν750 = συν0 γ) εφ (-00 ) = εφ (-0 ) 8. Να βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών: 780, 0, 7 9. Να δείξετε ότι: εφ (740 + x - y) - εφ (0 + x - y) = Να αλοοιηθεί το κλάσμα:. Υολογίστε: α) ημ (- 6 ) β) εφ (-45 ) ηµ (+α) σϕ (7+α) συνα συν (+α) σϕ (4 + α) ηµα γ) συν (- ) δ) σφ (- 60 ). Εάν x και y είναι δύο οοιεσδήοτε γωνίες, να δείξετε ότι: α) συν (x- y) = συν (y- x) β) ημ (x- y) = - ημ (y- x). Εαληθεύστε τις ισότητες: α) συν (x - ) = συν (x + ) β) ημ (x - ) = ημ ( + x) 4. Να εκφράσετε συναρτήσει του συνx και του ημx την αράσταση: Α = συν (- x) + ημ (- x) + ημ ( + x) + συν ( - x) 5. Δίνεται: συν 8 = +. Υολογίστε: α) ημ γ) ημ και συν β) ημ και συν 8 8 δ) ημ (- 8 ) και συν (- 8 ) ε) ημ 5 5 και συν Υολογίστε το ημίτονο και το συνημίτονο των αρακάτω γωνιών: α) ,, -,,

20 β) -,,,, γ), -,,, δ) -,, 6 4 Χρησιμοοιήστε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών τύους ου συνδέουν τις γωνίες 7. Το ημ (- ω) ισούται με: Α. συνω Β. - ημω Γ. ημω Δ. - συνω Ε. κανένα αό τα ροηγούμενα, και καθώς και τους Το συν ( + ω) ισούται με: Α. ημ (-ω) Β. συνω Γ. ημω Δ. - συνω Ε. κανένα αό τα ροηγούμενα 9. Η εφ ( + ω) ισούται με: Α. σφω Β. εφω Γ. - εφω Δ. σφ (-ω) Ε. κανένα αό τα ροηγούμενα8. Να δειχθεί ότι ημ (κ60 + x) + συν (κ60 - x) =. 40. Αν ημx = 5, 90 < x < 80, τότε εφx ισούται με: Α. 4 Β. 4 Γ. - 4 Δ. 6 9 Ε Το άθροισμα ημ (-ω) + συν (-ω) + ημ (80 - ω) + συν (80 - ω) ισούται με: Α. Β. - Γ. 0 Δ. Ε. ημω 4. Να δειχθεί ότι οι διαγώνιοι ενός τετραλεύρου ΑΒΓΔ τέμνονται κάθετα αν το άθροισμα των ημιτόνων των τεσσάρων γωνιών ου έχουν κορυφή το σημείο τομής των διαγωνίων είναι Να δειχθεί ότι η εφατομένη κάθε εξωτερικής γωνίας οξυγώνιου τριγώνου είναι αρνητικός αριθμός. 44. Αν x γωνία τριγώνου, να δειχθεί ότι ημ x - 60 = - ημx.

21 45. Να γράψετε συναρτήσει των τριγωνομετρικών αριθμών γωνίας θετικής και μικρότερης αό 45 τις εκφράσεις: α) εφ85, β) ημ65, γ) συν5 46. Η αράσταση ημ x + ημ ( - x) ισούται με: Α. Β. 0 Γ. ημ x Δ. Ε. - ημ x 47. α) Να αοδείξετε ότι: συν (x + 45 ) = ημ (45 - x) β) Να βρεθεί η αριθμητική τιμή του αθροίσματος: συν (x + 45 ) + συν (x - 45 ) + ημ (45 - y) + ημ (y + 45 ). 48. Να αοδείξετε ότι: - ηµ (70 +θ) ηµ (80 +θ) - =. +συν (90 +θ) συν (80 -θ) 49. Να αλοοιηθεί η κλασματική αράσταση: ηµ ( + x) ηµ ( - x) συν ( x) συν ( + x). 50. Να δείξετε ότι για κάθε κ Ζ είναι: ημx = (-) κ συν [(κ + ) - x]

22 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός :Μια συνάρτηση F ορισμένη σε ένα σύνολο Α λέγεται εριοδική όταν υάρχει Τ R (Τ>0, Τ ανεξάρτητο του χ) τέτοιο ώστε για κάθε χ Α. Να ισχύει: χ+τ Α, χ-τ Α και F(χ-Τ)= F(χ+Τ) Ο αριθμός Τ λέγεται ερίοδος της συνάρτησης.. Αν υάρχουν ολλοί τέτοιοι αριθμοί, τότε ερίοδο ονομάζουμε το μικρότερο αό αυτούς... Οι συναρτήσεις ημχ και συνχ έχουν εδίο ορισμού όλο το R και είναι εριοδικές με ερίοδο, ενώ οι συναρτήσεις εφχ και σφχ έχουν ερίοδο το.. Η εφχ έχει εδίο ορισμού το R- κ +, όου κ ακεραιος, ενώ η σφχ το κ οου κ ακεραιος }. R-{, Ορισμός:Μια συνάρτηση με εδίο ορισμού το Α θα είναι άρτια αν: i) Α συμμετρικό ως ρος το 0 και ii)για κάθε χ Α ισχύει f(x)=f(-x) ενώ θα είναι εριττή αν: i) Α συμμετρικό ως ρος το 0 και ii) για κάθε χ Α ισχύει f(x)=f(-x). Το γεγονός ότι μια συνάρτηση είναι εριοδική είναι ολύ σημαντικό γιατί μας ειτρέει να μελετήσουμε την συνάρτηση και να κάνουμε την γραφική αράσταση μόνο σε διάστημα λάτους Τ (γιατί σε κάθε διάστημα λάτους ( η γραφική αράσταση της συνάρτησης θα εαναλαμβάνεται η ίδια ).Δηλαδή, την ημχ και την συνχ μορούμε να την μελετήσουμε λήρως σε ένα διάστημα λάτους, ενώ την εφχ και την σφχ σε διάστημα λάτους. Εκτός του ότι οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι εριοδικές, αν αρατηρήσουμε ροσεκτικά τον ίνακα ανάγωγης στο ο τεταρτημόριο, θα δούμε ότι τελικά οι ημχ, εφχ και σφχ είναι εριττές, ενώ η συνχ είναι άρτια. Αυτό σημαίνει ότι η μελέτη αυτών των συναρτήσεων μορεί να γίνει σε μικρότερο διάστημα αό αυτό ου είαμε ροηγουμένως. Π.χ Έστω η συνάρτηση f(χ)=συνχ.αντί να την μελετήσουμε στο[0,],ειλέγουμε στο διάστημα [-,] ου έχει το ίδιο λάτος εειδή είναι συμμετρικό ως ρος το Ο. Εειδή είναι άρτια η συνάρτηση, θα την μελετήσουμε και θα κάνουμε την γραφική αράσταση της στο [0,].Η γραφική αράσταση στο [-,0] θα είναι συμμετρική της ρώτης ως ρος τον ψ ψ άξονα.. Πίνακας αναγωγής στο ρώτο τεταρτημόριο χ -α -α +α α +α α +α ημχ -ημα ημα -ημα συνα συνα -συνα -συνα συνχ συνα -συνα -συνα ημα -ημα -ημα ημα εφχ -εφα -εφα εφα σφα -σφα σφα -σφα

23 σφχ -σφα -σφα σφα εφα -εφα εφα -εφα ΜΕΛΕΤΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ f(x)=ημχ Πεδίο ορισμού: R Σύνολο τιμων:[-,] Περιοδικη:με εριοδο[0,] Η μελετη της θα γίνει στο διάστημα [0,] Πίνακας τιμών χ 0 Μονοτονια χ 0 ημχ ηµχ Γραφικη αράσταση στο [0,] Μεγιστη τιμή: Για χ=, το ημ = Ελαχιστη τιμή :Για χ=,το ημ =- Περιττη: Ισχύει F(-χ) =ημ(-χ)=-ημχ=-f(x) Κεντρο συμμετριας : Η αρχή των αξονων Ο(0,0). Γραφικη αράσταση στο R

24 - 4 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ f(x)=συνχ Πεδίο ορισμού: R Σύνολο τιμών: :[-,] Περιοδικη:με εριοδοτ= Η μελετη της θα γίνει στο διάστημα [0,] Πίνακας τιμών χ 0 ημχ 0-0 Μονοτονια χ 0 συνχ Γραφική αράσταση στο [0, ] Μέγιστη τιμή: Για χ=0, το συν0= Ελάχιστη τιμή :Για χ=, το συν= - Άρτια: Ισχύει f (-χ) = συν(-χ) =συνχ = f(x) Κέντρο συμμετρίας : Ο αξονας ψ ψ Γραφική αράσταση στο R ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

25 f(x)=εφχ Πεδίο ορισμού: R-{χ=κ+ κ Ζ} Σύνολο τιμων:r Περιοδικη: με εριοδο Τ= Η μελέτη της θα γίνει στο διάστημα [, ] χ εφχ Μονοτονια - 0 Περιττη: Ισχύει f(-χ) = εφ(-χ) =-εφχ = f(x) Κεντρο συμμετριας : Η αρχή των αξονων Ο (0,0) Ασυμτωτες: Οι ευθειες x = και x = Γραφικη αράσταση στο [, ]

26 Γραφικη αράσταση στο R -{χ=κ + κ Ζ } f(x)=σφχ Πεδίο ορισμού: R-{χ=κ κ Ζ } Σύνολο τιμων: R Περιοδικη: με εριοδο Τ= Η μελετη της θα γίνει στο διάστημα [ 0, ] σφχ χ 0 Μονοτονια Περιττη: Ισχύει f(-χ) = εφ(-χ) =-εφχ = f(x) Κεντρο συμμετριας : Η αρχή των αξονων Ο (0,0) Ασυμτωτες: Οι ευθειες x = 0 και x = Γραφικη αράσταση στο [ 0, ]

27 Γραφικη αράσταση στο R -{χ=κ κ Ζ } ΠΡΟΣΟΧΗ!!!! Οι συναρτήσεις της μορφής :f(x)=ρημωχ και f(x) =ρσυνωχ οού ρ,ω R : i) έχουν μέγιστη τιμή ίση με ρ και ελάχιστη τιμή ίση με - ρ. ii) Είναι εριοδικές με ερίοδο ίση με Τ= ω Οι συναρτήσεις της μορφής :f(x)=ρεφωχ και f(x) =ρσφωχ οού ρ,ω R : i) δεν έχουν ακροτατα (μέγιστο ή ελάχιστο). ii)είναι εριοδικές με ερίοδο ίση με Τ= ω

28 Λυμένες ασκήσεις (Τριγωνομετρικές συναρτήσεις ) )Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων f(x) =4ημχ και g(x)=ημ χ Η καμύλη ψ=4ημχ έχει ερίοδο, μέγιστη τιμή ίση με 4 και ελάχιστη τιμή ίση με 4. χ Η καμύλη ψ=ημ έχει ερίοδο = 4, μέγιστη τιμή ίση με και ελάχιστη τιμή ίση με. Λαμβάνοντας υοψιν την γενική μορφή της καμύλης ψ=ρημωχ )Να σχεδιάσετε την γραφική αράσταση της συνάρτησης f(x)=ηµχ- Η καμύλη ψ = ημχ- ροκύτει αό την μετατόιση της ψ=ημχ ρος τα κάτω.

29 Παρατήρηση Αν γνωρίζουμε την καμύλη με εξίσωση ψ = f ( x) τότε μορούμε άμεσα να σχεδιάσουμε τις καμύλες με εξισώσεις ψ = f ( x) + a και ψ = f ( x+ a). Η καμύλη με εξίσωση ψ = f ( x) + a ροκύτει αό την καμύλη με εξίσωση ψ = f ( x) με μετατόιση κατά α ρος τα κάτω αν α<0 ή κατά α ρος τα άνω αν α>0. Η καμύλη με εξίσωση ψ = f ( x+ a) ροκύτει αό την καμύλη με εξίσωση ψ = f ( x) με μετατόιση κατά α ρος τα δεξιά αν α<0 ή κατά α ρος τα αριστερά αν α >0. )Στο σχήμα αριστάνεται μια εριοδική συνάρτηση της f. Να βρείτε ένα ιθανό τύο της f. Αό την γενική μορφή της καμύλης συμεραίνουμε ότι ένας ιθανός τύος της συνάρτησης f είναι ο f(x)=ρημωχ. Η μέγιστη τιμή της f είναι ίση με 9, άρα ρ=9 Η ερίοδος της f είναι ίση με 4, άρα = 4 ω = ω Εομένως ένας ιθανός τύος για την f είναι ο χ f(x)= 9ηµ 4)Σε μια εριοχή στο Παλλιριστάν το βάθος της θάλασσας μεταβάλλεται εριοδικά λόγω της αλίρροιας. Σε ένα συγκεκριμένο σημείο το βάθος της θάλασσας (σε μ) δίνεται για μια ημέρα αό την συνάρτηση: t f ( t ) = 5+ 4,5συν ( ) 6 t 0,4 είναι ο χρόνος (σε ώρες) ου έρασε αό τα μεσάνυχτα. όου [ ] i)να σχεδιάσετε την γραφική αράσταση της συνάρτησης f. ii) Με βάση το σχήμα να βρείτε σε οια χρονικά διαστήματα είχαμε λημμυρίδα και σε οια είχαμε άμωτη.

30 t Η καμύλη ψ = 4, 5 συν ( ) έχει μέγιστη τιμή 4,5 ελάχιστη τιμή 4,5 και ερίοδο 6 =.Για να σχεδιάσουμε την συνάρτηση f αρκεί να μετατοίσουμε την καμύλη 6 t ψ = 4, 5 συν ( ) κατά 5 μονάδες ρος τα άνω. 6 ii)στα διαστήματα τα οοία η f είναι γνησίως αύξουσα( δηλαδή στα [6,],[8,4])έχουμε λημμυρίδα ενώ στα διαστήματα στα οοία η f είναι γνησίως φθίνουσα ( δηλαδή στα [0,6],[,8] έχουμε άμωτη. 5)Να γίνουν οι γραφικές αραστάσεις i) f(x)= ηµ ( χ ) ii) f(x)= εφ ( χ+ ) i)όταν f(x)=g(x-κ), τότε η γραφικη αράσταση της f(x) είναι η αραλληλη μετατοιση της γραφικηςαραστασης της g(x) κατά κ μονάδες [δεξιά αν κ>0 ή αριστερα αν χ<0].άρα η γραφικη αράσταση της f(x) θα είναι η αραλληλη μετατοιση της ημχ ρος τα δεξιά κατά μονάδες. Είσης η f(x) θα έχει εδίο ορισμού ολο το R και εριοδο.

31 ii) f(x)= εφ ( χ+ ). Η γραφικη αράσταση της f(x) είναι η αραλληλη μετατοιση της g(x)=εφχ κατά ρος τα αριστερα.η f(x) έχει εριοδο όως και η g(x)=εφχ. Εειδη η g(x) έχει εδίο ορισμού R κ +, κ Ζ,η f(x) θα έχει R κ, κ Ζ εδίο ορισμού { } Προσοχή!! ηµχ Εειδη η εφχ =,για να οριζεται ρέει συνχ 0, άρα χ κ +.Εδώ κ + συνχ με κ Z είναι τα σημεια τομης της γραφικης αράστασης της f(x)= εφ ( χ+ ) με τον χ χ. χ 6)Να γίνει η γραφική αράσταση τηs f(x)= ηµ χ Εειδή η g(x) = ηµχ έχει εδίο ορισμού όλο το R και η h(x)= ηµ θα έχει εδίο ορισμού το R [ το ημίτονο ορίζεται για κάθε τόξο].όως είαμε στην θεωρία, η συνάρτηση ημ(ωχ) έχει ερίοδο Τ=.Άρα η ερίοδος της h(x): =4. ω χ χ Εειδή όμως f(-x)= = ηµ ( ) = ηµ = f (x),η f είναι εριττή. Άρα αρκεί να μελετηθεί σε διάστημα λάτους, χ στο[0,].

32 χ χ 0 ηµ F(x) 0 0 Με την βοήθεια αυτού του ίνακα, φτιάχνουμε την γραφική αράσταση της f(x) αό το 0 έως το. Η αντίστοιχη γραφική αράσταση στο [-,0] φτιάχνεται συμμετρικά ως ρος το Ο(0,0). Η υόλοιη γραφική αράσταση είναι εανάληψη της καμύλης ου ροέκυψε [λάτους [-,]]. Παρατήρηση Γενικά για να βρούμε τη ερίοδο μιας συνάρτησης λύνουμε την εξίσωση f(x+t)=f(x) και υολογίζουμε το Τ, το οοίο ρέει να είναι ανεξάρτητο του χ. Αν υάρχουν ολλά τέτοια ειλέγουμε το μικρότερο θετικό. 7)Να βρεθούν τα σύνολα τιμών των αρακάτω συναρτήσεων: i) f (x) = 4+ 6ηµχ ii) f (x) = 9 ηµχ i) Ξέρουμε ότι: ηµχ 6 6ηµχ ηµχ ηµχ 0 f ( x) 0 Άρα f(a)=[-,0].

33 ii) συνχ ηµχ 9+ 9 συνχ συνχ 7 f ( x) 7 Άρα f(a)=[7,]. 8)Να εξετασετε αν οι συναρτήσεις : 7 ηµ χ+εφ χ i) f (x) = ii) f (x) = συν χ+συνχ+ ηµ χ+ 5 είναι άρτιες ή εριττές. i) Το εδίο ορισμού της f είναι το R. Ξέρουμε ότι, για κάθε, x R, x R(συμμετρικό εδίο ορισμού). 7 7 ηµ ( χ) +εφ ( χ) ηµ χ εφ χ ( x) = = = ηµ ( χ) + 5 ( ηµ x) + 5 f 7 ( ηµ χ+εφ χ) = ( ηµ x) ηµ χ+εφ χ = f (x). ηµ x + 5 Άρα η συνάρτηση είναι εριττή. ii)το εδίο ορισμού της g είναι το R. Ξέρουμε ότι, για κάθε, x R, x R g(-x)= συν ( χ) +συν( χ) + = συν χ+συνχ+ = g(x). 7 ( ηµ χ+εφ χ) ηµ x + 5 = 9)Να βρεθούν η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή και η ερίοδος των ιο κάτω συναρτήσεων: χ i) f(x)=- ηµ ii)g(x)=-συν(- χ) iii) h(x)=εφ(-χ) i) Η f έχει μέγιστο το =,και ελάχιστο το και ερίοδο T= = 4. ii) Η g έχει μέγιστο το =,και ελάχιστο το και ερίοδο 4 4 T= = = = =. iii) Η h δεν έχει μέγιστο, ούτε ελάχιστο. Έχει ερίοδο Τ= =.

34 0)Αν είναι α<β, να συγκριθούν οι αριθμοί 4 α β i) ημα και ημβ ii)ημα και ημβ iii)ημ και ημ i)εειδή η συνάρτηση ημχ είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [, ] και είναι α<β 4 4 θα είναι ημα <ημβ. ii)έχουμε α<β.άρα είναι α< β και εειδή η συνάρτηση ημχ είναι γνησίως 4 φθίνουσα, θα είναι ημα>ημβ. α β α β iii)έχουμε α<β. Άρα είναι < όοτε: ημ < ημ Ασκήσεις ρος λύση. )Να σχεδιάσετε τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων: χ i) f(x)= ηµχ ii) f(x)= ηµ iii) f(x)=ηµ χ iv) f(x)=-ηµ χ. ) Να σχεδιάσετε τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων: χ i) f(x)= συνχ ii) f(x)= συνχ iii ) f(x)= + συν ) Να σχεδιάσετε τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων: i) f(x)= εφ χ χ ii) f(x)= εφ iii ) f(x)= εφ ( χ ) 4 4)Να βρείτε τις εριόδους των συναρτήσεων: χ i) f(x)= ηµχ ii) f(x)= ηµ iii) f(x)=ηµ χ iv) f(x)= συνχ v) f(x)= συν χ 5)Βρείτε την ερίοδο, την μέγιστη, και την ελάχιστη τιμή των συναρτήσεων. 5 x i) f(x)= 7ηµ ( χ) ii) f(x)= 0ηµ ( ) f(x)= ηµ ( χ) 8

35 6)Να αοδείξετε ότι οι αρακάτω συναρτήσεις είναι σταθερές. 4 4 i)f(χ)= ηµ χ+συν χ+ ηµ χ συν χ ii) f(x)= εφ χ + ( συν χ+ ) +εφ χ 7) Να ροσδιορίσετε την τριγωνομετρική συνάρτηση με ερίοδο 0 η οοία να είναι εριττή και να έχει μέγιστη τιμή το 6. 8)Να ροσδιορίσετε τριγωνομετρική συνάρτηση με ερίοδο 8 η οοία να είναι άρτια και να έχει ελάχιστη τιμή το. 9)Να βρείτε το σύνολο τιμών των αρακάτω συναρτήσεων: x i) f(x)= συν500 χ+ 4 ii) f(x)= 0 ηµ ( ) + 6 0)Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων: i) f(x)= συν χ και f(x)= συν χ + ii) f(x)= ηµ (χ) και f(x)= ηµ ( χ) iii) f(x)= ηµ ( χ) και f(x)= ηµ(χ) )Δίνεται η συνάρτηση f(x)= 8 συν( αχ) α.να ροσδιορίσετε τον θετικό αριθμό α σε καθεμία αό τις εριτώσεις: i)η f έχει ερίοδο ίση με 0.Ποια είναι τότε η μέγιστη τιμή της f ; ii)h f έχει ελάχιστη τιμή ίση με -6.Ποια είναι η ερίοδος της ; )Να ροσδιορίσετε τους ραγματικούς αριθμούς α, β για τους οοίους η συνάρτηση f(x)=α+βημ8χ έχει ελάχιστη τιμή το 5 και η γραφική της αράσταση διέρχεται αό το σημείο (, ). ) Δίνεται η συνάρτηση f ( x) = ηµ x συν( + x). α) Να βρεθεί το εδίο ορισμού της f (x) και να αλοοιηθεί ο τύος της. β) Να βρεθούν η ερίοδος και τα ακρότατα της f (x). γ) Να γίνει η γραφική αράσταση της f (x). )Μερικές τιμές της εριοδικής συνάρτησης f εριλαμβάνονται στον αρακάτω ίνακα. Αν είναι γνωστό ότι η μέγιστη τιμή της f είναι το 0 τότε: χ f(x) i)ποια μορεί να είναι η ερίοδος της f ; ii) Να βρείτε ένα ιθανό τύο για την f. iii)με βάση τον τύο ου ροσδιορίσατε να βρείτε τις τιμές : και f( 000 ). f( )

ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ 1. Τι ονομάζουμε εριοδική συνάρτηση Μια συνάρτηση ƒ με εδίο ορισμού το Α λέγεται εριοδική όταν υάρχει ραγματικός αριθμός Τ, Τ > 0 τέτοιος ώστε για κάθε χ Α να ισχύει α) χ+τ Α, χ -

Διαβάστε περισσότερα

1. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας

1. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας v.5 «Αυτό το ρόβλημα, τούτ η μεγάλη συμφορά για να λυθεί χρειάζεται, δίχως αμφιβολία, όως κοιτάζω α τη δική σου την λευρά, να δεις κι εσύ α τη δική μου τη γωνία».. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας

Διαβάστε περισσότερα

(Μονάδες 15) (Μονάδες 12)

(Μονάδες 15) (Μονάδες 12) ΑΛΓΕΒΡΑ Β Λυκε ί ου τ ράε ζ αθε μάτ ων( 1ηέ κδοση) θέ μαδε ύτ ε ροκαιτ έ τ αρτ ο Κόμβ οςατ σι οούλου01415 δης Ει μέ λε ι α:εμμανουήλκ.σκαλί Αντ ώνηςκ.αοστ όλου Άσκηση 1 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου Ελευθέριος Πρωτοαάς Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου Δεκέμβριος 04 Περιεχόµενα o Θέμα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα 6950 8 6954 9

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρία ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΡΙΠΙΔΗΣ 2 ΑΝΘΟΥΛΑ ΣΟΦΙΑΝΟΠΟΥΛΟΥ

Τριγωνομετρία ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΡΙΠΙΔΗΣ 2 ΑΝΘΟΥΛΑ ΣΟΦΙΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΤΟ ΒΑΣΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ: ημ χ+συν χ= ημ χ=-συν χ συν χ=- ημ χ εφχ + σφ χ = εφχ ημχ συνχ = σφχ = ημ χ εφχσφχ σφχ = = συνχ ημχ + εφ χ = συν χ Γωνία χ Τριγωνομετρικοί Αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ 16968, 1765, 17656, 17663, 17664, 17681, 1769, 17699, 17704, 1775, 17736, 17739, 17741 ΘΕΜΑΤΑ 4 17837, 17838,

Διαβάστε περισσότερα

1. Ένα σώµα ταλαντώνεται κατακόρυφα στο άκρο ενός ελατηρίου. Η απόσταση του σώµατος

1. Ένα σώµα ταλαντώνεται κατακόρυφα στο άκρο ενός ελατηρίου. Η απόσταση του σώµατος 1. Ένα σώµα ταλαντώνεται κατακόρυφα στο άκρο ενός ελατηρίου. Η αόσταση του σώµατος αό το έδαφος (σε cm), δίνεται αό την συνάρτηση f(t)=1ηµ t +13, όου t ο χρόνος σε ώρες. α) Να βρείτε την ερίοδο της ταλάντωσης.

Διαβάστε περισσότερα

Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις

Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις. Ονομασίες Ορισμοί Ο τριγωνομετρικός κύκλος έχει ακτίνα R. Αρχή μέτρησης των τόξων (γωνιών) είναι το Α, είτε κατά τη θετική φορά (αριστερόστροφα)

Διαβάστε περισσότερα

3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός Έστω µία συνάρτηση f µε εδίο ορισµού Α και A Θα λέµε ότι η f είναι εριοδική όταν υάρχει ραγµατικός αριθµός Τ > 0 έτσι ώστε για κάθε Α να ισχύει : i)

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύου «Σωστό - Λάθος». * Αν = α + βi, α, β R και = 0, τότε α = 0 και β = 0. Σ Λ. * Αν = α + βi και αβ 0, τότε = α β i. Σ Λ. * Αν = κ + λi κ, λ R, τότε Re () =

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Το ακτίνιο ως μονάδα μέτρησης γωνιών: Το ακτίνιο (ή rad) είναι η γωνία που, όταν γίνει επίκεντρη κύκλου (Ο, ρ), βαίνει σε τόξο που έχει μήκος ίσο με την ακτίνα

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 3ος

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 3ος Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Τόμος 3ος Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Καθηγητής Πανειστημίου Αθηνών Κατσαργύρης Βασίλειος Καθηγητής μαθηματικών Βαρβακείου Πειραμ. Λυκείου Παασταυρίδης Στάυρος Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ

Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Β ημφ, εφφ σφφ Μ Δ συνφ Α www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 1 N Β, 90 ο Α, ο H O 1ο 3ο E Σ Δ, 180 ο 360 ο Ν, 70 ο 4ο 1 ο Τεταρτημόριο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ 1 Να υολογίσετε τα όρια: 9 i) ii) ( ) 9 iii) 1 1 1 iv) 7 10 5 15 t t t 1 v) vi) t (t )(t ) 1 1 9 i) (ημ συν) ) 1 7 συν vii) 1 ημ viii) 1 5 i) ii) ημ 6 1 009, άν

Διαβάστε περισσότερα

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ελευθέριος Πρωτοαάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΗ ίνεται η συνάρτηση f µε f() = 5 4 +α, όου α R και το είναι ρίζα της εξίσωσης f() =. α) Να βρείτε το α R. β) Να λύσετε

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν.Κατ/νσης Γ Λυκείου 2000

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν.Κατ/νσης Γ Λυκείου 2000 Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν.Κατ/νσης Γ Λυκείου Ζήτηµα ο Α. Αν η συνάρτηση f είναι αραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x του εδίου ορισµού της να γραφεί η εξίσωση της εφατοµένης της γραφικής αράστασης της f

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΕΡΟΣ A ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφ. 1, Στρόβολος 3, Λευκωσία Τηλ. 357-37811 Φαξ: 357-3791 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 13 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ημερομηνία: Πέμτη, 3/5/13

Διαβάστε περισσότερα

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΛΙΓΟ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (ΘΕΜΑΤΑ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ)

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΛΙΓΟ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (ΘΕΜΑΤΑ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ) Ελευθέρις Πρωταάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΛΙΓΟ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (ΘΕΜΑΤΑ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ) Να βρείτε την τιµή των αραστάσεων: o o συν 90 + ηµ 0 -σφ75 α) A =, ηµ o o 0 + συν 80

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ

Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης o ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ Ααντήσεις ΘΕΜΑ ο Α. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 6. B. Σχολικό βιβλίο, σελίδες 97 και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι. Να αντιστοιχίσετε καθένα από τα συστήματα: (Σ 1 ): { (Σ 2 ): { (Σ 3 ): { (Σ 4 ): { με εκείνη από τις απαντήσεις Α, Β, Γ που νομίζετε ότι είναι η σωστή.

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ FOURIER. ο µετασχηµατισµός αυτός δίνεται από την σχέση x = ). Έτσι, χωρίς βλάβη της γενικότητας,

ΣΕΙΡΕΣ FOURIER. ο µετασχηµατισµός αυτός δίνεται από την σχέση x = ). Έτσι, χωρίς βλάβη της γενικότητας, ΣΕΙΡΕΣ FOURIER. Η ροσέγγιση συναρτήσεων µέσω ολυωνύµων, την οοία µελετήσαµε στην ροηγούµενη Ενότητα, αρά την αοτελεσµατικότητα και την, σχετική, αλότητά της, αοδεικνύεται ανεαρκής για την εριγραφή/ροσέγγιση

Διαβάστε περισσότερα

3.5 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

3.5 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Ασκσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 88-89 A Oµάδας 1.i) Να λύσετε την εξίσωση ηµx = 0 ηµx = 0 ηµx = ηµ0 x = k + 0 x = k + 0, k Z Σηµείωση: Οι λύσεις αυτές διαφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΥΡΕΣΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΥΡΕΣΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόουλου ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΥΡΕΣΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Α. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ολοκληρώνοντας το 1 ο κεφάλαιο στα Μαθηματικά της Γενικής Παιδείας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ. ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ. ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ου ΒΑΘΜΟΥ α + β + γ 0, α 0 β 4 αγ Αν >0, τότε η εξίσωση έχει δύο πραγµατικές ρίζες: 1, β ± α Αν 0, τότε η εξίσωση έχει µια ρίζα διπλή: β

Διαβάστε περισσότερα

4.3 ΟΓΚΟΣ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ

4.3 ΟΓΚΟΣ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ ΜΡΟΣ Β 4. ΟΓΚΟΣ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ 81 4. ΟΓΚΟΣ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ Μονάδες μέτρησης όγκου Ως µονάδα µέτρησης όγκου θεωρούµε έναν κύο µε ακµή µήκους 1 µέτρο(m). Ο όγκος του ισούται µε 1 κυικό µέτρο

Διαβάστε περισσότερα

(Μονάδες 8) β) Αν τα διανύσµατα 2α+β. (Μονάδες 7) ΛΥΣΗ α β = α β συν α ɵ, β, 3 2 2α+β κα+β 2α+β κα+β = 0 2κα + 2α β+ κα β+β = 0

(Μονάδες 8) β) Αν τα διανύσµατα 2α+β. (Μονάδες 7) ΛΥΣΗ α β = α β συν α ɵ, β, 3 2 2α+β κα+β 2α+β κα+β = 0 2κα + 2α β+ κα β+β = 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ: ο - ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ:.5 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 04 05 Γιάννης Ζαµέλης Μαθηµατικός 855 B (Αναρτήθηκε 08 4 ) ίνονται τα διανύσµατα ακαι µε ( α, ) = και α =, = α) Να ρείτε το εσωτερικό γινόµενο α (Μονάδες 8)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΤΡΕΧΟΝΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΤΡΕΧΟΝΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ: ΚΥΜΑΤΑ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΤΡΕΧΟΝΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ. Αν γνωρίζουμε την εξίσωση της αομάκρυνσης ενός αρμονικού κύματος μορούμε να βρούμε την εξίσωσης της ταχύτητας

Διαβάστε περισσότερα

Ταυτότητες. α 2 β 2 = (α β)(α + β) "διαφορά τετραγώνων" α 3 β 3 = (α β)(α 2 + αβ + β 2 ) "διαφορά κύβων"

Ταυτότητες. α 2 β 2 = (α β)(α + β) διαφορά τετραγώνων α 3 β 3 = (α β)(α 2 + αβ + β 2 ) διαφορά κύβων Ταυτότητες (α β) α αβ β " αναπτύγματα τετραγώνων " (α β) αβ β (α β) α α β αβ β " αναπτύγματα κύβων " (α β) α α β αβ β " παραγοντοποίηση τριωνύμου " (α β) αβ ( α)( β) (α β) αβ ( α)( β) α β = (α β)(α + β)

Διαβάστε περισσότερα

σώμα από τη θέση ισορροπίας του με οριζόντια ταχύτητα μέτρου 4 m/s και με φορά προς τα δεξιά.

σώμα από τη θέση ισορροπίας του με οριζόντια ταχύτητα μέτρου 4 m/s και με φορά προς τα δεξιά. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕ ΕΛΑΤΗΡΙΑ. Ένα σώμα μάζας m = kg βρίσκεται άνω σε λείο δάεδο και είναι δεμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k = N/m, το άλλο άκρο του οοίου είναι στερεωμένο σε κατακόρυφο

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

xsin ydxdy (α) Εάν το χωρίο R είναι φραγμένο αριστερά και δεξιά από τις ευθείες x=α και x=β και από πάνω και κάτω από τις καμπύλες dr = dxdy

xsin ydxdy (α) Εάν το χωρίο R είναι φραγμένο αριστερά και δεξιά από τις ευθείες x=α και x=β και από πάνω και κάτω από τις καμπύλες dr = dxdy ΔΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Εφαρμογή Να υολογιστεί το ολοκλήρωμα : cos sin dd Ολοκληρώνουμε ρώτα ως ρος θεωρώντας το σαν σταθερά (αρατηρούμε ότι το «εσωτερικό» ολοκλήρωμα είναι ως ρος, δηλαδή ρώτα εμφανίζεται το

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Σχολικό έτος: 014-015 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων από το Ι.Ε.Π. Γ ε ν ι κ ή Ε π ι μ έ λ ε ι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ i) Να αποδείξετε την ταυτότητα α β γ αββγγα α β βγ γα ii) Να αποδείξετε ότι για όλους τους αβγ,, ισχύει Πότε ισχύει ισότητα; α β γ αβ βγ γα Λέμε ότι μια τριάδα θετικών ακεραίων β,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επαναληπτικές SOS-ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επαναληπτικές SOS-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επαναληπτικές SOS-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Νδο ηµ α Α) = εφα +συνα Β) π συνα εφ α = +ηµ α Γ) ηµ α= ηµ α συνα+ συν α ηµα ) συν α+ηµ α εφα= + εφα εφα Ε) ( + συνα) εφα=ηµ α Ζ) =εφα εφα+σφα. Νδο

Διαβάστε περισσότερα

κινητού και να βρούµε ποιο από τα δυο προηγείται, πρέπει να ακολουθήσουµε τα εξής βήµατα:

κινητού και να βρούµε ποιο από τα δυο προηγείται, πρέπει να ακολουθήσουµε τα εξής βήµατα: Ποιο µέγεθος ροηγείται ανάµεσα σε δυο µεγέθη ου αρουσιάζουν διαφορά φάσης µεταξύ τους Προκειµένου να καθορίσουµε τη διαφορά φάσης ανάµεσα σε δύο φυσικά µεγέθη ενός κινητού και να βρούµε οιο αό τα δυο ροηγείται,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο δείγμα Α1 Αν α> με α 1 τότε για οποιουσδήποτε θ1, θ> να αποδείξετε ότι ισχύει: logα(θ1θ) = logαθ1 + logαθ Α Πότε ένα πολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Ηµιαγωγοί και Ηµιαγώγιµες οµές (7 ο Εξάµηνο Σπουδών) Ασκήσεις που παρουσιάστηκαν στο µάθηµα (2008-09)

ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Ηµιαγωγοί και Ηµιαγώγιµες οµές (7 ο Εξάµηνο Σπουδών) Ασκήσεις που παρουσιάστηκαν στο µάθηµα (2008-09) ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Ηµιαγωγοί και Ηµιαγώγιµες οµές (7 ο Εξάµηνο Σουδών) Ασκήσεις ου αρουσιάστηκαν στο µάθηµα (8-9). Η σχέση διασοράς για τη ζώνη αγωγιµότητας Ε c c () ενός κυβικού ηµιαγώγιµου υλικού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)=

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)= ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 9 - ΚΕΦΑΛΑΙ ΚΕΦΑΛΑΙ ο - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.. ρισµός Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σ ένα σύνολο Β είναι ένας κανόνας µε τον οποίο κάθε στοιχείο του Α απεικονίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β. Το

Διαβάστε περισσότερα

1. Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας διεύθυνσης και ίδιας συχνότητας,

1. Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας διεύθυνσης και ίδιας συχνότητας, ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ ΜΕ ΤΗΝ ΙΔΙΑ ΚΥΚΛΙΚΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ. Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο αλές αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας διεύθυνσης και ίδιας συχνότητας, οι οοίες εξελίσσονται γύρω αό την ίδια θέση ισορροίας.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο.

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ΣΥΛΛΟΓΟΣ «Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ» ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ 1 Δίνονται τα πολυώνυμα (3x ) (5 x)(3x ) και 5x 9 i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ii). Να βρείτε την τιμή του

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1 Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Θ έ μ α Α Α. α. Πότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει διπλή ρίζα; Ποια είναι η διπλή ρίζα της; 4 μονάδες β. Ποια μορφή παίρνει το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, όταν Δ = 0; 3 μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1 ο δείγμα Α. Θεωρία Α) Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό; Β) Να δώσετε τον ορισμό της εγγεγραμμένης γωνίας σε κύκλο (Ο, ρ). (Να γίνει σχήμα) Γ) Ποια

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΜΑΘ. ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΜΑΘ. ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΜΑΘ. ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία µμου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμένο ολοκλήρωμα συνάρτησης Η συνάρτηση F( x ) = ( )

Ορισμένο ολοκλήρωμα συνάρτησης Η συνάρτηση F( x ) = ( ) 9 Ορισμένο ολοκλήρωμ συνάρτησης Η συνάρτηση F( = f t dt Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση f:a R με A = [,] Χωρίζουμε το [,] σε ν ισομήκη υοδιστήμτ ου το κθέν έχει μήκος Δ = Σε κάθε υοδιάστημ ου σχημτίζετι ν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ ΣΠΑΡΤΗ 2008

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ ΣΠΑΡΤΗ 2008 ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ ΣΠΑΡΤΗ 008 Κάθε γνήσιο αντίτυπο έχει την ιδιόχειρη υπογραφή του συγγραφέα Γενική επιμέλεια : Στράτης Αντωνέας Copyright : Στράτης Αντωνέας e-mail: stranton@otenet.gr Τηλέφωνα επικοινωνίας

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 16950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α 1 1. α) Να γίνει γινόµενο το τριώνυµο λ -3λ+. β) Να βρεθεί το λ έτσι ώστε η εξίσωση λ(λχ-1)χ(3λ-)-λ i) να είναι αδύνατη ii) να είναι αόριστη iii) να έχει µία µόνο λύση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο 1 ο ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α1.1 Ισότητα τριγώνων Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με ΑΒ=ΑΓ. Προεκτείνουμε τη βάση ΒΓ κατά ίσα τμήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Να βρείτε για καθεμιά από τις παρακάτω γραμμές αν είναι γραφική παράσταση κάποιας συνάρτησης. 4-1 1 () (1) (3) (4) (5) (6) Αν υπάρχει ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Επαναληπτικές Ασκήσεις (από σχολικό βιβλίο) (από βοήθημα Γ Γυμνασίου Πετσιά-Κάτσιου) Κεφάλαιο 1ο 17,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

α) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν β) γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.

α) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν β) γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ - ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ Μια συνάρτηση f λέγεται: α) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν για οποιαδήποτε χ,χ Δ με χ

Διαβάστε περισσότερα

Τα σώματα του σχήματος έχουν μάζες m = 1 kg και Μ = 2 kg και συνδέονται με νήμα.

Τα σώματα του σχήματος έχουν μάζες m = 1 kg και Μ = 2 kg και συνδέονται με νήμα. Ταλάντωση μετά αό κόψιμο του νήματος. Σώματα δεμένα με νήμα σε κατακόρυο ελατήριο. Τα σώματα του σχήματος έχουν μάζες = g και Μ = g και συνδέονται με νήμα. Το σώμα μάζας αέχει αό το δάεδο αόσταση H = 7

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: ( ) 6+ 9, g ( ), h ( ) 5 +, k

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Β' Γυμν. - Επαναληπτικές Ασκήσεις 1 Άσκηση 1 Απλοποίησε τις αλγεβρικές παραστάσεις (α) 2y 2z 8ω 8ω 2y 2z (β) 1x 2y 3z 3 3 z 2z z 2 x y Επαναληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρα - Γεωμετρία Άσκηση 2 Υπολόγισε την

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων

Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων 9 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Β -- ΓΕΩΜΕΤΡΙΙΑ Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων Β. 1. 1 44. Τι ονομάζεται εμβαδόν μιας επίπεδης επιφάνειας και από τι εξαρτάται; Ονομάζεται εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 30 Ο 45 Ο 60 Ο

2.4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 30 Ο 45 Ο 60 Ο .4 ΤΡΙΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΡΙΘΜΟΙ 0 Ο 45 Ο 60 Ο ΘΕΩΡΙ. Τριγωνοµετρικοί αριθµοί 0 ο, 45 ο, 60 ο : ηµίτονο συνηµίτονο εφαπτοµένη 0 ο 45 ο 60 ο ΣΚΗΣΕΙΣ. Στο διπλανό πίνακα, σε κάθε πληροφορία της στήλης, να επιλέξετε

Διαβάστε περισσότερα

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1 6. ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Οι συντεταγµένες σηµείου Ο Ο άξονας τετµηµένων άξονας τεταγµένων (ΟΚ) µε πρόσηµο = α, η τετµηµένη του Μ (ΟΛ) µε πρόσηµο = β, η τεταγµένη του Μ Το ζευγάρι (α,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α Α ΟΜΑ Α Πιθανότητες: 1. Να βρείτε τον δ.χ. των παρακάτω πειραµάτων τύχης. ι) Ρίχνουµε ένα νόµισµα και σταµατάµε όταν έρθουν 3 κεφαλές και γράµµατα ιι) Ρίχνουµε

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ η εξεταστική ερίοδος 05-6 - Σελίδα ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τάξη: Γ Λυκείου Τμήμα: Βαθμός: Ημερομηνία: 7-0-05 Διάρκεια: ώρες Ύλη: Κρούσεις - Ταλαντώσεις Καθηγητής: Ονοματεώνυμο:

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ. 1.53 Α. Υλικό σηµείο 1 εκτελεί Α.Α.Τ. Τη χρονική στιγµή t = 0 το υλικό σηµείο

ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ. 1.53 Α. Υλικό σηµείο 1 εκτελεί Α.Α.Τ. Τη χρονική στιγµή t = 0 το υλικό σηµείο ΣΥΝΘΕΣΗ ΛΝΩΣΕΩΝ.5. Υλικό σηµείο εκτελεί... η χρονική στιγµή t = 0 το υλικό σηµείο βρίσκεται στη θέση µε αοµάκρυνση x = +, ενώ ο ρυθµός µεταβο- λής της κινητικής του ενέργειας τη στιγµή αυτή είναι θετικός.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ-ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: f ()=, g()= +3,h()= -3 Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Σ Υ Σ Τ Η Μ Α Τ Α

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Σ Υ Σ Τ Η Μ Α Τ Α Σ Υ Λ Λ Ο Γ Η Α Σ Κ Η Σ Ε Ω Ν Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Σ Υ Σ Τ Η Μ Α Τ Α α 3y β 5 (1) Αν το (Σ) : 3 αy 5β τους α,β έχει λύση την (, y) = (1, ) να βρείτε () Να λυθούν τα συστήματα : y 4 3 y 5 6 5 6

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Άλγεβρα Β Λυκείου, ο Κεφάλαιο ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Μια συνάρτηση ƒ λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη Γ

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη Γ 1 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου-Ιουνίου στα Μαθηματικά Τάξη Γ ΘΕΜΑ 1 0 Η εξίσωση αχ + βχ +γ = 0 είναι βαθμού εξίσωση και λύνεται χρησιμοποιώντας τους τύπους Δ =.. χ 1 =. χ =.. Η διακρίνουσα Δ της εξίσωσης

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

3x 2x 1 dx. x dx. x x x dx.

3x 2x 1 dx. x dx. x x x dx. ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση (Υολογισμός του f () d Βσιζόμενος σε Ιδιότητες Ή στην Αρχική της f, η οοί Βρίσκετι ό Κνόνες Πργώγισης) Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ ( + ) d (Θέμ Β) Άσκηση (Υολογισμός του f () d

Διαβάστε περισσότερα

0 0 30 π/6 45 π/4 60 π/3 90 π/2

0 0 30 π/6 45 π/4 60 π/3 90 π/2 Βασικός Πίνακας Μοίρες (Degrees) Ακτίνια (Radians) ΓΩΝΙΕΣ 0 0 30 π/6 45 π/4 60 π/3 90 π/2 Έστω ότι θέλω να μετατρέψω μοίρες σε ακτίνια : Έχω μία γωνία σε φ μοίρες. Για να την κάνω σε ακτίνια, πολλαπλασιάζω

Διαβάστε περισσότερα

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΚΩΝΙΚΕ ΤΟΜΕ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ 1. Να σημειώσετε το σωστό () ή το λάθος () στους παρακάτω ισχυρισμούς: 1. Η εξίσωση + = α (α > 0) παριστάνει κύκλο.. Η εξίσωση + + κ + λ = 0 µε κ, λ 0 παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρα Β-Λυκείου (2ο πακέτο ασκήσεων) 1 22630 Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = 3 x με x R. α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Συµπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: 1) Ο κύκλος µε κέντρο Κ(α, β) και ακτίνα ρ > έχει εξίσωση... ) Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο στην αρχή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΥΚΚΟΥ Α ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ : 2009 2010 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 2010

ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΥΚΚΟΥ Α ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ : 2009 2010 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 2010 ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΥΚΚΟΥ Α ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ : 009 00 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ :8 Μαϊου 00 ΧΡΟΝΟΣ: :30 ώρες ΤΑΞΗ : A Ενιαίου Λυκείου ΠΕΡΙΟΔΟΣ-ΩΡΑ: 7.45-0.5

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Ξεφυλλίζοντας τα σχολικά βιβλία της Α και Β Λυκείου θα συναντήσουμε τις παρακάτω 10 "βασικές" συναρτήσεις των οποίων τη γραφική παράσταση πρέπει να γνωρίζουμε:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ 1 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων 1. Ποια είναι τα κύρια στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 133 Θέματα - 21/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 133 Θέματα - 21/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Άλγεβρα 1 Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 133 Θέματα - 1/1/015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Άλγεβρα Κεφάλαιο 1 ο : Συστήματα 3 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: Ολοκληρώματα. Υπολογισμός ολοκληρωμάτων. Μέθοδοι ολοκλήρωσης. Εμβαδά. Η συνάρτηση που ορίζεται από ολοκλήρωμα

Θέμα: Ολοκληρώματα. Υπολογισμός ολοκληρωμάτων. Μέθοδοι ολοκλήρωσης. Εμβαδά. Η συνάρτηση που ορίζεται από ολοκλήρωμα Θέμ: Ολοκληρώμτ Υολογισμός ολοκληρωμάτων Μέθοδοι ολοκλήρωσης Εμβδά Η συνάρτηση ου ορίζετι ό ολοκλήρωμ Ενλητικές σκήσεις ολοκληρωμάτων ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ ΜΕ ΕΥΡΕΣΗ ΤΗΣ ΑΡΧΙΚΗΣ ή ΠΑΡΑΓΟΥΣΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=..

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=.. Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = 1 : ψ =..=.. = o Για χ = -1 : ψ =..=.. = o Για χ = 0 : ψ =..=.. = o Για χ = 2 :

Διαβάστε περισσότερα