ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ"

Transcript

1 ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ

2 Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις Κεφάλαιο ο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα Α ΟΜΑΔΑΣ Έχουμε: y i 6 + y + y y Άρα, η λύση του συστήματος είναι το ζεύγος (, ) y + y Ο A (, ) y y Οι ευθείες + y και y τέμνονται στο σημείο Α(, ) i ii y 8 7y 8 7y 8 7y 7 8 y 5 y y y 5 5 Με ρόσθεση κατά μέλη ροκύτει και αό την εξίσωση + y 5 ροκύτει y 5 Άρα, η λύση του συστήματος είναι το ζεύγος (, ) y y y 6, () y + + y 8 + y 8 8, Με ρόσθεση των (), () κατά μέλη έχουμε 8 6

3 Γραμμικά συστήματα 5 Με αφαίρεση των (), () κατά μέλη έχουμε 6y y 5 Άρα, η λύση του συστήματος είναι το ζεύγος, i Κάνοντας ααλοιφή αρονομαστών και εκτελώντας τις ράξεις στις εξισώσεις του συστήματος ροκύτει το ισοδύναμο σύστημα: 7+ y 5 + y 5 y 8 8 y 7 Με ρόθεση έχουμε: Για η εξίσωση 7 + y 5 γίνεται: 7 + y 5 y + 5 y 6, οότε y Άρα, η λύση του συστήματος είναι το ζεύγος (, ) ii Κάνοντας ααλοιφή αρονομαστών και εκτελώντας τις ράξεις στις εξισώσεις του συστήματος ροκύτει το ισοδύναμο σύστημα: 8+ y 6, () + y 9, Αντικαθιστούμε στην () όου 9 y και έχουμε: 89 ( y) + y 6 7 6y+ y 6 y 6 y Η () για y γίνεται Άρα, η λύση του συστήματος είναι το ζεύγος (5, ) y i Το σύστημα y γράφεται y y 6 Άρα, το σύστημα είναι αδύνατο y + y y ii Το σύστημα γράφεται y+ y+ y Άρα, το σύστημα έχει άειρο λήθος λύσεων της μορφής κ, κ +, κ R

4 Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις 5 i Έχουμε: D ( 5), 5 D 7 ( 5) 7 5 9, 5 7 D y 7 8 D Τότε 9 Dy και y D D Άρα, το σύστημα έχει μοναδική λύση το ζεύγος (, ) y 8 ii Το σύστημα γράφεται + y Είναι: 8 D 9 +, D, 8 D y 8 D Τότε D Dy και y D Άρα, το σύστημα έχει μοναδική λύση το ζεύγος (, ) 6 i Είναι D 5 +, άρα το σύστημα έχει μοναδική λύση 6 7 ii Είναι D 6 + Το σύστημα γράφεται: y y 6y 8 y και εομένως έχει άειρο λήθος λύσεων iii Είναι D 9+ 9 Το σύστημα γράφεται: 9 + y + y 9 y + y και είναι αδύνατο

5 Γραμμικά συστήματα 7 i Είναι D + ( ) ( + ) Tο σύστημα γράφεται διαδοχικά ισοδύναμα: ( ) + y + ( + ) y Άρα, το σύστημα έχει άειρο λήθος λύσεων της μορφής: (( + ) ( κ+ ), κ), κ R) + ii Είναι D ( + ) ( ) Tο σύστημα γράφεται: + + y 7 + ( ) y Άρα, το σύστημα είναι αδύνατο ( ) + y ( ) + ( ) ( + ) y ( + ) ( ) ( ) + y ( ) + y ( + ) + y 7 + ( + )( ) ( + ) + y 7 ( + ) + y ( + ) + y + 8 i Λύνουμε μια εξίσωση ως ρος έναν άγνωστο χ την ρώτη Αό την ρώτη εξίσωση έχουμε ω y, () Οι άλλες δύο εξισώσεις του συστήματος γίνονται: 5y ( y ) 5y 6+ y+ y 9 + y 9, ( 5) 5+ y y 5+ y 6+ y+ Οι (5), (6) σχηματίζουν το σύστημα: + 5y 5y ( 6) + y 9, 5y, 5

6 Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις αό τη λύση του οοίου, κατά τα γνωστά, βρίσκουμε και y Με αντικατάσταση των τιμών και y στην () βρίσκουμε ω 5 Άρα, η λύση του συστήματος είναι η τριάδα (, y, ω) (,, 5) ii Αό τη δεύτερη εξίσωση έχουμε y ω +, () Οι άλλες δύο εξισώσεις του συστήματος γίνονται: 5 ( y ω+ ) y+ 5y 5ω + y+ y 6 7y ( 5) ω ω, ( y ω+ ) y+ ω 9y ω+ 6 y+ ω 7y ω, ( 6) 7y ω Οι (5), (6) σχηματίζουν το σύστημα, ου είναι αδύνατο 7y ω Άρα, το αρχικό σύστημα είναι αδύνατο + y ω 6 iii Μετά την ααλοιφή αρονομαστών το σύστημα γράφεται + y+ ω 5+ y ω 6 Αό την ρώτη εξίσωση έχουμε y ω + 6, () Οι άλλες δύο εξισώσεις του συστήματος γίνονται: + ( ω + 6)+ ω + 8ω + + ω + ( 5) ω ω, 5+ ( ω + 6) ω 6 5+ ω 6+ 8 ω 6 Οι (5), (6) αοτελούν το σύστημα: + ( 6) ω ω, ω, ω ου έχει άειρες λύσεις της μορφής κ +, με ω κ, κ R Αό την () έχουμε y κ (κ + ) + 6 6κ + Άρα, το αρχικό σύστημα έχει άειρες λύσεις της μορφής: (, y, ω) (κ +, 6κ +, κ), κ R Β ΟΜΑΔΑΣ i Έστω y α + β η εξίσωση της ευθείας (ε ) Εειδή η ευθεία διέρχεται αό τα σημεία (, ) και (, ) έχουμε: + β α β β α + β α + α 6

7 Γραμμικά συστήματα Άρα (ε ): y + Αν, τώρα, η y γ + δ είναι η εξίσωση της (ε ), τότε εειδή διέρχεται αό τα σημεία (, ) και (, ) έχουμε: γ + δ δ γ + δ γ Άρα (ε ): y y + ii Οι εξισώσεις των ευθειών (ε ) και (ε ) ορίζουν το σύστημα, y του οοίου η λύση, όως φαίνεται και αό το σχήμα, είναι το ζεύγος (, ) Έστω ο αριθμός των δίκλινων και y ο αριθμός των τρίκλινων δωματίων, τότε αό τα δεδομένα έχουμε: + y 6 + y 68, η λύση του οοίου είναι το ζεύγος (, y) (, 6) Άρα, υάρχουν δίκλινα και 6 τρίκλινα δωμάτια Αν τον αγώνα αρακολούθησαν αιδιά και y ενήλικες, τότε αό τα δεδομένα έχουμε: + y, 5, + y 55 η λύση του οοίου είναι το ζεύγος (, y) (5, 7) Εομένως, τον αγώνα αρακολούθησαν 5 αιδιά και 7 ενήλικες Έχουμε ότι: για Τ, είναι R,, οότε: και για Τ 8, είναι R,5, οότε:, α + β α + β,, (),5 8α + β 8α + β,5, () Αό τις εξισώσεις (), () ροκύτει το σύστημα Άρα R T+ 6 α+ β, α 6 8α+ β 5, β 7

8 Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις 5 Έστω ότι ααιτούνται ml αό το ρώτο διάλυμα και y ml αό το δεύτερο διάλυμα, τότε + y, () Η οσότητα του υδροχλωρικού οξέος σε κάθε διάλυμα είναι 5 στο δεύτερο Εομένως 5 8 y 68, + Οι εξισώσεις () και () ορίζουν το σύστημα: + y y y y , του οοίου η λύση είναι το ζεύγος (, y) (, 6) Εομένως, ρέει να αναμείξει ml αό το ρώτο με 6 ml αό το δεύτερο στο ρώτο και 8 y 6 i Λύνουμε ως ρος y τις εξισώσεις των ευθειών: + y y + y + Άρα λ α + y α y + α y + Άρα λ ii Εειδή λ λ, οι ευθείες ή είναι αράλληλες ή ταυτίζονται Εομένως, δεν υάρχουν τιμές του α για τις οοίες τέμνονται iii Για να είναι αράλληλες, αρκεί α α 6 α 7 i α+ y α Βρίσκουμε τις ορίζουσες: + αy α D ( + )( ) α α α α α D ( )( + + ) α α α α α α D y α α α( α) Αν D, δηλαδή, αν α και α, το σύστημα έχει μοναδική λύση, οότε οι ευθείες τέμνονται και το σημείο τομής έχει συντεταγμένες: D ( α ) ( α + + ) α + α+ Dy και D α+ α α + D ( ) α( α) α α+ α α ( ) + 8

9 Γραμμικά συστήματα ii Εομένως, αν α ±, οι ευθείες τέμνονται στο σημείο A α + α + α, α + α + + y Αν α, το σύστημα γίνεται, το οοίο έχει άειρο λήθος λύσεων, ου + y σημαίνει ότι οι ευθείες ταυτίζονται + y Αν α, το σύστημα γίνεται y και είναι αδύνατο ου y y σημαίνει ότι οι ευθείες είναι αράλληλες α y α + αy α Εειδή D α +, για κάθε α R, το σύστημα έχει μοναδική λύση, α εομένως οι ευθείες έχουν μοναδικό κοινό σημείο για κάθε α R 8 i Βρίσκουμε τις ορίζουσες: D λ λ + ( ) + ( ) λ λ ( λ )+ 8 λ λ + 9 λ 9 ( ) λ+ λ D D y λ + + ( λ ) ( ) λ ( λ + 5 ) λ ( λ ) λ+ λ ( λ+ ) Αν D, δηλαδή αν λ και λ, τότε το σύστημα έχει μια λύση, την: ( ) λ + 5 ( λ+ ) ( λ ) D λ + 5 D λ+ λ Dy λ + και y D λ+ λ Αν λ, τότε το σύστημα γίνεται: y y, ου είναι αδύνατο y y Αν λ, τότε το σύστημα γίνεται: y + y, ου είναι αδύνατο + y + y ( ) ( λ + ) ( λ+ ) ( λ ) 9

10 Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις ii Βρίσκουμε τις ορίζουσες: µ 5 D + ( )( + ) µ µ 5 µ 5 µ 9 ( µ + )( µ ) µ 5 5 D + 5 ( µ + ) 5 5µ + 5 5µ 5 5 ( µ ) 5 µ D y µ 5 5 ( µ ) 5 5µ 5 5µ 5 5( µ ) 5 Αν D, δηλαδή, αν μ ±, το σύστημα έχει μοναδική λύση, την: D D 5( µ ) 5 µ + µ µ ( ) ( + ) Dy και y D 5( µ ) 5 µ + µ µ ( ) ( + ) Αν μ, τότε το σύστημα γίνεται: + 5y 5 ου έχει άειρο λήθος λύσεων της μορφής (, y) (5 5κ, κ), κ r + 5y 5, Αν μ, τότε το σύστημα γίνεται: 5+ 5y 5 y, ου είναι αδύνατο y 5 y 5 9 Αν R, R και R οι ακτίνες των κύκλων με κέντρα Ο, Ο και Ο αντίστοιχα, ου εφάτονται εξωτερικά, τότε έχουμε τις εξισώσεις: R + R 6, () R + R 7, R + R 5, Λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων (), (), () ου ονομάζεται «κυκλικό» Προσθέτουμε κατά μέλη τις εξισώσεις και έχουμε: (R + R + R ) 8 R + R + R 9, () Αν τώρα αό τα μέλη της () αφαιρέσουμε τα μέλη των (), () και (), βρίσκουμε ότι: R + R + R R R 9 6 R R + R + R R R 9 7 R R + R + R R R 9 5 R Εομένως, οι ακτίνες των κύκλων είναι cm, cm και cm

11 Γραμμικά συστήματα Αό τη Γεωμετρία γνωρίζουμε ότι τα εφατόμενα τμήματα αό σημείο ρος κύκλο είναι ίσα Εομένως ΑΖ ΑΕ, ΒΔ ΒΖ y και ΓΔ ΓΕ z Έτσι έχουμε το σύστημα: + y γ, () y+ z α, z+ β, Με ρόσθεση των εξισώσεων κατά μέλη έχουμε: α+ β+ γ ( + y + z) α + β + γ + y+ z, α+ β+ γ α+ β+ γ Αό () και () έχουμε γ + z z α+ β+ γ β+ γ α Αό () και () έχουμε + α Αό () και () έχουμε y + β α+ β+ γ y β+ γ α Παρατήρηση: Αν θέσουμε α + β + γ τ, τότε: β + γ α τ α α τ α και ομοίως y τ β, z τ γ Έστω, y, z οι οσότητες σε lt αό κάθε διάλυμα αντίστοιχα ου θα χρησιμοοιήσει ο Χημικός Τότε αό τα δεδομένα ροκύτει το σύστημα των εξισώσεων: + y+ z 5 + y+ z 5, () 5 + y+ z 5 5+ y+ z 66, z z, Αό () και () έχουμε y + z 5, οότε y 5 z και η () γίνεται: 5 z+ ( 5 z) + z 66 z+ 5 z+ z 66 z z,, oότε z, lt Εομένως,88lt και y 7,68 lt Στην η ερίτωση, εειδή η γραφική αράσταση του τριωνύμου f () α + β + γ τέμνει τον άξονα y y στο σημείο, θα ισχύει f (), οότε θα έχουμε γ, εομένως το τριώνυμο θα είναι της μορφής f () α + β +

12 Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις Εειδή το τριώνυμο f () έχει κορυφή το σημείο Κ(, ) και K β f β, α α, θα ισχύει: β β α β α β f f α α Εομένως είναι f () + Στη η ερίτωση, εειδή η γραφική αράσταση του τριωνύμου g() α + β + γ τέμνει τον άξονα στο σημείο g( ), θα έχουμε: α β + γ, () Εειδή, ειλέον, η γραφική αράσταση του τριωνύμου g() έχει κορυφή το σημείο Κ(, ), θα ισχύει: β β α β α α β g g α+ β+ γ α Εομένως, λόγω της (), οι () και () γράφονται: α+ γ γ α γ α+ γ α α α Άρα, είναι και α, β και γ, οότε έχουμε g() + + Στην η ερίτωση, εειδή η γραφική αράσταση του τριωνύμου h() α + β + γ τέμνει τον άξονα στα σημεία και και τον άξονα y y στο σημείο, θα ισχύει: h h h α+ β+ γ α+ β 6α+ β+ γ 6α+ β γ γ α+ β β α β α+ β α α α 5, γ γ γ Εομένως, είναι h(),5 +

13 Μη Γραμμικά συστήματα Μη Γραμμικά συστήματα Α ΟΜΑΔΑΣ Λύνοντας τη δεύτερη εξίσωση ως ρος y ροκύτει y, (), οότε αντικαθιστώντας στην ρώτη, αίρνουμε: + ( ) + ( ) + + +, Η () έχει ρίζες και, οότε λόγω της () είναι: y + και y Εομένως, το σύστημα έχει δύο λύσεις, τα ζεύγη (, ) και (, ) i Αντικαθιστώντας την τιμή του y αό την ρώτη εξίσωση στη δεύτερη ροκύτει η εξίσωση: 9 + (), Η εξίσωση () έχει διλή ρίζα, την, οότε αό την ρώτη εξίσωση του συστήμα- τος αίρνουμε y Εομένως, το σύστημα έχει μοναδική λύση, το ζεύγος, Για να ερμηνεύσουμε γεωμετρικά τη λύση του συστήματος χαράσσουμε σε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων την αραβολή y και την ευθεία y Στο σχήμα αρατηρούμε ότι οι δύο γραμμές έχουν ένα μόνο κοινό σημείο Μ, το οοίο έχει συντεταγμένες, y y M Ο y y

14 Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις ii Το σύστημα γράφεται: y + y 9, (), Η (), λόγω της (), γίνεται + y 9 y A y και έχει ρίζες τις και, οότε εειδή y έχουμε: B Ο y και y Άρα, το σύστημα έχει δύο λύσεις, τα ζεύγη, και, Για να ερμηνεύσουμε γεωμετρικά τις λύσεις του συστήματος χαράσσουμε σε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων τον κύκλο + y 9 με κέντρο το σημείο Ο(, ) και ακτίνα καθώς είσης και την ευθεία y Στο σχήμα αρατηρούμε ότι οι δύο γραμ- μές τέμνονται σε δύο σημεία, τα Α, iii Αό τη δεύτερη εξίσωση ροκύτει, y και y Η ρώτη εξίσωση γίνεται: , () Αν θέσουμε ω, (), η () γίνεται ω 5ω, () Αυτή έχει ρίζες ω και ω, οότε λόγω της () έχουμε ή Αό αυτές αίρνουμε τέσσερις και Β, ρίζες, και,, οότε για το y αίρνουμε τις τιμές y, y και y y, A 5 Β y Ο y y y B A 5 + y 5

15 Μη Γραμμικά συστήματα Άρα, το σύστημα έχει τέσσερις λύσεις, τα ζεύγη (, ), (, ), (, ) και (, ) Για να ερμηνεύσουμε γεωμετρικά τις λύσεις του συστήματος χαράσσουμε σε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων τον κύκλο + y 5 το Ο(, ) και ακτίνα 5, καθώς είσης και την υερβολή y Στο σχήμα αρατηρούμε ότι οι δύο γραμμές τέμνονται σε τέσσερα σημεία, τα (, ), (, ), (, ) και (, ) Αό την v v + αt, οότε α v v Αντικαθιστούμε στην ρώτη και έχουμε: t v v v v t ( ) vt + vτ vt S vt+ αt v t+ t vt + t Άρα S v+ v t Β ΟΜΑΔΑΣ Η δεύτερη εξίσωση λόγω της ρώτης γράφεται y + + y 5 ή, ισοδύναμα, y + y 5, η οοία έχει ρίζες και 5 Για y έχουμε y + y 5 6, οότε ή Για y 5 έχουμε, οότε Β y 5 A Άρα, το σύστημα έχει τρεις λύσεις τις (, ), (, ), (, 5) Ο Σχεδιάζουμε σε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων την αραβολή y 5 και τον κύ- κλο + y 5 και αρατηρούμε ότι έχουν τρία κοινά σημεία y Γ Αό την ρώτη εξίσωση έχουμε y( y 5) y ή y 5, οότε το αρχικό σύστημα είναι ισοδύναμο με τα συστήματα: y y 5, () και, y + y + Για να λύσουμε το () θέτουμε στη δεύτερη εξίσωση y, οότε έχουμε + Οι ρίζες αυτής είναι και, έτσι το σύστημα () έχει δύο λύσεις, τα ζεύγη (, ) και (, ) Η ρώτη εξίσωση του συστήματος () γράφεται y 5, () και αν θέσουμε 5

16 Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις στη δεύτερη αίρνουμε: Οι ρίζες αυτές είναι και, οότε λόγω της () είναι y 5 και y 5 Έτσι, το σύστημα () έχει δύο λύσεις, τα ζεύγη (, ) και (, ) Εομένως το αρχικό σύστημα έχει τέσσερις λύσεις, τα ζεύγη (, ), (, ), (, ) και (, ) Έστω, y είναι οι διαστάσεις του ορθογωνίου, τότε είναι: y, () και ( + )(y ), () Η () γράφεται y + y 6 και λόγω της () γίνεται: y 6 y 6 y, και αντικαθιστώντας στην () ροκύτει η εξίσωση: , η οοία έχει ρίζες και 5 Εειδή οι διαστάσεις είναι θετικοί αριθμοί θα έχουμε cm, οότε, λόγω της (), θα είναι y cm Για να βρούμε τα σημεία, στα οοία η ευθεία y + κ τέμνει την αραβολή y λύνουμε το σύστημα () y + κ, y Οι τετμημένες των σημείων τομής είναι ρίζες της εξίσωσης: + κ + + κ, () Οι δύο γραμμές θα τέμνονται σε δύο σημεία, αν το σύστημα () έχει δύο λύσεις, ου σημαίνει ότι η εξίσωση () θα ρέει να έχει δύο λύσεις Αυτό συμβαίνει, μόνο αν είναι Δ κ > κ > κ < 5 Αντικαθιστώντας το y + μ στην ρώτη εξίσωση ροκύτει: () + µ µ,, η οοία είναι δεύτερου βαθμού, με διακρίνουσα Δ + 8μ ( + μ) Διακρίνουμε τις εριτώσεις: 6

17 Μη Γραμμικά συστήματα y y y,5 y + μ, μ >,5 Ο y + μ, μ <,5 y Δ >, δηλαδή μ > Η () έχει δύο ρίζες, ου σημαίνει ότι το σύστημα έχει δύο λύ- σεις, οότε η αραβολή και η ευθεία τέμνονται σε δύο σημεία Δ, δηλαδή μ Η () έχει διλή ρίζα, ου σημαίνει ότι το σύστημα έχει μία λύση, οότε η αραβολή και ευθεία εφάτονται σε ένα σημείο Δ <, δηλαδή μ < Η () δεν έχει ραγματικές ρίζες, ου σημαίνει ότι το σύστημα δεν έχει λύσεις, οότε η αραβολή και ευθεία δεν έχουν κανένα κοινό σημείο Γραφικά τα εξαγόμενα, εξηγούνται με τη βοήθεια του ροηγούμενου σχήματος Ερωτήσεις κατανόησης Ι (Σ ) Β, (Σ ) Α, (Σ ) Γ, (Σ ) Α ΙΙ Α, Ψ, Α, Ψ 7

18

19 Κεφάλαιο ο: Ιδιότητες συναρτήσεων Μονοτονία Ακρότατα Συμμετρίες Συνάρτησης Α ΟΜΑΔΑΣ Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (, ] και γνησίως αύξουσα στο [, + ) Η g είναι γνησίως αύξουσα στο (, ], γνησίως φθίνουσα στο [, ] και γνησίως αύξουσα στο [, + ) Η h είναι γνησίως φθίνουσα στο (, ], γνησίως αύξουσα στο [, ], γνησίως φθίνουσα στο [, ] και γνησίως αύξουσα στο [, + ) Η f αρουσιάζει ολικό ελάχιστο για, το f () Η g δεν αρουσιάζει ούτε ολικό μέγιστο ούτε ολικό ελάχιστο Η h αρουσιάζει ολικό ελάχιστο για και για το h( ) h() i Το εδίο ορισμού της f είναι το R Αρκεί να δείξουμε τα f () f (), για κάθε R , ου ισχύει ii Το εδίο ορισμού της g είναι το R Αρκεί να δείξουμε ότι για κάθε R ισχύει g() g() ( ), ου ισχύει i Η f έχει εδίο ορισμού το R και για κάθε R ισχύει: R και f ( ) ( )+ 5 5 f ii Η f έχει εδίο ορισμού το R και για κάθε R ισχύει: R και f f +, άρα η f είναι άρτια + +, άρα η f είναι άρτια iii Η f έχει εδίο ορισμού το R και για κάθε R ισχύει: R και f( ) +, οότε δεν είναι ούτε άρτια, ούτε εριττή, αφού f ( ) f () iv Η f έχει εδίο ορισμού το R και για κάθε R ισχύει: R και f ( ) ( ) ( ) 5 ( 5 ) f ( ), άρα η f είναι εριττή v Η f 5 έχει εδίο ορισμού το (, ) (, + ) ου δεν έχει κέντρο συμμετρίας το Άρα, η f 5 δεν είναι ούτε άρτια, ούτε εριττή 9

20 Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις vi Η f 6 έχει εδίο ορισμού το R και για κάθε R ισχύει: f ( ) f ( ) + + +, άρα η f είναι εριττή { } 5 i Η f έχει εδίο ορισμού το R * R και για κάθε R * ισχύει: R και f( ) f Άρα η f είναι άρτια ii Η f έχει εδίο ορισμού το [, + ) ου δεν έχει κέντρο συμμετρίας το Ο Άρα, δεν είναι ούτε άρτια, ούτε εριττή iii Η f έχει εδίο ορισμού το R και για κάθε R ισχύει: R και f ( ) + + f () Άρα η f είναι εριττή iv Η f έχει εδίο ορισμού το R * και είναι εριττή, διότι ισχύει: + R και f + άρα f f ( ) Τέλος, αν εργαστούμε όως στην I, θα αοδείξουμε ότι:, v Η f 5 έχει εδίο ορισμού το R και είναι άρτια, διότι f f για κάθε R vi Η f 6 έχει εδίο ορισμού το [, ] και είναι άρτια, διότι: f ( ) ( ) f, για κάθε, 6 [ ] 6 i Η C f έχει κέντρο συμμετρίας το Ο(, ) Άρα, η f είναι εριττή ii Η C g έχει άξονα συμμετρίας τον y y Άρα, η g είναι άρτια iii Η C h δεν έχει ούτε άξονα συμμετρίας τον y y, ούτε κέντρο συμμετρίας το Ο(, ) Άρα, η h δεν είναι ούτε άρτια ούτε εριττή 7 Ομοίως: i Η f είναι άρτια διότι έχει άξονα συμμετρίας τον y y ii Η g είναι εριττή διότι έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων Ο(, ) iii Η h δεν είναι ούτε άρτια, ούτε εριττή

21 Κατακόρυφη Οριζόντια μετατόιση καμύλης 8 α Παίρνουμε τις συμμετρικές των C, C και C ως ρος τον άξονα y y y y y g() y y f() y h() Ο Ο Ο β Παίρνουμε τις συμμετρικές των C, C και C ως ρος την αρχή των αξόνων y y y y f() y g() y h() Ο Ο Ο Κατακόρυφη Οριζόντια μετατόιση καμύλης Α ΟΜΑΔΑΣ Όως γνωρίζουμε, η γραφική αράσταση της φ(), αοτελείται αό τις διχοτόμους των γωνιών Oy και Oy H γρα- y C f φική αράσταση της f () + ροκύ- C φ τει αό μια κατακόρυφη μετατόιση της y, κατά μονάδες ρος τα άνω, ενώ C g η γραφική αράσταση της f () ροκύτει αό μια κατακόρυφη μετατόι- Ο ση της y, κατά μονάδες ρος τα κάτω (σχήμα)

22 Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις Χαράζουμε ρώτα τη γραφική αράσταση της συνάρτησης φ() Η γραφική αράσταση της h() + ροκύτει αό μια οριζόντια μετατόιση της y, κατά μονάδες ρος τα αριστερά, ενώ η γραφική αράσταση της q() ροκύτει αό μια οριζόντια μετατόιση της y, κατά μονάδες ρος τα δεξιά (σχήμα) y C h C φ C q Ο Χαράζουμε ρώτα τη γραφική αράσταση της συνάρτησης φ() και στη συνέχεια χαράσσουμε την y +, ου, όως είδαμε στην ροηγούμενη άσκηση, ροκύτει αό μια οριζόντια μετατόιση της y κατά μονάδες ρος τα αριστερά Στη συνέχεια χαράσσουμε την y + +, ου ροκύτει αό μια κατακόρυφη μετατόιση της γραφικής αράστασης y + κατά μονάδα ρος τα άνω Εομένως, η γραφική αράσταση της F() + +, ροκύτει αό δύο διαδοχικές μετατοίσεις της y, μιας οριζόντιας κατά μονάδες ρος τα αριστερά και μιας κατακόρυφης κατά μονάδας ρος τα άνω (σχήμα) y C F C φ C Q Ο Ομοίως, η γραφική αράσταση της G(), ροκύτει αό δύο διαδοχικές μετατοίσεις της y, μιας οριζόντιας κατά μονάδες ρος τα δεξιά και μιας κατακόρυφης κατά μονάδα ρος τα κάτω (σχήμα)

23 Κατακόρυφη Οριζόντια μετατόιση καμύλης i Εειδή: f () ( ) + 5 ( + ) + 5 ( ) +, εομένως, η γραφική αράσταση της f ροκύτει αό δύο διαδοχικές μετατοίσεις της γραφικής αράστασης της g(), μιας οριζόντια κατά μονάδα ρος τα δεξιά και μιας κατακόρυφης κατά μονάδες ρος τα άνω ii Εειδή: f () ( ) 9 ( + ) ( ), εομένως, η γραφική αράσταση της f ροκύτει αό δύο διαδοχικές μετατοίσεις της γραφικής αράστασης g(), μιας οριζόντια κατά μονάδες ρος τα δεξιά και μιας κατακόρυφης κατά μονάδα ρος τα κάτω 5 i y C f Ο A C φ C g ii y C h C φ C q Ο 5

24 Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις iii y y C F C φ C φ Ο Ο C G σχήμα δ 6 i f () ( ) + ( ) ii f () ( ) ( ) iii f () ( + ) + ( + ) iv f () ( + ) ( + ) Ερωτήσεις κατανόησης Ι Α, Α, Ψ, Ψ, 5 Α, 6 Α, 7 Ψ, 8 Α, 9 Α, Ψ ΙΙ Γ

25 Κεφάλαιο ο: Τριγωνομετρία Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας Α ΟΜΑΔΑΣ Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΔΑΒ έχουμε ηµ, οότε 6ηµ 6 6 Στο ορθογώνιο τρίγωνο, τώρα, ΔΑΓ έχουμε εφω, οότε ω 5 Εομένως, εειδή ημω y, έχουμε ηµ5, οότε: y y ηµ Εειδή Β + Γ 9 θα είναι Α 9, οότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και είναι Άρα ( AB) ηµ ημ AB Είσης, είναι ημ6 AΓ Άρα ( AΓ) 6 ηµ i Γνωρίζουμε ότι S α ρ, 6 ω, άρα ω 6 rad ii 6 ω, άρα ω rad iii 6 ω, άρα ω rad Αό τον τύο α µ έχουμε: 8 i Για μ, είναι α α α Άρα rad 6 ii Για μ, είναι α α α 8 Άρα rad iii Για μ 6, είναι α 6 α 7 α 7 Άρα 6 7 rad 8 iv Για μ 85, είναι α 85 α α 8 5 Αό τον τύο α µ έχουμε: 8 i µ µ 8, άρα rad 8 8 Άρα 85 rad 5

26 Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις 5 ii 6 µ µ 5, άρα 5 rad iii µ µ 56, άρα 9 rad 56 8 iv µ 8 8 µ, άρα rad 8 6 i Είναι , οότε ημ8 ημ(5 6 + ) ημ, συν8 συν (5 6 + ) συν, ακόμη εφ8 εφ, σφ8 σφ ii Είναι , οότε ημ9 ημ( ) ημ6, συν9 συν6, εφ9 εφ6, σφ9 σφ6 iii Είναι , οότε ημ98 ημ( ) ημ8, συν98 συν8, εφ98 εφ8, ενώ δεν ορίζεται η συνεφατομένη των 98 iv Είναι 6 6 +, οότε ημ6 ημ, συν6 συν, εφ6 εφ, ενώ δεν ορίζεται η συνεφατομένη των 6 Β ΟΜΑΔΑΣ h Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΔΠΝ έχουμε εφω ( Π ) Τότε Π h Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΔΛΝ έχουμε εφ7 Τότε Λ ( Λ ) Εειδή (ΠΛ) (ΠΔ) + (ΔΛ), λόγω των () και (), έχουμε: h εϕω, () h, εϕ7 h h + h εϕ h εϕω εϕω εϕ εϕω εϕ h εϕ7 + εϕω εϕω εϕ7 h εϕω εϕ7 εϕ7 + εϕω, 6

27 Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας εϕ εϕ7 i Αν ω, τότε, λόγω της (), είναι h 78 εϕ7 + εϕ εϕ5 εϕ7 Αν ω 5, τότε έχουμε h 7 εϕ7 + εϕ5 εϕ6 εϕ7 Αν ω 6, τότε έχουμε h 6 εϕ7 + εϕ6 ii Αν τώρα h, τότε λόγω της (), είναι: εϕω εϕ7 εϕω εϕ7 εϕ7 + εϕω εϕω εϕ εϕ εϕ7 εϕ7 εϕω εϕ7 εϕω( εϕ7 ) εϕ7 εϕω εϕ7, 57 και αό τους τριγωνομετρικούς ίνακες βρίσκουμε ω 58 i Είναι AΓ B 9 ως εγγεγραμμένη σε ημικύκλιο και εειδή ΓAB 5 θα είναι (ΑΓ) (ΒΓ) Έχουμε όμως: ηµ5 A Γ ( AB) AΓ, οότε ( AΓ) ηµ 5 και εειδή (ΑΓ) (ΒΓ), θα είναι ( BΓ) ii Είναι A B 9 ως εγγεγραμμένη σε ημικύκλιο και στο ορθογώνιο τρίγωνο ΔΑΒ, οότε έχουμε: ημ (, 5 B ) B AB Εειδή τα ορθογώνια τρίγωνα ΔΑΒ και ΔΑΕ είναι ίσα διότι έχουν ΑΔ ΑΔ (κοινή) και Δ Α Β Δ Α Ε,5, τότε θα έχουν ΔΒ ΔΕ Έτσι (ΕΒ) (ΒΔ) ημ,5 iii Αό την ισότητα των τριγώνων ΔΑΒ και ΔΑΕ ροκύτει (ΑΕ) (ΑΒ) Άρα (ΕΓ) (ΑΕ) (ΑΓ) iv Αό το υθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο ΓΕΒ (σχήμα) έχουμε: Άρα EB (ΕΒ) (ΓΒ) + (ΓΕ) + ( ) 7

28 Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις v Έχουμε ημ EB, B 5 ( EB ) vi Μορούμε να υολογίσουμε το ημίτονο των γωνιών, 5, 5, κτλ, αρκεί να διχοτομήσουμε τη γωνία BA κτλ Αό το τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε ημ 6 AΓ 6 AΓ ( A ) Αό τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΒΓ έχουμε BA Εομένως: B B εϕ εϕ B 6 εϕ 6 AB 6 Άρα B μονάδες μήκους Αό το τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε ημ 6 Άρα ( BΓ) 6 μονάδες μήκους BΓ BΓ Έχουμε (ΓΔ) (ΒΓ) (ΒΔ) 6 Άρα (ΓΔ) (ΔΑ) μονάδες μήκους Εομένως, ερίμετρος μονάδες μήκους Γ AB 6 τετραγωνικές μονάδες Εμβαδόν Γ μονάδες μήκους Όως είναι ο γνωστό, ο λετοδείκτης εκτελεί μια λήρη εριστροφή σε χρόνο ώρας ή 6 δευτερολέτων Διαγράφει δηλαδή γωνία rad σε 6 sec Εομένως σε sec διαγράφει γωνία rad 6 Αν το μήκος του λετοδείκτη είναι ίσο με ρ, τότε σύμφωνα με τον τύο S α ρ, το άκρο του λετοδείκτη σε sec θα διαγράψει τόξο μήκους ρ 6 6 Για να είναι το μήκος αυτό ίσο με mm αρκεί ρ mm ρ mm 57 mm 6 8

29 Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες Α ΟΜΑΔΑΣ Αν στην ισότητα ημ + συν αντικαταστήσουμε το ημ με 5 βρίσκουμε: συν + συν συν συν 5 5 Διότι για < < ισχύει συν < ηµ Εομένως εϕ συν συν και σϕ ηµ Αν στην ισότητα ημ + συν αντικαταστήσουμε το συν με βρίσκουμε: ηµ ηµ ηµ Εομένως εϕ ηµ 9 και σϕ 5 5 Διότι για ισχύει ημ < < < σϕ εϕ ηµ Είναι εϕ ηµ συν, () συν Εειδή ημ + συν, λόγω της (), έχουμε: συν + συν συν + συν συν συν συν Διότι για < < ισχύει συν > Αό την () αίρνουμε ηµ εϕ σϕ

30 Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις 5 συν 5 5 Είναι σϕ συν ηµ, () 5 ηµ 5 5 Εειδή ημ + συν, λόγω της (), έχουμε: 5 ηµ + ηµ ηµ ηµ 5ηµ ηµ ηµ 5 ηµ 5 5 ηµ Αό την (), τώρα, αίρνουμε συν 5 συν 5 Είναι σϕ συν ηµ ηµ Εειδή ημ + συν, λόγω της (), έχουμε: + ηµ + ηµ ηµ ηµ 5ηµ ηµ ηµ Διότι για < < ισχύει ημ < Αό την () τώρα αίρνουμε συν Εομένως η αριθμητική τιμή της αράστασης ηµ συν ισούται με: + συν ( 5) ( 5+ 5)( 5 5) Εειδή ημ + συν, αν υοθέσουμε ότι: i ημ και συν, τότε θα ισχύει +, δηλαδή, ου είναι άτοο ii ημ και συν, τότε θα ισχύει +, δηλαδή, ου είναι άτοο iii ημ 5 και συν 5, τότε Άρα, υάρχει τέτοια τιμή του, ου είναι αληθής 7 Αρκεί να δείξουμε ότι η αόσταση του Μ(, y) αό την αρχή Ο(, ) είναι ίση με Πράγματι OM y 9 συν θ+ ηµ θ 9 συνθ ηµθ 9συν θ 9ηµθ

31 Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες 8 Έχουμε 9 + y 9(συνθ) + (ημθ) 9 συν θ + 9ημ θ 6συν θ + 6ημ θ 6(συν θ + ημ θ) Έχουμε + y + z r ημ θσυν φ + r ημ θημ φ + r συν θ r ημ θ(συν φ + ημ φ) + r συν θ r ημ θ + r συν θ r (ημ θ + συν θ) r i Αν + συνα και ημα, έχουμε: ηµα συνα ηµ α ( + συνα) ( συνα) + συνα ηµα ηµ α συν α, ου ισχύει Αλλιώς αν + συνα και συνα, έχουμε: ηµα ηµα συνα ηµα συνα + συνα ( + συνα) ( συνα) συν α ηµα συνα ηµ α ii συν α ημ α (συν α) (ημ α) (συν α + ημ α) (συν α ημ α) συν α ημ α συν α ( συν α) συν α Είναι: i ii ηµθ συνθ ηµ θ συνθ συνθ ηµθ ηµθ + συνθ ( + συνθ) ( + ) ηµθ συνθ ηµθ + συνθ ηµθ + συνθ συν συν συν( + ηµ )+ συν ηµ + ηµ + ηµ ηµ ηµ ( + ) ηµ θ+ + + συνθ+ συν θ ηµθ + συνθ συνα ηµα συν συν ηµ συν συν i εϕα εϕβ + εϕα + εϕα + σϕβ εϕβ εϕβ ε εϕβ + σϕα εϕα εϕβ + ϕα εϕβ εϕβ + εϕα εϕα ηµ α ηµ α ηµασυν α ηµ α συν α ii εϕ α ηµα ηµ α συν α συν α συν α ηµ α ηµα ηµα ηµ α εϕα ηµ α συν α συνα

32 Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις i συν ηµ συν ηµ συν ηµ εϕ σϕ ηµ συν συν ηµ ηµ συν συν ηµ συν ηµ συν ηµ ( συν+ ηµ ) συν ηµ συν ηµ συν+ ηµ ii συν + συν συν συν + συν συν συν ηµ ηµ ηµ εϕ ηµ συν συν iii ηµ συν ηµ συν εϕ+ σϕ ηµ συν ηµ + συν ηµ + συν + συν ηµ ηµ συν iv ηµ συν ηµ συν ηµ συν ηµ συν συν ηµ ηµ συν ηµ συν Β ΟΜΑΔΑΣ i Εειδή ημ + συν α έχουμε διαδοχικά: ii (ημ + συν) α ημ + συν + ημ συν α α + ημ συν α ημ συν ηµ + συν α α + ηµ συν ηµ συν α α () ηµ συν ηµ + συν iii εϕ+ σϕ + συν ηµ ηµ συν ηµ συν () α α iv Σύμφωνα με την ταυτότητα α + β (α + β) αβ(α + β), έχουμε: ημ + συν (ημ + συν) ημ συν (ημ + συν) α α α α α α α α α α i ημ + συν (ημ ) + (συν ) (ημ + συν ) ημ συν ημ συν

33 Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες ii Σύμφωνα με την ταυτότητα α + β (α + β) αβ(α + β), έχουμε: 6 6 ηµ συν ηµ συν + ηµ + συν ηµ συν ηµ + συν + ηµ συν 6 6 iii ηµ + συν ( ηµ + συν ) ( ηµ συν ) ( ηµ συν ) 6ηµ συν + 6ηµ συν Είναι: + ηµ ηµ ( + ηµ ) + ηµ ( ηµ ) + ηµ ( + ) ηµ + ηµ συν συν αφού + ημ και συν > (Διότι << ) Ομοίως είναι: ηµ + ηµ ( ηµ ) ( ηµ ) ( ( + ) ( ) ηµ ) ηµ ηµ ηµ ηµ +, συν ( ηµ ) συν ηµ συν Εομένως + ηµ ηµ ηµ + ηµ + ηµ ηµ ηµ εϕ συν συν συν + συν + συν + συν συν ( + συν + συν) ( + συν συν) + συν + συν ( ) + συν + συν+ + συν συν ( + συν) ( συν) Διότι < είναι ημ συν + + ηµ ηµ ηµ + + συν συν συν συν ( ) + ηµ ηµ ηµ συν συν συν ηµ συν ηµ συν ηµ ηµ ( )

34 Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις Αναγωγή στο ο τεταρτημόριο Α ΟΜΑΔΑΣ i Αν διαιρέσουμε τον με τον 6 βρίσκουμε ηλίκο και υόλοιο Εομένως 6 +, οότε: ημ ημ ημ(8 6 ) ημ6, συν συν συν(8 6 ) συν6, εϕ και σϕ ii Ομοίως έχουμε , οότε: ημ( 85) ημ85 ημ ημ(6 ) ημ( ) ημ( ), συν( 85) συν85 συν συν(6 ) συν( ) συν, εφ ( 85 ) και σφ ( 85 ) i Είναι Αν τώρα διαιρέσουμε το 87 με το βρίσκουμε ηλίκο 5 και υόλοιο 7 Εομένως έχουμε: , 6 οότε: ηµ ηµ 5 ηµ ηµ ηµ , 6 συν 87 7 συν συν συν , 6 87 εϕ 6 και σϕ 87 6

35 Αναγωγή στο ο τεταρτημόριο ii Είναι 8 Αν τώρα διαιρέσουμε το με το 8 βρίσκουμε ηλίκο και υόλοιο 5 Εομένως έχουμε , οότε: ηµ 5 ηµ ηµ ηµ +, συν 5 συν συν συν +, εϕ και σϕ Εειδή Α + Β + Γ 8 είναι Α 8 (Β + Γ) και Α 9 Β+ Γ Έτσι έχουμε: i ημα ημ(8 (Β + Γ)) ημ(β + Γ) ii συνα συν(8 (Β + Γ)) συν(β + Γ) Άρα συνα + συν(β + Γ) iii ηµ Α ηµ 9 Β+ Γ συν Β + Γ iv συν Α συν 9 Β+ Γ ηµ Β + Γ Εειδή συν( α) συνα, συν(8 + α) συνα, ημ( α) ημα και ημ(9 + α) ημ(9 ( α)) συν( α) συνα, έχουμε: συν( α) συν( 8 + α) συνα συνα ηµ ( α) ηµ ( 9 + α) ( ηµα) συνα 5 Είναι: εφ( ) εφ, συν( + ) συν, σϕα συν 9 + συν συν συν ( ) ηµ ( ) ηµ, ημ( + ) ημ(6 + + ) ημ( + ) ημ, συν( ) συν και σϕ σϕ 5 σϕ εϕ + 5

36 Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις Τότε 9 εϕ( ) συν( + ) συν + ηµ ( + ) συν( ) σϕ ( εϕ ) συν ηµ ηµ συν εϕ 6 Εειδή ημ( ) ημ, συν( ) συν, συν( ) συν( ) συν και ηµ συν, τότε: ημ ( ) + συν( ) συν( ) + ημ ημ συν συν + συν ημ + συν Β ΟΜΑΔΑΣ Εειδή: ημ95 ημ(6 + 5 ) ημ5 ημ(8 5 ) ημ5, συν συν(8 6 ) συν6, συν95 συν(6 + 5 ) συν5 συν(8 5 ) συν5, συν( ) συν, εφ( ) εφ εφ(8 6 ) εφ6 και εφ95 εφ(6 + 5 ) εφ5 εφ(8 5 ) εφ5 Η τιμή της αράστασης ισούται με Εειδή: ημ(5 + ω) ημ( + + ω) ημ( + ω) ημω, συν(7 ω) συν(6 + ω) συν( ω) συνω, 5 ηµ ω ηµ ω ηµ ω συνω +, 7 συν + ω συν ω συν ω συν ω + + ηµω, 6

37 Αναγωγή στο ο τεταρτημόριο σφ(5 + ω) σφ( + + ω) σφ( + ω) σφω, ημ(7 ω) ημ(6 + ω) ημ( ω) ημω, 5 συν ω συν ω συν ω ηµω +, 7 σϕ + ω σϕ ω εϕ ω εϕ ω + + εϕω Τότε η αράσταση γίνεται: ( ηµω) ( συνω) συνω ηµω σϕω ηµω ηµω εϕω ηµω συν ω συν ω ηµω ηµω Σύμφωνα με την ταυτότητα α + β (α + β) αβ, έχουμε: εϕ εϕ εϕ εϕ εϕ εϕ 6 (διότι εφω σφω ) + 5 εϕ εϕ εϕ σϕ 6 5 εϕ σϕ 5, Είναι: εϕ( + ) εϕ εϕ εϕ < < < < < < < < εϕ+ σϕ( + ) εϕ+ σϕ εϕ + εϕ + εϕ εϕ εϕ < < < εϕ < εϕ +, εϕ + ου ισχύει, γιατί αοκλείεται να είναι εφ, αφού, λόγω υοθέσεως, ορίζεται η σφ Ερωτήσεις κατανόησης Ι A Ψ Ψ Ψ 5 Ψ 6 Α 7 Ψ 8 Α 9 Α ΙΙ Η, Β, Δ, Ε, 5 Ζ, 6 Γ, 7 Α, 8 Θ ΙΙΙ A Β Α 7

38 Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις Α ΟΜΑΔΑΣ Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις i Για να σχεδιάσουμε τη γραφική αράσταση μιας συνάρτησης χρειαζόμαστε έναν ίνακα τιμών της Με τη βοήθεια του ίνακα: ημ,5ημ,5,5 ημ ημ σχεδιάζουμε τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων, όως y y ημ φαίνεται στο διλανό σχήμα Ο y,5ημ y y ημ y ημ ii Με τη βοήθεια του ίνακα: συν,5συν,5,5,5 συν συν 8

39 Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις σχεδιάζουμε τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων, όως φαίνεται στο διλανό σχήμα y y συν Ο y,5συν y y συν Η γραφική αράσταση της g() + ημ ροκύτει αό μια κατακόρυφη μετατόιση της γραφικής αράστασης της y y συν f () ημ κατά μονάδα ρος τα άνω, ενώ της f () + ημ κατά μονάδα ρος τα κάτω Ο y + ημ y Η συνάρτηση f () ημ είναι εριοδική με ερίοδο Με τη βοήθεια του ίνακα: 6 ημ σχεδιάζουμε τη γραφική αράσταση της g, όως φαίνεται στο διλανό σχήμα y y ημ Ο y y ημ 9

40 Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις Ομοίως η συνάρτηση g() συν είναι εριοδική με ερίοδο Με τη βοήθεια του ίνακα: 6 συν σχεδιάζουμε τη γραφική αράσταση της, όως φαίνεται στο διλανό σχήμα y y συν y συν Ο y 5 Εειδή η μέγιστη τιμή της φ() ημ είναι, και η ελάχιστη τιμή της η μέγιστη τιμή της f () ημ είναι και η ελάχιστη τιμή Η συνάρτηση f () ημ είναι εριοδική με ερίοδο Με τη βοήθεια του διλανού ίνακα σχεδιάζουμε τη γραφική αράσταση της f, όως φαίνεται στο σχήμα ου ακολουθεί: ημ y y ημ y ημ Ο y y ημ 6 Ομοίως η μέγιστη τιμή της f () συν είναι, και η ελάχιστη τιμή της

41 Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις Αν εργαστούμε όως στο αράδειγμα του σχολικού βιβλίου βρίσκουμε ότι η συνάρτηση g() συν, άρα και η f () συν, είναι εριοδική με ερίοδο Με τη βοήθεια του διλανού ίνακα σχεδιάζουμε τη γραφική αρά- σταση της f () συν όως φαίνεται στο σχήμα ου ακολουθεί: συν y y συν y συν Ο 5 7 y y συν 7 Η γραφική αράσταση της g() + εφ ροκύτει αό μια κατακόρυφη μετατόιση της γραφικής αράστασης της f () εφ κατά μονάδα ρος τα κάνω, ενώ της h() + εφ κατά μια μονάδα ρος τα κάτω y y + εφ y εφ Ο y + εφ y 8 Κάθε τιμή της συνάρτησης f () εφ εαναλαμβάνεται, όταν το αυξηθεί κατά, ου σημαίνει ότι η τιμή αυτή εαναλαμβάνεται, όταν το αυξηθεί κατά

42 Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις Εομένως η συνάρτηση f () εφ είναι εριοδική με ερίοδο Έχοντας υόψη το στοιχείο αυτό και με τη βοήθεια ενός ίνακα τιμών σχεδιάζουμε τη γραφική αράσταση της f () εφ εφ y y εφ Ο y εφ y 9 Εειδή η συνάρτηση f () σφ είναι εριοδική με ερίοδο, αρκεί να τη μελετήσουμε σε ένα διάστημα y λάτους, χ το (, ) Αν εργαστούμε, όως και για τη f () εφ, συμεραίνουμε ότι η f () σφ, y εφ είναι γνησίως φθίνουσα στο (, ), έχει κατακόρυφες ασύμτωτες τις ευθείες και Ο Η γραφική της αράσταση στο (, ) φαίνεται στο διλανό σχήμα y

43 Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις Β ΟΜΑΔΑΣ i Οι καμύλες του σχήματος είναι γραφικές αραστάσεις συναρτήσεων της μορφής f () α ημω, αφού έχει ερίοδο Τ και μέγιστο ίσο με Είναι φανερό ότι η ρώτη είναι η y ημ Η ερίοδος της δεύτερης ισούται με Έτσι, οότε ω ω Το λάτος της δεύτερης ισούται με Άρα η εξίσωσή της είναι η y ηµ Η ερίοδος της τρίτης ισούται με Έτσι, οότε ω ω Το λάτος α της τρίτης ισούται με Άρα η εξίσωσή της είναι η y ημ ii Αν εργαστούμε όως ροηγουμένως βρίσκουμε ότι: Η εξίσωση της ρώτης είναι η y ημ Η εξίσωση της δεύτερης είναι η y ημ Η εξίσωση της τρίτης είναι η y,5 ημ και Η εξίσωση της τέταρτης είναι η y,5ημ, ενώ η χα- i Η υψηλότερη λημμυρίδα ισούται με m και αρατηρείται όταν ηµ t 6 μηλότερη άμωτη ισούται με m και αρατηρείται όταν ηµ t Άρα, η ζητούμενη υψομετρική διαφορά ισούται με ( ) 6 m 6 ii Η συνάρτηση είναι της μορφής f () ημωt Άρα είναι εριοδική με ερίοδο: Με τη βοήθεια του ίνακα: t 6 9 συν σχεδιάζουμε τη γραφική της αράσταση ου δίνεται στο διλανό σχήμα ώρες ω 6 y (σε μέτρα) Ο (σε ώρες) 6 9 y

44 Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις i Το μέγιστο ύψος ισούται με + m m, ενώ το ελάχιστο ύψος ισούται με m m Εομένως, η ζητούμενη διαφορά ισούται με m m ii Η ερίοδος της συνάρτησης ισούται με iii Έχοντας υόψη τα αραάνω και με τη βοήθεια ενός ίνακα τιμών σχεδιάζουμε τη γραφική αράσταση της συνάρτησης t + συνt 6 y Ο y + συνt y i Το λάτος της κίνησης του ιστονιού ισούται με, m ii, Ο 5 t Η συνάρτηση είναι εριοδική με ερίοδο sec Η γραφική της αράσταση δίνεται στο αραάνω σχήμα Η είλυση της εξίσωσης (t),5 στο διάστημα [, ] μας δίνει τις λύσεις: 5 8, 7 8, 5 8, 8, 8 και 9 8

45 5 Βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις 5 Βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις Α ΟΜΑΔΑΣ i κ, κ Z κ κ ii ηµ ηµ ηµ + + ή, κ Z ή, κ Z κ + κ + iii κ + κ, Z Διαφορετικά οι λύσεις δίνονται και αό τον τύο λ + λ, Z, αφού τα τόξα της μορφής λ +, λ Z έχουν τελική λευρά στα σημεία Β, Β του τριγωνομετρικού κύκλου, όου συν iv συν συν συν κ ± κ, Z i ηµ ηµ ηµ ηµ ηµ κ κ 6 6 ή, κ Z ή, κ Z + 7 κ κ ii ηµ κ κ, Z, αφού τα τόξα της μορφής κ, κ Z έχουν τελική λευρά στο σημείο Β του τριγωνομετρικού κύκλου όου ημ iii συν συν συν συν συν συν συν κ ± κ, Z iv συν κ+, κ Z i εϕ εϕ εϕ κ, κ Z 5

46 Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις ii εϕ εϕ εϕ κ + κ 6 6, Z iii σϕ σϕ σϕ κ + κ, Z iv σϕ σϕ σϕ κ + κ 6 6, Z i εϕ εϕ εϕ εϕ εϕ κ κ 6 6 6, Z ii σϕ σϕ σϕ σϕ σϕ κ κ, Z 5 i ( ηµ ) ( ηµ ) ηµ ή ηµ Έχουμε: ηµ ηµ κ +, κ Z ηµ ηµ ηµ ηµ κ + κ + ή, κ Z ή, κ Z κ + κ + ii ηµ + ( συν) ηµ + ή συν Έχουμε: κ ηµ + ηµ ηµ ηµ, κ Z 5 κ + συν συν κ, κ Z 6 i + εϕ ( εϕ) εϕ ή εφ Έχουμε: εϕ εϕ εϕ κ κ, Z εϕ εϕ εϕ κ κ +, Z 6

47 5 Βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις ii (συν + )(εφ ) σφ συν συν συν κ ± ή εφ ή σφ συν ή εφ εϕ ή κ + ή εφ εϕ ή κ ή εφ ή σφ ή σφ σϕ ή κ + κ, Z Όμως, οι λύσεις κ +, κ Z αορρίτονται γιατί δεν ορίζονται η εφ για κ + κ, Z 7 i Εειδή, 95 ηµ 7 ηµ ο, έχουμε: 5 ηµ, 95 ηµ ηµ 5 κ + 5 ή κ + 5 κ +, κ Z ή κ + 5 5, κ Z ii Εειδή, 89 συν6 συν, έχουμε: 5 συν συν συν συν συν, συν συν κ ± κ 5 5, Z iii Εειδή 8, 66 εϕ88 εϕ, έχουμε: 5 εϕ 8, 66 εϕ εϕ κ +, κ Z i ηµ ηµ ηµ ηµ 6 + κ + κ 9 ή, κ Z ή, 6 + κ + κ 9 κ Z 7

48 Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις ii συν + συν συν συν κ κ 5 ±, Z κ +, κ Z κ + 5, κ Z 5 iii εϕ εϕ εϕ εϕ κ +, κ Z κ+ 7, κ Z 7 6 κ + 7, κ Z 9 i ηµ κ 5 + κ κ κ +, z, Z 6 ii συν συν συν συν κ + ή, κ Z κ 6 κ+ ή, κ Z 6 κ κ ή, κ Z κ 6 iii εϕ 5 εϕ 5 εϕ 5 κ κ +, Z + κ 6 κ, κ Z, κ Z 6 i Αν θέσουμε ημω t, t, η εξίσωση γράφεται: t + t t ± t ή t 8

49 5 Βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις Εομένως: Για t έχουμε ηµω ηµω ηµ ω κ κ, Z Για t έχουμε ηµω ηµω ηµ 6 ω κ + 6 ή, κ Z ω κ 5 6 Άρα οι λύσεις της εξίσωσης δίνονται αό τους τύους: ω κ ή ω κ + 6 ii Αν θέσουμε συν t, t, η εξίσωση γράφεται: ή ω κ κ 6, Z 5 t + t t ± t ή t Για t έχουμε συν αδύνατη, αφού συν Για t έχουμε συν συν συν κ ± κ, Z Άρα οι λύσεις της εξίσωσης δίνονται αό τους τύους: κ + ή κ, κ Z iii Αν θέσουμε εφt ω, η εξίσωση γράφεται: ± ω + ω ω ω ω ω ή ω 6 Εομένως: Για ω, έχουμε εϕt εϕt εϕ t κ + κ, Z Για ω, έχουμε: εϕ εϕ εϕ t t εϕt εϕ t κ κ 6 6 6, Z i Είναι ηµ + 5συν συν + 5συν συν συν συν ή συν 9

50 Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις Αλλά: συν συν συν κ + κ, Z συν συν συν συν συν συν συν λ ± λ, Z Εομένως οι λύσεις της εξίσωσης δίνονται αό τους τύους: κ ±, κ Z ή λ ±, λ Z ii Η εφ και η σφ έχουν νόημα εφόσον συν και ημ, () Με αυτούς τους εριορισμούς, έχουμε: εϕ σϕ σϕ σϕ σϕ κ +, κ Z κ, κ Z εϕ Αό τις λύσεις αυτές καμία δεν ικανοοιεί τον εριορισμοί ημ Άρα η εξίσωση είναι αδύνατη i Η συνάρτηση f ηµ αρουσιάζει μέγιστο όταν ημ και ελάχι- στο όταν ημ Αλλά: ηµ ηµ ηµ κ κ +, Z κ +, κ Z, αφού ηµ ηµ ηµ κ κ, Z κ, κ Z, αφού Εομένως, η f αρουσιάζει [, ) μέγιστο για, το f () και ελάχιστο για, το f () 5

51 5 Βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις ii Η συνάρτηση f 7συν αρουσιάζει μέγιστο όταν συν και ελάχιστο όταν συν Αλλά: συν συν συν κ κ, Z κ +, κ Z, αφού συν συν συν κ κ +, Z κ +, κ Z, αφού Εομένως, η g αρουσιάζει [, ) μέγιστο για, το g 7 και ελάχιστο για, το g 7 i Εειδή S αρκεί να βρούμε το t {,,, } για το οοίο ισχύει: Έχουμε: ημ t ηµ t 5 5ηµ t ηµ t ηµ t ηµ t κ ή, κ Z t κ t κ + ή, κ Z t ή t 5, αφού t t κ + 5 Άρα, οι ζητούμενοι μήνες είναι ο Ιανουάριος και Μάιος ii Το S αίρνει τη μεγαλύτερη τιμή του όταν ηµ t άρει τη μεγαλύτερη τιμή του δηλαδή όταν ηµ t 6 6 5

52 Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις Εειδή ηµ t ηµ t t κ +, κ Z t κ+, κ Z t, αφού t Άρα, τον μήνα Μάρτιο έχουμε το μεγαλύτερο αριθμό ωλήσεων Β ΟΜΑΔΑΣ i Είναι: ηµ συν ηµ συν + ηµ συν + + ηµ συν ηµ συν ηµ ηµ κ +, κ Z ή κ +, κ Z κ, κ Z ή 5 κ +, κ Z (αδύνατη) κ, κ Z 8 ii Η εφ και σϕ + έχουν νόημα εφόσον συν και ηµ + Με αυτούς τους εριορισμούς έχουμε: εϕ σϕ + εϕ σϕ εϕ εϕ κ +, 6 ου ικανοοιούν τους εριορισμούς εϕ εϕ κ +, 6 6 κ κ Z + κ 5, Z, κ Z 5

53 5 Βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις i Η εφ έχει νόημα εφόσον συν Με αυτόν τον εριορισμό έχουμε: εϕ ηµ + ηµ + εϕ ( εϕ ηµ εϕ) ( ηµ ) εϕ ( ηµ ) ( ηµ ) ( ηµ ) ( εϕ ) εϕ ή ημ (αδύνατη, γιατί συν ) εϕ εϕ κ + κ, Z Οι λύσεις αυτές είναι δεκτές, αφού ροφανώς ικανοοιούν τον εριορισμό συν ii Η εξίσωση ορίζεται, εφόσον Με αυτόν τον εριορισμό έχουμε: Αλλά: εϕ + εϕ εϕ εϕ εϕ συν ± εϕ εϕ ή εφ εϕ εϕ εϕ εϕ εϕ κ κ, Z εϕ εϕ εϕ εϕ εϕ ο 7 λ + λ 5 5, Z Εομένως οι λύσεις της εξίσωσης δίνονται αό τους τύους: κ κ, Z ή λ + λ 5, Z, αφού ροφανώς ικανοοιούν τον εριορισμό συν Είναι εϕ εϕ εϕ κ + κ, Z Άρα έχουμε: (, ) << < κ + <, κ Z < κ+ < 6, κ Z < κ< 5, κ Z < κ < κ Εομένως η λύση της εξίσωσης είναι η + 5, κ Z 5

54 Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις Έχουμε: + + συν ηµ + συν ηµ συν ηµ συν ηµ ηµ + συν ( + συν) + + συν συν + συν συν ηµ + συν ηµ + συν ( συν + ) συν ή συν ηµ συν ή ηµ συν ή 5 Για συν και ηµ + έχουμε: εϕ σϕ + εϕ εϕ εϕ εϕ + 6 κ +, κ Z κ +, κ Z 6 6 6κ +, κ Z, () Εομένως έχουμε: 6κ + <, κ Z 6κ +, κ Z 6κ, κ Z κ κ 6 6, Z κ ή κ ή κ ή κ Άρα, οι λύσεις της εξίσωσης στο [, ) είναι οι αριθμοί: y 7,, και 9 Ο / A Γ y 5

55 6 Τριγωνομετρικοί αριθμοί αθροίσματος γωνιών 6 Τριγωνομετρικοί αριθμοί αθροίσματος γωνιών Α ΟΜΑΔΑΣ i συν συν ηµ ηµ συν συν + ii συν7 συν5 + ημ7 ημ5 συν(7 5 ) συν συν6 iii ημ ημ7 συν συν7 [συν συν7 ημ ημ7 ] συν( + 7 ) συν8 iv συν 7 συν 7 ηµ ηµ 7 + συν συν i συν συν( ) ημ ημ( ) συν( + ( ) συν ii συν + συν ηµ ηµ συν συ ν i συν + συν συν συν ηµ ηµ συν συν ηµ ηµ συν συν συν συν ii συν συν συν συν ηµ ηµ συν συν ηµ ηµ συν συν ηµ ηµ συν ηµ ηµ συν i ηµ συν συν ηµ ηµ ηµ ii ημ7 συν + συν7 ημ ημ(7 + ) ημ9 55

56 Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις iii iv 7 εϕ εϕ 7 εϕ εϕ εϕ εϕ 7 + εϕ65 + εϕ5 εϕ 65 5 εϕ8 εϕ65 εϕ5 ( + ) 5 i ημ συν + συν ημ ημ( + ) ημ ii ηµ + συν συν ηµ ηµ ηµ iii iv εϕ εϕ εϕ( ) εϕ( ) εϕ + εϕ εϕ εϕ εϕ εϕ εϕ εϕ εϕ σϕ i ηµ + ηµ ηµ συν συν ηµ ηµ συ ν συν ηµ ηµ συν ηµ ηµ ii (ημα + συνα) (ημβ + συνβ) ημα ημβ + ημα συνβ + συνα ημβ + συνα συνβ (ημα συνβ + συνα ημβ) + (συνα συνβ + ημα ημβ) ημ(α + β) + συν(α β) 7 ημ5 ημ(6 + 5 ) ημ6 συν5 + συν6 ημ5 ( + ) + συν5 συν(6 + 5 ) συν6 συν5 ημ6 ημ5 ( ) Οότε εϕ5 + και σϕ

57 6 Τριγωνομετρικοί αριθμοί αθροίσματος γωνιών ημ95 ημ(5 + 5 ) ημ5 συν5 + συν5 ημ5 ( ) συν95 συν(5 + 5 ) συν5 συν5 ημ5 ημ5 + Οότε εϕ95 + και σϕ ηµα ηµβ ηµα συνβ+ συνα ηµβ ηµ α+ β 8 i εϕα+ εϕβ + συνα συνβ συνα συνβ συνα συνβ ii σϕα σϕβ συνα συνβ ηµα συνβ+ συνα ηµβ ηµ α+ β + + ηµα ηµβ ηµα ηµβ ηµ α ηµβ 9 Εειδή ηµα 5 και συνβ 5, αό τη σχέση ημ + συν βρίσκουμε ότι: συνα και ημβ 5 Έτσι έχουμε: 5 i ημ(α + β) ημα συνβ + συνα ημβ ii συν(α + β) συνα συνβ ημα ημβ i Σύμφωνα με τους τύους () και () αρκεί να υολογίσουμε το συνα και το ημβ Έχουμε λοιόν: συν α ημ α 9 6, οότε συνα 5 5 5, αφού < α < ημ β συν β 5, οότε ημβ 69 69, αφού < β < Εομένως: ημ(α + β) ημα συνβ + συνα ημβ , 57

58 Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις συν(α + β) συνα συνβ ημα ημβ , 5 65 οότε εφ(α + β) 56 και σφ(α + β) 56 ii Εργαζόμαστε με τον ίδιο τρόο i ηµ συν + ηµ συν συν ηµ ηµ ηµ συν ηµ ηµ συν ηµ 5 ηµ συν εϕ εϕ εϕ 6 κ +, κ Z 6 ii Η εξίσωση ορίζεται για κάθε R, με συν, και συν + Με αυτούς τους εριορισμούς έχουμε: εϕ εϕ εϕ + + εϕ εϕ εϕ εϕ ε ϕ εϕ εϕ εϕ ± Έτσι έχουμε: εϕ εϕ εϕ κ + κ, Z, εϕ εϕ εϕ κ κ, Z Όλες οι λύσεις είναι δεκτές, αφού ικανοοιούν τους εριορισμούς iii Η εξίσωση ορίζεται για κάθε R με συν( α) Με τον εριορισμό αυτό και την ροϋόθεση ότι ορίζεται η εφ, δηλαδή συν έχουμε: εϕ εϕα εϕ + εϕ( α) εϕ + + 6εϕ + εϕ εϕα εϕ 5εϕ 5 εϕ εϕ εϕ κ +, κ Z Όλες οι λύσεις, είναι δεκτές αφού είναι εύκολο να αοδειχθεί ότι ικανοοιούν τους εριορισμούς 58

59 6 Τριγωνομετρικοί αριθμοί αθροίσματος γωνιών Β ΟΜΑΔΑΣ ηµ α β ηµα συνβ συνα ηµβ ηµα συνβ συνα ηµβ Είναι εϕα εϕβ συνα συνβ συνα συνβ συνα συνβ συνα συνβ Ώστε Ομοίως ηµ α β εϕα εϕβ συνα συνβ ηµ β γ εϕβ εϕγ και συνβ συνγ ηµ γ α εϕγ εϕα συνγ συνα Προσθέτοντας κατά μέλη τις αραάνω ισότητες βρίσκουμε: ηµ ( α β) ηµ ( β γ) ηµ ( γ α) + + εφβ + εφβ εφγ εφα συνα συνβ συνβ συνγ συνγ συνα A τρόος () Έχουμε συν α+ β συνα συνβ ηµα ηµβ συνα συνβ ηµα ηµβ, Εομένως: ημ(α + β) (ημ(α + β) + β) ημ (α + β) συνβ + συν(α + β) ημβ ημ(α + β) συνβ, (αφού συν(α + β) ) (ημα συνβ + συνα ημβ) συνβ ημα συνβ συνβ + συνα συνβ συνβ () B τρόος (ημα συνβ συνβ + ημα ημβ ημβ) ημα(συν β + ημ β) ημα Έχουμε συν( α+ β) α+ β κ +, κ Z β κ + α, κ Z Εομένως ημ(α + β) ημ(α + κ + α) ημ ( α) ημα ηµ ( α) ηµ ( + α) ηµ συνα συν ηµα ηµ συνα συν ηµα ηµ συνα συν ηµα ηµ συν εϕα ηµ συν, αφού εφα εϕ εϕ εϕ κ + κ, Z και εειδή τότε ή 5 59

60 Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις Εειδή α+ β θα είναι β α, οότε εϕβ εϕ εϕ εϕα εϕα α εϕ + εϕα + εϕα Εομένως ( + εϕα ) ( + εϕβ )( + εϕα ) + + εϕα + εϕα εϕα + εϕα 5 i Αν με φ συμβολίσουμε τη γωνία ΑΒΔ, έχουμε: εϕϕ ( Α ) ( ΑΓ ) AB ( ΑB) εϕb, δηλαδή εϕϕ εϕ B, () εϕβ εϕ εϕ εϕϕ () Β Β εϕ Εομένως εϕω εϕ( Β ϕ) Β + εϕβ εϕϕ εϕβ + εϕ + εϕβ Β ii Αν Β 6, τότε αό την αραάνω ισότητα βρίσκουμε ότι: () εϕ6 εϕω + εϕ 6 + Εομένως, η ΒΔ είναι διχοτόμος της γωνίας Β 6 Έχουμε διαδοχικά: ηµ Α+ ηµ Β Γ συν Β Γ ηµ ( Β+ Γ)+ ηµ Β Γ εϕβ συν Β Γ, οότε ω ηµ Β συνβ ηµ Β συνγ ηµ Β συνβ συνγ+ ηµ Β ηµ Γ συνβ συνβ συνγ συνβ συνγ+ ηµ Β ηµ Γ συνβ συνγ ηµ Β ηµ Γ συν( Β+ Γ) 7 i Εειδή Α + Β + Γ, έχουμε διαδοχικά: Β+ Γ Α Α + Β Γ σφ(α + Β) σφ( Γ) σϕ Α σϕ Β σϕγ σϕβ+ σϕα σφα σφβ σφβ σφγ σφα σφγ σφα σφβ + σφβ σφγ + σφα σφα 6

61 6 Τριγωνομετρικοί αριθμοί αθροίσματος γωνιών ii Εειδή Α + (Β + Γ), είναι συνα συν(β + Γ), οότε: συνα συν Β Γ + ηµ Β ηµ Γ ηµ Β ηµ Γ ηµ Β ηµ Γ συνβ συνγ σϕβ σϕ Γ ηµ Β ηµ Γ Ομοίως συνβ σϕγ σϕα και ηµ Γ ηµ Α συνγ σϕα σϕβ, ηµ Α ηµ Β οότε με ρόσθεση κατά μέλη, λόγω της i, βρίσκουμε το ζητούμενο 8 Η εξίσωση είναι ορισμένη για κάθε [, ], με συν και συν + Με τους εριορισμούς αυτούς και με την ροϋόθεση ότι ορίζεται η εφ, η εξίσωση γράφεται διαδοχικά: εϕ + εϕ εϕ εϕ εϕ εϕ εϕ εϕ εϕ + εϕ + εϕ + εϕ + εϕ εϕ εϕ ( ) εϕ + εϕ+ εϕ + εϕ εϕ εϕ + εϕ εϕ + εϕ εϕ ου είναι δεκτές, αφού ικανοοιούν τους εριορισμούς ή εϕ (αφού Δ 6) 6 ή (αφού ), Αν δεν ορίζεται η εφ, δηλαδή αν, τότε η εξίσωση είναι αδύνατη 9 Αρκεί να δείξουμε ότι + y z Εειδή εφ < και εφy < και εφz <, θα είναι: εφ < εφ, εφy < εφ και εφz < εφ και εειδή η συνάρτηση εφ, τότε <, y, z <, οότε: <+y< και < z < 6

62 Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις Εομένως, η + y z γράφεται διαδοχικά: εϕ+ εϕy + y z ( + y) z εϕ εϕ εϕ εϕ εϕy + εϕ , ου ισχύει Τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας α Α ΟΜΑΔΑΣ i ηµ συν ηµ ηµ ii ηµ συν συν 6 iii συν 5 συν( 5 ) συν7 iv εϕ75 εϕ 75 εϕ5 εϕ εϕ 75 ( ) i ημα συνα ημ( α) ημα ii συν α συν α συν α ηµ α iii εϕα εϕ 6 ( α) εϕ α εϕ α i ημ α + συνα ημ α + ( ημ α) ημ α συν α ηµ α ηµασυνα ηµα ii εϕα ηµ α συν α συνα iii σϕα εϕα συνα ηµα συν α ηµ α συνα σϕα ηµα συνα ηµασυνα ηµ α ηµα συνα ηµ α+ συν α iv εϕα + σϕα + συνα ηµα ηµα συνα ηµ α ηµ α 6

63 7 Τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας α i Σύμφωνα με τους τύους () και () αρκεί να υολογίσουμε το ημα Έχουμε, λοιόν, ηµ α συν α Άρα ημα 5, αφού <±< Εομένως: ηµ α ηµα συνα 5 5, συνα συν α , 5 ηµ α οότε εφα συνα 7 και σφα εϕα ii Εργαζόμαστε με τον ίδιο τρόο Βρίσκουμε: 7 ημα 5, συνα 7, εφα 5 7, σφα 7 εϕα+ εϕβ 5 Εειδή εϕ( α+ β), αρκεί να υολογίσουμε την εφβ Έχουμε, λοιόν, εϕα εϕ β + εϕβ εϕβ εϕ β, οότε εφ(α + β) i ημ α συνα + συν α ημα ημα συνα(ημ α + συν α) ημα συνα ημα ii ημα εφα + συν α ημα συνα ηµα συνα + συν α (ημ α + συν α) iii ηµ α ηµα συνα ηµα συνα ηµα συνα συν α συν α συνα εϕ + + α iv συν α+ ηµ α ( ηµ α)+ ηµα συνα + συνα+ ηµ α + συν α + ηµα συνα εϕα ηµ α+ ηµα συνα ηµα ηµα + συνα συν α+ ηµα συνα συνα συνα + ηµα 7 i συν ημ ημ ημ ημ + ημ ημ (ημ + ) ημ ή ημ Έτσι, έχουμε: ημ ημ ημ κ ή κ +, κ Z, Τελικά λ, λ Z 6

64 Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις ημ ηµ ηµ ηµ ηµ 6 6 κ 7 ή κ +, κ Z 6 6 ii ημ συν + ημ ημ συν συν + ημ συν (ημ ) + (ημ ) (ημ ) (συν + ) ημ ή συν Έτσι, έχουμε: ημ ημ ημ κ +, κ Z, συν συν συν συν συν κ ± κ, Z 8 Στο αράδειγμα της σελίδας 9 βρήκαμε ότι: ηµ συν +,, εϕ και σϕ Σύμφωνα με τους τύους () και (5) έχουμε: ηµ συν , οότε ηµ 6 + συν + συν , οότε συν Συνεώς εϕ και σϕ Σύμφωνα με τους τύους () και (5) έχουμε: 5 i ηµ α συνα 8, οότε ηµ α, αφού 6 5 συν α συνα , οότε συν α 9, αφού 6 α < < α < < 6

65 7 Τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας α Εομένως εϕ α 9 και σϕ α ii ηµ α συνα 5, οότε ηµ α, αφού α < < À 5 5 συν α συνα , οότε συν α, αφού α < < À 5 5 Εομένως εϕ α και σϕ α i συν + συν συν + + συν συν + συν Έτσι, έχουμε: συν( συν+ ) συν ή συν συν κ ± κ, Z Τελικά λ +, λ Z συν συν συν συν κ ± κ, Z ii συν ηµ συν ( συν) συν συν συν κ ± κ, Z iii συν ημ συν ( συν) συν συν Τελικά λ +, λ Z συν συν συν(συν ) συν ή συν, (αδύνατη) συν κ ±, κ Z iv συν συν συν + συν συν συν συν ± συν ή συν συν συν κ +, κ Z Η εξίσωση συν είναι αδύνατη, διότι συν 65

66 Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις Β ΟΜΑΔΑΣ Είναι ημα ημα συνα Άρα, έχουμε: (συνα ημα) συν α + ημ α ημα συνα ημα συνα ημα Εειδή α έχουμε ημα και συνα Εομένως συνα ημα >, οότε αό τη σχέση () ροκύτει ότι: συνα ημα ηµ α ηµ α+ συν α ηµ α ηµα + συνα ηµα + συνα ηµα συνα ( + ) ηµ α συν α ηµ α συν α συν α εϕ α Εειδή +, είναι συν ηµ Άρα: ηµ συν ηµ ηµ ηµ ηµ ηµ συν ηµ συν ηµ i ii εϕα + εϕ α + εϕα + εϕα εϕα εϕ α εϕ α εϕα εϕα εϕ α εϕα + σϕα εϕ α + εϕ α εϕ α εϕα + εϕα εϕα συνα+ συνα ( ηµ α)+ ( ηµ α) + συνα+ συνα + ( συν α )+ ηµ α 8ηµ α ηµ α 8ηµ α ηµα συνα 8συν α ηµ α 8συν α ηµα συνα 8ηµ α συν α ηµ α ηµα 8συν α ηµ α συν α συν α εϕ α 66

67 7 Τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας α 5 εφ(5 α) εϕ5 εϕα εϕα + εϕ5 εϕα + εϕα + ηµα συνα ηµα συνα συνα ηµα συνα + ηµα ( συνα ηµα) συνα+ ηµα συν α ηµ α συνα + ηµα συν α+ ηµ α+ ηµα συνα συνα + ηµ α συνα ηµ α συν α συνα ( ηµ α) ( + )( ) συνα ( ηµ α) ηµ α ηµ α ηµ α ηµ α ηµ α συνα συνα συνα συνα εϕ α συνα Αό τον τύο εφ(5 α), για α αίρνουμε: + ηµ α εϕ5 ο συν6 + ηµ ( + ) ( ) 6 i Η εξίσωση ορίζεται για κάθε R, με συν Με τον εριορισμό αυτόν έχουμε: ηµ ηµ συν εϕ συν συν συν συν ηµ ηµ συν συν ηµ συν συν( ηµ + ηµ ) συν ή ηµ + ηµ Έτσι, έχουμε: συν ή ηµ ± συν κ ±, κ Z Τελικά λ +, λ Z ημ ηµ ηµ κ κ, Z ημ ηµ ηµ κ + 5 ή κ +, κ Z Όλες οι ρίζες ου βρήκαμε είναι δεκτές, αφού ικανοοιούν τους εριορισμούς 67

68 Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις ii Η εξίσωση ορίζεται για κάθε r, με συν και συν Με αυτούς τους εριορισμούς έχουμε: εϕ εϕ εϕ εϕ εϕ + εϕ εϕ εϕ εϕ ή εφ Έτσι, έχουμε: εφ εϕ εϕ κ +, κ Z εφ εϕ εϕ κ, κ Z Όλες οι ρίζες ου βρήκαμε είναι δεκτές, αφού ικανοοιούν τους εριορισμούς 7 συνα συν α (συνα) (συν α ) (συν α συν α + ) 8συν α 8συν α + 8 i Είναι συν συν συν και συν συν + συν 8 8 6, 6 8 οότε με ρόσθεση κατά μέλη βρίσκουμε ότι: συν συν

69 7 Τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας α ii ηµ ηµ ηµ συν ηµ συν ηµ συν ηµ συν ηµ iii 8ημ α συν α (ημα συνα) (ημα) ημ α συνα 9 Σύμφωνα με τον τύο (6) έχουμε: εϕ α β+ γ α συν β γ β γ συν α α+ β+ γ + β + γ β+ γ β γ α + α+ β+γ Ομοίως, έχουμε εϕ y α+ γ β α+ β+ γ και εϕ z α+ β γ α+ β+ γ y z β γ α α γ β α β γ α β γ Εομένως εϕ + εϕ + εϕ + α+ β+ γ + + α+ β+ γ + + α+ β+ γ + + α + β+ γ 69

70 Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (Γ ΟΜΑΔΑΣ) Εειδή εϕβ Α και εϕγ Α, Β Γ έχουμε: A Α Α Β και Γ εϕ Β εϕ Γ B Δ Γ Α Α Α εϕγ+ Α εϕβ εϕβ+ εϕγ Άρα ΒΓ ΒΔ + ΔΓ + Α εϕβ εϕγ εϕβ εϕγ εϕβ εϕ Γ, εϕβ+ εϕγ οότε BΓ Α () εϕβ εϕ Γ, Αλλά ΒΓ ΑΔ Εομένως, η σχέση () γράφεται: εϕβ+ εϕγ εϕβ+ εϕγ Α Α εϕβ+ εϕγ εϕβ εϕ Γ εϕβ εϕγ εϕβ εϕγ Εειδή εφβ σϕβ και εφγ σϕγ, η i γράφεται: + σϕγ+ σϕβ σϕβ σϕγ σϕβ σϕγ εϕ B εϕ Γ Εειδή ηµ B και ηµ Γ, έχουμε διαδοχικά: + εϕ B + εϕ Γ εϕ Β εϕβ ηµ Β εϕβ εϕ Β εϕβ εϕ Β ε + ( + ϕ Γ) εϕβ( εϕ Γ εϕγ ηµ Γ εϕγ εϕ Γ εϕγ εϕ Γ( + εϕ Β) + ) εϕγ( + εϕ Β) + εϕ Γ εϕβ( + εϕ Γ) εϕγ( + εϕ Β) εϕβ+ εϕβ εϕ Γ εϕγ+ εϕ Β εϕγ ( εϕβ εϕγ)+ ( εϕβ εϕ Γ εϕ Β εϕγ) ( εϕβ εϕγ) εϕβ εϕγ( εϕβ εϕγ) ( εϕβ εϕγ) ( εϕβ εϕγ) εϕβ εϕγ ή εφβ εφγ Β Γ [γιατί < Β, Γ < 8 ] ή εφβ σφγ εφ(9 Γ) Β Γ ή Β 9 Γ [γιατί < Β, Γ < 8 ] Β Γ ή Α 9 Δηλαδή, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο ή ισοσκελές 7

71 Γενικές Ασκήσεις (Γ Ομάδας) Αρκεί να δείξουμε ότι η αόσταση του Μ(, y) αό το Κ(,) ισούται με, δηλαδή ότι: ( ) + ( y ) + ( ) ή y Πράγματι, εειδή + συνt, y + ημt, έχουμε: + ( y ) ( συνt) + ( ηµ t) συν t+ t ( ηµ συν t+ ηµ t) i Η εξίσωση ορίζεται, εφόσον συν και ημ Με αυτούς τους εριορισμούς έχουμε: + ηµ συν + ( + ηµ ) + συν συν( + ηµ ) συν + ηµ + ηµ + ηµ + συν συν+ ηµ συν + ηµ συν ηµ συν + ηµ συν ηµ συν ( + ηµ ) συν( + ηµ ) ( + ηµ ) ( συν) συν [γιατί, λόγω εριορισμού, ισχύει ημ ] συν συν συν κ ± κ, Z Οι λύσεις αυτές είναι δεκτές αφού ικανοοιούν τους εριορισμούς ii Η εξίσωση ορίζεται εφόσον ημ και ημ Με αυτούς τους εριορισμούς έχουμε: συν σϕ συν συν σϕ ηµ συν ηµ ηµ ηµ συν ηµ ηµ ηµ ηµ ηµ ηµ ηµ + ηµ ± ηµ [αφού, λόγω εριορισμού, είναι ημ ] κ + κ + ηµ ηµ 6 ή, κ Z ή 6 κ + κ + 6 Οι λύσεις αυτές είναι δεκτές, αφού ικανοοιούν τους εριορισμούς 6 5 6, κ Z 7

72 Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις 5 i Εειδή < <, ισχύει εφ > Εομένως, έχουμε: εφ + σφ εφ + εφ + εφ εϕ εφ εφ + (εφ ), ου ισχύει ii Εειδή α < β <, ισχύει συνα >, συνβ > και εφα < εφβ, () ηµα+ ηµβ Αρκεί να αοδείξουμε εϕα < συνα + συνβ και ηµα+ ηµβ < εϕβ συνα + συνβ ηµα+ ηµβ ηµα ηµα+ ηµβ εϕα < < συνα + συνβ συνα συνα + συνβ ( + ) ηµα συνα+ συνβ < συνα ηµα ηµβ ηµα συνα+ ηµα συνβ < ηµα συνα + συνα ηµβ ηµα συνβ συνα ηµβ ηµα συνβ< συνα ηµβ < συνα συνβ συνα συνβ εϕα < εϕβ, ου ισχύει ηµα+ ηµβ ηµα+ ηµβ ηµβ < εϕβ < εϕα< εϕβ, ου ισχύει συνα + συνβ συνα + συνβ συνβ 6 Έχουμε: συν συν συν συν κ + κ ή, κ Z ή κ κ + κ ή, κ Z κ +, κ Z Διακρίνουμε, τώρα, τις εξής εριτώσεις: 7

73 Γενικές Ασκήσεις (Γ Ομάδας) Αν κ, κ Z, τότε έχουμε: (, 5) < < 5 < κ < 5 < κ < 5 5 < κ <, αδύνατο αφού κ Z Άρα, δεν υάρχουν λύσεις της μορφής κ, κ Z στο διάστημα (, 5) Αν κ +, τότε έχουμε: (, 5) < κ + < 5 < κ + < 5 κ < κ < < κ < < κ < Z κ Άρα, η εξίσωση έχει ακριβώς μια λύση της μορφής κ + στο διάστημα (, 5), την ( ) + Αυτή είναι και η μοναδική λύση της εξίσωσης στο διάστημα (, 5) 7 Στο κατακόρυφο είεδο του τροχού ορίζουμε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, y όως φαίνεται στο σχήμα, του οοίου οι άξονες έχουν μονάδες με μήκος m Αν Μ είναι η θέση του βαγονιού Α, t sec μετά την έναρξη της εριστροφής του τροχού και y M η τεταγμένη του, τότε ροφανώς το ζητούμενο ύφος ισούται με: Μ Ο m Μ t m Β A h + y M, () Εειδή ο εριστρεφόμενος τροχός εκτελεί μια λήρη εριστροφή σε 8 sec, η ακτίνα ΟΑ σε 8 sec διαγράφει γωνία rad Εομένως, σε sec διαγράφει γωνία rad rad, οότε σε t sec θα διαγράψει γωνία t rad 8 Εειδή ρ (ΟΜ) m, σύμφωνα με τον τύο y M ρ ημω, θα ισχύει y M ημ t, οότε, λόγω της (), έχουμε h + ημ t K 7

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ Σ. Ανδρεαδάκης Β. Κατσαργύρης Σ. Παασταυρίδης Γ. Πολύζος Α. Σβέρκος Η συγγραφή και η ειμέλεια του βιβλίου ραγματοοιήθηκε υό την αιγίδα του

Διαβάστε περισσότερα

Α λ γ ε β ρ α Α Λ υ κ ε ι ο υ Α λ γ ε β ρ α B Λ υ κ ε ι ο υ

Α λ γ ε β ρ α Α Λ υ κ ε ι ο υ Α λ γ ε β ρ α B Λ υ κ ε ι ο υ Κ Κ α α ι ι τ τ ο ο Λ Λ υ υ σ σ α α ρ ρ ι ι............ Α Α λ λ λ λ ι ι ω ς ς!!!!!! Α λ γ ε β ρ α Α Λ υ κ ε ι ο υ Α λ γ ε β ρ α B Λ υ κ ε ι ο υ Ε ι μ ε λ ε ι α Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς w w w. d r

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ 1. Τι ονομάζουμε εριοδική συνάρτηση Μια συνάρτηση ƒ με εδίο ορισμού το Α λέγεται εριοδική όταν υάρχει ραγματικός αριθμός Τ, Τ > 0 τέτοιος ώστε για κάθε χ Α να ισχύει α) χ+τ Α, χ -

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μαθητής ου έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα ρέει: Να γνωρίζει την έννοια της εριοδικής συνάρτησης,και να μορεί να σχεδιάζει τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων y= αημ(ωx), y=ασυν(ωx). Να μορεί

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Τριγωνομετρικές εξισώσεις

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Τριγωνομετρικές εξισώσεις 6 Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Τριγωνομετρικές εξισώσεις 1. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Περιοδική συνάρτηση Μια συνάρτηση f με εδίο ορισμού Α λέγεται εριοδική, όταν υάρχει T τέτοιος ώστε για κάθε x A να

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. 1.Να βρείτε τους αριθμούς: i)ημ ii)συν( ) ΛΥΣΗ i)διαιρώντας το 1125 με το 360 βρίσκω.

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. 1.Να βρείτε τους αριθμούς: i)ημ ii)συν( ) ΛΥΣΗ i)διαιρώντας το 1125 με το 360 βρίσκω. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Να βρείτε τους αριθμούς: i)ημ5 0 ii)συν(-660 0 ) i)διαιρώντας το 5 με το 60 βρίσκω και εομένως 0 0 0 5 60 5 5 60 5 5 0 0 0 0 0 ii) ( 660 ) ( 70 60 ) ( 60 60 ) 0 (60 ) Να

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ 16968, 1765, 17656, 17663, 17664, 17681, 1769, 17699, 17704, 1775, 17736, 17739, 17741 ΘΕΜΑΤΑ 4 17837, 17838,

Διαβάστε περισσότερα

(Μονάδες 15) (Μονάδες 12)

(Μονάδες 15) (Μονάδες 12) ΑΛΓΕΒΡΑ Β Λυκε ί ου τ ράε ζ αθε μάτ ων( 1ηέ κδοση) θέ μαδε ύτ ε ροκαιτ έ τ αρτ ο Κόμβ οςατ σι οούλου01415 δης Ει μέ λε ι α:εμμανουήλκ.σκαλί Αντ ώνηςκ.αοστ όλου Άσκηση 1 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις

1.1 Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις 11 Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Ποια συνάρτηση ονομάζουμε εριοδική; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Μια συνάρτηση f με εδίο ορισμού το σύνολο Α λέγεται εριοδική, όταν υάρχει ραγματικός αριθμός Τ > 0 τέτοιος, ώστε για κάθε x A

Διαβάστε περισσότερα

Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία. Μάκος Σπύρος. Πανούσης Γιώργος. Παπαθανάση Κέλλυ. Ραμαντάνης Βαγγέλης.

Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία. Μάκος Σπύρος. Πανούσης Γιώργος. Παπαθανάση Κέλλυ. Ραμαντάνης Βαγγέλης. Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία Μάκος Σύρος Πανούσης Γιώργος Πααθανάση Κέλλυ Ραμαντάνης Βαγγέλης Σαμάνης Νίκος Τόλης Ευάγγελος -1-01 18808Δίνεται η εξίσωση x y 7 Γραμμικά

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β E.M.E. (τεύχος 4) ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Κώστα Βακαλόουλου ΕΙΣΑΓΩΓΗ Αν κάοιος θέλει να άψει να φοβάται το κεφάλαιο της Τριγωνομετρίας, ρέει ν αοφασίσει να διαβάσει ροσεκτικά τους

Διαβάστε περισσότερα

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου Ελευθέριος Πρωτοαάς Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου Δεκέμβριος 04 Περιεχόµενα o Θέμα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα 6950 8 6954 9

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου 2o Θέμα. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (26/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου 2o Θέμα. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (26/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου o Θέμα Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση 1 η (6/11/014) Οι ααντήσεις και οι λύσεις είναι αοτέλεσμα συλλογικής δουλειάς των Ειμελητών των φακέλων του

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Κεφάλαιο 3 ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. τριγωνομετρικοι αριθμοι γωνιασ Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας Έστω οξεία γωνία ω. Αν άνω στη μία αό τις δύο λευρές της γωνίας άρουμε τυχαία σημεία Μ και Ν και φέρουμε τις

Διαβάστε περισσότερα

1. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας

1. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας v.5 «Αυτό το ρόβλημα, τούτ η μεγάλη συμφορά για να λυθεί χρειάζεται, δίχως αμφιβολία, όως κοιτάζω α τη δική σου την λευρά, να δεις κι εσύ α τη δική μου τη γωνία».. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας

Διαβάστε περισσότερα

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου ογελ ΣΥΚΕΩΝ ο ΓΕΛ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 3-4 ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ Ειμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί

Ασκήσεις Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί Ασκήσεις Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â =90 ο ) φέρουµε το ύψος Α. Ν.δ.ο. Γ ηµβ σφγ =. ΑΒ. Να υολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας 5 ο. 3. Να υολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Ο Μιγαδικοί 5 Έστω w i w wi, όου w i,, R α. Να ρεθούν τα Rw και Im w. Να ρεθεί ο γεωμετρικός τόος των σημείων Μw στο μιγαδικό είεδο γ. Να ρεθεί τ

ΘΕΜΑ Ο Μιγαδικοί 5 Έστω w i w wi, όου w i,, R α. Να ρεθούν τα Rw και Im w. Να ρεθεί ο γεωμετρικός τόος των σημείων Μw στο μιγαδικό είεδο γ. Να ρεθεί τ ΘΕΜΑ Ο Μιγαδικοί i Δίνεται ο μιγαδικός και έστω w α. Να ρεθεί ο μιγαδικός w όταν w. Να δείετε ότι w i γ. Αν η εικόνα του κινείται στον κύκλο κέντρου, και ακτίνας και Μ είναι η εικόνα του w στο μιγαδικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 12. = e dt. Να αποδείξετε ότι: ΛΥΣΗ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 12. = e dt. Να αποδείξετε ότι: ΛΥΣΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ Α) Να αοδείξετε ότι: α) Η συνάρτηση f() = ln, [,] αντιστρέφεται και να ορίσετε την f. β) ln d + d =. Β) Δίνεται η συνάρτηση α) h() h(), για κάθε [, + ). = d. Να αοδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 3ος

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 3ος Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Τόμος 3ος Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Καθηγητής Πανειστημίου Αθηνών Κατσαργύρης Βασίλειος Καθηγητής μαθηματικών Βαρβακείου Πειραμ. Λυκείου Παασταυρίδης Στάυρος Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ελευθέριος Πρωτοαάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΗ ίνεται η συνάρτηση f µε f() = 5 4 +α, όου α R και το είναι ρίζα της εξίσωσης f() =. α) Να βρείτε το α R. β) Να λύσετε

Διαβάστε περισσότερα

Physics by Chris Simopoulos

Physics by Chris Simopoulos ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ Χαρακτηριστικά μεγέθη της αλής αρμονικής ταλάντωσης είναι: Α) Αομάκρυνση (x ή y): ονομάζεται η αόσταση του σώματος κάθε χρονική στιγμή αό την θέση ισορροίας (x= ή y=) Β) Το λάτος της

Διαβάστε περισσότερα

3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός Έστω µία συνάρτηση f µε εδίο ορισµού Α και A Θα λέµε ότι η f είναι εριοδική όταν υάρχει ραγµατικός αριθµός Τ > 0 έτσι ώστε για κάθε Α να ισχύει : i)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2017

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2017 Στασίνου 6, Γραφ., Στρόβολος, Λευκωσία Τηλ. 57-78 Φαξ: 57-79 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Παρασκευή, 9/5/7 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΜΕΡΟΣ Α ln( x). Να υολογίσετε

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης-1 ο /2017 ΛΥΣΕΙΣ

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης-1 ο /2017 ΛΥΣΕΙΣ Λύσεις θεμάτων ροσομοίωσης- ο /7 ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΑΒΒΑΤΟ, ΜΑΡΤΙΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΕΥΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΕΥΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΕΥΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Πρόσημο τριγωνομετρικών αριθμών Το ρόσημο των τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας (ή τόξου) καθ αό το τεταρτημόριο στο οοίο βρίσκεται

Διαβάστε περισσότερα

Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις

Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις. Ονομασίες Ορισμοί Ο τριγωνομετρικός κύκλος έχει ακτίνα R. Αρχή μέτρησης των τόξων (γωνιών) είναι το Α, είτε κατά τη θετική φορά (αριστερόστροφα)

Διαβάστε περισσότερα

4. ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

4. ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ι ΤΡΙΓΩΝΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Περιοδική συνάρτηση Μια συνάρτηση f με εδίο ορισμού το Α ονομάζεται εριοδική, όταν υάρχει ραγματικός αριθμός Τ > 0 τέτοιος ώστε: για κάθε A να ισχύει T A και T A, ισχύει f

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου Θέμα Εαναλητικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου Α. Αν α>0 με α, τότε για οοιουσδήοτε θ, θ,θ>0 και κ ισχύει log ( θ θ ) = log θ + log θ (7 μονάδες) α α α Β. Να χαρακτηρίσετε τις ροτάσεις ου ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΩΝΙΕΣ Π ΟΥ Σ ΥΝΔΕΟΝΤΑΙ Μ ΕΤΑΞΥ Τ ΟΥΣ

Γ ΩΝΙΕΣ Π ΟΥ Σ ΥΝΔΕΟΝΤΑΙ Μ ΕΤΑΞΥ Τ ΟΥΣ Γ ΩΝΙΕΣ Π ΟΥ Σ ΥΝΔΕΟΝΤΑΙ Μ ΕΤΑΞΥ Τ ΟΥΣ Γωνίες με την ίδια τελική λευρά Γωνίες με άθροισμα 180 - Γωνίες με διαφορά 180 - Γωνίες αντίθετες Γωνίες με άθροισμα 90 - Γωνίες με διαφορά 90 Γωνίες με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

Αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο

Αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο ΑΛΓΕΒΡΑ ΒΛ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 1-1. -175663 Βασικές Τριγωνομετρικές ταυτότητες Αν 0

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ...7 ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ... 9 Θεωρία... 9 Ερωτήσεις... 9 Μεθοδολογία Παραδείγματα Ασκήσεις...

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ...7 ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ... 9 Θεωρία... 9 Ερωτήσεις... 9 Μεθοδολογία Παραδείγματα Ασκήσεις... ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ...7 ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ... 9 Θεωρία... 9 Ερωτήσεις... 9 Μεθοδολογία... 16 Παραδείγματα... 6 Ασκήσεις... 33 ΕΝΟΤΗΤΑ : ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ... 39 Θεωρία... 39 Ερωτήσεις...

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας. Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οποιασδήποτε γωνίας. . Τότε ορίζουμε: ί ά ά.

Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας. Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οποιασδήποτε γωνίας. . Τότε ορίζουμε: ί ά ά. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας Αό το Γυμνάσιο ξέρουμε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: ημβ = = έάά ί Γ συνβ = = ίάά ί β α εφβ = = έάά ίάά Τριγωνομετρικοί

Διαβάστε περισσότερα

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2017

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2017 Πανελλαδικές Εξετάσεις 7 Μαθηματικά Προσανατολισμού 9/6/7 ΘΕΜΑ Α Προτεινόμενες λύσεις Α. Έστω, Δ, με

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ

Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης o ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ Ααντήσεις ΘΕΜΑ ο Α. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 6. B. Σχολικό βιβλίο, σελίδες 97 και

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1. θ (0, ). 4 α) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι μη πραγματικοί αριθμοί. β) Έστω z,z. Δ = 4εφ θ 4= 4(εφ θ 1) < 0 γιατί π

ΘΕΜΑ 1. θ (0, ). 4 α) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι μη πραγματικοί αριθμοί. β) Έστω z,z. Δ = 4εφ θ 4= 4(εφ θ 1) < 0 γιατί π ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ Δίνεται η εξίσωση: z (εφθ)z + =, θ (, ). 4 α) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι μη ραγματικοί αριθμοί. β) Έστω z,z οι ρίζες της αραάνω εξίσωσης. Αν ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

( ) Λ αφού αν διαιρέσουμε με το 2 τους όρους του 2 ης εξίσωσης το σύστημα γίνεται Ρ =

( ) Λ αφού αν διαιρέσουμε με το 2 τους όρους του 2 ης εξίσωσης το σύστημα γίνεται Ρ = 17 ο Γενικό Λύκειο Αθηνών Σχολικό έτος 01-015 ΤΑΞΗ:B' Λυκείου ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΙΟΥΝΙΟΥ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ :Αθήνα 8-6-015 ΘΕΜΑ 1ο Α. Nα αοδείξετε ότι αν ένα ολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 1 η δεκάδα θεµάτων εανάληψης 1. ίνεται το ολυώνυµο Ρ(x) = x 3 x 2 4x + 4 Να αοδείξετε ότι ο αριθµός ρ = 1 είναι ρίζα του ολυωνύµου i Να βρείτε το ηλίκο της διαίρεσης του ολυωνύµου Ρ(x) µε το ολυώνυµο

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΚΩΛΕΤΤΗ

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΚΩΛΕΤΤΗ ΚΩΛΕΤΤΗ 9- -68 8464 84767 www.iraklitos.gr ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΚΑΙ Δ ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β') ΤΕΤΑΡΤΗ 8 ΜΑΪΟΥ 6 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ 1 Να υολογίσετε τα όρια: 9 i) ii) ( ) 9 iii) 1 1 1 iv) 7 10 5 15 t t t 1 v) vi) t (t )(t ) 1 1 9 i) (ημ συν) ) 1 7 συν vii) 1 ημ viii) 1 5 i) ii) ημ 6 1 009, άν

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μαθητής ου έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα ρέει: Να γνωρίζει την έννοια της εριοδικής συνάρτησης,και να μορεί να σχεδιάζει τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων y= αημ(ωx), y=ασυν(ωx). Να μορεί

Διαβάστε περισσότερα

, x > 0. Β) να µελετηθεί η µονοτονία και τα ακρότατα της f. Γ) να δείξετε ότι η C f είναι κυρτή και ότι δεν υπάρχουν τρία συνευθειακά σηµεία

, x > 0. Β) να µελετηθεί η µονοτονία και τα ακρότατα της f. Γ) να δείξετε ότι η C f είναι κυρτή και ότι δεν υπάρχουν τρία συνευθειακά σηµεία f ( t ) ίνεται η συνεχής συνάρτηση f : [, + ) R µε: f ( ) = + ( + ), > t Α ) να δείξετε ότι: α) f ( ) = ln +, > β) f ( ) = Β) να µελετηθεί η µονοτονία και τα ακρότατα της f Γ) να δείξετε ότι η C f είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 3ο Κεφάλαιο - Τριγωνομετρία - Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες. , να βρεθούν

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 3ο Κεφάλαιο - Τριγωνομετρία - Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες. , να βρεθούν ΠΑΝΤΕΛΗΣ ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ B Λυκείου Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3ο - Φ Υ Λ Λ Ο Νο ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Αν 3 και < x < 3, να βρεθούν οι ΠΡΟΣΟΧΗ : Βασικές Τριγωνομετρικές Ταυτότητες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ο ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

Κεφάλαιο 2 ο ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Κεφάλαιο ο ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Σε προηγούμενες τάξεις γνωρίσαμε την έννοια της συνάρτησης και μελετήσαμε ορισμένες βασικές συναρτήσεις. Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετήσουμε στη γενική τους μορφή ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

1. Ένα σώµα ταλαντώνεται κατακόρυφα στο άκρο ενός ελατηρίου. Η απόσταση του σώµατος

1. Ένα σώµα ταλαντώνεται κατακόρυφα στο άκρο ενός ελατηρίου. Η απόσταση του σώµατος 1. Ένα σώµα ταλαντώνεται κατακόρυφα στο άκρο ενός ελατηρίου. Η αόσταση του σώµατος αό το έδαφος (σε cm), δίνεται αό την συνάρτηση f(t)=1ηµ t +13, όου t ο χρόνος σε ώρες. α) Να βρείτε την ερίοδο της ταλάντωσης.

Διαβάστε περισσότερα

3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ . Ι ΤΡΙΓΩΝΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 8 8 A Oµάδας.i) Να σχεδιάσετε τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων, στο ίδιο σύστηµα αξόνων: f() = ηµ, g() = 0,5.ηµ, h() = ηµ, 0 0 ηµ

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων. Παρασκευή 9 Ιουνίου 2017 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Λύσεις των θεμάτων. Παρασκευή 9 Ιουνίου 2017 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Παρασκευή 9 Ιουνίου 7 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (/6/7, 6:3) Οι ααντήσεις και οι λύσεις είναι αοτέλεσμα συλλογικής δουλειάς

Διαβάστε περισσότερα

1.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία

1.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία 0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία Ένας αρατηρητής βρίσκεται σε μια όχθη ενός οταμού και βλέει στην αέναντι όχθη ένα δέντρο υό γωνία ύψους 60 ο Αν αομακρυνθεί κατά 40m, βλέει το ίδιο δέντρο υό γωνία

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ - ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ http://mathhmagic.blogspot.com/ Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί (Εαναλητικά) Ε ί εδη γωνία είναι η κλίση µεταξύ δυο

Διαβάστε περισσότερα

(Ενδεικτικές Απαντήσεις) ΘΕΜΑ Α. Α1. Βλέπε απόδειξη Σελ. 262, σχολικού βιβλίου. Α2. Βλέπε ορισμό Σελ. 141, σχολικού βιβλίου

(Ενδεικτικές Απαντήσεις) ΘΕΜΑ Α. Α1. Βλέπε απόδειξη Σελ. 262, σχολικού βιβλίου. Α2. Βλέπε ορισμό Σελ. 141, σχολικού βιβλίου ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 18 ΜΑΪΟΥ 16 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) (Ενδεικτικές Ααντήσεις)

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ α ) η μ + συν = γ ) εφ + =, ¹ κπ+ sun hm β ) εφ =, ¹ κπ+ sun sun δ ) σφ =, ¹

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 3x x 3 3 5x x β) 4 3 x x x 0

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΕΡΟΣ A ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφ. 1, Στρόβολος 3, Λευκωσία Τηλ. 357-37811 Φαξ: 357-3791 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 13 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ημερομηνία: Πέμτη, 3/5/13

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέματα και Απαντήσεις

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέματα και Απαντήσεις ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέματα και Ααντήσεις Ειμέλεια: Ομάδα Μαθηματικών http://www.othisi.gr ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 Παρασκευή, 9 Ιουνίου 7 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι. Να αντιστοιχίσετε καθένα από τα συστήματα: (Σ 1 ): { (Σ 2 ): { (Σ 3 ): { (Σ 4 ): { με εκείνη από τις απαντήσεις Α, Β, Γ που νομίζετε ότι είναι η σωστή.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό σας. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Να συμπληρώσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. εφχ = εφθ χ = κ + θ χ = κ π + θ ( τύποι λύσεων σε ακτίνια )

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. εφχ = εφθ χ = κ + θ χ = κ π + θ ( τύποι λύσεων σε ακτίνια ) ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ηµχ = ηµθ χ = 0 0 κ + θ ή χ = 0 0 κ + 80 0 - θ ( τύοι λύσεων σε µοίρες ) χ = κ + θ ή χ = κ + - θ ( τύοι λύσεων σε ακτίνια ) κ ακέραιος συνχ = συνθ χ = 0 0 κ ± θ ( τύοι λύσεων

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα στα Μαθηματικά Προσανατολισμών Γ

Επαναληπτικό Διαγώνισμα στα Μαθηματικά Προσανατολισμών Γ ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Ποια συνάρτηση ονομάζεται αρχική ή αράγουσα της f στο ; Μονάδες 4 Α. Να διατυώσετε το θεώρημα Rolle. Μονάδες (1+1+1+1)4 Α3. Να διατυώσετε και να

Διαβάστε περισσότερα

Tριγωνομετρικές εξισώσεις

Tριγωνομετρικές εξισώσεις Tριγωνομετρικές εξισώσεις Εχουμε μάθει να λύνουμε εξισώσεις ρώτου βαθμού και δευτέρου βαθμού ου είναι ισότητες ου εριέχουν έναν άγνωστο και ροσαθούμε να βρούμε για οιά (ή οιές) τιμές αυτού του αγνώστου

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Βασικές Τριγωνομετρικές Εξισώσεις

1.2 Βασικές Τριγωνομετρικές Εξισώσεις 1. Βασικές Τριγωνομετρικές Εξισώσεις 1 η Μορφ Ασκσεων: Μας ζητούν να λύσουμε μια εξίσωση της μορφς: = α, α 0 = α, α 0 εφx = α, α 0 σφx = α, α 0 1. Να λυθούν οι εξ ισώσεις: i. ημ x =, ii. ημ x= 0, iii.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Το ακτίνιο ως μονάδα μέτρησης γωνιών: Το ακτίνιο (ή rad) είναι η γωνία που, όταν γίνει επίκεντρη κύκλου (Ο, ρ), βαίνει σε τόξο που έχει μήκος ίσο με την ακτίνα

Διαβάστε περισσότερα

( y) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΘΕΜΑ Α Α1. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 135

( y) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΘΕΜΑ Α Α1. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 135 ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 5 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 07 Α. α. Ψ β. Δίνεται αντιαράδειγμα στο σχολικό βιβλίο σελίδα 99, αράγραφος: «Παράγωγος και συνέχεια». Α.

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ. Μαθηματικά. Β μέρος. Λύσεις των ασκήσεων

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ. Μαθηματικά. Β μέρος. Λύσεις των ασκήσεων ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ Μαθηματικά Β μέρος Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σουδών και Σουδών Οικονομίας & Πληροφορικής Λύσεις των

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΥΡΕΣΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΥΡΕΣΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόουλου ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΥΡΕΣΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Α. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ολοκληρώνοντας το 1 ο κεφάλαιο στα Μαθηματικά της Γενικής Παιδείας

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 12: ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 12: ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..9: Ασύμτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Βασικές Τριγωνομετρικές Εξισώσεις

1.2 Βασικές Τριγωνομετρικές Εξισώσεις . Βασικές Τριγωνομετρικές Εξισώσεις. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) ημ = ημ = i = iv) =. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) εφ = εφ = i σφ = iv) σφ =. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) ημ = = i εφ = iv) σφ = 4. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνοµετρικές εξισώσεις - Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων

Τριγωνοµετρικές εξισώσεις - Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων 1 Τριγωνοµετρικές εξισώσεις - Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόουλος ρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr ΠΡΟΛΟΓΟΣ Στην εργασία αυτή εισηµαίνονται και αναλύονται

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Παρουσίαση ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Παρουσίαση δ Θεωρητικά θέµατα Ας δούµε την είλυση ενός αραµετρικού γραµµικού συστήµατος. Θέµα Θα λύσουµε το σύστηµα D = D D y λ λ λ = λ = λ λ = λ + λ (Σ) : λ y = λ λ y = λ = λ(λ )

Διαβάστε περισσότερα

α) Αν ονομάσουμε x το πλάτος του Νείλου στην συγκεκριμένη θέση ΑΒ έχουμε: Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ εφ45 o = 1 = ΒΓ = x

α) Αν ονομάσουμε x το πλάτος του Νείλου στην συγκεκριμένη θέση ΑΒ έχουμε: Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ εφ45 o = 1 = ΒΓ = x ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΗ η Αιγύτιοι μηχανικοί, για να ροσδιορίσουν το λάτος του οταμού Νείλου μεταξύ δύο σημείων A και B, ροσδιόρισαν με το θεοδόλιχο μια διεύθυνση κάθετη ρος την

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 6ος 1η ΕΚΔΟΣΗ

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 6ος 1η ΕΚΔΟΣΗ Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Τόμος 6ος 1η ΕΚΔΟΣΗ Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Καθηγητής Πανειστημίου Αθηνών Κατσαργύρης Βασίλειος Καθηγητής μαθηματικών Βαρβακείου Πειραμ. Λυκείου Παασταυρίδης

Διαβάστε περισσότερα

Β Γενική Τριγωνομετρία

Β Γενική Τριγωνομετρία Β Γενική Τριγωνομετρία 40 Γενικευμένη γωνία - Γενικευμένα τόξα - Το ακτίνιο Τριγωνομετρικός κύκλος - Τριγωνομετρικοί αριθμοί γενικευμένης γωνίας 1. Η γωνία ω του παρακάτω σχήματος είναι θετική. α) Συνδέστε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΑΣ ΓΩΝΙΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΑΣ ΓΩΝΙΩΝ Υπολογισμός παραστάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΑΣ ΓΩΝΙΩΝ. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων : 4 6 6 4 δ) ε) 4 6 4. Να υπολογίσετε τις τιμές των

Διαβάστε περισσότερα

ΜΔΕ Άσκηση 6 Α. Τόγκας

ΜΔΕ Άσκηση 6 Α. Τόγκας Πρόβλημα 15. Για κάθε μια αό τις ακόλουθες αρχικές τιμές θερμοκρασίας i) να βρεθεί η λύση στην μορφή μια σειράς Fourier της εξίσωσης της θερμότητας με εριοδικές συνοριακές συνθήκες u t = u x x < x

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρία ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΡΙΠΙΔΗΣ 2 ΑΝΘΟΥΛΑ ΣΟΦΙΑΝΟΠΟΥΛΟΥ

Τριγωνομετρία ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΡΙΠΙΔΗΣ 2 ΑΝΘΟΥΛΑ ΣΟΦΙΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΤΟ ΒΑΣΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ: ημ χ+συν χ= ημ χ=-συν χ συν χ=- ημ χ εφχ + σφ χ = εφχ ημχ συνχ = σφχ = ημ χ εφχσφχ σφχ = = συνχ ημχ + εφ χ = συν χ Γωνία χ Τριγωνομετρικοί Αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Α. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΜΕΡΟΣ Α. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΡΟΣ Α ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών. Ονομάζεται αλγεβρική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ. ,δηλαδή ορίζεται τουλάχιστον σ ένα από τα σύνολα (α, x. lim. lim g(x) , λ σταθερά lim g(x) (ισχύει και για περισσότερες από 2

ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ. ,δηλαδή ορίζεται τουλάχιστον σ ένα από τα σύνολα (α, x. lim. lim g(x) , λ σταθερά lim g(x) (ισχύει και για περισσότερες από 2 ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ Έστω μια συνάρτηση f η οοία ορίζεται όσο κοντά θέλουμε στο,δηλαδή ορίζεται τουλάχιστον σ ένα αό τα σύνολα (α, ) (,β) ή (α, ) ή (,β). Όταν οι τιμές της f()ροσεγγίζουν όσο θέλουμε τον ραγματικό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύου «Σωστό - Λάθος». * Αν = α + βi, α, β R και = 0, τότε α = 0 και β = 0. Σ Λ. * Αν = α + βi και αβ 0, τότε = α β i. Σ Λ. * Αν = κ + λi κ, λ R, τότε Re () =

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. (Ενδεικτικές Απαντήσεις)

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. (Ενδεικτικές Απαντήσεις) ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 17 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (Ενδεικτικές Ααντήσεις) ΘΕΜΑ Α Α1. Αόδειξη σχολικού βιβλίου σελ 135 Α. α. Ψευδής

Διαβάστε περισσότερα

σώμα από τη θέση ισορροπίας του με οριζόντια ταχύτητα μέτρου 4 m/s και με φορά προς τα δεξιά.

σώμα από τη θέση ισορροπίας του με οριζόντια ταχύτητα μέτρου 4 m/s και με φορά προς τα δεξιά. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕ ΕΛΑΤΗΡΙΑ. Ένα σώμα μάζας m = kg βρίσκεται άνω σε λείο δάεδο και είναι δεμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k = N/m, το άλλο άκρο του οοίου είναι στερεωμένο σε κατακόρυφο

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

Γ 2 κριτ.οµοιοτ. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΥΣΚΟΛΙΑΣ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ / ΤΑΞΗ : Β ΛΥΚΕΙΟΥ. ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ «Θέµατα Β»

Γ 2 κριτ.οµοιοτ. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΥΣΚΟΛΙΑΣ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ / ΤΑΞΗ : Β ΛΥΚΕΙΟΥ. ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ «Θέµατα Β» ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΥΣΚΟΛΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ «Θέµατα Β» Άσκηση GI_V_GEO 899 [Παράγραφος 8.] Στο αρακάτω σχήµα τα τµήµατα ΑΕ και Β τέµνονται στο Γ. Να αοδείξετε ότι τα τρίγωνα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ x. Η f είναι συνεχής στο x0. lim lim 1. Παρατηρούμε, δηλαδή, ότι μια

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ x. Η f είναι συνεχής στο x0. lim lim 1. Παρατηρούμε, δηλαδή, ότι μια ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 7 ΘΕΜΑ A A. Αοδεικνύουμε το θεώρημα στην ερίτωση ου είναι f () >. Έστω, με. Θα δείξουμε ότι f ( ) f ( ). Πράγματι, στο διάστημα [, ] η f ικανοοιεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 6 Αό τα κάτωθι Θέµατα καλείσθε να λύσετε το ο ου εριλαµβάνει ερωτήµατα αό όλη την ύλη του

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ α α (ii)

ΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ α α (ii) ΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1-13 1 Ποιοι αριθμοί ονομάζονται ομόσημοι και ποιοι ετερόσημοι; 1 Δίνονται οι αριθμοί: 1,,.1,,, 9, + 3, 3 3.1 Ποιοι από αυτούς είναι θετικοί και ποιοι αρνητικοί;.

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ

Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Β ημφ, εφφ σφφ Μ Δ συνφ Α www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 1 N Β, 90 ο Α, ο H O 1ο 3ο E Σ Δ, 180 ο 360 ο Ν, 70 ο 4ο 1 ο Τεταρτημόριο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να

Διαβάστε περισσότερα

γραφική παράσταση της συνάρτησης f, τον άξονα x x και τις ευθείες x = 1 και x = 2. lim lim (x 3) ) = 9α οπότε: (1 e ) (x 3) (1 e )(x 3) (x 3)

γραφική παράσταση της συνάρτησης f, τον άξονα x x και τις ευθείες x = 1 και x = 2. lim lim (x 3) ) = 9α οπότε: (1 e ) (x 3) (1 e )(x 3) (x 3) ΘΕΜΑΤΑ Έστω f µια ραγµατική συνάρτηση µε τύο f() α) Αν η f είναι συνεχής, να αοδείξετε ότι α - 9 α,, > β) Να βρείτε την εξίσωση της εφατοµένης της γραφικής αράστασης C f της συνάρτησης f στο σηµείο Α(4,

Διαβάστε περισσότερα

Νίκος Ζανταρίδης. Χρήσιμες γνώσεις Τριγωνομετρίας. Λυμένες Ασκήσεις. Προτεινόμενες Ασκήσεις

Νίκος Ζανταρίδης. Χρήσιμες γνώσεις Τριγωνομετρίας. Λυμένες Ασκήσεις. Προτεινόμενες Ασκήσεις Νίκος Ζανταρίδης ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΜΕ ΤΗΝ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΗΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Χρήσιμες γνώσεις Τριγωνομετρίας Λυμένες Ασκήσεις Προτεινόμενες Ασκήσεις Αύγουστος 04 Πρόλογος Στο μικρό αρόν όνημα καταβλήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

4.3 ΟΓΚΟΣ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ

4.3 ΟΓΚΟΣ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ ΜΡΟΣ Β 4. ΟΓΚΟΣ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ 81 4. ΟΓΚΟΣ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ Μονάδες μέτρησης όγκου Ως µονάδα µέτρησης όγκου θεωρούµε έναν κύο µε ακµή µήκους 1 µέτρο(m). Ο όγκος του ισούται µε 1 κυικό µέτρο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 6 17 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ Θέμα Α Α1 Παραομή στο σχολικό βιβλίο σελίδα 135.

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου.

Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου. Άλγεβρα Β Λυκείου Στέλιος Μιχαήλογλου wwwaskisopolisgr Το φυλλάδιο αυτό δημιουργήθηκε για να χρησιμοποιηθεί ως επέκταση του σχολικού βιβλίου και όχι αυτόνομα δ έκδοση 0--06 Συστήματα Γραμμικές Εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου.

Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου. Άλγεβρα Β Λυκείου Στέλιος Μιχαήλογλου wwwaskisopolisgr Το φυλλάδιο αυτό δημιουργήθηκε για να χρησιμοποιηθεί ως επέκταση του σχολικού βιβλίου και όχι αυτόνομα δ έκδοση 0--06 Συστήματα Γραμμικές Εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Α. Τριγωνοµ ετρικοί αριθµ οί οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Α. Τριγωνοµ ετρικοί αριθµ οί οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Α Τριγωνοµ ετρικοί αριθµ οί οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου 18 Τριγωνοµετρικοί αριθµοί που συνδέονται µε τις οξείες γωνίες ενός ορθογωνίου τριγώνου 1. α) Με βάση το διπλανό σχήµα να χαρακτηρίσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 2017 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ TΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 2017 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ TΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 7 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ TΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 9/6/7 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΤΣΙΤΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7

Διαβάστε περισσότερα

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Τριγωνομετρικοι αριθμοι οξειων γωνιων

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Τριγωνομετρικοι αριθμοι οξειων γωνιων Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Τριγωνομετρικοι αριθμοι οξειων γωνιων 22 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 Κλίση ευθείας Όλοι έχουμε στο δρόμο τα παρακάτω σήματα, που από την εμπειρία μας καταλαβαίνουμε ότι πλησιάζουμε σε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ- ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1(ΑΝΑΛΥΣΗ)

ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ- ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1(ΑΝΑΛΥΣΗ) ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ- ΦΥΛΛΑΔΙΟ (ΑΝΑΛΥΣΗ) Ι. Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις και οι αντίστροφές τους. Η συνάρτηση = sin. Η συνάρτηση sin : -, [,], = sin είναι, αφού (sin ) = cos >, για κάθε -,. Άρα

Διαβάστε περισσότερα

Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν

Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν Α λ γ ε β ρ α B Λ υ κ ε ι ο υ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Α λ γ ε β ρ α B Λ υ κ ε ι ο υ Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α 16950 16954

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις με αριθμούς ονομάζεται αριθμητική παράσταση. Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις

Διαβάστε περισσότερα