Α λ γ ε β ρ α Α Λ υ κ ε ι ο υ Α λ γ ε β ρ α B Λ υ κ ε ι ο υ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Α λ γ ε β ρ α Α Λ υ κ ε ι ο υ Α λ γ ε β ρ α B Λ υ κ ε ι ο υ"

Transcript

1 Κ Κ α α ι ι τ τ ο ο Λ Λ υ υ σ σ α α ρ ρ ι ι Α Α λ λ λ λ ι ι ω ς ς!!!!!! Α λ γ ε β ρ α Α Λ υ κ ε ι ο υ Α λ γ ε β ρ α B Λ υ κ ε ι ο υ

2 Ε ι μ ε λ ε ι α Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς w w w. d r m a t h s 8. b l o g s p o t. c o m w w w. m a t h s 8. w o r d p r e s s. c o m e m a i l : d r m a t h s 8. g m a i l. c o m

3 Σ υ σ τ η μ α τ α Α σ κ η σ η. - y Να λυσετε το συστημα + y αλγεβρικα i γραφικα Με αντικατασταση - y + y + y + (- ) + y +y+ y y - y - y - Με αντιθετους συντελεστες (+) - y y - y - y - + y 6 Με συγκριση - y y - y - y - y - y - + y y Με οριζουσες - D - (-) + D 6 - D D - (-) + 6 (,y) (,- ) D y - - D D y i y y αριστανει ευθεια ε y y - + y y + αριστανει ευθεια ε y ε - M Η γραφικη λυση του συστηματος ειναι το σημειο τομης Μ των ευθειων ε, ε ε -

4 Σ υ σ τ η μ α τ α Α σ κ η σ η. Να λυσετε τα συστηματα y y i - y - + y 8 7y y 7y 7y y + y + y 7y + 8y 6 y 6 y y 8 Mια αλλη αντιμετωιση + y () () y + y y y 8 i - y - (+) ( -) (y - ) - y y y 8 + y 8 + y 8 (-) 6y + y y 6 y Α σ κ η σ η. Να λυσετε τα συστηματα - y y i - y y - - y y y + 6 y y y 8-8

5 Σ υ σ τ η μ α τ α i 7 D D - 87 D - 9 D (,y) (,- ) 8 - D y 6 y - 7 D - 9 D y 8 - y y y y y + y 9-8 D 6 - D 6 6 D D (, y) (, ) 9 D y 6 y 8 6 D D y 9 Α σ κ η σ η. Να λυσετε τα συστηματα - y - y - i y + - y + - y y + y + y + Συστημα αδυνατο - y - - y -6 y + - y i y + y + y - - y + - y + y - To συστημα εχει αειρες λυσεις της μορφης : (, y) (y -, y), y Α σ κ η σ η. Να λυσετε τα συστηματα με τη μεθοδο των οριζουσων + y 7-8 i - y y + y +

6 Σ υ σ τ η μ α τ α i D D D - D D y - y 7 D - D y y y 8 + y + + y - - D 9 + D (,y) (, ) 8 - D D - (, y) (, - ) - D y - y - 8 D D y - Α σ κ η σ η. 6 Προσδιοριστε το ληθος των λυσεων των αρακατω συστηματων, χωρις να τα λυσετε. - y 6 + 7y i - y - 6y 8 D , αρα το συστημα εχει μια μονο λυση i ii + y y D , D , D y Αρα το συστημα εχει αειρες λυσεις ii D , D -, D y Αρα το συστημα ειναι αδυνατο.

7 Σ υ σ τ η μ α τ α Α σ κ η σ η. 7 Να λυσετε τα συστηματα ( - ) + y - + ( + )y - - i ( + ) + y 7 + ( - )y D - + ( -)( + ) D ( + ) - (- -) Dy - ( -)( + ) + - ( -) To συστημα γινεται ( - ) + y - ( - ) ( + ) + y ( + ) - ( + ) + ( + )y ( + )y y( + ) - ( + ) + ( + )y - ( + ) - ( + )( + y) + ( + )y ( + )y - ( + ) - ( + )( +y) Aρα οι αειρες λυσεις ειναι της μορφης : (, y) (-( + )( + y), y), y i D + - ( -)( + ) D 7 7 ( -) Αρα το συστημα ειναι αδυνατο. Α σ κ η σ η. 8 Να λυσετε τα συστηματα - y - ω - y - ω + y - ω i - y + ω - y + ω - y + ω ii y + - ω + y + ω + y - ω 6

8 6 Σ υ σ τ η μ α τ α - y - ω (a) (a) - (b) Aν - y - ω (b) αο ροκυτει : (c) - (b) + y - ω (c) + y 9 y 9 - y 9 - y y + (9 - ) y (α) : - - ω ω ω - i - y + ω (d) (d) - (e) Aν - y + ω (e), αο ροκυτει : (e) - (f) - y + ω (f) + 8y - + y - Το συστημα ειναι αδυνατο. - - y + y - ii y + - ω + y - ω 6 (p) - (p) + (q) Aν + y + ω + y + ω (q), αο ροκυτει : (q) - (r) + y - ω 6 + y - ω 6 (r) - + ω ω - ω + ω + Το συστημα εχει αειρες λυσεις. (p) : (ω + ) + y - ω 6 ω + + y - ω 6 y - 6ω + y Η μορφη των αειρων λυσεων ειναι : (, y, ω) (ω +,- 6ω +, ω), ω. Α σ κ η σ η. B Να βρειτε τις εξισωσεις των ευθειων ε και ε του διλανου σχηματος. i Ποιο συστημα οριζουν οι ε και ε και οια ειναι η λυση του συστηματος; ε y ε - Εστω ε : yα + β

9 Σ υ σ τ η μ α τ α 7 Το σημειο (,) ε α + β Το σημειο (, ) ε α + β Αρα ε : Εστω ε y - + yα + β : Το σημειο (,- ) ε Το σημειο Αρα i ε (, ) ε : y - Το συστημα ειναι: + y - y β y + + y - α + β α + β Η λυση (α το σχημα): (, y) (, ) - α α - β - α - α Α σ κ η σ η. Β Ενα ξενοδοχειο εχει 6 δωματια, αλλα δικλινα και αλλα τρικλινα και συνολικα 68 κρεβατια. Ποσα ειναι τα δικλινα και οσα τα τρικλινα δωματια; Εστω το ληθος των δικλινων και y το ληθος των τρικλινων δωματιων. Τοτε + y y 6 - y y 68 (6 - y) + y 68 - y + y 68 y 6 y 6 Αρα, τα δικλινα δωματια ειναι, ενω τα τρικλινα 6. Α σ κ η σ η. Β Σε εναν αγωνα το αιδικο εισιτηριο κοστιζει, και το εισιτηριο ενος ενηλικα. Τον αγωνα αρακολουθησαν ατομα και εισραχτηκαν. Να βρειτε οσα ηταν τα αιδια και οσοι οι ενηλικες ου αρακολουθησαν τον αγωνα. Εστω το ληθος των αιδιων και y το ληθος των ενηλικων. Τοτε (+) + y - - y y - 7, + y + 8y y y 7 y 7 Αρα, τα αιδια ειναι 7, ενω οι ενηλικες.

10 8 Σ υ σ τ η μ α τ α Α σ κ η σ η. Β Η αντισταση R ενος συρματος ως συναρτηση της θερμοκρασιας Τα μορει να βρεθει με τον τυο RαΤ + β. Αν στους ο C η αντισταση ηταν, Ω και στους 8 ο C ηταν, Ω, να βρειτε τα α, β. Η εξισωση RαΤ +β εαληθευεται για Τ, R, :, α + β () Η εξισωση RαΤ +β εαληθευεται για Τ 8, R, :, α 8 + β () Λυνουμε το συστημα των (), (). (-) α + β, α + β, + β β 6 6 β 6 8α + β, 6α, α α 6 6 α 6 Α σ κ η σ η. Β Ενας χημικος εχει δυο διαλυματα υδροχλωρικου οξεως, το ρωτο εχει εριεκτικοτητα % σε υδροχλωρικο οξυ και το δευτερο εχει εριεκτικοτητα 8% σε υδροχλωρικο οξυ. Ποια οσοτητα αο καθε διαλυμα ρεει να αναμειξει ωστε να αρει ml διαλυμα εριεκτικοτητας 68% σε υδροχλωρικο οξυ ; Εστω, y η οσοτητα του ρωτου και δευτερου διαλυματος, αντιστοιχα. Αο το ρωτο αιρνει α το νεο διαλυμα Ετσι ισχυει : + y 68 8 ml υδροχλωρικο οξυ, α το δευτερο y 68 ml. 8 ml και y y 68 () Η συνολικη οσοτητα του νεου διαλυματος ειναι + y () Λυνουμε το συστημα των (), () : + y - y - y - y + 8y 68 ( - y) + 8y 68 - y + 8y 68 y 8-6 y 6 y 6 Α σ κ η σ η. 6 Β Δινονται οι ευθειες ε : + y και ε : + y α, α. Να βρειτε τους συντελεστες διευθυνσης των ε και ε. i Υαρχουν τιμες της αραμετρου α για τις οοιες οι ευθειες τεμνονται; ii Για οιες τιμες της αραμετρου α οι ευθειες ειναι αραλληλες;

11 Σ υ σ τ η μ α τ α 9 + y + y α i Εειδη για καθε α y + y + α ειναι y y λ λ + + α, ετσι λ - -, ετσι λ -, οι ευθειες συμιτουν η ειναι αραλληλες. Αρα δεν υαρχουν τιμες της αραμετρου α για τις οοιες οι ευθειες τεμνονται. ii Πρεει α α α Α σ κ η σ η. 7 Β Να βρειτε, για τις διαφορες τιμες του α i ε ε : α + y α : α y α και και α + y α Για το συστημα των ε, ε : +αy ε ε, τα κοινα σημεια των ευθειων : : + αy : + αy α D α - (α + )(α -) α α D α - (α -)(α + α + ) α α α D α - α - α(α -) y Για D δηλαδη (α + )(α - ) η α - και α, το συστημα εχει τη λυση: (,y) D (a -) (a + a + ) - a (a -) a + a + a,, - D (a + ) (a -) (a + ) (a -) a + a + D y, D Ετσι οι ευθειες ε, ε τεμνονται στο σημειο a + a + a, - a + a +. Για D δηλαδη (α + )(α - ) η α - η α ειναι: Για α - το συστημα γινεται: Για α το συστημα γινεται: + y + y, δηλαδη οι ευθειες ε, ε ταυτιζονται. - y - - y, δηλαδη οι ευθειες ε, ε αραλληλες.

12 Σ υ σ τ η μ α τ α i α - y α Για το συστημα των ε, ε : +αy α - D α + για καθε α α - D α + α α α D α - α y Οοτε το συστημα εχει μοναδικη λυση για καθε α την : D D y α + (,y),, (, ) D D α + α + Αρα ε, ε εχουν μοναδικο κοινο σημειο το (, ) για καθε α. Α σ κ η σ η. 8 Β Να λυσετε τα συστηματα : (λ - ) - y - (λ + )y -, λ i (μ - ) + y + (μ + )y, μ λ - - D (λ -)(-λ -) λ λ λ - - D - λ λ λ - λ - D - λ λ - y - Για D δηλαδη (,y) - λ + 9 η λ - και λ, το συστημα εχει τη λυση: D D - λ - - λ - y,, D D - λ λ + 9 Για D δηλαδη i Για α - το συστημα γινεται: Για α το συστημα γινεται: - λ + 9 η λ - η λ ειναι: - - y - - y, αδυνατο. + y y - y - y, αδυνατο. - y - - y -

13 Σ υ σ τ η μ α τ α μ - D (μ - )(μ + ) - μ - - μ - 9 (μ + )(μ - ) μ + D μ + - μ - (μ - ) μ + μ - D μ - - μ - (μ - ) y Για D δηλαδη (μ +)(μ -) η μ - και μ, το συστημα εχει τη λυση: (,y) D D y (μ-) (μ-),,, D D (μ + ) (μ - ) (μ + ) (μ - ) μ + μ + Για D δηλαδη (μ +)(μ -) Για μ - το συστημα γινεται: Για μ το συστημα γινεται: - λ + 9 η μ - η μ ειναι: - + y - y -, αδυνατο. - y - y + y + y, Το συστημα εχει αειρες λυσεις της μορφης: (, y) ( - y, y) με y. Α σ κ η σ η. 9 Β Οι κυκλοι του διλανου σχηματος εφατονται εξωτερικα ανα δυο και ισχυει Ο Ο και Ο ακτινες των τριων κυκλων. Ο Ο 6, Ο 7. Να υολογισετε τις O z z y O y O Εστω, y, z οι ακτινες των κυκλων. Τοτε Ο Ο 6 + y 6 () Ο Ο 7 y + z 7 () Ο Ο z + () Aο () + () + () ροκυτει : + y + z 8 + y + z 9 () Ετσι () () : z () () : () () : y

14 Σ υ σ τ η μ α τ α Α σ κ η σ η. Β Στο διλανο σχημα εχουμε ενα τριγωνο ΑΒΓ και τον εγγεγραμμενο του κυκλο ου εφατεται των γ Α ω Ε β λευρων στα σημεια Δ, Ε και Ζ. Να υολογισετε τα τμηματα ΑΖ, ΒΔ y και ΓΕ z, συναρτησει Ζ y των λευρων α, β και γ. B Δ Γ α ΒΔ ΒΖ, ΓΔ ΓΕ y, ΑΕ ΑΖ ω. Τοτε + y a () y + ω β () ω + γ () Aο () + () + () ροκυτει : + y + ω α +β + γ + y + ω (α + β + γ) () Ετσι () () : ω (α + β + γ) - α (- α + β + γ) () () : (α + β + γ) -β (α - β + γ) () () : y (α + β + γ) - γ (α + β - γ) Α σ κ η σ η. Β Ενας χημικος εχει τρια διαλυματα αο το ιδιο οξυ. Το ρωτο εριεχει % οξυ, το δευτερο % οξυ και το τριτο % οξυ. Ο χημικος θελει να αρασκευασει lit διαλυμα εριεκτικοτητας % σε οξυ, χρησιμοοιωντας και τα τρια διαλυματα και μαλιστα η οσοτητα του ρωτου διαλυματος να ειναι διλασια αο την οσοτητα του τριτου διαλυματος. Να βρειτε οσα λιτρα αο καθε διαλυμα θα χρησιμοοιησει. Εστω, y, z η οσοτητα του ρωτου, δευτερου και τριτου διαλυματος, αντιστοιχα. Αο το ρωτο αιρνει z ml οξυ, α το δευτερο y ml, α το τριτο ml οξυ και α το νεο διαλυμα ml oξυ. + y + z + 8y + z 66 () Ετσι ισχυει: Η συνολικη οσοτητα του νεου διαλυματος ειναι + y + z ()

15 Σ υ σ τ η μ α τ α A την υοθεση ειναι z () Λυνουμε το συστημα των (), () και () : + y + z z + y + z z + y + y + z 66 z + y + z 66 z + y 66 z z z y - z y - z y - z z + ( - z) 66 z + - z 66 z z z z y -, y -, y 7,68 z, z, z,,,88,88 Α σ κ η σ η. Β Στα αρακατω σχηματα δινονται οι γραφικες αραστασεις τριων τριωνυμων, δηλαδη συναρτησεων της μορφης y α y yf() + β + γ. Να βρειτε τα τριωνυμα αυτα. y y K(,) yg() yh() K(,) - Eιναι f() α + β + γ γ γ f() - α + β + γ - α + (- α) + - α + (- α) + - β β - α β - α β - α - α γ γ γ α - 8α - - α - α y - + β - α β - α β - Eιναι g(-) α (- ) + β (- ) + γ α - β + γ α + a + γ g() α + β + γ α + β + γ α - a + γ β β - α β - α β - α - α

16 Σ υ σ τ η μ α τ α α + γ α + + a α - α - - a + γ γ + a γ + a γ β - α β - α β - α β Eιναι y h() α + β + γ γ γ h() α + β + γ α + β + α + β - h() α + β + γ 6α + β + γ α + β - γ γ γ γ α - - α - - α - α α β - - α β - - α β - - β - y - + Α σ κ η σ η. Να λυσετε το συστημα + y + y + y + y + y ( - y) + y + ( - y)y - y + y + y + y - y + y - y - y Δ y - y - ± y y - - y y - y Α σ κ η σ η. Να λυσετε τα συστηματα : y + y 9 i - y - y και να ερμηνευσετε γεωμετρικα τα αοτελεσματα. ii + y y y y y y y - y ( - ) - y y διλη λυση. διλη ριζα

17 Σ υ σ τ η μ α τ α Γεωμετρικη ερμηνεια: Η αραβολη y και η ευθεια y εφατονται (το συστημα εχει διλη λυση) στο σημειο Α( i, ) y ± ± - y y y y y y (,y) (, ) ± y (,y) (-,- ) Γεωμετρικη ερμηνεια: O κυκλος + y 9 (κεντρου Ο(,) και ακτινας ρ ) και η ευθεια y (δι- χοτομος Ι, ΙΙΙ τεταρτημοριου) τεμνονται στα σημεια Β(, ),Γ( -,- ). ii y + y y y y ( - ) - ( - ) ( - )( - ) y y y ± ± (, y) (,) η (-,- ) η (, ) η (-,- ) y y Γεωμετρικη ερμηνεια: O κυκλος + y 9 (κεντρου Ο(,) και ακτινας ρ ) και η υερβολη τεμνονται στα σημεια Δ(,), Ε(-,- ), Ζ(, ), Η(-,- ). y Α σ κ η σ η. Αο τους τυους S υ t + α υ + υ t και υ υ + αt, να δειξετε οτι S t Ειναι

18 6 Σ υ σ τ η μ α τ α υ-υ υ - υ Sυ t + t Sυ t + t Sυ t + a t t υ - υ υ - υ υ υ + at a a υ - υ υ + υ - υ υ + υ S (υ + ) t S t S t υ - υ υ - υ a a υ-υ a t t t t t Α σ κ η σ η. Β Να λυσετε το συστημα y + + y και να ερμηνευσετε γεωμετρικα τα αοτελεσματα. y + y + y + + y y + + y y + y - y + Δ y y ± - ± 8 y - y y (διλη ριζα) (, y) (,) η (-,) η (,- ) Γεωμετρικη ερμηνεια: O κυκλος + y και η αραβολη τεμνονται στα σημεια Α(,) και y - Β(-,), ενω εφατονται στο σημειο Γ(,- ) ου ειναι διλη λυση του συστηματος. Α σ κ η σ η. Β Να λυσετε το συστημα : y - y - y y - + y y - y - y - + y y - y - + y - + y - y - y y( - y - ) y - +

19 Σ υ σ τ η μ α τ α 7 y y y ( - ) - ( - ) - ( - + ) y - + y - + y - + y y y ( - )( - ) ( - )( - ) ( - )( - ) ( - ) - ( - ) ( - )( - ) y - + y - + y - + y y y y - - y y - - y - + y - y - + y - + y - + y Α σ κ η σ η. Β Το εμβαδον ενος ορθογωνιου ειναι cm. Αν η μια διασταση του ορθογωνιου αυξηθει κατα cm, ενω η αλλη ελαττωθει κατα cm, τοτε το εμβαδον του δεν μεταβαλλεται. Να βρειτε τις διαστασεις του ορθογωνιου. Αν, y οι διαστασεις, τοτε y και ( + )(y ) Ετσι y y y ( + )(y - ) y - + y y - 6 y y y y - y y - 6 y - 6y - y - y - 8 y y Δ + 8 ± 8 ( ± 9) + 9 y y y ± < αορριτεται Εομενως, οι διαστασεις του ορθογωνιου ειναι cm, cm.

20 8 Σ υ σ τ η μ α τ α Α σ κ η σ η. Β Δινεται η αραβολη y και η ευθεια y + k, k τιμες του k η ευθεια τεμνει την αραβολη σε δυο σημεια.. Να βρειτε για οιες y + k y + k y + k y - + k k Η ευθεια τεμνει την αραβολη σε δυο σημεια, αν το συστημα εχει δυο λυσεις. Δηλαδη ρεει η εξισωση Ετσι Δ > k > + + k εχει δυο ανισες ριζες. k > k < Α σ κ η σ η. Β Να λυσετε το συστημα y y + μ και να ερμηνευσετε γεωμετρικα τα αοτελεσματα. y + μ y + μ y + μ y + μ y ( + μ) + μ - - μ (Σ) Για την εξισωση - - μ : Αν Δ > + 8μ > 8μ > - μ > η εξισωση εχει δυο ανισες ριζες, τις - ± + 8μ ± + μ ( ± + μ) ± + μ aρα το (Σ) εχει δυο λυσεις, ου σημαινει οτι η ευθεια y + μ τεμνει την αραβολη y σε δυο σημεια, τα A( + + μ, + + μ + μ), Β( - + μ, - + μ + μ). Αν Δ + 8μ 8μ - μ - β η εξισωση εχει διλη ριζα, την α aρα το (Σ) εχει διλη λυση, ου σημαινει οτι η ευθεια y + μ εφατεται στην α- ραβολη y στο σημειο, Γ(, ). Αν Δ < + 8μ < 8μ < - μ < - η εξισωση ειναι αδυνατη, οοτε και το (Σ) ειναι αδυνατο ου σημαινει οτι η ευθεια y + μ και η αραβολη y δεν εχουν κοινα σημεια.

21 Ι δ ι ο τ η τ ε ς Σ υ ν α ρ τ η σ ε ω ν 9 Α σ κ η σ η. Να βρειτε τα διαστηματα στα οοια καθεμια αο τις αρακατω συναρτησεις ειναι : α) γνησιως αυξουσα και β) γνησιως φθινουσα y y yg() y yh() yf() Το εδιο ορισμου και των τριων συναρτησεων ειναι το. Moνοτονια συναρτησης f : Γνησιως φθινουσα στο διαστημα (, ] Γνησιως αυξουσα στο διαστημα Moνοτονια συναρτησης g : [, + ) Γνησιως φθινουσα στο διαστημα [, ] Γνησιως αυξουσα στa διαστηματα (, ] και [, + ) Moνοτονια συναρτησης h : Γνησιως φθινουσα στa διαστηματα (, -] [, ] Γνησιως αυξουσα στa διαστηματα [, ] και [, + ) Α σ κ η σ η. Να ροσδιορισετε τα ολικα ακροτατα των συναρτησεων της ροηγουμενης ασκησης, καθως και τις θεσεις των ακροτατων αυτων. Το εδιο ορισμου και των τριων συναρτησεων ειναι το. Oλικα ακροτατα της συναρτησης f : Παρουσιαζει ελαχιστο στη θεση To ελαχιστο ειναι f() - Oλικα ακροτατα της συναρτησης g : Δεν αρουσιαζει ολικα ακροτατα. Oλικα ακροτατα της συναρτησης h : Παρουσιαζει ελαχιστο στη θεση - και To ελαχιστο ειναι f(- ) f() -

22 Ι δ ι ο τ η τ ε ς Σ υ ν α ρ τ η σ ε ω ν Α σ κ η σ η. Να δειξετε οτι : Η συναρτηση f() i Η συναρτηση g() 6 + αρουσιαζει ελαχιστο για. + Το εδιο ορισμου της συναρτησης f ειναι το. Αρκει να δειξουμε οτι f() f() για καθε Πραγματι ( -) ου αληθευει για καθε. i Το εδιο ορισμου της συναρτησης g ειναι το. Αρκει να δειξουμε οτι g() g() για καθε Πραγματι αρουσιαζει μεγιστο για ου αληθευει για καθε ( -) Α σ κ η σ η. Να βρειτε οιες αο τις αρακατω συναρτησεις ειναι αρτιες και οιες ειναι εριττες : f () + i f () + ii f () + iv) f () v) f () + v f 6 () + Το εδιο ορισμου της συναρτησης f ειναι το, οοτε για καθε και -. f (- ) Aρα η i f (- ) + ειναι αρτια. (- ) + Το εδιο ορισμου της συναρτησης f ειναι το, οοτε για καθε και -. f (- ) Aρα η ii f ειναι αρτια. f () Το εδιο ορισμου της συναρτησης f ειναι το, οοτε για καθε και -. f (- ) - + ± f () ± + ± δηλαδη f (- ) ± f () f ()

23 Ι δ ι ο τ η τ ε ς Σ υ ν α ρ τ η σ ε ω ν Aρα η iv) f δεν ειναι ουτε αρτια ουτε εριττη. Το εδιο ορισμου της συναρτησης f ειναι το, οοτε για καθε και -. f (- ) (- ) (- ) ( - ) - f () Aρα η f ειναι εριττη. v) Το εδιο ορισμου της συναρτησης f ειναι το - {- ), ου δεν ειναι συμμετρικο ως ρος το (το ανηκει στο εδιο ορισμου, ενω το - δεν ανηκει). Aρα η v f δεν ειναι ουτε αρτια ουτε εριττη. Το εδιο ορισμου της συναρτησης f 6 (- ) Aρα η (- ) (- ) + - f 6 ειναι εριττη. + - f 6 ειναι το, οοτε για καθε f 6 () και -. Α σ κ η σ η. Να βρειτε οιες αο τις αρακατω συναρτησεις ειναι αρτιες και οιες ειναι εριττες : iv) f f () + () + i f () - ii v) f () v Το εδιο ορισμου της συναρτησης f ειναι το f (- ) - Aρα η f ειναι αρτια. i f () Το εδιο ορισμου της συναρτησης ως ρος το. Aρα η ii f f * f f 6 () (), οοτε για καθε - και - ειναι το A [, + ), ου δεν ειναι συμμετρικο f δεν ειναι ουτε αρτια ουτε εριττη. Το εδιο ορισμου της συναρτησης f ειναι το, οοτε για καθε και -. f (- ) ( + ) - - ( ) ( ) - f (). Aρα η f ειναι εριττη..

24 Ι δ ι ο τ η τ ε ς Σ υ ν α ρ τ η σ ε ω ν iv) Το εδιο ορισμου της συναρτησης f (- ) Aρα η v) f (- ) + ειναι εριττη. Το εδιο ορισμου της συναρτησης f ειναι το f () *, οοτε για καθε και - f ειναι το, οοτε για καθε και -.. f (- ) Aρα η v - f ειναι αρτια. f () Το εδιο ορισμου της συναρτησης f 6 ειναι το A [-, ] f 6, ου ειναι συμμετρικο ως ρος το. (aφου ρεει ριζες και ) f 6 (- ) Aρα η - (- ) f 6 ειναι αρτια. - f 6 () Α σ κ η σ η. 6 Να βρειτε οιες αο τις αρακατω γραμμες ειναι γραφικες αραστασεις αρτιας και οιες εριττης συναρτησης. y y y y f() y g() y h() H f ειναι συμμετρικη ως ρος κεντρο Ο, αρα ειναι εριττη. H g ειναι συμμετρικη ως ρος τον αξονα y y, αρα ειναι αρτια H h δεν ειναι συμμετρικη ουτε ως ρος τον αξονα y y ουτε ως ρος κεντρο την αρχη Ο, αρα δεν ειναι ουτε αρτια ουτε εριττη.

25 Ι δ ι ο τ η τ ε ς Σ υ ν α ρ τ η σ ε ω ν Α σ κ η σ η. 7 Να βρειτε οιες αο τις αρακατω γραμμες ειναι γραφικες αραστασεις αρτιας και οιες εριττης συναρτησης. y y y y f() y g() y h() H f ειναι συμμετρικη ως ρος τον αξονα y y, αρα ειναι αρτια H g ειναι συμμετρικη ως ρος κεντρο Ο, αρα ειναι εριττη. H h δεν ειναι συμμετρικη ουτε ως ρος τον αξονα y y ουτε ως ρος κεντρο την αρχη Ο, αρα δεν ειναι ουτε αρτια ουτε εριττη. Α σ κ η σ η. 8 Να συμληρωσετε τις αρακατω γραμμες ωστε να αριστανουν γραφικες αραστασεις α) Αρτιας συναρτησης και β) Περιττης συναρτησης y y y C C C Aρτιας συναρτησης y y y C C C Περιττης συναρτησης

26 Ι δ ι ο τ η τ ε ς Σ υ ν α ρ τ η σ ε ω ν y y y C C C Α σ κ η σ η. Στο ιδιο συστημα αξονων να αραστησετε γραφικα τις συναρτησεις : φ(), f() + και g() H C φ αοτελειτε αο τις διχοτομους της ης και y ης γωνιας των αξονων. C f C φ Η της C f ροκυτει αο την κατακορυφη μετατοιση C φ ρος τα ανω κατα μοναδες. C g Η της C ροκυτει αο την κατακορυφη μετατοιση g C φ ρος τα κατω κατα μοναδες. Α σ κ η σ η. Στο ιδιο συστημα αξονων να αραστησετε γραφικα τις συναρτησεις : φ(), f() + και g() H C αοτελειτε αο τις διχοτομους της ης και φ Y ης γωνιας των αξονων. C h C φ C q Η C ροκυτει αο την οριζοντια μετατοιση h της C ρος τα αριστερα κατα μοναδες. φ Η C ροκυτει αο την οριζοντια μετατοιση q της C ρος τα δεξια κατα μοναδες. φ

27 Ι δ ι ο τ η τ ε ς Σ υ ν α ρ τ η σ ε ω ν Α σ κ η σ η. Στο ιδιο συστημα αξονων να αραστησετε γραφικα τις συναρτησεις : φ(), F() + + και G() H C φ αοτελειτε αο τις διχοτομους της ης και y Η ης γωνιας των αξονων. της Η C F ροκυτει αο την κατακορυφη μετατοιση C ρος τα ανω κατα μοναδa και την οριζοντια φ μετατοιση ρος τα αριστερα κατα μοναδες. της C G ροκυτει αο την κατακορυφη μετατοιση C φ ρος τα κατω κατα μοναδa και την οριζον- C F C φ C G τια μετατοιση ρος τα δεξια κατα μοναδες. Α σ κ η σ η. Να γραψετε τη συναρτηση f() + στη μορφη f() α( p και στη συνεχεια να βρειτε με οια οριζοντια και οια κατακορυφη μετατοιση η γραφικη αρασταση της συναρτησης g() αρασταση της f. i Να κανετε το ιδιο και για τη συναρτηση f() g την g(). θα συμεσει με τη γραφικη ) + q + 8 9, θεωρωντας ως Για την f() β - - α + ειναι Δ α 8 8 β Δ f() α + - ( -) + α α Ετσι Οριζοντια μετατοιση της Κατακορυφη μετατοιση της i Για την f() ειναι β 8 - α (- ) C : μοναδα δεξια. f C : μοναδες ανω. f f() f() - y C f C g

28 6 Ι δ ι ο τ η τ ε ς Σ υ ν α ρ τ η σ ε ω ν Δ 8 - (- ) (- 9) α 8 8 β Δ f() α ( - ) + α α Ετσι Οριζοντια μετατοιση της C f : μοναδες δεξια. Κατακορυφη μετατοιση της C f : μοναδα ανω. Α σ κ η σ η. Στο διλανο σχημα δινεται η γραφικη αρασταση μιας συναρτησης φ ου αοτελειται αο τη διχοτομο της δευτερης γωνιας των αξονων και αο το ημικυκλιο ου ανηκει στο ο τεταρτημοριο και εχει διαμετρο ου οριζουν τα σημεια Ο(, ) και Α(, ). Στο ιδιο συστημα συντεταγμενων να αραστησετε γραφικα τις συναρτησεις : f() φ() + και g() φ() i h() φ( + ) και q() φ( ) ii F() φ( + ) + και G() φ( ) y Cφ Η της Η C ροκυτει αο την κατακορυφη μετατοιση f C φ ρος τα ανω κατα μοναδες. C g ροκυτει αο την κατακορυφη μετατοιση C f y Cφ της C φ ρος τα κατω κατα μοναδες. C g - i Η Η C ροκυτει αο την oριζοντια h μετατοιση ης κατα μοναδες. C ρος τα αριστερα φ C ροκυτει αο την oριζοντια q μετατοιση της κατα μοναδες. C ρος τα δεξια φ C h Cφ C q y -

29 Ι δ ι ο τ η τ ε ς Σ υ ν α ρ τ η σ ε ω ν 7 i Η Η C F ροκυτει αο την oριζοντια μετατοιση της C ρος τα αριστερα φ κατα μοναδες και κατακορυφη με- τατοιση ρος τα ανω κατα μο- ναδες. C G ροκυτει αο την oριζοντια μετατοιση της C φ ρος τα δεξια κατα μοναδες και κατακορυφη με- τατοιση ρος τα κατω κατα μοναδες. C F y Cφ - - C G Α σ κ η σ η. 6 Δινεται η συναρτηση φ(). Να βρειτε τον τυο της συναρτησης f της οοιας η γραφικη αρασταση ροκυτει αο δυο διαδοχικες μετατοισεις της γραφικης αραστασης της φ : κατα μοναδες ρος τα δεξια και κατα μοναδα ρος τα ανω. i κατα μοναδες ρος τα δεξια και κατα μοναδες ρος τα κατω. ii κατα μοναδες ρος τα αριστερα και κατα μοναδα ρος τα ανω. iv) κατα μοναδες ρος τα αριστερα και κατα μοναδες ρος τα κατω. μοναδες δεξια τοτε : - ( - ) -, και μοναδα ανω τοτε : ( - ) - ( - ) - + ( - ) Δηλαδη, i f() ( - ) μοναδες δεξια τοτε : - ( - ) -, και μοναδες κατω τοτε : ( - ) - Δηλαδη, ii μοναδες αριστερα τοτε : - ( + ) -, ( - ) - - ( - ) - και μοναδα ανω τοτε : ( + ) - ( + ) - + ( + ) Δηλαδη, iv) f() ( - ) - f() ( + ) μοναδες αριστερα τοτε : - ( + ) -, και μοναδες κατω τοτε : ( + ) - ( + ) - - ( + ) - Δηλαδη, f() ( + ) -

30 8 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α Α σ κ η σ η. Στο διλανο σχημα να υολογισετε τα μηκη, y και τη γωνια α. 6 y a B Δ Γ Α Στο ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΔ : ημ Το ορθογωνιο τριγωνο ΑΓΔ ειναι ισοσκελες, οοτε Στο ορθογωνιο τριγωνο ΑΓΔ : a. 6 6 ημ y 6 y y y y y Α σ κ η σ η. Να υολογισετε τις λευρες του τριγωνου του διλανου σχηματος. Α 6 Β Γ Ειναι A Ετσι AB ΑΒ ημ ΑΒ BΓ AΓ ΑΓ ημ6 ΑΓ BΓ Α σ κ η σ η. Μια εικεντρη γωνια ω βαινει σε τοξο S 6 cm. Να εκφρασετε τη γωνια αυτη σε ακτινια, αν η ακτινα του κυκλου ειναι ρ cm i ρ cm ii ρ cm Αο τη Γεωμετρια, το μηκος τοξου μ ο δινεται αο: S ρ κυκλου. Ομως, μ 8 ω, οοτε S ρ ω S ρω () μ 8, οου ρ η ακτινα του

31 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α 9 Για S 6 και ρ η () γινεται : 6 ω i Για S 6 και ρ η () γινεται : 6 ω ii Για S 6 και ρ η () γινεται : 6 ω ω 6 rad ω rad ω rad Α σ κ η σ η. Να εκφρασετε σε rad γωνια ο i ο ii 6 ο iv) 8 ο α μ μ α α α rad i α μ μ α α α rad ii α μ μ 6 α α α 7 rad iv) α μ μ α α α rad Α σ κ η σ η. Να μετατρεψετε σε μοιρες γωνια : rad i 6 rad ii 9 rad iv) rad α μ 8 8 μ α μ μ 8 8 i α μ 8 8 μ α μ μ 8 6 ii α μ μ α μ μ 6 8

32 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α iv) α μ 8 8 μ α μ μ 8 8 Α σ κ η σ η. 6 Να υολογισετε τους τριγωνομετρικους αριθμους γωνιας 8 ο i 9 ο ii 98 ο iv) 6 ο ημ8 ημ(8 + ) ημ( 6 + ) ημ συν8 συν(8 + ) συν( 6 + ) συν εφ8 σφ8 εφ(8 + ) εφ( 6 + ) εφ σφ(8 + ) σφ( 6 + ) σφ i ημ9 συν9 ημ( ) ημ( ) ημ6 συν( ) συν( ) συν6 εφ9 εφ( ) εφ( ) εφ6 σφ9 ii σφ( ) σφ ( ) σφ6 ημ98 ημ(8 + 8 ) ημ( ) ημ8 συν98 συν(8 + 8 ) συν( ) συν8 - εφ98 εφ(8 + 8 ) εφ( ) εφ8 σφ98 σφ( ) σφ( ) σφ8 δεν οριζεται iv) ημ6 ημ( 6 + ) ημ συν6 συν( 6 + ) συν εφ6 εφ( 6 + ) εφ σφ6 σφ( 6 + ) σφ δεν οριζεται

33 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α Α σ κ η σ η. Β Σε μικρα αεροδρομια υολογιζουν το υψος των νεφων με τη βοηθεια μιας ισχυρης λαμας εντος αραβολικου κατοτρου, η οοια βρισκεται σε α 7 αοσταση οδια ( οδι, m) αο το Π Δ Λ σημειο του αρατηρητη. Η λαμα ειναι τοοθετημενη υο σταθερη γωνια και ο αρατηρητης στρεφει το οργανο αρατηρησης στο σημειο ανακλασης του φωτος αο τα νεφη. Να ροσδιορισετε το υψος h για α ο, ο και 6 ο. i Ποση ειναι η γωνια α, αν h οδια; Ειναι Ν h h εφα ΔΠ (+) ΝΔΠ ΔΠ εφα h h : ΔΠ + ΔΛ + h h εφα εφ7 ΝΔ Λ εφ7 ΔΛ ΔΛ εφ7 εφ7 + εφα εφ7 εφα h () εφ7 + εφα h εφ7 εφα εφ7 εφ7 εφ εφ7 h. εφ7 + εφ εφ7 + εφ7 + εφ7 εφ εφ7 εφ7 h εφ7 + εφ εφ7 + εφ7 + εφ7 εφ6 εφ7 h εφ7 + εφ6 εφ7 + i Για h η () γινεται: εφ7 εφα εφ7 + εφα εφ7 εφα εφ7 εφα εφ7 + εφα εφ7 + εφα εφ7 εφα - εφα εφ7 (εφ7 - ) εφα εφ7 εφα εφ7 εφ7 -

34 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α Α σ κ η σ η. Β Με τη βοηθεια του διλανου σχηματος: Να δειξετε οτι (ΑΓ) (ΒΓ) ημ ο i Να εξηγησετε γιατι ειναι (ΕΒ). ημ, ο ii Να υολογισετε το μηκος (ΓΕ) iv) Να δειξετε, χρησιμοοιωντας το τριγωνο ΒΕΓ, οτι (ΕΒ) - v) Να υολογισετε το ημ, ο v Ποιων αλλων γωνιων μορειτε να υολογισετε το ημιτονο και ως ρεει να συνε- χιστει η κατασκευη για το σκοο αυτο; Στο ισοσκελες και ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΓ (ΑΓ ΒΓ και i ημ ημ ΑΓ ΑΓΒ 9 ): ΑΓ ΑΓ ΑΓ ημ ΑΓ ΑΒ Η ΑΔ ειναι διχοτομος (αφου ΒΑΓ ) και υψος (αφου ΑΒΕ, οοτε και διαμεσος. Αρα ΒΕ ΔΒ. Στο ορθογωνιο τριγωνο ΑΔΒ : ii ΑΔΒ 9 ) του τριγωνου ΔΒ ΔΒ ημ, ημ, ΔΒ ημ, ΔΒ ημ, ΑΒ ΕΒ ημ, Το τριγωνο ΑΒΕ ειναι ισοσκελες (ΑΕ ΒΕ), οως και το ΑΒΓ (ΑΓ ΒΓ). ΕΓ ΑΕ - ΑΓ iv) ΕΓ ΑΒ - ΑΓ ΕΓ - Αο Πυθαγορειο θεωρημα στο ορθογωνιο τριγωνο ΒΕΓ ( ΕΓΒ 9 ): ΕΒ ΕΓ + ΒΓ ΕΒ ΕΓ + ΑΓ ΕΒ ( - ) + ( ) ΕΒ ΕΒ 8 - ΕΒ ( - ) ΕΒ - v) Αο (i και (iv): ΕΒ - ΕΒ ημ, - - ημ,, ημ, - ημ, Γ Ε Δ Α Β

35 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α v Διχοτομουμε την γωνια ΔΑΒ και στη συνεχεια διχοτομουμε τη γωνια ου ροκυτει και συνεχιζουμε.,, Δηλαδη υολογιζουμε το ημ, ημ,... Α σ κ η σ η. B Να βρειτε την εριμετρο και το εμβαδον του τριγωνου ΑΓΔ του διλανου σχηματος. A 6 B Δ Γ Στο ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΓ ( ΑΒΓ 9 ): ΑΒ 6 ημ ΑΓ ΑΓ ΑΓ ΒΓ ΒΓ ΒΓ συν ΒΓ 6 ΑΓ 6 Στο ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΔ ( ΑΒΔ 9 και ΒΑΔ ): ΒΔ ΒΔ ΒΔ εφ ΒΔ ΑΒ 6 ΒΔ ημ ΑΔ ΑΔ ΑΔ Ετσι Περιμετρος ΑΒΓ ΑΔ + ΔΓ + ΑΓ Ε ΔΓ ΑΒ 6 ΑΔΓ ΑΔ ΔΓ Α σ κ η σ η. Β Η ιο αργη κινηση ου μορει να εισημανει το ανθρωινο ματι ειναι mm ανα δευτερολετο. Να βρειτε οσο μηκος ρεει να εχει ο λετοδεικτης ενος ρολογιου για να μορουμε να εισημανουμε την κινηση του ακρου του. Εστω ρ το μηκος του λετοδεικτη (ακτινα κυκλου) σε mm. Σε h 6 sec το ακρο του διαγραφει τοξο ρ. ρ Σε δευτερολετο διαγραφει διαστημα S. 6 Για ρ S mm ρ ρ mm.

36 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α Α σ κ η σ η. Αν ημ γωνιας rad. και < <, να βρειτε τους αλλους τριγωνομετρικους αριθμους της Ειναι ημ + συν + συν + συν συν συν συν ± ημ εφ - συν - < < συν < συν - σφ - εφ - Α σ κ η σ η. Αν συν - και < <, να βρειτε τους αλλους τριγωνομετρικους αριθμους της γωνιας rad. Ειναι ημ + συν ημ + ημ + ημ ημ ημ ± < < ημ < ημ - - ημ εφ συν - σφ εφ

37 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α Α σ κ η σ η. Αν εφ και < < αριθμους της γωνιας rad. -, να βρειτε τους αλλους τριγωνομετρικους Ειναι. σφ - - εφ - +εφ συν συν ± συν ± < < συν > συν ημ εφ ημ εφ συν ημ - ημ - συν 6 ημ - Α σ κ η σ η. Αν σφ και της γωνιας rad. < <, να βρειτε τους αλλους τριγωνομετρικους αριθμους Ειναι εφ σφ +εφ < < συν συν ± συν > ημ εφ ημ εφ συν συν εφ ημ συν Α σ κ η σ η. Αν σφ - και < <, να υολογισετε τη τιμη της αραστασης Π ημ συν +συν. Ειναι εφ σφ - εφ -

38 6 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α Ειναι +εφ συν συν ± συν ± < < συν ± συν συν > ημ εφ ημ εφ συν ημ - συν Ετσι ημ ( - ) Π + ( + ) ( - ) - + Α σ κ η σ η. 6 Να εξετασετε, αν υαρχουν τιμες του για τις οοιες : Να ισχυει συγχρονως ημ και συν i Να ισχυει συγχρονως ημ και συν ii Να ισχυει συγχρονως ημ και συν Εειδη i Εειδη ii Εειδη ημ + συν, ειναι ημ + συν, ειναι ημ + συν, ειναι + δηλαδη, ου ειναι ατοο. + δηλαδη, ου ειναι ατοο. +, δηλαδη 9, ου ειναι ατοο. Α σ κ η σ η. 7 Να αοδειξετε οτι, τα σημεια Μ(,y) του ειεδου με συνθ και y ημθ, ειναι σημεια κυκλου κεντρου Ο(,) και ακτινας ρ. (ΟΜ) + y (συνθ) + (ημθ) 9συν θ + 9ημ θ 9(ημ θ + συν θ) ημ θ + συν θ 9 Το Μ, λοιον, αεχει αο το Ο αοσταση, αρα ανηκει στον κυκλο (Ο,).

39 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α 7 Α σ κ η σ η. 8 Αν ισχυει συνθ και y ημθ, να δειξετε οτι 9 + y 6. Ειναι 9 + y 9(συνθ) + (ημθ) 9(συν θ) + (9ημ θ) 6συν θ + 6ημ θ ημ θ + συν θ 6(συν θ + ημ θ) 6 6 Α σ κ η σ η. 9 Αν ειναι r ημθσυνφ, y r ημθημφ και z r συνθ, να δειξετε οτι + y + z r + y + z (r ημθ συνφ) + (r ημθ ημφ) + (r συνθ) r ημ θ συν φ + r ημ θ ημ φ + r συν θ r ημ θ (συν φ + ημ φ) + r συν θ r ημ θ + r συν θ r (ημ θ + συν θ) r r Α σ κ η σ η. Να αοδειξετε οτι ημα - συνα +συνα ημα i συν α - ημ α συν α - ημα +συνα - συνα ημα ημα ημα ( + συνα)( - συνα) ημ α - συν α ημ α + συν α ου αληθευει. i συν α - ημ α (συν α) - (ημ α) (συν α + ημ α)(συν α - ημ α) (συν α - ημ α) συν α - ( - συν α) συν α + συν α - συν α - Α σ κ η σ η. Να αοδειξετε οτι ημθ + συνθ + +συνθ ημθ ημθ i συν συν + -ημ + ημ συν ημθ +συνθ + συνθ + ημθ ημ θ + ( + συνθ) ημ θ + +συνθ + συν θ + + συνθ ημθ ( + συνθ) ημθ ( + συνθ) ημθ ( + συνθ)

40 8 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α ( + συνθ) ημθ ( + συνθ) ημθ i συν -ημ συν + + ημ συν( + ημ) + συν( - ημ) συν + ημ συν + συν - ημ συν ( - ημ) ( + ημ) -ημ συν συν συν Α σ κ η σ η. Να αοδειξετε οτι εφα + σφβ εφα εφβ + σφα εφβ i εφ α - ημ α εφ α ημ α εφα εφβ + εφα + εφα + σφβ εφβ εφβ εφα (εφα εφβ + ) εφα εφβ + σφα εφα εφβ + εφβ + εφβ (εφα εφβ + ) εφβ εφα εφα i εφ α - ημ ημ α ημ α - ημ α συν α ημ α ( - συν α) ημ α ημ α α -ημ α συν α συν α συν α συν α ημ α ημ α συν α εφ α ημ α Α σ κ η σ η. Να αοδειξετε οτι συν ημ + ημ + συν -εφ - σφ ii ημ συν εφ + σφ i iv) ( - συν) + ημ εφ συν - ημ - συν ημ συν ημ συν συν -εφ ημ + - σφ συν ημ συν ημ + + ημ συν συν - ημ ημ - συν - - συν ημ συν ημ συν ημ συν ημ + - συν - ημ ημ - συν συν - ημ συν - ημ συν - ημ συν - ημ (συν + ημ) (συν - ημ) συν - ημ ημ + συν

41 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α 9 i +συν - συν ημ ημ ( - συν) + ( - συν) ημ ημ εφ συν συν συν συν συν ii εφ + σφ iv) ημ συν ημ συν ημ συν ημ συν ημ + συν ημ + συν + συν ημ ημ συν -ημ - συν συν ημ (συν ημ) - ημ - συν ημ συν ημ συν ημ συν ημ συν ημ συν Α σ κ η σ η. B Αν ημ + συν α, να υολογισετε, ως συναρτηση του α, την αρασταση ημ συν i + ημ συν ii εφ + σφ iv) ημ + συν ημ + συν α (ημ + συν) α + ημ συν + α i ημ συν +ημ συν α ημ συν α - συν + ημ α α α + + με α ± ημ συν α - ημ συν ημ συν α - α - ii ημ συν ημ εφ + σφ συν + εφ + σφ α - συν ημ + συν ημ ημ συν α - α - με α ± α - iv) ημ + συν (ημ + συν)( ημ - ημ συν + συν ) a ( - ημ συν) ημ + α - - α + a - α a - a a - α συν

42 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α Α σ κ η σ η. B Να αοδειξετε οτι 6 6 ημ + συν - ημ συν i ημ + συν - ημ συν 6 6 ii η αρασταση Π ( ημ + συν ) ( ημ + συν ) εχει τιμη ανεξαρτητη του, δηλαδη ειναι σταθερη. ημ + συν (ημ ) + (συν ) (ημ + συν ) - ημ συν - ημ συν i 6 6 ημ + συν (ημ ) + (συν ) (ημ + συν )( ημ - ημ συν + συν ) ( - ημ συν - ημ συν ) - ημ συν ii Π 6 6 (ημ + συν ) (ημ + συν ) ( - ημ συν ) ( - ημ συν ) -6 ημ συν +6 ημ συν - - Α σ κ η σ η. B Αν - < <, να δειξετε οτι +ημ - ημ - -ημ + ημ εφ Eιναι ημ - ημ + ημ + ημ + ημ - ημ - ημ - ημ - < < τοτε συν > και συν συν Ετσι +ημ - -ημ - ημ + ημ +ημ - ημ ( + ημ) - ( - ημ) - -ημ + ημ - ημ + ημ + ημ - - ημ + ημ - ( - ημ) -ημ συν +ημ- + ημ ημ εφ συν συν Α σ κ η σ η. B Αν <, να δειξετε οτι +συν + +συν - - συν - συν +ημ συν συν -ημ

43 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α +συν + +συν - - συν - συν ( + συν + - συν) ( + συν - - συν)( + συν + - συν) ( + συν) + + συν - συν + ( - συν) ( + συν) - ( - συν) +συν + ( + συν)( - συν) + -συν +συν- ( - συν) + - συν +συν - + συν) + ημ συν + ημ συν ( + ημ) συν +ημ συν ( + ημ) ( - ημ) συν( - ημ) -ημ συν( - ημ) συν συν ( - ημ) συν -ημ Α σ κ η σ η. Να βρειτε τους τριγωνομετρικους αριθμους γωνιας ο, i 8 ο ημ ημ( 6 + ) ημ( ) ημ(8-6 ) ημ6 συν συν( 6 + ) συν( ) συν(8-6 ) συν6 - εφ εφ( 6 + ) εφ( ) εφ(8-6 ) εφ6 - σφ σφ( 6 + ) σφ( ) σφ(8-6 ) σφ6 -

44 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α i ημ(- 8 ) ημ( ) ημ συν(- 8 ) συν( ) συν εφ(- 8 ) εφ( ) εφ σφ(- 8 ) σφ( ) σφ Α σ κ η σ η. Να βρειτε τους τριγωνομετρικους αριθμους γωνιας 87 6 rad, i rad ημ ημ ημ ( + ) ημ + ημ Ομοια - ημ συν... συν + - συν εφ... εφ + εφ σφ... σφ + σφ i ημ ημ ημ ( + ) ημ + ημ + - ημ συν... συν + - συν - εφ... εφ + εφ σφ... σφ + σφ

45 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α Α σ κ η σ η. Σε καθε τριγωνο ΑΒΓ να αοδειξετε οτι ημα ημ(β + Γ) i συνα + συν (Β + Γ) ii ημ Α συν Β + Γ iv) συν Α ημ Β + Γ A + B + Γ A - (B + Γ) ημa ημ[ - (B + Γ)] ημa ημ(b + Γ) i A + B + Γ A - (B + Γ) συνa συν[ - (B + Γ)] συνa - συν(b + Γ) συνa + συν(b + Γ) ii A B Γ A B + Γ A B + Γ A + B + Γ ( ) ημ ημ[ - ( )] A B + Γ ημ συν iν) A B Γ A B + Γ A B + Γ A + B + Γ ( ) συν συν[ - ( )] A B + Γ συν ημ Α σ κ η σ η. Να αλοοιησετε την αρασταση συν(- α) συν(8 + α) ημ(- α) ημ(9 + α) Eιναι συν(- α) συνα ημ(- α) - ημα συν(8 + α) - συνα ημ(9 + α) συνα Ετσι συν(- α) συν(8 + α) ημ(- α) ημ(9 + α) συνα (- συνα) - ημα συνα συνα ημα σφα

46 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α Α σ κ η σ η. Να αοδειξετε οτι Ειναι εφ( - ) - εφ 9 εφ( - ) συν( + ) συν + ημ( + ) συν(- ) σφ - συν( + ) συν 9 9 συν + συν + συν ημ ημ( + ) ημ( ) - ημ συν(- ) συν σφ - σφ - σφ + - εφ Ετσι 9 εφ( - ) συν( + ) συν + - εφ συν (- ημ) - - ημ συν εφ ημ( + ) συν(- ) σφ - Α σ κ η σ η. 6 Να δειξετε οτι εχει σταθερη τιμη η αρασταση Σ ημ ( - ) + συν( - )συν( - ) + ημ + ημ( - ) ημ συν( - ) - συν συν( - ) συν ημ( + ) συν Ετσι Σ ημ ( - ) + συν( - ) συν( - ) + ημ + ημ - συν συν + συν ημ - συν + συν ημ + συν

47 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α Α σ κ η σ η. B Να υολογισετε την τιμη της αραστασης Π Ειναι ημ9 συν + συν9 συν(- ) εφ(- ) + εφ9 ημ9 ημ( 6 + ) ημ(9 + ) συν συν συν(9 + ) - ημ - συν9 συν( 6 + ) συν(9 + ) - ημ - συν(- ) συν( ) - συν6 - εφ(- ) εφ( ) εφ6 εφ9 εφ( 6 + ) εφ(9 + ) - σφ - Ετσι Π - - Α σ κ η σ η. B Να αοδειξετε οτι 7 ημ( + ω) συν(7 - ω) ημ - ω συν + ω 7 σφ( + ω) ημ(7 - ω) συν - ω σφ + ω ημ ω ημ( + ω) ημ( + + ω) ημ( + ω) - ημω σφ( + ω) σφ( + + ω) σφ( + ω) σφω συν(7 - ω) συν( + - ω) συν( - ω) - συνω ημ(7 - ω) ημ( + - ω) ημ( - ω) ημω ημ - ω ημ - ω ημ + - ω ημ - ω συνω

48 6 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α συν - ω συν - ω συν + - ω συν - ω ημω 7 7 συν + ω συν - ω συν + - ω συν - ω - ημω 7 7 σφ + ω σφ - ω σφ + - ω σφ - ω εφω Ετσι 7 ημ( + ω) συν(7 - ω) ημ - ω συν + ω - ημω (- συνω) συνω (- ημω) 7 σφω ημω ημω εφω σφ( + ω) ημ(7 - ω) συν - ω σφ + ω - συν ω σφω εφω - ( - ημ ω) ημ ω - Α σ κ η σ η. B Αν εφ - + εφ +, να υολογισετε την τιμη της αραστασης 6 Π εφ - + εφ + 6 Π εφ - ( + ) εφ + - σφ + εφ εφ - + εφ + εφ - + εφ + - εφ - εφ + - εφ - εφ + - εφ - - εφ + Σημειωση Ισχυει : α + β (α + β) - αβ (η η ταυτοτητα (α + β) α + αβ + β ) εφω Ισχυει : εφω σφω εφω εφω εφω

49 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α 7 Α σ κ η σ η. B Να αοδειξετε οτι < Ειναι εφ( + ) εφ + σφ( + ) < σφ( + ) εφ( + ) εφ Για να οριζεται η σφ( + ) ρεει εφ. εφ( + ) εφ εφ εφ εφ εφ + σφ( + ) εφ + σφ εφ + εφ + εφ + εφ + > εφ + εφ εφ εφ > εφ Ετσι, < < < εφ < εφ + ου αληθευει Α σ κ η σ η. Να σχεδιασετε τις γραφικες αραστασεις των συναρτησεων, στο ιδιο συστημα αξονων: ( f() ημ, g(),.ημ, h() - ημ, (i f() συν, g(),.συν, h() - συν, ( / / ημ -,ημ, -, ημ - -ημ - (i, -, -,ημ ημ -ημ ημ / / συν -,συν, -, συν -, -συν - - -, / /,συν -, - -συν - συν συν

50 8 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α Α σ κ η σ η. Σε ενα συστημα αξονων να σχεδιασετε τη γραφικη αρασταση της συναρτησης f() ημ και στη συνεχεια τις γραφικες αραστασεις των συναρτησεων: g() + ημ και h() - + ημ Η γραφικη αρασταση της g() + ημ ροκυτει αο κατακορυφη μεταφορα της γραφικης αραστασης της f() ημ ρος τα ανω κατα μοναδα. Η γραφικη αρασταση της h() - + ημ ροκυτει αο κατακορυφη μεταφορα της γραφικης αραστασης της f() ημ ρος τα κατω κατα μοναδα. g() + ημ f() ημ - -/ - -/ / / h() - + ημ Α σ κ η σ η. Να σχεδιασετε στο ιδιο συστημα αξονων τις γραφικες αραστασεις των συναρτησεων f() ημ και g() ημ, f() ημ g() ημ Η συναρτηση ειναι της μορφης ημω, ου εχει εριοδο T ω - /6 / / / ημ - Αλλιως g( + ) ημ( + ) ημ( + ) ημ g(). Αρα η συναρτηση g() ημ ειναι εριοδικη με εριοδο.

51 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α 9 Α σ κ η σ η. Να σχεδιασετε στο ιδιο συστημα αξονων τις γραφικες αραστασεις των συναρτησεων f() ημ και g() συν,. f() συν g() συν - 6 /6 / / / συν - Αλλιως Eιναι g( + ) συν( + Η συναρτηση ειναι της συν g(). Αρα η συναρτηση g() συν ειναι εριοδικη με εριοδο μορφης συνω, ου εχει εριοδο T ω ) συν( + ). Α σ κ η σ η. Εστω η συναρτηση f() ημ. Ποια ειναι η μεγιστη και οια η ελαχιστη τιμη της συναρτησης αυτης; Ποια ειναι η εριοδος της εν λογω συναρτησης; Να σχεδιασετε τη γραφικη αρασταση της f σε διαστημα λατους μιας εριοδου. - ημ - ημ - f() αρα η μεγιστη τιμη της συναρτησης ειναι και η ελαχιστη -. ημ - f( + ) ημ + ημ( + ) ημ f() Αρα η συναρτηση f ειναι εριοδικη με εριοδο. f() ημ -

52 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α Α σ κ η σ η. 6 Εστω η συναρτηση f() συν. Ποια ειναι η μεγιστη και οια η ελαχιστη τιμη της συναρτησης αυτης; Ποια ειναι η εριοδος της εν λογω συναρτησης; Να σχεδιασετε τη γραφικη αρασταση της f σε διαστημα λατους μιας εριοδου. - συν - συν - f() αρα η μεγιστη τιμη της συναρτησης ειναι και η ελαχιστη -. συν - f( + ) συν + συν( + ) συν Αρα η συναρτηση f ειναι εριοδικη με εριοδο. f() f() συν - Α σ κ η σ η. 7 Να σχεδιασετε τις γραφικες αραστασεις των συναρτησεων f() εφ i g() + εφ ii h() - + εφ στο ιδιο συστημα αξονων. f() εφ g() + εφ - - h() - + εφ Η γραφικη αρασταση της g() + εφ ροκυτει αο κατακορυφη μεταφορα της γραφικης αραστασης της f() εφ ρος τα ανω κατα μοναδα. Η γραφικη αρασταση της h() - + εφ ροκυτει αο κατακορυφη μεταφορα της γραφικης αραστασης της f() εφ ρος τα κατω κατα μοναδα.

53 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α Α σ κ η σ η. 8 Να μελετησετε και να αραστησετε γραφικα τη συναρτηση f() εφ. Ειναι f( + εφ f() ) εφ( + ) εφ( + ) Αρα η συναρτηση f ειναι εριοδικη με εριοδο Γραφουμε ινακα τιμων σε διαστημα λατους εστω στο (-, ) εφ - - -, f() εφ Α σ κ η σ η. 9 Να μελετησετε και να αραστησετε γραφικα τη συναρτηση f() σφ. f() σφ Ειναι f( + ) σφ( + ) σφ f() Αρα η συναρτηση f ειναι εριοδικη με εριοδο. Γραφουμε ινακα τιμων σε διαστημα λατους, εστω στο (, ). - σφ Α σ κ η σ η. Β Να βρειτε τις εξισωσεις των ημιτονοειδων καμυλων ( β γ α

54 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α (i, β δ, - - -, - a γ -, - Αφου ειναι ημιτονοειδεις, θα εχουν εξισωση της μορφης f() ρημω, με ρ,ω >. Θα εχουν μεγιστο ρ, ελαχιστο -ρ και εριοδο α) ρ και εαναλαμβανεται κατα διαστηματα λατους, αρα εχει εριοδο Τ ω ω. Εξισωση : f() ημ ημ f() ημ β) ρ και εαναλαμβανεται κατα διαστηματα λατους, αρα εχει εριοδο Τ ω ω. Εξισωση :f() ημ ω. ημ γ) ρ και εαναλαμβανεται κατα διαστηματα λατους f() ημ, αρα εχει εριοδο Τ ω ω. Εξισωση : f() ημ ημ f() ημ i α) Ειναι ιδια με την iα) δηλαδη f() ημ β) ρ και εαναλαμβανεται κατα διαστηματα λατους, αρα εχει εριοδο Τ ω ω. Εξισωση : f() ημ ημ f() ημ γ) ρ. και εαναλαμβανεται κατα διαστηματα λατους, αρα εχει εριοδο Τ ω ω. Εξισωση : f(),ημ,ημ f(),ημ δ) Εστω g με f() - g(). Τοτε η g συμμετρικη της f και g() ρημω. Ειναι ρ,, εριοδο ω ω. Αρα g(), ημ,ημ. Τελικα f() - g() -,ημ f() -,ημ

55 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α Α σ κ η σ η. Β Η αλιρροια σε μια θαλασσια εριοχη εριγραφεται κατα ροσεγγιση με τη συναρτηση y ημ( t 6 ), οου y το υψος της σταθμης των υδατων σε μετρα και t ο χρονος σε ωρες. Να βρειτε την υψομετρικη διαφορα αναμεσα στην ψηλοτερη λημμυριδα και τη χαμηλοτερη αμωτη. i Να κανετε τη γραφικη αρασταση της συναρτησης για t. i t 6 9 f(t) - Η συναρτηση y f(t). ημ( t ) ειναι ημιτονοειδης με μεγιστο και ελαχιστο -. Αρα η υψομετρικη διαφορα λημμυριδα α- μωτη ειναι 6m 6 6 y 6 9 t - Α σ κ η σ η. B Ενα αιχνιδι κρεμεται με ενα ελατηριο αο το ταβανι και αεχει αο το ατωμα m. Οταν το αιχνιδι ανεβοκατεβαινει, το υψος του αο το ατωμα σε μετρα ειναι h + συνt, οου t ο χρονος σε δευτερολετα. Να υολογισετε τη διαφορα αναμεσα στο μεγιστο και o o στο ελαχιστο υψος. i Να βρειτε την εριοδο της ταλαντωσης. ii Να κανετε τη γραφικη αρασταση της συναρτησης για ατωμα t. m ι) - συνt - Το μεγιστo υψος ειναι συνt - + και το ελαχιστο. Αρα η διαφορα τους ειναι - συνt + h(t) i Η εριοδος της ταλαντωσης ειναι T ω

56 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α ii t /6 / h(t) / / / / y t Α σ κ η σ η. B Η αοσταση του ιστονιου σε μετρα αο το ενα ακρο του κυλινδρου εριγραφεται με τη συναρτηση (t), +, ημt, οου t ο χρονος σε δευτερολετα. Να υολογισετε το λατος της κινησης του ιστονιου. i Να κανετε τη γραφικη αρασταση της συναρτησης για t. Ποιες στιγμες του χρονικου αυτου διαστηματος η αοσταση ειναι, m; ι) - συνt -,, συνt,, -,, +, συνt, +, (t), Η μεγιστη αοσταση ειναι, και η ελαχιστη. Αρα η διαφορα τους ειναι, i Στο διαστημα [,] λυνουμε την εξισωση (t),. Eτσι, +, ημt,, ( + ημt), + ημt, ημt, t κ + t κ + 6 6,κ ακεραιος t κ + - t κ Ομως t t 6 κ + 6 κ κ - κ 6 κ κ κ κ 6 (κ,, ) η (κ,, )

57 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α Οι στιγμες: κ : t κ : t y 8 8 κ : t κ : t κ : t κ : t 8 9 8,, t Α σ κ η σ η. Να λυσετε τις εξισωσεις: ημ i ημ ii συν iv) συν κ + κ ημ ημ ημ, κ η κ, κ κ + - κ + i ημ ii ημ ημ συν συν συν κ + κ +, κ κ + - κ + κ +, κ η κ +, κ κ - iv) συν συν συν κ +, κ κ -

58 6 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α Α σ κ η σ η. Να λυσετε τις εξισωσεις: ημ - ii συν - i ημ - iv) συν - ημ 6 ημ ημ 6 ημ ημ( κ - κ - ) 6 6, κ 7 κ + + κ i κ - κ - ημ ημ ημ ), κ κ + + κ + ii συν κ ± συν συν, κ ημ ημ( συν συν ( iv) συν συν συν κ ±, κ ) συν συν Α σ κ η σ η. Να λυσετε τις εξισωσεις: εφ i εφ ii σφ iv) σφ Περιορισμος: Για να οριζεται η εφ, ρεει κ +, κ Για να οριζεται η σφ, ρεει κ, κ εφ εφ εφ κ + κ, κ

59 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α 7 i εφ ii εφ εφ σφ σφ σφ iv) σφ σφ σφ 6 κ + κ + 6 κ + 6, κ 6, κ, κ Α σ κ η σ η. Να λυσετε τις εξισωσεις: εφ - i σφ - Περιορισμος: Για να οριζεται η εφ, ρεει κ + εφ εφ εφ 6 εφ εφ( i Περιορισμος: Για να οριζεται η σφ, ρεει σφ σφ σφ σφ σφ( 6 ) ) κ, κ, κ κ κ 6, κ, κ Α σ κ η σ η. Να λυσετε τις εξισωσεις: ( ημ) (ημ - ) i (ημ + )(-συν) ( ημ) (ημ - ) κ + κ + ημ -ημ ημ ημ κ + - κ + ημ - ημ ημ ημ λ + λ + λ + - λ +

60 8 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α κ + λ +, κ,λ λ + i (ημ + )( συν) ημ + ημ - ημ - ημ ημ ημ- -συν συν συν συν συν συν κ - κ -, κ,λ κ + + κ + λ ± λ Α σ κ η σ η. 6 Να λυσετε τις εξισωσεις: ( + εφ) ( - εφ) i (συν +) ( εφ ) σφ Περιορισμος: Για να οριζεται η εφ, ρεει ( + εφ) ( εφ) κ +, κ εφ - εφ εφ εφ - κ - +εφ εφ -, κ -εφ εφ εφ εφ εφ εφ κ + i Περιορισμος: Για να οριζoνται εφ, σφ, ρεει (συν +) ( εφ ) σφ κ +, κ, κ. συν - συν συν συν συν - συν - συν + εφ εφ εφ εφ εφ εφ - εφ εφ - σφ σφ εφ - εφ εφ εφ- σφ σφ σφ σφσφ

61 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α 9 κ ± κ ± κ + κ + κ- κ- κ + αορριτεται, κ Α σ κ η σ η. 7 Χρησιμοοιωντας τριγωνομετρικους ινακες η ειστημονικο κομιουτερακι να λυσετε τις εξισωσεις ημ,9 i συν,89 ii εφ 8,66 ημ,9 i συν,89 κ ±, κ ii ημ ημ συν συν κ + κ +, κ κ + - κ + συν συν( Περιορισμος: Για να οριζεται η εφ, ρεει εφ 8,66 εφ εφ κ +, κ κ + ) συν συν, κ Α σ κ η σ η. 8 Να λυσετε τις εξισωσεις ημ i συν + ii εφ 7 ημ ημ ημ ημ κ κ + κ + +, κ, κ 9, κ κ κ + - κ + + 9

62 6 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α i συν ii εφ 7 + συν εφ 7 - συν εφ κ + 7, κ Τα τοξα κ + και κ ειναι ιδια συν κ +, κ 7 εφ κ + 7 6, κ 7 κ + 6 κ +, κ, κ Α σ κ η σ η. 9 Να λυσετε τις εξισωσεις ημ ( + ) i συν( ) ii εφ( ) ημ + ημ + ημ - Προκειται για ιδια λυση (τα τοξα ιδια) + κ - κ - - κ -, κ, κ 6, κ 7 + κ + + κ + - κ + 6 i συν( ) συν( ) συν( ) συν 7 - κ + κ + + κ +, κ, κ, κ - κ - κ + - κ - κ 7 + 6, κ κ - 6 ii εφ( ) εφ( ) εφ κ +, κ κ +, κ κ +, κ κ - - 6, κ

63 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α 6 Α σ κ η σ η. Να λυσετε τις εξισωσεις: i ii ημ ω + ημω - συν + συν - εφ t + εφ t Δ - (-) + 8 9, κ ημω ημ κ ± 9 - ± ημω ημω ημ κ + κ + - κ + 6 Προκειται για ιδια λυση (τα τοξα ιδια) κ + 6, κ κ + κ - - συν i Δ - (-) 9 + 6, - ± συν - ± ii συν συν - αορρριτεται κ ±, κ Περιορισμος: Για να οριζεται η εφt, ρεει t κ +, κ εφ t + εφ t εφ t - εφt Δ εφt (- ) - (-) 8 ( ), + εφ ± ( ± ) ± εφ - 6 t κ + η t κ 6, κ

64 6 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α Α σ κ η σ η. Να λυσετε τις εξισωσεις ημ + συν i εφ σφ ημ + συν -συν + συν συν συν συν συν συν συν συν συν συν συν - συν - συν συν συν - συν συν κ ± 6, κ Αν κ + τοτε συν, κ ± Αν κ τοτε ημ, 6 δεν οριζεται η εφ δεν οριζεται η σφ i Περιορισμος: Για να οριζονται η εφ και η σφ, ρεει εφ. σφ σφ εφ αορριτονται, αο τον εριορισμο. σφ σφ κ + και κ + κ, κ κ, κ. Α σ κ η σ η. Να βρειτε για οιες τιμες του, η εομενη συναρτηση εχει τη μεγιστη και για οιες την ελαχιστη τιμη της. f() ημ( ), < i g() 7συν( ), < Η f εχει μεγιστη τιμη αν κ κ ημ - ημ - ημ - κ + κ + < < < < κ κ κ + κ + κ + κ + κ + < - κ < - κ< κ Η f εχει μεγιστη τιμη αν κ κ ημ - - ημ - ημ- - κ - κ < < < <

65 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α 6 κ κ κ κ κ < κ < κ i Η g εχει μεγιστη τιμη αν κ κ συν - συν - συν - κ κ + < < < < κ + κ κ + κ κ + κ + κ + < - κ < - κ< κ Η f εχει μεγιστη τιμη αν κ κ συν - - συν - συν - κ + κ + < < < < κ + κ κ + κ κ + κ κ + κ + < - κ < - κ< κ Α σ κ η σ η. Οι μηνιαιες ωλησεις ενος εοχιακου ροϊοντος (σε χιλιαδες κομματια) δινονται κατα ροσεγγιση αο τον τυο S 7 + ημ να αντιστοιχει στον Ιανουαριο. t 6, οου t ο χρονος σε μηνες και με t Να βρειτε οιους μηνες οι ωλησεις φτανουν τις κομματια. i Να βρειτε οιο μηνα εχουμε το μεγαλυτερο αριθμο ωλησεων και οσες ειναι αυτες. S 7 + ημ t 6 ημ t 6 ημ t 6 ημ t 6 ημ 6 t t κ + κ + t κ t κ + κ 6 6 κ κ κ + t t t κ + κ + - κ + t κ t t t κ + κ

66 6 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α t κ + t κ + t κ + - κ κ - κ κ κ t t κ + t κ + t κ + t - κ 7 7 κ - κ Oι ωλησεις φτανουν τις κομματια τον Ιανουαριο και τον Μαιο. i Οι ωλησεις γινονται μεγιστες αν t t κ t κ κ ημ ημ ημ κ + t κ t < t < t < t < κ κ t κ + κ t κ + t κ + t κ + t κ + < - κ < 9 - κ< κ Δηλαδη το μηνα Μαρτιο. Α σ κ η σ η. B Να λυσετε τις εξισωσεις ημ + συν ( ) i εφ σφ ( + ) ημ + συν ( συν ( κ ) συν ( 8 i Περιορισμος: ) συν ( ) ημ συν ( ) ημ ( ) - κ κ + + ) - κ - - κ - αδυνατη Οι εφ και η σφ ( + ), αν κ + Ετσι Αν κ + τοτε συν, δεν οριζεται η εφ. Αν κ - 9 τοτε ημ( +), δεν οριζεται η σφ κ και - 9, κ. εφ σφ ( + ) εφ σφ ( + ) σφ ( ) σφ ( + ) κ + +, κ κ + κ 6 κ +

67 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α 6 Α σ κ η σ η. Β Να λυσετε τις εξισωσεις εφ ημ + ημ + εφ i συν - εφ Περιορισμος: Η εφ οριζεται και συν, αν κ +, κ εφημ + ημ + εφ εφημ εφ + ημ εφ(ημ ) (ημ ) (ημ ) ( εφ ) ημ - ημ ημ ημ κ + εφ - εφ εφ εφ κ + i 7 - εφ + συν Δ (- ) - (- ) + 6 εφ ± ± εφ εφ εφ εφ. εφ - εφ -εφ εφ εφ - κ -, κ εφ εφ εφ εφ εφ κ + Α σ κ η σ η. Β Να βρειτε τις λυσεις της εξισωσης εφ στο διαστημα (, ). Περιορισμος: Η εφ οριζεται, αν κ +, κ. εφ εφ εφ κ + κ + κ + < < < κ + < < κ < κ κ κ κ + κ κ + < κ< κ

68 66 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α Α σ κ η σ η. Β Να λυσετε την εξισωση + συν ημ στο διαστημα [, ]. Ειναι +συν ημ + συν ημ + συν ημ ημ + συν ( +συν) + συν + συν + συν + συν +συν ημ +συν ημ +συν ημ + συν ημ συν συν + συν συν(συν + ) συν ημ η ημ +συν ημ ημ συν συν η η η +συν ημ συν - ημ ημ Α σ κ η σ η. Β Να λυσετε την εξισωση εφ σφ ( + ) στο διαστημα [, ). Περιορισμος: Η εφ, σφ οριζονται, αν κ + και κ -, κ εφ σφ ( + ) σφ( - ) σφ ( + ) κ + +, κ κ + κ 6κ - - 6κ + () 6 6 [, ) < - 6κ + < - 6κ + < - 6κ + < 6κ < κ > - κ η - η - η 6 6-6(- ) + (): 9 η - 6(- ) + η - 6(- ) + 7 η.

69 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α 67 Α σ κ η σ η. 6 Να υολογισετε, χωρις τη χρηση υολογιστων τσεης, την τιμη των αραστασεων συν συν - ημ ημ i συν 7 ο συν ο + ημ 7 ο ημ ο ii ημ ο ημ 7 ο συν ο συν 7 ο iv) συν 7 συν + ημ 7 ημ συν συν - ημ ημ συν ( + ) συν συν i συν 7 ο συν ο + ημ 7 ο ημ ο συν ( 7 ο ο ) συν ο συν( 8 ο 6 ο ) - συν 6 ο - ii ημ ο ημ 7 ο συν ο συν 7 ο - (συν ο συν 7 ο - ημ ο ημ 7 ο ) - συν ( ο + 7 ο ) - συν 8 ο - (- ) iv) συν 7 συν + ημ 7 ημ συν ( 7 - ) συν 6 συν Α σ κ η σ η. 6 Να γραψετε σε αλουστερη μορφη τις αραστασεις συν συν (- ) - ημ ημ (- ) i συν ( + ) συν + ημ ( + ) ημ συν συν(-) - ημ ημ(-) συν ( + (-)) συν i συν ( + ) συν + ημ ( + ) ημ συν ( + - ) συν Α σ κ η σ η. 6 Να αοδειξετε οτι συν ( + ) + συν ( - ) συν i συν ( - ) - συν ( + ) ημ συν

70 68 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α συν( + i συν ( - ) + συν( - ) - ) συνσυν συν συν συν ( + συν - ημημ ) [συν( - συν + συνσυν ) συν( + )][συν( - + ημ ημ ) + συν( + )] () συν( - ) συν( + ) συνσυν + ημημ - συνσυν + ημημ ημημ συν( - ) + συν( + ) συνσυν + ημημ + συνσυν - ημημ συνσυν Ετσι η () : συν ( - ) - συν ( + ) ημ ημ ημ ημ συν συν συν συν Α σ κ η σ η. 6 Να υολογισετε, χωρις τη χρηση υολογιστων τσεης, την τιμη των αραστασεων ημ 7 8 συν ii 9 7 εφ - εφ 7 +εφ εφ - συν 7 8 ημ 9 i ημ 7 ο συν ο + συν 7 ο ημ ο iv) εφ6 -εφ6 + εφ εφ ημ συν - συν ημ ημ( ) ημ ( ) ημ 8 8 ημ i ημ 7 ο συν ο + συν 7 ο ημ ο ημ ( 7 ο + ο ) ημ 9 ο ii 7 εφ - εφ 7 +εφ εφ iv) εφ6 + εφ -εφ6 εφ εφ ( 7-7 ) εφ ( - ) εφ εφ εφ (6 ο + ο ) εφ 8 ο

71 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α 69 Α σ κ η σ η. 6 Να γραψετε σε αλουστερη μορφη τις αραστασεις ημ συν + συν ημ i ημ( + ii εφ - εφ +εφ εφ iv) 6 ) συν - συν( + εφ( + ) + εφ( - ) 6 -εφ( + ) εφ( - ) 6 6 ) ημ ημ συν + συν ημ ημ( + ) ημ i ημ( + ) συν - συν( + ) ημ ημ( + - ) ημ ii εφ - εφ +εφ εφ εφ( ) εφ( ) - εφ iv) εφ + + εφ - 6 -εφ + εφ - 6 εφ( εφ[ ( ) εφ( - )] - εφ( + ) εφ( - - ) - σφ + ) Α σ κ η σ η. 6 6 Να αοδειξετε οτι ημ( + ) + ημ( - ) ημ i (ημα + συνα) (ημβ + συνβ) ημ(α + β) + συν(α β) ημ( + ) + ημ( - ) ημ συν ημ συν + συν ημ + ημ συν ημ ημ - συν ημ i (ημα + συνα)(ημβ + συνβ) ημαημβ + ημασυνβ + συναημβ + συνασυνβ () ημ(α + β) + συν(α β) ημασυνβ + συναημβ + συνασυνβ + ημαημβ () Αο τις (), () ροκυτει το ζητουμενο.

72 7 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α Α σ κ η σ η. 6 7 Να υολογισετε, χωρις τη χρηση υολογιστων τσεης, τους τριγωνομετρικους αριθμους των ο και 9 ο. ημ ο ημ(6 ο + ο ) ημ 6 ο συν ο + συν 6 ο ημ ο συν ο συν(6 ο + ο ) συν 6 ο συν ο ημ 6 ο ημ ο εφ ο σφ ο ημ - συν εφ ( 6 + ) - ( 6 - )( 6 + ) ( + ) - ( + )( - ) - - ( + ) ημ9 ο ημ(9 ο + ο ) ημ 9 ο συν ο + συν 9 ο ημ ο συν ο + ημ ο συν ο - 6 συν9 ο συν(9 ο + ο ) συν 9 ο συν ο ημ 9 ο ημ ο εφ9 ο συν ο ημ ο - ημ ο - ημ9 συν σφ9 ο εφ9 - + ( - )( + ) 6 + ( 6 - ) ( 6 + )( 6 - ) Α σ κ η σ η. 6 8 Να αοδειξετε οτι ημ(α + β) εφα + εφβ συνα συνβ i σφα + σφβ ημ(α + β) ημα ημβ εφα + εφβ ημα συνα + ημβ συνβ ημα συνβ + συνα ημβ συνα συνβ ημ(α + β) συνα συνβ

73 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α 7 i σφα + σφβ συνα ημα + συνβ ημβ ημβ συνα + ημα συνβ ημα ημβ ημ(α +β) ημα ημβ Α σ κ η σ η. 6 9 Να αοδειξετε οτι για τις γωνιες α, β των αρακατω σχηματων ισχυει: ημ( α + β) 6 6 i συν( α + β) 6 6 α β Ειναι ημα και συνβ συν α + ημ α συν α - ημ α - συν β + ημ β ημ β - συν β - ημ(α + β) ημα συνβ + συνα ημβ i συν( α + β) συνα συνβ ημα ημβ συνα 6 ημβ Α σ κ η σ η. 6 Να υολογισετε τους τριγωνομετρικους αριθμους της γωνιας α + β, αν i ) ημα, συνβ -, < α < κα < β < i συνα -, ημβ -, < α < και < β < συν α + ημ α συν α - ημ α - συν β + ημ β ημ β - συν β συνα 69 ημβ 69

74 7 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α ημ( α + β) ημασυνβ + συνα ημβ συν(α + β) συνασυνβ ημα ημβ εφ(α + β) σφ(α + β) i ημ(α + β) συν(α + β) - 6 εφ(α + β) συν α + ημ α ημ α - συν α - συν β + ημ β συν β - ημ β - ημ( α + β) ημασυνβ + συναημβ - συν(α + β) συνασυνβ ημαημβ - εφ( α + β) ημ(α +β) συν(α +β) σφ(α + β) δεν οριζεται ημα - 9 συνβ Α σ κ η σ η. 6 Να λυσετε τις εξισωσεις i ) ημ συν( + i εφ + εφ( 6 ) + ) - ii εφ( α) -, αν εφα - ημ συν( + 6 ) ημ συν συν 6 - ημ ημ ημ συν - ημ ημ συν () Αν συν τοτε και ημ, οοτε Eτσι, συν και η () γινεται : ημ συν εφ εφ 6 κ + 6, κ i Περιορισμος : 6 ημ συν - ημ συν + ημ + ατοο.

3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ . Ι ΤΡΙΓΩΝΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 8 8 A Oµάδας.i) Να σχεδιάσετε τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων, στο ίδιο σύστηµα αξόνων: f() = ηµ, g() = 0,5.ηµ, h() = ηµ, 0 0 ηµ

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μαθητής ου έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα ρέει: Να γνωρίζει την έννοια της εριοδικής συνάρτησης,και να μορεί να σχεδιάζει τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων y= αημ(ωx), y=ασυν(ωx). Να μορεί

Διαβάστε περισσότερα

(Μονάδες 15) (Μονάδες 12)

(Μονάδες 15) (Μονάδες 12) ΑΛΓΕΒΡΑ Β Λυκε ί ου τ ράε ζ αθε μάτ ων( 1ηέ κδοση) θέ μαδε ύτ ε ροκαιτ έ τ αρτ ο Κόμβ οςατ σι οούλου01415 δης Ει μέ λε ι α:εμμανουήλκ.σκαλί Αντ ώνηςκ.αοστ όλου Άσκηση 1 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. 1.Να βρείτε τους αριθμούς: i)ημ ii)συν( ) ΛΥΣΗ i)διαιρώντας το 1125 με το 360 βρίσκω.

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. 1.Να βρείτε τους αριθμούς: i)ημ ii)συν( ) ΛΥΣΗ i)διαιρώντας το 1125 με το 360 βρίσκω. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Να βρείτε τους αριθμούς: i)ημ5 0 ii)συν(-660 0 ) i)διαιρώντας το 5 με το 60 βρίσκω και εομένως 0 0 0 5 60 5 5 60 5 5 0 0 0 0 0 ii) ( 660 ) ( 70 60 ) ( 60 60 ) 0 (60 ) Να

Διαβάστε περισσότερα

Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία. Μάκος Σπύρος. Πανούσης Γιώργος. Παπαθανάση Κέλλυ. Ραμαντάνης Βαγγέλης.

Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία. Μάκος Σπύρος. Πανούσης Γιώργος. Παπαθανάση Κέλλυ. Ραμαντάνης Βαγγέλης. Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία Μάκος Σύρος Πανούσης Γιώργος Πααθανάση Κέλλυ Ραμαντάνης Βαγγέλης Σαμάνης Νίκος Τόλης Ευάγγελος -1-01 18808Δίνεται η εξίσωση x y 7 Γραμμικά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Κεφάλαιο 3 ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. τριγωνομετρικοι αριθμοι γωνιασ Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας Έστω οξεία γωνία ω. Αν άνω στη μία αό τις δύο λευρές της γωνίας άρουμε τυχαία σημεία Μ και Ν και φέρουμε τις

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου 2o Θέμα. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (26/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου 2o Θέμα. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (26/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου o Θέμα Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση 1 η (6/11/014) Οι ααντήσεις και οι λύσεις είναι αοτέλεσμα συλλογικής δουλειάς των Ειμελητών των φακέλων του

Διαβάστε περισσότερα

Αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο

Αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο ΑΛΓΕΒΡΑ ΒΛ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 1-1. -175663 Βασικές Τριγωνομετρικές ταυτότητες Αν 0

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ 16968, 1765, 17656, 17663, 17664, 17681, 1769, 17699, 17704, 1775, 17736, 17739, 17741 ΘΕΜΑΤΑ 4 17837, 17838,

Διαβάστε περισσότερα

1. Ένα σώµα ταλαντώνεται κατακόρυφα στο άκρο ενός ελατηρίου. Η απόσταση του σώµατος

1. Ένα σώµα ταλαντώνεται κατακόρυφα στο άκρο ενός ελατηρίου. Η απόσταση του σώµατος 1. Ένα σώµα ταλαντώνεται κατακόρυφα στο άκρο ενός ελατηρίου. Η αόσταση του σώµατος αό το έδαφος (σε cm), δίνεται αό την συνάρτηση f(t)=1ηµ t +13, όου t ο χρόνος σε ώρες. α) Να βρείτε την ερίοδο της ταλάντωσης.

Διαβάστε περισσότερα

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου Ελευθέριος Πρωτοαάς Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου Δεκέμβριος 04 Περιεχόµενα o Θέμα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα 6950 8 6954 9

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΕΥΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΕΥΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΕΥΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Πρόσημο τριγωνομετρικών αριθμών Το ρόσημο των τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας (ή τόξου) καθ αό το τεταρτημόριο στο οοίο βρίσκεται

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΩΝΙΕΣ Π ΟΥ Σ ΥΝΔΕΟΝΤΑΙ Μ ΕΤΑΞΥ Τ ΟΥΣ

Γ ΩΝΙΕΣ Π ΟΥ Σ ΥΝΔΕΟΝΤΑΙ Μ ΕΤΑΞΥ Τ ΟΥΣ Γ ΩΝΙΕΣ Π ΟΥ Σ ΥΝΔΕΟΝΤΑΙ Μ ΕΤΑΞΥ Τ ΟΥΣ Γωνίες με την ίδια τελική λευρά Γωνίες με άθροισμα 180 - Γωνίες με διαφορά 180 - Γωνίες αντίθετες Γωνίες με άθροισμα 90 - Γωνίες με διαφορά 90 Γωνίες με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός Έστω µία συνάρτηση f µε εδίο ορισµού Α και A Θα λέµε ότι η f είναι εριοδική όταν υάρχει ραγµατικός αριθµός Τ > 0 έτσι ώστε για κάθε Α να ισχύει : i)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ 1. Τι ονομάζουμε εριοδική συνάρτηση Μια συνάρτηση ƒ με εδίο ορισμού το Α λέγεται εριοδική όταν υάρχει ραγματικός αριθμός Τ, Τ > 0 τέτοιος ώστε για κάθε χ Α να ισχύει α) χ+τ Α, χ -

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2017

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2017 Στασίνου 6, Γραφ., Στρόβολος, Λευκωσία Τηλ. 57-78 Φαξ: 57-79 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Παρασκευή, 9/5/7 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΜΕΡΟΣ Α ln( x). Να υολογίσετε

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας. Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οποιασδήποτε γωνίας. . Τότε ορίζουμε: ί ά ά.

Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας. Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οποιασδήποτε γωνίας. . Τότε ορίζουμε: ί ά ά. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας Αό το Γυμνάσιο ξέρουμε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: ημβ = = έάά ί Γ συνβ = = ίάά ί β α εφβ = = έάά ίάά Τριγωνομετρικοί

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου Θέμα Εαναλητικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου Α. Αν α>0 με α, τότε για οοιουσδήοτε θ, θ,θ>0 και κ ισχύει log ( θ θ ) = log θ + log θ (7 μονάδες) α α α Β. Να χαρακτηρίσετε τις ροτάσεις ου ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 3ο Κεφάλαιο - Τριγωνομετρία - Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες. , να βρεθούν

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 3ο Κεφάλαιο - Τριγωνομετρία - Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες. , να βρεθούν ΠΑΝΤΕΛΗΣ ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ B Λυκείου Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3ο - Φ Υ Λ Λ Ο Νο ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Αν 3 και < x < 3, να βρεθούν οι ΠΡΟΣΟΧΗ : Βασικές Τριγωνομετρικές Ταυτότητες

Διαβάστε περισσότερα

4. ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

4. ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ι ΤΡΙΓΩΝΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Περιοδική συνάρτηση Μια συνάρτηση f με εδίο ορισμού το Α ονομάζεται εριοδική, όταν υάρχει ραγματικός αριθμός Τ > 0 τέτοιος ώστε: για κάθε A να ισχύει T A και T A, ισχύει f

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 3ος

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 3ος Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Τόμος 3ος Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Καθηγητής Πανειστημίου Αθηνών Κατσαργύρης Βασίλειος Καθηγητής μαθηματικών Βαρβακείου Πειραμ. Λυκείου Παασταυρίδης Στάυρος Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ελευθέριος Πρωτοαάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΗ ίνεται η συνάρτηση f µε f() = 5 4 +α, όου α R και το είναι ρίζα της εξίσωσης f() =. α) Να βρείτε το α R. β) Να λύσετε

Διαβάστε περισσότερα

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου ογελ ΣΥΚΕΩΝ ο ΓΕΛ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 3-4 ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ Ειμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μαθητής ου έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα ρέει: Να γνωρίζει την έννοια της εριοδικής συνάρτησης,και να μορεί να σχεδιάζει τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων y= αημ(ωx), y=ασυν(ωx). Να μορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Ο Μιγαδικοί 5 Έστω w i w wi, όου w i,, R α. Να ρεθούν τα Rw και Im w. Να ρεθεί ο γεωμετρικός τόος των σημείων Μw στο μιγαδικό είεδο γ. Να ρεθεί τ

ΘΕΜΑ Ο Μιγαδικοί 5 Έστω w i w wi, όου w i,, R α. Να ρεθούν τα Rw και Im w. Να ρεθεί ο γεωμετρικός τόος των σημείων Μw στο μιγαδικό είεδο γ. Να ρεθεί τ ΘΕΜΑ Ο Μιγαδικοί i Δίνεται ο μιγαδικός και έστω w α. Να ρεθεί ο μιγαδικός w όταν w. Να δείετε ότι w i γ. Αν η εικόνα του κινείται στον κύκλο κέντρου, και ακτίνας και Μ είναι η εικόνα του w στο μιγαδικό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ο ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

Κεφάλαιο 2 ο ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Κεφάλαιο ο ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Σε προηγούμενες τάξεις γνωρίσαμε την έννοια της συνάρτησης και μελετήσαμε ορισμένες βασικές συναρτήσεις. Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετήσουμε στη γενική τους μορφή ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύου «Σωστό - Λάθος». * Αν = α + βi, α, β R και = 0, τότε α = 0 και β = 0. Σ Λ. * Αν = α + βi και αβ 0, τότε = α β i. Σ Λ. * Αν = κ + λi κ, λ R, τότε Re () =

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ . ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. = 4 Να λύσετε το σύστηµα + = αλγεβρικά γραφικά = 4 = 4+ + = + = = 4+ 4 + + = = 4+ = = 4+ = = 4 = = = = 4 = 4 παριστάνει ευθεία ε Για = 0

Διαβάστε περισσότερα

Physics by Chris Simopoulos

Physics by Chris Simopoulos ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ Χαρακτηριστικά μεγέθη της αλής αρμονικής ταλάντωσης είναι: Α) Αομάκρυνση (x ή y): ονομάζεται η αόσταση του σώματος κάθε χρονική στιγμή αό την θέση ισορροίας (x= ή y=) Β) Το λάτος της

Διαβάστε περισσότερα

3.9 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x) = αηµx + βσυνx

3.9 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x) = αηµx + βσυνx 1.9 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x) = αηµx + βσυνx Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 11 11 A Oµάδας 1.i) Να βρείτε την ερίοδο, τη µέγιστη τιµή και την ελάχιστη τιµή της αρακάτω συνάρτησης και στη συνέχεια να την αραστήσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ...7 ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ... 9 Θεωρία... 9 Ερωτήσεις... 9 Μεθοδολογία Παραδείγματα Ασκήσεις...

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ...7 ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ... 9 Θεωρία... 9 Ερωτήσεις... 9 Μεθοδολογία Παραδείγματα Ασκήσεις... ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ...7 ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ... 9 Θεωρία... 9 Ερωτήσεις... 9 Μεθοδολογία... 16 Παραδείγματα... 6 Ασκήσεις... 33 ΕΝΟΤΗΤΑ : ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ... 39 Θεωρία... 39 Ερωτήσεις...

Διαβάστε περισσότερα

Γ 2 κριτ.οµοιοτ. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΥΣΚΟΛΙΑΣ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ / ΤΑΞΗ : Β ΛΥΚΕΙΟΥ. ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ «Θέµατα Β»

Γ 2 κριτ.οµοιοτ. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΥΣΚΟΛΙΑΣ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ / ΤΑΞΗ : Β ΛΥΚΕΙΟΥ. ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ «Θέµατα Β» ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΥΣΚΟΛΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ «Θέµατα Β» Άσκηση GI_V_GEO 899 [Παράγραφος 8.] Στο αρακάτω σχήµα τα τµήµατα ΑΕ και Β τέµνονται στο Γ. Να αοδείξετε ότι τα τρίγωνα

Διαβάστε περισσότερα

Νίκος Ζανταρίδης. Χρήσιμες γνώσεις Τριγωνομετρίας. Λυμένες Ασκήσεις. Προτεινόμενες Ασκήσεις

Νίκος Ζανταρίδης. Χρήσιμες γνώσεις Τριγωνομετρίας. Λυμένες Ασκήσεις. Προτεινόμενες Ασκήσεις Νίκος Ζανταρίδης ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΜΕ ΤΗΝ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΗΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Χρήσιμες γνώσεις Τριγωνομετρίας Λυμένες Ασκήσεις Προτεινόμενες Ασκήσεις Αύγουστος 04 Πρόλογος Στο μικρό αρόν όνημα καταβλήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

1. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας

1. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας v.5 «Αυτό το ρόβλημα, τούτ η μεγάλη συμφορά για να λυθεί χρειάζεται, δίχως αμφιβολία, όως κοιτάζω α τη δική σου την λευρά, να δεις κι εσύ α τη δική μου τη γωνία».. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας

Διαβάστε περισσότερα

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 1 η δεκάδα θεµάτων εανάληψης 1. ίνεται το ολυώνυµο Ρ(x) = x 3 x 2 4x + 4 Να αοδείξετε ότι ο αριθµός ρ = 1 είναι ρίζα του ολυωνύµου i Να βρείτε το ηλίκο της διαίρεσης του ολυωνύµου Ρ(x) µε το ολυώνυµο

Διαβάστε περισσότερα

Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις

Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις. Ονομασίες Ορισμοί Ο τριγωνομετρικός κύκλος έχει ακτίνα R. Αρχή μέτρησης των τόξων (γωνιών) είναι το Α, είτε κατά τη θετική φορά (αριστερόστροφα)

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Βασικές Τριγωνομετρικές Εξισώσεις

1.2 Βασικές Τριγωνομετρικές Εξισώσεις 1. Βασικές Τριγωνομετρικές Εξισώσεις 1 η Μορφ Ασκσεων: Μας ζητούν να λύσουμε μια εξίσωση της μορφς: = α, α 0 = α, α 0 εφx = α, α 0 σφx = α, α 0 1. Να λυθούν οι εξ ισώσεις: i. ημ x =, ii. ημ x= 0, iii.

Διαβάστε περισσότερα

3.5 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

3.5 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Ασκσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 88-89 A Oµάδας 1.i) Να λύσετε την εξίσωση ηµx = 0 ηµx = 0 ηµx = ηµ0 x = k + 0 x = k + 0, k Z Σηµείωση: Οι λύσεις αυτές διαφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ - ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ http://mathhmagic.blogspot.com/ Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί (Εαναλητικά) Ε ί εδη γωνία είναι η κλίση µεταξύ δυο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. εφχ = εφθ χ = κ + θ χ = κ π + θ ( τύποι λύσεων σε ακτίνια )

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. εφχ = εφθ χ = κ + θ χ = κ π + θ ( τύποι λύσεων σε ακτίνια ) ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ηµχ = ηµθ χ = 0 0 κ + θ ή χ = 0 0 κ + 80 0 - θ ( τύοι λύσεων σε µοίρες ) χ = κ + θ ή χ = κ + - θ ( τύοι λύσεων σε ακτίνια ) κ ακέραιος συνχ = συνθ χ = 0 0 κ ± θ ( τύοι λύσεων

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης-1 ο /2017 ΛΥΣΕΙΣ

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης-1 ο /2017 ΛΥΣΕΙΣ Λύσεις θεμάτων ροσομοίωσης- ο /7 ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΑΒΒΑΤΟ, ΜΑΡΤΙΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1. θ (0, ). 4 α) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι μη πραγματικοί αριθμοί. β) Έστω z,z. Δ = 4εφ θ 4= 4(εφ θ 1) < 0 γιατί π

ΘΕΜΑ 1. θ (0, ). 4 α) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι μη πραγματικοί αριθμοί. β) Έστω z,z. Δ = 4εφ θ 4= 4(εφ θ 1) < 0 γιατί π ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ Δίνεται η εξίσωση: z (εφθ)z + =, θ (, ). 4 α) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι μη ραγματικοί αριθμοί. β) Έστω z,z οι ρίζες της αραάνω εξίσωσης. Αν ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

4.3 ΟΓΚΟΣ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ

4.3 ΟΓΚΟΣ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ ΜΡΟΣ Β 4. ΟΓΚΟΣ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ 81 4. ΟΓΚΟΣ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ Μονάδες μέτρησης όγκου Ως µονάδα µέτρησης όγκου θεωρούµε έναν κύο µε ακµή µήκους 1 µέτρο(m). Ο όγκος του ισούται µε 1 κυικό µέτρο

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

α) Αν ονομάσουμε x το πλάτος του Νείλου στην συγκεκριμένη θέση ΑΒ έχουμε: Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ εφ45 o = 1 = ΒΓ = x

α) Αν ονομάσουμε x το πλάτος του Νείλου στην συγκεκριμένη θέση ΑΒ έχουμε: Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ εφ45 o = 1 = ΒΓ = x ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΗ η Αιγύτιοι μηχανικοί, για να ροσδιορίσουν το λάτος του οταμού Νείλου μεταξύ δύο σημείων A και B, ροσδιόρισαν με το θεοδόλιχο μια διεύθυνση κάθετη ρος την

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ

Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης o ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ Ααντήσεις ΘΕΜΑ ο Α. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 6. B. Σχολικό βιβλίο, σελίδες 97 και

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 12: ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 12: ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..9: Ασύμτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΚΥΜΑΤΑ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΚΥΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΚΥΜΑΤΑ 010-11 ΘΕΜΑ 1 ο : 1) Κατά τη διάδοση ενός κύματος σ ένα ελαστικό μέσον i) μεταφέρεται ύλη. ii) μεταφέρεται ενέργεια και ύλη. iii) όλα τα σημεία του ελαστικού μέσου έχουν την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ 1 Να υολογίσετε τα όρια: 9 i) ii) ( ) 9 iii) 1 1 1 iv) 7 10 5 15 t t t 1 v) vi) t (t )(t ) 1 1 9 i) (ημ συν) ) 1 7 συν vii) 1 ημ viii) 1 5 i) ii) ημ 6 1 009, άν

Διαβάστε περισσότερα

σώμα από τη θέση ισορροπίας του με οριζόντια ταχύτητα μέτρου 4 m/s και με φορά προς τα δεξιά.

σώμα από τη θέση ισορροπίας του με οριζόντια ταχύτητα μέτρου 4 m/s και με φορά προς τα δεξιά. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕ ΕΛΑΤΗΡΙΑ. Ένα σώμα μάζας m = kg βρίσκεται άνω σε λείο δάεδο και είναι δεμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k = N/m, το άλλο άκρο του οοίου είναι στερεωμένο σε κατακόρυφο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο.

ΘΕΜΑ 2 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. (Μονάδες 10) β) Να παραστήσετε γραφικά στο επίπεδο τις δυο εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

με παραμέτρους α, β, γ R α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α, β, γ, ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (1,-4).

με παραμέτρους α, β, γ R α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α, β, γ, ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (1,-4). Δίνεται το σύστημα: x 2y= 9 ax+ βy= γ με παραμέτρους α, β, γ R α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α, β, γ, ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (1,-4). (Μονάδες 13) β) Να επιλέξετε

Διαβάστε περισσότερα

Tριγωνομετρικές εξισώσεις

Tριγωνομετρικές εξισώσεις Tριγωνομετρικές εξισώσεις Εχουμε μάθει να λύνουμε εξισώσεις ρώτου βαθμού και δευτέρου βαθμού ου είναι ισότητες ου εριέχουν έναν άγνωστο και ροσαθούμε να βρούμε για οιά (ή οιές) τιμές αυτού του αγνώστου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ -ΙΟΥΝΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ :

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ -ΙΟΥΝΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ : ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ -ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Θέμα 1 ον ΘΕΩΡΙΑ : α) Τι καλείται αριθμητική παράσταση και τι καλείται αλγεβρική παράσταση ; β) Να συμπληρώσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ α α (ii)

ΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ α α (ii) ΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1-13 1 Ποιοι αριθμοί ονομάζονται ομόσημοι και ποιοι ετερόσημοι; 1 Δίνονται οι αριθμοί: 1,,.1,,, 9, + 3, 3 3.1 Ποιοι από αυτούς είναι θετικοί και ποιοι αρνητικοί;.

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ. ,δηλαδή ορίζεται τουλάχιστον σ ένα από τα σύνολα (α, x. lim. lim g(x) , λ σταθερά lim g(x) (ισχύει και για περισσότερες από 2

ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ. ,δηλαδή ορίζεται τουλάχιστον σ ένα από τα σύνολα (α, x. lim. lim g(x) , λ σταθερά lim g(x) (ισχύει και για περισσότερες από 2 ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ Έστω μια συνάρτηση f η οοία ορίζεται όσο κοντά θέλουμε στο,δηλαδή ορίζεται τουλάχιστον σ ένα αό τα σύνολα (α, ) (,β) ή (α, ) ή (,β). Όταν οι τιμές της f()ροσεγγίζουν όσο θέλουμε τον ραγματικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι. Να αντιστοιχίσετε καθένα από τα συστήματα: (Σ 1 ): { (Σ 2 ): { (Σ 3 ): { (Σ 4 ): { με εκείνη από τις απαντήσεις Α, Β, Γ που νομίζετε ότι είναι η σωστή.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΕΡΟΣ A ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφ. 1, Στρόβολος 3, Λευκωσία Τηλ. 357-37811 Φαξ: 357-3791 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 13 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ημερομηνία: Πέμτη, 3/5/13

Διαβάστε περισσότερα

Β Γενική Τριγωνομετρία

Β Γενική Τριγωνομετρία Β Γενική Τριγωνομετρία 40 Γενικευμένη γωνία - Γενικευμένα τόξα - Το ακτίνιο Τριγωνομετρικός κύκλος - Τριγωνομετρικοί αριθμοί γενικευμένης γωνίας 1. Η γωνία ω του παρακάτω σχήματος είναι θετική. α) Συνδέστε

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ (Επαναλήψεις Συμπληρώσεις) Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας

1.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ (Επαναλήψεις Συμπληρώσεις) Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας . ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ (Επαναλήψεις Συμπληρώσεις) Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας Έστω οξεία γωνία ω. Αν πάνω στη μία από τις δύο πλευρές της γωνίας πάρουμε τυχαία σημεία Μ και Ν και φέρουμε

Διαβάστε περισσότερα

( ) Λ αφού αν διαιρέσουμε με το 2 τους όρους του 2 ης εξίσωσης το σύστημα γίνεται Ρ =

( ) Λ αφού αν διαιρέσουμε με το 2 τους όρους του 2 ης εξίσωσης το σύστημα γίνεται Ρ = 17 ο Γενικό Λύκειο Αθηνών Σχολικό έτος 01-015 ΤΑΞΗ:B' Λυκείου ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΙΟΥΝΙΟΥ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ :Αθήνα 8-6-015 ΘΕΜΑ 1ο Α. Nα αοδείξετε ότι αν ένα ολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Το ακτίνιο ως μονάδα μέτρησης γωνιών: Το ακτίνιο (ή rad) είναι η γωνία που, όταν γίνει επίκεντρη κύκλου (Ο, ρ), βαίνει σε τόξο που έχει μήκος ίσο με την ακτίνα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ α ) η μ + συν = γ ) εφ + =, ¹ κπ+ sun hm β ) εφ =, ¹ κπ+ sun sun δ ) σφ =, ¹

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Παρουσίαση ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Παρουσίαση δ Θεωρητικά θέµατα Ας δούµε την είλυση ενός αραµετρικού γραµµικού συστήµατος. Θέµα Θα λύσουµε το σύστηµα D = D D y λ λ λ = λ = λ λ = λ + λ (Σ) : λ y = λ λ y = λ = λ(λ )

Διαβάστε περισσότερα

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Τριγωνομετρικοι αριθμοι οξειων γωνιων

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Τριγωνομετρικοι αριθμοι οξειων γωνιων Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Τριγωνομετρικοι αριθμοι οξειων γωνιων 22 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 Κλίση ευθείας Όλοι έχουμε στο δρόμο τα παρακάτω σήματα, που από την εμπειρία μας καταλαβαίνουμε ότι πλησιάζουμε σε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΥΡΕΣΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΥΡΕΣΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόουλου ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΥΡΕΣΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Α. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ολοκληρώνοντας το 1 ο κεφάλαιο στα Μαθηματικά της Γενικής Παιδείας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΔΕ Άσκηση 6 Α. Τόγκας

ΜΔΕ Άσκηση 6 Α. Τόγκας Πρόβλημα 15. Για κάθε μια αό τις ακόλουθες αρχικές τιμές θερμοκρασίας i) να βρεθεί η λύση στην μορφή μια σειράς Fourier της εξίσωσης της θερμότητας με εριοδικές συνοριακές συνθήκες u t = u x x < x

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 6ος 1η ΕΚΔΟΣΗ

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 6ος 1η ΕΚΔΟΣΗ Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Τόμος 6ος 1η ΕΚΔΟΣΗ Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Καθηγητής Πανειστημίου Αθηνών Κατσαργύρης Βασίλειος Καθηγητής μαθηματικών Βαρβακείου Πειραμ. Λυκείου Παασταυρίδης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ. ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ. ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ου ΒΑΘΜΟΥ α + β + γ 0, α 0 β 4 αγ Αν >0, τότε η εξίσωση έχει δύο πραγµατικές ρίζες: 1, β ± α Αν 0, τότε η εξίσωση έχει µια ρίζα διπλή: β

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ορίζω: Ορίζω: ηµω= y ρ. x x

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ορίζω: Ορίζω: ηµω= y ρ. x x 1 ΤΡΙΓΩΝΜΕΤΡΙΑ [1].Τυολόγιο τριγνοµετρίας (Εαναλήψεις) α. Τριγνοµετρικοί αριθµοί σε ορθογώνιο τρίγνο αέναντι Γ Α β υοτείνουσα α γ ροσκείµενη ρίζ: β. Τριγνοµετρικοί αριθµοί σε σύστηµα συντεταγµένν ηµβ=

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΚΩΛΕΤΤΗ

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΚΩΛΕΤΤΗ ΚΩΛΕΤΤΗ 9- -68 8464 84767 www.iraklitos.gr ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΚΑΙ Δ ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β') ΤΕΤΑΡΤΗ 8 ΜΑΪΟΥ 6 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Α. ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΟΞΕΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ 1. Στο τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ = 8cm και η γωνία Β = 64 0. Να υπολογίσετε το μήκος της πλευράς ΑΓ. 2. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ = 9cm και εφγ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό σας. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Να συμπληρώσετε

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου.

Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου. Άλγεβρα Β Λυκείου Στέλιος Μιχαήλογλου wwwaskisopolisgr Το φυλλάδιο αυτό δημιουργήθηκε για να χρησιμοποιηθεί ως επέκταση του σχολικού βιβλίου και όχι αυτόνομα δ έκδοση 0--06 Συστήματα Γραμμικές Εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα ( ) = ( 1)( 3 2) ( 1) 2. i) Να αποδείξετε ότι ( ) ii) Να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή του ( ) iii) Να λύσετε την εξίσωση P( x ) = 0

Άλγεβρα ( ) = ( 1)( 3 2) ( 1) 2. i) Να αποδείξετε ότι ( ) ii) Να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή του ( ) iii) Να λύσετε την εξίσωση P( x ) = 0 ΤΑΞΗ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ MAΘΗΜΑΤΙΚΑ 016 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Άλγεβρα 1) Δίνεται το πολυώνυμο ( ) = ( + 1)( 1) ( + 1)( 5 + 7) P x x x x x i) Να αποδείξετε ότι ( ) P x = 7x x 8 Να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή

Διαβάστε περισσότερα

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2017

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2017 Πανελλαδικές Εξετάσεις 7 Μαθηματικά Προσανατολισμού 9/6/7 ΘΕΜΑ Α Προτεινόμενες λύσεις Α. Έστω, Δ, με

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

Bbs. ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΥΝΟΛΑ Σύνολο Φυσικών αριθμών: N = {0,1,2, } Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Z = {,-2,-1,0,1,2, } Σύνολο Ρητών αριθμών: Q = {

Bbs. ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΥΝΟΛΑ Σύνολο Φυσικών αριθμών: N = {0,1,2, } Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Z = {,-2,-1,0,1,2, } Σύνολο Ρητών αριθμών: Q = { ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΥΝΟΛΑ Σύνολο Φυσικών αριθμών: N = {0,1,2, } Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Z = {,-2,-1,0,1,2, } Σύνολο Ρητών αριθμών: Q = { Άρρητοι αριθμοί A: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών αριθμών R=

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικά Συστήματα Δίνεται η εξίσωση 4x y 11(1). α) Ποια από τα ζεύγη (2, 3),(0, 11), (1, 8) κα (7, 0) είναι λύση της εξίσωσης (1);

Γραμμικά Συστήματα Δίνεται η εξίσωση 4x y 11(1). α) Ποια από τα ζεύγη (2, 3),(0, 11), (1, 8) κα (7, 0) είναι λύση της εξίσωσης (1); 8808Δίνεται η εξίσωση x y 7 Γραμμικά Συστήματα α) Να επαληθεύσετε ότι το ζεύγος αριθμών x, y, είναι μια λύση της εξίσωσης β) Να αποδείξετε ότι το, 88Δίνεται η εξίσωση x y 8 δεν είναι λύση του συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ

Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Β ημφ, εφφ σφφ Μ Δ συνφ Α www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 1 N Β, 90 ο Α, ο H O 1ο 3ο E Σ Δ, 180 ο 360 ο Ν, 70 ο 4ο 1 ο Τεταρτημόριο

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 2ος

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 2ος Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Τόμος ος Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Κατσαργύρης Βασίλειος Καθηγητής μαθηματικών Βαρβακείου Πειραμ. Λυκείου Παπασταυρίδης Στάυρος Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (παράγραφοι 3.1 έως και 3.5) Α. Να αποδείξετε τις παρακάτω ταυτότητες:

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (παράγραφοι 3.1 έως και 3.5) Α. Να αποδείξετε τις παρακάτω ταυτότητες: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (παράγραφοι.1 έως και.5) Α. Να αποδείξετε τις παρακάτω ταυτότητες: 1 1. 1. 1 1 1. 4. 1 1 1 5. 1 1 1 1 1 6. 1 7 Β. Να υπολογίσετε την τιμή των παρακάτω παραστάσεων:

Διαβάστε περισσότερα

γραφική παράσταση της συνάρτησης f, τον άξονα x x και τις ευθείες x = 1 και x = 2. lim lim (x 3) ) = 9α οπότε: (1 e ) (x 3) (1 e )(x 3) (x 3)

γραφική παράσταση της συνάρτησης f, τον άξονα x x και τις ευθείες x = 1 και x = 2. lim lim (x 3) ) = 9α οπότε: (1 e ) (x 3) (1 e )(x 3) (x 3) ΘΕΜΑΤΑ Έστω f µια ραγµατική συνάρτηση µε τύο f() α) Αν η f είναι συνεχής, να αοδείξετε ότι α - 9 α,, > β) Να βρείτε την εξίσωση της εφατοµένης της γραφικής αράστασης C f της συνάρτησης f στο σηµείο Α(4,

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικά Συστήματα. δεν είναι λύση του συστήματος. β) Ποιο από τα παραπάνω ζεύγη είναι λύση του συστήματος

Γραμμικά Συστήματα. δεν είναι λύση του συστήματος. β) Ποιο από τα παραπάνω ζεύγη είναι λύση του συστήματος 8808Δίνεται η εξίσωση x y 7 Γραμμικά Συστήματα α) Να επαληθεύσετε ότι το ζεύγος αριθμών x, y 4, είναι μια λύση της εξίσωσης β) Να αποδείξετε ότι το 4, 88Δίνεται η εξίσωση x y 8 δεν είναι λύση του συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

(Ενδεικτικές Απαντήσεις) ΘΕΜΑ Α. Α1. Βλέπε απόδειξη Σελ. 262, σχολικού βιβλίου. Α2. Βλέπε ορισμό Σελ. 141, σχολικού βιβλίου

(Ενδεικτικές Απαντήσεις) ΘΕΜΑ Α. Α1. Βλέπε απόδειξη Σελ. 262, σχολικού βιβλίου. Α2. Βλέπε ορισμό Σελ. 141, σχολικού βιβλίου ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 18 ΜΑΪΟΥ 16 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) (Ενδεικτικές Ααντήσεις)

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα στα Μαθηματικά Προσανατολισμών Γ

Επαναληπτικό Διαγώνισμα στα Μαθηματικά Προσανατολισμών Γ ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Ποια συνάρτηση ονομάζεται αρχική ή αράγουσα της f στο ; Μονάδες 4 Α. Να διατυώσετε το θεώρημα Rolle. Μονάδες (1+1+1+1)4 Α3. Να διατυώσετε και να

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ -ΑΡΜΟΝΙΚΟ ΚΥΜΑ-ΣΤΑΣΙΜΟ

ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ -ΑΡΜΟΝΙΚΟ ΚΥΜΑ-ΣΤΑΣΙΜΟ ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ -ΑΡΜΟΝΙΚΟ ΚΥΜΑ-ΣΤΑΣΙΜΟ Το σηµείο Ο γραµµικού ελαστικού µέσου το οοίο ταυτίζεται µε τον άξονα χ Οχ, εκτελεί ταυτόχρονα δύο Α.Α.Τ ου γίνονται στην ίδια διεύθυνση, κάθετα στον άξονα χ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ 1. Να αναπτύξετε τις ταυτότητες: α. (α+8) β. (-) γ. (γ+k) δ. (+γ) ε. (3k-5λ) ζ. (5/κ - 4/λ) η. (/3-χ/4) θ. (χ - 3/χ) ι. (χ/3+3ψ/4) κ. (3χ+χ/) λ. (χ+8)(χ-8)

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία 1 η & Λύσεις 2009/10 Θεματική Ενότητα ΦΥΕ14 " ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ "

Εργασία 1 η & Λύσεις 2009/10 Θεματική Ενότητα ΦΥΕ14  ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ Άσκηση Εργασία η & Λύσεις 9/ Θεματική Ενότητα ΦΥΕ4 Παράδοση 6//9 Αν υοθέσουμε ως στο τρισορθογώνιο σύστημα αξόνων yz ο άξονας των z συμίτει με τη διεύθυνση της κατακόρυφου, να γράψετε αναλυτικά (με την

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρία ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΡΙΠΙΔΗΣ 2 ΑΝΘΟΥΛΑ ΣΟΦΙΑΝΟΠΟΥΛΟΥ

Τριγωνομετρία ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΡΙΠΙΔΗΣ 2 ΑΝΘΟΥΛΑ ΣΟΦΙΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΤΟ ΒΑΣΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ: ημ χ+συν χ= ημ χ=-συν χ συν χ=- ημ χ εφχ + σφ χ = εφχ ημχ συνχ = σφχ = ημ χ εφχσφχ σφχ = = συνχ ημχ + εφ χ = συν χ Γωνία χ Τριγωνομετρικοί Αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1 ο δείγμα Α. Θεωρία Α) Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό; Β) Να δώσετε τον ορισμό της εγγεγραμμένης γωνίας σε κύκλο (Ο, ρ). (Να γίνει σχήμα) Γ) Ποια

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Γεωµετρίας Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Γεωµετρίας Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισµα Γεωµετρίας Β Λυκείου Θέµα 1 Α. Να υπολογίσετε την πλευρά λ και το απόστηµα α τετραγώνου εγγεγραµµένου σε κύκλο (Ο, R) συναρτήσει της ακτίνας R (10 Μονάδες) Β. Να χαρακτηρίσετε τις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι ασκήσεις του φυλλαδίου δεν είναι ανά κεφάλαιο, αλλά τυχαία με σκοπό την τελική επανάληψη, και είναι θέματα εξετάσεων από διάφορα σχολεία του νομού Σερρών Σέρρες

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση του όγκου και του εμβαδού ορθών πρισμάτων Κανονική Πυραμίδα 1 Βάσης) (Απόστημα) 2 1 ό Βάσης) (Ύψος) 3

Μέτρηση του όγκου και του εμβαδού ορθών πρισμάτων Κανονική Πυραμίδα 1 Βάσης) (Απόστημα) 2 1 ό Βάσης) (Ύψος) 3 Βασικά σύνολα αριθμών -Σύνολο φυσικών: Ν = {0,., } ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ -Σύνολο ακεραίων: Ζ= { -.-.0.,, } Συμβολίζουμε με ν=κ και τους άρτιους και τους περιττούς αντίστοιχα. * -Σύνολο ρητών: Q =, Z &

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΑΣ ΓΩΝΙΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΑΣ ΓΩΝΙΩΝ Υπολογισμός παραστάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΑΣ ΓΩΝΙΩΝ. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων : 4 6 6 4 δ) ε) 4 6 4. Να υπολογίσετε τις τιμές των

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΛΥΚΕΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ 016-017 Κεφάλαιο 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ 1. Δίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ με Α(-1,), Β(,)και Γ(-6,).Αν Μ το μέσο της ΒΓ, να υπολογίσετε: α) το διάνυσμα BM β) το διάνυσμα AM

Διαβάστε περισσότερα