Πρόχειρες σημειώσεις στα επίπεδα ηλεκτρομαγνητικά κύματα

Transcript

1 Πρόχειρες σηειώσεις στ είεδ ηλεκτρογνητικά κύτ ΠΡΙΧΟΜΝΑ Διάδοση είεδων ΗΜΚ σε η γώγι έσ Ανάκλση κι διάδοση γι ρόστωση κάετη στην ειφάνει Ο νόος του Sell στην λάγι ρόστωση Πόλωση κάετη στο είεδο ρόστωσης Πόλωση ράλληλη στο είεδο ρόστωσης ιέλει ύλης : Δρ. Κφιάτης. ( korfiatis@sch.gr)

2 ΠΡΙΧΟΜΝΑ. Διάδοση είεδων ΗΜΚ σε η γώγι έσ..... Η διάδοση του κύτος..... Συνικές συνήκες...4. Ανάκλση κι διάδοση γι ρόστωση κάετη στην ειφάνει Μελέτη της λάγις ρόστωσης Ο νόος του Sell στην λάγι ρόστωση Πόλωση κάετη στο είεδο ρόστωσης... Ολική εσωτερική νάκλση γι κάετη όλωση Πόλωση ράλληλη στο είεδο ρόστωσης...5 Ολική νάκλση γι όλωση ράλληλη στο είεδο ρόστωσης...7 Γωνί Brewster κι κτάργηση της νκλώενης δέσης...7

3 . Διάδοση είεδων ΗΜΚ σε η γώγι έσ.. Η διάδοση του κύτος Οι εξισώσεις του Mawell σε έν γρικό υλικό είνι ρ f ε B J f ε Αουσί ηγών γίνοντι: B ε (..) (..) (..3) (..4) Οι εξισώσεις υτές είνι έν σύστη ρώτης τάξης Δ ε ερικές ργώγους το οοίο όως είνι συξευγένο (στην ίδι εξίσωση υάρχουν κι κι ) Ο στροβιλισός της (..3) είνι ( ) ( ) Κάνοντς χρήση της (..4) έχουε: ( ) ε ( ) ε Με χρήση της τυτότητς Α ( C) ( Α.C) C( Α. ) (..5) ούε ν νράγουε ι διφική τυτότητ γι τον στροβιλισό του στροβιλισού. ( ) (.) (. ) ( ) (.) Όως. οένως ( ) (..6) Αντικιστώντς την (..6) στην (..5) έχουε: ε (..7)

4 Οοίως ίρνοντς τον στροβιλισό της (..4) κι κάνοντς χρήση της (..3) έχουε ότι: B B ε Θέτουε υ κι κτλήγουε στο εξής συέρσ: ε Το ηλεκτρικό κι γνητικό εδίο ουσί ηγών ικνοοιούν την κυτική εξίσωση. υ B υ Η εξισώσεις υτές ισχύουν γι το κενό κι γι διηλεκτρικά υλικά ε ηδενική γωγιότητ. Η τχύτητ διάδοσης του κύτος δίνετι ό την σχέση: υ ε (..8) (..9) Στο κενό η τχύτητ διάδοσης είνι c ε Ο δείκτης διάλσης ενός υλικού ίζετι ό την σχέση: c ε (..) υ ε Τ είεδ ρονικά κύτ είνι οι λύσεις της κυτικής εξίσωσης της φής: i( r t) e κω i( r t) κι B B e κ ω (..) Αντικιστώντς τ εδί στην κυτική εξίσωση έχουε ότι : ω κ υ Στην σχέση (..) τ λάτη εωρούντι ιγδικοί ριοί. φρόζοντς τις εξισώσεις Mawell έχουε: κ κ κ κ οένως το ηλεκτρικό εδίο είνι κάετο στην διεύυνση διάδοσης του κύτος. B B B B B κ B κ B κ B κ Οοίως το γνητικό εδίο είνι κάετο στην διεύυνση διάδοσης του κύτος. Αό τον νόο του Farada έχουε: B φρόζοντς την τυτότητ (fa) f A f A ε A στερό κι f i( κrωt) e έχουε f f f f Όως iκ f, iκ f, iκ f Άρ f if ( κ e κ e κ e ) ifκ 3

5 οένως if κ i κ B Οοίως iωf Έτσι ο νόος του Farada γίνετι κ (..) ω Αό την ράνω σχέση συερίνουε ότι το ηλεκτρικό κι το γνητικό εδίο είνι κάετ ετξύ τους. Σχόλι: i) Τ έτρ των εδίων συνδέοντι ε την σχέση: κ ω υ ii)η υκνότητ ηλεκτρογνητικής ενέργεις είνι U B ε Όως υ ε ε οένως U B ε iii) Η υκνότητ ροής ενέργεις είνι το διάνυσ Potig S B ( κ ) ω ω ε S eκ υeκ υe κ υ υ iii) Η υκνότητ ής είνι: S Uυ υ υ iv) Η έντση του κύτος είνι [(. ) κ ( κ. ) ] [ κ ] κ ω κυ ε υ S Uυ (..3) Ι < S > ευ (..4).. Συνικές συνήκες Στην διχωριστική ειφάνει δύο έσων κι έχουε εν γένει γι γρικά διηλεκτρικά. ε ε σ f // // B B ` ` B B K ˆ // // f 4

6 όου οι δείκτες ( // ) δηλώνουν συνιστώσες κάετες (ράλληλες) στην διχωριστική ειφάνει, σ f η ειφνεική υκνότητ ελεύερου φτίου, K f η ειφνεική υκνότητ ρεύτος στην ειφάνει κι ˆ το ονδιίο κάετο διάνυσ στην ειφάνει. Αν δεν υάρχουν ελεύερ φτί ή ρεύτ στην ειφάνει, τότε οι συνικές συνήκες γίνοντι: ε ε (..) (..) // // B (..3) B ` B // ` B // (..4). Ανάκλση κι διάδοση γι ρόστωση κάετη στην ειφάνει. κ κ κ Προσίτοντς το κύ στην διχωριστική ειφάνει των δύο έσων, έν έρος του νκλάτι κι έν έρος του ετδίδετι στο υλικό. Γι τ τρί κύτ έχουε: i( κωt) i( κωt) Προσίτον: e e B B e e i( κωt) i( κωt) Ανκλώενο: e e B B e e i( κωt) i( κωt) Μετδιδόενο: e e B B e e Στ δύο υλικά το ηλεκτρικό κι το γνητικό εδίο είνι: Υλικό : Υλικό : (.) (.) (.3) Συνικές συνήκες στην διχωριστική ειφάνει (): // // B B υ υ // // (.4) (.4β) 5

7 Ορίζουε τους συντελεστές λάτους νάκλσης κι ετάδοσης έσω των σχέσεων κι τ Διιρώντς τις σχέσεις (.4) ε έχουε το σύστη: τ (.5) τ Λύνοντς το σύστη έχουε: κι τ (.6) Ο συντελεστής νάκλσης R (συντελεστής ετάδοσης T) ίζετι ως το ηλίκο της ενέργεις ου νκλάτι ό την (διδίδετι στην) ονάδ ειφάνεις στην ονάδ του χρόνου ρος την ενέργει ου ροσίτει στην ονάδ ειφάνεις στην ονάδ του χρόνου. Η ενέργει ου ροσίτει κάετ στην ονάδ ειφάνεις στην ονάδ του χρόνου είνι I < S.ˆ > ε υ Ισχύει ότι c c υ ε ε c εc Άρ ευ c οένως I < S.ˆ > c Η ενέργει ου νκλάτι κάετ ό την ονάδ ειφάνεις στην ονάδ του χρόνου είνι I < S.ˆ > c Η ενέργει ου ετδίδετι κάετ ό την ονάδ ειφάνεις στην ονάδ του χρόνου είνι I < S.ˆ > c οένως οι συντελεστές νάκλσης κι ετάδοσης είνι: a R T τ Στην ερίτωση ου το διηλεκτρικό δεν ρουσιάζει γνητικές ιδιότητες ισχύει ότι. Οι σχέσεις (.6) κι (.) γίνοντι: (.7) (.8) (.9) (.) 6

8 7 τ (.) R ) ( 4 T τ (.) Σχόλι ) ύκολ ούε ν διιστώσουε ότι RT όως νένουε ό την ρχή διτήρησης της ενέργεις. ) ειδή τ> το ετδιδόενο κύ έχει άντ την ίδι φάση ε το ροσίτον 3) Αν > ( το κύ διδίδετι ό υκνό σε ριό έσο ) τότε > κι εοένως το νκλώενο κύ έχει την ίδι φάση ε το ροσίτον 4) Αν < ( το κύ διδίδετι ό ριό σε υκνό έσο ) τότε < κι εοένως το νκλώενο κύ έχει διφά φάσης ε το ροσίτον

9 3. Μελέτη της λάγις ρόστωσης 3.. Ο νόος του Sell στην λάγι ρόστωση κ κ κ Το ροσίτον το νκλώενο κι το ετδιδόενο ηλεκτρικό κύ έχουν εξισώσεις e ω e ω e ω (3..) (3..) (3..3) ειδή η συχνότητ κίζετι ό την ηγή του κύτος είνι ίδι κι γι τ τρί κύτ. Γι τους κυτικούς ριούς έχουε: ω ω κ κ κ υ c υ c Έστω r ω ω το διάνυσ έσης τυχίου σηείου της διχωριστικής ειφάνεις. Οι συνικές συνήκες στην διχωριστική ειφάνει είνι της φής i( κ r i( r ωt) i( κ rωt) κ ω t) (...)e (...)e (...)e Θεωρούε ως σηείο νφάς έν σηείο της ειφάνεις. Έστω ε, ε ω ω κ (3..4) υ c δύο γρικώς νεξάρτητ δινύστ εί της ειφάνεις. Ισχύει ότι r γε γε ε γ, γ κτάλληλους ργτικούς ριούς. Γι ν ισχύουν οι ράνω συνήκες γι οοιοδήοτε σηείο της ειφάνεις κι οοιδήοτε χρονική στιγή ρέει οι τρεις εκέτες ν είνι ίσοι ετξύ τους. οένως κ.r κ.r κ. (3..5) r Το είεδο ρόστωσης είνι εξ ισού το είεδο ου ίζετι ό το ονδιίο διάνυσ ου είνι κάετο στην ειφάνει κι την ροσίτουσ κτίν. Αό το ρώτο έλος της (3..5) έχουε κ r κ.r ( κ κ ).r. 8

10 Άρ το διάνυσ κ κ ) είνι κάετο στο διάνυσ έσης οοιουδήοτε σηείου της ειφάνεις κι ( εοένως είνι κάετο στην ειφάνει ( ράλληλο του ˆ ) Έτσι έχουε: κ sˆ sˆ κ κ κ οένως το κ βρίσκετι στο είεδο ρόστωσης Οοίως το κ βρίσκετι στο είεδο ρόστωσης Δίχως βλάβη της γενικότητς ούε ν υοέσουε ότι το είεδο ρόστωσης είνι το είεδο (). Έστω,,, οι γωνίες ου σχητίζουν η ροσίτουσ, η νκλώενη κι η ετδιδόενη κτίν ε την κάετη στην ειφάνει. φρόζοντς την σχέση (3..5) γι r e έχουε: κ e κ e κ.e κ si κ si κ si κι εειδή κ κ si si (3..6) ίσης κ si κ si ω c si ω c si Διερεύνηση νόου Sell Ολική εσωτερική νάκλση Αό την σχέση (3..7) έχουε ότι: si si si si Περίτωση : Το κύ διδίδετι ό ριότερο σε υκνότερο έσο. Τότε si < < si si (Sell) (3..7) οένως υάρχει ετδιδόενη δέση γι οοιδήοτε τιή της γωνίς ρόστωσης. Περίτωση : Το κύ διδίδετι ό υκνότερο σε ριότερο έσο. Τότε > κι το si εί ν είνι οτιδήοτε Η κρίσιη τιή της γωνίς ρόστωσης είνι εκείνη γι την οοί si si υκν ριό ό Ορίζουε λοιόν την κρίσιη γωνί ρόστωσης έσω της σχέσης si (3..8) Περίτωση : < Τότε < si < si si < si < οένως έχουε κνονική ετδιδόενη δέση 9

11 Περίτωση β: > Στην ερίτωση υτή si >. Αν στο σηείο υτό ς φρενάρει η ητική υστηρότητ, ούσε ν κτλήξουε στο φυσικό συέρσ ότι δεν έχουε ετδιδόενη δέση. Ας χλρώσουε λίγο την υστηρότητά ς σκετόενοι το εξής: ν γένει κ κ e κ e κ e κ si e κ ( e si e ) Ας δούε ρος το ρόν το si σν έν συντελεστή ου ολλλσιάζει το κ γι ν δώσει το κ. Αν si > τότε το είνι φντστικός ριός κι εοένως το κ φντστικός. οένως το iκ ργτικός. Άρ η ετδιδόενη δέση ειώνετι εκετικά. Ας γίνουε οιο κριβείς Ισχύει ότι κ κ e κ e (3..9) ε ω ω υ κ κ κ κ κ si υ υ υ Σύφων ε την σχέση (3..5) στην διχωριστική ειφάνει () ισχύει ότι: κ.r κ.r κ.e κ.e κ κ si (3..9β) (3..) κ κ κ si κ κ si κ si κ (si si ) Θέτουε si si (3..) οένως κ iκ (3..) Αό τις σχέσεις (3..9), (3..), (3..) ροκύτει ότι: κ κ (iκ e si e ) Συνεώς, i( κ.r ω t) i(iκ κsi ω t) κ i( κsi ωt) (3..3) (3..4) Ο ργτικός όρος φνερώνει εκετική είωση κτά ήκος του άξον κι ο φντστικός όρος φνερώνει χρονική εριοδικότητ κι χωρική εριοδικότητ κτά ήκος του άξον. i( κ.rωt) κ i( κ si ωt) κ e e e e [cos( κ si ω t) isi( κ si ωt)] Σχόλιο Στην σχέση (3..3) ου δίνει το κ κ (cos e si e ) κ ούε ν κτλήξουε ευκολότερ ως εξής: (3..5) ω ω υ Ισχύει ότι: κ κ υ υ υ si si si si ( si )

12 si si i si si i (3..6) οένως κ κ (i e si e ) κ (i e si e ) Περίτωση γ: Ακολουώντς ν ίδι βήτ ε την ερίτωση β κτλήγουε ότι κ κsi κι κ. Άρ κ κsi e Στο ίδιο οτέλεσ κτλήγουε ν εωρήσουε την ερίτωση γ ως ειδική ερίτωση της ε. ω ω υ ω κ κ ( e si e ) κ e e e e κsi e υ υ υ υ

13 3.. Πόλωση κάετη στο είεδο ρόστωσης (Το διάνυσ της έντσης του ηλεκτρικού εδίου κάετο στο είεδο ρόστωσης) κ κ κ e ω B B e ω e ω B B e ω e ω B B e ω (3..) (3..) (3..3) Γι τ σηεί της ειφάνεις οι συνικές συνήκες είνι: ε ε (3..4) (3..5) // // (3..6) // // ε ε // // Διιρούε ε γι ν εφνίσουε τους συντελεστές λάτους νάκλσης κι ετάδοσης: (3..7) τ (3..8) B si B si B si Όως,, κι si si υ c Αντικιστώντς στην ράνω έχουε si si si Δηλδή είνι ισοδύνη ε την (3..5)

14 // // cos cos cos cos Διιρώντς ε, γι τους συντελεστές λάτους ροκύτει ότι: cos cos τ Λύνοντς το σύστη των (3..8) κι (3..9) έχουε: τ (3..9) (3..) Αν τ υλικά δεν ρουσιάζουν γνητικές ιδιότητες τότε κι οι ράνω σχέσεις γίνοντι τ (3..) Γι ν βρούε τους συντελεστές νάκλσης κι ετάδοσης ρέει ν υολογίσουε την ενέργειε ου ροσίτει, νκλάτι κι ετδίδετι κάετ στην ειφάνει. Το διάνυσ Potig γι έν ρονικό ΗΜΚ είνι S Uυ ε υ Η ενέργει ου ροσίτει νά ονάδ χρόνου κάετ στην ονάδ ειφάνεις είνι η συνιστώσ του δινύστος Potig ου είνι κάετη στην ειφάνει οένως S ε υ. η ε υ Η έντση του κύτος είνι η έση τιή (ως ρος τον χρόνο) της συνιστώσς υτής. οένως Ι < S > ευ Ότν η διάδοση γίνετι ό ριό σε υκνό, ή ό υκνό σε ριό ε γωνί ρόστωσης ικρότερη της κρίσιης έχουε I ε υ R R Ι ευ T I Ι ε υ ε υ ε υ Τ ε υ τ υ ε ευ υ 3

15 c υ. Αντικιστώντς στο ευ έχουε ευ υ c c Υοέτοντς ότι έχουε γι τον συντελεστή ετάδοσης Τ Σχόλι τ ( 4 cos ύκολ ούε ν ειβεβιώσουε ότι RT ) 4 ( ) Δεν είνι δύσκολο ν οδείξουε ότι στην ερίτωση ου το κύ διδίδετι ό οτικώς υκνότερο έσο σε οτικώς ριότερο ε γωνί ρότωσης ικρότερη της κρίσιης τότε > κι d > d. Συνεώς dr >. d οένως ο συντελεστής νάκλσης είνι ύξουσ συνάρτηση της γωνίς ρόστωσης. Ότν, τότε R. Άρ η δέση νκλάτι ολικά. Ολική εσωτερική νάκλση γι κάετη όλωση Υοέτουε ότι > Τότε si, si si cos i Οι συντελεστές λάτους νάκλσης κι ετάδοσης γίνοντι: i i si si si si si si τ cos i si si Θεωρούε τον ιγδικό ριό i si si Το έτρο του είνι cos si si Σε τριγωνοετρική φή γράφετι e iφ / ε φ ta si si οένως e e e e ϕ i / ϕ i ϕ i ϕ i i / ϕ e Δηλδή το ροσίτον κι το νκλώενο κύ έχουν το ίδιο ργτικό λάτος κι διφά φάσης φ. 4

16 οένως ο συντελεστής νάκλσης είνι R Ο συντελεστής λάτους ετάδοσης είνι: cos cos cos τ e ϕ i / ϕ i / e Σχόλιο Ίσως ν φίνετι ότι το γεγονός υτό είνι ντίετο ε την ρχή διτήρησης της ενέργεις. Η έντση του ροσίτοντος κι του νκλώενου κύτος είνι ίσες κι τυτόχρον υάρχει εδίο κι στο δεύτερο έσο. Αν γράψουε νλυτικά τ ργτικά εδί στο δεύτερο υλικό κι υολογίσουε το διάνυσ Potig, διιστώνουε ότι έχει δύο συνιστώσες. Μί ράλληλη στην ειφάνει κι ι κάετη σε υτήν. Η έση τιή της κάετης συνιστώσς έχει τιή ηδέν. οένως έσ σε ι ερίοδο όση ενέργει ετκινείτι ό το υλικό στο υλικό τόση ενέργει ετκινείτι κι ό το υλικό στο υλικό Πόλωση ράλληλη στο είεδο ρόστωσης (Το διάνυσ της έντσης του ηλεκτρικού εδίου κάετο στο είεδο ρόστωσης) κ κ κ e ω B B e ω e ω B B e ω e ω B B e ω Γι τ σηεί της ειφάνεις οι συνικές συνήκες είνι: ε ε (3.3.) (3.3.) // // (3.3.3) 5

17 // // Ισχύει ότι: ε (3.3.4) ε ε( si si ) ε si (3.3.) Όως, si si υ, ε υ ε c υ. υ c Αντικιστώντς στο ε έχουε ε c Η (3.3.) γίνετι: si ( ) si ( ) c c // // (3.3.5) cos cos cos (3.3.6) // // ( ) υ υ ου είνι ίδι ε την (3.3.5) Διιρώντς τις (3.3.5) κι (3.3.6) ε ροκύτει το εόενο σύστη γι τους συντελεστές λάτους τ cos τ ε λύση // Υοέτοντς ότι έχουε: // τ τ // (3.3.7) // (3.3.8) 6

18 Ολική νάκλση γι όλωση ράλληλη στο είεδο ρόστωσης Υοέτουε ότι > κι > Τότε si si si, cos i si si Ο συντελεστής λάτους νάκλσης γίνετι: // i i si si si si κι άλι ο συντελεστής λάτους νάκλσης είνι ηλίκο δύο συζυγών ιγδικών ριών κι εοένως έχει έτρο είνι δηλδή ράγοντς φάσης. Γωνί Brewster κι κτάργηση της νκλώενης δέσης Ισχύει ότι // Θ δείξουε ότι υάρχει γωνί ρόστωσης γι την οοί. // Γι υτή την γωνί ρόστωσης δεν υάρχει νκλώενο κύ. Η γωνί υτή ονοάζετι γωνί Brewster. cos cos // Αό νόο Sell έχουε ότι si si Πολλλσιάζοντς κτά έλη έχουε: si si si si ή Η ρώτη ερίτωση ρίτετι κι εοένως si Αό τον νόο του Sell έχουε: si si si cos ta ειδή εύκολ φίνετι ό το σχή ότι κ κ Δρ. Κφιάτης. korfiatis@sch.gr 7