ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ: Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ:..4 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ ( + ) d. Εειδή ( ) ( + ) = ( + ) + = +, έχουμε d d = + ( ) ( ) = + + = 6 = 5

2 Άσκηση. Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ + 5 d. Εειδή + = + =, έχουμε d = d = = = 5 5

3 Άσκηση. d. Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ ( ηµ + συν ) Έχουμε ( ηµ + συν ) d = ( ) ηµ + ( ηµ ) d = ( ) ηµ d = ηµ =

4 Άσκηση 4. Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ d e. Έχουμε e e e d = d = d e e e d ( e ) e e = = d e = = e e 4

5 Άσκηση 5. 5 d. Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ ( + ) Έχουμε d d ( + ) = ( + ) 6 = ( ) d ( ) = + = = 5

6 Άσκηση 6. Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ d. + Έχουμε ( + ) = = ( ln + ). + + Εομένως 7 d = ln ( ln7 ln) ln + = =. + 6

7 Άσκηση 7. Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ d. + 8 Εειδή ( 8) + = 8 +, έχουμε = ( + 8) + 8 d 8 d 8 = + = = ( 4 ) =.. Εομένως 7

8 Άσκηση 8. Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ συν + d 6. Έχουμε συν + d = ηµ + d 6 6 = ηµ + = 6 = ηµ + ηµ 6 6 = = 8

9 Άσκηση 9. Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ + e d. Έχουμε e d = e d + + = = + e e e. 9

10 Άσκηση. Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ. 4 d Εειδή ( 4 ) = 4 ln4, έχουμε d = 4 d ln4 =. Εομένως ln4 = 4 = 4 ln4 ln4 = ln4 = ln.

11 Άσκηση. Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ ηµ συν d. Εειδή ηµ = ηµ συν, έχουμε ηµ συν d = ( ηµ ) d = ( ) ηµ = =.

12 Άσκηση. Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ e d. Έχουμε e d = e d = e e d e e d = e e = = ( e ) ( e ) =

13 Άσκηση. Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ συν d. Έχουμε συν d = ηµ d ( ) d = ηµ ηµ d = ηµ ηµ = ηµ + συν = + ( ) =

14 Άσκηση 4. Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ συν e d. Έστω I = συν e d. Έχουμε: I = συν e d = συν e d = συν e συν e d = συν e + ηµ e d = + ηµ e d = + ηµ e ηµ e d = + e συν e d = e I Εομένως I= e I I= e. Άρ I= e. 4

15 Άσκηση 5. Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ e d. Έχουμε e d = e d = e + e d ( e ) d = e e e d = + e = e e e 5 = = e e e 5

16 Άσκηση 6. Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ e ln d. Έχουμε e e ln d = ln ( ) d e e = ln ( ln) d = lne e ln d e e = e d + e = = = e e e e

17 Άσκηση 7. Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ 4 + d. Θέτουμε u = +, οότε u u u = + = κι d = du = u du. Είσης γι = είνι u = κι γι = 4 είνι u =. Εομένως το ολοκλήρωμ γίνετι: + d = u u du 4 u 4 5 ( u u ) du u u 5 = = = =

18 Άσκηση 8. Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ. ( + ) + d u Θέτουμε u = +, οότε = κι d = du. Είσης γι = είνι u = κι γι = είνι u = 5. Εομένως το ολοκλήρωμ γίνετι: 5 5 = = ( + ) u + + u u + 5 d du du u 8 u du u lnu 8 u u 8 u = + = 5 4 = ( 5 ln5 ) ln ( 4 ln5) ln 8 = 8 8 = ln5 + ln = + ln

19 Άσκηση 9. Δίνετι η συνάρτηση + < f() = +,,. i. Ν δείξετε ότι η f είνι συνεχής. ii. Ν υολογίσετε το 6 f ()d. i. Γι < έχουμε f() = + ου είνι συνεχής ως ολυωνυμική συνάρτηση. Είσης, γι > έχουμε f() = + ου είνι συνεχής ως σύνθεση της συνεχούς συνάρτησης g() = + με την είσης συνεχή συνάρτηση h() =. Θ εξετάσουμε τη συνέχει της f στο σημείο =. Έχουμε f () = + = κι lim f () = lim + = lim f () = lim + = + + Οότε η f είνι συνεχής στο =. Άρ η f είνι συνεχής στο. ii. Έχουμε 6 6 f ()d = f ()d + f ()d. f ()d d Είνι 4 = + = + = 6 6 κι f ()d = + d = ( + ) 8 = ( 7 8) = Άρ f ()d = + = = 4. 9

20 Άσκηση. Δίνετι η συνάρτηση, < f() = ln(+ ),. i. Ν δείξετε ότι η f είνι συνεχής. ii. Ν υολογίσετε το f ()d. i. Γι < έχουμε f() = ου είνι συνεχής ως ολυωνυμική συνάρτηση. Είσης, γι > έχουμε f() = ln(+ ) ου είνι συνεχής ως σύνθεση της συνεχούς συνάρτησης g() = + με την είσης συνεχή συνάρτηση h() = ln. Θ εξετάσουμε τη συνέχει της f στο σημείο =. Έχουμε f () = ln = κι lim f () = lim f () =. Άρ η f είνι συνεχής στο. + ii. Έχουμε f ()d = f ()d + f ()d. Είνι f ()d = d = = κι f()d = ln(+ )d = ln(+ ) + d = + ln(+ ) d = ln Άρ f () d = + ln = ln 4.

21 Άσκηση. Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ γεωμετρικά το οτέλεσμ. 4 f ()d, όου f() = + κι ν εξηγήσετε Η f είνι συνεχής κι γράφετι ως εξής: + 4, < f () =, <. 4, Εομένως 4 4 f ()d = ( + 4)d + d + ( 4)d [ ] 4 = = Εειδή f() = + γι κάθε, το f ()d ριστάνει το εμβδόν του ρκάτω σκισμένου χωρίου, ου ερικλείετι ό τη γρφική ράστση της 4 συνάρτησης + 4, < f () =, <, τον άξον κι τις ευθείες = κι = 4. 4, Το εμβδόν υτό, ν το υολογίσουμε γεωμετρικά κτά τ γνωστά είνι ίσο με = 6 6 = (οτέλεσμ ου συμφωνεί φυσικά με υτό ου βρήκμε με τη βοήθει του ολοκληρώμτος).

22 Άσκηση. Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ d. Έχουμε: + d = + d ( ) = ln 8 d + + = ln = ( ln ln8) = ln

23 Άσκηση. Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ d. + + Ο ρονομστής της ράστσης + + γράφετι + + = ( + )( + ). Εομένως =. + + ( + )( + ) A B,,. ( + )( + ) + + Ανζητούμε ριθμούς Α κι Β ώστε ν ισχύει = + { } Ισοδύνμ κι γι {, }, έχουμε = A( + ) + B( + ) ( A+ B) + ( A+ B) = A+ B= A= A + B = B = Εομένως d = d + d [ ] [ ] = ln( + ) + ln( + ) = ln + ln ln = ln 5ln

24 Άσκηση 4. Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ 4 d. Αό τη διίρεση του με το ολυώνυμο + + = + + = Εομένως d = + + d ( + )( ) = + d + d ( + )( ) 4 Είνι 4 έχουμε d = = + + =. Γι τον υολογισμό του ολοκληρώμτος ριθμούς Α κι Β τέτοιους ώστε 4 + d νζητούμε στην ρχή δυο ( + )( ) + A B = +, {, }. + + Έχουμε + A B = = A( ) + B( + ) (A + B) + ( A + B) = + 4

25 A = A+ B= A + B = 8 B = Εομένως + 8 d = d + d = + + [ ln( ) ] [ ln( ) ] = + ( ln5 ln4) ( ln ln) = ln5 + ln 4 9 Άρ d = + ln5 + ln. 5

26 Άσκηση 5. e Έστω το ολοκλήρωμ = ν * ν ν Ν. I ln d, i. Ν οδείξετε ότι Iν = e ν Iν, ν. e ii. Ν υολογίσετε το I = ln d. i. Έχουμε ν e e ν ν = = I ln d ln () d ν e e ν = ( ln) ν ( ln) d e ν = e ν ln d Άρ Iν = e ν Iν. ii. Έχουμε I = e I I = e I I = e e I = e + 6I. Όμως εομένως e e I = ln d = ln d = [ ] e e = ln d = e (e ) = Άρ I = e + 6 = 6 e. 6

27 ΘΕΜΑ Γ Άσκηση. Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ d. Έχουμε. Εομένως το μορεί ν είνι το ημίτονο μις μόνο γωνίς θ με θ. Έτσι μορούμε ν θέσουμε = ηµθ. Τότε είνι θ=, ενώ γι = είνι θ=. Εομένως d = ηµ θ συνθdθ= συνθ συνθdθ d = ηµθ dθ = συνθdθ κι γι = + συνθ = συν θdθ = d θ = d d θ + συν θ θ= + ηµ θ = 4 4 7

28 Άσκηση. Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ + e d. Θέτουμε u du du = e d d = du e = u. Είσης, ότν = τότε u =, ότν = κι το ολοκλήρωμ γίνετι: = e. Τότε = τότε u e d du = = du + e + u u u + u e e = u = + + u [ ] [ ] e e e e du du lnu ln( u) = [ lne ln] [ ln( + e) ln] = + ln ln( + e) 8

29 Άσκηση. Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ e ln d. Θέτουμε u Εομένως: = ln. Τότε e du = d κι τ άκρ ολοκλήρωσης γίνοντι ντίστοιχ κι. ln d = u du = u =. 9

30 Άσκηση 4. Α. Αν f είνι μι συνεχής συνάρτηση στο, ν δείξετε ότι f ()d = f ( )d ηµ Β. Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ I = d. ηµ + συν. Α. Θ δείξουμε ότι το δεύτερο μέλος της ζητούμενης ισότητς είνι ίσο με το ρώτο. Θέτουμε u =. Εομένως du = d κι ότν = τότε u =, ενώ ότν = τότε u =. Έτσι έχουμε: f( )d = f(u) ( du) = f (u) du = f (u)du = f ()d Β. Αν ηµ f() =, τότε ηµ + συν ηµ f =. ηµ + συν Εφρμόζοντς το (Α) ερώτημ, έχουμε: ηµ ηµ συν ηµ + συν συν + ηµ ηµ + συν I = d = d d = Εομένως ηµ συν ηµ + συν ηµ + συν συν + ηµ ηµ + συν I = d + d d = = d = = ηµ Άρ I = d =. ηµ + συν 4

31 Άσκηση 5. Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής στο κι ισχύει f( +β ) = f(),, ν οδείξετε β +β β ότι f ()d = f ()d. Θ δείξουμε ότι το ρώτο μέλος της ζητούμενης ισότητς είνι ίσο με το δεύτερο. Θέτουμε u =+β. Εομένως du = d κι ότν = τότε u = β, ενώ ότν = β τότε u =. Έτσι έχουμε: β I = f()d = ( +β u) f(u)( du) β = ( +β u) f(u)du = = β ( +β ) β f (u)du u f (u)du = ( +β β ) f (u)du β u f (u)du β = ( +β β ) f ()d β f ()d β +β β Εομένως I = ( +β) f () d, άρ I f ()d =.

32 Άσκηση 6. Υοθέτουμε ότι μι συνάρτηση f είνι ργωγίσιμη στο με f (4) = κι Ν υολογίσετε το 4 f ()d. f () = + 9. Έχουμε 4 [ ] f()d = f() () d = f() f () d 4 4 = 4 f (4) + 9 d = d d Γι τον υολογισμό του θέτουμε du = d = d + 9 u είνι u = 5. Εομένως: u = + 9. Τότε, δηλδή d = u du. Είσης ότν = είνι u = κι ότν = d = u u du = u du u = = = 4 98 Άρ f ()d = 4 =.

33 Άσκηση 7. κ Έστω το ολοκλήρωμ I( κ ) = d, κ>. + i. Ν βρείτε το ολοκλήρωμ συνρτήσει του κ. ii. Ν βρείτε το lim I( κ ). κ + i. Έχουμε κ κ κ I( κ ) = d = d = d + ( + ) ( + ) = d d = ln ln( + ) + [ ] [ ] κ κ κ κ = κ κ+ ( ln ln) ( ln ln4) κ = ln + ln κ+ ii. Έχουμε κ lim I( κ ) = lim ln + ln κ + κ + κ+ κ = ln + lim ln κ + κ+ = ln + ln = ln

34 Άσκηση 8. Έστω f: μι συνεχής συνάρτηση με συνεχή ράγωγο κι τέτοι ώστε f() f ()d = κι 4 f() f ()d. f () f ()d = 8. Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ Έχουμε f() f ()d ( f () = ) d. Κι εειδή f() f ()d ( f () = ) d =. Άρ f () f () = f () = f () () Είσης: ( f ()) f () d 8 ( f () = ) d = 8. Άρ f () f () = 54 () Η ισότητ () συνεάγετι ότι f() = f() ή f() = f(). Αν όμως ήτν f() = f(), τότε ό τη () θ είχμε = 54, άτοο. Άρ f() = f() κι η () γίνετι: Ακόμ Έχουμε f () = 54 f () = 7 f () =, οότε f () = f() f ()d f () d = f 5 () f 5 () = = ( + ) =

35 Άσκηση 9. Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο κι εριοδική με ερίοδο Τ>, ν οδείξετε ότι γι κάθε ριθμό ισχύει: +Τ f ()d = Τ f ()d Είνι +Τ Τ +Τ f ()d = f ()d + f ()d + f ()d () T +Τ Είσης ν στο ολοκλήρωμ f ()d θέσουμε = u+ T τότε u = T κι du = d ενώ Τ γι = T έχουμε u = κι γι =+ T έχουμε u = οότε +Τ f ()d = f (u)du = f ()d κι η σχέση () γίνετι Τ +Τ Τ f ()d = f ()d + f ()d + f ()d = f ()d + Τ f ()d Τ = f ()d. 5

36 Άσκηση. Μι συνάρτηση f είνι συνεχής στο διάστημ [,8] κι τέτοι ώστε κάθε [,8]. Αν 8 f ()d =, ν υολογίσετε το 8 I = f ()d. f 6 = f(), γι 8 Στο ολοκλήρωμ I = f ()d, θέτουμε u = 6. Τότε du = d κι γι = είνι u = 8, ενώ γι = 8 είνι u =. 8 I = f()d = (6 u) f(6 u)( du) 8 8 = (6 u) f (u)du 8 8 = 6 f (u)du u f (u)du 8 8 = 6 f ()d f ()d = 6 I. Εομένως I = 6 I, άρ I =. 6

37 Άσκηση. Μι συνάρτηση f είνι συνεχής στο κι τέτοι ώστε f() +β f( ) = γ, γι κάθε κι +β. Ν οδείξετε ότι λ λγ f ()d =. λ +β Έχουμε f() +β f( ) = γ λ λ λ f ()d + β f ( )d = γd λ λ λ λ f ()d +β f ( )d = λγ λ λ () λ λ Αν στο ολοκλήρωμ f ( ) d θέσουμε = u, τότε d = du κι γι = λ, τότε u = λ λ κι γι = λ, τότε u = λ, έχουμε: λ λ f( )d = f(u)( du) = f (u)du = f ()d λ Εομένως η () γίνετι: λ λ f ()d +β f ()d = λγ λ λ λ λ ( +β ) f ()d λ λ λ λγ f ()d = +β = λγ λ λ λ λ 7

38 Άσκηση. f() + f( + ) d = f()d. Έστω f συνεχής συνάρτηση στο. Ν οδείξετε ότι Έχουμε f ()d = f ()d + f ()d. Αν στο ολοκλήρωμ f ()d θέσουμε u =, έχουμε du = d κι γι = είνι u =, ενώ γι = είνι u =. Εομένως f ()d = f (u + )du = f ( + )d. Άρ f ()d = f ()d + f ( + )d ή = ( + + ) f()d f() f( ) d. 8

39 Άσκηση. Η συνάρτηση f είνι δυο φορές ργωγίσιμη κι με συνεχή δεύτερη ράγωγο στο = κι f () ηµ d =. Ν υολογίσετε το [, ]. Ειλέον ισχύουν f () =, f ολοκλήρωμ f () ηµ d. Έχουμε f () ηµ d = f () συν d [ ] = f() συν + f () συνd = f () συν f ( ) συν + f () συν d = f () + f ( ) + f () συν d = 4 + f () ( ηµ ) d [ ] = 4+ f () ηµ f () ηµ d = 4 9

40 Άσκηση 4. ( ) Δίνετι η συνάρτηση f () =, (, + ) 4 i. Ν βρείτε δυο ργμτικούς ριθμούς κ κι λ ώστε ν ισχύει κ λ f () = +,, + 4 ( ) ( ).. ii. Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ f ()d. i. Έχουμε κ λ = + ( ) ( ) ( ) 4 4 =κ( ) +λ =κ + ( λ κ ) κ= κι λ κ= Άρ κ=, λ=. ( ) ( ) ii. Έχουμε f () = +, (, + ) Εομένως 4. f ()d = + ( ) ( ) = d + ( ) ( ) 4 4 d d = ( ) ( ) = = 4 8 4

41 Άσκηση 5. Ν οδείξετε ότι e d + εϕ d e εϕ d Έχουμε e d + εϕ d e εϕ d e d + εϕ d e εϕ d e d + εϕ d e εϕ d 4 4 e + εϕ e εϕ d ( εϕ ) e d Η τελευτί νισότητ ισχύει, φού e εϕ, γι κάθε. 4

42 Άσκηση 6. i. Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής κι άρτι στο, ν οδείξετε ότι f ()d = f ()d. ii. Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής κι εριττή στο, ν οδείξετε ότι f ()d =. i. Έχουμε f ()d = f ()d + f ()d. Στο f ()d, θέτουμε u =, οότε du = d, ενώ τ άκρ ολοκλήρωσης γίνοντι κι ντίστοιχ. Εομένως f ()d = f ( u)du = f (u)du = f ()d. Άρ f ()d = f ()d + f ()d = f ()d. ii. Έχουμε f ()d = f ()d + f ()d. Στο f ()d, θέτουμε u =, οότε du = d, ενώ τ άκρ ολοκλήρωσης γίνοντι κι ντίστοιχ. Εομένως f ()d = f ( u)du = f ( u)du = f (u)du = f ()d. Άρ f ()d = f ()d + f ()d = f ()d + f ()d =. 4

43 ΘΕΜΑ Δ Άσκηση. A. Ν υολογίσετε την ράγωγο της f () ln ( ) = + +. B. Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ I = + d. Α. Έχουμε ( ) f () = ln + + = = + = = + Β. Έχουμε Ι= + d + d = + d= + + d + = d = d = d + d + + ( ) = + d + ln + + d (A) = ln d 4

44 = + ln ( + ) Ι Εομένως Ι= + ln ( + ). + ln + Άρ + d =. 44

45 Άσκηση. e Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ I = ηµ ln d. Θέτουμε u u = ln = e, οότε du = (ln) d = d = d κι εομένως u e d u = e du. Είσης ότν = είνι u = κι ότν = e είνι u =. Έτσι έχουμε: e u u I = ηµ ln d = ηµ u e du = ηµ u (e ) du u u e = ηµ συν u u e du u e u (e ) du = ηµ συν u u e e u u e du = ηµ συν ηµ = ηµ e ( e συν ) I Άρ + ηµ e e συν I = + ηµ e e συν Ι =. 45

46 Άσκηση. Η συνάρτηση f είνι συνεχής στο διάστημ [, 5 ] κι ισχύει f() + f(6 ) = c γι κάθε [, 5], όου c στθερός ργμτικός ριθμός. 5 i. Ν δείξετε ότι f()d = ( f() + f(5) ). ii. Ν δείξετε ότι 5 f ()d = 4f (). i. Αν στην ισότητ f() + f(6 ) = c θέσουμε = ίρνουμε: f() + f(6 ) = c f() + f(5) = c Εομένως f() + f(6 ) = f() + f(5). Έτσι έχουμε 5 5 (f() + f(6 ))d= f() + f(5) d ή + = ( + ) f()d f(6 )d f() f(5) d 5 5 ή f()d+ f(6 )d= 4( f() + f(5) ) () 5 Όμως, ν στο f (6 )d θέσουμε u = 6, τότε du = d κι γι = είνι u = 5, ενώ γι = 5 είνι u =. Έτσι έχουμε: f (6 )d = f (u) du = f (u)du = f ()d 5 Έτσι η () γίνετι: 5 5 f()d= f() + f(5) d 5 5 f()d= f() + f(5) d 5 f()d= 4 f() + f(5) 46

47 5 f()d = f() + f(5) ii. Αν στην ισότητ f() + f(6 ) = c θέσουμε f () + f () = c f () = c Εομένως f() + f(6 ) = f(). Έτσι έχουμε 5 5 [ ] f () + f (6 ) d = f ()d + 5 = = ίρνουμε: f ()d + f (6 )d = f ()d κι εργζόμενοι όως ροηγουμένως έχουμε: f ()d = f ()d f ()d = f () d 5 5 Άρ f ()d = 4f (). 47

48 Άσκηση 4. Α. Μι συνάρτηση f είνι ργωγίσιμη στο κι γνησίως ύξουσ στο. Ειλέον η f κι είνι συνεχής στο. Ν οδείξετε ότι: f β f( β) f()d+ f ()d=β f( β) f f Β. Δίνετι η συνάρτηση f() = Ν οδείξετε ότι η f ντιστρέφετι κι ν 5 υολογίσετε το ολοκλήρωμ f ()d. 7 Α. Μι γεωμετρική ερμηνεί του ροβλήμτος κι της λύσης του στην ερίτωση ου έχουμε f(), (ν f(), τότε το σχήμ είνι συμμετρικό ως ρος τον άξον ) είνι η εξής: Το ολοκλήρωμ f( β) f( β) = f f β f ()d ριστάνει το εμβδόν Ε, το ολοκλήρωμ f () d f (y) dy ριστάνει το εμβδόν Ε, ενώ το εμβδόν των δυο σχημτιζόμενων ορθογωνίων είνι ντιστοίχως β f( β ) του μεγλύτερου κι f( ) του μικρότερου. Προφνώς η διφορά των εμβδών των δυο ορθογωνίων είνι ίση με το άθροισμ Ε +Ε. Δηλδή ισχύει: β f( β) f()d+ f ()d=β f( β) f f Γενικότερ έχουμε: β β β f ()d = [ f() ] f()d, δηλδή β f ()d =β f( β) f f()d () β 48

49 Εειδή η f είνι συνεχής (φού είνι ργωγίσιμη) κι μονότονη, έετι ότι υάρχει η f ()d = f f() f ()d. β β οότε ό τη σχέση f ( f() ) =, έχουμε f, Θέτουμε u = f(), οότε du = f ()d κι ότν =, τότε u= f( ), ενώ ότν = β, τότε u= f( β ). Εομένως β β f ()d = f f() f ()d β f( β) f = f u du = f d f f β f( β) Δηλδή = f () d f d (). f f( β) Αό τις () κι () ροκύτει ότι f d=β f( β) f f()d, άρ f β f( β) f()d+ f ()d=β f( β) f f β Β. Η συνάρτηση f() = έχει άρ είνι κι κι ντιστρέφετι. Έχουμε =. Είσης έχουμε f () = + >, εομένως είνι γνησίως ύξουσ, f () = = 5 + =. Η μονδική λύση της εξίσωσης υτής είνι η f() = + + 5= 7 + =. Η μονδική λύση της εξίσωσης υτής είνι η =. Εομένως με βάση την ισότητ έχουμε β f( β) f()d+ f ()d=β f( β) f f 5 f ()d + f ()d = f () f () 7 = 5 7 = Άρ 5 = 7 f ()d f ()d = d 49

50 4 = = 6 = 4 4 5

51 Άσκηση 5. Α. Αν f κι g είνι συνεχείς συνρτήσεις στο [ β, ] κι γι κάθε [, ] f() g(), ν δείξετε ότι: β f ()d g()d β β ισχύει Β. Υοθέτουμε ότι μι συνάρτηση f είνι συνεχής στο διάστημ [, ]. Ν δείξετε ότι υάρχει ξ [,], τέτοιο ώστε f()d= f( ξ). Α. Έχουμε f() g() g() f(), β. [, ] Εομένως: β β β g() f() d g()d f()d β g()d f ()d β f ()d g()d β β Β. Εειδή η f είνι συνεχής στο κλειστό διάστημ [, ], ίρνει στο διάστημ υτό ελάχιστη τιμή έστω ε κι μέγιστη τιμή έστω M. Εομένως γι κάθε [,] έχουμε: ε f() M ε f() M ε d f () d M d ε M f ()d f ()d M ε Πρτηρούμε ότι ο ριθμός f ()d νήκει στο σύνολο τιμών της συνεχούς συνάρτησης f. Άρ υάρχει ξ [,], τέτοιο ώστε f()d= f( ξ) f()d f = ξ. 5

52 Άσκηση 6. Μι συνάρτηση f είνι δυο φορές ργωγίσιμη στο κι έχει συνεχή κι θετική δεύτερη ράγωγο στο διάστημ [, ]. Ν οδείξετε ότι f () συν d >. Έχουμε f () συν d = f () ηµ d [ ] = f() ηµ f () ηµ d = f () συν d [ ] = f () συν f () συν d = f f () f () συν d = f ()d f () συν d = f () συν d Όμως f () > στο [, ] κι συν, φού στ άκρ του διστήμτος [, ]. Εομένως γι κάθε [, ] χωρίς ν είνι ντού f ()( συν ) =. Άρ συν κι με το ίσον ν ισχύει μόνο είνι f ()( συν), f () συν d >. 5

53 Άσκηση 7. ν ν ηµ συν Αν A = d κι B = d ν ν ηµ + συν, ν ν ηµ + συν * ν Ν, τότε: i. Ν οδείξετε ότι Α=Β. ii. Ν υολογίσετε τ ολοκληρώμτ Α+Β, Α, Β. ν ηµ i. Στο ολοκλήρωμ A = d θέτουμε u =, οότε d = du, ενώ τ ν ν ηµ + συν άκρ ολοκλήρωσης γίνοντι κι ντίστοιχ. Εομένως ηµ u ν ν ηµ A = d = du ν ν ηµ + συν ν ν ν συν u = du = Β ν ν συν u+ ηµ u ηµ u + συν u ii. Έχουμε ν ν ηµ συν Α+Β= d + d ν ν ν ν ηµ + συν ηµ + συν ν ν ηµ + συν d = = d = ν ν ηµ + συν Εειδή Α=Β κι Α+Β=, έχουμε Α=Β=. 4 Ημερομηνί τροοοίησης: 5/9/ 5