Απάντηση: όπου c R. Δίνεται όμως ότι f(0) = 1, άρα η προηγούμενη για x = 0, δίνει c = ½. Παίρνουμε λοιπόν την

Transcript

1 _ Θέμ Γ Θεωρούμε τις συνρτσεις,:rr, με την ργωγίσιμη κι τέτοιες, ώστε: () = κι, γι κάθε R, Γ Ν οδείξετε ότι, R Γ Ν βρείτε το λθος των ργμτικών ριζών της εξίσωσης Γ Ν οδείξετε ότι υάρχει τουλάχιστον ένς, τέτοιος, ώστε d εφ Γ Δίνετι ότι ισχύει η σχέση Αάντηση:, γι κάθε R Η [] είνι μι εξίσωση στην οοί εμφνίζοντι μι άγνωστη συνάρτηση κι η ράγωγός της, δηλ μι διφορικ εξίσωση Εφόσον οι διφορικές εξισώσεις δεν εριλμβάνοντι στην ύλη, θ ρέει ν βρούμε τον τύο της μέσω τεχνάσμτος ος τρόος Πρτηρούμε ότι άρ η [] γράφετι:, Εειδ γι οοιδοτε ργωγίσιμη συνάρτηση ισχύει η ροηγούμενη ισότητ γίνετι: Υ Χ Όμως γι τις συνρτσεις Υ, Χ ισχύει Υ Χ c στθερά, άρ ό την τελευτί ισότητ ίρνουμε:,, όου c c, όου cr Δίνετι όμως ότι () =, άρ η ροηγούμενη γι =, δίνει c = ½ Πίρνουμε λοιόν την [] [] wwwproor Υροντιστριο Μέσης Εκίδευσης ο Πρώτο

2 Η συνάρτηση φ με φ, R, είνι κτ ρχάς, διότι ν γι κάοιον υοθέσουμε ότι, τότε η [] γι δίνει, άτοο φ Η φ είνι κι συνεχς ως άθροισμ συνεχών συνρτσεων, εομένως διτηρεί στθερό ρόσημο * στο R κι εφόσον φ φ, γι κάθε R Έτσι, ό τη [] ροκύτει ότι, δε μορεί ρά ν είνι ος τρόος Η [] γράφετι, γι κάθε R,, γι κάθε R [] Όμως είνι ίρνουμε κι, άρ ό την [] c, όου c R στθερά Γι =, η τελευτί δίνει c = ½, οότε έχουμε την Αό το τριώνυμο ροκύτει ότι Εργζόμενοι όως στον ρώτο τρόο, ίρνουμε ότι, γι κάθε R * Πράγμτι, ν υάρχουν, βr, με φ() < κι φ(β) >, τότε η φ ικνοοιεί το θεώρημ Bolzano στο [,β], άρ υάρχει (,β) με φ( ) = ( ) + =, οότε η [] γι =, οδηγεί σε άτοο wwwproor Υροντιστριο Μέσης Εκίδευσης ο Πρώτο

3 Γ Έχουμε διότι εφόσον,, είνι, γι κάθε R υνεώς η είνι γνησίως φθίνουσ στο R κι άρ - Έτσι, η εξίσωση ισοδυνμεί με την, της οοίς θ βρούμε το λθος των ριζών ος τρόος Είνι κι ρτηρούμε ότι η είνι: γι, είνι γι είνι γι, είνι, κι, R Έτσι, η είνι γν ύξουσ στο,, γν φθίνουσ στο, κι γν ύξουσ στο, Πρτηρούμε ότι στο διάστημ,, η έχει μέγιστο στο - Άρ γι, είνι, δηλδ,, γι κάθε Εξάλλου, η είνι συνεχς στο, κι Αό το θεώρημ Bolzano έετι ότι η εξίσωση οοί είνι μονδικ διότι η είνι γν ύξουσ στο, Σελικά η εξίσωση έχει ρίζ στο (,), έχει μόνο μι ργμτικ ρίζ ου νκει στο, ος τρόος Θ μορούσμε ν εργστούμε ως εξς: H είνι συνεχς κι γν ύξουσ στο,, άρ,,,, κι φού,, η εξίσωση δεν έχει ρίζ στο, H είνι συνεχς κι γν φθίνουσ στο,, άρ,,, κι φού,, η εξίσωση δεν έχει ρίζ στο, H είνι συνεχς κι γν ύξουσ στο,, άρ,,,,, η wwwproor Υροντιστριο Μέσης Εκίδευσης ο Πρώτο

4 Αφού,, η εξίσωση έχει ρίζ στο, είνι γνησίως μονότονη στο διάστημ υτό, είνι μονδικ Εν τέλει, η εν λόγω εξίσωση έχει κριβώς μι ργμτικ ρίζ Γ Θεωρούμε τη συνάρτηση με d εφ,, η οοί λόγω του ότι η, Η είνι σύνθεση συνεχών, άρ συνεχς Η εφ είνι συνεχς, άρ η εφ είνι συνεχς, ως γινόμενο συνεχών Σο ολοκλρωμ d είνι είσης συνεχς συνάρτηση, άρ η () είνι συνεχς, ως διφορά συνεχών Ειλέον, έχουμε: d εφ κι d εφ d Εειδ, γι κάθε R, ροκύτει ότι d Είνι λοιόν τουλάχιστον ένς κι λόγω του θεωρμτος Bolzano, υάρχει,, δηλ το ζητούμενο τέτοιος, ώστε wwwproor Υροντιστριο Μέσης Εκίδευσης ο Πρώτο

5 5 _ Θέμ Δ Έστω :(,+)R μι ργωγίσιμη συνάρτηση γι την οοί ισχύουν: Η είνι γνησίως ύξουσ στο (,+), () = κι 5 Θεωρούμε είσης τη συνάρτηση d, (,+) κι > Ν οδείξετε ότι Δ κθώς είσης κι ότι η ρουσιάζει ελάχιστο στο =, Δ η είνι γνησίως ύξουσ κι στη συνέχει ν λύσετε στο R την νίσωση u 6 5 u du du, Δ η είνι κυρτ, κθώς είσης ότι η εξίσωση d, > έχει κριβώς μί ρίζ Αόδειξη: Δ Είνι Εειδ η είνι ργωγίσιμη στο, έχουμε: κι Άρ κι φού , έετι ότι Ακόμη, η είνι γνησίως ύξουσ στο (,+) κι, γι < κι 5, οότε έχουμε:, γι > Άρ η είνι γνησίως φθίνουσ στο (,] κι γνησίως ύξουσ στο [,+) Έετι ότι ράγμτι, η ρουσιάζει ελάχιστο στο = ΠΡΟΟΧΗ: Δε νομιμοοιούμστε ν εφρμόσουμε τον κνόν d l Hospial γι τον 5 υολογισμό του ορίου, διότι δε δίνετι ότι η είνι συνεχς (μορεί υτό ν συμβεί) wwwproor Υροντιστριο Μέσης Εκίδευσης ο Πρώτο

6 6 Δ Γι (,+) κι > είνι Είδμε ως η είνι γνησίως ύξουσ στο [,+), άρ γι (,+), έχουμε: Εομένως γι (,+) είνι, οότε η είνι γνησίως ύξουσ Περιτέρω, εάν θεωρσουμε τη συνάρτηση τότε έχουμε ότι 6 5 u du, >, 6 5, διότι η είνι γνησίως ύξουσ κι + 6 > + 5 Έετι ως η είνι γνησίως ύξουσ Η ρος είλυση νίσωση, ισοδύνμ γράφετι: Δ Γι (,+) είνι κι 8,, Λόγω του ΘΜΣ, γι (,+) υάρχει ξ, τέτοιος, ώστε υνεώς ξ ξ ξ Είσης, η είνι γνησίως ύξουσ στο (,+) οότε: κι άρ, γι κάθε (,+) ξ ξ υμερίνουμε λοιόν ως η είνι κυρτ στο (,+) Εξάλλου, η δοθείσ εξίσωση είνι ισοδύνμη με την, [Ε] wwwproor Υροντιστριο Μέσης Εκίδευσης ο Πρώτο

7 wwwproor Υροντιστριο Μέσης Εκίδευσης ο Πρώτο 7 η οοί, δεδομένου ότι, εληθεύετι γι = Αρκεί ν οδείξουμε ότι ο είνι η μονδικ ρίζ της [Ε] ος τρόος Θεωρούμε τη συνάρτηση φ, > H φ είνι ργωγίσιμη με ράγωγο φ Προφνώς είνι φ() = κι ς υοθέσουμε ότι ο ρ (ρ > ) είνι είσης ρίζ της φ() = της [Ε] Σότε, λόγω του θεωρμτος Roll γι τη φ, υάρχει ξ μετξύ των κι ρ έτσι, ώστε ν ισχύουν οι: ξ ξ ξ ξ φ Εειδ η είνι κυρτ, η είνι γνησίως ύξουσ κι άρ - υνεώς ό την τελευτί έετι ότι ξ =, άτοο Προκύτει ως ο είνι μονδικ ρίζ της [Ε] στο (,+) ος τρόος Η εφτομένη της γρ ρ της στο έχει εξίσωση y Η είνι κυρτ, άρ η γρφικ της ράστση βρίσκετι άνω ό κάθε εφτομένη της Έτσι, γι κάθε (,+) έχουμε: με το «ίσον» ν ισχύει μόνο γι = υνεώς, η εξίσωση ου ροφνώς είνι ισοδύνμη με την [Ε], έχει ως μονδικ ρίζ τον

8 8 _ Θέμ Γ Δίνετι η συνάρτηση ln, > Γ Ν οδείξετε ότι η είνι γνησίως φθίνουσ στο διάστημ, γνησίως ύξουσ στο διάστημ, της Γ Ν οδείξετε ότι η εξίσωση Δ Δ κι τη συνέχει ν βρείτε το σύνολο τιμών, > έχει κριβώς δύο θετικές ρίζες Γ Αν, είνι οι ρίζες του ερωτμτος Γ με <, ν οδείξετε ότι υάρχει, τέτοιος, ώστε Γ Ν βρείτε το εμβδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τη γρφικ ράστση της συνάρτησης, >, τον άξον κι την ευθεί = Αάντηση: Γ Η είνι ργωγίσιμη, με ράγωγο ln, > Πρτηρούμε ότι: γι < < είνι, άρ γνησίως φθίνουσ στο Δ, γι > είνι, άρ γνησίως ύξουσ στο, Δ κι H είνι συνεχς κι γνησίως φθίνουσ στο διάστημ Δ,, άρ διότι Δ,,, ln H είνι συνεχς κι γνησίως ύξουσ στο διάστημ, διότι Δ Δ,,,, άρ ln Εν τέλει, η έχει ως σύνολο τιμών το Δ Δ,,, Γ Γι >, η συνάρτηση ln είνι γν ύξουσ, άρ - Έτσι, η εξίσωση ισοδυνμεί με τις ln ln ln [Ε] wwwproor Υροντιστριο Μέσης Εκίδευσης ο Πρώτο

9 9 ος τρόος Θ βσιστούμε στ σύνολ τιμών Εειδ, έετι ότι υάρχει Δ, με Δ, κι ο είνι ο μονδικός με υτ την ιδιότητ, φού η ως γν φθίνουσ στο Δ είνι - Έτσι, η [Ε] έχει κριβώς μί ρίζ στο Δ Εειδ Δ Δ, με κι η είνι γν ύξουσ στο Δ, υάρχει μονδικός, δηλ η [Ε] έχει κριβώς μί ρίζ στο Δ Ο ροφνώς δεν εληθεύει την [Ε], άρ, κι, Έετι ότι η [Ε] έχει κριβώς δύο θετικές ρίζες κι με ος τρόος Θ εφρμόσουμε το θεώρημ Bolzano στη συνάρτηση ως εξς:, Κτ ρχάς ρτηρούμε ότι η είνι συνεχς στο, κι < Εειδ, έετι ως υάρχει κάοιος ξ,, με ξ Εειδ, έετι ως υάρχει κάοιος, ξ, με ξ Η () εομένως ικνοοιεί το θεώρημ Bolzano σε κθέν ό τ διστμτ ξ, κι,ξ Άρ υάρχει ξ, Δ, ο οοίος είνι ρίζ της μάλιστ μονδικ, διότι η είνι γν φθίνουσ στο Δ Είσης, υάρχει,ξ Δ, ου είνι ρίζ της εξίσωσης κι μάλιστ μονδικ, διότι η είνι γν ύξουσ στο Δ Σελικά η [Ε] έχει κριβώς δύο θετικές ρίζες κι με κι Γ ος τρόος Κτ ρχάς ρτηρούμε ότι η ράστση ν εμφνισθεί εάν ργωγίσουμε την Πράγμτι, γι > έχουμε: Θεωρούμε λοιόν τη συνάρτηση η οοί G, >, wwwproor Υροντιστριο Μέσης Εκίδευσης είνι δυντό είνι συνεχς στο διάστημ,, είνι ργωγίσιμη στο, με G κι G G, φού οι κι είνι ρίζες της εξίσωσης ο Πρώτο

10 υνεώς η ικνοοιεί το θεώρημ Roll στο, τέτοιος, ώστε, οότε υάρχει, G ος τρόος Θεωρούμε τη συνάρτηση Q, > Η Q() είνι άθροισμ συνεχών συνρτσεων, άρ συνεχς στο (,+) Έτσι, η Q() είνι συνεχς στο κι στο,, Εειδ, έχουμε:, διότι, κι γι, Q κι, διότι, κι γι, Q Έετι ότι Q Q κι συνεώς η Q() ικνοοιεί το θεώρημ Bolzano στο, κι συνεώς υάρχει, τέτοιος, ώστε Q Γ Α όσ είμε στην ρχ του ερωτμτος Γ, ροκύτει ως η ρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο Εομένως, γι κάθε >,, γι κάθε > υνεώς η είνι συνεχς (άθροισμ συνεχών συνρτσεων) κι μη ρνητικ στο διάστημ (,] Η δεν ορίζετι στο κι εομένως γι το ζητούμενο εμβδόν δε μορούμε ν άρουμε το ολοκλρωμ υολογίσουμε ως το d, όου d Σο εμβδόν όμως υτό μορούμε ν το Θ βρούμε την ρχικ συνάρτηση της Έχουμε: d ln d ln d ln ln ln ln c, d ln d d wwwproor Υροντιστριο Μέσης Εκίδευσης ο Πρώτο

11 wwwproor Υροντιστριο Μέσης Εκίδευσης ο Πρώτο όου c στθερά Άρ d ln c ln ln Ακόμη, ln ln διότι ln ln Σο ζητούμενο εμβδόν είνι: ln d E

12 _ Θέμ Δ Έστω η συνεχς συνάρτηση :(,+)R, η οοί γι κάθε > ικνοοιεί τις σχέσεις:, d, ln ln d Δ Ν οδείξετε ότι η είνι ργωγίσιμη κι ν βρείτε τον τύο της Εάν είνι ln, >, τότε: Δ Ν υολογίσετε το όριο: ημ Δ Με τη βοθει της νισότητς ln ου ισχύει γι κάθε >, ν οδείξετε ότι η συνάρτηση F d, >, όου >, είνι κυρτ τη συνέχει ν οδείξετε ότι F F F, γι κάθε > Δ Δίνετι ο στθερός ργμτικός ριθμός β > Ν οδείξετε ότι υάρχει μονδικός ξ β, β τέτοιος, ώστε: F β F β F ξ Αόδειξη: Δ την τρίτη ό τις σχέσεις ου δίνοντι εριέχετι η όλυτη τιμ κι ροκειμένου ν λλγούμε υτν, ρέει ν βρούμε το ρόσημο της () Εειδ η είνι συνεχς κι γι >, η διτηρεί στθερό ρόσημο στο (,+) (διότι σε ντίθετη ερίτωση υάρχουν, β(,+), με () < κι (β) >, τότε η ικνοοιεί το θεώρημ Bolzano στο [,β], άρ υάρχει (,β) με ( ) =, άτοο) Άρ είνι είτε () > γι κάθε >, είτε () < γι κάθε > Ποιο ό τ δύο συμβίνει θ το βρούμε ό την νισότητ d δίνοντς στον μι συγκεκριμένη τιμ Γι =, ίρνουμε την ου δε μς βοηθά Γι = ½, ίρνουμε άρ d, d d Αό την τελευτί ροκύτει ότι δε μορεί ρά ν είνι () < γι κάθε > (φού στην ντίθετη ερίτωση θ ροέκυτε ότι d wwwproor Υροντιστριο Μέσης Εκίδευσης, άτοο) ο Πρώτο

13 Εομένως είνι εκφώνηση γίνετι Δεδομένης της Θέτουμε κι η ροηγούμενη γίνετι κι η τρίτη ό τις σχέσεις ου δίνοντι στην ln ln d, διιρούμε δι () στην τελευτί κι ίρνουμε: ln ln d ln, > d, > Οι συνρτσεις (), ln, είνι συνεχείς, άρ η () είνι συνεχς υνεώς η συνάρτηση d είνι ργωγίσιμη κι, λόγω της [], η () είνι ργωγίσιμη ln Όμως, >, άρ η είνι είσης ργωγίσιμη Προσοχ: Είνι ln <, άρ Μορούμε τώρ ν βρούμε τον τύο της Γι =, η [] δίνει Πργωγίζουμε την [] κι ίρνουμε:, άρ όου c ργμτικ στθερά Σελικά Γι =, υτ η τελευτί δίνει οότε c, c c c,, > ln ln, >, > [] wwwproor Υροντιστριο Μέσης Εκίδευσης ο Πρώτο

14 Δ Ανζητούμε το όριο Έχουμε οότε ημ ln, Γνωρίζοντς ότι () < κι εκτελώντς τον μετσχημτισμό u, οότε το ζητούμενο όριο γίνετι: ημu ημu u u u u u u ου οδηγεί σε ροσδιοριστί u, έχουμε: Εφρμόζοντς τον κνόν d l Hospial, το ροηγούμενο όριο γίνετι: ημu u συνu συνu ημu u u u u u u u Εομένως ημ = Δ Η F είνι δύο φορές ργωγίσιμη με F ln, > κι F ln ln Όμως ln, γι κάθε >, άρ Έετι ότι η F είνι κυρτ F, γι κάθε >, > τη συνέχει θ οδείξουμε ότι F F F, γι κάθε > ισοδύνμ ότι F F F F, γι κάθε > [] wwwproor Υροντιστριο Μέσης Εκίδευσης ο Πρώτο

15 5 Η F ροφνώς ικνοοιεί το ΘΜΣ σε κθέν ό τ διστμτ, κι,, γι κάθε > Άρ υάρχουν, κι, ξ ξ έτσι, ώστε ν έχουμε F F ξ κι ξ F Αντί της [] λοιόν ρκεί ν οδείξουμε ότι ου ισχύει διότι γι > είνι ύξουσ, φού η F είνι κυρτ ξ F F, ξ F F F ξ ξ κι η F είνι γνησίως Δ Θεωρούμε τη συνάρτηση P Fβ F β F ου ροφνώς είνι συνεχς κι έχουμε: Αφού, λόγω του Δ είνι F οότε β β F β Fβ Pβ Ακόμη κι, λόγω του Δ, είνι P β υνεώς η συνάρτηση άρ υάρχει ξ β, β P, > P β F β Fβ, γι κάθε >, η F είνι γνησίως φθίνουσ, β Fβ F β F β P ικνοοιεί το θεώρημ Bolzano στο διάστημ, β τέτοιος, ώστε: P ξ Fβ F β Fξ Ο ξ υτός είνι μονδικός διότι εφόσον η F είνι γνησίως φθίνουσ, η είνι γνησίως ύξουσ P Fβ F β F, > β, wwwproor Υροντιστριο Μέσης Εκίδευσης ο Πρώτο

16 6 _ Θέμ Γ Δίνετι η συνάρτηση :RR δύο φορές ργωγίσιμη στο R, με οοί ικνοοιεί τη σχέση: γι κάθε R Γ Αοδείξτε ότι ln,, R Γ Ν μελετσετε την ως ρος τη μονοτονί κι τ κρόττ Γ Ν οδείξετε ότι η γρφικ ράστση της έχει κριβώς δύο σημεί κμς Γ Ν οδείξετε ότι η εξίσωση ln συν διάστημ, Γ ος τρόος Πρτηρούμε ότι κι Έτσι ό τη δοθείσ σχέση ίρνουμε: οότε όου cr, στθερά Αάντηση, η έχει κριβώς μί ρίζ στο c, R,, R, Θέτοντς στην τελευτί = κι λμβάνοντς υόψη ότι οότε, R, R, ίρνουμε c = -, Προκειμένου ν εκμετλλευτούμε την [], σκετόμστε ως είνι σκόιμο ν διιρέσουμε με τον ράγοντ, οότε στο δεύτερο μέλος θ εμφνιστεί το ηλίκο ου ρέμει στην ln Η εκκρεμότητ ου μένει ν τκτοοιηθεί γι ν ορίζετι ο λογάριθμος, είνι ν οδειχθεί ότι Γι, η οδεικτέ είνι ροφνς, φού Γι >, θεωρούμε τη συνάρτηση φ με ράγωγο φ έχουμε: φ, άρ η φ είνι γνησίως ύξουσ στο [,+), οότε φ φ [] κι wwwproor Υροντιστριο Μέσης Εκίδευσης ο Πρώτο

17 7 Αφού λοιόν είνι γι κάθε R, ό τη [] ίρνουμε, ln ln c όου c στθερός, ργμτικός ριθμός Γι =, ροκύτει c, οότε ln, R,, R ος τρόος Θ μορούσμε ν εργστούμε κι ίρνοντς διδοχικά τις ισότητες:,,, c,, όου c R στθερά Εάν στην τελευτί θέσουμε =, η στθερά c υολογίζετι ίση με - Άρ έχουμε Φρειάζετι κι εδώ ριν ροχωρσουμε, ν οδείξουμε ότι Γνωρίζουμε ότι γι κάθε > ισχύει ln Αυτ η τελευτί νισότητ, με στη θέση του, ( R) δίνει, γι κάθε R Άρ, γι κάθε R κι ό τη [] ίρνουμε, ln κι συνεχίζουμε όως ριν Γ Η είνι ργωγίσιμη στο R με ράγωγο Έχουμε: κι, R wwwproor Υροντιστριο Μέσης Εκίδευσης ο Πρώτο

18 wwwproor Υροντιστριο Μέσης Εκίδευσης ο Πρώτο 8, οότε υμερίνουμε λοιόν ότι: η είνι γνησίως φθίνουσ στο,, η είνι γνησίως ύξουσ στο, κι η ρουσιάζει (ολικό) ελάχιστο στη θέση, με ελάχιστη τιμ Γ Έχουμε δει ότι, R, οότε Ανζητούμε τις θέσεις των σημείων κμς της μετξύ των ριζών της εξίσωσης Οδηγούμστε στο ν θεωρσουμε τη συνάρτηση με, R της οοίς η ράγωγος είνι, R Έχουμε, κι υνεώς η είνι γνησίως ύξουσ στο,, είνι γνησίως φθίνουσ στο, κι άρ έχει το ολύ μί ρίζ σε κθέν ό τ διστμτ υτά Ο (θέση μεγίστου) δεν είνι ρίζ διότι υμερίνουμε ως η εξίσωση () =, δηλ η [], έχει το ολύ μί ρίζ στο, κι το ολύ μί ρίζ στο, Εξάλλου, ρτηρούμε ότι, κι []

19 9 Η είνι οτέλεσμ ράξεων μετξύ συνεχών συνρτσεων, άρ είνι συνεχς στο R, οότε είνι συνεχς κι σε κθέν ό τ διστμτ [-,] κι [,] Ειλέον κι Λόγω του θεωρμτος Bolzano, η εξίσωση () =,, δηλ η [], έχει τουλάχιστον μί,,,, ρίζ στο κι τουλάχιστον μί ρίζ στο Αφού η [] έχει το ολύ μί κι τουλάχιστον μί ρίζ στο,, έετι ως έχει,, κριβώς μί ρίζ Ομοίως η [] έχει κριβώς μί ρίζ Οι ρίζες όμως της ντιστοιχούν ιθνώς σε σημεί κμς κι όχι κτ νάγκη (χ η συνάρτηση y δεν έχει σημεί κμς, ν κι η y έχει τον ως ρίζ της) Θ έχουμε λοιόν ολοκληρώσει την όδειξη, εάν συμεράνουμε ως οι ρίζες, της ντιστοιχούν ράγμτι σε σημεί κμς της Γι ν εξσφλίσουμε ως η έχει κμ χ στο, ρκεί ν οδείξουμε ότι η λλάζει τ κοίλ εκτέρωθεν του ισοδύνμ ως η, R λλάζει ρόσημο εκτέρωθεν του, Αν, τότε φού η είνι γν ύξουσ στο,, είνι κυρτ στο, Αν, τότε φού η είνι γν ύξουσ στο,, έχουμε κοίλη στο, Εομένως η όντως λλάζει τ κοίλ εκτέρωθεν του κι ομοίως λλάζει τ κοίλ εκτέρωθεν του, δηλ το ζητούμενο Εν τέλει η έχει κριβώς δύο σημεί κμς: έν στη θέση, θέση, κι έν στη, με,, ξ Γ Θεωρούμε τη συνάρτηση ln συν οδείξουμε ότι υάρχει μονδικός ξ τέτοιος, ώστε Γι την ύρξη ίσως βοηθσει το θεώρημ Bolzano Η είνι συνεχς στο, κι q συν Εξάλλου είνι κι κι ρκεί ν, ως διφορά των συνεχών συνρτσεων ln ln συν ln συν ln wwwproor Υροντιστριο Μέσης Εκίδευσης ο Πρώτο

20 Αντιλμβνόμστε ως γι ν μορέσουμε ν εφρμόσουμε το θεώρημ Bolzano, εξσφλίζοντς έτσι την ύρξη ρίζς της εξίσωσης, ρέει ν οδείξουμε ότι Αρκεί ν οδείξουμε ότι ln Η συνάρτηση p, R, έχει ράγωγο p p, p κι Έετι ότι p κι ισχύουν: η p είνι γνησίως φθίνουσ στο,, η p είνι γνησίως ύξουσ στο, κι η p ρουσιάζει (ολικό) ελάχιστο στο, με ελάχιστη τιμ υνεώς ισχύει p p, γι κάθε R με το «ίσον» ν ισχύει μόνο γι =, γι κάθε R, γι κάθε R, Προκύτει ότι, δηλ το ζητούμενο p Εφόσον λοιόν είνι κι, η ικνοοιεί το θεώρημ Bolzano στο, κι άρ υάρχει ξ, τέτοιος, ώστε ξ Γι τη μονδικότητ, ρκεί ν οδειχθεί ότι η είνι γνησίως μονότονη στο, Η έχει ράγωγο ημ,, ημ,, Ήδη οδείξμε ότι, γι κάθε R, άρ Γι,, έχουμε κι ημ > Άρ,,, γι κάθε, γι κάθε, wwwproor Υροντιστριο Μέσης Εκίδευσης ο Πρώτο

21 οότε η είνι γνησίως ύξουσ στο εξίσωσης είνι μονδικ, κι ως εκ τούτου, η ρίζ, ξ της ΠΑΡΑΣΗΡΗΗ Γενικά, οι σχέσεις ln, γι κάθε > κι, γι κάθε R, είνι συχνά χρσιμες στις σκσεις Η ρώτη είνι εφρμογ στο σχολικό βιβλίο, άρ μορούμε ν τη χρησιμοοιούμε ως θεωρί Η δεύτερη ροκύτει μέσω της ρώτης, όως είδμε λίγο ριν το τέλος της όδειξης του Γ Εξάλλου, κθεμιά ό τις σχέσεις υτές μορεί ν ροκύψει μετά τη μελέτη ως ρος τ κρόττ των συνρτσεων q ln, > κι p ντίστοιχ Είσης, ό τις νισοτικές υτές σχέσεις μορούμε ν άρουμε τις ln εκ των οοίων συνάγουμε ότι η γρφικ ράστση της, R, ln βρίσκετι κάτω ό τη διχοτόμο της ης ης γωνίς των ξόνων, ενώ η γρφικ ράστση της βρίσκετι άνω ό τη διχοτόμο υτ wwwproor Υροντιστριο Μέσης Εκίδευσης ο Πρώτο

22 _ Θέμ Δ Δίνοντι οι συνεχείς συνρτσεις, : R R, οι οοίες ικνοοιούν τις σχέσεις: i) κι ii) iii) d d Δ Ν οδείξετε ότι οι συνρτσεις, είνι ργωγίσιμες στο R κι ότι, γι κάθε R Δ Ν οδείξετε ότι Δ Ν υολογίσετε το όριο, R ln Δ Ν υολογίσετε το εμβδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τη γρφικ ράστση της συνάρτησης F d, τους άξονες κι y y κι την ευθεί με εξίσωση = Αάντηση Δ Η σχέση d γράφετι d d Γι το ολοκλρωμ ροχωρούμε με λλγ μετβλητς θέτοντς u Σότε du d κι u, u, οότε u d du u Προκύτει εομένως ότι u du u ισοδύνμ ότι u du, u ενώ ομοίως ίρνουμε κι την u du u [] [] wwwproor Υροντιστριο Μέσης Εκίδευσης ο Πρώτο

23 Η είνι συνεχς, άρ η u u u είνι συνεχς ως ηλίκο συνεχών κι εομένως η du είνι ργωγίσιμη u Αό την [] λοιόν ροκύτει ως η είνι ργωγίσιμη κι μάλιστ Ομοίως ροκύτει ότι η είνι ργωγίσιμη κι Αό τις [] κι [] συνάγουμε την [] [] ου δεδομένου ότι () >, δίνει όου cr στθερά Εκ των [], [] με =, ίρνουμε οότε η [5] γι = δίνει c =, c, () = = (), [5] Αό την [5] εομένως, με c =, ίρνουμε, γι κάθε R Δ Αφού είνι Όμως είνι ισότητ ίρνουμε, γι κάθε R, η [] δίνει, R κι c, όου c R στθερά Γι =, ίρνουμε c, άρ c κι συνεώς την οοί, φού, έετι ότι,, R, οότε ό την ροηγούμενη wwwproor Υροντιστριο Μέσης Εκίδευσης ο Πρώτο

24 Δ Εφόσον είνι < Έχουμε κι άρ νζητούμε το όριο Ότν, τότε ροσδιοριστί του τύου ln ln, άρ κι εομένως γι το ζητούμενο όριο έχουμε Αμέσως σκέτετι κνείς τον κνόν d l Hospial, ου ν τον εφρμόσουμε νγόμστε στον υολογισμό του ορίου, δηλ άλι σε ροσδιοριστί Όμως ο ριθμητς ντί ν λουστεύετι, μάλλον εριλέκετι (ν συνεχίσουμε ίρνουμε το δηλ άλι ) κι ντιλμβνόμστε ως η ροσδιοριστί δεν ίρετι κι ως θ ρέει ν εργστούμε διφορετικά: ος τρόος Θέτουμε οότε, γι y,, είνι y κι το εν λόγω όριο γίνετι: y y y y ου τώρ είνι κι ου με εφρμογ του κνόν τώρ, γίνετι y y y y y y y ος τρόος Πρτηρούμε ως το όριο ου ψάχνουμε γράφετι θέτουμε κι άμε στο όριο y y y y y y y wwwproor Υροντιστριο Μέσης Εκίδευσης y y, ο Πρώτο

25 5 Δ Ενδιφερόμστε γι το χωρίο ου ερικλείετι ό τον άξον, τις ευθείες κι κι τη γρφικ ράστση της συνάρτησης F η οοί ροφνώς είνι ργωγίσιμη κι άρ συνεχς στο διάστημ [,] Είσης γι κι, d έχουμε, άρ d, οότε F d Αφού λοιόν η F είνι συνεχς κι στο διάστημ [,], το ζητούμενο εμβδόν είνι E Fd d d Αντιμετωίζουμε λοιόν τον υολογισμό του ολοκληρώμτος στο δεξί μέλος της [6] J d d Σο ρώτο ου σκετόμστε ρτηρώντς τη συνάρτηση d, είνι η ισότητ d Μι ολύ κλ ιδέ γι ν εμφνιστεί η ράγωγος d κτά τον υολογισμό του ολοκληρώμτος J, είνι η ολοκλρωση κτά ράγοντες: [6] J d d d d d d d d d d Εομένως το ζητούμενο εμβδόν είνι E J wwwproor Υροντιστριο Μέσης Εκίδευσης ο Πρώτο

26 6 wwwproor Υροντιστριο Μέσης Εκίδευσης ο Πρώτο

27 wwwproor Υροντιστριο Μέσης Εκίδευσης ο Πρώτο 7 _ Θέμ Γ Δίνετι η συνάρτηση, ln R Γ Ν μελετηθεί η συνάρτηση ως ρος τη μονοτονί Γ Ν λυθεί η εξίσωση ln Γ Ν οδειχθεί ότι η έχει δύο σημεί κμς κι ότι οι εφτόμενες της γρφικς ράστσης της στ σημεί κμς της τέμνοντι σε σημείο του άξον y y Γ Ν υολογιστεί το ολοκλρωμ d I Αάντηση: Γ Η είνι ργωγίσιμη με ράγωγο γι κάθε R υνεώς η είνι γνησίως ύξουσ στο R Γ Εκ ρώτης όψεως, η εξίσωση φίνετι ρκετά δύσκολη Μί ρίζ της είνι ο διότι ln ln κι, όμως θ ρέει ν βρούμε όλες τις ρίζες Ας δοκιμάσουμε ν εμλέξουμε στην εξίσωση την () ου, λόγω του Γ, είνι γνησίως ύξουσ Εειδ ln ln ln, η εξίσωση γίνετι: ln ln ln ln Η, ως γνησίως μονότονη, είνι - άρ η τελευτί δίνει:, οότε Γ Η είνι ργωγίσιμη κι γι R, έχουμε

28 8 Είνι: Εειδ γι < - είνι κι γι - < < είνι θέση σημείου κμς γι την Είσης ()< γι > οοτε κι το είνι σημειο κμης, το σημείο - είνι Γνωρίζουμε ως η εξίσωση της εφτομένης της γρ ρ της στο σημείο, είνι Γι y = -, είνι ln κι Έτσι, η εφτομένη της γρ ρ της στο A,ln έχει εξίσωση ε : y ln ε : y Ανάλογ, η εφτομένη της γρ ρ της στο,ln B έχει εξίσωση ε : y ln ε : y Πρτηρούμε ότι γι =, η εξίσωση της (ε ) δίνει y = ln, άρ η (ε ) τέμνει τον άξον y y στο σημείο Γ,ln Γι =, η εξίσωση της (ε ) δίνει είσης y = ln, άρ κι η (ε ) τέμνει τον άξον y y στο Γ,ln Οι ε, ε λοιόν, τέμνουν κι οι δύο τον y y στο σημείο Γ,ln Γ Θ υολογίσουμε το ολοκλρωμ Αλλά d, d d ln I d wwwproor Υροντιστριο Μέσης Εκίδευσης ο Πρώτο

29 9 ενώ γι το ln d ρτηρούμε ότι η ln στο [-,], οότε ln d = Έτσι I είνι εριττ wwwproor Υροντιστριο Μέσης Εκίδευσης ο Πρώτο

30 _ Θέμ Δ Δίνετι συνεχς συνάρτηση : R R η οοί γι κάθε R ικνοοιεί τις σχέσεις: κι d Δ Ν οδειχθεί ότι η είνι ργωγίσιμη στο R με ράγωγο, R Δ Ν οδειχθεί ότι η συνάρτηση Δ Ν οδειχθεί ότι 9, R Δ Ν οδειχθεί ότι d d, γι κάθε R, R είνι στθερ Αάντηση: Δ Με την συνεχ κι με γι κάθε R, η συνάρτηση είνι κλά ορισμένη κι συνεχς στο R υνεώς η συνάρτηση d είνι ργωγίσιμη στο R Φρησιμοοιώντς το ότι γι μι συνεχ συνάρτηση φ ισχύει η σχέση φd φ, έχουμε d Άρ η συνάρτηση d είνι ργωγίσιμη στο R με ράγωγο, R Δ Η συνάρτηση ράγωγο Έετι ως, R είνι ργωγίσιμη στο R με, R c, όου c ργμτικ στθερά Δ Η ισότητ d, γι =, δίνει Η ισότητ, γι =, δίνει 9 Έετι ότι γι κάθε R είνι: [] wwwproor Υροντιστριο Μέσης Εκίδευσης ο Πρώτο

31 Όμως η συνάρτηση w() είνι συνεχς κι γι κάθε R κι άρ διτηρεί στθερό ρόσημο στο R (διότι διφορετικά υάρχουν, βr με w() < κι w(β) >, οότε η w ικνοοιεί το θεώρημ Bolzano στο [,β], άρ υάρχει (,β) με w( ) =, άτοο) υνεώς ό την [] ροκύτει ότι είτε 9, R είτε 9, R Εκ των δύο ροηγούμενων ισοττων μόνο η ρώτη εληθεύει την κι άρ 9, R 9, R Δ Έχουμε: άρ η είνι γνησίως ύξουσ κι εομένως ότν, κι () ότν, Ολοκληρώνοντς την ρώτη σχέση ό έως +, ίρνουμε: Αλλά d d d Ολοκληρώνοντς ό + έως + τη δεύτερη σχέση, ίρνουμε: Αλλά Άρ ου δίνει το ζητούμενο d d d d d, wwwproor Υροντιστριο Μέσης Εκίδευσης ο Πρώτο