Απάντηση: όπου c R. Δίνεται όμως ότι f(0) = 1, άρα η προηγούμενη για x = 0, δίνει c = ½. Παίρνουμε λοιπόν την

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Απάντηση: όπου c R. Δίνεται όμως ότι f(0) = 1, άρα η προηγούμενη για x = 0, δίνει c = ½. Παίρνουμε λοιπόν την"

Transcript

1 _ Θέμ Γ Θεωρούμε τις συνρτσεις,:rr, με την ργωγίσιμη κι τέτοιες, ώστε: () = κι, γι κάθε R, Γ Ν οδείξετε ότι, R Γ Ν βρείτε το λθος των ργμτικών ριζών της εξίσωσης Γ Ν οδείξετε ότι υάρχει τουλάχιστον ένς, τέτοιος, ώστε d εφ Γ Δίνετι ότι ισχύει η σχέση Αάντηση:, γι κάθε R Η [] είνι μι εξίσωση στην οοί εμφνίζοντι μι άγνωστη συνάρτηση κι η ράγωγός της, δηλ μι διφορικ εξίσωση Εφόσον οι διφορικές εξισώσεις δεν εριλμβάνοντι στην ύλη, θ ρέει ν βρούμε τον τύο της μέσω τεχνάσμτος ος τρόος Πρτηρούμε ότι άρ η [] γράφετι:, Εειδ γι οοιδοτε ργωγίσιμη συνάρτηση ισχύει η ροηγούμενη ισότητ γίνετι: Υ Χ Όμως γι τις συνρτσεις Υ, Χ ισχύει Υ Χ c στθερά, άρ ό την τελευτί ισότητ ίρνουμε:,, όου c c, όου cr Δίνετι όμως ότι () =, άρ η ροηγούμενη γι =, δίνει c = ½ Πίρνουμε λοιόν την [] [] wwwproor Υροντιστριο Μέσης Εκίδευσης ο Πρώτο

2 Η συνάρτηση φ με φ, R, είνι κτ ρχάς, διότι ν γι κάοιον υοθέσουμε ότι, τότε η [] γι δίνει, άτοο φ Η φ είνι κι συνεχς ως άθροισμ συνεχών συνρτσεων, εομένως διτηρεί στθερό ρόσημο * στο R κι εφόσον φ φ, γι κάθε R Έτσι, ό τη [] ροκύτει ότι, δε μορεί ρά ν είνι ος τρόος Η [] γράφετι, γι κάθε R,, γι κάθε R [] Όμως είνι ίρνουμε κι, άρ ό την [] c, όου c R στθερά Γι =, η τελευτί δίνει c = ½, οότε έχουμε την Αό το τριώνυμο ροκύτει ότι Εργζόμενοι όως στον ρώτο τρόο, ίρνουμε ότι, γι κάθε R * Πράγμτι, ν υάρχουν, βr, με φ() < κι φ(β) >, τότε η φ ικνοοιεί το θεώρημ Bolzano στο [,β], άρ υάρχει (,β) με φ( ) = ( ) + =, οότε η [] γι =, οδηγεί σε άτοο wwwproor Υροντιστριο Μέσης Εκίδευσης ο Πρώτο

3 Γ Έχουμε διότι εφόσον,, είνι, γι κάθε R υνεώς η είνι γνησίως φθίνουσ στο R κι άρ - Έτσι, η εξίσωση ισοδυνμεί με την, της οοίς θ βρούμε το λθος των ριζών ος τρόος Είνι κι ρτηρούμε ότι η είνι: γι, είνι γι είνι γι, είνι, κι, R Έτσι, η είνι γν ύξουσ στο,, γν φθίνουσ στο, κι γν ύξουσ στο, Πρτηρούμε ότι στο διάστημ,, η έχει μέγιστο στο - Άρ γι, είνι, δηλδ,, γι κάθε Εξάλλου, η είνι συνεχς στο, κι Αό το θεώρημ Bolzano έετι ότι η εξίσωση οοί είνι μονδικ διότι η είνι γν ύξουσ στο, Σελικά η εξίσωση έχει ρίζ στο (,), έχει μόνο μι ργμτικ ρίζ ου νκει στο, ος τρόος Θ μορούσμε ν εργστούμε ως εξς: H είνι συνεχς κι γν ύξουσ στο,, άρ,,,, κι φού,, η εξίσωση δεν έχει ρίζ στο, H είνι συνεχς κι γν φθίνουσ στο,, άρ,,, κι φού,, η εξίσωση δεν έχει ρίζ στο, H είνι συνεχς κι γν ύξουσ στο,, άρ,,,,, η wwwproor Υροντιστριο Μέσης Εκίδευσης ο Πρώτο

4 Αφού,, η εξίσωση έχει ρίζ στο, είνι γνησίως μονότονη στο διάστημ υτό, είνι μονδικ Εν τέλει, η εν λόγω εξίσωση έχει κριβώς μι ργμτικ ρίζ Γ Θεωρούμε τη συνάρτηση με d εφ,, η οοί λόγω του ότι η, Η είνι σύνθεση συνεχών, άρ συνεχς Η εφ είνι συνεχς, άρ η εφ είνι συνεχς, ως γινόμενο συνεχών Σο ολοκλρωμ d είνι είσης συνεχς συνάρτηση, άρ η () είνι συνεχς, ως διφορά συνεχών Ειλέον, έχουμε: d εφ κι d εφ d Εειδ, γι κάθε R, ροκύτει ότι d Είνι λοιόν τουλάχιστον ένς κι λόγω του θεωρμτος Bolzano, υάρχει,, δηλ το ζητούμενο τέτοιος, ώστε wwwproor Υροντιστριο Μέσης Εκίδευσης ο Πρώτο

5 5 _ Θέμ Δ Έστω :(,+)R μι ργωγίσιμη συνάρτηση γι την οοί ισχύουν: Η είνι γνησίως ύξουσ στο (,+), () = κι 5 Θεωρούμε είσης τη συνάρτηση d, (,+) κι > Ν οδείξετε ότι Δ κθώς είσης κι ότι η ρουσιάζει ελάχιστο στο =, Δ η είνι γνησίως ύξουσ κι στη συνέχει ν λύσετε στο R την νίσωση u 6 5 u du du, Δ η είνι κυρτ, κθώς είσης ότι η εξίσωση d, > έχει κριβώς μί ρίζ Αόδειξη: Δ Είνι Εειδ η είνι ργωγίσιμη στο, έχουμε: κι Άρ κι φού , έετι ότι Ακόμη, η είνι γνησίως ύξουσ στο (,+) κι, γι < κι 5, οότε έχουμε:, γι > Άρ η είνι γνησίως φθίνουσ στο (,] κι γνησίως ύξουσ στο [,+) Έετι ότι ράγμτι, η ρουσιάζει ελάχιστο στο = ΠΡΟΟΧΗ: Δε νομιμοοιούμστε ν εφρμόσουμε τον κνόν d l Hospial γι τον 5 υολογισμό του ορίου, διότι δε δίνετι ότι η είνι συνεχς (μορεί υτό ν συμβεί) wwwproor Υροντιστριο Μέσης Εκίδευσης ο Πρώτο

6 6 Δ Γι (,+) κι > είνι Είδμε ως η είνι γνησίως ύξουσ στο [,+), άρ γι (,+), έχουμε: Εομένως γι (,+) είνι, οότε η είνι γνησίως ύξουσ Περιτέρω, εάν θεωρσουμε τη συνάρτηση τότε έχουμε ότι 6 5 u du, >, 6 5, διότι η είνι γνησίως ύξουσ κι + 6 > + 5 Έετι ως η είνι γνησίως ύξουσ Η ρος είλυση νίσωση, ισοδύνμ γράφετι: Δ Γι (,+) είνι κι 8,, Λόγω του ΘΜΣ, γι (,+) υάρχει ξ, τέτοιος, ώστε υνεώς ξ ξ ξ Είσης, η είνι γνησίως ύξουσ στο (,+) οότε: κι άρ, γι κάθε (,+) ξ ξ υμερίνουμε λοιόν ως η είνι κυρτ στο (,+) Εξάλλου, η δοθείσ εξίσωση είνι ισοδύνμη με την, [Ε] wwwproor Υροντιστριο Μέσης Εκίδευσης ο Πρώτο

7 wwwproor Υροντιστριο Μέσης Εκίδευσης ο Πρώτο 7 η οοί, δεδομένου ότι, εληθεύετι γι = Αρκεί ν οδείξουμε ότι ο είνι η μονδικ ρίζ της [Ε] ος τρόος Θεωρούμε τη συνάρτηση φ, > H φ είνι ργωγίσιμη με ράγωγο φ Προφνώς είνι φ() = κι ς υοθέσουμε ότι ο ρ (ρ > ) είνι είσης ρίζ της φ() = της [Ε] Σότε, λόγω του θεωρμτος Roll γι τη φ, υάρχει ξ μετξύ των κι ρ έτσι, ώστε ν ισχύουν οι: ξ ξ ξ ξ φ Εειδ η είνι κυρτ, η είνι γνησίως ύξουσ κι άρ - υνεώς ό την τελευτί έετι ότι ξ =, άτοο Προκύτει ως ο είνι μονδικ ρίζ της [Ε] στο (,+) ος τρόος Η εφτομένη της γρ ρ της στο έχει εξίσωση y Η είνι κυρτ, άρ η γρφικ της ράστση βρίσκετι άνω ό κάθε εφτομένη της Έτσι, γι κάθε (,+) έχουμε: με το «ίσον» ν ισχύει μόνο γι = υνεώς, η εξίσωση ου ροφνώς είνι ισοδύνμη με την [Ε], έχει ως μονδικ ρίζ τον

8 8 _ Θέμ Γ Δίνετι η συνάρτηση ln, > Γ Ν οδείξετε ότι η είνι γνησίως φθίνουσ στο διάστημ, γνησίως ύξουσ στο διάστημ, της Γ Ν οδείξετε ότι η εξίσωση Δ Δ κι τη συνέχει ν βρείτε το σύνολο τιμών, > έχει κριβώς δύο θετικές ρίζες Γ Αν, είνι οι ρίζες του ερωτμτος Γ με <, ν οδείξετε ότι υάρχει, τέτοιος, ώστε Γ Ν βρείτε το εμβδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τη γρφικ ράστση της συνάρτησης, >, τον άξον κι την ευθεί = Αάντηση: Γ Η είνι ργωγίσιμη, με ράγωγο ln, > Πρτηρούμε ότι: γι < < είνι, άρ γνησίως φθίνουσ στο Δ, γι > είνι, άρ γνησίως ύξουσ στο, Δ κι H είνι συνεχς κι γνησίως φθίνουσ στο διάστημ Δ,, άρ διότι Δ,,, ln H είνι συνεχς κι γνησίως ύξουσ στο διάστημ, διότι Δ Δ,,,, άρ ln Εν τέλει, η έχει ως σύνολο τιμών το Δ Δ,,, Γ Γι >, η συνάρτηση ln είνι γν ύξουσ, άρ - Έτσι, η εξίσωση ισοδυνμεί με τις ln ln ln [Ε] wwwproor Υροντιστριο Μέσης Εκίδευσης ο Πρώτο

9 9 ος τρόος Θ βσιστούμε στ σύνολ τιμών Εειδ, έετι ότι υάρχει Δ, με Δ, κι ο είνι ο μονδικός με υτ την ιδιότητ, φού η ως γν φθίνουσ στο Δ είνι - Έτσι, η [Ε] έχει κριβώς μί ρίζ στο Δ Εειδ Δ Δ, με κι η είνι γν ύξουσ στο Δ, υάρχει μονδικός, δηλ η [Ε] έχει κριβώς μί ρίζ στο Δ Ο ροφνώς δεν εληθεύει την [Ε], άρ, κι, Έετι ότι η [Ε] έχει κριβώς δύο θετικές ρίζες κι με ος τρόος Θ εφρμόσουμε το θεώρημ Bolzano στη συνάρτηση ως εξς:, Κτ ρχάς ρτηρούμε ότι η είνι συνεχς στο, κι < Εειδ, έετι ως υάρχει κάοιος ξ,, με ξ Εειδ, έετι ως υάρχει κάοιος, ξ, με ξ Η () εομένως ικνοοιεί το θεώρημ Bolzano σε κθέν ό τ διστμτ ξ, κι,ξ Άρ υάρχει ξ, Δ, ο οοίος είνι ρίζ της μάλιστ μονδικ, διότι η είνι γν φθίνουσ στο Δ Είσης, υάρχει,ξ Δ, ου είνι ρίζ της εξίσωσης κι μάλιστ μονδικ, διότι η είνι γν ύξουσ στο Δ Σελικά η [Ε] έχει κριβώς δύο θετικές ρίζες κι με κι Γ ος τρόος Κτ ρχάς ρτηρούμε ότι η ράστση ν εμφνισθεί εάν ργωγίσουμε την Πράγμτι, γι > έχουμε: Θεωρούμε λοιόν τη συνάρτηση η οοί G, >, wwwproor Υροντιστριο Μέσης Εκίδευσης είνι δυντό είνι συνεχς στο διάστημ,, είνι ργωγίσιμη στο, με G κι G G, φού οι κι είνι ρίζες της εξίσωσης ο Πρώτο

10 υνεώς η ικνοοιεί το θεώρημ Roll στο, τέτοιος, ώστε, οότε υάρχει, G ος τρόος Θεωρούμε τη συνάρτηση Q, > Η Q() είνι άθροισμ συνεχών συνρτσεων, άρ συνεχς στο (,+) Έτσι, η Q() είνι συνεχς στο κι στο,, Εειδ, έχουμε:, διότι, κι γι, Q κι, διότι, κι γι, Q Έετι ότι Q Q κι συνεώς η Q() ικνοοιεί το θεώρημ Bolzano στο, κι συνεώς υάρχει, τέτοιος, ώστε Q Γ Α όσ είμε στην ρχ του ερωτμτος Γ, ροκύτει ως η ρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο Εομένως, γι κάθε >,, γι κάθε > υνεώς η είνι συνεχς (άθροισμ συνεχών συνρτσεων) κι μη ρνητικ στο διάστημ (,] Η δεν ορίζετι στο κι εομένως γι το ζητούμενο εμβδόν δε μορούμε ν άρουμε το ολοκλρωμ υολογίσουμε ως το d, όου d Σο εμβδόν όμως υτό μορούμε ν το Θ βρούμε την ρχικ συνάρτηση της Έχουμε: d ln d ln d ln ln ln ln c, d ln d d wwwproor Υροντιστριο Μέσης Εκίδευσης ο Πρώτο

11 wwwproor Υροντιστριο Μέσης Εκίδευσης ο Πρώτο όου c στθερά Άρ d ln c ln ln Ακόμη, ln ln διότι ln ln Σο ζητούμενο εμβδόν είνι: ln d E

12 _ Θέμ Δ Έστω η συνεχς συνάρτηση :(,+)R, η οοί γι κάθε > ικνοοιεί τις σχέσεις:, d, ln ln d Δ Ν οδείξετε ότι η είνι ργωγίσιμη κι ν βρείτε τον τύο της Εάν είνι ln, >, τότε: Δ Ν υολογίσετε το όριο: ημ Δ Με τη βοθει της νισότητς ln ου ισχύει γι κάθε >, ν οδείξετε ότι η συνάρτηση F d, >, όου >, είνι κυρτ τη συνέχει ν οδείξετε ότι F F F, γι κάθε > Δ Δίνετι ο στθερός ργμτικός ριθμός β > Ν οδείξετε ότι υάρχει μονδικός ξ β, β τέτοιος, ώστε: F β F β F ξ Αόδειξη: Δ την τρίτη ό τις σχέσεις ου δίνοντι εριέχετι η όλυτη τιμ κι ροκειμένου ν λλγούμε υτν, ρέει ν βρούμε το ρόσημο της () Εειδ η είνι συνεχς κι γι >, η διτηρεί στθερό ρόσημο στο (,+) (διότι σε ντίθετη ερίτωση υάρχουν, β(,+), με () < κι (β) >, τότε η ικνοοιεί το θεώρημ Bolzano στο [,β], άρ υάρχει (,β) με ( ) =, άτοο) Άρ είνι είτε () > γι κάθε >, είτε () < γι κάθε > Ποιο ό τ δύο συμβίνει θ το βρούμε ό την νισότητ d δίνοντς στον μι συγκεκριμένη τιμ Γι =, ίρνουμε την ου δε μς βοηθά Γι = ½, ίρνουμε άρ d, d d Αό την τελευτί ροκύτει ότι δε μορεί ρά ν είνι () < γι κάθε > (φού στην ντίθετη ερίτωση θ ροέκυτε ότι d wwwproor Υροντιστριο Μέσης Εκίδευσης, άτοο) ο Πρώτο

13 Εομένως είνι εκφώνηση γίνετι Δεδομένης της Θέτουμε κι η ροηγούμενη γίνετι κι η τρίτη ό τις σχέσεις ου δίνοντι στην ln ln d, διιρούμε δι () στην τελευτί κι ίρνουμε: ln ln d ln, > d, > Οι συνρτσεις (), ln, είνι συνεχείς, άρ η () είνι συνεχς υνεώς η συνάρτηση d είνι ργωγίσιμη κι, λόγω της [], η () είνι ργωγίσιμη ln Όμως, >, άρ η είνι είσης ργωγίσιμη Προσοχ: Είνι ln <, άρ Μορούμε τώρ ν βρούμε τον τύο της Γι =, η [] δίνει Πργωγίζουμε την [] κι ίρνουμε:, άρ όου c ργμτικ στθερά Σελικά Γι =, υτ η τελευτί δίνει οότε c, c c c,, > ln ln, >, > [] wwwproor Υροντιστριο Μέσης Εκίδευσης ο Πρώτο

14 Δ Ανζητούμε το όριο Έχουμε οότε ημ ln, Γνωρίζοντς ότι () < κι εκτελώντς τον μετσχημτισμό u, οότε το ζητούμενο όριο γίνετι: ημu ημu u u u u u u ου οδηγεί σε ροσδιοριστί u, έχουμε: Εφρμόζοντς τον κνόν d l Hospial, το ροηγούμενο όριο γίνετι: ημu u συνu συνu ημu u u u u u u u Εομένως ημ = Δ Η F είνι δύο φορές ργωγίσιμη με F ln, > κι F ln ln Όμως ln, γι κάθε >, άρ Έετι ότι η F είνι κυρτ F, γι κάθε >, > τη συνέχει θ οδείξουμε ότι F F F, γι κάθε > ισοδύνμ ότι F F F F, γι κάθε > [] wwwproor Υροντιστριο Μέσης Εκίδευσης ο Πρώτο

15 5 Η F ροφνώς ικνοοιεί το ΘΜΣ σε κθέν ό τ διστμτ, κι,, γι κάθε > Άρ υάρχουν, κι, ξ ξ έτσι, ώστε ν έχουμε F F ξ κι ξ F Αντί της [] λοιόν ρκεί ν οδείξουμε ότι ου ισχύει διότι γι > είνι ύξουσ, φού η F είνι κυρτ ξ F F, ξ F F F ξ ξ κι η F είνι γνησίως Δ Θεωρούμε τη συνάρτηση P Fβ F β F ου ροφνώς είνι συνεχς κι έχουμε: Αφού, λόγω του Δ είνι F οότε β β F β Fβ Pβ Ακόμη κι, λόγω του Δ, είνι P β υνεώς η συνάρτηση άρ υάρχει ξ β, β P, > P β F β Fβ, γι κάθε >, η F είνι γνησίως φθίνουσ, β Fβ F β F β P ικνοοιεί το θεώρημ Bolzano στο διάστημ, β τέτοιος, ώστε: P ξ Fβ F β Fξ Ο ξ υτός είνι μονδικός διότι εφόσον η F είνι γνησίως φθίνουσ, η είνι γνησίως ύξουσ P Fβ F β F, > β, wwwproor Υροντιστριο Μέσης Εκίδευσης ο Πρώτο

16 6 _ Θέμ Γ Δίνετι η συνάρτηση :RR δύο φορές ργωγίσιμη στο R, με οοί ικνοοιεί τη σχέση: γι κάθε R Γ Αοδείξτε ότι ln,, R Γ Ν μελετσετε την ως ρος τη μονοτονί κι τ κρόττ Γ Ν οδείξετε ότι η γρφικ ράστση της έχει κριβώς δύο σημεί κμς Γ Ν οδείξετε ότι η εξίσωση ln συν διάστημ, Γ ος τρόος Πρτηρούμε ότι κι Έτσι ό τη δοθείσ σχέση ίρνουμε: οότε όου cr, στθερά Αάντηση, η έχει κριβώς μί ρίζ στο c, R,, R, Θέτοντς στην τελευτί = κι λμβάνοντς υόψη ότι οότε, R, R, ίρνουμε c = -, Προκειμένου ν εκμετλλευτούμε την [], σκετόμστε ως είνι σκόιμο ν διιρέσουμε με τον ράγοντ, οότε στο δεύτερο μέλος θ εμφνιστεί το ηλίκο ου ρέμει στην ln Η εκκρεμότητ ου μένει ν τκτοοιηθεί γι ν ορίζετι ο λογάριθμος, είνι ν οδειχθεί ότι Γι, η οδεικτέ είνι ροφνς, φού Γι >, θεωρούμε τη συνάρτηση φ με ράγωγο φ έχουμε: φ, άρ η φ είνι γνησίως ύξουσ στο [,+), οότε φ φ [] κι wwwproor Υροντιστριο Μέσης Εκίδευσης ο Πρώτο

17 7 Αφού λοιόν είνι γι κάθε R, ό τη [] ίρνουμε, ln ln c όου c στθερός, ργμτικός ριθμός Γι =, ροκύτει c, οότε ln, R,, R ος τρόος Θ μορούσμε ν εργστούμε κι ίρνοντς διδοχικά τις ισότητες:,,, c,, όου c R στθερά Εάν στην τελευτί θέσουμε =, η στθερά c υολογίζετι ίση με - Άρ έχουμε Φρειάζετι κι εδώ ριν ροχωρσουμε, ν οδείξουμε ότι Γνωρίζουμε ότι γι κάθε > ισχύει ln Αυτ η τελευτί νισότητ, με στη θέση του, ( R) δίνει, γι κάθε R Άρ, γι κάθε R κι ό τη [] ίρνουμε, ln κι συνεχίζουμε όως ριν Γ Η είνι ργωγίσιμη στο R με ράγωγο Έχουμε: κι, R wwwproor Υροντιστριο Μέσης Εκίδευσης ο Πρώτο

18 wwwproor Υροντιστριο Μέσης Εκίδευσης ο Πρώτο 8, οότε υμερίνουμε λοιόν ότι: η είνι γνησίως φθίνουσ στο,, η είνι γνησίως ύξουσ στο, κι η ρουσιάζει (ολικό) ελάχιστο στη θέση, με ελάχιστη τιμ Γ Έχουμε δει ότι, R, οότε Ανζητούμε τις θέσεις των σημείων κμς της μετξύ των ριζών της εξίσωσης Οδηγούμστε στο ν θεωρσουμε τη συνάρτηση με, R της οοίς η ράγωγος είνι, R Έχουμε, κι υνεώς η είνι γνησίως ύξουσ στο,, είνι γνησίως φθίνουσ στο, κι άρ έχει το ολύ μί ρίζ σε κθέν ό τ διστμτ υτά Ο (θέση μεγίστου) δεν είνι ρίζ διότι υμερίνουμε ως η εξίσωση () =, δηλ η [], έχει το ολύ μί ρίζ στο, κι το ολύ μί ρίζ στο, Εξάλλου, ρτηρούμε ότι, κι []

19 9 Η είνι οτέλεσμ ράξεων μετξύ συνεχών συνρτσεων, άρ είνι συνεχς στο R, οότε είνι συνεχς κι σε κθέν ό τ διστμτ [-,] κι [,] Ειλέον κι Λόγω του θεωρμτος Bolzano, η εξίσωση () =,, δηλ η [], έχει τουλάχιστον μί,,,, ρίζ στο κι τουλάχιστον μί ρίζ στο Αφού η [] έχει το ολύ μί κι τουλάχιστον μί ρίζ στο,, έετι ως έχει,, κριβώς μί ρίζ Ομοίως η [] έχει κριβώς μί ρίζ Οι ρίζες όμως της ντιστοιχούν ιθνώς σε σημεί κμς κι όχι κτ νάγκη (χ η συνάρτηση y δεν έχει σημεί κμς, ν κι η y έχει τον ως ρίζ της) Θ έχουμε λοιόν ολοκληρώσει την όδειξη, εάν συμεράνουμε ως οι ρίζες, της ντιστοιχούν ράγμτι σε σημεί κμς της Γι ν εξσφλίσουμε ως η έχει κμ χ στο, ρκεί ν οδείξουμε ότι η λλάζει τ κοίλ εκτέρωθεν του ισοδύνμ ως η, R λλάζει ρόσημο εκτέρωθεν του, Αν, τότε φού η είνι γν ύξουσ στο,, είνι κυρτ στο, Αν, τότε φού η είνι γν ύξουσ στο,, έχουμε κοίλη στο, Εομένως η όντως λλάζει τ κοίλ εκτέρωθεν του κι ομοίως λλάζει τ κοίλ εκτέρωθεν του, δηλ το ζητούμενο Εν τέλει η έχει κριβώς δύο σημεί κμς: έν στη θέση, θέση, κι έν στη, με,, ξ Γ Θεωρούμε τη συνάρτηση ln συν οδείξουμε ότι υάρχει μονδικός ξ τέτοιος, ώστε Γι την ύρξη ίσως βοηθσει το θεώρημ Bolzano Η είνι συνεχς στο, κι q συν Εξάλλου είνι κι κι ρκεί ν, ως διφορά των συνεχών συνρτσεων ln ln συν ln συν ln wwwproor Υροντιστριο Μέσης Εκίδευσης ο Πρώτο

20 Αντιλμβνόμστε ως γι ν μορέσουμε ν εφρμόσουμε το θεώρημ Bolzano, εξσφλίζοντς έτσι την ύρξη ρίζς της εξίσωσης, ρέει ν οδείξουμε ότι Αρκεί ν οδείξουμε ότι ln Η συνάρτηση p, R, έχει ράγωγο p p, p κι Έετι ότι p κι ισχύουν: η p είνι γνησίως φθίνουσ στο,, η p είνι γνησίως ύξουσ στο, κι η p ρουσιάζει (ολικό) ελάχιστο στο, με ελάχιστη τιμ υνεώς ισχύει p p, γι κάθε R με το «ίσον» ν ισχύει μόνο γι =, γι κάθε R, γι κάθε R, Προκύτει ότι, δηλ το ζητούμενο p Εφόσον λοιόν είνι κι, η ικνοοιεί το θεώρημ Bolzano στο, κι άρ υάρχει ξ, τέτοιος, ώστε ξ Γι τη μονδικότητ, ρκεί ν οδειχθεί ότι η είνι γνησίως μονότονη στο, Η έχει ράγωγο ημ,, ημ,, Ήδη οδείξμε ότι, γι κάθε R, άρ Γι,, έχουμε κι ημ > Άρ,,, γι κάθε, γι κάθε, wwwproor Υροντιστριο Μέσης Εκίδευσης ο Πρώτο

21 οότε η είνι γνησίως ύξουσ στο εξίσωσης είνι μονδικ, κι ως εκ τούτου, η ρίζ, ξ της ΠΑΡΑΣΗΡΗΗ Γενικά, οι σχέσεις ln, γι κάθε > κι, γι κάθε R, είνι συχνά χρσιμες στις σκσεις Η ρώτη είνι εφρμογ στο σχολικό βιβλίο, άρ μορούμε ν τη χρησιμοοιούμε ως θεωρί Η δεύτερη ροκύτει μέσω της ρώτης, όως είδμε λίγο ριν το τέλος της όδειξης του Γ Εξάλλου, κθεμιά ό τις σχέσεις υτές μορεί ν ροκύψει μετά τη μελέτη ως ρος τ κρόττ των συνρτσεων q ln, > κι p ντίστοιχ Είσης, ό τις νισοτικές υτές σχέσεις μορούμε ν άρουμε τις ln εκ των οοίων συνάγουμε ότι η γρφικ ράστση της, R, ln βρίσκετι κάτω ό τη διχοτόμο της ης ης γωνίς των ξόνων, ενώ η γρφικ ράστση της βρίσκετι άνω ό τη διχοτόμο υτ wwwproor Υροντιστριο Μέσης Εκίδευσης ο Πρώτο

22 _ Θέμ Δ Δίνοντι οι συνεχείς συνρτσεις, : R R, οι οοίες ικνοοιούν τις σχέσεις: i) κι ii) iii) d d Δ Ν οδείξετε ότι οι συνρτσεις, είνι ργωγίσιμες στο R κι ότι, γι κάθε R Δ Ν οδείξετε ότι Δ Ν υολογίσετε το όριο, R ln Δ Ν υολογίσετε το εμβδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τη γρφικ ράστση της συνάρτησης F d, τους άξονες κι y y κι την ευθεί με εξίσωση = Αάντηση Δ Η σχέση d γράφετι d d Γι το ολοκλρωμ ροχωρούμε με λλγ μετβλητς θέτοντς u Σότε du d κι u, u, οότε u d du u Προκύτει εομένως ότι u du u ισοδύνμ ότι u du, u ενώ ομοίως ίρνουμε κι την u du u [] [] wwwproor Υροντιστριο Μέσης Εκίδευσης ο Πρώτο

23 Η είνι συνεχς, άρ η u u u είνι συνεχς ως ηλίκο συνεχών κι εομένως η du είνι ργωγίσιμη u Αό την [] λοιόν ροκύτει ως η είνι ργωγίσιμη κι μάλιστ Ομοίως ροκύτει ότι η είνι ργωγίσιμη κι Αό τις [] κι [] συνάγουμε την [] [] ου δεδομένου ότι () >, δίνει όου cr στθερά Εκ των [], [] με =, ίρνουμε οότε η [5] γι = δίνει c =, c, () = = (), [5] Αό την [5] εομένως, με c =, ίρνουμε, γι κάθε R Δ Αφού είνι Όμως είνι ισότητ ίρνουμε, γι κάθε R, η [] δίνει, R κι c, όου c R στθερά Γι =, ίρνουμε c, άρ c κι συνεώς την οοί, φού, έετι ότι,, R, οότε ό την ροηγούμενη wwwproor Υροντιστριο Μέσης Εκίδευσης ο Πρώτο

24 Δ Εφόσον είνι < Έχουμε κι άρ νζητούμε το όριο Ότν, τότε ροσδιοριστί του τύου ln ln, άρ κι εομένως γι το ζητούμενο όριο έχουμε Αμέσως σκέτετι κνείς τον κνόν d l Hospial, ου ν τον εφρμόσουμε νγόμστε στον υολογισμό του ορίου, δηλ άλι σε ροσδιοριστί Όμως ο ριθμητς ντί ν λουστεύετι, μάλλον εριλέκετι (ν συνεχίσουμε ίρνουμε το δηλ άλι ) κι ντιλμβνόμστε ως η ροσδιοριστί δεν ίρετι κι ως θ ρέει ν εργστούμε διφορετικά: ος τρόος Θέτουμε οότε, γι y,, είνι y κι το εν λόγω όριο γίνετι: y y y y ου τώρ είνι κι ου με εφρμογ του κνόν τώρ, γίνετι y y y y y y y ος τρόος Πρτηρούμε ως το όριο ου ψάχνουμε γράφετι θέτουμε κι άμε στο όριο y y y y y y y wwwproor Υροντιστριο Μέσης Εκίδευσης y y, ο Πρώτο

25 5 Δ Ενδιφερόμστε γι το χωρίο ου ερικλείετι ό τον άξον, τις ευθείες κι κι τη γρφικ ράστση της συνάρτησης F η οοί ροφνώς είνι ργωγίσιμη κι άρ συνεχς στο διάστημ [,] Είσης γι κι, d έχουμε, άρ d, οότε F d Αφού λοιόν η F είνι συνεχς κι στο διάστημ [,], το ζητούμενο εμβδόν είνι E Fd d d Αντιμετωίζουμε λοιόν τον υολογισμό του ολοκληρώμτος στο δεξί μέλος της [6] J d d Σο ρώτο ου σκετόμστε ρτηρώντς τη συνάρτηση d, είνι η ισότητ d Μι ολύ κλ ιδέ γι ν εμφνιστεί η ράγωγος d κτά τον υολογισμό του ολοκληρώμτος J, είνι η ολοκλρωση κτά ράγοντες: [6] J d d d d d d d d d d Εομένως το ζητούμενο εμβδόν είνι E J wwwproor Υροντιστριο Μέσης Εκίδευσης ο Πρώτο

26 6 wwwproor Υροντιστριο Μέσης Εκίδευσης ο Πρώτο

27 wwwproor Υροντιστριο Μέσης Εκίδευσης ο Πρώτο 7 _ Θέμ Γ Δίνετι η συνάρτηση, ln R Γ Ν μελετηθεί η συνάρτηση ως ρος τη μονοτονί Γ Ν λυθεί η εξίσωση ln Γ Ν οδειχθεί ότι η έχει δύο σημεί κμς κι ότι οι εφτόμενες της γρφικς ράστσης της στ σημεί κμς της τέμνοντι σε σημείο του άξον y y Γ Ν υολογιστεί το ολοκλρωμ d I Αάντηση: Γ Η είνι ργωγίσιμη με ράγωγο γι κάθε R υνεώς η είνι γνησίως ύξουσ στο R Γ Εκ ρώτης όψεως, η εξίσωση φίνετι ρκετά δύσκολη Μί ρίζ της είνι ο διότι ln ln κι, όμως θ ρέει ν βρούμε όλες τις ρίζες Ας δοκιμάσουμε ν εμλέξουμε στην εξίσωση την () ου, λόγω του Γ, είνι γνησίως ύξουσ Εειδ ln ln ln, η εξίσωση γίνετι: ln ln ln ln Η, ως γνησίως μονότονη, είνι - άρ η τελευτί δίνει:, οότε Γ Η είνι ργωγίσιμη κι γι R, έχουμε

28 8 Είνι: Εειδ γι < - είνι κι γι - < < είνι θέση σημείου κμς γι την Είσης ()< γι > οοτε κι το είνι σημειο κμης, το σημείο - είνι Γνωρίζουμε ως η εξίσωση της εφτομένης της γρ ρ της στο σημείο, είνι Γι y = -, είνι ln κι Έτσι, η εφτομένη της γρ ρ της στο A,ln έχει εξίσωση ε : y ln ε : y Ανάλογ, η εφτομένη της γρ ρ της στο,ln B έχει εξίσωση ε : y ln ε : y Πρτηρούμε ότι γι =, η εξίσωση της (ε ) δίνει y = ln, άρ η (ε ) τέμνει τον άξον y y στο σημείο Γ,ln Γι =, η εξίσωση της (ε ) δίνει είσης y = ln, άρ κι η (ε ) τέμνει τον άξον y y στο Γ,ln Οι ε, ε λοιόν, τέμνουν κι οι δύο τον y y στο σημείο Γ,ln Γ Θ υολογίσουμε το ολοκλρωμ Αλλά d, d d ln I d wwwproor Υροντιστριο Μέσης Εκίδευσης ο Πρώτο

29 9 ενώ γι το ln d ρτηρούμε ότι η ln στο [-,], οότε ln d = Έτσι I είνι εριττ wwwproor Υροντιστριο Μέσης Εκίδευσης ο Πρώτο

30 _ Θέμ Δ Δίνετι συνεχς συνάρτηση : R R η οοί γι κάθε R ικνοοιεί τις σχέσεις: κι d Δ Ν οδειχθεί ότι η είνι ργωγίσιμη στο R με ράγωγο, R Δ Ν οδειχθεί ότι η συνάρτηση Δ Ν οδειχθεί ότι 9, R Δ Ν οδειχθεί ότι d d, γι κάθε R, R είνι στθερ Αάντηση: Δ Με την συνεχ κι με γι κάθε R, η συνάρτηση είνι κλά ορισμένη κι συνεχς στο R υνεώς η συνάρτηση d είνι ργωγίσιμη στο R Φρησιμοοιώντς το ότι γι μι συνεχ συνάρτηση φ ισχύει η σχέση φd φ, έχουμε d Άρ η συνάρτηση d είνι ργωγίσιμη στο R με ράγωγο, R Δ Η συνάρτηση ράγωγο Έετι ως, R είνι ργωγίσιμη στο R με, R c, όου c ργμτικ στθερά Δ Η ισότητ d, γι =, δίνει Η ισότητ, γι =, δίνει 9 Έετι ότι γι κάθε R είνι: [] wwwproor Υροντιστριο Μέσης Εκίδευσης ο Πρώτο

31 Όμως η συνάρτηση w() είνι συνεχς κι γι κάθε R κι άρ διτηρεί στθερό ρόσημο στο R (διότι διφορετικά υάρχουν, βr με w() < κι w(β) >, οότε η w ικνοοιεί το θεώρημ Bolzano στο [,β], άρ υάρχει (,β) με w( ) =, άτοο) υνεώς ό την [] ροκύτει ότι είτε 9, R είτε 9, R Εκ των δύο ροηγούμενων ισοττων μόνο η ρώτη εληθεύει την κι άρ 9, R 9, R Δ Έχουμε: άρ η είνι γνησίως ύξουσ κι εομένως ότν, κι () ότν, Ολοκληρώνοντς την ρώτη σχέση ό έως +, ίρνουμε: Αλλά d d d Ολοκληρώνοντς ό + έως + τη δεύτερη σχέση, ίρνουμε: Αλλά Άρ ου δίνει το ζητούμενο d d d d d, wwwproor Υροντιστριο Μέσης Εκίδευσης ο Πρώτο

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 11: ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ 2.8: Κυρτότητα Σημεία Καμπής του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 11: ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ 2.8: Κυρτότητα Σημεία Καμπής του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ.8: Κυρτότητ Σημεί Κμής του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Δίνοντι οι συνρτήσεις f, g ορισμένες στο [, ]

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ: Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ: Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ:..4 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ ( + ) d. Εειδή ( ) ( + ) =

Διαβάστε περισσότερα

3x 2x 1 dx. x dx. x x x dx.

3x 2x 1 dx. x dx. x x x dx. ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση (Υολογισμός του f () d Βσιζόμενος σε Ιδιότητες Ή στην Αρχική της f, η οοί Βρίσκετι ό Κνόνες Πργώγισης) Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ ( + ) d (Θέμ Β) Άσκηση (Υολογισμός του f () d

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμένο ολοκλήρωμα συνάρτησης Η συνάρτηση F( x ) = ( )

Ορισμένο ολοκλήρωμα συνάρτησης Η συνάρτηση F( x ) = ( ) 9 Ορισμένο ολοκλήρωμ συνάρτησης Η συνάρτηση F( = f t dt Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση f:a R με A = [,] Χωρίζουμε το [,] σε ν ισομήκη υοδιστήμτ ου το κθέν έχει μήκος Δ = Σε κάθε υοδιάστημ ου σχημτίζετι ν

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: Ολοκληρώματα. Υπολογισμός ολοκληρωμάτων. Μέθοδοι ολοκλήρωσης. Εμβαδά. Η συνάρτηση που ορίζεται από ολοκλήρωμα

Θέμα: Ολοκληρώματα. Υπολογισμός ολοκληρωμάτων. Μέθοδοι ολοκλήρωσης. Εμβαδά. Η συνάρτηση που ορίζεται από ολοκλήρωμα Θέμ: Ολοκληρώμτ Υολογισμός ολοκληρωμάτων Μέθοδοι ολοκλήρωσης Εμβδά Η συνάρτηση ου ορίζετι ό ολοκλήρωμ Ενλητικές σκήσεις ολοκληρωμάτων ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ ΜΕ ΕΥΡΕΣΗ ΤΗΣ ΑΡΧΙΚΗΣ ή ΠΑΡΑΓΟΥΣΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ: Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ: Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ: 3. 3.4 Μέρος Β του σχολικού ιλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Πράδειγμ. Ν υολογισθούν τ ορισμέν ολοκληρώμτ: ΘΕΜΑ Β i. ii. (

Διαβάστε περισσότερα

1. Έςτω f:r R, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη και α,b,c R. Αποδείξτε ότι

1. Έςτω f:r R, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη και α,b,c R. Αποδείξτε ότι Έςτω :RR, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη κι,,cr Αποδείξτε ότι ) d d β) d d γ) d c c d c c δ) d c c c d ε) d στ) d Απάντηση:, εάν η είνι περιττή d, εάν η είνι άρτι Πρόκειτι γι πολύ βσική άσκηση, που είνι εφρμογή της

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 1. x-2 x 5x x -3 x dx, ε. 20x 3- x dx, στ. dx. εφx+εφ3x dx, δ. e dx, ε. ηµ - +3 dx. 2 3

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 1. x-2 x 5x x -3 x dx, ε. 20x 3- x dx, στ. dx. εφx+εφ3x dx, δ. e dx, ε. ηµ - +3 dx. 2 3 - 6 - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. Ν υολογίσετε τ ρκάτω ολοκληρώµτ:. - ( -ηµ+συν)d, β. - +συνd, γ. d, δ. - 5 - d, ε. - d, στ. d.. Ν υολογίσετε τ ρκάτω ολοκληρώµτ: ηµ -συν +5. Α= d, β. Β= ( + )

Διαβάστε περισσότερα

Αφού είναι x α > 0, από την τελευταία προκύπτουν όλες οι προς απόδειξη ανισότητες.

Αφού είναι x α > 0, από την τελευταία προκύπτουν όλες οι προς απόδειξη ανισότητες. I Βσικά συμπεράσμτ Στις σκσεις που κολουθούν θ χρησιμοποισουμε τ επόμεν βσικά συμπεράσμτ Α, Β κι Γ: Α Έστω R κι :[,+)R συνάρτηση τέτοι, ώστε συνεχς στο [,+), πργωγίσιμη στο (,+) κι () = Ν ποδειχθεί ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F( = (d [Kεφ:.5 H Συνάρτηση F( = (d Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. lim e d. Ν υπολογίσετε το όριο: ( Έχουμε ( e d

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 27 MAΪΟΥ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 27 MAΪΟΥ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ 7 MAΪΟΥ 3 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση 3

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας

Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ( ΟΜΑ ΑΣ) Ασκήσεις σχ. ιλίου σελίδς 19 19 1. Ν λύσετε την η εξίσωση ηµ ηµσυν συν ηµ ηµσυν συν ηµ ηµσυν συν (ηµ + συν ) ηµ ηµσυν συν + ηµ + συν 0 (1 + )ηµ ηµσυν + ( 1)συν 0 Αν συν

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Αόριστο ολοκλήρωμα. Ερωτήσεις θεωρίας

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Αόριστο ολοκλήρωμα. Ερωτήσεις θεωρίας ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Αόριστο ολοκλήρωμ Ερωτήσεις θεωρίς Ποι ρολήμτ οδήγησν στην νάγκη ορισμού της ρχικής συνάρτησης ; Δώστε τον ορισμό της ρχικής συνάρτησης ή ράγουσς f στο Δ κι έν ράδειγμ Πολλές φορές

Διαβάστε περισσότερα

Γ Λυκείου. ανάλυση. Μαθηματικά Προσανατολισμού Mίλτος Παπαγρηγοράκης Χανιά. Ολοκληρώματα. Ταξινομημένες ασκήσεις για λύση.

Γ Λυκείου. ανάλυση. Μαθηματικά Προσανατολισμού Mίλτος Παπαγρηγοράκης Χανιά. Ολοκληρώματα. Ταξινομημένες ασκήσεις για λύση. Γ Λυκείου Μθημτικά Προσντολισμού 6-7 Mίλτος Πγρηγοράκης Χνιά νάλυση Τξινομημένες σκήσεις γι λύση Ολοκληρώμτ & Γενικές Ασκήσεις Τξη: Γ Γενικού Λυκείου Μθημτικά ροσντολισμού Θετικών Σουδών & οικονομίς κι

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto.

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto. 1 Τ πρκάτω είνι τ κυριότερ θεωρήμτ κι ορισμοί πό το σχολικό βιβλίο κολουθούμεν πό δικά μς σχόλι. 1 ο ΠΡΩΤΟ 2 Συνρτήσεις Γνησίως μονότονη συνάρτηση Μι γνησίως ύξουσ ή γνησίως φθίνουσ συνάρτηση λέμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

3.7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ

3.7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ Στην ράγρφο είδμε ότι, ν μι συνάρτηση f είνι συνεχής σε έν διάστημ [, ] κι f ( γι κάθε [, ], τότε το εμδόν του χωρίου Ω ου ορίζετι ό τη γρφική ράστση της

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 3 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Κ Α T E Y Θ Υ Ν Σ Η Σ

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 3 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Κ Α T E Y Θ Υ Ν Σ Η Σ Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 3 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Κ Α T E Y Θ Υ Ν Σ Η Σ Ε ι μ ε λ ε ι : Τ κ η ς Τ σ κ λ κ ο ς o ΘΕΜΑ Π ν ε λ λ δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ σ ε ι ς ( 3 ) A. Εστω f μι συνεχης συνρτηση σε εν διστημ [, β].

Διαβάστε περισσότερα

Α) Να αποδείξετε ότι η νιοστή παράγωγος της συνάρτησης f µπορεί να πάρει. )e όπου α ν, β ν είναι συντελεστές

Α) Να αποδείξετε ότι η νιοστή παράγωγος της συνάρτησης f µπορεί να πάρει. )e όπου α ν, β ν είναι συντελεστές . ίνετι η συνάρτηση f() e. Α) Ν ποδείξετε ότι η νιοστή πράγωγος της συνάρτησης f µπορεί ν πάρει τη µορφή (ν) f () ( + ν + ν )e όπου ν ν είνι συντελεστές εξρτηµένοι πό το ν τους οποίους κι ν υπολογίσετε.

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ [4] ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝAΡΤΗΣΗ Ορισµός Έστω µι συνάρτηση f ορισµένη σε έν διάστηµ Αρχική ή ράγουσ συνάρτηση της f στο, ονοµάζετι κάθε συνάρτηση F, ργωγίσιµη στο, τέτοι

Διαβάστε περισσότερα

Χαράλαμπος Στεργίου Χρήστος Νάκης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ2. Υποδείξεις Απαντήσεις των προτεινόμενων ασκήσεων

Χαράλαμπος Στεργίου Χρήστος Νάκης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ2. Υποδείξεις Απαντήσεις των προτεινόμενων ασκήσεων Χράλμπος Στεργίου Χρήστος Νάκης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Υποδείξεις Απντήσεις των προτεινόμενων σκήσεων 5.65 5.8 Ενότητ 5 Συμπληρωμτικές σκήσεις κι θέμτ 5.65 ) Από τ δεδομέν της άσκησης έχουμε: f () + f() = ( f ())

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 52 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 η ΕΚΑ Α

ΜΑΘΗΜΑ 52 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 η ΕΚΑ Α ΜΑΘΗΜΑ 5 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 η ΕΚΑ Α 7. Έστω συνάρτηση f : R R, η οποί είνι πργωγίσιµη κι κυρτή στο R µε f() κι f () i) Ν ποδείξετε ότι f() γι κάθε R f (t)dt Ν ποδείξετε ότι ηµ Αν επιπλέον ισχύει f () (f()

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 9. ΘΕΜΑ ο Α. Έστω, Δ. Δικρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν =, τότε f( ) = f( ). Αν

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μθητής που έχει μελετήσει το κεφάλιο υτό θ πρέπει ν είνι σε θέση:. Ν γνωρίζει τις έννοιες πράγουσ ή ρχική συνάρτηση, όριστο ολοκλήρωμ κι ν μπορεί ν υπολογίζει πλά όριστ ολοκληρώμτ με τη οήθει των μεθόδων

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΚΩΛΕΤΤΗ

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΚΩΛΕΤΤΗ ΚΩΛΕΤΤΗ 9- -68 8464 84767 www.iraklitos.gr ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΚΑΙ Δ ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β') ΤΕΤΑΡΤΗ 8 ΜΑΪΟΥ 6 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ

Διαβάστε περισσότερα

) f (x) = e x - f(x) ΜΑΘΗΜΑ Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F(x) = ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Ασκήσεις Εύρεση συνάρτησης Ύπαρξη ρίζας. f (t)dt

) f (x) = e x - f(x) ΜΑΘΗΜΑ Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F(x) = ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Ασκήσεις Εύρεση συνάρτησης Ύπαρξη ρίζας. f (t)dt ΜΑΘΗΜΑ 4 3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F() = Ασκήσεις Εύρεση συνάρτησης Ύπρξη ρίζς f ()d ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Έστω συνεχής συνάρτηση f : R R γι την οποί ισχύει f ( ) f() = e d γι κάθε R. Ν βρεθεί η f. Είνι f () = ( f e d ) f ()

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής - Τεχνολογική Κατεύθυνσης

Μαθηματικά Θετικής - Τεχνολογική Κατεύθυνσης o Γεικό Λύκειο Χίω 8-9 Γ τάξη Τμήμ Μθημτικά Θετικής - Τεχολογική Κτεύθυσης γ Ασκήσεις γι λύση Μ Πγρηγοράκης Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Μ ΠΑΠΑΓΡΗΓΟΡΑΚΗΣ 56 Α) Ν υολογίσετε τ:

Διαβάστε περισσότερα

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2017

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2017 Πανελλαδικές Εξετάσεις 7 Μαθηματικά Προσανατολισμού 9/6/7 ΘΕΜΑ Α Προτεινόμενες λύσεις Α. Έστω, Δ, με

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα στα Μαθηματικά Προσανατολισμών Γ

Επαναληπτικό Διαγώνισμα στα Μαθηματικά Προσανατολισμών Γ ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Ποια συνάρτηση ονομάζεται αρχική ή αράγουσα της f στο ; Μονάδες 4 Α. Να διατυώσετε το θεώρημα Rolle. Μονάδες (1+1+1+1)4 Α3. Να διατυώσετε και να

Διαβάστε περισσότερα

( 1) ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ A A 1. Σχολικό σελ. 260 Α 2. Σχολικό σελ. 169 Α 3 Α 4 ΘΕΜΑ Β Β1. Άρα. Β2. Άρα από την δεύτερη σχέση έχω: = 1

( 1) ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ A A 1. Σχολικό σελ. 260 Α 2. Σχολικό σελ. 169 Α 3 Α 4 ΘΕΜΑ Β Β1. Άρα. Β2. Άρα από την δεύτερη σχέση έχω: = 1 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΚΥΡΙΑΚΗ 7//- ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ KAI ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΚΑ () ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ A

Διαβάστε περισσότερα

[f(x)] [f(x)] [f (x)] (x 2 + 2) x 2-2 x 2.

[f(x)] [f(x)] [f (x)] (x 2 + 2) x 2-2 x 2. 99 ΘΕΜΑΤΑ. α) ίνεται η συνάρτηση f ορισµένη και δύο φορές αραγωγίσιµη στο διάστηµα µε τιµές στο (, + ). Να δειχθεί ότι η συνάρτηση g µε g() = lnf(),, έχει την ιδιότητα «g (), για κάθε» αν και µόνο αν ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Ο Μιγαδικοί 5 Έστω w i w wi, όου w i,, R α. Να ρεθούν τα Rw και Im w. Να ρεθεί ο γεωμετρικός τόος των σημείων Μw στο μιγαδικό είεδο γ. Να ρεθεί τ

ΘΕΜΑ Ο Μιγαδικοί 5 Έστω w i w wi, όου w i,, R α. Να ρεθούν τα Rw και Im w. Να ρεθεί ο γεωμετρικός τόος των σημείων Μw στο μιγαδικό είεδο γ. Να ρεθεί τ ΘΕΜΑ Ο Μιγαδικοί i Δίνεται ο μιγαδικός και έστω w α. Να ρεθεί ο μιγαδικός w όταν w. Να δείετε ότι w i γ. Αν η εικόνα του κινείται στον κύκλο κέντρου, και ακτίνας και Μ είναι η εικόνα του w στο μιγαδικό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής - Τεχνολογικής κατεύθυνσης Γ Λυκείου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής - Τεχνολογικής κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΣΤΡΙΤΣΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Κωνστντόπουλος Κων/νος Μθημτικός ΜSc ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής - Τεχνολογικής κτεύθυνσης Γ Λυκείου ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ -ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΤΟΥ ου ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΘΕΜΑ Α Α. (i) Βλέπε σχολικό

Διαβάστε περισσότερα

η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α 1, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f x 1.

η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α 1, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f x 1. Εκθετική συνάρτηση Αν θετικός πργμτικός ριθμός, σε κάθε ντιστοιχεί η δύνμη. Έτσι ορίζετι η συνάρτηση : f : με f, 0 η οποί ονομάζετι εκθετική συνάρτηση με βάση. Αν, τότε έχουμε τη στθερή συνάρτηση f. Ας

Διαβάστε περισσότερα

ίνονται οι πραγµατικές συναρτήσεις f, g που έχουν πεδίο ορισµού το σύνολο

ίνονται οι πραγµατικές συναρτήσεις f, g που έχουν πεδίο ορισµού το σύνολο 996 ΘΕΜΑΤΑ. ίνοντι οι πργµτικές συνρτήσεις f, g που έχουν πεδίο ορισµού το σύνολο. Αν οι f κι g έχουν συνεχείς πρώτες πργώγους κι συνδέοντι µετξύ τους µε τις σχέσεις f = g, g = - f τότε ν ποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

, x > 0. Β) να µελετηθεί η µονοτονία και τα ακρότατα της f. Γ) να δείξετε ότι η C f είναι κυρτή και ότι δεν υπάρχουν τρία συνευθειακά σηµεία

, x > 0. Β) να µελετηθεί η µονοτονία και τα ακρότατα της f. Γ) να δείξετε ότι η C f είναι κυρτή και ότι δεν υπάρχουν τρία συνευθειακά σηµεία f ( t ) ίνεται η συνεχής συνάρτηση f : [, + ) R µε: f ( ) = + ( + ), > t Α ) να δείξετε ότι: α) f ( ) = ln +, > β) f ( ) = Β) να µελετηθεί η µονοτονία και τα ακρότατα της f Γ) να δείξετε ότι η C f είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. συνάρτηση φ: α,β. Ορισμός Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο., αν. κάθε xo.

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. συνάρτηση φ: α,β. Ορισμός Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο., αν. κάθε xo. Ορισμός συντελεστή διεύθυνσης ευθείς Έστω συνάρτηση κι M, έν σημείο της γρφικής της πράστσης. υπάρχει το κι είνι πργμτικός ριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφπτομένη της στο σημείο M, την ευθεί (ε) που διέρχετι

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2016 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2016 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 16 Μάθημ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ημερομηνί κι ώρ εξέτσης: Δευτέρ, 6/6/16 8: 11: ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Γ Λυκείου. 4 ο ΓΛΧ M. Ι. Παπαγρηγοράκης Χανιά. [Μαθηματικά] Προσανατολισμού

Γ Λυκείου. 4 ο ΓΛΧ M. Ι. Παπαγρηγοράκης Χανιά. [Μαθηματικά] Προσανατολισμού Γ Λυκείου ο ΓΛΧ 5-6 M. Ι. Πγρηγοράκης Χνιά [Μθημτικά] Προσντολισμού Τξη: Γ Γενικού Λυκείου Μθημτικά Προσντολισμού Μέρος Γ: Ολοκληρωτικός Λογισμός Έκδοση 5.9 Η συλλογή υτή δινέμετι δωρεάν σε ψηφική μορφή

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -8 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτομένης της γρφικής πράστσης της f στο σημείο Α(,f( ))

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέματα και Απαντήσεις

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέματα και Απαντήσεις ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέματα και Ααντήσεις Ειμέλεια: Ομάδα Μαθηματικών http://www.othisi.gr ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 Παρασκευή, 9 Ιουνίου 7 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης-1 ο /2017 ΛΥΣΕΙΣ

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης-1 ο /2017 ΛΥΣΕΙΣ Λύσεις θεμάτων ροσομοίωσης- ο /7 ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΑΒΒΑΤΟ, ΜΑΡΤΙΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµατα Θεωρίας

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµατα Θεωρίας Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ. N ποδείξετε ότι οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων κι - είνι συµµετρικές ως προς την ευθεί y που διχοτοµεί τις γωνίες Oy κι Oy Aς πάρουµε µι

Διαβάστε περισσότερα

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a,

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a, ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ Λ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ - Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη σωστό ή λάθος δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση

Διαβάστε περισσότερα

222 Επιλεγμένα Λυμένα Θέματα

222 Επιλεγμένα Λυμένα Θέματα Ειλεγμέν Λυμέν Θέμτ Σώλος Γιάννης . Αν η εξίσωση z i z i z 6 i έχει μι φντστική ρίζ ν ρεθούν οι ρίζες της. Έστω η φντστική ρίζ i με. Τότε i i i i i 6 i i i ii 6 i i i i 6 i i 6 i- i- -6-i 6 -i i 6I -i

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ

ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 008 ( ΠΡΟΚΗΡΥΞΗ Π /008) ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Κλάδος: ΠΕ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ (Γνωστικό ντικείμενο)

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 5 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονί συνάρτησης Οι έννοιες γνησίως ύξουσ συνάρτηση, γνησίως φθίνουσ συνάρτηση είνι γνωστές πό προηγούμενη τάξη Συγκεκριμέν,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο : Έστω z, z C με (z ) = κι (z ) = Αν f() ( z )( z )( z )( z ) = κι f(i ) = 64 8i, τότε ν ποδείξετε ότι: ) f( i )

Διαβάστε περισσότερα

(Ενδεικτικές Απαντήσεις) ΘΕΜΑ Α. Α1. Βλέπε απόδειξη Σελ. 262, σχολικού βιβλίου. Α2. Βλέπε ορισμό Σελ. 141, σχολικού βιβλίου

(Ενδεικτικές Απαντήσεις) ΘΕΜΑ Α. Α1. Βλέπε απόδειξη Σελ. 262, σχολικού βιβλίου. Α2. Βλέπε ορισμό Σελ. 141, σχολικού βιβλίου ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 18 ΜΑΪΟΥ 16 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) (Ενδεικτικές Ααντήσεις)

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ

Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης o ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ Ααντήσεις ΘΕΜΑ ο Α. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 6. B. Σχολικό βιβλίο, σελίδες 97 και

Διαβάστε περισσότερα

γραφική παράσταση της συνάρτησης f, τον άξονα x x και τις ευθείες x = 1 και x = 2. lim lim (x 3) ) = 9α οπότε: (1 e ) (x 3) (1 e )(x 3) (x 3)

γραφική παράσταση της συνάρτησης f, τον άξονα x x και τις ευθείες x = 1 και x = 2. lim lim (x 3) ) = 9α οπότε: (1 e ) (x 3) (1 e )(x 3) (x 3) ΘΕΜΑΤΑ Έστω f µια ραγµατική συνάρτηση µε τύο f() α) Αν η f είναι συνεχής, να αοδείξετε ότι α - 9 α,, > β) Να βρείτε την εξίσωση της εφατοµένης της γραφικής αράστασης C f της συνάρτησης f στο σηµείο Α(4,

Διαβάστε περισσότερα

4.3 ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

4.3 ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν κάνουμε την μελέτη ή την γρφική πράστση μις συνάρτησης ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Ότν μς ζητούν κάνουμε την γρφική πράστση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. (Ενδεικτικές Απαντήσεις)

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. (Ενδεικτικές Απαντήσεις) ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 17 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (Ενδεικτικές Ααντήσεις) ΘΕΜΑ Α Α1. Αόδειξη σχολικού βιβλίου σελ 135 Α. α. Ψευδής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A Έστω µι συνεχής συνάρτηση σ' έν διάστηµ [, β] Αν G είνι µι πράγουσ της στο [, β], τότε ν δείξετε ότι β d Gβ G

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Λυκείου Προσανατολισμού

Μαθηματικά Γ Λυκείου Προσανατολισμού Σ 6-7 Μθημτικά Γ Λυκείου Προσντολισμού Σημειώσεις μθημτικών ου ευθύνοντι σε μθητές της Γ Λυκείου. Χωρισμένες σε ενότητες γι την κλύτερη κτνόηση της ύλης Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης 6-7

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενες λύσεις. , β) και η f είναι συνεχής στο x. , η f είναι γνησίως αύξουσα στο (α,x. 0]. Έτσι έχουμε: f(x) f(x

Προτεινόμενες λύσεις. , β) και η f είναι συνεχής στο x. , η f είναι γνησίως αύξουσα στο (α,x. 0]. Έτσι έχουμε: f(x) f(x Προτεινόμενες λύσεις Πανελλήνιες 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 8/5/6 Θέμα A A. Εειδή f () > για κάθε Î (α, ) και η f είναι συνεχής στο, η f είναι γνησίως αύξουσα στο (α, ]. Έτσι έχουμε: f() f( ), για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

1. Δίνεται το τριώνυμο f x 2x 2 2 λ

1. Δίνεται το τριώνυμο f x 2x 2 2 λ 0 Επνληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρς Α Λυκείου 0 Επνληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρς Α Λυκείου Δίνετι το τριώνυμο λ 5 λ 5, όπου λ Ν ποδείξετε ότι η δικρίνουσ του τριωνύμου ισούτι με Δ 4λ 5λ 3 β Ν βρείτε γι ποιες τιμές

Διαβάστε περισσότερα

( 0) = lim. g x - 1 -

( 0) = lim. g x - 1 - ν ν ΘΕΜΑ Η πολυωνυµική συνάρτηση ν + ν + + + έχει όριο στο R κι ισχύει lim ν ν Έχουµε lim + + + lim ν ν ν ν lim ν + lim ν + ν ν ν lim + ν lim + + lim + lim ν ν ν + ν + + Εποµένως, lim ΘΕΜΑ Η ρητή συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

( y) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΘΕΜΑ Α Α1. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 135

( y) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΘΕΜΑ Α Α1. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 135 ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 5 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 07 Α. α. Ψ β. Δίνεται αντιαράδειγμα στο σχολικό βιβλίο σελίδα 99, αράγραφος: «Παράγωγος και συνέχεια». Α.

Διαβάστε περισσότερα

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 1 η δεκάδα θεµάτων εανάληψης 1. ίνεται το ολυώνυµο Ρ(x) = x 3 x 2 4x + 4 Να αοδείξετε ότι ο αριθµός ρ = 1 είναι ρίζα του ολυωνύµου i Να βρείτε το ηλίκο της διαίρεσης του ολυωνύµου Ρ(x) µε το ολυώνυµο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ x. Η f είναι συνεχής στο x0. lim lim 1. Παρατηρούμε, δηλαδή, ότι μια

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ x. Η f είναι συνεχής στο x0. lim lim 1. Παρατηρούμε, δηλαδή, ότι μια ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 7 ΘΕΜΑ A A. Αοδεικνύουμε το θεώρημα στην ερίτωση ου είναι f () >. Έστω, με. Θα δείξουμε ότι f ( ) f ( ). Πράγματι, στο διάστημα [, ] η f ικανοοιεί

Διαβάστε περισσότερα

2.5. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. 1.i. 1.ii Να εξετάσετε αν η συνάρτηση

2.5. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. 1.i. 1.ii Να εξετάσετε αν η συνάρτηση .5 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 49 5 A Οµάδας.i Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f() + ικανοοιεί τις υοθέσεις του θεωρήµατος Rolle στο διάστηµα [, ], και αν ναι στη συνέχεια να βρείτε όλα τα ξ (α, β) για

Διαβάστε περισσότερα

just ( u) Πατρόκλου 66 Ίλιον

just ( u) Πατρόκλου 66 Ίλιον just f ( u) du it Πτρόκλου 66 Ίλιον 637345 6944 www.group group-aei aei.gr Νίκος Σούρµπης - - Γιώργος Βρδούκς Ν χρκτηρίσετε τ πρκάτω, σηµειώνοντς Σ (σωστό) ή Λ (λάθος). Αν z, z C, τοτε zz = zz. Η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη Γ. Κεφάλαιο. Εμβαδόν Επιπέδου Χωρίου Θεωρία-Μεθοδολογία-Ασκήσεις. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Τάξη Γ. Κεφάλαιο. Εμβαδόν Επιπέδου Χωρίου Θεωρία-Μεθοδολογία-Ασκήσεις. Ολοκληρωτικός Λογισμός Τάξη Γ Κεφάλιο Ολοκληρωτικός Λογισμός Θεωρί-Μεθοδολογί-Ασκήσεις Κεφάλιο 3 Ολοκληρωτικός Λογισμός Σε κάθε μί πό τις πρκάτω περιπτώσεις ορίζετι πό τη γρφική πράστση μις τουλάχιστον συνάρτησης κι πό κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

α) Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνες δύο συζυγών μιγαδικών είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον πραγματικό άξονα

α) Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνες δύο συζυγών μιγαδικών είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον πραγματικό άξονα Α Π Α Ν Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Μ Α Τ Ω Ν Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ω Ν Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ω Ν ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8.5. ΘΕΜΑ Α A. Έστω μι συνάρτηση f η οποί είνι συνεχής σε έν διάστημ Δ.

Διαβάστε περισσότερα

ρ3ρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Τομέας Μαθηματικών της Ώθησης

ρ3ρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Τομέας Μαθηματικών της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 ρρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιμέλει: Τομές Μθημτικών της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 ευτέρ, 5 Μ ου 5 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μι συνάρτηση, η οποί είνι ορισμένη σε έν κλειστό

Διαβάστε περισσότερα

1 η ΕΚΑ Α ΜΑΘΗΜΑ 45 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1 η ΕΚΑ Α ΜΑΘΗΜΑ 45 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 45 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η ΕΚΑ Α. ίνετι η συνάρτηση f () ( ) κι το σηµείο Α(, 0) µε > 0 Ν µελετηθεί η f ως προς την µονοτονί, τ κρόττ, την κυρτότητ, τ σηµεί κµπής κι τις σύµπτωτες. Γι τις διάφορες τιµές

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο)

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α) Ν ποδείξετε ότι ν µι συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 6 17 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ Θέμα Α Α1 Παραομή στο σχολικό βιβλίο σελίδα 135.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 2002 ΚΛΑΔΟΣ ΠΕ 03 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. EΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ «Γνωστικό Αντικείμενο» Kυριακή 8-12-2002

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 2002 ΚΛΑΔΟΣ ΠΕ 03 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. EΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ «Γνωστικό Αντικείμενο» Kυριακή 8-12-2002 ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 00 ΚΛΑΔΟΣ ΠΕ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ EΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ «Γνωστικό Αντικείμενο» Kυρική 8--00 Η

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν βρούμε την εξίσωση ενός κύκλου Ν βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο: Κ (3, 3) κι τέμνει πό την ευθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ) Πότε µι συνάρτηση µε Πεδίο ορισµού το Α ονοµάζετι περιοδική; β) Ποιο είνι το πεδίο ορισµού κι η περίοδος των συνρτήσεων ηµx, συνx, εφx κι σφx;. Περιοδική ονοµάζετι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 5- ΛΥΣΕΙΣ Οι ασκήσεις της Εργασίας αυτής βασίζονται στην ύλη των Ενοτήτων 9 του συγγράµατος «Λογισµός Μιας Μεταβλητής»

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α)

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ. Μαθηματικά. Β μέρος. Λύσεις των ασκήσεων

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ. Μαθηματικά. Β μέρος. Λύσεις των ασκήσεων ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ Μαθηματικά Β μέρος Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σουδών και Σουδών Οικονομίας & Πληροφορικής Λύσεις των

Διαβάστε περισσότερα

1995 ΘΕΜΑΤΑ ίνονται οι πραγµατικοί αριθµοί κ, λ µε κ < λ και η συνάρτηση f(x)= (x κ) 5 (x λ) 3 µε x. Να αποδείξετε ότι:, για κάθε x κ και x λ.

1995 ΘΕΜΑΤΑ ίνονται οι πραγµατικοί αριθµοί κ, λ µε κ < λ και η συνάρτηση f(x)= (x κ) 5 (x λ) 3 µε x. Να αποδείξετε ότι:, για κάθε x κ και x λ. 995 ΘΕΜΑΤΑ. ίνοντι οι πργµτικοί ριθµοί κ, λ µε κ < λ κι η συνάρτηση f() ( κ) 5 ( λ) µε. Ν ποδείξετε ότι: ) f () f() 5 κ, γι κάθε κ κι λ. λ ) Η συνάρτηση g() ln f() στρέφει τ κοίλ προς τ κάτω στο διάστηµ

Διαβάστε περισσότερα

1. Να σημειώσετε το Σωστό ( ) ή το Λάθος ( ) στους παρακάτω ισχυρισμούς:

1. Να σημειώσετε το Σωστό ( ) ή το Λάθος ( ) στους παρακάτω ισχυρισμούς: 1. Ν σημειώσετε το Σωστό ( ) ή το Λάθος ( ) στους πρκάτω ισχυρισμούς: 1. Αν γι την συνεχή στο συνάρτηση f ισχύουν: f(0) f(2) 0 κι f(0) f(5) 0 τότε η εξίσωση ( ) 0 f έχει τουλάχιστον δύο ρίζες. 2. Αν ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

4.1 δες αντίστοιχη θεωρία 4.2. Α) ναι. Β) όχι. 4.3 δες αντίστοιχη θεωρία. 4.4 δες αντίστοιχη θεωρία 4.5 Α Λ Β Σ Γ Σ Δ Σ ,8 θεωρία.

4.1 δες αντίστοιχη θεωρία 4.2. Α) ναι. Β) όχι. 4.3 δες αντίστοιχη θεωρία. 4.4 δες αντίστοιχη θεωρία 4.5 Α Λ Β Σ Γ Σ Δ Σ ,8 θεωρία. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΛΥΣΕΙΣ 4. δες ντίστοιχη θεωρί 4. Α) νι Β) όχι 4. δες ντίστοιχη θεωρί 4.4 δες ντίστοιχη θεωρί 4.5 Α Λ Β Σ Γ Σ Δ Σ 4. 6 f d f ()g()d f()g() f()g ()d f()d f () f()d f () () () f(g())d f(g( ())

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού ιλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. Ν ρεθεί το εμδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τη γρφική πράστση

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 A ΦΑΣΗ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 A ΦΑΣΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 16 Ε_.ΜλΘΟ(α) ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Πέµτη 7 Ιανουαρίου 16 ιάρκεια Εξέτασης:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις Α Ψ του σχολικού βιβλίου [1]

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις Α Ψ του σχολικού βιβλίου [1] ΛΓΕΒΡ ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις του σχολικού βιβλίου [] Εισγωγικό Κεφάλιο. 9 3 Γι = - 3, η υπόθεση είνι ληθής, ενώ το συμπέρσμ ψευδές Το σύνολο λήθεις της υπόθεσης είνι το = 3, 3, ενώ του συμπεράσμτος είνι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

ΜΑΘΗΜΑ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑ 7.5 ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ. Θεώρηµα Rlle Αν µια συνάρτηση f είναι : Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις (Αναζητώ ρίζα) συνεχής σε κλειστό διάστηµα [α, β] αραγωγίσιµη στο ανοικτό (α, β) f (α) f

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 12: ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 12: ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..9: Ασύμτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i.

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i. . Πολυώνυμ η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βσικές έννοιες του πολυωνύμου. Ποιες πό τις πρκάτω πρστάσεις είνι πολυώνυμ του i. ii. iii. iv. v. vi. 5 Σύμφων με τον ορισμό πολυώνυμ του είνι οι πρστάσεις i,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1. θ (0, ). 4 α) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι μη πραγματικοί αριθμοί. β) Έστω z,z. Δ = 4εφ θ 4= 4(εφ θ 1) < 0 γιατί π

ΘΕΜΑ 1. θ (0, ). 4 α) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι μη πραγματικοί αριθμοί. β) Έστω z,z. Δ = 4εφ θ 4= 4(εφ θ 1) < 0 γιατί π ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ Δίνεται η εξίσωση: z (εφθ)z + =, θ (, ). 4 α) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι μη ραγματικοί αριθμοί. β) Έστω z,z οι ρίζες της αραάνω εξίσωσης. Αν ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

γραπτή εξέταση στo μάθημα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

γραπτή εξέταση στo μάθημα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ δυδικό η εξετστική περίοδος πό 9/0/5 έως 9/04/5 γρπτή εξέτση στo μάθημ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τάξη: Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τμήμ: Βθμός: Ονομτεπώνυμο: Κθηγητές: Θ Ε Μ Α Α Α. Έστω μι συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

συν x = συνθ x= Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Χαρακτηριστικοί Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί

συν x = συνθ x= Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Χαρακτηριστικοί Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Γωνί ω Χρκτηριστικοί Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί σε µοίρες σε rad ηµω συνω εφω σφω 0 ο 0 0 0 0 ο 6 5 ο 60 ο 90 ο 0 δεν ορίζετι δεν ορίζετι 0 ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ ηµ ( κ x ηµ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 5 : Δίνετι η πργωγίσιμη συνάρτηση, με πεδί ρισμύ κι σύνλ τιμών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (27 /5/ 2004)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (27 /5/ 2004) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (7 /5/ 4) ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μι συνάρτηση f ορισμένη σ' έν διάστημ Δ κι έν εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Έστω η πργωγίσιμη συνάρτηση f: (, + ) R γι την οποί ισχύει η σχέση f() yf(y) = yf + y y γι κάθε, y (, + ) i. Ν δειχθεί ότι η f είνι στθερή στο (, + ). ii. Εάν iii.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. α > α. Γνωρίζουµε ότι για κάθε x ( 0, + ) l οg x. Αυτό σηµαίνει ότι σε κάθε x ( 0, ) l οg x, εποµένως έχουµε τη συνάρτηση:

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. α > α. Γνωρίζουµε ότι για κάθε x ( 0, + ) l οg x. Αυτό σηµαίνει ότι σε κάθε x ( 0, ) l οg x, εποµένως έχουµε τη συνάρτηση: Λυµέν Θέµτ κι Ασκήσεις κ.λ.π. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Επιµέλει: Σκουφά Σωτήρη Βούρβχη Κώστ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Λογριθµική συνάρτηση >. Γνωρίζουµε ότι γι κάθε ( 0, + ) l οg. Αυτό σηµίνει ότι σε κάθε ( 0, ) Θεωρούµε

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Τριγωνομετρικές εξισώσεις

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Τριγωνομετρικές εξισώσεις 6 Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Τριγωνομετρικές εξισώσεις 1. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Περιοδική συνάρτηση Μια συνάρτηση f με εδίο ορισμού Α λέγεται εριοδική, όταν υάρχει T τέτοιος ώστε για κάθε x A να

Διαβάστε περισσότερα

ÈÅÌÁÔÁ 2008 ÏÅÖÅ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ

ÈÅÌÁÔÁ 2008 ÏÅÖÅ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Εαναλητικά Θέµατα ΟΕΦΕ 8 ΘΕΜΑ ο Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. α. Βλέε Πόρισµα σελίδα 5 σχολικού βιβλίου. β. Βλέε σελίδα 4 σχολικού βιβλίου. Β. α. (Σ), β. (Σ), γ. (Σ), δ. (Σ).

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» Η συνάρτηση f() =, 0 Υπερβολή Δύο ποσά λέγοντι ντιστρόφως νάλογ, εάν μετβάλλοντι με τέτοιο τρόπο, που ότν οι τιμές του ενός πολλπλσιάζοντι με ένν ριθμό, τότε κι οι ντίστοιχες τιμές του άλλου ν διιρούντι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΡΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Δυνάμεις με ρητό ή άρρητο εκθέτη.

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΡΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Δυνάμεις με ρητό ή άρρητο εκθέτη. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΡΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Δυνάμεις με ρητό ή άρρητο εκέτη. Με την οήει των ορίων κι των δυνάμεων με ρητό εκέτη ορίζετι κι η δύνμη, με > 0 κι. Ισχύουν κι σε υτή την περίπτωση

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Θεμάτων Πανελλαδικών Εξετάσεων Ημερησίων Γενικών Λυκείων (Νέο & Παλιό Σύστημα)

Απαντήσεις Θεμάτων Πανελλαδικών Εξετάσεων Ημερησίων Γενικών Λυκείων (Νέο & Παλιό Σύστημα) 8 Μαΐου 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ & ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Ααντήσεις Θεμάτων Πανελλαδικών Εξετάσεων Ημερησίων Γενικών Λυκείων (Νέο & Παλιό Σύστημα) Μαθηματικά Ομάδας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Δίνετι η εκθετική συνάρτηση: f a Γι ποιες τιμές του η ) γνησίως ύξουσ; β) γνησίως φθίνουσ; ( ) είνι:. Δίνοντι οι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕ ΕΚΘΕΤΗ ΡΗΤΟ - ΑΡΡΗΤΟ Αν >0, μ κέριος κι ν θετικός κέριος, τότε ορίζουμε: Επιπλέον, ν μ,ν θετικοί κέριοι, ορίζουμε: 0 =0. Πρδείγμτ: 4 4,, 5 5, 4 0 =0. Γενικότερ μπορούμε ν ορίσουμε δυνάμεις

Διαβάστε περισσότερα

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ελευθέριος Πρωτοαάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΗ ίνεται η συνάρτηση f µε f() = 5 4 +α, όου α R και το είναι ρίζα της εξίσωσης f() =. α) Να βρείτε το α R. β) Να λύσετε

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων. Παρασκευή 9 Ιουνίου 2017 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Λύσεις των θεμάτων. Παρασκευή 9 Ιουνίου 2017 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Παρασκευή 9 Ιουνίου 7 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (/6/7, 6:3) Οι ααντήσεις και οι λύσεις είναι αοτέλεσμα συλλογικής δουλειάς

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Έστω η πργωγίσιμη συνάρτηση f: (, + ) R γι την οποί ισχύει η σχέση f() yf(y) = yf + y y γι κάθε, y (, + ) i. Ν δειχθεί ότι η f είνι στθερή στο (, + ). ii. Εάν iii.

Διαβάστε περισσότερα