ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ"

Transcript

1 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ν ρείτε τις ράγουσες F των ρκάτω συνρτήσεων ( ) = ( +) ( -) log ( -) γ ( ) = ( +) ( - ) +, > ln( -) ln( -) ( ) = + 5, > δ ( ) = 5 +, > Ν ρείτε τις ράγουσες F των ρκάτω συνρτήσεων - ln =, > ( ) = ( +) γ ( ) + ( ) =( ημ + συν ) δ ( ) =- Ν ρείτε τις ράγουσες Fτων ρκάτω συνρτήσεων +- ( ) = + γ ( ) = +++ln +, > ++7+log( +) ( ) ( ) + ( ) =5 δ ( ) = Ν ρείτε τις ράγουσες F των ρκάτω συνρτήσεων ( ) =, > ( ) =,< συν, =, > ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : ΤΟ ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΝΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 5 Ν ρείτε τις ράγουσες F της συνάρτησης ( ),στο διάστημ [-,] Η ΑΡΧΙΚΗ 6 Ν υολογίσετε τ ολοκληρώμτ: (ι) 5- d (ii) 5 d (iii) συν( +5)d 7 Ν υολογισετε τ ολοκληρωμτ ι) ( ηµ χ+συνχ)d ii) d + iii) ( )( +) d iv) εφd ηµ + v) εφ d vi) d ηµ vii) + d viii) + συν d + συν i) ln d ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 6

2 8 N ρεθεί συνάρτηση τέτοι, ώστε η γρφική της ράστση ν διέρχετι ό το σημείο A(, ) κι ν ισχύει '(χ) = ημχ + συνχ,, γι κάθε R 9 Ν ρείτε τη συνάρτηση ν '(χ) = ημχ + συνχ, χ R κι η c διέρχετι ό την ρχή των ξόνων Έστω η συνεχής συνάρτηση : [, + ) R,με ( ( ) ( )) ( ) γι κάθε > κι ( ) = Ν ρείτε τον τύο της - = y= Έστω η συνάρτηση :R-{ } R, με ( ) ( ), γι κάθε Ν ρείτε την συνάρτηση ( ) - =, Ν ρείτε τη συνάρτηση : R R, ν η εφτομένη της C έχει σε κάθε σημείο της συντελεστή διεύθυνσης τετρλάσιο ό την τετμημένη του σημείου υτού κι () = 6 Ν ρείτε τη συνάρτηση : R R, ν ( ) =, () = κι η είνι άρτι Ν ρείτε τη συνάρτηση : R * R ν γι κάθε ισχύει: ( ) = - κι ()= 5 Έστω η συνεχής συνάρτηση : R R κι F μι ρχική της Αν () = κι γι κάθε R είνι () = -F(), ν ρεθεί η 6 Έστω η συνάρτηση : R R κι F μι ρχική της με την ιδιότητ ()F() = - - γι κάθε R Αν () =, ν ρεθεί η 7 Έστω η συνάρτηση : R R κι F μι ρχική της με την ιδιότητ ()F(-) = γι κάθε R Αν ( ) =, ν οδείξετε: (ι) (-)F() = (ii) [F()F(-)] = (iii) F( ) = (iv)f()f(-)= v)()=f(), (vi)f()= (vi()= 8 Έστω η συνεχής συνάρτηση : R R κι F μι ρχική της στο R με F (), Αν γι κάθε R ισχύει F() = F(-) ν λύσετε την εξίσωση ()= 9 N ρεiτε συvάρτηση ργωγiσιμη στo R v ( + ) = ( + ) () = 5, R κi Εστω η ργωγισιμη συνρτηση στο [, ] ώστε () () = + (), [,] N δειξετε ότι + ( ) = + ( ) Εστω η συνρτηση : (, + ) + R, ώστε ν ισχυει () + ( ) =, > + 7

3 Ι) Ν δειχθει ότι () = + ii) N ρεθει το () d Αν F είνι ρχικη της κι ισχυει F( ) + F( ) = 6, R Ν ρειτε τις τιμες () κι () Δίνετι ότι η συνάρτηση ( ) : R R F είνι ράγουσ της συνάρτησης κι ισχύει ( ) ( ) F( - ) +F( - ) +F + = γι κάθε R Ν ρείτε τις τιμές ( ) κι ( ) Αν η είνι ργωγίσιμη στο R,ν δείξετε ότι: i) Η C τέμνει τον άξον σ έν τουλάχιστο σημείο = ii)υάρχει ( ), έτσι ώστε ( ) ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Ν οδείξετε ότι: d d = Αν η συνάρτηση είνι συνεχής στο R, ν γρφούν στη μορφή ()d οι ρκάτω συνρτήσεις: 5 (i) ()d+ ()d+ ()d (ii) ()d- ()d+ ()d Ν υολογίσετε την τιμή του κ R γι την οοί ισχύει: κ 8 d d = Αν, ν οδείξετε ότι 8 Ν οδείξετε ότι: κ ( )d 5 5 d d + 9 Ν οδείξετε ότι ν, τότε ( + )d Αν η συνάρτηση είνι συνεχής στο [,5], ν οδείξετε ότι: ()d () d Αν οι συνρτήσεις κι g είνι συνεχείς στο R, ν οδείξετε ότι: d d (t)g()d dt = (t)g()dt d g g 8

4 Αν η συνάρτηση είνι συνεχής στο R κι ()d = ()d, γ ()d = ()d d d ν οδείξετε ότι: γ Αν η συνάρτηση είνι συνεχής στο R κι ισχύει () γι κάθε R Ν οδείξετε ότι: 9 8 (i) ()d ()d (ii) ()d ()d - Έστω, g συνεχείς στο [,] Ν οδείξετε ότι : i) Aν () g() γι κάθε [,] τότε ii) Aν m η ελάχιστη κι Μ m(-) ()d Μ(-) iii) ()d g()d η μέγιστη τιμή της στο [,] τότε ()d ()d 5 Αν η συνάρτηση είνι συνεχής στο διάστημ [,] με () γι κάθε [,] κι ()d=, ν οδείξετε ότι ()d ΙΙ ΑΜΕΣΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ 6 Ν υολογισθούν τ ορισμέν ολοκληρώμτ: ) t ( + )dt ) t (+ -ημ( ))d γ) 5 ( ) d δ) + d ε) + ημ d στ) -συν 8 6 (εφ +εφ )d ΙΙΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ 7 N υολογιστούν τ ολοκληρώμτ: + d ( )d ( + ) d ( t + t )dt 5 ( t + t + + t )dt ν 6 ( ) 8 Ν υολογίσετε τo ολοκλήρωμ / συν d d -ημ d 9 Δίνετι η ( ) = - - )Ν την μελετήσετε ως ρος την μονοτονί-κρόττ 9

5 )Ν ρείτε το ρόσημο της γ) Ν υολογίσετε τo ολοκλήρωμ - - d Δίνετι συνεχής συνάρτηση d κι ( ) = - - :R Rγι την οοί ισχύει οτι ()- + >, R ) N δείξετε οτι η διτηρεί στθερό ρόσημο στο R το οοίο κι ν ρείτε ) N υολογίσετε το ολοκλήρωμ Ν υολογίσετε τo ολοκλήρωμ () + + 5d d / 7 5 Ν υολογίσετε τo ολοκλήρωμ ( ) / d Ν υολογιστεί το ολοκλήρωμ I = IV ΠΟΛΛΑΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Αν ισχυει ότι 8 7 ()d = -, τοτε ν υολογισετε το ολοκληρωμ 5 N υολογιστούν τ ολοκληρώμτ: () t dt d 6 χ dt d χ (t t) dt d γ χ t ( + t) dt d 6 Ν υολογιστούν τ ρκάτω ολοκληρώμτ: V ΕΥΡΕΣΗ ΤΗΣ ΟΤΑΝ ΔΙΝΕΤΑΙ ΤΟ ()d 7 Ν ρειτε τον τυο της συνεχους συνρτησης : 8 Ν ρειτε τον τυο της συνεχους συνρτησης : 9 Ν ρειτε τον τυο της συνεχους συνρτησης : [, + ) ( ) 6 d ( ) R R ότν = + R R ότν ()= 6 ( ) d R ότν ( ) = ( ) + ( t) dt 5 Ν ρείτε όλες τις συνεχείς συνρτήσεις στο [,] ώστε ( ) d = 5 Έστω συνεχής στο [,] ώστε: + ( ) = ( ) Ν ρείτε τον τύο της t t dt t t dt

6 5 Έστω :R Rργωγίσιμη : της 5 Αν ( t) dt ( t) dt = = ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ () + () = (t)dt= k, R Βρείτε τον τύο Ν δείξετε ότι ()= γι κάθε [,] ΜΕΘΟΔΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ Ι ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ 5 Ν υολογίσετε τ ολοκληρώμτ ι) d ιι) συν d ιιι) ( ) + + d ιv) ηµ ηµ d v) d vi) d ηµ vii) ln( + ) d viii) ln d i) n ln d ln ) d i) (ln ) d ( ) = [ () + ()] d 55 Ν οδειχθει ότι 56 Αν ()= (), ν οδειξετε ότι ()d = ( ) ( ) 57 Αν () = (), ν ρειτε το ολοκληρωμ () ηµ χ d 58 Αν η συνρτηση εχει συνεχη ργωγο στο [,] κι ()= ν υολογισετε το ολοκληρωμ [ () + () ]d 58 Αν οι, g έχουν συνεχή δεύτερη ράγωγο στο [, ] κι η συνάρτηση F, όου ( ) F( ) = g ( ), ληρεί τις ροϋοθέσεις του Θ Roll στο [, ] με g ( ) = g = g d = g d ( ) ν δειχθεί ότι : ( ) ( ) ( ) ( ) 59 Έστω η συνάρτηση με συνεχή δεύτερη ράγωγο στο, γι την οοί ( ) ( ) ισχύει ότι = d Αν η ρουσιάζει κρόττο στο =

7 κι εφάτετι στον στο =, ν ρεθεί το () Κτόιν ν δειχθεί ότι υάρχει έν τουλάχιστον ξ (,) στο οοίο η εφτομένη της είνι ράλληλη στην δ: + y + = ΑΝΑΓΩΓΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ 6 Αν = ν 6 Αν ν = ν I d, ν οδειχθει ότι Ι ν+ +(ν+) Ι ν Ν ρεθει το I ν I ημ d Ν οδειχθει ότι Ι ν = ν ν Ι ν- ν n 6 Αν I = (ln ) d n ν οδειξετε ότι + ν ν Iν I = 6 Βρείτε μι νδρομική σχέση γι τ ν ν Iν = d ν N I = d / 6 Έστω I = ν ν εφ d (ν N * -{} ): δείξτε ότι ν ν N I ( n) d n = ν N, n ) I < ν + Iν ) + + Iν = γ) ν Iν < I < ν + ν ν ΙΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΜΕ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ 65 Ν υολογισετε τ ολοκληρωμτ d ι) ιι) du ιιι) + u(ln u) ιv) ( + + ) (8 + ) d v) + + ( 5) d vi) viii) ηµ ( + ηµ t) dt i) ln ln + συν (5 + ηµ ) d d vii) ηµ ( + ) d t i) ηµ + d ) συν d + d d ii) + συν ( ) 66 N υολογισετε τ ολοκληρωμτ + ι) d d ιι) ln ιιι) + d ιv) + d

8 ΕΙΔΙΚΕΣ ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ ΜΕ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ Α ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΡΗΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 67 Ν υολογισετε τ ολοκληρωμτ d ι) ιι) d ιιι) + + ( )( + ) d ιv) + + d d v) + + vi) + d ( + ) 68 Ν υολογίσετε τ ολοκληρώμτ ) - + I = d ) I = d Ι = d Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ I = d Β ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΑΡΡΗΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 7 Ν υολογισετε τ ολοκληρωμτ d d d i) ii) iii) iv) d Ν υολογισετε τ ολοκληρωμτ Ι) d + ιι) d ιιι) + d ιv) d v) + dt vi) + t ( + + ) d + Γ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 7 Ν υολογισετε τ ολοκληρωμτ

9 ι) ημ συν d ιι) ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ ημ d ιιι) 5 ημ συν d ιv) ημ d v) 7 συν d ημ vi) ημ( + )ημ d vii) ημ5 συν7 d viii) o d ημ i) Δ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ εφd συν (ημ συν ) + 7 Έστω ( ) [, ] γνησίως φθίνουσ, με συνεχή ράγωγο στο [, ] ) Ν οδειχθεί ότι ( y) dy = ( ) d 7 Αν ργωγίσιμη κι ντιστρέψιμη στο [,, ] ν οδειχθεί ότι : ( ) ( y) dy = ( ) ( ) ( ) ( ) d κι σύνολο τιμών το 75 Ν δειχθεί ότι η ( ) = + ντιστρέφετι Κτόιν ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ Ι= ( ) d 76 Έστω ( ) γνησίως ύξουσ, με συνεχή ράγωγο στο [, ] [, ] ) Ν δειχθεί ότι ( y) dy = ( ( ) ) d ) Αν 77 Αν 78 Αν ρ, ρ των + ( ) = ν ρεθεί το ολοκλήρωμ ( y) dy κι σύνολο τιμών το ( ) + ( ) = +, ν δειχθεί ότι η ντιστρέφετι Ν ρεθούν οι ρίζες ( ) = κι ( ) = κθώς κι το ( ) d ( ) + ( ) =, ν δειχθεί ότι η ντιστρέφετι κι ν ρεθεί η ( ) Κτόιν ν υολογιστεί το Ι= ( ) d 79 Αν ( ) = ln( + ),, > ν ρεθεί το Ι= ( y) dy 8 ) Ν δειχθεί ότι > γι κάθε ) Έστω συνάρτηση ( ), ργωγίσιμη στο, γι την οοί, γι κάθε, ισχύει ( ) ( ) ( ) = ) Ν ρεθεί το ρόσημο της ( ) στο ) Ν δειχθεί ότι η ντιστρέφετι κι ν ρεθεί η γ) Ν ρεθεί το Ι = ( ) ( ) ( )( ( ) + ) d 8 Αν είνι συνεχης στο [,], γνησιως υξουσ με () κι ν

10 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ ( ) οδειξετε ότι ( ) d + ( ) ( ) d = ( ) ( ) ( ) Ε ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΚΘΕΤΙΚΗΣ - ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗΣ ** Αν στο Ι έχουμε ( ) θ θέτουμε = u = ln u με ** Αν στο Ι έχουμε (ln ) θ θέτουμε ln u = u = με d = du u u d = du 8 Ν υολογιστεί το ολοκλήρωμ Ι= d + 8 Ν υολογιστεί το ολοκλήρωμ Ι= ( ln )( ln ) 8 Ν υολογιστεί το ολοκλήρωμ ( ln ) d Ι= συn d ΣΤ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΑΡΤΙΑΣ- ΠΕΡΙΤΤΗΣ ΜΕ ΑΝΤΙΘΕΤΑ ΑΚΡΑ 85 Αν η συνρτηση : [,] R είνι συνεχης κι εριττη ν οδειξετε οτι: ( ) d = Ν υολογισετε τ ολοκληρωμτ : 7 χ συνχ i) 6 + ημ χ d συνχ( ) ii) d + :, R είνι συνεχης κι ρτι ν οδειξετε οτι: 86 Αν η συνρτηση [ ] ( ) d = ( ) d Ν υολογισετε τ ολοκληρωμτ : i) 5 χ ημ χ συνχ + ημ χ d ii) συνχ ημ χ χ 6 + ΘΕΩΡΗΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΜΕΘΟΔΟ ΤΗΣ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ d ln ln ln 87 Ν υολογισετε τ ολοκληρωμτ ι) d d ιι) ( + 9) ιιι) 6 d με = +, = 6 + 5

11 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ ( BAC Dijon, Milno, Milno 88 Αν είνι συνεχης στο [, ] κι c,δ R δειξτε ότι + c d ( ) d = ( c) d = d + c d d d 89 Ν υολογισετε τ ολοκληρωμτ ι) συν d ιι) ( ) d ιιι) ημ ( συν ) d 9 Ν οδειξετε ότι ι) ν ν ( ) d = ( ) d ιι) ( ) d = ( ) d, > 9 ι) Αν η είνι συνεχης στο [,] δειξτε ότι ιι) Υολογιστε το 67 d ( ) d = ( ) d ν ν ν 9 Αν είνι συνεχης στο R, ν οδειξετε ότι ι) ( ) = ( ) d d ιι) [ ] [ ] ( ) d = ( + ) + ( ) d = ( ) + ( ) d = ( ) d = ( + ) d 9 Αν είνι συνεχης στο R κι (-) = - () ν οδειξετε ότι ι) ( ) d = ιι) ( ) d = ( ) d 9 Αν είνι συνεχης στο [-,] κι (χ)+ (-χ)= δειξτε ότι ( ) d = 95 Αν η είνι συνεχης στο [-,] κι ισχυει (χ)+ (-χ)=, [,] ν οδειξετε ι) ()+(-)=, [, ] ii) ( ) d = 96 Aν η είνι συνεχης στο [,] κι ()+ (-)=-, δειξτε ότι 97 Αν η είνι συνεχης R κι (-) = (), δειξτε ότι υολογιστε το ολοκληρωμ 86 ημd 98 Αν είνι συνεχης στο R κι (-)+ (+)= δειξτε ότι οδειξετε ότι ( ) d = ( ) + ( ) ( ) d = () t dt = () t dt κι ( ) d = Ν 6

12 99 Αν η είνι συνεχης στο [,] κι ()= ( +-) ν οδειξετε ότι + + ( ) d = ( ) d = ( + ) ( ) d Αν η είνι συνεχης στο [,] ν οδειξετε ότι (ημ ) d = (ημ ) d = (ημ ) d κι ν υολογισετε το ημ ν ημ ν + συν ν d Με την ντικτστση = +-t, ν οδειξετε ότι Ν δειξετε ότι συν d ημ d = = συν + ημ συν + ημ ( t) dt = ( t) + t ( ) ΙΙΙAΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Ν δείξετε ότι : Α 5 t dt Α t + / φ / d Α t dt t Α /συνt dt Α5 /6 t dt + συν t Έστω συνεχής στο [,] m = min ( ), M m ( ) ( ) t mln dt Mln t [, ] =, > τότε δείξτε ότι [, ] + t dt 5 ) [,] δείξτε ότι ln ( + ), ) δείξτε τώρ ότι: ln ( ) 6 Αν > κι [,] δείξτε ότι + d + Ποιο το lim d + + / d 7 Δείξτε ότι: 6 + εφ 8 Αν είνι συνεχής στο + 6 κι στην συνέχει δείξτε ότι: (, ) () =,ln (), (, + ) τότε ν μελετήσετε την μονοτονί κι τ κρόττ της Ν δείξετε ότι η δεν έχει σύμτωτους κι ότι η εξίσωση () = m έχει μονδική λύση 7

13 9 Χρησιμοοιήστε την τυτότητ ( ) ( ) d ( ) συνd = ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ ( ) ( ( ) ) ηµ + συν κι με δεδομένο ότι ηµ = δείξτε ότι γι την συνεχή συνάρτηση ισχύει: ( ) d Αν () =, () (), [, + ) δείξτε ότι θ ισχύει : (t)dt () Έστω (), ()=, ()= κι η συνεχής συνάρτηση στρέφει τ κοίλ άνω τότε δείξτε ότι: ( ) d ( ) κι ( ) d Β Δείξτε ότι: t dt Β Δείξτε ότι: ln( + t ) dt + t Με μι γεωμετρική ερμηνεί της υόθεσης ()> [,] δείξτε ότι: + ( t) dt ( )( ( ) ( )) Κι άλι με γεωμετρικό τρόο μορείτε ν δείξετε ότι ν ()< [,] τότε ( ) ' ( ) ( ) d ( ) ( ) 5 Αν η συνεχής συνάρτηση στρέφει τ κοίλ άνω στο [,] δείξτε ότι: ) ( ) ( ) + ( ) κι { ( ) + ( + ) } + + ) ( ) d ( ( ) + ( )) 6 Έστω ργωγίσιμη κι ()=, ()= τότε ' ( ) ( ) d, ( ) d ( ) 7 Έστω ()>, ύξουσ κι ()= δείξτε ότι: () (), [,] 8 Έστω ύξουσ κι συνεχής, [,] τότε δείξτε ότι: ( ) d ( )d 9 Έστω συνεχής στο [,] Ονομάζουμε με I = ( ) ( ) ( )d Βρείτε την ελάχιστη τιμή του Ι κθώς κι την ντίστοιχη ου ελχιστοοιεί το Ι Έστω ργωγίσιμη κυρτή κι, ()=, ()= Δείξτε ότι: 8

14 + ( ) ', ) ( ) + ( ) '( ) [,], ) ( ) ( ) ( ) ( ) γ) ( ) d ( )d Έστω ύξουσ κι συνεχής δείξτε ότι: ( ) ( ) + ( +) '( ) [-,], ( ) d ( ) + ( ) IV ΕΜΒΑΔΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΕΜΒΑΔΑ ΕΜΒΑΔΟΝ ΧΩΡΙΟΥ ΠΟΥ ΟΡΙΖΕΤΑΙ ΑΠΟ ΤΗΝ C ΤΟΝ ΧΧ ΚΑΙ ΤΙΣ ΕΥΘΕΙΕΣ χ=, χ= Στις ρκάτω σκήσεις ν υολογίσετε το εμδόν ου ερικλείετι ό την C τις ευθείες =, = κι τον άξον ότν: 5 n Α ()= - =-, = Α()=συν+συν =, = Α()= n Α ()= + =-λ, =λ, < λ < Α5 ()= =, = + Α6 ()= ( ) =, = Α7 ()= +λ =-, =λ> Α8 ()= =, =λ> Α9()= 5 =-, = + Α ()= n =, = Α n ()= =, = Δίνετι η συνάρτηση : R * (, + ) γι την οοί ισχύουν () = () κι = = () = - ) Ν οδείξετε ότι ο τύος της είνι () = ) Ν υολογίσετε το εμδόν της ειφάνεις ου ερικλείετι ό τη γρφική () ράστση τη συνάρτησης g () =,τον άξον κι τις ευθείες = κι = Βρείτε το εμδόν ου ερικλείετι ό την C: ()= - ( ++)+ κι τις ευθείες =, = όου στο, η ρουσιάζει κρόττ 5 Βρείτε το εμδόν ου ερικλείετι ό την C: ()=(-) κι τις ευθείες =, = όου στο η ρουσιάζει κρόττο κι στο κμή 9

15 6 Βρείτε το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τη γρφική ράστση της ( ) = + +, τον κι τις ευθείες =, = 7 Βρείτε το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τις γρφικές ρστάσεις της ( ) = 5 + κι τον 8 Βρείτε το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τις γρφικές ρστάσεις των ( ) = σϕ, κι τις ευθείες =, = 9 Βρείτε το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τις γρφικές ρστάσεις της ( ) =, κι τις ευθείες =, = ΕΜΒΑΔΟΝ ΧΩΡΙΟΥ ΠΟΥ ΟΡΙΖΕΤΑΙ ΑΠΟ ΤΗΝ C ΤΗΝ C g ΚΑΙ ΤΙΣ ΕΥΘΕΙΕΣ χ=, χ= Ν υολογίσετε λοιόν τ εμδά των χωρίων του ειέδου ου ερικλείοντι ό τις κμύλες με εξισώσεις: Α y=, +y =8 Α y =+, -y-= Α6 n y =, y = n Α7 + y= Α8 y=, y= Ν ρείτε ευθεί ου διέρχετι ό το (,) κι χωρίζει σε ισεμδικά χωρί το εμδόν ου ερικλείετι ό την y=- κι τον άξον Ν ρείτε ευθεί ου διέρχετι ό το (,) κι χωρίζει σε δυο ισεμδικά χωρί το χωρίο ου ερικλείετι ό τον άξον κι την γρφική ράστση της () = ( )( ),< < Ν ρείτε ευθεί της μορφής = ώστε τ εμδά ου ερικλείοντι ό τις: y= 5, y=(), = κι y= 5, =>, y=() ν είνι ίσ Βρείτε το εμδόν ου ερικλείετι ό την C: ()=ημ+συν κι τις ευθείες y=(), ψ=() όου στο η ρουσιάζει ελάχιστο στο [,] κι στο η ρουσιάζει μέγιστο στο [,] Βρείτε το εμδόν (ως κάοιο όριο ή ν χρειστεί κι ως δύο όρι) ου ερικλείετι μετξύ της C κι της ή των σύμτωτων της Αν μορείτε κάντε έν σχεδιάγρμμ θ οηθήσει κτά ολύ την δισφήνιση του τι κριώς ζητείτι, όου C είνι:

16 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ / Α ( ) =, Α ( ) = Α ( ) 5 ) Ν υολογίσετε το εμδόν του χωρίου Α Β Δ ) Ν υολογίσετε το εμδόν του σκισμένου χωρίου = 8 6 Δίνετι η συνάρτηση () = + ) Ν μελετηθεί κι ν ρστθεί γρφικά 5 ) Ν οδείξετε ότι () d γ) Ν υολογίσετε το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό την C, τον άξον κι τις ευθείες = κι = δ) Ν ροσδιορίσετε την κάθετη ευθεί στον άξον ου χωρίζει το χωρίο του ροηγούμενου ερωτήμτος σε δύο ισεμδικά χωρί 7 Δίνετι η συνάρτηση h () = ) Ν ρείτε μι άρτι συνάρτηση κι μι εριττή συνάρτηση g στο R, τέτοιες ώστε () + g () = h () ) Ν ρείτε τη μονοτονί κι τ κρόττ των, g γ) Ν υολογίσετε το εμδόν Ε (λ) του χωρίου ου ερικλείετι ό τις, g κι τις ευθείες = κι = λ > δ) Ν ρείτε το lim Ε (λ) λ + 8 N ρειτε το εμδον του χωριου ου ερικλειετι ό τις γρφικες ρστσεις των συνρτησεων () = + κι g() = + Βρείτε το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τις γρφικές ρστάσεις των ( ) = g, ( ) = κι των =, = 5 9 Βρείτε το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τις γρφικές ρστάσεις των = ( ) =, g ( ) = + κι της ευθείς ΕΜΒΑΔΟΝ ΧΩΡΙΟΥ ΠΟΥ ΟΡΙΖΕΤΑΙ ΑΠΟ ΔΥΟ Η ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΕΣ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ

17 Ν ρειτε το εμδον του χωριου ου ερικλειετι ό την γρφικη ρστση της () =, την εφτομενη της c στο σημειο Α(-,) κι τον ξον χ χ Ν ρειτε το εμδον του χωριου ου ερικλειετι ό τις γρφικες ρστσεις των συνρτησεων ψ=, ψ=, χ=, ψ= Ν ρειτε το εμδον του χωριου ου ερικλειετι ό την c την εφτομενη της στο σημειο Α(, 8 ) κι τον ψ ψ Δινετι η συνρτηση ( ) =, Ν ρειτε τις συμτωτες της γρφικης ρστσης της ) Ν ρειτε τις συμτωτες της c ) Η οριζοντι συμτωτη της c, ο ξονς χχ κι οι ευθειες χ= κι χ= με > οριζουν έν ορθογωνιο Ν ρειτε γι οι τιμη του η c χωριζει το ορθογωνιο σε δυο ισεμδικ χωρι Βρείτε το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τις γρφικές ρστάσεις της ( ) = κι της g( ) = 5 Ν δειχθεί ότι οι συνρτήσεις ( )= κι g ( ) = ln έχουν κοινή εφτομένη κι κτόιν ν ρεθεί το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τις ( ), g ( ) κι την y = 6 Δίνετι η ρολή C : = py, p > Ν δειχθεί ότι εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό την C, τον κι ό μί εφτομένη της C σε σημείο της P(, y ) με >, είνι ίσο με E= y 7 ) Έστω ( ) = ( )( ) Ν ρεθούν τ,, ώστε οι εφτόμενες της στ = κι = ν είνι οι y = κι y = + ) Ν υολογιστεί το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό την κι την εφτομένη της στο = γ) Ν υολογιστεί το εμδόν ου ερικλείετι ό την κι τις δύο ράνω εφτόμενες 8 Ν δειχθεί ότι η ( ) ln ( ) χωρίου ου ερικλείετι ό την = + + ντιστρέφετι κι ν ρεθεί το εμδόν του, τον κι την ευθεί = 9 Έστω οι ργωγίσιμες, g στο [, + ] ου διέρχοντι ό το ίδιο σημείο του yy κι γι υτές ισχύει ότι g ( ) = κι g ( ) ( ) + = γι κάθε [, + ] Ν ρεθεί

18 το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τις, g κι τις ευθείες =, = 5 Δείξτε ότι η ( ) = + ντιστρέφετι κι ρείτε το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό την τον κι την = 5 Δείξτε ότι η ( ) = + ντιστρέφετι κι ρείτε το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό την κι τους άξονες, yy 5 Αν η ( ) στρέφει τ κοίλ κάτω στο κι στο σημείο (,) Α εμφνίζει κρόττο, ν ρεθεί το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό την, τον κι τις =, = ν ισχύει ότι ( ) + () = 5 Έστω ( ) συνάρτηση με συνεχή ράγωγο γι την οοί ισχύουν () = κι () = Αν ( ) + γι κάθε [,], ν ρεθεί το εμδόν Ε του χωρίου ου ερικλείετι ό την τους άξονες, yy κι την = 5 Έστω συνάρτηση με συνεχή ράγωγο ( ) < στο, η οοί ερνά ό τ Α(,) κι Β(,)Αν το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό την συνάρτηση g ( ) = ( ) κι τους άξονες, yy ισούτι με, ν ρεθεί το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό την h ( ) = ( ) κι τους άξονες, yy 55 Έστω ( ) συνάρτηση με συνεχή ράγωγο γι την οοί ισχύουν () = κι () = Αν ( ) ln γι κάθε [ ], ν ρεθεί το εμδόν Ε του χωρίου ου ερικλείετι ό την τον άξον κι τις ευθείες =, = ln +, < < =, = ln, > Δ Ν δείξετε ότι η είνι συνεχής στο (,+ ) (μονάδες ) κι ν ρείτε, ν υάρχουν, τις κτκόρυφες σύμτωτες της γρφικής ράστσης της 56 Δίνετι η συνάρτηση ( ) Δ Ν οδείξετε ότι το = είνι το μονδικό κρίσιμο σημείο της Δ i) Ν οδείξετε ότι η εξίσωση ( ),+ (μονάδες ) ii) Αν Ε είνι το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τη γρφική ράστση της, τον άξον των κι τις ευθείες = κι =, όου η μονδική ρίζ της εξίσωσης ( ) = στο (,+ ), ν οδείξετε ότι + Ε = (μονάδες ) = έχει μονδική ρίζ στο ( )

19 , +, ν οδείξετε ότι Δ Αν F είνι μι ράγουσ της στο [ ) ( ) F( ) F( ) F( ) + > + γι κάθε > (μονάδες ) 57 Δίνετι συνάρτηση ορισμένη κι δύο φορές ργωγίσιμη στο R, με συνεχή δεύτερη ράγωγο, γι την οοί ισχύει ότι: ( ) ( ) ( ) ( ) + ηµ d = = κι ( ( )) ( ) lim = ηm ( ) + = + γι κάθε κι

20 Δ Ν δείξετε ότι ( ) =(μονάδες ) κι ( ) = (μονάδες ) Δ ) Ν δείξετε ότι η δεν ρουσιάζει κρόττ στο R (μονάδες ) ) Ν δείξετε ότι η είνι γνησίως ύξουσ στο R (μονάδες ) Δ Ν ρείτε το Δ N δείξετε ότι ηm + συν lim + ( ) ( ) ln < d < Μονάδες 7 Μονάδες 6 Μονάδες 6 Μονάδες 6 "Οι μεγάλοι άνθρωοι μιλούν γι ιδέες Οι μεσίοι άνθρωοι μιλούν γι γεγονότ Οι μικροί άνθρωοι μιλούν γι τους άλλους" Πλάτωνς 5

Θέμα: Ολοκληρώματα. Υπολογισμός ολοκληρωμάτων. Μέθοδοι ολοκλήρωσης. Εμβαδά. Η συνάρτηση που ορίζεται από ολοκλήρωμα

Θέμα: Ολοκληρώματα. Υπολογισμός ολοκληρωμάτων. Μέθοδοι ολοκλήρωσης. Εμβαδά. Η συνάρτηση που ορίζεται από ολοκλήρωμα Θέμ: Ολοκληρώμτ Υολογισμός ολοκληρωμάτων Μέθοδοι ολοκλήρωσης Εμβδά Η συνάρτηση ου ορίζετι ό ολοκλήρωμ Ενλητικές σκήσεις ολοκληρωμάτων ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ ΜΕ ΕΥΡΕΣΗ ΤΗΣ ΑΡΧΙΚΗΣ ή ΠΑΡΑΓΟΥΣΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΛYKEIOY. Μαθηματικά Προσανατολισμού. ανάλυση Mίλτος Παπαγρηγοράκης Χανιά. Ολοκληρώματα. Ταξινομημένες ασκήσεις για λύση.

Γ ΛYKEIOY. Μαθηματικά Προσανατολισμού. ανάλυση Mίλτος Παπαγρηγοράκης Χανιά. Ολοκληρώματα. Ταξινομημένες ασκήσεις για λύση. νάλυση Γ ΛYKEIOY Μθημτικά Προσντολισμού 9 - Mίλτος Πγρηγοράκης Χνιά 65 Τξινομημένες σκήσεις γι λύση Ολοκληρώμτ & Γενικές Ασκήσεις Τξη: Γ Γενικού Λυκείου Μθημτικά ροσντολισμού Θετικών Σουδών & οικονομίς

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής - Τεχνολογική Κατεύθυνσης

Μαθηματικά Θετικής - Τεχνολογική Κατεύθυνσης o Γεικό Λύκειο Χίω 8-9 Γ τάξη Τμήμ Μθημτικά Θετικής - Τεχολογική Κτεύθυσης γ Ασκήσεις γι λύση Μ Πγρηγοράκης Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Μ ΠΑΠΑΓΡΗΓΟΡΑΚΗΣ 56 Α) Ν υολογίσετε τ:

Διαβάστε περισσότερα

Γ Λυκείου. ανάλυση. Μαθηματικά Προσανατολισμού Mίλτος Παπαγρηγοράκης Χανιά. Ολοκληρώματα. Ταξινομημένες ασκήσεις για λύση.

Γ Λυκείου. ανάλυση. Μαθηματικά Προσανατολισμού Mίλτος Παπαγρηγοράκης Χανιά. Ολοκληρώματα. Ταξινομημένες ασκήσεις για λύση. Γ Λυκείου Μθημτικά Προσντολισμού 6-7 Mίλτος Πγρηγοράκης Χνιά νάλυση Τξινομημένες σκήσεις γι λύση Ολοκληρώμτ & Γενικές Ασκήσεις Τξη: Γ Γενικού Λυκείου Μθημτικά ροσντολισμού Θετικών Σουδών & οικονομίς κι

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμένο ολοκλήρωμα συνάρτησης Η συνάρτηση F( x ) = ( )

Ορισμένο ολοκλήρωμα συνάρτησης Η συνάρτηση F( x ) = ( ) 9 Ορισμένο ολοκλήρωμ συνάρτησης Η συνάρτηση F( = f t dt Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση f:a R με A = [,] Χωρίζουμε το [,] σε ν ισομήκη υοδιστήμτ ου το κθέν έχει μήκος Δ = Σε κάθε υοδιάστημ ου σχημτίζετι ν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 1. x-2 x 5x x -3 x dx, ε. 20x 3- x dx, στ. dx. εφx+εφ3x dx, δ. e dx, ε. ηµ - +3 dx. 2 3

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 1. x-2 x 5x x -3 x dx, ε. 20x 3- x dx, στ. dx. εφx+εφ3x dx, δ. e dx, ε. ηµ - +3 dx. 2 3 - 6 - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. Ν υολογίσετε τ ρκάτω ολοκληρώµτ:. - ( -ηµ+συν)d, β. - +συνd, γ. d, δ. - 5 - d, ε. - d, στ. d.. Ν υολογίσετε τ ρκάτω ολοκληρώµτ: ηµ -συν +5. Α= d, β. Β= ( + )

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ: Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ: Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ:..4 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ ( + ) d. Εειδή ( ) ( + ) =

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 11: ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ 2.8: Κυρτότητα Σημεία Καμπής του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 11: ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ 2.8: Κυρτότητα Σημεία Καμπής του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ.8: Κυρτότητ Σημεί Κμής του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Δίνοντι οι συνρτήσεις f, g ορισμένες στο [, ]

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Κεφάλιο ο: ΟΟΚΗΡΩΤΙΚΟΟΓΙΜΟ Ερωτήσεις του τύου «ωστό - άθος». * Η συνάρτηση F () = ln - είνι µι ράγουσ της συνάρτησης f () = ln.. * Κάθε συνεχής συνάρτηση σε έν διάστηµ, έχει µόνο µι ράγουσ στο.. * Αν F,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ: Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ: Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ: 3. 3.4 Μέρος Β του σχολικού ιλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Πράδειγμ. Ν υολογισθούν τ ορισμέν ολοκληρώμτ: ΘΕΜΑ Β i. ii. (

Διαβάστε περισσότερα

3x 2x 1 dx. x dx. x x x dx.

3x 2x 1 dx. x dx. x x x dx. ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση (Υολογισμός του f () d Βσιζόμενος σε Ιδιότητες Ή στην Αρχική της f, η οοί Βρίσκετι ό Κνόνες Πργώγισης) Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ ( + ) d (Θέμ Β) Άσκηση (Υολογισμός του f () d

Διαβάστε περισσότερα

( ) = ( ) για κάθε. Θέμα Δ. x 2. Δίνονται οι συναρτήσεις f x

( ) = ( ) για κάθε. Θέμα Δ. x 2. Δίνονται οι συναρτήσεις f x ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ Διγώνισμ Θέμ Α Α Ν ποδειχθεί ότι η συνάρτηση f = ln,, είνι πργωγίσιμη στο κι ισχύει f = Μονάδες 7 Α Πότε μί συνάρτηση f λέμε ότι είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της; Α Πότε

Διαβάστε περισσότερα

114 ασκήσεις ένα ερώτημα - σε όλη την ύλη. x και g x ln 1 2x ln x. ισχύει η σχέση: είναι περιττή και ισχύει ότι. f x x 2 2x, για κάθε x

114 ασκήσεις ένα ερώτημα - σε όλη την ύλη. x και g x ln 1 2x ln x. ισχύει η σχέση: είναι περιττή και ισχύει ότι. f x x 2 2x, για κάθε x Ν εξετάσετε ν είνι ίσες οι συνρτήσεις f() N ποδείξετε ότι f g, ότν γι κάθε Η συνάρτηση f : f,. 4 σκήσεις έν ερώτημ - σε όλη την ύλη ln κι g ln ln ισχύει η σχέση: είνι περιττή κι ισχύει ότι 4 Ν οριστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ [4] ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝAΡΤΗΣΗ Ορισµός Έστω µι συνάρτηση f ορισµένη σε έν διάστηµ Αρχική ή ράγουσ συνάρτηση της f στο, ονοµάζετι κάθε συνάρτηση F, ργωγίσιµη στο, τέτοι

Διαβάστε περισσότερα

Γ Λυκείου. 4 ο ΓΛΧ M. Ι. Παπαγρηγοράκης Χανιά. [Μαθηματικά] Προσανατολισμού

Γ Λυκείου. 4 ο ΓΛΧ M. Ι. Παπαγρηγοράκης Χανιά. [Μαθηματικά] Προσανατολισμού Γ Λυκείου ο ΓΛΧ 5-6 M. Ι. Πγρηγοράκης Χνιά [Μθημτικά] Προσντολισμού Τξη: Γ Γενικού Λυκείου Μθημτικά Προσντολισμού Μέρος Γ: Ολοκληρωτικός Λογισμός Έκδοση 5.9 Η συλλογή υτή δινέμετι δωρεάν σε ψηφική μορφή

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ-ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ-ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ εθοδολογί Πρδείγµτ σκήσεις πιµέλει.: άτσιος ηµήτρης ΡΩ-Ρ ΡΩ διότητες: Ρ Πρδείγµτ:. υπολογίσετε τ πρκάτω ολοκληρώµτ: 5 d d συν π ( + ) d 4 Π ΡΩ ΡΩΩ. d c 6. d. d. d 4. d 5. συνd f '( ) d f ( ) + c. ηµ συν

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μθητής που έχει μελετήσει το κεφάλιο υτό θ πρέπει ν είνι σε θέση:. Ν γνωρίζει τις έννοιες πράγουσ ή ρχική συνάρτηση, όριστο ολοκλήρωμ κι ν μπορεί ν υπολογίζει πλά όριστ ολοκληρώμτ με τη οήθει των μεθόδων

Διαβάστε περισσότερα

Γενικές ασκήσεις σχ. Βιβλίου 3 ου κεφαλαίου

Γενικές ασκήσεις σχ. Βιβλίου 3 ου κεφαλαίου Γενικές σκήσεις σχ. Βιβλίου ου κεφλίου. Ν χρησιµοοιήσετε την ντικτάστση u γι ν οδείξετε ότι f ( ηµ )d f ( ηµ )d ηµ i Ν υολογίσετε το ολοκλήρωµ d +ηµ u du d κι u u Έστω Ι ( ) f ( ηµ )d Ι ( ) ( u) f ηµ u

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ. ) Δικρίνουμε τις εριτώσεις >e, e η g δεν έχει κρόττ, οότε ρέει

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -8 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτομένης της γρφικής πράστσης της f στο σημείο Α(,f( ))

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο : Έστω z, z C με (z ) = κι (z ) = Αν f() ( z )( z )( z )( z ) = κι f(i ) = 64 8i, τότε ν ποδείξετε ότι: ) f( i )

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Ερωτήσεις ολλλής ειλογής. * Αν η συνάρτηση f έχει γρφική ράστση ου φίνετι στο διλνό σχήµ, τότε µί ράγουσά της µορεί ν έχει γρφική ράστση την B.. 34 . * Αν f () = e, τότε µί ράγουσ της f µορεί ν έχει γρφική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 23

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 23 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο, πργωγίσιμη στο κι γι κάθε ισχύει f f ( ) d = e e e Α) Ν ποδείξετε ότι: f = e i) η f είνι πργωγίσιμη στο κι ισχύει ii) f() = e Β)

Διαβάστε περισσότερα

just ( u) Πατρόκλου 66 Ίλιον

just ( u) Πατρόκλου 66 Ίλιον just f ( u) du it Πτρόκλου 66 Ίλιον 637345 6944 www.group group-aei aei.gr Νίκος Σούρµπης - - Γιώργος Βρδούκς Ν χρκτηρίσετε τ πρκάτω, σηµειώνοντς Σ (σωστό) ή Λ (λάθος). Αν z, z C, τοτε zz = zz. Η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Ο Λ Ο Κ Λ Η Ρ Ω Μ Α Τ Α

Ο Λ Ο Κ Λ Η Ρ Ω Μ Α Τ Α Ο Λ Ο Κ Λ Η Ρ Ω Μ Α Τ Α ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ 4 Ν υπολογίσετε το ολοκλήρωµ: 5 + d (988) 4 Αν I v π 4 v = εϕ d, ν Ν*, τότε: ) Ν ποδείξετε ότι γι κάθε ν>, ισχύει: Iv = Iv v β) Ν υπολογίσετε το Ι 5 (99) 4 Ν βρεθεί

Διαβάστε περισσότερα

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. 2. Να βρεθεί ο λ R ώστε f(x) = ln ( x 2 +2λx+9) να έχει πεδίο ορισμού Α = R

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. 2. Να βρεθεί ο λ R ώστε f(x) = ln ( x 2 +2λx+9) να έχει πεδίο ορισμού Α = R ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Α. ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους 4 ι) () = 6 + 6 iv) () = log ( log4(- )) v) () = ii) () = iii) () = log ( + ) 5 log 4 vii) () = 5 + 4 viii) ()

Διαβάστε περισσότερα

4ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A

4ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A 4ο Επνληπτικό διγώνισμ στ Μθημτικά κτεύθυνσης της Γ Λυκείου 7-8 Θέμ A Α Έστω η συνάρτηση Ν ποδείξετε ότι η είνι πργωγίσιμη στο,, δηλδή κι ισχύει Ν ποδείξετε ότι η δεν είνι πργωγίσιμη στο μονάδες 7 A Ν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Ο Μιγαδικοί 5 Έστω w i w wi, όου w i,, R α. Να ρεθούν τα Rw και Im w. Να ρεθεί ο γεωμετρικός τόος των σημείων Μw στο μιγαδικό είεδο γ. Να ρεθεί τ

ΘΕΜΑ Ο Μιγαδικοί 5 Έστω w i w wi, όου w i,, R α. Να ρεθούν τα Rw και Im w. Να ρεθεί ο γεωμετρικός τόος των σημείων Μw στο μιγαδικό είεδο γ. Να ρεθεί τ ΘΕΜΑ Ο Μιγαδικοί i Δίνεται ο μιγαδικός και έστω w α. Να ρεθεί ο μιγαδικός w όταν w. Να δείετε ότι w i γ. Αν η εικόνα του κινείται στον κύκλο κέντρου, και ακτίνας και Μ είναι η εικόνα του w στο μιγαδικό

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκληρώματα. Κώστας Γλυκός ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α

Ολοκληρώματα. Κώστας Γλυκός ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α Ολοκληρώματα Κώστας Γλυκός 9 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7.. 8 8. 8 8 Kglykos.gr / / 6 εκδόσεις Καλό πήξιμο τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 Επιλεγμένες ασκήσεις από βιβλία Σε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Αόριστο ολοκλήρωμα. Ερωτήσεις θεωρίας

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Αόριστο ολοκλήρωμα. Ερωτήσεις θεωρίας ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Αόριστο ολοκλήρωμ Ερωτήσεις θεωρίς Ποι ρολήμτ οδήγησν στην νάγκη ορισμού της ρχικής συνάρτησης ; Δώστε τον ορισμό της ρχικής συνάρτησης ή ράγουσς f στο Δ κι έν ράδειγμ Πολλές φορές

Διαβάστε περισσότερα

4o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016

4o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016 wwwaskisopolisgr ΘΕΜΑ A 4o Επνληπτικό Διγώνισμ 6 Διάρκει: ώρες Α Έστω μι συνάρτηση f πργωγίσιμη σ έν διάστημ,, με εξίρεση ίσως έν σημείο του f διτηρεί πρόσημο στο,,, ν,στο οποίο όμως η f είνι συνεχής Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2016 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2016 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 16 Μάθημ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ημερομηνί κι ώρ εξέτσης: Δευτέρ, 6/6/16 8: 11: ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a,

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a, ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ Λ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ - Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη σωστό ή λάθος δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη Γ. Κεφάλαιο. Εμβαδόν Επιπέδου Χωρίου Θεωρία-Μεθοδολογία-Ασκήσεις. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Τάξη Γ. Κεφάλαιο. Εμβαδόν Επιπέδου Χωρίου Θεωρία-Μεθοδολογία-Ασκήσεις. Ολοκληρωτικός Λογισμός Τάξη Γ Κεφάλιο Ολοκληρωτικός Λογισμός Θεωρί-Μεθοδολογί-Ασκήσεις Κεφάλιο 3 Ολοκληρωτικός Λογισμός Σε κάθε μί πό τις πρκάτω περιπτώσεις ορίζετι πό τη γρφική πράστση μις τουλάχιστον συνάρτησης κι πό κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο)

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α) Ν ποδείξετε ότι ν µι συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της f στο Δ ονομάζεται κάθε συνάρτηση F που είναι παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

222 Επιλεγμένα Λυμένα Θέματα

222 Επιλεγμένα Λυμένα Θέματα Ειλεγμέν Λυμέν Θέμτ Σώλος Γιάννης . Αν η εξίσωση z i z i z 6 i έχει μι φντστική ρίζ ν ρεθούν οι ρίζες της. Έστω η φντστική ρίζ i με. Τότε i i i i i 6 i i i ii 6 i i i i 6 i i 6 i- i- -6-i 6 -i i 6I -i

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού ιλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. Ν ρεθεί το εμδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τη γρφική πράστση

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 6 Τι ονομάζουμε αρχική μιας συνάρτησης σε ένα διάστημα Δ ; Απάντηση : Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ ονομάζουμε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Α2. Πότε μία συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 3

Α2. Πότε μία συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 3 Βθμός: /25 Τεστ Μθημτικών Εξετζόμενος-η: Προσντολισμού, Γ Λυκείου Θεωρί 1 Κθηγητής: Ιορδάνης Χτζηνικολάου Συνρτήσεις Θέμ Α Α1. Ν ποδείξετε ότι οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων f κι f 1 είνι συμμετρικές

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 2

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 2 - 7 - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. ίνετι η συνάρτηση f η οποί είνι συνεχής στο διάστηµ [, ]. Ν ποδείξετε ότι υπάρχει έν τουλάχιστον ξ (, τέτοιο, ώστε: ξ f(d=ξf(ξ. ( Θ. Rolle στην F(= f( d. ίνετι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΟΥ ΧΡΕΙΑΖΟΝΤΑΙ ΜΙΑ ΔΕΥΤΕΡΗ ΜΑΤΙΑ

ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΟΥ ΧΡΕΙΑΖΟΝΤΑΙ ΜΙΑ ΔΕΥΤΕΡΗ ΜΑΤΙΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΟΥ ΧΡΕΙΑΖΟΝΤΑΙ ΜΙΑ ΔΕΥΤΕΡΗ ΜΑΤΙΑ? Εύρεση πεδίου ορισμού σε συνθέσεις.. Δίνεται η γν. αύξουσα συνάρτηση :[ -, ] R. Α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της g () = ( + ) + ( + ). Β. Να βρεθεί η μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

3.7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ

3.7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ Στην ράγρφο είδμε ότι, ν μι συνάρτηση f είνι συνεχής σε έν διάστημ [, ] κι f ( γι κάθε [, ], τότε το εμδόν του χωρίου Ω ου ορίζετι ό τη γρφική ράστση της

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις των θεμάτων των εξετάσεων Επεξεργασμένες ενδεικτικές απαντήσεις Ενδεικτική κατανομή μονάδων ανά ερώτημα

Εκφωνήσεις των θεμάτων των εξετάσεων Επεξεργασμένες ενδεικτικές απαντήσεις Ενδεικτική κατανομή μονάδων ανά ερώτημα . Εκφωνήσεις των θεμάτων των εξετάσεων Εεξεργασμένες ενδεικτικές ααντήσεις Ενδεικτική κατανομή μονάδων ανά ερώτημα Εεξεργασία: Δημήτριος Σαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Συντονιστής βαθμολογητών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

ΜΑΘΗΜΑ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΜΑΘΗΜΑ 9. ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Θεωρί - Σχόλι - Μέθοδοι Ασκήσεις νισοτήτων ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Αν f συνεχής στο [, ], τότε ν f ()d lim f ( ξκ ) ν + κ. Εισήµνση Το ολοκλήρωµ δεν εξρτάτι ό τη µετλητή, δηλδή f

Διαβάστε περισσότερα

Α) Να αποδείξετε ότι η νιοστή παράγωγος της συνάρτησης f µπορεί να πάρει. )e όπου α ν, β ν είναι συντελεστές

Α) Να αποδείξετε ότι η νιοστή παράγωγος της συνάρτησης f µπορεί να πάρει. )e όπου α ν, β ν είναι συντελεστές . ίνετι η συνάρτηση f() e. Α) Ν ποδείξετε ότι η νιοστή πράγωγος της συνάρτησης f µπορεί ν πάρει τη µορφή (ν) f () ( + ν + ν )e όπου ν ν είνι συντελεστές εξρτηµένοι πό το ν τους οποίους κι ν υπολογίσετε.

Διαβάστε περισσότερα

2. Έστω η συνάρτηση f :[0, 6] με την παρακάτω γραφική παράσταση.

2. Έστω η συνάρτηση f :[0, 6] με την παρακάτω γραφική παράσταση. . Έστω η συνάρτηση f : με την παρακάτω γραφική παράσταση. Α. Να προσδιορίσετε τα διαστήματα στα οποία η f είναι γνησίως αύξουσα, γνησίως φθίνουσα, κυρτή, κοίλη, καθώς και τα τοπικά ακρότατα και τα σημεία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. 0, αν x

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. 0, αν x Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ/ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΘΕΩΡΙΑ. Πότε δύο συναρτήσεις και g είναι ίσες;. Πότε μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α λέγεται " " ; 3. Πότε μία συνάρτηση λέγεται συνεχής στο σημείο o του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Λυκείου Προσανατολισμού

Μαθηματικά Γ Λυκείου Προσανατολισμού 5- Μθημτικά Γ Λυκείου Προσντολισμού Σημειώσεις μθημτικών ου ευθύνοντι σε μθητές της Γ Λυκείου. Χωρισμένες σε ενότητες γι την κλύτερη κτνόηση της ύλης Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης 5- Πρόλογος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Α ΜΕΡΟΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Α ΜΕΡΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7-8 Α ΜΕΡΟΣ Δίνεται η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει : f ()+f()=, για κάθε και f()=e+ α) Να δείξετε ότι f()=+e -, β) Να βρείτε το όριο lim ( lim f(y)) y γ) Να δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΜΙΧΑΛΗΣ ΜΑΓΚΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΜΙΧΑΛΗΣ ΜΑΓΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΜΙΧΑΛΗΣ ΜΑΓΚΟΣ . ΔΙΑΒΑΖΩ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ Σελ.303: Ορισμός (Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα) Σελ.304: Απόδειξη του

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΕΝΤΡΙΚΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΕΝΤΡΙΚΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ Φ4 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΛΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΥ ΚΕΝΤΡΙΚ 3ο ΓΕΝΙΚ ΛΥΚΕΙ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΩΣΤ-ΛΑΘΣ ΠΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΓΗΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ ΚΕΝΥ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α &

Διαβάστε περισσότερα

α) Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνες δύο συζυγών μιγαδικών είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον πραγματικό άξονα

α) Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνες δύο συζυγών μιγαδικών είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον πραγματικό άξονα Α Π Α Ν Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Μ Α Τ Ω Ν Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ω Ν Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ω Ν ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8.5. ΘΕΜΑ Α A. Έστω μι συνάρτηση f η οποί είνι συνεχής σε έν διάστημ Δ.

Διαβάστε περισσότερα

( 1) ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ A A 1. Σχολικό σελ. 260 Α 2. Σχολικό σελ. 169 Α 3 Α 4 ΘΕΜΑ Β Β1. Άρα. Β2. Άρα από την δεύτερη σχέση έχω: = 1

( 1) ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ A A 1. Σχολικό σελ. 260 Α 2. Σχολικό σελ. 169 Α 3 Α 4 ΘΕΜΑ Β Β1. Άρα. Β2. Άρα από την δεύτερη σχέση έχω: = 1 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΚΥΡΙΑΚΗ 7//- ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ KAI ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΚΑ () ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ A

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 1. * Αν η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f είναι αυτή που φαίνεται στο σχήµα, τότε λάθος είναι

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 1. * Αν η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f είναι αυτή που φαίνεται στο σχήµα, τότε λάθος είναι Ερωτήσεις πολλπλής επιλογής 1. * Αν η γρφική πράστση µις συνάρτησης f είνι υτή που φίνετι στο σχήµ, τότε λάθος είνι Α. lim f () = 4 B. lim f () = 1 1 1 Γ. lim f () =. f ( 1) = 1 4 0 1 1 1 E. f (1) = 4.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 151 ο. x -f(t) 2f(x)+f (x)= 2 e dt και f(0) = 0.

ΘΕΜΑ 151 ο. x -f(t) 2f(x)+f (x)= 2 e dt και f(0) = 0. ΘΕΜΑ 5 ο Έστω συνάρτηση f :[0, + ) παραγωγίσιμη στο διάστημα [0, + ) για την οποία ισχύει : 2 -f(t) 2f()+f ()= 2 e dt και f(0) = 0. i) Να δείξετε ότι + f() 0 για κάθε є [0, + ). ii) Να δείξετε ότι η f

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Απάντηση: όπου c R. Δίνεται όμως ότι f(0) = 1, άρα η προηγούμενη για x = 0, δίνει c = ½. Παίρνουμε λοιπόν την

Απάντηση: όπου c R. Δίνεται όμως ότι f(0) = 1, άρα η προηγούμενη για x = 0, δίνει c = ½. Παίρνουμε λοιπόν την _ Θέμ Γ Θεωρούμε τις συνρτσεις,:rr, με την ργωγίσιμη κι τέτοιες, ώστε: () = κι, γι κάθε R, Γ Ν οδείξετε ότι, R Γ Ν βρείτε το λθος των ργμτικών ριζών της εξίσωσης Γ Ν οδείξετε ότι υάρχει τουλάχιστον ένς,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ. I. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f δεν έχει σηµεία που να βρίσκονται πάνω από τον άξονα. x x.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ. I. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f δεν έχει σηµεία που να βρίσκονται πάνω από τον άξονα. x x. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o ΘΕΜΑΤΑ Θεωρούµε τη συνάρτηση ( ) = ( + ) ( + ) µε κι. I. Ν ποδείξετε ότι η γρφική πράστση της δεν έχει σηµεί που ν ρίσκοντι πάνω πό τον άξον. II. Ν ποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. 2. Να βρεθεί ο λ R ώστε f(x) = ln ( x 2 +2λx+9) να έχει πεδίο ορισμού Α = R

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. 2. Να βρεθεί ο λ R ώστε f(x) = ln ( x 2 +2λx+9) να έχει πεδίο ορισμού Α = R Α.Πεδίο ορισμού. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους ι) f() = 4 6 6 ii) f() = iii) f() = log ( ) iv) f() = log ( log 4(- )) v) 5 f() log vi) f() = 4 4 vii) f() 5 4 viii) f() ημ.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 52 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 η ΕΚΑ Α

ΜΑΘΗΜΑ 52 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 η ΕΚΑ Α ΜΑΘΗΜΑ 5 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 η ΕΚΑ Α 7. Έστω συνάρτηση f : R R, η οποί είνι πργωγίσιµη κι κυρτή στο R µε f() κι f () i) Ν ποδείξετε ότι f() γι κάθε R f (t)dt Ν ποδείξετε ότι ηµ Αν επιπλέον ισχύει f () (f()

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 12. = e dt. Να αποδείξετε ότι: ΛΥΣΗ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 12. = e dt. Να αποδείξετε ότι: ΛΥΣΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ Α) Να αοδείξετε ότι: α) Η συνάρτηση f() = ln, [,] αντιστρέφεται και να ορίσετε την f. β) ln d + d =. Β) Δίνεται η συνάρτηση α) h() h(), για κάθε [, + ). = d. Να αοδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

E f (x)dx f (x)dx E. 7 f (x)dx (3). 7 f (x)dx E E E E.

E f (x)dx f (x)dx E. 7 f (x)dx (3). 7 f (x)dx E E E E. ΘΕΜΑ Α Α i Σχολικό βιβλίο σελίδ 6 ii Σχολικό βιβλίο σελίδ 6 Α Σχολικό βιβλίο σελίδ 85 Α3 Ισχύει ότι 7 3 7 ()d ()d ()d () 3 Στο,3 είνι () οπότε το εμβδό του χωρίου Ω που ορίζετι πό την κι τις ευθείες, 3

Διαβάστε περισσότερα

με x1 x2 , τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α. β) Αν για μια συνάρτηση f: ισχύει ότι f x , τότε το σύνολο τιμών της δεν μπορεί να είναι της μορφής,

με x1 x2 , τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α. β) Αν για μια συνάρτηση f: ισχύει ότι f x , τότε το σύνολο τιμών της δεν μπορεί να είναι της μορφής, Μθημτικά κτεύθυνσης Γ Λυκείου ο Διγώνισμ διάρκεις ωρών στις Συνρτήσεις κι τ Όρι Οκτώβριος Θέμ Α Α. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλ στο

Διαβάστε περισσότερα

γ λυκειου κεφαλαιο 3 κεφαλαιο 3 κεφαλαιο 3 κεφαλαιο 3 κεφαλαιο 3 κεφαλαιο3 ολοκληρωτικος λογισμος επιμελεια : τακης τσακαλακος T Ш τ

γ λυκειου κεφαλαιο 3 κεφαλαιο 3 κεφαλαιο 3 κεφαλαιο 3 κεφαλαιο 3 κεφαλαιο3 ολοκληρωτικος λογισμος επιμελεια : τακης τσακαλακος T Ш τ γ λυκειου ` κεφλιο κεφλιο κεφλιο κεφλιο κεφλιο κεφλιο ολοκληρωτικος λογισμος ειμελει : τκης τσκλκος T Ш τ 017 ... ρχικη συρτηση... ορισμεο ολοκληρωμ... η συρτηση F()=... εμδο ειεδου χωριου T Ш τ ΟΡΙΣΜΕΝΟ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. συνάρτηση φ: α,β. Ορισμός Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο., αν. κάθε xo.

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. συνάρτηση φ: α,β. Ορισμός Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο., αν. κάθε xo. Ορισμός συντελεστή διεύθυνσης ευθείς Έστω συνάρτηση κι M, έν σημείο της γρφικής της πράστσης. υπάρχει το κι είνι πργμτικός ριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφπτομένη της στο σημείο M, την ευθεί (ε) που διέρχετι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F( = (d [Kεφ:.5 H Συνάρτηση F( = (d Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. lim e d. Ν υπολογίσετε το όριο: ( Έχουμε ( e d

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Θεώρημα σελ. σχολ. βιβλ. 5 Α. α Λ Έστω η συνάρτηση f() τότε η f δεν είναι αραγωγίσιμη στο, ενώ η f είναι συνεχής στο Α. Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

ίνονται οι πραγµατικές συναρτήσεις f, g που έχουν πεδίο ορισµού το σύνολο

ίνονται οι πραγµατικές συναρτήσεις f, g που έχουν πεδίο ορισµού το σύνολο 996 ΘΕΜΑΤΑ. ίνοντι οι πργµτικές συνρτήσεις f, g που έχουν πεδίο ορισµού το σύνολο. Αν οι f κι g έχουν συνεχείς πρώτες πργώγους κι συνδέοντι µετξύ τους µε τις σχέσεις f = g, g = - f τότε ν ποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ (Α κύκλος)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ (Α κύκλος) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ (Α κύκλος) Δίνεται η εξίσωση z-=z-3i,zc α) Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι η ευθεία ε: -3y+4= β) Να βρείτε την εικόνα του μιγαδικού z, για τον οποίο το

Διαβάστε περισσότερα

συν 2α = συν α ηµ α = 1 2ηµ α = 2συν α εφα+ εφα 2εφα Μάθηµα 10 Κεφάλαιο: Τριγωνοµετρία Θεµατικές Ενότητες: 1. Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί της Γωνίας 2α

συν 2α = συν α ηµ α = 1 2ηµ α = 2συν α εφα+ εφα 2εφα Μάθηµα 10 Κεφάλαιο: Τριγωνοµετρία Θεµατικές Ενότητες: 1. Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί της Γωνίας 2α Μάθηµ 0 Κεφάλιο: Τριγωνοµετρί Θεµτικές Ενότητες:. Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί της Γωνίς Εισγωγή Χρησιµοοιώντς τους τύους ου υολογίζουν τους τριγωνοµετρικούς ριθµούς του θροίσµτος (ροηγούµενο µάθηµ), ροσδιορίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ. Α. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιµη δύο φορές στο [, ] f''! 0 για κάθε χ [ a, β ] και έστω η

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ. Α. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιµη δύο φορές στο [, ] f''! 0 για κάθε χ [ a, β ] και έστω η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o ΘΕΜΑΤΑ Α Έστω συνάρτηση πργωγίσιµη δύο φορές στο [, ] ''! γι κάθε χ [, ] κι έστω η + g t dt ( ) = ( ) ( ), [, ] ) είξτε ότι υπάρχει ξ (, ) στε '( ξ)( χ ) ( ) µε

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα στα Μαθηματικά Προσανατολισμών Γ

Επαναληπτικό Διαγώνισμα στα Μαθηματικά Προσανατολισμών Γ ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Ποια συνάρτηση ονομάζεται αρχική ή αράγουσα της f στο ; Μονάδες 4 Α. Να διατυώσετε το θεώρημα Rolle. Μονάδες (1+1+1+1)4 Α3. Να διατυώσετε και να

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΡΑΜΑΤΑ ΣΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ Η. ΡΟΥΣΑΛΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. ΤΟ 3ο ΚΑΙ ΤΟ 4ο ΘΕΜΑ (ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΤΑΚΗ)

ΠΑΡΟΡΑΜΑΤΑ ΣΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ Η. ΡΟΥΣΑΛΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. ΤΟ 3ο ΚΑΙ ΤΟ 4ο ΘΕΜΑ (ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΤΑΚΗ) ΠΑΡΟΡΑΜΑΤΑ ΣΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ Η. ΡΟΥΣΑΛΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΟ ο ΚΑΙ ΤΟ 4ο ΘΕΜΑ (ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΤΑΚΗ) Στις επισυναπτόμενες σελίδες του παραπάνω βιβλίου έχουν γίνει από τον συγγραφέα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β ΜΕΡΟΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β ΜΕΡΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7-8 Β ΜΕΡΟΣ. Δίνεται η τέσσερις φορές παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f τέτοια ώστε : f (4) () + f () () = ημ + συν, για κάθε και f() =, f () =, f () = - και f () () =. α) Να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1. θ (0, ). 4 α) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι μη πραγματικοί αριθμοί. β) Έστω z,z. Δ = 4εφ θ 4= 4(εφ θ 1) < 0 γιατί π

ΘΕΜΑ 1. θ (0, ). 4 α) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι μη πραγματικοί αριθμοί. β) Έστω z,z. Δ = 4εφ θ 4= 4(εφ θ 1) < 0 γιατί π ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ Δίνεται η εξίσωση: z (εφθ)z + =, θ (, ). 4 α) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι μη ραγματικοί αριθμοί. β) Έστω z,z οι ρίζες της αραάνω εξίσωσης. Αν ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

1. Να σημειώσετε το Σωστό ( ) ή το Λάθος ( ) στους παρακάτω ισχυρισμούς:

1. Να σημειώσετε το Σωστό ( ) ή το Λάθος ( ) στους παρακάτω ισχυρισμούς: 1. Ν σημειώσετε το Σωστό ( ) ή το Λάθος ( ) στους πρκάτω ισχυρισμούς: 1. Αν γι την συνεχή στο συνάρτηση f ισχύουν: f(0) f(2) 0 κι f(0) f(5) 0 τότε η εξίσωση ( ) 0 f έχει τουλάχιστον δύο ρίζες. 2. Αν ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ. A1. Έστω f μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α, β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ. A1. Έστω f μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α, β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΚΑΙ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 6 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 8 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω f μια

Διαβάστε περισσότερα

ολοκληρωτικος λογισμος

ολοκληρωτικος λογισμος γ λυκειου ` κεφλιο κεφλιο κεφλιο κεφλιο κεφλιο κεφλιο ολοκληρωτικος λογισμος επιμελει : τκης τσκλκος 7 ... ρχικη συνρτηση... ορισμενο ολοκληρωμ... η συνρτηση F()= f()d... εμδον επιπεδου χωριου γιτι...

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Κατεύθυνσης

Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Κατεύθυνσης 6 Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Κατεύθυνσης ΘΕΜΑ Έστω η συνεχής συνάρτηση f : (, ) R τέτοια ώστε για κάθε να ισχύει: t f ( ) dt. f () t te ( ) α) Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει: β) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνοµετρία. β α. γ συν = α. συν Γ = εφ Β = + γ α ( Πυθαγόρειο Θεώρηµα) , σφγ=γ/β. 1 εφ30 0 =σφ60 0 =

Τριγωνοµετρία. β α. γ συν = α. συν Γ = εφ Β = + γ α ( Πυθαγόρειο Θεώρηµα) , σφγ=γ/β. 1 εφ30 0 =σφ60 0 = Τριγωνοµετρί Στο ορθογώνιο τρίγωνο : Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( A 0 90 ) ισχύουν: + γ ( Πυθγόρειο Θεώρηµ) ηµ Β γ συν εφ Β Β, γ 0 B + Γ 90, ηµγγ/ συν Γ, σφγγ/ Γι την µεττροή µοιρών ( µ 0 ) σε κτίνι

Διαβάστε περισσότερα

Η θεωρία στα Μαθηματικά Προσανατολισμού: Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας -Πληροφορικής. Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήματα Αποδείξεις

Η θεωρία στα Μαθηματικά Προσανατολισμού: Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας -Πληροφορικής. Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήματα Αποδείξεις Η θεωρία στα Μαθηματικά Προσανατολισμού: Θετικών Σπουδών Σπουδών Οικονομίας -Πληροφορικής Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήματα Αποδείξεις Επιμέλεια: Μπάμπης Στεργίου / Παπαμικρούλης Δημήτρης (αποκλειστικά

Διαβάστε περισσότερα

x R, να δείξετε ότι: i)

x R, να δείξετε ότι: i) ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύουν: f ( ), f ( ) για κάθε R και f ( ) f ( ) α) Να βρείτε τον τύπο της f για κάθε R g( ) β) Αν g είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ x. Η f είναι συνεχής στο x0. lim lim 1. Παρατηρούμε, δηλαδή, ότι μια

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ x. Η f είναι συνεχής στο x0. lim lim 1. Παρατηρούμε, δηλαδή, ότι μια ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 7 ΘΕΜΑ A A. Αοδεικνύουμε το θεώρημα στην ερίτωση ου είναι f () >. Έστω, με. Θα δείξουμε ότι f ( ) f ( ). Πράγματι, στο διάστημα [, ] η f ικανοοιεί

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. x 0. 2 x

ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. x 0. 2 x ΘΕΜΑ A ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f ( ) ln,,. Να δείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφής της.. Να δικαιολογήσετε ότι η εξίσωση f ( ) a, a,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Β κύκλος

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Β κύκλος ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β κύκλος 6-7 ) Δίνεται η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει : α) Να δείξετε ότι f()=+e -, f ()+f()=, για κάθε και f()=e+ β) Να βρείτε το όριο ( y f(y)) γ) Να δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση i. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της

Διαβάστε περισσότερα

3ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A

3ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A 3ο Επνληπτικό διγώνισμ στ Μθημτικά κτεύθυνσης της Γ Λυκείου 17-18 Θέμ A Α1 Έστω f μι συνεχής συνάρτηση σ έν διάστημ β ν ποδείξετε ότι: f t dt G β G Α Πότε μι συνάρτηση λέγετι 1-1; Α3 Πότε μι συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 5 η Ηµεροµηνί Αοστολής στον Φοιτητή: 7 Μρτίου 8 Ηµεροµηνί ράδοσης της Εργσίς: Μϊου 8 Πριν ό την λύση κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµατα Θεωρίας

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµατα Θεωρίας Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ. N ποδείξετε ότι οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων κι - είνι συµµετρικές ως προς την ευθεί y που διχοτοµεί τις γωνίες Oy κι Oy Aς πάρουµε µι

Διαβάστε περισσότερα

Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 4

Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 4 Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μθηµτικός ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Μορφές: Α. ηµ x, συνx, εφx, σφx. Β. ηµ x συνx, εφx σφx. Ν λυθούν οι εξισώσεις: ηµ x ( συνx + ) (συν x 3)εφx ηµ 3 x ηµ x συν x 3 3 3 x σφ x εφx óõí çì x 3 3 3εφ x

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέματα και Απαντήσεις

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέματα και Απαντήσεις ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέματα και Ααντήσεις Ειμέλεια: Ομάδα Μαθηματικών http://www.othisi.gr ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 Παρασκευή, 9 Ιουνίου 7 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

γραπτή εξέταση στo μάθημα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

γραπτή εξέταση στo μάθημα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ δυδικό η εξετστική περίοδος πό 9/0/5 έως 9/04/5 γρπτή εξέτση στo μάθημ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τάξη: Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τμήμ: Βθμός: Ονομτεπώνυμο: Κθηγητές: Θ Ε Μ Α Α Α. Έστω μι συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( ) ( ) Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. f x+ h f x. 5x 3 2. x x 2x. 3 x 2. x 2x. f x = log x. f x = ln x 4. log 9. 2x 7x 15. x x.

( x) ( ) ( ) ( ) ( ) Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. f x+ h f x. 5x 3 2. x x 2x. 3 x 2. x 2x. f x = log x. f x = ln x 4. log 9. 2x 7x 15. x x. Κεφάλαιο - Συναρτήσεις I Πεδίο ορισµού συνάρτησης Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ίνονται οι συναρτήσεις: f( ) = +, (ii) f( ) = Να βρεθούν τα f( 0 ), f( ), f( ), f( α ), f( α+ β), f( α 5) ( ) ( ) f + h f, h Να

Διαβάστε περισσότερα

x 1 vii) f(x) 5 x 4 viii) 2 + γ) f (x) = στ) f (x) = e x -1 Β. Γραφική παράσταση Γ. Ίσες συναρτήσεις x 3 x 3 f(x), g(x) ιι)

x 1 vii) f(x) 5 x 4 viii) 2 + γ) f (x) = στ) f (x) = e x -1 Β. Γραφική παράσταση Γ. Ίσες συναρτήσεις x 3 x 3 f(x), g(x) ιι) Α.Πεδίο ορισμού. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους ι) f() = v) f() 4 6 6 5 log 4 ii) f() = iii) f() = log ( ) iv) f() = log ( log 4(- )) vi) f() = 4 vii) f() 5 4 viii) f() ημ.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: ( ) 6+ 9, g ( ), h ( ) 5 +, k

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ

ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 008 ( ΠΡΟΚΗΡΥΞΗ Π /008) ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Κλάδος: ΠΕ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ (Γνωστικό ντικείμενο)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ 1 Να υολογίσετε τα όρια: 9 i) ii) ( ) 9 iii) 1 1 1 iv) 7 10 5 15 t t t 1 v) vi) t (t )(t ) 1 1 9 i) (ημ συν) ) 1 7 συν vii) 1 ημ viii) 1 5 i) ii) ημ 6 1 009, άν

Διαβάστε περισσότερα