Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Transcript

1 :

2 Έκδοση Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΣΕΛΙ Α ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 - ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ 1 Μέτρο διανύσµατος 1 ιεύθυνση διανύσµατος Φορά διανύσµατος Ίσα διανύσµατα 3 Αντίθετα διανύσµατα 3 Γωνία δύο διανυσµάτων 3 1. ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ 4 ιάνυσµα θέσης 6 Μέτρο αθροίσµατος διανυσµάτων ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙ ΙΑΝΥΣΜΑ 7 Γραµµικός συνδυασµός διανυσµάτων 8 1η συνθήκη παραλληλίας διανυσµάτων 8 ιανυσµατική ακτίνα µέσου τµήµατος ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο 9 Υπολογισµός µέτρου διανύσµατος από τις συντεταγµένες του 1 η συνθήκη παραλληλίας διανυσµάτων 1 Γωνία διανύσµατος µε τον άξονα 1 Συντελεστής διεύθυνσης διανύσµατος 13 3η συνθήκη παραλληλίας διανυσµάτων ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ 14 Αναλυτική έκφραση εσωτερικού γινοµένου 16 Συνηµίτονο γωνίας δύο διανυσµάτων 17 Προβολή διανύσµατος σε διάνυσµα 17 ΠΙΝΑΚΑΣ ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗΣ 18 ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο.1 Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ 37 Γωνία κλίσης ευθείας 37 Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας 38 Συνθήκες παραλληλίας και καθετότητας ευθειών 38 Ειδικές µορφές εξίσωσης ευθείας 39. ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ 40 ιάνυσµα παράλληλο ή κάθετο σε ευθεία 40.3 ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΑΠΟ ΕΥΘΕΙΑ ΕΜΒΑ ΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 4 ΠΙΝΑΚΑΣ ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗΣ 43 ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ 44 ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ 49

3 ΣΕΛΙ Α ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΚΩΝΙΚΩΝ ΤΟΜΩΝ 56 ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΙΣ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ 59 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 66 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 16 ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 18

4 Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣ. 1 ΙΑΚΟΥΜΑΚΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ - Μαθηµατικός 1. ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1.1 Η έννοια του διανύσµατος Τα µεγέθη στις επιστήµες χωρίζονται σε δύο κατηγορίες: Σε µονόµετρα ή βαθµωτά τα οποία είναι πλήρως ορισµένα αν γνωρίζουµε µόνο το µέτρο τους και την αντίστοιχη µονάδα µέτρησης (όπως η µάζα, ο όγκος, ο χρόνος, η θερµοκρασία, η πυκνότητα κ.τ.λ.) και Σε διανυσµατικά ή απλά διανύσµατα για τον προσδιορισµό των οποίων εκτός από το µέτρο τους και τη µονάδα µέτρησης χρειαζόµαστε επιπλέον τη διεύθυνση και τη φορά τους (όπως είναι η µετατόπιση, η δύναµη, η ταχύτητα, η επιτάχυνση, η ένταση του ηλεκτρικού ρεύµατος κ.τ.λ.). Κάθε διανυσµατικό µέγεθος παριστάνεται µε ένα διάνυσµα το οποίο είναι ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγµένα. Το πρώτο σηµείο λέγεται αρχή ή σηµείο εφαρµογής και το δεύτερο λέγεται πέρας του διανύσµατος. Στην παράσταση του διανύσµατος χρησιµοποιούµε ένα ευθύγραµµο τµήµα που το πέρας του έχει τη µορφή βέλους. Στο Α (αρχή) διπλανό σχήµα παριστάνεται ένα διάνυσµα µε αρχή το σηµείο Α και πέρας το σηµείο Β, το οποίο συµβολίζεται µε AB. Εναλλακτικά για το συµβολισµό ενός διανύσµατος µπορούµε να χρησιµοποιούµε πεζά γράµµατα του Ελληνικού ή του Λατινικού αλφαβήτου επιγραµµισµένα µε ένα βέλος, όπως α, β, u, v κ.τ.λ. AB Β (πέρας) Μέτρο διανύσµατος Το µήκος του ευθυγράµµου τµήµατος ΑΒ που έχει άκρα την αρχή και το πέρας του διανύσµατος ονοµάζεται µέτρο ή µήκος του διανύσµατος και συµβολίζεται µε AB. Ένα διάνυσµα του οποίου αρχή και πέρας συµπίπτουν, όπως το AA, λέγεται µηδενικό διάνυσµα, έχει µέτρο ίσο µε 0 και µπορεί να συµβολιστεί ως 0. Ένα διάνυσµα που έχει µέτρο ίσο µε τη µονάδα µέτρησης λέγεται µοναδιαίο διάνυσµα.

5 Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣ. ΙΑΚΟΥΜΑΚΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ - Μαθηµατικός ιεύθυνση διανύσµατος Φορέας ενός µη µηδενικού διανύσµατος AB ονοµάζεται η ευθεία ε πάνω στην οποία βρίσκεται το διάνυσµα. Β Αν ο φορέας του AB συµπίπτει ή είναι παράλληλος µε µια Α ευθεία ε, λέµε ότι το AB είναι παράλληλο µε την ε και ε γράφουµε AB //ε. ε Ως διεύθυνση ενός διανύσµατος AB ονοµάζουµε τον φορέα του ή οποιαδήποτε άλλη ευθεία παράλληλη σ αυτόν. ύο διανύσµατα που έχουν ίδια διεύθυνση Γ ονοµάζονται παράλληλα ή συγγραµµικά και για να το δηλώσουµε συµβολικά, γράφουµε τα δύο Β διανύσµατα µε το σύµβολο της παραλληλίας (//) Ζ Α ανάµεσά τους. Ε Έτσι στο διπλανό σχήµα έχουµε AB //Γ και AB //ΕΖ. Ως φορέα ενός µηδενικού διανύσµατος AA θεωρούµε οποιαδήποτε ευθεία που διέρχεται από το Α. Φορά διανύσµατος Ως φορά του διανύσµατος AB ονοµάζουµε την πορεία που ακολουθούµε, µετακινούµενοι πάνω στον φορέα του, από την αρχή Α προς το πέρας Β του διανύσµατος. Ως φορά ενός µηδενικού διανύσµατος µπορούµε να θεωρήσουµε οποιαδήποτε. ύο µη µηδενικά συγγραµµικά διανύσµατα AB και Γ µπορεί να είναι: Β α) Οµόρροπα, όταν βρίσκονται προς το ίδιο ηµιεπίπεδο ως προς την ευθεία ΑΓ που διέρχεται Α από τις αρχές τους (δηλαδή όταν έχουν την ίδια Γ Γ φορά) ή όταν έχουν ίδιο φορέα και µία από τις Β ηµιευθείες ΑΒ, Γ περιέχει την άλλη και Α Β β) Αντίρροπα, όταν δεν είναι οµόρροπα (αντίθετη Α φορά). Γ ΠΡΟΣΟΧΗ: Οι έννοιες «οµόρροπα» και «αντίρροπα» αφορούν µόνο σε συγγραµµικά Β Α διανύσµατα (ίδιο φορέα ή παράλληλους φορείς). ύο διανύσµατα ΑΒ και Γ που είναι οµόρροπα (ίδια διεύθυνση και φορά) λέµε ότι έχουν ίδια κατεύθυνση και γράφουµε συµβολικά AB Γ, ενώ αν είναι αντίρροπα Γ ΑΒ Γ ΑΒ Γ

6 Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣ. 3 ΙΑΚΟΥΜΑΚΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ - Μαθηµατικός (ίδια διεύθυνση αλλά αντίθετες φορές) λέµε ότι έχουν αντίθετη κατεύθυνση και γράφουµε συµβολικά AB Γ. Το µηδενικό διάνυσµα µπορεί να θεωρηθεί ως οµόρροπο ή αντίρροπο µε κάθε άλλο διάνυσµα. Ίσα διανύσµατα ύο µη µηδενικά διανύσµατα ΑΒ και Γ λέγονται ίσα αν έχουν ίσα µέτρα και ίδια κατεύθυνση (δηλαδή ίδια διεύθυνση και φοράοµόρροπα). Συµβολικά τότε γράφουµε ΑΒ=Γ. Α Β Γ ΣΗΜΑΝΤΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Αν ΑΒ= Γ τότε ισχύουν και οι σχέσεις BA= Γ, ΑΓ= Β και Β= ΓΑ. Γ Α Β Α Μ Β Αν Μ είναι το µέσον του τµήµατος ΑΒ, τότε ΑM= MB και αντίστροφα. Αντίθετα διανύσµατα ύο µη µηδενικά διανύσµατα ΑΒ και Γ λέγονται αντίθετα αν έχουν ίσα µέτρα αλλά αντίθετη κατεύθυνση (ίσα µέτρα αλλά αντίρροπα). Συµβολικά τότε γράφουµε ΑΒ=-Γ. Είναι προφανείς οι ιδιότητες: ΑΒ= ΒΑ και αν AB= Γ τότε AB= Γ Α Β Γ Γωνία δύο διανυσµάτων Θεωρούµε δύο µη µηδενικά διανύσµατα α και β και ένα σηµείο Ο του επιπέδου. Με αρχή το Ο κατασκευάζουµε διανύσµατα ΟΑ= α και ΟΒ= β (δηλαδή µεταφέρουµε τα αρχικά διανύσµατα παράλληλα ώστε να προκύψουν διανύσµατα ίσα µε αυτά µε κοινή αρχή το Ο). Ως γωνία των διανυσµάτων α και β ονοµάζουµε την κυρτή γωνία ΑΟΒ ˆ που σχηµατίζουν οι ηµιευθείες ΟΑ και ΟΒ. Λ Λ Η γωνία των α και β συµβολίζεται ως (α,β) ή (β,α) ή θ σε περίπτωση που δεν προκαλείται σύγχυση. Ισχύουν: 0 θ π θ=0 α θ=π α Ο Α θ β α Β α β θ=0 α β θ=π β β

7 Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣ. 4 ΙΑΚΟΥΜΑΚΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ - Μαθηµατικός ύο διανύσµατα α και β ονοµάζονται ορθογώνια ή κάθετα αν σχηµατίζουν γωνία θ= π. Τότε συµβολικά γράφουµε α β. Αν ένα από τα α, β είναι το µηδενικό διάνυσµα, τότε µπορούµε να θεωρήσουµε ως γωνία των α και β οποιαδήποτε θ [0,π]. Άρα µπορούµε να θεωρήσουµε ότι το µηδενικό διάνυσµα είναι επίσης κάθετο µε κάθε άλλο διάνυσµα. 1. Πρόσθεση Αφαίρεση διανυσµάτων Μπορούµε να προσθέσουµε ή να αφαιρέσουµε διανύσµατα και το «αποτέλεσµα» καθεµιάς από αυτές τις πράξεις είναι ένα διάνυσµα. Α. ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ Η πρόσθεση δύο διανυσµάτων α και β µπορεί να γίνει µε δύο τρόπους: α) Καθιστώντας τα διαδοχικά: Με αρχή σηµείο Ο του επιπέδου θεωρούµε διάνυσµα OA= α και µε αρχή το πέρας Α αυτού διάνυσµα ΑΒ= β. Τότε το διάνυσµα ΟΒ είναι το άθροισµα ή αλλιώς η συνισταµένη των α και β και συµβολίζεται µε α+β. α Ο β Α α+β Β β) Με τον κανόνα του παραλληλογράµµου: Με κοινή αρχή σηµείο Ο του επιπέδου θεωρούµε δύο διανύσµατα OA= α και ΟΒ= β. Τότε το άθροισµα α+ β ορίζεται από τη διαγώνιο του παραλληλογράµµου που έχει προσκείµενες α Ο Α α+β Β Μ πλευρές τις ΟΑ και ΟΒ, δηλαδή είναι το διάνυσµα ΟΜ. β Και στους δύο παραπάνω τρόπους αποδεικνύεται ότι το άθροισµα των α και β είναι ανεξάρτητο από την επιλογή του σηµείου Ο. Ιδιότητες της πρόσθεσης Αν α, β και γ είναι τρία διανύσµατα, τότε ισχύουν οι ιδιότητες: 1. α+ β= β+ α Αντιµεταθετική

8 Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣ. 5 ΙΑΚΟΥΜΑΚΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ - Μαθηµατικός. (α+ β) + γ= α + (β+ γ) 3. α+ 0= α 4. α + ( α) = 0 Προσεταιριστική Ιδιότητα Ουδετέρου στοιχείου Ιδιότητα Αντιθέτου διανύσµατος Επειδή κατά την πρόσθεση τριών ή περισσοτέρων διανυσµάτων δεν παίζει ρόλο η σειρά των προσθετέων, µπορούµε αντί της πρόσθεσης (α+ β) + γ ή α + (β+ γ) να γράφουµε απλά α+ β+ γ. Μια απλή µέθοδος πρόσθεσης πολλών διανυσµάτων Αν έχουµε να προσθέσουµε περισσότερα των δύο διανυσµάτων, τότε αντί να βρούµε το άθροισµα των δύο πρώτων και µετά το άθροισµα αυτού µε το τρίτο κ.τ.λ., µπορούµε να βρούµε το άθροισµα όλων απ ευθείας µε δύο βήµατα: Τα καθιστούµε διαδοχικά µε τη σειρά που µας τα δίνουν (ή όποια άλλη σειρά επιθυµούµε) και το άθροισµά τους είναι το διάνυσµα που έχει ως αρχή την αρχή του πρώτου και πέρας το πέρας του τελευταίου (βλέπε σχήµα). α α+β+γ+δ β δ γ Β. ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ Ως διαφορά α-β δύο διανυσµάτων α και β ορίζουµε το διάνυσµα που προκύπτει από το άθροισµα του α µε το αντίθετο του β. Έτσι: α-β=α+(-β) Αν µας δώσουν δύο διανύσµατα α και β µπορούµε να βρούµε τη διαφορά α-β : α) Προσθέτοντας στο α το β όπως περιγράψαµε κατά την περιγραφή της πρόσθεσης διανυσµάτων (καθιστώντας διαδοχικά τα α και β ) ή α β α-β β α β) Να τα καταστήσουµε µε κοινή αρχή, οπότε το α-β είναι το διάνυσµα της «άλλης» διαγωνίου του παραλληλογράµµου, αυτής που έχει ως αρχή το πέρας του αφαιρετέου (β ) και ως πέρας το πέρας του µειωτέου (α ). α α β β α-β

9 Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣ. 6 ΙΑΚΟΥΜΑΚΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ - Μαθηµατικός ιάνυσµα θέσης Έστω Ο σταθερό σηµείο του χώρου. Τότε για κάθε σηµείο Μ του χώρου ορίζεται ένα µοναδικό διάνυσµα ΟΜ το οποίο ονοµάζεται διάνυσµα θέσης του σηµείου Μ ή διανυσµατική ακτίνα του Μ. Το σταθερό σηµείο Ο ως προς το οποίο ορίζουµε τις διανυσµατικές ακτίνες κάθε σηµείου, ονοµάζεται σηµείο αναφοράς στο χώρο. Επειδή για δύο σηµεία Α και Β του χώρου ισχύει ότι ΟΑ+ ΑΒ= ΟΒ προκύπτει µια σχέση πολύ χρήσιµη σε ασκήσεις, γιατί µας επιτρέπει να αναλύουµε κάθε διάνυσµα µε τη βοήθεια των διανυσµατικών ακτίνων των άκρων του: ΑΒ=ΟΒ-ΟΑ δηλαδή κάθε διάνυσµα µπορεί να γραφεί ως διαφορά της διανυσµατικής ακτίνας του πέρατός του µείον τη διανυσµατική ακτίνα της αρχής του. Ο Ο Α Μ Β ΣΗΜΑΝΤΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ 1. Σε πολλές περιπτώσεις συναντάµε διαφορά διανυσµάτων µε κοινό πέρας π.χ. ΑΟ ΒΟ. Για συντοµία µπορούµε να θυµόµαστε πρακτικά το αποτέλεσµα µιας τέτοιας διαφοράς, το οποίο είναι το διάνυσµα ΑΒ που προκύπτει από τις αρχές των διανυσµάτων µε τη σειρά που δίνονται. Έτσι συµβολικά ΑΟ ΒΟ= ΑΒ. Ισχύει ότι ΑΒ= ΑΧ+ ΧΒ όπου Χ οποιοδήποτε σηµείο του καρτεσιανού επιπέδου. 3. Στο παραλληλόγραµµο ΑΒΓ το άθροισµα ΑΒ+ Α είναι η διαγώνιος Β ΑΓ, ενώ η διαφορά ΑΒ Α είναι η άλλη διαγώνιος Β. 4. Για να δείξουµε ότι ένα τετράπλευρο ΑΒΓ είναι παραλληλόγραµµο, αρκεί να δείξουµε ότι ΑΒ= Γ (σχηµατικά ΑΒΓ ). Α Γ Μέτρο Αθροίσµατος ιανυσµάτων Καθιστώντας διαδοχικά δύο διανύσµατα α και β και σχεδιάζοντας το διάνυσµα α+ β, από την τριγωνική ανισότητα στο τρίγωνο που προκύπτει, θα ισχύει για τα µέτρα τους η σχέση: α-β α+β α+β α β α+ β ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Από την προηγούµενη σχέση θέτοντας όπου β το β και αφού β = β, εύκολα προκύπτει και η α-β α β α+ β. Γενικά για ν διανύσµατα α 1, α,..., αν ισχύει: α1+ α α ν α 1 + α α ν

10 Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣ. 7 ΙΑΚΟΥΜΑΚΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ - Μαθηµατικός Ισχύουν (προσοχή: Αφού τις αποδείξουµε πρώτα, καθόσον δεν αναφέρονται στο σχολικό βιβλίο) οι παρακάτω ισοδυναµίες: α β α+ β = α + β α β α β = α+ β α= 0 ή β= 0 α β = α+ β = α + β Η απόδειξη µπορεί να γίνει µε τη βοήθεια της θεωρίας του εσωτερικού γινοµένου (βλέπε 1.5) 1.3 Πολλαπλασιασµός αριθµού µε διάνυσµα Έστω λ πραγµατικός αριθµός µε λ 0 και α µη µηδενικό διάνυσµα. Ως γινόµενο λ α ορίζουµε ένα διάνυσµα το οποίο: Είναι οµόρροπο του α αν λ>0 και αντίρροπο του α αν λ<0 και Έχει µέτρο λ α α 3 α Στην περίπτωση που λ=0 ή α =0, τότε ως γινόµενο λ α ορίζουµε το µηδενικό διάνυσµα 0. Ένα γινόµενο µορφής 1 α λ (µε λ 0) µπορούµε να το συµβολίζουµε και µε α λ. Ιδιότητες του πολλαπλασιασµού αριθµού µε διάνυσµα Για κάθε λ, µ R ισχύουν: 1. λ (α+ β) = λ α+ λ β. λ (α β) = λ α λ β 3. (λ + µ) α= λ α + µ α 4. (λ µ) α= λ α µ α 5. λ (µ α) = (λ µ) α 6. ( λ α) = (λ α) = λ ( α) Ιδιότητες χρήσιµες σε εξισώσεις µε διανύσµατα 1. λ α= 0 λ= 0 ή α= 0. Αν λ α= λ β και λ 0, τότε α= β 3. Αν λ α = µ α και α 0, τότε λ=µ.

11 Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣ. 8 ΙΑΚΟΥΜΑΚΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ - Μαθηµατικός Γραµµικός συνδυασµός διανυσµάτων Αν δοθούν δύο διανύσµατα α και β κάθε διάνυσµα ν που παράγεται από το άθροισµα των διανυσµάτων κ α και λ β όπου κ, λ R ονοµάζεται γραµµικός συνδυασµός των α και β. Έτσι ν=κ α+λ β. Μπορούµε ανάλογα να έχουµε γραµµικούς συνδυασµούς περισσοτέρων από δύο διανυσµάτων, όπως για παράδειγµα το διάνυσµα u= 3 α β+ γ δ που είναι ένας γραµµικός συνδυασµός των διανυσµάτων α, β, γ και δ. 1η Συνθήκη παραλληλίας διανυσµάτων Η ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε α και β (µε β 0) να είναι παράλληλα (συγγραµµικά, ίδια διεύθυνση) είναι να υπάρχει πραγµατικός αριθµός λ τέτοιος ώστε α= λ β. Άρα αν α και β (µε β 0) δύο διανύσµατα ισχύει η ισοδυναµία: α//β α=λ β, µε λ R ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Στην περίπτωση που τα διανύσµατα είναι συγγραµµικά αποδεικνύεται εύκολα ότι ο αριθµός λ είναι µοναδικός. Ειδικότερα η παραπάνω ισοδυναµία ισχύει ως εξής: α α β α= λ β, µε λ= > 0 β α α β α= λ β, µε λ= < 0 β Αν δοθεί α 0 τότε µπορούµε εύκολα να σχηµατίσουµε δύο µοναδιαία διανύσµατα συγγραµµικά του α, ένα οµόρροπο και ένα αντίρροπο µε το α, 1 1 που είναι αντίστοιχα τα α 1= α και α =- α. α α Στην παραπάνω συνθήκη παραλληλίας υπάρχει η προϋπόθεση β 0, γιατί αν β= 0 και α 0 δεν υπάρχει αριθµός λ τέτοιος ώστε α= λ β, αλλά παρ όλα αυτά τα α και β είναι συγγραµµικά, καθώς το µηδενικό διάνυσµα (β) µπορεί να θεωρηθεί ως συγγραµµικό οποιουδήποτε διανύσµατος. ΣΗΜΑΝΤΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ 1. Μπορούµε να αποδείξουµε (καθώς δεν αναφέρεται στο σχολικό βιβλίο) ότι: Αν α//β, µε β 0, τότε τα διανύσµατα α+ β, α β αλλά και γενικότερα κάθε γραµµικός συνδυασµός µ α+ ν β των α και β είναι διάνυσµα συγγραµµικό µε αυτά. ΑΠΟ ΕΙΞΗ Θα αποδείξουµε τη γενική περίπτωση του γραµµικού συνδυασµού.

12 Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣ. 9 ΙΑΚΟΥΜΑΚΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ - Μαθηµατικός Έστω ότι τα διανύσµατα α και β είναι συγγραµµικά. Τότε θα υπάρχει αριθµός λ R τέτοιος ώστε α= λ β. Έτσι µ α+ ν β = µ (λ β) + ν β = (µλ+ ν) β= κ β, όπου κ=µλ+ν. Η τελευταία αυτή σχέση δηλώνει ότι το διάνυσµα µ α+ ν β β (οπότε και του α ). είναι συγγραµµικό του. Αποδεικνύεται ότι (δεν το χρησιµοποιούµε καθώς δεν υπάρχει στο σχολικό βιβλίο): Αν α και β δύο µη συγγραµµικά διανύσµατα και κ,λ,κ,λ R τότε: α) Αν ισχύει κ α+ λ β= 0 συµπεραίνουµε ότι κ=λ=0 β) Αν ισχύει κ α+ λ β= κ' α+ λ'β συµπεραίνουµε ότι κ=κ και λ=λ. ιανυσµατική ακτίνα µέσου τµήµατος Θεωρώντας ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ και το µέσον του Α Μ, ισχύει ότι η διανυσµατική ακτίνα του µέσου Μ του τµήµατος ΑΒ είναι ίση µε το ηµιάθροισµα των διανυσµατικών ακτίνων των άκρων του (Α Ο και Β) ως προς το ίδιο σηµείο αναφοράς, δηλαδή: ΟΑ+ΟΒ ΟΜ= Ισχύει επίσης και η αντίστροφη πρόταση, δηλαδή αν για τρία σηµεία Α, Β και Μ ισχύει η ΟΑ+ ΟΒ σχέση ΟΜ=, τότε το Μ είναι το µέσον του ΑΒ. // Μ // Β 1.4 Συντεταγµένες στο επίπεδο Καρτεσιανό επίπεδο - συντεταγµένες Άξονας ονοµάζεται µια ευθεία πάνω στην οποία έχουµε ορίσει ένα σηµείο Ο και ένα διάνυσµα OI= i που ανήκει στην ηµιευθεία Ο και έχει µέτρο 1. Το σηµείο Ο λέγεται αρχή του άξονα και το διάνυσµα i µοναδιαίο διάνυσµα. Η ηµιευθεία Ο λέγεται θετικός ηµιάξονας και η Ο αρνητικός ηµιάξονας. Για κάθε σηµείο Μ του άξονα, επειδή OM//i, υπάρχει µοναδικός πραγµατικός αριθµός τέτοιος ώστε OM= i. Αντίστροφα για κάθε πραγµατικό αριθµό υπάρχει ένα µοναδικό σηµείο Μ του άξονα, τέτοιο ώστε OM= i. Ο αριθµός ονοµάζεται τετµηµένη του Μ και το σηµείο Μ συµβολίζεται µε Μ(). O I M()

13 Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣ. 10 ΙΑΚΟΥΜΑΚΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ - Μαθηµατικός Καρτεσιανό επίπεδο ονοµάζεται ένα σύστηµα δύο αξόνων και y y κάθετων µεταξύ τους, που έχουν κοινή αρχή Ο και αντίστοιχα µοναδιαία διανύσµατα i και j. Ένα τέτοιο επίπεδο συµβολίζεται µε Οy και λέγεται αλλιώς σύστηµα συντεταγµένων. Συνήθως θεωρούµε ως ισοµήκη τα µοναδιαία διανύσµατα στους δύο άξονες οπότε το y M j M(,y) O i M1 σύστηµα συντεταγµένων λέγεται ορθοκανονικό σύστηµα συντεταγµένων. Επίσης συνηθίζεται να σχεδιάζουµε τον άξονα οριζόντιο και τον άξονα y y κατακόρυφο. Κάθε σηµείο µ στο καρτεσιανό επίπεδο έχει δύο προβολές Μ 1 και Μ πάνω στους άξονες και y y αντίστοιχα. Η τετµηµένη του Μ 1 (ως προς τον άξονα ) λέγεται τετµηµένη του σηµείου Μ και η τετµηµένη y του Μ (ως προς τον άξονα y y) λέγεται τεταγµένη του σηµείου Μ. Η τετµηµένη και η τεταγµένη του Μ λέγονται συντεταγµένες του Μ. Κάθε σηµείο Μ στο καρτεσιανό επίπεδο έχει ένα µοναδικό ζεύγος συντεταγµένων (,y), αλλά και αντίστροφα κάθε ζεύγος συντεταγµένων (,y) ορίζει ένα µοναδικό σηµείο. Στο εξής κάθε σηµείο Μ µε συντεταγµένες (,y) θα συµβολίζεται µε Μ(,y) ή απλούστερα (,y). y Συντεταγµένες διανύσµατος Σε σύστηµα συντεταγµένων Οy θεωρούµε σηµείο y Α(,y) και τις προβολές του Α 1 και Α στους άξονες και y y αντίστοιχα. Αν σχεδιάσουµε το διάνυσµα OA= α ισχύουν οι σχέσεις: ΟΑ = i, ΟΑ = y j και ΟΑ= ΟΑ + ΟΑ. Από 1 1 αυτές συµπεραίνουµε ότι: α= i+y j Έτσι το α γράφεται ως γραµµικός συνδυασµός των i και j µε i=(1,0) και j=(0,1). α Α(,y) Αποδεικνύεται ότι οι παραπάνω αριθµοί και y είναι µοναδικοί. Είναι προφανές ότι και κάθε άλλο διάνυσµα ίσο µε το α γράφεται µε τη µοναδική παραπάνω µορφή. Έτσι τελικά κάθε διάνυσµα του επιπέδου µπορεί να γραφτεί µε µοναδικό τρόπο ως γραµµικός συνδυασµός των µοναδιαίων διανυσµάτων i και j. Α j α O i Α1 y

14 Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣ. 11 ΙΑΚΟΥΜΑΚΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ - Μαθηµατικός Οι αριθµοί και y λέγονται συντεταγµένες του διανύσµατος α (τετµηµένη τεταγµένη), ενώ τα διανύσµατα i και y j λέγονται συνιστώσες του α κατά την διεύθυνση των i και j αντίστοιχα. ΠΡΟΤΑΣΗ ύο διανύσµατα είναι ίσα αν και µόνο αν είναι ίσες οι αντίστοιχες συντεταγµένες τους. Κάθε διάνυσµα µε συντεταγµένες και y µπορούµε να το συµβολίζουµε απλά µε το διατεταγµένο ζεύγος (,y). ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Επειδή µε τον παραπάνω τρόπο συµβολίζουµε και ένα σηµείο στο καρτεσιανό επίπεδο, το αν το ζεύγος (,y) σε µια πρόταση παριστάνει σηµείο ή διάνυσµα θα φαίνεται από τα συµφραζόµενα της πρότασης (το νόηµα της πρότασης). Συντεταγµένες γραµµικού συνδυασµού διανυσµάτων Αν δοθούν δύο διανύσµατα α= 1i+ y1j, β= i+ yj και δύο αριθµοί λ, µ R, τότε για τις συντεταγµένες των διανυσµάτων α+ β, λ α αλλά και κάθε γραµµικού συνδυασµού λ α + µ β των α και β ισχύουν οι σχέσεις: α+ β = (1+ )i + (y1+ y )j λ α= λ1i+ λy1j λ α + µ β = (λ + µ )i + (λy + µy )j 1 1 ή απλούστερα ( 1, y 1 )+(, y )=( 1 +, y 1 +y ) λ ( 1, y 1 )=(λ 1, λy 1 ) λ ( 1, y 1 )+µ (, y )=(λ 1 +µ, λy 1 +µy ) Συντεταγµένες µέσου τµήµατος Ας υποθέσουµε ότι δίνονται δύο σηµεία Α( 1,y 1 ) και Β(,y ) του καρτεσιανού επιπέδου και Μ(,y) το µέσον του τµήµατος ΑΒ. Επειδή ισχύει ΟΑ+ ΟΒ ΟΜ=, για τις συντεταγµένες του Μ θα y Ο Α( 1,y 1 ) // Μ(,y) // Β(,y ) έχουµε: 1+ y 1+y = και y=

15 Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣ. 1 ΙΑΚΟΥΜΑΚΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ - Μαθηµατικός Συντεταγµένες διανύσµατος µε γνωστά άκρα Ας υποθέσουµε ότι δίνονται δύο σηµεία Α( 1,y 1 ) και Β(,y ) του καρτεσιανού επιπέδου. Οι συντεταγµένες (,y) του διανύσµατος AB δίνονται από τις σχέσεις: = - 1 και y=y -y 1 δηλαδή τετµηµένη διανύσµατος = τετµηµένη πέρατος τετµηµένη αρχής τεταγµένη διανύσµατος = τεταγµένη πέρατος τεταγµένη αρχής Παρατήρηση Οι συντεταγµένες (, y) διανύσµατος Β µας δείχνουν τον τρόπο µε τον οποίο µπορούµε να µεταβούµε από την αρχή στο πέρας ενός διανύσµατος, κινούµενοι µόνο οριζόντια (παράλληλα Α µε τον ) και κατακόρυφα (παράλληλα µε τον y y). Έτσι αν π.χ. AB =(-3, ), για να µεταβούµε από το Α στο Β θα πρέπει να κινηθούµε 3 µονάδες αριστερά (λόγω του «-») και µονάδες επάνω (ή αντίστροφα επάνω και 3 αριστερά). Υπολογισµός του µέτρου διανύσµατος από τις συντεταγµένες του Αν δοθεί ένα διάνυσµα α = (,y) του καρτεσιανού επιπέδου, τότε το µέτρο του δίνεται µε τη βοήθεια των συντεταγµένων του από τη σχέση: α = +y Αν δοθούν δύο σηµεία Α( 1,y 1 ) και Β(,y ) του καρτεσιανού επιπέδου, τότε η απόστασή τους ΑΒ (δηλαδή το µέτρο του AB ) δίνεται από τη σχέση: (AB)= (- 1) +(y-y 1) η Συνθήκη παραλληλίας διανυσµάτων Έστω δύο διανύσµατα α =( 1,y 1 ) και β =(,y ) του καρτεσιανού επιπέδου. Ονοµάζουµε ορίζουσα των διανυσµάτων α και β και τη συµβολίζουµε µε det(α,β) την ορίζουσα y 1 1 y και ως δεύτερη γραµµή τις συντεταγµένες του β. που έχει ως πρώτη γραµµή τις συντεταγµένες του α

16 Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣ. 13 ΙΑΚΟΥΜΑΚΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ - Μαθηµατικός Ισχύει ότι τα διανύσµατα α και β είναι συγγραµµικά αν και µόνο αν η ορίζουσά τους είναι ίση µε µηδέν, δηλαδή: α//β det(α,β)=0 Γωνία διανύσµατος µε τον άξονα Έστω α = (,y) ένα µη µηδενικό διάνυσµα του καρτεσιανού επιπέδου και Α ένα σηµείο για το οποίο ισχύει OA= α. Ονοµάζουµε γωνία που σχηµατίζει το διάνυσµα α µε τον άξονα τη γωνία φ που πρέπει να διαγράψει ο θετικός ηµιάξονας Ο, αν στραφεί κατά τη θετική φορά για να συµπέσει µε την ηµιευθεία ΟΑ. Προφανώς είναι 0 φ < π. ΠΡΟΣΟΧΗ να µη γίνεται σύγχυση της προηγούµενης έννοιας της γωνίας διανύσµατος µε τον άξονα, µε την έννοια «γωνία δύο διανυσµάτων» που αναφέραµε στην 1.1 και η οποία δεν παίρνει τιµές στο [0, π) αλλά στο [0,π]. Α(,y) y O φ α Συντελεστής διευθύνσεως διανύσµατος Έστω διάνυσµα α = (, y) µε 0. Ονοµάζουµε συντελεστή διεύθυνσης λ του α το πηλίκο y. Αν φ η γωνία που σχηµατίζει το διάνυσµα α µε τον άξονα τότε ισχύει: y λ= =εφφ Είναι προφανές ότι αν α // τότε y=0 οπότε λ=0 και αντίστροφα. Στην περίπτωση που για το διάνυσµα α = (,y) ισχύει =0, δηλαδή α //y y τότε δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης. 3η Συνθήκη παραλληλίας διανυσµάτων Αν θεωρήσουµε δύο διανύσµατα α = ( 1,y 1) και β = (,y ) µε αντίστοιχους συντελεστές διεύθυνσης λ 1 και λ, ισχύει ότι τα διανύσµατα είναι συγγραµµικά αν και µόνο αν έχουν ίσους συντελεστές διεύθυνσης, δηλαδή: α//β λ 1 =λ Προφανώς για τα π.χ. α = (0,1) και β = (0,4) ισχύει α//β//y'y (δεν ορίζεται λ).

17 Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣ. 14 ΙΑΚΟΥΜΑΚΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ - Μαθηµατικός 1.5 Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων Έστω δύο διανύσµατα α και β του καρτεσιανού επιπέδου. Ονοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο των α και β και το συµβολίζουµε µε α β τον πραγµατικό αριθµό που ορίζεται ως εξής: α β συνφ, αν α 0 και β 0 α β=, 0, αν α= 0 η β= 0 (1η µορφή εσωτερικού γινοµένου) όπου φ η γωνία των α και β. ΠΡΟΣΟΧΗ: Το εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων, σε αντίθεση µε τις υπόλοιπες πράξεις των διανυσµάτων, δεν δίνει ως αποτέλεσµα ένα διάνυσµα αλλά έναν πραγµατικό αριθµό. Έτσι ενώ µια πράξη µορφής α+ δεν έχει νόηµα, η πράξη α β+ είναι µια πρόσθεση δύο πραγµατικών αριθµών. Προφανώς αν α,β µη µηδενικά, ισχύουν οι ισοδυναµίες α β>0 φ οξεία και α β<0 φαµβλεία, καθώς το πρόσηµο του α β καθορίζεται από το πρόσηµο του συνφ. Ιδιότητες του εσωτερικού γινοµένου 1. α β= β α Αντιµεταθετική ιδιότητα. α β α β = α β 3. α β α β = α β 4. α β α β= 0 5. α β λ1 λ= 1, όπου λ 1, λ οι συντελεστές διεύθυνσης των α και β αντίστοιχα µε την προϋπόθεση ότι αυτοί ορίζονται (δηλαδή ότι α,β // y'y) 6. (λ α) β= α (λ β) = λ (α β) 7. α (β+ γ) = α β+ α γ Επιµεριστική ιδιότητα 8. α α= α = α Τετράγωνο του α 9. i = j = 1 και i j= j i= 0 όπου i και j τα µοναδιαία διανύσµατα των αξόνων και y y αντίστοιχα. ΣΗΜΑΝΤΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ 1. Λόγω της ιδιοµορφίας του εσωτερικού γινοµένου, δεν ισχύουν γενικά κάποιες ιδιότητες που χρησιµοποιούµε συχνά σε άλλες πράξεις όπως π.χ. στον πολλαπλασιασµό αριθµών (όλες οι ιδιότητες που θα αναφερθούν εδώ και οι οποίες

18 Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣ. 15 ΙΑΚΟΥΜΑΚΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ - Μαθηµατικός δεν ισχύουν γενικά, δεν αποκλείεται να ισχύουν για κάποιες ειδικές περιπτώσεις διανυσµάτων, κάτι που συνήθως αναφέρεται ως «ΣΗΜΕΙΩΣΗ»). Έτσι: α) εν ισχύει γενικά η προσεταιριστική ιδιότητα, δηλαδή (α β) γ α (β γ) Μη συγχέουµε την παραπάνω σχέση µε την ιδιότητα 6. του εσωτερικού γινοµένου µια που εκεί το λ ήταν πραγµατικός αριθµός και όχι διάνυσµα. Έτσι ισχύει ότι (β α) β= β (α β) µια που το β είναι πραγµατικός αριθµός. ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Η προσεταιριστική ιδιότητα µε την παραπάνω σειρά των διανυσµάτων ισχύει µόνο αν α//γ. Άµεσες συνέπειες της µη ισχύος της προσεταιριστικής ιδιότητας είναι και οι παρακάτω σχέσεις: (α β) β α β, β (α β) β α, (α β) α β ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Οι παραπάνω σχέσεις ισχύουν ως ισότητες αν και µόνο αν α//β. Ειδικά για την τελευταία ισχύει πάντα ότι : (α β) α β. β) Γενικά είναι: α β α β ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Η προηγούµενη σχέση ισχύει ως ισότητα αν και µόνο αν α//β. Σε κάθε περίπτωση ισχύει η ανισότητα Cauchy-Schwartz δηλαδή ότι α β α β. γ) εν ισχύει ο νόµος της διαγραφής στον πολλαπλασιασµό (καθώς το εσωτερικό γινόµενο δεν είναι η γνωστή µας πράξη του πολλαπλασιασµού). Έτσι: Αν α β=0 α=0 ή β=0 Αν α =β α=β και 0 Αν α β=0 β=0 και α 0 ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Ο νόµος της διαγραφής στον πολλαπλασιασµό ισχύει µόνο αν όλα τα διανύσµατα που συµµετέχουν στην ιδιότητα είναι συγγραµµικά.

19 Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣ. 16 ΙΑΚΟΥΜΑΚΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ - Μαθηµατικός. Οι δυνάµεις ενός διανύσµατος α είναι άλλοτε διανύσµατα και άλλοτε πραγµατικοί αριθµοί και µάλιστα εναλλάξ. Έτσι α διάνυσµα, αριθµός κ.τ.λ. α αριθµός, 3. Στα διανύσµατα ισχύουν οι ταυτότητες µε άρτιους εκθέτες (π.χ. (α + β) = α + β + α β ) 3 α διάνυσµα, αλλά όχι και οι ταυτότητες µε περιττούς εκθέτες (π.χ. (α+ β) α + 3α β+ 3α β + β ) 4. Αν α β = τότε α = β αλλά όχι αντίστροφα. 5. Προσοχή χρειάζεται επίσης στο ότι αν ισχύει α= γ τότε α γ= 0 (διάνυσµα), ενώ αν α β= γ δ τότε α β γ δ= 0 (αριθµός) γιατί οι α β και γ δ είναι αριθµοί. α 4 ΑΠΟ ΕΙΞΗ ΤΩΝ Ι ΙΟΤΗΤΩΝ που αναφέραµε στην α β α+ β = α + β. α β α β = α+ β, 3. α= 0 η β= 0 α β = α+ β = α + β 1. α+ β = α + β α+ β = ( α + β ) (α+ β) = α + β + α β α + β + α β= α + β + α β α β = α β α β από ιδιότητα. του εσωτερικού γινοµένου.. Παρόµοια 3. Παίρνοντας τη σχέση α β = α+ β = α + β µε ισοδυναµίες και υψώνοντας στο τετράγωνο τα τρία µέλη, καταλήγουµε στη σχέση α β = α β = α β η οποία µε βάση τις ιδιότητες. και 3. του εσωτερικού γινοµένου καταλήγει ισοδύναµα στο σύστηµα α β, και ισοδύναµα α= 0 η β= 0, γιατί µόνο το µηδενικό διάνυσµα µπορεί α β να είναι ταυτόχρονα οµόρροπο και αντίρροπο ως προς ένα άλλο διάνυσµα. Αναλυτική έκφραση εσωτερικού γινοµένου Έστω δύο διανύσµατα α = ( 1,y 1) και β = (,y ) στο καρτεσιανό επίπεδο. Μια άλλη έκφραση του εσωτερικού τους γινοµένου µε τη βοήθεια των συντεταγµένων τους είναι η: α β=1 +y1 y (η µορφή εσωτερικού γινοµένου) και ονοµάζεται αναλυτική έκφραση του εσωτερικού γινοµένου των α και β.

20 Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣ. 17 ΙΑΚΟΥΜΑΚΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ - Μαθηµατικός ιανύσµατα κάθετα στο α( 1, y 1) Αν α = ( 1, y 1), µε τη βοήθεια της παραπάνω σχέσης µπορούµε να δείξουµε ότι δύο διανύσµατα κάθετα στο α είναι τα α 1=(-y 1, 1) και α =(y 1,- 1). Συνηµίτονο γωνίας δύο διανυσµάτων Έστω δύο µη µηδενικά διανύσµατα α = ( 1,y 1) και β = (,y ) στο καρτεσιανό επίπεδο τα οποία σχηµατίζουν γωνία θ. Τότε α β = α β συνθ και εποµένως: α β 1 +y1y συνθ= ή µε τη βοήθεια των συντεταγµένων τους συνθ= α β +y +y 1 1 Προβολή διανύσµατος σε διάνυσµα Έστω δύο διανύσµατα α και β του καρτεσιανού επιπέδου µε α 0. Με αρχή ένα σηµείο Ο του επιπέδου θεωρούµε τα διανύσµατα ΟΑ = α και ΟΒ = β. Από το Β β β Β α φέρνουµε κάθετη στη διεύθυνση ΟΑ και έστω Β1 το ίχνος της κάθετης. Το διάνυσµα ΟΒ1 ονοµάζεται προβολή του β στο α Ο α Β 1 Α και συµβολίζεται µε προβ β α. Έτσι ΟΒ1 = προββ. α Αποδεικνύεται ότι η προβολή του β στο α είναι ανεξάρτητη από τη θέση του σηµείου Ο. Τότε µια άλλη έκφραση του εσωτερικού γινοµένου των α και β είναι η παρακάτω: α β=α προβ β α (3η µορφή εσωτερικού γινοµένου) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Φυσικά ισχύει και η σχέση α β= β α= β προβ α β γ β Σύµφωνα µε τα παραπάνω αν οι προβολές κάποιων διανυσµάτων π.χ. β και γ πάνω σε ένα διάνυσµα α είναι ίσες, τότε θα ισχύει α β = α γ. Ο α

21 Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣ. 18 ΙΑΚΟΥΜΑΚΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ - Μαθηµατικός ΠΙΝΑΚΑΣ ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗΣ Στον παρακάτω πίνακα εννοείται ότι τα κεφαλαία γράµµατα παριστάνουν σηµεία του καρτεσιανού επιπέδου και τα διανύσµατα α και β έχουν συντεταγµένες (1, y 1 ) και (, y ) αντίστοιχα και σχηµατίζουν γωνία φ. Όταν σε µια ιδιότητα αναφέρεται µόνο το διάνυσµα α προς χάριν απλούστευσης ως συντεταγµένες του θεωρούνται οι (,y). ΑΘΡΟΙΣΜΑ - ΙΑΦΟΡΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΜΕΤΡΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Αν ΑΒ= Γ τότε ΑΓ= Β και ΓΑ= Β ΑΒ= ΟΒ-ΟΑ ΑΟ ΒΟ= ΑΒ α+ β = (1+,y1+ y ) α β = (1,y1 y ) α = + y α-β α+ β α+ β ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΩΝ Α( 1,y 1 ) και Β(,y ) ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΙΑΝΥΣΜΑ ΜΕΣΟ Μ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΑΒ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΙΣΟΤΗΤΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΙΕΥΘΥΝΣΕΩΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ α 1 1 (AB) = ( - ) + (y -y ) λ α = (λ, λy) Ι ΙΟΤΗΤΕΣ 1. λ α= 0 λ= 0 ή α= 0. Αν λ α= λ β και λ 0, τότε α= β 3. Αν λ α = µ α και α 0, τότε λ=µ. ΟΑ+ ΟΒ ΟΜ=, όπου Ο σηµείο αναφοράς 1+ y1+ y Αν Α( 1, y 1 ) και Β(, y ) τότε Μ(, ) Αν Α( 1, y 1 ) και B(, y ) δύο σηµεία, τότε ΑΒ = (, y y ) 1 1 τετµηµ. διανύσµατος = τετµηµ. πέρατος τετµηµ. αρχής τεταγµ. διανύσµατος = τεταγµ. πέρατος τεταγµ. αρχής = α= β y = y 1 1 δηλαδή y λ= = εφφ όπου φ η γωνία του διανύσµατος µε τον άξονα (φ [0,π))

22 Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣ. 19 ΙΑΚΟΥΜΑΚΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ - Μαθηµατικός ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΣΥΓΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑΣ α//β υπάρχει λ R, τέτοιος ώστε α= λ β (β 0) 1 y1 α//β det(α,β) = 0 = 0 y α//β λ1= λ, όπου λ 1, λ οι συντελεστές διεύθυνσης α//β α β =± α β και µάλιστα α β α β = α β και α β α β = α β ΜΕ ΑΠΟ ΕΙΞΗ α β α+ β = α + β και α β α β = α+ β ΜΟΝΑ ΙΑΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 1,οµόρροπο του α και α,αντίρροπο του α ΣΥΓΓΡΑΜΜΙΚΑ ΤΟΥ α 1 = α α =- α α α ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΘΕΤΑ ΣΤΟ α Αν α = ( 1, y 1), δύο διανύσµατα κάθετα στο α είναι τα α 1= ( y 1, 1) και α = (y 1, 1) ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ α β συνφ, αν α 0 και β 0 ΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ α β=, 0, αν α= 0 η β= 0 όπου φ η γωνία των α και β (µε φ [0,π]) α β = 1 + y1 y α β= α προββ α Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ 1. α β= β α Αντιµεταθετική ιδιότητα ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ. α β α β = α β 3. α β α β = α β 4. α β α β= 0 5. α β λ1 λ= 1, όπου λ 1, λ οι συντελεστές διεύθυνσης των α και β αντίστοιχα µε την προϋπόθεση ότι αυτοί ορίζονται (δηλαδή ότι α,β // y'y) 6. (λ α) β= α (λ β) = λ (α β) 7. α (β+ γ) = α β+ α γ Επιµεριστική ιδιότητα 8. α α= α = α Τετράγωνο του α 9. i = j = 1 και i j= j i= 0 όπου i και j τα µοναδιαία διανύσµατα

23 Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣ. 0 ΙΑΚΟΥΜΑΚΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ - Μαθηµατικός ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟ ΓΩΝΙΑΣ ΥΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΚΑΘΕΤΟΤΗΤΑΣ ΥΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΧΗ Γενικά (α β) γ α (β γ) (α β) β α β β (α β) β α (α β) α β αλλά (α β) α β Αν α β=0 α=0 ή β=0 Αν α =β α=β και 0 Αν α β=0 β=0 και α 0 α β α β αλλά α β α β Οι παραπάνω ιδιότητες, εκτός της πρώτης, ισχύουν ως ισότητες ή συνεπαγωγές αντίστοιχα, αν τα διανύσµατα που συµµετέχουν σε αυτές είναι συγγραµµικά. Η πρώτη ισχύει ως ισότητα αν είναι συγγραµµικά τα α και γ. α β 1 + y1y συνφ = συνφ = α β 1 + y1 + y α β α β= 0 α β λ1 λ= 1, µε την προϋπόθεση ότι α,β // y'y α β + y y = 0 1 1

24 Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣ. 1 ΙΑΚΟΥΜΑΚΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ - Μαθηµατικός ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΖΗΤΟΥΜΕΝΟ 1. Συγγραµµικότητα Έστω ότι ζητάµε να δείξουµε πως α//β (µε α,β 0) Παραδείγµατα 1,,3 ΜΕΘΟ ΟΙ είχνουµε ότι υπάρχει λ R τέτοιος ώστε α= λ β. Ειδικότερα αν λ>0 τότε α β, ενώ αν λ<0 τότε α β. είχνουµε ότι det(α,β) = 0 είχνουµε ότι α β = α β (οπότεα β) ή. Καθετότητα 1 Έστω ότι ζητάµε να δείξουµε πως α β ή ζητάµε να υπολογίσουµε τις τιµές κάποιων παραµέτρων ώστε να συµβαίνει αυτό. Παραδείγµατα 4,5 α β = α β (οπότε α β) είχνουµε ότι το συνηµίτονο της γωνίας τους είναι 1 (οπότεα β ) ή 1 (οπότε α β). είχνουµε ότι λα = λ. β είχνουµε ότι α//γ και β//γ όπου γ κατάλληλο διάνυσµα. Χρησιµοποιούµε κάποια από τις ισοδυναµίες: α β α β= 0 α β λ1 λ= 1, µε την προϋπόθεση ότι α,β // y'y α β + y y = 0 1 1

25 Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣ. ΙΑΚΟΥΜΑΚΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ - Μαθηµατικός 3. Καθετότητα Σε γεωµετρικές ασκήσεις που περιέχουν ορθές γωνίες Παράδειγµα 6 4. Ισότητα Έστω ότι ζητάµε να δείξουµε πως ΑΒ=Γ Παράδειγµα 7 5. Απόδειξη σχέσεων µε µέτρα Παράδειγµα 8 Μπορούµε να εκµεταλλευτούµε την ορθή γωνία ενός σχήµατος µε δύο κυρίως τρόπους: Ή για τη γραφή του εσωτερικού γινοµένου µε τη βοήθεια προβολών Ή εκφράζοντας το εσωτερικό γινόµενο των κάθετων διανυσµάτων (που είναι 0) µε τη µορφή (κ λ) (κ + λ) = κ λ χρησιµοποιώντας διανυσµατικές ακτίνες. Έτσι στο παρακάτω σχήµα έχουµε: Α \\ Γ ΒΑ Β = ΒΑ προβ Β = ΒΑ ΒΑ = ΒΑ ΒΑ ΑΒ Α ΑΒ Α = 0 (ΟΒ ΟΑ) (Ο ΟΑ) = 0 (ΟΒ ΟΑ) ( ΟΒ ΟΑ) = 0 (ΟΒ ΟΑ) (ΟΒ+ ΟΑ) = 0 ΟΒ ΟΑ = 0 κ.τ.λ. Αρκεί να δείξουµε ότι έχουν ίδιες συντεταγµένες. Αρκεί να δείξουµε ότι ΑΒ Γ και ΑΒ = Γ Αρκεί να δείξουµε ότι ΑΓ = Β. Αρκεί να δείξουµε ότι Β = ΓΑ. Β Αρκεί να δείξουµε, συνήθως µε υπολογισµούς, ότι τα διανύσµατα αυτά είναι ίσα προς ένα τρίτο διάνυσµα ή ότι είναι ίσα µε την ίδια παράσταση. \\ O Αρκεί να δείξουµε ότι το ΑΒ Γ είναι παραλληλόγραµµο Συνήθως υψώνουµε τα µέλη της σχέσης στο τετράγωνο για να «φύγουν» τα µέτρα και κάνουµε τις πράξεις.

26 Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣ. 3 ΙΑΚΟΥΜΑΚΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ - Μαθηµατικός 6. Απόδειξη γραµµικών σχέσεων 1 Έστω ότι ζητάµε να δείξουµε πως α +α +...+α =ν α, ν Ν*, 1 ν δηλαδή το πλήθος των προσθετέων ίσο µε το συντελεστή του α. Παράδειγµα 9 7. Απόδειξη γραµµικών σχέσεων Έστω ότι ζητάµε να δείξουµε πως α +α +...+α =β +β +...+β 1 κ 1 λ µε κ,λ Ν* Παράδειγµα Συγγραµµικότητα 3 σηµείων Έστω ότι ζητάµε να δείξουµε πως τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Παραδείγµατα 11,1 Συνήθως εκφράζουµε το α µε ν διαφορετικούς τρόπους, κάθε φορά µε τη βοήθεια ενός εκ των α 1,α,...,αν. Γράφουµε τα α 1,α,...,α κ,β 1,β,...,βλ ως διαφορές των διανυσµατικών ακτίνων των άκρων τους, αναλύοντάς τα µε τη βοήθεια σηµείου αναφοράς(*) π.χ. Ο (ΑΒ = ΟΒ ΟΑ ) και αποδεικνύουµε τη σχέση που προκύπτει. Κάνουµε πράξεις στο ένα µέλος και καταλήγουµε στο άλλο. είχνουµε ότι (α1 + α α κ) (β1 + β β λ) = 0 είχνουµε ότι α1 + α ακ = κ α, β + β β = λ β και κ α= λ β (βλέπε 1 λ µεθοδολογία 6). Αρκεί να αποδείξουµε ότι δύο από τα ΑΒ,ΒΓ ή ΑΓ είναι συγγραµµικά (βλέπε µεθοδολογία 1). ΣΗΜΑΝΤΙΚΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Ειδικά στην περίπτωση που δίνεται σχέση µορφής κ ΟΑ+ λ ΟΒ + µ ΟΓ = 0 (1) µε κ+λ+µ=0 χωρίς τα κ, λ, µ να είναι όλα µηδέν, τότε τα Α, Β, Γ είναι πάντα συνευθειακά. Η απόδειξη µπορεί να γίνει εκφράζοντας έναν από τους συντελεστές στην (1) µε τη βοήθεια των άλλων δύο (π.χ. µ=-κ-λ). Για να δείξουµε ότι περισσότερα από τρία σηµεία είναι συνευθειακά, αρκεί να δείξουµε ότι είναι συνευθειακά ανά τρία. (*) Η ανάλυση ενός διανύσµατος σε διαφορά διανυσµάτων µε τη βοήθεια σηµείου αναφοράς, είναι µια πολύ χρήσιµη µέθοδος, η οποία µπορεί να εφαρµοστεί σε πολλές ασκήσεις. Ως σηµείο αναφοράς συνήθως εξυπηρετεί να χρησιµοποιήσουµε ένα από τα σηµεία της άσκησης.

27 Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣ. 4 ΙΑΚΟΥΜΑΚΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ - Μαθηµατικός 9. Ταύτιση δύο σηµείων Έστω ότι ζητάµε να δείξουµε πως τα σηµεία Α και Β ταυτίζονται. Παραδείγµατα 13, Προσδιορισµός σηµείου Ρ το οποίο επαληθεύει δοσµένη γραµµική διανυσµατική σχέση Παράδειγµα Προσδιορισµός των συντεταγµένων σηµείων τα οποία έχουν κάποια ιδιότητα Παράδειγµα Ανάλυση γνωστού διανύσµατος ν=( ν,y ν) σε δύο συνιστώσες α και β µε γνωστές διευθύνσεις. Αρκεί να δείξουµε ότι ΑΒ = 0 Αρκεί να δείξουµε ότι ΟΑ = ΟΒ όπου Ο τυχαίο σηµείο του χώρου. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Η παραπάνω µεθοδολογία εφαρµόζεται και στην περίπτωση που ζητάµε να δείξουµε πως δύο ή περισσότερα τµήµατα έχουν κοινό µέσο. Έτσι αν Μ 1, Μ,,Μ ν τα µέσα των τµηµάτων, αρκεί αν δείξουµε ότι ΟΜ = ΟΜ =... = ΟΜ 1 ν Υπολογίζουµε µε τη βοήθεια γνωστών (σταθερών) διανυσµάτων τη διανυσµατική ακτίνα ΟΡ του Ρ, όπου Ο κατάλληλο (δοσµένο) σηµείο του σχήµατος. Συµβολίζουµε µε αγνώστους τις συντεταγµένες των σηµείων αυτών, εκφράζουµε µε συντεταγµένες τις ιδιότητες που έχουν τα σηµεία και λύνουµε τις σχέσεις που προκύπτουν Γράφουµε το ν µε τη βοήθεια συντεταγµένων ως γραµµικό συνδυασµό των α και β, δηλαδή ν = κ α+ λ β και προσδιορίζουµε τα κ και λ. ΕΙ ΙΚΕΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ Α. Να αναλυθεί το ν=( ν,y ν) σε δύο συνιστώσες παράλληλες προς δύο γνωστά διανύσµατα α=(,y ) και β=(,y ) α α β β (Ή αλλιώς: Να γραφεί το ν ως γραµµικός συνδυασµός των α και β ). Παράδειγµα 17 ύο διανύσµατα παράλληλα προς τα α και β είναι τα κ α και λ β αντίστοιχα. Έστω ότι υπάρχουν κ, λ R τέτοιοι ώστε ν = κ α+ λ β. Με τη βοήθεια των συντεταγµένων και της προηγούµενης ισότητας, δηµιουργούµε σύστηµα, από όπου υπολογίζουµε τα κ και λ. Τότε οι ζητούµενες συνιστώσες είναι η κ α και η λ β.

28 Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣ. 5 ΙΑΚΟΥΜΑΚΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ - Μαθηµατικός Β. Να αναλυθεί το ν=( ν,y ν) σε δύο συνιστώσες κάθετες προς δύο γνωστά διανύσµατα α=(,y ) και β=(,y ) α α β β Παράδειγµα 18 Γ. Να αναλυθεί το ν=( ν,y ν) σε δύο συνιστώσες, µία παράλληλη και µία κάθετη προς γνωστό διάνυσµα α=(,y ) α α Παράδειγµα Ασκήσεις που αφορούν στη γωνία δύο διανυσµάτων Παραδείγµατα 0,1 14. Ασκήσεις που µας δίνουν τα Λ α, ν και (α,ν) την προβ ν α και µας ζητούν Παράδειγµα ύο διανύσµατα κάθετα προς τα α και β είναι τα α = ( y, ) και β = ( y, ) αντίστοιχα 1 α α 1 β β (γιατί λα λα 1 = 1 και λβ λβ 1 = 1). Γράφουµε το ν ως γραµµικό συνδυασµό των α1 και β1, ν = κ α 1 + λ β1. Μετατρέπουµε τη σχέση αυτή σε σχέση συντεταγµένων. Προσδιορίζουµε µε λύση συστήµατος τα κ και λ, οπότε οι ζητούµενες συνιστώσες είναι η κ α και η λ β. 1 1 Με ανάλογο συλλογισµό, ένα διάνυσµα κάθετο µε το α είναι το α 1 = ( y α, α). Άρα ν = κ α+ λ α1. Μετατρέπουµε τη σχέση αυτή σε σχέση συντεταγµένων. Προσδιορίζουµε µε λύση συστήµατος τα κ και λ, οπότε οι ζητούµενες συνιστώσες είναι η κ α και η λ α1. α β Χρησιµοποιούµε τη σχέση συνθ = ή τη α β 1 + y1y σχέση συνθ= + y + y 1 1 Ειδικά για την πρώτη σχέση, πολλές φορές, δεν µπορούµε να υπολογίσουµε απ ευθείας τα µέτρα των διανυσµάτων. Τότε υπολογίζουµε τα τετράγωνά τους και από εκεί προσδιορίζουµε τα µέτρα. Αν µας ζητούν να αποδείξουµε ότι δύο γωνίες είναι ίσες, υπολογίζουµε µε τις παραπάνω σχέσεις το συνηµίτονο της καθεµιάς. Επειδή προβν//α α θα υπάρχει λ R, ώστε προβν= λ α (1). Άρα θα ισχύει α α ν= α προβν α ν= α λ α α ν= λ α α α ν= λ α. Από τη σχέση αυτή βρίσκουµε το λ και από την (1) την προβ ν α..

29 Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣ. 6 ΙΑΚΟΥΜΑΚΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ - Μαθηµατικός 15. Ασκήσεις γεωµετρικών τόπων Έστω ότι ζητάµε το γεωµετρικό τόπο (γ.τ.) σηµείου Μ το οποίο επαληθεύει κάποια σχέση που περιέχει διανύσµατα ή µέτρα διανυσµάτων. Παραδείγµατα 3,4,5,6 Η αντιµετώπιση τέτοιων ασκήσεων εξαρτάται από τη µορφή της σχέσης: Αν η σχέση εκφράζεται µε µέτρα διανυσµάτων και έχει µορφή: ΜΑ = ΜΒ, όπου Α και Β σταθερά σηµεία, τότε ο γ.τ. του Μ είναι η µεσοκάθετος του ΑΒ. ΜΑ =ρ>0, όπου Α σταθερό σηµείο, τότε ο γ.τ. του Μ είναι ο κύκλος (Α, ρ). Αν η σχέση έχει µορφή ΑΜ=λ α, όπου Α σταθερό σηµείο, α γνωστό διάνυσµα και λ R, τότε ο γ.τ. του Μ είναι η ευθεία ε που διέρχεται από το Α και έχει τη διεύθυνση του α. Αν Α,Β δοσµένα σηµεία και η σχέση εκφράζεται µε εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων της µορφής: MA MB=0 τότε (µε απόδειξη*) ο γ.τ. του Μ είναι κύκλος διαµέτρου ΑΒ AM AB=0 τότε (µε απόδειξη*) ο γ.τ. του Μ είναι η κάθετη ευθεία στην ΑΒ στο Α * ΑΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΤΩΝ ΤΕΛΕΥΤΑΙΩΝ Γ.Τ. Μ Έστω Ο το µέσον του ΑΒ. ΤότεΜΑ ΜΒ = 0 (ΜΟ+ ΟΑ) (ΜΟ+ ΟΒ) = 0,, (ΜΟ+ ΟΑ) (ΜΟ ΟΑ) = 0 ΜΟ ΟΑ = 0 ΜΟ = ΟΑ Α Ο Β ΜΟ = ΟΑ ΜΟ = ΟΑ. Έτσι το Μ απέχει σταθερή απόσταση από το σταθερό Ο και εποµένως ο γ.τ. είναι ο κύκλος µε διάµετρο ΑΒ. ΑΛΛΙΩΣ: Η σχέση ΜΑ ΜΒ = 0 σηµαίνει ότι ΜΑ ΜΒ, οπότε AMB ˆ = 90. Άρα το Μ «βλέπει» µε ορθή γωνία το σταθερό τµήµα ΑΒ και εποµένως ανήκει σε κύκλο µε διάµετρο το ΑΒ. Αφού ΑΜ ΑΒ = 0, τα ΑΜ και ΑΒ είναι κάθετα και επειδή έχουν κοινή αρχή το Α, ο γ.τ. του Μ είναι η σταθερή ευθεία ε που είναι κάθετη στην ΑΒ στο Α. ε Μ Α Β

30 Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣ. 7 ΙΑΚΟΥΜΑΚΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ - Μαθηµατικός ΣΗΜΑΝΤΙΚΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΜΕΘΟ ΟΣ ΑΠΟ ΕΙΞΗΣ Πολλές φορές η λύση µιας άσκησης επιτυγχάνεται ευκολότερα αν κατασκευάσουµε και εργαστούµε πάνω σε ένα καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων (ιδιαίτερα αν τα διανύσµατα µας δίνονται µε συντεταγµένες) ή όπως λέµε εφαρµόζοντας την αναλυτική µέθοδο απόδειξης. Έτσι: Κατασκευάζουµε ένα σύστηµα συντεταγµένων Τοποθετούµε πάνω σε αυτό όλα τα σηµεία στα οποία αναφέρεται η άσκηση. Σε σηµεία που δεν είναι δοσµένα θέτουµε παραµετρικές συντεταγµένες. Η τοποθέτηση καλό είναι να γίνεται µε τέτοιο τρόπο ώστε όσο το δυνατόν περισσότερα σηµεία να έχουν τετµηµένες ή τεταγµένες µηδέν. Εκφράζουµε τα δεδοµένα και τα ζητούµενα µε συντεταγµένες και προσπαθούµε να φτάσουµε στο επιθυµητό αποτέλεσµα. Μερικές ιδέες για τη δηµιουργία συστηµάτων συντεταγµένων σε διάφορα βασικά σχήµατα είναι οι παρακάτω: Ορθογ. τρίγωνο Ορθογώνιο Τετράγωνο Ισοσκελές τρίγωνο Α(0,α) Γ(0,γ) (0,δ) Γ(β,δ) (0,β) Γ(β,β) Α(0,0) Β(β,0) Α(0,0) Β(β,0) Α(0,0) Β(β,0) Β(-β,0) Γ(β,0) Τρίγωνο Α(α,β) Παραλληλόγραµµο Ισοσκελές τραπέζιο Τυχαίο τετράπλευρο (-β,γ) Γ(β,γ) (δ,ε) (β,γ) Γ(α+β,γ) Β(0,0) Γ(γ,0) Α(0,0) Β(α,0) Α(-α,0) Β(α,0) Α(0,0) Γ(γ,0) Β(α,β)

31 Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣ. 8 ΙΑΚΟΥΜΑΚΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ - Μαθηµατικός ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ 1. ίνονται τα σηµεία Α, Β, Γ και µε διανύσµατα θέσης α, β, 4α β και α+ β ως προς σηµείο αναφοράς Ο αντίστοιχα. Να δείξετε ότι τα διανύσµατα ΑΒ και Γ είναι συγγραµµικά. ΑΒ = ΟΒ ΟΑ = β α Γ = Ο ΟΓ = α+ β (4β β) = 3β 3α= 3 (β α) Άρα Γ = 3 ΑΒ οπότε Γ //ΑΒ.. Να βρείτε τον πραγµατικό αριθµό ώστε τα διανύσµατα α(,) και β(16,) να είναι οµόρροπα. Για να είναι οµόρροπα τα α και β πρέπει και αρκεί det(α,β)=0 και να υπάρχει θετικός αριθµός λ έτσι ώστε α= λ β. det( α,β )= = -3=0 =16 =± 4. Για =4 είναι α = (4,) και β = (16,8) = 4 (4,) = 4 α οπότε α και β οµόρροπα. Για =-4 είναι α = ( 4,) και β = (16, 8) = 4 ( 4,) = 4 α αντίρροπα. οπότε α και β Άρα η ζητούµενη τιµή του είναι το Αν α =, β = 1, γ = 3 και α+ β+ γ = 0 να δείξετε ότι β γ. Είναι α+ β+ γ = 0 (β+ γ) = α οπότε (*) (β+ γ) = ( α) β + β γ+ γ = 4 α β + β γ + γ = 4 α 1+ β γ +9=16 β γ =6 β γ=3. Όµως και β γ = 3 οπότε β γ = β γ εποµένως β γ. (*)ΠΡΟΣΟΧΗ: Οι σχέσεις (β+ γ) = α και (β+ γ) = ( α) συνδέονται µε συνεπαγωγή και όχι ισοδυναµία γιατί γενικά αν α = β τοτε α = β αλλά όχι αντίστροφα. 4. Έστω ΟΑ και ΟΒ δύο κάθετα διανύσµατα µε ΟΑ = α+ β και ΟΒ = α β. Αν α β = 6 και β = 5 να υπολογιστεί το α. ΟΑ ΟΒ ΟΑ ΟΒ = 0 (α+ β) (α β) = 0 α + 3 α β β = 0 α + 3 α β β = 0 α = β 3 α β α = α = 16 α = 4

32 Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣ. 9 ΙΑΚΟΥΜΑΚΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ - Μαθηµατικός 5. Έστω τα διανύσµατα α= i j, β = 6i+ yj και γ = i+ 4j. Αν α β τότε: α) Να προσδιοριστεί το β β) Να δείξετε ότι β γ α) α β α β = ( ) y = 0 6 y = 0 y = 3. Άρα β= 6i+ 3j. β) β γ = 6 ( ) = 0. Άρα β γ. ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Το ότι β γ θα µπορούσε να προκύψει και αλλιώς αν παρατηρήσουµε ότι γ = α.έτσι γ//α και αφού α β, τότε προφανώς β γ. 6. ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και Α το ύψος του. είξτε ότι ισχύει η ισοδυναµία: ˆΑ = 90 ΑΒ = ΒΓ Β ΕΥΘΥ: Έστω ˆΑ = 90. Θα δείξουµε ότι ΑΒ = ΒΓ Β. Έχουµε κατά σειρά ΑΒ = ΑΒ ΑΒ = ΑΒ (ΑΓ+ ΓΒ) = = ΑΒ ΑΓ+ ΑΒ ΓΒ= 0+ ΑΒ ΓΒ== προβ ΑΒ ΓΒ= ΓΒ = Β ΓΒ = Β ( ΒΓ) = ΒΓ Β. Γ Α Β ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ: Έστω ότι ισχύει ΑΒ = ΒΓ Β (1). Θα δείξουµε ότι ˆΑ = 90. ΑΒ = ΑΒ ΑΒ = (ΑΓ+ ΓΒ) (Α + Β) = ΑΓ Α + ΑΓ Β+ ΓΒ Α + ΓΒ Β = = ΑΓ Α + ΑΓ Β+ 0+ ΓΒ Β= ΑΓ Α + ΑΓ Β+ ΓΒ Β= ΑΓ (Α + Β) + ΓΒ Β= = ΑΓ ΑΒ+ ΒΓ Β (). Από (1) και () έχουµε: ΒΓ Β = ΑΓ ΑΒ+ ΒΓ Β ΑΓ ΑΒ= 0 ΑΓ ΑΒ Αˆ = Έστω τετράπλευρο ΑΒΓ και Α 1, Α τα συµµετρικά του Α ως προς και Γ αντίστοιχα. Αν Β 1, Β τα συµµετρικά του Β ως προς και Γ αντίστοιχα, να δείξετε Α Β = Α Β και Α Α = Β Β. ότι Τα τετράπλευρα ΑΒΑ 1 Β 1 και ΑΒΑ Β είναι παραλληλόγραµµα για τι οι διαγώνιές τους διχοτοµούνται. Άρα ισχύουν: Α1Β 1 = ΑΒ και Α1Β1 ΑΒ οπότε Α Β = ΑΒ 1 1 και ΑΒ = ΑΒ και ΑΒ ΑΒ οπότε ΑΒ = ΑΒ Εποµένως Α1Β1 = ΑΒ άρα Α1Α = Β1Β. Β 1 / / Β ν Γ ν Β = Α 1 χ χ Α = Α

33 Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣ. 30 ΙΑΚΟΥΜΑΚΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ - Μαθηµατικός 8. Αν α = β = α+ β να δειχθεί ότι α β = α 3. Είναι α = α+ β α = α+ β α = (α+ β) α = α + α β+ β α = β α = α + α β + β α Τότε = α + α β + α α β = α (1) α β = α β = (α β) = α α β+ β = α α β + β = α + α + α = 3 α Άρα α β = α Αν Μ και Ν τα µέσα των πλευρών ΑΒ και Γ τετραπλεύρου ΑΒΓ να δείξετε ότι Α + ΒΓ = ΜΝ. Ισχύουν: ΜΝ= ΜΑ+ Α + Ν ΜΝ= ΜΒ+ ΒΓ+ ΓΝ Με πρόσθεση κατά µέλη έχουµε: ΜΝ= ΜΑ+ Α + Ν+ ΜΒ+ ΒΓ+ ΓΝ= = ΜΑ + Α + Ν ΜΑ Ν Γ + ΒΓ+ Ν = Α + ΒΓ 10. Αν ΑΒΓ ΕΖ κανονικό εξάγωνο δείξτε ότι ΑΓ+ ΑΕ= Α + ΒΓ Με κέντρο αναφοράς το κέντρο Ο του εξαγώνου έχουµε: ΟΕ= ΟΒ ΑΓ+ ΑΕ= ΟΓ ΟΑ+ ΟΕ ΟΑ = ΟΓ ΟΒ ΟΑ = ΑΟ= Α = ΒΓ+ ΑΟ = ΒΓ+ Α. (1) Α Α Μ Β Ζ Ο Γ Β Ε 11. ίνονται τρία σηµεία Α, Β, Γ για τα οποία ισχύει ΟΒ+ 4 ΟΓ = 5 ΟΑ, όπου Ο τυχαίο σηµείο αναφοράς. Να δείξετε ότι τα Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. ΟΒ+ 4 ΟΓ = 5 ΟΑ ΟΒ+ 4 ΟΓ 5 ΟΑ = 0 (1) Επειδή οι συντελεστές (1, 4, -5) έχουν άθροισµα 0, σύµφωνα µε τη µεθοδολογί,α διασπάµε το 5 µε τη βοήθεια των 1 και 4. Έτσι: (1) ΟΒ+ 4 ΟΓ ΟΑ 4 ΟΑ = 0 (ΟΒ ΟΑ) + (4 ΟΓ 4 ΟΑ) = 0 ΑΒ+ 4 ΑΓ = 0 ΑΒ = 4 ΑΓ που σηµαίνει ότι ΑΒ, ΑΓ συγγραµµικά, οπότε Α, Β, Γ συνευθειακά.

34 Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣ. 31 ΙΑΚΟΥΜΑΚΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ - Μαθηµατικός 1. Σε τρίγωνο ΑΒΓ προεκτείνουµε τις διαµέσους ΒΚ και ΓΛ κατά τµήµατα Κ =ΒΚ και ΛΕ=ΓΛ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι τα σηµεία Ε, Α και είναι συνευθειακά. Θα προσπαθήσουµε να υπολογίσουµε τα ΑΕ και Α µε στόχο να δείξουµε ότι ΑΕ = λ Α Είναι ΑΕ = ΑΓ+ ΓΕ = ΑΓ+ ΓΛ. Ε Α Όµως Λ µέσο ΑΒ οπότε ΓΛ = ΓΑ + ΓΒ. _ // Άρα ΑΕ = ΑΓ+ ΓΑ+ ΓΒ = ΓΒ (1). Επίσης Λ Κ Κ µεσο ΑΓ _ // Α = ΑΒ+ Β = ΑΒ+ ΒΚ = ΑΒ+ ΒΑ+ ΒΓ = = ΒΓ (). Β Γ Από (1) και () προκύπτει ότι ΑΕ = Α οπότε ΑΕ//Α και εποµένως Ε, Α, συνευθειακά. 13. ίνονται τα σηµεία Α, Β, Γ για τα οποία ισχύει η σχέση ΑΒ+ 004 ΑΓ = (λ+ ) ΒΓ (1). Να προσδιοριστεί η τιµή του λ R ώστε τα Α και Γ να συµπίπτουν. Για να συµπίπτουν τα Α και Γ πρέπει και αρκεί προσθετουµε στα δυο µελη (1) το ΒΓ ΑΓ= 0 ΑΒ+ 0 = (λ+ ) ΒΓ ΑΒ+ ΒΓ = (λ+ ) ΒΓ+ ΒΓ ΑΓ = (λ+ 3) ΒΓ λ+ 3= 0, Β Γ 0 = (λ+ 3) ΒΓ η λ+ 3= 0 λ = 3. ΒΓ = Να δείξετε ότι τα ευθύγραµµα τµήµατα που έχουν άκρα τα µέσα των απέναντι πλευρών κυρτού τετραπλεύρου διχοτοµούνται (έχουν κοινό µέσο) Μία µέθοδος επίλυσης της άσκησης αυτής είναι µε συντεταγµένες ορίζοντας ένα κατάλληλο σύστηµα συντεταγµένων όπως αυτό που φαίνεται στο διπλανό σχήµα. Έστω Κ, Λ, Μ και Ν τα µέσα των απέναντι πλευρών του τετραπλεύρου (βλέπε σχήµα), Ο 1 το µέσον της ΚΝ και Ο το µέσον της ΝΛ. Θα δείξουµε ότι Ο 1 Ο. Έχουµε κατά σειρά: Συντεταγµένες Κ: ( α+ γ, β+ δ ) Συντεταγµένες Μ: ( 0+ ε, 0+ 0 ε )=(,0 ) Β(α,β) Ν Κ Γ(γ,δ) Α(0,0) Μ (ε,0) Λ

35 Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣ. 3 ΙΑΚΟΥΜΑΚΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ - Μαθηµατικός Άρα συντεταγµένες του µέσου Ο 1 του ΚΜ: Συντεταγµένες Ν: ( 0+ α, 0+ β α )=(, β ) Συντεταγµένες Λ: ( γ+ ε, δ+ 0 γ + ε )=(, δ ) Άρα συντεταγµένες του µέσου Ο του ΛΝ: Εποµένως Ο 1 Ο αφού έχουν τις ίδιες συντεταγµένες. α+ γ ε β+ δ α+ γ+ ε β+ δ (, ) = (, ). 4 4 α γ+ ε β δ + + α+ γ+ ε β+ δ (, ) = (, ). 4 4 ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Φυσικά µπορούµε να λύσουµε την άσκηση χωρίς να χρησιµοποιήσουµε 1 συντεταγµένες, όπως να υπολογίσουµε τα ΚΛ και ΝΜ δείχνοντας ότι ΚΛ = ΝΜ= ΑΓ, οπότε το ΚΛΜΝ είναι παραλληλόγραµµο και εποµένως οι διαγώνιές του ΚΜ και ΝΛ διχοτοµούνται. 15. Αν ΑΒΓ ορθογώνιο να προσδιορίσετε σηµείο Μ τέτοιο ώστε να ισχύει ΜΑ+ ΜΒ+ ΜΓ = Μ Έχουµε κατά σειρά: ΜΑ+ ΜΒ+ ΜΓ= Μ ΜΑ+ ΜΓ= Μ ΜΒ ΜΟ= Β ΜΟ= ΒΟ ΜΟ= ΒΟ. Άρα το Μ ταυτίζεται µε το σηµείο Β. 16. ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε Α(0,3), Β(-1,3) και Γ(1,1). Να βρεθούν οι συντεταγµένες: α) Σηµείου Κ για το οποίο ισχύει ΓΚ = ΒΓ β) Σηµείου Λ της ευθείας ΑΓ για το οποίο ισχύει ΚΛ//ΑΒ. α) Έστω Κ(,y). Τότε ΓΚ = ( 1,y 1) και ΒΓ = (1+ 1,1 3) = (, ). Έτσι: = = ΓΚ = ΒΓ ( 1,y 1) = (, ). Άρα Κ(,0). y = y = 0 β) Έστω Λ(α,β). Για να ανήκει το Λ στην ευθεία ΑΓ πρέπει και αρκεί ΑΛ//ΑΓ det(αλ, ΑΓ) = 0. Για να ισχύει ΚΛ//ΑΒ πρέπει και αρκεί ΚΛ//ΑΒ det(κλ,αβ) = 0 Όµως ΚΛ = (α,β), ΑΒ = ( 1,0), ΑΛ = (α,β 3) και ΑΓ = (1, ). Α Ο Β Μ Γ Έτσι: α β 3 = 0 det(αλ, ΑΓ) = 0 1. det(κλ, ΑΒ) = 0 α β = Λύνοντας το σύστηµα έχουµε ότι 3 α= και β= 0. Άρα Λ=( 3,0).

36 Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣ. 33 ΙΑΚΟΥΜΑΚΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ - Μαθηµατικός 17. Να αναλυθεί το διάνυσµα γ = (, 3) σε δύο συνιστώσες µε διευθύνσεις τις διευθύνσεις των διανυσµάτων α = (1, ) και β = (, 3). Έστω u και v οι ζητούµενες συνιστώσες του γ µε u//α και v//β. Τότε υπάρχουν πραγµατικοί αριθµοί κ και λ, τέτοιοι ώστε u= κ α, v = λ β και γ = κ α+ λ β κ+ λ = (, 3) = κ (1, ) + λ (,3) (, 3) = (κ+ λ, κ+ 3λ). κ + 3λ = Λύνοντας το σύστηµα έχουµε ότι κ = και λ = Άρα u = (1, ) και v = (, 3) Να αναλυθεί το διάνυσµα γ = (, 3) σε δύο συνιστώσες κάθετες στις διευθύνσεις των διανυσµάτων α = (1, ) και β = (,3). Ένα διάνυσµα κάθετο προς το α = (1, ) είναι το α 1 = (,1) και ένα διάνυσµα κάθετο προς το β = (,3) είναι το β 1 = ( 3,). Έστω ότι υπάρχουν πραγµατικοί αριθµοί κ και λ τέτοιοι ώστε γ = κ α1 + λ β1 κ 3λ = (, 3) = κ (,1) + λ ( 3,). κ + λ = Λύνοντας το σύστηµα έχουµε ότι κ = και λ = Άρα u = (,1) και v = ( 3,) Να αναλυθεί το διάνυσµα γ = (, 3) σε δύο συνιστώσες, µιας παράλληλης προς το διάνυσµα α = (1, ) και µιας κάθετης σ αυτό. Η µέθοδος είναι ανάλογη εκείνης που εφαρµόσαµε στα προηγούµενα παραδείγµατα. Έτσι: Ένα διάνυσµα παράλληλο µε το α = (1, ) είναι το u= κ α, όπου κ πραγµατικός αριθµός. Ένα διάνυσµα κάθετο στο α = (1, ) είναι το α 1 = (,1) και ένα τυχαίο διάνυσµα παράλληλο µε το α 1 (άρα κάθετο στο α ) είναι το v = λ α1, όπου λ πραγµατικός κ+ λ = αριθµός. Άρα γ = κ α+ λ α 1 (, 3) = κ (1, ) + λ (,1). κ + λ = Λύνοντας το σύστηµα βρίσκουµε ότι κ = και λ = Άρα u = (1, ) και v = (,1). 5 5

37 Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣ. 34 ΙΑΚΟΥΜΑΚΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ - Μαθηµατικός Λ π 0. Έστω α και β δύο διανύσµατα µε α = 3, β = 1 και (α,β) = φ=. Να βρεθεί 6 η γωνία των διανυσµάτων u= α+ β και v = α β. u v Αν είναι θ η γωνία των u και v τότε συνθ = (1). Άρα αρκεί να υπολογίσουµε u v το εσωτερικό γινόµενο u v και τα µέτρα των u και v. Είναι: u v = (α+ β) (α β) = α β = α β = 3 1= (). Για να υπολογίσουµε τα µέτρα των u και v πρέπει πρώτα να βρούµε τα τετράγωνα των µέτρων αυτών. π u = u = (α+ β) = α + α β+ β = α + α β συνφ + β = συν + 1= 6 3 = = 7. Άρα u = 7 (3). Όµοια: v = v = (α β) =... = 1. Άρα v = 1 = 1 (4). (),(3) 7 (1) συνθ= = 0, 756οπότε η γωνία θ είναι περίπου 41. (4) Έστω α,β,w και v διανύσµατα µε α = β = 1, w = 3 α+ β, v = 7 α+ 8 β Λ και w v. Να βρεθεί η γωνία (α,β). Αφού w v είναι w v = 0 (3α+ β) ( 7α+ 8β) = 0 1α + 10α β+ 16β = 0 Λ Λ 1 α + 10 α β συν(α,β) + 16 β = συν(α,β) = 0 Λ Λ 1 Λ συν(α,β) + 16= 0 συν(α,β) = και αφού 0 (α,β) π έχουµε ότι Λ π. (α,β) = 3 Λ π. Αν α =, ν = 1 και (α,ν) = να εκφραστεί µε τη βοήθεια του α η προβολή του 3 ν πάνω στο α. Επειδή προβν//α θα υπάρχει λ R, ώστε προβν= λ α (1). Άρα θα ισχύει α Λ α ν= α προβ ν α ν= α λ α α ν= λ α α ν= λ α α ν συν(α,ν) = λ α α 1 συν π 3 =λ 1 =4λ λ=1 1. Άρα από (1) προβν= α α. 4 4 α

38 Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣ. 35 ΙΑΚΟΥΜΑΚΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ - Μαθηµατικός 3. ίνεται τετράπλευρο ΑΒΓ. Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων Μ για τα οποία ισχύει MA+ M = ΜΒ+ ΜΓ. Έστω Κ µέσον της Α και Λ µέσον της ΒΓ. Τότε: MA+ M = ΜΚ και MΒ+ MΓ = ΜΛ. Έτσι η δοσµένη σχέση γίνεται: ΜΚ = ΜΛ ΜΚ = ΜΛ ΜΚ = ΜΛ. Άρα το Μ ισαπέχει από τα σταθερά σηµεία Κ και Λ οπότε ο γεωµετρικός του τόπος είναι η µεσοκάθετος ε του ΚΛ. Β Α Λ Κ Μ ε Γ 4. ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει ΑΜ= 3λ ΓΑ + (1+ 3λ) ΑΒ µε λ>0. Είναι: ΑΜ= 3λ ΓΑ + (1+ 3λ) ΑΒ ΑΜ= 3λ ΓΑ+ ΑΒ+ 3λ ΑΒ ΑΜ ΑΒ = 3λ (ΓΑ + ΑΒ) ΒΜ= 3λ ΓΒ. Άρα ΒΜ//ΓΒ και µάλιστα ΒΜ ΓΒ αφού 3λ>0. Άρα ο γεωµετρικός τόπος του Μ είναι η ηµιευθεία Β. 5. Έστω ορθοκανονικό σύστηµα αναφοράς Οy και σταθερό σηµείο Α του επιπέδου µε OA = 3. Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων Μ του επιπέδου για τα οποία είναι OM (OM OA) = 7. ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Προσπαθούµε να εµφανίσουµε στη δοσµένη σχέση το µέτρο του OA που είναι γνωστό καθώς και κάποιο άλλο διάνυσµα που να περιέχει ως άκρο το µεταβλητό σηµείο Μ. OM (OM OA) = 7 (OA+ AM) (OA+ AM OA) = 7 (OA+ AM) (AM OA) = 7 (AM) (OA) = 7 AM OA = 7 AM 3 = 7 AM = 16 AM = 4. Άρα το Μ απέχει από το σταθερό σηµείο Α σταθερή απόσταση 4, οπότε ανήκει στον κύκλο (Α,4). 6. ίνονται τρία σταθερά σηµεία Α, Β, Γ και δύο µεταβλητά σηµεία Μ και Κ. Αν ισχύει ότι ΜΚ = ΜΑ+ ΜΒ+ ΜΓ, δείξτε ότι η ΜΚ διέρχεται από σταθερό σηµείο. Αν είναι Λ το µέσον του ΑΒ τότε: ΜΑ+ ΜΒ = ΜΛ οπότε η δοσµένη σχέση γίνεται ισοδύναµα: ΜΚ = ΜΛ+ ΜΓ ΜΚ = (ΜΛ+ ΜΓ). Αν είναι Ρ το µέσον της του ΛΓ τότε ΜΛ+ ΜΓ = ΜΡ και η προηγούµενη σχέση γίνεται ισοδύναµα: A M B Γ