και ω η γωνία που σχηµατίζει το διάνυσµα OA (1) x = ρσυν(ω+ θ) = ρσυνωσυνθ ρηµωηµθ και και
|
|
- Ἀβειρὼν Ζωγράφος
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΣΤΡΟΦΗ ΙΝΥΣΜΤΟΣ Νίκος Ιωσηφίδης, Μαθηµατικός Φροντιστής, έροια Στο άρθρο που ακολουθεί, όλα τα αναφερόµενα σηµεία θα θεωρούµε ότι βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο. Ορισµοί: 1) Ονοµάζουµε εικόνα του σηµείου κατά τη στροφή µε κέντρο Ο και γωνία θ (θ R) το σηµείο, τέτοιο ώστε: (Ο ) = (Ο) και Ο = θ ν Ο, ορίζουµε ως εικόνα το ίδιο το σηµείο. ια να δηλώσουµε ότι το είναι εικόνα του κατά τη στροφή µε κέντρο Ο κατά γωνία θ, γράφουµε = (Ο,θ). ν δεν υπάρχει κίνδυνος σύγχυσης για το κέντρο στροφής Ο, γράφουµε απλούστερα = θ ) Έστω το διάνυσµα και το σηµείο Ο. Ονοµάζουµε εικόνα του κατά τη στροφή µε κέντρο Ο και γωνία θ (θ R ) το διάνυσµα τέτοιο ώστε = (Ο,θ) και = (Ο,θ). ράφουµε συµβολικά: = (Ο,θ) Θα αποδείξουµε τώρα ένα πολύ σηµαντικό: Θεώρηµα: Η εικόνα ενός διανύσµατος σε µια στροφή είναι ανεξάρτητη του κέντρου στροφής. Μια γεωµετρική απόδειξη θα ήταν εύκολη, αλλά θα απαιτούσε τη µελέτη πολλών περιπτώσεων (π.χ θ (0, π), θ = 0, θ = π, θ (π, π), θ > π, θ < 0, Ο και ένα σωρό άλλες. ια τον λόγο αυτό θα δώσουµε µια αναλυτική απόδειξη. Θα βρούµε πρώτα τις σχέσεις που συνδέουν τις συντεταγµένες (x, y ) της εικόνας A ενός σηµείου µε τις συντεταγµένες (x, y) του σηµείου σε µια στροφή µε κέντρο την αρχή Ο των συντεταγµένων και γωνία στροφής θ. Σελ. 1
2 Κυριακή ΜΘΗΜΤΙΚΗ ΟΜ ΘΣΣΛΟΝΙΚΗΣ Έστω Ο = ρ και ω η γωνία που σχηµατίζει το διάνυσµα OA µε τον άξονα των x (ω [0, π)), δηλ. (Ο, x x) = ω. Τότε: x= ρσυνω και y=ρηµω (1) x = ρσυν(ω+ θ) = ρσυνωσυνθ ρηµωηµθ και y = ρηµ(ω+ θ) = ρηµωσυνθ + ρσυνωηµθ και λόγω των (1): x = xσυνθ yηµθ y = xηµθ + yσυνθ ν η στροφή γίνει γύρω από το σηµείο Κ(x 0, y 0) οι παραπάνω τύποι γίνονται: x x = (x x )συνθ (y y )ηµθ y y = (x x )ηµθ + (y y )συνθ Έστω τώρα το διάνυσµα AB µε A(x 1, y 1) και B(x, y ). Ονοµάζουµε A B την εικόνα του AB µε κέντρο την αρχή Ο των συντεταγµένων και A B την εικόνα του AB κατά τη στροφή µε κέντρο το σηµείο Κ(x 0, y 0) και την ίδια γωνία στροφής θ. ια τις συντεταγµένες των σηµείων A (x 1, y 1), B (x, y ), A (x 1, y 1), B (x, y ) σύµφωνα µε τα παραπάνω θα ισχύουν: x = x συνθ y ηµθ y = x ηµθ + y συνθ 1 1 1, x = x συνθ y ηµθ y = x ηµθ + y συνθ και x x = (x x )συνθ (y y )ηµθ y y = (x x )ηµθ + (y y )συνθ , x x = (x x )συνθ (y y )ηµθ y y = (x x )ηµθ + (y y )συνθ πό τις σχέσεις αυτές µε αφαιρέσεις κατά µέλη βρίσκουµε: A B = (x x, y y ) = 1 1 ((x x 1)συνθ (y y 1)ηµθ, (x x 1)ηµθ + (y y 1)συνθ) A B = (x x, y y ) = 1 1 ((x x 1)συνθ (y y 1)ηµθ, (x x 1)ηµθ + (y y 1)συνθ) ποµένως =, δηλαδή η εικόνα του διανύσµατος είναι ανεξάρτητη του κέντρου στροφής. Μπορούµε εποµένως αντί του συµβολισµού = (Ο,θ) για την εικόνα του διανύσµατος να χρησιµοποιούµε τον απλούστερο συµβολισµό = θ. ια την αποφυγή πολλών παρενθέσεων επίσης θα συµφωνήσουµε να προηγούνται οι πράξεις της πρόσθεσης και της αφαίρεσης διανυσµάτων από την πράξη της στροφής. Έτσι, αντί να γράφουµε (α θ) + (β θ) θα γράφουµε απλούστερα α θ+ β θ. Σελ.
3 Νικ. Ιωσηφίδης: ΣΤΡΟΦΗ ΙΝΥΣΜΤΟΣ Παραθέτουµε ορισµένες ιδιότητες της στροφής διανύσµατος στις οποίες θα στηριχθεί η λύση των ασκήσεων που θα παρουσιάσουµε εδώ. Οι ιδιότητες αυτές είναι είτε άµεσες συνέπειες του ορισµού της στροφής διανύσµατος, είτε αποδεικνύονται εύκολα (γεωµετρικά είτε αναλυτικά) και για οικονοµία χώρου δεν θα τις παρουσιάσουµε. ΙΙΟΤΗΤΣ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΗΣ ΙΝΥΣΜΤΟΣ Έστω α, β δύο διανύσµατα και θ µια γωνία. 1) α = β α θ = β θ ) α θ = α ) ν α 0, τότε: α θ = α θ = κπ, κ Z 4) ν α 0, τότε: α θ = α θ = κπ + π, κ Z 5) α θ = 0 α = 0 6) ν θ κπ (κ Z) τότε : α θ = α α = 0 7) (α+ β) θ= α θ+ β θ 8) (α β) θ = α θ β θ Οι ιδιότητες 7 και 8 επεκτείνονται και για περισσότερους προσθετέους, δηλ. ισχύει: 9) ( ± α1 ± α ± ± α ν ) θ = ± α1 θ ± α θ ± ± αν θ 10) ( α) θ = (α θ) Η ιδιότητα αυτή µας επιτρέπει να γράφουµε καθένα από τα παραπάνω σύµβολα µε την απλούστερη γραφή α θ 11) (λα) θ= λ(α θ) Η ιδιότητα αυτή µας επιτρέπει να γράφουµε καθένα από τα παραπάνω σύµβολα µε την απλούστερη γραφή λα θ 1) α θ + α ( θ) = (συνθ)α Η ιδιότητα αυτή είναι ιδιαίτερα χρήσιµη όπως θα φανεί στα παραδείγµατα που ακολουθούν. Ένα συνηθισµένο είδος ασκήσεων που µπορούν να αποδειχθούν µε την βοήθεια των παραπάνω ιδιοτήτων είναι η απόδειξη ότι δύο ευθύγραµµα τµήµατα και είναι ίσα και σχηµατίζουν συγκεκριµένη γωνία θ. ια την απόδειξη των ασκήσεων αυτών αρκεί να αποδείξουµε ότι AB θ= Σελ.
4 Κυριακή ΜΘΗΜΤΙΚΗ ΟΜ ΘΣΣΛΟΝΙΚΗΣ ια την απόδειξη τέτοιων σχέσεων, εκφράζουµε το AB ως γραµµικό συνδυασµό άλλων διανυσµάτων των οποίων γνωρίζουµε τις εικόνες κατά τη στροφή κατά θ και προσπαθούµε να δηµιουργήσουµε το διάνυσµα. ράφουµε π.χ AB θ = (α1 + α α ) θ = α1 θ + α θ α θ ν κάποιο από τα διανύσµατα του ου µέλους δεν είναι ένα κατάλληλο διάνυσµα, το αντικαθιστούµε µε το ίσο του από τον τύπο α θ + α ( θ) = (συνθ)α αν βέβαια το διάνυσµα α ( θ) είναι καταλληλότερο. Παραδείγµατα 1) ίνεται τρίγωνο και τα τετράγωνα Η και προς το εξωτερικό του. Να αποδειχθεί ότι = και πόδειξη π ρκεί να δειχθεί ότι = Πράγµατι: π π = (+ ) = π π π + = Η + = Η Η+ = + = ) ξωτερικά τριγώνου κατασκευάζουµε τα ισόπλευρα τρίγωνα,,. α) Να αποδειχθεί ότι τα ευθ. τµήµατα,, είναι ίσα και σχηµατίζουν 0 ανά δύο γωνία 60. β) + + = 0 πόδειξη: π α) ρκεί να δειχθεί ότι = Πράγµατι: π π = ( ) = π π = = ' ' β) ίναι: π = ( ) π = ( ) ' Σελ. 4
5 Νικ. Ιωσηφίδης: ΣΤΡΟΦΗ ΙΝΥΣΜΤΟΣ π = ( ) Άρα + + = π π (+ + ) ( ) = 0 ( ) = 0 ) ξωτερικά τριγώνου κατασκευάζουµε τα όµοια ισοσκελή τρίγωνα, και µε βάσεις τις πλευρές του τριγώνου. Να αποδειχθεί ότι τα τµήµατα,, είναι πλευρές τριγώνου. πόδειξη: πειδή τα διανύσµατα,, δεν είναι συγγραµµικά αρκεί να αποδείξουµε ότι + + = 0. πειδή το τρίγωνο είναι ισοσκελές, η κορυφή βρίσκεται στη µεσοκάθετη της πλευράς. Έστω = λ = λ π π λ = λ = µ όπου µ = Άρα: = + ή π = + µ Όµοια (βλ. σχήµα) είναι: π = + µ π = + µ Ο αριθµός µ είναι και για τις τρεις σχέσεις ο ίδιος λόγω της οµοιότητας των τριγώνων, και Με πρόσθεση κατά µέλη βρίσκουµε: π + + = ( + + ) + µ (+ + ) (1) Όµως: + + = (+ ) + ( + ) + ( + ) = 0 Άρα η (1) γίνεται: + + = 0 που σηµαίνει ότι τα τµήµατα,, είναι πλευρές τριγώνου. 4) ξωτερικά τετραπλεύρου κατασκευάζουµε τα τετράγωνα του σχήµατος. ν Κ, Λ, Μ, Ρ είναι τα κέντρα των τετραγώνων αυτών να αποδειχθεί ότι τα τµήµατα ΚΜ και ΛΡ είναι ίσα και κάθετα. πόδειξη: Σελ. 5
6 Κυριακή ΜΘΗΜΤΙΚΗ ΟΜ ΘΣΣΛΟΝΙΚΗΣ π ρκεί να αποδείξουµε ότι: ΡΛ ΚΜ = ή π ισοδύναµα ότι: ΡΛ = ΚΜ Πράγµατι, είναι: ΡΛ = ΡΛ + ΡΛ = (Ρ+ Μ+ Μ+ Λ) + (Ρ+ Κ+ Κ+ Λ) π Άρα: ΡΛ = π π π π (Ρ + Μ + Μ + Λ ) + π π π π (Ρ + Κ + Κ + Λ ) (1) Στη σχέση αυτή, όπου κάποιο διάνυσµα της µορφής Σ Τ Ρ Ι Μ Π Κ π α δεν είναι διάνυσµα του Η Λ Θ σχήµατος, γράφουµε το διάνυσµα α ως β π, ώστε το διάνυσµα β να είναι διάνυσµα του σχήµατος. ντικαθιστούµε τα διανύσµατα που είναι πιο µακριά από το µε άλλα που είναι πιο κοντά στο προσπαθώντας να δηµιουργήσουµε το διάνυσµα ΚΜ. ίναι λοιπόν: π Ρ ΡΤ Ρ = = π π Μ = Μ = Μ = Μ π Μ ΜΠ Μ = = π π Λ = Λ = Λ = Λ π Ρ Ρ = π π Κ = Κ = Κ = Κ π Κ Κ = π π Λ = Λ = ΛΘ = Λ ποµένως η (1) γίνεται: π ΡΛ = (Ρ+ Μ+ Μ+ Λ) + (Ρ+ Κ+ Κ+ Λ) = (Κ+ Λ+ Λ+ Μ) + (Κ+ Ρ+ Ρ+ Μ) = ΚΜ + ΚΜ = ΚΜ και η πρόταση αποδείχθηκε. Σελ. 6
7 Νικ. Ιωσηφίδης: ΣΤΡΟΦΗ ΙΝΥΣΜΤΟΣ πό την παραπάνω απόδειξη προκύπτει ότι δεν είναι απαραίτητο να είναι το τετράπλευρο κυρτό. Η ίδια πρόταση ισχύει και σε µη κυρτό τετράπλευρο. πίσης µε όµοια απόδειξη προκύπτει ότι η πρόταση ισχύει και στην περίπτωση που τα τετράγωνα κατασκευάζονται προς το εσωτερικό του τετραπλεύρου. 5) ξωτερικά τριγώνου κατασκευάζουµε τα τετράγωνα, Η και ΙΘ. ν Κ, Λ, Μ είναι τα κέντρα των τετραγώνων αυτών αντίστοιχα, να αποδειχθεί ότι τα τµήµατα Κ και ΛΜ είναι ίσα και κάθετα. 1 Η πρόταση αυτή µπορεί να θεωρηθεί ειδική περίπτωση της προηγούµενης πρότασης θεωρώντας ότι οι κορυφές και του τετραπλεύρου ταυτίζονται. Μπορεί όµως να αποδειχθεί µε τον ίδιο τρόπο µε την προηγούµενη άσκηση. Ι Θ Μ Η Λ Κ 6) ξωτερικά του τριγώνου κατασκευάζουµε τα τετράγωνα και Η µε κέντρα Κ και Λ αντίστοιχα. ν Μ είναι το µέσο της πλευράς να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο ΚΛΜ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. πόδειξη: π ρκεί να δειχθεί ότι ΜΛ ΜΚ = Πράγµατι: π π 1 π ΜΛ = (Λ Μ) = (Λ (+ )) = π 1 π 1 π Λ (1) ίναι: π π 1 Λ = Λ = Λ = Λ = Η π π = = = π Η = Η (1) εποµένως γίνεται: Μ 1 Η άσκηση αυτή προτείνεται στο περιοδικό ΠΟΛΛΩΝΙΟΣ του Παραρτήµατος της Μ Ηµαθίας στο 6 ο τεύχος. ίναι η άσκηση 8 στη σελ Κ Η Λ Σελ. 7
8 Κυριακή ΜΘΗΜΤΙΚΗ ΟΜ ΘΣΣΛΟΝΙΚΗΣ π ΜΛ = Η + Η = (Η + ( Η)) = (Η + Η) = 1 = ΜΚ διότι τα Μ και Κ είναι τα µέσα των πλευρών και του τριγώνου. Η τελευταία σχέση αποδεικνύει το ζητούµενο. 7) ξωτερικά των πλευρών τριγώνου κατασκευάζουµε τα τετράγωνα και Η. ν Μ είναι το µέσο του τµήµατος, να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο Μ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. πόδειξη: ρκεί να αποδείξουµε ότι: π Μ Μ = Πράγµατι: π π 1 π Μ = Μ = ( + ) = Μ 1 π ( ) = 1 π π π π ( ) = 1 ( + + Η + ) = 1 1 ( + + ) = ( + ) = 1 = (Μ) = Μ = Μ Η 8) Ισόπλευρο τρίγωνο είναι εγγεγραµµένο σε κύκλο. ν Μ είναι σηµείο του κυρτογώνιου τόξου, να αποδειχθεί ότι Μ= Μ+ Μ πόδειξη: Μια σύντοµη γεωµετρική απόδειξη της µπορεί να γίνει εύκολα µε το θεώρηµα του Πτολεµαίου. Μια άλλη απόδειξη µπορεί να γίνει παίρνοντας πάνω στη Μ τµήµα Μ= Μ και αποδεικνύοντας ότι = Μ. ίνουµε εδώ µια απόδειξη µε τη βοήθεια της στροφής διανύσµατος. π π Τα διανύσµατα Μ ( ) και Μ είναι οµόρροπα µε το Μ διότι = = π Μ Μ ρκεί λοιπόν να αποδείξουµε ότι: π π Μ ( ) + Μ = Μ Πράγµατι: Μ Σελ. 8
9 Νικ. Ιωσηφίδης: ΣΤΡΟΦΗ ΙΝΥΣΜΤΟΣ π π π π Μ ( ) = (Μ + ) ( ) = Μ ( ) + ( ) = π π π Μ ( ) ( ) = Μ ( ) και π π π π π π π Μ = (Μ + ) = Μ + = Μ = Μ Άρα: π π π π π π Μ ( ) + Μ = Μ ( ) + Μ = Μ ( ) + Μ = π (συν )Μ= Μ και η πρόταση αποδείχθηκε. 9) ίνεται κανονικό πολύγωνο 1 ν µε κέντρο Ο. Να αποδειχθεί ότι: Ο + Ο + + Ο = 0 1 ν πόδειξη: Στην περίπτωση που ν = άρτιος, η απόδειξη είναι πολύ απλή, επειδή τα διανύσµατα Ο 1,Ο,,Ον είναι ανά δύο αντίθετα. Πιο δύσκολη είναι η απόδειξη όταν ν = περιττός. ίνουµε εδώ µια απόδειξη µε τη βοήθεια της στροφής διανύσµατος που δεν χρειάζεται τη διάκριση των περιπτώσεων ν = άρτιος ή ν = περιττός. Έστω θ η κεντρική γωνία του πολυγώνου. Ονοµάζουµε α = Ο1 + Ο + + Ον ποµένως: α θ = (Ο1 + Ο + + Ο ν ) θ = Ο1 θ + Ο θ + + Ον θ = Ο + Ο + Ον + Ο1 = α ηλαδή α θ= α, άρα α= 0 ν Ο ) ίνονται κατά σειρά τα σηµεία,,,,, ενός κύκλου τέτοια ώστε 0 = = = 60. ν Κ, Λ, Μ είναι τα µέσα των χορδών, και να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο ΚΛΜ είναι ισόπλευρο. πόδειξη: Τονίζουµε ότι η διάταξη των σηµείων,,,,, πάνω στον κύκλο δεν είναι υποχρεωτικά αυτή του σχήµατος (της εκφώνησης). Η απόδειξη που ακολουθεί δεν χρειάζεται την διάταξη αυτή και είναι σωστή µε οποιαδήποτε διάταξη των σηµείων,,,,, πάνω στον κύκλο. Μπορείτε να δείτε διάφορες γεωµετρικές λύσεις στα τεύχη του ΠΟΛΛΩΝΙΟΥ Σελ. 9
10 Κυριακή ΜΘΗΜΤΙΚΗ ΟΜ ΘΣΣΛΟΝΙΚΗΣ Μια λύση µε στροφή διανύσµατος µπορείτε επίσης να βρείτε στο τεύχος 1, σελ. 70 από τον Νίκο εργιαδέ. Μπορείτε να δείτε ακόµη γεωµετρικές αποδείξεις: Στο τεύχος 1, σελ. 7 από τον γράφοντα. Στο τεύχος, σελ. 11 από τον Ν. Κυριαζή Στο τεύχος, σελ. 116 από τον Θ. Χρυσοστοµίδη δώ θα δώσουµε µια διαφορετική λύση µε στροφή διανύσµατος που στηρίζεται στην ιδιότητα α θ + α ( θ) = (συνθ)α (1) ρκεί να αποδείξουµε ότι: π ΛΜ ΛΚ = Θα εκφράσουµε το ΛΜ ως γραµµικό συνδυασµό των Ο, Ο, Ο, Ο, Ο, Ο. π Κατόπιν θα αντικαταστήσουµε τα διανύσµατα της µορφής α που θα προκύψουν µε διανύσµατα του σχήµατος. ν κάποιο διάνυσµα από αυτά δεν είναι διάνυσµα του σχήµατος, θα χρησιµοποιήσουµε τη σχέση (1) ώστε το διάνυσµα της µορφής π α ( ) που θα προκύψει να είναι διάνυσµα του σχήµατος. Έχουµε λοιπόν: π π ΛΜ = (ΟΜ ΟΛ) = π 60 π Ο Λ ΟΜ ΟΛ = 1 π 1 π (Ο + Ο) (Ο + Ο) = 1 π π π π Ο 60 Ο (Ο + Ο Ο Ο ) Μ (1) Όµως: π Ο Ο = Κ π π π 60 Ο = (συν )Ο Ο ( ) = Ο Ο Ο π π π Ο = (συν )Ο Ο ( ) = Ο Ο π Ο Ο = Η (1) λοιπόν γίνεται: π ΛΜ (Ο Ο Ο Ο Ο Ο) = + + = 1 1 (Ο+ Ο) (Ο + Ο) = ΟΚ ΟΛ = ΛΚ π Η σχέση ΛΜ ΛΚ = αποδεικνύει ότι το τρίγωνο ΚΛΜ είναι ισόπλευρο. Σελ. 10
ΣΗΜΕΙΑΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ. ΜΕΡΟΣ 1 ο
ΣΜΙΚΣ ΠΡΞΙΣ. ΜΡΟΣ 1 ο ΜΙ Ν ΜΘΟΟΣ ΠΟΙΞΣ ΩΜΤΡΙΚΩΝ ΠΡΟΤΣΩΝ Νίκος Ιωσηφίδης, Μαθηµατικός Φροντιστής, έροια e-mail: iossifid@yahoo.gr ΠΡΙΛΨ ΣΚΟΠΟΣ Στην παρούσα εργασία εισάγεται µια νέα έννοια ΣΜΙΚ ΠΡΞ. Σκοπός
Διαβάστε περισσότεραΓενικές ασκήσεις 6 ου Κεφαλαίου σελίδας 140
ενικές ασκήσεις 6 ου Κεφαλαίου σελίδας 40. ίνεται τρίγωνο ορθογώνιο στο. πό τα άκρα, της υποτείνουσας φέρουµε κάθετες x και y στη και προς το ίδιο µέρος της. πό το µέσο Μ της φέρουµε κάθετη στην, που τέµνει
Διαβάστε περισσότεραΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;
ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία τριγώνου Κύρια στοιχεία : Πλευρές και γωνίες ευτερεύοντα στοιχεία : ιάµεσος, διχοτόµος, ύψος
3. 3.9 ΘΕΩΡΙ. Στοιχεία τριγώνου Κύρια στοιχεία : Πλευρές και γωνίες ευτερεύοντα στοιχεία : ιάµεσος, διχοτόµος, ύψος 2. Είδη τριγώνων Ως προς τις πλευρές : Σκαληνό, ισοσκελές, ισόπλευρο. Ως προς τις γωνίες
Διαβάστε περισσότερα(1) (2) A ΑE Α = AΒ (ΑΒΕ) (Α Ε)
9. Τα τρίγωνα και έχουν κοινή γωνία, άρα: () () A E AB A E A (1) Όµοια τα τρίγωνα και, άρα: () () A E AB A A () E Όµως από το θεώρηµα του Θαλή: A A () ( // ) () () πό (1), (), () έχουµε. () () Άρα () ()
Διαβάστε περισσότερα4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης
4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 3. ίνεται τετράγωνο µε κέντρο Ο και Μ το µέσο του. Η Μ τέµνει την στο. είξτε ότι = Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές i ΟΜ = 4 Τα ορθογώνια τρίγωνα Μ και Μ έχουν Μ =
Διαβάστε περισσότερα1.1 Η Έννοια του Διανύσματος
ΙΝΥΣΜΤΙΚΟΟΙΣΜΟΣ 11 Η Έννοια του ιανύσματος ΜΘΗΣΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ: Ο µαθητής ϖρέϖει: να κατανοήσει τις έννοιες : διάνυσµα, µηδενικό διάνυσµα, φορέας-διεύθυνση, κατεύθυνση - φορά, µέτρο διανύσµατος, ϖαραλληλία
Διαβάστε περισσότερα2 η εκάδα θεµάτων επανάληψης
η εκάδα θεµάτων επανάληψης. Έστω τρίγωνο µε + Ένα πρόχειρο σχήµα είναι το διπλανό
Διαβάστε περισσότερα6.5 6.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης
6.5 6.6 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 34 ρωτήσεις Κατανόησης. Σε ένα εγγεγραµµένο τετράπλευρο i) Τα αθροίσµατα των απέναντι γωνιών του είναι ίσα Σ Λ ii) Κάθε πλευρά φαίνεται από τις απέναντι κορυφές
Διαβάστε περισσότερα6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών
6. 6.4 ΘΩΡΙ. γγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο Το µέτρο της επίκεντρης ισούται µε το µέτρο του αντίστοιχου τόξου. Η εγγεγραµµένη ισούται µε το µισό της αντίστοιχης επίκεντρης. Η εγγεγραµµένη
Διαβάστε περισσότερα5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας
5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρηµα Κάθε ευθεία έχει εξίσωση της µορφής: Ax + By +Γ= 0, µε Α 0 ηβ 0 () και αντιστρόφως κάθε εξίσωση της µορφής () παριστάνει ευθεία γραµµή.
Διαβάστε περισσότερα4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης
4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 3. ίνεται τετράγωνο µε κέντρο Ο και το µέσο του. Η τέµνει την στο. είξτε ότι = Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές i Ο = 4 Τα ορθογώνια τρίγωνα και έχουν = και = άρα είναι
Διαβάστε περισσότεραΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1 Θέµα: Τα διανύσµατα ❶ ❷ ❸ ❹ ❺ Η έννοια του διανύσµατος Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσµάτων Πολλαπλασιασµός αριθµού µε διάνυσµα Συντεταγµένες
Διαβάστε περισσότερα1.2 ΛΟΓΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ
1 1. ΛΟΟΣ ΥΘΥΡΜΜΩΝ ΤΜΗΜΤΩΝ ΘΩΡΙ 1. Παραλληλία και ισότητα ν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ορίζουν ίσα ευθύγραµµα τµήµατα σε µία ευθεία τότε θα ορίζουν ίσα ευθύγραµµα τµήµατα και σε οποιαδήποτε άλλη ευθεία
Διαβάστε περισσότερα11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο
Παραουσίαση βιβλίου αθηµατικών Προσαναταλισµού Β Λυκείου. Η έννοια του διανύσµατος. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβλίου
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις ανάπτυξης. β) Το Ε ΑΒΓ = 3Ε ΒΟΓ = 3 ΒΓ ΟΗ = = 2. Η κεντρική γωνία ω του κανονικού ν-γώνου δίδεται από τον τύπο:
ρωτήσεις ανάπτυξης. α) πό το ορθογώνιο τρίγωνο, έχουµε: - () λλά R, R, αφού η γωνία 0. () γίνεται: (R) - R R - R R Άρα R cm H πλευρά α του ισοπλεύρου τριγώνου είναι α 6 cm. β) Το 6 7 cm. B A H O. κεντρική
Διαβάστε περισσότερα3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης
η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. Έστω η υπερβολή x y. Να βρείτε Tις ασύµπτωτες και την εκκεντρότητα της υπερβολής. i Tις εφαπτόµενες της υπερβολής που είναι παράλληλες στην ευθεία (ε) : x + y + 0 ii Tο εµβαδόν
Διαβάστε περισσότερα1 η εκάδα θεµάτων επανάληψης
η εκάδα θεµάτων επανάληψης. ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο µε υποτείνουσα την και ɵ = 30 ο. Έστω διάµεσος του και, Ζ, Η τα µέσα των, και αντίστοιχα. Στην προέκταση του Ζ παίρνουµε τµήµα ΖΚ= Ζ. Να δείξετε ότι
Διαβάστε περισσότερα4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης
1 4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1. Έστω τα διανύσµατα u = ( 6, 8) και v = (9, 1) είξτε ότι είναι αντίρροπα Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης που έχει ηµιάξονες τα µέτρα των διανυσµάτων, κέντρο την αρχή
Διαβάστε περισσότεραv Α. Τι ονοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων, β
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o α Α Τι ονοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων, β Μονάδες 4 Β Να αποδείξετε ότι το εσωτερικό γινόµενο
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ o Α. Τι ονοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων α, β. Μονάδες 4 Β. Να αποδείξετε ότι το εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας Γενικές ασκήσεις (3) (4)
σκήσεις σχ. ιβλίου σελίδας 5 5 ενικές ασκήσεις. ανονικό εξάγωνο ΕΖ είναι εγγεγραµµένο σε κύκλο (Ο, ) και έστω, Λ,, Ν, Ρ, Σ τα µέσα των πλευρών του. Να αποδείξετε ότι το ΛΝΡΣ είναι κανονικό εξάγωνο µε κέντρο
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις ανάπτυξης. 1. Τα σηµεία Β και Γ είναι σηµεία του επιπέδου p, η ΒΓ είναι ευθεία του p. Η ΒΓ τέµνει την ΑΜ στον
Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. Τα σηµεία και είναι σηµεία του επιπέδου, η είναι ευθεία του. Η τέµνει την Μ στον Μ Ν Ν. Το Ν σαν σηµείο της ανήκει στο, άρα και το Μ σαν σηµείο της Ν ανήκει στο. B. Έστω ε µια ευθεία
Διαβάστε περισσότεραΣΩΣΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ
ΣΩΣΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΕΟΜΕΝΩΝ Νικ. Ιωσηφίδης, Μαθηµατικός Φροντιστής, ΕΡΟΙ e-mail: iossifid@yahoo.gr Στην εισήγηση αυτή θα παρουσιάσουµε τους τρόπους µε τους οποίους πρέπει να χρησιµοποιούµε τα δεδοµένα ενός
Διαβάστε περισσότερα2.5 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ
1 5 ΝΝΟΙ ΤΟΥ ΙΝΥΣΜΤΟΣ ΩΡΙ αθµωτά ή µονόµετρα µεγέθη : ίναι τα µεγέθη τα οποία προσδιορίζονται πλήρως αν δοθεί µόνο το µέτρο τους και η µονάδα µέτρησης πχ η θερµοκρασία, η µάζα, το µήκος κλπ ιανυσµατικά
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10
ΥΣΙΣ ΙΑΩΝΙΣΜΑ ΩΜΤΡΙΑ Α ΥΚΙΟΥ ΘΜΑ ο 08/04/0 Α. Να αποδείξετε ότι η διάµεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουµε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση µε το µισό της υποτείνουσας. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ.09
Διαβάστε περισσότερα1.5. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Oµάδας ( )
.5 Ασκήσεις σχολικού ιλίου σελίδας 47 50 A Oµάδας. Αν α (, 3) και (, 5), τότε Να ρείτε τα εσωτερικά γινόµενα α, (α ).(-3 ) και (α ). (3α + ) Να ρείτε τη σχέση που συνδέει τους κ, λ R, ώστε το εσωτερικό
Διαβάστε περισσότεραΟι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες.
ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» ΤΑΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ 1. Μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ονομάζεται η ευθεία που είναι κάθετη
Διαβάστε περισσότερα9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα
Διαβάστε περισσότερα5 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης
1 5 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1. Σε κύκλο (Ο, R) προεκτείνουµε µία διάµετρο του εκατέρωθεν των και και στις προεκτάσεις παίρνουµε τµήµατα = = R. Έστω ΕΜ τέµνουσα του κύκλου τέτοια ώστε Μ = R 7 Να αποδείξετε
Διαβάστε περισσότερα2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης
1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 11. Σε κάθε τρίγωνο να αποδείξετε ότι το τετράγωνο µιας πλευράς που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία, ισούται µε το άθροισµα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών ελαττωµένο
Διαβάστε περισσότερα1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1.
1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1. Διανύσματα Ισότητα διανυσμάτων Πρόσθεση διανυσμάτων Ερωτήσεις 1. Τ ι ονομάζουμε διάνυσμα;. Τι λέμε μέτρο ενός διανύσματος ;. Τι λέμε μηδενικό διάνυσμα; 4. Τι λέμε φορέα διανύσματος;
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις κατανόησης
0. 0.3 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 7 8 Ερωτήσεις κατανόησης. Να γράψετε τους τύπους υπολογισµού του εµβαδού Τετραγώνου Ορθογωνίου i Παραλληλογράµµου iν) Τριγώνου ν) Τραπεζίου πάντηση Ε = α Ε = α β
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ
ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις κατανόησης σελίδας 114. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Στα παρακάτω τραπέζια να βρείτε τα x, ψ ω, και θ
5.0 5. σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 4 5 ρωτήσεις κατανόησης σελίδας 4. Στα παρακάτω τραπέζια να βρείτε τα x, ψ ω, και θ 3 3 (α) x 0 ψ 4 (β) x ψ 7 (γ) x (δ) θ x+ 3x ω 0 ο πάντηση + 0 Στο σχήµα (α) το
Διαβάστε περισσότεραΟνοµάζουµε παραβολή µε εστία σηµείο Ε και διευθετούσα ευθεία (δ) το γεωµετρικό τόπο των σηµείων του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από το Ε και τη (δ)
3. Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµε παραβολή µε εστία σηµείο Ε και διευθετούσα ευθεία (δ) το γεωµετρικό τόπο των σηµείων του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από το Ε και τη (δ). Εξίσωση παραβολής p, όπου
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις Κατανόησης. Αντιστοιχίστε κάθε µέγεθος της στήλης Α µε την τιµή του στην στήλη Β
1 11.6 11.8 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 50 51 Ερωτήσεις Κατανόησης 1. ντιστοιχίστε κάθε µέγεθος της στήλης µε την τιµή του στην στήλη Στήλη Στήλη Εµβαδόν κυκλικού δίσκου ακτίνας Εµβαδόν κυκλικού τοµέα
Διαβάστε περισσότερα2.3. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. Να βρείτε τα µέτρα των µιγαδικών : 1 + i, 1 i, 3 + 4i, 3 4i, 5i, 4, 1 i, 1 i.
.3 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 00-0 A Οµάδας. Να βρείτε τα µέτρα των µιγαδικών : +,, 3 +, 3, 5,, ( ) ( + ), ( ) ( + ), και +, 3+ 3 + + + ( ) 3+ 3 3 + 5 5 3 + ( ) 5 5 5 5 5. 5 + + (οι +, είναι συζυγείς,
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ΠΑΡΑΛΛΗΛOΓΡΑΜΜΑ - ΤΡΑΠΕΖΙΑ. Εισαγωγή
ΚΦΛΙΟ 5ο ΠΡΛΛΗΛOΡΜΜ - ΤΡΠΙ ισαγωγή. Τι καλείται τετράπλευρο ; Πόσες διαγώνιες έχει ένα κυρτό τετράπλευρο ; Τι καλείται παραλληλόγραμμο και τι τραπέζιο ; Το ευθύγραμμο σχήμα που έχει τέσσερις πλευρές λέγεται
Διαβάστε περισσότερα1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ
.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο των διανυσµάτων α, και συµολίζουµε µε α τον πραγµατικό αριθµό : α = ( α συν α ) αν α και α = αν α = ή =. Ιδιότητες α = α Αν α τότε Αν
Διαβάστε περισσότεραΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ
ΕΝΝΟΙ ΤΟΥ ΙΝΥΣΜΤΟΣ Όπως είναι γνωστό από τη φυσική, τα διάφορα µεγέθη διακρίνονται σε βαθµωτά και διανυσµατικά. αθµωτά είναι τα µεγέθη τα οποία χαρακτηρίζονται µόνο από το µέτρο τους. Τέτοια µεγέθη είναι
Διαβάστε περισσότερα8.1 8.2. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 177 179
8. 8. σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 77 79 ρωτήσεις Κατανόησης. i) ν δύο τρίγωνα είναι ίσα τότε είναι όµοια; ii) ν δύο τρίγωνα είναι όµοια προς τρίτο τότε είναι µεταξύ τους όµοια πάντηση i) Προφανώς
Διαβάστε περισσότερα1. Οµόλογες πλευρές : Στα όµοια τρίγωνα οι οµόλογες πλευρές βρίσκονται απέναντι από τις ίσες γωνίες και αντίστροφα.
1 1.5. ΟΜΟΙ ΤΡΙΩΝ ΘΩΡΙ 1. Όµοια τρίγωνα : ια τα όµοια τρίγωνα ισχύουν όλα όσα αναφέραµε στα όµοια πολύγωνα. 2. ποκλειστικά για τα τρίγωνα : ύο τρίγωνα είναι όµοια όταν έχουν δύο γωνίες ίσες ΣΧΟΛΙ 1. Οµόλογες
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας
5. 5.5 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 0 04 ρωτήσεις Κατανόησης. Ποια από τα παρακάτω τετράπλευρα είναι Ορθογώνια, ρόµβοι, i τετράγωνα, ποια όχι και γιατί; (α) 5 (β) 5 (γ) (δ) (ε) (ζ) φ 5 φ 5 φ φ (η)
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας Γενικές ασκήσεις 5 ου Κεφαλαίου (1) (2) (1)
σκήσεις σχ. ιβλίου σελίδας 6 7 ενικές ασκήσεις 5 ου Κεφαλαίου. ίνεται τρίγωνο (β γ) µε Â = 60 ο, τα ύψη του, και τα µέσα Μ, Ν των, αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι Μ = Ν. Τρ. ορθογώνιο µε Â = 60 ο M N ˆB
Διαβάστε περισσότερα10.5. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις κατανόησης. ΑΒΓ =λ. ύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ έχουν υ β = υ β και =. β ποιος είναι ο λόγος β
0.5 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 4 5 ρωτήσεις κατανόησης. ( ) ύο τρίγωνα και έχουν υ β = υ β και =. ( ) β ποιος είναι ο λόγος β : : : 9 : 4 5 4 4 9 Κυκλώστε το γράµµα της σωστής απάντησης και αιτιολογήστε
Διαβάστε περισσότερα2.3 ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ
1 3 ΜΕΣΚΘΕΤΣ ΕΥΘΥΡΜΜΥ ΤΜΗΜΤΣ ΘΕΩΡΙ Μεσοκάθετος ευθυγράµµου τµήµατος Λέγεται η ευθεία που διέρχεται από το µέσο του ευθυγράµµου τµήµατος και είναι κάθετη σ αυτό. Ιδιότητα : Κάθε σηµείο της µεσοκαθέτου ενός
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Συµπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: 1) Ο κύκλος µε κέντρο Κ(α, β) και ακτίνα ρ > έχει εξίσωση... ) Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο στην αρχή
Διαβάστε περισσότεραΠαρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ
Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά
Διαβάστε περισσότεραΑ. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ
8 Παραβολή Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισµός Παραβολή είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων Μ του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από µια σταθερή ευθεία (δ) που λέγεται διευθετούσα της παραβολής και από
Διαβάστε περισσότερα15 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ
εωμετρία α λυκείου ξιοσημείωτα σημεία τριγώνου 5 ΣΚΗΣΙΣ ΣΤ ΞΙΟΣΗΙΩΤ ΣΗΙ ΤΡΙΩΝΟΥ )ίνεται τρίγωνο µε = 45 και B = 75. ν µέσο της φέρουµε από το κάθετη στη διχοτόµο της γωνίας που τέµνει την στο. Στην παίρνουµε
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΠΝΠΤΙΣ ΣΣΙΣ > 90. 1. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο µε = και 0 πό την κορυφή φέρνουµε τις ηµιευθείες x κάθετη στην πλευρά και y κάθετη στην πλευρά που τέµνουν την στα σηµεία και αντίστοιχα. Να αποδείξετε α)
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
ΜΕΡΟΣ ΚΕΦΛΙΟ 1 Ο ΕΩΜΕΤΡΙ 1.1 ΙΣΟΤΗΤ ΤΡΙΩΝΩΝ 1. Ποια ονομάζονται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνων; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου ονομάζουμε τις πλευρές και τις γωνίες του. Δευτερεύοντα στοιχεία
Διαβάστε περισσότεραΒ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ
1ο κεφάλαιο: Διανύσματα Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Μαθηµατικά Προσανατολισµού Β Λυκείου Αποστόλου Γιώργος Μαθηµατικός Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος
Διαβάστε περισσότεραΣχόλιο. Παρατηρήσεις. Παρατηρήσεις. p q p. , p1 p2
A. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Στα Μαθηµατικά χρησιµοποιούµε προτάσεις οι οποίες µπορούν να χαρακτηριστούν ως αληθείς (α) ή ψευδείς (ψ). Τις προτάσεις συµβολίζουµε µε τα τελευταία µικρά γράµµατα του Λατινικού αλφαβήτου:
Διαβάστε περισσότερα5.6 5.9. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 110 112. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογίσετε τα x και ψ. Απάντηση Στο σχήµα (α) :
5.6 5.9 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 0 ρωτήσεις Κατανόησης. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογίσετε τα x και ψ (α ) ( β ) A x x, 5 ( γ) ψ x +, 5 x, 5 ε ε ε ε 4 δ δ ε ε B ε ε 4 (δ ) ψ ψ x 60 o 4 (ε) B 5
Διαβάστε περισσότερα3.3 ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ
1 3 ΠΛΛΗΛΟΜΜΟ ΟΘΟΩΝΙΟ ΤΤΩΝΟ ΟΜΟΣ ΤΠΙΟ ΙΣΟΣΛΣ ΤΠΙΟ ΘΩΙ Παραλληλόγραµµο Λέγεται το τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές παράλληλες. ( // και // ) άσεις και ύψη στο παραλληλόγραµµο άθε πλευρά του µπορεί
Διαβάστε περισσότερα: :
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 361653-3617784 - Fax: 364105 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou
Διαβάστε περισσότερα2.2 ΗΜΙΤΟΝΟ ΚΑΙ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟ ΟΞΕΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ
1 2.2 ΗΜΙΤΟΝΟ ΚΙ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟ ΟΞΕΙΣ ΩΝΙΣ ΘΕΩΡΙ 1. Ηµίτονο οξείας γνίας : Έστ ένα ορθογώνιο τρίγνο και µία από τις οξείες γνίες του. Ονοµάζουµε ηµίτονο της γνίας και συµβολίζουµε µε ηµ, το λόγο της απέναντι
Διαβάστε περισσότεραΑπέναντι πλευρές παράλληλες
5. 5.5 ΘΩΡΙ. Παραλληλόγραµµο πέναντι πλευρές παράλληλες. Ιδιότητες παραλληλογράµµου πέναντι πλευρές ίσες πέναντι γωνίες ίσες Οι διαγώνιοι διχοτοµούνται Το σηµείο τοµής των διαγωνίων είναι κέντρο συµµετρίας
Διαβάστε περισσότεραΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ
ΣΧΣΗ ΘΩΡΗΜΤΩΝ ΘΛΗ ΚΙ ΠΥΘΟΡ ισαγωγή ηµήτρης Ι Μπουνάκης dimitrmp@schgr Οι δυο µεγάλοι Έλληνες προσωκρατικοί φιλόσοφοι, Θαλής (περίπου 630-543 πχ) και Πυθαγόρας (580-500 πχ) άφησαν, εκτός των άλλων, στην
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις Κατανόησης. Ποια από τα παρακάτω τετράπλευρα είναι παραλληλόγραµµα ποια όχι και γιατί;
5. 5.2 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 99 00 ρωτήσεις ατανόησης. Ποια από τα παρακάτω τετράπλευρα είναι παραλληλόγραµµα ποια όχι και γιατί; 3 Π 5 4 Π 2 5 5 Ο 3 4 Ο 4 Π 3 Ν 3 3 Μ 3,5 3,5 Λ Ρ φ Π 4 φ ω
Διαβάστε περισσότερα2.6 ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ
ΜΕΡΟΣ 2.6 ΘΡΟΙΣΜ ΚΙ ΙΦΟΡ ΙΝΥΣΜΤΩΝ 293 2.6 ΘΡΟΙΣΜ ΚΙ ΙΦΟΡ ΙΝΥΣΜΤΩΝ Άθροισμα διανυσμάτων Το άθροισμα διανυσμάτων ρίσκεται με δύο τρόπους. Η μέθοδος του πολυγώνου Μεταφέρουμε τα διανύσµατα που χρειάζεται
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας
1 7.8 7.9 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 162 163 ρωτήσεις Κατανόησης 1. Να εξηγήσετε γιατί τα ίχνη, της εσωτερικής και εξωτερικής διχοτόμου της γωνίας τριγώνου είναι συζυγή αρμονικά των και. πάντηση
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης
Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης Αναλυτική θεωρία Λυμένα παραδείγματα Ερωτήσεις κατανόησης Ασκήσεις Επαναληπτικά διαγωνίσματα ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο ο : Διανύσματα Ενότητα I: Η έννοια
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς
Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς 2.1 Η έννοια του διανύσματος Ο τρόπος που παριστάνομε τα διανυσματικά μεγέθη είναι με τη μαθηματική έννοια του διανύσματος. Διάνυσμα δεν είναι τίποτε
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις ανάπτυξης. (ΑΒΓ) = 4 ( ΕΖ) ή ( ΕΖ) = (ΑΒΓ) Θα δείξουµε ότι (ΑΒΓ ) = ΑΓ. Πράγµατι είναι: (Α Γ) = (ΑΒΓ) = Εποµένως (Α Γ) + (ΑΒΓ) =
Ερωτήσεις ανάπτυξης. α) Επειδή τα Ζ,, Ε είναι µέσα των πλευρών τριγώνου είναι Ζ // Ε και Ε // Ζ. Άρα το τετράπλευρο Ζ Ε είναι παραλληλόγραµµο. Η διαγώνιος ΖΕ του παραλληλογράµµου το χωρίζει σε δύο ισοδύναµα
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας ου Κεφαλαίου. Γενικές
1 σκήσεις σχ. ιβίου σείδας 7 8 ενικές 10 ου Κεφααίου 1. Θεωρούµε τρίωνο και ευθεία ε, που τέµνει τις πευρές και στα και Ε αντίστοιχα.. Να αποδείξετε ότι: (Ε) (Ε) (Ε) () i (BAE) + () () µε την επί πέον
Διαβάστε περισσότερα3.4 Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟΥ
1 3.4 ΙΙΤΗΤΕΣ ΠΡΛΛΗΛΡΜΜΥ ΡΘΩΝΙΥ ΡΜΥ ΤΕΤΡΩΝΥ ΤΡΠΕΖΙΥ ΙΣΣΚΕΛΥΣ ΤΡΠΕΖΙΥ ΘΕΩΡΙ 1. Ιδιότητες παραλληλογράµµου Το σηµείο τοµής των διαγωνίων του είναι κέντρο συµµετρίας (Το κέντρο συµµετρίας) ι διαγώνιες διχοτοµούνται,
Διαβάστε περισσότεραΦΑΣΜΑ GROUP προπαρασκευή για Α.Ε.Ι. & Τ.Ε.Ι.
Σύγχρονο www.fasma.fro.gr ΦΑΣΜΑ GROUP προπαρασκευή για Α.Ε.Ι. & Τ.Ε.Ι. Μαθητικό Φροντιστήριο Κατά το πέρας της εξέτασης οι λύσεις θα αναρτηθούν στο και στο site του φροντιστηρίου. 5ης Μαρτίου 111 ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗ
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Επιμέλεια: Άλκης Τζελέπης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΝΝΟΙΑ - ΠΡΑΞΕΙΣ. Αν τα διανύσματα,, σχηματίζουν τρίγωνο, να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Επιμέλεια: ιώργος Ράπτης ΘΕΤ ΣΤΗΝ ΕΩΕΤΡΙ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕ 1 ο. Να αποδείξετε ότι το εμβαδό τραπεζίου με βάσεις 1, και ύψος υ δίνεται από τον τύπο: ( 1+ ) υ Ε= ονάδες 1 B. ν φν, λν και αν είναι: η γωνία, η πλευρά
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία
Διαβάστε περισσότεραΚΕΝΤΡΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΚΕΝΤΡΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Γ Ιωσηφίδης, Μαθηµατικός, Βέροια Ορισµός Ένα σηµείο Κ λέγεται κέντρο συµµετρίας (συντοµογρ ΚΣ) ενός σχήµατος (Σ), αν το συµµετρικό του (Σ) ως προς το Κ ταυτίζεται µε το (Σ)
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α
1 ΣΚΗΣΙΣ ΠΝΛΗΨΗΣ 3 η Κ 1. Στο διπλανό σχήµα το τετράπλευρο παριστάνει µία τετράγωνη πλατεία και τα τετράπλευρα ΚΛΘ και ΗΜΡΖ παριστάνουν δύο κήπους. Η πλευρά του είναι 30m και η απόσταση των ΚΛ και ΡΜ είναι
Διαβάστε περισσότερα3.6 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ
1 3.6 ΕΜΝ ΚΥΚΛΙΚΥ ΤΜΕ ΘΕΩΡΙ 1. Εµβαδόν κυκλικού τοµέα γωνίας µ ο : Ε = πρ. µ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου και π ο γνωστός αριθµός. Εµβαδόν κυκλικού τοµέα γωνίας α rad: Ε = 1 αρ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
Ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΟΡΕΣΤΙΑΔΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Διάνυσμα ορίζεται ένα ευθύγραμμο τμήμα στο οποίο έχει ορισθεί ποια είναι η αρχή, ή σημείο εφαρμογής του
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων
Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Καθηγητές : Νικόλαος Κατσίπης 25 Απριλίου 2014 Στόχος του παρόντος ϕυλλαδίου είναι να αποτελέσει µια αφορµή για επανάληψη πριν τις εξετάσεις. Σας ευχόµαστε καλό διάβασµα και...
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε
Διαβάστε περισσότεραΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ
ΕΝΝΟΙ ΤΟΥ ΙΝΥΣΜΤΟΣ Όπως είναι γνωστό από τη φυσική, τα διάφορα µεγέθη διακρίνονται σε βαθµωτά και διανυσµατικά. αθµωτά είναι τα µεγέθη τα οποία χαρακτηρίζονται µόνο από το µέτρο τους. Τέτοια µεγέθη είναι
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1
ΩΜΤΡΙ ΛΥΚΙΟΥ ΩΜΤΡΙ ΘΜ o ΙΩΝΙΣΜ. Να αποδείξετε ότι : Ι) διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. ΙΙ) ν μια διάμεσος τριγώνου είναι ίση με το μισό
Διαβάστε περισσότερα(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα
Πανεπιστηµιο Ιωαννινων σχολη θετικων επιστηµων τµηµα µαθηµατικων τοµεας αλγεβρας και γεωµετριας αναλυτικη γεωµετρια διδασκων : χρηστος κ. τατακης υποδειξεις λυσεων των θεµατων της 7.06.016 ΘΕΜΑ 1. µονάδες
Διαβάστε περισσότεραΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Θεωρία Αριθµ ών)
ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ( Κεφάλαιο 4ο : Θεωρία Αριθµ ών) Τα κριτήρια αξιολόγησης που ακολουθούν είναι ενδεικτικά. Ο καθηγητής έχει τη δυνατότητα διαµόρφωσής τους σε ενιαία θέµατα, επιλογής
Διαβάστε περισσότεραΜαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κύκλος. Ασκήσεις Κύκλος
Ασκήσεις Κύκλος 1. Να βρείτε αν οι παρακάτω εξισώσεις παριστάνουν κύκλο. Έπειτα να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα τους. i) x 2 + y 2 2x 4y + 1 = 0 (Απ.: (x 1) 2 + (y 2) 2 = 4) x 2 + y 2 2x + 4y + 5 =
Διαβάστε περισσότερα5.10 5.11. 2 η ιδιότητα της διαµέσου. 4. Ορισµός Ισοσκελές τραπέζιο λέγεται το τραπέζιο του οποίου οι µη παράλληλες πλευρές είναι ίσες.
5.0 5. ΘΕΩΡΙ. Ορισµοί Τραπέζιο λέγεται το τετράπλευρο που έχει µόνο δύο πλευρές παράλληλες. άσεις τραπεζίου λέγονται οι παράλληλες πλευρές του. Ύψος τραπεζίου λέγεται η απόσταση των βάσεων. ιάµεσος τραπεζίου
Διαβάστε περισσότεραΟµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Όµοια λέγονται δύο πολύγωνα που έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες. Λόγος οµοιότητας δύο όµοιων πολυγώνων λέγεται ο λόγος δύο
Διαβάστε περισσότερα1.3. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας
. σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 26-29 A Οµάδας. ν α είναι ένα διάνυσµα, τι µπορείτε να πείτε για το µέτρο και την κατεύθυνση του διανύσµατος α = 0 α α ; α = 0 α = α α α = α α = Επειδή α > 0, το διάνυσµα
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα
Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα Θέµα ο A. Αν α, β µη µηδενικά διανύσµατα και ισχύει α+ β + α β =, τότε να δείξετε ότι: i. αβ και ii. Αν α β τότε ισχύει α + β =. 4 4 B. Να βρεθούν οι τιµές του λ ώστε η
Διαβάστε περισσότερα1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ
Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: i. Το ύψος ΑΗ ii. Το ύψος ΒΚ. ** Σε ένα τετράγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ + ΑΓ = +. Να υπολογίσετε:
Διαβάστε περισσότερα5.6 5.9. 1. Θεώρηµα, Ε µέσα των ΑΒ, ΑΓ Ε = //
1 5.6 5.9 ΘΩΡΙ 1., µέσα των, = //. µέσο της και // µέσο της 3. = και ////Ζ = Ζ Ζ. Ο γ. τόπος της µεσοπαράλληλης Έστω ε η µεσοπαράλληλη των ε 1, ε. Τότε ισχύουν : i) άθε σηµείο της ε ισαπέχει από τις ε
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )
Πυθαγόρειο ενικό Λύκειο Σάμου ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό
Διαβάστε περισσότεραΜαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Ευθεία. Ασκήσεις Ευθεία
Ασκήσεις Ευθεία 1. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σηµείο τοµής των ευθειών 3x + 4y 11 = 0 και 2x 3y + 21 = 0 και να γίνει η γραφική της παράσταση όταν είναι: i) παράλληλη στην
Διαβάστε περισσότερα1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης
1 1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1. Α. Έστω α = (x 1, y 1 ) και β = (x, y ) δύο διανύσµατα Να γράψετε την αναλυτική έκφραση του εσωτερικού γινοµένου τους i Αν τα διανύσµατα δεν είναι παράλληλα προς τον
Διαβάστε περισσότερα11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο
Παραουσίαση βιβίου Μαθηµατικών Προσαναταισµού Β Λυκείου. Η έννοια του διανύσµατος. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός ποαπασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβίου
Διαβάστε περισσότεραα) Κύκλος από δύο δοσµένα σηµεία Α, Β. Το ένα από τα δύο σηµεία ορίζεται ως κέντρο αν το επιλέξουµε πρώτο. β) Κύκλος από δοσµένο σηµείο και δοσµένο ευ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ SKETCHPAD ΜΕΡΟΣ Α Μιλώντας για ένα λογισµικό δυναµικής γεωµετρίας καλό θα ήταν να διακρίνουµε αρχικά 3 οµάδες εργαλείων µε τα οποία µπορούµε να εργαστούµε µέσα στο συγκεκριµένο περιβάλλον.
Διαβάστε περισσότεραΚΥΚΛΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΞΑΣΚΗΣΗ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ. 2. Έστω Κ (α, β) το κέντρο και ρ η ακτίνα του ζητούμενου κύκλου C. οπότε:
ΚΥΚΛΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΞΑΣΚΗΣΗ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ 1. Έστω Κ (α, β) το κέντρο και ρ η ακτίνα του ζητούμενου κύκλου C. Έχω: d(k, ε 1 ) = d(k, ε ) = (ΟΚ) = ρ α =, β =, ρ = α =, β =, ρ = οπότε: C 1 : (x
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α ίνονται τα διανύσµατα α και β, τα οποία δεν είναι παράλληλα προς τον άξονα y y και έχουν συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα
Διαβάστε περισσότερα2.4-2.5 ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΣΗΜΕΙΟ
1 4-5 ΣΥΜΜΤΡΙ ΩΣ ΠΡΣ ΣΗΜΙ ΚΝΤΡ ΣΥΜΜΤΡΙΣ ΘΩΡΙ Το συµµετρικό σηµείου ως προς κέντρο σηµείο νοµάζουµε συµµετρικό του ως προς κέντρο το σηµείο µε το οποίο συµπίπτει το περιστρεφόµενο περί το κατά γωνία 180
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΤΙΚΟ φροντιστήριο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέµα ο κ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α Α. ώστε τον ορισµό της υπερβολής και γράψτε τις εξισώσεις των ασύµπτωτων της ( C ): (Μονάδες 9) α β Β. Να διατυπώσετε τέσσερις
Διαβάστε περισσότερα