Φύλλα Μαθηματικής Παιδείας

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Φύλλα Μαθηματικής Παιδείας"

Transcript

1 Φύλλα Μαθηματικής Παιδείας Φυλλο 4, 26 Οκτωβριου 204 ISSN Εκδίδεται στην Αθήνα. Διανέμεται και αναπαράγεται ελεύθερα. Δικτυακός Τόπος: Στοιχειοθετείται με το LATEX 2ε Επιμέλεια: Ν.Σ. Μαυρογιάννης, Δρ Μαθηματικών Πρότυπο Γενικό Πειραματικό Λύκειο Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Εξισώσεις (Μέθοδοι- Σχόλια- Εφαρμογές) Περίληψη Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός Στο άρθρο αυτό προσπαθούμε να επισημάνουμε και να περιγράψουμε τις πιο χαρακτηριστικές ε- ξισώσεις που μπορεί να συναντήσει ο μαθητής στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Γ Λυκείου. Για την κάθε περίπτωση δίνουμε μερικά βασικά θεωρητικά στοιχεία που δηλώνουν τη μορφή και υποδεικνύουν στην ουσία τον τρόπο λύσης των ασκήσεων αυτών. Ακολουθούν μερικά χαρακτηριστικά παραδείγματα για την κάθε περίπτωση, ώστε να φανείπιοσυγκεκριμέναοτρόποςήοιτρόποιεπίλυσης των εξισώσεων αυτών. Ευχαριστίες Ευχαριστώ τη συνάδελφο Φωτεινή Καλδή για τις εύστοχες παρεμβάσεις της και το συνάδελφο Χρήστο Κυριαζή που με μεράκι επιμελήθηκε το κείμενο, κάνοντας χρήσιμες παρατηρήσεις. Μεθοδος. Κάθε εξίσωση, μετά από πιθανή εκτέλεση πράξεων ή κατάλληλους αλγεβρικούς μετασχηματισμούς (πχ λογαριθμίζοντας ή πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη με κατάλληλη μη μηδενιζόμενη παράσταση) έχει ή παίρνει τημορφή f()=0,όπου fείναικατάλληλησυνάρτηση,με πεδίοορισμούένασύνολο A,πουείναικαιτοπεδίοορισμού της εξίσωσης. Υποθέτουμε ότι η εξίσωση αυτή δεν μπορεί να λυθεί με αλγεβρικές μεθόδους.. Εστωότιγιατησυνάρτηση fγνωρίζουμεήμπορούμε να αποδείξουμε ότι είναι. Προσπαθούμε τότε ναβρούμεμεπαρατήρησηέναναριθμό A,ώστε f()=0.φέρνουμελοιπόντηνεξίσωσηστημορφή f()=f(),οπότελόγωτου παίρνουμε: f()=f() = Επομένως η μοναδική ρίζα της εξίσωσης είναι η =. 2.Είναισυνήθωςπιοεύκολονααποδείξουμεότιησυνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη. Στη συνέχεια προσπαθούμε να εντοπίσουμε με παρατήρηση μια ρίζα τηςεξίσωσης,δηλαδήαριθμό A,ώστε f()=0. 3. Εντοπίζουμε με παρατήρηση μια ρίζα και με απαγωγήσεάτοποαποδεικνύουμεότιηεξίσωσηδενέχει άλλη ρίζα. Εφαρμογη. Να λύσετε την εξίσωση: (2 +3 ) 204 =( ) Διαιρούμεκαιταδύομέλημε καιηεξίσωσηγίνεται ισοδύναμα: [( 2 3 ) +] 204 =[( ] 3 ). Προφανήςρίζαείναιητιμή =204.Διακρίνουμεστησυνέχειατιςπεριπτώσεις <204, >204. Στηνπρώτη πχπερίπτωση,όπου <204,λόγωτουγεγονότοςότιη συνάρτηση f()=( 2 3 ) είναι γνησίως φθίνουσα, ενώ η συνάρτηση g()=(( ) 3 ) είναι γνησίως αύξουσα, παίρνουμε: [( ] 3 ) >[( ] 3 ) >[( ] 3 ) που σημαίνει ότι δεν υπάρχουν ρίζες μικρότερες του 204. Ομοιαεργαζόμαστεκαιγια >204. Άρα η μοναδική ρίζα της δοσμένης εξίσωσης είναι η =204. Εφαρμογη 2. Δίνεται μια συνάρτηση f ορισμένη στο Rμεσυνεχήπρώτηπαράγωγο,γιατηνοποίαισχύουνοι σχέσεις: f()= f(2 )και f () 0γιακάθε R.. Νααποδείξετεότιηfείναιγνησίωςμονότονη. 2. Ναλύσετετηνεξίσωση f()=0. 3. Ναλύσετετηνεξίσωσηf()=0,μεμόνητηνπληροφορίαότιηfείναιπαραγωγίσιμη, f()= f(2 ) και f () 0γιακάθε R. (Εξετάσεις 2003.)

2 .Παρατηρούμεότιεπειδήησυνάρτηση f είναισυνεχής και δεν μηδενίζεται, αυτή θα διατηρεί πρόσημο. Ετσι, η f είναι γνησίως μονότονη και συγκεκριμένα: είναιγνησίωςαύξουσα,ανηf είναιθετική. είναιγνησίωςφθίνουσα,ανηf είναιαρνητική. 2.Παρατηρούμεότιγια =ηδοσμένησχέσηδίνει: f()= f(2 ) f()+f()=0 2f()=0 f()=0. Επομένως η τιμή = είναι ρίζα της εξίσωσης f()=0καιεπειδήηf είναιγνησίωςμονότονη, η ρίζα αυτή είναι μοναδική. 3. Με τις νέες προϋποθέσεις δεν έχουμε εξασφαλισμένη τημονοτονίατης f,αφούδενγνωρίζουμετησυνέχειατης f. Μαςαρκείόμωςηfναείναι και αυτό το πετυχαίνουμε με απαγωγή σε άτοπο. Εστω λοιπόνότιηfδενείναι.υπάρχουντότε,b R με <b,ώστε f()=f(b). Γιατην fπληρούνται στο[, b] οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle, οπότευπάρχει 0 (,b),τέτοιο,ώστε f ( 0 )=0, άτοπο. Ετσιηfείναι,οπότε f()=0 f()=f() =. Εφαρμογη3.Ναλύσετετηνεξίσωση e = 2 +. Σύμφωναμετασχόλιακαιτηνανάλυσητηςμεθόδου,πρώτα εξετάζουμε αν μπορούμε να εντοπίσουμε ρίζα. Πράγματι,ητιμή =0είναιλύσητηςεξίσωσης.Φέρνουμεόλους τους όρους στο α μέλος και θεωρούμε τη συνάρτηση Είναι και f()=e 2. f ()=(e 2 ) = e 2 f ()=( e 2) =e 2. Φαίνεταιόμωςμετηνπρώτηματιάότιαφούηπρώτηπαράγωγος δε δίνει αμέσως ρίζα και πρόσημο, ενώ η δεύτερη παράγωγος δε διατηρεί πρόσημο, δεν είναι κακή σκέψη να αλλάξουμε τη μορφή της εξίσωσης και αν χρειαστεί, επανερχόμαστε. Είναι λοιπόν: e = 2 + ( 2 +)e = ( 2 +)e =0 Ας θεωρήσουμε επομένως τη συνάρτηση Είναι: f()=( 2 +)e, R. f(0)=0 f ()=(( 2 +)e ) =e (+) 2 >0, Η συνάρτηση λοιπόν f είναι γνησίως μονότονη, οπότε η τιμή =0είναιμοναδικήρίζατηςεξίσωσης f()=0, συνεπώς και της αρχικής εξίσωσης. Σχόλιο Να σημειώσουμε ότι θα μπορούσαμε να συνεχίσουμε την πρώτη μας προσπάθεια, η διαδικασία όμως θα ήταν πιο πολύπλοκηδιότιθαέπρεπεναβρούμετοπρόσημοτης f,τη μονοτονίακαιτοπρόσημοτης f καιτελικάτημονοτονία της f()=e 2. Ας το επιχειρήσει μόνος του ο απαιτητικός μαθητής. Ω- στόσο, μια πολύ εύκολη ενέργεια κατέστησε την λύση της άσκησης πολύ πιο απλή. Υπάρχουν περιπτώσεις που χωρίς τον κατάλληλο μετασχηματισμό της εξίσωσης η επίλυσή της είναι δυσχερής ή αδύνατη. Μεθοδος 2. Φέρνουμε την εξίσωση στη μορφή f()=f(α) και αποδεικνύουμε ότι το α είναι το μοναδικό σημείο, στο οποίο η συνάρτηση παρουσιάζει ολικό ακρότατο. Αυτό συνήθως το πετυχαίνουμε με το να αποδείξουμε ότι η συνάρτηση f αλλάζειμονοτονίαμόνοστο =α. Γιατολόγο αυτόμελετάμεαρχικάτην fωςπροςτημονοτονίακαιτα ακρότατα. Στησυνέχεια,αντο αείναιτομοναδικόσημείο, στο οποίο η συνάρτηση παρουσιάζει ολικό ακρότατο, τότε με τη βοήθεια του ορισμού της μονοτονίας προκύπτει ότι f() f(α)γιακάθε α. Ετσιτο =αείναιη μοναδική ρίζα. Εφαρμογη 4. Δίνεται η συνάρτηση f()=ln+ +.. Ναμελετηθείησυνάρτηση fωςπροςτημονοτονία. 2. Ναλύσετετηνεξίσωση f()=2. 3. Ναλυθείηεξίσωση f( 2 +)+f( 4 +)=4.. Ησυνάρτηση fέχειπεδίοορισμούτο D f =(0,+ ). Είναι: f ()=(ln+ + ) = 2= 2. Απότοπρόσημοτης f προκύπτειότιηfείναι: 2

3 Γνησίως φθίνουσα στο διάστημα(0, ]. Γνησίως αύξουσα στο διάστημα[, + ). 2.Απότημονοτονίατης fπροκύπτειότιτο f()=2 είναι ολικό ελάχιστο της f και μάλιστα αυτό παρουσιάζεταιμόνοστηθέση 0 =. Αυτόσημαίνειότι είναι f()>2γιακάθε. Άραημοναδικήρίζα τηςεξίσωσης f()=2είναιη=2. Σχόλιο Μπορούμε να εργαστούμε πιο αναλυτικά ως εξής: Αν <, τότε f() > f() = 2, δηλαδή f()>2.αυτόσημαίνειότιf() 2για <. Αν >, τότε f() > f() = 2, δηλαδή f()>2.αυτόσημαίνειότιf() 2για >. Επομένωςημοναδικήρίζατηςεξίσωσηςείναιη=. 3. Παρατηρούμε ότι η εξίσωση f( 2 +)+f( 4 +)=4 αληθεύειγια =0. Αυτήηρίζαείναιημοναδική, αφούγιακάθεάλλητιμήτου είναι 2 + και 4 +,οπότε δηλαδή Άρα f( 2 +)>2και f( 4 +)>2, f( 2 +)+ f( 4 +)>2+2=4. f( 2 +)+ f( 4 +)=4 =0. Εφαρμογη 5. Να λύσετε την εξίσωση ln+2=6 2. Αν f()= ln+2 6 2,με > 0,τότε: και f ()=3 2 +6ln+9 2 f ()=6+ 6 6( )2 2=. Ετσι,αφού f()=f ()=0,ηf είναιγνησίωςαύξουσα καιτελικάηfαλλάζειμονοτονίαμόνοστο =. Άρα: Για >είναι f()>f()=0 Για 0<<είναι f()>f()=0 Επομένωςείναι f()>0γιακάθε. Συνεπώςμοναδικήρίζατης fείναιη=. Μεθοδος 3. Αν η εξίσωση έχει σχετικά πολύπλοκη μορφή,προσπαθούμενατηφέρουμεστημορφήf((g())= f(h()),όπου fείναιμιακατάλληλη συνάρτηση.επομένως θα είναι: f((g())=f(h()) g()=h(). Η νέα εξίσωση είτε λύνεται αλγεβρικά, είτε λύνεται όπως στις μεθόδους που περιγράψαμε παραπάνω. Εφαρμογη 6. Να λύσετε την εξίσωση: 2( 2 3+2)=ln[ (3 2)2 + 4 ] + Εξετάσεις 200. Βλέπουμε αρχικά ότι η εξίσωση έχει νόημα(ορίζεται) σε όλοτο R. Είναιφανερόότιμάλλονπρέπειναεξετάσουμεμήπωςηεξίσωσηπαίρνειμιαπιοκαλήμορφήκαιόχι να θεωρήσουμε για μελέτη τη συνάρτηση της διαφοράς. Παρατηρούμε λοιπόν ότι: 2( 2 3+2)=ln[ (3 2) ] ln((3 2) 2 +)+2(3 2)=ln( 4 +)+2 2 ln((3 2) 2 +)+2(3 2)=ln(( 2 ) 2 +)+2 2 Αν λοιπόν θεωρήσουμε τη συνάρτηση f()=ln( 2 +)+2, τότε η εξίσωση παίρνει τη μορφή: ln((3 2) 2 +)+2(3 2)=ln(( 2 ) 2 +)+2 2 f(3 2)=f( 2 ) Θα μελετήσουμε επομένως την f ως προς τη μονοτονία. Είναι f ()=(ln( 2 +)+2) = =22 2 >0. + Αφούλοιπόνηπαράγωγοςτης f είναιθετικήσεόλοτο R,ηfείναιγνησίωςαύξουσα. Είναιεπομένωςκαι, οπότε η εξίσωση γίνεται: f(3 2)+f( 2 ) 3 2= =0 (=2ή=). Καιοιδύοαυτέςτιμέςείναιδεκτές,μιαςκαιδενέχουμε περιορισμούς. 3

4 Εφαρμογη7.Δίνεταιησυνάρτησηf()=e ln(e ). Να λυθεί η εξίσωση: f( 4 +3)+f( 2 +)=f( 4 +)+f( 2 +3). Ηεξίσωσηαλλάζονταςτηθέσητωνόρωνπαίρνειτημορφή: Είναι f( 4 +3) f( 4 +)=f( 2 +3) f( 2 +). f()=e ln(e )=e ln, µε >0 f ()=(e ln) =e και f ()=(e ) =e + 2>0, >0. Επομένωςηf είναιγνησίωςαύξουσα. Ημορφήτηςεξίσωσης μας οδηγεί να θεωρήσουμε τη συνάρτηση g()=f(+2) f(), αφούέτσιηεξίσωσηπαίρνειτημορφή g( 4 +)=g( 2 +), με R. Είναιόμως: g ()=f (+2) f ()>0διότιηf είναι γνησίωςαύξουσακαι +2>. Άραηgείναιγνησίως αύξουσα, συνεπώς είναι και. Ετσι, τελικά παίρνουμε: Σχόλιο g( 4 +)=g( 2 +) 4 += =0 2 ( 2 )=0 (=0 ή = ή = ). Η δοσμένη εξίσωση παραπέμπει προφανώς και στο θεώρημαμέσηςτιμής. Προφανείςρίζεςείναιοι =0, =, =. Θααποδείξουμεότιδενέχειάλλες. Ομωςγια την εφαρμογή του ΘΜΤ είναι απαραίτητη η διάταξη των αριθμών 2 +, 2 +3, 4 +, 4 +3.Είναιπροφανώς 2 +< 2 +3 και 4 + < Ετσιξεκινάμεμετηδιάταξητων 2 +3, 4 +καιβλέπουμε τελικά ότι: Αν 2,τότε 2 +< 2 +3 < 4 + < Αν < < 2,τότε 2 +< 4 + < 2 +3 < Αν 0< <,τότε 4 +< 2 + < 4 +3 < Αν λοιπόν εφαρμόσουμε ΘΜΤ στην πρώτη περίπτωση στα διαστήματα[ 2 +, 2 +3] και[ 4 +, 4 +3],τότεη εξίσωση γίνεται: f( 2 +3) f( 2 +)=f( 4 +3) f( 4 +) 2f ( )=2f ( 2 ) = 2, με ( 2 +, 2 +3)και 2 ( 4 +, 4 +3). Αλλά ησχέση = 2 οδηγείσεάτοπο. Ομοια, σε άτοπο οδηγούμαστε και στις άλλες περιπτώσεις. Μεθοδος 4. Σε ορισμένες, πιο σπάνιες περιπτώσεις, πιθανόν να χρειαστεί να εντοπίσουμε με παρατήρηση δύο ή περισσότερες ρίζες και να αποδείξουμε ότι οι ρίζες αυτέςείναιοιμοναδικές. Αυτόμπορείναγίνεικαιωςεξής: Υποθέτουμεότιηεξίσωση(πουπαίρνειήέχειτημορφή f()=0)έχειπ.χτουλάχιστοντρειςρίζες,οπότεμεδιαδοχικέςεφαρμογέςτουθεωρήματος Rolleγιατις f,f,f προσπαθούμε να καταλήξουμε σε άτοπο. Εφαρμογη 8. Να λύσετε την εξίσωση =9+2. Παρατηρούμεότιοιαριθμοί =0, =επαληθεύουντην εξίσωση, οπότε είναι ρίζες. Θα αποδείξουμε με τη μέθοδο τηςαπαγωγήςσεάτοποότιαυτέςοιλύσειςείναιοιμοναδικές. Εστωλοιπόνότιυπάρχεικαιάλληλύσηκαιας ονομάσουμε, b, c τις τρεις(τουλάχιστον) από τις ρίζες τηςεξίσωσης,με <b<c. Είναιπροφανέςότιδύοαπό τουςαριθμούς,b,cείναιοι0και.ηεξίσωσημαςοδηγεί στη συνάρτηση f()= Είναιτότε f()=f(b)=f(c)=0. Απότοθεώρημα Rolleγιατην f υπάρχουν (,b)και 2 (b,c)τέτοια, ώστε: f ( )=0και f ( 2 )=0. Επίσης,πάλιαπότο θεώρηματου Rolleαλλάγιατην f,υπάρχει ξ (, 2 ), με f (ξ)=0.είναιόμως: και f ()=2 ln ln2 9 f ()=2 ln ln 2 2>0. Αλλάητελευταίασχέσημετην f (ξ)=0οδηγούνσε άτοπο. Ηεξίσωσηλοιπόνδενμπορείναέχειτρειςήπερισσότερες ρίζες, οπότε οι λύσεις της είναι αναγκαστικά οι =0, =. 4

5 Εφαρμογη 9. Να λύσετε την εξίσωση = Προφανείςρίζεςείναιοι =0,=,=. Αςυποθέσουμεότιέχουμετέσσεριςτουλάχιστονρίζες,τις,b,c,d με <b<c<d. Οπωςστηνπροηγούμενηεφαρμογή,πάλι με διαδοχικές εφαρμογές του θεωρήματος Rolle για τη συνάρτηση f()= , θαπρέπειναυπάρχει ξμε f (3) (ξ)=0. Αυτόόμωςείναι άτοπο, διότι: f (3) ()=2 ln ln ln 3 6> 0. Εφαρμογη0. Εστω f R Rκυρτήσυνάρτησηκαι α R.Ναλύσετετηνεξίσωση: f()=f(α)+f (α)( α). Παρατηρούμεότιπροφανήςρίζατηςεξίσωσηςείναιη=α. Εστωότιυπάρχεικαιάλληρίζα τηςεξίσωσηςμε α, πχ >α.σύμφωναμετοθμτ,υπάρχει ξ (α,),τέτοιο ώστε: f (ξ)= f() f(α) f()=f(α)+f (ξ)( α) α Επομένως η εξίσωση παίρνει τη μορφή: f()=f(α)+f (α)( α) f(α)+f (ξ)( α)=f(α)+f (α)( α) f (ξ)( α)=f (α)( α) f (ξ)=f (α) ξ=α διότιηf είναικυρτή,οπότεηf,ωςγνησίωςαύξουσα, είναι. Αλλάησχέση ξ= αοδηγείσεάτοπο,διότι ξ (α,)πουσημαίνειότι ξ α. Ομοιακαταλήγουμεσε άτοπο,ανδεχθούμεότιυπάρχειρίζα τηςεξίσωσηςμε <α. Άραημοναδικήρίζατηςδοσμένηςεξίσωσηςείναι η =α. Άλλος τρόπος Τοθεώρημαμέσηςτιμήςστηλύσηεξισώσεων. Μια αξιοσημείωτη περίπτωση. Εφαρμογη. Να λυθεί η εξίσωση 3 +5 = Εστω ρίζα της εξίσωσης, δηλαδή ήισοδύναμα Θεωρούμε τη συνάρτηση 3 +5 = =6 5 (). f(t)=t,t>0. Με εφαρμογή του Θεωρήματος Μέσης Τιμής στα διαστήματα[2, 3],[5, 6]προκύπτειότιυπάρχουν (2,3)και b (5,6),τέτοια,ώστε: f ()=3 2, f (b)=6 5. Επομένως, λόγω της σχέσης() είναι: f ()=f (b). Επειδή f (t)=t προκύπτειότι: =b ( b ) =0 (=0ή=). Οι τιμές 0, ικανοποιούν την εξίσωση, οπότε αυτές είναι και οι μοναδικές ρίζες της. Τονίζουμε ότι είναι απαραίτητο να κάνουμε επαλήθευση, διότι στις τιμές αυτές φτάσαμε με τηνυπόθεσηότιηεξίσωσηέχειλύση,κάτιόμωςπουδεν είναι απαραίτητο να συμβαίνει. Εφαρμογη2.Ανησυνάρτηση f (0,+ ) Rείναι παραγωγίσιμηκαιηf είναιγνησίωςμονότονη,ναλυθείη εξίσωση: Η εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο της M(α,f(α))είναιηεξής: (ε) y f(α)=f (α)( α) y=f(α)+f (α)( α). f(+ 2 )+f( 2 )=f()+f(). Αλλάηfείναικυρτή,οπότεηγραφικήτηςπαράστασηείναιπάνωαπότηνεφαπτομένη(ε),μεεξαίρεσητοσημείο επαφής M(α,f(α)). Ετσι,για αισχύειότι: f()>y f()>f(α)+f (α)( α). Αφούτο =αείναιρίζατηςδοσμένηςεξίσωσης, από την παραπάνω σχέση συμπεραίνουμε ότι αυτή είναι και η μοναδική. Η εξίσωση γράφεται: f()+f()=f(+ 2 )+f( 2 ) f() f(+ 2 )=f( 2 ) f(). Παρατηρούμεότιπροφανήςρίζατηςεξίσωσηςείναιη=. Θα αποδείξουμε ότι αυτή είναι και η μοναδική. Διακρίνουμε τις περιπτώσεις. 5

6 Αν >,τότε + 2 <<< 2. Από το ΘΜΤ υπάρχουν: ξ (+ 2,)τέτοιο,ώστε f (ξ )= f() f(+ 2 ) (+ 2 ) f() f(+ 2 ) 2 ξ 2 (, 2 )τέτοιο,ώστε f (ξ 2 )= f(2 ) f() 2 Επειδήηf είναιγνησίωςμονότονηκαι ξ <ξ 2,είναι f (ξ ) f (ξ 2 ),οπότε f() f(+ 2 ) 2 f(2 ) f() 2 f() f(+ 2 ) f( 2 ) f(). = Άρα δεν υπάρχει λύση της εξίσωσης στο διάστημα (,+ ). Αν 0<<,τότε 2 < <<+ 2,τότε εργαζόμαστε τελείως ανάλογα στα διαστήματα [ 2,],[,+ 2 ] καικαταλήγουμεότιδενμπορείναέχουμερίζαστοδιάστημα(0,). Μοναδική λοιπόνρίζατηςεξίσωσηςείναιη=. Μεθοδος 5. Υπάρχει μια ειδική κατηγορία εξισώσεων, που έχουν τη γενική μορφή: f(())+f(b())=f(d())+f(g()). Στις εξισώσεις αυτές προσπαθούμε αρχικά να αποδείξουμε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη. Στη συνέχεια, αφού εντοπίσουμε μια ρίζα ρ της δοσμένης εξίσωσης, προσπαθούμεμετημέθοδοτηςαπαγωγήςσεάτοπονααποδείξουμεότιηεξίσωσηδενέχειάλληρίζα. Αυτότο πετυχαίνουμε διακρίνοντας τις περιπτώσεις < ρ, > ρ, συγκρίνοντας τις ποσότητες (), b(), d(), g() κατάλληλα ανά δύο και χρησιμοποιώντας το είδος της μονοτονίας τηςσυνάρτησης f. Εφαρμογη 3. Να λυθεί η εξίσωση 2 ln(2 +)+4 ln(4 +)=3 ln(3 +)+5 ln(5 +). Μιαπροφανήςρίζαείναιη=0. Παρατηρούμεότιαν θεωρήσουμε τη συνάρτηση f()=ln(+), µε >, τότε η εξίσωση παίρνει τη μορφή: Είναι όμως: και f(2 )+f(4 )=f(3 )+f(5 ) f ()=ln(+)+ + =ln(+)+ + f ()= + + (+) 2>0. Είναι f (0)=0καιησυνάρτηση f είναιγνησίωςαύξουσα. Άραηf είναιαρνητικήστοδιάστημα(,0)καιθετική στο(0, + ). Η συνάρτηση f είναι λοιπόν γνησίως φθίνουσαστο(,0]καιγνησίωςαύξουσαστο[0,+ ). Για < 0 είναι 2 > 3 και 4 > 5, οπότε f(2 )>f(4 )και f(4 )>f(5 ),διότιοιαριθμοί 2,3,4,5 ανήκουνστοδιάστημα(0,+ ).Αυτές με πρόσθεση κατά μέλη δίνουν: f(2 )+f(4 )>f(3 )+f(5 ). Για > 0 είναι 2 < 3 και 4 < 5, οπότε f(2 ) < f(4 ) και f(4 ) < f(5 ), διότι οι α- ριθμοί 2,3,4,5 ανήκουν επίσης στο διάστημα (0, + ).Αυτές με πρόσθεση κατά μέλη δίνουν: f(2 )+f(4 )<f(3 )+f(5 ). Επομένωςηεξίσωση f(2 )+f(4 )=f(3 )+f(5 )δεν έχειάλληρίζαεκτόςαπότην =0. Μεθοδος 6. Σε ορισμένες περιπτώσεις εντοπίζουμε ρίζες με παρατήρηση, αλλά η μοναδικότητα αυτών των ριζών εξασφαλίζεται μόνο με την εύρεση των διαστημάτων της μονοτονίας. Ετσι, αν η βοηθητική συνάρτηση f αλλάζει μονοτονία μόνο μια φορά και στο καθένα από τα διαστήματα που δημιουργούνται έχουμε ρίζα, τότε η εξίσωση έχει δύο ακριβώς ρίζες και η διαδικασία επίλυσης έχει ολοκληρωθεί. Εφαρμογη 4. Να λυθεί η εξίσωση 4 = 4, >0 Δύοπροφανείςρίζεςτηςεξίσωσηςείναιοι=2, =4.Θα αποδείξουμε ότι αυτές είναι και οι μοναδικές. Λογαριθμίζοντας βλέπουμε ότι εξίσωση παίρνει την ισοδύναμη μορφή ln = ln4 ln 4.Θεωρούμελοιπόντησυνάρτηση f()= και βρίσκουμε ότι: f ()= ln 2, >0 Η f είναιγνησίωςαύξουσαστο(0,e]καιγνησίως φθίνουσα στο[e, + ). 6

7 Ετσι,αφού 2<eκαι 4>e,βλέπουμεότι: Στοδιάστημα(0,e]είναι ln = ln4 4 ln = ln2 2 f()=f(2) =2. Στοδιάστημα[e,+ )είναι ln = ln4 4 f()=f(4) =4. Επομένωςοιλύσειςτηςεξίσωσηςείναιοι =2, =4. Σχόλιο Οισυναρτήσεις f()=4, g()= 4 είναιπροφανώς κυρτές. Αν τις σχεδιάσει κάποιος κάπως ικανοποιητικά, ηδιαίσθησήτουθατονοδηγήσειστοσυμπέρασμαότιοι γραφικές τους παραστάσεις έχουν δύο ακριβώς κοινά σημεία, οπότε αυτά είναι και τα μοναδικά. Αυτό ωστόσο, είναι γενικά τελείως παραπλανητικό, διότι οι γραφικές παραστάσεις δύο κυρτών(ή κοίλων αντίστοιχα) συναρτήσεων μπορεί να έχουν οσαδήποτε κοινά σημεία, δηλαδή κανένα, ένα,δύοκαιγενικά n,όπου n N. Οι συγκεκριμένες γραφικές παραστάσεις, δηλαδή οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f()=2, g()= 2 έχουνακριβώςτρίακοινάσημεία.ταδύοαπόαυτάέχουν τετμημένες =2, =4καιτοτρίτοέχειαρνητικήτετμημένη που δεν προσδιορίζεται. Στο παρακάτω διάγραμμα βλέπουμε- για πρακτικούς λόγους- τις γραφικές παραστάσεις των κυρτών συναρτήσεων f()=2 και g()= 2 πουέχουντρίακοινάσημεία. Στοσύνολοτωνθετικώναριθμώνηεξίσωση 2 = 2,όπωςπροκύπτειαπότοσχήμα,έχειμόνοδύολύσεις,τις =2,=4. όπου f είναι συνεχής συνάρτηση. Στην περίπτωση αυτή αποδεικνύουμε πρώτα ότι η f είναι θετική(ή αρνητική) στο διάστημα. Στη συνέχεια θεωρούμε τη συνάρτηση H()= f(t)dt, καιπαρατηρούμεότιηεξίσωση παίρνει τη μορφή H(g())=0=H() (). Είναιόμως H ()=f()>0(ή H ()=f()<0),οπότε η συνάρτηση H είναι γνησίως μονότονη. Ετσι η εξίσωση () ισοδύναμα γίνεται H(g())=H() g()=. Στη συνέχεια λύνουμε την νέα εξίσωση είτε αλγεβρικά, είτε με τις μεθόδους που περιγράψαμε παραπάνω. Άλλος τρόπος Αφού αποδείξουμε ότι η συνάρτηση f διατηρεί πρόσημο, μπορούμε να εργαστούμε και ως εξής. Ας υποθέσουμε πχ ότι f()>0,. Ανήταν <g()γιακάποιο,τότεθαήτανκαι άτοπο. g() f(t)dt>0, Ανήταν >g()γιακάποιο,τότεθαήταν άτοπο. g() f(t)dt<0, Επομένως, αναγκαστικά παίρνουμε: g() f(t)dt=0 g()= Ανάλογα εργαζόμαστε αν η συνάρτηση f είναι αρνητική. Επίσηςμετονίδιοτρόποεργαζόμαστεανκαιταδύοάκρα ολοκλήρωσης είναι μεταβλητά, δηλαδή είναι μη σταθερές συναρτήσεις του. Άλλος τρόπος Σε αρκετές επίσης περιπτώσεις σύντομες λύσεις πετυχαίνουμε με εφαρμογή του Θεωρήματος Μέσης Τιμής για το Ολοκλήρωμα. Σύμφωνα με αυτό, αν η συνάρτηση f είναι συνεχήςστο[,b],τότευπάρχει c (,b)τέτοιο,ώστε: Μεθοδος 7.(Εξίσωση με ολοκλήρωμα) Η εξίσωσηέχειήπαίρνεισυνήθωςτημορφή g() f(t)dt=0, b f(t)dt=f(c)(b ). Ανλοιπόνείναι f(t) 0γιακάθε t,τότεπαίρνουμε ότι g() f(t)dt=0 f(c)(g() )=0 g()=. 7

8 Εφαρμογη 5. Να λύσετε την εξίσωση e t 2 +dt=0. Θεωρούμε τη συνάρτηση g()= t 2 +dt, R. Η g είναι παραγωγίσιμη με: g ()=( t +dt) 2 = 2 +>0 γιακάθε R. Ησυνάρτηση gείναιλοιπόνγνησίωςαύξουσα,άρακαι. Ετσιηεξίσωσηγίνεται: e Άλλος τρόπος t 2 +dt=0 g(e )=0 g(e )=g() e = =0. Επειδή t 2 + > 0 και επιπλέον η συνάρτηση h(t) = t 2 +είναισυνεχήςστο R,είναι b t 2 +dt 0για κάθε bκαιπιοσυγκεκριμένα: Αν <b,τότε b t 2 +dt>0 Αν >b,τότε b t 2 +dt<0 Σύμφωνα με τα παραπάνω παίρνουμε: e t 2 +dt=0 e = =0. Εφαρμογη 6. Δίνεται η συνάρτηση f()={ e αν 0 αν =0.Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο σημείο 0 = 0καιστησυνέχειαότιείναιγνησίωςαύξουσα. 2.Ναλύσετετηνεξίσωση 2f () f(u)du=0. Εξετάσεις 204. e.είναι limf()= lim ( 0 0 = ) e 0 0 lim 0 ==f(0). Άραηfείναισυνεχήςστο 0 =0.Για 0είναι f ()= e e + 2 = h() 2 όπου h()=e e +.Τοπρόσημοτης hκαθορίζειτοπρόσημοτης f. Ησυνάρτηση hείναι παραγωγίσιμησεόλοτο Rμε h ()=e. Επίσης είναι h ()=0 =0. h ()>0 >0. Άραηhείναιγνησίως αύξουσα στο[0, + ). h ()<0 <0. Άραηhείναιγνησίως φθίνουσα στο(, 0]. f () f 0 + Συνεπώςγια >0έχουμε Ομοια,για <0έχουμε 0 + h()>h(0) f ()>0. h()>h(0) f ()>0. Τελικά, αφού f () > 0 για κάθε (,0) (0,+ )καιηf είναισυνεχήςστο 0 = 0,ησυνάρτηση fείναιγνησίωςαύξουσασεόλοτο R. 2. Θαβρούμεαρχικάτηνπαράγωγοτης fστο 0μετη χρήση του ορισμού. f() f(0) e ( 0 0 lim = lim ) = e ( 0 0 lim ) e = lim = R Άραηfείναιπαραγωγίσιμηστο 0 =0με f (0)= 2. Θεωρούμε τη συνάρτηση F()= 0 f(t)dtμε R. Παρατηρούμε ότι η εξίσωση παίρνει τη μορφή: F(2f ())=F()() Αλλά F ()=( f(t)dt) = f()>0 γιακάθε R. ΕπομένωςηF είναιγνησίωςαύξουσα,οπότεείναικαι-. Ηεξίσωσηλοιπόν()γίνεται ισοδύναμα: F(2f ())=F() 2f ()= f ()= 2 f ()=f (0) Οπως στο πρώτο ερώτημα προκύπτει ότι η συνάρτηση fείναικυρτή. Ετσι,ηf,ωςγνησίωςαύξουσα, είναικαι,οπότεπαίρνουμε: f ()=f (0) =0. 8

9 Να σημειώσουμε ότι αντί της συγκεκριμένης αρχικής, μπορούμεναθεωρήσουμετυχαίααρχική Fτης fκαιναεργαστούμε εντελώς ανάλογα. Άλλος τρόπος Παρατηρούμεότιη=0είναιπροφανήςλύσητηςδοσμένηςεξίσωσηςαφούγια =0τοπρώτομέλοςείναιίσο με 2 2 f(u)du= f(u)du=0. Για>0είναιe > και e >0 f()>0,ενώ για <0είναι e e < και >0 f()>0 Για =0έχουμε f(0)=>0. Αφούηfείναικυρτή,ηf είναιγνησίωςαύξουσα.συνεπώς,για >0είναι f ()>f (0) 2f ()>καιαφού f()>0γιακάθε >0,παίρνουμε 2f () f(u)du>0. Αυτό σημαίνει ότι δεν υπάρχουν λύσεις της δοσμένης εξίσωσηςγια >0. Ομοια,για <0,είναι f ()<f (0) 2f ()<καιαφού f()>0γιακάθε <0προκύπτει ότι: 2f () f(u)du>0 2f () f(u)du<0. Συνεπώς δεν υπάρχουν λύσεις της δοσμένης εξίσωσης για <0. Άραημοναδικήλύσητηςαρχικήςεξίσωσηςείναιη =0. Εφαρμογη7.Αν α>,ησυνάρτηση f R Rείναι κυρτήκαι f()=,ναλύσετετηνεξίσωση ( ) f(t) dt=(f() )( ), > t Προφανήςρίζατηςεξίσωσηςείναιη=α.Θααποδείξουμεότιείναιημοναδική. Εστωότιυπάρχεικαιάλληρίζα αμε >.Θεωρούμετησυνάρτηση g()= Είναι g ()= f() και g ()= f ()( ) f()+ ( ) 2 α = f ()( ) f (ξ)( ) ( ) 2 f(t) dt, >. t = f ()( ) (f() f()) = ( ) 2 = f () f (ξ) >0 9 Η συνάρτηση g είναι λοιπόν κυρτή. Ετσι, η εξίσωση γράφεται: ( ) f(t) t dt=(f() )( ) ( )g()=(f() )( ) g() g() = f() g ( 0 )=g () 0 = διότιηg,ωςγνησίωςαύξουσαείναικαι.αυτόόμως είναιάτοπο,αφούτο 0 βρίσκεταιαπότοθμτανάμεσα στα ακαι. Σχόλια. Μπορούμε επίσης να βασιστούμε στην ιδιότητα της εφαπτομένης μιας κυρτής συνάρτησης. Ετσι, αφού η γραφική παράσταση της g, με εξαίρεση το σημείο ε- παφής βρίσκεται πάνω από την εφαπτομένη, για κάθε < αισχύειότι g()>g(α)+g (α)( α)() Πράγματι,αφούηgείναικυρτήκαιηεξίσωσητης εφαπτομένηςτης C g στοσημείοτηςμετετμημένη α είναιy g(α)=g (α)( α),προκύπτειησχέση(). 2. Παρόμοια λύση μπορούμε να πετύχουμε αν μελετήσουμε τη συνάρτηση της διαφοράς. Εφαρμογη 8.Δίνεταιησυνάρτηση f()=e 2. Να λύσετε τις εξισώσεις:. f(t)dt+ 3 f(t)dt= 5 f(t)dt+ 7 f(t)dt 2. 0 f(t)dt+ 2 0 f(t)dt= 3 0 f(t)dt+ 4 0 f(t)dt. Θεωρούμε τη συνάρτηση Επειδή g()= g ()=( f(t)dtμε R. f(t)dt) =f()>0, η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα. Η εξίσωση παίρνει τη μορφή g()+g( 3 )=g( 5 )+g( 7 ) () Παρατηρούμεαρχικάότιοιτιμές =0,=,= είναι λύσεις της εξίσωσης. Θα αποδείξουμε ότι οι λύσεις αυτές είναι οι μοναδικές.

10 Με >είναι Επομένως: < 5 και 3 < 7. g()<g( 5 ) και g( 3 )<g( 7 ). Αυτές με πρόσθεση κατά μέλη δίνουν g()+g( 3 )<g( 5 )+g( 7 ) πουσημαίνειότικανέναςαριθμός >δενεπαληθεύει την εξίσωση(). Με 0<<είναι > 5 και 3 > 7. Επομένως, εντελώς ανάλογα παίρνουμε: g()>g( 5 ) και g( 3 )>g( 7 ). Αυτές με πρόσθεση κατά μέλη παίρνουμε: g()+g( 3 )>g( 5 )+g( 7 ) πουσημαίνειότικανέναςαριθμός, µε 0< <δενεπαληθεύειτηνεξίσωση(). Με <<0ήμε < εργαζόμαστεεντελώς ανάλογα. Σημειώνουμε ότι στην πρώτη περίπτωση θα είναι ενώ στη δεύτερη < 5 και 3 < 7 > 5 και 3 > 7. Τελικά, οι μοναδικές ρίζες της εξίσωσης είναι οι =0, =, =. 2. Θέτουμε, αντίστοιχα με το ερώτημα. g()= καιηεξίσωσηπαίρνειτημορφή 0 f(t)dt g()+g(2)=g(3)+g(4) Προφανήςρίζαείναιη=0.Διακρίνονταςτιςπεριπτώσεις >0 ή <0 έχουμε αντίστοιχα ότι: <3, 2<4.Επομένως: g()<g(3) και g(2)<g(4). Αυτές με πρόσθεση δίνουν g()+g(2)<g(3)+g(4), πουσημαίνειότιηεξίσωσηδενέχειθετικέςρίζες. >3, 2>4.Επομένως: g()>g(3)και g(2)>g(4) Αυτές με πρόσθεση δίνουν g()+g(2)>g(3)+g(4), που σημαίνει ότι η εξίσωση δεν έχει αρνητικές ρίζες. Άραημοναδικήρίζατηςεξίσωσηςείναιη=0. Σημείωση Ο τρόπος αυτός εφαρμόζεται για κάθε συνεχή συνάρτηση fπουείναιγνησίωςαύξουσαήγνησίωςφθίνουσασεένα διάστημα. Εφαρμογές στις εξισώσεις. Ασκήσεις για εξάσκηση. Ασκηση.Μιασυνάρτηση f R Rέχειτηνιδιότητα f(3 )+f(+5)=0 γιακάθε R. καιείναιγνησίωςφθίνουσα. Ναλυθείη εξίσωση f()=0. Για = παίρνουμε f(4) = 0,οπότεμιαλύσητηςεξίσωσης f()=0είναιη=4. Επειδήόμωςηf είναι γνησίως μονότονη, η λύση αυτή είναι μοναδική. Άρα f()=0 =4 Ασκηση2.Δίνεταιησυνάρτηση f()=( 3 5 ) +( 4 5 ).. Νααποδειχθείότιηfείναιγνησίωςφθίνουσα. 2. Ναλυθείηεξίσωση 3 +4 =5 3. Ναλυθείηανίσωση 3 +4 >5.. Η f έχειπεδίοορισμούτο A=R. Εστω < 2. Επειδή 0< 3 5 < και 0< 4 5 <,παίρνουμεότι: ( 3 5 ) >( 3 5 )2 και ( 4 5 ) >( 4 5 ) 2 ( 3 5 ) +( 4 5 ) > ( 3 5 )2 +( 4 5 )2,δηλαδή f( )>f( 2 ) 0

11 ΆραηfείναιγνησίωςφθίνουσαστοR.Ημονοτονία μπορεί να βρεθεί ευκολότερα με την παράγωγο. 2. Είναι: 3 +4 = = ( 3 5 ) +( 4 =0 f()=0. 5 ) Παρατηρούμε όμως ότι: f(2)=( ) +( ) = =0 οπότεη=2είναιρίζατηςεξίσωσης f()=0. Ε- πειδή επιπλέον η f είναι γνησίως μονότονη, η ρίζα =2είναιημοναδική. Άραημοναδικήλύσητης δοσμένηςεξίσωσηςείναιη=2. 3.Είναι: 3 +4 > 5 ( 3 5 ) +( 4 5 ) > ( 3 5 ) + ( 4 5 ) >0 f()>0 f()>2 <2 Εφαρμογή Να λύσετε την εξίσωση 5 +2 =3. Η εξίσωση, αφού διαιρέσουμε πρώτα όλους τους όρους με 3,γράφεταιστημορφή: με ( 5 3 ) +( 2 3 ) =0 f()=0, f()=( 5 3 ) +( 2 3 ). Μοναδικήρίζαείναιτελικάη=2. Ασκηση3.Δίνεταιμιασυνάρτηση f R Rμετην ιδιότητα f() f(y)=f( ) γιακάθε, y 0. y Ανηεξίσωση f()=0έχειμοναδικήρίζα,τότε:.νααποδειχθείότιορίζεταιηf. 2.Ναλυθείηεξίσωση f()+f( 2 +3)=f( 2 +)+f(+ 3.Ανεπιπλέονείναι f()>0γιακάθε >,νααποδειχθεί ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (0,+ ).. Εστω α,β 0με f(α)=f(β).τότε: f(α) f(β)=0 f( α )=0 () β Αλλάηδοσμένησχέσηγια =y=δίνει: f() f()=f() f()=0. Επειδήηεξίσωση f()=0έχειμοναδικήρίζα,αυτή α θαείναιη=. Άραη()δίνει: β = α=β Επομένωςηfείναι-,οπότεορίζεταιηf. 2. Είναι: f()+f( 2 +3)=f( 2 +)+f(+) f() f( 2 +)=f(+) f( 2 +3) + f f( 2 )=f( + 2 ) = = =0 = η οποία είναι δεκτή. 3. Εστω α,β > 0 με α < β. Θα αποδείξουμε ότι f(α)<f(β).είναι: β f(β) f(α)=f( β α )>0, διότι α >. Άρα f(α)<f(β),οπότεηf είναι γνησίωςαύξουσαστο(0,+ ). Ασκηση4.Δίνεταιησυνάρτηση f()=e Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται. 2. Ναλύσετετηνεξίσωση e 2 +( 2 ) =e +3 +(+3) Ασκηση 5. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις:. ( ) =( ) (e + 3) 5 +(e + 3) 3 +e +=0 Ασκηση6.Δίνεταιησυνάρτηση f()=2ln Ναβρεθείτοπεδίοορισμού Aτης f,ηf ()καιη f (). 2. Ναμελετηθείηfωςπροςτημονοτονίακαιναβρεθεί τοπρόσημοτης f. 3. Ναλυθείηεξίσωση 2ln= Αν 0<,νααποδειχθείότι ln 2 < 2.

12 .Πρέπει >0,οπότετοπεδίοορισμούτης f είναι A=(0,+ ).Επιπλέον: f () = (2ln 2 +) = 2ln+2 2, >0. f ()=(2ln+2 2) = 2 2= 2( ) 2.Γιαναμελετήσουμετην f ωςπροςτημονοτονία, πρέπειναβρούμετοπρόσημοτης f. Ομωςηεξίσωση f ()=0δενλύνεταιμεαλγεβρικέςμεθόδους. Για τον λόγο αυτό εκμεταλλευόμαστε το πρόσημοτης f. Οληαυτήηδιαδικασίαενσωματώνεται στονπίνακαπροσήμου. Στο(0,)είναι f ()>0 καιστο(,+ )είναι f ()<0. Επομένωςηf είναι γνησίως αύξουσα στο(0, ] και γνησίως φθίνουσαστο[,+ ). Απότημονοτονίατης f και απότογεγονόςότι f ()=0παίρνουμεότι: για <είναι f ()<f ()=0καιγια >είναι f ()<f ()=0.Άραηfείναιγνησίωςφθίνουσα στο(0,+ )(αφούείναισυνεχήςκαιστο 0 = ). Ακόμα είναι: < f()>f() f()>0 > f()<f() f()<0 Επομένωςηf είναιθετικήστο(0,)καιαρνητική στο(,+ ). 3. Η πρώτη ενέργεια είναι να συσχετίσουμε τη δοσμένη εξίσωσημετην f.είναιόμως: >0 ln= 2 2 2ln= 2 2ln 2 +=0 f()=0 Ομως f()=0καιεπειδήηfείναιγνησίωςμονότονη,το =είναιημοναδικήρίζατης f. Άρακαι ημοναδικήρίζατηςεξίσωσηςείναιη=. 4. Η f είναι γνησίως φθίνουσα, οπότε: > f()<f() 2ln 2 +<0 2ln< 2 ln 2 < 2, αφού 2 >0στο(,+ ). < f()>f() 2ln 2 +>0 2ln> 2 ln 2 < 2 αφού 2 <0στο(0,). Επομένως: ln 2 < 2 γιακάθε (0,) (,+ ). Ασκηση 7. Δίνεται η συνάρτηση. Ναβρείτετην f. f()=(+)e Ναμελετήσετετην fωςπροςτημονοτονία. 3. ΝαεξετάσετεανηC f διέρχεταιαπότηναρχήτων αξόνων. 4. Ναλύσετετηνεξίσωση e +e =. Ασκηση 8. Δίνεται η συνάρτηση f()=(+)ln 2( ).. Ναβρείτετοπεδίοορισμούτης f,την f καιτηνf. 2. Ναβρείτετημονοτονίατης f. 3. Ναλύσετετηνεξίσωση f ()=0. 4. Ναβρείτετημονοτονίατης f 5. Ναλύσετετηνεξίσωση (+)ln=2( ). Ασκηση 9. Να λύσετε τις εξισώσεις:. e + 2 =+ 2. e =+ln(+) Ασκηση 0. Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσειςτωνσυναρτήσεων f()=e και g()= 2 έχουν ένα ακριβώς κοινό σημείο και κοινή εφαπτομένη στο σημείο αυτό. Ασκηση. Να λύσετε τις εξισώσεις: = = = =0 Ασκηση 2. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις:. 2e +e 2 =+2e +2e 2. e (++ln( 2 +))= = ln= Ασκηση 3. Να λύσετε τις εξισώσεις: 2

13 συν= =20ηµ 3. 2e = ln(+)= Ασκηση 4. Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: και f()= 2 (6ln ) 3 2 g()= , έχουν ένα μόνο κοινό σημείο. Ασκηση 5. Δίνεται η συνάρτηση f()=α, 0<α<..Ναμελετήσετετην fωςπροςτημονοτονία. 2.Ναλύσετετηνεξίσωση α 2 4 α 2 = 2 2. Ασκηση6.Αν >0καια>,ναλύσετετηνεξίσωση =α +α2. Ασκηση 7. Δίνεται η συνάρτηση f()=( )ln Ναμελετήσετετην fωςπροςτημονοτονία. 2.Ναλύσετετηνεξίσωση( 2 )ln+ 2 =2. 3.Ναβρείτετοπρόσημοτης f. Ασκηση 8.. Να αποδείξετε ότι e γιακάθε R. 2.Ναλύσετετηνεξίσωση =e. Ασκηση 9. Δίνεται η συνάρτηση Ασκηση 20. Δίνεται η συνάρτηση f()=2ln+ 2.. Ναμελετήσετετην fωςπροςτημονοτονία. 2. Να λύσετε την εξίσωση: f()+f( 2 )=f( 5 )+f( 0 ) 3. Αν α,β> 0και( α β )2 = e (β α)(β+α),νααποδείξετε ότι α=β.. Είναι γνησίως αύξουσα. 2. Το =είναιπροφανήςλύση. Αν >,τότε < 2, 5 < 0 καιέτσιτελικά f()+f( 2 )<f( 5 )+f( 0 ). Αν 0<<,τότε > 2 και 5 > 0,οπότε τελικά f()+f( 2 )>f( 5 )+f( 0 ). 3. Λογαριθμίζουμε και γίνεται ισοδύναμη με την f(α)=f(β)κλπ Ασκηση 2. Δίνεται η συνάρτηση f()={ eln αν >0 0 αν =0. Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f είναι συνεχής και να την μελετήσετε ως προς τη μονοτονία. 2. Ναλύσετετηνεξίσωση 4 =4 με >0. Επαναληπτικές Εξετάσεις Η fείναισυνεχής,γνησίωςαύξουσαστο[0,e]και γνησίως φθίνουσα στο[e, + ). 2. Ηεξίσωσηγράφεται f()=f(4). Με >eείναι f()=f(4) =4 Με 0< eείναι f()=f(4) f()= f(2) =2. όπου >0. f()= ln, Ασκηση22. Εστω f (0,+ ) Rμιαπαραγωγίσιμη συνάρτηση για την οποία ισχύουν: Η f είναιγνησίωςαύξουσαστο(0,+ )..Ναμελετήσετετην f()ωςπροςτημονοτονία. 2.Ναλύσετετηνεξίσωση 2 = 2,με >0. f()=. lim h 0 f(+5h) f( h) h =0. 3

14 Θεωρούμε επίσης τη συνάρτηση g()= α Να αποδείξετε ότι: f(t) dt, (,+ )και α>. t. f ()=0καθώςεπίσηςότιηfπαρουσιάζειελάχιστοστο 0 =. 2.Η gείναιγνησίωςαύξουσακαιστησυνέχειαναλύσετεστο Rτηνανίσωση: g(u)du> g(u)du Η gείναικυρτήκαιότιηεξίσωση (α ) α έχει ακριβώς μια λύση. f(t) dt=(f(α) )( α), >, t Ασκηση 23. Δίνεται η συνάρτηση f()= 3 3(2ln ) 4, >0.Ναμελετήσετετην fωςπροςτακοίλα. Εξετάσεις Ναμελετήσετετην fωςπροςτημονοτονία,ναβρείτετοσύνολοτιμώνκαιτοπρόσημότης. 3. Ναλύσετετηνεξίσωση f()=0. 4. Ναβρείτετουςθετικούςαριθμούς,b,c,ανισχύειη σχέση 2 +b 2 +c 2 =2ln(bc) Ναλύστετηνεξίσωση: f()+f( 3 )=f( 2 )+f( 4 ). Ασκηση 24. Δίνεται η συνάρτηση f()= , R.. (αʹ) Νααποδείξετεότισυνάρτηση fείναικυρτήστο R. (βʹ) Νααποδείξετεότιηεξίσωση f()=0έχειακριβώςδύορίζες,τις =0και 2 =. 2. Νααποδείξετεότιυπάρχειμοναδικόςαριθμός 0 (0, ) τέτοιος, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο A( 0,f( 0 )),ναείναιπαράλληληστονάξονα. 3. Νααποδείξετεότι f()<0γιακάθε (0,)και στησυνέχεια,ναλύσετεστοδιάστημα(0, ]την εξίσωση f(t)dt=. 4

Η ΜΕΘΟΔΕΥΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

Η ΜΕΘΟΔΕΥΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Σελίδα 1 από 34 Η ΜΕΘΟΔΕΥΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Μπάμπης Στεργίου 017 Εισαγωγή Οι εξισώσεις, η λύση τους, η εύρεση του πλήθους ριζών τους ή τα ερωτήματα που αφορούν στην ύπαρξη ριζών, αποτελούν ένα σημαντικό

Διαβάστε περισσότερα

Η ΜΕΘΟΔΕΥΣΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. Σε προηγούμενα άρθρα και εργασίες καταγράψαμε, αναλύσαμε, σχολιάσαμε και παρουσιάσαμε

Η ΜΕΘΟΔΕΥΣΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. Σε προηγούμενα άρθρα και εργασίες καταγράψαμε, αναλύσαμε, σχολιάσαμε και παρουσιάσαμε Σελίδα από 49 Η ΜΕΘΟΔΕΥΣΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ Μπάμπης Στεργίου - 07 Σε προηγούμενα άρθρα και εργασίες καταγράψαμε, αναλύσαμε, σχολιάσαμε και παρουσιάσαμε διεξοδικά τις έννοιες και τις προτάσεις που αναφέρονται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η συνάρτηση f :(,) R με f() η οποία για κάθε (,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

x A. Είναι δηλαδή: ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ : Η ΕΥΡΕΣΗ ΚΑΙ Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΟΥ

x A. Είναι δηλαδή: ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ : Η ΕΥΡΕΣΗ ΚΑΙ Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΟΥ Σελίδα από 4 ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ : Η ΕΥΡΕΣΗ ΚΑΙ Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΟΥ Βαγγέλης Μουρούκος Μπάμπης Στεργίου ΥΠΟ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ-ΔΕΝ ΕΧΟΥΝ ΓΙΝΕΙ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ Περίληψη Στο άρθρο αυτό επιχειρούμε να εντοπίσουμε, να καταγράψουμε

Διαβάστε περισσότερα

********* Β ομάδα Κυρτότητα Σημεία καμπής*********

********* Β ομάδα Κυρτότητα Σημεία καμπής********* ********* Β ομάδα Κυρτότητα Σημεία καμπής********* 5 Για την δύο φορές παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση ισχύει: e για κάθε R. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της δεν παρουσιάζει σημείο καμπής. Υποθέτουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ : Η ΕΥΡΕΣΗ ΚΑΙ Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΟΥ

ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ : Η ΕΥΡΕΣΗ ΚΑΙ Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΟΥ Σελίδα από ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ : Η ΕΥΡΕΣΗ ΚΑΙ Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΟΥ Βαγγέλης Μουρούκος Μπάμπης Στεργίου Περίληψη Στο άρθρο αυτό επιχειρούμε να εντοπίσουμε, να καταγράψουμε και να περιγράψουμε με σχετικά σύντομο

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ πιο πάνω έννοιες εκφράζουν όπως λέμε τη μονοτονία της συνάρτησης.

ΟΙ πιο πάνω έννοιες εκφράζουν όπως λέμε τη μονοτονία της συνάρτησης. 3 Μονοτονία συναρτήσεων 3 Μονοτονία συναρτήσεων 3Α Μονοτονία συνάρτησης Έστω f μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού Γνησίως αύξουσα συνάρτηση Η συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα στο Δ αν για κάθε, Δ, με

Διαβάστε περισσότερα

Σύνολο τιμών συνάρτησης. Η εύρεση και η σημασία του.

Σύνολο τιμών συνάρτησης. Η εύρεση και η σημασία του. Φύλλα Μαθηματικής Παιδείας ΦΥΛΛΟ 17, 17 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 17 ISSN 1-3367 Εκδίδεται στην Αθήνα. Διανέμεται και αναπαράγεται ελεύθερα. Δικτυακός Τόπος: www.nsmavrogiannis.gr/ekthetis.htm Στοιχειοθετείται με το LATEX

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός Θεωρούμε μια συνάρτηση f συνεχή σ' ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. α) Θα λέμε ότι η f είναι κυρτή ή στρέφει τα κοίλα άνω στο Δ, αν η f

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ MIAΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ MIAΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ MIAΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Στα παρακάτω γίνεται μία προσπάθεια, ομαδοποίησης των ασκήσεων επίλυσης εξισώσεων και ανισώσεων, συναρτησιακών μορφών, συνεχών συναρτήσεων,

Διαβάστε περισσότερα

g(x) =α x +β x +γ με α= 1> 0 και

g(x) =α x +β x +γ με α= 1> 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..3: Μονότονες Συναρτήσεις - Αντίστροφη Συνάρτηση σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

y = 2 x και y = 2 y 3 } ή

y = 2 x και y = 2 y 3 } ή ΘΕΜΑ Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί z, w για τους οποίους ισχύουν οι σχέσεις z = και w i =. i). Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των z και w. ii). Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν μιγαδικοί αριθμοί z,

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com.

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. A. Οι κανόνες De L Hospital και η αρχική συνάρτηση κάνουν πιο εύκολη τη λύση των προβλημάτων με το Θ. Rolle. B. Η αλγεβρική

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις του διαγωνίσματος στις παραγώγους

Λύσεις του διαγωνίσματος στις παραγώγους Λύσεις του διαγωνίσματος στις παραγώγους Θέμα ο Α Έστω ότι f ), για κάθε α, ), β) Επειδή η f είναι συνεχής στο θα είναι γνησίως αύξουσα σε κάθε ένα από τα διαστήματα α, ] και [, β) Επομένως, για ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να εξετάσετε από τις παρακάτω συναρτήσεις ποιές ικανοποιούν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΕΠΙΚΑΙΡΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΣΤΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΗΣ ΝΕΑΣ ΥΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ. f ( x) 0 0 2x 0 x 0

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ. f ( x) 0 0 2x 0 x 0 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) 8 ΜΑΪΟΥ 6 ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία, βλ. σχολικό βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2014

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2014 ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μια συνάρτηση f: Α R η οποία είναι. Να γράψετε τον ορισμό της αντίστροφης συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 25/5/2015 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 25/5/2015 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β: . Σχολικό βιβλίο σελ.9. Σχολικό βιβλίο σελ.88 3. Σχολικό βιβλίο σελ.5. α) Λ Β. β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 5/5/5 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β: Έστω z=+yi. Κάνοντας πράξεις στη

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα. Η θεωρία και τι προσέχουμε. x, ισχύει: lim f (x) f ( ).

Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα. Η θεωρία και τι προσέχουμε. x, ισχύει: lim f (x) f ( ). Κεφάλαιο 4 Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα 411 Ερώτηση θεωρίας 1 Η θεωρία και τι προσέχουμε Πότε μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (, ) αβ; Απάντηση Μια συνάρτηση f θα λέμε

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Α3. Σχολικό βιβλίο σελ. 142 Γεωμετρική ερμηνεία του θ. Fermat: Στο σημείο (x o, f(x o )) η εφαπτομένη της C f είναι οριζόντια.

Α3. Σχολικό βιβλίο σελ. 142 Γεωμετρική ερμηνεία του θ. Fermat: Στο σημείο (x o, f(x o )) η εφαπτομένη της C f είναι οριζόντια. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΗΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 8 ΜΑΡΤΙΟΥ 08 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 76 Α. α. Ψ β. Σχολικό

Διαβάστε περισσότερα

Διαγωνίσματα ψηφιακού βοηθήματος σχολικού έτους

Διαγωνίσματα ψηφιακού βοηθήματος σχολικού έτους ΨΗΦΙΑΚΌ ΒΟΗΘΗΜΑ ΥΠΠΕΘ Διαγωνίσματα ψηφιακού βοηθήματος σχολικού έτους 7-8 Με τις λύσεις τους o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 7: ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΥΛΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ:ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΥΛΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ:ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΥΛΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ:ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΘΕΜΑ Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 06: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (Κεφάλαιο )

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΟΡΙΣΜΟΣ Όταν θέλουμε να εξετάσουμε ως προς τη συνέχεια μια συνάρτηση πολλαπλού τύπου, εργαζόμαστε ως εξής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Παύλος Βασιλείου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Παύλος Βασιλείου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Παύλος Βασιλείου Σε όλους αυτούς που παλεύουν για έναν καλύτερο κόσμο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ -ΟΡΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. f (f )(x) x f (f )(x) x f (f )(x) (f ) (x)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. f (f )(x) x f (f )(x) x f (f )(x) (f ) (x) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 4 Ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Βλέπε Σχολικό βιβλίο σελίδα 4 A α) Βλέπε Σχολικό βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων.

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων. Άσκηση Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων Μέρος ο i. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : A IR. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Α2. α. Ψ β. Σχολικό βιβλίο σελ. 134 ΣΧΟΛΙΟ): Πχ. για την

Α2. α. Ψ β. Σχολικό βιβλίο σελ. 134 ΣΧΟΛΙΟ): Πχ. για την ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 7 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 9 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο (έκδοση 8) σελ. 7 Α. α. Ψ β. Σχολικό

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων Άσκηση i. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : A IR. Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

2.8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2.8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 49 ΟΡΙΣΜΟΣ 6 4 Πότε μια συνάρτηση λέγεται κυρτή και πότε κοίλη σε ένα διάστημα Δ ; Απάντηση : Έστω μία συνάρτηση σ υ ν ε χ ή ς σ ένα

Διαβάστε περισσότερα

5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016

5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016 5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 6 Διάρκεια: 3 ώρες ΘΕΜΑ A Α Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Να αποδείξετε ότι αν η f είναι συνεχής στο Δ και f για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016 Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

[Κεφάλαιο 1 Μέρος Β' του σχολικού βιβλίου] x είναι συνεχής στο σαν άθροισμα συνεχών συναρτήσεων. για x. άρα g(x) 0 και αφού είναι συνεχής

[Κεφάλαιο 1 Μέρος Β' του σχολικού βιβλίου] x είναι συνεχής στο σαν άθροισμα συνεχών συναρτήσεων. για x. άρα g(x) 0 και αφού είναι συνεχής ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 3 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (Κεφάλαιο ) [Κεφάλαιο 1 Μέρος Β' του σχολικού βιβλίου] ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

35 Χρήσιμες Προτάσεις με αποδείξεις Γ Λυκείου Μαθηματικά Κατεύθυνσης

35 Χρήσιμες Προτάσεις με αποδείξεις Γ Λυκείου Μαθηματικά Κατεύθυνσης 4 5 35 Χρήσιμες Προτάσεις με αποδείξεις Γ Λυκείου Μαθηματικά Κατεύθυνσης Περίληψη: Στο ένθετο αυτό περιλαμβάνονται 35 βασικές προτάσεις, μικρά λήμματα χρήσιμα για τις εξετάσεις. Μας βοηθούν να «ξεκλειδώνουμε»

Διαβάστε περισσότερα

Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς Μαθηματικά Γ λυκείου Θ ε τ ι κ ών και οικονομικών σπουδών

Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς Μαθηματικά Γ λυκείου Θ ε τ ι κ ών και οικονομικών σπουδών Φ ρ ο ν τ ι σ τ ή ρ ι α δ υ α δ ι κ ό ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ δυαδικό Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς 6 Μαθηματικά Γ λυκείου Θ ε τ ι κ ών και οικονομικών σπουδών Τα θέματα επεξεργάστηκαν οι καθηγητές των Φροντιστηρίων

Διαβάστε περισσότερα

και γνησίως αύξουσα στο 0,

και γνησίως αύξουσα στο 0, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Σχολικό βιβλίο σελ 6 (i) A. Σχολικό βιβλίο σελ 141 Α. Σχολικό βιβλίο σελ 46-47 Α4. α. Λ β. Σ γ. Λ δ. Σ ε. Σ ΘΕΜΑ Β Β1. Ισχύει D f επειδή 1 1 1 Για κάθε η f είναι παραγωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ.

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Κατηγορία η Εύρεση μονοτονίας Τρόπος αντιμετώπισης:. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ο : Έστω, C με Re( ) και Re( ) Αν f() ( )( )( )( ) και

Διαβάστε περισσότερα

Συνθήκες Θ.Μ.Τ. Τρόπος αντιμετώπισης: 1. Για να ισχύει το Θ.Μ.Τ. για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, )

Συνθήκες Θ.Μ.Τ. Τρόπος αντιμετώπισης: 1. Για να ισχύει το Θ.Μ.Τ. για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) Κατηγορία η Συνθήκες ΘΜΤ Τρόπος αντιμετώπισης: Για να ισχύει το ΘΜΤ για μια συνάρτηση σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε ( ) ( a) '( ) ) πρέπει: a Η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ Θ.Μ.Τ. ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ Θ.Μ.Τ. ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ενότητα 19 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ Θ.Μ.Τ. ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1). Να βρεθεί η συνάρτηση f όταν: i) A, f ()=3 5 f(0)=1, ii) A=, f ()=συν-ημ f(π)=, Ασκήσεις για λύση - iii) A=, f ()=4e 6 f '(0)=f(0)=1,

Διαβάστε περισσότερα

2.8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2.8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 49 ΟΡΙΣΜΟΣ 6 4 Πότε μια συνάρτηση λέγεται κυρτή και πότε κοίλη σε ένα διάστημα Δ ; Απάντηση : Έστω μία συνάρτηση σ υ ν ε χ ή ς σ ένα διάστημα Δ και π α ρ α γ ω γ ί

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f+g είναι παραγωγίσιμη στο x. και ισχύει. Μονάδες 9 Α2. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α και [, ]

, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f+g είναι παραγωγίσιμη στο x. και ισχύει. Μονάδες 9 Α2. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α και [, ] ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 6-7 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ' Λυκείου Θέμα Α Α. Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Β κύκλος

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Β κύκλος ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β κύκλος 6-7 ) Δίνεται η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει : α) Να δείξετε ότι f()=+e -, f ()+f()=, για κάθε και f()=e+ β) Να βρείτε το όριο ( y f(y)) γ) Να δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 4 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμοί Μία συνάρτηση f λέγεται: 1 γνησίως αύξουσα σ' ένα υποσύνολο Β του πεδίου ορισμού της όταν για κάθε 1, Β με 1 < ισχύει ότι f( 1 ) < f( ) γνησίως φθίνουσα σ' ένα υποσύνολο Β

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2019 Β ΦΑΣΗ

ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2019 Β ΦΑΣΗ ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ / ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ημερομηνία: Σάββατο Μαΐου 9 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Απόδειξη σχολικού

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x Θέμα Α Θέματα Α. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι αν η f() διατηρεί πρόσημο στο (, ) (, ), τότε

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Θέματα στην Κατεύθυνση της Γ Α. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Γενικά Θέματα στην Κατεύθυνση της Γ Α. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ stergiu@otenet.gr Σελίδα από 4 Γενικά Θέματα στην Κατεύθυνση της Γ Αγαπητοί συνάδελφοι - Φίλοι μαθητές! Προσπάθησα να συγκεντρώσω ηλεκτρονικά μερικά γενικά επαναληπτικά θέματα που έφτιαξα ο ίδιος ή συνάντησα,

Διαβάστε περισσότερα

να είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle.

να είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle. Κατηγορία η Συνθήκες θεωρήματος Rolle Τρόπος αντιμετώπισης:. Για να ισχύει το θεώρημα Rolle για μια συνάρτηση σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε ( ) ) πρέπει:

Διαβάστε περισσότερα

Γ1. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να αποδείξετε ότι το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα (0, + ).

Γ1. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να αποδείξετε ότι το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα (0, + ). ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Γ. ίνεται η συνάρτηση f(),. Γ. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να αποδείξετε ότι το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα (, ). Γ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f( ( )) έχει στο σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Θέματα στην Κατεύθυνση της Γ Α. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Γενικά Θέματα στην Κατεύθυνση της Γ Α. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ stergiu@otenet.gr Σελίδα από 45 Γενικά Θέματα στην Κατεύθυνση της Γ Αγαπητοί συνάδελφοι - Φίλοι μαθητές! Προσπάθησα να συγκεντρώσω ηλεκτρονικά μερικά γενικά επαναληπτικά θέματα που έφτιαξα ο ίδιος ή συνάντησα,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ο : Έστω, C με Re( ) και Re( ) Αν f() ( )( )( )( ) και

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση.

Διαβάστε περισσότερα

Θ.Rolle Θ.Μ.T. Συνέπειες Θ.Μ.Τ

Θ.Rolle Θ.Μ.T. Συνέπειες Θ.Μ.Τ Θέματα Πανελλαδικών 000-05 στις Παραγώγους Εφαπτομένη Έστω η συνάρτηση f :, με f 000 ln Έστω η συνάρτηση Έστω c > 000 και έστω ότι η ευθεία y = c και η C f τέμνονται σε δύο διαφορετικά σημεία Α,Β του επιπέδου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Α ΜΕΡΟΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Α ΜΕΡΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7-8 Α ΜΕΡΟΣ Δίνεται η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει : f ()+f()=, για κάθε και f()=e+ α) Να δείξετε ότι f()=+e -, β) Να βρείτε το όριο lim ( lim f(y)) y γ) Να δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΩΣ ΔΕΔΟΜΕΝΟ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΟΙ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΩΣ ΔΕΔΟΜΕΝΟ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΟΙ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΩΣ ΔΕΔΟΜΕΝΟ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Είναι γνωστό ότι η απόδειξη ανισοτήτων είναι ένα ζήτημα που παρουσιάζει ιδιαίτερες δυσκολίες για τους μαθητές. Οι δυσκολίες αυτές συνδέονται τόσο με το

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Νίκος Ζανταρίδης (Φροντιστήριο Πυραμίδα) ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ένα γενικό θέμα Ανάλυσης Χρήσιμες Προτάσεις Ασκήσεις για λύση Μικρό βοήθημα για τον υποψήφιο μαθητή της Γ Λυκείου λίγο πριν τις εξετάσεις Απρίλιος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο : Έστω z, z C με R(z ) = και R(z ) = Αν f() ( z )( z )( z

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης Τετάρτη, 9 Μα ου Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της f στο Δ, τότε

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενες λύσεις. f (x) f (x ) f (x) f (x ) f (x) f (x ) (x x ). f (x) f (x ) lim[f (x) f (x )] lim (x x ) lim[f (x) f (x )] 0 lim f (x) f (x ),

Προτεινόμενες λύσεις. f (x) f (x ) f (x) f (x ) f (x) f (x ) (x x ). f (x) f (x ) lim[f (x) f (x )] lim (x x ) lim[f (x) f (x )] 0 lim f (x) f (x ), Πανελλαδικές Εξετάσεις 8 Μαθηματικά Προσανατολισμού /6/8 ΘΕΜΑ Α Προτεινόμενες λύσεις Α Αφού η f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο του πεδίου ορισμού της, ισχύει ότι: Για κάθε έχουμε: Επομένως ισχύει ότι: Δηλαδή:

Διαβάστε περισσότερα

f ( x) f ( x ) για κάθε x A

f ( x) f ( x ) για κάθε x A ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 3 3/04/06 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο Α. Τι ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y = f() ως προς το στο σημείο 0 ;

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β ΜΕΡΟΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β ΜΕΡΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7-8 Β ΜΕΡΟΣ. Δίνεται η τέσσερις φορές παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f τέτοια ώστε : f (4) () + f () () = ημ + συν, για κάθε και f() =, f () =, f () = - και f () () =. α) Να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE

ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Αν μια συνάρτηση f είναι : συνεχής στο κλειστό [α,β] παραγωγίσιμη στο ανοιχτό (α,β) f(α)=f(β) f 0 τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο ώστε ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ : σημαίνει ότι υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016 Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÊÏÑÕÖÇ ÓÅÑÑÅÓ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 19 ΜΑΪΟΥ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÊÏÑÕÖÇ ÓÅÑÑÅÓ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 19 ΜΑΪΟΥ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 9 ΜΑΪΟΥ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα. Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

f(x 2) 5 x 1 α) Να αποδείξετε ότι: i) f (3) = 5 και ii) f (3) = 6 x 2 f(x)

f(x 2) 5 x 1 α) Να αποδείξετε ότι: i) f (3) = 5 και ii) f (3) = 6 x 2 f(x) . Έστω η συνάρτηση = + e. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία.. Να λύσετε την εξίσωση e = 3. Θεωρούμε τη γνησίως μονότονη συνάρτηση g : R R η οποία για κάθε R ικανοποιεί τη σχέση g() + e g() = +.

Διαβάστε περισσότερα

Κατηγορία 1 η. Σταθερή συνάρτηση Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, f '( x) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ

Κατηγορία 1 η. Σταθερή συνάρτηση Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, f '( x) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ Κατηγορία η Σταθερή συνάρτηση Τρόπος αντιμετώπισης: Για να αποδείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ πρέπει: η συνάρτηση να είναι συνεχής στο Δ '( ) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του

Διαβάστε περισσότερα

( ) f( x ) ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Επώνυμο: Όνομα: Τμήμα: Ημερομηνία: Α Βαθ. Β Βαθ. Μ.Ο. (ενδεικτικές λύσεις)

( ) f( x ) ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Επώνυμο: Όνομα: Τμήμα: Ημερομηνία: Α Βαθ. Β Βαθ. Μ.Ο. (ενδεικτικές λύσεις) Επώνυμο: Όνομα: Τμήμα: ΤΣΙΜΙΣΚΗ & ΚΑΡΟΛΟΥ ΝΤΗΛ ΓΩΝΙΑ ΤΗΛ : 777 594 ΑΡΤΑΚΗΣ Κ. ΤΟΥΜΠΑ ΤΗΛ : 99 9494 www.sygrono.gr Ημερομηνία: Α Βαθ. Β Βαθ. Μ.Ο. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ενδεικτικές

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα α,β. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο α,β τότε να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 35) θ Bolzano θ Ενδιάμεσων τιμών θ Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Στο άρθρο αυτό επιχειρείται μια προσέγγιση των βασικών αυτών θεωρημάτων με εφαρμογές έ- τσι ώστε να

Διαβάστε περισσότερα

A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 8Α ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού o της ; Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ -ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο τουr Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα)

Διαβάστε περισσότερα

x, x (, x ], επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, x0]

x, x (, x ], επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, x0] Απαντήσεις στο ο Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέμα ο Α Έστω ότι f( ), για κάθε (, ) (, ) Επειδή η f είναι συνεχής στο θα είναι γνησίως αύξουσα σε κάθε ένα από τα διαστήματα (, ] και [,

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x,

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x, Θέμα Α Θέματα Α. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι αν η f() διατηρεί πρόσημο στο (, ) (, ), τότε

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( 3 ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) (( ) ( )) ( ) + = = και και και και. ζ να ταυτισθούν, δηλαδή θα πρέπει: f x ημ x. 6 x x x.

( ) ( ) ( 3 ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) (( ) ( )) ( ) + = = και και και και. ζ να ταυτισθούν, δηλαδή θα πρέπει: f x ημ x. 6 x x x. Ενδεικτικές Λύσεις Διαγωνίσματος (9--9) ΘΕΜΑ Α A. Απόδειξη σχολικού βιβλίου σελ. 5 Α. α. ψ β. Αντιπαράδειγμα σχολικού βιβλίου σελ. 99 Α. Ορισμός σχολικού βιβλίου σελ. 6 Α4. α) Σ β) Λ γ) Λ δ) Σ ε) Λ ΛΥΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2016

Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2016 ΘΕΜΑ Α Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 6 Α.. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ.6-(i) Α.. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ. 4 Α. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ. 46,47 Α.4. α. Λ β. Σ γ. Λ δ. Σ ε. Σ ΘΕΜΑ Β B. Η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος

Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής» Γ Λυκείου, 3/3/6 ΘΕΜΑ ο : Α. Τι ονομάζουμε αρχική

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 151 ο. x -f(t) 2f(x)+f (x)= 2 e dt και f(0) = 0.

ΘΕΜΑ 151 ο. x -f(t) 2f(x)+f (x)= 2 e dt και f(0) = 0. ΘΕΜΑ 5 ο Έστω συνάρτηση f :[0, + ) παραγωγίσιμη στο διάστημα [0, + ) για την οποία ισχύει : 2 -f(t) 2f()+f ()= 2 e dt και f(0) = 0. i) Να δείξετε ότι + f() 0 για κάθε є [0, + ). ii) Να δείξετε ότι η f

Διαβάστε περισσότερα

f(x) 0 (x f(x) g(x), lim f(x) lim g(x).

f(x) 0 (x f(x) g(x), lim f(x) lim g(x). 8 6 () A. f (, f f() ( f() (,, f( ) f. A. f, g 4 A. 4 A4., f:[, G f, f(t)dt G(. f,g f() g(), lim f() lim g(). f, f() (, (. f -,, y, y f(). f [, f [ M m. f(),. B. f f f. 6 B. f, f 9 B. f. 7 B4.,, f. e,.

Διαβάστε περισσότερα

A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 8Α ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού o της ; Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 18 ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 2016 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. f x = x 6x + 3, x 1, 1. Η f είναι συ-

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 18 ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 2016 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. f x = x 6x + 3, x 1, 1. Η f είναι συ- ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 8 ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 06 ΘΕΜΑ Α Α. i. Σωστό ii. Λάθος iii. Λάθος iv. Λάθος v. Λάθος ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ f = 6 +,,. Η f είναι συ- Α. Θεωρούμε συνάρτηση ( ) [ ]

Διαβάστε περισσότερα

[ α π ο δ ε ί ξ ε ι ς ]

[ α π ο δ ε ί ξ ε ι ς ] Γ' Λυκείου Κατεύθυνση [ α π ο δ ε ί ξ ε ι ς ] ε ξ ε τ α σ τ έ α ς ύ λ η ς 7-8 Επιμέλεια Κόλλας Αντώνης Όριο πολυωνυμικής στο Αν P( = αν ν + αν ν +... + α + α είναι πολυώνυμο του και, τότε: P( P( P( =...

Διαβάστε περισσότερα

κυρτές συναρτήσεις. Αν η g είναι γνησίως αύξουσα τότε η gof : είναι κυρτή. . Θα δείξουμε ότι η h είναι γνησίως αύξουσα.

κυρτές συναρτήσεις. Αν η g είναι γνησίως αύξουσα τότε η gof : είναι κυρτή. . Θα δείξουμε ότι η h είναι γνησίως αύξουσα. Άσκηση Έστω f, g: κυρτές συναρτήσεις Αν η g είναι γνησίως αύξουσα τότε η gof : είναι κυρτή Λύση Θα δείξουμε ότι η h ( ) Θέτουμε h( ) gof ( ) g f ( ) είναι γνησίως αύξουσα h( ) g f ( ) f ( ) Έχουμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

. Β2. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη με: 1 1 1, και f ( x) ( ln(ln x) ).

. Β2. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη με: 1 1 1, και f ( x) ( ln(ln x) ). 4 Ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (Σε όλη την ύλη) ΘΕΜΑ Α Σχολικό βιβλίο, σελίδα 4 Σχολικό βιβλίο, σελίδα Σχολικό βιβλίο, σελίδα 6 4 α) Σωστό β) Λάθος γ) Σωστό δ) Σωστό ε) Λάθος ΘΕΜΑ Β Β Θέτουμε f()

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ & ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ & ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 5 Σεπτεμβρίου 7 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ & ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απαντήσεις Θεμάτων Επαναληπτικών Πανελλαδικών Εξετάσεων Ημερησίων και Εσπερινών Γενικών Λυκείων ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

1. Υπολογίστε, όπου αυτές υπάρχουν, τις παραγώγους των συναρτήσεων:

1. Υπολογίστε, όπου αυτές υπάρχουν, τις παραγώγους των συναρτήσεων: Υπολογίστε, όπου αυτές υπάρχουν, τις παραγώγους των συναρτήσεων:, g, h Απάντηση: Η με έχει παράγωγο 4 Μπορούμε όμως να εργαστούμε ως εξής: Είναι άρα 4 Η g με g έχει παράγωγο : g Η συνάρτηση h με h έχει

Διαβάστε περισσότερα

52 Χρόνια ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΑΒΒΑΪΔΗ-ΜΑΝΩΛΑΡΑΚΗ ΠΑΓΚΡΑΤΙ : Εκφαντίδου 26 και Φιλολάου : Τηλ.:

52 Χρόνια ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΑΒΒΑΪΔΗ-ΜΑΝΩΛΑΡΑΚΗ ΠΑΓΚΡΑΤΙ : Εκφαντίδου 26 και Φιλολάου : Τηλ.: 5 Χρόνια ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΑΓΚΡΑΤΙ : Εκφαντίδου 6 και Φιλολάου : Τηλ.: 107601470-107600179 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 01 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ 1 ο Α. i) Θεωρία, σχολικό

Διαβάστε περισσότερα

Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ <

Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ < Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [008-009 < Mathematica.gr], τον οποίο κι ευχαριστώ ιδιαίτερα για

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 4 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος

Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -- Σχολικό Έτος 5-6 Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής»

Διαβάστε περισσότερα