Κώστας Γ. Σάλαρης, Ανδρέας Ν. Τριανταφύλλου. Μαθηματικά. για διαγωνισμούς. Ε & ΣΤ Δημοτικού

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κώστας Γ. Σάλαρης, Ανδρέας Ν. Τριανταφύλλου. Μαθηματικά. για διαγωνισμούς. Ε & ΣΤ Δημοτικού"

Transcript

1

2 Κώστας Γ. Σάλαρης, Ανδρέας Ν. Τριανταφύλλου Μαθηματικά για διαγωνισμούς Ε & ΣΤ Δημοτικού

3 Θέση υπογραφής δικαιούχου δικαιωμάτων πνευματικής ιδιοκτησίας, εφόσον η υπογραφή προβλέπεται από τη σύμβαση Το παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις της ελληνικής νομοθεσίας (Ν. 2121/1993, όπως έχει τροποποιηθεί και ισχύει σήμερα) και τις διεθνείς συμβάσεις περί πνευματικής ιδιοκτησίας. Απαγορεύεται απολύτως η άνευ γραπτής αδείας του εκδότη κατά οποιονδήποτε τρόπο ή μέσο (ηλεκτρονικό, μηχανικό ή άλλο) αντιγραφή, φωτοανατύπωση και εν γένει αναπαραγωγή, εκμίσθωση ή δανεισμός, μετάφραση, διασκευή, αναμετάδοση στο κοινό σε οποιαδήποτε μορφή και η εν γένει εκμετάλλευση του συνόλου ή μέρους του έργου. Εκδόσεις Πατάκη Εκπαίδευση Κωνσταντίνος Σάλαρης, Ανδρέας Τριανταφύλλου, Μαθηματικά για διαγωνισμούς Ε & ΣΤ Δημοτικού Διορθώσεις: Νάντια Κουτσουρούμπα Υπεύθυνος έκδοσης: Νίκος Κύρος Επιμέλεια: Γεωργία Ευθυμίου Dtp: Γιώργος Χατζησπύρος Φιλμ μοντάζ: Μαρία Ποινιού-Ρένεση Copyright Σ. Πατάκης Α.Ε.Ε.Δ.Ε. (Εκδόσεις Πατάκη), κληρονόμοι Κωνσταντίνου Σάλαρη και Ανδρέας Τριανταφύλλου, Αθήνα, 2019 Πρώτη έκδοση από τις Εκδόσεις Πατάκη, Αθήνα, Φεβρουάριος 2019 Κ.Ε.Τ. Γ280 Κ.Ε.Π. 13/19 ISBN ΠΑΝΑΓΗ ΤΣΑΛΔΑΡΗ (ΠΡΩΗΝ ΠΕΙΡΑΙΩΣ) 38, ΑΘΗΝΑ, ΤΗΛ.: , , , ΦΑΞ: ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΔΙΑΘΕΣΗ: ΕΜΜ. ΜΠΕΝΑΚΗ 16, ΑΘΗΝΑ, ΤΗΛ.: YΠOKΑΤΑΣΤΗMA BOPEIAΣ EΛΛAΔAΣ: KOPYTΣAΣ (TEPMA ΠONTOY ΠEPIOXH B KTEO), KAΛOXΩPI ΘEΣΣAΛONIKHΣ, Τ.Θ. 1213, ΤΗΛ.: , , ΦΑΞ: Web site: info@patakis.gr, sales@patakis.gr

4 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος Ένα συνοπτικό σημείωμα για τον γονιό και τον δάσκαλο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ 1.1 Φυσικοί αριθμοί Ορισμοί Απαγγελία και γραφή φυσικών αριθμών Μια ενδιαφέρουσα δραστηριότητα Μια σύντομη αναδρομή στον τρόπο γραφής των αριθμών και στα αριθμητικά συστήματα Διαιρετότητα Ιδιότητες διαιρετότητας Κριτήρια διαιρετότητας Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (ΜΚΔ) Εύρεση ΜΚΔ Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) Εύρεση ΕΚΠ Α. Ανάλυση ενός αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων Β. Ένας άλλος τρόπος για να βρούμε τον ΜΚΔ και το ΕΚΠ Δεκαδικοί αριθμοί Στρογγυλοποίηση φυσικών και δεκαδικών αριθμών Σύγκριση φυσικών και δεκαδικών αριθμών Πρόσθεση και αφαίρεση φυσικών και δεκαδικών αριθμών Μια ενδιαφέρουσα δραστηριότητα Πολλαπλασιασμός φυσικών και δεκαδικών αριθμών Πολλαπλασιασμοί με το 10, 100, 1.000, Πολλαπλασιασμοί με το 0,1, 0,01, 0,001, Διαίρεση φυσικών και δεκαδικών αριθμών Πράξεις με μεικτές αριθμητικές παραστάσεις Κλάσματα Μεικτοί αριθμοί Μετατροπή δεκαδικών σε κλάσματα και αντίστροφα Ιδιότητες κλασμάτων Πράξεις μεταξύ κλασμάτων Σύγκριση μεταξύ δύο κλασμάτων Δυνάμεις Μεταβλητές Εξισώσεις Μέθοδος για να λύνουμε εξισώσεις στις οποίες έχουμε όλες τις πράξεις

5 Μαθηματικά για Διαγωνισμούς 1.7 Λόγοι Ποσά Αναλογίες Στατιστική Αναλογίες Ανάλογα ποσά Αντιστρόφως ανάλογα ή αντίστροφα ποσά Η μέθοδος της αναγωγής στη μονάδα Η απλή μέθοδος των τριών στα ανάλογα ποσά Η απλή μέθοδος των τριών στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά Ποσοστά Τόκοι Επιτόκια Ποσοστά Ραβδογράμματα Πίνακας κατανομής συχνοτήτων Μέσος όρος (μέση τιμή) Μονάδες μέτρησης Μονάδες μέτρησης μήκους Μονάδες μάζας Μονάδες μέτρησης χρόνου Μονάδες μέτρησης χρήματος Ευρώ Μοτίβα Γεωμετρικά μοτίβα Αριθμητικά μοτίβα Επίλυση σύνθετων προβλημάτων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 2.1 Βασικές έννοιες της Γεωμετρίας Γωνίες Μονάδες μέτρησης γωνιών και τόξων Εμβαδόν Μονάδες μέτρησης Παραλληλόγραμμο Εμβαδόν παραλληλογράμμου Τρίγωνο Εμβαδόν τριγώνου Τραπέζιο Εμβαδόν τραπεζίου Κύκλος Κύβος και ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο Κύλινδρος Μονάδες μέτρησης όγκου Όγκος στερεών Κλίμακες ΓΕΝΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΛΥΣΕΙΣ ΓΕΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΕΝΙΚΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ

6 Περιεχόμενα ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α : ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΥ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ «ΠΑΙΧΝΙΔΙ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» Θέματα Ε Δημοτικού ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» Δωδεκάνησα ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» Δωδεκάνησα ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» Ενδεικτικές λύσεις των θεμάτων Ε Δημοτικού ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» Δωδεκάνησα ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» Δωδεκάνησα ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» Θέματα ΣΤ Δημοτικού ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά»

7 Μαθηματικά για Διαγωνισμούς 9ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» Δωδεκάνησα ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» Δωδεκάνησα ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» Ενδεικτικές λύσεις των θεμάτων ΣΤ Δημοτικού ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» Δωδεκάνησα ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» Δωδεκάνησα ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β : ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ Θέματα Μαθηματικών για την εισαγωγή στα Πρότυπα Γυμνάσια Ενδεικτικές λύσεις των θεμάτων Μαθηματικών για την εισαγωγή στα Πρότυπα Γυμνάσια Βιβλιογραφία

8 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Τα τελευταία σαράντα χρόνια η διδασκαλία των Μαθηματικών στην πρωτοβάθμια και στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση στηρίζεται στη δασκαλοκεντρική διδασκαλία με επεξήγηση από έδρας των μαθηματικών εννοιών από τον δάσκαλο και την ενασχόληση των μαθητών με την επίλυση ασκήσεων και πάλι ασκήσεων. Ίσως η κατάσταση αυτή έχει προκύψει από τις απαιτήσεις των εισαγωγικών εξετάσεων στα Ανώτερα και Ανώτατα Εκπαιδευτικά Ιδρύματα, που είναι κατεξοχήν η επίλυση ασκήσεων με παρεμβαλλόμενα θέματα θεωρίας από τα σχολικά εγχειρίδια. Οι ασκήσεις, όπως λέει και η ετυμολογία της λέξης, έχουν ως σκοπό την εξάσκηση των μαθητών. Αυτή όμως η εξάσκηση θα πρέπει να οδηγεί σε κάτι δημιουργικό. Η δημιουργία στα Μαθηματικά εμπεδώνεται μέσω της επίλυσης μαθηματικών προβλημάτων, είτε αυτά αφορούν προβλήματα της καθημερινής ζωής είτε ακόμα και επιστημονικά προβλήματα. Η Ένωση Δασκάλων των Μαθηματικών στις Ηνωμένες Πολιτείες της Αμερικής διακηρύσσει εδώ και 20 χρόνια ότι «H λύση προβλημάτων πρέπει να είναι στο κέντρο των σχολικών Μαθηματικών». Η σύγχρονη διδακτική των Μαθηματικών καθοδηγεί τους δασκάλους προς την κατεύθυνση της επίλυσης των μαθηματικών προβλημάτων. Πιστεύεται μάλιστα από τη συντριπτική μερίδα των επιστημόνων που ασχολούνται με τη διδακτική ότι μέσω της διαδικασίας επίλυσης προβλημάτων διδάσκεται ο μαθητής τις βασικές μαθηματικές έννοιες, καταστρώνει στρατηγικές και συνδέει τις μαθηματικές γνώσεις του με την πραγματικότητα της καθημερινής ζωής. Συμμεριζόμενοι την παραπάνω άποψη, παραδίνουμε στους μαθητές και στους δασκάλους τους ένα βιβλίο που προσπαθεί να διδάξει Μαθηματικά μέσα από την επίλυση προβλημάτων σε συνδυασμό με την απαραίτητη θεωρία σε συνοπτική μορφή και την παράθεση πληθώρας παραδειγμάτων και λυμένων ασκήσεων. Είναι γεγονός ότι με τα νέα βιβλία Μαθηματικών που δόθηκαν στους μαθητές του Δημοτικού και του Γυμνασίου γίνεται μια προσπάθεια να αλλάξει το σύστημα διδασκαλίας στα Μαθηματικά με την εισαγωγή δραστηριοτήτων και προβλημάτων που στηρίζονται σε διαθεματικές εφαρμογές. Τα αποτελέσματα μέχρι σήμερα, όπως παραδέχεται η εκπαιδευτική κοινότητα που διδάσκει τα Μαθηματικά, είναι πενιχρά. Ας ελπίσουμε ότι τα επόμενα χρόνια, καθώς θα εξοικειώνονται οι δάσκαλοι με τη νέα ύλη και θα καλύπτουν με προφορικό λόγο τις αδυναμίες του βιβλίου, θα δούμε περισσότερα θετικά αποτελέσματα. 7

9 Μαθηματικά για Διαγωνισμούς Πιστεύουμε ότι το παρόν βιβλίο, πέρα από τη βοήθεια που προσφέρει στους μαθητές των δύο τελευταίων τάξεων του Δημοτικού, στους μαθητές της Α τάξης του Γυμνασίου και στους δασκάλους και στους καθηγητές τους, κατευθύνει τους αναγνώστες σε δεξιότητες σκέψης, με τις οποίες κατεξοχήν ασχολούνται τα Μαθηματικά, όπως: η αριθμητική αντίληψη η ικανότητα επίλυσης προβλημάτων με απλούς υπολογισμούς η αναλυτική σκέψη και η κριτική ικανότητα ο επαγωγικός και διαγραμματικός συλλογισμός η ικανότητα κατηγοριοποίησης, ταξινόμησης και επεξεργασίας πληροφοριών η ταχύτητα και η ακρίβεια αντίληψης, η παρατηρητικότητα, η αντίληψη του χώρου κτλ. Εδώ και επτά χρόνια η Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία (ΕΜΕ) διοργανώνει τον μαθητικό διαγωνισμό «Παιχνίδι και Μαθηματικά», στον οποίο παίρνουν μέρος χιλιάδες μαθητές της Ε και της ΣΤ τάξης των Δημοτικών από όλες τις περιοχές της Ελλάδας. Ο αριθμός των μαθητών που έλαβαν μέρος στον διαγωνισμό το έτος 2013 ξεπέρασε τις Ο διαγωνισμός αυτός εντάσσεται στον κύκλο των μαθηματικών διαγωνισμών που ακολουθούν σε Γυμνάσιο και Λύκειο και οδηγούν τους μαθητές στους διεθνείς διαγωνισμούς των Μαθηματικών Ολυμπιάδων. Η ύλη που περιέχεται στο παρόν βιβλίο και η επιλογή των ασκήσεων έγινε με τέτοιον τρόπο, ώστε να προετοιμάζεται ο μαθητής της Ε και της ΣΤ τάξης του Δημοτικού κατάλληλα για την επιτυχή συμμετοχή του στον διαγωνισμό «Παιχνίδι και Μαθηματικά». Πέραν των διαγωνισμών της ΕΜΕ, το βιβλίο θα φανεί χρήσιμο και στους μαθητές που συμμετέχουν και σε άλλους μαθητικούς διαγωνισμούς, όπως ο διαγωνισμός «Καγκουρό». Θεωρούμε ότι το βιβλίο αυτό θα αποτελέσει ουσιαστικό βοήθημα των μαθητών που θα λάβουν μέρος στις εξετάσεις για την εισαγωγή τους στα Πρότυπα Γυμνάσια. 8

10 1.1 ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ Φυσικοί αριθμοί είναι οι 0, 1, 2, 3,, 8, 9,, 100, 101,, 500, Κάθε φυσικός αριθμός δημιουργείται από τον προηγούμενό του, με πρόσθεση σε αυτόν του αριθμού 1. Εξαίρεση αποτελεί το 0, που δεν έχει προηγούμενο αριθμό. Για παράδειγμα, ο αριθμός 2 δημιουργείται από τον προηγούμενό του 1, με πρόσθεση σε αυτόν του 1, και ο αριθμός 9 δημιουργείται προσθέτοντας στον προηγούμενό του 8 τον 1. Έτσι, αν βρούμε έναν φυσικό αριθμό, οσοδήποτε μεγάλο, και προσθέσουμε σε αυτόν τον 1, θα δημιουργήσουμε έναν νέο φυσικό αριθμό που είναι μεγαλύτερός του. Καταλήγουμε λοιπόν στο συμπέρασμα ότι για κάθε φυσικό αριθμό υπάρχει ακόμα ένας μεγαλύτερος και από αυτόν ένας μεγαλύτερος κ.ο.κ. Επομένως κατανοούμε ότι οι φυσικοί αριθμοί «δεν τελειώνουν ποτέ», έχουν δηλαδή άπειρο πλήθος ή είναι άπειροι. Για να γράψουμε έναν φυσικό αριθμό, χρησιμοποιούμε τα δέκα ψηφία 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 και 9, τα οποία και αποκαλούμε ψηφία του δεκαδικού συστήματος ή ψηφία του αριθμητικού συστήματος που έχει βάση το 10. Ανάλογα με το πλήθος των ψηφίων που έχει ο αριθμός που δημιουργείται βάζοντας το ένα ψηφίο δίπλα στο άλλο, λέγεται αντίστοιχα μονοψήφιος, διψήφιος, τριψήφιος,..., δεκαψήφιος κτλ. Διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί λέγονται οι φυσικοί αριθμοί που ο ένας διαφέρει από τον προηγούμενό του κατά μία μονάδα, π.χ. 5, 6, 7, 8, 21

11 Μαθηματικά για Διαγωνισμούς Ακολουθούν οι ορισμοί που αφορούν φυσικούς αριθμούς: Άρτιοι (ζυγοί) (0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ) λέγονται οι αριθμοί που το τελευταίο τους ψηφίο είναι 0 ή 2 ή 4 ή 6 ή 8. Παραδείγματα άρτιων (ζυγών) αριθμών είναι ο και ο Περιττοί (μονοί) (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ) λέγονται οι αριθμοί που το τελευταίο τους ψηφίο είναι 1 ή 3 ή 5 ή 7 ή 9. Παραδείγματα περιττών (μονών) αριθμών είναι ο 33 και ο Παλίνδρομοι ή καρκινικοί λέγονται οι αριθμοί που διαβάζονται το ίδιο από αριστερά προς τα δεξιά και από δεξιά προς τα αριστερά. Παραδείγματα παλίνδρομων αριθμών είναι οι 22, 121, 2.332, Όλοι οι μονοψήφιοι αριθμοί, δηλαδή οι 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, είναι παλίνδρομοι. Πρώτοι λέγονται οι αριθμοί που είναι μεγαλύτεροι του 1 και έχουν μοναδικούς διαιρέτες τον εαυτό τους και τη μονάδα (αριθμό 1). Ο φυσικός αριθμός που έχει τουλάχιστον τρεις διαιρέτες ονομάζεται σύνθετος. Ο φυσικός αριθμός 2 είναι πρώτος, διότι έχει μόνο δύο διαιρέτες, τον ίδιο τον αριθμό, δηλαδή τον 2, και τη μονάδα, δηλαδή τον 1. Πρώτος είναι και ο αριθμός 3, καθώς και ο 17 για τον ίδιο λόγο. Αντίθετα, ο φυσικός αριθμός 4 είναι σύνθετος, καθώς, πέρα από τον ίδιο τον αριθμό, τον 4, και τη μονάδα, έχει διαιρέτη και τον αριθμό 2. Οι αριθμοί 0 και 1 δεν είναι ούτε πρώτοι ούτε σύνθετοι. Τέλειοι λέγονται οι αριθμοί που το διπλάσιό τους είναι ίσο με το άθροισμα των διαιρετών τους. Ο 6 είναι τέλειος, διότι Δ (6) 1, 2, 3, 6 και ( 2 6). Ο επόμενος τέλειος αριθμός είναι ο 28, διότι Δ (28) 1, 2, 4, 7, 14, 28 και το άθροισμα των διαιρετών είναι ( 2 28). Ο επόμενος τέλειος αριθμός είναι ο 496. Πολύγωνοι λέγονται οι αριθμοί οι οποίοι μπορούν να παρασταθούν με τελείες που αντιστοιχούν σε κορυφές πολυγώνου (τριγώνου, τετραγώνου, πενταγώνου κ.ο.κ.). Ανάλογα με το γεωμετρικό σχήμα που παριστάνουν οι τελείες, οι αριθμοί ονομάζονται τρίγωνοι, τετράγωνοι, πεντάγωνοι κτλ. Οι Πυθαγόρειοι ήταν εκείνοι που πρώτοι συνέδεσαν τους αριθμούς με τη Γεωμετρία. 22

12 Κεφάλαιο 1: Αριθμητική Τρίγωνοι αριθμοί 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, Τετράγωνοι αριθμοί 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, Πεντάγωνοι αριθμοί 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, Πυθαγόρειες τριάδες Πυθαγόρεια τριάδα ονομάζουμε κάθε τριάδα αριθμών οι οποίοι είναι μήκη των τριών πλευρών ορθογώνιου τριγώνου. Για τα μήκη των πλευρών ορθογώνιου τριγώνου ισχύει το πυθαγόρειο θεώρημα: 23

13 Μαθηματικά για Διαγωνισμούς «Το τετράγωνο της υποτείνουσας ενός ορθογώνιου τριγώνου είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών του». Η υποτείνουσα είναι η πλευρά α που βρίσκεται απέναντι από την ορθή γωνία. Για παράδειγμα, οι τριάδες (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (20, 21, 29) κτλ. είναι πυθαγόρειες τριάδες. Πυθαγόρειες τριάδες έχουν βρεθεί και σε βαβυλωνιακές πινακίδες. Τη γενική μέθοδο όμως υπολογισμού των τριάδων έδωσαν οι Πυθαγόρειοι, από τους οποίους και πήραν το όνομά τους. Οι φυσικοί αριθμοί καθώς και όλες οι υποκατηγορίες τους, όπως άρτιοι, περιττοί, παλίνδρομοι, πρώτοι, τέλειοι και πολύγωνοι αριθμοί, ήταν γνωστοί στους αρχαίους Έλληνες από τον 5ο αιώνα πριν από τη γέννηση του Χριστού. Τα πρώτα βιβλία στα οποία αναφέρονται οι φυσικοί αριθμοί και οι ιδιότητές τους είναι γραμμένα από τον γνωστό Έλληνα μαθηματικό της αρχαιότητας Ευκλείδη. Για τους φυσικούς αριθμούς ο Γερμανός μαθηματικός του 19ου αιώνα Leopold Kronecker έλεγε ότι ήταν δώρο του Θεού στους ανθρώπους. Όλοι οι υπόλοιποι αριθμοί είναι κατασκεύασμα των ανθρώπων. Αν από τους φυσικούς αριθμούς βγάλουμε το 0, τότε οι υπόλοιποι αριθμοί ονομάζονται ακέραιοι της αριθμητικής, και μάλιστα θετικοί ακέραιοι. Όπως θα δούμε αργότερα, υπάρχουν και οι αρνητικοί ακέραιοι. Τους αρνητικούς ακεραίους θα τους συναντήσετε στο Γυμνάσιο. 24

14 Κεφάλαιο 1: Αριθμητική ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Πρόβλημα 001 Ο Κώστας άρχισε να διαβάζει τη Δευτέρα ένα βιβλίο που είχε 208 σελίδες. Τη Δευτέρα διάβασε 48 σελίδες, την Τρίτη 32 σελίδες, την Τετάρτη 49 σελίδες και την Πέμπτη τέλειωσε το διάβασμα του βιβλίου. Πόσες σελίδες διάβασε την Πέμπτη; Πρόβλημα 002 Ένα φύλλο τριφυλλιού σκέπασε τον τελευταίο αριθμό της ισότητας: Ποιος αριθμός κρύβεται κάτω από το τριφύλλι; Πρόβλημα 003 Η Κατερίνα μένει στο σπίτι με τους γονείς της, την αδελφή της, έναν σκύλο, δύο γάτες, δύο κότες και τέσσερα χρυσόψαρα. Πόσα πόδια έχουν όλοι όσοι μένουν στο σπίτι; Πρόβλημα 004 Η Μάνια και η Κατερίνα πρέπει να λύσουν συνολικά 10 ασκήσεις Μαθηματικών. Η Μάνια πρέπει να λύσει δύο ασκήσεις περισσότερες από την Κατερίνα. Πόσες ασκήσεις πρέπει να λύσει η Κατερίνα; Πρόβλημα 005 Ο Κώστας σε μια εργασία Μαθηματικών που του έδωσε ο δάσκαλος για το σπίτι πρέπει να προσθέσει 5 αριθμούς. Κάνει τις πράξεις στο πρόχειρο και τις μεταφέρει στο καθαρό του τετράδιο. Κατά τη μεταφορά όμως ξέχασε έναν προσθετέο και αντί για πέντε προσθετέους έγραψε τέσσερις. Έτσι, αντιγράφοντας στο καθαρό τετράδιο, έγραψε Το αποτέλεσμα της πρόσθεσης είναι σωστό. Ποιος είναι ο αριθμός που ξέχασε ο Κώστας να μεταφέρει στο καθαρό τετράδιο; Πρόβλημα 006 Ο Παύλος διάβασε 20 μικρές ιστορίες που η καθεμία είχε 10 σελίδες. Η Άννα διάβασε 10 βιβλία με 50 σελίδες το καθένα. Πόσες σελίδες περισσότερες διάβασε η Άννα από τον Παύλο; 25

15 Μαθηματικά για Διαγωνισμούς Πρόβλημα 007 Δίνονται τα ψηφία 3, 5, 7, 2. Να κατασκευάσετε από τα ψηφία αυτά τον μεγαλύτερο και τον μικρότερο αριθμό παίρνοντας το κάθε ψηφίο μία μόνο φορά και να βρείτε τη διαφορά του μικρότερου αριθμού από τον μεγαλύτερο. Πρόβλημα 008 Ποιος από τους ακόλουθους αριθμούς έχει τα περισσότερα μηδενικά; α) Έντεκα εκατομμύρια είκοσι χιλιάδες. β) Δεκαπέντε εκατομμύρια έντεκα χιλιάδες εκατό. γ) Δέκα εκατομμύρια δύο. δ) Δεκατρία εκατομμύρια τριακόσιες χιλιάδες εξακόσια. ε) Δέκα εκατομμύρια διακόσιες μία χιλιάδες δύο. Πρόβλημα 009 Ποιος από τους παρακάτω αριθμούς έχει στη θέση των μονάδων τις περισσότερες μονάδες; α) Έντεκα εκατομμύρια εκατόν είκοσι χιλιάδες έντεκα. β) Δεκαπέντε εκατομμύρια έντεκα χιλιάδες εκατό. γ) Δέκα εκατομμύρια δώδεκα. δ) Δεκατρία εκατομμύρια τριακόσιες χιλιάδες εξακόσια. ε) Δέκα εκατομμύρια εκατόν μία χιλιάδες εκατόν έντεκα. Πρόβλημα 010 Δύο διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί έχουν άθροισμα 603. Ποιος είναι ο μικρότερος από αυτούς; Πρόβλημα 011 Δύο διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί έχουν άθροισμα Ποιος είναι ο μεγαλύτερος από αυτούς; Πρόβλημα 012 Πέντε φίλοι ζυγίζονται ανά δύο σε όλους τους δυνατούς συνδυασμούς. Μετά από τις ζυγίσεις έχουμε τα εξής αποτελέσματα: 90 κιλά, 92 κιλά, 93 κιλά, 94 κιλά, 95 κιλά, 96 κιλά, 97 κιλά, 98 κιλά, 100 κιλά, 101 κιλά. Πόσα κιλά ζυγίζουν και τα πέντε αγόρια μαζί; Πρόβλημα 013 Αν 7 μεγάλες μπάλες μαζί με 11 μικρές μπάλες ζυγίζουν 97 γραμμάρια και 9 μικρές μπάλες μαζί με 13 μεγάλες ζυγίζουν 123 γραμμάρια, πόσα γραμμάρια ζυγίζει ένα ζευγάρι από μία μικρή και μία μεγάλη μπάλα; 26

16 2.1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Οι αρχαίοι Έλληνες ήταν οι πρώτοι που ανέδειξαν τη Γεωμετρία ως οργανωμένο κλάδο των Μαθηματικών. Ο μεγάλος μαθηματικός Ευκλείδης με την έκδοση των 13 βιβλίων με την ονομασία Στοιχεία θεμελίωσε τη Γεωμετρία, η οποία προς τιμήν του ονομάζεται μέχρι και σήμερα Ευκλείδεια Γεωμετρία. Η Ευκλείδεια Γεωμετρία στηρίζεται σε έναν αριθμό προτάσεων οι οποίες είναι αυταπόδεικτες και ονομάζονται αξιώματα, αποτελούν δε τα δομικά υλικά με τα οποία χτίζεται το οικοδόμημα της Γεωμετρίας. Τα βασικότερα αξιώματα, όπως τα διατύπωσε ο Ευκλείδης το 300 π.χ. περίπου, είναι: Σημείο είναι καθετί που δεν έχει διαστάσεις. Το σημείο δεν έχει μήκος, πλάτος και πάχος. Το συμβολίζουμε με μια τελεία και το ονομάζουμε με ένα από τα πρώτα γράμματα του ελληνικού αλφαβήτου Α, Β, Γ, Δ κτλ. Γραμμή είναι αυτό που έχει μήκος χωρίς πλάτος. Δημιουργείται από τη συνεχή μετακίνηση ενός σημείου επάνω σε μια επιφάνεια. Η γραμμή δεν έχει τέλος και από τις δύο κατευθύνσεις. Η γραμμή έχει μόνο μία διάσταση, το μήκος. Ευθεία γραμμή είναι εκείνη η γραμμή που κείται εξίσου προς τα σημεία της. 147

17 Μαθηματικά για Διαγωνισμούς Μια τεντωμένη κλωστή μάς δίνει την εικόνα μιας ευθείας γραμμής μεταξύ δύο σημείων Α και Β. Από δύο σημεία περνάει μία και μόνο ευθεία. Ένα κομμάτι ευθείας που περιλαμβάνεται μεταξύ δύο σημείων Α και Β λέγεται ευθύγραμμο τμήμα. Το ευθύγραμμο τμήμα έχει συγκεκριμένο μήκος. A B Ένα σημείο A πάνω σε μια ευθεία x x τη χωρίζει σε δύο κομμάτια που λέγονται ημιευθείες Ax και Ax. Επίπεδη επιφάνεια είναι εκείνη η επιφάνεια που κείται εξίσου προς τις ευθείες της. Παραδείγματα επίπεδων επιφανειών είναι η επιφάνεια ενός μαρμάρινου δαπέδου ή η επιφάνεια ενός τραπεζιού, με την επάνω του επιφάνεια να αποτελείται από φύλλο γυαλιού. Το επίπεδο το συμβολίζουμε με το διπλανό σχήμα και αναφερόμαστε σε αυτό με το γράμμα Π. Π 148

18 2.2 ΓΩΝΙΕΣ Ας πάρουμε δύο ημιευθείες σε ένα φύλλο πλευρά Α χαρτιού, την ΟΑ και την ΟΑ, που έχουν κορυφή Ο κοινή αρχή το σημείο O. Ονομάζουμε γωνία ΑΟ^ Α το μέρος του επιπέδου που περιλαμβάνεται μεταξύ των πλευρά ημιευθειών ΟΑ και ΟΑ (χώρος των διακεκομμένων γραμμών), συμπεριλαμβανομένων και των ημιευθειών ΟΑ, ΟΑ. Το σημείο Ο ονομάζεται κορυφή της γωνίας. Α Δεχόμαστε ότι οι ημιευθείες ΟΑ και ΟΑ επεκτείνονται και πέρα από το χαρτί, οπότε αντίστοιχα επεκτείνεται και η γωνία (το μέρος του επιπέδου που περιλαμβάνεται μεταξύ των ημιευθειών ΟΑ και ΟΑ ). Μπορούμε να συγκρίνουμε γωνίες μεταξύ τους αν τοποθετήσουμε τη μία επάνω στην άλλη, με την κορυφή και τη μία πλευρά τους να συμπίπτουν και η άλλη πλευρά τους να βρίσκεται προς το ίδιο μέρος της κοινής πλευράς. Αν η άλλη πλευρά τους επίσης συμπίπτει, τότε οι γωνίες είναι ίσες (έχουν το ίδιο άνοιγμα). Αν δε συμπίπτει, είναι άνισες, οπότε μπορούμε να διαπιστώσουμε ποια από τις δύο γωνίες είναι η μεγαλύτερη. Για να μετρήσουμε μια γωνία, χρησιμοποιούμε το μοιρογνωμόνιο. Όταν θέλουμε να κατασκευάσουμε στο χαρτί μια γωνία, π.χ. 120 μοιρών, με κορυφή το σημείο Ο και πλευρά την ΟΒ, τοποθετούμε το μοιρογνωμόνιο όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα και φέρνουμε την πλευρά ΟΑ, η οποία πρέπει να περνάει από το σημείο του μοιρογνωμονίου που έχει την ένδειξη

19 Μαθηματικά για Διαγωνισμούς Μια γωνία μπορεί να είναι οξεία (μικρότερη από 90 ), ορθή (ίση με 90 ) ή αμβλεία (μεγαλύτερη από 90 ). Για να βρούμε το άθροισμα 2 ή περισσότερων γωνιών, μπορούμε: είτε να αθροίσουμε τα μεγέθη τους: ÁÏÃ ÂÅÄ 65,19 43,97 109,16 είτε να τοποθετήσουμε τη μία δίπλα στην άλλη (πρακτικά, πρώτα αποτυπώνουμε σε διαφανές χαρτί τη γωνία που θέλουμε να μεταφέρουμε), ώστε οι κορυφές και η μία πλευρά τους να συμπίπτουν και να μην έχουν κανένα άλλο κοινό σημείο, δηλαδή οι άλλες πλευρές να είναι εκατέρωθεν (να μην είναι προς το ίδιο μέρος) της κοινής πλευράς, και να μετρήσουμε με το μοιρογνωμόνιο το συνολικό μέγεθος της γωνίας που ορίζεται από την κοινή κορυφή και τις μη κοινές πλευρές των γωνιών. Για να βρούμε τη διαφορά 2 γωνιών, μπορούμε: είτε να αφαιρέσουμε τα μεγέθη τους: ÁÏÃ ÂÅÄ 65,19 43,97 21,22 150

20 Κεφάλαιο 2: Γεωμετρία είτε να τοποθετήσουμε τη μία πάνω στην άλλη (πρακτικά, πρώτα αποτυπώνουμε σε διαφανές χαρτί τη γωνία που θέλουμε να μεταφέρουμε), ώστε οι κορυφές και η μία πλευρά τους να συμπίπτουν και οι άλλες πλευρές να είναι προς το ίδιο μέρος της κοινής πλευράς, και να μετρήσουμε με το μοιρογνωμόνιο το μέγεθος της γωνίας που ορίζεται από την κοινή κορυφή και τις μη κοινές πλευρές των γωνιών. Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι πάντοτε 180 : Á Â Ã 180 Το άθροισμα των γωνιών ενός τετραπλεύρου είναι πάντα 360 : Á Â Ã Ä 360 ή 4 ορθές 151

21 2.3 ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΓΩΝΙΩΝ ΚΑΙ ΤΟΞΩΝ Ένας κύκλος οποιασδήποτε ακτίνας ρ χωρίζεται σε 360 ίσα τμήματα. Η γωνία που έχει την κορυφή της στο κέντρο του κύκλου (επίκεντρη γωνία) και οι πλευρές της καταλήγουν στα άκρα ενός από αυτά τα τμήματα λέμε ότι είναι μία μοίρα (1 μοίρα) και συμβολίζεται 1. Η μία μοίρα υποδιαιρείται σε 60 ίσα μέρη, το καθένα από τα οποία λέγεται ένα πρώτο λεπτό της μοίρας και συμβολίζεται 1. Το ένα πρώτο λεπτό της μοίρας το χωρίζουμε σε 60 ίσα μέρη, το καθένα από τα οποία λέγεται ένα δεύτερο λεπτό της μοίρας και συμβολίζεται 1. Το μέτρο ενός τόξου κύκλου είναι ίσο με το μέτρο της επίκεντρης γωνίας που οι πλευρές της καταλήγουν στα άκρα του. Ισχύει η ισότητα Ολόκληρο το τόξο οποιουδήποτε κύκλου είναι 360. Μια γωνία με πλευρές αντικείμενες ημιευθείες είναι 180. Το μισό τόξο ενός κύκλου οποιασδήποτε ακτίνας είναι 180. Μια γωνία που οι πλευρές της είναι ημιευθείες κάθετες μεταξύ τους είναι 90. Το τέταρτο ενός κύκλου οποιασδήποτε ακτίνας είναι

22 dam 2 m 2 dm 2 cm ΕΜΒΑΔΟΝ ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ Εμβαδόν μιας επίπεδης επιφάνειας είναι ο αριθμός που εκφράζει το αποτέλεσμα της μέτρησής της, δηλαδή της σύγκρισής της με τη μονάδα μέτρησης εμβαδών που ορίζεται να είναι το τετραγωνικό μέτρο (τ.μ. ή m 2 ). Υποδιαιρέσεις του τετραγωνικού μέτρου είναι: το τετραγωνικό δεκατόμετρο (τ.δεκ. ή dm 2 ), το τετραγωνικό εκατοστόμετρο (τ.εκ. ή cm 2 ) και το τετραγωνικό χιλιοστόμετρο (τ.χιλ. ή mm 2 ). Πολλαπλάσιο του τετραγωνικού μέτρου είναι το τετραγωνικό χιλιόμετρο (τ.χμ. ή km 2 ), όπου 1 τ.χμ τ.μ. H σχέση που συνδέει τις παραπάνω μονάδες μέτρησης είναι: 1 m dm cm mm 2 1 mm 2 0,01 cm 2 0,0001 dm 2 0, m 2 Όταν θέλουμε να μετατρέψουμε τα m 2 σε dm 2, cm 2, mm 2, πολλαπλασιάζουμε με 100, , αντίστοιχα. Αντίστροφα, όταν θέλουμε να μετατρέψουμε τα mm 2 σε cm 2, dm 2, m 2, πολλαπλασιάζουμε με 0,01, 0,0001, 0, αντίστοιχα. Εποπτικά μπορούμε να φανταστούμε ότι τα πολλαπλάσια και οι υποδιαιρέσεις του τετραγωνικού μέτρου βρίσκονται στα σκαλιά μιας σκάλας, ως εξής: km 2 lm 2 Πολλαπλασιάζoυμε με 100 κατεβαίνοντας από σκαλί σε σκαλί. Πολλαπλασιάζουμε με 0,01 ανεβαίνοντας από σκαλί σε σκαλί. mm 2 153

23 Μαθηματικά για Διαγωνισμούς ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ Να συμπληρώσετε τον πίνακα: Μονάδα Εμβαδόν Εμβαδόν Εμβαδόν Εμβαδόν Εμβαδόν Εμβαδόν m 2 3 1,5 dm cm mm ΑΠΑΝΤΗΣΗ Τα 3 m 2 είναι dm 2 ή cm 2 ή mm 2. Τα 25 dm 2 είναι 25 : 100 0,25 m 2 ή cm 2 ή mm 2. Τα 700 cm 2 είναι 700 : dm 2 ή 7 : 100 0,07 m 2 ή mm 2. Τα mm 2 είναι : cm 2 ή 85 : 100 0,85 dm 2 ή 0,85 : 100 0,0085 m 2. Tα 670 dm 2 είναι cm 2 ή mm 2 ή 670 : 100 6,7 m 2. Tα 1,5 m 2 είναι 1, dm 2 ή cm 2 ή mm 2. Τελικά ο πίνακας γίνεται: Μονάδα Εμβαδόν Εμβαδόν Εμβαδόν Εμβαδόν Εμβαδόν Εμβαδόν m 2 3 0,25 0,07 0,0085 6,7 1,5 dm , cm mm

24 2.5 ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟΥ Παραλληλόγραμμο είναι το τετράπλευρο που έχει ανά δύο τις απέναντι πλευρές του παράλληλες. Το παραλληλόγραμμο που έχει και τις τέσσερις γωνίες του ορθές ονομάζεται ορθογώνιο, ενώ το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο που έχει και τις τέσσερις πλευρές του ίσες ονομάζεται τετράγωνο. Ύψος είναι το ευθύγραμμο τμήμα που είναι κάθετο και στις δύο παράλληλες πλευρές του παραλληλογράμμου. Κάθε παραλληλόγραμμο έχει 2 ύψη. (Συνηθίζουμε από μία κορυφή να φέρνουμε κάθετη στην απέναντι πλευρά.) Το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου ισούται με το γινόμενο μιας βάσης του επί το αντίστοιχο σε αυτήν ύψος. Δηλαδή Ε β υ. Για να βρούμε το εμβαδόν ορθογώνιου παραλληλογράμμου, πολλαπλασιάζουμε τη μία πλευρά επί την άλλη, δεδομένου ότι, αν τη μία πλευρά τη θεωρήσουμε βάση, η άλλη θα είναι το ύψος. Δ Α β Γ Β υ Για να βρούμε το εμβαδόν τετραγώνου, πολλαπλασιάζουμε την πλευρά του επί τον εαυτό της, αφού στο τετράγωνο όλες οι πλευρές είναι ίσες και, αν τη μία πλευρά τη θεωρήσουμε βάση, η άλλη θα είναι το ύψος. 155

25 Μαθηματικά για Διαγωνισμούς Παραδείγματα 1. Στο διπλανό σχήμα βλέπετε ένα ορθογώνιο. Μπορούμε να πάρουμε ως βάση την πλευρά ΔΓ, οπότε το ύψος θα είναι η πλευρά ΑΔ και το εμβαδόν του ορθογωνίου θα είναι Ε ΔΓ ΑΔ. Αν πάρουμε ως βάση την πλευρά ΑΔ, το ύψος θα είναι η ΔΓ και το εμβαδόν θα είναι Ε ΑΔ ΔΓ. Α Δ Β Γ 2. Στο διπλανό σχήμα βλέπουμε ένα τετράγωνο με πλευρά α. Επειδή στο τετράγωνο όλες οι πλευρές είναι ίσες μεταξύ τους, η βάση και το ύψος είναι ίσα, οπότε το εμβαδόν θα είναι Ε α α α 2. Δ Γ Α α Β EΦΑΡΜΟΓH Να βρεθούν τα ύψη του παραλληλογράμμου του διπλανού σχή ματος, το οποίο έχει πλευρές ίσες με 25 εκ. και 50 εκ., αν γνωρίζουμε ότι έχει εμβαδόν 100 τ.εκ. ΛΥΣΗ Σύμφωνα με το σχήμα, αν πάρουμε ως βάση την ΑΒ, θα έχουμε: 50 υ 1 100, οπότε υ : 50, άρα υ 1 2 εκ. Αν πάρουμε ως βάση τη ΒΓ, θα έχουμε: 25 υ 2 100, οπότε υ : 25, άρα υ 2 4 εκ. 156

26 2.6 ΤΡΙΓΩΝΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ Τρίγωνο είναι το γεωμετρικό σχήμα που έχει τρεις πλευρές και τρεις κορυφές (άρα και τρεις γωνίες). Τα τρίγωνα χαρακτηρίζονται είτε σύμφωνα με τις πλευρές τους είτε σύμφωνα με τις γωνίες τους. Με κριτήριο τις πλευρές έχουμε τρία είδη τριγώνων: Το σκαληνό, που έχει άνισες πλευρές. Το ισόπλευρο, που έχει και τις τρεις πλευρές ίσες (και τις τρεις γωνίες ίσες). Το ισοσκελές, που έχει δύο πλευρές ίσες (και δύο γωνίες ίσες). 157

27 Μαθηματικά για Διαγωνισμούς Με κριτήριο τις γωνίες έχουμε τρία είδη τριγώνων: Το ορθογώνιο, που έχει τη μία γωνία ορθή, δηλαδή 90. Το οξυγώνιο, που έχει και τις τρεις γωνίες οξείες, δηλαδή η καθεμία έχει μέτρο μικρότερο των 90. Το αμβλυγώνιο, που έχει μία γωνία αμβλεία, δηλαδή με μέτρο μεγαλύτερο των 90. Ύψος ενός τριγώνου είναι το κάθετο ευθύγραμμο τμήμα που φέρνουμε από την κάθε κορυφή προς την απέναντι πλευρά. Ένα τρίγωνο έχει τρεις πλευρές (την ΑΓ, την ΑΒ και τη ΒΓ) και τρία ύψη (το ύψος υ από την κορυφή Α στην απέναντι πλευρά ΒΓ = α, το ύψος υ από την κορυφή Β στην απέναντι πλευρά ΑΓ = β και το ύψος υ από την κορυφή Γ στην απέναντι πλευρά ΑΒ = γ). 158

28 Κεφάλαιο 2: Γεωμετρία Το εμβαδόν ενός τριγώνου ισούται με το μισό γινόμενο μιας πλευράς του á õ â õ ã õ επί το αντίστοιχο σε αυτήν ύψος, δηλαδή Å ÞÅ ÞÅ EΦΑΡΜΟΓΕΣ 1. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Á 90 ) με πλευρές ΑΒ 6 εκ., ΑΓ 8 εκ. και ΒΓ 10 εκ. Να βρείτε το ύψος ΑΔ του τριγώνου. ΛΥΣΗ Αν θεωρήσουμε ως βάση του τριγώνου την πλευρά ΑΒ και ύψος την πλευρά ΑΓ, το εμβαδόν του τριγώνου είναι: ÁÂ ÁÃ Å 24 ô.åê. 2 Αν θεωρήσουμε ως βάση την υποτείνουσα ΒΓ και ύψος το τμήμα ΑΔ, το εμβαδόν του τριγώνου είναι ÂÃ ÁÄ Å ή Ε 5 ΑΔ και, επειδή Ε 24, έχουμε 2 5 ΑΔ 24, οπότε ÁÄ 24 5, άρα ΑΔ 4,8 εκ. 2. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Á 90 ) και ισοσκελές. Το εμβαδόν του τριγώνου είναι 2 τετραγωνικά εκατοστά. Τι θα συμβεί με τις κάθετες και ίσες μεταξύ τους πλευρές του τριγώνου ΑΒ και ΑΓ, όταν τετραπλασιάσουμε το εμβαδόν και εξακολουθήσει το νέο τρίγωνο να είναι ορθογώνιο και ισοσκελές; α Γ Α α Σχήμα 1 Β 159

29 Μαθηματικά για Διαγωνισμούς ΛΥΣΗ Το εμβαδόν του τριγώνου είναι Ε 2 τετραγωνικά εκατοστά (σχήμα 1). Σύμφωνα με τον τύπο του εμβαδού, αν θεωρήσουμε βάση τη μία κάθετη πλευρά και ύψος την άλλη κάθετη πλευρά και με δεδομένο ότι οι δύο κάθετες πλευρές είναι μεταξύ τους ίσες, ΑΒ ΑΓ α (ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο), θα έχουμε Å 2, οπότε α α 4. á á 2 Αν είναι β η πλευρά του νέου τριγώνου (σχήμα 2), Σχήμα 2 â â θα έχουμε Å 8, οπότε β β Παρατηρούμε ότι α α και β β , άρα α 2 και β 4. Επομένως η πλευρά β είναι διπλάσια από την πλευρά α. 3. Δίνεται αμβλυγώνιο τρίγωνο ΓΑΒ. Η πλευρά του ΑΒ έχει μήκος 5 cm. Το ύψος ΓΔ από την κορυφή Γ προς την πλευρά ΑΒ έχει μήκος 4 cm. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. ΛΥΣΗ Όπως παρατηρείτε στο σχήμα, το ύψος του τριγώνου συναντάει την προέκταση της πλευράς ΑΒ, αφού «ύψος ενός τριγώνου από μία κορυφή αυτού στην απέναντι πλευρά είναι η κάθετος από την κορυφή προς την απέναντι πλευρά». Στο αμβλυγώνιο τρίγωνο το ύψος που φέρνουμε από οξεία γωνία (< 90 ) συναντάει την απέναντι πλευρά στην προέκτασή της. Μετά από αυτή την ουσιαστική παρατήρηση είναι εύκολο να βρούμε το εμβαδόν: â õ Å 10 cm

30 ΘΕΜΑΤΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» 1. Σκιάζω τα 3 4 κάθε σχήματος. 2. Ο Δημήτρης πρόσθεσε όλους τους αριθμούς από το 1 μέχρι και το 11 και βρήκε άθροισμα 56. Έκανε τον έλεγχο και διαπίστωσε πως δεν πρόσθεσε έναν αριθμό. Ποιος ήταν ο αριθμός αυτός; 3. Βρίσκω πόσα μικρά και μεγαλύτερα τρίγωνα υπάρχουν στο διπλανό σχήμα: Σκιάζω Τι μέρος έμεινε ασκίαστο; Το 1 2 του Τα 3 4 του Τα 5 8 του 295

31 Μαθηματικά για Διαγωνισμούς 5. Συμπληρώνω τους κενούς κύκλους με αριθμούς, έτσι ώστε το άθροισμα κάθε τριάδας αριθμών οριζόντια, κατακόρυφα και διαγώνια να είναι Συμπληρώνω ό,τι λείπει στις παρακάτω πράξεις: Κάνω τις πράξεις: α) β) 5... γ) 5 : Βρίσκω τους αριθμούς και λύνω το σταυράριθμο: ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ 1. Παρά ένα τετρακόσια! 2. Τόσα πόδια έχουν 33 πρόβατα. 3. Τόσο είναι το διπλάσιο του 500. ΚΑΘΕΤΑ 1. Το πρώτο ψηφίο μου είναι το άθροισμα των άλλων δύο. 3. Δέκα φορές το Τόσες πάντα είναι όλες οι μέρες του Απρίλη. 5. Μια δωδεκάδα έχει ακριβώς τόσα αυγά. 9. Μία τάξη έχει 26 παιδιά. Τα κορίτσια είναι 4 περισσότερα από τα αγόρια. Πόσα είναι τα κορίτσια και πόσα είναι τα αγόρια; 10. Ο κύριος Γιώργος αγόρασε ένα οικόπεδο 360 τ.μ. Θέλει να κτίσει σ αυτό 296

32 Θέματα Πανελλήνιου Μαθητικού Διαγωνισμού «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ένα σπίτι, το οποίο να καλύπτει το 25% του οικοπέδου. Στο υπόλοιπο οικόπεδο θα φυτέψει πορτοκαλιές. Αν σε κάθε 9 τετραγωνικά μέτρα φυτέψει μία πορτοκαλιά, πόσες πορτοκαλιές θα χρειαστεί; 11. Η Άννα και ο Κωστής αγόρασαν βιβλία και πλήρωσαν 36. Η Άννα πλήρωσε το 1 του ποσού και ο Κωστής τα υπόλοιπα. 3 α) Πόσα ευρώ πλήρωσε καθένας; β) Τα χρήματα που έβαλε ο Κωστής ήταν τα 3 από αυτά που είχε στο πορτοφόλι του. Πόσα ευρώ τού 7 έμειναν; 12. Το διπλανό σχήμα αποτελείται από τρία τετράγωνα. Το τετράγωνο Ι έχει περίμετρο 4 εκ. και το τετράγωνο ΙΙ έχει περίμετρο 8 εκ. α) Πόσα εκ. είναι η περίμετρος του τετραγώνου ΙΙΙ; β) Πόσα εκ. είναι η περίμετρος όλου του σχήματος; 297

33 Μαθηματικά για Διαγωνισμούς ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» 1. Συμπληρώνω το άλλο μισό. 2. Ακολουθώ τα βέλη και γράφω με ψηφία τους αριθμούς που σχηματίζονται. 3. Χρησιμοποιώ τα ψηφία που βλέπω στις κάρτες, μια φορά το καθένα, και φτιάχνω έναν αριθμό μεγαλύτερο από τον Ο Γιάννης εκλέχτηκε πρόεδρος της τάξης μας με δύο ψήφους περισσότερες από την Ελένη. Ο Κώστας πήρε 6 ψήφους. Συμπληρώνω στο διπλανό γράφημα ποια ράβδος αντιστοιχεί σε κάθε παιδί. 298

34 Θέματα Πανελλήνιου Μαθητικού Διαγωνισμού «Παιχνίδι και Μαθηματικά» 5. Το άθροισμα των ηλικιών ενός πατέρα και του γιου του είναι 54 χρόνια. Μετά από δύο χρόνια, το άθροισμα των ηλικιών τους θα είναι: α. 56 χρόνια β. 57 χρόνια γ. 58 χρόνια δ. 59 χρόνια ε. 60 χρόνια 6. Ποιους αριθμούς δείχνουν τα βέλη; 7. Ο κυρ Μιχάλης έφυγε από τα Μέγαρα το πρωί με λαχανικά για την Αθήνα. Τη στιγμή που ξεκίνησε, ο χιλιομετρητής (το κοντέρ) του αυτοκινήτου του έδειχνε χιλιόμετρα. Όταν επέστρεψε στο σπίτι του, έδειχνε χιλιόμετρα. Πόσα χιλιόμετρα είναι η απόσταση Αθήνα-Μέγαρα; 8. Συμπληρώνω τους αριθμούς που λείπουν στα κενά τετράγωνα. Στα τετράγωνα που δείχνουν τα βέλη γράφω το άθροισμα των αριθμών της αντίστοιχης γραμμής ή της αντίστοιχης στήλης. 4,2 1,8 6 7,5 3,5 1,8 8,5 0, Ο Βασίλης ταξιδεύει από το Μεσολόγγι για το Αντίρριο. Έχει διανύσει τα 3 8 της διαδρομής και του απομένουν 40 χιλιόμετρα. Πόση είναι η απόσταση Μεσολόγγι-Αντίρριο; 299

35 Μαθηματικά για Διαγωνισμούς 10. Το παρακάτω σχήμα, που αποτελείται από δύο ίσα τετράγωνα και το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ, έχει συνολικό εμβαδόν 66 τ.μ. Πόσα μέτρα είναι το μήκος και πόσα μέτρα το πλάτος του ορθογωνίου παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ; 300

36 2007 ΘΕΜΑΤΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ 1ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» 1. Ποιος από τους παρακάτω αριθμούς βρίσκεται ανάμεσα στους αριθμούς 3,14 και 3,142; 3,014 3,104 3,140 3,141 3, Συμπληρώνω με αριθμούς το μαγικό τετράγωνο, έτσι ώστε το άθροισμα κάθε τριάδας αριθμών οριζόντια, κάθετα και διαγώνια να είναι ίδιο. 3. Υπολογίζω τις παρακάτω παραστάσεις: Ο Γιάννης και η Αγγελική έχουν ο καθένας από ένα ίδιο παστέλι. Ο Γιάννης τρώει το 1 2 από το 1 4 του παστελιού του. Η Αγγελική τρώει το 1 4 από το 1 2 του παστελιού της. Ποιος από τους δύο έφαγε περισσότερο; Ο Γιάννης Η Αγγελική Κανένας από τους δύο 5. Βρίσκω πόσες είναι οι ορθές γωνίες του ποδοσφαιρικού γηπέδου. 6. Βρίσκω το αποτέλεσμα κάθε πράξης: : :

37 Θέματα Πανελλήνιου Μαθητικού Διαγωνισμού «Παιχνίδι και Μαθηματικά» 7. Υπολογίζω την τιμή των αριθμητικών παραστάσεων: (25 15) : 8 (15 10) : : 4 2 (7,6 2,4) : 2 (20 10) : 5 8. Το μήκος της σχεδιασμένης διαδρομής από το σημείο Α έως το σημείο Β είναι εκ. 9. Οι ζυγαριές ισορροπούν. Στις ζυγαριές υπάρχουν μολύβια, μια πένα και σταθμά. Βρίσκω τα γραμμάρια που αντιστοιχούν στην πένα. 10. Η σειρά των παρακάτω αριθμών δεν είναι τυχαία Ποιος αριθμός λείπει σε κάθε περίπτωση; α) 25, 36,, 64, 81,, 121 β) 200, 195, 185, 170,, 125, 11. Τρεις φίλοι αγόρασαν από ένα βιβλίο ο καθένας. Τα βιβλία είχαν την ίδια αξία. Ο πρώτος έδωσε 15, ο δεύτερος έδωσε 20 και ο τρίτος 50. Ο βιβλιοπώλης, επειδή δεν είχε ψιλά για να δώσει στον καθένα τα ρέστα του, τους επέστρεψε συνολικά 43. Βρίσκω πόσο κοστίζει το ένα βιβλίο και πόσα ρέστα πήρε ο καθένας τους. 12. Σε μια κατασκήνωση πήγαν 500 παιδιά. Από αυτά τα παιδιά, τα κορίτσια ήταν το 40%. Μετά από μερικές μέρες ήρθαν στην κατασκήνωση 36 αγόρια και 64 κορίτσια. Πόσο τοις εκατό των παιδιών είναι τώρα τα κορίτσια; 359

38 Μαθηματικά για Διαγωνισμούς ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» 1. Μετρώ από πόσα τετραγωνάκια αποτελείται το καθένα από τα παρακάτω σχήματα: 2. Κυκλώνω τον αριθμό που δεν έχει την ίδια αξία με τους υπόλοιπους: 4, , Ποιος από τους παρακάτω αριθμούς πρέπει να μπει στην αφετηρία για να φτάσουμε στο τέρμα; α) 2 β) 3 γ) 4 δ) 5 ε) 6 4. Συμπληρώνω τους αριθμούς που λείπουν: 360

39 Θέματα Πανελλήνιου Μαθητικού Διαγωνισμού «Παιχνίδι και Μαθηματικά» 5. Ο Κεραυνός, η ομάδα μπάσκετ του σχολείου μας, νίκησε την Αστραπή, την ομάδα μπάσκετ γειτονικού σχολείου, με διαφορά 22 πόντων. Συνολικά και οι δύο ομάδες πέτυχαν 110 πόντους. Πόσοι ήταν οι πόντοι της κάθε ομάδας; 6. Σε μια κατασκήνωση ο λόγος των αγοριών προς τα κορίτσια είναι 4. Αν τα 5 αγόρια είναι 80, πόσα παιδιά φιλοξενεί η κατασκήνωση; Στη μικρή πυραμίδα δεξιά, το 7 είναι το άθροισμα του 3 και του 4, το 10 είναι το άθροισμα του 4 και του 6 και το 17 είναι το άθροισμα του 7 και του 10. Συμπληρώνω με τον ίδιο τρόπο τις παρακάτω πυραμίδες: 361

40 Μαθηματικά για Διαγωνισμούς 9. Ένα γυάλινο μπουκάλι γεμάτο με λάδι ζυγίζει 600 γραμμάρια. Το ίδιο μπουκάλι, αλλά με το μισό λάδι, ζυγίζει 340 γραμμάρια. Με ποια από τις παρακάτω αριθμητικές παραστάσεις μπορείς να βρεις πόσο ζυγίζει το μπουκάλι, όταν είναι άδειο; (Λύ νω τη σωστή.) α) 600 ( ) 2 β) : Η Μαρίνα έχει 56 και ο μικρός της αδελφός, ο Βασίλης, έχει 44. Τα παιδιά αποφάσισαν η Μαρίνα να ξοδεύει στο κυλικείο του σχολείου 7 την εβδομάδα και ο Βασίλης 4 την εβδομάδα. α) Μετά από πόσες εβδομάδες θα τους έχει μείνει το ίδιο ποσό; β) Ποιου παιδιού τα χρήματα θα τελειώσουν πιο γρήγορα; 362

41 Θέματα Πανελλήνιου Μαθητικού Διαγωνισμού «Παιχνίδι και Μαθηματικά» 3ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ΘΕΜΑ 1ο Δύο από τα κλάσματα είναι ισοδύναμα. Κύκλωσέ τα: 4 5, 8 12, 16 20, 45 20, ΘΕΜΑ 2ο Α) Πόσα είναι όλα τα τετραγωνάκια του σχήματος; Β) Από πόσα τετραγωνάκια αποτελείται το σκυλάκι; ΘΕΜΑ 3ο Αντιστοίχισε τα ίσα αποτελέσματα: 8 0,01 3 : 5 3,4 2,6 8 : , ΘΕΜΑ 4ο Η Μαρία παίζοντας μπάσκετ ευστόχησε στα 4 5 των βολών που έριξε. Πόσο % των βολών έχασε. ΘΕΜΑ 5ο Σε ένα ηλεκτρονικό παιχνίδι, όταν ο παίκτης αποκτήσει 5 ξύλινες ράβδους, μπορεί να τις ανταλλάξει με μια ράβδο χρυσού. Όταν κερδίσει 2 σιδερένιες ρά- 363

42 Μαθηματικά για Διαγωνισμούς βδους, μπορεί επίσης να τις ανταλλάξει με μια ράβδο χρυσού. Κύκλωσε τι είναι προτιμότερο, προκειμένου να κερδίσει περισσότερες ράβδους χρυσού: α. Να αποκτήσει 30 ξύλινες και 20 σιδερένιες ράβδους, ή β. Να αποκτήσει 20 ξύλινες και 30 σιδερένιες ράβδους. ΘΕΜΑ 6ο Δέκα παιδιά αποφάσισαν να αγοράσουν μια μπάλα ποδοσφαίρου. Θα πλήρωναν από 6 το καθένα. Όμως τα μισά άλλαξαν γνώμη και δε συμμετέχουν. Πόσα θα πληρώσει το καθένα από τα υπόλοιπα παιδιά, για να αγοράσουν την μπάλα ποδοσφαίρου; ΘΕΜΑ 7ο Σε καθένα από τα παρακάτω σχήματα να χρωματίσεις τα κατάλληλα τετραγωνάκια, ώστε να έχουν άξονα συμμετρίας την ευθεία (ε). ΘΕΜΑ 8ο Στο παρακάτω σχήμα η ζυγαριά ισορροπεί. Αν το βάρος της άσπρης μπάλας είναι 300 γρ., πόσο είναι το βάρος της γκρίζας μπάλας; 364

43 Θέματα Πανελλήνιου Μαθητικού Διαγωνισμού «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ΘΕΜΑ 9ο Ένα ταχυδρομικό περιστέρι ξεκινάει από τον πρώτο πύργο στις 8.30 π.μ. και φτάνει στο δεύτερο πύργο στις 9.00 π.μ. Αν το περιστέρι διανύει 3 χμ. σε 10 λεπτά, πόσα χιλιόμετρα απέχουν οι δύο πύργοι; ΘΕΜΑ 10ο Να βρεθεί η περίμετρος και το εμβαδόν του παρακάτω σχήματος: 365

44 2018 Θέματα Μαθηματικών για την εισαγωγή στα Πρότυπα Γυμνάσια Στα θέματα 1 έως και 8 κυκλώστε μία μόνο απάντηση. 1. Ο Ερμής έχει δυο κομπιουτεράκια, το Α και το Β. Το Α κάνει 17 πολλαπλασιασμούς ανά δευτερόλεπτο, ενώ το Β κάνει 1017 πολλαπλασιασμούς ανά λεπτό. Πόσους περισσότερους πολλαπλασιασμούς κάνει το Α από το Β σε δυο λεπτά; (Α) 10 (Β) 9 (Γ) 6 (Δ) 3 (Ε) 2 2. Το διπλανό ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ είναι φτιαγμένο από τέσσερα ίδια ορθογώνια παραλληλόγραμμα. Η περίμετρος του ΑΒΓΔ είναι 28 εκ. Το μήκος της πλευράς ΑΒ είναι ίσο με: (Α) 2 εκ. (Β) 6 εκ. (Γ) 7 εκ. (Δ) 8 εκ. (Ε) 10 εκ. 3. Καθένα από τα παρακάτω σύμβολα αντιστοιχεί σε έναν μονοψήφιο φυσικό αριθμό. Διαφορετικά σύμβολα αντιστοιχούν σε διαφορετικούς αριθμούς. Αν ισχύουν οι ισότητες: : Ποιος αριθμός αντιστοιχεί στο σύμβολο ; (Α) 1 (Β) 2 (Γ) 3 (Δ) 4 (Ε) 5 438

45 Μαθηματικά για Διαγωνισμούς Πρόβλημα 2. α) Παρατηρούμε ότι η περίμετρος τριγώνου είναι 5,1 6,2 8,7 20 εκ. Άρα και η περίμετρος του τετραγώνου είναι 20 εκ. Επομένως η πλευρά του τετραγώνου είναι 20 : 4 5 εκ. Άρα το εμβαδόν του τετραγώνου είναι τ.εκ. β) Η πλευρά του νέου τετραγώνου είναι εκ. Επομένως το εμβαδόν του είναι τ.εκ Γ, 2. Β, 3. Δ, 4. Γ, 5. Γ, 6. Δ, 7. Α, 8. Ε Πρόβλημα 1. 1 α) Το ποσοστό των κοριτσιών είναι 40% 10% του συνόλου των ατόμων. Η διαφορά 60% 10% 50% του συνόλου των ατόμων αντιστοιχεί σε 150 άτομα. Άρα 4 60 όλοι (ενήλικες παιδιά) είναι 300. Επομένως οι ενήλικες είναι και τα 100 παιδιά είναι β) O αριθμός των παιδιών μετά είναι τα 8 8 του αριθμού των ενήλικων, δηλαδή παιδιά. Άρα ήρθαν παιδιά. Πρόβλημα 2. α) Η Μαρία ξόδεψε τα 3 8 του μισθού της για φαγητό. Άρα έμειναν τα 5 του μισθού. Για 8 μετακίνηση ξόδεψε το 1 3 των 5 του μισθού της, δηλαδή τα του μισθού Έμειναν τα 2 3 των 5 2 του μισθού της, δηλαδή τα του μισθού και αυτό το ποσό μοιράστηκαν συνολικά, ισόποσα, παίρνοντας 1 η καθεμία. Άρα ήταν 5 συνολικά οι αδερφές (μαζί με τη Μαρία) και οι αδερφές της Μαρίας. 12 β) Το 1 του μισθού αντιστοιχεί σε 208 ευρώ. 12 Τα 12 του μισθού αντιστοιχούν σε ευρώ. Τα 5 5 του μισθού αντιστοιχούν σε ευρώ

3 + 5 = 23 :13 + 18 = 23

3 + 5 = 23 :13 + 18 = 23 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 3616532-3617784 - Fax: 3641025 GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR. 106

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Β Γυμνασίου

Μαθηματικά Β Γυμνασίου ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ Μαθηματικά Β Γυμνασίου Κριτήρια Αξιολόγησης Θέση υπογραφής δικαιούχου δικαιωμάτων πνευματικής ιδιοκτησίας, εφόσον η υπογραφή προβλέπεται από τη σύμβαση. «Το παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα.

Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. (2) Ποιοι είναι οι άρτιοι και ποιοι οι περιττοί αριθμοί; Γράψε από τρία παραδείγματα.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικά θέματα Μαθηματικών για την εισαγωγή στα Πρότυπα Πειραματικά Γυμνάσια

Ενδεικτικά θέματα Μαθηματικών για την εισαγωγή στα Πρότυπα Πειραματικά Γυμνάσια ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ 1 (ΜΟΝΑΔΕΣ 40) α) Ο αριθμός 1.047 έχει διαιρέτη το 3; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. β) Να βάλετε

Διαβάστε περισσότερα

Επιτροπή Διαγωνισμού του περιοδικού. 2 ος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά»

Επιτροπή Διαγωνισμού του περιοδικού. 2 ος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 3616532-3617784 - Fax: 3641025 GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR. 106

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; Το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού με το 0 ισούται με τον ίδιο αριθμό. α+0=α Αντιμεταθετική ιδιότητα. Με βάση την οποία

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

κάθε σχήματος. 1. Σκιάζω τα 3 4

κάθε σχήματος. 1. Σκιάζω τα 3 4 Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 665-6778 - Fax: 605 ος Μαθητικός Διαγωνισμός Για μαθητές της Ε Τάξης Δημοτικού Ονοματεπώνυμο:. Δημοτικό Σχολείο. Τάξη/Τμήμα. Σκιάζω τα κάθε σχήματος..

Διαβάστε περισσότερα

Κωνσταντίνος Σάλαρης, Ανδρέας Τριανταφύλλου. Μαθηματικά. για διαγωνισμούς. Ε & ΣΤ Δημοτικού

Κωνσταντίνος Σάλαρης, Ανδρέας Τριανταφύλλου. Μαθηματικά. για διαγωνισμούς. Ε & ΣΤ Δημοτικού Κωνσταντίνος Σάλαρης, Ανδρέας Τριανταφύλλου Μαθηματικά για διαγωνισμούς Ε & ΣΤ Δημοτικού Θέση υπογραφής δικαιούχου δικαιωμάτων πνευματικής ιδιοκτησίας, εφόσον η υπογραφή προβλέπεται από τη σύμβαση Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ 6 1) Να εκφράσετε τον αριθμό 48 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων με δενδροδιάγραμμα. 2) Να συγκρίνετε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α Γυμνασίου. Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας

Μαθηματικά Α Γυμνασίου. Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας Μαθηματικά Α Γυμνασίου Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας Επαναληπτικές Ερωτήσεις Θεωρίας 1. Τι ονομάζεται Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) δύο ή περισσότερων αριθμών; Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) δύο

Διαβάστε περισσότερα

Επιτροπή Διαγωνισμού του περιοδικού. 2 ος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά»

Επιτροπή Διαγωνισμού του περιοδικού. 2 ος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 3616532-361774 - Fax: 3641025 GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR. 106

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πίνακας περιεχομένων Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 2 Κεφάλαιο 2 ο - ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ... 6 Κεφάλαιο 3 ο - ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 10 ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ 1 Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

MAΘΗΜΑΤΙΚΑ. κριτήρια αξιολόγησης. Κωνσταντίνος Ηλιόπουλος A ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

MAΘΗΜΑΤΙΚΑ. κριτήρια αξιολόγησης. Κωνσταντίνος Ηλιόπουλος A ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ A ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κωνσταντίνος Ηλιόπουλος κριτήρια αξιολόγησης MAΘΗΜΑΤΙΚΑ Διαγωνίσματα σε κάθε μάθημα και επαναληπτικά σε κάθε κεφάλαιο Διαγωνίσματα σε όλη την ύλη για τις τελικές εξετάσεις Αναλυτικές απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι η Ευκλείδια διαίρεση; Είναι η διαδικασία κατά την οποία όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε βρίσκουμε άλλους δύο φυσικούς αριθμούς π και υ,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

Mαρία Πριοβόλου. Οδηγός προετοιμασίας. για τα Πρότυπα Πειραματικά Γυμνάσια. Μαθηματικά

Mαρία Πριοβόλου. Οδηγός προετοιμασίας. για τα Πρότυπα Πειραματικά Γυμνάσια. Μαθηματικά Mαρία Πριοβόλου Οδηγός προετοιμασίας για τα Πρότυπα Πειραματικά Γυμνάσια Μαθηματικά Θέση υπογραφής δικαιούχου δικαιωμάτων πνευματικής ιδιοκτησίας, εφόσον η υπογραφή προβλέπεται από τη σύμβαση. Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α.1. 1) Ποιοι φυσικοί αριθμοί λέγονται άρτιοι και ποιοι περιττοί; ( σ. 11 ) 2) Από τι καθορίζεται η αξία ενός ψηφίου σ έναν φυσικό αριθμό; ( σ. 11 ) 3) Τι

Διαβάστε περισσότερα

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση 1 ΘΕΩΡΙΑΣ.....με απάντηση ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 0 Εξισώσεις Ανισώσεις 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Α. 27 Β. 29 Γ. 45 Δ. 105 Ε. 127

Α. 27 Β. 29 Γ. 45 Δ. 105 Ε. 127 Α - Β Γυμνασίου η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 0. Αν = M = 60, η τιμή του M + N είναι: 5 45 N Α. Β. 9 Γ. 45 Δ. 05 Ε.. Ένα τετράγωνο και ένα τρίγωνο έχουν ίσες περιμέτρους. Το μήκος των τριών

Διαβάστε περισσότερα

2. Οι ζητούμενοι αριθμοί είναι οι : 1.541, 7.686, 3.352, (8)

2. Οι ζητούμενοι αριθμοί είναι οι : 1.541, 7.686, 3.352, (8) ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 3616532-3617784 - Fax: 3641025 Επιτροπή Διαγωνισμού του περιοδικού «Ο μικρός Ευκλείδης» 2 ος Μαθητικός Διαγωνισμός

Διαβάστε περισσότερα

3, ( 4), ( 3),( 2), 2017

3, ( 4), ( 3),( 2), 2017 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑΣ ΓΙΑ ΤΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ. «Παιχνίδι και Μαθηματικά» 1. Να συμπληρώσεις στα κουτάκια τους αριθμούς που λείπουν:

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑΣ ΓΙΑ ΤΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ. «Παιχνίδι και Μαθηματικά» 1. Να συμπληρώσεις στα κουτάκια τους αριθμούς που λείπουν: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑΣ ΓΙΑ ΤΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «Παιχνίδι και Μαθηματικά» 1. Να συμπληρώσεις στα κουτάκια τους αριθμούς που λείπουν: : 11+ 15= 24 : 17+ 11= 16 : 11 13= 17 : 11 14= 26 i 7+

Διαβάστε περισσότερα

5 ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά»

5 ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 3616532-3617784 - Fax: 3641025 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou

Διαβάστε περισσότερα

Mαρία Πριοβόλου. Οδηγός προετοιμασίας. για τα Πρότυπα Πειραματικά Γυμνάσια. Μαθηματικά

Mαρία Πριοβόλου. Οδηγός προετοιμασίας. για τα Πρότυπα Πειραματικά Γυμνάσια. Μαθηματικά Mαρία Πριοβόλου Οδηγός προετοιμασίας για τα Πρότυπα Πειραματικά Γυμνάσια Μαθηματικά Θέση υπογραφής δικαιούχου δικαιωμάτων πνευματικής ιδιοκτησίας, εφόσον η υπογραφή προβλέπεται από τη σύμβαση. Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Ακέραιοι- Συμμιγείς

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Ακέραιοι- Συμμιγείς Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Διαγωνισμός 2007 Διαγωνισμός 2012 Διαγωνισμός 2008 Διαγωνισμός 2013 Διαγωνισμός 2009 Διαγωνισμός 2014 Διαγωνισμός 2010 Διαγωνισμός 2015 Διαγωνισμός 2011 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Κλάσματα-Δεκαδικοί

Διαβάστε περισσότερα

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α Γυμνασίου

Μαθηματικά Α Γυμνασίου Μαθηματικά Α Γυμνασίου Επαναληπτικές ασκήσεις Στέλιος Μιχαήλογλου Ασκήσεις. Δίνεται η παράσταση 7 : α) Να αποδείξετε ότι Α=8. β) Ο αριθμός Α είναι πρώτος ή σύνθετος; γ) Να αναλύσετε τον αριθμό Α σε γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΝΝΗΣ ΠΑΠΑΘΑΝΑΣΙΟΥ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΠΑΠΑΘΑΝΑΣΙΟΥ. Γράφω καλά. στο τεστ των. Μαθηματικών

ΓΙΑΝΝΗΣ ΠΑΠΑΘΑΝΑΣΙΟΥ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΠΑΠΑΘΑΝΑΣΙΟΥ. Γράφω καλά. στο τεστ των. Μαθηματικών ΓΙΑΝΝΗΣ ΠΑΠΑΘΑΝΑΣΙΟΥ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΠΑΠΑΘΑΝΑΣΙΟΥ Γράφω καλά στο τεστ των Μαθηματικών E, ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ Ανακεφαλαίωση της θεωρίας με πίνακες και παραδείγματα Διαγωνίσματα Αναλυτικές απαντήσεις με έμφαση στα δύσκολα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά A Γυμνασίου

Μαθηματικά A Γυμνασίου Μαθηματικά A Γυμνασίου ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Μέρος Α - Άλγεβρα 1. Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; (σελ. 15) 2. Πως ορίζεται η πράξη της αφαίρεσης στους φυσικούς και πότε αυτή μπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

Δημήτρης Διαμαντίδης, Γεωργία Ευθυμίου, Αναστάσιος Κουπετώρης, Ιωάννης Σταμπόλας. Άλγεβρα Α Λυκείου B ΤΟΜΟΣ

Δημήτρης Διαμαντίδης, Γεωργία Ευθυμίου, Αναστάσιος Κουπετώρης, Ιωάννης Σταμπόλας. Άλγεβρα Α Λυκείου B ΤΟΜΟΣ Δημήτρης Διαμαντίδης, Γεωργία Ευθυμίου, Αναστάσιος Κουπετώρης, Ιωάννης Σταμπόλας Άλγεβρα Α Λυκείου B ΤΟΜΟΣ Θέση υπογραφής δικαιούχου δικαιωμάτων πνευματικής ιδιοκτησίας, εφόσον η υπογραφή προβλέπεται από

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί

Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΙΩΝ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί Α. 7. 1 1. Τι είναι τα πρόσημα και πως χαρακτηρίζονται οι αριθμοί από αυτά; Τα σύμβολα

Διαβάστε περισσότερα

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή Το βιβλίο αυτό έχει διπλό σκοπό: Να σε βοηθήσει στη γρήγορη, άρτια και αποτελεσματική προετοιμασία του καθημερινού σχολικού μαθήματος. Να σου δώσει όλα τα απαραίτητα εφόδια,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία Μαθηματικά Β Γυμνασίου Επανάληψη στη Θεωρία Α.1.1: Η έννοια της μεταβλητής - Αλγεβρικές παραστάσεις Α.1.2: Εξισώσεις α βαθμού Α.1.4: Επίλυση προβλημάτων με τη χρήση εξισώσεων Α.1.5: Ανισώσεις α βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα A Γυμνασιου

Μαθηματικα A Γυμνασιου Μαθηματικα A Γυμνασιου Θεωρια & παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 45 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 4 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4 ΟΡΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4 ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4 ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Ε - ΣΤ Δημοτικού 13 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 2012

Ε - ΣΤ Δημοτικού 13 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 2012 1. Πόσες ώρες έχουν περάσει από τις 6:45 πμ μέχρι τις 11:45 μμ της ίδιας μέρας; Α. 5 Β. 17 Γ. 24 Δ. 29 Ε. 41 1 1 2. Αν το χ είναι μεταξύ 1 και 1 +, τότε το χ μπορεί να είναι ίσο με τον κάθε 5 5 αριθμό

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα... Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

Υπενθύμιση Δ τάξης. Παιχνίδια στην κατασκήνωση

Υπενθύμιση Δ τάξης. Παιχνίδια στην κατασκήνωση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο Υπενθύμιση Δ τάξης Παιχνίδια στην κατασκήνωση Συγκρίνω δυο αριθμούς για να βρω αν είναι ίσοι ή άνισοι. Στην περίπτωση που είναι άνισοι μπορώ να βρω ποιος είναι μεγαλύτερος (ή μικρότερος). Ανάμεσα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Σχολική Χρονιά: Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Σχολική Χρονιά: Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ενότητα 1: Σύνολα 1. Με τη βοήθεια του πιο κάτω διαγράμματος να γράψετε με αναγραφή τα σύνολα: Ω A 5. 1. B Ω =. 6. 4. 3. 7. 8.. Από το διπλανό διάγραμμα, να γράψετε με αναγραφή τα σύνολα: 3. Δίνεται το

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Μέρος Β Κεφάλαιο 4ο Γεωμετρικά Στερεά Χρύσα Παπαγεωργίου Μαθηματικός - Πληροφορικός Το ορθό πρίσμα και τα στοιχεία του Κάθε ορθό πρίσμα έχει: Δύο έδρες παράλληλες, που είναι ίσα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 3x x 3 3 5x x β) 4 3 x x x 0

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Συνοπτική θεωρία Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται άρτιος; Άρτιος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο : ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Όταν ένα μέγεθος ή ένα σύνολο χωριστεί σε ν ίσα μέρη, το κάθε ένα από αυτά ονομάζεται.. και συμβολίζεται : 2. Κάθε τμήμα του μεγέθους ή του συνόλου αντικειμένων,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ σε word! ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΤΣΟΛΚΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ σε word! ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΤΣΟΛΚΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ σε word! ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΤΣΟΛΚΑΣ Ένα «ανοικτό» αρχείο, δηλαδή επεξεργάσιμο που όλοι μπορούν να συμμετέχουν είτε προσθέτοντας είτε διορθώνοντας υλικό. Μετά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Α. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΜΕΡΟΣ Α. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΡΟΣ Α ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών. Ονομάζεται αλγεβρική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

11. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες της διαίρεσης;

11. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες της διαίρεσης; 10. Τι ονομάζουμε Ευκλείδεια διαίρεση και τέλεια διαίρεση; Όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε υπάρχουν δύο άλλοι φυσικοί αριθμοί π και υ, έτσι ώστε να ισχύει: Δ = δ π + υ. Ο αριθμός Δ λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΆΛΓΕΒΡΑ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΆΛΓΕΒΡΑ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΆΛΓΕΒΡΑ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 5 x - 3 + 10 2-5x + 10x= - 15 + 10x i. ( ) ( ) ( ) ii. 9( 8-x) -10( 9-x) -4( x - 1)

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ. Βαγγέλης. Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός.

ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ. Βαγγέλης. Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός. 01 ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παρον φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει λίγη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

Ποιος είναι ο 66ος όρος στην ακολουθία γραμμάτων ΑΒΒΓΓΓΔΔΔΔΕΕΕΕΕ, όπου Α, Β, Γ, Δ, Ε είναι γράμματα του ελληνικού αλφαβήτου;

Ποιος είναι ο 66ος όρος στην ακολουθία γραμμάτων ΑΒΒΓΓΓΔΔΔΔΕΕΕΕΕ, όπου Α, Β, Γ, Δ, Ε είναι γράμματα του ελληνικού αλφαβήτου; Πρόβλημα 214 Τα θρανία στην τάξη του Γιάννη είναι τοποθετημένα σε γραμμές και στήλες. Το θρανίο του Γιάννη είναι στην τρίτη γραμμή από την αρχή και στην τέταρτη από το τέλος. Είναι επίσης στην τρίτη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών 2 Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Προσθετέοι 18+17=35 α Προσθετέοι + β = γ Άθοι ρ σμα Άθοι ρ σμα 13 + 17 = 17 + 13 Πρόσθεση φυσικών αριθμών Πρόσθεση είναι η πράξη με την οποία από

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΘΕΜΤ ΓΥΝΜΣΙΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΛΓΕΡ ΚΕΦΛΙΟ. Να διατυπώσετε τα κριτήρια διαιρετότητας. πό τους αριθμούς 675, 0, 4404, 7450 να γράψετε αυτούς που διαιρούνται με το, με το, με το 4, με το 9.. Ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

Υπενθύμιση Δ τάξης. Παιχνίδια στην κατασκήνωση

Υπενθύμιση Δ τάξης. Παιχνίδια στην κατασκήνωση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο Υπενθύμιση Δ τάξης Παιχνίδια στην κατασκήνωση Συγκρίνω δυο αριθμούς για να βρω αν είναι ίσοι ή άνισοι. Στην περίπτωση που είναι άνισοι μπορώ να βρω ποιος είναι μεγαλύτερος (ή μικρότερος). Ανάμεσα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Α ΤΑΞΗΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΧΧ ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Α ΤΑΞΗΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΧΧ ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Δ/ΝΣΗ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧ Α ΤΑΞΗ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Α ΤΑΞΗΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 2016-2017 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΧΧ ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Γεωµετρία Α Γυµνασίου Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Ευθεία γραµµή Ορισµός δεν υπάρχει. Η απλούστερη από όλες τις γραµµές. Κατασκευάζεται µε τον χάρακα (κανόνα) πάνω σε επίπεδο. 1. ύο σηµεία ορίζουν την θέση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά Ε Δημοτικού E 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά Ε Δημοτικού E 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Γρήγορα τεστ E 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΡΗΓΟΡΑ ΤΕΣΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - Ε Δημοτικού No 1 Γιάννης Ζαχαρόπουλος Διόρθωση: Αντωνία Κιλεσσοπούλου 2013, Εκδόσεις Κυριάκος Παπαδόπουλος Α.Ε., Γιάννης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΥΜΝΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΥΜΝΣΙΟΥ ΜΙ ΠΡΟΕΤΟΙΜΣΙ ΓΙ ΤΙΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 11 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και τρείς ασκήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΝΟΤΗΤΑ.1.1. Σημείο - Ευθύγραμμο τμήμα - Ευθεία - Ημιευθεία - Επίπεδο - Ημιεπίπεδο. ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ / / 1. Σχεδιάστε το ευθύγραμμο τμήμα Α και το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ A B Γ Δ 2.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΩΝ EΞΙΣΩΣΕΙΣ...47 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΩΝ EΞΙΣΩΣΕΙΣ...47 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ...11 1.1 Βασικές θεωρητικές γνώσεις... 11 1.. Λυμένα προβλήματα... 19 1. Προβλήματα προς λύση... 4 1.4 Απαντήσεις προβλημάτων Πραγματικοί αριθμοί... 0 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων 2016-2017 Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Περιεχόμενα Στόχοι Πηγή Υλικού 3.1 Αριθμοί Οι μαθητές πρέπει: Σχολικά βιβλία Ε και ΣΤ Φυσικοί, Δεκαδικοί, μετρήσεις Να μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

2 Ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΕΡΚΥΡΑΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 2010 ΤΑΞΗ: Β ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

2 Ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΕΡΚΥΡΑΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 2010 ΤΑΞΗ: Β ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΕΡΚΥΡΑΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 00 ΤΑΞΗ: Β ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΩΡΙΑ Α. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της πρώτης στήλης με το αντίστοιχο στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

Μαρία Πριοβόλου ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Μαρία Πριοβόλου ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Μαρία Πριοβόλου ΔΙΑΓΩΝΙΣΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Το παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις της ελληνικής νομοθεσίας (Ν. 2121/1993, όπως έχει τροποποιηθεί και ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις με αριθμούς ονομάζεται αριθμητική παράσταση. Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

Οδύσσεια Τα απίθανα... τριτάκια! Tετάρτη τάξη ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Δ ΤΑΞΗ Συμπεράσματα Ενοτήτων

Οδύσσεια Τα απίθανα... τριτάκια! Tετάρτη τάξη ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Δ ΤΑΞΗ Συμπεράσματα Ενοτήτων Οδύσσεια Τα απίθανα... τριτάκια! Tετάρτη τάξη ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Δ ΤΑΞΗ Συμπεράσματα Ενοτήτων Πηγή πληροφόρησης: e-selides ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Δ ΤΑΞΗΣ 1η ΕΝΟΤΗΤΑ (ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ) Δεν μπορώ να βρω το ζητούμενο ενός προβλήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤ ΤΑΞΗΣ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ. Σάββατο, 8 Ιουνίου 2013

ΣΤ ΤΑΞΗΣ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ. Σάββατο, 8 Ιουνίου 2013 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Διεύθυνση: Προξένου Κορομηλά 51 Τ.Κ. 54622, Θεσσαλονίκη Τηλέφωνο και Fax 2310 285377 e-mail: emethes@otenet.gr http://www.emethes.gr ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες.

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες. ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» ΤΑΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ 1. Μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ονομάζεται η ευθεία που είναι κάθετη

Διαβάστε περισσότερα

Σοφία Κ. Αδάµου. Τα Μαθηµατικά µου. Για παιδιά προσχολικής και σχολικής ηλικίας

Σοφία Κ. Αδάµου. Τα Μαθηµατικά µου. Για παιδιά προσχολικής και σχολικής ηλικίας Σοφία Κ. Αδάµου Τα Μαθηµατικά µου Για παιδιά προσχολικής και σχολικής ηλικίας 1 Θέση υπογραφής δικαιούχου δικαιωµάτων πνευµατικής ιδιοκτησίας, εφόσον η υπογραφή προβλέπεται από τη σύµβαση. Το παρόν έργο

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα Μάθημα: Μαθηματικά Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών (1 ο, 2 ο, 3 ο Κεφάλαιο) 11-10-2017, 18-10-2017 Διδάσκουσα: Αριστούλα Κοντογιάννη ΩΡΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

2. 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

2. 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΡΟΣ Α.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 193. 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Με την βοήθεια των εξισώσεων δευτέρου βαθμού λύνουμε πολλά προβλήματα της καθημερινής ζωής και διαφόρων επιστημών.

Διαβάστε περισσότερα

Απάντηση: Οι θεατές άνδρες και γυναίκες ήταν συνολικά. ΘΕΜΑ 3 ο Κύκλωσε το σωστό σύμβολο 1 1 :1 2

Απάντηση: Οι θεατές άνδρες και γυναίκες ήταν συνολικά. ΘΕΜΑ 3 ο Κύκλωσε το σωστό σύμβολο 1 1 :1 2 Επιτροπή Διαγωνισμού του περιοδικού «Ο μικρός Ευκλείδης» 8 ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» 04 Για μαθητές της Στ Τάξης Δημοτικού ΘΕΜΑ ο Πόσες φορές ο δεκαδικός αριθμός 4.400,800

Διαβάστε περισσότερα

1 x και y = - λx είναι κάθετες

1 x και y = - λx είναι κάθετες Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» 1. * Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία (ε) με τον άξονα. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

Να υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση.

Να υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση. Ενότητα 4 Τριγωνομετρία Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση.

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται δύναμη α ν με βάση τον πραγματικό αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό >1; H δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν, συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Καγκουρό 2007 Επίπεδο: 4 (για µαθητές της Γ' τάξης Γυµνασίου και Α' τάξης Λυκείου)

Θέµατα Καγκουρό 2007 Επίπεδο: 4 (για µαθητές της Γ' τάξης Γυµνασίου και Α' τάξης Λυκείου) Kangourou Sans Frontières αγκουρό Ελλάς Επώνυµο:... Όνοµα:... Όνοµα πατέρα:... e-mail:... ιεύθυνση:... Τηλέφωνο:... Εξεταστικό έντρο:... Σχολείο προέλευσης:... Τάξη:... Θέµατα αγκουρό 007 Επίπεδο: 4 (για

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί Πρόλογος Το βιβλίο αυτό περιέχει όλη την ύλη των Μαθηματικών της Β Γυμνασίου, χωρισμένη σε ενότητες, όπως ακριβώς στο σχολικό βιβλίο. Κάθε ενότητα περιλαμβάνει: Τη θεωρία Λυμένες ασκήσεις Χρήσιμες παρατηρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ποια από τις προτάσεις που ακολουθούν δεν είναι σωστή για την εικόνα με τα επίπεδα σχήματα; Κύκλωσε τη σωστή απάντηση.

Ποια από τις προτάσεις που ακολουθούν δεν είναι σωστή για την εικόνα με τα επίπεδα σχήματα; Κύκλωσε τη σωστή απάντηση. 5Η ΕΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 Ποια από τις προτάσεις που ακολουθούν δεν είναι σωστή για την εικόνα με τα επίπεδα σχήματα; Κύκλωσε τη σωστή απάντηση. Α. Οι κύκλοι είναι διπλάσιοι σε αριθμό από τα τετράγωνα. Β.

Διαβάστε περισσότερα

2. Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 10 και του 100 αυξάνονται κατά 9 μονάδες, όταν αντιστραφούν τα ψηφία τους; Γ. Αν, Δ. Αν, τότε. τότε.

2. Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 10 και του 100 αυξάνονται κατά 9 μονάδες, όταν αντιστραφούν τα ψηφία τους; Γ. Αν, Δ. Αν, τότε. τότε. 11η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα πρίλιος 010 Χρόνος: 60 λεπτά ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Το τελευταίο ψηφίο του αριθμού 1 3 5 Ε 9 7. Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 10 του 100 αυξάνονται κατά 9 μονάδες όταν αντιστραφούν

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Επανάληψης: Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Ασκήσεις Επανάληψης: Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Σχολική Χρονιά: 015-016 Ασκήσεις Επανάληψης για την B Γυμνασίου Ενότητα 1: Πραγματικοί Αριθμοί Πυθαγόρειο Θεώρημα 1. Να γράψετε σε μορφή δύναμης τα πιο κάτω: 1) ².³ = ) (³) 5 = 3) 5 : 8 = 4) ( 5. 7 ) :

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Α σ κ ή σ ε ι ς γ ι α τ ι ς δ ι α κ ο π έ ς τ ω ν Χ ρ ι σ τ ο υ γ έ ν ν ω ν

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Α σ κ ή σ ε ι ς γ ι α τ ι ς δ ι α κ ο π έ ς τ ω ν Χ ρ ι σ τ ο υ γ έ ν ν ω ν ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α σ κ ή σ ε ι ς γ ι α τ ι ς δ ι α κ ο π έ ς τ ω ν Χ ρ ι σ τ ο υ γ έ ν ν ω ν () Στρογγυλοποίησε τον αριθμό 8.987. στις πλησιέστερες: (α) δ ε- κάδες, (β) εκατοντάδες, (γ) χιλιάδες,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 78 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 11 Νοεμβρίου 2017 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1 Α=

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 78 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 11 Νοεμβρίου 2017 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1 Α= Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Να υπολογίσετε την τιμή της αριθμητικής παράστασης: 3 3 ( 0) ( 5) 3 ( 8) Α= + 3 3 ( ) +. ( 3) 4 Στο διπλανό σχήμα τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΒΟ είναι ισοσκελή με βάση την πλευρά ΑΒ. Η προέκταση της

Διαβάστε περισσότερα