Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις"

Transcript

1 Νικόλαος. Ατρέας Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη 6/7

2 Περιεχόµενα A. Ορολογία. 4 B. Χρήσιµα στοιχεία θεωρίας. 6 B. Πολλαπλά ολοκληρώµατα Riema. 6 B. Mη γνήσια ολοκληρώµατα Riema σε µη φραγµένα χωρία. B3. Θεώρηµα Απόκλισης. Ταυτότητες Gree. B4. Σύντοµη ανασκόπηση σειρών Fourier. B5. o oλοκλήρωµα Fourier. 7 B6. O Mετασχηµατισµός Laplace. Κεφάλαιο : Εισαγωγή. 4.. Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις ης τάξης. 4.. Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις ης τάξης και ταξινόµησή τους Ασκήσεις. 34 Κεφάλαιο : Η εξίσωση Laplace Eισαγωγή Αρµονικές συναρτήσεις ιδιάστατη γενική λύση της εξίσωσης Laplace Θεµελιώδης εξίσωση Laplace στον. Εξίσωση Poisso. 46 στον.5. Συνοριακές συνθήκες Dirichlet και µοναδικότητα λύσης Η µέθοδος χωρισµού των µεταβλητών σε προβλήµατα Dirichlet Το πρόβληµα Dirichlet σε ορθογώνιο Το πρόβληµα Dirichlet στο µοναδιαίο δίσκο Mη φραγµένα χωρία σε προβλήµατα Dirichlet Το πρόβληµα Dirichlet. στο άνω ηµιεπίπεδο ο πρόβληµα Dirichlet σε ηµιάπειρη λωρίδα Συναρτήσεις Gree Aσκήσεις. 8

3 Κεφάλαιο : Η εξίσωση θερµότητας... Eισαγωγή o πρόβληµα Cauch στο µοναδιαίο κύκλο o πρόβληµα Cauch στον. Θεµελιώδης λύση Μοναδικότητα λύσης Οµογενείς εξισώσεις Φραγµένα χωρία µε οµογενείς αρχικές συνθήκες Φραγµένα χωρία µε µη οµογενείς αρχικές συνθήκες Μη φραγµένα χωρία µε οµογενείς αρχικές συνθήκες Μη οµογενείς εξισώσεις Aσκήσεις. 9 Κεφάλαιο 3: Η κυµατική εξίσωση. 3.. Εισαγωγή. 3.. o πρόβληµα Cauch για τη µονοδιάστατη κυµατική + εξίσωση (στο ). Λύσεις D Alembert o διδιάστατο και τρισδιάστατο πρόβληµα Cauch για την κυµατική εξίσωση Οµογενείς εξισώσεις Φραγµένα χωρία µε οµογενείς συνοριακές συνθήκες Φραγµένα χωρία µε µη οµογενείς συνοριακές συνθήκες Μη φραγµένα χωρία Μη οµογενείς εξισώσεις Aσκήσεις. 34 3

4 A. Ορολογία C ( Ω ): O χώρος των συνεχών πραγµατικών συναρτήσεων f : Ω στο Ω. C ( Ω ) : O χώρος των πραγµατικών συναρτήσεων f : Ω µε συνεχή παράγωγο -τάξης στο Ω. Αν η f έχει παράγωγο κάθε τάξης στο Ω, τότε f C c Ω. C : O χώρος των πραγµατικών συναρτήσεων f : µε συνεχή παράγωγο -τάξης σε συµπαγή φορέα E του (δηλαδή f = E ). B(, r) : Aνοικτή µπάλα κέντρου και ακτίνας r στον B(, r) : O όγκος της µπάλας B(, r) Ω : ο σύνορο χωρίου Ω. S ( r) : H ( ). σφαίρα { : = r}. στον µε κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα r. Ο συµβολισµός υποδηλώνει την ύπαρξη µιας διανυσµατικής συνάρτησης από ένα υποσύνολο του στον µε εικόνα τη σφαίρα = r. S. S : H µοναδιαία ( ) σφαίρα ( ) w : Το εµβαδό της µοναδιαίας ( ) σφαίρας S. =,,... : O τελεστής κλίσης που δρα πάνω σε βαθµωτά ή διανυσµατικά πεδία του. Με άλλα λόγια, αν V E είναι ο χώρος των διαφορίσιµων αριθµητικών πεδίων f : E και ( E ) V είναι ο χώρος των διαφορίσιµων m, m διανυσµατικών συναρτήσεων F : E (για = m 4

5 γράφουµε απλά ( E) V και µιλάµε για το χώρο των διαφορίσιµων διανυσµατικών πεδίων), τότε: ή f f :V( E) V ( E) : f =,..., : = ( f,..., f ), : V ( E ) V ( E ): F= F,..., F., (ή ): O τελεστής Laplace : = i =,..., i,..., = που δρα πάνω σε βαθµωτά ή διανυσµατικά πεδία ως εξής: ή αν F = ( f f ) f :V ( E) V ( E): f : = f f,,...,, τότε : V ( E) V ( E): F = f,..., f. d: Πολλαπλό ολοκλήρωµα συνεχούς πραγµατικής Ω συνάρτησης f : Ω. Το διαφορικό d = dd d δηλώνει στοιχειώδη όγκο ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου. fds : Επιφανειακό ολοκλήρωµα συνεχούς πραγµατικής Σ συνάρτησης f : Σ επί λείας επιφάνειας Σ µε παραµετροποίηση r: A : v= r( u). Αν είναι η µοναδιαία κάθετος σε κάθε σηµείο ru της επιφάνειας Σ, τότε το διαφορικό ( u u ) ds = Det,,..., r r u du δηλώνει στοιχειώδη εµβαδόν πάνω στη Σ. Ισχύει: ( ) ( u u ) fds = f ru Det,,..., r r udu. Σ A 5

6 B. Χρήσιµα στοιχεία θεωρίας. B. Πολλαπλό ολοκλήρωµα Riema. Τα πολλαπλά ολοκληρώµατα Riema είναι φυσική γενίκευση των διπλών και τριπλών ολοκληρωµάτων. Εστω f : R είναι φραγµένη συνάρτηση επί κλειστού ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου R =,..., : a b, i =,..., {( ) i i } και = (,..., ) είναι µια διαµέριση του R, όπου, =,..., είναι διαµερίσεις των κλειστών διαστηµάτων [ i, i] διαµερίζεται σε στοιχειώδη ορθογώνια παραλληλεπίπεδα j = ( j j ), j, k =,...,, όγκου,..., k k ( + )( + ) ( + ) i i a b. ότε το R V j = = d d., j, j, j, j, j, j, j, j Ω j, Αν και τότε ορίζουµε M m { } ( j) = sup f : Ω( j ) { } = if f : Ω j j, και L sup f = ( m() j V() j ): οποιαδηποτε διαµεριση τoυ R j U if f = ( m() j V() j ): οποιαδηποτε διαµεριση του R. j Σηµειώνουµε ότι οι αριθµοί U f, L f υπάρχουν πάντα και καλούνται ανώτερο και κατώτερο ολοκλήρωµα Darbou της f επί του R. Ορισµός. Έστω f : R είναι φραγµένη συνάρτηση πάνω σε κλειστό ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο R όπως παραπάνω. Αν 6

7 U = L = λ, f f τότε λέµε ότι η f είναι ολοκληρώσιµη κατά Riema επί του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου R και γράφουµε f d = λ. R Θεώρηµα. Έστω f : R είναι συνεχής συνάρτηση πάνω σε κλειστό ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο R. Τότε η f είναι ολοκληρώσιµη στο R. Ο ορισµός του ολοκληρώµατος Riema επεκτείνεται και σε µη ορθογώνια χωρία ως εξής: Εστω f : S είναι φραγµένη συνάρτηση πάνω σε κλειστό και φραγµένο χωρίο S µε το σύνορό του S να είναι σύνολο αµελητέου όγκου. Τότε υπάρχει ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο R που καλύπτει εξ ολοκλήρου το στερεό S. Ετσι, ορίζουµε την επέκταση της f στο S ως εξής: f, S g =., R \ S Αν η g είναι ολοκληρώσιµη στο R, τότε ορίζουµε S = f d g d. R Σηµείωση. Αποδεικνύεται ότι η τιµή του ολοκληρώµατος d είναι ανεξάρτητη από την επιλογή του R. R g Θεώρηµα (Επαναληπτική ολοκλήρωση). Έστω f : R είναι συνεχής συνάρτηση πάνω σε κλειστό ορθογώνιο k m παραλληλεπίπεδο R. Αν R = R R, όπου R, R είναι κλειστά ορθογώνια παραλληλεπίπεδα µε k + m= και αν,, k m =, τότε η συνάρτηση (, ) F = f d R 7

8 είναι συνεχής στο R και = (, ) f d f d d. R R R Εστω g : A B είναι συνεχώς διαφορίσιµο και - αντιστρέψιµο πεδίο µε g : B A επίσης συνεχώς διαφορίσιµη συνάρτηση. Εστω Jg ( ) είναι ο Ιακωβιανός πίνακας (παράγωγος) σε κάθε σηµείο του πεδίου g. Τότε: Θεώρηµα (Aλλαγή µεταβλητής). Εστω g πεδίο όπως παραπάνω και A, B είναι συµπαγή υποσύνολα του. Αν f είναι συνεχής πραγµατική συνάρτηση πάνω στο σύνολο B, τότε: = ( ) ( ) B A g f d f g Det J d. Mια σηµαντική εφαρµογή της φόρµουλας αλλαγής µεταβλητής είναι ο µετασχηµατισµός σε πολικές συντεταγµένες στον, σε 3 σφαιρικές συντεταγµένες στον και η γενίκευση στο. Ετσι, το σύστηµα σφαιρικών συντεταγµένων στο ορίζεται ως εξής: = g = rsiθ siθ siθ cosθ = rsiθ siθ siθ siθ = rsiθsiθ = rcosθ ( r θ ),,..., θ ( i ), θ π =,...,, θ π H Iακωβιανή ορίζουσα του µετασχηµατισµού αυτού δίνεται από τη σχέση: J r, θ = r si θ si 3 θ si θ, θ= θ,..., θ. Kάθε σηµείο { } µε S. Αν i γράφεται µε µοναδικό τρόπο ως = r, 8

9 π π π ( ) ( ) = g( θ) S f ds f, si θ si θ siθ dθ dθ τότε για κάθε µπάλα B(, N ) στον 3 έχουµε τη φόρµουλα N = (, ) S f d r f r ds. B N Ορίζουµε δε το εµβαδόν της µοναδιαίας σφαίρας εξής: w = ds( ). S S ως Μπορούµε τώρα να δείξουµε τις κάτωθι ιδιότητες: (α) B(, r) = B(, r) και B(, r) = B(, r), διότι όγκος και εµβαδόν είναι αναλλοίωτες ποσότητες ως προς την παράλληλη µεταφορά. (β) B(, r) = r B(,), = rw διότι B(, r) = d = r d = r d = r B(,) w w. B, r B, B, (γ) dsr = r ds, όπου ds r είναι το στοιχειώδες εµβαδόν της σφαίρας S ( r), ενώ ds είναι το στοιχειώδες εµβαδόν της µοναδιαίας σφαίρας S. w, =, (δ) B διότι µε µετασχηµατισµό σε πολικές συντεταγµένες έχουµε w B(,) = d = r drds ds B = =., S S 9

10 Β. Mη γνήσιο πολλαπλό ολοκλήρωµα Riema σε µη φραγµένα χωρία. Εστω N και f : QN είναι συνεχής συνάρτηση πάνω στους κύβους Αν το όριο { } Q =,..., : N/, i =,...,. N i lim f d N Q N υπάρχει, τότε το όριο αυτό το συµβολίζουµε µε f d. Μια χρήσιµη κλάση συνεχών συναρτήσεων των οποίων το f d υπάρχει περιλαµβάνει τις συναρτήσεις που ικανοποιούν τη συνθήκη: A f, d > + d + για κάποια θετική σταθερά A που εν γένει εξαρτάται απ την f. Β3. Θεώρηµα Απόκλισης. Ταυτότητες Gree. Θεώρηµα (Απόκλισης Gauss). Εστω Ω είναι ένα φραγµένο κανονικό στερεό του µε το σύνορό του Ω να είναι µία λεία υπερεπιφάνεια µε τη µοναδιαία κάθετο αυτής να έχει κατεύθυνση προς την εξωτερική όψη της και έστω F : Ω είναι ένα διανυσµατικό πεδίο µε συνεχείς µερικές παραγώγους πάνω και στο εσωτερικό της υπερεπιφάνειας Ω. Τότε η ροή του πεδίου F διαµέσου της επιφάνειας Ω δίνεται απ τη σχέση Ω Eστω τώρα uv, C Τότε: F i ds d = i F. Ω, όπου Ω Ω είναι όπως παραπάνω. i v u = vi u+ v i u= vi u+ v u.

11 Oλοκληρώνοντας και τα δυο µέλη της παραπάνω ισότητας και χρησιµοποιώντας το Θεώρηµα απόκλισης παίρνουµε i v u d= vi u d+ v u d Ω Ω Ω v ui ds = vi u d+ v u d Ω Ω Ω u v ds = v u d v u d i +. Ω Ω Ω Η παραπάνω καλείται η ταυτότητα Gree. Aπ την άλλη µεριά έχουµε: v u u v= i v u u v. Oλοκληρώνοντας και τα δυο µέλη τηε παραπάνω ισότητας και χρησιµοποιώντας το Θεώρηµα απόκλισης παίρνουµε Ω ( ) = i ( ) v u u v d v u u v d Ω i = v u u v ds Ω Τελικά: u v = v u ds. Ω Ω u v v u u v d= v u ds. Ω Η παραπάνω καλείται η ταυτότητα Gree.

12 Β4. Σύντοµη ανασκόπηση σειρών Fourier. Ορισµός. Εστω f : R είναι µια περιοδική και απόλυτα /, /. Ο χώρος ολοκληρώσιµη συνάρτηση στο διάστηµα [ ] αυτών των συναρτήσεων συµβολίζεται µε L. Ορισµός. Για κάθε συνάρτηση f L ορίζουµε µια ακολουθία { } µιγαδικών αριθµών : = fˆ = f έτσι ώστε πi / ˆ f = f e d. / Η τριγωνοµετρική σειρά (όποτε αυτή έχει νόηµα) [ ] ˆ = πiπ S f = f e, καλείται σειρά Fourier σε µιγαδική µορφή της συνάρτησης f και η ακολουθία f καλείται ακολουθία συντελεστών Fourier της f. Εστω. Τότε: / πi ˆ / π π f = f e d f cos isi d = / / a ib =, όπου / a = f d / / π a = fcos d,,,... / = / π b = fsi d / Θέτοντας όπου το βρίσκουµε εύκολα

13 ˆ a ib a + ib f ( ) = =, οπότε παίρνουµε πiπ πiπ πiπ [ ] = ˆ = ˆ + ˆ( ) + ˆ S f f e f e f f e = = = ˆ ˆ = f + f e fˆ + e = πiπ πiπ a ib a + π π = + cos isi = a ib π π + cos isi + και µετά από στοιχειώδεις πράξεις προκύπτει µια ισοδύναµη µορφή του αναπτύγµατος Fourier της f : π π S[ f] = a + acos + bsi =, όπου οι συντελεστές a, b, =,, είναι όπως παραπάνω και καλούνται επίσης συντελεστές Fourier της f. Το άθροισµα N π π SN[ f] = a + acos + bsi = καλείται N -οστό µερικό άθροισµα της σειράς Fourier S[ f] της συνάρτησης f στο σηµείο. Σηµειώνουµε ότι η σειρά Fourier δε συγκλίνει απαραίτητα και όταν συγκλίνει δεν συγκλίνει υποχρεωτικά στη συνάρτηση f. Παρ όλα αυτά ισχύει: Λήµµα (Μοναδικότητας). Αν f, g είναι συνεχείς περιοδικές συναρτήσεις, τότε fˆ = gˆ f = g. 3

14 Οσον αφορά τη συµπεριφορά της ακολουθίας των συντελεστών Fourier ισχύει το ακόλουθο: Λήµµα (Riema-Lebesgue). Αν f L, τότε η ακολουθία των συντελεστών Fourier της f είναι µηδενική, δηλαδή ή ισοδύναµα lim f ˆ =, + lim a + = limb =. + Σηµειώνουµε ότι η συνέχεια της f δε διασφαλίζει τη σηµειακή σύγκλιση της σειράς Fourier. Ισχύει το ακόλουθο: Θεώρηµα. (α) Εστω f είναι περιοδική συνάρτηση µε /, /. Τότε: τµηµατικά συνεχή παράγωγο στο διάστηµα [ ] lim S [ f] N N = + + f f είναι το εκ δεξιών και εξ αριστερών όριο της f στο σηµείο αντιστοίχως. σηµειακά. Υπενθυµίζουµε ότι οι αριθµοί f ( + ), f ( ) (β) Αν f είναι συνεχής περιοδική συνάρτηση µε τµηµατικά /, /, τότε: συνεχή παράγωγο στο διάστηµα [ ] lim S [ f] f N N =, µε τη σύγκλιση να είναι απόλυτη και οµοιόµορφη. Πρόταση. Αν f είναι παραγωγίσιµη περιοδική συνάρτηση και f L, τότε η σειρά Fourier της f παραγωγίζεται όρο προς όρο. υστυχώς δεν είναι αληθές ότι κάθε µηδενική ακολουθία µπορεί να γραφεί ως ακολουθία συντελεστών Fourier µιας απόλυτα ολοκληρώσιµης συνάρτησης. Τότε όµως πως µπορούµε να ξεχωρίσουµε πότε µια τριγωνοµετρική σειρά είναι σειρά Fourier µιας συνάρτησης; Μια ικανή συνθήκη µας δίνει το ακόλουθο 4

15 Θεώρηµα (Riesz-Fischer). Εστω { c } = αθροίσιµη ακολουθία µιγαδικών αριθµών, δηλαδή είναι µια τετραγωνικά c <. = Τότε υπάρχει τετραγωνικά ολοκληρώσιµη περιοδική συνάρτηση f (δηλαδή f () t dt < ) τέτοια / ώστε / c = f ˆ. Ο χώρος των τετραγωνικά ολοκληρώσιµων περιοδικών συναρτήσεων συµβολίζεται µε L και είναι πολύ σηµαντικός. Κατ αρχήν περιέχεται στον L. Στο χώρο L µπορούµε να ορίσουµε ένα εσωτερικό γινόµενο ως εξής: / / f, g = f g ( ) d. ότε, σε αναλογία µε την ευκλείδια γεωµετρία ορίζεται µια νόρµα f στον L έτσι ώστε / f f, f f d = =. / Τότε λέµε ότι τα στοιχεία f, g L είναι κάθετα αν και µόνον αν πi f, g =. Αποδεικνύεται ότι το σύνολο e είναι µια = ορθοκανονική βάση του χώρου αυτού, άρα για κάθε f L { } υπάρχει µοναδική ακολουθία συντελεστών c ( f ) = πi πim πi πim,, = = f = c f e f e = c f e e πim ˆ f, e = c f c f = f m. m m έτσι ώστε 5

16 Eπιπλέον ισχύει το ακόλουθο: Θεώρηµα (Ταυτότητα του Parseval). Αν f L,τότε όπου { },{ } ( ), / f d= a / + a + b = a b είναι όπως παραπάνω. Ισοδύναµα: / f d= f. / = Σηµείωση. Αν f είναι µια περιοδική και άρτια συνάρτηση, τότε η σειρά Fourier της f παίρνει τη µορφή π S[ f] = a + acos = και µιλούµε για σειρά συνηµιτόνων της f. Αν η f είναι µια περιοδική και περιττή συνάρτηση, τότε η σειρά Fourier της f παίρνει τη µορφή π S[ f] = b si = και µιλούµε για σειρά ηµιτόνων της f. Συµπερασµατικά, η σειρά Fourier είναι ένας µετασχηµατισµός που αναλύει µια περιοδική συνάρτηση στο φάσµα συχνοτήτων της (διακριτών). ηλαδή από µια (συνεχή) συνάρτηση f προκύπτει fˆ,. Το είναι η συχνότητα που µια διακριτή ακολουθία µετρά το πλήθος των ταλαντώσεων ανά περίοδο. Eτσι ο αριθµός ˆf ( ) µας δίνει ένα µέτρο του κατά πόσο η -ιοστή συχνότητα είναι ουσιώδης στην αναπαράσταση της συνάρτησης µέσω της σειράς Fourier αυτής. 6

17 Β5. Μετασχηµατισµός Fourier ολοκληρώσιµων συναρτήσεων. Ορισµός. Εστω f : είναι απόλυτα ολοκληρώσιµη συνάρτηση στο, δηλαδή f L: = L( ). Ορίζουµε το µετασχη- µατισµό Fourier της f ως εξής: πiγ f γ = f e d, γ. Κατ αρχήν αναφέρουµε χρήσιµες ιδιότητες του µετασχηµατισµού Fourier που αποδεικνύονται εύκολα: Πρόταση. Εστω f, g L. Eχουµε: af + bg = afˆ + bgˆ, a, b (γραµµικότητα). F. F. Αν f f ( τ ) τ =, τότε F3. Για ω ισχύει: ˆ i f f e πγτ τ γ = γ (µετάθεση στο χρόνο). πω i i e f ( γ ) = fˆ ( γ ω) (µετάθεση στις συχνότητες). F4. Για a { } ισχύει:: f ˆ γ = a a f ( a ) ( γ ) (διαστολή στο χρόνο). F6. Αν F = f t dt και F L, τότε ( γ ) ˆ ˆ f F ( γ) =, γ {} (αντιπαράγωγος στο χρόνο). πγ i F7. Αν και ( k ) f, f,..., f L, τότε: ( k ) f, f,..., f, 7

18 ( k ) k f ( γ ) ( πγ i ) fˆ ( γ) = (παράγωγοι στο χρόνο). F8. Αν f L ( ) και f L και: ( i) f f τότε η f είναι παραγωγίσιµη π γ = γ (παράγωγος στις συχνότητες). f g f t g t dt είναι η συνέλιξη των f, g, τότε F9. Αν = ( ) Λήµµα. Αν f, g L f g γ = f( γ) g( γ), γ (συνέλιξη στο χρόνο)., τότε = f g d f g d. Αναφέρουµε το µετασχηµατισµό Fourier συναρτήσεων ορισµένων χρήσιµων συναρτήσεων. Αν f = [ ] ( A> ), τότε f ( γ ) χ A/, A/ ( A ) ηµ π γ =. πγ ηµ ( π A) Αν f = ( A> ), τότε f ( γ ) χ[ ]( γ) =. A/, A/ π f = A AA, A χ ηµ ( πaγ) > =. A ( πγ ) ηµ ( π A) γ f A π = και αντιστρόφως. + Αν [ ], τότε f ( γ ) Αν =, τότε f ( γ) = χ[, ]( γ) ( A> AA ) A Αν f = e, τότε f ( γ ) Αν f = e π, τότε f ( γ ) Θεώρηµα. Εστω Fourier της f. Τότε: f L ( πγ ) = e πγ. και f είναι ο µετασχηµατισµός (α) Η f είναι οµοιόµορφα συνεχής συνάρτηση στο. (β) (Αντιστροφής): Aν f L, ισχύει. 8

19 πγ γ i f = f e dγ σε κάθε σηµείο συνέχειας της f. Η συνάρτηση καλείται αντίστροφος µετασχηµατισµός Fourier της f. (γ) (Μοναδικότητας): Aν =, τότε σηµείο συνέχειας της f. f γ (δ) (Riema-Lebesgue): f ˆ ( γ ) γ lim =. γ πγ i f γ e dγ f = σε κάθε Σηµείωση. (α) Είναι εύκολο να δούµε ότι το θεώρηµα αντιστροφής µπορεί να γραφεί υπό τη µορφή πγ i πγ i f f e d e d = ( ) f συν πγ d dγ. = Ετσι, αν η f είναι άρτια συνάρτηση στο, τότε ( ) ( ) f f συν πγ d συν πγ dγ = και ορίζουµε το συνηµιτονικό µετασχηµατισµό Fourier της f ως εξής: f ( γ) = f συν( πγ) d µε τύπο αντιστροφής: f = f γ συν πγ dγ. γ Αν η f είναι περιττή συνάρτηση στο, τότε ορίζουµε τον ηµιτονικό µετασχηµατισµό Fourier της f ως εξής: µε τύπο αντιστροφής: ( γ) ηµ ( πγ ) f = f d. ( ) f = f γ ηµ πγ dγ. 9

20 Β6. Μετασχηµατισµός Laplace. Ορισµός. Εστω f :, [ ) της f, συµβολικά L ( f ) τη συνάρτηση +. Καλούµε µετασχηµατισµό Laplace + b st = L = = st F s f s f() t e dt lim f() t e dt b + για όλες τις τιµές του s για τις οποίες το µη γνήσιο st ολοκλήρωµα της f () te συγκλίνει. Ο µετασχηµατισµός Laplace απεικονίζει µια συνάρτηση ορισµένη στο πεδίο του χρόνου t σε µια νέα συνάρτηση F( s ). ηλαδή: f L F. Εφόσον ο µετασχηµατισµός Laplace απεικονίζει συναρτήσεις σε συναρτήσεις, είναι λογικό να αναρωτηθούµε αν υπάρχει αντίστροφος µετασχηµατισµός L που να απεικονίζει το µετασχηµατισµό Laplace στην αρχική συνάρτηση f. Πράγµατι υπό κατάλληλες συνθήκες υπάρχει ο αντίστροφος µετασχηµατισµός L όπως θα δούµε παρακάτω. Ετσι για το µετασχηµατισµό Laplace γράφουµε: f L F. Μια ικανή συνθήκη ύπαρξης του µετασχηµατισµού Laplace δίνει το ακόλουθο Θεώρηµα. Εστω f :, [ ) + είναι µια συνάρτηση: (i) τµηµατικά συνεχής (δηλαδή είναι συνεχής παντού πλην πεπερασµένου πλήθος σηµείων t,..., t N για τα οποία υπάρχουν lim f t και lim f ( t), i=,..., N και είναι τα πλευρικά όρια πεπερασµένα) και + t t i t t i at (ii) εκθετικής τάξης α (δηλαδή είναι πραγµατικές σταθερές µε M, c > ). e f t M t > c, όπου M, ac, f

21 Τότε ο µετασχηµατισµός Laplace της f ορίζεται για κάθε Re( s) και επιπλέον lim Fs =. s > a Αναφέρουµε το µετασχηµατισµό Laplace ορισµένων στοιχειωδών συναρτήσεων. L () =, Re( s) >. s at L ( e ) =, Re( s ) Re( a ) s a >.! L t =,Re() s >,. s + a L ( ηµ ) =,Re() s s + a >. s L ( συν at ) =,Re() s s + a >. ( at) Αν εξαιρέσουµε τέτοιες στοιχειώδεις συναρτήσεις των οποίων ο µετασχηµατισµός Laplace υπολογίζεται µε απ ευθείας ολοκλήρωση, για συναρτήσεις µε πιο πολύπλοκο τύπο τα πράγµατα δυσκολεύουν. Απ την άλλη µεριά ένα κριτήριο χρησιµότητας ενός µετασχηµατισµού είναι οι ιδιότητες αυτού που διευκολύνουν τους υπολογισµούς. Εχουµε: Γραµµικότητα. ( af ± bg )( s) = a ( f )( s) ± b ( g )( s) L L L. Μετάθεση στο πεδίο των συχνοτήτων s. ( f () te bt ) = ( f)( s b) L L. Μετάθεση στο πεδίο του χρόνου. Aν τότε ( ) f t b t b g() t =, t, b> t < b bs ( g( t) )( s) = e ( f )( s) L L.

22 Σηµείωση. Εστω, t > b ub () t =, t, b>, t < b είναι είναι η µοναδιαία συνάρτηση βήµατος Ηeaviside. Τότε η παραπάνω ιδιότητα γράφεται ως εξής: Αν f :, [ ) ( ) bs b, R e L u f t b = e L f s > a. ιαστολή/στάθµιση. s L( f( bt) ) = L ( f ). b b Momets. ( = ) L t f() t ( ) L f () s. Παράγωγοι. είναι φορές παραγωγίσιµη µε εκθετικής τάξης ( ) a παραγώγους f,..., f για κάθε t και τµηµατικά συνεχή παράγωγο f, τότε ( k) k k ( k ) ( k ) ( f ) = s ( f ) s f ( )... sf ( ) f ( ) L L. Αν τότε: Συνέλιξη + () f g t = f ω g t ω dω. t () f g t = f ω g t ω dω. Ορισµός. Εστω F: A : F = F( s). Αν υπάρχει συνάρτηση f :, + : f = f() t L f s = F s, τότε η f [ ) τέτοια ώστε καλείται αντίστροφος µετασχηµατισµός Laplace της γράφουµε F και

23 Άρα f = L. ( F ) L f = F L F = f. Αν FG, είναι οι µετασχηµατισµοί Laplace δυο συνεχών συναρτήσεων f, g :[, + ), τότε µε τη βοήθεια των ιδιοτήτων του µετασχηµατισµού Laplace αποδεικνύονται άµεσα οι ακόλουθες ιδιότητες του αντίστροφου µετασχηµατισµού Laplace: Γραµµικότητα. ( af ± bg) = a ( F ) ± b ( G) L L L. Μετάθεση στο πεδίο συχνοτήτων. ( ) bt L F s b = f() t e, t. Μετάθεση στο πεδίο χρόνου. ( bs e F( s) ) = u f( t b), ( t, b> ) L b. ιαστολή. ( ) t L F bs = f, t, b>. b b Momets. L ( ) F = t f( t), t. Συνέλιξη. ( ( ω) ( ω) ) L F G = f g. 3

24 KΕΦΑΛΑΙΟ Εισαγωγή... Μερικές διαφορικές εξισώσεις ης τάξης. Γενικά. Καλούµε µερική διαφορική εξίσωση (Μ Ε), ή διαφορική εξίσωση µε µερικές παραγώγους ( ΕΜΠ), µια εξίσωση που περιέχει µια άγνωστη πραγµατική συνάρτηση δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών και τουλάχιστον µια από τις µερικές παραγώγους της. Τάξη Μ Ε καλείται η τάξη της µεγαλύτερης µερικής παραγώγου που περιέχεται στη διαφορική εξίσωση. Για παράδειγµα, αν u: : u= u(, ) είναι διαφορίσιµη συνάρτηση στο, τότε η γενική µορφή των Μ Ε ης τάξης είναι Για παράδειγµα, οι ( ) F,, u, u, u =. u + u = + +, u u u είναι Μ Ε ης τάξης. + =, + uu+ u u=, Ορισµός.. Λύση Μ Ε καλείται κάθε συνάρτηση που ικανοποιεί τη Μ Ε. Ορισµός.. Γενική λύση Μ Ε καλείται µια οικογένεια λύσεων αυτής που περιέχει αυθαίρετες συναρτήσεις, το πλήθος των οποίων είναι ίσο µε την τάξη της. Ορισµός.3. Μερική λύση Μ Ε καλείται κάθε συνάρτηση που ικανοποιεί τη Μ Ε και προκύπτει από τη γενική λύση της µε συγκεκριµένη επιλογή των αυθαίρετων συναρτήσεων. Παράδειγµα. Εστω u C πραγµατική συνάρτηση µε u = ( + ). Η γενική λύση αυτής υπολογίζεται µε απευθείας ολοκληρώσεις: 4

25 u = ( + ) u = ( + ) d= + + a ( ) u = + + a d = + + a d + b = u a b Yπάρχουν δυο βασικές κατηγορίες Μ Ε: οι γραµµικές και οι µη γραµµικές. Υπενθυµίζουµε ότι αν V είναι ένας πραγµατικός ή µιγαδικός διανυσµατικός χώρος, τότε ένας τελεστής L :V V καλείται γραµµικός, αν,, η,, L au + bv = al u + bl v a b u v V. Ετσι, για τη διδιάστατη περίπτωση, αν ABΓ,, : είναι γνωστές συναρτήσεις και u : άγνωστη συνάρτηση, τότε κάθε Μ Ε της µορφής A, u + B(, ) u +Γ, u = καλείται οµογενής γραµµική Μ Ε ης τάξης, διότι αν θεωρήσουµε το αριστερό µέλος της παραπάνω ισότητας ως ένα τελεστή L ( u) = Au (, ) + Bu (, ) +Γ( u, ), τότε L au + bv = al u + bl v. Υπενθυµίζουµε ότι αν uv, είναι δυο λύσεις µιας οµογενούς Μ Ε, τότε κάθε γραµµικός συνδυασµός τους είναι επίσης λύση της ίδιας Μ Ε. Αυτή είναι η αρχή της υπέρθεσης. Κάθε Μ Ε της µορφής (, ) (, ) (, ) (, ) A u + Bu +Γ u= f, όπου AB,, Γ, f: είναι γνωστές συναρτήσεις και u : είναι άγνωστη συνάρτηση καλείται µη οµογενής γραµµική Μ Ε ης τάξης. Στην περίπτωση αυτή, αν αθροίσουµε τη γενική λύση της οµογενούς Μ Ε και µια µερική λύση της µη οµογενούς Μ Ε παίρνουµε τη γενική λύση της µη οµογενούς Μ Ε. 5

26 Κάθε Μ Ε της µορφής (, ) (, ) (,, ) A u + Bu = C u, όπου ABC,, : είναι γνωστές συναρτήσεις και u : είναι άγνωστη συνάρτηση καλείται ηµιγραµµική Μ Ε ης τάξης. Πρόκειται για µια κλάση µη γραµµικών Μ Ε. Αν (,, ) = Γ(, ) (, ) C u u f τότε η παραπάνω ανάγεται σε γραµµική Μ Ε. Μια πιο ευρεία κλάση από τις ηµιγραµµικές Μ Ε είναι οι σχεδόν γραµµικές Μ Ε (,, ) (,, ) (,, ) A uu + Buu = C u, όπου ABC,, : είναι γνωστές συναρτήσεις και u : είναι άγνωστη συνάρτηση. Ολες οι παραπάνω επιλύονται µε παρόµοιο τρόπο. Παράδειγµα. Εστω u C και u + α u =, α είναι µια οµογενής γραµµική Μ Ε. Τότε: u u + α u = (, α) i( u, u) = (, α) i u= =, a όπου a = (,α ). Εφόσον η παράγωγος της u κατά την κατεύθυνση του διανύσµατος a ισούται µε µηδέν, η γενική λύση u της Μ Ε είναι σταθερή κατά µήκος οποιασδήποτε ευθείας παράγεται απ το διάνυσµα a, δηλαδή κατά µήκος όλων των ευθειών της µορφής = α + b, b αυθαίρετη σταθερά. Αυτές καλούνται χαρακτηριστικές καµπύλες της Μ Ε. Ετσι, u(, ) = C πάνω σε κάθε ευθεία = α + b, όπου C σταθερά κατά µήκος συγκεκριµένης ευθείας που µεταβάλλεται κάθε φορά που 6

27 αλλάζει η ευθεία, δηλαδή εξαρτάται απ το b, συνεπώς το C είναι συνάρτηση του b. Αρα η γενική λύση της Μ Ε είναι: (, ) ( α ) u = C b = C, όπου C είναι αυθαίρετη παραγωγίσιµη πραγµατική συνάρτηση στο. Παράδειγµα 3. Εστω u C και eu + u = είναι µια οµογενής γραµµική Μ Ε µε µη σταθερούς συντελεστές. [ ] r είναι µια καµπύλη σε =, τότε απ τον κανόνα αλυσίδας έχουµε: dz u d = + u d = u d d + u. dt dt dt dt dt Αν θέσουµε d = e dt, d = dt τότε dz eu u dt = + =. Αν ( t) = ( t), ( t), t I: = a, b παραµετρική µορφή και zt ut, t Η ισότητα αυτή υπονοεί ότι η λύση της Μ Ε είναι σταθερή κατά µήκος οποιασδήποτε χαρακτηριστικής καµπύλης r µε εφαπτόµενο διάνυσµα r ( t) = ( ( t), ( t) ) = ( e, ). Η οικογένεια αυτών των χαρακτηριστικών καµπύλων προκύπτει από τη λύση της συνήθους δ.ε. d / dt d = = d / dt e d e και έχει τη µορφή e e a = + +, a αυθαίρετη σταθερά. 7

28 Ετσι, u(, ) = C πάνω σε κάθε καµπύλη e e a = + +, όπου C σταθερά πάνω σε κάθε χαρακτηριστική καµπύλη που µεταβάλλεται κάθε φορά που αλλάζει η καµπύλη, δηλαδή εξαρτάται απ το a, συνεπώς είναι συνάρτηση του a. Αρα η γενική λύση της Μ Ε είναι η εξής: u, = C a = C e e, όπου C είναι µια αυθαίρετη παραγωγίσιµη παραγµατική συνάρτηση στο. Παράδειγµα 4. Εστω u C και u + u = u είναι µια ηµιγραµµική Μ Ε µε µη σταθερούς συντελεστές. Καλείται έτσι διότι ο σταθερός όρος είναι και συνάρτηση του u. Εστω. ιαιρώντας και τα δυο µέλη της παραπάνω παίρνουµε: u u + u =. () Θέτουµε d =, d απ όπου προκύπτει η γενική λύση Εστω z u(, ) = c,c σταθερά. = είναι λύση της Μ Ε. Τότε η λύση αυτή εξαρτάται µόνον απ το κατά µήκος κάθε καµπύλης = c. Eτσι, z = u, c και µε χρήση του κανόνα αλυσίδας έχουµε Αντικαθιστώνας dz u u = + = u + cu d = c στην () παίρνουµε. () u + cu u =, ( c) 8

29 οπότε η () γίνεται: Η λύση αυτής είναι dz = u u z + cu = =. d c c c z= + d l κατά µήκος της καµπύλης = c, όπου d σταθερά που µεταβάλλεται κάθε φορά που αλλάζει η καµπύλη = c, δηλαδή εξαρτάται απ το c, συνεπώς είναι συνάρτηση του c. Αρα η γενική λύση είναι: z = u(, ) = + d l, όπου d είναι αυθαίρετη παραγωγίσιµη συνάρτηση στο. Συχνά θέλουµε να υπολογίσουµε συγκεκριµένες λύσεις Μ Ε που ικανοποιούν επιπλέον συνθήκες. Οι συνθήκες αυτές είναι: αρχικές συνθήκες, αν το πρόβληµά µας είναι χρονοεξαρτώµενο (δίνουν πληροφορία στην αρχή του χρόνου), συνοριακές συνθήκες, αν το πρόβληµα αναφέρεται σ ένα φραγµένο χωρίο (δίνουν πληροφορία για την κατάσταση στο σύνορο), είτε συνδυασµός αυτών. Μια Μ Ε µαζί µε τις επιπλέον συνθήκες λέµε ότι αποτελεί ένα πρόβληµα. Ενα πρόβληµα είναι καλώς τεθιµένο αν έχει µοναδική και ευσταθή λύση, δηλαδή µικρή µεταβολή των συνθηκών επιφέρει εξίσου µικρή µεταβολή στη λύση. Παράδειγµα 5. Επιλύστε το πρόβληµα αρχικών/συνοριακών συνθηκών ut + u = u(,) =,, t >. u(, t) = Θα επιλύσουµε το πρόβληµα αυτό χρησιµοποιώντας το 9

30 µετασχηµατισµό Laplace. Εστω t (, ) = L u(, t) F s είναι ο µετασχηµατισµός Laplace της u ως προς t (υπό την προϋπόθεση ότι η u είναι εκθετικής τάξης ως προς t ). Σταθεροποιούµε προς στιγµήν κάποιο > και εφαρµόζουµε το µετασχηµατισµό Laplace L t και στα δυο µέλη της Μ Ε. Στη συνέχεια χρησιµοποιούµε ιδιότητες του µετασχηµατισµού Laplace (βλέπε παράγραφο Β.6) και παίρνουµε: d + = + = d t ( u u ) sf(, s) u(, ) F(, s) t L t L s d s F(, s) + F(, s) =. > d s u, = Για σταθεροποιηµένο s, η παραπάνω είναι µια γραµµική Ε ης τάξης ως προς > µε γενική λύση: s s d d s s F(, s) = e C( s) e + d = C( s) + d s s Aλλά s+ s C s = C() s + = + s s( s+ ) s s+ t t u, t = L u, t = L F, s =.. Πρέπει λοιπόν C( s ) =, συνεπώς: t t F(, s) = L ( F(, s) ) = L s( s+ ) s( s+ ) t t t u(, t) = L = s( s L L + ) s s+ t = e, t >. 3

31 Παράδειγµα 6. Επιλύστε το πρόβληµα αρχικών συνθηκών u + cu =,,, c, u(, ) = f ( ) υπό την προϋπόθεση ότι η u C, u( ) lim, =, τόσο η u όσο η u (, γ ) (ο µετασχηµατισµός Fourier της u ως προς ) είναι ολοκληρώσιµες στο και η f C ( ) είναι µια γνωστή ολοκληρώσιµη συνάρτηση στο µε lim f ( ) = και ο µετασχηµατισµός Fourier f είναι επίσης ολοκληρώσιµη συνάρτηση στο. Θα επιλύσουµε το πρόβληµα αυτό χρησιµοποιώντας το µετασχη- µατισµό Fourier. Εστω u(, ) u(, ) γ = F, όπου F είναι ο µετασχηµατισµός Fourier της u ως προς και είναι καλά ορισµένος. Σταθεροποιούµε προς στιγµήν κάποιο και εφαρµόζουµε το µετασχηµατισµό Fourier F και στα δυο µέλη της Μ Ε. Στη συνέχεια χρησιµοποιούµε ιδιότητες του µετασχηµατισµού Fourier (βλέπε παράγραφο Β.5) και παίρνουµε: d F u (, ) + cu = F πγ i u γ + c u(, γ) = d c d π iγ u(, γ) + u (, γ) =. d c Για σταθεροποιηµένο γ, η παραπάνω είναι µια οµογενής γραµµική Ε ης τάξης ως προς µε γενική λύση: Aλλά i u, γ = C γ e πγ. (, ) (, γ ) ( γ) ( γ) ( γ) u = f u = f C = f. Ετσι: 3

32 πγ, (, ) ( ) γ γ F γ F γ i u = f e u = f u(, ) = f c. Σηµείωση. (α) Τα παραδείγµατα 5 και 6 µπορούν να επιλυθούν όπως το παράδειγµα. ηλαδή, βρίσκουµε τη γενική λύση και στη συνέχεια αντικαθιστούµε τις επιπλέον συνθήκες. (β) Οι µέθοδοι Laplace και Fourier µπορούν να χρησιµοποιηθούν µόνον σε προβλήµατα αρχικών/συνοριακών συνθηκών που σχετίζονται µε γραµµικές Μ Ε. (γ) Προβλήµατα αρχικών/συνοριακών τιµών όπως τα παραπάνω µπορεί να έχουν µοναδική, άπειρες ή και καµία λύση. εν θα αναφερθούµε εδώ σε συνθήκες µοναδικότητας της λύσης... Μερικές ιαφορικές εξισώσεις ης τάξης και ταξινόµησή τους. Στον, κάθε Μ Ε της µορφής Au, + Bu (, ) +Γ u, + u, + Eu, + Z u, = καλείται οµογενής γραµµική Μ Ε ης τάξης, ενώ η A u, + Bu (, ) +Γ u, + u, + E u, + Z u, = f(, ) καλείται µη οµογενής γραµµική Μ Ε ης τάξης. Στις παραπάνω ισότητες οι A, B,..., Z και f είναι γνωστές πραγµατικές συναρτήσεις δυο µεταβλητών. Μια διδιάστατη γραµµική Μ Ε ης τάξης καλείται: Ελλειπτική σε σηµείο (, ), αν ( A B )( ) 4 Γ, >. Υπερβολική σε σηµείο (, ), αν ( A B )( ) 4 Γ, <. Παραβολική σε σηµείο (, ), αν ( A B )( ) 4 Γ, =. Η ταξινόµηση αυτή µας θυµίζει την ταξινόµηση δευτεροβάθµιων καµπύλων στο επίπεδο. 3

33 Αν η Μ Ε είναι π.χ. ελλειπτική σε κάθε σηµείο χωρίου E, τότε λέµε ότι η Μ Ε είναι ελλειπτική στο E. Χαρακτηριστικές περιπτώσεις π.χ. ελλειπτικών γραµµικών Μ Ε ης τάξης είναι οι εξισώσεις Laplace και Poisso που θα δούµε στο επόµενο κεφάλαιο. Ο παραπάνω χαρακτηρισµός γενικεύεται και για >. Εστω (,..., = ) και u C ( ) : u = u είναι πραγµατική συνάρτηση. Κάθε Μ Ε της µορφής + +Γ = i, j= ij r= r A u B u u f, i j r όπου A A A = A A είναι γνωστός συµµετρικός πίνακας πραγµατικών συναρτήσεων µεταβλητών και Br = Br( ), Γ =Γ( ), f = f ( ) είναι γνωστές πραγµατικές συναρτήσεις, καλείται µη οµογενής,..., = και γραµµική Μ Ε -τάξης. Eστω + ( ), ( ), ( ) µηδενικών ιδιοτιµών του πίνακα ( ) N N N είναι το πλήθος των θετικών, αρνητικών ή η ανωτέρω Μ Ε είναι: Ελλειπτική στο σηµείο Υπερβολική στο σηµείο N ( ) = και N + ( ) =. Παραβολική στο σηµείο N ( ) = και N ( ) =. A αντιστοίχως. Τότε λέµε ότι, αν N ( ), ή N + =. =, αν N ( ) και ( ) + = N =, αν N ( ) και ( ) + = N =, ή, ή 33

34 .3. Ασκήσεις.. Υπολογίστε την τάξη των κάτωθι Μ Ε: u 3u u u + + =, =, 6 uz uz u u u 3 3 u 3u + u = u, uu + uu + uu = + u.. Ποιες από τις παρακάτω Μ Ε είναι γραµµικές; u + 3u zuz = 4u, u u = u, u u + u =, u 3u u u + + =, =, 6 uz uz u u u 3 3 u 3u + u = u, uu + uu + uu = + u. 3. Yπολογίστε τη γενική λύση των Μ Ε: u + u =, u + 3u =, u(,) =, u u =, + u u u + =, 3 3, (,) u + u = u u = ηµ, u u = u, + = ( + ), ( u) u u u u u + + =, u 4. Ταξινοµήστε τις γραµµικές Μ Ε ης τάξης: =, uz = z. 3u + u + 5u + u =, u + u =, u = c u c>,, tt u + 4u + 5u + u + u =, u 4u + 4u + 3u + 4u =, u u 3u u 6u =, + u + u u =. 5. Με χρήση του µετασχηµατισµού u = 3 v = + επιλύστε τη Μ Ε u + u 3u =. 34

35 6. Να επιλυθεί µε τη µέθοδο Laplace το πρόβληµα αρχικώνσυνοριακών τιµών ut u = u(,) =,, t >. u(, t) = 7. Να επιλυθεί τη µέθοδο Fourier το πρόβληµα u + 3u =,,. u(,) = e 35

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης. Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 31 Ορισµοί Ορισµός 311 Εστω f : A f( A), A, f( A) και έστω 0 Α είναι σηµείο συσσώρευσης του συνόλου Α Θα λέµε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο 0 εάν υπάρχει λ : Ισοδύναµα:

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

6. Αρµονικές συναρτήσεις και συνοριακά προβλήµατα (Dirichlet).

6. Αρµονικές συναρτήσεις και συνοριακά προβλήµατα (Dirichlet). 6 Αρµονικές συναρτήσεις και συνοριακά προβλήµατα (Diichlet) Aρµονικές συναρτήσεις Ορισµός 61 Εστω E είναι ανοικτό σύνολο και f : E είναι µια πραγµατική συνάρτηση δύο πραγµατικών µεταβλητών και y Θα λέµε

Διαβάστε περισσότερα

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Αόριστο ολοκλήρωμα. επαληθεύει την παραπάνω ισότητα.

Αόριστο ολοκλήρωμα. επαληθεύει την παραπάνω ισότητα. Αόριστο ολοκλήρωμα Αντιπαράγωγος μίας συνάρτησης f() ορισμένης σε ένα διάστημα [α,β] λέγεται κάθε συνάρτηση F() που επαληθεύει την ισότητα F( ) f ( ) F( ) c επαληθεύει την παραπάνω ισότητα. Αόριστο ολοκλήρωμα

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Παράγωγος συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. είναι µία κατεύθυνση στον (δηλαδή ένα. E. Αν υπάρχει το όριο ( + ) ( ) ( )

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Παράγωγος συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. είναι µία κατεύθυνση στον (δηλαδή ένα. E. Αν υπάρχει το όριο ( + ) ( ) ( ) ΚΕΦΑΛΑΙΟ Παράγωγος συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Κατευθυνόµενη Παράγωγος Ορισµός Έστω a είναι µία κατεύθυνση στον (δηλαδή ένα µοναδιαίο διάνυσµα του χώρου ), E είναι ένα ανοικτό υποσύνολο του, : E και

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR 6 Ορισµοί Ορισµός 6 Εστω α είναι µία πραγµατική ακολουθία και είναι πραγµατικοί αριθµοί Ένα άπειρο πολυώνυµο της µορφής: a ( ) () = καλείται δυναµοσειρά µε κέντρο το

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. είναι διαµερίσεις των κλειστών διαστηµάτων [α,b] και [c,d] αντιστοίχως της µορφής

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. είναι διαµερίσεις των κλειστών διαστηµάτων [α,b] και [c,d] αντιστοίχως της µορφής . Ορισµοί-Ιδιότητες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Έστω f : R είναι µία φραγµένη συνάρτηση πάνω σε µία κλειστή ορθογώνια περιοχή Εστω (, y ) { } R =,y :a b, c y d. = είναι µια διαµέριση της ορθογώνιας περιοχής

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών

Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών Το εκπαιδευτικό υλικό που ακολουθεί αναπτύχθηκε στα πλαίσια του έργου «Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών», του Μέτρου «Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

3. Oρια-Συνέχεια-Παράγωγος. Ολόµορφες συναρτήσεις. . Το z ( )

3. Oρια-Συνέχεια-Παράγωγος. Ολόµορφες συναρτήσεις. . Το z ( ) 3 Oρια-Συνέχεια-Παράγωγος Ολόµορφες συναρτήσεις Τοπολογικοί ορισµοί Ορισµός 3 Εστω και ε > Καλούµε ε-ανοικτή περιοχή ή ανοικτό δίσκο κέντρου και ακτίνας ε το σύνολο { ε} D ( ) = : < ε Ορισµός 3 Έστω Το

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβληµάτων Αρχικών / Συνοριακών Τιµών Μεταδόσεως Θερµότητας

Επίλυση Προβληµάτων Αρχικών / Συνοριακών Τιµών Μεταδόσεως Θερµότητας Επίλυση Προβληµάτων Αρχικών / Συνοριακών Τιµών Μεταδόσεως Θερµότητας Τα προβλήµατα µεταδόσεως θερµότητας (ή θερµικής αγωγιµότητας heat conduction), µε την υπόθεση ισχύος του νόµου Fourier, διέπονται από

Διαβάστε περισσότερα

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x)

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x) [] 9 ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Η «συνάρτηση» δέλτα του irac Η «συνάρτηση» δέλτα ορίζεται μέσω της σχέσης φ (0) αν 0 δ[ φ ] = φ δ dx = (9) 0 αν 0 όπου η φ είναι μια συνάρτηση που ανήκει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Σειρά Fourier Ορθοκανονικές Συναρτήσεις Στοεδάφιοαυτόθαδιερευνήσουμεεάνκαικάτωαπό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 1.1 Εισαγωγή... 1 1.2 Λύση ΔΕ, αντίστροφο πρόβλημα αυτής... 3 Ασκήσεις... 10 1.3 ΔΕ πρώτης τάξης χωριζομένων μεταβλητών... 12 Ασκήσεις... 15 1.4 Ομογενείς

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

Τα διανύσματα xy, R είναι κάθετα αν και μόνο αν x y 0. Για το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων. Το ορθογώνιο συμπλήρωμα ενός υπόχωρου

Τα διανύσματα xy, R είναι κάθετα αν και μόνο αν x y 0. Για το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων. Το ορθογώνιο συμπλήρωμα ενός υπόχωρου ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ο ανάστροφος πίνακας του [ j ] σημειώνεται με [ j ] (δηλαδή οι γραμμές γίνονται στήλες αντίστροφα Ιδιότητες: ( ( B B ( R ( B B Ο αντίστροφος ενός τετραγωνικού πίνακα [ j ]

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/ Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: 0 2 xx, που ισχύει.

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/ Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: 0 2 xx, που ισχύει. ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: Ν : = + + + Ν : = + + + Ν : = ma 3 για κάθε = ( ) Να αποδείξετε ότι για κάθε = ( ) ισχύει: Ν ( ) Ν ( ) Ν ( ) Ν (

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1)

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1) 1 ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης (1) όπου οι συντελεστές είναι δοσµένες συνεχείς συναρτήσεις ορισµένες σ ένα ανοικτό διάστηµα. Ορισµός 1. Ορίζουµε τον διαφορικό τελεστή µέσω της

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

18 ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ

18 ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ SECTION 8 ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 8. Ορθογώνια Σύνολα Συναρτήσεων Ορθοκανονικό σύνολο συναρτήσεων Θεωρούµε δύο πραγµατικές συναρτήσεις f () και g() ορισµένες, διαφορετικές και όχι ταυτοτικά µηδέν, σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο 1 1 Να βρείτε (και να σχεδιάσετε) το πεδίο ορισμού των πιο κάτω συναρτήσεων f (, ) 9 4 (γ) f (, ) f (, ) 16 4 1 Να υπολογίσετε το κάθε όριο αν υπάρχει ή να

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 6. Βέλτιστες προσεγγίσεις σε ευκλείδειους χώρους Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε προσεγγίσεις που ελαχιστοποιούν αποστάσεις σε διανυσµατικούς χώρους, µε νόρµα που προέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 5 Ορισµοί Εστω α δοθείσα πραγµατική ακολουθία Ορίζουµε µία νέα ακολουθία ως εξής: 3 3 = + + + = = + = + + Ορισµός 5 Εάν υπάρχει το lim + = τότε η ακολουθία καλείται

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα 5 Ανοικτά και κλειστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσεται ο µηχανισµός που θα µας επιτρέψει να µελετήσουµε τις αναλυτικές ιδιότητες των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. Θα χρειαστούµε τις έννοιες της

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ. Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος.

ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ. Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος. 3. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος. Ορίσουµε το µετασχηµατισµό Fourier ενός µη περιοδικού

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές Στοχαστικά Σήµατα & Εφαρµογές Ανασκόπηση Στοιχείων Γραµµικής Άλγεβρας ιδάσκων: Ν. Παπανδρέου (Π.. 407/80) Πανεπιστήµιο Πατρών ΤµήµαΜηχανικώνΗ/Υ και Πληροφορικής ιανύσµατα Ορίζουµετοδιάνυσµα µε Ν στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Γιάννης Σαραντόπουλος Αθήνα 7 Οκτωβρίου 5 Περιεχόµενα Συµβολισµός

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνας της αλυσίδας. J ανοικτά διαστήματα) ώστε ( ), ( ) ( ) ( ) fog ' x = f ' g x g ' x, x I (2)

Κανόνας της αλυσίδας. J ανοικτά διαστήματα) ώστε ( ), ( ) ( ) ( ) fog ' x = f ' g x g ' x, x I (2) 8 Κανόνας της αλυσίδας Από τον Απειροστικό Λογισμό για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι: Αν g : I R R και f : J R R είναι συναρτήσεις ( όπου I, J ανοικτά διαστήματα ώστε, g( τότε η : I g I J

Διαβάστε περισσότερα

7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ. και σε κάθε γειτονιά του z

7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ. και σε κάθε γειτονιά του z 7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ Ένα σημείο λέγεται ανώμαλο σημείο της συνάρτησης f( ) αν η f( ) δεν είναι αναλυτική στο και σε κάθε γειτονιά του υπάρχει ένα τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο :Μιγαδικοί Αριθµοί. Ποιο σύνολο ονοµάζεται σύνολο των µιγαδικών αριθµών ;. Tι ονοµάζεται µιγαδικός αριθµός; Ποιο είναι το πραγµατικό και ποιο το φανταστικό του µέρος ; 3. Tι ονοµάζεται εικόνα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/2012

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/2012 ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: : : : ma 3 για κάθε Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει: 3 3 Τι συμπεραίνετε για τις παραπάνω νόρμες του Αν θεωρήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Διδάσκων : Επίκ Καθ Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ. 4.1 Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ. 4.1 Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ 4. Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα Εστω R είναι ο γνωστός -διάστατος πραγµατικός διανυσµατικός χώρος. Μία απεικόνιση L :

Διαβάστε περισσότερα

Λύνοντας ασκήσεις µε αντίστροφες συναρτήσεις ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Η αντίστροφη συνάρτηση f µιας αντιστρέψιµης συνάρτησης f είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ12 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 16 Ιουλίου 2003

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ12 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 16 Ιουλίου 2003 http://edueapgr/pli/pli/studetshtm Page of 6 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 6 Ιουλίου Απαντήστε όλα

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚEΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΠΕ ΙΑ. 1. Όριο Συνέχεια Παράγωγος διανυσµατικών συναρτήσεων.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚEΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΠΕ ΙΑ. 1. Όριο Συνέχεια Παράγωγος διανυσµατικών συναρτήσεων. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚEΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΠΕ ΙΑ Όριο Συνέχεια Παράγωγος διανυσµατικών συναρτήσεων Ορισµός 6 Εστω, > είναι δυο φυσικοί αριθµοί Κάθε συνάρτηση F : Ε Α καλείται διανυσµατική

Διαβάστε περισσότερα

(CLR, κεφάλαιο 32) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier

(CLR, κεφάλαιο 32) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier Ταχύς Μετασχηµατισµός Fourier CLR, κεφάλαιο 3 Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier Ταχύς Μετασχηµατισµός Fourier

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκλήρωμα πραγματικής συνάρτησης

Ολοκλήρωμα πραγματικής συνάρτησης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ολοκλήρωμα πραγματικής συνάρτησης Σύνοψη Το κεφάλαιο αυτό αποτελεί το «πέρασμα» από το Διαφορικό στον Ολοκληρωτικό Λογισμό Η θεμελιώδης έννοια, για το σκοπό αυτό, είναι η αντιπαράγωγος ή αόριστο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι Βασικές Έννοιες Σήματα Κατηγορίες Σημάτων Συνεχούς/ Διακριτού Χρόνου, Αναλογικά/ Ψηφιακά Μετασχηματισμοί Σημάτων Χρόνου: Αντιστροφή, Κλιμάκωση, Μετατόπιση Πλάτους Βασικά

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 61. 12. Ολοκληρώµατα διανυσµατικών συναρτήσεων

Κ. Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 61. 12. Ολοκληρώµατα διανυσµατικών συναρτήσεων Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 6 Ολοκληρώµατα διανυσµατικών συναρτήσεων Υπάρχουν διαφόρων ειδών ολοκληρώµατα διανυσµάτων, ανάλογα µε τη µορφή που έχει η ολοκληρωτέα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 5 Ιουλίου 2009

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 5 Ιουλίου 2009 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 5 Ιουλίου 009 Θέμα (0 μονάδες) Έστω U = (, y, z, w) = z, y = w υποσύνολο του και V ο υπόχωρος

Διαβάστε περισσότερα

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE 6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE Σκοπός του κεφαλαίου είναι να ορίσει τον αμφίπλευρο μετασχηματισμό aplace ή απλώς μετασχηματισμό aplace (Μ) και το μονόπλευρο μετασχηματισμό aplace (ΜΜ), να περιγράψει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α) Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] με f(α) f(β). Να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Μετασχηματισμός Laplace 1. Ο μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: Iανουαρίου 005. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: 8 Φεβρουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων.

Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων. Χώρος Διανύσματα Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων. Καρτεσιανές συντεταγμένες και διανύσματα στο χώρο. Στο σύστημα καρτεσιανών (ή ορθογώνιων) συντεταγμένων κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ. 5 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ 35

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ. 5 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ 35 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ. 5 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 15 1. Γενικά.. 15 Επιφάνεια 15 Ευθειογενεί επιφάνειε. 15 Επιφάνειε δευτέρου βαθμού.. 16 2. Μερικέ επιφάνειε δευτέρου

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων Κεφάλαιο 6 Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών παραβολικών διαφορικών εξισώσεων 6.1 Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων όγκων είναι µία ευρέως διαδεδοµένη υπολογιστική µέθοδος επίλυσης

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόµενα I ΜΙΓΑ ΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1

Περιεχόµενα I ΜΙΓΑ ΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1 Περιεχόµενα I ΜΙΓΑ ΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1 1 ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 3 1.1 Στοιχειώδεις παρατηρήσεις.................... 3 1.2 + Ορισµός και άλγεβρα των µιγαδικών αριθµών........ 6 1.3 Γεωµετρική παράσταση των µιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων 57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχειώδεις µιγαδικές συναρτήσεις.

2. Στοιχειώδεις µιγαδικές συναρτήσεις. Στοιχειώδεις µιγαδικές συναρτήσεις Γενικά Εστω A, B και f : A B είναι µια απεικόνιση τέτοια ώστε σε κάθε µιγαδικό αριθµό A να αντιστοιχεί µοναδικός µιγαδικός αριθµός w= f Λέµε τότε ότι η f είναι µια µιγαδική

Διαβάστε περισσότερα

. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί.

. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί. O μετασχηματισμός Laplace αποτελεί περίπτωση ολοκληρωτικού μετασχηματισμού, κατά τον οποίο κατάλληλη συνάρτηση (χρονικό σήμα) μετατρέπεται σε συνάρτηση της «συχνότητας» μέσω της σχέσης. (1) Γενικότερα

Διαβάστε περισσότερα

u u u u u u u u u u u x x x x

u u u u u u u u u u u x x x x Βασικοί συµβολισµοί και σχέσεις ϕ ϕ ui & ϕ=, ϕ, i=, ui, j= t x x u1 u1 u1 x1 x2 x u 3 1, 1 ui, j ui, j u1, 1 ui, j ui, j u u u u u u u u u u u i 2 2 2 i, j= = i, j 2, 2 i, j = i, j 2, 2 i, j = x j x1 x2

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) 3.1 ΘΕΩΡΙΑ-ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση, ή απεικόνιση όπως ονομάζεται διαφορετικά, είναι μια αντιστοίχιση μεταξύ δύο συνόλων,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κεφάλαιο M4 Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κινηµατική σε δύο διαστάσεις Θα περιγράψουµε τη διανυσµατική φύση της θέσης, της ταχύτητας, και της επιτάχυνσης µε περισσότερες λεπτοµέρειες. Θα µελετήσουµε την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα Πανεπιστηµιο Ιωαννινων σχολη θετικων επιστηµων τµηµα µαθηµατικων τοµεας αλγεβρας και γεωµετριας αναλυτικη γεωµετρια διδασκων : χρηστος κ. τατακης υποδειξεις λυσεων των θεµατων της 7.06.016 ΘΕΜΑ 1. µονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 2008 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 8 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Φεβρουαρίου 8 Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a

( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a 7 Έστω Το θεώρηµα του Tylor στη µια µεταβλητή Ι ανοικτό διάστηµα Ι και : Ι φορές διαφορίσιµη συνάρτηση στο Ι, (. Γράφουµε, ( = + +... + +,, Ι, όπου!, είναι το υπόλοιπο Tylor ( κέντρου και τάξης και ( Ρ

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Τελική Εξέταση 5 Ιουνίου 00 Απαντήστε όλα τα κάτωθι ερωτήµατα, παρέχοντας επεξηγηµατικά σχόλια όπου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της µορφής G() F() + c, c

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Z

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Z ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Laplace Μετασχηµατισµός Z Εφαρµογές Παράδειγµα ενός ηλεκτρικού συστήµατος Σύστηµα Παράδειγµα

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ 1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Προσανατολισμένο Ευθύγραμμο Τμήμα (π.ε.τ.) είναι το ευθύγραμμο τμήμα PQ στο οποίο ορίζουμε το άκρο Ρ αυτού να είναι η αρχή του π.ε.τ. και το άκρο Q αυτού να είναι το

Διαβάστε περισσότερα

2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Γενικά τι είναι σύστηµα - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων.

2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Γενικά τι είναι σύστηµα - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων. 2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Γενικά τι είναι - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων. Κατηγορίες των συστηµάτων ανάλογα µε τον αριθµό και το είδος των επιτρεποµένων εισόδων και εξόδων. Ιδιότητες των

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Στις φυσικές επιστήµες για να λύσουµε προβλήµατα ακολουθούµε συνήθως τα εξής βήµατα: 1. Μαθηµατική διατύπωση. Για να διατυπώσουµε µαθηµατικά ένα πρόβληµα

Διαβάστε περισσότερα