Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις"

Transcript

1 Νικόλαος. Ατρέας Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη 6/7

2 Περιεχόµενα A. Ορολογία. 4 B. Χρήσιµα στοιχεία θεωρίας. 6 B. Πολλαπλά ολοκληρώµατα Riema. 6 B. Mη γνήσια ολοκληρώµατα Riema σε µη φραγµένα χωρία. B3. Θεώρηµα Απόκλισης. Ταυτότητες Gree. B4. Σύντοµη ανασκόπηση σειρών Fourier. B5. o oλοκλήρωµα Fourier. 7 B6. O Mετασχηµατισµός Laplace. Κεφάλαιο : Εισαγωγή. 4.. Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις ης τάξης. 4.. Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις ης τάξης και ταξινόµησή τους Ασκήσεις. 34 Κεφάλαιο : Η εξίσωση Laplace Eισαγωγή Αρµονικές συναρτήσεις ιδιάστατη γενική λύση της εξίσωσης Laplace Θεµελιώδης εξίσωση Laplace στον. Εξίσωση Poisso. 46 στον.5. Συνοριακές συνθήκες Dirichlet και µοναδικότητα λύσης Η µέθοδος χωρισµού των µεταβλητών σε προβλήµατα Dirichlet Το πρόβληµα Dirichlet σε ορθογώνιο Το πρόβληµα Dirichlet στο µοναδιαίο δίσκο Mη φραγµένα χωρία σε προβλήµατα Dirichlet Το πρόβληµα Dirichlet. στο άνω ηµιεπίπεδο ο πρόβληµα Dirichlet σε ηµιάπειρη λωρίδα Συναρτήσεις Gree Aσκήσεις. 8

3 Κεφάλαιο : Η εξίσωση θερµότητας... Eισαγωγή o πρόβληµα Cauch στο µοναδιαίο κύκλο o πρόβληµα Cauch στον. Θεµελιώδης λύση Μοναδικότητα λύσης Οµογενείς εξισώσεις Φραγµένα χωρία µε οµογενείς αρχικές συνθήκες Φραγµένα χωρία µε µη οµογενείς αρχικές συνθήκες Μη φραγµένα χωρία µε οµογενείς αρχικές συνθήκες Μη οµογενείς εξισώσεις Aσκήσεις. 9 Κεφάλαιο 3: Η κυµατική εξίσωση. 3.. Εισαγωγή. 3.. o πρόβληµα Cauch για τη µονοδιάστατη κυµατική + εξίσωση (στο ). Λύσεις D Alembert o διδιάστατο και τρισδιάστατο πρόβληµα Cauch για την κυµατική εξίσωση Οµογενείς εξισώσεις Φραγµένα χωρία µε οµογενείς συνοριακές συνθήκες Φραγµένα χωρία µε µη οµογενείς συνοριακές συνθήκες Μη φραγµένα χωρία Μη οµογενείς εξισώσεις Aσκήσεις. 34 3

4 A. Ορολογία C ( Ω ): O χώρος των συνεχών πραγµατικών συναρτήσεων f : Ω στο Ω. C ( Ω ) : O χώρος των πραγµατικών συναρτήσεων f : Ω µε συνεχή παράγωγο -τάξης στο Ω. Αν η f έχει παράγωγο κάθε τάξης στο Ω, τότε f C c Ω. C : O χώρος των πραγµατικών συναρτήσεων f : µε συνεχή παράγωγο -τάξης σε συµπαγή φορέα E του (δηλαδή f = E ). B(, r) : Aνοικτή µπάλα κέντρου και ακτίνας r στον B(, r) : O όγκος της µπάλας B(, r) Ω : ο σύνορο χωρίου Ω. S ( r) : H ( ). σφαίρα { : = r}. στον µε κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα r. Ο συµβολισµός υποδηλώνει την ύπαρξη µιας διανυσµατικής συνάρτησης από ένα υποσύνολο του στον µε εικόνα τη σφαίρα = r. S. S : H µοναδιαία ( ) σφαίρα ( ) w : Το εµβαδό της µοναδιαίας ( ) σφαίρας S. =,,... : O τελεστής κλίσης που δρα πάνω σε βαθµωτά ή διανυσµατικά πεδία του. Με άλλα λόγια, αν V E είναι ο χώρος των διαφορίσιµων αριθµητικών πεδίων f : E και ( E ) V είναι ο χώρος των διαφορίσιµων m, m διανυσµατικών συναρτήσεων F : E (για = m 4

5 γράφουµε απλά ( E) V και µιλάµε για το χώρο των διαφορίσιµων διανυσµατικών πεδίων), τότε: ή f f :V( E) V ( E) : f =,..., : = ( f,..., f ), : V ( E ) V ( E ): F= F,..., F., (ή ): O τελεστής Laplace : = i =,..., i,..., = που δρα πάνω σε βαθµωτά ή διανυσµατικά πεδία ως εξής: ή αν F = ( f f ) f :V ( E) V ( E): f : = f f,,...,, τότε : V ( E) V ( E): F = f,..., f. d: Πολλαπλό ολοκλήρωµα συνεχούς πραγµατικής Ω συνάρτησης f : Ω. Το διαφορικό d = dd d δηλώνει στοιχειώδη όγκο ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου. fds : Επιφανειακό ολοκλήρωµα συνεχούς πραγµατικής Σ συνάρτησης f : Σ επί λείας επιφάνειας Σ µε παραµετροποίηση r: A : v= r( u). Αν είναι η µοναδιαία κάθετος σε κάθε σηµείο ru της επιφάνειας Σ, τότε το διαφορικό ( u u ) ds = Det,,..., r r u du δηλώνει στοιχειώδη εµβαδόν πάνω στη Σ. Ισχύει: ( ) ( u u ) fds = f ru Det,,..., r r udu. Σ A 5

6 B. Χρήσιµα στοιχεία θεωρίας. B. Πολλαπλό ολοκλήρωµα Riema. Τα πολλαπλά ολοκληρώµατα Riema είναι φυσική γενίκευση των διπλών και τριπλών ολοκληρωµάτων. Εστω f : R είναι φραγµένη συνάρτηση επί κλειστού ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου R =,..., : a b, i =,..., {( ) i i } και = (,..., ) είναι µια διαµέριση του R, όπου, =,..., είναι διαµερίσεις των κλειστών διαστηµάτων [ i, i] διαµερίζεται σε στοιχειώδη ορθογώνια παραλληλεπίπεδα j = ( j j ), j, k =,...,, όγκου,..., k k ( + )( + ) ( + ) i i a b. ότε το R V j = = d d., j, j, j, j, j, j, j, j Ω j, Αν και τότε ορίζουµε M m { } ( j) = sup f : Ω( j ) { } = if f : Ω j j, και L sup f = ( m() j V() j ): οποιαδηποτε διαµεριση τoυ R j U if f = ( m() j V() j ): οποιαδηποτε διαµεριση του R. j Σηµειώνουµε ότι οι αριθµοί U f, L f υπάρχουν πάντα και καλούνται ανώτερο και κατώτερο ολοκλήρωµα Darbou της f επί του R. Ορισµός. Έστω f : R είναι φραγµένη συνάρτηση πάνω σε κλειστό ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο R όπως παραπάνω. Αν 6

7 U = L = λ, f f τότε λέµε ότι η f είναι ολοκληρώσιµη κατά Riema επί του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου R και γράφουµε f d = λ. R Θεώρηµα. Έστω f : R είναι συνεχής συνάρτηση πάνω σε κλειστό ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο R. Τότε η f είναι ολοκληρώσιµη στο R. Ο ορισµός του ολοκληρώµατος Riema επεκτείνεται και σε µη ορθογώνια χωρία ως εξής: Εστω f : S είναι φραγµένη συνάρτηση πάνω σε κλειστό και φραγµένο χωρίο S µε το σύνορό του S να είναι σύνολο αµελητέου όγκου. Τότε υπάρχει ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο R που καλύπτει εξ ολοκλήρου το στερεό S. Ετσι, ορίζουµε την επέκταση της f στο S ως εξής: f, S g =., R \ S Αν η g είναι ολοκληρώσιµη στο R, τότε ορίζουµε S = f d g d. R Σηµείωση. Αποδεικνύεται ότι η τιµή του ολοκληρώµατος d είναι ανεξάρτητη από την επιλογή του R. R g Θεώρηµα (Επαναληπτική ολοκλήρωση). Έστω f : R είναι συνεχής συνάρτηση πάνω σε κλειστό ορθογώνιο k m παραλληλεπίπεδο R. Αν R = R R, όπου R, R είναι κλειστά ορθογώνια παραλληλεπίπεδα µε k + m= και αν,, k m =, τότε η συνάρτηση (, ) F = f d R 7

8 είναι συνεχής στο R και = (, ) f d f d d. R R R Εστω g : A B είναι συνεχώς διαφορίσιµο και - αντιστρέψιµο πεδίο µε g : B A επίσης συνεχώς διαφορίσιµη συνάρτηση. Εστω Jg ( ) είναι ο Ιακωβιανός πίνακας (παράγωγος) σε κάθε σηµείο του πεδίου g. Τότε: Θεώρηµα (Aλλαγή µεταβλητής). Εστω g πεδίο όπως παραπάνω και A, B είναι συµπαγή υποσύνολα του. Αν f είναι συνεχής πραγµατική συνάρτηση πάνω στο σύνολο B, τότε: = ( ) ( ) B A g f d f g Det J d. Mια σηµαντική εφαρµογή της φόρµουλας αλλαγής µεταβλητής είναι ο µετασχηµατισµός σε πολικές συντεταγµένες στον, σε 3 σφαιρικές συντεταγµένες στον και η γενίκευση στο. Ετσι, το σύστηµα σφαιρικών συντεταγµένων στο ορίζεται ως εξής: = g = rsiθ siθ siθ cosθ = rsiθ siθ siθ siθ = rsiθsiθ = rcosθ ( r θ ),,..., θ ( i ), θ π =,...,, θ π H Iακωβιανή ορίζουσα του µετασχηµατισµού αυτού δίνεται από τη σχέση: J r, θ = r si θ si 3 θ si θ, θ= θ,..., θ. Kάθε σηµείο { } µε S. Αν i γράφεται µε µοναδικό τρόπο ως = r, 8

9 π π π ( ) ( ) = g( θ) S f ds f, si θ si θ siθ dθ dθ τότε για κάθε µπάλα B(, N ) στον 3 έχουµε τη φόρµουλα N = (, ) S f d r f r ds. B N Ορίζουµε δε το εµβαδόν της µοναδιαίας σφαίρας εξής: w = ds( ). S S ως Μπορούµε τώρα να δείξουµε τις κάτωθι ιδιότητες: (α) B(, r) = B(, r) και B(, r) = B(, r), διότι όγκος και εµβαδόν είναι αναλλοίωτες ποσότητες ως προς την παράλληλη µεταφορά. (β) B(, r) = r B(,), = rw διότι B(, r) = d = r d = r d = r B(,) w w. B, r B, B, (γ) dsr = r ds, όπου ds r είναι το στοιχειώδες εµβαδόν της σφαίρας S ( r), ενώ ds είναι το στοιχειώδες εµβαδόν της µοναδιαίας σφαίρας S. w, =, (δ) B διότι µε µετασχηµατισµό σε πολικές συντεταγµένες έχουµε w B(,) = d = r drds ds B = =., S S 9

10 Β. Mη γνήσιο πολλαπλό ολοκλήρωµα Riema σε µη φραγµένα χωρία. Εστω N και f : QN είναι συνεχής συνάρτηση πάνω στους κύβους Αν το όριο { } Q =,..., : N/, i =,...,. N i lim f d N Q N υπάρχει, τότε το όριο αυτό το συµβολίζουµε µε f d. Μια χρήσιµη κλάση συνεχών συναρτήσεων των οποίων το f d υπάρχει περιλαµβάνει τις συναρτήσεις που ικανοποιούν τη συνθήκη: A f, d > + d + για κάποια θετική σταθερά A που εν γένει εξαρτάται απ την f. Β3. Θεώρηµα Απόκλισης. Ταυτότητες Gree. Θεώρηµα (Απόκλισης Gauss). Εστω Ω είναι ένα φραγµένο κανονικό στερεό του µε το σύνορό του Ω να είναι µία λεία υπερεπιφάνεια µε τη µοναδιαία κάθετο αυτής να έχει κατεύθυνση προς την εξωτερική όψη της και έστω F : Ω είναι ένα διανυσµατικό πεδίο µε συνεχείς µερικές παραγώγους πάνω και στο εσωτερικό της υπερεπιφάνειας Ω. Τότε η ροή του πεδίου F διαµέσου της επιφάνειας Ω δίνεται απ τη σχέση Ω Eστω τώρα uv, C Τότε: F i ds d = i F. Ω, όπου Ω Ω είναι όπως παραπάνω. i v u = vi u+ v i u= vi u+ v u.

11 Oλοκληρώνοντας και τα δυο µέλη της παραπάνω ισότητας και χρησιµοποιώντας το Θεώρηµα απόκλισης παίρνουµε i v u d= vi u d+ v u d Ω Ω Ω v ui ds = vi u d+ v u d Ω Ω Ω u v ds = v u d v u d i +. Ω Ω Ω Η παραπάνω καλείται η ταυτότητα Gree. Aπ την άλλη µεριά έχουµε: v u u v= i v u u v. Oλοκληρώνοντας και τα δυο µέλη τηε παραπάνω ισότητας και χρησιµοποιώντας το Θεώρηµα απόκλισης παίρνουµε Ω ( ) = i ( ) v u u v d v u u v d Ω i = v u u v ds Ω Τελικά: u v = v u ds. Ω Ω u v v u u v d= v u ds. Ω Η παραπάνω καλείται η ταυτότητα Gree.

12 Β4. Σύντοµη ανασκόπηση σειρών Fourier. Ορισµός. Εστω f : R είναι µια περιοδική και απόλυτα /, /. Ο χώρος ολοκληρώσιµη συνάρτηση στο διάστηµα [ ] αυτών των συναρτήσεων συµβολίζεται µε L. Ορισµός. Για κάθε συνάρτηση f L ορίζουµε µια ακολουθία { } µιγαδικών αριθµών : = fˆ = f έτσι ώστε πi / ˆ f = f e d. / Η τριγωνοµετρική σειρά (όποτε αυτή έχει νόηµα) [ ] ˆ = πiπ S f = f e, καλείται σειρά Fourier σε µιγαδική µορφή της συνάρτησης f και η ακολουθία f καλείται ακολουθία συντελεστών Fourier της f. Εστω. Τότε: / πi ˆ / π π f = f e d f cos isi d = / / a ib =, όπου / a = f d / / π a = fcos d,,,... / = / π b = fsi d / Θέτοντας όπου το βρίσκουµε εύκολα

13 ˆ a ib a + ib f ( ) = =, οπότε παίρνουµε πiπ πiπ πiπ [ ] = ˆ = ˆ + ˆ( ) + ˆ S f f e f e f f e = = = ˆ ˆ = f + f e fˆ + e = πiπ πiπ a ib a + π π = + cos isi = a ib π π + cos isi + και µετά από στοιχειώδεις πράξεις προκύπτει µια ισοδύναµη µορφή του αναπτύγµατος Fourier της f : π π S[ f] = a + acos + bsi =, όπου οι συντελεστές a, b, =,, είναι όπως παραπάνω και καλούνται επίσης συντελεστές Fourier της f. Το άθροισµα N π π SN[ f] = a + acos + bsi = καλείται N -οστό µερικό άθροισµα της σειράς Fourier S[ f] της συνάρτησης f στο σηµείο. Σηµειώνουµε ότι η σειρά Fourier δε συγκλίνει απαραίτητα και όταν συγκλίνει δεν συγκλίνει υποχρεωτικά στη συνάρτηση f. Παρ όλα αυτά ισχύει: Λήµµα (Μοναδικότητας). Αν f, g είναι συνεχείς περιοδικές συναρτήσεις, τότε fˆ = gˆ f = g. 3

14 Οσον αφορά τη συµπεριφορά της ακολουθίας των συντελεστών Fourier ισχύει το ακόλουθο: Λήµµα (Riema-Lebesgue). Αν f L, τότε η ακολουθία των συντελεστών Fourier της f είναι µηδενική, δηλαδή ή ισοδύναµα lim f ˆ =, + lim a + = limb =. + Σηµειώνουµε ότι η συνέχεια της f δε διασφαλίζει τη σηµειακή σύγκλιση της σειράς Fourier. Ισχύει το ακόλουθο: Θεώρηµα. (α) Εστω f είναι περιοδική συνάρτηση µε /, /. Τότε: τµηµατικά συνεχή παράγωγο στο διάστηµα [ ] lim S [ f] N N = + + f f είναι το εκ δεξιών και εξ αριστερών όριο της f στο σηµείο αντιστοίχως. σηµειακά. Υπενθυµίζουµε ότι οι αριθµοί f ( + ), f ( ) (β) Αν f είναι συνεχής περιοδική συνάρτηση µε τµηµατικά /, /, τότε: συνεχή παράγωγο στο διάστηµα [ ] lim S [ f] f N N =, µε τη σύγκλιση να είναι απόλυτη και οµοιόµορφη. Πρόταση. Αν f είναι παραγωγίσιµη περιοδική συνάρτηση και f L, τότε η σειρά Fourier της f παραγωγίζεται όρο προς όρο. υστυχώς δεν είναι αληθές ότι κάθε µηδενική ακολουθία µπορεί να γραφεί ως ακολουθία συντελεστών Fourier µιας απόλυτα ολοκληρώσιµης συνάρτησης. Τότε όµως πως µπορούµε να ξεχωρίσουµε πότε µια τριγωνοµετρική σειρά είναι σειρά Fourier µιας συνάρτησης; Μια ικανή συνθήκη µας δίνει το ακόλουθο 4

15 Θεώρηµα (Riesz-Fischer). Εστω { c } = αθροίσιµη ακολουθία µιγαδικών αριθµών, δηλαδή είναι µια τετραγωνικά c <. = Τότε υπάρχει τετραγωνικά ολοκληρώσιµη περιοδική συνάρτηση f (δηλαδή f () t dt < ) τέτοια / ώστε / c = f ˆ. Ο χώρος των τετραγωνικά ολοκληρώσιµων περιοδικών συναρτήσεων συµβολίζεται µε L και είναι πολύ σηµαντικός. Κατ αρχήν περιέχεται στον L. Στο χώρο L µπορούµε να ορίσουµε ένα εσωτερικό γινόµενο ως εξής: / / f, g = f g ( ) d. ότε, σε αναλογία µε την ευκλείδια γεωµετρία ορίζεται µια νόρµα f στον L έτσι ώστε / f f, f f d = =. / Τότε λέµε ότι τα στοιχεία f, g L είναι κάθετα αν και µόνον αν πi f, g =. Αποδεικνύεται ότι το σύνολο e είναι µια = ορθοκανονική βάση του χώρου αυτού, άρα για κάθε f L { } υπάρχει µοναδική ακολουθία συντελεστών c ( f ) = πi πim πi πim,, = = f = c f e f e = c f e e πim ˆ f, e = c f c f = f m. m m έτσι ώστε 5

16 Eπιπλέον ισχύει το ακόλουθο: Θεώρηµα (Ταυτότητα του Parseval). Αν f L,τότε όπου { },{ } ( ), / f d= a / + a + b = a b είναι όπως παραπάνω. Ισοδύναµα: / f d= f. / = Σηµείωση. Αν f είναι µια περιοδική και άρτια συνάρτηση, τότε η σειρά Fourier της f παίρνει τη µορφή π S[ f] = a + acos = και µιλούµε για σειρά συνηµιτόνων της f. Αν η f είναι µια περιοδική και περιττή συνάρτηση, τότε η σειρά Fourier της f παίρνει τη µορφή π S[ f] = b si = και µιλούµε για σειρά ηµιτόνων της f. Συµπερασµατικά, η σειρά Fourier είναι ένας µετασχηµατισµός που αναλύει µια περιοδική συνάρτηση στο φάσµα συχνοτήτων της (διακριτών). ηλαδή από µια (συνεχή) συνάρτηση f προκύπτει fˆ,. Το είναι η συχνότητα που µια διακριτή ακολουθία µετρά το πλήθος των ταλαντώσεων ανά περίοδο. Eτσι ο αριθµός ˆf ( ) µας δίνει ένα µέτρο του κατά πόσο η -ιοστή συχνότητα είναι ουσιώδης στην αναπαράσταση της συνάρτησης µέσω της σειράς Fourier αυτής. 6

17 Β5. Μετασχηµατισµός Fourier ολοκληρώσιµων συναρτήσεων. Ορισµός. Εστω f : είναι απόλυτα ολοκληρώσιµη συνάρτηση στο, δηλαδή f L: = L( ). Ορίζουµε το µετασχη- µατισµό Fourier της f ως εξής: πiγ f γ = f e d, γ. Κατ αρχήν αναφέρουµε χρήσιµες ιδιότητες του µετασχηµατισµού Fourier που αποδεικνύονται εύκολα: Πρόταση. Εστω f, g L. Eχουµε: af + bg = afˆ + bgˆ, a, b (γραµµικότητα). F. F. Αν f f ( τ ) τ =, τότε F3. Για ω ισχύει: ˆ i f f e πγτ τ γ = γ (µετάθεση στο χρόνο). πω i i e f ( γ ) = fˆ ( γ ω) (µετάθεση στις συχνότητες). F4. Για a { } ισχύει:: f ˆ γ = a a f ( a ) ( γ ) (διαστολή στο χρόνο). F6. Αν F = f t dt και F L, τότε ( γ ) ˆ ˆ f F ( γ) =, γ {} (αντιπαράγωγος στο χρόνο). πγ i F7. Αν και ( k ) f, f,..., f L, τότε: ( k ) f, f,..., f, 7

18 ( k ) k f ( γ ) ( πγ i ) fˆ ( γ) = (παράγωγοι στο χρόνο). F8. Αν f L ( ) και f L και: ( i) f f τότε η f είναι παραγωγίσιµη π γ = γ (παράγωγος στις συχνότητες). f g f t g t dt είναι η συνέλιξη των f, g, τότε F9. Αν = ( ) Λήµµα. Αν f, g L f g γ = f( γ) g( γ), γ (συνέλιξη στο χρόνο)., τότε = f g d f g d. Αναφέρουµε το µετασχηµατισµό Fourier συναρτήσεων ορισµένων χρήσιµων συναρτήσεων. Αν f = [ ] ( A> ), τότε f ( γ ) χ A/, A/ ( A ) ηµ π γ =. πγ ηµ ( π A) Αν f = ( A> ), τότε f ( γ ) χ[ ]( γ) =. A/, A/ π f = A AA, A χ ηµ ( πaγ) > =. A ( πγ ) ηµ ( π A) γ f A π = και αντιστρόφως. + Αν [ ], τότε f ( γ ) Αν =, τότε f ( γ) = χ[, ]( γ) ( A> AA ) A Αν f = e, τότε f ( γ ) Αν f = e π, τότε f ( γ ) Θεώρηµα. Εστω Fourier της f. Τότε: f L ( πγ ) = e πγ. και f είναι ο µετασχηµατισµός (α) Η f είναι οµοιόµορφα συνεχής συνάρτηση στο. (β) (Αντιστροφής): Aν f L, ισχύει. 8

19 πγ γ i f = f e dγ σε κάθε σηµείο συνέχειας της f. Η συνάρτηση καλείται αντίστροφος µετασχηµατισµός Fourier της f. (γ) (Μοναδικότητας): Aν =, τότε σηµείο συνέχειας της f. f γ (δ) (Riema-Lebesgue): f ˆ ( γ ) γ lim =. γ πγ i f γ e dγ f = σε κάθε Σηµείωση. (α) Είναι εύκολο να δούµε ότι το θεώρηµα αντιστροφής µπορεί να γραφεί υπό τη µορφή πγ i πγ i f f e d e d = ( ) f συν πγ d dγ. = Ετσι, αν η f είναι άρτια συνάρτηση στο, τότε ( ) ( ) f f συν πγ d συν πγ dγ = και ορίζουµε το συνηµιτονικό µετασχηµατισµό Fourier της f ως εξής: f ( γ) = f συν( πγ) d µε τύπο αντιστροφής: f = f γ συν πγ dγ. γ Αν η f είναι περιττή συνάρτηση στο, τότε ορίζουµε τον ηµιτονικό µετασχηµατισµό Fourier της f ως εξής: µε τύπο αντιστροφής: ( γ) ηµ ( πγ ) f = f d. ( ) f = f γ ηµ πγ dγ. 9

20 Β6. Μετασχηµατισµός Laplace. Ορισµός. Εστω f :, [ ) της f, συµβολικά L ( f ) τη συνάρτηση +. Καλούµε µετασχηµατισµό Laplace + b st = L = = st F s f s f() t e dt lim f() t e dt b + για όλες τις τιµές του s για τις οποίες το µη γνήσιο st ολοκλήρωµα της f () te συγκλίνει. Ο µετασχηµατισµός Laplace απεικονίζει µια συνάρτηση ορισµένη στο πεδίο του χρόνου t σε µια νέα συνάρτηση F( s ). ηλαδή: f L F. Εφόσον ο µετασχηµατισµός Laplace απεικονίζει συναρτήσεις σε συναρτήσεις, είναι λογικό να αναρωτηθούµε αν υπάρχει αντίστροφος µετασχηµατισµός L που να απεικονίζει το µετασχηµατισµό Laplace στην αρχική συνάρτηση f. Πράγµατι υπό κατάλληλες συνθήκες υπάρχει ο αντίστροφος µετασχηµατισµός L όπως θα δούµε παρακάτω. Ετσι για το µετασχηµατισµό Laplace γράφουµε: f L F. Μια ικανή συνθήκη ύπαρξης του µετασχηµατισµού Laplace δίνει το ακόλουθο Θεώρηµα. Εστω f :, [ ) + είναι µια συνάρτηση: (i) τµηµατικά συνεχής (δηλαδή είναι συνεχής παντού πλην πεπερασµένου πλήθος σηµείων t,..., t N για τα οποία υπάρχουν lim f t και lim f ( t), i=,..., N και είναι τα πλευρικά όρια πεπερασµένα) και + t t i t t i at (ii) εκθετικής τάξης α (δηλαδή είναι πραγµατικές σταθερές µε M, c > ). e f t M t > c, όπου M, ac, f

21 Τότε ο µετασχηµατισµός Laplace της f ορίζεται για κάθε Re( s) και επιπλέον lim Fs =. s > a Αναφέρουµε το µετασχηµατισµό Laplace ορισµένων στοιχειωδών συναρτήσεων. L () =, Re( s) >. s at L ( e ) =, Re( s ) Re( a ) s a >.! L t =,Re() s >,. s + a L ( ηµ ) =,Re() s s + a >. s L ( συν at ) =,Re() s s + a >. ( at) Αν εξαιρέσουµε τέτοιες στοιχειώδεις συναρτήσεις των οποίων ο µετασχηµατισµός Laplace υπολογίζεται µε απ ευθείας ολοκλήρωση, για συναρτήσεις µε πιο πολύπλοκο τύπο τα πράγµατα δυσκολεύουν. Απ την άλλη µεριά ένα κριτήριο χρησιµότητας ενός µετασχηµατισµού είναι οι ιδιότητες αυτού που διευκολύνουν τους υπολογισµούς. Εχουµε: Γραµµικότητα. ( af ± bg )( s) = a ( f )( s) ± b ( g )( s) L L L. Μετάθεση στο πεδίο των συχνοτήτων s. ( f () te bt ) = ( f)( s b) L L. Μετάθεση στο πεδίο του χρόνου. Aν τότε ( ) f t b t b g() t =, t, b> t < b bs ( g( t) )( s) = e ( f )( s) L L.

22 Σηµείωση. Εστω, t > b ub () t =, t, b>, t < b είναι είναι η µοναδιαία συνάρτηση βήµατος Ηeaviside. Τότε η παραπάνω ιδιότητα γράφεται ως εξής: Αν f :, [ ) ( ) bs b, R e L u f t b = e L f s > a. ιαστολή/στάθµιση. s L( f( bt) ) = L ( f ). b b Momets. ( = ) L t f() t ( ) L f () s. Παράγωγοι. είναι φορές παραγωγίσιµη µε εκθετικής τάξης ( ) a παραγώγους f,..., f για κάθε t και τµηµατικά συνεχή παράγωγο f, τότε ( k) k k ( k ) ( k ) ( f ) = s ( f ) s f ( )... sf ( ) f ( ) L L. Αν τότε: Συνέλιξη + () f g t = f ω g t ω dω. t () f g t = f ω g t ω dω. Ορισµός. Εστω F: A : F = F( s). Αν υπάρχει συνάρτηση f :, + : f = f() t L f s = F s, τότε η f [ ) τέτοια ώστε καλείται αντίστροφος µετασχηµατισµός Laplace της γράφουµε F και

23 Άρα f = L. ( F ) L f = F L F = f. Αν FG, είναι οι µετασχηµατισµοί Laplace δυο συνεχών συναρτήσεων f, g :[, + ), τότε µε τη βοήθεια των ιδιοτήτων του µετασχηµατισµού Laplace αποδεικνύονται άµεσα οι ακόλουθες ιδιότητες του αντίστροφου µετασχηµατισµού Laplace: Γραµµικότητα. ( af ± bg) = a ( F ) ± b ( G) L L L. Μετάθεση στο πεδίο συχνοτήτων. ( ) bt L F s b = f() t e, t. Μετάθεση στο πεδίο χρόνου. ( bs e F( s) ) = u f( t b), ( t, b> ) L b. ιαστολή. ( ) t L F bs = f, t, b>. b b Momets. L ( ) F = t f( t), t. Συνέλιξη. ( ( ω) ( ω) ) L F G = f g. 3

24 KΕΦΑΛΑΙΟ Εισαγωγή... Μερικές διαφορικές εξισώσεις ης τάξης. Γενικά. Καλούµε µερική διαφορική εξίσωση (Μ Ε), ή διαφορική εξίσωση µε µερικές παραγώγους ( ΕΜΠ), µια εξίσωση που περιέχει µια άγνωστη πραγµατική συνάρτηση δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών και τουλάχιστον µια από τις µερικές παραγώγους της. Τάξη Μ Ε καλείται η τάξη της µεγαλύτερης µερικής παραγώγου που περιέχεται στη διαφορική εξίσωση. Για παράδειγµα, αν u: : u= u(, ) είναι διαφορίσιµη συνάρτηση στο, τότε η γενική µορφή των Μ Ε ης τάξης είναι Για παράδειγµα, οι ( ) F,, u, u, u =. u + u = + +, u u u είναι Μ Ε ης τάξης. + =, + uu+ u u=, Ορισµός.. Λύση Μ Ε καλείται κάθε συνάρτηση που ικανοποιεί τη Μ Ε. Ορισµός.. Γενική λύση Μ Ε καλείται µια οικογένεια λύσεων αυτής που περιέχει αυθαίρετες συναρτήσεις, το πλήθος των οποίων είναι ίσο µε την τάξη της. Ορισµός.3. Μερική λύση Μ Ε καλείται κάθε συνάρτηση που ικανοποιεί τη Μ Ε και προκύπτει από τη γενική λύση της µε συγκεκριµένη επιλογή των αυθαίρετων συναρτήσεων. Παράδειγµα. Εστω u C πραγµατική συνάρτηση µε u = ( + ). Η γενική λύση αυτής υπολογίζεται µε απευθείας ολοκληρώσεις: 4

25 u = ( + ) u = ( + ) d= + + a ( ) u = + + a d = + + a d + b = u a b Yπάρχουν δυο βασικές κατηγορίες Μ Ε: οι γραµµικές και οι µη γραµµικές. Υπενθυµίζουµε ότι αν V είναι ένας πραγµατικός ή µιγαδικός διανυσµατικός χώρος, τότε ένας τελεστής L :V V καλείται γραµµικός, αν,, η,, L au + bv = al u + bl v a b u v V. Ετσι, για τη διδιάστατη περίπτωση, αν ABΓ,, : είναι γνωστές συναρτήσεις και u : άγνωστη συνάρτηση, τότε κάθε Μ Ε της µορφής A, u + B(, ) u +Γ, u = καλείται οµογενής γραµµική Μ Ε ης τάξης, διότι αν θεωρήσουµε το αριστερό µέλος της παραπάνω ισότητας ως ένα τελεστή L ( u) = Au (, ) + Bu (, ) +Γ( u, ), τότε L au + bv = al u + bl v. Υπενθυµίζουµε ότι αν uv, είναι δυο λύσεις µιας οµογενούς Μ Ε, τότε κάθε γραµµικός συνδυασµός τους είναι επίσης λύση της ίδιας Μ Ε. Αυτή είναι η αρχή της υπέρθεσης. Κάθε Μ Ε της µορφής (, ) (, ) (, ) (, ) A u + Bu +Γ u= f, όπου AB,, Γ, f: είναι γνωστές συναρτήσεις και u : είναι άγνωστη συνάρτηση καλείται µη οµογενής γραµµική Μ Ε ης τάξης. Στην περίπτωση αυτή, αν αθροίσουµε τη γενική λύση της οµογενούς Μ Ε και µια µερική λύση της µη οµογενούς Μ Ε παίρνουµε τη γενική λύση της µη οµογενούς Μ Ε. 5

26 Κάθε Μ Ε της µορφής (, ) (, ) (,, ) A u + Bu = C u, όπου ABC,, : είναι γνωστές συναρτήσεις και u : είναι άγνωστη συνάρτηση καλείται ηµιγραµµική Μ Ε ης τάξης. Πρόκειται για µια κλάση µη γραµµικών Μ Ε. Αν (,, ) = Γ(, ) (, ) C u u f τότε η παραπάνω ανάγεται σε γραµµική Μ Ε. Μια πιο ευρεία κλάση από τις ηµιγραµµικές Μ Ε είναι οι σχεδόν γραµµικές Μ Ε (,, ) (,, ) (,, ) A uu + Buu = C u, όπου ABC,, : είναι γνωστές συναρτήσεις και u : είναι άγνωστη συνάρτηση. Ολες οι παραπάνω επιλύονται µε παρόµοιο τρόπο. Παράδειγµα. Εστω u C και u + α u =, α είναι µια οµογενής γραµµική Μ Ε. Τότε: u u + α u = (, α) i( u, u) = (, α) i u= =, a όπου a = (,α ). Εφόσον η παράγωγος της u κατά την κατεύθυνση του διανύσµατος a ισούται µε µηδέν, η γενική λύση u της Μ Ε είναι σταθερή κατά µήκος οποιασδήποτε ευθείας παράγεται απ το διάνυσµα a, δηλαδή κατά µήκος όλων των ευθειών της µορφής = α + b, b αυθαίρετη σταθερά. Αυτές καλούνται χαρακτηριστικές καµπύλες της Μ Ε. Ετσι, u(, ) = C πάνω σε κάθε ευθεία = α + b, όπου C σταθερά κατά µήκος συγκεκριµένης ευθείας που µεταβάλλεται κάθε φορά που 6

27 αλλάζει η ευθεία, δηλαδή εξαρτάται απ το b, συνεπώς το C είναι συνάρτηση του b. Αρα η γενική λύση της Μ Ε είναι: (, ) ( α ) u = C b = C, όπου C είναι αυθαίρετη παραγωγίσιµη πραγµατική συνάρτηση στο. Παράδειγµα 3. Εστω u C και eu + u = είναι µια οµογενής γραµµική Μ Ε µε µη σταθερούς συντελεστές. [ ] r είναι µια καµπύλη σε =, τότε απ τον κανόνα αλυσίδας έχουµε: dz u d = + u d = u d d + u. dt dt dt dt dt Αν θέσουµε d = e dt, d = dt τότε dz eu u dt = + =. Αν ( t) = ( t), ( t), t I: = a, b παραµετρική µορφή και zt ut, t Η ισότητα αυτή υπονοεί ότι η λύση της Μ Ε είναι σταθερή κατά µήκος οποιασδήποτε χαρακτηριστικής καµπύλης r µε εφαπτόµενο διάνυσµα r ( t) = ( ( t), ( t) ) = ( e, ). Η οικογένεια αυτών των χαρακτηριστικών καµπύλων προκύπτει από τη λύση της συνήθους δ.ε. d / dt d = = d / dt e d e και έχει τη µορφή e e a = + +, a αυθαίρετη σταθερά. 7

28 Ετσι, u(, ) = C πάνω σε κάθε καµπύλη e e a = + +, όπου C σταθερά πάνω σε κάθε χαρακτηριστική καµπύλη που µεταβάλλεται κάθε φορά που αλλάζει η καµπύλη, δηλαδή εξαρτάται απ το a, συνεπώς είναι συνάρτηση του a. Αρα η γενική λύση της Μ Ε είναι η εξής: u, = C a = C e e, όπου C είναι µια αυθαίρετη παραγωγίσιµη παραγµατική συνάρτηση στο. Παράδειγµα 4. Εστω u C και u + u = u είναι µια ηµιγραµµική Μ Ε µε µη σταθερούς συντελεστές. Καλείται έτσι διότι ο σταθερός όρος είναι και συνάρτηση του u. Εστω. ιαιρώντας και τα δυο µέλη της παραπάνω παίρνουµε: u u + u =. () Θέτουµε d =, d απ όπου προκύπτει η γενική λύση Εστω z u(, ) = c,c σταθερά. = είναι λύση της Μ Ε. Τότε η λύση αυτή εξαρτάται µόνον απ το κατά µήκος κάθε καµπύλης = c. Eτσι, z = u, c και µε χρήση του κανόνα αλυσίδας έχουµε Αντικαθιστώνας dz u u = + = u + cu d = c στην () παίρνουµε. () u + cu u =, ( c) 8

29 οπότε η () γίνεται: Η λύση αυτής είναι dz = u u z + cu = =. d c c c z= + d l κατά µήκος της καµπύλης = c, όπου d σταθερά που µεταβάλλεται κάθε φορά που αλλάζει η καµπύλη = c, δηλαδή εξαρτάται απ το c, συνεπώς είναι συνάρτηση του c. Αρα η γενική λύση είναι: z = u(, ) = + d l, όπου d είναι αυθαίρετη παραγωγίσιµη συνάρτηση στο. Συχνά θέλουµε να υπολογίσουµε συγκεκριµένες λύσεις Μ Ε που ικανοποιούν επιπλέον συνθήκες. Οι συνθήκες αυτές είναι: αρχικές συνθήκες, αν το πρόβληµά µας είναι χρονοεξαρτώµενο (δίνουν πληροφορία στην αρχή του χρόνου), συνοριακές συνθήκες, αν το πρόβληµα αναφέρεται σ ένα φραγµένο χωρίο (δίνουν πληροφορία για την κατάσταση στο σύνορο), είτε συνδυασµός αυτών. Μια Μ Ε µαζί µε τις επιπλέον συνθήκες λέµε ότι αποτελεί ένα πρόβληµα. Ενα πρόβληµα είναι καλώς τεθιµένο αν έχει µοναδική και ευσταθή λύση, δηλαδή µικρή µεταβολή των συνθηκών επιφέρει εξίσου µικρή µεταβολή στη λύση. Παράδειγµα 5. Επιλύστε το πρόβληµα αρχικών/συνοριακών συνθηκών ut + u = u(,) =,, t >. u(, t) = Θα επιλύσουµε το πρόβληµα αυτό χρησιµοποιώντας το 9

30 µετασχηµατισµό Laplace. Εστω t (, ) = L u(, t) F s είναι ο µετασχηµατισµός Laplace της u ως προς t (υπό την προϋπόθεση ότι η u είναι εκθετικής τάξης ως προς t ). Σταθεροποιούµε προς στιγµήν κάποιο > και εφαρµόζουµε το µετασχηµατισµό Laplace L t και στα δυο µέλη της Μ Ε. Στη συνέχεια χρησιµοποιούµε ιδιότητες του µετασχηµατισµού Laplace (βλέπε παράγραφο Β.6) και παίρνουµε: d + = + = d t ( u u ) sf(, s) u(, ) F(, s) t L t L s d s F(, s) + F(, s) =. > d s u, = Για σταθεροποιηµένο s, η παραπάνω είναι µια γραµµική Ε ης τάξης ως προς > µε γενική λύση: s s d d s s F(, s) = e C( s) e + d = C( s) + d s s Aλλά s+ s C s = C() s + = + s s( s+ ) s s+ t t u, t = L u, t = L F, s =.. Πρέπει λοιπόν C( s ) =, συνεπώς: t t F(, s) = L ( F(, s) ) = L s( s+ ) s( s+ ) t t t u(, t) = L = s( s L L + ) s s+ t = e, t >. 3

31 Παράδειγµα 6. Επιλύστε το πρόβληµα αρχικών συνθηκών u + cu =,,, c, u(, ) = f ( ) υπό την προϋπόθεση ότι η u C, u( ) lim, =, τόσο η u όσο η u (, γ ) (ο µετασχηµατισµός Fourier της u ως προς ) είναι ολοκληρώσιµες στο και η f C ( ) είναι µια γνωστή ολοκληρώσιµη συνάρτηση στο µε lim f ( ) = και ο µετασχηµατισµός Fourier f είναι επίσης ολοκληρώσιµη συνάρτηση στο. Θα επιλύσουµε το πρόβληµα αυτό χρησιµοποιώντας το µετασχη- µατισµό Fourier. Εστω u(, ) u(, ) γ = F, όπου F είναι ο µετασχηµατισµός Fourier της u ως προς και είναι καλά ορισµένος. Σταθεροποιούµε προς στιγµήν κάποιο και εφαρµόζουµε το µετασχηµατισµό Fourier F και στα δυο µέλη της Μ Ε. Στη συνέχεια χρησιµοποιούµε ιδιότητες του µετασχηµατισµού Fourier (βλέπε παράγραφο Β.5) και παίρνουµε: d F u (, ) + cu = F πγ i u γ + c u(, γ) = d c d π iγ u(, γ) + u (, γ) =. d c Για σταθεροποιηµένο γ, η παραπάνω είναι µια οµογενής γραµµική Ε ης τάξης ως προς µε γενική λύση: Aλλά i u, γ = C γ e πγ. (, ) (, γ ) ( γ) ( γ) ( γ) u = f u = f C = f. Ετσι: 3

32 πγ, (, ) ( ) γ γ F γ F γ i u = f e u = f u(, ) = f c. Σηµείωση. (α) Τα παραδείγµατα 5 και 6 µπορούν να επιλυθούν όπως το παράδειγµα. ηλαδή, βρίσκουµε τη γενική λύση και στη συνέχεια αντικαθιστούµε τις επιπλέον συνθήκες. (β) Οι µέθοδοι Laplace και Fourier µπορούν να χρησιµοποιηθούν µόνον σε προβλήµατα αρχικών/συνοριακών συνθηκών που σχετίζονται µε γραµµικές Μ Ε. (γ) Προβλήµατα αρχικών/συνοριακών τιµών όπως τα παραπάνω µπορεί να έχουν µοναδική, άπειρες ή και καµία λύση. εν θα αναφερθούµε εδώ σε συνθήκες µοναδικότητας της λύσης... Μερικές ιαφορικές εξισώσεις ης τάξης και ταξινόµησή τους. Στον, κάθε Μ Ε της µορφής Au, + Bu (, ) +Γ u, + u, + Eu, + Z u, = καλείται οµογενής γραµµική Μ Ε ης τάξης, ενώ η A u, + Bu (, ) +Γ u, + u, + E u, + Z u, = f(, ) καλείται µη οµογενής γραµµική Μ Ε ης τάξης. Στις παραπάνω ισότητες οι A, B,..., Z και f είναι γνωστές πραγµατικές συναρτήσεις δυο µεταβλητών. Μια διδιάστατη γραµµική Μ Ε ης τάξης καλείται: Ελλειπτική σε σηµείο (, ), αν ( A B )( ) 4 Γ, >. Υπερβολική σε σηµείο (, ), αν ( A B )( ) 4 Γ, <. Παραβολική σε σηµείο (, ), αν ( A B )( ) 4 Γ, =. Η ταξινόµηση αυτή µας θυµίζει την ταξινόµηση δευτεροβάθµιων καµπύλων στο επίπεδο. 3

33 Αν η Μ Ε είναι π.χ. ελλειπτική σε κάθε σηµείο χωρίου E, τότε λέµε ότι η Μ Ε είναι ελλειπτική στο E. Χαρακτηριστικές περιπτώσεις π.χ. ελλειπτικών γραµµικών Μ Ε ης τάξης είναι οι εξισώσεις Laplace και Poisso που θα δούµε στο επόµενο κεφάλαιο. Ο παραπάνω χαρακτηρισµός γενικεύεται και για >. Εστω (,..., = ) και u C ( ) : u = u είναι πραγµατική συνάρτηση. Κάθε Μ Ε της µορφής + +Γ = i, j= ij r= r A u B u u f, i j r όπου A A A = A A είναι γνωστός συµµετρικός πίνακας πραγµατικών συναρτήσεων µεταβλητών και Br = Br( ), Γ =Γ( ), f = f ( ) είναι γνωστές πραγµατικές συναρτήσεις, καλείται µη οµογενής,..., = και γραµµική Μ Ε -τάξης. Eστω + ( ), ( ), ( ) µηδενικών ιδιοτιµών του πίνακα ( ) N N N είναι το πλήθος των θετικών, αρνητικών ή η ανωτέρω Μ Ε είναι: Ελλειπτική στο σηµείο Υπερβολική στο σηµείο N ( ) = και N + ( ) =. Παραβολική στο σηµείο N ( ) = και N ( ) =. A αντιστοίχως. Τότε λέµε ότι, αν N ( ), ή N + =. =, αν N ( ) και ( ) + = N =, αν N ( ) και ( ) + = N =, ή, ή 33

34 .3. Ασκήσεις.. Υπολογίστε την τάξη των κάτωθι Μ Ε: u 3u u u + + =, =, 6 uz uz u u u 3 3 u 3u + u = u, uu + uu + uu = + u.. Ποιες από τις παρακάτω Μ Ε είναι γραµµικές; u + 3u zuz = 4u, u u = u, u u + u =, u 3u u u + + =, =, 6 uz uz u u u 3 3 u 3u + u = u, uu + uu + uu = + u. 3. Yπολογίστε τη γενική λύση των Μ Ε: u + u =, u + 3u =, u(,) =, u u =, + u u u + =, 3 3, (,) u + u = u u = ηµ, u u = u, + = ( + ), ( u) u u u u u + + =, u 4. Ταξινοµήστε τις γραµµικές Μ Ε ης τάξης: =, uz = z. 3u + u + 5u + u =, u + u =, u = c u c>,, tt u + 4u + 5u + u + u =, u 4u + 4u + 3u + 4u =, u u 3u u 6u =, + u + u u =. 5. Με χρήση του µετασχηµατισµού u = 3 v = + επιλύστε τη Μ Ε u + u 3u =. 34

35 6. Να επιλυθεί µε τη µέθοδο Laplace το πρόβληµα αρχικώνσυνοριακών τιµών ut u = u(,) =,, t >. u(, t) = 7. Να επιλυθεί τη µέθοδο Fourier το πρόβληµα u + 3u =,,. u(,) = e 35

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Νικόλαος Δ Ατρέας Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις ΑΠΘ Θεσσαλονίκη: 6-7 η έκδοση: 8-9 Περιεχόμενα A Ορολογία 4 B Χρήσιμα στοιχεία θεωρίας 6 B Πολλαπλά ολοκληρώματα Riema 6 B Mη γνήσια ολοκληρώματα Riema σε

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 5. µετασχηµατισµού Laplace.

Kεφάλαιο 5. µετασχηµατισµού Laplace. 5 Εισαγωγή Kεφάλαιο 5 Ο µετασχηµατισµός Lplce Τόσο οι συνήθεις όσο και οι µερικές διαφορικές εξισώσεις περιγράφουν νόµους µε τους οποίους κάποιες ποσότητες µεταβάλλονται σε σχέση µε το χρόνο, όπως το ρεύµα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στην Ανάλυση Fourier.

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στην Ανάλυση Fourier. 6 Σειρές Fourier Κεφάλαιο 6 Εισαγωγή στην Ανάλυση Fourier Mια συνάρτηση f : R καλείται περιοδική µε περίοδο >, αν ισχύει f ( x) = f( x+ ) για κάθε x R και ο είναι ο µικρότερος αριθµός για τον οποίο ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7. Εισαγωγή στην Ανάλυση Fourier.

Κεφάλαιο 7. Εισαγωγή στην Ανάλυση Fourier. 7 Σειρές Fourier Κεφάλαιο 7 Εισαγωγή στην Ανάλυση Fourier Mια συνάρτηση : R καλείται εριοδική µε ερίοδο >, αν ισχύει ( x) = ( x+ ) για κάθε x R και ο είναι ο µικρότερος αριθµός για τον οοίο ισχύει αυτή

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις. Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά Ι. Nικόλαος Aτρέας

Σηµειώσεις. Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά Ι. Nικόλαος Aτρέας Σηµειώσεις Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά Ι ικόλαος Aτρέας ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 207 Περιεχόµενα Κεφάλαιο. Επισκόπηση γνωστών εννοιών. -8. Σειρές πραγµατικών αριθµών..2 Σειρές συναρτήσεων..3 Γενικευµένα ολοκληρώµατα. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 5. µετασχηµατισµού Laplace.

Kεφάλαιο 5. µετασχηµατισµού Laplace. 5 Εισαγωγή Kεφάλαιο 5 Ο µετασχηµατισµός Lplce Τόσο οι συνήθεις όσο και οι µερικές διαφορικές εξισώσεις περιγράφουν νόµους µε τους οποίους κάποιες ποσότητες µεταβάλλονται σε σχέση µε το χρόνο, όπως το ρεύµα

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( ) Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 2. H εξίσωση θερμότητας.

KΕΦΑΛΑΙΟ 2. H εξίσωση θερμότητας. 1 Εισαγωγή KΕΦΑΛΑΙΟ H εξίσωση θερμότητας Εστω είναι ανοικτό σύνολο του με γνωστή θερμοκρασία στο σύνορό του κάθε χρονική στιγμή και γνωστή αρχική θερμοκρασία σε κάθε σημείο του Τότε οι φυσικοί νόμοι μας

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 3. H κυµατική εξίσωση.

KΕΦΑΛΑΙΟ 3. H κυµατική εξίσωση. 3 Εισαγωγή KΕΦΑΛΑΙΟ 3 H κυµατική εξίσωση Θα αναζητήσουµε το µαθηµατικό νόµο που διέπει την ταλάντωση ελαστικού νήµατος/χορδής για µικρές κατακόρυφες µετατοπίσεις Yποθέτουµε ότι η χορδή έχει οµοιόµορφη

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις. ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Laplace- Σειρές Fourier. Nικόλαος Aτρέας

Σηµειώσεις. ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Laplace- Σειρές Fourier. Nικόλαος Aτρέας Σηµειώσεις ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Lplce- Σειρές Fourier Nικόλαος Aτρέας ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 4 Περιεχόµενα Κεφάλαιο Επισκόπηση γνωστών εννοιών Σειρές πραγµατικών αριθµών Σειρές συναρτήσεων 3 Γενικευµένα

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 2. H εξίσωση θερµότητας.

KΕΦΑΛΑΙΟ 2. H εξίσωση θερµότητας. Εισαγωγή KΕΦΑΛΑΙΟ H εξίσωση θερµότητας Εστω Ω είναι ανοικτό σύνολο του µε γνωστή θερµοκρασία στο σύνορό του Ω κάθε χρονική στιγµή και γνωστή αρχική θερµοκρασία σε κάθε σηµείο του Ω Τότε οι φυσικοί νόµοι

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1. H Εξίσωση Laplace. Προβλήματα Dirichlet και Poisson.

KΕΦΑΛΑΙΟ 1. H Εξίσωση Laplace. Προβλήματα Dirichlet και Poisson. KΕΦΑΛΑΙΟ H Εξίσωση Laplace Προβλήματα Dirichlet και Poisso Eισαγωγή Είναι γνωστό ότι το ηλεκτρικό πεδίο E που προκαλείται από ακίνητο μοναδιαίο σημειακό φορτίο στην αρχή των αξόνων σε z δίνεται από τη

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης. Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

ιανυσµατικά πεδία Όπως έχουµε ήδη αναφέρει ένα διανυσµατικό πεδίο είναι µια συνάρτηση

ιανυσµατικά πεδία Όπως έχουµε ήδη αναφέρει ένα διανυσµατικό πεδίο είναι µια συνάρτηση 44 ιανυσµατικά πεδία Όπως έχουµε ήδη αναφέρει ένα διανυσµατικό πεδίο είναι µια συνάρτηση F : U R R. Για εµάς φυσικά µια τέτοια συνάρτηση θα θεωρείται ότι είναι τουλάχιστον συνεχής και συνήθως C και βέβαια

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων.

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων. 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 31 Ορισµοί Ορισµός 311 Εστω f : A f( A), A, f( A) και έστω 0 Α είναι σηµείο συσσώρευσης του συνόλου Α Θα λέµε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο 0 εάν υπάρχει λ : Ισοδύναµα:

Διαβάστε περισσότερα

6. Αρµονικές συναρτήσεις και συνοριακά προβλήµατα (Dirichlet).

6. Αρµονικές συναρτήσεις και συνοριακά προβλήµατα (Dirichlet). 6 Αρµονικές συναρτήσεις και συνοριακά προβλήµατα (Diichlet) Aρµονικές συναρτήσεις Ορισµός 61 Εστω E είναι ανοικτό σύνολο και f : E είναι µια πραγµατική συνάρτηση δύο πραγµατικών µεταβλητών και y Θα λέµε

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 3. Πλεγµένες συναρτήσεις- Ανάπτυγµα Taylor-Aκρότατα

KΕΦΑΛΑΙΟ 3. Πλεγµένες συναρτήσεις- Ανάπτυγµα Taylor-Aκρότατα KΕΦΑΛΑΙΟ 3 Πλεγµένες συναρτήσεις- Ανάπτυγµα Talor-Aκρότατα 3 Πλεγµένες συναρτήσεις Σε πολλές περιπτώσεις συναντούµε µία (ή και περισσότερες) εξισώσεις µεταξύ διαφόρων µεταβλητών πχ της µορφής e + συν (

Διαβάστε περισσότερα

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier Κεφάλαιο 7 L -σύγκλιση σειρών Fourier 7.1 Χώροι Hilbert 7.1.1 Χώροι µε εσωτερικό γινόµενο και χώροι Hilbert Ορισµός 7.1.1. Εστω X γραµµικός χώρος πάνω από το K. Μια συνάρτηση, : X X K λέγεται εσωτερικό

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: L -σύγκλιση σειρών Fourier Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]}

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]} 7 ΙΙΙ Ολοκληρωτικός Λογισµός πολλών µεταβλητών Βασικές έννοιες στη µια µεταβλητή Έστω f :[ ] φραγµένη συνάρτηση ( Ρ = { t = < < t = } είναι διαµέριση του [ ] 0 ( Ρ ) = Μ ( ) όπου sup f ( t) : t [ t t]

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12, ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Χώροι µε νόρµα - Χώροι Hilbert. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Χώροι µε νόρµα - Χώροι Hilbert. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Χώροι µε νόρµα - Χώροι Hilbert Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: L p Σύγκλιση Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creaive Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙΙ Χειμερινό εξάμηνο Ασκήσεις 1.

ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙΙ Χειμερινό εξάμηνο Ασκήσεις 1. ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙΙ Χειμερινό εξάμηνο -7 Ασκήσεις Αποδείξτε την ανισότητα Cuch-Schwr Για R Δείξτε ότι η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν τα διανύσματα και είναι συγγραμμικά Αποδείξτε την τριγωνική ανισότητα

Διαβάστε περισσότερα

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

() 1 = 17 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ LEGENDRE Ορισµοί

() 1 = 17 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ LEGENDRE Ορισµοί SECTION 7 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ LEGENDRE 7. Ορισµοί Οι συναρτήσεις που ικανοποιούν τη διαφορική εξίσωση Legere ( )y'' y' + ( + )y καλούνται συναρτήσεις Legere τάξης. Η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης του Legere

Διαβάστε περισσότερα

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0)

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0) Όρια συναρτήσεων.5. Ορισµός. Έστω, f : Α συνάρτηση συσσώρευσης του Α και b σηµείο. Λέµε ότι η f έχει ως όριο το διάνυσµα b καθώς το τείνει προς το και συµβολίζουµε li = ή f b f b αν και µόνο αν, για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Αόριστο ολοκλήρωμα. επαληθεύει την παραπάνω ισότητα.

Αόριστο ολοκλήρωμα. επαληθεύει την παραπάνω ισότητα. Αόριστο ολοκλήρωμα Αντιπαράγωγος μίας συνάρτησης f() ορισμένης σε ένα διάστημα [α,β] λέγεται κάθε συνάρτηση F() που επαληθεύει την ισότητα F( ) f ( ) F( ) c επαληθεύει την παραπάνω ισότητα. Αόριστο ολοκλήρωμα

Διαβάστε περισσότερα

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0)

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0) Όρια συναρτήσεων 5 Ορισµός Έστω, : Α συνάρτηση συσσώρευσης του Α και b σηµείο Λέµε ότι η έχει ως όριο το διάνυσµα b καθώς το τείνει προς το και συµβολίζουµε li ή b b αν και µόνο αν, για κάθε ε > υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

5. Σειρές Taylor και Laurent. Ολοκληρωτικά υπόλοιπα και εφαρµογές.

5. Σειρές Taylor και Laurent. Ολοκληρωτικά υπόλοιπα και εφαρµογές. 5 Σειρές Taylor και Lauret Ολοκληρωτικά υπόλοιπα και εφαρµογές Σειρές Taylor και Lauret Θεωρούµε µια δυναµοσειρά ( ) a a µε κέντρο δοθέν σηµείο Υπενθυµίζουµε ότι για µια τέτοια δυναµοσειρά υπάρχει πάντα

Διαβάστε περισσότερα

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher Το ϑεώρηµα του Rademacher Νικόλαος Μουρδουκούτας Περίληψη Σε αυτήν την εργασία ϑα αποδείξουµε το ϑεώρηµα του Rademacher, σύµφωνα µε το οποίο κάθε Lipschiz συνάρτηση f : R m είναι διαφορίσιµη σχεδόν παντού.

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Παράγωγος συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. είναι µία κατεύθυνση στον (δηλαδή ένα. E. Αν υπάρχει το όριο ( + ) ( ) ( )

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Παράγωγος συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. είναι µία κατεύθυνση στον (δηλαδή ένα. E. Αν υπάρχει το όριο ( + ) ( ) ( ) ΚΕΦΑΛΑΙΟ Παράγωγος συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Κατευθυνόµενη Παράγωγος Ορισµός Έστω a είναι µία κατεύθυνση στον (δηλαδή ένα µοναδιαίο διάνυσµα του χώρου ), E είναι ένα ανοικτό υποσύνολο του, : E και

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ A. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταβολές 3.(Οριακός) ρυθµός µεταβολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. Συνοριακά προβλήµατα. και uy = vx. Αρα. και uyy = vxy. , οπότε αθροίζοντας κατά µέλη τις παραπάνω εξισώσεις προκύπτει ότι uxx

Κεφάλαιο 8. Συνοριακά προβλήµατα. και uy = vx. Αρα. και uyy = vxy. , οπότε αθροίζοντας κατά µέλη τις παραπάνω εξισώσεις προκύπτει ότι uxx Κεφάλαιο 8 Συνοριακά προβλήµατα 81 Aρµονικές συναρτήσεις Ορισµός 81 Εστω E είναι ανοικτό σύνολο και f : E είναι πραγµατική συνάρτηση δύο µεταβλητών και y Θα λέµε ότι η f είναι αρµονική στο E αν έχει συνεχείς

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1. H Εξίσωση Laplace. x = x, yz, δίνεται από τη σχέση. KqQ x. διότι είναι πεδίο κλίσεων, δηλαδή υπάρχει συνάρτηση δυναµικού.

KΕΦΑΛΑΙΟ 1. H Εξίσωση Laplace. x = x, yz, δίνεται από τη σχέση. KqQ x. διότι είναι πεδίο κλίσεων, δηλαδή υπάρχει συνάρτηση δυναµικού. KΕΦΑΛΑΙΟ 1 H Εξίσωση Laplace 11 Eισαγωγή Είναι γνωστό ότι η δύναµη Coulomb F που προκαλείται από ακίνητο σηµειακό φορτίο q στην αρχή των αξόνων σε φορτίο Q = z δίνεται από τη σχέση που φέρνουµε σε σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. =. Οι πρώτες µερικές u x y

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. =. Οι πρώτες µερικές u x y ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Καταρχήν θα µελετήσουµε την συνάρτηση f Η f γράφεται f ( ) = ( x + )( x ) ( x ) ή ακόµα f ( ) = u( x,

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα. Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. είναι διαµερίσεις των κλειστών διαστηµάτων [α,b] και [c,d] αντιστοίχως της µορφής

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. είναι διαµερίσεις των κλειστών διαστηµάτων [α,b] και [c,d] αντιστοίχως της µορφής . Ορισµοί-Ιδιότητες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Έστω f : R είναι µία φραγµένη συνάρτηση πάνω σε µία κλειστή ορθογώνια περιοχή Εστω (, y ) { } R =,y :a b, c y d. = είναι µια διαµέριση της ορθογώνιας περιοχής

Διαβάστε περισσότερα

3. Oρια-Συνέχεια-Παράγωγος. Ολόµορφες συναρτήσεις. . Το z ( )

3. Oρια-Συνέχεια-Παράγωγος. Ολόµορφες συναρτήσεις. . Το z ( ) 3 Oρια-Συνέχεια-Παράγωγος Ολόµορφες συναρτήσεις Τοπολογικοί ορισµοί Ορισµός 3 Εστω και ε > Καλούµε ε-ανοικτή περιοχή ή ανοικτό δίσκο κέντρου και ακτίνας ε το σύνολο { ε} D ( ) = : < ε Ορισµός 3 Έστω Το

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών

Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών Το εκπαιδευτικό υλικό που ακολουθεί αναπτύχθηκε στα πλαίσια του έργου «Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών», του Μέτρου «Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Mαίου 8 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

13 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

13 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ETION 1 13 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 13.1 Ορισµοί Μεγέθη Μια ποσότητα που εκφράζεται από ένα µόνο πραγµατικό αριθµό καλείται βαθµωτό µέγεθος. Μια ποσότητα που εκφράζεται από περισσότερους από έναν πραγµατικούς

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 1.1 Εισαγωγή... 1 1.2 Λύση ΔΕ, αντίστροφο πρόβλημα αυτής... 3 Ασκήσεις... 10 1.3 ΔΕ πρώτης τάξης χωριζομένων μεταβλητών... 12 Ασκήσεις... 15 1.4 Ομογενείς

Διαβάστε περισσότερα

Καµπύλες στον R. σ τελικό σηµείο της σ. Το σ. σ =. Η σ λέγεται διαφορίσιµη ( αντιστοίχως

Καµπύλες στον R. σ τελικό σηµείο της σ. Το σ. σ =. Η σ λέγεται διαφορίσιµη ( αντιστοίχως Καµπύλες στον R 9. Ορισµός Μια καµπύλη στον R είναι µια συνεχής συνάρτηση σ : Ι R R όπου Ι διάστηµα ( συνήθως κλειστό και φραγµένο ) στον R. Συνήθως φανταζόµαστε την µεταβλητή t Ι ως τον χρόνο και την

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR 6 Ορισµοί Ορισµός 6 Εστω α είναι µία πραγµατική ακολουθία και είναι πραγµατικοί αριθµοί Ένα άπειρο πολυώνυµο της µορφής: a ( ) () = καλείται δυναµοσειρά µε κέντρο το

Διαβάστε περισσότερα

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x)

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x) [] 9 ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Η «συνάρτηση» δέλτα του irac Η «συνάρτηση» δέλτα ορίζεται μέσω της σχέσης φ (0) αν 0 δ[ φ ] = φ δ dx = (9) 0 αν 0 όπου η φ είναι μια συνάρτηση που ανήκει

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός τριπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός τριπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 00 Υπολογισµός τριπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Στην παράγραφο αυτή θα δούµε πως µπορεί να χρησιµοποιηθεί το θεώρηµα Fubini για τον υπολογισµό τριπλών ολοκληρωµάτων. Ξεκινούµε µε την διατύπωση

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Σειρά Fourier Ορθοκανονικές Συναρτήσεις Στοεδάφιοαυτόθαδιερευνήσουμεεάνκαικάτωαπό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚH Ι (ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 - ΛΥΣΕΙΣ Άσκηση. (6 µον.) Ελέγξτε ποια από τα επόµενα σύνολα είναι διανυσµατικοί χώροι

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόµενα. 1 Ολοκληρώµατα ιπλό Ολοκλήρωµα... 1

Περιεχόµενα. 1 Ολοκληρώµατα ιπλό Ολοκλήρωµα... 1 Περιεχόµενα Ολοκληρώµατα. ιπλό Ολοκλήρωµα...................... i Κεφάλαιο Ολοκληρώµατα. ιπλό Ολοκλήρωµα Ι. Πάνω σε ορθογώνιο Εστω f : R α, β] γ, δ] R µία ϕραγµένη συνάρτηση στο ορθογώνιο R. Ορίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 6: Ανάλυση Σημάτων σε Ανάπτυγμα Σειράς Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 6: Ανάλυση Σημάτων σε Ανάπτυγμα Σειράς Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 6: Ανάλυση Σημάτων σε Ανάπτυγμα Σειράς Fourier Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Ανάλυση Σημάτων σε Ανάπτυγμα Σειράς Fourier 1. Ανάπτυγμα σήματος σε Σειρά Fourier

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και

Διαβάστε περισσότερα

Κλασικη ιαφορικη Γεωµετρια

Κλασικη ιαφορικη Γεωµετρια Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Σχολη Θετικων Επιστηµων, Τµηµα Μαθηµατικων, Τοµεας Γεωµετριας Κλασικη ιαφορικη Γεωµετρια Πρώτη Εργασία, 2018-19 1 Προαπαιτούµενες γνώσεις και ϐασική προετοιµασία

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1)

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1) 1 ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης (1) όπου οι συντελεστές είναι δοσµένες συνεχείς συναρτήσεις ορισµένες σ ένα ανοικτό διάστηµα. Ορισµός 1. Ορίζουµε τον διαφορικό τελεστή µέσω της

Διαβάστε περισσότερα

Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα

Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα Κεφάλαιο 6 Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα 6. Οικογένειες καλών πυρήνων και προσεγγίσεων της µονάδας Σε αυτήν την παράγραφο ϑα ασχοληθούµε µε µέσες τιµές µιας ολοκληρώσιµης συνάρτησης f οι οποίες

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Σκοπός Σκοπός του κεφαλαίου είναι η ανασκόπηση βασικών μαθηματικών εργαλείων που αφορούν τη μελέτη διανυσματικών συναρτήσεων [π.χ. E(, t) ]. Τα εργαλεία αυτά είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ιδάσκων : Ε. Στεφανόπουλος 12 ιουνιου 2017

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ιδάσκων : Ε. Στεφανόπουλος 12 ιουνιου 2017 Πανεπιστηµιο Πατρων Πολυτεχνικη Σχολη Τµηµα Μηχανικων Η/Υ & Πληροφορικης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ιδάσκων : Ε. Στεφανόπουλος 12 ιουνιου 217 Θ1. Θεωρούµε την συνάρτηση f(x, y, z) = 1 + x 2 + 2y 2 z. (αʹ) Να ϐρεθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. είναι διαµερίσεις των κλειστών διαστηµάτων [α,b] και [c,d] αντιστοίχως της µορφής

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. είναι διαµερίσεις των κλειστών διαστηµάτων [α,b] και [c,d] αντιστοίχως της µορφής ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 4.. Ορισµοί-Ιδιότητες Έστω f : R είναι µία φραγµένη συνάρτηση πάνω σε µία κλειστή ορθογώνια περιοχή Εστω (, y ) { } R =,y :a b, c y d. = είναι µια διαµέριση της ορθογώνιας

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνες παραγώγισης ( )

Κανόνες παραγώγισης ( ) 66 Κανόνες παραγώγισης Οι κανόνες παραγώγισης που ισχύουν για συναρτήσεις µιας µεταβλητής, ( παραγώγιση, αθροίσµατος, γινοµένου, πηλίκου και σύνθετων συναρτήσεων ) γενικεύονται και για συναρτήσεις πολλών

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβληµάτων Αρχικών / Συνοριακών Τιµών Μεταδόσεως Θερµότητας

Επίλυση Προβληµάτων Αρχικών / Συνοριακών Τιµών Μεταδόσεως Θερµότητας Επίλυση Προβληµάτων Αρχικών / Συνοριακών Τιµών Μεταδόσεως Θερµότητας Τα προβλήµατα µεταδόσεως θερµότητας (ή θερµικής αγωγιµότητας heat conduction), µε την υπόθεση ισχύος του νόµου Fourier, διέπονται από

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Κεφάλαιο 1 1 Να βρείτε (και να σχεδιάσετε) το πεδίο ορισμού των πιο κάτω συναρτήσεων f (, ) 9 4 (γ) f (, ) f (, ) 16 4 1 D (, ) :9 0, 4 0 (, ) :

Διαβάστε περισσότερα

Όταν θα έχουµε τελειώσει το Κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να:

Όταν θα έχουµε τελειώσει το Κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να: 6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Όταν θα έχουµε τελειώσει το Κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να: ορίσουµε το Μετασχηµατισµό Laplace (ML) και το Μονόπλευρο Μετασχηµατισµό Laplace (MML) και να περιγράψουµε

Διαβάστε περισσότερα

Τα διανύσματα xy, R είναι κάθετα αν και μόνο αν x y 0. Για το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων. Το ορθογώνιο συμπλήρωμα ενός υπόχωρου

Τα διανύσματα xy, R είναι κάθετα αν και μόνο αν x y 0. Για το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων. Το ορθογώνιο συμπλήρωμα ενός υπόχωρου ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ο ανάστροφος πίνακας του [ j ] σημειώνεται με [ j ] (δηλαδή οι γραμμές γίνονται στήλες αντίστροφα Ιδιότητες: ( ( B B ( R ( B B Ο αντίστροφος ενός τετραγωνικού πίνακα [ j ]

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΘΕΜΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ α) Η f ( ) έχει πραγµατικό µέρος φανταστικό µέρος u( x, y) x y = και v( x, y) = ( x + y xy), όπου = x+

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/ Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: 0 2 xx, που ισχύει.

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/ Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: 0 2 xx, που ισχύει. ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: Ν : = + + + Ν : = + + + Ν : = ma 3 για κάθε = ( ) Να αποδείξετε ότι για κάθε = ( ) ισχύει: Ν ( ) Ν ( ) Ν ( ) Ν (

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτές Συναρτήσεις και Ανισώσεις Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο e-mail: zenon7@otenetgr Ιούλιος-Αύγουστος 2004 Περίληψη Το σχολικό ϐιβλίο της Γ Λυκείου ορίζει σαν κυρτή (αντ κοίλη)

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4. Ορισµοί KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Ορισµός 4.. Μία συνάρτηση : µε πεδίο ορισµού το σύνολο των φυσικών αριθµών και τιµές στην πραγµατική ευθεία καλείται ακολουθία πραγµατικών αριθµών.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Ολοκλήρωση Εισαγωγή Έστω ότι η f είναι μία φραγμένη συνάρτηση στο πεπερασμένο

Διαβάστε περισσότερα

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 Ασκήσεις Μαθηµατικών Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης 6 Nv 6 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Ανάπτυξη σε Σειρές Furier Αθανάσιος

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο 1 1 Να βρείτε (και να σχεδιάσετε) το πεδίο ορισμού των πιο κάτω συναρτήσεων f (, ) 9 4 (γ) f (, ) f (, ) 16 4 1 Να υπολογίσετε το κάθε όριο αν υπάρχει ή να

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Λίγα λόγια για τους συγγραφείς

Περιεχόμενα. Λίγα λόγια για τους συγγραφείς Περιεχόμενα Λίγα λόγια για τους συγγραφείς xii Εισαγωγή xiii 1 Συναρτήσεις 1 1.1 Ανασκόπηση των συναρτήσεων 1 1.2 Παράσταση συναρτήσεων 12 1.3 Τριγωνομετρικές συναρτήσεις 26 Ασκήσεις επανάληψης 34 2 Όρια

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Σειρές Fourier. είναι αναλυτική συνάρτηση, δηλαδή απειροδιαφορίσιµη στο και για κάθε x0. . Τότε η (1) µπορεί να ερµηνευθεί ως εξής:

Κεφάλαιο 1. Σειρές Fourier. είναι αναλυτική συνάρτηση, δηλαδή απειροδιαφορίσιµη στο και για κάθε x0. . Τότε η (1) µπορεί να ερµηνευθεί ως εξής: Κεφάλαιο Σειρές Fourier Εισαγωγή Εστω f : είναι αναλυτική συνάρτηση, δηλαδή απειροδιαφορίσιµη στο και για κάθε x ( x ) f f x = x x () =! σηµειακά για όλα τα x σε κάποιο διάστηµα κέντρου x Τότε η () µπορεί

Διαβάστε περισσότερα

v y = 12x 2 y + 4y v(x, y) = 6x 2 y 2 + y 4 + y + c(x). f(z) = u(z, 0) + iv(z, 0) = z + i(z 4 + c), f(z) = iz 4 + z i.

v y = 12x 2 y + 4y v(x, y) = 6x 2 y 2 + y 4 + y + c(x). f(z) = u(z, 0) + iv(z, 0) = z + i(z 4 + c), f(z) = iz 4 + z i. ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μιγαδική Ανάλυση ΟΜΑΔΑ: Α 0 Ιουλίου, 0 Θέμα. (αʹ) Να βρεθεί η τιμή του a R για την οποία η συνάρτηση u(x, y) ax 3 y +4xy

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση

Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση Κεφάλαιο 7: Βάσεις και ιάσταση Σελίδα από 9 Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση n Στο Κεφάλαιο 5 είδαµε την έννοια της βάσης στο και στο Κεφάλαιο 6 µελετήσαµε διανυσµατικούς χώρους. Στο παρόν κεφάλαιο θα ασχοληθούµε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ...23 ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ. ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ...15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΥΘΕΙΕΣ...32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΥΚΛΟΙ...43

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ...23 ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ. ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ...15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΥΘΕΙΕΣ...32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΥΚΛΟΙ...43 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ. ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ. ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ...5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ... ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΥΘΕΙΕΣ... ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΥΚΛΟΙ...4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές Στοχαστικά Σήµατα & Εφαρµογές Ανασκόπηση Στοιχείων Γραµµικής Άλγεβρας ιδάσκων: Ν. Παπανδρέου (Π.. 407/80) Πανεπιστήµιο Πατρών ΤµήµαΜηχανικώνΗ/Υ και Πληροφορικής ιανύσµατα Ορίζουµετοδιάνυσµα µε Ν στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 6. Βέλτιστες προσεγγίσεις σε ευκλείδειους χώρους Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε προσεγγίσεις που ελαχιστοποιούν αποστάσεις σε διανυσµατικούς χώρους, µε νόρµα που προέρχεται

Διαβάστε περισσότερα