Τυχαιοποιηµένοι Πλήρως Σχεδιασµοί κατά Μπλοκ (Randomized Complete Block Design)
|
|
- Αντιγόνη Ζυγομαλάς
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Τυχαιοποιηµένοι Πλήρως Σχεδιασµοί κατά Μπλοκ (Randomized Comlete Block Design) Σε κάθε πείραµα, η µεταβλητότητα που προκύπτει από έναν ενοχλητικό παράγοντα (nuisance factor), µπορεί να έχει αντίκτυπο στα αποτελέσµατα. Ορίζουµε σαν nuisance factor έναν παράγοντα που πιθανόν να επηρεάζει την απαντητική µεταβλητή, αλλά δεν ενδιαφερόµαστε γι αυτή κάθε αυτή την επίδραση. ιακρίνουµε τις εξής περιπτώσεις: Ο nuisance factor είναι άγνωστος και µη ελέγξιµος. Στην περίπτωση αυτή χρησιµοποιούµε την AOVA κατά έναν παράγοντα. Ο nuisance factor είναι γνωστός και µη ελέγξιµος. Στην περίπτωση αυτή, και µε την προϋπόθεση ότι µπορεί να µετρηθεί, χρησιµοποιούµε την µέθοδο της Ancova. Ο nuisance factor είναι γνωστός και ελέγξιµος. Στην περίπτωση αυτή, η τεχνική που θα χρησιµοποιήσουµε ονοµάζεται blocking και παρουσιάζεται µε την βοήθεια του ακόλουθου παραδείγµατος. (Σηµ: Στα παραπάνω µε τον χαρακτηρισµό ελέγξιµος εννοούµε ότι µπορούµε να αποµονώσουµε την µεταβλητότητά του και όχι ότι µπορούµε να του δώσουµε µία σταθερή τιµή ώστε να εξαλείψουµε την µεταβλητότητά του) Παράδειγµα Έστω ότι θέλουµε να ελέγξουµε την αντοχή α µηχανών (treatments). Για να το πετύχουµε αυτό πιέζουµε στην κάθε µία µηχανή µεταλλικές ράβδους (couons) και από το µέγεθος της παραµόρφωσης την οποία θα υποστούν οι ράβδοι, µετριέται η αντοχή των µηχανών. Τα δεδοµένα εµφανίζονται στον παρακάτω πίνακα. Mηχανές Ράβδοι (Blocks) (treatments) Αν χρησιµοποιούσαµε AOVA κατά έναν παράγοντα τότε, όπως γνωρίζουµε, από το σύνολο των ράβδων (couons) που θα ήταν διαθέσιµοι, θα επιλέγαµε τυχαία τη σειρά µε την οποία οι ράβδοι θα δοκιµάζονταν στην κάθε µηχανή (comletely randomized exeriment). Υπάρχει όµως ένα σοβαρό πρόβληµα. Αν οι ράβδοι διαφέρουν έστω και λίγο µεταξύ τους (π.χ. λόγω διαφορετικής θερµοκρασίας κατασκευής), τότε στην µεταβλητότητα που ενδεχοµένως να υπάρχει µεταξύ των µηχανών θα προστεθεί και η µεταβλητότητα ανάµεσα στις ράβδους, αλλοιώνοντας τα αποτελέσµατα και οδηγώντας µας, πιθανόν, σε λάθος απόφαση. Για να αντιµετωπίσουµε την µεταβλητότητα ανάµεσα στις πειραµατικές µονάδες (ράβδους), εισάγουµε τον πλήρη τυχαιοποιηµένο σχεδιασµό κατά blocks (randomized comlete block design) σύµφωνα µε τον οποίο απαιτούµε η κάθε µηχανή i, σε κάθε σειρά δοκιµών,να δοκιµάζεται µε την ίδια ράβδο. Aυτό για
2 παράδειγµα µπορεί να επιτευχθεί αν κόψουµε την θεωρητικά οµογενή ράβδο σε α, όσες και οι µηχανές, κοµµάτια. Τέλος, η λέξη comlete δηλώνει ότι κάθε block (ράβδος) χρησιµοποιείται τόσες φορές όσα και τα treatments. Η λέξη randomized δηλώνει ότι το ποιο κοµµάτι της ράβδου θα δοκιµαστεί στην i µηχανή, επιλέγεται τυχαία. Στατιστική ανάλυση Έστω ότι έχουµε α treatments τα οποία συγκρίνονται µε b blocks.tο στατιστικό µοντέλο γι αυτόν τον σχεδιασµό είναι: yi = µ + τ i + β + ε i i =,,..., α =,,..., b όπου µ είναι ο συνολικός µέσος, τ i είναι η επίδραση του i treatment, β είναι η επίδραση του block και ε i τα γνωστά ID(0,σ ) τυχαία λάθη. Επιπλέον, δεδοµένου ότι οι επιδράσεις των treatments και των blocks ορίζονται σαν αποκλίσεις από τον συνολικό µέσο µ, ορίζουµε και α τ i= i = 0, β = Η διαδικασία από εδώ και πέρα είναι ακριβώς η ίδια µε της AOVA και της αncova. Έτσι και εδώ θέλουµε να ελέγξουµε την υπόθεση: b = 0. H 0 : τ = τ =... = τa = 0 H : τουλάχιστον ένα τ 0 Για να το επιτύχουµε αυτό σπάµε την συνολική διακύµανση T σε τρία κοµµάτια σύµφωνα µε την σχέση T = Treatments + Blocks + Error.Όσον αφορά τους βαθµούς ελευθερίας, δεδοµένου ότι έχουµε Ν=ab παρατηρήσεις, α treatment και b blocks, T : Ν- β.ε. Treatments : a- β.ε. Blocks : b- β.ε. E : ab--(a-)-(b-)=(a-)(b-) β.ε. Από το θεώρηµα του Cochran, µπορεί να δειχθεί ότι οι ποσότητες Treatments /σ, Blocks /σ, E /σ είναι ανεξάρτητες τυχαίες µεταβλητές που ακολουθούν την Χ κατανοµή. Επίσης µπορεί να δειχθεί ότι : E i= ( MSTreatmments ) = σ + a E( ) = σ MS E b i a τ i
3 E ( MS ) Blocks = σ b a β = + b Εποµένως, για τον έλεγχο της υπόθεσής µας θα χρησιµοποιήσουµε το στατιστικό F 0 = MS Treatments / MS E και θα απορρίπτουµε την H 0 αν F 0 >F α,a-,(a-)(b-). Ο πίνακας της AOVA για τη διαδικασία αυτή εµφανίζεται παρακάτω: Source of Variation Sum of Squares Degrees of Freedom Mean Square F 0 Treatments Treatments α- Treatments /α- ΜS Treatments / ΜS E Blocks Blocks b- Blocks / b- Error E (α-)(b-) E /(α-)(b-) Total T - Μπορεί επίσης να ενδιαφερόµαστε να συγκρίνουµε τους µέσους των blocks, µια και αν οι µέσοι αυτοί δεν διαφέρουν (στατιστικά) σηµαντικά, η παραπάνω διαδικασία (blocking) δεν θα είναι απαραίτητη σε µελλοντικά πειράµατα. Από τον πίνακα της AOVA φαίνεται ότι η υπόθεση H 0 : β =0 µπορεί να ελεγχθεί εύκολα συγκρίνοντας το στατιστικό ΜS Blocks µε το ΜS Error. Ωστόσο, δεδοµένου ότι έχουµε περιορισµό στην τυχαιοποίηση (η τυχαιοποίηση εφαρµόζεται µόνο µέσα στα blocks) αποφεύγουµε να εφαρµόζουµε την παραπάνω διαδικασία, και µόνο προσεγγιστικά την χρησιµοποιούµε για να ελέγξουµε την επίδραση των blocks στην απαντητική µεταβλητή. Προφανώς, αν θέλουµε να ελέγξουµε µε ακρίβεια την παραπάνω επίδραση θα πρέπει να σχεδιάσουµε από την αρχή το πείραµα αλλάζοντας τη θέση ανάµεσα στα blocks και τα treatments. Παράδειγµα Για τα δεδοµένα του πίνακα όπου εξετάζαµε την αντοχή των διαφόρων µηχανών, έχουµε: ( 0) 4 4 y T = yi = = i= = [() () ( ) ( )] ( 0) y Treatments = yi = = b i= y [( ) ( ) ( ) ( ) ] ( 0) Blocks = y = = a = 4 6 E = T Treatments Blocks = =
4 Source of Variation Degrees of Sum of Freedom Mean Squares Square F 0 P-Value Treatments (µηχανές) Blocks (ράβδοι) Error Total Επιπλέον, για α=0.05 επίπεδο σηµαντικότητας, η κριτική τιµή της F είναι F 0.05,3,9 =3.86. Έτσι, αφού όπως προκύπτει από τον πίνακα της AOVA 4.44>3.86 συµπεραίνουµε ότι υπάρχει στατιστικά σηµαντική διαφορά στην αντοχή ανάµεσα στις τέσσερις µηχανές. (Το ίδιο συµπέρασµα µπορεί να προκύψει και από το γεγονός ότι P-value=0.0009<0.05). Τέλος, οι ράβδοι (blocks) φαίνεται να διαφέρουν σηµαντικά, µια και το MS Blocks είναι µεγάλο σε σχέση µε το MS Error. Εάν σε ένα πείραµα (όπως το παραπάνω) διαπιστώσουµε στατιστικά σηµαντική διαφορά ανάµεσα στους µέσους των treatments και ενδιαφερόµαστε να ανιχνεύσουµε ποιοι µέσοι διαφέρουν, τότε όλα τα τεστ που αναφέρθηκαν στην AOVA κατά ένα παράγοντα µπορούν και εδώ να χρησιµοποιηθούν, αρκεί στους εν λόγω τύπους να αντικαταστήσουµε :. Τον αριθµό n των επαναλήψεων στην AOVA κατά ένα παράγοντα µε τον αριθµό b των Blocks,. Τους βαθµούς ελευθερίας α(n-) µε τους βαθµούς ελευθερίας (α-)(b-) Έλεγχος επάρκειας του µοντέλου Για να κρίνουµε το µοντέλο σαν επαρκές και να µην οδηγηθούµε σε λανθασµένα συµπεράσµατα, θα πρέπει να ελέγξουµε:. Την υπόθεση της κανονικότητας.. Την υπόθεση των ίσων διακυµάνσεων των λαθών κατά treatments. 3. Την υπόθεση των ίσων διακυµάνσεων των λαθών κατά blocks. 4. Tην υπόθεση της µη αλληλεπίδρασης (ανεξαρτησία) ανάµεσα στα treatments και στα blocks. Η υπόθεση της κανονικότητας µπορεί να ελεγχθεί χρησιµοποιώντας το ormal Probability Plot για τα κατάλοιπα, ή εναλλακτικά, σε περίπτωση που ο αριθµός των παρατηρήσεων είναι αρκετά µεγάλος (Ν>00), το γνωστό ιστόγραµµα συχνοτήτων των καταλοίπων. Παρακάτω έχουµε από το SP το ormal Probability Plot για το παράδειγµα µε τις µηχανές, όπου η υπόθεση της κανoνικότητας φαίνεται ότι δεν παραβιάζεται. 4
5 ,00 ormal P-P Plot of Residual for YIJ,75,50 Exected Cum Prob,5 0,00 0,00,5,50,75,00 Observed Cum Prob Παρακάτω εµφανίζονται τα τρία διαγράµµατα (επίσης από το SP) για τον έλεγχο και των τριών επόµενων υποθέσεων όπου επίσης δεν φαίνεται να παραβιάζονται, αφού δεν παρατηρείται κάποια τάση ή σχέδιο (attern) που να αποδεικνύει το αντίθετο.,, 0,0 Residual for YIJ -, -,,5,0,5,0,5 3,0 3,5 4,0 4,5 MACHIES 5
6 ,, 0,0 Residual for YIJ -, -,,5,0,5,0,5 3,0 3,5 4,0 4,5 COUPOS,, 0,0 Residual for YIJ -, -, 9, 9,4 9,6 9,8 0,0 0, 0,4 Predicted Value for YIJ 6
7 Missing values Σε περίπτωση που για κάποιο λόγο χαθεί µία από τις παρατηρήσεις, µπορούµε να εργαστούµε µε δύο τρόπους: Να την εκτιµήσουµε. Να εφαρµόσουµε unbalanced design δηλαδή έναν πειραµατικό σχεδιασµό όπου εξ αρχής θεωρούµε ότι τα διάφορα blocks έχουν διαφορετικό αριθµό παρατηρήσεων.(ο σχεδιασµός αυτός δεν θα παρουσιαστεί εδώ). Στην περίπτωση της εκτίµησης της άγνωστης παρατήρησης χ, επιλέγεται χ τέτοιο ώστε να ελαχιστοποιείται το E. Αποδεικνύεται ότι ο τύπος που µας δίνει αυτή την ' ' ' ayi + by y ' ' ' εκτίµηση είναι ο χ =, όπου µε y i, y, y συµβολίζουµε τα ( a )( b ) γνωστά αθροίσµατα που υπολογίζονται χωρίς την missing value. Τέλος, θα πρέπει να σηµειωθεί ότι αφού εκτιµήσουµε την χ και την προσθέσουµε στις υπόλοιπες παρατηρήσεις, η διαδικασία της AOVA γίνεται µειώνοντας τους βαθµούς ελευθερίας του λάθους (error) κατά έναν. Λατινικά Τετράγωνα Ας εξετάσουµε τώρα το εξής πρόβληµα: Μελετάµε για παράδειγµα τις επιδράσεις των πέντε διαφορετικών ειδών φόρµουλας (formulation) για προωστήρες που χρησιµοποιούνται στους πυραύλους. Κάθε φορά όµως, η κάθε φόρµουλα είναι φτιαγµένη από διαφορετικές παρτίδες υλικού (batch of raw material), το µέγεθος των οποίων είναι αρκετά µεγάλο για να ελεγχθεί οι πέντε (5) φόρµουλες. Επίσης οι πέντε φόρµουλες έχουν χειριστεί από διαφορετικούς χειριστές (oerator) οι οποίοι µπορεί να έχουν και διαφορετικού επιπέδου ικανότητα και εµπειρία. Σχεδιάζουµε το πείραµα ως εξής: Θέλουµε να ελέγξουµε την κάθε φόρµουλα ακριβώς µια φορά σε κάθε παρτίδα και η κάθε φόρµουλα να επεξεργαστεί µια φορά µόνο από κάθε χειριστή. Το αποτέλεσµα αυτό φαίνεται στον παρακάτω πίνακα και καλείται ο όλος σχεδιασµός ως Λατινικά Τετράφωνα (Latin squares). Latin Squares Παρτίδες Χειριστές Υλικού A=4 B=0 C=9 D=4 E=4 B=7 C=4 D=30 E=7 A=36 3 C=8 D=38 E=6 A=7 B= 4 D=6 E=3 A=6 B=3 C= 5 E= A=30 B=0 C=9 D=3 7
8 Σηµείωση: Θα πρέπει να προσέξουµε ότι ο αριθµός των επιπέδων (treatments) να είναι ίσος µε τον αριθµό τον κατασκευαστών έτσι ώστε να έχουµε τετράγωνα π.χ. 5χ5. Το µοντέλο του παραπάνω Λατινικού τετράγωνου είναι: i =,,..., yik = µ + αi + τ + βk + εik =,,..., k =,,... όπου: : Παρατήρηση της i γραµµής, της k στήλης και του επιπέδου y ik α i : Η επίδραση της i γραµµής. τ : Η επίδραση του επιπέδου. β : Η επίδραση της k στήλης. k Τονίζουµε ότι δεν υπάρχει επίδραση µεταξύ των γραµµών, στηλών και επιπέδων. Τώρα ξέρουµε ότι σύνολο θα έχουµε παρατηρήσεις, άρα τα αθροίσµατα τετραγώνων θα είναι: = t Rows Columns treatments E µε βαθµούς ελευθερίας: = ( ) + ( ) + ( ) + ( )( ) Κάνοντας τώρα την υπόθεση ότι: ε ~ ID(0, σ ), προχωράµε και κάνουµε την ίδια διαδικασία που κάναµε και πριν στην ανάλυση Λατινικά Τετράγωνα ik Source variation Treatments Rows Columns Sum of squares Degrees of Freedom y = y - tr i= y rows = yi i= y columns = yi i= - - Mean square F 0 tr rows columns MS treatment MS E Error Total E ( µε την διαφορά ) (-)(-) y t = yik i k E ( )( ) 8
9 Η σηµασία των καταλοίπων γενικά στην ανάλυση διακύµανσης είναι πάρα πολύ σηµαντική και στο παραπάνω µοντέλο µας έχουµε: ε ik = y yˆ ik ik = yik y yi + y y + y y k + y y y y y y ik i k + = Σηµείωση: Όταν έχουµε στην πρώτη γραµµή και στην πρώτη στήλη τα λατινικά γράµµατα A, B, C, D, E είναι σε αλφαβητική σειρά τότε λέµε ότι έχουµε ένα στάνταρ (standard) λατινικό τετράγωνο. Αν δούµε τον πίνακα για το παράδειγµα µας τότε σίγουρα θα έχουµε: Source variation Sum of squares Degrees of freedom Mean square F 0 -value Treatments ,50 7, Rows Columns ,5 Error 8 0,67 Total Ελληνο - λατινικά τετράγωνα. Ας υποθέσουµε ότι έχουµε ένα λατινικό τετράγωνο x, και τοποθετούµε ένα επίσης λατινικό τετράγωνο x, στο οποίο τα επίπεδα είναι γραµµένα ελληνικούς χαρακτήρες. Τα τετράγωνα αυτά έχουν την ιδιότητα ότι το κάθε ελληνικό γράµµα εµφανίζεται µια φορά και µόνο µια φορά δίπλα σε ένα λατινικό, και ότι τα δύο τετράγωνα θα πρέπει να είναι ορθογώνια. Έχουµε δηλαδή 3 ενοχλητικούς παράγοντες και ένα παράγοντα που θέλουµε να ελέγξουµε. Το µοντέλο µας έχε ως εξής: όπου: yikl = µ + θ + τ + ω + ψ + ε µε i k l ikl i =,,..., =,,..., k =,,..., l =,,..., y ik : Παρατήρηση της i γραµµής, της l στήλης, για τα λατινικά γράµµατα, και για τα ελληνικά k. θ i : Η επίδραση της i γραµµής. τ : Η επίδραση των λατινικών γραµµάτων. ω : Η επίδραση των ελληνικών γραµµάτων επιπέδων k k 9
10 ψ : Η επίδραση της l στήλης. l ε ikl = λάθη ~ ID(0, σ ) Ελληνο Λατινικά Τετράγωνα Source variation Latin letters treatments Greek letter treatments Rows ( γραµµές) Columns (στήλες) Degrees Sum of squares of freedom y = y - l = y G = y k k= y rows = yi i= y columns = y l l= - - (-) Error Total E t = i k l y ikl y (-3)(-) Η διαδικασία είναι ίδια όπως και στις άλλες περιπτώσεις. Ανακεφαλαιώνοντας έχουµε τα παρακάτω: Randomize blocks: Πλεονεκτήµατα:. Μειώνει την επίδραση της ενοχλητικής µεταβλητής και έτσι ελαττώνεται το exerimental error.. Μπορεί να χρησιµοποιηθεί οποιοσδήποτε αριθµός επιπέδων (treatment). Μειονεκτήµατα:. Αν χρησιµοποιηθεί µεγάλο αριθµός επίπεδων τότε θα είναι δύσκολο να φτιάξω blocks για όλα τα treatments. 30
11 Λατινικά Τετράγωνα: Πλεονεκτήµατα:. Μειώνει την επίδραση δύο ενοχλητικών µεταβλητών. Μειονεκτήµατα:. Θα πρέπει τα επίπεδα κάθε ενοχλητικής µεταβλητής να ισούται µε τον αριθµό των treatments.. εν θα πρέπει να υπάρχει αλληλεπίδραση. 3. Τα τετράγωνα 8x8 δεν συναντιούνται αλλά δεν είναι πρακτικά. 3
) = a ο αριθµός των µηχανών n ο αριθµός των δειγµάτων που παίρνω από κάθε µηχανή
Ανάλυση Συνδιακύµανσης Alsis of Covrice Η ανάλυση συνδιακύµανσης είναι µία άλλη τεχνική για να βελτιώσουµε την ακρίβεια της προσέγγισης του µοντέλου µας στο πείραµα. Ας υποθέσουµε ότι σ ένα πείραµα εκτός
Διαβάστε περισσότεραΟικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών Τµήµα Στατιστικής Σηµειώσεις για το µάθηµα : Ανάλυση ιακύµανσης και Σχεδιασµός Πειραµάτων
Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών Τµήµα Στατιστικής Σηµειώσεις για το µάθηµα : Ανάλυση ιακύµανσης και Σχεδιασµός Πειραµάτων Βασίλης Βασδέκης - Στέλιος Ψαράκης Αθήνα 005 Πείραµα Είναι µια δοκιµή ή ένα σύνολο
Διαβάστε περισσότεραΠαράγοντας Β. Περιθώριοι µέσοι παράγοντα Β
Παραγοντικά Πειράµατα Fctoril Design Τα παραγοντικά πειράµατα αναλύουν την επίδραση δύο ή περισσοτέρων παραγόντων στην εξαρτηµένη µεταβλητή. Τα πλεονεκτήµατα που παρουσιάζουν έναντι των άλλων µεθόδών που
Διαβάστε περισσότεραONE WAY ANOVA. .Π.Μ.Σ. Μαθηµατικά των Υπολογιστών & των αποφάσεων. Πάτρα, 11 Ιανουαρίου 2011
Πάτρα, 11 Ιανουαρίου 2011 Πίνακας Περιεχοµένων 1 completely random design with fixed effects 2 3 Πίνακας Περιεχοµένων 1 completely random design with fixed effects 2 3 Γενικά completely random design with
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 13. Εισαγωγή στην. Η Ανάλυση ιακύµανσης
Κεφάλαιο 13 Εισαγωγή στην Ανάλυση ιακύµανσης 1 Η Ανάλυση ιακύµανσης Από τα πιο συχνά χρησιµοποιούµενα στατιστικά κριτήρια στην κοινωνική έρευνα Γιατί; 1. Ενώ αναφέρεται σε διαφορές µέσων όρων, όπως και
Διαβάστε περισσότερα1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος
Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο
Διαβάστε περισσότεραΕξέταση Φεβρουαρίου (2011/12) στο Μάθηµα: Γεωργικός Πειραµατισµός. Ζήτηµα 1 ο (2 µονάδες) Για κάθε λανθασµένη απάντηση δεν λαµβάνεται υπόψη µία σωστή
Σειρά Β Εξέταση Φεβρουαρίου (0/) στο Μάθηµα: Γεωργικός Πειραµατισµός Θεσσαλονίκη: 4/0/0 Επώνυµο Όνοµα Αρ. Μητρώου Κατεύθυνση Ζήτηµα ο ( µονάδες) Για κάθε λανθασµένη απάντηση δεν λαµβάνεται υπόψη µία σωστή
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ (One-Way Analyss of Varance) Η ανάλυση
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 14. Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης. Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης
Κεφάλαιο 14 Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης 1 Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης Παραµετρικό στατιστικό κριτήριο για τη µελέτη της επίδρασης µιας ανεξάρτητης µεταβλητής στην εξαρτηµένη Λογική παρόµοια
Διαβάστε περισσότεραΠοιο από τα δύο τµήµατα είχε καλύτερη επίδοση; επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου
Ένας καθηγητής µαθηµατικών έδωσε σε δύο τµήµατα µιας τάξης του σχολείου του το ίδιο τεστ. Η επίδοση των µαθητών του κάθε τµήµατος (όπως µετρήθηκε µε τη χρήση µιας εικοσαβάθµιας κλίµακας) παρουσιάζεται
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ
ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ (Analyss of Varance for two factor Experments) (Two-Way Analyss of Varance) Ο πειραματικός σχεδιασμός για τον οποίο θα μιλήσουμε είναι μια επέκταση της μεθοδολογίας
Διαβάστε περισσότεραΜάθηµα εύτερο-τρίτο- Βασικά Ζητήµατα στο Απλό Γραµµικό Υπόδειγµα Ακαδηµαϊκό Έτος
ΤΜΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΜΑΤΩΝ Μάθηµα εύτερο-τρίτο- Βασικά Ζητήµατα στο Απλό Γραµµικό Υπόδειγµα Ακαδηµαϊκό Έτος - Στο παρόν µάθηµα δίνεται µε κάποια απλά παραδείγµατα-ασκήσεις
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ. Μη Παραµετρική Στατιστική, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών
Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Εισαγωγή Στα προβλήµατα που έχουµε ασχοληθεί µέχρι τώρα, υποστηρίζουµε ότι έχουµε ένα δείγµα X = (X 1, X 2,...,X n ) F(,θ). π.χ. X 1, X 2,...,X n τ.δ. N(µ,σ 2 ),
Διαβάστε περισσότεραΓια να ελέγξουµε αν η κατανοµή µιας µεταβλητής είναι συµβατή µε την κανονική εφαρµόζουµε το test Kolmogorov-Smirnov.
A. ΈΛΕΓΧΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑΣ A 1. Έλεγχος κανονικότητας Kolmogorov-Smirnov. Για να ελέγξουµε αν η κατανοµή µιας µεταβλητής είναι συµβατή µε την κανονική εφαρµόζουµε το test Kolmogorov-Smirnov. Μηδενική υπόθεση:
Διαβάστε περισσότερα11ο Πανελλήνιο Συνέδριο της ΕΕΦ, Λάρισα 30-31/03, 1-2/04/2006. Πρακτικά Συνεδρίου
ο Πανελλήνιο Συνέδριο της ΕΕΦ, Λάρισα 30-3/03, -/04/006. Πρακτικά Συνεδρίου Έµµεσες µετρήσεις φυσικών µεγεθών. Παράδειγµα: Ο πειραµατικός υπολογισµός του g µέσω της µέτρησης του χρόνου των αιωρήσεων απλού
Διαβάστε περισσότεραΕνότητα 3: Ανάλυση Διακύμανσης κατά ένα παράγοντα One-Way ANOVA
ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΝΕΥΡΟΑΝΑΤΟΜΙΑ» «Βιοστατιστική, Μεθοδολογία και Συγγραφή Επιστημονικής Μελέτης» Ενότητα 3: One-Way ANOVA
Διαβάστε περισσότεραΟι δείκτες διασποράς. Ένα παράδειγµα εργασίας
Κεφάλαιο 5 Οι δείκτες διασποράς 1 Ένα παράδειγµα εργασίας Ένας καθηγητής µαθηµατικών έδωσε σε δύο τµήµατα µιας τάξης του σχολείου του το ίδιο τεστ. Η επίδοση των µαθητών του κάθε τµήµατος (όπως µετρήθηκε
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά
ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ Καθ Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 05 Έλεγχος διακυμάνσεων Μας ενδιαφέρει να εξετάσουμε 5 δίαιτες που δίνονται
Διαβάστε περισσότερα2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών
Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ.
Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεφάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά
ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 015 Ανάλυση Διακύμανσης Η Ανάλυση Διακύμανσης είναι μία τεχνική που
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΕΛΕΤΗ ΑΠΟ ΟΣΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΗΜΟΣΙΩΝ ΚΑΙ Ι ΙΩΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΕΛΕΤΗ ΑΠΟ ΟΣΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΗΜΟΣΙΩΝ ΚΑΙ Ι ΙΩΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στο κεφάλαιο αυτό θα εξετάσουµε την απόδοση και την επιτυχία των υποψηφίων η µερησίων δηµοσίων και ιδιωτικών λυκείων
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 5. Οι δείκτες διασποράς
Κεφάλαιο 5 Οι δείκτες διασποράς Ένα παράδειγµα εργασίας Ένας καθηγητής µαθηµατικών έδωσε σε δύο τµήµατα µιας τάξης του σχολείου του το ίδιο τεστ. Η επίδοση των µαθητών του κάθε τµήµατος (όπως µετρήθηκε
Διαβάστε περισσότεραΠροϋποθέσεις : ! Και οι δύο µεταβλητές να κατανέµονται κανονικά και να έχουν επιλεγεί τυχαία.
. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ. Υπολογισµός συντελεστών συσχέτισης Προκειµένου να ελέγξουµε την ύπαρξη γραµµικής σχέσης µεταξύ δύο ποσοτικών µεταβλητών, χρησιµοποιούµε συνήθως τον παραµετρικό συντελεστή συσχέτισης
Διαβάστε περισσότεραΠροσοµοίωση Εξέτασης στο µάθηµα του Γεωργικού Πειραµατισµού
Προσοµοίωση Εξέτασης στο µάθηµα του Γεωργικού Πειραµατισµού ρ. Γεώργιος Μενεξές Τοµέας Φυτών Μεγάλης Καλλιέργειας και Οικολογίας Viola adorata Σκηνή Πρώτη Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους (µέρος Ι). Ο µέσος όρος
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση ιασποράς (Analysis of Variance, ANOVA)
Επίκουρος Καθηγητής Ιωάννης Παραβάντης Τµήµα ιεθνών και Ευρωπαϊκών Σπουδών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ Ιούλιος 2009 Ανάλυση ιασποράς (Analysis of Variance, ANOVA) Στην ANOVA (Analysis of Variance) συγκρίνουµε
Διαβάστε περισσότεραα) t-test µε ίσες διακυµάνσεις β) ανάλυση διακύµανσης µε έναν παράγοντα Έλεγχος t δύο δειγμάτων με υποτιθέμενες ίσες διακυμάνσεις
ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΙΕΘΝΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ IΙ ΕΙΣΗΓΗΤΡΙΑ: ΣΑΒΒΑΣ ΠΑΠΑ ΟΠΟΥΛΟΣ ΠΑΛΑΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ********************************************************************
Διαβάστε περισσότερα2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ
2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Η χρησιμοποίηση των τεχνικών της παλινδρόμησης για την επίλυση πρακτικών προβλημάτων έχει διευκολύνει εξαιρετικά από την χρήση διαφόρων στατιστικών
Διαβάστε περισσότεραΜονοπαραγοντική Ανάλυση Διακύμανσης Ανεξάρτητων Δειγμάτων
Μονοπαραγοντική Ανάλυση Διακύμανσης Ανεξάρτητων Δειγμάτων 1 Μονοπαραγοντική Ανάλυση Διακύμανσης Παραμετρικό στατιστικό κριτήριο για τη μελέτη της επίδρασης μιας ανεξάρτητης μεταβλητής στην εξαρτημένη Λογική
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 15. Παραγοντική ανάλυση διακύµανσης. Παραγοντική
Κεφάλαιο 15 Παραγοντική ανάλυση διακύµανσης 1 Παραγοντική ανάλυση διακύµανσης Παραµετρικό στατιστικό κριτήριο για τη µελέτη των επιδράσεων περισσότερων από µια ανεξάρτητων µεταβλητών στην εξαρτηµένη καθώς
Διαβάστε περισσότεραΓ. Πειραματισμός Βιομετρία
Γενικά Πειραματικό σχέδιο και ANOVA Η βασική διαφορά μεταξύ των πειραματικών σχεδίων είναι ο τρόπος με τον οποίο ταξινομούνται ή κατατάσσονται οι πειραματικές μονάδες (πειραματικά τεμάχια) Σε όλα τα σχέδια
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 3.1 Συσχέτιση δύο τ.µ.
Κεφάλαιο 3 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεφάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ
Διαβάστε περισσότεραΖήτηµα 2. Κατεύθυνση µεταβολής γονιµότητας. Πειραµατικός Αγρός. Επεµβάσεις: Α1Β1:1, Α1Β2:2, Α1Β3:3, Α2Β1:4, Α2Β2:5 και Α2Β3:6
Ζήτηµα. ίνεται το παρακάτω φύλλο δεδοµένων (πείραµα 2 2 πλήρως τυχαιοποιηµένο-crd, 3 επαναλήψεις ανά επέµβαση). Να υπολογιστούν οι µέσοι όροι για τον Παράγοντα Α (δύο επίπεδα Α και Α2), για τον Παράγοντα
Διαβάστε περισσότεραΕνότητα 4: Πίνακες συνάφειας (Contingency tables)
Ενότητα 4: Πίνακες συνάφειας (Cotigecy tables Σε αρκετές εφαρµογές παρουσιάζεται η ανάγκη ελέγχου της σχέσης µεταξύ δυο κατηγορικών µεταβλητών (Ordial ή omial. Π.χ. θέλουµε να διερευνήσουµε τη σχέση µεταξύ
Διαβάστε περισσότεραΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική
ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 3: Ανάλυση γραμμικού υποδείγματος Απλή παλινδρόμηση (2 ο μέρος) Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage: http://users.auth.gr/agpapana
Διαβάστε περισσότεραΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ
Κεφάλαιο 3 ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Σε πολλά προβλήµατα της µηχανικής δεν ενδιαφερόµαστε να εκτιµήσουµε την τιµή της παραµέτρου αλλά να διαπιστώσουµε αν η παραµέτρος είναι µικρότερη ή µεγαλύτερη από
Διαβάστε περισσότερα3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.)
3 Οριακά θεωρήµατα Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (ΚΟΘ) Ένα από τα πιο συνηθισµένα προβλήµατα που ανακύπτουν στη στατιστική είναι ο προσδιορισµός της κατανοµής ενός µεγάλου αθροίσµατος ανεξάρτητων τµ Έστω Χ Χ
Διαβάστε περισσότεραΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ
ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Μετά από την εκτίµηση των παραµέτρων ενός προσοµοιώµατος, πρέπει να ελέγχουµε την αλήθεια της υποθέσεως που κάναµε. Είναι ορθή η υπόθεση που κάναµε? Βεβαίως συνήθως υπάρχουν
Διαβάστε περισσότερα< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει.
Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 3: Σειρές πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα. Εστω ( ) µια ακολουθία πραγµατικών αριθµών. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε
Διαβάστε περισσότεραΑκρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange
64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΦΡΟΝΤΙ Α ΣΤΟ ΣΑΚΧΑΡΩ Η ΙΑΒΗΤΗ» ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΦΡΟΝΤΙ Α ΣΤΟ ΣΑΚΧΑΡΩ Η ΙΑΒΗΤΗ» ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Γκριζιώτη Μαρία ΜSc Ιατρικής Ερευνητικής Μεθοδολογίας Αναλυτική στατιστική Σύγκριση ποιοτικών
Διαβάστε περισσότερα5. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (GENERAL LINEAR MODEL) 5.1 Εναλλακτικά μοντέλα του απλού γραμμικού μοντέλου: Το εκθετικό μοντέλο
5. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (GENERAL LINEAR MODEL) 5.1 Εναλλακτικά μοντέλα του απλού γραμμικού μοντέλου: Το εκθετικό μοντέλο Ένα εναλλακτικό μοντέλο της απλής γραμμικής παλινδρόμησης (που χρησιμοποιήθηκε
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ (ΑΝOVA)
ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ (ΑΝOVA). Εισαγωγή Η ανάλυση της διακύμανσης (ANalysis Of VAriance ANOVA) είναι μια στατιστική μεθόδος με την οποία η μεταβλητότητα που υπάρχει σ ένα σύνολο δεδομένων διασπάται στις
Διαβάστε περισσότεραΠοιοτική & Ποσοτική Ανάλυση εδοµένων Εβδοµάδα 5 η 6 η είκτες Κεντρικής Τάσης και ιασποράς
Ποιοτική & Ποσοτική Ανάλυση εδοµένων Εβδοµάδα 5 η 6 η είκτες Κεντρικής Τάσης και ιασποράς Παιδαγωγικό Τµήµα ηµοτικής Εκπαίδευσης ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο Θράκης Αλεξανδρούπολη, 2014-2015 Εµπειρικές Στατιστικές
Διαβάστε περισσότερα2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.
2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπισ τήμιο Κρήτης 2 Μαΐου /23
Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 2 Μαΐου 2017 1/23 Ανάλυση Διακύμανσης. Η ανάλυση παλινδρόμησης μελετά τη στατιστική σχέση ανάμεσα
Διαβάστε περισσότεραΠαραγοντικά Πειράµατα
Παραγοντικά Πειράµατα Όπως αναφέρθηκε στο προηγούµενο κεφάλαιο, ο παραγοντικός σχεδιασµός εµφανίζει πολύ µεγάλη χρησιµότητα στην ανάλυση πειραµάτων, στα οποία εµπλέκονται διαφορετικοί παράγοντες και οι
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ
Κεϕάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεϕάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα
Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια
Διαβάστε περισσότεραΠολλαπλή παλινδρόµηση. Μάθηµα 3 ο
Πολλαπλή παλινδρόµηση Μάθηµα 3 ο Πολλαπλή παλινδρόµηση (Multivariate regression ) Η συµπεριφορά των περισσότερων οικονοµικών µεταβλητών είναι συνάρτηση όχι µιας αλλά πολλών µεταβλητών Y = f ( X, X 2, X
Διαβάστε περισσότεραΕργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής 2η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 28/01/2011 (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) 1ο Θέμα [40] α) στ) 2ο Θέμα [40]
Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 8// (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) ο Θέμα [4] Τα τελευταία χρόνια παρατηρείται συνεχώς αυξανόμενο ενδιαφέρον για τη μελέτη της συγκέντρωσης
Διαβάστε περισσότεραΟρισµός. Ανάλυση Χρονοσειρών
Ορισµός Με τον όρο Χρονοσειρές εννοούµε µια σειρά από παρατηρήσεις που παίρνονται σε ορισµένες χρονικές στιγµές ή περιόδους που ισαπέχουν µεταξύ τους. Συµβολίζοντας µε Χi τις n χρονικές στιγµές (έτη, µήνες,
Διαβάστε περισσότεραΔοκιμές προτίμησης και αποδοχής
Δοκιμές προτίμησης και αποδοχής Χρησιμοποιείται συνήθως για: Επιλογή άριστου δείγματος ή άριστης επεξεργασίας Συγκριτική αξιολόγηση ποιοτικών χαρακτηριστικών Συγκριτική προτίμηση ομοειδών τροφίμων (διερεύνηση
Διαβάστε περισσότερα( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]}
7 ΙΙΙ Ολοκληρωτικός Λογισµός πολλών µεταβλητών Βασικές έννοιες στη µια µεταβλητή Έστω f :[ ] φραγµένη συνάρτηση ( Ρ = { t = < < t = } είναι διαµέριση του [ ] 0 ( Ρ ) = Μ ( ) όπου sup f ( t) : t [ t t]
Διαβάστε περισσότεραΟι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:
Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας
Διαβάστε περισσότεραΑ. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα
Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα Κάθε πειραµατική µέτρηση υπόκειται σε πειραµατικά σφάλµατα. Με τον όρο αυτό δεν εννοούµε λάθη τα οποία γίνονται κατά την εκτέλεση του πειράµατος ή τη λήψη των µετρήσεων, τα
Διαβάστε περισσότεραΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΙI (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ) (ΟΔΕ 2116)
Σελίδα 1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΙΙ (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ) (ΟΔΕ 2116) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΟΣ ΥΠΟΤΡΟΦΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΧΡΟΝΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ. Παπάνα Αγγελική
ΧΡΟΝΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ 7o Μάθημα: Απλή παλινδρόμηση (ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ & ΠΑΜΑΚ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage: http://users.auth.gr/agpapana
Διαβάστε περισσότεραΓια το δείγμα από την παραγωγή της εταιρείας τροφίμων δίνεται επίσης ότι, = 1.3 και για το δείγμα από το συνεταιρισμό ότι, x
Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική // (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) ο Θέμα [] Επιλέξαμε φακελάκια (της μισής ουγκιάς) που περιέχουν σταφίδες από την παραγωγή μιας εταιρείας
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση διακύμανσης (Μέρος 3 ο ) 7/4/2017
Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 3 ο ) 7/4/2017 2 α x b Παραγοντικό Πείραμα (1) Όταν θέλουμε να μελετήσουμε την επίδραση (στη μεταβλητή απόφασης) δύο παραγόντων, έστω Α και Β, με α στάθμες ο Α και b στάθμες
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ 6.1 Εισαγωγή Σε πολλές στατιστικές εφαρµογές συναντάται το πρόβληµα της µελέτης της σχέσης δυο ή περισσότερων τυχαίων µεταβλητών. Η σχέση
Διαβάστε περισσότερα1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών
ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών
Διαβάστε περισσότεραστατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας
στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ : Εισαγωγή δειγµατοληψία Τα στοιχεία που απαιτούνται τόσο για την ανάλυση των µεταφορικών συστηµάτων και όσο και για την ανάπτυξη των συγκοινωνιακών µοντέλων
Διαβάστε περισσότεραΥπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση
8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός
Διαβάστε περισσότεραΓ. Πειραματισμός Βιομετρία
Περιγραφή του σχεδίου Με το μπορούμε να επιλέξουμε την παραλλακτικότητα σε δύο κατευθύνσεις Οι επεμβάσεις τοποθετούνται σε σειρές και στήλες Κάθε σειρά περιλαμβάνει όλες τις επεμβάσεις Κάθε στήλη περιέχει
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss
Γραµµική Άλγεβρα Εισαγωγικά Υπάρχουν δύο βασικά αριθµητικά προβλήµατα στη Γραµµική Άλγεβρα. Το πρώτο είναι η λύση γραµµικών συστηµάτων Aλγεβρικών εξισώσεων και το δεύτερο είναι η εύρεση των ιδιοτιµών και
Διαβάστε περισσότεραΑρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: L p Σύγκλιση Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creaive Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε
Διαβάστε περισσότεραΠεριγραφική Στατιστική, Εκτίµηση και Ελεγχος Παραµέτρων. της σ 2 είναι επίσης αµερόληπτη. n 1 +n 2
4.2. ΑΠΛ Η ΓΡΑΜΜΙΚ Η ΠΑΛΙΝ Ρ ΟΜΗΣΗ 79 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Περιγραφική Στατιστική, Εκτίµηση και Ελεγχος Παραµέτρων 1. είξτε ότι η εκτιµήτρια s 2 της διασποράς σ 2 είναι αµερόληπτη. 2. ύο τυχαίες µεταβλητές X 1 και
Διαβάστε περισσότεραΥπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση
8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα. Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός
Διαβάστε περισσότεραΠεριγραφική Ανάλυση ποσοτικών μεταβλητών
Περιγραφική Ανάλυση ποσοτικών μεταβλητών Στο data file Worldsales.sav (αρχείο υποθετικών πωλήσεων ανά ήπειρο και προϊόν) Analyze Descriptive Statistics Frequencies Επιλογή μεταβλητής Revenue Πατάμε στο
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότερα8. Ανάλυση Διασποράς ως προς. δύο παράγοντες
8. Ανάλυση Διασποράς ως προς δύο παράγοντες Ανάλυση Διασποράς ως προς δύο παράγοντες Παραγοντική Ανάλυση διασποράς-factorial Analsis of Variance Α, Β δύο παράγοντες κ: στάθμες (επίπεδα) του παράγοντα Α
Διαβάστε περισσότεραΕυρωπαϊκή Ολυµπιάδα Φυσικών Επιστηµών 2009 Πανελλήνιος προκαταρκτικός διαγωνισµός στη Φυσική. Σχολείο: Ονόµατα των µαθητών της οµάδας: 1) 2) 3)
ΠΑΝΕΚΦΕ Ευρωπαϊκή Ολυµπιάδα Φυσικών Επιστηµών 2009 Πανελλήνιος προκαταρκτικός διαγωνισµός στη Φυσική 17-01-2009 Σχολείο: Ονόµατα των µαθητών της οµάδας: 1) 2) 3) Επισηµάνσεις από τη θεωρία Πάνω στον πάγκο
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση ποσοτικών δεδομένων. ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 2 ΔΙΟΙΚΗΣΗ & ΚΟΙΝΩΝΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΣΤΗΝ ΤΟΞΙΚΟΕΞΆΡΤΗΣΗ Dr. Ρέμος Αρμάος
Ανάλυση ποσοτικών δεδομένων ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 2 ΔΙΟΙΚΗΣΗ & ΚΟΙΝΩΝΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΣΤΗΝ ΤΟΞΙΚΟΕΞΆΡΤΗΣΗ Dr. Ρέμος Αρμάος Εισαγωγή στη στατιστική Στατιστική: σύνολο αρχών και μεθοδολογιών που χρησιμοποιούνται για:
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 0 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο, να αποδείξετε ότι (f() + g ()) f () + g (),. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραµα µε ισοπίθανα
Διαβάστε περισσότερα11 Το ολοκλήρωµα Riemann
Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. ΗΥ-217: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 2015 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης. Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-217: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 2015 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων Ασκηση 1. (i Υποθέτοντας ότι επιτρέπονται επαναλήψεις
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R
Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη
Διαβάστε περισσότερα8. Ανάλυση Διασποράς ως προς. δύο παράγοντες
8. Ανάλυση Διασποράς ως προς δύο παράγοντες Ανάλυση Διασποράς ως προς δύο παράγοντες Α, Β δύο παράγοντες κ: στάθμες (επίπεδα) του παράγοντα Α λ: στάθμες (επίπεδα) του παράγοντα Β κ λ : πειραματικές συνθήκες
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Ανάλυση Παραλλακτικότητας
Εισαγωγή στην Ανάλυση Παραλλακτικότητας Επιστηµονική Επιµέλεια: ρ. Γεώργιος Μενεξές Τοµέας Φυτών Μεγάλης Καλλιέργειας και Οικολογίας Εργαστήριο Γεωργίας Viola adorata Παραλλακτικότητα Που Οφείλεται; Παραλλακτικότητα
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση διακύμανσης (Μέρος 2 ο ) 31/3/2017
Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 2 ο ) 31/3/2017 2 Σχέδιο τυχαιοποιημένων πλήρων ομάδων (1) Αποτελεί ευθεία γενίκευση του σχεδίου που γνωρίσαμε όταν μιλήσαμε για τη σύγκριση κατά ζεύγη δύο μέσων μ 1 και μ 2
Διαβάστε περισσότεραΒΑΣΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΣΕΙΡΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ
ΒΑΣΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΣΕΙΡΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ απόκλιση από την κανονικότητα µπορεί να σηµαίνει Ύπαρξη θετικής ή αρνητικής ασυµµετρίας Ύπαρξη λεπτοκύρτωσης, δηλαδή παρουσία ακραίων τιµών που δεν είναι συµβατές
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση
Ιαν. 9 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Είδαµε στο κεφάλαιο της παρεµβολής συναρτήσεων πώς να προσεγγίζουµε µια (συνεχή) συνάρτηση f από ένα πολυώνυµο, όταν γνωρίζουµε + σηµεία του γραφήµατος της συνάρτησης:
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική για Χημικούς Μηχανικούς Έλεγχος στατιστικών υποθέσεων. Κουγιουμτζής Δημήτριος Τμήμα Χημικών Μηχανικών
Στατιστική για Χημικούς Μηχανικούς Έλεγχος στατιστικών υποθέσεων Κουγιουμτζής Δημήτριος Τμήμα Χημικών Μηχανικών Θεσσαλονίκη, Μάιος 2015 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΟικονομετρία Ι. Ενότητα 4: Διάστημα Εμπιστοσύνης - Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής
Οικονομετρία Ι Ενότητα 4: Διάστημα Εμπιστοσύνης - Έλεγχος Υποθέσεων Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότερα----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------
----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο 9.1 ηµιουργία µοντέλων πρόβλεψης 9.2 Απλή Γραµµική Παλινδρόµηση 9.3 Αναλυτικά για το ιάγραµµα ιασποράς
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2015 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 05 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο R, να αποδείξετε ότι: f + g ' = f ' + g ', R Μονάδες 7 Α. Πότε λέµε ότι µια συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΑ. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα
Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα Κάθε πειραµατική µέτρηση υπόκειται σε πειραµατικά σφάλµατα. Με τον όρο αυτό δεν εννοούµε λάθη τα οποία γίνονται κατά την εκτέλεση του πειράµατος ή τη λήψη των µετρήσεων, τα
Διαβάστε περισσότεραΧαρακτηριστικά της ανάλυσης διασποράς. ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΣΠΟΡΑΣ (One-way analysis of variance)
ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΣΠΟΡΑΣ (Oe-way aalysis of variace) Να γίνει µια εισαγωγή στη µεθοδολογία της ανάλυσης > δειγµάτων Να εφαρµοσθεί και να κατανοηθεί η ανάλυση διασποράς µε ένα παράγοντα. Να κατανοηθεί η χρήση των
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική για Πολιτικούς Μηχανικούς Λυμένες ασκήσεις μέρους Β
Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Στατιστική για Πολιτικούς Μηχανικούς Λυμένες ασκήσεις μέρους Β Κουγιουμτζής Δημήτρης Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, Μάρτιος 4 Άδειες Χρήσης Το παρόν
Διαβάστε περισσότεραΠαράδειγμα: Γούργουλης Βασίλειος, Επίκουρος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α.-Δ.Π.Θ.
Έλεγχος ύπαρξης στατιστικά σημαντικών διαφορών μεταξύ δειγμάτων, που διαχωρίζονται βάσει ενός επαναλαμβανόμενου και ενός ανεξάρτητου παράγοντα (Ανάλυση διακύμανσης για εξαρτημένα δείγματα ως προς δύο παράγοντες,
Διαβάστε περισσότερα(1) 98! 25! = 4 100! 23! = 4
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2015 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 5 Συνδυαστική Ανάλυση ΙΙ και Εισαγωγή στις ιακριτές Τυχαίες Μεταβλητές
Διαβάστε περισσότεραKΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR
KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR 6 Ορισµοί Ορισµός 6 Εστω α είναι µία πραγµατική ακολουθία και είναι πραγµατικοί αριθµοί Ένα άπειρο πολυώνυµο της µορφής: a ( ) () = καλείται δυναµοσειρά µε κέντρο το
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστικό κριτήριο χ 2
18 Μεθοδολογία Επιστηµονικής Έρευνας & Στατιστική Στατιστικό κριτήριο χ 2 Ο υπολογισµός του κριτηρίου χ 2 γίνεται µέσω του µενού [Statistics => Summarize => Crosstabs...]. Κατά τη συγκεκριµένη διαδικασία
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8
ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5. 5.8 5. Ένας υγειονοµικός σταθµός θέλει να ελέγξει αν ο µέσος αριθµός βακτηριδίων ανά µονάδα όγκου θαλασσινού νερού σε µια παραλία υπερβαίνει το επίπεδο ασφαλείας των 9 µονάδων. ώδεκα
Διαβάστε περισσότεραΕίδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρµοσµένες Επιστήµες Στατιστικός Πληθυσµός και Δείγµα Το στατιστικό
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση Διακύμανσης. Ι. Κ. Δημητρίου
Ανάλυση Διακύμανσης Ι. Κ. Δημητρίου Να κάνετε πολλά παραδείγματα και για να κατανοήσετε την Ανάλυση Διακύμανσης (ΑΝΑΔΙΑ) ή Analysis of Variance (ANOVA). Ακόμη, να κοιτάξετε περιπτώσεις εφαρμογής. 3 Εισαγωγή
Διαβάστε περισσότεραΤΣΑΛΤΑ ΜΑΡΙΑ Α.Μ: 1946 ΠΑΥΛΕΛΛΗ ΛΟΥΙΖΑ Α.Μ: 2342 ΤΣΑΪΛΑΚΗ ΦΑΝΗ Α.Μ: Οικονομετρικά. Εργαστήριο 15/05/11
ΤΣΑΛΤΑ ΜΑΡΙΑ Α.Μ: 1946 ΠΑΥΛΕΛΛΗ ΛΟΥΙΖΑ Α.Μ: 34 ΤΣΑΪΛΑΚΗ ΦΑΝΗ Α.Μ: 17 Οικονομετρικά Εργαστήριο 15/5/11 ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΜΑΘΗΜΑ 7 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Σκοπός του παρόντος µαθήµατος είναι η
Διαβάστε περισσότερα4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss
4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Θεωρούµε το γραµµικό σύστηµα α 11χ 1 + α 12χ 2 +... + α 1νχ ν = β 1 α 21χ 1 + α 22χ2 +... + α 2νχ ν = β 2... α ν1χ 1 + α ν2χ 2 +... + α ννχ ν = β ν Το οποίο µπορεί να γραφεί
Διαβάστε περισσότερα