Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα"

Transcript

1 Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα Κάθε πειραµατική µέτρηση υπόκειται σε πειραµατικά σφάλµατα. Με τον όρο αυτό δεν εννοούµε λάθη τα οποία γίνονται κατά την εκτέλεση του πειράµατος ή τη λήψη των µετρήσεων, τα οποία προφανώς θα πρέπει να αποφεύγονται. Αντίθετα, µε τον όρο «πειραµατικό σφάλµα» αναφερόµαστε στους παράγοντες οι οποίοι επηρεάζουν τις µετρήσεις µας, και οι οποίοι δεν µπορούν να εξαλειφθούν, καθώς και στην αβεβαιότητα που υπαρχει για την τιµή της κάθε µέτρησης. Η αβεβαιότητα αυτή µπορεί να οφείλεται είτε στον τρόπο που γίνεται η µέτρηση, είτε στη ακρίβεια των οργάνων µέτρησης. Γενικότερα υπάρχουν δύο κατηγορίες σφαλµάτων: τα συστηµατικά σφάλµατα, και τα τυχαία ή στατιστικά σφάλµατα. Συστηµατικά σφάλµατα, είναι τα σφάλµατα τα οποία επηρεάζουν συστηµατικά και µε τον ίδιο τρόπο όλες τις µετρήσεις. Τέτοια είναι τα σφάλµατα που οφείλονται στη λάθος βαθµονόµηση της µετρητικής συσκευής ή σε περιβαλλοντικούς παράγοντες. Για παράδειγµα η χρήση ενός θερµοµέτρου του οποίου η κλίµακα βαθµονόµησης έχει µετατοπιστεί, θα έχει ως αποτέλεσµα το µηδέν της κλίµακας να µην αντιστοιχεί σε 0º C, και εποµένως όλες οι µετρήσεις θα είναι µετατοπισµένες από την πραγµατική θερµοκρασία κατά αυτή τη διαφορά. Αντίστοιχα εάν χρησιµοποιήσουµε για τη µέτρηση ενός µήκους µια µετροταινία που έχει βαθµονοµηθεί σε πολύ διαφορετική θερµοκρασία, τότε λόγω συστολής/διαστολής η κλίµακα της µετροτανίας θα έχει αλλάξει και το µήκος που µετράµε δεν θα αντιστοιχεί στο πραγµατικό µήκος, µε αποτέλεσµα να παίρνουµε συστηµατικά διαφορετικές µετρήσεις. Τα συστηµατικά σφάλµατα τις περισσότερες φορές µπορούν να αναγνωρισθούν και να διορθωθούν κατά την ανάλυση των µετρήσεων. Για παράδειγµα στην περίπτωση του θερµοµέτρου, µετρώντας τη θερµοκρασία πάγου που λιώνει, ή αποσταγµένου νερού που βράζει για τα οποία γνωρίζουµε την πραγµατική τους θερµοκρασία µπορούµε να εκτιµήσουµε αποκλίσεις της κλίµακας και να τις προσθέσουµε αλγεβρικά σε όλες τις µετρήσεις. Τα Τυχαία σφάλµατα, σε αντίθεση επηρεάζουν όλες τις µετρήσεις αλλά µε τυχαίο τρόπο και εποµένως δεν µπορούν να αφαιρεθούν κατά την επεξεργασία τους. Τα τυχαία σφάλµατα οφείλονται σε ατέλειες της πειραµατικής διάταξης και την πεπερασµένη ακρίβεια των µετρητικών οργάνων σε συνδυασµό µε την επίδραση των αισθήσεων µας. Επιπλέον τυχαίες και µη ελεγχόµενες µεταβολές των περιβαλλοντικών συνθηκών µπορεί να επηρεάσουν τις µετρήσεις µας κατά µη επαναλήψιµο τρόπο. Οι παραπάνω παράγοντες θα έχουν ως αποτέλεσµα να παίρνουµε διαφορετικές τιµές από πολλαπλές µετρήσεις του ίδιου µεγέθους. Επειδή ακριβώς οι µετρήσεις διαφέρουν κατά έναν µεταβαλλόµενο, µη προβλέψιµο, παράγοντα δεν είναι δυνατόν να διορθωθούν για την επίδραση των τυχαίων σφαλµάτων (σε αντίθεση µε τα συστηµατικά σφάλµατα η επίδραση των οποίων είναι η ίδια και εποµένως διορθώσιµη). Για παράδειγµα εάν µετράµε το µήκος ενός αντικειµένου µε ένα χάρακα, η τιµή της µέτρησης θα εξαρτάται από την ακριβή θέση που θα τοποθετήσουµε το χάρακα, την εκτίµηση που θα κάνουµε για την ακριβή ένδειξη στο σηµείο που βρίσκεται η ακµή του αντικειµένου (Σχήµα 1), τη γωνία παρατήρησης, κ.λ.π. Το αποτέλεσµα της

2 επίδρασης των παραπάνω παραγόντων θα είναι οι µετρήσεις να διαφέρουν µεταξύ τους κατά ένα µικρό τυχαίο ποσό. Σχήµα 1. Παράδειγµα µέτρησης του µήκους µιας ράβδου. Το πραγµατικό µήκος της ράβδου είναι µεταξύ 4.4 και 4.5. Η ακρίβεια µε την οποία µπορεί να γίνει η µέτρηση εξαρτάται από την ακρίβεια του χάρακα. Η επίδραση των τυχαίων σφαλµάτων δεν είναι γνωστή εκ των προτέρων. Εαν όµως µετράµε το ίδιο µέγεθος πολλές φορές µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τις διαφοροποιήσεις των µετρήσεων ώστε να εκτιµήσουµε την πραγµατική τιµή του µεγέθους και το αντίστοιχο σφάλµα των µετρήσεών µας. Αυτό ακριβώς είναι το αντικείµενο της Θεωρίας Ανάλυσης Μετρήσεων. Εάν θεωρήσουµε ότι έχουµε n µετρήσεις της ίδιας ποσότητας τότε η µέση τιµή των µετρήσεων προσεγγίζει την πραγµατική τιµή του µεγέθους. Η µέση τιµή ορίζεται ώς n x = 1 x n (1) =1 όπου x είναι οι επιµέρους µετρήσεις x είναι η µέση τιµή τους. Η µέση τιµή x τείνει στην πραγµατική τιµή όταν το n. Στην πράξη αυτό σηµαίνει ότι όσο µεγαλύτερο αριθµό µετρήσεων έχουµε τόσο καλύτερα προσεγγίζουµε την πραγµατική τιµή του µεγέθους που θέλουµε να µετρήσουµε. Συνήθως 10 µετρήσεις είναι αρκετές για να έχουµε µια αρκετά καλή προσέγγιση της πραγµατικής τιµής του µεγέθους. Η διασπορά των µετρήσεων γύρω από τη µέση τιµή τους, θα µας δώσει µια εκτίµηση των τυχαίων σφαλµάτων, αφού απουσία σφαλµάτων όλες οι µετρήσεις θα ήταν ταυτόσηµες. Η διασπορά των µετρήσεων µπορεί να εκτιµηθεί από την τυπική απόκλιση του δείγµατος που ορίζεται ως: σ x = n 1 (x x n 1 ) () =1 όπου x είναι η µέση τιµή των µετρήσεων. Και πάλι η τυπική απόκλιση του δείγµατος προσεγγίζει την πραγµατική τιµή του σφάλµατος όταν το n. Οταν έχουµε µια µέτρηση α και το σφάλµα της δα γράφουµε (α±δα), το οποίο σε πρώτη προσέγγιση µας λέει ότι η µετρούµενη ποσότητα µπορεί να πάρει τιµές στο διάστηµα [α-δα, α+δα]. Οι µονάδες µέτρησης παρατίθενται µετά την παρένθεση, για παράδειγµα γράφουµε (15.3±0.05) cm. 3

3 Ακρίβεια µετρήσεων: Απόλυτο και Σχετικό Σφάλµα Όπως είδαµε κάθε µέτρηση εµπεριέχει και κάποιο σφάλµα. Εποµένως ο τρόπος µε τον οποίο θα παρουσιάζουµε τις µετρήσεις µας θα πρέπει να ανακλά την ακρίβεια της µέτρησης. Για παράδειγµα εάν µετρήσουµε ένα µήκος 15.5cm µε σφάλµα 0.5cm, τότε γράφουµε (15.5 ±0.5) cm. Δηλαδή η πραγµατική τιµή του µήκους κυµαίνεται µεταξύ 15.0 και 16.0 cm. Εάν κάνουµε την παραπάνω µέτρηση µε ένα όργανο µεγαλύτερης ακρίβειας τότε θα βρούµε 15.6 cm µε σφάλµα 0.05cm, ή (15.6±0.05) cm. Δηλαδή τώρα γνωρίζουµε ότι η πραγµατική τιµή είναι πιο κοντά στο 15.6 cm, και µάλιστα βρίσκεται µεταξύ του cm και cm. Τα τυχαία σφάλµατα 0.5 cm και 0.0 cm λέγονται απόλυτα σφάλµατα. Στην περίπτωση µετρήσεων µε αναλογικά όργανα το απόλυτο σφάλµα της κάθε µέτρησης ισούται µε το µισό της ελάχιστης υποδιαίρεσης, καθώς µέσα σε αυτά τα όρια βρίσκεται η καλύτερη εκτίµηση που µπορόυµε να κάνουµε για την τιµή της µέτρησης. Στην περίπτωση µετρήσεων µε ψηφιακά όργανα το απόλυτο σφάλµα του οργάνου µας δίνεται από τον κατασκευαστή. Το σφάλµα των οργάνων είναι το ελάχιστο σφάλµα που µπορεί να έχει µια µέτρηση. Παράγοντες όπως η γωνία παρατήρησης της µετρητικής συσκευής, ο χρόνος αντίδρασης, τυχαίοι περιβαλλοντικοί παράγοντες, συνεισφέρουν επιπλέον στα πειραµατικά σφάλµατα. Μια εκτίµηση του συνολικού σφάλµατος µας δίνεται από την τυπική απόκλιση του δείγµατος η οποία υπολογίζεται µε τη σχέση (). Με βάση τα παραπάνω η τυπική απόκλιση του δείγµατος θα πρέπει να είναι ίση ή µεγαλύτερη από το σφάλµα του οργάνου, αφού ακόµα και εάν αποκλείσουµε όλες τις άλλες πηγές σφάλµατος, η ακρίβεια των µετρήσεων θα καθορίζεται κατ ελάχιστο από την ακρίβεια του οργάνου µέτρησης. Από την παραπάνω συγκριση είναι προφανές ότι η µέτρηση (15.6±0.05) cm είναι πιό ακριβής από τη µέτρηση (15.5 ±0.5) cm, αφού έχει µικρότερο σφάλµα. Ισχύει όµως το ίδιο εάν συγκρίνουµε δύο υποθετικές µετρήσεις ( ±0.5) cm και (15.5 ±0.05) cm; Σε αυτή την περίπτωση θα πρέπει να λάβουµε υπ οψιν µας το γεγονός ότι ένα σφάλµα της τάξεως του 0.5 cm έχει πολύ µικρότερη σηµασία σε µία µέτρηση µε µεγάλη αριθµητική τιµή όπως cm απ ότι µια µέτρηση µε σφάλµα 0.05 cm που αναφέρεται σε µία κατά πολύ µικρότερη αριθµητική τιµή. Εποµένως ένας πιό ποσοτικός τρόπος για να εκτιµήσουµε την ακρίβεια µιας µέτρησης είναι να δούµε το σχετικό της σφάλµα που ορίζεται ως Σχετικό σφάλµα: δx x 100% όπου δx είναι το σφάλµα και x η τιµή της µέτρησης. Προφανώς όσο µικρότερο είναι το σχετικό σφάλµα τόσο ακριβέστερη είναι η µέτρησή µας. 4

4 Σηµαντικά Ψηφία Από το παραπάνω παράδειγµα βλέπουµε ότι ο αριθµός των ψηφίων της τιµής µιας µέτρησης µας δίνει µία εικόνα της ακρίβειάς της. Ετσι λέµε ότι η µέτρηση cm έχει 5 σηµαντικά ψηφία ενώ η µέτρηση 15.5 cm έχει µόνο τρία σηµαντικά ψηφία. Ιδιαίτερη σηµασία έχουν τα µηδενικά ψηφία στο τέλος µιας τιµής: η τιµή cm υποδηλώνει ότι η µέτρηση αυτή έχει ακρίβεια ~0.01 cm, ενώ η τιµή 15 cm υποδηλώνει ότι έχει ακρίβεια ενός εκατοστού. Εποµένως τα µηδενικά ψηφία στο τέλος µίας τιµής δεν στρογγυλοποιούνται καθώς υποδηλώνουν την ακρίβειά της. Εάν θέλουµε να εκφράσουµε τη µέτρηση 15 cm σε χιλιοστά θα ήταν λάθος να γράψουµε 150 mm, αφού αυτό υποδηλώνει ότι η µέτρηση έχει τρία σηµαντικά ψηφία (ή αλλοιώς ακρίβεια 1 mm), αντί για σηµαντικά ψηφία (και ακρίβεια 1 cm) που είχε η αρχική µέτρηση. Ο ορθός τρόπος για να γίνουν µετρατροπές µονάδων είναι να γραφούν υπό µορφή δύναµης: στην προκειµένη περίπτωση mm. Με αυτό τον τρόπο κρατάµε τον ίδιο αριθµό σηµαντικών ψηφίων και υποδηλώνουµε ότι η ακρίβεια της µέτρησης είναι της τάξεως των 10 mm (ή 1 cm). Αντίθετα τα µηδενικά ψηφία στην αρχή µιας τιµής δεν είναι σηµαντικά ψηφία. Η παραπάνω µέτρηση µπορεί να γραφεί ως 0.15 m, η οποία έχει σηµαντικά ψηφία και υποδηλώνει ακρίβεια 1 cm. Το ίδιο ισχύει και εάν τη γράψουµε ως Km. Η τιµή αυτή έχει σηµαντικά ψηφία, και ακρίβεια Km, δηλαδή 1 cm. Για λόγους οικονοµίας όµως προτιµούµε να γράφουµε και αυτές τις µετρήσεις υπό τη µορφή δύναµης: Km. Έχει ιδαίτερη σηµασία τα σηµαντικά ψηφία µιας µέτρησης να συµφωνούν µε το σφάλµα της. Εάν γράψουµε (15.6±0.05) cm, τότε µε βάση την τιµή της µέτρησης δηλώνουµε ότι η ακρίβειά της είναι της τάξεως cm, ενώ µε βάση το σφάλµα της έχουµε ότι η ακρίβεια της είναι κατα πολύ µικρότερη. Εποµένως η παραπάνω γραφή είναι λάθος. Ο σωστός τρόπος για να γραφεί αυτή η τιµή είναι (15.6±0.05) cm, όπου τόσο η τιµή της µέτρησης όσο και το σφάλµα της δηλώνουν ότι έχει ακρίβεια ~0.01 cm. Ο αριθµός των σηµαντικών ψηφίων θα πρέπει να διατηρείται και όταν γίνονται αριθµητικές πράξεις. Ο γενικός κανόνας είναι ότι ο αριθµός των σηµαντικών ψηφίων του αποτελέσµατος καθορίζεται από την τιµή µε τη µικρότερη ακρίβεια, δηλαδή την τιµή µε τον µικρότερο αριθµό σηµαντικών ψηφίων. Ειδικότερα στην περίπτωση της πρόσθεσης και της αφαίρεσης το αποτέλεσµα θα έχει τόσα δεκαδικά ψηφία όσα και ο αριθµός µε τα λιγότερα δεκαδικά ψηφία. Εποµένως η πράξη θα µας δώσει. και όχι.5. Αυτό είναι αναµενόµενο αφού εάν προσθέσουµε µια τιµή µε µεγάλη ακρίβεια σε µια µικρότερη τιµή η οποία έχει πολύ µεγαλύτερη αβεβαιότητα, η ακρίβεια του αποτελέσµατος θα εξαρτηθεί από τη λιγότερο ακριβή τιµή. Τα µη σηµαντικά ψηφία στρογγυλοποιούνται µε βάση τους εξής κανόνες: Εάν το τελευταίο ψηφίο είναι µικρότερο του 5 τότε παραλείπεται (στρογγυλοποίηση προς τα κάτω). Εάν το τελευταίο ψηφίο είναι µεγαλύτερο του 5 τότε ο προηγούµενος αριθµός αυξάνεται κατά 1 (στρογγυλοποίηση προς τα πάνω) Το 5 στρογγυλοποιείται προς τον κοντινότερο άρτιο αριθµό (µε αυτό τον τρόπο ελαχιστοποιούµε τις αποκλίσεις λόγω στρογγυλοποίησης). 5

5 Η ίδια µέθοδος για τον προσδιορισµό των σηµαντικών ψηφίων σε αποτελέσµατα πράξεων ακολουθείται σε οποιαδήποτε άλλη πράξη. Εάν έχουµε αµφιβολία σχετικά µε τον αριθµό των σηµαντικών ψηφίων του αποτελέσµατος µιας πράξης µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε δυο µεθόδους για να τον εκτιµήσουµε: α) Η µέθοδος µε το ερωτηµατικό Συµπληρώνουµε τις τιµές µε τα λιγότερα σηµαντικά ψηφία µε ερωτηµατικά, και αντίστοιχα θέτουµε ερωτηµατικά στα ψηφία του αποτελέσµατος που προκύπτουν από αυτά τα ψηφία: ; +.3; ; 1.5; ; Εποµένως το αποτέλεσµα της παραπάνω πράξης έχει ένα δεκαδικό ψηφίο (όσα και ο αριθµός.3), και 3 σηµαντικά ψηφία. Η ίδια µέθοδος µπορεί να εφαρµοστεί και στις άλλες αριθµητικές πράξεις. Με αυτό τον τρόπο βρίσκουµε ότι το αποτέλεσµα δεν έχει ποτέ περισσότερα σηµαντικά ψηφία από το λιγότερο ακριβή αριθµό. β) Η µέθοδος µε το αβέβαιο ψηφίο. Σε αυτή την περίπτωση κάνουµε την πράξη µε όλα τα διαθέσιµα δεκαδικά ψηφία. Στη συνέχεια επαναλαµβάνουµε την πράξη αλλάζοντας όµως κατά 1 ή την τιµή του τελευταίου ψηφίου στη µέτρηση µε τα λιγότερα δεκαδικά ψηφία. Από το αρχικό αποτέλεσµα απορρίπτουµε όσα ψηφία βρίσκονται µετά από το ψηφίο που µεταβλήθηκε. Εποµένως στο πρώτο παράδειγµα που είδαµε, χωρίς να λάβουµε υπ οψιν µας τα σηµαντικά ψηφία το άθροισµα θα είναι: ( ) = Εάν αλλάξουµε το.3 σε.4 έχουµε: ( ) = 1.65 Εποµένως θα πρέπει να κρατήσουµε από το αρχικό αποτέλεσµα µέχρι και το πρώτο δεκαδικό ψηφίο, δηλαδή το αποτέλεσµα θα είναι 1.5. Αυτή η µέθοδος είναι ιδαίτερα χρήσιµη όταν κανουµε πιο πολύπλοκες πράξεις, π.χ. ύψωση σε δύναµη, υπολογισµό λογαρίθµων κ.λ.π. Στην περίπτωση πράξεων µε σταθερές, η σταθερά πρέπει να έχει περισσότερα σηµαντικά ψηφία από την ακριβέστερη τιµή ώστε να µην περιορίζει την ακρίβεια του αποτελέσµατος. Για παράδειγµα εάν θέλουµε να υπολογίσουµε την περίµετρο ενός δακτυλίου µε ακτίνα.05cm τότε η τιµή του π που θα χρησιµοποιήσουµε θα είναι π=3.1415, και η περίµετρος θα είναι = cm. 6

6 Στατιστική ερµηνεία των σφαλµάτων και σύγκριση µετρήσεων. Εάν πάρουµε µια σειρά µετρήσεων του ίδιου αµετάβλητου µεγέθους (π.χ. τη θερµοκρασία νερού που βράζει, τις διαστάσεις ενός αντικειµένου κ.λ.π.) και κάνουµε το ιστόγραµµα των τιµών τους θα δούµε ότι ακολουθούν την Κανονική κατανοµή ή κατανοµή Gauss. Οσο µεγαλύτερος είναι ο αριθµός των µετρήσεων τόσο καλύτερα θα προσοµοιάζει το ιστόγραµµα την Κανονική κατανοµή. Αυτό είναι αποτέλεσµα της τυχαίας φύσης των στατιστικών σφαλµάτων. Η Κανονική κατανοµή δίνεται από τη σχέση G(x) = 1 πσ e ( (x µ ) σ ) (3) όπου µ είναι η µέση τιµή της κατανοµής, και σ η τυπική της απόκλιση. Η µέση τιµή καθορίζει τη θέση του κέντρου της κατανοµής, ενώ η τυπική απόκλιση καθορίζει το + εύρος της (Σχήµα ). Οπως για κάθε κατανοµή πιθανότητας ισχύει ότι G(x)dx =1, 1 και ο παράγοντας κανονικοποίησης προκύπτει από αυτή ακριβώς την πσ απαίτηση. Η πιθανότητα να πάρουµε µια τιµή που θα είναι στο εύρος x ± dx είναι dp x = G(x)dx. Εποµένως η πιθανότητα να πάρουµε µια τιµή µεταξύ σ και +σ είναι +σ G(x)dx = 0.68 ή 68%. Λόγω συµµετρίας η πιθανότητα να πάρουµε µία τιµή στη σ περιοχή [-σ, µ] ή στην περιοχή [µ,+σ] είναι 34.1%. Στον ακόλουθο Πίνακα και Σχήµα δίνονται οι πιθανότητες να πάρουµε τιµές σε περιοχές της κανονικής κατανοµής µε διαφορετικό εύρος. Οι πιθανότητες αυτές είναι ανεξάρτητες της µέσης τιµής της κατανοµής. Πίνακας 1 Εύρος Πιθανότητα [-σ,σ] 68% [-σ, σ] 95.5% [-3σ,3σ] 99.7% [-5σ,5σ] % Σχήµα. Διάγραµµα της Κανονικής κατανοµής όπου φαίνεται η πιθανότητα να πάρουµε µια τιµή περιοχές διαφορετικού εύρους. 7

7 Αποδεικνύεται 1 ότι στο όριο που έχουµε αρκετές µετρήσεις (10 ή παραπάνω) η µέση τιµή της Κανονικής κατανοµής ισούται µε τη µέση τιµή των µετρήσεων ενώ η τυπική απόκλιση της Κανονικής κατανοµής ισούται µε την τυπική απόκλιση του δείγµατος σ x που υπολογίζεται όπως είδαµε µέσω της σχέσης σ x = 1 n 1 n =1 (x x ) Αυτό είναι ένα πολύ σηµαντικό αποτέλεσµα το οποίο µας επιτρέπει από τις ίδιες τις µετρήσεις να έχουµε µια πλήρη εικόνα της στατιστικής κατανοµής τους. Επιπλέον µας επιτρέπει να συγκρίνουµε τις µετρήσεις µας µε άλλες µετρήσεις ή µε τιµές που προβλέπονται από κάποια θεωρία. Για παράδειγµα εάν µετρήσουµε το σηµείο ζέσεως του νερού στους (100.5±0.1) C και θέλουµε να συγκρίνουµε κατά πόσο αυτή η τιµή συµφωνεί µε την αναµενόµενη τιµή των C σε πίεση 1atm αρκεί να δούµε πόσες τυπικές αποκλίσεις απέχουν οι δύο τιµές. Βρίσκουµε ότι δθ = ( ) C = 0.5 C. δηλαδή οι δύο τιµές απέχουν 0.5 C. Δεδοµένου όµως ότι το σφάλµα είναι σ Θ =0.1 C, η απόκλιση αυτή µεταφράζεται σε 5 τυπικές αποκλίσεις, ή 5σ. Δηλαδή όπως λέµε η αναµενόµενη τιµή βρίσκεται πολύ µακρύα από τη µέση τιµή των µετρήσεων, στην «ουρά» της κατανοµής των τελευατίων. Με βάση τον πίνακα 1 έχουµε ότι η πιθανότητα να πάρουµε µια τιµή στο εύρος [- 5σ,5σ] είναι %. Εποµένως η πιθανότητα να πάρουµε µια µέτρηση που θα απέχει 5σ ή περισσότερο από τη µέση τιµή των µετρήσεών µας είναι %. Η µε άλλα λόγια θα χρειαζόταν να πάρουµε ένα εκατοµµύριο µετρήσεις µε ακριβώς την ίδια πειραµατική διάταξη ώστε να έχουµε µια µέτρηση που να συµφωνεί µε την αναµενόµενη τιµή των C. Αυτό προφανώς είναι απίθανο, οπότε συµπεραίνουµε ότι οι δύο τιµές δεν συµφωνούν µεταξύ τους, πράγµα που σηµαίναι ότι είτε η αναµενόµενη τιµη είναι λάθος, είτε ότι οι συνθήκες του πειράµατος δεν είναι ιδανικές (π.χ. το νερό περιέχει προσµίξεις από άλατα). Συνήθως θεωρούµε ότι κάποια µέτρηση συµφωνεί µε την αναµενόµενη τιµή εάν απέχουν εώς και 3 τυπικές αποκλίσεις. 1 Η απόδειξη είναι πέρα από τους στόχους αυτής της εισαγωγής. Οµως µια πολύ καλή παρουσίαση βρίσκεται στο βιβλίο των Bevngton & Robnson. 8

8 Μετάδοση σφαλµάτων Μέχρι στιγµής είδαµε πως µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε µια σειρά µετρήσεων προκειµένου να εκτιµήσουµε την πραγµατική τιµή ενός µεγέθους και την ακρίβεια µε την οποία τη γνωρίζουµε. Στη συνέχεια θα δούµε πως µπορούµε να υπολογίσουµε την τιµή και το σφάλµα µιας παράγωγης ποσότητας που υπολογίζεται από τις µετρήσεις µας (για παράδειγµα ο όγκος µιας σφαίρας). α. Πιθανό Σφάλµα Ας θεωρήσουµε ότι µετράµε ένα µέγεθος και το σφάλµα του (α±δα), και ότι θέλουµε να υπολογίσουµε ένα µέγεθος β που συνδέεται µε το α µέσω της σχέσης β=f(α), καθώς και το σφάλµα του δβ. Η τιµή του β που θα αντιστοιχεί στη τιµή α θα είναι f(α). Αντίστοιχα οι τιµές του β που θα αντιστοιχούν στι ακραίες τιµές του α µε βάση το σφάλµα του (α-δα και α+δα) θα είναι β 1 = (α-δα) και β = f(α+δα). Τότε το σφάλµα του β θα είναι δβ = β 1 β = f(α+δα) f(α). Εάν πάρουµε το λόγο του δβ µε το δα θα δβ f (a +δa) f (a) έχουµε: = δa δa ή στο όριο που το δα είναι πολύ µικρό (δα 0) έχουµε Εποµένως δβ f (a +δa) f (a) f (a +δa) f (a) = lm df δa δa δa 0 δa da δβ = df da δa (4) Δηλαδή το σφάλµα στην ποσότητα β ισούται µε το σφάλµα της ποσότητας α επί την παράγωγο ως προς το α, της σχέσης που συνδέει τα δύο µεγέθη. Για παράδειγµα στην περίπτωση που θέλουµε να υπολογίσουµε τον όγκο µιας σφαίρας γνωρίζοντας την ακτίνα της (r±δr) αρκεί να πάρουµε την παράγωγο ως προς την ακτίνα της σχέσης που δίνει τον όγκο: δv = dv dr δr = d 4 dr 3 π r3 δr = 4π r δr Στην περίπτωση που η παράγωγος ποσότητα β προέρχεται από περισσότερα του ενός µετρούµενα µεγέθη α 1, α, α 3,..., α n, µέσω της σχέσης β = f(α 1, α, α 3,..., α n ) η παραπάνω σχέση µπορεί να γενικευθεί ως εξής: δβ = f δa 1 a 1 + f δa a + f δa 3 a f δa n a n (5) Αυτή είναι και η βασική σχέση που µας δίνει το σφάλµα µίας ποσότητας που υπολογίζεται µε βάση άλλες µετρούµενες ποσότητες. Το σφάλµα αυτό ονοµάζεται πιθανό σφάλµα. 9

9 Για παράδειγµα εάν θέλουµε να υπολογίσουµε τον όγκο ενός παραλληλόγραµµου, έχοντας µετρήσει τις πλευρές του (α±δα), (β±δβ) και (γ±δγ), το σφάλµα του όγκου θα είναι δv = V δa a V β δβ + V γ δγ = ( βγ δa) + ( aγ δβ) + ( aβ δγ ) β. Μέγιστο Δυνατό Σφάλµα Μερικές φορές µας ενδιαφέρει να γνωρίζουµε ποιό είναι το µεγαλύτερο δυνατό σφάλµα που µπορεί να έχει µια παράγωγη ποσότητα. Ας θεωρήσουµε ότι θέλουµε να δούµε ποιό είναι το µέγιστο σφάλµα του αθροίσµατος δύο µετρήσεων (α(α±δα), και (β±δβ)). Οι µέγιστες τιµές που µπορούν να πάρουν οι ποσότητες α και β είναι (α+δα) και (β+δβ), εποµένως η ανώτερη τιµή που µπορεί να πάρει το άθροισµά τους θα είναι (α+β+δα+δβ). Αντίστοιχα η µικρότερη τιµή που µπορεί να πάρει το άθροισµά τους θα είναι (α+β δα δβ) = (α+β)-(δα+δβ). Εποµένως το άθροισµα (α+β) κυµαίνεται µεταξύ (α+β)-(δα+δβ) και (α+β)+(δα+δβ). Αρα το µέγιστο σφάλµα του αθροίσµατος (α+β) θα είναι το άθρισµα των σφαλµάτων του (δα+δβ). δ(a 1 + a + + a n ) = δ(a 1 a a n ) = όπου δa είναι το σφάλµα της κάθε µέτρησης α. Για σύγκριση µε βάση τη σχέση (5) το πιθανό σφάλµα του αθροίσµατος θα είναι δ(a + β) = δa +δβ. Με τον ίδιο τρόπο βρίσκουµε ότι το µέγιστο σφάλµα στην περίπτωση της αφαίρεσης δύο ποσοτήτων ισούται µε το άθροισµα των σφαλµάτων τους. Στην περίπτωση πολλαπλασιασµού το σφάλµα του γινοµένου Γ=αβ θα είναι δa δa δγ = (a ± δa)(β ± δβ) = aβ 1± δa 1± δβ a β = aβ 1 ± δa a + δβ β ± δa a δβ β aβ 1 ± δa a + δβ β όπου χρησιµοποιήσαµε την προσέγγιση ότι ο όρος σχέση µε τους υπόλοιπους. δa a δβ είναι πολύ µικρός σε β 10

10 Στη γενικότερη περίπτωση ν όρων έχουµε Γ=α 1 α α ν µε δγ = a 1 a a ν 1± δa 1 + δa a 1 a + + δa ν a ν Αντίστοιχα µπορούµε να υπολογίσουµε σχέσεις για το µέγιστο δυνατό σφάλµα στην περίπτωση διάιρεσης. Εστω ότι Γ ± δγ = a ± δa β ± δβ = a 1± δa a β 1± δβ β Αναπτύσσοντας τον όρο ( 1± δβ β) 1 µε βάση τον τύπο του διωνύµου έχουµε Γ ± δγ = a ± δa β ± δβ = a β 1± δa a + δβ β + O όπου Ο είναι όροι ης τάξης και άνω οι οποίοι µπορούν να παραλειφθούν ως πολύ µικροί. Εποµένως Γ ± δγ = a β 1± δa a + δβ β Που έχει παρόµοια µορφή µε τη µορφή της σχέσης για τον πολλαπλασιασµό. Το µέγιστο δυνατό σφάλµα µας δίνει µια συντηρητική εκτίµηση του σφάλµατος η οποία υπερεκτιµά το πραγµατικό σφάλµα. Γι αυτό το λόγο σε όλες τις περιπτώσεις θα χρησιµοποιούµε το πιθανό σφάλµα. 11

11 Α.. Γραφικές Παραστάσεις Τις περισσότερες φορές όταν εκτελούµε ένα πείραµα µας ενδιαφέρει να βρούµε τη σχέση που συνδέει δυο φυσικά µεγέθη, είτε για να υπολογίσουµε κάποια χαρακτηριστική ποσότητα, είτε για να διερευνήσουµε το φυσικό νόµο που τα συνδέει. Για παράδειγµα µετρώντας την απόσταση που διανύει ένα σώµα που κινείται χωρίς την επίδραση άλλων δυνάµεων, συναρτήσει του χρόνου µπορούµε να αποδείξουµε ότι η απόσταση εξαρτάται γραµµικά από τον χρόνο. Επιπλέον από τη σταθερά αναλογίας µπορούµε να µετρήσουµε την ταχύτητα του σώµατος. Ο καλύτερος τρόπος για να µελετήσουµε τη σχέση που συνδέει δύο µεγέθη είναι να παραστήσουµε γραφικά το ένα µέγεθος συναρτήσει του άλλου, δηλαδή να κατασκευάσουµε µια γραφική παράσταση. Γραµµικές σχέσεις Η πιό απλή περίπτωση σχέσης µεταξύ δύο µεγεθών (έστω y και x) είναι η γραµµική σχέση: y = α x + β το διάγραµµα της οποίας θα είναι µια ευθεία γραµµή. Σε αυτή την περίπτωση το x λέγεται ανεξάρτητη µετραβλητή και το y λέγεται εξαρτηµένη µεταβλητή αφού η τιµή του εξαρτάται από την τιµή του x. Το α είναι η κλίση της ευθείας, ενώ το β είναι η τεταγµένη του σηµείου που τέµνει η ευθεία τον άξονα yyʹ (δηλαδή η απόστασή του από το σηµείο y=0) και ονοµάζεται διατοµή. Για να βρούµε τις τιµές των α και β (οι οποίες χαρακτηρίζουν πλήρως την ευθεία) αρκεί να έχουµε µετρήσεις του y για διαφορετικές τιµές του x. Για παράδειγµα έστω ότι µελετάµε την ελεύθερη πτώση ενός σώµατος. Η σχέση που συνδέει την ταχύτητά του (εξαρτηµένη µεταβλητή) µε το χρόνο (ανεξάρτητη µεταβλητή) είναι υ = υ 0 + at όπου υ είναι η ταχύτητα, t είναι ο χρόνος από την έναρξη των µετρήσεων, α η επιτάχυνση της βαρύτητας, και υ 0 η αρχική ταχύτητα (τη χρονική στιγµή t=0 sec). Εποµένως για να βρούµε την επιτάχυνση της βαρύτητας αρκεί να πάρουµε µετρήσεις της ταχύτητας υ σε διαφορετικά χρονικά διαστήµατα t από τη έναρξη του πειράµατος. Μία τέτοια σειρά µετρήσεων φαίνεται στον ακόλουθο πίνακα Πίνακας : Πινακας Μετρήσεων t ( 10 - sec) 1.0±0. 5.0± ± ± ± ±0.5 υ (cm/sec) 58±5 90±10 130±10 140±10 160±10 10±10 Στο Σχήµα 3 φαίνεται το διάγραµµα της ταχύτητας συναρτήσει του χρόνου το οποίο κατασκευάστηκε απεικονίζοντας τα παραπάνω ζεύγη µετρήσεων σε ένα σύστηµα αξόνων x-y το οποίο έχει βαθµονοµηθεί κατάλληλα ώστε ο άξονας xxʹ να αντιστοιχεί στο χρόνο και ο άξονας yyʹ να αντιστοιχεί στην ταχύτητα. Σε κάθε µέτρηση φαίνονται και τα αντίστοιχα σφάλµατα στη ταχύτητα και το χρόνο τα οποία έχουν απεικονιστεί ως ευθύγραµµα τµήµατα µήκους ίσου µε το µέγεθος του σφάλµατος. 1

12 Σχήµα 3. Παράδειγµα Γραφικής Παράστασης µε βάση τα δεδοµένα του Πίνακα. Επίσης φαίνεται και η ευθεία η οποία έχει χαραχθεί µε τέτοιο τρόπο ώστε η απόσταση της από το κάθε σηµείο να είναι η µικρότερη δυνατή. Παρατηρούµε ότι τα πειραµατικά σηµεία δεν βρίσκονται ακριβώς πάνω στην ευθεία, αλλά έχουν µικρές αποκλίσεις εκατέρωθεν της ευθείας. Αυτό είναι αναµενόµενο δεδοµένου ότι οι µετρήσεις έχουν σφάλµατα τα οποία τις κάνουν να αποκλίνουν από τις πραγµατικές τιµές. Παρατηρούµε όµως και ότι κανένα σηµείο δεν απέχει από την ευθεία περισσότερο από το σφάλµα της αντίστοιχης µέτρησης. Αυτό είναι µια καλή ένδειξη για την ποιότητα των µετρήσεων. Από το τρίγωνο ΑΒΓ µπορούµε να υπολογίσουµε την κλίση της ευθείας (δηλαδή την ταχύτητα) ως a = BΓ 105cm /sec = = 954.4cm /sec AB 0.11sec Η απόσταση ΟΔ ισούται µε τη διατοµή της ευθείας και µας δίνει την αρχική ταχύτητα του σώµατος. Το γεγονός ότι η διατοµή είναι µη µηδενική σηµαίνει ότι το σώµα είχε κάποια αρχική ταχύτητα τη στιγµή t=0 sec. Το σφάλµα της κλίσης µπορεί να υπολογιστεί χαράζοντας δύο ακόµα ευθείες, που θα αντιστοιχούν στις ευθείες µε τη µικρότερη (α mn ) και µεγαλύτερη (α max ) κλίση. Τότε το σφάλµα της κλίσης θα είναι δα= α mn - α max /. Αντίστοιχα η διατοµές των δύο αυτών ευθειών θα µας δώσουν το σφάλµα της διατοµής δβ= β max - β mn /. 13

13 Μη Γραµµικές σχέσεις Στην περίπτωση µη γραµµικών σχέσεων όπως για παράδειγµα νόµοι δύναµης ( y = Ax b ) ή εκθετικοί νόµοι ( y = Ae b ), προκειµένου να εκτιµήσουµε τις παραµέτρους τους (δηλαδή τις τιµές των Α και b) θα πρέπει πρώτα να τις γραµµικοποιήσουµε. Στην περίπτωση των νόµων δύναµης η γραµµικοποίηση γίνεται λογαριθµίζοντας και τα δύο µέλη. Τότε έχουµε: y = Ax b log y = log( Ax b ) log y = log A + blog x Εποµένως εάν παραστήσουµε γραφικά το log y συναρτήσει του log x, τότε από την κλίση της ευθείας έχουµε τον εκθέτη b, ενώ από τη διατοµή µπορούµε να υπολογίσουµε τον παράγοντα Α. Αυτή η µέθοδος για παράδειγµα εφαρµόζεται εάν θέλουµε να δούµε µε ποιό τρόπο εξαρτάται η ελκτική δύναµη µεταξύ δύο γνωστών µαζών από την απόστασή τους. Το πείραµα που θα κάναµε σε αυτή την περίπτωση θα ήταν να πάρουµε δύο γνωστές µάζες, και να µετρήσουµε την ελκτική τους δύναµη για διαφορετικές αποστάσεις. Οπως γνωρίζουµε από το Νόµο της Παγκόσµιας Ελξης η σχέση αυτή είναι µη γραµµική ( F = G m 1m ), εποµένως εάν κάνουµε το διάγραµµα της δύναµης r συναρτήσει της απόστασης (F-r) θα πάρουµε µια καµπύλη (Σχήµα 4) η οποία δεν µας επιτρέπει την εκτίµηση της δύναµης στην οποία είναι υψωµένη η απόσταση. Αντίθετα εάν κάνουµε το διάγραµµα logf συναρτήσει του logr, θα έχει τη µορφή ευθείας η κλίση της οποίας θα ισούται µε τη δύναµη που είναι υψωµένη η απόσταση (b=), και η διατοµή της θα ισούται µε log(gm 1 m ) (Σχήµα 4). Διαγράµµατα αυτής της µορφής ονοµάζονται λογαριθµικά. Σχήµα 4: Διάγραµµα της δύναµης συναρτήσει της απόστασης (αριστερά) και του λογάριθµου της δύναµης συναρτήσει του λογάριθµου της απόστασης (δεξιά). Προφανώς το λογαριθµοκό διάγραµµα είναι πιο εύχρηστο για τη µελέτη της συσχέτισης των δυο µεγεθών. 14

14 Στην περίπτωση εκθετικών νόµων η γραµµικοποίηση γίνεται παίρνοντας το φυσικό λογάριθµο και των δύο µελών: y = Ae b ln y = ln Ae b ( ) ln y = ln A + bx Εποµένως κάνοντας το διάγραµµα ln y συναρτήσει του t µπορούµε από την κλίση να υπολογίσουµε τη δύναµη b και από τη διατοµή τον παράγοντα ln A. Σχέσεις τέτοιας µορφής περιγράφουν πολλά φυσικά φαινόµενα, όπως τη µεταβολή του πλάτους σε µια αποσβενύµενη ταλάντωση, την απορρόφηση ακτινοβολίας, τον αριθµό των αδιάσπαστων πυρήνων ενός ραδιενεργού υλικού, κ.α. Διαγράµµατα αυτής της µορφής ονοµάζονται ηµιλογαριθµικά, καθώς ο άξονας της ανεξάρτητης µεταβλητής είναι γραµµικός. Κανόνες για την κατασκευή διαγραµµάτων Για τη κατασκευή σωστών γραφικών παραστάσεων που περιέχουν όλες τις απαραίτητες πληροφορίες θα πρέπει να ακολουθείται η εξής διαδικασία: 1. Πρώτα χαράσουµε τους άξονες. Οι άξονες θα πρέπει να απέχουν από τα όρια της σελίδας ώστε να υπάρχει περιθώριο για τη βαθµονόµησή και την περιγραφή τους.. Βαθµονοµούµε τους άξονες. Η βαθµονόµηση θα πρέπει να γίνει µε τέτοιο τρόπο ώστε να χρησιµοποιούµε όλη τη επιφάνεια του χαρτιού. Εάν οι τιµές των πρώτων µετρήσεων απέχουν πολύ από το 0, τότε η βαθµονόµηση µπορεί να αρχίσει από µια µεγαλύτερη τιµή. 3. Κάτω ή δίπλα σε κάθε άξονα σηµειώνουµε σε ποιό φυσικό µέγεθος αναφέρεται καθώς και τις µονάδες µέτρησής του. 4. Τοποθετούµε τις µετρήσεις πάνω στο καρτεσιανό σύστηµα που δηµιουργήσαµε µε τη βαθµονόµηση. Η κάθε µέτρηση σηµειώνεται µε µια τελεία. Δεν σηµειώνουµε ούτε τις τιµές των µετρήσεων, ούτε την τεταγµένη ή την τετµηµένη των σηµείων πάνω στους άξονες. 5. Σε κάθε σηµείο τοποθετούµε και το αντίστοιχο σφάλµα ως ένα ευθύγραµµο τµήµα µήκους ίσου µε το µέγεθος του σφάλµατος. 6. Σχεδιάζουµε την καλύτερη ευθεία (ή καµπύλη στη γενικότερη περίπτωση). Η καλύτερη ευθεία είναι αυτή ή οποία απέχει την ελάχιστη δυνατή απόσταση από το κάθε ένα σηµείο. Προφανώς λόγω των σφαλµάτων τα σηµεία των µετρήσεων δεν θα πέφτουν ακριβώς πάνω στην ευθεία. 7. Για τον υπολογισµό της κλίσης της ευθείας σχηµατίζουµε ένα τρίγωνο (σχετικά µεγάλο) επιλέγοντας δυο αποµακρυσµένα σηµεία (x 1,y 1 ) και (x,y ) επί της ευθείας (Σχήµα 3). Τα σηµεία αυτά δεν θα πρέπει να αντιστοιχούν σε µετρήσεις. Από το λόγο των πλευρών του τριγώνου έχουµε όπως αναφέρθηκε και προηγουµένως ότι η κλίση της ευθείας θα είναι: a = Δy Δx = y y 1 x x 1 8. Η διατοµή της ευθείας δίνεται από την τεταγµένη του σηµείου που τέµνει τον άξονα yyʹ. Εάν η βάθµονόµηση του άχονα xxʹ δεν έχει αρχίσει από το 0 τότε η τεταγµένη δεν µπορεί να υπολογιστεί µε αυτό τον τρόπο. 9. Σηµειώνουµε σε ένα κενό µέρος του διαγράµµατος τον τίτλο του. 15

15 Α. 3. Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων Στην προηγούµενη ενότητα είδαµε ότι µπορούµε να βρούµε τις παραµέτρους µιας γραµµικής σχέσης από τη γραφική παράσταση των µεγεθών που εκφράζει. Σε αυτή την ενότητα θα αναπτύξουµε µια µαθηµατική µέθοδο η οποία θα µας δίνει αυτές τις παραµέτρους µε βάση τις µετρήσεις µας. Η µέθοδος αυτή λέγεται µέθοδος ελαχίστων τετραγώνων. Εστω ότι έχουµε Ν ζεύγη µετρήσεων (x,y ) για δύο φυσικά µεγέθη Χ και Υ. Εάν η σχέση µεταξύ των µεγεθών εκφράζεται από την εξίσωση y = ax + b, τότε οι τιµές των παραµέτρων a και b θα είναι αυτές για τις οποίες ελαχιστοποιείται η απόσταση της ευθείας από τα σηµεία των µετρήσεων. Η απόσταση του κάθε σηµείου από την ευθεία είναι s = y (ax b) όπου (x,y ) είναι οι τιµές των µετρήσεων και (ax b) η τεταγµένη της ευθείας στο x = x. Δεδοµενου ότι το s µπορεί να πάρει τόσο θετικές όσο και αρνητικές τιµές, και προκειµένου να λάβουµε υπ όψιν µας όλα τα σηµεία παίρνουµε το άθροισµα των τετραγώνων των s για όλες τις µετρήσεις: N N S = s = y (ax b) =1 =1 ( ) Η ευθεία η οποία περιγράφει καλύτερα όλα τα σηµεία είναι αυτή για την οποία η ποσότητα S ελαχιστοποιείται. Δηλαδή τα ζητούµενα a και b είναι αυτά που ελαχιστοποιούν το S: S a = 0 a S b = 0 b N =1 N =1 ( y (ax b) ) = 0 ( y (ax b) ) = 0 Από το σύστηµα των δύο παραπάνω εξισώσεων µπορούµε να βρούµε τα a και b συναρτήσει των µετρήσεων (x,y ): x y x y a = N ( x ) x N y b = N a x N όπου οι αθροίσεις γίνονται για όλες τις µετρήσεις. 16

16 Κατά τον υπολογισµό των παραπάνω σχέσεων δεν λάβαµε υπ οψιν µας την ύπαρξη σφαλµάτων. Εάν οι µετρήσεις του y έχουν και σφάλµατα τα οποία ακολουθούν την κανονική κατανοµή τότε θα πρέπει να τα λάβουµε υπ οψιν µας υπό τη µορφή συντελεστών βαρύτητας στον υπολογισµό του S. Εάν οι µετρήσεις είναι (( y ± σ ),x ), τότε η σχέση για το άθροισµα των τετραγώνων S παίρνει τη µορφή: N N s S = ( σ = y ( ax b) ) σ =1 =1 Δηλαδή µετρήσεις µε µεγάλα σφάλµατα δεν συνεισφέρουν σηµαντικά στο άθροισµα S, και κατά συνέπεια δεν επηρεάζουν όσο οι άλλες µετρήσεις τον υπολογισµό των παραµέτρων της ευθείας. Ακολουθωντας την ίδια µέθοδο όπως παραπάνω µπορούµε να υπολογίσουµε την κλίση a και τη διατοµή b συναρτήσει των µετρήσεων (( y ± σ ),x ). a = 1 1 x y x y Δ σ σ σ σ b = 1 x y Δ σ σ x x y σ σ όπου Δ = 1 σ x σ x σ Δεδοµένου ότι τώρα έχουµε πληροφορίες και για την ακρίβεια των µετρήσεων µπορούµε να υπολογίσουµε και τα σφάλµατα των παραµέτρων a και b. δa = 1 Δ 1 σ δb = 1 Δ x σ Λεπτοµερής απόδειξη των παραπάνω σχέσεων µπορεί να βρεθεί σε βιβλία ανάλυσης πειραµατικών µετρήσεων, όπως για παράδειγµα το Data Reducton and Error Analyss for the Physcal Scences, (Bevngton & Robnson, Mc Graw Hll). Στη παραπάνω ανάλυση θεωρήσαµε σφάλµατα µόνο στην εξαρτηµένη µεταβλητή y. Η ανάλυση για σφάλµατα και στις δύο µεταβλητές είναι πιο πολύπλοκη και δεν θα µας απασχολήσει εδώ. Η µέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων µπορεί να γενικευθεί για πολυώνυµα ν- βαθµού. Γενικά σε κάθε σειρά n µετρήσεων µπορεί να προσαρµοσθεί ένα πολυώνυµο n- βαθµού. 17

17 Επιπλέον µε τον ίδιο τρόπο µπορούν να υπολογιστούν εξισώσεις που δίνουν τους συντελεστές ελαχίστων τετραγώνων για καµπύλες που αντιστοιχούν σε νόµους δύναµης, εκθετικές ή λογαριθµικές εξισώσεις κ.λ.π. Στα εργαστήρια, θα µας απασχολήσουν µόνο γραµµικές σχέσεις, όµως οι γενικότερες εξισώσεις ελαχίστων τετραγώνων για µη γραµµικές σχέσεις µπορούν να βρεθούν σε βιβλία ανάλυσης πειραµατικών µετρήσεων. Βιβλιογραφία Χαλδούπης Χ., Εργαστηριακές Ασκήσεις Φυσικής, Μηχανική-Θερµότητα, Ηράκλειο 1977 Bevngton P. R. & Robnson D. K., Data Reducton and Error Analyss for the Physcal Scences, Mc Graw Hll,

ΠΕΙΡΑΜΑ III Μελέτη Ελευθερης Πτώσης

ΠΕΙΡΑΜΑ III Μελέτη Ελευθερης Πτώσης ΠΕΙΡΑΜΑ III Μελέτη Ελευθερης Πτώσης Σκοπός πειράµατος Στο πείραµα αυτό θα µελετήσουµε την κίνηση ενός σώµατος καθώς πέφτει ελεύθερα υπό την επίδραση του βάρους του. Πιο συγκεκριµένα θα επαληθεύσουµε τις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑ I Απλές Μετρήσεις και Σφάλµατα

ΠΕΙΡΑΜΑ I Απλές Μετρήσεις και Σφάλµατα ΠΕΙΡΑΜΑ I Απλές Μετρήσεις και Σφάλµατα Σκοπός πειράµατος Στο πείραµα αυτό θα χρησιµοποιήσουµε βασικά όργανα του εργαστηρίου (διαστηµόµετρο, µικρόµετρο, χρονόµετρο) προκειµένου να: Να µετρήσουµε την πυκνότητα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑ IV Απλή κυκλική κίνηση. Κεντροµόλος Δύναµη

ΠΕΙΡΑΜΑ IV Απλή κυκλική κίνηση. Κεντροµόλος Δύναµη ΠΕΙΡΑΜΑ IV Απλή κυκλική κίνηση. Κεντροµόλος Δύναµη Σκοπός πειράµατος Στο πείραµα αυτό θα µελετήσουµε την κυκλική κίνηση µίας σηµειακής µάζας και ιδιαίτερα την εξάρτηση της κεντροµόλου δύναµης από τη µάζα,

Διαβάστε περισσότερα

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. Σφάλματα Κάθε μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους χαρακτηρίζεται από μία αβεβαιότητα που ονομάζουμε σφάλμα, το οποίο αναγράφεται με τη μορφή Τιμή ± αβεβαιότητα π.χ έστω ότι σε ένα πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Ιαν. 9 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Είδαµε στο κεφάλαιο της παρεµβολής συναρτήσεων πώς να προσεγγίζουµε µια (συνεχή) συνάρτηση f από ένα πολυώνυµο, όταν γνωρίζουµε + σηµεία του γραφήµατος της συνάρτησης:

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΣΚΟΠΟΙ Η αισθητοποίηση του φαινοµένου του ηχητικού συντονισµού Η κατανόηση της αρχής λειτουργίας των πνευστών οργάνων ΥΛΙΚΑ-ΟΡΓΑΝΑ

ΣΚΟΠΟΙ Η αισθητοποίηση του φαινοµένου του ηχητικού συντονισµού Η κατανόηση της αρχής λειτουργίας των πνευστών οργάνων ΥΛΙΚΑ-ΟΡΓΑΝΑ ΜΕΛΕΤΗ ΣΤΑΣΙΜΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΣΩΛΗΝΑ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ ΤΟΥ ΗΧΟΥ ΣΤΟΝ ΑΕΡΑ ΣΚΟΠΟΙ Η αισθητοποίηση του φαινοµένου του ηχητικού συντονισµού Η κατανόηση της αρχής λειτουργίας των πνευστών οργάνων ΥΛΙΚΑ-ΟΡΓΑΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ.

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ. Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεφάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.1 Πίνακες, κατανομές, ιστογράμματα... 1 1.2 Πυκνότητα πιθανότητας, καμπύλη συχνοτήτων... 5 1.3

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι ΜΗΧΑΝΙΚΗ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΦΥΣ 114 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι ΜΗΧΑΝΙΚΗ Φθινόπωρο 010 Διδάσκων/Υπεύθυνος: Φώτης Πτωχός e-mail: fotis@ucy.ac.cy Τηλ:.89.837 Γραφείο: B35 web-page: http://www.ucy.ac.cy/~fotis/phy114/phy114.htm Γραφικές παραστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

!n k. Ιστογράμματα. n k. x = N = x k

!n k. Ιστογράμματα. n k. x = N = x k Ιστογράμματα Τα ιστογράμματα αποτελούν ένα εύχρηστο οπτικό τρόπο για να εξάγουμε την κατανομή που ακολουθούν μια σειρά μετρήσεων ενός μεγέθους αλλά και παράλληλα δίνουν τη δυνατότητα για εύκολη στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Κίνηση σε µία διάσταση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 2 Κίνηση σε µία διάσταση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο Κίνηση σε µία διάσταση Copyright 9 Pearson Education, Inc. Περιεχόµενα Κεφαλαίου Συστήµατα Αναφοράς και µετατόπιση Μέση Ταχύτητα Στιγµιαία Ταχύτητα Επιτάχυνση Κίνηση µε σταθερή επιτάχυνση Προβλήµατα

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση κατανοµής ηλεκτρικού πεδίου

Μέτρηση κατανοµής ηλεκτρικού πεδίου ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 31 3. Άσκηση 3 Μέτρηση κατανοµής ηλεκτρικού πεδίου 3.1 Σκοπός της Εργαστηριακής Άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η µέτρηση της κατανοµής του ηλεκτρικού πεδίου Ε, µπροστά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή, Μετρήσεις, Προσεγγίσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή, Μετρήσεις, Προσεγγίσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή, Μετρήσεις, Προσεγγίσεις Η Φύση της Επιστήµης Ενότητες Κεφαλαίου 1 Μοντέλα Θεωρίες και Νόµοι Μετρήσεις και αβεβαιότητα (σφάλµατα); Σηµαντικά ψηφία Μονάδες, Πρότυπα, και το Διεθνές Σύστηµα

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Μετρήσεις Αβεβαιότητες Μετρήσεων

Μετρήσεις Αβεβαιότητες Μετρήσεων Μετρήσεις Αβεβαιότητες Μετρήσεων 1. Σκοπός Σκοπός του μαθήματος είναι να εξοικειωθούν οι σπουδαστές με τις βασικές έννοιες που σχετίζονται με τη θεωρία Σφαλμάτων, όπως το σφάλμα, την αβεβαιότητα της μέτρησης

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ.

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ. Λυµένη Άσκηση στην οµαδοποιηµένη κατανοµή Στην Γ τάξη του Ενιαίου Λυκείου µιας περιοχής φοιτούν 4 µαθητές των οποίων τα ύψη τους σε εκατοστά φαίνονται στον ακόλουθο πίνακα. 7 4 76 7 6 7 3 77 77 7 6 7 6

Διαβάστε περισσότερα

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ-ΦΥΣΙΚΗ Ι, 2013-14

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ-ΦΥΣΙΚΗ Ι, 2013-14 ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Με τη λέξη σφάλμα στις θετικές επιστήμες αναφερόμαστε στην αβεβαιότητα που υπάρχει στην εύρεση του αποτελέσματος που προκύπτει από μια μέτρηση. Το να εκτιμήσουμε και να βρούμε τα σφάλμα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων ΘΕ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων 1. Σκοπός Πρόκειται για θεωρητική άσκηση που σκοπό έχει την περιληπτική αναφορά σε θεµατολογίες που αφορούν την

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισµός συντελεστή γραµµικής διαστολής

Προσδιορισµός συντελεστή γραµµικής διαστολής Θ1 Προσδιορισµός συντελεστή γραµµικής διαστολής 1. Σκοπός Στην άσκηση αυτή θα µελετηθεί το φαινόµενο της γραµµικής διαστολής και θα προσδιοριστεί ο συντελεστής γραµµικής διαστολής ορείχαλκου ή χαλκού..

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t, t,..., t ν οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής Χ ενός δείγµατος µεγέθους ν, που έχουν µέση τιµή x. Σχηµατίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ .3 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 00 04 Α ΟΜΑ ΑΣ. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Αν είναι ο ποιο µικρός άρτιος τότε οι ζητούµενοι αριθµοί θα είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στα πλαίσια της ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ προσπαθούµε να προσεγγίσουµε τα χαρακτηριστικά ενός συνόλου (πληθυσµός) δια της µελέτης των χαρακτηριστικών αυτών επί ενός µικρού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 0 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο, να αποδείξετε ότι (f() + g ()) f () + g (),. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραµα µε ισοπίθανα

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο 9.1 ηµιουργία µοντέλων πρόβλεψης 9.2 Απλή Γραµµική Παλινδρόµηση 9.3 Αναλυτικά για το ιάγραµµα ιασποράς

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Δομής της Ύλης και Φυσικής Λέιζερ

Εργαστήριο Δομής της Ύλης και Φυσικής Λέιζερ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Εργαστήριο Δομής της Ύλης και Φυσικής Λέιζερ Παρουσίαση οργάνωσης των Εργαστηρίων Φυσικής Ι Ακαδ. Έτους 2013-14 http://www.physicslab.tuc.gr physicslab@isc.tuc.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑ II-α Aπλό εκκρεµές

ΠΕΙΡΑΜΑ II-α Aπλό εκκρεµές ΠΕΙΡΑΜΑ II-α Aπλό εκκρεµές Σκοπός πειράµατος Στο πείραµα αυτό θα µελετήσουµε το απλό ή µαθηµατικό εκκρεµές και θα µετρήσουµε την επιτάχυνση της βαρύτητας. Θα εξετάσουµε λοιπόν πειραµατικά τα εξής: Την

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ 114 - Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα

ΦΥΣ 114 - Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα ΦΥΣ 114 - Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα q Θεωρία: Η απάντηση που ζητάτε είναι αποτέλεσμα μαθηματικών πράξεων και εφαρμογή τύπων. Το αποτέλεσμα είναι συγκεκριμένο q Πείραμα: Στηρίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A A. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι f g f g,. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Ροπή αδράνειας. q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: I = m(2r) 2 = 4mr 2

Ροπή αδράνειας. q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: I = m(2r) 2 = 4mr 2 ΦΥΣ 131 - Διαλ.22 1 Ροπή αδράνειας q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: m (α) m (β) m r r 2r 2 2 I =! m i r i = 2mr 2 1 I = m(2r) 2 = 4mr 2 Ø Είναι δυσκολότερο να προκαλέσεις περιστροφή

Διαβάστε περισσότερα

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ)

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) ΜΙΧΑΛΗΣ ΤΖΟΥΜΑΣ ΕΣΠΟΤΑΤΟΥ 3 ΑΓΡΙΝΙΟ. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η έννοια της συνάρτησης είναι στενά συνυφασµένη µε τον πίνακα τιµών και τη γραφική παράσταση.

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ 22 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2015 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ 22 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2015 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 5 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο A. Να δώσετε τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης στο πεδίο ορισμού της. ( Μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα Κεφάλαιο M3 Διανύσµατα Διανύσµατα Διανυσµατικά µεγέθη Φυσικά µεγέθη που έχουν τόσο αριθµητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούµε µε τις µαθηµατικές πράξεις των

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΕΣ Ε. Σπανάκης, Δ. Θεοδωρίδης, Δ. Στεφανάκης, Γ.Φανουργάκης & ΜΤΠΧ

ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΕΣ Ε. Σπανάκης, Δ. Θεοδωρίδης, Δ. Στεφανάκης, Γ.Φανουργάκης & ΜΤΠΧ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι ΕΤΥ203 3 Ώρες εργαστηρίου την ημέρα Προαπαιτούμενo: Φυσική Ι (ΕΤΥ101) Βαθμός Μαθήματος: 0.1*(Μ.Ο. Βαθμών προφορικής εξέτασης) + 0.5*(Μ.Ο. Βαθμών Αναφορών) + 0.4*(Βαθμός Τελικής εξέτασης

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από µία σχισµή.

Περίθλαση από µία σχισµή. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 71 7. Άσκηση 7 Περίθλαση από µία σχισµή. 7.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών µε την συµπεριφορά των µικροκυµάτων

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο R, να αποδείξετε ότι (f() + g() )=f ()+g (), R Μονάδες 7 Α. Σε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ. Αν δεν είσαι σε θέση να µετρήσεις, τότε η γνώση σου είναι φτωχή και ανεπαρκής (T.S. Kuhn)

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ. Αν δεν είσαι σε θέση να µετρήσεις, τότε η γνώση σου είναι φτωχή και ανεπαρκής (T.S. Kuhn) ΑΣΚΗΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Αν δεν είσαι σε θέση να µετρήσεις, τότε η γνώση σου είναι φτωχή και ανεπαρκής (T.S. Kuhn) . Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ Μέτρηση ενός φυσικού µεγέθους ονοµάζεται η σύγκρισή του µε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο.

Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο. Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο. 3.01. Έργο κατά την μετακίνηση φορτίου. Στις κορυφές Β και Γ ενόςισοπλεύρου τριγώνου ΑΒΓ πλευράς α= 2cm, βρίσκονται ακλόνητα δύο σηµειακά ηλεκτρικά φορτία q 1 =2µC και q 2 αντίστοιχα.

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Η διατήρηση της μηχανικής ενέργειας στην ελεύθερη πτώση.

Η διατήρηση της μηχανικής ενέργειας στην ελεύθερη πτώση. Η διατήρηση της μηχανικής ενέργειας στην ελεύθερη πτώση. (µε τη βοήθεια χρονοφωτογράφισης) Αφήνουµε µια µικρή σφαίρα, µάζας 0,2kg, να πέσει ελεύθερα, δίπλα σε ένα χάρακα, βαθµολογηµένο σε cm και τραβήξαµε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ιαφάνειες για το µάθηµα Information Management ΑθανάσιοςΝ. Σταµούλης 1 ΠΗΓΗ Κονδύλης Ε. (1999) Στατιστικές τεχνικές διοίκησης επιχειρήσεων, Interbooks 2 1 Γραµµική παλινδρόµηση Είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ 6.. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Για τον υπολογισµό των τάσεων και των παραµορφώσεων ενός σώµατος, που δέχεται φορτία, δηλ. ενός φορέα, είναι βασικό δεδοµένο ή ζητούµενο

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο.

Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 63 6. Άσκηση 6 Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο. 6.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης αυτής, καθώς και των δύο εποµένων, είναι η γνωριµία των σπουδαστών

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688. Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 1

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688. Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 1 ο Αχαρνών 97 Αγ Νικόλαος 086596 ο Αγγ Σικελιανού Περισσός 078688 Ε ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 7 t t 5 Ο πληθυσµός µιας κοινωνίας βακτηριδίων δίνεται από τον τύπο P(t) = e e σε δεκάδες µικρόβια και t 0 Α Να αποδειχθεί

Διαβάστε περισσότερα

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1 6. ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Οι συντεταγµένες σηµείου Ο Ο άξονας τετµηµένων άξονας τεταγµένων (ΟΚ) µε πρόσηµο = α, η τετµηµένη του Μ (ΟΛ) µε πρόσηµο = β, η τεταγµένη του Μ Το ζευγάρι (α,

Διαβάστε περισσότερα

sin ϕ = cos ϕ = tan ϕ =

sin ϕ = cos ϕ = tan ϕ = Τ.Ε.Ι. ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ 1 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1 ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ MQN ΣΕ ΟΚΟ ιδάσκων: Αριστοτέλης Ε. Χαραλαµπάκης Εισαγωγή Με το παράδειγµα αυτό αναλύεται

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ. Εισαγωγή

Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ. Εισαγωγή Εισαγωγή Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ Ξεκινάµε την εργαστηριακή µελέτη της Ψηφιακής Λογικής των Η/Υ εξετάζοντας αρχικά τη µορφή των δεδοµένων που αποθηκεύουν και επεξεργάζονται οι υπολογιστές και προχωρώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ http://www.economics.edu.gr 1 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ( τρόποι επίλυσης παρατηρήσεις σχόλια ) ΑΣΚΗΣΗ 1 Έστω ο πίνακας παραγωγικών δυνατοτήτων µιας

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ.

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. Ν. Ε. Ηλιού Επίκουρος Καθηγητής Τµήµατος Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστηµίου Θεσσαλίας Γ.. Καλιαµπέτσος Επιστηµονικός

Διαβάστε περισσότερα

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1) ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους Μάθημα 1 ου Εξαμήνου 2Θ+2Φ(ΑΠ) Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΒΙΒΛΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ . ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ. Γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους, y Λέγεται κάθε εξίσωση της µορφής α + βy = γ, µε α 0 ή β 0. Γραφική παράσταση γραµµικής εξίσωσης Κάθε γραµµική εξίσωση α + βy = γ παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών Συµπληρωµατικές σηµειώσεις για το µάθηµα Αλγόριθµοι Επικοινωνιών Ακαδηµαϊκό έτος 2011-2012 1 Εισαγωγή Οι παρακάτω σηµειώσεις παρουσιάζουν την ανάλυση του άπληστου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ Παραθέτουµε αρχικά τις βασικές ιδιότητες των δυνάµεων µε βάση έ- ναν θετικό πραγµατικό αριθµό και εκθέτη έναν ρητό αριθµό. α x.α y = α x+y (α.β) x = α x.β x α x :α

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑ IX Μέτρηση Ιξώδους Ρευστών

ΠΕΙΡΑΜΑ IX Μέτρηση Ιξώδους Ρευστών ΠΕΙΡΑΜΑ IX Μέτρηση Ιξώδους Ρευστών Σκοπός πειράµατος Στο πείραµα αυτό θα µετρήσουµε το ιξώδες (εσωτερική τριβή) διαφόρων ρευστών χρησιµοποιώντας τη µέθοδο της πτώσης σφαιριδίων. Θα εξετάσουµε λοιπόν πειραµατικά

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων ΘΕ1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων 1. Σκοπός Πρόκειται για θεωρητική άσκηση που σκοπό έχει την περιληπτική αναφορά σε θεµατολογίες όπως : σφάλµατα, στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 7.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των µιγαδικών z, για τους οποίους οι εικόνες των µιγαδικών z, i, iz είναι συνευθειακά σηµεία. Έστω z = x + i,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ)

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ) ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ) 0. Εισαγωγή Τα αποτελέσµατα πεπερασµένης ακρίβειας οφείλονται στα λάθη που προέρχονται από την παράσταση των αριθµών µε µια πεπερασµένη ακρίβεια. Τα αποτελέσµατα

Διαβάστε περισσότερα

1. Εύρεση µήκους ενός κύκλου : Για να βρω το µήκος ενός κύκλου βρίσκω την ακτίνα του κύκλου και εφαρµόζω τον τύπο

1. Εύρεση µήκους ενός κύκλου : Για να βρω το µήκος ενός κύκλου βρίσκω την ακτίνα του κύκλου και εφαρµόζω τον τύπο 1 3.3 ΜΗΚΟΣ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΩΡΙ 1. Μήκος κύκλου ακτίνας ρ : Το µήκος L ενός κύκλου δίνεται από τον τύπο L = 2πρ ή L = πδ όπου δ η διάµετρος του κύκλου και π ένας άρρητος αριθµός του οποίου προσέγγιση µε δύο δεκαδικά

Διαβάστε περισσότερα

Επεξεργασία Δεδομένων - Γραφικές Παραστάσεις

Επεξεργασία Δεδομένων - Γραφικές Παραστάσεις 1. Σκοπός Επεξεργασία Δεδομένων - Γραφικές Παραστάσεις Σκοπός της άσκησης είναι να εξοικειωθούν οι σπουδαστές με τη γραφική απεικόνιση των δεδομένων τους, την χρήση των γραφικών παραστάσεων για την εξαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 5 Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός 867 (Αναρτήθηκε 8 4 ) ίνονται τα διανύσµατα a και b µε µέτρα, 6 αντίστοιχα και ϕ [, π] a b+ x+ a b y 5= () δίνεται η εξίσωση ( ) ( ) α) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ηµήτρης Κουγιουµτζής http://users.auth.gr/dkugiu/teach/civilengineer E mail: dkugiu@gen.auth.gr 1/11/2009 2 Περιεχόµενα 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/2014

minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/2014 minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/014 minimath.eu Περιεχόμενα Κινηση 3 Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση 4 Ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση 5 Δυναμικη 7 Οι νόμοι του Νεύτωνα 7 Τριβή 8 Ομαλη κυκλικη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK ρ. Γεώργιος Φ. Φραγκούλης Καθηγητής Ver. 0.2 9/2012 ιανύσµατα & ισδιάστατοι πίνακες Ένα διάνυσµα u = (u1, u2,, u ) εισάγεται στη MATLAB ως εξής : u=[ u1, u2,, un ] ή u=[ u1

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ- ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Εργασία για το σεµινάριο «Στατιστική περιγραφική εφαρµοσµένη στην ψυχοπαιδαγωγική(β06σ03)» ΤΙΤΛΟΣ: «ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ENOTHTA 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ

ENOTHTA 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ENOTHTA. ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ ο. Πώς προσδιορίζουμε τη θέση των αντικειμένων; A O M B ' y P Ì(,y) Ð Για τον προσδιορισμό της θέσης πάνω σε μία ευθεία πρέπει να έχουμε ένα σημείο της

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα