ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ & ΕΛΕΓΧΟΣ ΚΙΝΗΤΗΡΑ ΣΥΝΕΧΟΥΣ

Transcript

1 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ & ΕΛΕΓΧΟΣ ΚΙΝΗΤΗΡΑ ΣΥΝΕΧΟΥΣ Ελεγχόμενου από την Ταση Οπλισμου ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΚΑΙ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΤΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ (ΜΕΣΩ ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ) STATE SPACE & TRANSFER FUNCTION MODELING & CONTROL OF an Arature Controlled DC_MOTOR Version August2016 ΛΕΩΝΙΔΑΣ Δ. ΔΡΙΤΣΑΣ PhD Καθηγητης Εφαρμογων Τμημα Εκπαιδευτικων Ηλεκτρολογων Μηχανικων & Εκπαιδευτικων Ηλεκτρονικων Μηχανικων - ΑΣΠΑΙΤΕ 2016 Dritsas_DCotor_ModellingControl_ASPETE_Ver01_01Aug16 Page 1 of 26

2 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 1. ΣΤΟΧΟΙ (Control Objectives)... 4 ΔΕΔΟΜΕΝΑ... 4 ΖΗΤΟΥΜΕΝΑ... 5 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ με σκοπό τον ΕΛΕΓΧΟ (MODELING for CONTROL) ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΥΠΟΣΥΣΤΗΜΑ - ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ KIRCHHOFF: ΜΗΧΑΝΙΚΟ ΥΠΟΣΥΣΤΗΜΑ - ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ NEWTON ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΡΟΠΗΣ - ΖΕΥΞΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ & ΜΗΧΑΝΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ «ΤΑΣΗ ΟΠΛΙΣΜΟΥ ΡΟΠΗ» (Volt2Torque TRANSFER FUNCTION) ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ «ΤΑΣΗ ΟΠΛΙΣΜΟΥ ΣΤΡΟΦΕΣ» (Volt2Speed TRANSFER FUNCTION) ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ «ΤΑΣΗ ΟΠΛΙΣΜΟΥ ΓΩΝΙΑ (Volt2Angular_Position TRANSFER FUNCTION) ΣΤΑΤΙΚΟ ΚΕΡΔΟΣ ΜΟΝΙΜΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ (DC GAIN & STEADY STATE OUTPUT) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΣΤΟΝ ΧΩΡΟ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ - ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ (STATE SPACE DESCRIPTION STABILITY ANALYSIS) Παντοτε ευσταθες διοτι ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΣΕ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ ΑΠΛΟΠΟΙΗΣΗ ΤΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ (SIMPLIFIED DYNAMICS by setting L=0) ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΡΥΘΜΙΣΤΗ «ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΗΣ ΠΟΛΩΝ» ΜΕ ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΝΑΤΡΟΦΟΔΟΤΗΣΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ (REGULATION via STATIC STATE FEEDBACK for POLE PLACEMENT ) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΩΝ & MATLAB CODE ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΡΥΘΜΙΣΤΗ «ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΑΝΑΤΡΟΦΟΔΟΤΗΣΗΣ ΕΞΟΔΟΥ» (Dynaic Output Feedback) ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΛΕΓΚΤΗ ΠΑΡΑΚΟΛΟΥΘΗΣΗΣ ΤΡΟΧΙΑΣ (TRACKING CONTROLLER) ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΡΥΘΜΙΣΤΗ LQR (Linear Quadratic Regulator) Οι Δύο Στόχοι της άσκησης ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΩΝ Dritsas_DCotor_ModellingControl_ASPETE_Ver01_01Aug16 Page 2 of 26

3 Dritsas_DCotor_ModellingControl_ASPETE_Ver01_01Aug16 Page 3 of 26

4 1. ΣΤΟΧΟΙ (Control Objectives) Στόχοι της άσκησης είναι : (1) η μοντελοποιήση ενός κινητήρα συνεχούς («ελεγχόμενου από ρότορα - Arature Controlled») στο πεδίο του χρόνου (=χώρος κατάστασης) και στο πεδίο της συχνότητας (=συνάρτηση μεταφοράς). Διακρίνετε τις εξής δύο περιπτώσεις: Λειτουργία χωρίς φορτίο («εν κενω») Λειτουργία με φορτίο (Η ροπή φορτίου δρά ως διαταραχή TORQUE_LOAD as DISTURBANCE) (2) ο σχεδιασμός ελεγκτών ανατροφοδότησης κατάστασης με σκοπό την μετακίνηση πόλων ( POLE PLACEMENT via STATE FEEDBACK) με την μεθοδο (ι) της αυθαίρετης τοποθέτησης πόλων η/και (ιι) του βελτιστου γραμμικου ρυθμιστη LQR (3) Υπολογισμός και Χρήση του «Inverse Static Gain» για Feedforward Control του κινητήρα με σκοπό την «παρακολούθηση τροχιάς» (Tracking). (4) η κατανόηση ενός απο τους θεμελιώδεις σχεδιαστικούς συμβιβασμούς (FUNDAMENTAL DESIGN TRADEOFF) στα Σ.Α.Ε., οτι δηλαδή υπάρχει «σύγκρουση» ανάμεσα στην επιθυμία μας για «γρήγορη ρύθμιση (REGULATION SPEED poles deep in the LHP» ) και στην επιθυμία μας για «μικρά σήματα ελέγχου» ώστε να μην παραβιάζονται οι περιορισμοί των ενεργοποιητών (ACTUATOR CONSTRAINTS). (5) ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΠΑΡΑΠΑΝΩ ΣΤΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ MATLAB/ SIMULINK ΔΕΔΟΜΕΝΑ Οι μεταβλητές κατάστασης είναι οι στροφές ( ) του άξονα και το ρεύμα t οπλισμού ia ( t ) δηλ. το διάνυσμα κατάστασης είναι ( t) x ia ( t), η είσοδος είναι η DC τάση στον οπλισμό (Volt) δηλ. u( t) V ( t) και η έξοδος είναι οι στροφές του άξονα του κινητήρα (rad/s) δηλ. y ( t) οι παράμετροι B, J, K, K b, L, R a του κινητήρα ειναι B , J , K K , L , R b a a Dritsas_DCotor_ModellingControl_ASPETE_Ver01_01Aug16 Page 4 of 26

5 ΖΗΤΟΥΜΕΝΑ 1.1 ΑΠΟΔΕΙΞΤΕ «ΔΙΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ» οτι για ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΧΩΡΙΣ ΦΟΡΤΙΟ το μοντέλο στο Πεδίο του Χρόνου (χώρος κατάστασης) δίδεται από Όπου x ( t) Ax( t) Bu( t) y( t) Cx( t) Du( t) x(0) x ( t) x, y ( t ), u ( t ) Va ( t ) ia ( t) 0, και B K 0 J J A, B 1, C 10, D 0 Kb R a L L L 1.2 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕ τις ιδιοτιμες/πολους του ανοικτού συστήματος και βρείτε το κέρδος «Κ» του ελεγκτή ανατροφοδότησης κατάστασης u( t) Kx( t) r( t) ο οποίος μετακινεί τις ιδιοτιμες/πολους του συστήματος στις τιμές 7 j ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕ ΤΟ «ΣΤΑΤΙΚΟ ΚΕΡΔΟΣ» (Static Gain) και το αντιστροφο του (Inverse Static Gain) και χρησιμοποιηστε το για την προσομοιωση ενος FEEDFORWARD REFERENCE TRACKING" ελεγκτη (ΕΛΕΓΚΤΗΣ ΠΑΡΑΚΟΛΟΥΘΗΣΗΣ ΤΡΟΧΙΑΣ ΑΝΟΙΚΤΟΥ ΒΡΟΧΟΥ!!!). Χρησιμοποιηστε σαν Σημα Αναφορας (=Επιθυμητο Προφιλ Ταχυτητας) μια Βηματικη Συναρτηση Υψους «1» Επαναλάβετε χρησιμοποιωντας σαν Σημα Αναφορας Τετραγωνικο Παλμο Υψους «1», περιοδου «10 seconds» και ευρος παλμου «50%» Σχεδιάστε τα διαγράμματα BODE ανοικτού και κλειστού συστήματος ΤΙ ΠΑΡΑΤΗΡΕΙΤΕ ;;; ΥΠΑΡΧΕΙ ΔΙΑΦΟΡΑ ΣΤΗΝ ΕΠΙΔΟΣΗ (Tracking Perforance) ΑΝΑΜΕΣΑ ΣΤΟ ΑΝΟΙΚΤΟ & ΤΟ ΚΛΕΙΣΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ;;; ΚΑΙ ΓΙΑΤΙ ;;; Dritsas_DCotor_ModellingControl_ASPETE_Ver01_01Aug16 Page 5 of 26

6 1.4 ΑΠΟΔΕΙΞΤΕ «ΔΙΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ» το μοντέλο στο Πεδίο της Συχνότητας και ακολούθως 1.5 χρησιμοποιήστε το Inverse Static Gain για τον σχεδιασμό και την προσομοίωση ενός FEEDFORWARD REFERENCE TRACKING" ελεγκτή όπως προηγουμένως. (TRANSFER FUNCTION DESCRIPTION & FEEDFORWARD CONTROL USING THE INVERSE STATIC GAIN) ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Dritsas_DCotor_ModellingControl_ASPETE_Ver01_01Aug16 Page 6 of 26

7 2. ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ με σκοπό τον ΕΛΕΓΧΟ (MODELING for CONTROL) Dritsas_DCotor_ModellingControl_ASPETE_Ver01_01Aug16 Page 7 of 26

8 2.1. ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΥΠΟΣΥΣΤΗΜΑ - ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ KIRCHHOFF: TIME DOMAIN dia Raia( t) La Kb ( t) ua( t) (1) dt since Back EMF voltage is proprtional to angular speed Eb( t) Kb ( t) FREQUENCY DOMAIN (Laplace) ( sl R ) I K V a a a b a 2.2 ΜΗΧΑΝΙΚΟ ΥΠΟΣΥΣΤΗΜΑ - ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ NEWTON TIME DOMAIN or J d J dt B d (2) dt l ext Can generalize by including Load and Gearbox J J n J 2 total l B B n B 2 total l FREQUENCY DOMAIN (Laplace) Dritsas_DCotor_ModellingControl_ASPETE_Ver01_01Aug16 Page 8 of 26

9 (Προσωρινα θεωρω μηδενικο φορτιο i.e. l 0 ) ( sj B) ( s) T( s) 1 ( s) T( s) sj B και δεδομένου ότι η «θεση» ειναι το ολοκληρωμα της ταχυτητας η προηγουμενη σχεση δίνει επίσης ότι ( s) s( s) 1 ( s) T( s) s( sj B) Dritsas_DCotor_ModellingControl_ASPETE_Ver01_01Aug16 Page 9 of 26

10 2.3 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΡΟΠΗΣ - ΖΕΥΞΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ & ΜΗΧΑΝΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ TIME DOMAIN ( t) Kia( t) (3) FREQUENCY DOMAIN (Laplace) 1 T( s) KIa( s) Ia( s) T( s) K ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ (οι μονάδες μετρησης διαφορετικές!!) ΙΣΧΥΕΙ ΟΤΙ K b K 2.4. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ «ΤΑΣΗ ΟΠΛΙΣΜΟΥ ΡΟΠΗ» (Volt2Torque TRANSFER FUNCTION) Starting fro and using ( sla Ra) Ia Kb Va 1 Ia( s) T( s) K Can write and 1 ( s) T( s) ( sj B) hence T T ( sla Ra) Kb Va K ( sj B) ( )( a a) b [ sj B sl R K K ] T V K( sjb) a Dritsas_DCotor_ModellingControl_ASPETE_Ver01_01Aug16 Page 10 of 26

11 G torque ( s) T K( sjb) V ( sj B )( sl R ) K K a a a b K( sj B) ( sj B)( slr) K2 a second order syste for Volt/Torque TF!!! 2.5. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ «ΤΑΣΗ ΟΠΛΙΣΜΟΥ ΣΤΡΟΦΕΣ» (Volt2Speed TRANSFER FUNCTION) Cobining the last TF, i.e T K( sjb) V ( sj B )( sl R ) K K a a a b with the relation 1 ( s) T( s) sj B we get a second order syste for Volt/Speed TF!!! G speed ( s) K V sj B sl R K K a ( )( a a) b K Moreover since (NUMERICALLY) b can write (using siplified notation) G speed ( s) V a K K sj BsLR 2 K Dritsas_DCotor_ModellingControl_ASPETE_Ver01_01Aug16 Page 11 of 26

12 2.6. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ «ΤΑΣΗ ΟΠΛΙΣΜΟΥ ΓΩΝΙΑ (Volt2Angular_Position TRANSFER FUNCTION) Using ( s) s ( s) G position ( s) sk Va ( sjb)( slara) K ΣΤΑΤΙΚΟ ΚΕΡΔΟΣ ΜΟΝΙΜΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ (DC GAIN & STEADY STATE OUTPUT) Using the Final Value Theore since the syste is stable (poles in LHP, Routh) can show that for unit step function as input the steady state output is ss G speed (0) K RB K 2 Dritsas_DCotor_ModellingControl_ASPETE_Ver01_01Aug16 Page 12 of 26

13 2.8. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΣΤΟΝ ΧΩΡΟ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ - ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ (STATE SPACE DESCRIPTION STABILITY ANALYSIS) ΑΠΟΔΕΙΞΤΕ «ΔΙΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ» οτι για ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΧΩΡΙΣ ΦΟΡΤΙΟ το μοντέλο στο Πεδίο του Χρόνου (χώρος κατάστασης) είναι Γραμμικό Δυναμικό Σύστημα (Χρονικώς Αμετάβλητο) της μορφής x ( t) Ax( t) Bu( t) y( t) Cx( t) Du( t) x(0) x 0 Όπου ( t) x, y ( t ), u ( t ) Va ( t ) ia ( t) και B K 0 J J A, B 1, C [10], D 0 Kb R a L L L Παντοτε ευσταθες διοτι... Υφιστατι μονο θεμα επιδοσεων... perforance analysis Dritsas_DCotor_ModellingControl_ASPETE_Ver01_01Aug16 Page 13 of 26

14 2.9. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΣΕ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ tf ss Dritsas_DCotor_ModellingControl_ASPETE_Ver01_01Aug16 Page 14 of 26

15 2.10. ΑΠΛΟΠΟΙΗΣΗ ΤΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ (SIMPLIFIED DYNAMICS by setting L=0) Can siplify dynaics by setting the inductance equal to zero (L = 0 realistic for sall otors) hence (1) R i ( t) K ( t) u ( t) i u K hence 1 a a b a a ( a b ) R K KKb (3) ( t) Kia( t) ua( t) ( t) Ra Ra or R K 1 K a ua 2 which is the desired (SIMPLIFIED) torque-speed characteristics!!! The concept of stall torque Ra 0 2 stall K 1 K u a useful for identification experients Dritsas_DCotor_ModellingControl_ASPETE_Ver01_01Aug16 Page 15 of 26

16 3. ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΡΥΘΜΙΣΤΗ «ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΗΣ ΠΟΛΩΝ» ΜΕ ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΝΑΤΡΟΦΟΔΟΤΗΣΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ (REGULATION via STATIC STATE FEEDBACK for POLE PLACEMENT ) 1 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕ τις ιδιοτιμες/πολους του ανοικτού συστήματος και ακολουθως βρείτε το κέρδος «Κ» του ελεγκτή ανατροφοδότησης κατάστασης u( t) Kx( t) r( t) ο οποίος μετακινεί τις ιδιοτιμες/πολους του συστήματος στις τιμές 1 j2. poles_des_init = [-1 + j*2-1 - j*2]; % State Feddback Gain u=-kx for pole placeent K= place(a, B, poles_des ) Σχεδιάστε: Διαγράμματα BODE + GM + PM ανοικτου & κλειστου συστηματος Σχεδιάστε: Γραφική αναπαράσταση του διαν. κατάστασης του κινητήρα με ελεγκτη (ΡΥΘΜΙΣΤΗ) ΠΡΙΝ & ΜΕΤΑ την μετακίνηση/τοποθετηση πόλων που κάνατε με place 2 ΕΠΑΝΑΛΑΒΑΤΕ TA ΑΝΩΤΕΡΩ ΓΙΑ poles_des = index* [-1 + j*2-1 - j*2 ]; ΟΠΟΥ index=1,2,3,4,5,. ΚΑΙ ΣΥΓΚΡΙΝΕΤΕ ΚΑΘΕ ΦΟΡΑ ΤΟ ΣΗΜΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΕ ΤΟ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΟ - ΕΞΗΓΗΣΤΕ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ 3.1 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΩΝ & MATLAB CODE Διανυσμα Καταστασης με Ρυθμιστή PLACE, και des_poles_init = [-1 + j*2-1 - j*2 ] αρχικές συνθήκες x(0) = [1 ; 10] The state feedback gain is Kplace = [ ] Dritsas_DCotor_ModellingControl_ASPETE_Ver01_01Aug16 Page 16 of 26

21 4. ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΡΥΘΜΙΣΤΗ «ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΑΝΑΤΡΟΦΟΔΟΤΗΣΗΣ ΕΞΟΔΟΥ» (Dynaic Output Feedback) 5 ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΛΕΓΚΤΗ ΠΑΡΑΚΟΛΟΥΘΗΣΗΣ ΤΡΟΧΙΑΣ (TRACKING CONTROLLER)...ΒΑΣΙΣΜΕΝΟΣ ΣΤΟ Inverse STATIC GAIN (2-BE-CONTINUED) Dritsas_DCotor_ModellingControl_ASPETE_Ver01_01Aug16 Page 21 of 26

22 6 ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΡΥΘΜΙΣΤΗ LQR (Linear Quadratic Regulator) Οι Δύο Στόχοι της άσκησης [1] Ο Σχεδιασμός LQR Ρυθμιστή βασιζόμενοι στην ήδη γνωστή μοντελοποιήση του κινητήρα συνεχούς («ελεγχόμενου από ρότορα - Arature Controlled») στο πεδίο του χρόνου («χώρος κατάστασης») x ( t) Ax( t) Bu( t) y( t) Cx( t) Du( t) x(0) x 0 Όπου οι μεταβλητές κατάστασης είναι οι στροφές ( ) του άξονα και το ρεύμα t οπλισμού ia ( t ) η είσοδος είναι η DC τάση στον οπλισμό (Volt) δηλ. u( t) V ( t) και η έξοδος είναι οι στροφές του άξονα του κινητήρα (rad/s) δηλ. ( t) x, y ( t ), u ( t ) Va ( t ) ia ( t), και B K 0 J J A, B 1, C [10], D 0 Kb R a L L L ΔΕΔΟΜΕΝΑ: οι παράμετροι B, J, K, K b, L, R a του κινητήρα ειναι B , J , K K , L , R b [2] η κατανόηση ενός απο τους θεμελιώδεις σχεδιαστικούς συμβιβασμούς (FUNDAMENTAL DESIGN TRADEOFF) στα Σ.Α.Ε., οτι δηλαδή υπάρχει «σύγκρουση» ανάμεσα στην επιθυμία μας για «γρήγορη ρύθμιση» (high REGULATION SPEED poles deep in the LHP» ) και στην επιθυμία μας για «μικρά σήματα ελέγχου» ώστε να μην παραβιάζονται οι περιορισμοί των ενεργοποιητών (ACTUATOR CONSTRAINTS). a a ΖΗΤΟΥΜΕΝΑ 1.1 Σχεδιάστε Βελτιστο Γραμμικο Ρυθμιστη (LQ Regulator) ανατροφοδότησης κατάστασης για την επαναφορά (ρύθμιση) της ταχυτητας ενός Dritsas_DCotor_ModellingControl_ASPETE_Ver01_01Aug16 Page 22 of 26

23 κινητήρα συνεχους («Ελεγχόμενου Από Ρότορα») στην θέση «ισορροπίας» του με βέλτιστη εξοικονόμηση ενέργειας. Το κριτήριο (συναρτηση κόστους) είναι Jx ( x ' Qx u ' Ru) dt και οι Παράμετροι Q, R είναι Q = a*i 2 & R = 1 (I 2 = Moναδιαιος Πινακας Διαστασης 2χ2, a = πραγματικός θετικός αριθμός π.χ Q=10*eye(2) ). Οι αρχικές συνθήκες είναι x(0) = [1 ; 10] και εναλλακτικά x0=[1 ; 9000 ]; (Δοκιμάστε παραλλαγές) 1.2 Υπολογιστε τα κατωθι: τη λύση της εξίσωσης Riccati (ο πίνακας P ) για infinite tie horizon ( t ) f Τιμή του κριτηρίου κόστους για την βελτιστη λύση το κέρδος του ελεγκτή ( K ) και το βέλτιστο νόμο ελέγχου Υπολογισατε τους πινακες ελεγξιμοτητας & παρατηρησιμοτητας που αφορουν την ευσταθεια του κλειστου συστηματος Ιδιοτιμές (eigenvalues) ανοικτου & κλειστου συστηματος Διαγράμματα BODE + GM + PM ανοικτου & κλειστου συστηματος Γραφική αναπαράσταση του διαν. κατάστασης του κινητήρα με ελεγκτη LQR ΕΠΑΝΑΛΑΒΑΤΕ TA ΑΝΩΤΕΡΩ ΓΙΑ Q = index* Qinit; ΟΠΟΥ Qinit=1*eye(2) & index=1,2,3,4,5,. ΚΑΙ ΣΥΓΚΡΙΝΕΤΕ ΚΑΘΕ ΦΟΡΑ ΤΟ ΣΗΜΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΕ ΤΟ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΟ - ΕΞΗΓΗΣΤΕ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ 1.4 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΤΕ ΤΑ ΠΑΡΑΠΑΝΩ ΣΤΟ MATLAB & SIMULINK ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΩΝ Για Q=1*eye(2); R=1; P = [ ] Klqr = [ ] Το Διανυσμα Καταστασης με Ρυθμιστή LQR και αρχικές συνθήκες x(0) = [1 ; 10] Dritsas_DCotor_ModellingControl_ASPETE_Ver01_01Aug16 Page 23 of 26

26 *********** Leonidas-DRITSAS Λεωνιδας Δριτσας ********* Dritsas_DCotor_ModellingControl_ASPETE_Ver01_01Aug16 Page 26 of 26