ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ. ,δηλαδή ορίζεται τουλάχιστον σ ένα από τα σύνολα (α, x. lim. lim g(x) , λ σταθερά lim g(x) (ισχύει και για περισσότερες από 2

Transcript

1 ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ Έστω μια συνάρτηση f η οοία ορίζεται όσο κοντά θέλουμε στο,δηλαδή ορίζεται τουλάχιστον σ ένα αό τα σύνολα (α, ) (,β) ή (α, ) ή (,β). Όταν οι τιμές της f()ροσεγγίζουν όσο θέλουμε τον ραγματικό αριθμό,καθώς το ροσεγγίζει με οοιοδήοτε τρόο τον αριθμό,τότε γράφουμε f() Ισχύουν οι αρακάτω ιδιότητες : P α α... α α ένα ολυώνυμο του τότε ν ν. Αν P P ν ν. Aν f() Ρ() με Ρ(), Q() ολυώνυμα με Q() τότε Q() Ρ() Ρ( ) Q() Q( ) 3. ημ ημ και συν συν ο 4. Όρια και ράξεις Υό την ροϋόθεση ότι τα f() και ραγματικοί αριθμοί ισχύουν οι ιδιότητες g() υάρχουν και είναι [f() ± g()] (λf()) (f()g()) συναρτήσεις) 9. Το f() g() λ f() f() g() f() ± f() f() f() f ν () ( f()) ν ν f() (f() ) f() ν f(), λ σταθερά g() g() (ισχύει και για ερισσότερες αό ( g() ) ( f() ) f(), αν υάρχει, είναι μοναδικό

2 Παρατήρηση Αν f() + (f()+g()) 5 και g() 5 f() δεν μορούμε να γράψουμε g() 3 (αφού δεν γνωρίζουμε την ύαρξη του) g() ή για αράδειγμα να βρεθεί το ( ημ ) είναι λάθος να ούμε ( ημ ) εειδή. 5. Α. Όταν οι τιμές της f()ροσεγγίζουν όσο θέλουμε τον ραγματικό αριθμό, καθώς το ροσεγγίζει αό μικρότερες τιμές τον αριθμό ( ),τότε γράφουμε f(). Το το ονομάζουμε αριστερό λευρικό όριο της f στο. Β. Όταν οι τιμές της f()ροσεγγίζουν όσο θέλουμε τον ραγματικό αριθμό, καθώς το ροσεγγίζει αό μεγαλύτερες τιμές τον αριθμό ( ),τότε γράφουμε f(). Το το ονομάζουμε δεξιό λευρικό όριο της f στο. Αν η f() δίνεται με διαφορετικούς τύους εκατέρωθεν του ο τότε αίρνουμε λευρικά όρια και χρησιμοοιούμε το αρακάτω θεώρημα: im f() f() f() (Aν f() f() δεν υάρχει το f()) Αν η f ορίζεται μόνο δεξιά του τότε το (αν αυτό υάρχει). Αν η f ορίζεται μόνο αριστερά του τότε το (αν αυτό υάρχει). Παράδειγμα Έστω η συνάρτηση f(), Να βρεθεί το f() 3 4, f() f() ταυτίζεται με το f() ταυτίζεται με το f() Είναι: f() f() (3-4) - (- ) - Εομένως f() - Παρατηρούμε ότι η f δεν ορίζεται για,αρ όλα αυτά υάρχει το f(). Η ύαρξη του f() δεν εξαρτάται αό το αν ορίζεται η f() στο ο

3 Είσης μορεί να ορίζεται το f() και το Βασική αρατήρηση: f() f() Αν f() δεν έεται Αν f() Γνωρίζουμε ότι: f() f() ή f() ημ και συν Παρατηρήσεις: η. Για να βρούμε το im f() εφαρμόζουμε τις ιδιότητες. Για αράδειγμα 3 ημ (ημ ) ( ) 3 ( ) ημ Όταν όμως δεν μορούμε να κάνουμε εφαρμογή των ιδιοτήτων τότε μετασχηματίζουμε τον τύο της f. Για αράδειγμα : 3 ( )( ) (-) - Γενικά για να βρούμε το μετασχηματίζουμε την A() B() A() f() B(), όου A() B(), ώστε να αλοοιήσουμε το. ος Μετασχηματισμός (με ριζικά) Παράδειγμα Να βρεθούν τα όρια α) α) ( )( ) β) ( )( ) β) (αροσδιόριστη) Εομένως : f() ( ), θα ήταν λάθος να ούμε ( 3 4 4) ( 4)( 3 4 4) (3 4 6)( ) 3

4 ( )( 3 4 4) συνεώς 3( )( )( ) 3( )( ) f() 3( )( ) ( 3 4 4) 3( )( ) 6 ος Μετασχηματισμός. Όταν δίνεται το όριο μιας αράστασης ου εριέχει μια συνάρτηση. Παράδειγμα f() f() Αν να βρεθεί το Είναι: f() g() f() g() (+) + και f() g()( ) ( )g() ( ) g()++ f() ώστε (g()++) g() + (+)- Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής (α, ) (,β),τότε ισχύει η ισοδυναμία : f() f() f() (Όταν αριστερά -δεξιά του ο αλλάζει ο τύος αίρνουμε λευρικά όρια.) Παράδειγμα 3 α, Δίνεται η συνάρτηση f(), Να βρεθεί ο α ώστε να υάρχει το f(). Για να υάρχει το f() ρέει f() f() (+) (3+9) 33+α α Βασικό θέμα: Αν το Αόδειξη: A() Π() R και Π() τότε να δείξετε ότι: Α() 4

5 Έστω f() A() A() f()π(), Π() οότε A() f() Π() Παράδειγμα: Να βρεθεί η τιμή του α αριθμός. : Εειδή (-) και R ώστε το 3 α ( 3 α) -α α. Κάνουμε εαλήθευση για α, οότε: 3 α R ρέει να ναι ραγματικός ( )( 3 ) 3( )( ) ( )( 3 ) R Όταν το όριο ενός κλάσματος θέλουμε να είναι ραγματικός αριθμός και το όριο του αρονομαστή είναι μηδέν, τότε ρέει το όριο του αριθμητή να είναι μηδέν. Στη συνέχεια αντικαθιστούμε την αράμετρο ου βρήκαμε στο κλάσμα και βρίσκουμε το όριο. Παράδειγμα: Δίνεται η συνάρτηση α, f() β, όου α,β,γ Να βρεθούν οι τιμές των α,β ώστε το f() να είναι ραγματικός. : Πρέει im f() im f() im ( β) () Αό την () εειδή im im im, ρέει ( -α) -α α α () και 5

6 Αό την () : ( ) Αό την () (+β) β Όταν g() Εύρεση του f() g() f() τότε μετασχηματίζουμε το f() με σκοό να g() αλοοιήσουμε το δηλαδή ροσαθούμε να εμφανίσουμε το (- ) στον αριθμητή και στον αρονομαστή. Αυτό το ετυχαίνουμε κάνοντας τον κατάλληλο μετασχηματισμό στην κάθε ερίτωση. Ασκήσεις. Να βρεθούν τα : α) 3 β) γ) Να ροσδιοριστεί ο α R ώστε η συνάρτηση f() όριο ραγματικό αριθμό. 3. Να βρεθούν οι τιμές των α, β ώστε α β f() 4. Έστω οι συναρτήσεις f,g : R R με 4 Nα βρεθεί το f()g()) f() f() 5. Αν να βρεθεί το 6. Δίνεται η συνάρτηση 3 α να έχει στο 3 και [g()(- )] 5. α α, f() β, Να βρεθούν οι τιμές των α, β ώστε να υάρχει το f() f() f(α) f(α) αf() 7. Aν λ, λ R να δείξετε ότι f(α)-λα α α α α 6

7 8. Έστω η συνάρτηση f: R R με f () f() Να βρεθεί το f() 4 Θεώρημα : Όρια με αόλυτα Αν Αν f() > τότε f() > κοντά στο ο f() < τότε f() < κοντά στο ο Παράδειγμα Να βρεθεί το : Το εδίο ορισμού της f είναι Df R* και αρατηρούμε ότι ( - -). Για να βρούμε το f() ρέει να ααλλαγούμε αό τα αόλυτα. Εειδή ( ) είναι κοντά στο οότε : f() - συνεώς f() (-) Αν έχουμε τη μορφή ( ) και κανένα αόλυτο δεν μηδενίζεται στο,τότε βρίσκουμε τα όρια των συναρτήσεων ου είναι μέσα στα αόλυτα και με την βοήθεια του αραάνω θεωρήματος διώχνουμε τα αόλυτα, όως το αράδειγμα. Παράδειγμα Να βρεθεί το : Το εδίο ορισμού της f είναι το Παρατηρούμε ότι - Αν (-,) τότε f() D f R {,}, όου f() ( - -) ( ) f() Αν (,) τότε f() ( ) 7

8 f() Ώστε: f() Αν έχουμε τη μορφή (%) και κάοιο αόλυτο μηδενίζεται στο, τότε για την εύρεση του f() αίρνουμε λευρικά όρια (όως στο αράδειγμα ) Παράδειγμα 3 Αν f() 5, όσο ισούται η αράσταση Α f()- + f()-7 κοντά στο ; Εειδή (f() -) 3 > και (f() -7) - < με τη βοήθεια του θεωρήματος είναι: f() - > και f() -7 < κοντά στο. Εομένως Α f() f() 5 Στην ερίτωση όου δεν μορούμε να ροσδιορίσουμε το ρόσημο της αράστασης ου είναι μέσα στο αόλυτο θα κάνουμε εφαρμογή της ρότασης Αν f()> τότε f()> κοντά στο (όμοια αν f()< τότε f()<) Παράδειγμα 4 3 Να βρείτε το : Είναι ( 3 +-) > οότε 3 +-> κοντά στο. Οότε ο τύος της f κοντά στο γίνεται : 3 3 f() ( ), άρα f() ( ++) 4.Να υολογιστούν τα όρια Ασκήσεις με αόλυτα α) β) 5 4 γ) 8

9 δ) ε). Έστω η συνάρτηση g() Aν g() 3 να υολογιστούν τα f() ημ f() και όου f συνάρτηση ορισμένη στο R. f() 3. Αν είναι f() να βρεθεί το f() ΠΡΟΣΟΧΗ: α) Αν β) Αν f() δεν έεται f() f() f() ± 9