Τεχνικο-οικονομικό υπόδειγμα μαθηματικού προγραμματισμού και προσφορά ενεργειακής βιομάζας

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Τεχνικο-οικονομικό υπόδειγμα μαθηματικού προγραμματισμού και προσφορά ενεργειακής βιομάζας"

Transcript

1 Τεχνικο-οικονομικό υπόδειγμα μαθηματικού προγραμματισμού και προσφορά ενεργειακής βιομάζας Πετσάκος Αθανάσιος Donati Michele Arfini Filippo Ροζάκης Στέλιος Καμπάς Αθανάσιος "Δημιουργία Καινοτόμων Εμπειριών Αποδεικτικού Χαρακτήρα για την Τεκμηρίωση της Δυνατότητας των Καπνοπαραγωγών να στραφούν προς την Καλλιέργεια Ενεργειακών Φυτών" Χρηματοδοτούμενο από τον ΟΠΕΚΕΠΕ, Δράση 0, Καν.(EU)282/02

2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Το γραμμικό υπόδειγμα αριστοποίησης Προβλήματα του απλού γραμμικού υποδείγματος αριστοποίησης Ανάλυση της μεθόδου του ΘΜΠ Προεκτάσεις της μεθόδου Εφαρμογή σε δείγμα εκμεταλλεύσεων Επέκταση σε μη παρατηρούμενες δραστηριότητες Παραγωγή καμπυλών προσφοράς για ενεργειακές καλλιέργειες Βιβλιογραφία Παράρτημα Ι : Παράμετροι των αποδόσεων των υφιστάμενων καλλιεργειών

3 . Το γραμμικό υπόδειγμα αριστοποίησης Στα πλαίσια της εκτίμησης της προσφοράς βιομάζας, κατασκευάστηκε ένα υπόδειγμα γραμμικού προγραμματισμού, η αντικειμενική συνάρτηση του οποίου αφορούσε στη μεγιστοποίηση του Ακαθάριστου Κέρδους ενός δείγματος πρώην καπνοπαραγωγικών εκμεταλλεύσεων, για συνεχώς αυξανόμενα επίπεδα τιμών του κάθε ενεργειακού φυτού, που ξεκινούσαν από το μηδέν και έφταναν σε /κιλό για τον ηλίανθο και σε 0. /κιλό για το σόργο και την αγριαγκινάρα. Στη συνέχεια, προστέθηκαν στο υπόδειγμα οι κατάλληλοι αγρονομικοί και θεσμικοί περιορισμοί και συγκεκριμένα περιορισμοί για το ύψος των μεταβλητών δαπανών, τη πολλαπλή συμμόρφωση, και για τον υπολογισμό της επιλέξιμη έκτασης η οποία απαιτείται για την είσπραξη της ενιαίας ενίσχυσης. Επίσης, προστέθηκαν ως γραμμικοί όροι στην αντικειμενική συνάρτηση δυο μεταβλητές απόφασης που αφορούν την αγρανάπαυση και τη καλλιέργεια του βίκου και οι οποίες συνοδεύονται από δαπάνη 0 και 5 ανά στρέμμα αντίστοιχα. Ο βίκος χρησιμοποιείται ως επίσπορη καλλιέργεια πριν τη σπορά του βαμβακιού και του αραβοσίτου, ικανοποιώντας έτσι μαζί τη μηδική τις απαιτήσεις πολλαπλής συμμόρφωσης που προβλέπονται για τα δυο αυτά φυτά. Αναλυτικά, η αλγεβρική διατύπωση του υποδείγματος για κάθε εκμετάλλευση του δείγματος είναι η εξής: n= ( ( ) ) max Z = spp+ yld pr + ps + ls vxp x 5x 0x n n n n n n vetch setaside και περιορισμούς. Συνολική έκταση: x setaside + x n = b n= Το άθροισμα των εκτάσεων κάθε καλλιέργειας x n συν την έκταση που αφήνεται σε αγρανάπαυση ( x setaside ) πρέπει να ισούται με το σύνολο των εκτάσεων του δείγματος b κατά το έτος βάσης. 2. Αρδευόμενη έκταση: 3

4 ir_x n= n tot _ xir Το άθροισμα των εκτάσεων κάθε αρδευόμενης καλλιέργειας ir_x n πρέπει να είναι μικρότερο ή ίσο με το σύνολο των αρδευόμενων εκτάσεων του δείγματος tot _ xir κατά το έτος βάσης. 3. Μεταβλητές δαπάνες: 5x + 0 x + x vxp tot _ vxp vetch setaside n n n= Οι συνολικές μεταβλητές δαπάνες στη λύση του υποδείγματος δεν μπορούν να είναι υψηλότερες από τις αντίστοιχες κατά το έτος βάσης ( tot _ vxp ). 4. Αμειψισπορά για επιλέξιμες καλλιέργειες εκτός σκληρού σιταριού: 0.2 x x x x n= n alf dwt vetch 5. Αμειψισπορά για σκληρό σιτάρι: 0.2x dwt x alf Η πολλαπλή συμμόρφωση για το σκληρό σιτάρι ορίστηκε ξεχωριστά από τον αραβόσιτο και το βαμβάκι, αφού λόγω της εποχής σποράς του (Νοέμβριο) δεν μπορεί να συνδυαστεί με το βίκο που σπέρνεται την ίδια εποχή κι έτσι η μόνη εφικτή αμειψισπορά είναι με τη μηδική. 6. Ορισμός επιλέξιμων καλλιεργειών: ( ) x = lg_x + nlg_x n n n n= n= Το άθροισμα των καλλιεργειών κάθε εκμετάλλευσης επιλέξιμο και μη επιλέξιμο κομμάτι ( lg_x και n x n χωρίζεται σε nlg_xn αντίστοιχα), ανάλογα με τη συμμετοχή τους στη συνολική επιλέξιμη έκταση (βλέπε περιορισμό 7). 7. Ορισμός επιλέξιμης έκτασης: x setaside + lg_x lg_land n= n 4

5 Για κάθε εκμετάλλευση, το άθροισμα της αγρανάπαυσης ( x setaside ) και των καλλιεργειών που δύνανται να αποτελέσουν την επιλέξιμη έκταση ( lg_x ) πρέπει να είναι μικρότερο ή ίσο με τη συνολική επιλέξιμη έκταση lg_land. 8. Υπολογισμός συνολικής ενιαίας ενίσχυσης: lg_land pay = spp Η συνολική επιλέξιμη έκταση lg_land επί το ατομικό δικαίωμα pay δίνει το συνολικό ύψος της ενιαίας ενίσχυσης spp για κάθε εκμετάλλευση. 9. Κάλυψη αναγκών διατροφής ζωικού κεφαλαίου: F_value yld ( f_x s_x ) + pch F_eeds nc n n n c c Ο περιορισμός αυτός χρησιμοποιείται στις εκμεταλλεύσεις οι οποίες εμφανίζουν κατά το έτος βάσης κάποιον κλάδο ζωικής παραγωγής. Ειδικότερα, οι ανάγκες διατροφής των ζώων της εκμετάλλευσης ( F_eeds ), στα c θρεπτικά συστατικά (Ξηρά ουσία, Αζωτούχες ουσίες και Ενέργεια) πρέπει να καλύπτονται πλήρως από τις το τμήμα των καλλιεργειών που χρησιμοποιείται ως ζωοτροφή ( F_value yld ( f_x s_x )), συν τις αγοραζόμενες ζωοτροφές ( pch c ). 0. Ορισμός της ιδιόκτητης έκτασης: own_x = n n= n= own_xobs n nc n n n c n Σύμφωνα με αυτό τον περιορισμό, η συνολική υπολογιζόμενη ιδιόκτητη έκταση πρέπει να είναι ίση με την αρχική συνολική ιδιόκτητη έκταση.. Ορισμός της ενοικιαζόμενης έκτασης rent_x = n n= n= rent_xobs n Σύμφωνα με αυτό τον περιορισμό, η συνολική υπολογιζόμενη ενοικιαζόμενη έκταση πρέπει να είναι ίση με την αρχική συνολική ενοικιαζόμενη έκταση. Στις παραπάνω αλγεβρικές εκφράσεις, το x n εκφράζει το διάνυσμα των μεταβλητών απόφασης (εκτάσεις καλλιεργειών), οι οποίες έχουν χωριστεί σε υποομάδες με βάση την απαίτηση άρδευσης ή μη της καλλιέργειας ( ir_x και n 5

6 nir_x n αντίστοιχα), τη συμβολή τους στη συνολική επιλέξιμη έκταση της εκμετάλλευσης ( lg_x n και nlg_x n ), τη χρήση τους ως ζωοτροφή ( f_x n ) ή τη διάθεση τους στην αγορά ( s_x n ) και το αν αφορούν σε ενοικιαζόμενες ή ιδιόκτητες εκτάσεις ( rent_x n και own_x n αντίστοιχα). Το διάνυσμα yld n συμβολίζει τις αποδόσεις για κάθε υποψήφια καλλιέργεια, το pr n τις τιμές των προϊόντων ( ανά κιλό), το ps n την ενίσχυση στη παραγωγή όπου αυτή υπάρχει ( ανά κιλό), το ls n τη στρεμματική ενίσχυση ( ανά στρέμμα) και το vxp n τη μεταβλητή δαπάνη ανά στρέμμα για κάθε καλλιέργεια κατά το έτος βάσης. Με F_value nc συμβολίζεται η περιεκτικότητα σε c θρεπτικά συστατικά κάθε καλλιέργειας n ανά κιλό παραγόμενου προϊόντος 2. Προβλήματα του απλού γραμμικού υποδείγματος αριστοποίησης Πριν χρησιμοποιηθεί ένα μαθηματικό υπόδειγμα σαν εργαλείο προβλέψεων και ανάλυσης πολιτικής, πρέπει πρώτα να ελεγχθεί η αξιοπιστία του (validation), διαδικασία η οποία συνήθως συνδέεται με την ικανότητα του να αναπαράγει τα αποτελέσματα του έτους αναφοράς. Ένα μοντέλο του οποίου τα αποτελέσματα για το έτος αναφοράς διαφέρουν κατά πολύ από τις παρατηρήσεις, θεωρείται γενικά μη αποδεκτό. Μια συνηθισμένη αιτία για την οποία ένα μοντέλο γραμμικού προγραμματισμού αποτυγχάνει στον έλεγχο αξιοπιστίας είναι η ανεπάρκεια των στοιχείων με τα οποία θα δομηθούν οι περιορισμοί του προβλήματος. Ειδικότερα, κάθε γραμμικό πρόβλημα αριστοποίησης δίνει μη αρνητικές λύσεις σε αριθμό μεταβλητών x m ίσο με τον αριθμό των γραμμικά μη εξαρτημένων περιορισμών (Paris, 99). Όταν τα διαθέσιμα δεδομένα δεν επαρκούν για τη διατύπωση ικανού αριθμού περιορισμών, η άριστη λύση διαφέρει από την παρατηρούμενη λόγω ακριβώς των μηδενικών λύσεων που προκύπτουν για μία ή περισσότερες άγνωστες μεταβλητές. Στην περίπτωση αυτή, το μοντέλο υποθέτει πως μια εκμετάλλευση για να επιτύχει ένα άριστο οικονομικό αποτέλεσμα πρέπει να «υπερεξειδικευτεί» (overspecialize), φαινόμενο που θεωρείται ως ένα από τα βασικά προβλήματα του γραμμικού προγραμματισμού. 6

7 Το πρόβλημα της «υπερεξειδίκευσης» φαίνεται να είναι οξύτερο σε υποδείγματα που λειτουργούν σε περιφερειακό επίπεδο και περιλαμβάνουν ένα δείγμα από αντιπροσωπευτικές εκμεταλλεύσεις, για κάθε μια από τις οποίες χρησιμοποιείται η ίδια αντικειμενική συνάρτηση και το ίδιο σύνολο περιορισμών παρά το γεγονός πως κάθε εκμετάλλευση μπορεί να θέτει διαφορετικούς στόχους και να χρησιμοποιεί διαφορετικές τεχνικές παραγωγής. Επίσης, σε περιπτώσεις δείγματος εκμεταλλεύσεων καθίσταται δυσκολότερη η συλλογή στοιχείων για τη διατύπωση επαρκούς αριθμού περιορισμών, με αποτέλεσμα συχνά να χρησιμοποιούνται στοιχεία που προέρχονται από τους περιφερειακούς μέσους όρους, που ωστόσο διαφέρουν από τα πραγματικά παρατηρούμενα σε κάθε εκμετάλλευση. Άλλες φορές, παρά το γεγονός ότι ένα μαθηματικό υπόδειγμα έχει διατυπωθεί με θεωρητικά σωστό τρόπο και υποστηρίζεται από επαρκείς και ρεαλιστικούς περιορισμούς, δεν καταφέρνει και πάλι να αναπαράγει τα αποτελέσματα του έτους αναφοράς. Αυτό οφείλεται στο γεγονός πως οποιοδήποτε μοντέλο προγραμματισμού, ανεξάρτητα από το πώς είναι διατυπωμένο, δεν παύει να αποτελεί μια απλοποιημένη αναπαράσταση της πραγματικότητας με ό,τι αυτό συνεπάγεται για την αξιοπιστία του και την προβλεπτική του ικανότητα. Σε περιπτώσεις «υπερεξειδίκευσης», όπου ο έλεγχος αξιοπιστίας αποτυγχάνει, επιβάλλεται η ρύθμιση ή διαμέτρηση (calibration) του υποδείγματος, η οποία πραγματοποιείται συνήθως με την εισαγωγή επιπλέον περιορισμών που θέτουν όρια στις τιμές των μεταβλητών, αλλά παράλληλα περιορίζουν τους βαθμούς ελευθερίας του μοντέλου. Η χρήση μη γραμμικής αντικειμενικής συνάρτησης που εισάγει στο υπόδειγμα τον παράγοντα κίνδυνο, μπορεί να αμβλύνει το πρόβλημα της υπερεξειδίκευσης χωρίς ωστόσο να το εξαφανίζει, αφού ο τρόπος με τον οποίο ορίζονται οι μη γραμμικές σχέσεις είναι ανεξάρτητος από τους υφιστάμενους περιορισμούς, με αποτέλεσμα να συνεχίζουν να υπάρχουν αποκλίσεις από τα παρατηρούμενα επίπεδα παραγωγής (Heckelei, 2002). Ο Θετικός Μαθηματικός Προγραμματισμός είναι μια μεθοδολογία που αναπτύχθηκε από τον Howitt (995), προκειμένου να αντιμετωπιστεί το παραπάνω πρόβλημα υπερεξειδίκευσης των κλασικών γραμμικών υποδειγμάτων, επιτυγχάνοντας τη ρύθμιση του μοντέλου χρησιμοποιώντας ως μόνο δεδομένο την 7

8 καλλιεργούμενη έκταση της εκμετάλλευσης, και αξιοποιώντας τις πληροφορίες που παρέχουν οι σκιώδεις τιμές των περιορισμών. Βασική υπόθεση του ΘΜΠ είναι πως το παρατηρούμενο σχέδιο παραγωγής κατά το έτος βάσης είναι και το άριστο. Να σημειωθεί πως αν και πρώτος ο Howitt παρουσίασε επίσημα τη συγκεκριμένη μέθοδο το 995, οι αρχές και οι τεχνικές στις οποίες βασίζεται είχαν χρησιμοποιηθεί και παλιότερα σε μοντέλα προγραμματισμού, που είχαν ως στόχο την ανάλυση επιπτώσεων από αλλαγές στην αγροτική πολιτική (Bauer & Kasnakoglou, 990). Ο έλεγχος αξιοπιστίας του υποδείγματος εκτίμησης της προσφοράς βιομάζας, πραγματοποιήθηκε με τη χρήση μόνο των περιορισμών, 2 και 3, οι οποίοι αναπαριστούν πλήρως το πλαίσιο λειτουργίας των εκμεταλλεύσεων του δείγματος κατά το 2005, έτος άντλησης των στοιχείων. Οι ενισχύσεις στη παραγωγή περιορίστηκαν στα επίπεδα του 2005 και αφορούσαν μόνο στις εκμεταλλεύσεις όπου ήδη παρατηρούνται. Η επίλυση του μοντέλου με τους συγκεκριμένους περιορισμούς φανέρωσε μεγάλες αποκλίσεις από τη πραγματικότητα, δημιουργώντας την ανάγκη για ρύθμιση του. Έτσι, στα πλαίσια της παρούσας εργασίας κατασκευάστηκε ένα ακόμα υπόδειγμα, βασισμένο στη μεθοδολογία του ΘΜΠ, η οποία αναλύεται παρακάτω. Στόχος, πέρα από τη ρύθμιση του αρχικού υποδείγματος, ήταν να συγκριθούν τα αποτελέσματα που προκύπτουν από την εφαρμογή των δυο αυτών μεθόδων, να εντοπιστούν οι διαφορές τους και να αξιολογηθεί η ικανότητα τους ως εργαλεία ανάλυσης πολιτικής. 3. Ανάλυση της μεθόδου του ΘΜΠ Σύμφωνα με τον Howitt (995b), «Αν ο αριθμός των παρατηρούμενων μη μηδενικών μεταβλητών απόφασης ξεπερνά τον αριθμό των δεσμευτικών περιορισμών, τότε μια ικανή και αναγκαία συνθήκη για τη μεγιστοποίηση του κέρδους στα παρατηρούμενα επίπεδα είναι η μη γραμμικότητα της αντικειμενικής συνάρτησης για κάποιες από τις μεταβλητές απόφασης. Στη βιβλιογραφία (Paris & Arfini, 2000; Arfini et al., 2003), η μη γραμμικότητα αναζητείται συνήθως στη συνάρτηση μεταβλητού κόστους, με του μετασχηματισμού της απλής γραμμικής σχέσης, σε μια αντίστοιχη τετραγωνικής μορφής x T Qx μέσω μιας διαδικασίας τριών βημάτων που θα 8

9 αναλυθούν παρακάτω. Ο κυριότερος λόγος επιλογής της συγκεκριμένης μορφής συνάρτησης είναι η απλότητα της, χωρίς αυτό να σημαίνει πως δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν άλλες μορφές μη γραμμικών συναρτήσεων. Έτσι, μια εναλλακτική επιλογή θα ήταν η χρήση μιας συνάρτησης τύπου Cobb-Douglas ή σταθερής ελαστικότητας υποκατάστασης (CES), για το μετασχηματισμό της συνάρτησης παραγωγής (Howitt, 995a). Για την παρούσα εργασία θα χρησιμοποιηθεί η μέθοδος του μετασχηματισμού της συνάρτησης κόστους. Οδηγός στην ανάλυση των τριών φάσεων του ΘΜΠ αποτελεί ένα πρόβλημα μεγιστοποίησης του κέρδους σε μια γεωργική εκμετάλλευση, με μόνο περιορισμό τη χρήση του παραγωγικού συντελεστή έδαφος. Το κλασσικό πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού, το οποίο χρησιμοποιείται για την εκτίμηση του άριστου επιπέδου παραγωγής σε μια γεωργική εκμετάλλευση, μπορεί να διατυπωθεί σε απλή μορφή είτε ως ένα πρόβλημα μεγιστοποίησης του κέρδους είτε ως ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης του κόστους: Πρωταρχικό Πρόβλημα (Μεγιστοποίηση) Δυϊκό Πρόβλημα (Ελαχιστοποίηση) max f( x ) = ( pr -c ) x n n n n n= M min g( y ) = b y και περιορισμούς: και περιορισμούς: A mn n m m m m m= T x b [y m ] () A y pr -c [x n ] x n 0 y m 0 όπου n=,2,..., και m=,2,..., M mn m n n Στην παραπάνω διατύπωση, οι δείκτες n και m παριστάνουν τους παραγωγικούς κλάδους της εκμετάλλευσης και τους χρησιμοποιούμενους συντελεστές παραγωγής αντίστοιχα. Το διάνυσμα x n αναφέρεται στην έκταση που καταλαμβάνει κάθε καλλιέργεια (ή στον αριθμό των ζώων εφόσον πρόκειται για κλάδο ζωικής παραγωγής), το διάνυσμα ανά κεφάλι) και το πίνακας pr n στην αξία παραγωγής ανά στρέμμα (ή c n στο κόστος παραγωγής ανά στρέμμα (ή ανά κεφάλι). Ο A mn ορίζει τις σχέσεις μεταξύ των παραγωγικών κλάδων n και των συντελεστών παραγωγής m, ενώ το διάνυσμα 9 b m αντιπροσωπεύει τις διαθέσιμες

10 ποσότητες καθενός από τους χρησιμοποιούμενους συντελεστές παραγωγής, δηλαδή τα στοιχεία του αποτελούν τους σταθερούς όρους των τεθέντων περιορισμών. Το δυϊκό πρόβλημα κατασκευάζεται με τη βοήθεια των σκιωδών (ή δυϊκών) τιμών των περιορισμών του πρωταρχικού προβλήματος, που παριστάνονται από το διάνυσμα y m. Κάθε ένα από τα m στοιχεία του διανύσματος y m παριστάνει την ποσότητα κατά την οποία θα αυξανόταν η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης αν ήταν διαθέσιμη μια επιπλέον μονάδα του συντελεστή m. Ταυτόχρονα, εκφράζει το οριακό κόστος ή το κόστος ευκαιρίας από τη χρησιμοποίηση μιας επιπλέον μονάδας του συντελεστή παραγωγής, δηλαδή τη μέγιστη τιμή στην οποία θα ήταν διατεθειμένος ο παραγωγός να αγοράσει την επιπλέον αυτή μονάδα. Η πρώτη φάση του ΘΜΠ (Πλαίσιο Ι) έχει ως στόχο τον υπολογισμό των σκιωδών τιμών οι οποίες στη συνέχεια θα χρησιμοποιηθούν στην εκτίμηση της νέας συνάρτησης μεταβλητού κόστους. Η αλγεβρική διατύπωση της πρώτης φάσης του ΘΜΠ διαφέρει από την αντίστοιχη του απλού γραμμικού προβλήματος ως προς δυο σημεία: ο πίνακας A στην ανισότητα Amn xn b m του αρχικού γραμμικού υποδείγματος, μετατρέπεται σε διάνυσμα, με αποτέλεσμα ο περιορισμός () να παίρνει τη μορφή της ανισότητας (2). Επίσης, εισάγεται ο περιορισμός (3), σύμφωνα με τον οποίο η άγνωστη έκταση για κάθε μια από τις υποψήφιες καλλιέργειες δεν μπορεί να ξεπερνά το παρατηρούμενο επίπεδο κατά το έτος αναφοράς. Ο συγκεκριμένος περιορισμός είναι χαρακτηριστικός του ΘΜΠ και χρησιμοποιείται αποκλειστικά στη πρώτη φάση της μεθόδου για την εύρεση της σκιώδους τιμής κάθε παρατηρούμενης δραστηριότητας. ΠΛΑΙΣΙΟ Ι: Πρώτη Φάση του ΘΜΠ 0

11 max και περιορισμούς: f( x ) = ( pr -c ) x n n n n n= x n b [ y] n= xn x Rn +ε [ λ n ] (3) x n 0 όπου n=,2,..., (2) Στην ανισότητα (3), το διάνυσμα x Rn παριστάνει το παρατηρούμενο επίπεδο παραγωγής για κάθε κλάδο n, ενώ το ε είναι ένας πολύ μικρός αριθμός (π.χ ) που προστίθεται για να αποφευχθεί ο εκφυλισμός του υποδείγματος λόγω της γραμμικής εξάρτησης που παρατηρείται μεταξύ των περιορισμών. Η εισαγωγή του ε έχει επίπτωση και στις σκιώδεις τιμές που αντιστοιχούν στον περιορισμό (3) και οι οποίες παριστάνονται από το διάνυσμα λ n. Συγκεκριμένα, για τις πρώτες δραστηριότητες το λn θα είναι θετικό αφού γι αυτές ο περιορισμός εξαντλείται πλήρως, ενώ αντίθετα για την οριακή δραστηριότητα (που δεν εξαντλεί τον περιορισμό) θα ισχύει λ =0. Το δεύτερο στάδιο του ΘΜΠ περιλαμβάνει την εκτίμηση της συνάρτησης κόστους μη γραμμικής μορφής με τη βοήθεια των σκιωδών τιμών που υπολογίστηκαν στο προηγούμενο στάδιο. Ειδικότερα, το δυϊκό πρόβλημα ελαχιστοποίησης μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: min g( y, λ ) = by+ ( x + ε ) λ και περιορισμούς: n Rn n n= y + λn prn c n (4) y 0 όπου n=,2,..., Μεταφέροντας το c n στο αριστερό μέρος, ο περιορισμός (4) γράφεται ως: y + λn + cn pr n (5)

12 Στην ανισότητα (5), το άθροισμα λn+ c n μπορεί να ερμηνευτεί ως το οριακό μεταβλητό κόστος (MVC ) κάθε δραστηριότητας n, ο αριθμός y ως το σταθερό κόστος χρήσης του συντελεστή έδαφος ( FC ), ενώ το διάνυσμα pr n, που συμβολίζει την τιμή των παραγόμενων προϊόντων, αποτελεί το οριακό όφελος (MR ) από την παραγωγή μιας μονάδας n. Η θεώρηση αυτή έχει σαν αποτέλεσμα ο περιορισμός (5) να γράφεται ως FC+ MVC MR. Ως συνάρτηση μεταβλητού κόστους VC, χρησιμοποιείται συνήθως μια συνάρτηση τετραγωνικής μορφής (6), η μερική παράγωγος της οποίας ως προς δίνει το οριακό μεταβλητό κόστος MVC (7), που ισούται με το άθροισμα λn+ c n (8): x n VC = xrnqnj x Rj (6) 2 n= j= MVC = Q x (7) j= nj Rj Qnj xrj λn + c (8) n j= όπου n, j =,2,..., Η εξίσωση (7) παρουσιάζει μια παραδοχή του ΘΜΠ, που είναι το συνεχώς αυξανόμενο οριακό μεταβλητό κόστος για ολοένα μεγαλύτερα επίπεδα του x n, σε αντίθεση με το σταθερό οριακό μεταβλητό κόστος που παρατηρείται σε κάθε υπόδειγμα γραμμικού προγραμματισμού. Ο Q είναι ένας θετικά ορισμένος πίνακας που αντιπροσωπεύει την κλίση της καμπύλης (ή του υπερεπιπέδου) μεταβλητού κόστους στο σημείο x Rn. Στη βιβλιογραφία ορίζεται είτε ως διαγώνιος (Howitt, 995b), είτε ως συμμετρικός με μη μηδενικά στοιχεία παντού (Arfini et al., 2003). Οι διάφορες μορφές του Q επιβάλλουν και διαφορετική μεθοδολογία στον υπολογισμό των στοιχείων του. Έτσι, στην περίπτωση διαγώνιου πίνακα, κάθε στοιχείο q ii υπολογίζεται ως εξής: c λ q 0 0 xr = 0 0 q c λ xr (9) 2

13 + = c λ n n ή qnn xrn Όπως είναι εύκολα αντιληπτό, η διαγώνιος μορφή του Q καθιστά εύκολη την εκτίμηση των στοιχείων του, υστερεί ωστόσο σε ρεαλισμό, αφού δεν αναπαριστά τη πραγματική σχέση υποκατάστασης ή συμπληρωματικότητας που παρατηρείται μεταξύ των καλλιεργειών, καθώς υποθέτει πως το οριακό κόστος κάθε καλλιέργειας εξαρτάται αποκλειστικά από το δικό της επίπεδο παραγωγής. Αντίθετα, όταν ο πίνακας θεωρηθεί ως συμμετρικός με μη μηδενικά στοιχεία παντού, το οριακό κόστος κάθε καλλιέργειας εξαρτάται και από το επίπεδο παραγωγής όλων των υπολοίπων, ενώ η εξίσωση (9) παίρνει τη μορφή: c λ q q xr + = c λ q q x R (0) ή c λ q x + = n n nj Rj j= Η (0) αποτελεί ένα σύστημα εξισώσεων με 2 ( )/2 + αγνώστους και συνεπώς είναι ένα υποπροσδιορισμένο πρόβλημα για την επίλυση του οποίου χρησιμοποιείται συνήθως η μέγιστη εντροπία (Shannon, 948). Πρόκειται για μια μέθοδο με οικονομετρικές εφαρμογές (Golan et al., 996; Léon et al., 999), που ωστόσο έχει προσελκύσει το ενδιαφέρον αρκετών ερευνητών που ασχολούνται με τον ΘΜΠ (Paris & Howitt, 998; Heckelei & Wolff, 2003; Arfini et al., 2008). Το μέτρο της εντροπίας, όπως ορίστηκε από τον Shannon (948) εκφράζεται μέσα από ένα διάνυσμα πιθανοτήτων p= [ p, p2,, pk] εμφάνισης Κ ενδεχομένων και αλγεβρικά ισούται με το αρνητικό άθροισμα των Κ πιθανοτήτων επί το λογάριθμο τους: K K H ( p ) = p ln( ) = p ln( p ) k k k k k= pk k= Η εντροπία μεγιστοποιείται όταν κάθε ενδεχόμενο έχει την ίδια πιθανότητα εμφάνισης p= p2 = = pk = /K, δηλαδή όταν το σύνολο πιθανοτήτων προσεγγίζει την ομοιόμορφη κατανομή. 3

14 Κατά τη χρήση του κριτηρίου της μέγιστης εντροπίας για την επίλυση συστημάτων εξισώσεων, το διάνυσμα p των πιθανοτήτων πολλαπλασιάζεται με ένα διάνυσμα υποστηρικτικών τιμών zk = [ z, z2, zk], το οποίο επιλέγεται από τον ερευνητή με τέτοιο τρόπο ώστε να είναι εφικτή η επίλυση του συστήματος, δηλαδή οι τιμές που παίρνουν τα στοιχεία του διανύσματος να συγκεντρώνονται κοντά στις πιθανές τιμές των ζητούμενων παραμέτρων (Golan et al., 996). Αυτό σημαίνει πως οι υποστηρικτικές τιμές παίζουν το ρόλο μιας πιθανής αρχικής λύσης, η οποία στη συνέχεια, με τη μεγιστοποίηση της εντροπίας του συστήματος, διαμορφώνεται στο τελικό της ύψος. Αν και γενικά η επιλογή του υποστηρικτικού διανύσματος επηρεάζει τα αποτελέσματα, δηλαδή τις ζητούμενες τιμές των πιθανοτήτων και κατά συνέπεια την τιμή των στοιχείων του Q, το συνολικό υπολογιζόμενο μεταβλητό κόστος x T Qx παραμένει σταθερό ανεξάρτητα από τις υποστηρικτικές τιμές που επιλέγονται (Paris & Howitt, 998). Η αλγεβρική διατύπωση του προβλήματος μεγιστοποίησης της εντροπίας για την εκτίμηση μιας παραμέτρου a, δεδομένου ενός διανύσματος υποστηρικτικών τιμών z k είναι η εξής: max H ( p ) = p ln( p ) και περιορισμούς: K k k k k = K zkp k k = = a K p k = k = p k 0 όπου k =, 2,..., K Προκειμένου να εξασφαλίσουν πως ο πίνακας Q είναι συμμετρικός και θετικά ορισμένος, οι Paris και Howitt (998) πρότειναν την εφαρμογή της μεθόδου Cholesky που συνίσταται στη παραγοντοποίηση του Q σε ένα γινόμενο τριών πινάκων: Αν και σύμφωνα με τους Golan et al. (996), η διακύμανση των εκτιμήσεων της μέγιστης εντροπίας και ο αριθμός των στοιχείων του υποστηρικτικού διανύσματος παρουσιάζουν αρνητική συσχέτιση, οι Heckelei & Britz (2000) διαπίστωσαν πως η επιλογή ενός διανύσματος με περισσότερα από 4 στοιχεία δε μεταβάλλει σημαντικά τα αποτελέσματα της μεθόδου. Έτσι, συνήθως Κ=4. 4

15 Q T = LDL, όπου L ένας κάτω τριγωνικός πίνακας με μονάδες στην κύρια διαγώνιο, T L ο ανάστροφος του και D ένας διαγώνιος πίνακας. Ακολουθεί ένα παράδειγμα με ένα πίνακα 3x3: q q q d l l q2 q22 q23 = l2 d22 l23 q3 q32 q 33 l3 l32 d 33 Q = L D Αν και στην παραπάνω διατύπωση η συμμετρία του πίνακα Q είναι προφανής αφού προέρχεται από το γινόμενο συμμετρικών πινάκων, η θετική οριστικότητα του δεν είναι ορατή, αλλά εξασφαλίζεται από την υπόθεση πως τα στοιχεία του D είναι μη αρνητικά (Σοφιανός & Τυχόπουλος, 2005). Η μέθοδος της μέγιστης εντροπίας εφαρμόζεται για κάθε ένα από τα στοιχεία L D των L και D, με τα διανύσματα υποστηρικτικών τιμών z και k z να ορίζονται με k τέτοιο τρόπο ώστε να προσεγγίζουν το άθροισμα cn+ λ n. Έτσι, το πρόβλημα μεγιστοποίησης της εντροπίας στα πλαίσια του ΘΜΠ, διατυπώνεται αλγεβρικά ως εξής: T L K K L D L L D D k k = k k k k k= k= max H ( p, p ) p ln( p ) p ln( p ) και περιορισμούς: T LDL xrn = n + cn K k = K k = z p = l L L k k nj z p = d D D k k nn λ () K k = K k = p p L k D k = = L D p, p 0 k k όπου k =, 2,..., K και n=, 2,, 5

16 Κατά την τρίτη φάση του ΘΜΠ (Πλαίσιο ΙΙ), επαναδιατυπώνεται το αρχικό πρόβλημα μεγιστοποίησης του κέρδους, με τη διαφορά ότι το κομμάτι της αντικειμενικής συνάρτησης που περιγράφει το κόστος είναι πλέον μη γραμμικό και επιπλέον λείπει ο ειδικός περιορισμός (3) που είχε εισαχθεί για τον υπολογισμό των σκιωδών τιμών κάθε δραστηριότητας. Έτσι, η μαθηματική διατύπωση του προβλήματος είναι: max GM ΠΛΑΙΣΙΟ ΙΙ: Τρίτη Φάση του ΘΜΠ = prnx n xnqnjx j 2 n= j= με περιορισμούς: x n= x n n 0 b όπου n, j =,2,, Η επίλυση του παραπάνω προβλήματος αριστοποίησης δίνει λύση xn = x Rn αναπαράγοντας έτσι τα αποτελέσματα του έτους βάσης. 4. Προεκτάσεις της μεθόδου 4.. Εφαρμογή σε δείγμα εκμεταλλεύσεων Αυτό που προκύπτει από την ανάλυση που προηγήθηκε είναι πως αν και ο ΘΜΠ εξασφαλίζει τη σωστή ρύθμιση ενός υποδείγματος μαθηματικού προγραμματισμού, αναπαράγοντας ακριβώς τις παρατηρήσεις του έτους αναφοράς, αδυνατεί να λειτουργήσει σε περιφερειακό επίπεδο, όπου κάθε εκμετάλλευση χαρακτηρίζεται από διαφορετικό σχέδιο παραγωγής. Πιο συγκεκριμένα, το γεγονός ότι ο ΘΜΠ βασίζεται στο παρατηρούμενο σχέδιο παραγωγής για να μετατρέψει τη συνάρτηση κόστους σε μη γραμμική, σημαίνει πως δε λαμβάνονται υπόψη άλλες εναλλακτικές καλλιέργειες, που παρατηρούνται σε άλλες εκμεταλλεύσεις του δείγματος και οι οποίες σε περιπτώσεις θεσμικών μεταβολών (αλλαγές τιμών ή επιδοτήσεων) πιθανώς να καθίστανται ανταγωνιστικές ή ακόμα και οικονομικά προτιμότερες των ήδη παρατηρούμενων. 6

17 Το ερώτημα που κατά συνέπεια προκύπτει είναι πως μπορούν να εισαχθούν στον πίνακα Q (ή σε κάθε άλλης μορφής μη γραμμικότητα στην αντικειμενική συνάρτηση) οι συντελεστές που αναπαριστούν τις σχέσεις μεταξύ όλων των υποψήφιων κλάδων παραγωγής για κάθε εκμετάλλευση. Στην περίπτωση που χρησιμοποιείται η τετραγωνικής μορφής συνάρτηση κόστους, ο πίνακας Q για κάθε εκμετάλλευση θα πρέπει να περιλαμβάνει επιπλέον γραμμές και στήλες οι οποίες θα περιέχουν και τους συντελεστές για τις μη παρατηρούμενες δραστηριότητες, με αποτέλεσμα να μετατρέπεται στον επαυξημένο S. q q q s q q q s S q q q s = s s s s Q Στον 4 4 πίνακα S που απεικονίζεται παραπάνω, ο αρχικός πίνακας Q αποτελεί την 3 3 διαμέριση και περιλαμβάνει τους συντελεστές q για τις παρατηρούμενες καλλιέργειες, ενώ τα στοιχεία s της 4 ης γραμμής και της 4 ης στήλης αποτελούν τους αντίστοιχους συντελεστές με τους οποίους συσχετίζονται οι εναλλακτικές δραστηριότητες με τις ήδη παρατηρούμενες. Aν και υπάρχουν δημοσιεύσεις που πραγματεύονται το παραπάνω ερώτημα, (Paris & Arfini, 2000; Blanco et al., 2008), η παρούσα εργασία ακολουθεί τη μέθοδο που προτείνουν οι Paris και Arfini (2000) και αφορά στη τεχνική της «αυτόεπιλογής» (Self-selection). Η μέθοδος υποθέτει την ύπαρξη μιας συνάρτησης κόστους που περιλαμβάνει το σύνολο των δραστηριοτήτων σε μια εξεταζόμενη περιοχή, με την κάθε εκμετάλλευση στην περιοχή αυτή να χαρακτηρίζεται από την ίδια (συνολική) συνάρτηση κόστους συν μια απόκλιση που αναπαριστά τις διαφορές στον τρόπο παραγωγής και στις προτιμήσεις του κάθε παραγωγού. Για το σκοπό αυτό προτείνεται η κατασκευή μιας εικονικής εκμετάλλευσης ( VF ), η οποία παρουσιάζει ως σχέδιο παραγωγής τη συνολική έκταση των καλλιεργειών του δείγματος και συνεπώς σχηματίζει έναν πίνακα S πλήρως αναπτυγμένο, δηλαδή με τη μέγιστη δυνατή διάσταση (ίση με τον αριθμό των καλλιεργειών στο δείγμα των εκμεταλλεύσεων). Σύμφωνα με τη μέθοδο της «αυτό- 7

18 επιλογής», η συνάρτηση οριακού μεταβλητού κόστους της εικονικής εκμετάλλευσης S x παριστάνει τον ιδανικό τρόπο παραγωγής, αποτελώντας έτσι τη συνοριακή nj j συνάρτηση κόστους (Frontier cost function) για όλες τις υπόλοιπες (πραγματικές) εκμεταλλεύσεις του δείγματος. Με βάση τα παραπάνω, για κάθε πραγματική εκμετάλλευση f του δείγματος, η συνάρτηση οριακού μεταβλητού κόστους θα ισούται με MVC ( f ) = Snj x j( f ) +U n( f ), όπου ο όρος U παριστάνει την απόκλιση n( f ) στο κόστος παραγωγής της n δραστηριότητας που παρουσιάζει κάθε εκμετάλλευση από το αντίστοιχο της εικονικής. Είναι προφανές πως τα στοιχεία κάθε διανύσματος U πρέπει να είναι θετικά, αφού δείχνουν την κάθετη απόσταση της συνάρτησης n( f ) κόστους της f εκμετάλλευσης από τη συνοριακή συνάρτηση κόστους της εικονικής εκμετάλλευσης, για διάφορα επίπεδα παραγωγής x. Έτσι, η μέγιστη εντροπία n( f ) χρησιμοποιείται πλέον όχι μόνο για την εύρεση του S, αλλά και για την εκτίμηση των στοιχείων του διανύσματος σφάλματος U. Η αλγεβρική διατύπωση του προβλήματος μεγιστοποίησης της εντροπίας στη μέθοδο της «αυτό-επιλογής», διαφοροποιείται σε σχέση με την αντίστοιχη για την περίπτωση της μιας εκμετάλλευσης ως προς τον τρόπο με τον οποίο εκφράζεται η αρχική εξίσωση (), η οποία αντικαθίσταται από τους περιορισμούς (2), (3) και (4). Πιο συγκεκριμένα: F K K K L D U L L D D U U max H( pk, pk, pk( f )) = pkln( pk) + pkln( pk) + pk( f ) ln( p k( f )) f = k= k= k= και περιορισμούς: Για την εικονική εκμετάλλευση: n( VF ) n( VF ) nj Rj( VF ) j= MVC λ + c = S x (2) Για όσες εκμεταλλεύσεις παράγουν το προϊόν n : MVC λ + c = S x + U x > 0 (3) n( f ) n( f ) nj Rj( f ) n( f ) Rn( f ) j= Για όσες εκμεταλλεύσεις δεν παράγουν το προϊόν n : MVC λ + c S x + U x = 0 (4) nvf ( ) nvf ( ) nj Rj( f) n( f) Rn( f) j= και επιπλέον 8

19 K z p k = K z p k = = l L L k k nj = d D D k k nn K L p = k, k = K D U p = k, p k ( f ) k = K k = = p, p, p 0 L D U k k k( f ) όπου k =, 2,..., K, f =, 2,, F και n, j =,2,, Η εξίσωση (2) υπολογίζει τη συνοριακή συνάρτηση κόστους της εικονικής εκμετάλλευσης, ενώ η (3) αφορά στις εκμεταλλεύσεις όπου παρατηρείται ο n κλάδος παραγωγής και για τον οποίο συνεπώς το οριακό μεταβλητό λ + c κόστος ισούται ακριβώς με S x ( ) +U ( ). Αντίθετα, ο περιορισμός (4) n( f ) n( f ) nj j f n f αναφέρεται στις εκμεταλλεύσεις οι οποίες δεν καλλιεργούν το προϊόν n, άρα το οριακό μεταβλητό κόστος για το προϊόν αυτό, εφόσον αποφασίσουν να το καλλιεργήσουν, θα πρέπει είναι τουλάχιστον ίσο με το αντίστοιχο της εικονικής εκμετάλλευσης, δηλαδή είτε S x ( ), είτε S x ( ) +U ( ). nj j f nj j f n f Η τρίτη φάση του ΘΜΠ κατά την εφαρμογή της μεθόδου της «αυτόεπιλογής» είναι όμοια με την περίπτωση της απλής εκμετάλλευσης με μόνη διαφορά ότι η μη γραμμική συνάρτηση κόστους περιλαμβάνει επιπλέον και τον όρο T σφάλματος Un( f ) x n( f ), για κάθε μια από τις f εκμεταλλεύσεις του δείγματος. max GM με περιορισμούς: x n( f ) ( f ) n= xn( f ) 0 = pr x x S x U x ( f ) n( f ) n( f ) n( f ) nj j( f ) n( f ) n( f ) n= j= 2 b όπου n, j =,2,, και f =, 2,, F. Και πάλι προκύπτει η λύση xn( f ) = x αναπαράγοντας έτσι τα Rn( f ) αποτελέσματα του έτους βάσης. 9

20 4.2. Επέκταση σε μη παρατηρούμενες δραστηριότητες Με τον τρόπο που μόλις περιγράφτηκε είναι δυνατό να δημιουργηθεί μη γραμμική συνάρτηση κόστους για κάθε μια από τις εξεταζόμενες εκμεταλλεύσεις, λαμβάνοντας υπόψη και όλες τις παρατηρούμενες καλλιέργειες. Ωστόσο, η εισαγωγή στην αντικειμενική συνάρτηση (δηλαδή στον πίνακα S) καλλιεργειών που δεν παρατηρούνται σε καμία από τις εξεταζόμενες εκμεταλλεύσεις δεν έχει αποτελέσει αντικείμενο έρευνας, εκτός από τους Judéz et al. (2008) που όμως δεν αναφέρονται σε εντελώς νέες δραστηριότητες, αλλά σε διαφορετικές ποικιλίες ή εναλλακτικούς τρόπους παραγωγής (άρδευση ή μη) ήδη παρατηρούμενων καλλιεργειών. Για τη παρούσα εργασία και στα πλαίσια της συνεργασίας με το πανεπιστήμιο της Πάρμα, προτείνεται και εφαρμόζεται μια πολύ απλή τεχνική για την εισαγωγή της καλλιέργειας ενεργειακών φυτών στο σχέδιο παραγωγής μιας εκμετάλλευσης όταν δεν υπάρχουν παρατηρήσεις για το έτος βάσης. Να σημειωθεί πως αν και η τεχνική που υιοθετήθηκε περιγράφεται για μια εκμετάλλευση, μπορεί εύκολα να επεκταθεί και σε δείγμα εκμεταλλεύσεων με τη χρήση της μεθόδου της «αυτό-επιλογής» η οποία αναλύθηκε προηγουμένως. Η εισαγωγή σε ένα υπόδειγμα ΘΜΠ μιας νέας δραστηριότητας (για την οποία είναι γνωστά τόσο η Ακαθάριστη Πρόσοδος ανά στρέμμα μεταβλητό κόστος παραγωγής ανά στρέμμα c en pr en, όσο και το ), στηρίζεται στην υπόθεση πως η εκμετάλλευση κατά το έτος βάσης εμφανίζει στο σχέδιο παραγωγής της τη νέα δραστηριότητα σε πολύ μικρή όμως έκταση (π.χ. ίση με x R ). Έτσι, η πρώτη φάση του ΘΜΠ μπορεί να γραφτεί ως: en = max f ( x ) = ( pr c ) x + ( pr c ) x και περιορισμούς: en n= n en en en n n n n= x + x b [ y ] n xn x Rn +ε [ λ n ] x x +ε en R en x, x 0 n en όπου n=,2,..., 20

21 Η επιλογή του μικρού επιπέδου παραγωγής ε για την ενεργειακή καλλιέργεια έγινε για να μην επηρεαστεί το τελικό υπολογιζόμενο ακαθάριστο κέρδος της εκμετάλλευσης αλλά ούτε και να μεταβληθεί σημαντικά η σκιώδης τιμή y του περιορισμού για τη συνολική έκταση γης. Εξάλλου, ανεξάρτητα από τη παρατηρούμενη έκταση και εφόσον δεν πρόκειται για οριακή δραστηριότητα θα προκύπτει πάντα μια σκιώδης τιμή μεταβλητό κόστος c+ λ =Qx, όπως η (8). λ en η οποία σε συνδυασμό με το γνωστό c en θα επιτρέπει τη διατύπωση μιας εξίσωσης της μορφής Ο πίνακας Q της εκμετάλλευσης θα έχει τη μορφή του επαυξημένου S και διάσταση ( + ) ( + ), με τα στοιχεία s να αντιπροσωπεύουν τον τρόπο με τον οποίο η νέα δραστηριότητα σχετίζεται με τις ήδη παρατηρούμενες. Ομοίως τα διανύσματα λ και c θα έχουν διάσταση +, δηλαδή υφιστάμενες καλλιέργειες συν την ενεργειακή. Ένα σημείο που χρήζει ιδιαίτερης προσοχής κατά το στάδιο εκτίμησης των στοιχείων του πίνακα Q και ειδικότερα όσων αναφέρονται στη νεοεισαχθείσα δραστηριότητα, είναι ο ορισμός των υποστηρικτικών τιμών που σχετίζονται με αυτή. Πιο συγκεκριμένα, όταν χρησιμοποιείται ένα ενιαίο διάνυσμα υποστηρικτικών τιμών για όλες τις καλλιέργειες, ένα πολύ μικρό επίπεδο παραγωγής για το x R en οδηγεί σε τιμές των q του ενεργειακού φυτού κατά πολύ υψηλότερες σε σχέση με τα υπόλοιπα στοιχεία του Q. Δεδομένου πως κάθε q αντιπροσωπεύει το βαθμό υποκατάστασης nj ή συμπληρωματικότητας μεταξύ των κλάδων n και j, η ενεργειακή καλλιέργεια φαίνεται πως συνεισφέρει σε πολύ μεγάλο βαθμό στη διαμόρφωση του τελικού συνολικού μεταβλητού κόστους xnqnjx, με αποτέλεσμα να υποκαθίσταται j ευκολότερα και να δημιουργεί προβλήματα όταν επιχειρείται η χρήση του υποδείγματος για ανάλυση πολιτικής. Έτσι, αν και με τη χρήση του αρχικού x = Ren το υπόδειγμα επιτυγχάνει να αναπαράγει τα αποτελέσματα του έτους βάσης, αδυνατεί να δώσει ρεαλιστικά αποτελέσματα όταν εξετάζονται οι μεταβολές σε κάποιες παραμέτρους (π.χ. τιμή του ενεργειακού φυτού). Αυτό οφείλεται ακριβώς στη πολύ χαμηλή τιμή του προβληματική εκτίμηση των στοιχείων του Q. x Ren που έχει οδηγήσει σε 2

22 Να σημειωθεί πως τα στοιχεία του πίνακα Q για τα οποία το πρόβλημα παρουσιάζεται οξύτερο είναι τα διαγώνια στοιχεία q nn, τα οποία αντιπροσωπεύουν την ελαστικότητα ως προς την τιμή του προϊόντος n. Αυτό σημαίνει πως εξαιτίας της χαμηλής τιμής του x Ren, ο τρόπος με τον οποίο υπολογίζονται τα στοιχεία του Q, δημιουργεί υπερβολικά χαμηλή ελαστικότητα προσφοράς για τη μη παρατηρούμενη δραστηριότητα, με αποτέλεσμα η αύξηση της τιμής να συνεπάγεται πολύ μικρή αύξηση της καλλιεργούμενης έκτασης. Τα παραπάνω γίνονται εμφανή στο διάγραμμα που ακολουθεί: Για διαφορετικά επίπεδα x Ren, το υπόδειγμα παράγει διαφορετικές καμπύλες οριακού και μέσου μεταβλητού κόστους, η κλίση των οποίων αυξάνει όσο μικρότερη είναι η αρχική επιλεχθείσα τιμή του x Ren. AVC ΜVC MVC (α) AVC (α) MVC (β) pr A B AVC (β) x Ren(α) x Ren(β) x en Τα α και β του διαγράμματος αναφέρονται σε διαφορετικά επίπεδα του με R en( β ) R en( α ) x Ren x > x. Όπως είναι εμφανές, όταν η αρχική έκταση της ενεργειακής καλλιέργειας είναι πολύ μικρή, το μέσο μεταβλητό κόστος για μεγάλα επίπεδα αυξάνει υπερβολικά με αποτέλεσμα να μην είναι συμφέρουσα η εισαγωγή της στο σχέδιο παραγωγής της εκμετάλλευσης. Σε κάθε περίπτωση, το κριτήριο της μέγιστης εντροπίας διαμορφώνει τον πίνακα Q δηλαδή τη κλίση της καμπύλης οριακού μεταβλητού κόστους με τέτοιο τρόπο, ώστε για δεδομένο διάνυσμα αναπαράγονται τα αποτελέσματα του έτους βάσης. x en x R να 22

23 Η παρατήρηση αυτή είναι συνεπής με τη βασική υπόθεση του ΘΜΠ πως το υφιστάμενο σχέδιο παραγωγής είναι το άριστο, αφού σε οικονομικούς όρους σημαίνει πως το οριακό κόστος μιας δραστηριότητας που δεν παρατηρείται είναι πολύ μεγαλύτερο από το οριακό της κέρδος, με αποτέλεσμα να παραβιάζεται η συνθήκη αριστοποίησης MR= MC. Έτσι φαίνεται πως το παρατηρούμενο επίπεδο παραγωγής κάθε δραστηριότητας επηρεάζει την εκτίμηση του πίνακα Q, αφού αποδίδονται μικρότερες τιμές στα στοιχεία εκείνα που σχετίζονται με τις καλλιέργειες που παρουσιάζουν την μεγαλύτερη έκταση. Η λύση στο πρόβλημα δεν είναι άλλο από τη σωστή επιλογή του διανύσματος των υποστηρικτικών τιμών, ώστε τα στοιχεία του πίνακα Q που προκύπτουν από την εφαρμογή της μέγιστης εντροπίας να προσεγγίζουν τις τιμές πραγματικών ελαστικοτήτων, τουλάχιστον σε επίπεδο αριθμητικής κλίμακας. Μάλιστα, οι (Heckelei & Britz, 2000) υποστηρίζουν πως εφόσον είναι γνωστές οι ελαστικότητες προσφοράς κάθε παρατηρούμενης καλλιέργειας, δεν είναι καν απαραίτητη η χρήση της μέγιστης εντροπίας για την εκτίμηση του Q. Για την παρούσα εργασία, ελλείψει στοιχείων για ελαστικότητες ενεργειακών φυτών, προτιμήθηκε η μείωση της κλίμακας των υποστηρικτικών τιμών κατά ένα ποσοστό ώστε όλα τα διαγώνια στοιχεία του πίνακα Q να βρίσκονται πρακτικά στο ίδιο επίπεδο. Πλέον, η διαφορά στην αλγεβρική διατύπωση του μη γραμμικού προβλήματος σε σχέση με το αρχικό γραμμικό εντοπίζεται στην αντικειμενική συνάρτηση και στον περιορισμό 3, που αφορά στις συνολικές μεταβλητές δαπάνες: max Z = spp+ ( yld ( pr + ps ) + ls ) x ( x S x + U x ) 5x 0x n n n n n n nj j n n vetch setaside n= 2 n= j= Περιορισμός μεταβλητών δαπανών: 5x + 0 x + x S x + U x tot _ vxp ( ) vetch setaside n nj j n n 2 n= j= 5. Παραγωγή καμπυλών προσφοράς για ενεργειακές καλλιέργειες Το δείγμα των εκμεταλλεύσεων που χρησιμοποιήθηκε για την εφαρμογή τόσο του απλού γραμμικού υποδείγματος όσο και του ΘΜΠ αποτελείται από 500 συνολικά 23

24 πρώην καπνοπαραγωγικές εκμεταλλεύσεις, εκ των οποίων 360 προέρχονται από την Αιτωλοακαρνανία, 70 από την Καρδίτσα και 70 από το Κιλκίς. Τα δεδομένα των εκμεταλλεύσεων του δείγματος αναφέρονται στο 2005, τελευταίο έτος πριν την εφαρμογή των μέτρων της ενδιάμεσης αναθεώρησης στην Ελλάδα. Οι εκμεταλλεύσεις της Αιτωλοακαρνανίας (Πίνακας 8) είναι σχετικά μικρές σε μέγεθος (36.6 στρέμματα), ενώ χαρακτηρίζονται από τη μεγάλη έκταση δενδρωδών καλλιεργειών, με κυρίαρχη την επιτραπέζια ελιά η οποία εμφανίζεται στο 44.7% των εκμεταλλεύσεων. Να σημειωθεί πως για τις ανάγκες της παρούσας εργασίας, οι δενδρώδεις καλλιέργειες δεν λήφθηκαν υπόψη, αφού λόγω του πολυετούς χαρακτήρα τους δεν μπορούν να εξομοιωθούν από ένα στατικό υπόδειγμα γραμμικού προγραμματισμού, δεν είναι δυνατό να. Σημαντική είναι και η καλλιέργεια φυτών που χρησιμοποιούνται ως ζωοτροφή (βρώμη και μηδική), γεγονός που δικαιολογείται από την ύπαρξη κτηνοτροφικών κλάδων παραγωγής περίπου στο ένα τρίτο των εκμεταλλεύσεων της περιοχής. Πίνακας 8. Χαρακτηριστικά εκμεταλλεύσεων Αιτωλοακαρνανίας ΜΕΣΟΙ ΟΡΟΙ Μ.Ο. έκτασης (στρ.) Ποσοστό επί Χ.Γ.Ε. Χ.Γ.Ε 36,6 Αρδευόμενη έκταση 23,6 64,5% Ιδιόκτητη έκταση 22,8 62,3% Έκταση δικαιωμάτων 28,8 78,7% ΚΥΡΙΟΤΕΡΕΣ ΚΑΛΛΙΕΡΓΕΙΕΣ Μ.Ο. έκτασης (στρ.) Ποσοστό Εκμεταλλεύσεων Καπνός 8,9 00,0% Βρώμη 3,8 2,8% Μηδική 4,8 7,2% Αραβόσιτος 5,2 2,2% Ελιές επιτραπέζιες 6,2 44,7% Ελιές ελαιοποιήσιμες 3,3 33,3% Χαρακτηριστικό των εκμεταλλεύσεων της Καρδίτσας (Πίνακας 9) είναι το σχετικά μεγάλο μέγεθος τους (μέσος όρος 7 στρ.) καθώς και το υψηλό ποσοστό αυτών που καλλιεργούν βαμβάκι (94,3%). Το βαμβάκι είναι από πλευράς έκτασης η σημαντικότερη καλλιέργεια του δείγματος και η παρουσία του, σε συνδυασμό με τη 24

25 καλλιέργεια του καπνού, δικαιολογεί το υψηλό ποσοστό των αρδευόμενων εκτάσεων (88,2% της Χ.Γ.Ε.) Να σημειωθεί πως για τον καπνό, η μοναδική καλλιεργούμενη ποικιλία είναι το Virginia. Πίνακας 9. Χαρακτηριστικά εκμεταλλεύσεων Καρδίτσας ΜΕΣΟΙ ΟΡΟΙ Μ.Ο. έκτασης (στρ.) Ποσοστό επί Χ.Γ.Ε. Χ.Γ.Ε 7 Αρδευόμενη έκταση 03,2 88,2% Ιδιόκτητη έκταση 69,6 59,5% Έκταση δικαιωμάτων 96,2 82,2% ΚΥΡΙΟΤΕΡΕΣ ΚΑΛΛΙΕΡΓΕΙΕΣ Μ.Ο. έκτασης (στρ.) Ποσοστό Εκμεταλλεύσεων Καπνός 22,7 00,0% Βαμβάκι 64,5 94,3% Σ. Σιτάρι 3, 40,0% Αραβόσιτος 8, 35,7% Οι εκμεταλλεύσεις του Κιλκίς (Πίνακας 0) είναι μέσου μεγέθους (77.7 στρέμματα κατά Μ.Ο.) και εμφανίζουν μικρότερη καλλιεργητική ποικιλομορφία σε σχέση με τους υπόλοιπους νομούς, αφού, πέρα από τον καπνό το βαμβάκι και το σκληρό σιτάρι αποτελούν τις κυριότερες καλλιέργειες. Χαρακτηριστικό επίσης είναι το μικρό ποσοστό ιδιοκτησίας (26,5%), το οποίο είναι το χαμηλότερο μεταξύ των τριών περιοχών. 25

26 Πίνακας 0. Χαρακτηριστικά εκμεταλλεύσεων Κιλκίς ΜΕΣΟΙ ΟΡΟΙ Μ.Ο. έκτασης (στρ.) Ποσοστό επί Χ.Γ.Ε. Χ.Γ.Ε. 77,7 Αρδευόμενη έκταση 49,7 64,0% Ιδιόκτητη έκταση 20,6 26,5% Έκταση δικαιωμάτων 76,3 98,2% ΚΥΡΙΟΤΕΡΕΣ ΚΑΛΛΙΕΡΓΕΙΕΣ Μ.Ο. έκτασης (στρ.) Ποσοστό Εκμεταλλεύσεων Καπνός 7,6 00,0% Βαμβάκι 7,5 35,7% Σ. Σιτάρι 23 45,7% Κάθε καλλιέργεια που εμφανίζεται στο δείγμα των εκμεταλλεύσεων κάθε περιοχής, θεωρήθηκε ως υποψήφιος παραγωγικός κλάδος. Για την εκτίμηση των αποδόσεων όσων καλλιεργειών δεν εμφανίζονται στο σχέδιο παραγωγής κάποιων εκμεταλλεύσεων κατά το έτος βάσης, ακολουθήθηκε μια διαδικασία η οποία λαμβάνει υπόψη το σύνολο των παρατηρήσεων για τα έτη 2005 και Έτσι, υπολογίστηκαν ο μέσος όρος και η τυπική απόκλιση των αποδόσεων κάθε καλλιέργειας σε κάθε νομό, αφαιρώντας το 5% των ανώτερων και κατώτερων ακραίων τιμών (Παράρτημα Ι). Η διαδικασία αυτή εφαρμόστηκε σε κάθε μια από τις περιοχές μελέτης, με αποτέλεσμα ο κάθε νομός να παρουσιάζει διαφορετική κατανομή για το ίδιο φυτό. Για την εκτίμηση της πιθανής απόδοσης μιας καλλιέργειας σε ένα αγροτεμάχιο, έγιναν οι δυο παρακάτω υποθέσεις:. Η απόδοση οποιασδήποτε καλλιέργειας σε κάθε μια από τις περιοχές του δείγματος ακολουθεί κανονική κατανομή. 2. Η τιμή που παίρνει η αθροιστική συνάρτηση κατανομής της απόδοσης της παρατηρούμενης καλλιέργειας σε κάποιο αγροτεμάχιο κατά το έτος 2005 είναι σταθερή και χαρακτηρίζει το συγκεκριμένο αγροτεμάχιο. Ειδικότερα, η τιμή της αθροιστικής συνάρτησης κατανομής της απόδοσης της παρατηρούμενης καλλιέργειας κάθε αγροτεμαχίου, υπολογίστηκε με βάση το μέσο όρο και την τυπική απόκλιση που παρουσιάζει η συγκεκριμένη καλλιέργεια στον 26

27 οικείο νομό. Η τιμή αυτή μπορεί να θεωρηθεί ως σταθερά που εκφράζει την ποιότητα του εδάφους, την καταλληλότητα της διαχείρισης της καλλιέργειας από τον παραγωγό (επαρκής άρδευση, λίπανση, προετοιμασία του εδάφους, καλλιεργητικές φροντίδες) και αστάθμητους παράγοντες που δεν είναι εύκολο να καταγραφούν ή να ληφθούν υπόψη, όπως η επάρκεια των βροχοπτώσεων ή η ξηρασία και οι προσβολές από ασθένειες. Για τον υπολογισμό της πιθανής απόδοσης ακολουθήθηκε η αντίστροφη διαδικασία, δηλαδή έχοντας ως δεδομένο το μέσο όρο και την τυπική απόκλιση της κατανομής κάθε καλλιέργειας, χρησιμοποιήθηκε η σταθερά που χαρακτηρίζει το αγροτεμάχιο για να υπολογιστεί απόδοση που αντιστοιχεί σε αυτό. Η σταθερά αυτή μπορεί να χρησιμοποιηθεί στις κατανομές των αποδόσεων κάθε υποψήφιας καλλιέργειας, προκειμένου να εκτιμηθεί η απόδοση της στο συγκεκριμένο αγροτεμάχιο. Διαγραμματικά τα βήματα που ακολουθήθηκαν μπορούν να περιγραφτούν ως εξής: Υπολογισμός του μέσου όρου και της τυπικής απόκλισης των αποδόσεων κάθε καλλιέργειας σε κάθε νομό με βάση τα στοιχεία του 2005 & Υπολογισμός της τιμής της αθροιστικής συνάρτησης κατανομής της απόδοσης της καλλιέργειας που παρατηρείται σε ένα αγροτεμάχιο κατά το 2005, με βάση την κατανομή της απόδοσης κάθε καλλιέργειας για τον οικείο νομό. Χρήση της τιμής της αθροιστικής συνάρτησης κατανομής της παρατηρούμενης καλλιέργειας στην αντίστοιχη κατανομή κάθε υποψήφιας καλλιέργειας για την εκτίμηση της πιθανής απόδοσης της στο συγκεκριμένο αγροτεμάχιο. Ένα πρόβλημα που εμφανίστηκε, αφορούσε στο μικρό αριθμό παρατηρήσεων σε κάποιες καλλιέργειες με συνέπεια η τυπική απόκλιση να προσεγγίζει το μέσο όρο της κατανομής. Αυτό επιλύθηκε μερικώς με τη χρήση των παρατηρήσεων της βάσης δεδομένων και για τα δυο έτη, μειώνοντας έτσι τη προκύπτουσα τυπική απόκλιση. Όπου αυτό δεν κατέστη δυνατό (και για τα δυο έτη ο αριθμός των παρατηρήσεων 27

28 είναι μικρός), χρησιμοποιήθηκε ο μέσος όρος για το σύνολο του δείγματος. Στη συνέχεια ακολουθήθηκε η ίδια διαδικασία (αντιστοιχία στην αθροιστική συνάρτηση κατανομής κτλ) για τον υπολογισμό των πιθανών αποδόσεων σε κάθε αγροτεμάχιο. Ειδικά για τη μηδική, λόγω και του πολυετούς χαρακτήρα της καλλιέργειας, χρησιμοποιήθηκαν στο Κιλκίς και στην Καρδίτσα αυθαίρετες τιμές που δεν προέρχονται από το δείγμα (μέσος όρος 200 και τυπική απόκλιση 200). Επίσης, σε κάποιες περιπτώσεις οι αποδόσεις που προέκυψαν ήταν υπερβολικά υψηλές ή χαμηλές. Οι τιμές αυτές διορθώθηκαν με τον ορισμό ανώτατων και κατώτατων ορίων, με βάση τη παρατηρούμενη μέγιστη και ελάχιστη απόδοση των καλλιεργειών σε κάθε νομό. Ποτιστικές καλλιέργειες όπως ο αραβόσιτος και το βαμβάκι αποκλείστηκαν από τα ξηρικά αγροτεμάχια ενώ οι βιολογικές καλλιέργειες και τα κηπευτικά περιορίστηκαν στα αγροτεμάχια όπου παρατηρούνται κατά το Σε αγροτεμάχια που χρησιμοποιούνται ως βοσκές ή βρίσκονται σε αγρανάπαυση, χρησιμοποιήθηκαν ο μέσος όρος και η τυπική απόκλιση της απόδοσης κάθε υποψήφιας καλλιέργειας, είτε για το νομό, είτε για το δείγμα, ανάλογα με το πλήθος των παρατηρήσεων σε κάθε περίπτωση. Επίσης δόθηκε η δυνατότητα να καλλιεργηθεί ποτιστικό σκληρό σιτάρι (μόνο στα αρδευόμενα αγροτεμάχια), με απόδοση που υπολογίστηκε κατά 20% υψηλότερη από την αντίστοιχη εκτιμώμενη για το ξηρικό σιτάρι. Στις περιπτώσεις όπου η καλλιέργεια σκληρού σιταριού εμφανίζεται σε αρδευόμενο αγροτεμάχιο, η παρατηρούμενη απόδοση θεωρήθηκε ότι αναφέρεται σε ποτιστικό σιτάρι κι έτσι η απόδοση του ξηρικού σιταριού υπολογίστηκε κατά 20% χαμηλότερη. Οι μεταβλητές δαπάνες κάθε υποψήφιου κλάδου παραγωγής προέρχονται από το μέσο όρο των μεταβλητών δαπανών του αντίστοιχου κλάδου σε κάθε νομό. Ωστόσο, σε όποιες καλλιέργειες η τυπική απόκλιση προσέγγιζε το μέσο όρο των δαπανών, χρησιμοποιήθηκε ο μέσος όρος του δείγματος. Αντίθετα, στις καλλιέργειες που παρατηρούνται κατά το 2005 χρησιμοποιήθηκαν οι μεταβλητές δαπάνες όπως έχουν δηλωθεί και υπολογιστεί από τη βάση δεδομένων. Ο πίνακας που κατασκευάστηκε για τις μεταβλητές δαπάνες ακολουθεί ακριβώς την ίδια δομή με τον αντίστοιχο για τις αποδόσεις. Έτσι δεν υπολογίστηκαν 28

29 ούτε μεταβλητές δαπάνες καλλιεργειών που δεν παρατηρούνται σε κάποιο από τα δυο έτη, αλλά ούτε και δαπάνες για ποτιστικές καλλιέργειες σε μη αρδευόμενα αγροτεμάχια. Σε αντίθεση με τις αποδόσεις των συμβατικών καλλιεργειών, για τις οποίες εφαρμόστηκε η παραπάνω μέθοδος, για τις ενεργειακές εκτιμήθηκε η πιθανή απόδοση τους σε κάθε εκμετάλλευσης, με βάση την καταγεγραμμένη απόδοση του καπνού. Συγκεκριμένα, για κάθε ενεργειακή καλλιέργεια κατασκευάστηκε μια συνάρτηση κανονικής κατανομής με τη βοήθεια κατάλληλων μέσων όρων και τυπικών αποκλίσεων, έτσι ώστε η αντιστοίχιση των κατανομών τους με τη «σταθερά» των εκμεταλλεύσεων να δίνει ανώτατες αποδόσεις ίσες με το δυναμικό παραγωγής που υπολογίστηκε κατά τη διάρκεια της διεξαγωγής των πιλοτικών αγρών στη περιοχή. Στα διαγράμματα που ακολουθούν παρουσιάζονται τα αποτελέσματα της εφαρμογής των μεθόδων του Γραμμικού και του Θετικού Μαθηματικού Προγραμματισμού στη προσπάθεια εκτίμησης της προσφοράς ενεργειακών φυτών στη περιοχή της Καρδίτσας. Κάθε διάγραμμα στην αριστερή πλευρά δείχνει τη σχέση της τιμής προϊόντος και του αντίστοιχου ποσοστού της συνολικής έκτασης του δείγματος, το οποίο μπορεί να καλυφτεί από την εξεταζόμενη καλλιέργεια. Στη δεξιά πλευρά φαίνεται το πώς διαμορφώνεται η σύνθεση των καλλιεργειών της περιοχής για συνεχώς αυξανόμενες τιμές του ενεργειακού φυτού. Αποτελέσματα υποδείγματος Γραμμικού Προγραμματισμού Τιμή σόργου ( /κιλό) Καμπύλη προσφοράς Σόργου 0,2 0,0 0,08 0,06 0,04 0,02 0,00 0% 0% 20% 30% 40% 50% 60% Ποσοστό κάλυψης συνολικής έκτασης δείγματος Ποσοστό κάλυψης συνολικής έκτασης δείγματος 00% 80% 60% 40% 20% 0% Μεταβολή στη σύνθεση των καλλιεργειών 0,00 0,0 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 Τιμή σόργου ( /κιλό) 0,07 0,08 0,09 Μηδική Βαμβάκι Σ.Σιτάρι Αραβόσιτος Σόργο Αγρανάπαυση 0,0 29

30 Τιμή Ηλίανθου ( /κιλό) Καμπύλη προσφοράς Ηλίανθου,2,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 0% 0% 20% 30% 40% 50% 60% 70% Ποσοστό κάλυψης συνολικής έκτασης δείγματος Ποσοστό κάλυψης συνολικής έκτασης δείγματος 00% 80% 60% 40% 20% 0% 0,0 Μεταβολή στη σύνθεση των καλλιεργειών 0, 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 Τιμή Ηλίανθου ( /κιλό) Μηδική Βαμβάκι Σ.Σιτάρι Αραβόσιτος Ηλίανθος Αγρανάπαυση 0,7 0,8 0,9,0 Καμπύλη προσφοράς Αγριαγκινάρας Μεταβολή στη σύνθεση των καλλιεργειών Τιμή Αγριαγκινάρας ( /κιλό) 0,2 0,0 0,08 0,06 0,04 0,02 0,00 0% 20% 40% 60% 80% 00% Ποσοστό κάλυψης συνολικής έκτασης δείγματος 00% 80% 60% 40% 20% 0% 0,00 0,0 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 Τιμή Αγριαγκινάρας ( /κιλό) 0,09 0,0 Ποσοστό κάλυψης συνολικής έκτασης δείγματος Μηδική Βαμβάκι Σ.Σιτάρι Αραβόσιτος Αγριαγκινάρα Αγρανάπαυση Αποτελέσματα υποδείγματος Θετικού Μαθηματικού Προγραμματισμού Τιμή σόργου ( /κιλό) Καμπύλη προσφοράς σόργου 0,2 0,0 0,08 0,06 0,04 0,02 0,00 0% 0% 20% 30% 40% 50% 60% 70% Ποσοστό κάλυψης συνολικής έκτασης δείγματος Ποσοστό κάλυψης συνολικής έκτασης δείγματος 00% 80% 60% 40% 20% 0% 0,00 Μεταβολή στη σύνθεση των καλλιεργειών 0,0 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 Τιμή σόργου ( /κιλό) 0,07 0,08 0,09 Μηδική Βαμβάκι Σ.Σιτάρι Αραβόσιτος Σόργο Αγρανάπαυση 0,0 Καμπύλη προσφοράς Ηλίανθου Μεταβολή στη σύνθεση των καλλιεργειών Τιμή Ηλίανθου ( /κιλό),2,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 0% 0% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% Ποσοστό κάλυψης συνολικής έκτασης δείγματος 00% 80% 60% 40% 20% 0% 0,0 0, 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 Τιμή Ηλίανθου ( /κιλό) 0,8 0,9,0 Ποσοστό κάλυψης συνολικής έκτασης δείγματος Μηδική Βαμβάκι Σ.Σιτάρι Αραβόσιτος Ηλίανθος Αγρανάπαυση 30

31 Τιμή Αγριαγκινάρας ( /κιλό) Καμπύλη προσφοράς Αγριαγκινάρας 0,2 0,0 0,08 0,06 0,04 0,02 0,00 0% 20% 40% 60% 80% 00% Ποσοστό κάλυψης συνολικής έκτασης δείγματος Ποσοστό κάλυψης συνολικής έκτασης δείγματος 00% 80% 60% 40% 20% 0% 0,00 Μεταβολή στη σύνθεση των καλλιεργειών 0,0 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 Τιμή Αγριαγκινάρας ( /κιλό) Μηδική Βαμβάκι Σ.Σιτάρι Αραβόσιτος Αγριαγκινάρα Αγρανάπαυση 0,08 0,09 0,0 Από τα παραπάνω διαγράμματα φαίνεται πως ο ηλίανθος και η αγριαγκινάρα πλεονεκτούν του σόργου σε δυνατότητα εξάπλωσης στη περιοχή της Καρδίτσας, αφού αφενός εμφανίζονται σε χαμηλότερα επίπεδα τιμών και αφετέρου έχουν τη δυνατότητα κάλυψης μεγαλύτερης έκτασης στο σύνολο του δείγματος, κάτι, που είναι εμφανές ανεξάρτητα από τη χρησιμοποιούμενη μέθοδο. Οικονομικά αποδοτικότερο φυτό φαίνεται πως είναι η αγριαγκινάρα, η οποία σε υψηλά επίπεδα τιμών δύναται να αντικαταστήσει πλήρως το σύνολο των καλλιεργειών. Να σημειωθεί πως η αγριαγκινάρα, ως ξηρικό φυτό, δεν υπόκειται στον περιορισμό της αρδευόμενης έκτασης ο οποίος θέτει όρια στη μέγιστη έκταση των υπολοίπων δυο ενεργειακών καλλιεργειών. Σε αντίθεση με τις καμπύλες του γραμμικού υποδείγματος που εμφανίζουν πιο σταθερή κλίση, οι καμπύλες που κατασκευάστηκαν με τη μέθοδο του ΘΜΠ χαρακτηρίζονται από μεγάλη ελαστικότητα για μικρές τιμές του ενεργειακού φυτού, η οποία βαίνει συνεχώς μειούμενη καθώς η τιμή αυξάνεται. Επίσης, οι καμπύλες του ΘΜΠ ξεκινούν από χαμηλότερα επίπεδα τιμών σε σχέση με τις αντίστοιχες που κατασκευάστηκαν με το γραμμικό υπόδειγμα. Η μεγαλύτερη διαφορά παρατηρείται στη περίπτωση του σόργου, όπου η καμπύλη του ΘΜΠ έχει σημείο εκκίνησης περίπου τα 0.3 /κιλό, ενώ η καμπύλη του γραμμικού υποδείγματος ξεκινά από περίπου 0.5 /κιλό. Χαρακτηριστικό των γραφημάτων του ΘΜΠ που απεικονίζουν τη μεταβολή στη σύνθεση των καλλιεργειών του δείγματος λόγω των συνεχών αυξήσεων της τιμής της ενεργειακής καλλιέργειας, είναι η μεγάλη συμμετοχή της αγρανάπαυσης στα σχέδια παραγωγής των εκμεταλλεύσεων, τουλάχιστον σε χαμηλά επίπεδα τιμών του 3

32 ενεργειακού φυτού. Αυτό εξηγείται από το γραμμικό ορισμό της αγρανάπαυσης μέσα στην αντικειμενική συνάρτηση, ο οποίος δεν δημιουργεί αλληλεξαρτήσεις με τις υπόλοιπες μεταβλητές με αποτέλεσμα να ικανοποιούνται ευκολότερα οι περιορισμοί της συνολικής και επιλέξιμης έκτασης με την αύξηση της αγρανάπαυσης. Η μη γραμμικότητα που χαρακτηρίζει τη μέθοδο του ΘΜΠ είναι φανερή από την ομαλότερη μεταβολή των σχεδίων παραγωγής των εκμεταλλεύσεων του δείγματος, σε αντίθεση με τα αντίστοιχα γραφήματα που κατασκευάστηκαν με το γραμμικό υπόδειγμα. Χαρακτηριστικό παράδειγμα απότομης μεταβολής αποτελεί το γράφημα της αγριαγκινάρας, όπου μετά από κάποιο επίπεδο τιμών του ενεργειακού φυτού παρατηρείται ραγδαία πτώση της καλλιεργούμενης έκτασης βαμβακιού και μηδικής. 32

Κοστολόγηση στους πιλοτικούς αγρούς και ανταγωνιστικότητα των ενεργειακών καλλιεργειών

Κοστολόγηση στους πιλοτικούς αγρούς και ανταγωνιστικότητα των ενεργειακών καλλιεργειών Κοστολόγηση στους πιλοτικούς αγρούς και ανταγωνιστικότητα των ενεργειακών καλλιεργειών Πετσάκος Αθανάσιος Τσιμπούκας Κων/νος Τσουκαλάς Σταύρος Ροζάκης Στέλιος "Δημιουργία Καινοτόμων Εμπειριών Αποδεικτικού

Διαβάστε περισσότερα

1. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ

1. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ . ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Μέγιστα και Ελάχιστα Συναρτήσεων Χωρίς Περιορισμούς Συναρτήσεις μιας Μεταβλητής Εστω f ( x) είναι συνάρτηση μιας μόνο μεταβλητής. Εστω επίσης ότι x είναι ένα σημείο στο πεδίο ορισμού

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΘΕΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΣΥΝΘΕΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΥΝΘΕΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Α. Με ολοκληρωμένη λύση ΘΕΜΑ 1 ο Επιχείρηση χρησιμοποιεί την εργασία ως μοναδικό μεταβλητό παραγωγικό συντελεστή. Τα στοιχεία κόστους της επιχείρησης δίνονται στον επόμενο πίνακα:

Διαβάστε περισσότερα

2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ . ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. Εισαγωγή Οι κλασσικές μέθοδοι αριστοποίησης βασίζονται κατά κύριο λόγο στο διαφορικό λογισμό. Ο Μαθηματικός Προγραμματισμός ο οποίος περιλαμβάνει τον Γραμμικό Προγραμματισμό

Διαβάστε περισσότερα

z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n

z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Κεντρικής Μακεδονίας - Σέρρες Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Γραμμικός Προγραμματισμός & Βελτιστοποίηση Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Καθηγητής Εφαρμογών Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ

Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΚΩΣΤΑΣ ΒΕΛΕΝΤΖΑΣ Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ. Μερικές έννοιες Η συνάρτηση παραγωγής (, ), όπου είναι το συνολικό προϊόν και και οι συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΙΕΣ 4 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ. 1 η Ομάδα: Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής

ΕΡΓΑΣΙΕΣ 4 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ. 1 η Ομάδα: Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής ΕΡΓΑΣΙΕΣ 4 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 1 η Ομάδα: Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. Σύμφωνα με το νόμο της προσφοράς: α) Η προσφερόμενη ποσότητα ενός αγαθού αυξάνεται όταν μειώνεται η τιμή του στην αγορά β) Η προσφερόμενη

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 1 Ένα κεντρικό βιβλιοπωλείο ειδικεύεται στα λογοτεχνικά βιβλία και τα βιβλία τέχνης. Προκειμένου να προωθήσει μια νέα συλλογή λογοτεχνικών βιβλίων και βιβλίων τέχνης, η διεύθυνση του βιβλιοπωλείου

Διαβάστε περισσότερα

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex 3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex Παράδειγμα 1ο (Παράδειγμα 1ο - Κεφάλαιο 2ο - σελ. 10): Το πρόβλημα εκφράζεται από το μαθηματικό μοντέλο: max z = 600x T + 250x K + 750x Γ + 450x B 5x T + x K + 9x Γ + 12x

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutra@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 07-08 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΟΜαθηµατικός Προγραµµατισµός είναι κλάδος των εφαρµοσµένων µαθηµατικών που ασχολείται µε την εύρεση άριστης λύσης. ιαφέρει από την κλασική αριστοποίηση στο ότι προσπαθεί να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΙΕΣ 4 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ. 1 η Ομάδα: Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής

ΕΡΓΑΣΙΕΣ 4 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ. 1 η Ομάδα: Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής ΕΡΓΑΣΙΕΣ 4 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 1 η Ομάδα: Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. Σύμφωνα με το νόμο της προσφοράς: α) Η προσφερόμενη ποσότητα ενός αγαθού αυξάνεται όταν μειώνεται η τιμή του στην αγορά β) Η προσφερόμενη

Διαβάστε περισσότερα

Α) δηλώνουν τις ποσότητες που, ανάλογα με το πρόβλημα, θα παραχθούν, επενδυθούν, αγοραστούν, κατασκευαστούν κ.λπ.

Α) δηλώνουν τις ποσότητες που, ανάλογα με το πρόβλημα, θα παραχθούν, επενδυθούν, αγοραστούν, κατασκευαστούν κ.λπ. 1. 0 γραμμικός προγραμματισμός μπορεί να εφαρμοστεί στη διαχείριση αγροτικής παραγωγής για τη βέλτιστη κατανομή πόρων όπως., με τρόπο που να οδηγεί στη μεγιστοποίηση των κερδών. Α) διαθέσιμης προς καλλιέργειας

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές έννοιες. Κατηγορίες προβλημάτων (σε μια διάσταση) Προβλήματα εύρεσης μεγίστου. Συμβολισμοί

Εισαγωγικές έννοιες. Κατηγορίες προβλημάτων (σε μια διάσταση) Προβλήματα εύρεσης μεγίστου. Συμβολισμοί Κατηγορίες προβλημάτων (σε μια διάσταση) Εισαγωγικές έννοιες Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc164.materials.uoi.gr/dpapageo Το πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ) Δυϊκότητα Θα δείξουμε πώς μπορούμε να αντιστοιχίσουμε ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης με ένα πρόβλημα ΓΠ στην συνήθη του μορφή. Ένα πρόβλημα στην συνήθη του μορφή μπορεί να είναι ένα κατασκευαστικό πρόβλημα,

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX Θεμελιώδης αλγόριθμος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού που κάνει χρήση της θεωρίας της Γραμμικής Άλγεβρας Προτάθηκε από το Dantzig (1947) και πλέον

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΟ 2 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΛΥΜΕΝΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΟ 2 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΟ 2 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Έστω συνάρτηση ζήτησης με τύπο Q = 200 4P. Να βρείτε: α) Την ελαστικότητα ως προς την τιμή όταν η τιμή αυξάνεται από 10 σε 12. 1ος τρόπος Αν P 0 10 τότε Q 0 200 410

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ: ΜΟΝΟΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1. Αλγεβρικές συναρτήσεις... 3 1.1 Η έννοια της συνάρτησης... 3 1.2 Ασαφείς και σαφείς συναρτήσεις... 3 1.3 Γραφικές απεικονίσεις των

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ανάλυση Παλινδρόμησης

Στατιστική Ι. Ανάλυση Παλινδρόμησης Στατιστική Ι Ανάλυση Παλινδρόμησης Ανάλυση παλινδρόμησης Η πρόβλεψη πωλήσεων, εσόδων, κόστους, παραγωγής, κτλ. είναι η βάση του επιχειρηματικού σχεδιασμού. Η ανάλυση παλινδρόμησης και συσχέτισης είναι

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα I

Επιχειρησιακή Έρευνα I Επιχειρησιακή Έρευνα I Operations/Operational Research (OR) Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 09:00 12:00 Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis Περιεχόμενα EE 1&2 Εισαγωγή Μαθηματικός Προγραμματισμός - Γραμμικός

Διαβάστε περισσότερα

III.10 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ LAGRANGE

III.10 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ LAGRANGE III.10 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ LAGRANGE 1.Ισοτικός περιορισμός.περιορισμένη στασιμότητα 3.Πολλαπλασιαστής Lagrange 4.Συνάρτηση Lagrange 5.Ερμηνεία του πολλαπλασιαστή Lagrange 6.Περιορισμένη τετραγωνική μορφή 7.

Διαβάστε περισσότερα

Ελαχιστοποίηση του Κόστους

Ελαχιστοποίηση του Κόστους Ελαχιστοποίηση του Κόστους - H ανάλυση του προβλήματος ελαχιστοποίησης του κόστους παρουσιάζει τα εξής πλεονεκτήματα σε σχέση με το πρόβλημα μεγιστοποίησης του κέρδους: (1) Επιτρέπει τη διατύπωση μιας

Διαβάστε περισσότερα

Παραγωγική διαδικασία. Τεχνολογία

Παραγωγική διαδικασία. Τεχνολογία Σκοπός: Η μελέτη της σχέσης εισροών και εκροών Συντελεστές παραγωγής (Εισροές) Παραγωγική διαδικασία Παραγόμενο Προϊόν (Εκροές) Κεφαλαιουχικά αγαθά Εργασία Γή Επιχειρηματικές ή διοικητικές ικανότητες κλπ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μαθηματικά Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΚΤΟ ΜΟΡΦΕΣ ΑΓΟΡΑΣ. 1. Τι πρέπει να κατανοήσει ο μαθητής

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΚΤΟ ΜΟΡΦΕΣ ΑΓΟΡΑΣ. 1. Τι πρέπει να κατανοήσει ο μαθητής ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΚΤΟ ΜΟΡΦΕΣ ΑΓΟΡΑΣ 1. Τι πρέπει να κατανοήσει ο μαθητής Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζονται τέσσερις βασικές μορφές οργάνωσης της αγοράς: ο πλήρης ανταγωνισμός, το μονοπώλιο, το ολιγοπώλιο και ο μονοπωλιακός

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα I

Επιχειρησιακή Έρευνα I Επιχειρησιακή Έρευνα I Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 09:00 12:00 Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis Περιεχόμενα 1. Εισαγωγή 2. Γραμμικός Προγραμματισμός 1. Μοντελοποίηση 2. Μέθοδος Simplex (C) Copyright Α.

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η μέθοδος Simplex. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 19/01/2017

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η μέθοδος Simplex. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 19/01/2017 Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Η μέθοδος Simplex Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 19/01/2017 1 Πλεονεκτήματα Η μέθοδος Simplex Η μέθοδος Simplex είναι μια

Διαβάστε περισσότερα

III.10 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ LAGRANGE

III.10 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ LAGRANGE III.10 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ LAGRANGE 1.Ισοτικός περιορισμός.περιορισμένη στασιμότητα 3.Πολλαπλασιαστής Lagrange 4.Συνάρτηση Lagrange 5.Ερμηνεία του πολλαπλασιαστή Lagrange 6.Περιορισμένη τετραγωνική μορφή 7.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ Συντελεστής συσχέτισης (εκτιμητής Person: r, Y ( ( Y Y xy ( ( Y Y x y, όπου r, Y (ισχυρή θετική γραμμική συσχέτιση όταν, ισχυρή αρνητική

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΑ Β Σχολικό βιβλίο σελ ως «μεταβλητούς συντελεστές μαζί με το αντίστοιχο διάγραμμα. TC Συνολικό κόστος. VC Μεταβλητό κόστος

ΟΜΑΔΑ Β Σχολικό βιβλίο σελ ως «μεταβλητούς συντελεστές μαζί με το αντίστοιχο διάγραμμα. TC Συνολικό κόστος. VC Μεταβλητό κόστος ΛΥΣΕΙΣ ΑΟΘ 1 ΓΙΑ ΑΡΙΣΤΑ ΔΙΑΒΑΣΜΕΝΟΥΣ ΟΜΑΔΑ Α Α1 γ Α2 β Α3 δ Α4 Σ Α5 Σ Α6 Σ Α7 Σ Α8 Λ ΟΜΑΔΑ Β Σχολικό βιβλίο σελ. 57-59 ως «μεταβλητούς συντελεστές μαζί με το αντίστοιχο διάγραμμα. ΟΜΑΔΑ Γ Γ1. Είναι γνωστό

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ομάδων Ομάδων Εκμεταλλεύσεων Εκμεταλλεύσεων Καπνοπαραγωγών Καπνοπαραγωγών Αιτωλοακαρνανίας- Αιτωλοακαρνανίας Κιλκίς-Καρδίτσα για τα έτη

Ανάλυση Ομάδων Ομάδων Εκμεταλλεύσεων Εκμεταλλεύσεων Καπνοπαραγωγών Καπνοπαραγωγών Αιτωλοακαρνανίας- Αιτωλοακαρνανίας Κιλκίς-Καρδίτσα για τα έτη Ανάλυση Ομάδων Εκμεταλλεύσεων Καπνοπαραγωγών Αιτωλοακαρνανίας-Κιλκίς Κιλκίς-Καρδίτσα Καρδίτσα για τα έτη 2005-20062006 Βασικές κατηγορίες μεταβλητών που χρησιμοποιήθηκαν για την ομαδοποίηση Ηλικία του

Διαβάστε περισσότερα

ΖΗΤΗΣΗ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Τεχνολογία και Συναρτήσεις Παραγωγής παραγωγή εισροές εκροές επιχείρηση παραγωγικοί συντελεστές

ΖΗΤΗΣΗ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Τεχνολογία και Συναρτήσεις Παραγωγής παραγωγή εισροές εκροές επιχείρηση παραγωγικοί συντελεστές ΖΗΤΗΣΗ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Τεχνολογία και Συναρτήσεις Παραγωγής - Η παραγωγή είναι η δραστηριότητα μέσω της οποίας κάποια αγαθά και υπηρεσίες (εισροές) μετατρέπονται σε άλλα αγαθά και υπηρεσίες (εκροές ή προϊόντα).

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα I

Επιχειρησιακή Έρευνα I Επιχειρησιακή Έρευνα I Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 09:00 12:00 Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis Περιεχόμενα 1. Εισαγωγή 2. Γραμμικός Προγραμματισμός 1. Μοντελοποίηση 2. Μέθοδος Simplex 1. Αλγόριθμός Simplex

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ ΙΙΙ: ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΚΑΙ ΠΡΟΣΦΟΡΑΣ

ΜΕΡΟΣ ΙΙΙ: ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΚΑΙ ΠΡΟΣΦΟΡΑΣ ΜΕΡΟΣ ΙΙΙ: ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΚΑΙ ΠΡΟΣΦΟΡΑΣ Τεχνολογία και Συναρτήσεις Παραγωγής -H πλευρά της προσφοράς στην οικονομία μελετάει τη διαδικασία παραγωγής των αγαθών και υπηρεσιών που καταναλώνονται από τα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι 22Νοεμβρίου 2015 ΑΥΞΟΥΣΕΣ ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Αν μια συνάρτηση f ορίζεται σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΕΣ ΤΙΜΕΣ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΕΣ ΤΙΜΕΣ

ΑΡΙΣΤΕΣ ΤΙΜΕΣ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΕΣ ΤΙΜΕΣ ΑΡΙΣΤΕΣ ΤΙΜΕΣ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΕΣ ΤΙΜΕΣ Κοινό κριτήριο επιλογής µεταξύ εναλλακτικών τρόπων παραγωγής είναι η µεγιστοποίηση (κέρδος ήηελαχιστοποίηση (κόστος κάποιου µεγέθους. Αυτά τα προβλήµατα µεγιστοποίησης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Προσφορά των Αγαθών

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Προσφορά των Αγαθών ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Προσφορά των Αγαθών Καμπύλη Προσφοράς Υποθέσεις 1. Η επιχείρηση είναι αποδέκτης τιμών (price taker) και όχι διαμορφωτής τιμών (price maker). 2. H επιχείρηση στοχεύει στην μεγιστοποίηση του κέρδους.

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση

Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση Ενότητα 1: Το πρόβλημα της βελτιστοποίησης Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σημείωμα Αδειοδότησης Το

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα

Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρία Δυαδικότητας Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Βασικά Θεωρήματα 2. Παραδείγματα 3. Οικονομική Ερμηνεία

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

2.5.1 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ

2.5.1 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ .5. ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Η μέθοδος κατασκευής διαστήματος εμπιστοσύνης για την πιθανότητα που περιγράφεται στην προηγούμενη ενότητα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την κατασκευή διαστημάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ - ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΙΤΙΚΗ

ΔΕΙΓΜΑ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ - ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΙΤΙΚΗ Συναρτήσεις Προεπισκόπηση Κεφαλαίου Τα μαθηματικά είναι μια γλώσσα με ένα συγκεκριμένο λεξιλόγιο και πολλούς κανόνες. Πριν ξεκινήσετε το ταξίδι σας στον Απειροστικό Λογισμό, θα πρέπει να έχετε εξοικειωθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΚΙΝΔΥΝΟΥ. Συσχέτιση (Correlation) - Copulas

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΚΙΝΔΥΝΟΥ. Συσχέτιση (Correlation) - Copulas ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΚΙΝΔΥΝΟΥ Συσχέτιση (Correlation) - Copulas Σημασία της μέτρησης της συσχέτισης Έστω μία εταιρεία που είναι εκτεθειμένη σε δύο μεταβλητές της αγοράς. Πιθανή αύξηση των 2 μεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας Διανύσματα Καστοριά,

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Μεθόδου Simplex

Θεωρία Μεθόδου Simplex ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Επιχειρησιακή Έρευνα Ι Διδάσκων: Δρ. Σταύρος Τ. Πόνης Θεωρία Μεθόδου Simplex Άδεια Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Η μέθοδος Simplex. Γεωργία Φουτσιτζή-Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Η μέθοδος Simplex. Γεωργία Φουτσιτζή-Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2017-2018 Η μέθοδος Simplex Γεωργία Φουτσιτζή-Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 19/01/2017 1 Πλεονεκτήματα Η μέθοδος Simplex Η μέθοδος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Σε αντίθεση με την διακριτή τυχαία μεταβλητή, μία συνεχής τυχαία μεταβλητή παίρνει μη-αριθμήσιμο (συνεχές) πλήθος τιμών. Δεν μπορούμε να καταγράψουμε το σύνολο των τιμών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ. Οικονομετρία

ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ. Οικονομετρία ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ Οικονομετρία 4.1 Πολλαπλό Γραμμικό Υπόδειγμα Παλινδρόμησης Γενικεύοντας τη διμεταβλητή (Y, X) συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΤΟ: Η ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΡΓΙΑ 11

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΤΟ: Η ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΡΓΙΑ 11 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ: ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΕΥΤΕΡΟ: ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 5 1. Οικονομία, οικονομία της αγοράς, οικονομική... 5 2. Οικονομική επιστήμη και οικονομικά προβλήματα... 5 3. Ανάγκη, προϊόντα

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Πεπερασμένες και Διαιρεμένες Διαφορές Εισαγωγή Θα εισάγουμε την έννοια των διαφορών με ένα

Διαβάστε περισσότερα

(2β) Το Υπόδειγμα της Κυκλικής Πόλης ή Υπόδειγμα του Salop

(2β) Το Υπόδειγμα της Κυκλικής Πόλης ή Υπόδειγμα του Salop (2β) Το Υπόδειγμα της Κυκλικής Πόλης ή Υπόδειγμα του alop (alop, teve 979, Moopolstc Competto wth Outsde Goods) - Υποθέτουμε μια πόλη που παριστάνεται από την περιφέρεια ενός κύκλου με περίμετρο L=. p

Διαβάστε περισσότερα

Τ.Ε.Ι. ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

Τ.Ε.Ι. ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Τ.Ε.Ι. ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ: Δρ. Ιωάννης Σ. Τουρτούρας Μηχανικός Παραγωγής & Διοίκησης Δ.Π.Θ. Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Προσφορά Εργασίας Προτιμήσεις και Συνάρτηση Χρησιμότητας ( Χ,Α συνάρτηση χρησιμότητας U(X,A)

Προσφορά Εργασίας Προτιμήσεις και Συνάρτηση Χρησιμότητας ( Χ,Α συνάρτηση χρησιμότητας U(X,A) Προσφορά Εργασίας - Έστω ότι υπάρχουν δύο αγαθά Α και Χ στην οικονομία. Το αγαθό Α παριστάνει τα διάφορα καταναλωτικά αγαθά. Το αγαθό Χ παριστάνει τον ελεύθερο χρόνο. Προτιμήσεις και Συνάρτηση Χρησιμότητας

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων (για την προσαρμογή (ή λείανση) δεδομένων/μετρήσεων)

Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων (για την προσαρμογή (ή λείανση) δεδομένων/μετρήσεων) Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων (για την προσαρμογή (ή λείανση) δεδομένων/μετρήσεων) Στην πράξη, για πολύ σημαντικές εφαρμογές, γίνονται μετρήσεις τιμών μιας ποσότητας σε μια κλινική, για μια σφυγμομέτρηση,

Διαβάστε περισσότερα

Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου

Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Προϋποθέσεις Εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

= γ + δ P απαιτεί γ > 0

= γ + δ P απαιτεί γ > 0 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΕΩΝ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 10 (για καλά διαβασµένους) ΟΜΑ Α Α Να απαντήσετε στις επόµενες ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής: Α1. Η τιµή ενός αγαθού Χ αυξάνεται.

Διαβάστε περισσότερα

Η ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΤΩΝ ΑΓΑΘΩΝ

Η ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΤΩΝ ΑΓΑΘΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΕΤΑΡΤΟ Η ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΤΩΝ ΑΓΑΘΩΝ 1. Εισαγωγή Όπως έχουμε τονίσει, η κατανόηση του τρόπου με τον οποίο προσδιορίζεται η τιμή ενός αγαθού απαιτεί κατανόηση των δύο δυνάμεων της αγοράς, δηλαδή της ζήτησης

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 9: Κατανομή t-έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 9: Κατανομή t-έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 9: Κατανομή t-έλεγχος Υποθέσεων Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ) Εικονικές Παράμετροι Μέχρι στιγμής είδαμε την εφαρμογή της μεθόδου Simplex σε προβλήματα όπου το δεξιό μέλος ήταν θετικό. Δηλαδή όλοι οι περιορισμοί ήταν της μορφής: όπου Η παραδοχή ότι b 0 μας δίδει τη

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς Καστοριά, Ιούλιος 14 A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

3 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΝΟΣ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ

3 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΝΟΣ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗN ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΝΟΣ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ Μ. Καρλαύτης Ν. Λαγαρός Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Q 12. c 3 Q 23. h 12 + h 23 + h 31 = 0 (6)

Q 12. c 3 Q 23. h 12 + h 23 + h 31 = 0 (6) Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τοµέας Υδατικών Πόρων Μάθηµα: Τυπικά Υδραυλικά Έργα Μέρος 2: ίκτυα διανοµής Άσκηση E0: Μαθηµατική διατύπωση µοντέλου επίλυσης απλού δικτύου διανοµής

Διαβάστε περισσότερα

Έρευνα διάρθρωσης γεωργικών και κτηνοτροφικών εκμεταλλεύσεων ΕΙΔΟΣ. Δειγματοληπτική έρευνα / Απογραφική έρευνα

Έρευνα διάρθρωσης γεωργικών και κτηνοτροφικών εκμεταλλεύσεων ΕΙΔΟΣ. Δειγματοληπτική έρευνα / Απογραφική έρευνα Έρευνα διάρθρωσης γεωργικών και κτηνοτροφικών εκμεταλλεύσεων ΕΙΔΟΣ Δειγματοληπτική έρευνα / Απογραφική έρευνα Ερευνώμενος Πληθυσμός και Δειγματοληπτικό Πλαίσιο Η έρευνα πραγματοποιήθηκε σε όλους τους Νομούς

Διαβάστε περισσότερα

Η Νέα Κλασσική Θεώρηση των Οικονομικών Διακυμάνσεων

Η Νέα Κλασσική Θεώρηση των Οικονομικών Διακυμάνσεων Η Νέα Κλασσική Θεώρηση των Οικονομικών Διακυμάνσεων Οικονομικές Διακυμάνσεις Οι οικονομίες ανέκαθεν υπόκειντο σε κυκλικές διακυμάνσεις. Σε ορισμένες περιόδους η παραγωγή και η απασχόληση αυξάνονται με

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών

Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών. Εισαγωγή (ορισμός προβλήματος, αριθμητική ολοκλήρωση ΣΔΕ, αντικατάσταση ΣΔΕ τάξης n με n εξισώσεις ης τάξης). Μέθοδος Euler 3. Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

4 Το άτομο ως παραγωγός (η προσφορά των αγαθών)

4 Το άτομο ως παραγωγός (η προσφορά των αγαθών) 4 Το άτομο ως παραγωγός (η προσφορά των αγαθών) Σκοπός Στο προηγούμενο κεφάλαιο εξετάσαμε τη ζήτηση των αγαθών, η οποία προέρχεται από τα νοικοκυριά (τους καταναλωτές). Τα αγαθά αυτά παράγονται και προσφέρονται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1 Βελτιστοποίηση Στην προσπάθεια αντιμετώπισης και επίλυσης των προβλημάτων που προκύπτουν στην πράξη, αναπτύσσουμε μαθηματικά μοντέλα,

Διαβάστε περισσότερα

III.9 ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΕ ΠΕΡΙΟΧΗ

III.9 ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΕ ΠΕΡΙΟΧΗ III.9 ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΕ ΠΕΡΙΟΧΗ.Ολικά και τοπικά ακρότατα..εσωτερικά και συνοριακά ακρότατα 3.Χωριζόμενες μεταβλητές 4.Συνθήκες για ακρότατα 5.Ολικά ακρότατα κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 6.Περισσότερες μεταβλητές.

Διαβάστε περισσότερα

Ισορροπία σε Αγορές Διαφοροποιημένων Προϊόντων

Ισορροπία σε Αγορές Διαφοροποιημένων Προϊόντων Ισορροπία σε Αγορές Διαφοροποιημένων Προϊόντων - Στο υπόδειγμα ertrand, οι επιχειρήσεις, παράγουν ένα ομοιογενές αγαθό, οπότε η τιμή είναι η μοναδική μεταβλητή που ενδιαφέρει τους καταναλωτές και οι καταναλωτές

Διαβάστε περισσότερα

Γιατί μετράμε την διασπορά;

Γιατί μετράμε την διασπορά; Γιατί μετράμε την διασπορά; Παράδειγμα Δίνεται το ετήσιο ποσοστό κέρδους δύο επιχειρήσεων για 6 χρόνια. Αν έπρεπε να επιλέξετε την μετοχή μιας εκ των 2 με κριτήριο το ποσοστό κέρδους αυτά τα 6 χρόνια.

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπισ τήμιο Κρήτης 22 Μαΐου /32

Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπισ τήμιο Κρήτης 22 Μαΐου /32 Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 22 Μαΐου 2017 1/32 Εισαγωγή: Τυπικό παράδειγμα στατιστικού ελέγχου υποθέσεων. Ενας νέος τύπος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 15

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 15 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 13 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 17 1. Εισαγωγή 17 2. Πραγματικές συναρτήσεις διανυσματικής μεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ. Οικονομετρία ΙΙ. Διδάσκων Τσερκέζος Δικαίος.

ΒΑΣΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ. Οικονομετρία ΙΙ. Διδάσκων Τσερκέζος Δικαίος. :\Documens and Seings\kpig\Deskop\basikh askhsh aaaa.doc ΒΑΣΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ. Οικονομετρία ΙΙ. Διδάσκων Τσερκέζος Δικαίος. ΒΑΣΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΤΗΝ ΕΞΕΙΔΙΚΕΥΣΗ-ΕΚΤΙΜΗΣΗ-ΑΝΑΛΥΣΗ- ΠΡΟΒΛΕΨΗ- ΣΕΝΑΡΙΑ ΚΑΙ ΤΟΝ ΑΡΙΣΤΟ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

(1β) Μη Χωροθετικά Υποδείγματα Διαφοροποιημένου Προϊόντος με Ενδογενές Πλήθος Επιχειρήσεων

(1β) Μη Χωροθετικά Υποδείγματα Διαφοροποιημένου Προϊόντος με Ενδογενές Πλήθος Επιχειρήσεων (β) Μη Χωροθετικά Υποδείγματα Διαφοροποιημένου Προϊόντος με Ενδογενές Πλήθος Επιχειρήσεων Ελεύθερη Είσοδος και Ισορροπία Μηδενικών Κερδών - Η δυνατότητα νέων επιχειρήσεων να εισέρχονται ελεύθερα στην αγορά

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D.

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Γραμμικός προγραμματισμός: μέθοδος simplex Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών ΤμήμαΠληροφορικής Διάλεξη 4 η /2017 Η γεωμετρία των προβλημάτων γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Ολοκλήρωση Εισαγωγή Έστω ότι η f είναι μία φραγμένη συνάρτηση στο πεπερασμένο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ο Κεφάλαιο: Στατιστική ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός: Λέγεται ένα σύνολο στοιχείων που θέλουμε να εξετάσουμε με ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Μεταβλητές X: Ονομάζονται

Διαβάστε περισσότερα

8.1 Διαγωνοποίηση πίνακα

8.1 Διαγωνοποίηση πίνακα Κεφάλαιο 8 Κανονικές μορφές από 6 Κεφάλαιο 8 Κ Α Ν Ο Ν Ι Κ Ε Σ Μ Ο Ρ Φ Ε Σ 8. Διαγωνοποίηση πίνακα Ορισμός 8.α Ένας πίνακας M n ( ) oνομάζεται διαγωνοποιήσιμος στο αν υπάρχει αντιστρέψιμος πίνακας P M

Διαβάστε περισσότερα

Α5. Όταν η ζήτηση για ένα αγαθό είναι ελαστική, τότε πιθανή αύξηση της τιµής του, θα οδηγήσει σε µείωση της καταναλωτικής δαπάνης για αυτό το αγαθό

Α5. Όταν η ζήτηση για ένα αγαθό είναι ελαστική, τότε πιθανή αύξηση της τιµής του, θα οδηγήσει σε µείωση της καταναλωτικής δαπάνης για αυτό το αγαθό ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΕΩΝ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 (για άριστα διαβασµένους) ΟΜΑ Α Α Να απαντήσετε στις επόµενες ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής A1. Σε γραµµική ΚΠ της µορφής Y =

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας ΙΙ

Διαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας ΙΙ Διαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας ΙΙ 1 η Διάλεξη: Αναδρομή στον Μαθηματικό Προγραμματισμό 2019, Πολυτεχνική Σχολή Εργαστήριο Συστημάτων Σχεδιασμού, Παραγωγής και Λειτουργιών Περιεχόμενα 1. Γραμμικός Προγραμματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό Χειμερινό Εξάμηνο 2016-2017 Δεσμευτικοί περιορισμοί Πρόβλημα Βιομηχανική επιχείρηση γαλακτοκομικών προϊόντων Συνολικό μοντέλο Maximize z = 150x 1 + 200x 2 (αντικειμενική

Διαβάστε περισσότερα

Ισότητα, Αλγεβρικές και Αναλυτικές Ιδιότητες Πραγματικών Ακολουθιών

Ισότητα, Αλγεβρικές και Αναλυτικές Ιδιότητες Πραγματικών Ακολουθιών Ισότητα, Αλγεβρικές και Αναλυτικές Ιδιότητες Πραγματικών Ακολουθιών Συμβολισμοί Σε αναλογία με τους ορισμούς συμβολίζουμε μια ακολουθία: 1 είτε μέσω του διανυσματικού ορισμού, παραθέτοντας αναγκαστικά

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΟΡΟΙ ΚΑΙ ΔΙΕΘΝΕΣ ΕΜΠΟΡΙΟ: ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ HECKSCHER-OHLIN

3. ΠΟΡΟΙ ΚΑΙ ΔΙΕΘΝΕΣ ΕΜΠΟΡΙΟ: ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ HECKSCHER-OHLIN 3. ΠΟΡΟΙ ΚΑΙ ΔΙΕΘΝΕΣ ΕΜΠΟΡΙΟ: ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ HESHER-OHIN Υπάρχουν δύο συντελεστές παραγωγής, το κεφάλαιο και η εργασία τους οποίους χρησιμοποιεί η επιχείρηση για να παράγει προϊόν Y μέσω μιας συνάρτησης παραγωγής

Διαβάστε περισσότερα

X = = 81 9 = 9

X = = 81 9 = 9 Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (11η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2018-2019 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 35 Σύνοψη

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Δυϊκότητα. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Δυϊκότητα. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016 Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Δυϊκότητα Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016 1 Το δυϊκό πρόβλημα Για κάθε πρόβλημα Γραμμικού Προγραμματισμού υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Κόστους και η Καμπύλη Προσφοράς της Ανταγωνιστικής Επιχείρησης

Συναρτήσεις Κόστους και η Καμπύλη Προσφοράς της Ανταγωνιστικής Επιχείρησης Συναρτήσεις Κόστους και η Καμπύλη Προσφοράς της Ανταγωνιστικής Επιχείρησης - Στο εξής, συμβολίζουμε την ποσότητα του καταναλωτικού αγαθού με q. - Έστω ότι η συνάρτηση παραγωγής της επιχείρησης είναι: q=f(k,l),

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική, Άσκηση 2. (Κανονική κατανομή)

Στατιστική, Άσκηση 2. (Κανονική κατανομή) Στατιστική, Άσκηση 2 (Κανονική κατανομή) Στον πίνακα που ακολουθεί δίνονται οι μέσες παροχές όπως προέκυψαν από μετρήσεις πεδίου σε μια διατομή ενός ποταμού. Ζητείται: 1. Να αποδειχθεί ότι το δείγμα προσαρμόζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ 34 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΤΟΜΟΣ 1 ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΑ

ΔΕΟ 34 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΤΟΜΟΣ 1 ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΥΠΟΣΤΗΡΙΚΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΕΑΠ ΔΕΟ 34 Ν. ΠΑΝΤΕΛΗ ΔΕΟ 34 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΤΟΜΟΣ 1 ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ & ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΑΘΗΝΑ ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 2012 1 ΥΠΟΣΤΗΡΙΚΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΕΑΠ ΔΕΟ 34 ΚΟΣΤΗ Ν.

Διαβάστε περισσότερα