Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Διαφορικός Λογισµός. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Διαφορικός Λογισµός. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών"

Transcript

1 Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ Ενότητα: Διαφορικός Λογισµός Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης Τμήμα: Μαθηματικών

2

3 Κεφάλαιο 3 ιαφορικός Λογισµός 31 Μερικές παράγωγοι Ορισµός 311 Εστω f : U R, U R n ανοικτό, n 2 Η f λέγεται α ) µια ϕορά) µερικώς διαφορίσιµη ή µερικώς παραγωγίσιµη) ως προς την i-οστή µεταβλητή στο σηµείο x U, αν υπάρχει η i-οστή µερική παράγωγος πρώτης τάξης) της f στο σηµείο x f x + hē i ) f x) x) := lim R, x i h 0 h { όπου ē i R n 1, i = j, το ϐασικό διάνυσµα ē i ) j := για i, j = 1,, n, 0, i j ϐ ) µερικώς διαφορίσιµη στο σηµείο x U, αν υπάρχουν οι µερικές παράγωγοί της στο x ως προς όλες τις µεταβλητές της, x i x) R i = 1,, n, γ ) µερικώς διαφορίσιµη ως προς την i-οστή µεταβλητή, αν είναι µερικώς διαφορίσιµη ως προς την i-οστή µεταβλητή σε κάθε σηµείο x U, δηλ αν υπάρχει η i-οστή µερική παράγωγος της f x i : U R, δ ) µερικώς διαφορίσιµη, αν είναι µερικώς διαφορίσιµη ως προς κάθε µεταβλητή ή, ισοδύναµα, αν είναι µερικώς διαφορίσιµη σε κάθε σηµείο x U), x i : U R i = 1,, n, 33

4 31 ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ε ) συνεχώς µερικώς διαφορίσιµη, αν η f είναι µερικώς διαφορίσιµη και οι µερικές παράγωγοί της ως προς κάθε µεταβλητή είναι συνεχείς, x i CU) i = 1,, n Συµβολισµός Για την i-οστή µερική παράγωγο µιας συνάρτησης f : U R στο σηµείο x U χρησιµοποιούνται στην ϐιβλιογραφία κυρίως οι εξής συµβολισµοί x) = x) = f x) = xi f x) = i f x) = f xi x) x i x i x i Παρατηρηση 18 Για τον ορισµό της i-οστής µερικής παραγώγου σε ένα σηµείο x U δεν είναι απαραίτητο το U να είναι ανοικτό Αρκεί το x να είναι σηµείο συσσώρευσης του U ως προς την i-οστή µεταβλητή, δηλ να υπάρχει µια µηδενική ακολουθία µη µηδενικών όρων h ν ) σύντοµα : 0 h ν 0) µε x + h ν ē i U Παρατηρηση 19 Η i-οστή µερική παράγωγος στο σηµείο x = x 1,, x n ) U R n µιας συνάρτησης f : U R είναι η παράγωγος στο σηµείο x i R της f ως συνάρτηση της i-οστής πραγµατικής µεταβλητής και µε τις υπόλοιπες µεταβλητές σταθερές x j j i): Θεωρώντας την συνάρτηση f i x) := fx 1,, x i 1, x, x i+1,, x n ) έχουµε fx 1,, x i 1, x i + h, x i+1,, x n ) fx 1,, x i 1, x i, x i+1,, x n ) x) = lim x i h 0 h f i x i + h) f i x i ) f i x) f i x i ) = lim = lim = f h 0 h x x i x x ix i ) i Συνεπώς, για την i-οστή µερική παράγωγο της f στο σηµείο x = x 1,, x n ) ισχύουν όλα όσα ισχύουν για την παράγωγο της f i στο σηµείο x i Παραδείγµατα 5 α ) fx, y) = e x2 +y 2 = e x,y) 2, x, y) R 2 : Θεωρώντας τις συναρτήσεις f 1 x) := e x2 +y 2, όπου ϑεωρούµε το y ως σταθερά, και f 2 y) := e x2 +y 2, όπου ϑεωρούµε το x ως σταθερά, έχουµε f 1x) = 2xe x2 +y 2 και f 2y) = 2ye x2 +y 2 για κάθε x, y) R 2 Συνεπώς, σύµφωνα µε την Παρατήρηση 19, η f είναι µερικώς διαφορίσιµη µε µερικές παραγώγους τις x, y) = 2 +y 2 2xex, x x, y) = 2 +y 2 2yex x, y) R 2, y και επειδή οι µερικές της παράγωγοι x : R2 R και y : R2 R είναι συνεχείς, η f είναι συνεχώς µερικώς διαφορίσιµη ϐ ) f x) = x, x R n : Η f είναι συνεχής στο R n ) και συνεχώς µερικώς διαφο- ϱίσιµη στο R n \ { 0} µε συνεχείς µερικές παραγώγους στο R n \ { 0} x i x) = x i x x R n \ { 0}, 34

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 31 ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ενώ δεν είναι µερικώς διαφορίσιµη στο 0 ως προς καµία µεταβλητή, αφού δεν υπάρχουν τα όρια f 0 + hē i ) f 0) fhē i ) hē i h lim = lim = lim = lim h 0 h h 0 h h 0 h h 0 h Επίσης οι µερικές παράγωγοί της δεν είναι συνεχώς επεκτάσιµες στο R n, αφού x i τα όρια lim x) = lim δεν υπάρχουν Γιατί;) x 0 x i x 0 x γ ) Εστω η h : 0, ) R συνεχώς) διαφορίσιµη Τότε η f x) := h x ), x R n \ { 0}, είναι συνεχώς) µερικώς διαφορίσιµη µε συνεχείς) µερικές παραγώγους x) = h x ) = h x ) x i x i x i x, x Rn \ { 0} Για hz) = e z2 και n = 2 έχουµε το Παράδειγµα 1 και για hz) = z έχουµε το Παράδειγµα 2 αντίστοιχα Στην πρώτη περίπτωση ϐλέπουµε ότι οι x i είναι συνεχώς επεκτάσιµες στο R n, ενώ στην δεύτερη δεν είναι Πού οφείλεται αυτό;) δ ) Για n 2 έστω η f : R n R µε x 1 x n f x) = x n για x 0, 0 για x = 0 Η f είναι συνεχώς µερικώς διαφορίσιµη στο R n \ { 0} µε µερικές παραγώγους x) = x 1 x i 1 x i+1 x n x 2 nx 2 i ) x i x n+2 x R n \ { 0} ϐλ Παρατ 19) Η f είναι όµως και µερικώς διαφορίσιµη στο σηµείο 0 µε i-οστή µερική παράγωγο f 0 + hē i ) f 0) fhē i ) 0 0) = lim = lim = lim x i h 0 h h 0 h h 0 h = 0 Συνεπώς, η f είναι µερικώς διαφορίσιµη στο R n και συνεχώς µερικώς διαφο- ϱίσιµη στο R n \ { 0} αλλά όχι στο R n, αφού για x ν = x 1) ν,, x n) ν ) µε x i) ν µε x i) ν = 1 ν, xj) ν = 0 ν N, j i: = 0, x j) ν = 1 ν ν N, j i: x i x ν ) = 35 x i x ν ) = 0 0 για ν, ν n 1) n 2 για ν,

6 31 ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ και άρα τα lim x) δεν υπάρχουν x 0 x i Ακόµα περισσότερο, η f παρόλο που είναι µερικώς διαφορίσιµη ως προς κάθε µεταβλητή) στο σηµείο 0, δεν είναι συνεχής σε αυτό, αφού για x ν = x 1) ν,, x n) ν ) µε x 1) ν = 1 ν, xj) ν = 0 ν N, j = 2,, n: f x ν ) = 0 0 για ν, µε x j) ν = 1 ν ν N, j = 1,, n: f x ν) = 1 n n 2 και άρα το lim f x) δεν υπάρχει x 0 1 n n 2 για ν, Παρατηρηση 20 Από το τελευταίο παράδειγµα συγκρατούµε : Μια συνάρτηση f : U R, U R n ανοικτό, n 2, µπορεί να είναι µερικώς διαφορίσιµη σε ένα σηµείο x U χωρίς να είναι συνεχής στο x Ο Ορισµός 311 της µερικής διαφορισιµότητας πραγµατικών συναρτήσεων πολλών µεταβλητών γενικεύεται µε ϕυσικό τρόπο σε διανυσµατικές συναρτήσεις : Ορισµός 312 Η f = f 1,, f m ) : U R m, U R n ανοικτό, m, n N, λέγεται α ) µερικώς διαφορίσιµη στο σηµείο x U, αν οι συνιστώσες συναρτήσεις της f j : U R, j = 1,, m, είναι µερικώς διαφορίσιµες στο x, ϐ ) µερικώς διαφορίσιµη, αν οι συνιστώσες της f j, j = 1,, m, είναι µερικώς διαφορίσιµες, γ ) συνεχώς µερικώς διαφορίσιµη, αν οι συνιστώσες της f j, j = 1,, m, είναι συνεχώς µερικώς διαφορίσιµες, δηλ αν η f είναι µερικώς διαφορίσιµη και ισχύει j x i CU) j = 1,, m, i = 1,, n Ορισµός 313 Εστω f = f 1,, f m ) : U R m, U R n ανοικτό, m, n N, µερικώς διαφορίσιµη στο σηµείο x = x 1,, x n ) U Ο πίνακας των µερικών παραγώγων της f στο x 1 J f x) := f ) x 1 x) 1 x n x) 1,, f m ) j x) := x) = x 1,, x n ) x R m n, i 1 j m, 1 i n m x 1 x) m x n x) ονοµάζεται Ιακωβιανός πίνακας Jacobian matrix) της f στο x Ειδικότερα, για µερικώς διαφορίσιµες πραγµατικές συναρτήσεις f : U R m = 1) στο x U ο Ιακωβιανός πίνακας της f στο x ονοµάζεται κλίση gradient) της f στο x J f x) = grad f x) = x),, ) x) R n x 1 x n 36

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 31 ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ Παρατηρηση 21 Ο Ιακωβιανός πίνακας J f x) R m n µιας µερικώς διαφορίσιµης διανυσµατικής συνάρτησης f στο σηµείο x έχει ως γραµµές του τις κλίσεις των συνιστωσών συναρτήσεων f j, j = 1,, m, στο x grad f 1 x) J f x) = R m n grad f m x) Από την Παρατήρηση 19 και την άλγεβρα παραγώγων πραγµατικών συναρτήσεων µιας πραγµατικής µεταβλητής προκύπτει η ακόλουθη άλγεβρα Ιακωβιανών πινάκων όπου πάντα ϑεωρούµε τις τιµές µιας διανυσµατικής συνάρτησης γραµµένες ως διανύσµατα-στήλες) Θεώρηµα 311 Αλγεβρα Ιακωβιανών πινάκων) Εστω U R n ανοικτό, n, m N, f, ḡ : U R m και ϕ, ψ : U R µε ψ x) 0 µερικώς διαφορίσιµες στο x U Τότε οι συναρτήσεις f + ḡ : U R m, f ḡ : U R, ϕ f : U R m f, ψ : U Rm είναι µερικώς διαφορίσιµες στο x µε Ιακωβιανούς πίνακες α ) J f+ḡ x) = J f x) + Jḡ x) R m n ϐ ) grad f ḡ) x) = f x) T Jḡ x) + ḡ x) T J f x) R n γ ) J ϕ f x) = ϕ x)j f x) + f x) grad ϕ x) R m n δ ) J f x) = ψ x)j f x) f x) grad ψ x) ψ ψ 2 R m n x) Απόδειξη 1) : f 1+g 1) f x 1 x) 1+g 1) x n x) J f+ḡ x) = f m+g m) f x 1 x) m+g m) x n x) 1 x 1 x) 1 g x n x) 1 x 1 x) = + m x 1 x) m g x n x) m x 1 x) = J f x) + Jḡ x) R m n g 1 x n x) g m x n x) 37

8 31 ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2) : grad f m m ) ḡ) x) = f j g j ) x),, f j g j ) x) x 1 x j=1 n j=1 m fj g j ) = x),, f ) jg j ) x) x 1 x n = = = j=1 m grad f j g j ) x) j=1 m j=1 f j x) g j x) + g j x) j x),, f j x) g j x) + g j x) ) j x) x 1 x 1 x n x n m fj x) grad g j x) + g j x) grad f j x) ) j=1 g 1 g f 1 x),, f m x)) x 1 x) 1 x n x) = g m g x 1 x) m x n x) 1 g 1 x),, g m x)) x 1 x) 1 x n x) + m x 1 x) m x n x) = f x) T Jḡ x) + ḡ x) T J f x) 3): ϕf 1) ϕf x 1 x) 1) x n x) J ϕ f x) = ϕf m) ϕf x 1 x) m) x n x) ϕ x) 1 x 1 x) ϕ x) 1 x n x) f 1 x) ϕ x 1 x) f 1 x) ϕ x n x) = + ϕ x) m x 1 x) ϕ x) m x n x) f m x) ϕ x 1 x) f m x) ϕ x n x) ) f 1 x) ϕ x 1 x),, ϕ x n x) = ϕ x)j f x) + f m x) = ϕ x)j f x) + f x) grad ϕ x) 38

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 32 ΜΕΡ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΑΝΩΤ ΤΑΞΗΣ 4): Από το 3) έχουµε J f x) = ψ ) 1 x)j f x) + ψ f x) grad ) 1 x), ψ όπου grad ) 1 x) = ψ x 1 ) 1 x),, ψ x n ) ) 1 x) = ψ grad ψ x) ψ 2 x) 32 Μερικές παράγωγοι ανώτερης τάξης Ορισµός 321 Εστω f : U R, U R n ανοικτό, n 2, και k N Η f λέγεται α ) k + 1 ϕορές µερικώς διαφορίσιµη αν είναι k ϕορές µερικώς διαφορίσιµη και υπάρχουν οι µερικές παράγωγοι k + 1 τάξης της f k+1 f := k f : U R i 1,, i k+1 = 1,, n x ik+1 x i1 x ik+1 x ik x i1 ϐ ) k ϕορές συνεχώς µερικώς διαφορίσιµη αν είναι k ϕορές µερικώς διαφο- ϱίσιµη και όλες οι µερικές παράγωγοί της τάξης k είναι συνεχείς Παρατηρηση 22 Στην πιό απλή και συχνότερη περίπτωση µια συνάρτηση f : U R, U R n ανοικτό, n 2, λέγεται δυό ϕορές συνεχώς) µερικώς διαφορίσιµη αν υπάρχουν οι µερικές παράγωγοι πρώτης και δεύτερης τάξης της f x i : U R, και είναι συνεχείς) 2 f := : U R x j x i x j x i i, j = 1,, n Παρατηρηση 23 Οι µερικές παράγωγοι k τάξης µε k 2 k f x ik x i1, i 1,, i k {1,, n} ονοµάζονται µερικές παράγωγοι ανώτερης τάξης ή πολλαπλές µερικές πα- ϱάγωγοι Γράφονται k f x k i := k f x ik x i1 αν i 1 = = i k = i {1,, n} ενώ αν οι δείκτες i l, l = 1,, k, δεν είναι όλοι ίδιοι ονοµάζονται µεικτές µερικές παράγωγοι 39

10 32 ΜΕΡ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΑΝΩΤ ΤΑΞΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Παραδείγµατα 6 α ) Οι συναρτήσεις fx, y) = xy+x+2y) 2, x, y) R 2, gx, y, z) = e xy +z cos x, x, y, z) R 3 είναι k ϕορές συνεχώς µερικώς διαφορίσιµες για κάθε k N Αυτό ισχύει επειδή όλες οι µερικές τους παράγωγοι οποιασδήποτε τάξης µπορούν να ι- δωθούν ως παράγωγοι αθροισµάτων, γινοµένων και συνθέσεων άπειρες ϕορές παραγωγίσιµων και άρα συνεχών) συναρτήσεων µιας µεταβλητής Οι µερικές τους παράγωγοι πρώτης και δεύτερης τάξης είναι για την f x, y) = y + 2x + 2y), x 2 f x, y) = 2, x2 και για την g g x x, y, z) = yexy z sin x, 2 f x, y) = 5, y x 2 g x 2 x, y, z) = y2 e xy z cos x, 2 g x y x, y, z) = xyexy, 2 g x, y, z) = sin x, x z ϐ ) Η hx, y) := x, y) = x + 4x + 2y), y 2 f x, y) = 5, x y g y x, y, z) = xexy, 2 g y x x, y, z) = xyexy, 2 g y 2 x, y, z) = x2 e xy, 2 g x, y, z) = 0, y z 2 f x, y) = 8 y2 g x, y, z) = cos x, z 2 g x, y, z) = sin x, z x 2 g x, y, z) = 0, z y 2 g x, y, z) = 0 z2 xy x2 y 2 x 2 + y 2 για x, y) 0, 0), x, y) R 2, είναι άπειρες 0 για x, y) = 0, 0) ϕορές συνεχώς µερικώς διαφορίσιµη στο R 2 \ {0, 0)} µε µερικές παραγώγους πρώτης τάξης h x x, y) = y x4 y 4 + 4x 2 y 2 x 2 + y 2 ) 2, h y x, y) = y 4 4y 2 x 2 xx4 x 2 + y 2 ) 2 Η h είναι επίσης µερικώς διαφορίσιµη στο 0, 0) µε µερικές παραγώγους h hx, 0) h0, 0) 0, 0) = lim = 0, x x 0 x h h0, y) h0, 0) 0, 0) = lim = 0 y y 0 y Η h είναι συνεπώς µερικώς διαφορίσιµη και αφού ισχύει και lim x,y) 0,0) h x, y) = x lim 40 x,y) 0,0) h x, y) = 0 y

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 32 ΜΕΡ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΑΝΩΤ ΤΑΞΗΣ γιατί;) είναι συνεχώς µερικώς διαφορίσιµη ιαπιστώνουµε εξ άλλου ότι και η h είναι συνεχής, πβ Παρατ 20) Αφού στο R 2 \ {0, 0)} η h είναι άπειρες ϕορές συνεχώς µερικώς διαφορίσιµη, για να εξετάσουµε την µερική διαφορισιµότητά της σε ανώτερες τάξεις αρκεί να την εξετάσουµε σχετικά στο σηµείο 0, 0) Οι µερικές παράγωγοι δεύτερης τάξης στο σηµείο αυτό είναι οι 2 h 0, 0) = lim x2 x 0 2 h 0, 0) = lim y x y 0 2 h 0, 0) = lim x y x 0 2 h 0, 0) = lim y2 y 0 h x h x h y h y h x, 0) x 0, 0) = 0, x h 0, y) x 0, 0) = lim y h x, 0) y 0, 0) = lim x h 0, y) y 0, 0) = 0 y y y 4 y 2 ) 2 y 0 y x x 4 x 2 ) 2 x 0 x = lim y 0 1) = 1, = lim x 0 1 = 1, Άρα η h είναι δυό ϕορές µερικώς διαφορίσιµη Για να εξετάσουµε αν είναι και συνεχώς µερικώς διαφορίσιµη, µένει να εξετάσουµε αν οι µερικές παράγωγοί της δεύτερης τάξης είναι συνεχής στο 0, 0) Στο R 2 \ {0, 0)} οι µερικές παράγωγοι δεύτερης τάξης είναι οι 2 h x, y) = y x4 y 4 + 4x 2 y 2 ) x2 x x 2 + y 2 ) 2 = y x 4 y 4 + 4x 2 y 2 x x 2 + y 2 ) 2 = 4xy 3 x2 + 3y 2 x 2 + y 2 ) 3 2 h y x x, y) = y x4 y 4 + 4x 2 y 2 ) y x 2 + y 2 ) 2 = x4 y 4 + 4x 2 y 2 x 2 + y 2 ) 2 + y y 2 h x, y) = x y x = x6 9x 2 y 4 + 9x 4 y 2 y 6 x 2 + y 2 ) 3 x x4 y 4 4y 2 x 2 x 2 + y 2 ) 2 = x6 9x 2 y 4 + 9x 4 y 2 y 6 x 2 + y 2 ) 3 2 h y 2 x, y) = x x4 y 4 4y 2 x 2 ) y x 2 + y 2 ) 2 = x y = 4x 3 y 3x2 + y 2 x 2 + y 2 ) 3 x 4 y 4 + 4x 2 y 2 x 2 + y 2 ) 2 ) = x4 y 4 4y 2 x 2 x 2 + y 2 ) 2 + x x 4 y 4 4y 2 x 2 x x 2 + y 2 ) 2 x 4 y 4 4y 2 x 2 x 2 + y 2 ) 2 Θεώρηµα 321 Θεώρηµα του Schwarz) Εστω f : U R, U R n ανοικτό, n 2, δυο ϕορές συνεχώς µερικώς διαφορίσιµη 41

12 32 ΜΕΡ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΑΝΩΤ ΤΑΞΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Τότε 2 f = 2 f i, j = 1,, n x j x i x i x j Απόδειξη Το ϑεώρηµα είναι πόρισµα της ακόλουθης γενίκευσης Θεώρηµα 322 Εστω f : U R, U R n ανοικτό, n 2, µερικώς διαφορίσιµη και έστω ότι υπάρχει η 2 f x j x i : U R, i, j {1,, n}, i j, και είναι συνεχής στο σηµείο x U Τότε υπάρχει η 2 f x i x j x) και ισχύει Απόδειξη Θέλουµε να δείξουµε ότι lim h 0 2 f x) = 2 f x) x i x j x j x i x j x + hē i ) x j x) h = 2 f x j x i x), δηλ ότι x ε > 0 δ > 0 h δ, 0) 0, δ) : j x + hē i ) x j x) 2 f x) h x j x i < ε, και αφού ϑέλουµε συνεπώς να δείξουµε ότι f x + kē j ) f x) x) = lim, x j k 0 k ε > 0 δ > 0 h δ, 0) 0, δ) : lim f x + hē i + kē j ) f x + hē i ) f x + kē j ) + f x) 2 f x) k 0 hk x j x i < ε, δηλ ότι ε > 0 δ > 0 h δ, 0) 0, δ) : lim k 0 Φk) hk 2 f x) x j x i < ε, όπου Φk) := f x + hē i + kē j ) f x + hē i ) f x + kē j ) + f x) Εστω ε > 0 Αφού το U είναι ανοικτό και η δ > 0, τέτοιο ώστε B x, δ) U και 2 f ȳ) 2 f x) x j x i x j x i < ε f x j x i συνεχής στο x, ϑα υπάρχει ȳ B x, δ)

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 32 ΜΕΡ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΑΝΩΤ ΤΑΞΗΣ Εστω h, k R \ {0} µε h 2 + k 2 < δ 2 Τότε x + ϑ 1 hē i + ϑ 2 kē j B x, δ) ϑ 1, ϑ 2 ) [0, 1] 2 και άρα για τέτοια h, k, ϑ 1, ϑ 2 2 f x + ϑ 1 hē i + ϑ 2 kē j ) 2 f x) x j x i x j x i < ε 2 και συνεπώς lim 2 f x + ϑ 1 hē i + ϑ 2 kē j ) 2 f x) k 0 x j x i x j x i ε < ε h δ, 0) 0, δ) 2 αν το όριο αυτό υπάρχει ϑ 1, ϑ 2 0, 1) τέτοια ώστε Άρα, αν δείξουµε ότι για τα πιο πάνω h, k υπάρχουν Φk) hk = 2 f x j x i x + ϑ 1 hē i + ϑ 2 kē j ) Φk) και αφού το lim υπάρχει, η απόδειξη ϑα έχει ολοκληρωθεί k 0 hk Θεωρούµε τη συνάρτηση ϕl) := f x + lē i + kē j ) f x + lē i ), η οποία είναι διαφορίσιµη µε παράγωγο ϕ l) = x i x + lē i + kē j ) x i x + lē i ), l [ h, h ] l [ h, h ] Άρα, σύµφωνα µε το Θεώρηµα Μέσης Τιµής για συναρτήσεις µιας πραγµατικής µεταβλητής, υπάρχει ϑ 1 0, 1) τέτοιο ώστε Φk) = ϕh) ϕ0) = hϕ ϑ 1 h) = h x + ϑ 1 hē i + kē j ) ) x + ϑ 1 hē i ) x i x i Θεωρούµε τώρα τη συνάρτηση ψm) := x i x + ϑ 1 hē i + mē j ), η οποία είναι επίσης διαφορίσιµη µε παράγωγο ψ m) = 2 f x j x i x + ϑ 1 hē i + mē j ), m [ k, k ], m [ k, k ], και άρα, σύµφωνα µε το Θεώρηµα Μέσης Τιµής για συναρτήσεις µιας πραγµατικής µεταβλητής, υπάρχει ϑ 2 0, 1) τέτοιο ώστε Φk) = h ψk) ψ0)) = hkψ ϑ 2 k) = hk x + ϑ 1 hē i + ϑ 2 kē j ) x j x i 43 2 f

14 33 ΙΑΦΟΡΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Πόρισµα 323 Εστω f : U R, U R n ανοικτό, n 2, k ϕορές συνεχώς µερικώς διαφορίσιµη Τότε k f x ik x i1 = k f x iπk) x iπ1) για κάθε i 1,, i k {1,, n} και για κάθε µετάθεση π των αριθµών 1,, k Απόδειξη Το αποτέλεσµα προκύπτει από το Θεώρηµα του Schwarz µε επαγωγή ως προς k, και χρήση του γεγονότος ότι κάθε µετάθεση είναι σύνθεση ανταλλάγων της ϑέσης γειτονικών αριθµών Πχ για n = 4, k = 3 έχουµε 3 f x 4 x 2 x 1 = x 4 = 2 = x 1 x 4 x 2 2 f x 2 x 1 = x 4 3 f = x 1 x 4 x 2 2 f x 1 x 2 = x 1 2 f x 4 x 2 = 33 ιαφορίσιµες συναρτήσεις 3 f = 2 x 4 x 1 x 2 x 4 x 1 x 2 2 f = x 1 x 2 x 4 Ορισµός 331 Η f : U R m, U R n ανοικτό, n, m N, λέγεται 3 f x 1 x 2 x 4 α ) διαφορίσιµη differentiable) στο σηµείο x U αν υπάρχει µια γραµµική απεικόνιση D : R n R m τέτοια ώστε lim η 0 f x + η) f x) D η η = 0, 31) ϐ ) διαφορίσιµη αν είναι διαφορίσιµη σε κάθε σηµείο x U Παρατηρηση 24 α ) Σύµφωνα µε την Παρατηρήση 16 ισχύει lim η 0 f x + η) f x) D η η fȳ) f x) Dȳ x) = 0 lim = 0, ȳ x ȳ x που ισοδυναµούν µε lim f x + η) f x) D η = 0 lim fȳ) f x) Dȳ x) = 0 η 0 η ȳ x ȳ x Να προσεχθεί επίσης η πολύ χρήσιµη ισοδύναµη µορφή της Παρατήρησης 5) ϐ ) Στα πλαίσια της ιανυσµατικής Ανάλυσης ϑα ταυτίζουµε πάντα µια γραµµική απεικόνιση D : R n R m µε τον πίνακα D = d ji ) 1 j m, = 1 i n d 11 d 1n d m1 d mn 44 R m n 32)

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 33 ΙΑΦΟΡΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ που την αναπαριστάνει ως προς τις συνήθεις ϐάσεις ē i R n, i = 1,, n, και ē j R m, j = 1,, m Γράφοντας τα διανύσµατα στους R n και R m ως στήλες των συντεταγµένων τους ως προς τις συνήθεις ϐάσεις, έχουµε λοιπόν d 11 d 1n D η = d m1 d mn η 1 η n R m η = η 1 η n R n γ ) Στην περίπτωση m = 1 έχουµε : Μια πραγµατική συνάρτηση περισσοτέρων µεταβλητών) f : U R, U R n ανοικτό, n N, είναι διαφορίσιµη στο σηµείο x U ανν υπάρχει D = d 1,, d n ) R n, τέτοιο ώστε f x + η) f x) D η lim = 0 η 0 η δ ) Ειδικότερα στην περίπτωση m = n = 1 έχουµε : Μια πραγµατική συνάρτηση µιας πραγµατικής µεταβλητής f : U R, U R ανοικτό, είναι διαφορίσιµη στο σηµείο x U ανν υπάρχει D R, τέτοιο ώστε fx + η) fx) Dη lim = 0 33) η 0 η Οπως γνωρίζουµε αυτός είναι ο ορισµός της διαφορισιµότητας µιας πραγµατικής συνάρτησης µιας πραγµατικής µεταβλητής στο σηµείο x και το µοναδικό D R για το οποίο ισχύει η 33) είναι η παράγωγος f x) = D ε ) Από την Ορισµό 331 µε D όπως στο 32), την Πρόταση 221 και την Παρατήρηση 3 έχουµε : Η f = f 1,, f m ) : U R m είναι διαφορίσιµη στο x U ανν υπάρχουν d j1,, d jn ) R n, j = 1,, m, τέτοια ώστε f j x + η) f j x) d j1,, d jn ) η lim = 0 j = 1,, m, η 0 η δηλαδή ανν οι συνιστώσες f j, j = 1,, m, της f είναι διαφορίσιµες στο x Θεώρηµα 331 Εστω ότι η f = f 1,, f m ) : U R m, U R n ανοικτό, n, m N, είναι διαφορίσιµη στο x U, δηλαδή υπάρχει ένα D R m n όπως στο 32) για το οποίο ισχύει η 31) Τότε α ) η f είναι συνεχής στο x, ϐ ) η f είναι µερικώς διαφορίσιµη στο x µε µερικές παραγώγους j x i x) = d ji j = 1,, m, i = 1,, n 45

16 33 ΙΑΦΟΡΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Απόδειξη α ) ) lim f x + η) f x) = lim η f x + η) f x) D η η 0 η 0 η f x + η) f x) D η = lim η lim η 0 η 0 η ) + D η + lim D η = = 0, η 0 όπου η δεύτερη ισότητα προκύπτει από την άλγεβρα ορίων Θεώρηµα 253 1) και Θεώρηµα 223 3) εφαρµοσµένο σε κάθε συνιστώσα του γινοµένου ϐαθ- µωτής επί διανυσµατική συνάρτηση, ϐλ και Παρατήρηση 221), ενώ για κάθε D R m n ισχύει lim D η = 0, 34) η 0 αφού από την ανισότητα Cauchy-Schwarz Πρόταση 111 1)) έχουµε m m D η 2 = d j1,, d jn ) η) 2 d j1,, d jn ) 2 η 2 j=1 και άρα για D > 0 ε > 0 δ ] ε 0, D = j=1 m j=1 i=1 n d 2 ji η 2 =: D 2 η 2, η B 0, δ) : D η D η < ε ενώ αν D = 0 δεν χρειάζεται να δείξουµε τίποτα) ϐ ) Από την Παρατήρηση 24 5) έχουµε j = 1,, m f j x + η) f j x) d j1,, d jn ) η lim = 0, η 0 η δηλαδή µε δ 0 > 0 τέτοιο ώστε B x, δ 0 ) U ε > 0 δ 0, δ 0 ) η B 0, δ)\{ 0} : f j x + η) f j x) d j1,, d jn ) η η και συνεπώς για η = hē i, h R, i = 1,, n, ε > 0 δ 0, δ 0 ) h δ, 0) 0, δ) : f j x + hē i ) f j x) d ji h h < ε, < ε, δηλαδή f j x + hē i ) f j x) d ji h lim = 0, h 0 h 46

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 33 ΙΑΦΟΡΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ και άρα ισοδύναµα j f j x + hē i ) f j x) x) = lim = d ji x i h 0 h Παρατηρηση 25 Από το Θεώρηµα 331 2) προκύπτει ότι ο πίνακας D R m n του Ορισµού 331 είναι µοναδικός και είναι ο Ιακωβιανός πίνακας των µερικών παραγώγων της f = f 1,, f m ) : U R m στο σηµείο x = x 1,, x n ) U R n 1 x D f x) 1 x) = J f x) = m x 1 x) 1 x n x) R m n, m x n x) ο οποίος ονοµάζεται παράγωγος derivative) της f στο x ανν η f είναι διαφο- ϱίσιµη στο x Η µοναδική γραµµική απεικόνιση D f x) : R n R m που αναπαριστάται από αυτόν τον πίνακα ονοµάζεται διαφορικό differential) της f στο x Ειδικότερα, για διαφορίσιµες πραγµατικές συναρτήσεις f : U R m = 1) στο x U η παράγωγος της f στο x δίνεται από την κλίση της f στο x Df x) = grad f x) = x),, ) x) R n x 1 x n Σύµφωνα µε την Παρατήρηση 24 5) η παράγωγος D f x) R m n µιας δια- ϕορίσιµης διανυσµατικής συνάρτησης f = f 1,, f m ) : U R m στο σηµείο x U R n έχει ως γραµµές της τις παραγώγους των συνιστωσών συναρτήσεων f j, j = 1,, m, στο x D f x) = Df 1 x) Df m x) = grad f 1 x) grad f m x) = J f x) R m n Πόρισµα 332 Εστω f : U R m, U R n ανοικτό, n, m N, διαφορίσιµη Τότε α ) η f είναι συνεχής, ϐ ) η f είναι µερικώς διαφορίσιµη Θεώρηµα 333 Εστω f : U R, U R n ανοικτό, n N, µερικώς διαφορίσιµη και έστω ότι όλες οι µερικές της παράγωγοι x i : U R, i = 1,, n, είναι συνεχείς στο x U Τότε η f είναι διαφορίσιµη στο x 47

18 33 ΙΑΦΟΡΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Απόδειξη Αφού το U είναι ανοικτό, υπάρχει δ 0 > 0 τέτοιο ώστε B x, δ 0 ) U Εστω η = η 1,, η n ) B 0, δ 0 ) \ { 0} Τότε ȳ k) := x + k η i ē i B x, δ 0 ) U, k = 1,, n, i=1 αφού ȳ k) x = η 1,, η k, 0,, 0) = k i=0 η 2 i n ηi 2 = η < δ 0 Επίσης, αφού ȳ k) ȳ k 1) = η k ē k για k = 1,, n και µε ȳ 0) := x, υπάρχει σύµ- ϕωνα µε το Θεώρηµα Μέσης Τιµής για πραγµατικές) συναρτήσεις µιας πραγµατικής µεταβλητής ένα ϑ k [0, 1] fȳ k) ) fȳ k 1) ) = fȳ k 1) + η k ē k ) fȳ k 1) ) ) = η k ȳ k 1) + ϑ k η k ē k x k Συνεπώς f x + η) f x) = fȳ n) ) fȳ 0) ) = = i=1 n fȳ k) ) fȳ k 1) ) k=1 n k=1 η k x k ȳ k 1) + ϑ k η k ē k ) και άρα n ) f x + η) f x) grad f x) η = η k ȳ k 1) + ϑ k η k ē k ) x) x k x k k=1 n η ) ȳ k 1) + ϑ k η k ē k x) x k x k k=1 Οµως, αφού οι συναρτήσεις x k υπάρχει για κάθε ε > 0 ένα δ 0, δ 0 ) τέτοιο ώστε για όλα τα η B 0, δ) να ισχύει είναι συνεχείς στο x για κάθε k = 1,, n, ϑα x + η) x) x k x k < ε n, και αφού για κάθε η B 0, δ) έχουµε ȳ k 1) + ϑ k η k ē k x = η 1,, η k 1, ϑ k η k, 0,, 0) = k 1 ηi 2 + ϑ2 k η2 k k ηi 2 n ηi 2 = η < δ i=1 i=1 i=1 48

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 33 ΙΑΦΟΡΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ όπου πάντα m a i := 0 αν m < n), ϑα ισχύει τελικά για κάθε η B 0, δ) \ { 0} i=n f x + η) f x) grad f x) η η < n k=1 ε n = ε Πόρισµα 334 Εστω f = f 1,, f m ) : U R m, U R n ανοικτό, m, n N, µερικώς διαφορίσιµη και έστω ότι οι µερικές της παράγωγοι j x i : U R, j = 1,, m, i = 1,, n, είναι συνεχείς στο x U Τότε η f είναι διαφορίσιµη στο x Απόδειξη Σύµφωνα µε τον Ορισµό 312 οι συνιστώσες f j της f είναι µερικώς δια- ϕορίσιµες και οι µερικές τους παράγωγοι συνεχείς στο x Άρα, σύµφωνα µε το Θεώρηµα 333, οι συνιστώσες f j είναι διαφορίσιµες στο x, και συνεπώς, σύµφωνα µε την Παρατήρηση 24 5), αυτό ισχύει και για την f Πόρισµα 335 Εστω f : U R m, U R n ανοικτό, m, n N, συνεχώς µερικώς διαφορίσιµη Τότε η f είναι διαφορίσιµη Παρατηρηση 26 Η f = f 1,, f m ) : U R m, U R n ανοικτό, m, n N, ονοµάζεται συνεχώς διαφορίσιµη continuously differentiable) αν είναι διαφο- ϱίσιµη και η παράγωγος της f ) D f : U R m n, D f x) j = x), x i 1 j m, 1 i n είναι συνεχής, όπου µια συνάρτηση A : U R m n, A x) = a ji x)) 1 ονοµάζεται συνεχής αν j m,, 1 i n x 0 U : lim A x) A x 0 ) = 0 x x 0 ή ισοδύναµα x 0 U : lim a ji x) a ji x 0 ) = 0 j = 1,, m, i = 1,, n x x 0 Η τελευταία ισοδυναµία αποδεικνύεται ανάλογα µε την Πρόταση 143 αφού για κάθε D = d ji ) 1 j m, R m n ισχύει 1 i n m n D := max d ji D = d 2 ji mn D 1 j m, 1 i n Συνεπώς για A = D f έχουµε j=1 i=1 f συνεχώς διαφορίσιµη f συνεχώς µερικώς διαφορίσιµη 49

20 33 ΙΑΦΟΡΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Παρατηρηση 27 Από την προηγούµενη Παρατήρηση 26 και τα Πορίσµατα 335 και 332, που δίνουν το πρώτο µια ικανή και το δεύτερο δύο αναγκαίες συνθήκες για την διαφορισιµότητα µιας συνάρτησης f : U R m, U R n ανοικτό, m, n N, έχουµε την ακόλουθη αλυσίδα µιας ισοδυναµίας και δύο συνεπαγωγών f συνεχώς διαφορίσιµη f συνεχώς µερικώς διαφορίσιµη f διαφορίσιµη f συνεχής και µερικώς διαφορίσιµη Η αλυσίδα αυτή ισχύει ισοδύναµα για όλες της συνιστώσες της f ξεχωριστά και άρα ειδικότερα για πραγµατικές ϐαθµωτές) συναρτήσεις πολλών µεταβλητών Επίσης ισχύει ισοδύναµα και για όλα τα σηµεία x U ξεχωριστά Παρατήρηση 26 και Θεωρήµατα 334 και 331), όπου "συνεχώς µερικώς) διαφορίσιµη στο x" ϑα σηµαίνει ότι "η παράγωγος υπάρχει όλες οι µερικές παράγωγοι υπάρχουν) σε ένα ανοικτό υποσύνολο του U που περιέχει το x και είναι συνεχής συνεχείς) στο x" Επισηµαίνουµε ξανά ότι από την µερική διαφορισιµότητα δεν προκύπτει η συνέχεια Παράδειγµα 5 4) και Παρατήρηση 20), ούτε από την συνέχεια η µερική διαφορισιµότητα Παράδειγµα 5 2)) Επίσης δεν ισχύει ότι µια µερικώς διαφορίσιµη συνάρτηση είναι διαφορίσιµη Παράδειγµα 5 4)), ούτε καν όταν είναι συνεχής και µερικώς διαφορίσιµη, ϐλ το επόµενο Παράδειγµα 7 Τέλος µπορεί µια συνάρτηση να είναι διαφορίσιµη χωρίς να είναι συνεχώς µερικώς) διαφορίσιµη, ϐλ το µεθεπόµενο Παράδειγµα 8 Παραδειγµα 7 Εστω η fx, y) = { xy x,y), x, y) R2 \ {0, 0)}, 0, x, y) = 0, 0) Η f είναι συνεχώς διαφορίσιµη στο R 2 \ {0, 0)}, συνεχής στο 0, 0), αφού και άρα xy x, y) 2 x, y) x, y) = x, y) x, y) R2 \ {0, 0)} lim fx, y) = 0, x,y) 0,0) και µερικώς διαφορίσιµη στο 0, 0), αφού υπάρχουν οι µερικές της παράγωγοι fh, 0) f0, 0) f0, h) f0, 0) 0, 0) = lim = 0 = lim x h 0 h h 0 h Οµως, δεν είναι διαφορίσιµη στο 0, 0), αφού δεν υπάρχει το όριο = 0, 0) y fx, y) f0, 0) grad f0, 0) x, y) xy lim = lim x,y) 0,0) x, y) x,y) 0,0) x, y) 2 ϐλ Παράδειγµα 5 4) 50

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 33 ΙΑΦΟΡΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Παραδειγµα 8 Εστω η fx, y) = { x, y) 2 1 sin x,y), x, y) 0, 0, x, y) = 0, x, y) R 2 Η f είναι συνεχώς διαφορίσιµη στο R 2 \{0, 0)} µε παράγωγο στο x, y) R 2 \{0, 0)} την κλίση της f στο x, y), ) Dfx, y) = grad fx, y) = x, y), x, y), x y όπου, αφού ht) := t 2 sin 1 t, t > 0 h t) = 2t sin 1 t cos 1 t, έχουµε, ϐλ Παράδειγµα 5 3), x x, y) = 2x sin 1 x, y) x x, y) cos 1 x, y), y x, y) = 2y sin 1 x, y) y x, y) cos 1 x, y) Η f είναι επίσης µερικώς διαφορίσιµη στο 0, 0), αφού δηλ υπάρχει η κλίση fh, 0) f0, 0) 0, 0) = lim h 0 h x 0, 0) = lim y h 0 f0, h) f0, 0) h grad f0, 0) = 0, 0) = lim h 0 h sin 1 h = 0, = lim h 0 h sin 1 h = 0, Η f είναι και διαφορίσιµη στο 0, 0) µε παράγωγο Df0, 0) = grad f0, 0) = 0, 0), αφού fx, y) f0, 0) grad f0, 0) x, y) lim x,y) 0,0) x, y) = lim x,y) 0,0) fx, y) x, y) = lim x, y) sin 1 x,y) 0,0) x, y) = 0 Άρα η f είναι διαφορίσιµη Αλλά δεν είναι συνεχώς µερικώς) διαφορίσιµη, αφού οι µερικές της παράγωγοι δεν είναι συνεχής στο 0, 0), καθώς δεν υπάρχουν τα όρια lim x 0 lim y 0 1 x, 0) = 2x sin x x x x cos 1 x, 1 0, y) = 2y sin y y y y cos 1 y 51

22 33 ΙΑΦΟΡΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Θεώρηµα 336 Αλγεβρα παραγώγων) Εστω U R n ανοικτό, n, m N, f, ḡ : U R m και ϕ, ψ : U R µε ψ x) 0 διαφορίσιµες στο x U Τότε οι συναρτήσεις f + ḡ : U R m, f ḡ : U R, ϕ f : U R m f, ψ : U Rm είναι διαφορίσιµες στο x µε τις εξής παραγώγους : α ) Παράγωγος αθροίσµατος διανυσµατικών συναρτήσεων) D f + ḡ) x) = D f x) + Dḡ x) R m n ϐ ) Παράγωγος εσωτερικού γινοµένου διανυσµατικών συναρτήσεων) D f ḡ) x) = ḡ x) T D f x) + f x) T Dḡ x) R n γ ) Παράγωγος ϐαθµωτής επί διανυσµατική συνάρτηση) Dϕ f) x) = ϕ x)d f x) + f x)dϕ x) R m n δ ) Παράγωγος πηλίκου διανυσµατικής δια ϐαθµωτή συνάρτηση) ) f D x) = ψ x)d f x) f x)dψ x) ψ ψ 2 R m n x) Απόδειξη Τό ότι οι εξεταζόµενες συναρτήσεις, αν είναι διαφορίσιµες, έχουν τις πιο πάνω παραγώγους προκύπτει από την άλγεβρα Ιακωβιανών πινάκων Θεώρη- µα 311) Μένει να δείξουµε ότι για αυτές τις παραγώγους ισχύει ανάλογα η 31) 1): = = f + ḡ) x + η) f + ḡ) x) D f x) + Dḡ x) ) η lim η 0 η f x + η) f x) D f x) η = lim η 0 η ḡ x + η) ḡ x) Dḡ x) η + lim = 0 η 0 η 2): Από την απόδειξη του 2) στο Θεώρηµα 311 έχουµε m j=1 m j=1 lim f ḡ) x + η) f ḡ) x) grad f ḡ) x) η η 0 η lim η 0 lim η 0 f j g j ) x + η) f j g j ) x) f j x) grad g j x) + g j x) grad f j x) ) η η fj x + η) f j x) grad f j x) η g j x + η) η + f j x) g j x + η) g j x) grad g j x) η η + g j x + η) g j x)) grad f ) j x) η = 0 η 52

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 33 ΙΑΦΟΡΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 3): Σύµφωνα µε την Παρατήρηση 24 5), το αποτέλεσµα ακολουθεί από το ότι ϕf j ) x + η) ϕf j ) x) ϕ x) grad f j x) + f j x) grad ϕ x) ) η lim = 0 η 0 η j = 1,, m, το οποίο ισχύει, όπως είδαµε στην προηγούµενη απόδειξη του 2) 4): Ακολουθεί από το 3) ϐλ και την απόδειξη του 4) στο Θεώρηµα 311), αφού 1 1 lim η 0 η ψ x + η) 1 ) grad ψ x) η + ψ x) ψ 2 x) ) ) ψ x + η) ψ x) grad ψ x) η ψ x + η) ψ x) grad ψ x) η = lim η 0 ψ x + η)ψ 2 = 0 x) η η ψ x + η)ψ x) Θεώρηµα 337 Κανόνας της παραγώγου σύνθετης συνάρτησης ή κανόνας της αλυσίδας) Εστω U R n, V R m ανοικτά, n, m N, f : U R m µε fu) V, ḡ : V R k, k N, και έστω ότι η f είναι διαφορίσιµη στο x U και η ḡ είναι διαφορίσιµη στο ȳ := f x) Τότε η σύνθετη συνάρτηση ḡ f : U R k είναι διαφορίσιµη στο x µε παράγωγο Dḡ f) x) = Dḡ f x))d f x) Απόδειξη Θέτουµε A := D f x), B := Dḡȳ) = Dḡ f x)) Θέλουµε να δείξουµε ότι ḡ lim f) x + η) ḡ f) x) BA η = 0 η 0 η Αφού το V είναι ανοικτό, ϑα υπάρχει δ 1 > 0 τέτοιο ώστε Bȳ, δ 1 ) V Συνεπώς, αφού το U είναι ανοικτό και η f ως διαφορίσιµη είναι και συνεχής στο x U, ϑα υπάρχει δ 2 > 0 τέτοιο ώστε B x, δ 2 ) U και fb x, δ 2 )) Bȳ, δ 1 ) V Εστω λοιπόν στα επόµενα η B 0, δ 2 ) \ { 0} R n και ξ B 0, δ 1 ) \ { 0} R m Τότε x + η B x, δ 2 ) \ { x} U, f x + η) Bȳ, δ 1 ) V και ȳ + ξ Bȳ, δ 1 ) \ {ȳ} V Γνωρίζουµε ότι δηλαδή, ισοδύναµα, ότι lim η 0 f x + η) f x) A η = 0, η ḡȳ + lim ξ) ḡȳ) B ξ = 0, ξ 0 ξ f x + η) = f x) ϕ η) + A η + ϕ η) µε lim η 0 η = 0, ḡȳ + ξ) = ḡȳ) + B ξ + ψ ξ) µε lim ξ 0 ψ ξ) ξ = 0 53

24 33 ΙΑΦΟΡΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Εχουµε συνεπώς ḡ f) x + η) = ḡ f x + η)) = ḡ f x) + A η + ϕ η)) Αν δείξουµε ότι έχουµε το Ϲητούµενο, αφού τότε = ḡ f x)) + BA η + B ϕ η) + ψa η + ϕ η)) B ϕ η) + lim ψa η + ϕ η)) = 0 η 0 η ḡ lim f) x + η) ḡ f) x) BA η B ϕ η) + = lim ψa η + ϕ η)) = 0 η 0 η η 0 η ϕ η) Αφού lim η 0 η = 0 και lim B ξ = 0 = B 0 ϐλ 34)) έχουµε από το Θεώρηµα ξ ) Επίσης για ε = 1) Από την άλλη, αφού lim ξ 0 έχουµε για η B 0, δ 3 ) \ { 0} ψa η + ϕ η)) η B ϕ η) lim = 0 η 0 η δ 3 0, δ 2 ) η B 0, δ 3 ) \ { 0} : ϕ η) η ψ ξ) ξ = 0, δηλ, ισοδύναµα, ψ ξ) = ξ ψ 1 ξ) µε lim ψ 1 ξ) = 0, ξ 0 = A η + ϕ η) ψ 1 A η + ϕ η)) η A + 1) ψ 1 A η + ϕ η)) Οµως, αφού lim A η = 0 = A 0, lim ϕ η) = 0 =: ϕ 0) και lim ψ 1 ξ) = 0 =: ψ 1 0), η 0 η 0 ξ 0 και αφού συνθέσεις συνεχών συναρτήσεων είναι συνεχείς ϐλ Θεώρηµα 253 3) ή, ισοδύναµα, Θεώρηµα 254 3)), έχουµε lim ψ 1 A η + ϕ η)) = 0 η 0 και άρα και το οποίο ολοκληρώνει την απόδειξη lim ψa η + ϕ η)) = 0, η 0 η 54

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 34 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ 34 Γεωµετρική ερµηνεία των παραγώγων Στις προηγούµενες παραγράφους γνωρίσαµε δυο ειδών διαφορισιµότητας διανυσµατικών συναρτήσεων f = f 1,, f m ) : U R m, U R n ανοικτό, m, n N, σε ένα σηµείο x U: την µερική διαφορισιµότητα, σύµφωνα µε την οποία υπάρχει ο Ιακωβιανός πίνακας των µερικών παραγώγων της f στο x 1 x 1 x) J f x) = m x 1 x) 1 x n x) R m n, 35) m x n x) µε στοιχεία τις i-οστές παραγώγους των j-οστών συνιστωσών f j : U R j f j x + hē i ) f j x) x) = lim R, j = 1,, m, i = 1,, n, x i h 0 h και την διαφορισιµότητα, σύµφωνα µε την οποία ο Ιακωβιανός πίνακας J f x) αναπαριστά την ϐέλτιστη γραµµική προσέγγιση στην συνάρτηση f στο σηµείο x, δηλ την γραµµική απεικόνιση D f x) : R n R m, D f x) η = J f x) η, για την οποία ισχύει lim η 0 f x + η) f x) D f x) η η = 0, 36) Τότε ο πίνακας D f x) = J f x) ονοµάζεται παράγωγος και η γραµµική απεικόνιση D f x) : R n R m ονοµάζεται διαφορικό Ξανατονίζουµε, ότι αν υπάρχει ο πίνακας των µερικών παραγώγων 35) αλλά δεν υπάρχει το όριο 36), η f είναι στο x µερικώς διαφορίσιµη, αλλά όχι διαφορίσιµη Επειδή όπου f j x + η) f x) grad f j x) η 36) lim = 0, j = 1,, m 37) η 0 η grad f j x) = j x) ) j x) x 1 x n η κλίση της f j στο x, ϐλέπουµε ότι η διαφορά των δύο εννοιών διαφορισιµότητας δεν εγκειται στο αν η συνάρτηση που εξετάζουµε είναι διανυσµατική ή πραγµατική, αφού από τις 35) κσι 37) προκύπτει f µερικώς διαφορίσιµη στο x f j µερικώς διαφορίσιµες στο x j = 1,, m και f διαφορίσιµη στο x f j διαφορίσιµες στο x j = 1,, m 55

26 34 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Για την κατανόηση της διαφοράς των δυο εννοιών διαφορισιµότητας αρκεί λοιπόν να εξετάσουµε πραγµατικές συναρτήσες περισσότερων µεταβλητών Ας κάνουµε αυτήν την εξέταση για πραγµατικές συναρτήσεις δυο µεταβλητών Αυτά που ϑα πούµε γενικεύονται ανάλογα σε περισσότερες µεταβλητές Στην περίπτωση λοιπόν µιας πραγµατικής συνάρτησης f : U R, x, y) fx, y), δυο µεταβλητών x, y) U R 2, U ανοικτό, το γράφηµα της f µε αναλυτική εξίσωση Γ f = {x, y, fx, y)) R 3 : x, y) U} z = fx, y), x, y) U, είναι η επιφάνεια στον τρισδιάστατο) χώρο R 3, η οποία σχήµατιζεται αν πάνω από κάθε σηµείο x, y) U που ϐρίσκεται στο επίπεδο 0xy σηµειώσουµε παράλληλα στον άξονα 0z το σηµείο x, y, z), όπου z = fx, y) R είναι το ύψος του γραφήµατος στο σηµείο x, y), δηλ η προσηµασµένη) απόσταση του x, y, fx, y)) R 3 από το επίπεδο 0xy Οι µερικές παράγωγοι της f σε ένα σηµείο x 0, y 0 ) U είναι οι παράγωγοι των συναρτήσεων x x fx 0 + h, y 0 ) fx 0, y 0 ) 0, y 0 ) = lim, h 0 h y x fx 0, y 0 + h) fx 0, y 0 ) 0, y 0 ) = lim h 0 h x 0 ε, x 0 + ε) x fx, y 0 ), y 0 ε, y 0 + ε) y fx 0, y), αντίστοιχα, όπου ε > 0 τέτοιο ώστε x 0 ε, x 0 + ε) y 0 ε, y 0 + ε) U Συνεπώς, η x x 0, y 0 ) δίνει την κλίση της εφαπτοµένης ευθείας) στο σηµείο x 0, y 0, fx 0, y 0 )) της καµπύλης {x, y 0, fx, y 0 )) R 3 : x R µε x, y 0 ) U}, που προκύπτει από την τοµή του γραφήµατος Γ f αναλυτική εξίσωση µε το επίπεδο y = y 0 και έχει z = fx, y 0 ), y = y 0, x R µε x, y 0 ) U Η εφαπτοµένη αυτή ϐρίσκεται στο επίπεδο y = y 0, το οποίο είναι παράλληλο του επιπέδου 0xz, και έχει αναλυτική εξίσωση z = fx 0, y 0 ) + x x 0 ) x x 0, y 0 ), y = y 0, x R 56

27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 34 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ Αντίστοιχα, η y x 0, y 0 ) δίνει την κλίση της εφαπτοµένης ευθείας) στο σηµείο x 0, y 0, fx 0, y 0 )) της καµπύλης {x 0, y, fx 0, y)) R 3 : y R µε x 0, y) U}, που προκύπτει από την τοµή του γραφήµατος Γ f µε το επίπεδο x = x 0 και έχει αναλυτική εξίσωση z = fx 0, y), x = x 0, y R µε x 0, y) U Η εφαπτοµένη αυτή ϐρίσκεται στο επίπεδο x = x 0, το οποίο είναι παράλληλο του επιπέδου 0yz, και έχει αναλυτική εξίσωση z = fx 0, y 0 ) + y y 0 ) y x 0, y 0 ), x = x 0, y R Οι δύο αυτές εφαπτόµενες ευθείες τέµνονται στο σηµείο x 0, y 0, fx 0, y 0 )) Γ f, ϐρίσκονται καθεµία σε ένα επίπεδο που είναι κάθετο στο άλλο, και ορίζουν ένα µοναδικό επίπεδο που τις περιέχει µε αναλυτική εξίσωση z = fx 0, y 0 ) + x x 0 ) x x 0, y 0 ) + y y 0 ) y x 0, y 0 ) = fx 0, y 0 ) + x x 0, y y 0 ) grad fx 0, y 0 ), x, y) R 2, και κλίση grad fx 0, y 0 ) Το επίπεδο αυτό ονοµάζεται εφαπτόµενο επίπεδο στο σηµείο x 0, y 0, fx 0, y 0 )) του γραφήµατος Γ f της f αν και µόνο αν lim = fx, y) fx 0, y 0 ) x x 0, y y 0 ) grad fx 0, y 0 ) = 0, x,y) x 0,y 0) x x 0, y y 0 ) δηλ αν και µόνο αν η f είναι διαφορίσιµη στο σηµείο x 0, y 0 ) U Τότε η κλίση grad fx 0, y 0 ) του εφαπτόµενου επιπέδου στο σηµείο x 0, y 0, fx 0, y 0 )) του γραφήµατος Γ f της f είναι η παράγωγος Dfx 0, y 0 ) της f στο σηµείο x 0, y 0 ), grad fx 0, y 0 ) = x x 0, y 0 ), ) y x 0, y 0 ) = Dfx 0, y 0 ) Το εφαπτόµενο επίπεδο στο σηµείο x 0, y 0, fx 0, y 0 )) του γραφήµατος Γ f της διαφορίσιµης συνάρτησης f στο σηµείο αυτό αποτελείται από τα σηµεία διανυσµατική εξίσωση) x x y = y 0 + x x 0 ) 0 + y y 0 ) 1 R 3, z fx 0, y 0 ) x x 0, y 0 ) y x 0, y 0 ) 38) x, y R, 57

28 34 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ και είναι κάθετο στο διάνυσµα που δίνεται από το εξωτερικό γινόµενο 1 0 x x 0, y 0 ) 0 1 y x 0, y 0 ) = ē 1 ē 2 ē x x 0, y 0 ) = 0 1 y x 0, y 0 ) x x 0, y 0 ) y x 0, y 0 ) 1 Ετσι η αναλυτική εξίσωση του εφαπτόµενου επιπέδου στο σηµείο x 0, y 0, fx 0, y 0 )) του γραφήµατος Γ f της f δίνεται από την εξίσωση x x 0, y 0 ) x x 0 y x 0, y 0 ) y y 0 = 0 1 z fx 0, y 0 ) Τέλος, αν στην διανυσµατική εξίσωση του εφαπτόµενου επιπέδου ϑέσουµε την παράµετρο y = y 0, έχουµε την διανυσµατική εξίσωση της εφαπτοµένης στο σηµείο x 0, y 0, fx 0, y 0 )) της καµπύλης {x, y 0, fx, y 0 )) R 3 : x R µε x, y 0 ) U}, x x 0 y = y 0 + x x 0 ) z fx 0, y 0 ) 1 0 x x 0, y 0 ) R 3, x R, ενώ αν ϑέσουµε την παράµετρο x = x 0, έχουµε την διανυσµατική εξίσωση της εφαπτοµένης στο σηµείο x 0, y 0, fx 0, y 0 )) της καµπύλης {x 0, y, fx 0, y)) R 3 : y R µε x 0, y) U}, x x 0 y = y 0 + y y 0 ) z fx 0, y 0 ) 0 1 y x 0, y 0 ) R 3, y R Αντίστοιχα, ϑέτωντας y = y 0 ή x = x 0 στην αναλυτική εξίσωση του εφαπτόµενου επιπέδου παίρνουµε τις αναλυτικές εξισώσεις των εφαπτόµενων ευθειών) στις καµπύλες που προκύπτουν από την τοµή του Γ f µε τα επίπεδα y = y 0 ή x = x 0, αντίστοιχα Παραδειγµα 9 Ας εξετάσουµε όλα τα παραπάνω σε µια από τις πιο απλές πραγ- µατικές συναρτήσεις δύο µεταβλητών, προσπαθώντας να τα δούµε κυριολεκτικά) γεωµετρικά Εστω, λοιπόν, η fx, y) = x 2 + y 2 = x, y) 2, x, y) R 2 Το γράφηµα Γ f της f είναι το ελλειπτικό παραβολοειδές µε αναλυτική εξίσωση z = x 2 + y 2, x, y) R 2 Η f έχει στο σηµείο x 0, y 0 ) τις µερικές παραγώγους x x 0, y 0 ) = 2x 0, y x 0, y 0 ) = 2y 0 58

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 34 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ και συνεπώς την κλίση grad fx 0, y 0 ) = 2x 0, y 0 ) Η f είναι διαφορίσιµη σε κάθε σηµείο x 0, y 0 ) R 2, αφού γενικότερα η g x) = x 2, x R n, µε κλίση grad g x) = 2 x είναι διαφορίσιµη, µιας και x + η 2 x 2 2 x η lim = lim η = 0 η 0 η η 0 Συνεπώς υπάρχει το εφαπτόµενο επίπεδο στο σηµείο x 0, y 0, x y 2 0) z = x y x 0 x x 0 ) + 2y 0 y y 0 ), x, y) R 2 που είναι κάθετο στο δίανυσµα 2x 0, 2y 0, 1) Παρατηρούµε, όπως γεωµετρικά το ϕανταζόµασταν, ότι στα σηµεία x 0, y 0 ) = 0, 0): εφεπ z = 0, grad f0, 0) = 0, 0), κάθ 0, 0, 1), x 0, y 0 ) = ±1, 0): εφεπ z = 1 ± 2x 1), grad f±1, 0) = ±2, 0), κάθ 2, 0, 1), x 0, y 0 ) = 0, ±1): εφεπ z = 1 ± 2y 1), grad f0, ±1) = 0, ±2), κάθ 0, 2, 1) Η τοµή του παραβολοειδούς µε τα επίπεδα y = y 0 και x = x 0 δίνεται αντίστοιχα από τις καµπύλες µε αναλυτικές εξισώσεις z = x 2 + y 2 0, y = y 0, x R και z = x y 2, x = x 0, y R, που έχουν αντίστοιχα τις εφαπτόµενες στο σηµείο x 0, y 0, x y 2 0) z = x 2 0+y x 0 x x 0 ), y = y 0, x R, z = x 2 0+y y 0 y y 0 ), x = x 0, y R Ετσι έχουµε στο σηµείο x 0, y 0 ) = 0, 0) τις καµπύλες z = x 2, y = 0, x R και z = y 2, x = 0, y R, µε εφαπτόµενες στο σηµείο 0, 0, 0) z = 0, y = y 0, x R, z = 0, x = x 0, y R, στα σηµεία x 0, y 0 ) = ±1, 0) τις καµπύλες z = x 2, y = 0, x R και z = 1 + y 2, x = ±1, y R, µε εφαπτόµενες στα σηµεία ±1, 0, 1) z = 1 ± 2x 1), y = 0, x R, z = 1, x = ±1, y R, 59

30 35 ΠΑΡΑΓΩΓ ΚΑΤΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ και στα σηµεία x 0, y 0 ) = 0, ±1) τις καµπύλες z = x 2 + 1, y = ±1, x R και z = 0y 2, x = x 0, y R, που έχουν τις εφαπτόµενες στο σηµείο 0, ±1, 1) z = 1, y = ±1, x R, z = 1 + ±2y 1), x = x 0, y R 35 Παράγωγος κατά κατεύθυνση Μάθαµε µέχρι τώρα ότι οι µερικές παράγωγοι µιας µερικώς διαφορίσιµης πραγµατικής συνάρτησης πολλών µεταβλητών είναι οι παράγωγοι της συνάρτησης ως προς µια µεταβλητή της, ϑεωρώντας τις υπόλοιπες ως σταθερούς αριθµούς Είδαµε επίσης στην απλούστερη περίπτωση µιας διαφορίσιµης πραγµατικής συνάρτησης δυο µετα- ϐλητών f : U R, U R 2 ανοικτό, ότι οι εφαπτόµενες στο σηµείο x 0, y 0, fx 0, y 0 )) µε x 0, y 0 ) U) των καµπυλών που δηµιουργούνται από την τοµή του γραφήµατος της συνάρτησης µε τα επίπεδα y = y 0 και x = x 0 έχουν ως κλίσεις τις µερικές παραγώγους x x 0, y 0 ), y x 0, y 0 ), και ότι οι εφαπτόµενες αυτές ευθείες περιέχονται στο και ορίζουν το εφαπτόµενο επίπεδο στο σηµείο αυτό του γραφήµατος που έχει κλίση grad fx 0, y 0 ) = x x 0, y 0 ), ) y x 0, y 0 ) Ανακύπτουν δύο ερωτήµατα : α ) Αφού οι µερικές παράγωγοι είναι οι παράγωγοι των x fx, y 0 ) και y fx 0, y), δηλ οι παράγωγοι κατά µήκος των ευθειών y = y 0 και x = x 0 του ε- πιπέδου 0xy, που έχουν τις κατευθύνσεις 0, 1) και 1, 0), δεν ϑα µπορούσαµε να εξετάσουµε τις παραγώγους της f στο σηµείο x 0, y 0 ) κατά µήκος οποιασδήποτε ευθείας που περνάει από το σηµείο x 0, y 0 ), δηλ ως προς οποιαδήποτε κατευθυνση α, β) 0, 0); Η απάντηση είναι καταφατική αν η f είναι διαφορίσιµη στο x 0, y 0 ), και στοιχειοθετεί την έννοια της παραγώγου κατά κατεύθυνση ϐ ) Αφού οι µερικές παράγωγοι, δηλ οι παράγωγοι κατά τις κατευθύνσεις 1, 0) και 0, 1), αντιστοιχούν σε εφαπτόµενες ευθείες που περιέχονται στο εφαπτόµενο επίπεδο του γραφήµατος της στο x 0, y 0 ) διαφορίσιµης συνάρτησης f στο σηµείο x 0, y 0, fx 0, y 0 )), ϑα ισχύει αυτό και για τις παραγώγους κατά οποιαδήποτε κατευθυνση ; Και αν ναι, ϑα µπορούσαµε να χρησιµοποιήσουµε την γνώση της κλισης grad fx 0, y 0 ) του εφαπτόµενου επίπεδου για να υπολογίσουµε την παράγωγο σε µια δεδοµένη κατεύθυνση ; 60

31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 35 ΠΑΡΑΓΩΓ ΚΑΤΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Και πάλι οι απαντήσεις σε αυτά τα δύο ερωτήµατα είναι καταφατικές, αν η f είναι διαφορίσιµη στο x 0, y 0 ) Ας δούµε λοιπόν τι συµβαίνει Ορισµός 351 Εστω f : U R, U R n ανοικτό, x U και ν R n µε ν = 1 Τό όριο D ν f x) := f x + h ν) f x) x) := lim ν h 0 h λέγεται, αν υπάρχει, κατευθυνόµενη παράγωγος directional derivative) στην κατεύθυνση ν ή παράγωγος κατά κατεύθυνση ν της f στο x Παρατηρηση 28 Αν η f είναι µερικώς διαφορίσιµη στο x έχουµε i = 1,, n Dēi x) = x i x) Θεώρηµα 351 Εστω f : U R, U R n ανοικτό, διαφορίσιµη Τότε υπάρχει η κατευθυνόµενη παράγωγος σε κάθε x = x 1,, x n ) U και προς κάθε κατεύθυνση ν = ν 1,, ν n ) R n, ν = 1, και ισχύει ϕ n h) D ν f x) = grad f x) ν Απόδειξη Εστω x U Αφού το U είναι ανοικτό υπάρχει ε > 0 τέτοιο ώστε B x, ε) U Τότε x + h ν B x, ε) h ε, ε) Θεωρούµε την συνάρτηση ϕ 1 h) x 1 + hν 1 ϕh) = := x + h ν = R n, h ε, ε) για την οποία ισχύει D ϕ0) = ϕ 10) ϕ n0) x n + hν n = ν 1 ν n = ν, αφού ϕh) ϕ0) νh lim = 0 h 0 h Με αυτήν τη συνάρτηση έχουµε f x + h ν) f x) f ϕh)) f ϕ0)) D ν f x) = lim = lim h 0 h h 0 h f ϕ)h) f ϕ)0) = lim = f ϕ) 0) h 0 h Αλλά f ϕ : R n R m µε m = n = 1 και σύµφωνα µε τον κανόνα της αλυσίδας ισχύει f ϕ) 0) = Df ϕ)0) = Df ϕ0))d ϕ0) = Df x)d ϕ0) = grad f x) ν 61

32 35 ΠΑΡΑΓΩΓ ΚΑΤΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Παρατηρηση 29 Φυσικά και από το προηγούµενο ϑεώρηµα επαληθεύεται η Παρατήρηση 28, ότι, αν η f είναι διαφορίσιµη στο x, έχουµε i = 1,, n Dēi x) = grad f x) ē i = x),, x),, ) x) 0,, 1,, 0) x 1 x i x n = x i x) Παρατηρηση 30 Από την ανισότητα Cauchy-Schwarz Πρόταση 111 1)) γνωρίζου- µε ότι, αν grad f x) 0, το εσωτερικό γινόµενο grad f x) ν R µεγιστοποιείται, όταν grad f x) ν = grad f x) και τότε D νf x) = grad f x) Αυτό σηµαίνει ότι στο σηµείο x U η κλίση grad f x) δείχνει στην κατεύθυνση κατά την οποία το f παρουσιάζει την µεγαλύτερη ϑετική) µεταβολή µε ϱυθµό µεταβολής κλίση ) grad f x) Επίσης, αν ϑυµηθούµε ότι η γωνία ϑ [0, 2π) µεταξύ των διανυσµάτων grad f x) και ν R n µε ν = 1 δίνεται από την σχέση cos ϑ = grad f x) ν grad f x) έχουµε D ν f x) = grad f x) cos ϑ Παρατηρηση 31 Για µια συνάρτηση δύο µεταβλητών f : U R, U R 2 ανοικτό, διαφορίσιµη στο x 0, y 0 ), το D ν fx 0, y 0 ) µε ν = ν 1 ν 2 ) R 2 και ν = 1) δίνει την κλίση της εφαπτοµένης στο σηµείο x 0, y 0, fx 0, y 0 )) της καµπύλης που προκύπτει από την τοµή του γραφήµατος της f Γ f = {x, y, z) R 3 : z = fx, y), x, y) U} µε το επίπεδο κάθετα στο 0xy το οποίο περιέχει την ευθεία ) ) x x0 ν1 = + h, h R y) y 0 ν 2 Η εν λόγω καµπύλη έχει συνεπώς διανυσµατική εξίσωση x x 0 + hν 1 y = y 0 + hν 2 =: γh), h ε, ε) z fx 0 + hν 1, y 0 + hν 2 ) και είναι διαφορίσιµη στο h = 0, αφού ν 1 ν 1 J γ 0) = ν 2 d dh fx 0 + hν 1, y 0 + hν 2 ) h=0 = ν 2 grad fx 0, y 0 ) ν 62

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 35 ΠΑΡΑΓΩΓ ΚΑΤΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ και γh) γ0) J γ 0)h lim = 0 h 0 h ν 1 h ν 1 h ν 2 h ν 2 h lim = 0, lim = 0, h 0 h h 0 h fx 0 + hν 1, y 0 + hν 2 ) fx 0, y 0 ) grad fx 0, y 0 ) νh lim h 0 h = 0 Συνεπώς D γ 0) = J γ 0) και η εφαπτοµένη ευθεία) στο σηµείο x 0, y 0, fx 0, y 0 )) = γ ν 0) δίνεται από την x x 0 ν 1 y = γ ν 0) + D γ 0)h = y 0 + h ν 2 z fx 0, y 0 ) grad fx 0, y 0 ) ν = x y 0 + hν hν 2 1, h R fx 0, y 0 ) x x 0, y 0 ) y x 0, y 0 ) και άρα περιέχεται στο εφαπτόµενο επίπεδο του γραφήµατος της f στο σηµείο x 0, y 0, fx 0, y 0 )), ϐλ 38) και έχει κλίση εφαπτοµένης ν x 0, y 0 ) = grad fx 0, y 0 ) ν Πχ αν ξανακοιτάξουµε το ελλειπτικό παραβολοειδές του Παραδείγµατος 9 ϐλέπου- µε ότι σύµφωνα µε την Παρατήρηση 30 η κατεύθυνση της µεγαλύτερης µεταβολής της fx, y) = x 2 + y 2 στο σηµείο x 0, y 0 ) R 2 \ {0, 0)} είναι η κατεύθυνση ν = grad fx 0, y 0 ) grad fx 0, y 0 ) = x 0, y 0 ) x 0, y 0 ), δηλαδή η κατεύθυνση του x 0, y 0 ) R 2 \ {0, 0)}, κατά την οποία η καµπύλη x 1 + h)x 0 y = 1 + h)y 0, h R, z 1 + h) 2 x y0) 2 έχει εφαπτοµένη στο σηµείο x 0, y 0, x y0) 2 την x x 0 x 0 y = y 0 + h y 0, h R, z x y0 2 2 x 0, y 0 ) µε κλίση εφαπτοµένης την παράγωγο κατεύθυνσης ν x 0, y 0 ) = 2 x 0, y 0 ) 63

34 35 ΠΑΡΑΓΩΓ ΚΑΤΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Να προσεχθεί ότι η παράγωγος κατεύθυνσης εξαρτάται εδώ µόνο από την απόσταση του σηµείου x 0, y 0 ) από το 0, 0) Στο σηµείο x 0, y 0 ) = 0, 0) ϐλέπουµε ότι D ν f0, 0) = grad f0, 0) ν = 0, 0) ν = 0 ν R 2, ν = 1, δηλαδή κατά µήκος οποιασδήποτε ευθείας του επιπέδου z = 0 που περνάει από το 0, 0), η καµπύλη πάνω από αυτή την ευθεία έχει στο σηµείο 0, 0, 0) ως εφαπτοµένη την εν λόγω ευθεία, δηλαδή έχει κλίση εφαπτοµένης παράγωγο κατεύθυνσης) 0 Παρατηρηση 32 Η κλίση grad f x) µιας διαφορίσιµης συνάρτησης f : U R, U R n ανοικτό, στο σηµείο x U, έχει και µια άλλη ιδιότητα : Είναι κάθετη στο σύνολο στάθµης c R της f, L f c) := { x U : f x) = c}, δηλ για κάθε διαφορίσιµη καµπύλη γ : ε, ε) R n µε γ ε, ε)) L f c) και γ0) = x ισχύει D γ0) grad f x) = 0 Πράγµατι, η συνάρτηση f γ : ε, ε) R µε f γ)h) = c h ε, ε) έχει παράγωγο Df γ)0) = f γ) 0) = 0 Από την άλλη, από τον κανόνα της αλυσίδας έχουµε Df γ)0) = grad f x) D γ0) Ως παράδειγµα, οι καµπύλες στάθµης c > 0 του ελλειπτικού παραβολοειδούς fx, y) = x 2 + y 2 είναι οι κύκλοι κέντρου 0, 0) και ακτίνας c του R 2, L f c) = {x, y) R 2 : x 2 + y 2 = c} Οι διαφορίσιµες καµπύλες που περνάνε από ένα συγκεκριµένο σηµείο x, y) L f c) και ϐρίσκονται εξ ολοκλήρου στο L f c) είναι της µορφής γh) = cosϕh)), sinϕh))), h ε, ε), µε γ0) = cosϕ0)), sinϕ0))) = x, y) και έχουν παράγωγο D γ0) = sinϕ0))ϕ 0), cosϕ0))ϕ 0)) = y, x)ϕ 0) Συνεπώς, D γ0) grad f x) = x, y) x, y)ϕ 0) = 0 64

35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 35 ΠΑΡΑΓΩΓ ΚΑΤΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Α 12 Εστω το σύνολο M = {x, y) R 2 : x = y} \ {0, 0)} και η συνάρτηση fx, y) = { e x 1, x, y) M, 0, x, y) M είξτε ότι α ) Η f είναι µερικώς διαφορίσιµη όταν και µόνο όταν x, y) M ϐ ) Η κατευθυνόµενη παράγωγος D ν f0, 0) υπάρχει για κάθε ν R 2, ν = 1 γ ) Υπάρχει ν R 2, ν = 1, µε D ν f0, 0) grad f0, 0) ν Λύση α ) 1 Εστω x, y) M, x, y) 0, 0) Τότε αφού ε > 0 : Bx, y), ε) M =, 39) ε > 0 ξ, η) R 2 µε x ξ) 2 + y η) 2 < ε 2 : ξ η, µιας και για ε := x y 2 > 0 ξ = η x ξ) 2 + y ξ) 2 > ε 2 = που ισχύει επειδή x y)2 4 = x ξ) y ξ))2, 4 a 2 + b 2 > a b)2 4 3a 2 + b 2 ) > a 2 + b 2 2ab για a, b) 0, 0) Η 39) προκύπτει και πιο άµεσα, αφού x, y) M = {x, y) R 2 : x = y}) Συνεπώς, fξ, η) = 0 ξ, η) Bx, y), ε) και άρα η f είναι στο σηµείο x, y) άπειρες ϕορές διαφορίσιµη και άρα και µερικώς διαφορίσιµη 2 x f0, 0) = lim y y 0 fx, 0) f0, 0) f0, 0) = lim x 0 x f0, y) f0, 0) y 0 0 = lim = 0, x 0 x 0 0 = lim = 0 y 0 y 3 Εστω x, y) M, δηλ x = y 0 και άρα fx, x) 0 Αλλά fξ, x) = 0 ξ x 65

36 36 ΙΑΦΟΡΙΚΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ και άρα η ξ fξ, x) δεν είναι συνεχής στο x και συνεπώς ούτε διαφορίσιµη, δηλ το όριο fξ, x) fx, x) fx, x) := lim x ξ x ξ x δεν υπάρχει, που σηµαίνει ότι η f δεν είναι µερικώς διαφορίσιµη ως προς x Αυτό ισχύει ανάλογα και για την µερική παράγωγο ως προς y) ϐ ) Εστω ν = ± 1 2 1, 1) Τότε f 0 + h ν) f 0) D ν f0, 0) = lim = lim h 0 h h 0 e ± h 2 1 h = ± 1 2 Εστω ν = ν 1, ν 2 ) R 2 \ {± 1 2 1, 1)}, ν = 1 Τότε ν 1 ν 2 και άρα f 0 + h ν) f 0) fhν 1, hν 2 ) 0 D ν f0, 0) = lim = lim = lim h 0 h h 0 h h 0 h = 0 γ ) Σύµφωνα µε το α ) 2 και το ϐ ) έχουµε για ν = 1 2 1, 1) 1 1 = D ν f0, 0) grad f0, 0) ν = 0, 0) 1, 1) = Παρατήρηση : Η παρούσα άσκηση αποδεικνύει ότι α) η ύπαρξη των κατευθυνόµενων παραγώγων προς κάθε κατεύθυνση σε ένα σηµείο δεν συνεπάγεται την διαφορισιµότητα της συνάρτησης στο σηµείο αυτό και ϐ) η προϋπόθεση της δια- ϕορισιµότητας είναι αναγκαία για την ισχύ του Θεωρήµατος ιαφορικοί τελεστές Ορισµός 361 Εστω f : U R, U R n ανοικτό, n 2, µερικώς διαφορίσιµη Το διάνυσµα των µερικών παραγώγων της f στο σηµείο x U, grad f x) := x),, ) x) R n x 1 x n ονοµάζεται κλίση gradient) της f στο x, ενώ το διανυσµατικό πεδίο των µερικών παραγώγων της f grad f =,, ) : U R n x 1 x n ονοµάζεται κλίση της f 66

37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 36 ΙΑΦΟΡΙΚΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ Παρατηρηση 33 Η κλίση µιας συνάρτησης f, grad f, µπορεί να ϑεωρηθεί και σαν τιµή εικόνα) στον χώρο των διανυσµατικών πεδίων του U του στοιχείου ορίσµατος) f του χώρου των µερικώς διαφορίσιµων συναρτήσεων του U υπό την απεικόνιση grad : {f : U R : f µερικώς διαφορίσιµη} { f : U R n }, grad f =,, ) x 1 x n Μια απεικόνιση από έναν χώρο συναρτήσεων σε έναν χώρο διανυσµατικών) συναρτήσεων ονοµάζεται διανυσµατικός) τελεστής operator) Αν η πράξη που εκ)τελεί ο τελεστής είναι κάποιας µορφής διαφόριση αυτός ονοµάζεται διαφορικός τελεστής differential operator) Η κλίση grad λοιπόν είναι ένας διανυσµατικός διαφορικός τελεστής από τον χώρο των µερικώς διαφορίσιµων συναρτήσεων στον χώρο των διανυσµατικών πεδίων Ο τελεστής αυτός συµβολίζεται µε το σύµβολο = x 1,, x n που ονοµάζεται ανάδελτα nabla) Εχουµε λοιπόν ), : {f : U R : f µερικώς διαφορίσιµη} { f : U R n }, f = grad f =,, ) ) =,, f x 1 x n x 1 x n Συµβολικά µπορούµε να ερµηνεύσουµε την κλίση ) µιας συνάρτησης f ως το ϐαθ- µωτό γινόµενο του διανύσµατος =,, επί την ϐαθµωτή συνάρτηση x 1 x n f, όπου όµως το πρέπει πάντα να γράφεται µπροστά από την συνάρτηση Ορισµός 362 Εστω f = f 1,, f n ) : U R n, U R n ανοικτό, n 2, ένα µερικώς διαφορίσιµο διανυσµατικό πεδίο Η συνάρτηση div f := n i=1 ονοµάζεται απόκλιση divergence) του f i x i : U R Παρατηρηση 34 Συµβολικά γράφουµε την απόκλιση ) ενος διανυσµατικού πεδίου f ως το εσωτερικό γινόµενο του =,, επί το x 1 x f, n ) div f = f n =,, f 1,, f n ) = f i x 1 x n x i Η απόκλιση div είναι ένας ϐαθµωτός διαφορικός τελεστής από τον χώρο των µερικώς διαφορίσιµων διανυσµατικών πεδίων στον χώρο των συναρτήσεων 67 i=1

38 36 ΙΑΦΟΡΙΚΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Παρατηρηση 35 Ενα διανυσµατικό πεδίο f ταυτοτικά µηδενικής απόκλισης, f 0, ονοµάζεται ασυµπίεστο Ορισµός 363 Εστω f = f 1, f 2, f 3 ) : U R 3, U R 3 ανοικτό, ένα µερικώς διαφορίσιµο τρισδιάστατο διανυσµατικό πεδίο Το τρισδιάστατο διανυσµατικό πεδίο curl f 3 := 2, 1 3, 2 ) 1 : U R 3 x 2 x 3 x 3 x 1 x 1 x 2 ονοµάζεται στροβιλισµός ή περιστροφή rotation) του f Συµβολισµός Σε ένα µεγάλο µέρος της ϐιβλιογραφίας, κυρίως της Ηπειρωτικής Ευ- ϱώπης, ο στροβιλισµός ενός τρισδιάστατου διανυσµατικού πεδίου f συµβολίζεται µε rot f= curl f) Παρατηρηση 36 Ως γνωστόν, το εξωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων x = x 1, x 2, x 3 ), ȳ = y 1, y 2, y 3 ) R 3 ορίζεται ως ē 1 ē 2 ē 3 x ȳ := x 2 y 3 x 3 y 2, x 3 y 1 x 1 y 3, x 1 y 2 x 2 y 1 ) = x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3, όπου η τελευταία ορίζουσα έχει συµβολικό χαρακτήρα Συνεπώς, συµβολικά γράφουµε τον στροβιλισµό ενος τρισδιάστατου ) διανυσµατικού πεδίου f ως το εξωτερικό γινόµενο του =,, επί το x 1 x 2 x f, 3 ) curl f = f ē 1 ē 2 ē 3 =,, f 1, f 2, f 3 ) = x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 f 1 f 2 f 3 = f 3 f 2, f 1 f 3, f 2 ) f 1 x 2 x 3 x 3 x 1 x 1 x 2 Να προσεχθεί και εδώ ότι ο ϐαθµωτός διαφορικός τελεστής x i πρέπει να γράφεται πάντα µπροστά από την προς διαφόριση συνάρτηση f j ) Ο στροβιλισµός curl είναι ένας διανυσµατικός διαφορικός τελεστής από τον χώρο των µερικώς διαφορίσιµων τρισδιάστατων διανυσµατικών πεδίων στον χώρο των τρισδιάστατων διανυσµατικών πεδίων Παρατηρηση 37 Ενα τρισδιάστατο διανυσµατικό πεδίο f ταυτοτικά µηδενικού στρο- ϐιλισµού, f 0, ονοµάζεται αστρόβιλο Α 13 Εστω f C 2 U; R 3 ), U R 3 ανοικτό είξτε ότι : div curl f = 0 Ορισµός 364 Εστω f : U R, U R n ανοικτό, n 2, δυό ϕορές µερικώς διαφορίσιµη Η συνάρτηση n 2 f f := x 2 : U R i=1 i ονοµάζεται Λαπλασιανή Laplacian) της f 68

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Όρια και συνέχεια συναρτήσεων. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Όρια και συνέχεια συναρτήσεων. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ Ενότητα: Όρια και συνέχεια συναρτήσεων Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 2 Ορια και συνέχεια συναρτήσεων 2.1 Πραγµατικές συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν

Διαβάστε περισσότερα

k = j + x 3 j + i + + f 2

k = j + x 3 j + i + + f 2 1 ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ Διανυσματική Ανάλυση Κλίση-Απόκλιση-Στροβιλισμός Εστω f : D R 3 R μία βαθμωτή συνάρτηση και f : D R 3 R 3 μία διανυσματική συνάρτηση. Εισάγουμε τον διαφορικό τελεστή : = x 1 i + x 2 j + x

Διαβάστε περισσότερα

(a) = lim. f y (a, b) = lim. (b) = lim. f y (x, y) = lim. g g(a + h) g(a) h g(b + h) g(b)

(a) = lim. f y (a, b) = lim. (b) = lim. f y (x, y) = lim. g g(a + h) g(a) h g(b + h) g(b) 1 ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ Μερική Παράγωγος Μερικές Παράγωγοι Ορισμός 1: a) Εστω f(x y) : U R R μία συνάρτηση δύο μεταβλητών και (a b) ένα σημείο του U. Θεωρούμε ότι μεταβάλλεται μόνο το x ένω το y παραμένει σταθερό

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνες παραγώγισης ( )

Κανόνες παραγώγισης ( ) 66 Κανόνες παραγώγισης Οι κανόνες παραγώγισης που ισχύουν για συναρτήσεις µιας µεταβλητής, ( παραγώγιση, αθροίσµατος, γινοµένου, πηλίκου και σύνθετων συναρτήσεων ) γενικεύονται και για συναρτήσεις πολλών

Διαβάστε περισσότερα

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Κλασικη ιαφορικη Γεωµετρια

Κλασικη ιαφορικη Γεωµετρια Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Σχολη Θετικων Επιστηµων, Τµηµα Μαθηµατικων, Τοµεας Γεωµετριας Κλασικη ιαφορικη Γεωµετρια Πρώτη Εργασία, 2018-19 1 Προαπαιτούµενες γνώσεις και ϐασική προετοιµασία

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher Το ϑεώρηµα του Rademacher Νικόλαος Μουρδουκούτας Περίληψη Σε αυτήν την εργασία ϑα αποδείξουµε το ϑεώρηµα του Rademacher, σύµφωνα µε το οποίο κάθε Lipschiz συνάρτηση f : R m είναι διαφορίσιµη σχεδόν παντού.

Διαβάστε περισσότερα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα Πανεπιστηµιο Ιωαννινων σχολη θετικων επιστηµων τµηµα µαθηµατικων τοµεας αλγεβρας και γεωµετριας αναλυτικη γεωµετρια διδασκων : χρηστος κ. τατακης υποδειξεις λυσεων των θεµατων της 7.06.016 ΘΕΜΑ 1. µονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Ο Ευκλείδειος Χώρος. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Ο Ευκλείδειος Χώρος. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ Ενότητα: Ο Ευκλείδειος Χώρος Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Ο Ευκλείδειος χώρος R n 1.1 Αλγεβρική δοµή Ο Ευκλείδειος χώρος R n είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚEΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΠΕ ΙΑ. 1. Όριο Συνέχεια Παράγωγος διανυσµατικών συναρτήσεων.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚEΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΠΕ ΙΑ. 1. Όριο Συνέχεια Παράγωγος διανυσµατικών συναρτήσεων. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚEΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΠΕ ΙΑ Όριο Συνέχεια Παράγωγος διανυσµατικών συναρτήσεων Ορισµός 6 Εστω, > είναι δυο φυσικοί αριθµοί Κάθε συνάρτηση F : Ε Α καλείται διανυσµατική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

a ) a ) = lim f( a + h u ) f( a ) = lim (2) h = 0 f( a + h u ) f( a ) hdf( a )( u ) lim = 0 lim u ) f( a + h lim = 0 u ) = 0 lim = Df( a )( u ) lim

a ) a ) = lim f( a + h u ) f( a ) = lim (2) h = 0 f( a + h u ) f( a ) hdf( a )( u ) lim = 0 lim u ) f( a + h lim = 0 u ) = 0 lim = Df( a )( u ) lim 1 ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ Κατευθυνόμενη Παράγωγος Κατευθυνόμενη Παράγωγος: Ορισμός 1: Εστω f : U R 2 R μία πραγματική συνάρτηση δύο μεταβλητών με U ανοικτό, a = (a, b) U και u = (u, v) μία κατεύθυνση του R 2 (δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ιδάσκων : Ε. Στεφανόπουλος 12 ιουνιου 2017

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ιδάσκων : Ε. Στεφανόπουλος 12 ιουνιου 2017 Πανεπιστηµιο Πατρων Πολυτεχνικη Σχολη Τµηµα Μηχανικων Η/Υ & Πληροφορικης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ιδάσκων : Ε. Στεφανόπουλος 12 ιουνιου 217 Θ1. Θεωρούµε την συνάρτηση f(x, y, z) = 1 + x 2 + 2y 2 z. (αʹ) Να ϐρεθεί

Διαβάστε περισσότερα

ιανυσµατική Ανάλυση Γιάννης Γιαννούλης

ιανυσµατική Ανάλυση Γιάννης Γιαννούλης ιανυσµατική Ανάλυση Γιάννης Γιαννούλης Ιωάννινα, 13112012 Σηµείωση : Οι παρούσες σηµειώσεις δηµιουργούνται κατά την διάρκεια της διδασκαλίας του µαθήµατος Απειροστικός Λογισµός ΙΙΙ σε ϕοιτητές του τρίτου

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Ι Τ Ε Λ Ε Σ Τ Ε Σ

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Ι Τ Ε Λ Ε Σ Τ Ε Σ Κλίση συνάρτησης f Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Ι Τ Ε Λ Ε Σ Τ Ε Σ Αν σε κάθε σημείο Px, y,z ενός τμήματος Δ του χώρου μία τιμή, ορίζεται μια συνάρτηση. f x, y,z : Δ, Δ αντιστοιχίσουμε την οποία ονομάζουμε σημειακή

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικός Λογισµός ΙΙ

Μαθηµατικός Λογισµός ΙΙ Μαθηµατικός Λογισµός ΙΙ ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑ ΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ 2 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1 Ορια και Συνέχεια 1.1 Ορια Παράδειγµα 1.1. Να υπολογίσετε το x+y lim (x,y) (0,0) x y. Απάντηση: Παρατηρούµε ότι η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 1.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Γράφημα μιας πραγματικής συνάρτησης : ή ( )/ σύνολο: f Οι θέσεις του κινητού σημείου G ( x, y)/ y f( x), xa. f A y f x A είναι το M x, y, ώστε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Ορισμός. Αν τα και είναι τα μοναδιαία διανύσματα των αξόνων και αντίστοιχα η συνάρτηση που ορίζεται από τη σχέση όπου (συνιστώσες) είναι

Διαβάστε περισσότερα

ιανυσµατική Ανάλυση Γιάννης Γιαννούλης

ιανυσµατική Ανάλυση Γιάννης Γιαννούλης ιανυσµατική Ανάλυση Γιάννης Γιαννούλης Ιωάννινα, 13.1.2013 Σηµείωση : Οι παρούσες σηµειώσεις δηµιουργούνται κατά την διάρκεια της διδασκαλίας του µαθήµατος Απειροστικός Λογισµός ΙΙΙ σε ϕοιτητές του τρίτου

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017. Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες. Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017. Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες. Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017 Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση M(x, y) + (x, y)y = 0 ή ισοδύναμα, γραμμένη στην μορφή M(x,

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Πραγματικές Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών (μέρος 1) Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση πολλών μεταβλητών. Δεύτερο φυλλάδιο ασκήσεων.

Ανάλυση πολλών μεταβλητών. Δεύτερο φυλλάδιο ασκήσεων. Ανάλυση πολλών μεταβλητών. Δεύτερο φυλλάδιο ασκήσεων. 1. Ποιά από τα παρακάτω σύνολα είναι συμπαγή; Μία κλειστή μπάλα, μία ανοικτή μπάλα, ένα ανοικτό ορθ. παραλληλεπίπεδο, ένα ευθ. τμήμα (στον R n ), μία

Διαβάστε περισσότερα

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0)

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0) Όρια συναρτήσεων.5. Ορισµός. Έστω, f : Α συνάρτηση συσσώρευσης του Α και b σηµείο. Λέµε ότι η f έχει ως όριο το διάνυσµα b καθώς το τείνει προς το και συµβολίζουµε li = ή f b f b αν και µόνο αν, για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδες Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2014/asi2014.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α. Ντούνης ΔΙΔΑΣΚΩΝ Χ. Τσιρώνης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ ΔΕΥΤΕΡΟ - Διαφορικός λογισμός - Πολυωνυμικό ανάπτυγμα - Τοπικά ακρότατα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ 2 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j Το θεώρηµα Tor στις πολλές µεταβλητές Ο σκοπός αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεωρήµατος τύπου Tor για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών Το θεώρηµα για µια µεταβλητή θα είναι ειδική περίπτωση του

Διαβάστε περισσότερα

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier Κεφάλαιο 7 L -σύγκλιση σειρών Fourier 7.1 Χώροι Hilbert 7.1.1 Χώροι µε εσωτερικό γινόµενο και χώροι Hilbert Ορισµός 7.1.1. Εστω X γραµµικός χώρος πάνω από το K. Μια συνάρτηση, : X X K λέγεται εσωτερικό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 31 Ορισµοί Ορισµός 311 Εστω f : A f( A), A, f( A) και έστω 0 Α είναι σηµείο συσσώρευσης του συνόλου Α Θα λέµε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο 0 εάν υπάρχει λ : Ισοδύναµα:

Διαβάστε περισσότερα

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÊÏÑÕÖÇ ÓÅÑÑÅÓ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 19 ΜΑΪΟΥ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÊÏÑÕÖÇ ÓÅÑÑÅÓ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 19 ΜΑΪΟΥ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 9 ΜΑΪΟΥ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα. Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ιανυσµατικά πεδία Όπως έχουµε ήδη αναφέρει ένα διανυσµατικό πεδίο είναι µια συνάρτηση

ιανυσµατικά πεδία Όπως έχουµε ήδη αναφέρει ένα διανυσµατικό πεδίο είναι µια συνάρτηση 44 ιανυσµατικά πεδία Όπως έχουµε ήδη αναφέρει ένα διανυσµατικό πεδίο είναι µια συνάρτηση F : U R R. Για εµάς φυσικά µια τέτοια συνάρτηση θα θεωρείται ότι είναι τουλάχιστον συνεχής και συνήθως C και βέβαια

Διαβάστε περισσότερα

13 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

13 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ETION 1 13 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 13.1 Ορισµοί Μεγέθη Μια ποσότητα που εκφράζεται από ένα µόνο πραγµατικό αριθµό καλείται βαθµωτό µέγεθος. Μια ποσότητα που εκφράζεται από περισσότερους από έναν πραγµατικούς

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση

Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση Κεφάλαιο 7: Βάσεις και ιάσταση Σελίδα από 9 Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση n Στο Κεφάλαιο 5 είδαµε την έννοια της βάσης στο και στο Κεφάλαιο 6 µελετήσαµε διανυσµατικούς χώρους. Στο παρόν κεφάλαιο θα ασχοληθούµε

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Βαθμωτές Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Βαθμωτές Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών :

Διαβάστε περισσότερα

4 Συνέχεια συνάρτησης

4 Συνέχεια συνάρτησης 4 Συνέχεια συνάρτησης Σε αυτή την ενότητα ϑα µελετήσουµε την έννοια της συνέχειας συνάρτησης. Πιο συγκεκριµένα πότε ϑα λέγεται µια συνάρτηση συνεχής σε ένα σηµείο το οποίο ανήκει στο πεδίο ορισµού της

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1)

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1) 1 ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης (1) όπου οι συντελεστές είναι δοσµένες συνεχείς συναρτήσεις ορισµένες σ ένα ανοικτό διάστηµα. Ορισµός 1. Ορίζουµε τον διαφορικό τελεστή µέσω της

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Βαθμωτές Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Βαθμωτές Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών :

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = b 1 2x 1 + 4x 2 + x 3 = b 2. x 1 + 2x 2 + x 3 = b 3

x 2 = b 1 2x 1 + 4x 2 + x 3 = b 2. x 1 + 2x 2 + x 3 = b 3 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 008-9 ΛΥΣΕΙΣ = 1 (Ι) Να ϐρεθεί ο αντίστροφος του πίνακα 6 40 1 0 A 4 1 1 1 (ΙΙ) Εστω b 1, b, b 3 στο R Να λύθεί το σύστηµα x = b 1 x 1 + 4x + x 3 = b x 1 + x + x

Διαβάστε περισσότερα

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0)

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0) Όρια συναρτήσεων 5 Ορισµός Έστω, : Α συνάρτηση συσσώρευσης του Α και b σηµείο Λέµε ότι η έχει ως όριο το διάνυσµα b καθώς το τείνει προς το και συµβολίζουµε li ή b b αν και µόνο αν, για κάθε ε > υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των ϑεµάτων, ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι, 3/2/2010

Λύσεις των ϑεµάτων, ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι, 3/2/2010 Λύσεις των ϑεµάτων, ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι, 3//00 Θέµα ( µονάδα) Θεωρούµε το σύνολο B = {x Q : x < 5}. είξτε ότι sup B = 5. Απάντηση : Για να δείξουµε ότι sup B = 5 αρκεί να δειχθεί ότι α) Το 5 είναι

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Βασικές Έννοιες των Διαφορικών Εξισώσεων

1.1 Βασικές Έννοιες των Διαφορικών Εξισώσεων Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικά Στο κεφάλαιο αυτό θα παρουσιάσουμε τις βασικές έννοιες και ορισμούς των Διαφορικών Εξισώσεων. Στο εδάφιο 1.1 παρουσιάζονται οι βασικές έννοιες και ορισμοί των διαφορικών εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

4.3 Παραδείγµατα στην συνέχεια συναρτήσεων

4.3 Παραδείγµατα στην συνέχεια συναρτήσεων 5. Η συνάρτηση είναι συνεχής στο R. 6. Η συνάρτηση sin είναι συνεχής στο R. 7. Η συνάρτηση cos είναι συνεχής στο R. 8. Η συνάρτηση tan είναι συνεχής σε κάθε R µε k π + π/2, k Z. 9. Η συνάρτηση cotan είναι

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

Διανυσματική Ανάλυση. Γιάννης Γιαννούλης

Διανυσματική Ανάλυση. Γιάννης Γιαννούλης Διανυσματική Ανάλυση Γιάννης Γιαννούλης Ιωάννινα, 30 Απριλίου 2014 Σημείωση: Οι παρούσες σημειώσεις δημιουργήθηκαν κατά την διάρκεια της διδασκαλίας του μαθήματος Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ και IV σε φοιτητές

Διαβάστε περισσότερα

Thanasis Kehagias, 2009

Thanasis Kehagias, 2009 Μέρος II Αναλυτικη Γεωµετρια 33 34 Το παρον τευχος περιεχει συντοµη ϑεωρια, λυµενες και αλυτες ασκησεις Αναλυτικης Γεωµετριας. Κατα τη γνωµη µου, για τους περισσοτερους ανθρωπους, ο µονος τροπος εξοικειωσης

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις. Κεφάλαιο 6. a = a 0 + x 1 b 1 + x 2 b 2 + x 3 b 3, όπου b i = a i a 0, i = 1, 2, 3, P 2 = {(x, y, z) R 3 : x 2y + 3z = 2}.

Ασκήσεις. Κεφάλαιο 6. a = a 0 + x 1 b 1 + x 2 b 2 + x 3 b 3, όπου b i = a i a 0, i = 1, 2, 3, P 2 = {(x, y, z) R 3 : x 2y + 3z = 2}. Κεφάλαιο 6 Ασκήσεις 1. (αʹ) ώστε δράση του Χ R 2 στο αφινικό επίπεδο P = {(x, y, z) R 3 : x = 2}. Επίσης, δώστε µία αφινική ϐάση τριών σηµείων (a 0, a 1, a 2 ) και ϐρείτε τις ϐαρυκεντρικές συντεταγµένες

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικά Θέµατα. Ι. Θεωρία Οµάδων. x R y ή x R y ή x y(r) [x] R = { y X y R x } X. Μέρος Σχέσεις Ισοδυναµίας, ιαµερίσεις, και Πράξεις

Θεωρητικά Θέµατα. Ι. Θεωρία Οµάδων. x R y ή x R y ή x y(r) [x] R = { y X y R x } X. Μέρος Σχέσεις Ισοδυναµίας, ιαµερίσεις, και Πράξεις 202 Μέρος 4. Θεωρητικά Θέµατα Ι. Θεωρία Οµάδων 1. Σχέσεις Ισοδυναµίας, ιαµερίσεις, και Πράξεις 1.1. Σχέσεις ισοδυναµίας. Εστω X ένα µη-κενό σύνολο. Ορισµός 1.1. Μια σχέση ισοδυναµίας επί του X είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 3 Μαρτίου 2016 Αν (G, ) είναι

Διαβάστε περισσότερα

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j Το θεώρηµα Tor στις πολλές µεταβλητές Ο σκοπός αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεωρήµατος τύπου Tor για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών Το θεώρηµα για µια µεταβλητή θα είναι ειδική περίπτωση του

Διαβάστε περισσότερα

5 Παράγωγος συνάρτησης

5 Παράγωγος συνάρτησης 5 Παράγωγος συνάρτησης Ας ϑεωρήσουµε µια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το [a, b]. Για κάθε 0 [a, b] ορίζουµε µια νέα συνάρτηση µε τύπο µε πεδίο ορισµού D(Π 0 ) = D(f ) { 0 }. Την συνάρτηση Π 0 Π 0 () =

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Κεφάλαιο 1 1 Να βρείτε (και να σχεδιάσετε) το πεδίο ορισμού των πιο κάτω συναρτήσεων f (, ) 9 4 (γ) f (, ) f (, ) 16 4 1 D (, ) :9 0, 4 0 (, ) :

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii018/laii018html ευτέρα 3 Απριλίου 018 Αν C = x

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση ΙI

Μαθηματική Ανάλυση ΙI Π Δ Μ Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση ΙI Δρ. Θεόδωρος Ζυγκιρίδης 25 Μαΐου 211 2 Περιεχόμενα 1 Ο χώρος R n 1 1.1 Ο Ευκλείδιος n-χώρος..................................

Διαβάστε περισσότερα

y ) = f ( x ) + f ( y ) x ) = λ f ( x ) x + x ) + f (

y ) = f ( x ) + f ( y ) x ) = λ f ( x ) x + x ) + f ( 1 ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ Γραμμικές συναρτήσεις και Διαφορισιμότητα πραγματικών συναρτήσεων Γραμμικές συναρτήσεις: Ορισμός: Μία συνάρτηση f : U R n R m ονομάζεται γραμμική συνάρτηση αν και μόνο αν ισχύουν οι παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικός λογισµός. y(x + Δx) y(x) dy dx = lim Δy

Διαφορικός λογισµός. y(x + Δx) y(x) dy dx = lim Δy Διαφορικός λογισµός ΦΥΣ 111 - Διαλ.5 1 Έστω y = f(x) µια συναρτησιακή σχέση της µεταβλητής y ως προς την µεταβλητή x: y = f(x) = αx 3 + bx 2 + cx + H παράγωγος του y ως προς το x ορίζεται ως το όριο των

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( ) Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά

Διαβάστε περισσότερα

Στροβιλισµός πεδίου δυνάµεων

Στροβιλισµός πεδίου δυνάµεων Στροβιλισµός πεδίου δυνάµεων Θεωρείστε ένα απειροστό απλό χωρίο στο χώρο τόσο µικρό ώστε να µπορεί να θεωρηθεί ότι βρίσκεται σε ένα επίπεδο Έστω ότι το χωρίο αυτό περικλείει εµβαδόν µέτρου Το έργο που

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµός: Μερική παράγωγος ως προς x (αντ. ως προς y) στο σηµείο x,y είναι η παράγωγος της f ως προς x στο x (αντ. ως προς y στο y ( + ) ( )

Ορισµός: Μερική παράγωγος ως προς x (αντ. ως προς y) στο σηµείο x,y είναι η παράγωγος της f ως προς x στο x (αντ. ως προς y στο y ( + ) ( ) 2 Έστω f: A, Α ανοικτό σύνολο και x,y A. 0 0 Ορισµός: Μερική παράγωγος ως προς x (αντ. ως προς y) στο σηµείο x,y είναι η παράγωγος της f ως προς x στο x (αντ. ως προς y στο y 0 0 ), όπου έχουµε κρατήσειτοy

Διαβάστε περισσότερα

Ανασκόπηση-Μάθημα 12 Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών-καμπύλες-πολικές συντεταγμένες

Ανασκόπηση-Μάθημα 12 Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών-καμπύλες-πολικές συντεταγμένες Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Γ. Καραγιώργος ykarag@aegean.gr Ανασκόπηση-Μάθημα 12 Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών-καμπύλες-πολικές συντεταγμένες Στο δωδέκατο μάθημα (24/10/2018)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της µορφής G() F() + c, c

Διαβάστε περισσότερα

ds ds ds = τ b k t (3)

ds ds ds = τ b k t (3) Γενικά Μαθηματικά ΙΙΙ Πρώτο σετ ασκήσεων, Λύσεις Άσκηση 1 Γνωρίζουμε ότι το εφαπτόμενο διάνυσμα ( t), ορίζεται ως: t = r = d r ds (1) και επιπλέον το διάνυσμα της καμπυλότητας ( k), ορίζεται ως: d t k

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων 57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 36 Κεφάλαιο 3ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ. Σ 4. Λ. Λ 3. Λ 4. Λ 3. Σ 4. Σ 43. Σ 4. Λ 5. Σ 44. Σ 5. Σ 6. Σ 45. Λ 6.

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12, ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση

Διαβάστε περισσότερα

11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο

11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβλίου αθηµατικών Προσαναταλισµού Β Λυκείου. Η έννοια του διανύσµατος. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

Καµπύλες στον R. σ τελικό σηµείο της σ. Το σ. σ =. Η σ λέγεται διαφορίσιµη ( αντιστοίχως

Καµπύλες στον R. σ τελικό σηµείο της σ. Το σ. σ =. Η σ λέγεται διαφορίσιµη ( αντιστοίχως Καµπύλες στον R 9. Ορισµός Μια καµπύλη στον R είναι µια συνεχής συνάρτηση σ : Ι R R όπου Ι διάστηµα ( συνήθως κλειστό και φραγµένο ) στον R. Συνήθως φανταζόµαστε την µεταβλητή t Ι ως τον χρόνο και την

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Σχέσεις Ισοδυναµίας, ιαµερίσεις, και Πράξεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 202 Μέρος 4. Θεωρητικά

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνας της αλυσίδας. J ανοικτά διαστήματα) ώστε ( ), ( ) ( ) ( ) fog ' x = f ' g x g ' x, x I (2)

Κανόνας της αλυσίδας. J ανοικτά διαστήματα) ώστε ( ), ( ) ( ) ( ) fog ' x = f ' g x g ' x, x I (2) 8 Κανόνας της αλυσίδας Από τον Απειροστικό Λογισμό για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι: Αν g : I R R και f : J R R είναι συναρτήσεις ( όπου I, J ανοικτά διαστήματα ώστε, g( τότε η : I g I J

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Βαθμωτές Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Βαθμωτές Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών f

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας

Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας Θ. Κεχαγιας Σεπτεµβρης 009, υ.0.96 Περιεχόµενα Εισαγωγη iv Επιπεδα στον Τρισδιαστατο Χωρο. Θεωρια..................................... Λυµενες Ασκησεις..............................

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών. ΗΥ111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ

Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών. ΗΥ111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ ΗΥ-111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών Παραδείγματα συνεχή/διακριτά : t t Καρδιογράφημα Σήμα φωνής Σεισμικό σήμα Παραδείγματα : Ασπρόμαυρες Εικόνες Χάρτης Θερμοκρασίας Ακτινογραφία

Διαβάστε περισσότερα

14 η εβδομάδα (26/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 28, 29 και 30. Έγινε επανάληψη στη Θεωρία Καμπυλών και στη Θεωρία Επιφανειών.

14 η εβδομάδα (26/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 28, 29 και 30. Έγινε επανάληψη στη Θεωρία Καμπυλών και στη Θεωρία Επιφανειών. 14 η εβδομάδα (26/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 28, 29 και 30. Έγινε επανάληψη στη Θεωρία Καμπυλών και στη Θεωρία Επιφανειών. 13 η εβδομάδα (16/01/2017 & 19/01/2017) Ασυμπτωτική διεύθυνση και ασυμπτωτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ A u B Μέτρο Διεύθυνση Κατεύθυνση (φορά) Σημείο Εφαρμογής Διανυσματικά Μεγέθη : μετάθεση, ταχύτητα, επιτάχυνση, δύναμη Μονόμετρα Μεγέθη : χρόνος, μάζα, όγκος, θερμοκρασία,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικές Εξισώσεις.

Διαφορικές Εξισώσεις. Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 05-6. Λύσεις δεύτερου φυλλαδίου ασκήσεων.. Βρείτε όλες τις λύσεις της εξίσωσης Bernoulli x y = xy + y 3 καθορίζοντας προσεκτικά το διάστημα στο οποίο ορίζεται καθεμιά

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai017/lai017html Παρασκευή 17 Νοεµβρίου 017

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 3. Πλεγµένες συναρτήσεις- Ανάπτυγµα Taylor-Aκρότατα

KΕΦΑΛΑΙΟ 3. Πλεγµένες συναρτήσεις- Ανάπτυγµα Taylor-Aκρότατα KΕΦΑΛΑΙΟ 3 Πλεγµένες συναρτήσεις- Ανάπτυγµα Talor-Aκρότατα 3 Πλεγµένες συναρτήσεις Σε πολλές περιπτώσεις συναντούµε µία (ή και περισσότερες) εξισώσεις µεταξύ διαφόρων µεταβλητών πχ της µορφής e + συν (

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Σταθµητοί Χώροι και Ευκλείδειοι Χώροι Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 59 Μέρος 2. Ευκλείδειοι

Διαβάστε περισσότερα

f (x + h) f (x) h f (x) = lim h 0 f (z) f (x) z x df (x) dx, df dy dx,

f (x + h) f (x) h f (x) = lim h 0 f (z) f (x) z x df (x) dx, df dy dx, Διάλεξη 7: Παράγωγοι συναρτήσεων 1 Γενικά Πρόοδος μαθήματος Σάββατο 24/11 στις 14:00 2 Παράγωγος ως συνάρτηση Η παράγωγος της f (x) ως προς x, είναι η συνάρτηση f (x) και η οποία ισούται με f (x) = lim

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 7 Πινακες και Γραµµικες Απεικονισεις Στα προηγούµενα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α. Ντούνης ΔΙΔΑΣΚΩΝ ΑΚΑΔ. ΥΠΟΤΡΟΦΟΣ Χ. Τσιρώνης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ ΔΕΥΤΕΡΟ - Διανύσματα - Πράξεις με πίνακες - Διαφορικός λογισμός (1D) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ

Διαβάστε περισσότερα