Κεφάλαιο 11 Πραγµατικές Τετραγωνικές Μορφές

Transcript

1 Σελίδα από 45 Κεφάλαιο Πραγµατικές Τετραγωνικές Μορφές Στα προηγούµενα κεφάλαια δώσαµε έµφαση κυρίως σε γραµµικές εξισώσεις της µορφής α x + α x + + α x = β n n Το αριστερό κοµµάτι της παραπάνω εξίσωσης α x + α x + + α x n n αποτελείτε από µια συνάρτηση n µεταβλητών. Η γραµµική αυτή µορφή είναι πρώτου βαθµού εφόσον δεν υπάρχουν γινόµενα µεταξύ µεταβλητών. Στο κεφάλαιο που ακολουθεί θα µελετήσουµε συναρτήσεις των οποίων οι µεταβλητές είναι υψωµένες στο τετράγωνο ή περιλαµβάνουν γινόµενο δύο µεταβλητών. Τέτοιου είδους συναρτήσεις συναντώνται σε πολλές εφαρµογές των µαθηµατικών όπως στην γεωµετρία, σε µηχανικά συστήµατα, στατιστική κ.λ.π.

2 . Τετραγωνικές Μορφές Σελίδα από 4. Τετραγωνικές Mορφές Η τετραγωνική µορφή δύο µεταβλητών x και y, ορίζεται ως ένα πολυώνυµο ου βαθµού της µορφής α x + βxy + γ y. Το πολυώνυµο αυτό µπορούµε να το εκφράσουµε ως α β x α + β + γ = ( ) = β γ y x xy y x y z Az όπου ο πίνακας A είναι συµµετρικός και x z =. y Σηµείωση : Τα στοιχεία στην κύρια διαγώνιο του πίνακα A είναι οι συντελεστές των τετραγωνισµένων όρων του πολυωνύµου, ενώ τα υπόλοιπα είναι το µισό των συντελεστών του γινοµένου xy... Παραδείγµατα Οι παρακάτω περιπτώσεις είναι τετραγωνικές µορφές δύο µεταβλητών. x ) x + 6xy 7y = ( x y) 7 y 4 x = 5 y ) 4x 5y ( x y) / x = / y ) xy ( x y) Οι τετραγωνικές µορφές δεν περιορίζονται µόνο σε δύο µεταβλητές. Η γενική µορφή τετραγωνικών µορφών ορίζεται ως εξής... Ορισµός Μία τετραγωνική µορφή µε n µεταβλητές x, x,, xn έχει την µορφή x x x, x,, xn A x n ( ) (.) όπου ο πίνακας A είναι συµµετρικός.

3 . Τετραγωνικές Μορφές Σελίδα από 4 Εάν x x x x n = και A α α α n α α α αn αn α nn n = τότε η (.) µπορεί να γραφτεί ως x Ax αx αx αnnxn αij xi x j i j = όπου υποδεικνύει το άθροισµα των όρων axx. ij i j Σηµείωση : Εάν χρησιµοποιήσουµε το γεγονός ότι ο πίνακας A είναι συµµετρικός ( A= A ), τότε η σχέση x Ax µπορεί να εκφραστεί ως εσωτερικό γινόµενο. ηλαδή, x Ax = x ( Ax) = Ax, x = x, Ax.. Παραδείγµατα ) ίνεται η τετραγωνική µορφή q( x, x, x ) = x + 7x x + 4x x x x + 6x x. Θα την µετατρέψουµε στην µορφή x Ax. Λύση Όπως και στις περιπτώσεις µε δύο µεταβλητές οι συντελεστές των x, x, x θα τοποθετηθούνε στην κύρια διαγώνιο. Οι συντελεστές των γινοµένων xix j ( i j), θα τοποθετηθούν στις υπόλοιπες θέσεις. ηλαδή, τις υπόλοιπες θέσεις του πίνακα A θα καταλαµβάνουν οι συντελεστές των γινοµένων xix j ( i j) διαιρεµένοι κατά το ήµισυ. Συντελεστές Θέσεις στον πίνακα Α xx α και α xx α και α xx α και α Εποµένως, x x x x 7 x x ( )

4 . Τετραγωνικές Μορφές Σελίδα 4 από 4 ) ίνεται η τετραγωνική µορφή qxyz (,, ) x 4xy y 8xz 6yz z = Θα την µετατρέψουµε στην µορφή x Ax. Λύση 4 x q( x, y, z) = ( x y z) y. 4 z ) ίνεται ο συµµετρικός πίνακας µορφή qxy. (, ) 5 A =. Να βρεθεί η τετραγωνική 8 Λύση 5 x x qxy (, ) = ( x y) = ( 5x y x+ 8y) 8 y y = 5x xy xy + 8y = 5x 6xy + 8y 4) ίνεται ο συµµετρικός πίνακας µορφή qxyz. (,, ) 5 4 A = 4 5. Να βρεθεί η τετραγωνική Λύση 5 4 x qxyz (,, ) = ( x y z) 4 5 y = z x =( 5x + 4y+ z 4x+ 5y+ z x+ y+ z) y z 5x + 5y + z + 8xy + 4xz + 4yz.

5 . Τετραγωνικές Μορφές Σελίδα 5 από 4..4 Ορισµός Η τετραγωνική µορφή x Ax θα ονοµάζεται θετικά ορισµένη εάν x Ax> για κάθε x, και ο συµµετρικός πίνακας A θα ονοµάζεται θετικά ορισµένος πίνακας εάν x Ax είναι θετικά ορισµένη τετραγωνική µορφή...5 Θεώρηµα Ένας συµµετρικός πίνακας A θα είναι θετικά ορισµένος εάν όλες οι ιδιοτιµές του είναι θετικές...6 Παράδειγµα Θα δείξουµε ότι ο συµµετρικός πίνακας A = είναι θετικά ορισµένος. Λύση λ ( A x) det λ = λ = ( λ ) ( λ 4) = λ Οι ιδιοτιµές του πίνακα A είναι λ = (διπλή) και λ = 4. Εφόσον όλες οι ιδιοτιµές είναι θετικές, ο πίνακας Α είναι θετικά ορισµένος και για κάθε x x Ax= x + x + x + xx + xx + xx = ( x x ) ( x x ) ( x x ) = > Θα µπορούσαµε στο Mathematica να ορίσουµε τον πίνακα Α a= 88,, <, 8,, <, 8,, << i y j z k { και να υπολογίσουµε τις ιδιοτιµές του Eigenvalues@aD 84,, < οι οποίες είναι όλες θετικές και συνεπώς ο πίνακας είναι θετικά ορισµένος. Σηµείωση Αντίστοιχα ένας συµµετρικός πίνακας A θα ονοµάζεται αρνητικά ορισµένος εάν όλες οι ιδιοτιµές του είναι αρνητικές. Επόµενος στόχος µας είναι να εισάγουµε ένα κριτήριο το οποίο να προσδιορίζει το κατά πόσο ένας συµµετρικός πίνακας A είναι θετικά ή αρνητικά ορισµένος χωρίς να χρειάζεται να βρεθούν πρώτα οι ιδιοτιµές του. Στο σηµείο αυτό καλό θα ήταν να εισάγουµε την παρακάτω ορολογία. Εάν ο πίνακας

6 . Τετραγωνικές Μορφές Σελίδα 6 από 4 A a a a n a a a an an ann n = είναι ένας τετραγωνικός πίνακας, τότε θα ονοµάζουµε ως κύριους υπο-πίνακες του Α όλους εκείνους τους υπο-πίνακες που µπορούν να κατασκευαστούν από τις πρώτες r γραµµές και r στήλες του πίνακα Α για r =,,,, n. Οι υπο-πίνακες αυτοί ορίζονται ως : A [ a ] =, A a a, = a a a a a n a a a A = a a a a a a n,., A A = n =. a a a an an ann..7 Θεώρηµα Ένας συµµετρικός πίνακας A ονοµάζεται θετικά ορισµένος εάν όλοι οι κύριοι υποπίνακες του έχουν θετική ορίζουσα...8 Παράδειγµα Θα δείξουµε ότι ο συµµετρικός πίνακας A = είναι θετικά ορισµένος. Λύση Ελέγχουµε τις ορίζουσες των υπο-πινάκων του A =, =, 4 = 4 9 Όλες οι ορίζουσες είναι θετικές άρα ο πίνακας Α είναι θετικά ορισµένος. Θα µπορούσαµε στο πρόγραµµα Mathematica να καλέσουµε το πακέτο MatrixManipulations που ανήκει στο πακέτο LinearAlgebra µε την παρακάτω εντολή: << LinearAlgebra`MatrixManipulation` και στη συνέχεια εφόσον δηλώσουµε τον πίνακα Α a= 88,, <, 8,, 4<, 8, 4, 9<<

7 . Τετραγωνικές Μορφές Σελίδα 7 από 4 i - - y - 4 j z k - 4 9{ και εκτελέσουµε την παρακάτω επανάληψη : For@i=, i, a = akematrix@a, 8, <, 8i, i<d; Print@aD; Print@Det@aDD; i++d θα πάρουµε ως αποτέλεσµα τους υποπίνακες ixi και τις ορίζουσες τους : H L J N i y j z k { 4 Στην δεύτερη γραµµή της επανάληψης υπολογίζουµε τον υποπίνακα του Α που βρίσκεται µεταξύ των στοιχείων {,} και {i,i}, τον οποίο εκτυπώνουµε µε την εντολή στην η γραµµή και υπολογίζουµε και εκτυπώνουµε την ορίζουσα στην 4 η γραµµή. Θα µπορούσαµε µάλιστα να γράψουµε ένα σύντοµο πρόγραµµα που θα κάνει την παραπάνω διαδικασία και θα επιστρέφει την τιµή rue αν ο πίνακας είναι θετικά ορισµένος και False διαφορετικά. Μάλιστα θα επιστρέφει το µήνυµα «Error he matrix is not symmetric» στην περίπτωση που ο πίνακας δεν είναι συµµετρικός. positivematrix@a_d := Module@8i, cond, a<, a = a; If@a ranspose@ad, Print@"Error he matrix is not symmetric"d, cond = rue; For@i =, i Length@aD, a = akematrix@a, 8, <, 8i, i<d; If@Det@aD <, cond = FalseD; i++d; Return@condDD;D positivematrix@ad rue Μπορείτε να κάνετε µια αντίστοιχη συνάρτηση για αρνητικά ορισµένους πίνακες ;

8 . Τετραγωνικές Μορφές Σελίδα 8 από 4 Σηµείωση Αντίστοιχα ένας συµµετρικός πίνακας A ονοµάζεται αρνητικά ορισµένος εάν όλοι οι κύριοι υπο-πίνακές του έχουν αρνητική ορίζουσα. Σύνοψη Ένας συµµετρικός πίνακας Α και η τετραγωνική µορφή x Ax θα ονοµάζονται Θετικά ορισµένοι εάν x Ax> για κάθε x Θετικά ηµιορισµένοι εάν x Ax για κάθε x Αρνητικά ορισµένοι εάν x Ax< για κάθε x Αρνητικά ηµιορισµένοι εάν x Ax για κάθε x Αόριστοι εάν x Ax παίρνει θετικές και αρνητικές τιµές.

9 . Τετραγωνικές Μορφές Σελίδα 9 από 4 Ασκήσεις. ) Να µετατρέψετε τις παρακάτω τετραγωνικές µορφές στην µορφή ο A είναι ένας συµµετρικός πίνακας. x Ax, όπου α) x + 7x, β) 4x 9x 6x x, γ) 5x + 5xx, δ) 7xx ) Να µετατρέψετε τις παρακάτω τετραγωνικές µορφές στην µορφή ο A είναι ένας συµµετρικός πίνακας. x Ax, όπου α) 9x x + 4x + 6xx 8xx + xx, β) x + x x 5x x + 9x x γ) xx+ xx+ xx, δ) x x + x x 8 x x, ε) x 7xy + 5xz + 4y 4yz z ) Να προσδιορίσετε εάν οι παρακάτω τετραγωνικές µορφές είναι, θετικά ορισµένες, θετικά ηµιορισµένες, αρνητικά ορισµένες, αρνητικά ηµιορισµένες, ή αόριστες. α) x + x, β) x x, γ) ( x x ), δ) ( x x ) ε) ( x x), στ) xx. 4) Να προσδιορίσετε εάν οι παρακάτω πίνακες είναι, θετικά ορισµένοι, θετικά ηµιορισµένοι, αρνητικά ορισµένοι, αρνητικά ηµιορισµένοι, ή αόριστοι. α) A =, β) 5 A =, δ) 6 7 A = 7 9, δ) A = 7 9, ε) 8 9 A =, στ) A = 5) Να βρείτε τις τιµές του k για τις οποίες οι παρακάτω τετραγωνικές µορφές είναι θετικά ορισµένες. α) x + kx 4x x, β) 5x + x + kx + 4x x x x x x γ) x + x + x + x x + kx x

10 . ιαγωνοποίηση Τετραγωνικών Μορφών Σελίδα από 4. ιαγωνοποίηση Τετραγωνικών Μορφών Στην προηγούµενη παράγραφο µελετήσαµε τις πραγµατικές τετραγωνικές µορφές. Στη συνέχεια θα αναφερθούµε στο πως µπορούµε να απλοποιήσουµε αυτές τις µορφές χρησιµοποιώντας µια σειρά από νέες µεταβλητές. Έστω η τετραγωνική µορφή = ( ) x Ax x x xn όπου ο πίνακας A είναι συµµετρικός. α α α x n α α αn x α α α x n n nn n Εάν y y y y n = όπου y, y,, yn είναι οι νέες µεταβλητές. Εάν αντικαταστήσουµε µε x = Py στην παραπάνω τετραγωνική µορφή x Ax, τότε θα πάρουµε, ( ) ( ) x Ax = Py A Py = y P APy = y Dy Σηµείωση ο πίνακας P έχει ως στήλες του τα ορθοµοναδιαία ιδιοδιανύσµατα του πίνακα Α. Εποµένως, = = ( ) x Ax y Dy y y yn = λ y + λ y + + λ y n n λ y λ y λ n y n ηµιουργούµε δηλαδή, µία νέα τετραγωνική µορφή στην οποία δεν υπάρχουν γινόµενα µεταξύ µεταβλητών... Θεώρηµα Έστω η τετραγωνική µορφή x Ax µε µεταβλητές x, x,, xn, όπου ο πίνακας A είναι ένας συµµετρικός πίνακας. Εάν ο πίνακας P έχει ως στήλες του τα ορθοµοναδιαία ιδιοδιανύσµατα του πίνακα A και αν οι νέες µεταβλητές y, y,, yn ορίζονται από

11 . ιαγωνοποίηση Τετραγωνικών Μορφών Σελίδα από 4 την σχέση x = Py, τότε αντικαθιστώντας για x στην τετραγωνική µορφή πάρουµε x Ax θα x Ax = y Dy = λy + λy + + λnyn όπου λ, λ,, λn είναι οι ιδιοτιµές του πίνακα A και D Η νέα αυτή µορφή ονοµάζεται κανονική ή διαγώνια µορφή. λ λ λ n = P AP= Εφαρµόζοντας το Θεώρηµα.. για να διαγωνοποιήσουµε τετραγωνικές µορφές δεν χρειάζεται να γνωρίζουµε τα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα A ούτε τον πίνακα P. Το µόνο που χρειάζεται να γνωρίζουµε είναι οι ιδιοτιµές του πίνακα Α... Παράδειγµα Να βρεθεί η διαγώνια µορφή της τετραγωνικής µορφής 5x 6xx + 5x. Λύση x Ax ( x, x ) 5 x = 5 x 5 λ Άρα, ( ) = 5 λ = ( λ)(8 λ) =. Εποµένως λ = και 5 λ λ = 8 είναι οι δύο ιδιοτιµές του πίνακα A. Εποµένως η διαγώνια (νέα τετραγωνική) µορφή είναι y y, y = y + 8y ( ) 8 y.. Παράδειγµα Να βρεθεί η διαγώνια µορφή της τετραγωνικής µορφής q x, x, x = x x 4x x + 4x x. ( ). Λύση x q( x, x, x) = x Ax= ( x, x, x) x x Άρα,

12 . ιαγωνοποίηση Τετραγωνικών Μορφών Σελίδα από 4 λ λ = λ λ = λ λ+ λ = 9 ( )( ) λ. Άρα λ=, λ=, και λ=-. Εποµένως η διαγώνια (νέα τετραγωνική) µορφή είναι y y y y y y y,, = +. y ( ) Θα µπορούσαµε να ορίσουµε τον πίνακα Α στο Mathematica : a= 88,, <, 8,, <, 8,, << i - y - j z - k { και στη συνέχεια εφόσον υπολογίσουµε τις ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα Α : Eigensystem@aD - J 8-, -, < 8-,, < 8,, < N να ορθοκανονικοποιήσουµε την βάση του ιδιοχώρου του πίνακα Α : << LinearAlgebra`Orthogonalization` p= ranspose@gramschmidt@%%@@dddd i y j k z { Μπορούµε εύκολα να παρατηρήσουµε ότι : ranspose@pd.a.p i - y z j k { Συνεπώς εφαρµόζοντας τον µετασχηµατισµό : x y x= Py x = y x y

13 . ιαγωνοποίηση Τετραγωνικών Μορφών Σελίδα από 4 θα πάρουµε ( ) y x x = = y x x y x x,, = + + = q x x x y y y x x x x x x..4 Θεώρηµα Ο πίνακας P APέχει το ίδιο πλήθος θετικών ιδιοτιµών, το ίδιο πλήθος αρνητικών ιδιοτιµών και το ίδιο πλήθος µηδενικών ιδιοτιµών µε τον πίνακα Α. Με άλλα λόγια, τα πρόσηµα των ιδιοτιµών και όχι οι ίδιες οι ιδιοτιµές διατηρούνται κατά τους µετασχηµατισµούς ισοδυναµίας. Το θεώρηµα..4 είναι γνωστό ως ο Νόµος Αδράνειας του Sylvester.

14 . ιαγωνοποίηση Τετραγωνικών Μορφών Σελίδα 4 από 4 Ασκήσεις. ) Να βρεθούν οι διαγώνιες µορφές (νέες µορφές) των παρακάτω τετραγωνικών εξισώσεων α) x + x x x, β) 5x + x + 4x x, γ) xx, δ) x + 5x + x x ) Να βρεθούν οι διαγώνιες µορφές (νέες µορφές)των παρακάτω τετραγωνικών εξισώσεων α) γ) x + 4x + 5x + 4x x 4x x, β) 5x + x x + 6xx + 4xx, δ) xx+ 6xx x + 5x + 5x + 4xx 4xx 8xx ) Να βρεθούν οι διαγώνιες µορφές (νέες µορφές) των παρακάτω τετραγωνικών εξισώσεων. α) ε) x 4xy y, β) x + x + x + x x, γ) xx, δ) x 4x + 4x 6x x, στ) 6xx+ 8xx x + x + 4x x,

15 . Κωνικές Τοµές Σελίδα 5 από 4 Εφαρµογές στη γεωµετρία του επιπέδου. Κωνικές Τοµές Στην παράγραφο αυτή θα εφαρµόσουµε τις ιδέες των δύο προηγουµένων παραγράφων για να µελετήσουµε δευτεροβάθµιες εξισώσεις δύο µεταβλητών x και y. Οι εξισώσεις αυτές έχουν την µορφή αx βxy γ y δx εy ζ = () όπου τα α, βγδεζ,,,, R και τουλάχιστον ένα από τα α, βγ, δεν είναι µηδέν. Η εξίσωση α x + βxy + γ y είναι η αντίστοιχη τετραγωνική µορφή της παραπάνω δευτεροβάθµιας εξίσωσης... Παραδείγµατα ) ) ευτεροβάθµιες Εξισώσεις x + 5xy 7y + x+ 7= 4x 5y + 8y+ 9= Τετραγωνικές µορφές x + 5xy 7y 4x 5y ) xy + y = xy Το γράφηµα της δευτεροβάθµιας εξίσωσης () ονοµάζεται κωνική τοµή. Οι τρεις πιο γνώστες εξισώσεις κωνικών τοµών είναι αυτές της έλλειψης, της υπερβολής και της παραβολής οι οποίες και εκφράζονται από τις παρακάτω σχέσεις : Έλλειψη x y + =, α, β >. α β (Εάν α = β τότε έχουµε την εξίσωση του κύκλου µε κέντρο το (,) και ακτίνα το α ή β ) << Graphics` ImplicitPlotA x 9 + y 4, 8x,, <, 8y,, <, AxesOrigin 8, <E

16 . Κωνικές Τοµές Σελίδα 6 από 4 Υπερβολή x α y = ή β y x =, α, β > α β ImplicitPlotA x 9 y 4, 8x,, <, 8y,, <, AxesOrigin 8, <E Παραβολή x = α y ή y = α x, ImplicitPlotAx 4 y, 8x,, <, 8y,, <, AxesOrigin 8, <E ImplicitPlotAy 4 x, 8x,, <, 8y,, <, AxesOrigin 8, <E

17 . Κωνικές Τοµές Σελίδα 7 από Παραδείγµατα x y ) Η εξίσωση + = µας δίνει µία έλλειψη η οποία τέµνει τον άξονα των x 4 9 στα σηµεία (,) και (,) και τον άξονα των y στα σηµεία (, ) και (,) y x ) Η εξίσωση = θα µας δώσει µία υπερβολή η οποία τέµνει τον άξονα 6 των y στα σηµεία (, ) και (, )

18 . Κωνικές Τοµές Σελίδα 8 από 4 ) Η εξίσωση 5x y + = θα µας δώσει µία παραβολή µε α = Παρατηρώντας τις εξισώσεις των τριών αυτών κωνικών τοµών βλέπουµε ότι καµία από αυτές δεν περιλαµβάνει το γινόµενο των µεταβλητών x και y (xy). Η παρουσία του όρου xy στην εξίσωση µας υποδεικνύει την περιστροφή των καρτεσιανών αξόνων. ηλαδή την περιστροφή της κωνικής τοµής. Πώς όµως γίνεται η περιστροφή αυτή; Ας πάρουµε λοιπόν την εξίσωση () και ας την γράψουµε στην µορφή όπου, x α β x =, A = y β γ x Ax+ Bx+ ζ = () και B = ( δ ε ). Ο πίνακας A είναι συµµετρικός πίνακας και όπως ήδη γνωρίζουµε µπορεί να διαγωνοποιηθεί από έναν ορθοκανονικό πίνακα P. Άρα P AP λ = λ όπου λ και λ είναι οι ιδιοτιµές του πίνακα Α και ο πίνακας P έχεις ως στήλες του τα αντίστοιχα ορθοκανονικά ιδιοδιανύσµατα του πίνακα Α. Εάν x x = Py και y = y τότε η εξίσωση () µπορεί να γραφτεί ως ( Py) A( Py) + B( Py) + ζ =

19 . Κωνικές Τοµές Σελίδα 9 από 4 ή ή ( ) + ( ) + = y P AP y B Py ζ λ x p p x ( x y ) ( ) δ ε ζ λ + + = y p p y λ + λ + δ + ε + ζ = (4) x y x y () = + και ε = δ p + ε p. Η εξίσωση (4) δεν έχει πλέον τον όρο του γινοµένου των δύο µεταβλητών x y. όπου δ δ p εp Ο πίνακας P είναι ορθοκανονικός µε det( P ) = και έχει την µορφή cos( θ ) sin( θ ) P = sin( θ ) cos( θ ) όπου θ η γωνία περιστροφής από τον θετικό καρτεσιανό άξονα x στον θετικό καρτεσιανό άξονα x... Παράδειγµα Έστω η δευτεροβάθµια εξίσωση 5x 6xy 5y 8 + =. Η εξίσωση αυτή περιέχει τον όρο του γινοµένου των δύο µεταβλητών xy και εποµένως έχουµε µία περιστροφή της κωνικής τοµής. p = ImplicitPlotA5 x 6 xy+ 5 y 8 ==, 8x,, <, 8y,, <, AxesOrigin 8, <, PlotStyle 8RGBColor@,, D<E Η τετραγωνική µορφή της είναι η 5x 6xy 5y µορφή παίρνουµε 5 x x Ax= ( x, y) 5 y - +. ιαγωνοποιόντας την τετραγωνική

20 . Κωνικές Τοµές Σελίδα από 4 5 λ Άρα, ( ) A λi = = 5 λ = ( λ)(8 λ) =. Εποµένως 5 λ λ = και λ = 8 είναι οι δύο ιδιοτιµές του πίνακα A. Τα αντίστοιχα ορθοµοναδιαία ιδιοδιανύσµατα είναι και. Άρα, D = P AP και εποµένως x Ax = y Dy. Η διαγώνια (νέα τετραγωνική) µορφή είναι x ( x, y ) = x + 8y 8 y. Εποµένως, x + 8y 8= x + 8y = 8 ιαιρώντας µε το 8 παίρνουµε x y + =, δηλαδή, έχουµε µία έλλειψη. p = ImplicitPlotA x 4 + y, 8x,, <, 8y,, <, AxesOrigin 8, <, PlotStyle 8RGBColor@,, D<E Ο πίνακας / / cos( θ ) sin( θ ) P = =. / / sin( θ ) cos( θ ) - Άρα η ζητούµενη γωνία είναι θ = 45. ηλαδή η έλλειψη περιστρέφετε κατά γωνία θ = 45. x ( ) ( ) / / x cos 45 sin 45 x = y = / / y sin ( 45 ) cos( 45 ) y

21 . Κωνικές Τοµές Σελίδα από 4 p = ImplicitPlot@x y, 8x,, <, 8y,, <, AxesOrigin 8, <, PlotStyle 8RGBColor@,, D<D Show@p, p, pd Επιστρέφοντας στις εξισώσεις των τριών κωνικών τοµών µία ακόµα παρατήρηση που µπορούµε να κάνουµε είναι ότι οι εξισώσεις αυτές δεν περιλαµβάνουν ταυτόχρονα τους όρους x και x ούτε και τους όρους y και y. Εάν λοιπόν έχουµε ένα από τα προαναφερθέντα ζεύγη, x και x ή y και y ενώ δεν υπάρχει ο όρος xy, τότε συµπεραίνουµε ότι η κωνική τοµή έχει υποστεί µία µεταφορά...4 Παράδειγµα Έστω η δευτεροβάθµια εξίσωση = x y x y Η εξίσωση αυτή δεν περιέχει τον όρο του γινοµένου των δύο µεταβλητών xy αλλά περιέχει τα ζεύγη x, x και y, y. Εποµένως έχουµε µεταφορά της κωνικής τοµής Ξεκινάµε φτιάχνοντας τέλεια τετράγωνα ( 4 + 4) = 9 6 x x y y

22 . Κωνικές Τοµές Σελίδα από 4 ( x ) ( y ) + 4 = + 9 6= 6 (5) Θέτουµε x = x + και y = y ή ισοδύναµα x' x x x' = + = + y' y y y' Η εξίσωση (5) µπορεί πλέον να γραφτεί ως ή ως x 4y = 6 x y =. 6 4 Το γράφηµα της εξίσωσης αυτής είναι µία υπερβολή όπου βρίσκεται πάνω σε νέους καρτεσιανούς άξονες µε αρχή το σηµείο (, ) Σε αντίθεση µε την αρχική εξίσωση της οποίας η γραφική παράσταση έχει µετατοπιστεί κατά το διάνυσµα P = ( ) και συνεπώς έχει αρχή το σηµείο (, ) Τέλος θα δούµε πως µπορούµε να αναγνωρίσουµε την κωνική τοµή σε περιπτώσεις πού στην εξίσωση () περιέχεται ο όρος του γινοµένου των δύο µεταβλητών xy αλλά και τα ζεύγη x, x και y, y. Με άλλα λόγια η συγκεκριµένη κωνική τοµή έχει υποστεί µόνο µεταφορά.

23 . Κωνικές Τοµές Σελίδα από 4..5 Παράδειγµα ίνεται η εξίσωση 5x 6xy+ 5y 4 x+ 8 y+ 56= Να βρεθεί η κωνική τοµή που αντιπροσωπεύει. Λύση Χρησιµοποιώντας την εξίσωση () έχουµε 5 x ( x y) ( ) x = 5 y y Για την εύρεση των ιδιoτιµών του πίνακα 5 A = 5 έχουµε A λ 5 λ I = 5 λ ( )( ) ( λ )( λ 8) = 5 λ 5 λ 9= λ λ+ 6 = = Άρα οι ιδιοτιµές του πίνακα A είναι λ = και λ = 8. Λύνοντας την εξίσωση ( λ ) A I x= για κάθε λ βρίσκουµε τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα Α έτσι ώστε να µπορέσουµε να κατασκευάσουµε τον πίνακα P. Για την ιδιοτιµή λ = το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα είναι λ = 8 αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα είναι είναι ο Άρα, P AP= 8 και για την ιδιοτιµή. Εποµένως ο ορθοκανονικός πίνακας P / / P =. / / / / / / και BP = ( 4 8 ) = ( 6 ) Θέτοντας x / / x ' = y / / y'

24 . Κωνικές Τοµές Σελίδα 4 από 4 και χρησιµοποιώντας την εξίσωση (4) παίρνουµε ή x + 8y 6x + y + 56 = = x y x y Συνεχίζουµε φτιάχνοντας τέλεια τετράγωνα ή ή ( x ) ( y ) = ( x ) ( y ) = 4 ( x 4) ( y + ) + = Εάν x = x 4 και y = y+ ή ισοδύναµα x'' x' 4 x' x'' 4 = + = + y'' y' y' y'' τότε x y + = δηλαδή έχουµε µία έλλειψη Ο συνολικός µετασχηµατισµός που εφαρµόσαµε είναι ο παρακάτω : x / / x' / / x'' 4 = = + y / / y' / / y'' x / / x'' 6/ = + y / / y'' / - Ο πίνακας / / cos(45 ) sin(45 ) P = = / / sin(45 ) cos(45 )

25 . Κωνικές Τοµές Σελίδα 5 από 4 και εποµένως η έλλειψη έχει περιστραφεί από την αρχή των αξόνων κατά γωνία θ = 45 και έχει µεταφερθεί σε νέους καρτεσιανούς άξονες µε αρχή το σηµείο ( 6, )...6 Παράδειγµα ίνεται η εξίσωση 8 5x 4xy+ 8y + x + 4= 5 5y Να βρεθεί η κωνική τοµή που αντιπροσωπεύει. Λύση Χρησιµοποιώντας την εξίσωση () έχουµε ( x y) 5 x 8 x + + 4= 8 y 5 5 y Για την εύρεση των ιδιοτιµών του πίνακα 5 A = 8 έχουµε A λi 5 λ = 8 λ ( )( ) ( λ 4)( λ 9) = 5 λ 8 λ 4= λ λ+ 6 = = Άρα οι ιδιοτιµές του πίνακα A είναι λ = 4 και λ = 9. Λύνοντας την εξίσωση ( λ ) A I x= για κάθε λ µπορούµε να βρούµε και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα Α έτσι ώστε να µπορέσουµε να κατασκευάσουµε τον πίνακα P.

26 . Κωνικές Τοµές Σελίδα 6 από 4 Για την ιδιοτιµή λ = 4 το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα είναι λ = 9 αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα είναι είναι ο και για την ιδιοτιµή. Εποµένως ο ορθοκανονικός πίνακας P / 5 / 5 P =. / 5 / 5 Άρα, 4 P AP= 9 8 / 5 / / 5 / 5 και BP = = ( 8 6) Θέτοντας x / 5 / 5 x ' = y / 5 / 5 y' και χρησιµοποιώντας την εξίσωση (4) παίρνουµε 4x + 9y 8x 6y + 4= Φτιάχνοντας τέλεια τετράγωνα έχουµε ή ή ( x ) ( y ) = ( x ) ( y ) = 6 ( x ) ( y ) + = 9 4 Εάν x = x και y = y ή ισοδύναµα τότε x'' x' x' x'' = + = + y'' y' y' y'' δηλαδή µία έλλειψη. x y + = 9 4

27 . Κωνικές Τοµές Σελίδα 7 από Ο συνολικός µετασχηµατισµός που εφαρµόσαµε είναι ο παρακάτω : x / 5 / 5 x' / 5 / 5 x'' = = + y / 5 / 5 y' / 5 / 5 y'' x / 5 / 5 x'' = + y / 5 / 5 y'' 5 - Ο πίνακας / 5 / 5 cos(6,6 ) sin(6,6 ) P = = / 5 / 5 sin(6,6 ) cos(6,6 ) και εποµένως η έλλειψη έχει περιστραφεί περίπου κατά γωνία θ = 6,6 µεταφερθεί σε νέους καρτεσιανούς άξονες µε αρχή το σηµείο (, 5 ). και έχει

28 . Κωνικές Τοµές Σελίδα 8 από 4 Το γράφηµα µίας δευτεροβάθµιας εξίσωσης µε µεταβλητές x και y µπορεί να προσδιοριστεί από την εξίσωση που προκύπτει µετά την περιστροφή των αξόνων, δηλαδή από την εξίσωση () ή την εξίσωση (4). Η αναγνώριση των κωνικών τοµών από τις εξισώσεις () ή (4) δίνεται στον παρακάτω πίνακα λ, λ λλ > λλ < λλ = Έλλειψη Υπερβολή Παραβολή Εφαρµογές στη γεωµετρία του χώρου Όπως στην γεωµετρία του επιπέδου µελετήσαµε δευτεροβάθµιες εξισώσεις δύο µεταβλητών x και y έτσι και στη γεωµετρία του χώρου θα µελετήσουµε δευτεροβάθµιες εξισώσεις τριών µεταβλητών x, y και z. Οι εξισώσεις αυτές έχουν την µορφή α x + α y + α z + β xy+ β xz+ β yz+ γ x+ γ y+ γ z+ δ = (6) όπου τα α, α, α, β, β, β, γ, γ, γ, δ R και τουλάχιστον ένα από τα α, α, α, β, β, β δεν είναι µηδέν. Η εξίσωση αx + αy + αz + βxy + βxz + βyz είναι η αντίστοιχη τετραγωνική µορφή της παραπάνω δευτεροβάθµιας εξίσωσης Η εξίσωση (6) µπορεί να γραφεί στην µορφή ηλαδή ως, όπου α β β x x x y z β α β y + γ γ γ y + δ =. β β α z z ( ) ( ) x x = y, z x Ax+ Bx+ δ = (7) A α β β = β α β β β α και B ( γ γ γ ) =. Η εξίσωση (6) µπορεί να αναχθεί σε µία από τις παρακάτω γνωστές εξισώσεις των οποίων και γνωρίζουµε το είδος της επιφάνειας.

29 . Κωνικές Τοµές Σελίδα 9 από 4 Ελλειψοειδές x y z α β γ + + = (Εάν α = β = γ τότε έχουµε την εξίσωση της σφαίρας µε κέντρο το (,,) και ακτίνα το α ή β ή γ) << Graphics` ParametricPlotD@ 8Cos@uD Cos@vD, Sin@uD Cos@vD, Sin@vD<, 8u,, Pi<, 8v, Pi ê, Piê<D y z Γραφική παράσταση της x + + = x = cos u cos v, y = sin u cos v, y = sin v τότε Παρατηρήστε ότι αν ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) HCos@uD Cos@vDL + H Sin@uD Cos@vDL 4 + H Sin@vDL 9 x y Ελλειπτικό παραβολοειδές z = + α β ParametricPlotDA 9 Cos@vD è!!! z, Sin@vD è!!! z,z=, 8v,, Pi<, 8z,, 5<, ViewPoint > 8.54,.9,.4<E êê Simplify

30 . ιαγωνοποίηση Τετραγωνικών Μορφών Σελίδα από x y Γραφική παράσταση της z = + Παρατηρήστε ότι αν x = cos ( v) z, y = sin ( v) z, z = z τότε : è!!! I Cos@vD zm è!!! I Sin@vD zm SimplifyA + ze Μονόχωνο υπερβολοειδές ParametricPlotDA x y z α β γ + = 9 $%%%%%%%%%%%%% z 9 + Cos@vD, $%%%%%%%%%%%%% z + Sin@vD, z=, 9 8v, Pi, Pi<, 8z, 5, 5<E Γραφική παράσταση της y z x + = z z x = + cos v, y = + sin v, z = z τότε : 9 9 Παρατηρήστε ότι αν ( ) ( ) i i j $%%%%%%%%%%%%% z j $%%%%%%%%%%%% z 9 + Sin@vDy z 9 + Cos@vDy z + k { 4 k { HzL 9 êê Simplify

31 . ιαγωνοποίηση Τετραγωνικών Μορφών Σελίδα από 4 Κώνος x y z α β γ + = y z Γραφική παράσταση της x = zcos v, y = zsin v, z = z τότε : Παρατηρήστε ότι αν ( ) ( ) HzCos@vDL + H zsin@vdl 4 H zl 9 êê Simplify x + = ίχωνο υπερβολοειδές p = ParametricPlotDA x y z + = α β γ 9 $%%%%%%%%%%%%%% z 9 Cos@vD, $%%%%%%%%%%%%% z Sin@vD,z=, 9 8v,, Pi<, 8z,, <E

32 . ιαγωνοποίηση Τετραγωνικών Μορφών Σελίδα από Γραφική παράσταση της p = ParametricPlotDA 9 $%%%%%%%%%%%%%% z 9 Cos@vD, $%%%%%%%%%%%%% z Sin@vD,z=, 9 8v,, Pi<, 8z,, <E y z x + = για z [,] Γραφική παράσταση της y z x + = για z [, ] Show@p, pd

33 . ιαγωνοποίηση Τετραγωνικών Μορφών Σελίδα από Γραφική παράσταση της y z x + = για z [, ] [,] z z x = cos v, y = sin v, z = z τότε : 9 9 Παρατηρήστε ότι αν ( ) ( ) i i j $%%%%%%%%%%%% z j $%%%%%%%%%%%%% z 9 % 9 Sin@vDy z Cos@vDy z k { 4 k { + HzL 9 êê Simplify Υπερβολικό παραβολοειδές ParametricPlotDA 9x, y, y 4 x =, 8x,, <, 8y,, <E y x = z β α

34 . ιαγωνοποίηση Τετραγωνικών Μορφών Σελίδα 4 από Γραφική παράσταση της y x + = z για x [, ], y [, ] Παραβολικός κύλινδρος ParametricPlotDA 9x, x,z=, 8x,, <, 8z,, <E x 4 = ay, a > Γραφική παράσταση της x = y για x [, ], y [, ]..7 Ορισµός

35 . ιαγωνοποίηση Τετραγωνικών Μορφών Σελίδα 5 από 4 ίνεται ο συµµετρικός πίνακας Α µεγέθους. Θα ονοµάζουµε inertia (αδράνεια) του πίνακα Α, In(A), την διατεταγµένη τριάδα των αριθµών σχετικά µε το πλήθος των ιδιοτιµών του πίνακα Α που δίνεται ως..8 Παραδείγµατα ( θετικές, αρνητικές, µηδενικές ) Να βρεθεί το In( A ) για κάθε έναν από του παρακάτω πίνακες α) A =, β) A =, γ) A = Λύση λ α) A λi = = λ = λ λ = λ Άρα, In( A ) = (,,) ( ) 4 ( 4). ηλαδή, λ = και λ = 4.

36 . Κωνικές Τοµές Σελίδα 6 από 4 β) λ A λi = = λ = λ λ = λ Άρα, In( A ) = (,,). ( ) ( )( ) λ γ) A λi = λ = λ+ λ = λ Άρα, In( A ) = (,,). ( ) ( 4). ηλαδή, λ = και λ =.. ηλαδή, λ = λ = και λ = 4. Η αναγνώριση των επιφανίων στον χώρο δίνεται στον παρακάτω πίνακα In( A ) = (,,) Ελλειψοειδές In( A ) = (,,) Ελλειπτικό παραβολοειδές In( A ) = (,,) Μονόχωνο υπερβολοειδές In( A ) = (,,) ίχωνο υπερβολοειδές In( A ) = (,,) Υπερβολικό παραβολοειδές In( A ) = (,,) Παραβολικός κύλινδρος Χρησιµοποιώντας τις ίδιες τεχνικές µε εκείνες που χρησιµοποιήθηκαν στις δύο διαστάσεις, δηλαδή στο επίπεδο, µπορούµε και εδώ, δηλαδή στο χώρο, να απαλείψουµε τα γινόµενα xy, xz, ή yz µε µία περιστροφή των καρτεσιανών αξόνων ή να απαλείψουµε πρωτοβάθµιους όρους µε µία µεταφορά των αξόνων...9 Παράδειγµα Να αναγνωριστεί η επιφάνεια η οποία δίνεται από την παρακάτω δευτεροβάθµια εξίσωση. x + 4y 4z + 6xy 5x+ y = Λύση Χρησιµοποιώντας την εξίσωση (7) έχουµε x x ( x y z) 4 y + ( 5 ) y = 4z z x x Ax+ 5 x=, όπου x = y z στην µορφή ( ) (8)

37 . Κωνικές Τοµές Σελίδα 7 από 4 Για την εύρεση των ιδιοτιµών του πίνακα A = 4 4 λ A λi = 4 λ 4 λ έχουµε 4 λ = ( λ) = ( λ) ( 4 λ)( 4 λ) 9 4 λ ( λ)( λ )( λ ) = = Οι ιδιοτιµές του πίνακα A είναι λ = 5, λ = και λ = 5. Άρα το In( A ) = (,,) και εποµένως η επιφάνεια είναι µονόχωνο υπερβολοειδές. Λύνοντας την εξίσωση ( λ ) A I x= για κάθε λ µπορούµε να βρούµε και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα Α έτσι ώστε να µπορέσουµε να κατασκευάσουµε τον πίνακα P. Για την ιδιοτιµή λ = το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα είναι λ = 5 το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα είναι λ = 5 το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα πίνακας P είναι ο Έστω x, για την ιδιοτιµή, για την ιδιοτιµή και για την ιδιοτιµή είναι. Εποµένως ο ορθοκανονικός P = / / / / = Py. Η εξίσωση (8) µπορεί να γραφτεί ως ( Py) A( Py) + BPy = ( ) + = y P AP y BPy

38 . Κωνικές Τοµές Σελίδα 8 από 4 Τώρα, P AP= 5 5 = 5 / / / / και BP ( ) = ( 5 9/ / ) x Εάν y = y τότε z y 5 y+ ( / / ) y =. ηλαδή, 9 x + 5y 5z 5 x' + y + z = Το επόµενο βήµα είναι να φτιάξουµε τέλεια τετράγωνα. Άρα, x + 5 y 5 z 4 + = + + = Εάν τώρα x'' = x', y'' = y' + και z = z η ισοδύναµα x x 4 x y y = + = / / y + z z / / z η εξίσωση της επιφάνειας είναι ή 97 x + 5y 5z = x y z + =

39 . ιαγωνοποίηση Τετραγωνικών Μορφών Σελίδα 9 από 4 ParametricPlotDA z 9&''''''''''''''''' + $%%%%%%%%%%%% Cos@vD, $%%%%%%%%%%% 97 &''''''''''''''''' z + Sin@vD, z=, 97 8v, Pi, Pi<, 8z, 5, 5<, ViewPoint > 8.8,.9,.47<E i j $%%%%%%%%%%%%%%%% z 97 + $%%%%%%%%% 97 4 Cos@vDy i z j $%%%%%%%%% 97 $%%%%%%%%%%%%%%%% z 97 + Sin@vD y z k { k { I 97 4 M + I 97 M HzL I 97 êê Simplify M Επειδή 5 x x 4 9 y / / y = + / / = z / / z / / 5 x 4 4 = / / y + / / z 8 η γραφική παράσταση της εξίσωσης µας θα είναι µετατοπισµένη κατά το διάνυσµα τον άξονα xx κατά γωνία και θα προέρχεται από στροφή του παραπάνω σχήµατος ως προς cos που αντιστοιχεί σε γωνία 8.44ο.

40 . ιαγωνοποίηση Τετραγωνικών Μορφών Σελίδα 4 από Σηµείωση. Στροφή ως προς τον άξονα xx x ' y ' = cos( θ ) sin( θ ) z ' sin( θ ) cos( θ ) Στροφή ως προς τον άξονα yy x ' cos( θ ) sin( θ ) y ' = z ' sin( θ ) cos( θ ) Στροφή ως προς τον άξονα zz x ' cos( θ) sin( θ) y ' = sin( θ) cos( θ) z '

41 . Κωνικές Τοµές Σελίδα 4 από 4 ) Να χαρακτηριστούν οι κωνικές τοµές Ασκήσεις. α) x + 9y 9=, β) 5y 4x =, γ) y 6 =, δ) 4x + 4y 9= ) Για τις παρακάτω δευτεροβάθµιες εξισώσεις να βρεθούν οι κωνικές τοµές που αντιπροσωπεύουν α) x y x y =, β) x y x y =, γ) x + xy+ y = 6 δ) x 4xy y 8 + =, ε) 9x + y + 6xy x+ y+ 9 = στ) 5x xy x 6 + =, η) x y xy x =. ) Για τις παρακάτω δευτεροβάθµιες εξισώσεις να περιστρέψετε και να µετατοπίσετε τους καρτεσιανούς άξονες έτσι ώστε να βρεθούν η κωνικές τοµές τους. Να χαρακτηριστούν οι κωνικές τοµές, να βρεθούν οι εξισώσεις τους καθώς και να δοθεί η τελική τους θέση. α) γ) 9x 4xy 6y x y 5 + =, β) x 4xy y 4x 8y 4 =, δ) x 8xy y x 64y = x + 6xy+ y 4x+ 4y+ 7 = ε) x xy y x y =, στ) 4x xy+ 5y 5x 6y =

42 .4 Λύσεις Ασκήσεων Σελίδα 4 από 4 Ασκήσεις..4 Λύσεις Ασκήσεων ) α) A 4 = 7, β) A = 9, γ) 5 5/ A = 5/, δ) 7/ A = 7/ ) α) γ) ε) 9 4 A = /, β) 4 / 4 / / A = / /, δ) / / 7/ 5/ A = 7/ 4 5/ 5/ 9/ A = 5/ 9/ 4 A = 4 ) α) θετικά ορισµένη, β) αρνητικά ορισµένη, γ) θετικά ηµιορισµένη, δ) αρνητικά ηµιορισµένη, ε) αόριστη, στ) αόριστη. 4) α) αόριστος, β) αόριστος, γ) θετικά ορισµένος, δ) αόριστος, ε) θετικά και αρνητικά ορισµένος, στ) θετικά ορισµένος. 5) α) k > 4, β) k >, γ) 5 < k < 5 Ασκήσεις. ) α) y + y, β) y + 6y, γ) y y, δ) ( + 7) y ( ) + 7 y. ) α) y + 7y + 4y, β) 7y + 4y + y, γ) y 7y, δ) y y. ) α) x y, β) στ) 5y 5y y + y, γ) y y, δ) 4y, ε) y + 5y 5y

43 .4 Λύσεις Ασκήσεων Σελίδα 4 από 4 Ασκήσεις. ) α) έλλειψη, β) υπερβολή, γ) παραβολή, δ) κύκλος. x ) α) έλλειψη, δ) υπερβολή, x y + 8= ή y + y =, β) κύκλος, = 4x, ε) υπερβολή x y 4 9 x y x y + =, γ) έλλειψη, + = x + y + 8=, δ) παραβολή, x y =, υπερβολή =. 9/8 9/8 ) α) έλλειψη, x + y = 6, β) υπερβολή, y 4x = 8, γ) υπερβολή, x y = 4, δ) έλλειψη, 6x + y = 66, ε) υπερβολή, 4y x =, στ) παραβολή, 9x y =